Práctica # 1 - Luis José Berbesí

U NIVERSIDAD DE L OS A NDES
N ÚCLEO U NIVERSITARIO R AFAEL R ANGEL
D EPARTAMENTO DE F ÍSICA Y M ATEMÁTICA
V ENEZUELA
E JERCICIOS DE G EOMETRÍA A NALÍTICA
P ROF. L UIS B ERBESÍ
P ROBLEMAS Y EJERCICIOS DE G EOMETRÍA A NALÍTICA , DIRIGIDOS A ESTUDIANTES DE LA CARRERA
DE E DUCACIÓN , MENCIÓN F ÍSICA Y M ATEMÁTICA , DEL N ÚCLEO U NIVERSITARIO R AFAEL R ANGEL
DE LA
U NIVERSIDAD
DE
L OS A NDES .
T RUJILLO , V ENEZUELA
Capı́tulo
1
Rectas y ecuaciones lineales
1. Encuentre la ecuación general de cada recta que verifica las respectivas condiciones.
(a) Pasa por el punto P y tiene pendiente m:
(I) P = (1, 2), m = 5.
(II ) P = (−1, 0), m = −2.
(III ) P = (1, 0), m = 13 .
(IV) P = (5, 0), m = −4.
(V) P = (0, 2), m = − 41 .
√
(VI) P = (0, 0), m = − 2.
(b) Pasa por los puntos P y Q:
(I) P = (2, −2), Q = (1, −2).
(II ) P = (7, 0), Q = (0, −1).
(III ) P = (−1, 6), Q = (−2, 3).
(IV ) P = (−1, −1), Q = (−1, 1).
(V) P = (0, 2), Q = (8, 0).
(VI ) P = (13, 1), Q = (1, −2).
(c) Pasa por el punto (1, −2) y su ordenada en el origen es el doble de su abscisa en el origen.
(d) Pasa por el punto (−1, 8) y el producto de sus coordenadas en el origen (ordenada y abscisa en
el origen) es 1.
(e) Tiene abscisa en el origen -3 y es perpendicular a la recta x − y + 6 = 0.
(f) Es perpendicular a la recta x + 2y − 1 = 0 en el punto donde ésta corta a la recta 5x − y + 7 = 0.
2. Una recta pasa por el punto A = (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por C = (−2, 2) y D =
(3, −4). Hallar su ecuación.
3. ¿Cuál es la abscisa en el origen de la recta que pasa por el punto (k, k) y es paralela a la recta
y = mx, con m 6= 0 y m 6= 1?
4. ¿Cuál es el punto de la recta y = x más próximo al punto (a, b)?
5. Verifique que la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos P = (u1 , v1 ) y
Q = (u2 , v2 ), es (u2 − u1 )x + (v2 − v1 )y = c, donde 2c = (u2 + u1 )(u2 − u1 ) + (v2 + v1 )(v2 − v1 ).
6. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento con extremos en P = (−3, 2) y Q = (1, 6).
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Capítulo 1: Rectas y ecuaciones lineales
7. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta
5x + 3y − 15 = 0.
8. Encuentre un punto de la recta 9x− y + 12 = 0 que equidiste de los puntos P = (1, −3) y Q = (4, 1).
9. Encuentre la ecuación de cada recta que pasa por el punto (2, −2) y forma con los ejes coordenados
un triángulo de área igual a 5.
10. Encuentre la ecuación de cada recta que pasa por el punto (−1, 1) y forma con los ejes coordenados
un triángulo de perímetro igual a 12.
11. Encuentre los puntos de la recta x + 2y + 6 = 0 cuya distancia a la recta 7x − 5y − 11 = 0 sea 4.
12. Demostrar que los puntos A = (−5, 2), B = (1, 4) y C = (4, 5) son colineales hallando la ecuación
de la recta que pasa por dos de estos puntos.
Los ejercicios 14–19 se refieren al triángulo cuyos vértices son A = (−2, 1), B = (4, 7) y C = (6, −3).
13. Hallar las ecuaciones de los lados.
14. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC.
15. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por cada vértice y son paralelas
a los lados opuestos.
16. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección; este punto se
conoce como BARICENTRO.
17. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección;
este punto se conoce como CIRCUNCENTRO.
18. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección; este punto se conoce como
CENTRO .
ORTO -
19. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x − 8y + 36 = 0, x + y − 10 = 0, 3x − 8y − 19 = 0
y x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo.
20. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación
es 5x + 4y + 20 = 0.
21. Dado el punto P = (2, 6), y l la recta con ecuación 4x + 3y = 12, hallar la distancia de P a l
realizando en orden los siguientes pasos:
(a)
(b)
(c)
(d)
Hallar la pendiente de l.
Hallar la ecuación de la recta l′ que pasa por P y es perpendicular a l.
Hallar las coordenadas de P ′ , punto de intersección de l y l′ .
Hallar la longitud del segmento P P ′ .
22. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
23. Determinar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta
3x − 2y − 11 = 0.
24. Demostrar que la recta que pasa por los puntos P = (4, −1) y Q = (7, 2) biseca al segmento cuyos
extremos son los puntos A = (8, −3) y B = (−4, −3).
25. Los vértices de un triángulo son A = (1, 1), B = (4, 7) y C = (6, 3). Demostrar que el baricentro, el
circuncentro y el ortocentro son colineales.
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