SISTEMAS DE REFERENCIA • Para especificar la posición de un

SISTEMAS DE REFERENCIA • Para especificar la posición de un

SISTEMAS DE REFERENCIA
• Para especificar la posición de un punto en el
espacio, se utilizan sistemas de referencia.
Esta posición se define en forma relativa a
algún determinado sistema de referencia.
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Sistema cartesiano
En un sistema de referencia
cartesiano, existen tres ejes
denominados ejes cartesianos
X, Y, Z ortogonales que se
intersectan en un punto O
llamado origen del sistema
cartesiano. La posición de un
punto respecto a ese sistema
de referencia se define por el
conjunto de sus coordenadas
cartesianas (x, y, z), esto es
mediante tres números.
Los rangos de variación de las coordenadas cartesianas son
−∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞, − ∞ < z < ∞.
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Sistema esférico de coordenadas
Z
En el sistema esférico de
coordenadas, la posición de un
punto está definida por sus tres
coordenadas esféricas r (vector
de posición), θ (ángulo polar) y
φ (ángulo azimutal).
Y
X
donde r es la distancia al origen, θ es el ángulo que forma OP con
el eje Z y φ es el ángulo que forma la proyección de la línea OP en
el plano XY con el eje X. Los rangos de variación de las
coordenadas esféricas son
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ < π, 0 ≤ φ < 2π.
3
Sistema cilíndrico de coordenadas
En el sistema cilíndrico de coordenadas,
la posición de un punto está definida por
sus tres coordenadas cilíndricas ρ, z y φ,
donde ρ es la distancia de la proyección
del punto en el plano OXY al origen, z es
la altura sobre el plano OXY y φ es el
ángulo que forma la proyección de la
línea OP en el plano XY con el eje X. Los
rangos de variación de las coordenadas
cilíndricas son:
0 ≤ρ < ∞, 0 ≤φ < 2π, − ∞ < z < ∞.
4
Sistema polar de coordenadas
En el sistema polar de coordenadas, la
posición de un punto sobre un plano está
definida por sus dos coordenadas
denominadas polares, r y θ
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MAGNITUDES FÍSICAS
Escalares.- Son aquellas que
quedan determinadas mediante una
magnitud y unidad correspondiente.
Ejemp. Temperatura del medio
ambiente (20 ºC, volumen de líquido
contenido en un recipiente (cm3),
potencia disipada en una resistencia
(watts), etc.
Vectoriales.-Se caracterizan por
poseer una magnitud, dirección,
sentido.
Eejmp. Velocidad, aceleración,
fuerza, momento o torque, etc.
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Representación:
S
RS :Vector RS
m =Vector m
m = m = Módulo de m (magnitud de m)
RS = RS = Módulo de RS
R
⇒ A = Ae
Vector unitario.Es aquel cuya magnitud es la unidad.
Dados dos vectoresAy e donde el segundo es
unitario y paralelo al primero, entonces todo vector
puede se representado por su magnitud y un vector
paralelo a él que le brinde la dirección.
e=
A
A
e
A
z
Vectores unitarios coordenados.A un sistema coordenado se le pueden anexar
k
vectores unitarios por cada eje, así tenemos:
i
j
y
x
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Vector en el plano.- Un vector puede ser
descompuesto según sus ejes ortogonales.
Así tenemos el vector
V =Vx +Vy
Vy
V =Vx i +Vy j
V
Vsen
j
V =V cos i +Vsen
j
V =V = Vx2 +Vy2
θ
Vx
V cos
i
C
β
V2
V2 Sen
α
θ
A
D
V2 cos
V
1
V =
=
2
AD + CD
2
(V1 + V2 cos )2 + (V2 sen )2
= V12 + V22 + 2V1V2 cos
8
Vector en el espacio
z
Un vector en el espacio
puede ser descompuesto
a lo largo de sus
componentes
ortogonales,
considerando a su vez
Vz
V
Vx
V
y
y
los vectores unitarios.
x
z
V = Vx + V y + Vz
Vz
= Vx i + V y j + Vz k
= Vsen cos  i + Vsen sen j + V cos  k
θ
Vx
V
φ
y
y
V = Vx2 + Vy2 + Vz2
x
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Ángulos directores.Un vector en el espacio puede fácilmente ser representado
por los ángulos directores.
cos  =
z
cos  =



Vx
V
Vy
V
V
cos  = z
V
Se cumple que :
Cosenos
directores
cos 2  + cos 2  + cos 2  = 1
y
Como
x
V =Vu ⇒ u =
V
V
⇒ u = cos  i + cos  j + cos  k
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ALGEBRA VECTORIAL EN FUNCIÓN DE VECTORES UNITARIOS
1.-Adición.- Dados dos vectores:
A = Ax i + Ay j + Az k
y
B = Bx i + B y j + Bz k
Se define la suma
A+ B = C
( Ax + Bx )i + (Ay + By ) j + ( Az + Bz )k = C
2.-Sustracción.- Dados los vectores:
Se define la sustracción
A− B = D
A = Ax i + Ay j + Az k
y
B = Bx i + B y j + Bz k
( Ax − Bx )i + (Ay − B y ) j + ( Az − Bz )k = D
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3.-Multiplicación.- Al multiplicar un vector
A
por un escalar n, el
producto es un nuevo vector paralelo al primero y definido por n A
Dado el vector A = Ax i + A y j + Az k
el escalar n
el cual es multiplicado por
⇒ n A = nAx i + nAy j + nAz k
4.-Igualdad de dos vectores.- Dados dos vectores:
A = Ax i + Ay j + Az k
y
B = Bxi + By j + Bz k
⇒ A = B si
Ax i + Ay j + Az k = Bx i + B y j + Bz k lo cual implica que
Ax = Bx ; Ay = B y ; Az = Bz
Esto es la presencia de tres ecuaciones escalares.
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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Dados los vectores a y b definidos en el espacio, y un ángulo θ
entre ambos, se define el producto escalar o producto punto, como:
a • b = a b cos  El producto escalar de dos vectores es un escalar
Para los vectores unitarios, se cumple que:
i • i = i i cos 0 = (1)(1)(1) = 1
pero i • j = 0
j• j =1
j•k = 0
k •k =1
k •i = 0
Si a • b = 0 implica que a ⊥ b , conocida como condición de
perpendicularidad.
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Al proyectar a sobre b , de la figura se obtiene a cos , y al proyectar
b sobre a, se obtiene b cos 
b
a cos
θ

b cos
Estos resultados pueden ser
obtenidos a partir del producto
escalar, como sigue:
a
a • b = ab cos ⇒ a cos =
a•b
= Pr oy. a sobre b
b
b cos =
a•b
= Pr oy.b sobre a
a
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
Ejemp: Dados los vectores M = 3 i + 4 j + 5 k
(a) Hallar el producto escalar de
N = 8 i − 2 j + 10 k
M •N
(b) el ángulo comprendido entre ambos vectores, (c) la proyección de N sobre M
[( )( ) ( )( ) ( )( )]
M • N = 3 i 8 i + 4 j − 2 j + 5 k 10 k = 24 − 8 + 50 = 66
,
M • N = (M )( N )cos ⇒ cos =
M •N
(M )(N )
Según (a ) M • N = 66
M = 32 + 42 + 52 = 50
N = 82 + (− 2 ) + 102 = 168
2
⇒ cos =
66
( 50 )( 168 )
= 0,720
Pr oy.N sobre M = N cos  =
luego  = 43,93º
M •N
66
=
= 9,33
M
50
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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Dados los vectores a y b, definidos en el espacio, el producto
vectorial o producto cruz, se define como un tercer vector c,
que es perpendicular al plano de los dos primeros

c
a×b = c

b
a × b = a b sen
( )
a×b = − b×a
θ

−c
a
Para los vectores unitarios:
i× j = k
j × i´= − k
j×k = i
k × j = −i
k ×i = j
i×k = − j

k

i

j
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i
a × b = ax
bx
j
ay
by
k
a z = i (a y bz − a z by ) + j (a z bx − a xbz ) + k (a xby − a y bx )
bz
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DERIVACIÓN DE VECTORES
Sea u una función escalar cualquiera, pudiendo ser ella el
tiempo, y a y b funciones vectoriales, entonces:
(
)
d
d a db
a+b =
+
du
du du
( )
d
db d a
a•b = a•
+
•b
du
du du
( )
d
db d a
a×b = a×
+
×b
du
du du
Consideremos la función escalar  (u )
( )
d
d a d
a = 
+
a
du
du du
∇ ≡ Nabla (operador vectorial ). Al ser aplicado sobre un
escalar lo convierte en vector.
∂
∂
∂
∇= i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
⇒ ∇ =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
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INTEGRACIÓN DE VECTORES


B1 dt + B 2 dt = (B1 + B 2 ) dt
∫
∫
∫


∫ c A (t ) dt = c∫ A (t ) dt , c es una cons tan te escalar
 
 

∫ C. F (t ) dt = C. ∫ F (t ) dt C es un vector cons tan te
 



∫ C X F (t ) dt =C X ∫ F (t ) dt C es un vector cons tan te




∫ F (t ) dt = ∫ [F (t ) i + F (t ) j + F (t ) k ]dt



= i ∫ F (t ) dt + j ∫ F (t ) dt + k ∫ F (t ) dt
x
y
x
t2
∫
z
y
z
 t2 


B (t ) dt = A (t ) = A (t 2 ) − A (t1 )
t1
t1
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