Sistemas y ecuaciones de orden superior

Sistemas y ecuaciones de orden superior

Sistemas y ecuaciones de orden superior
Leonardo Fernández
Matemática Aplicada, ETSI Navales, Universidad Politécnica de Madrid
1.
Conceptos
Los sistemas de ecuaciones de los que nos ocuparemos son los cuasilineales,
x01
= f1 (t, x1 , . . . , xn )
···
(1)
x0n
=
(2)
fn (t, x1 , . . . , xn ) .
El problema de valores iniciales para estos sistemas es
x1 (t0 ) = x10 , . . . , xn (t0 ) = xn 0 .
Podemos agilizar la notación denotando, X 0 = F (t, X), X(t0 ) = X0 ,






x1
f1
x10






X =  ...  , F =  ...  , X0 =  ...  .
xn
fn
xn0
Una solución será un vector, X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))t , que satisfaga las ecuaciones del sistema.
∂fi
, i, j = 1, . . . , n, son continuas en un entorno de (t0 , x10 , . . . , xn0 ), entonces
∂xj
existe solución única del problema de valores iniciales X 0 = F (t, X), X(t0 ) = X0 en un entorno de t0 .
Teorema 1.1 Si fi y
El problema de valores iniciales para las ecuaciones diferenciales de orden n,
n−1)
xn) = f t, x, x0 , . . . , xn−1) , x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x00 , · · · xn−1) (t0 ) = x0
,
(3)
se reduce al problema para un sistema de n ecuaciones con el cambio x1 = x, x2 = x0 ,. . . ,xn = xn−1) ,
x01 = x2 , . . . , x0n−1 = xn , x0n = f (t, x1 , . . . , xn ) , x1 (t0 ) = x0 , x2 (t0 ) = x00 , . . . , xn (t0 ) = xn−1) (t0 ) ,
t
n−1)
y el vector de funciones del sistema es F = (1, . . . , 1, f )t y el de condiciones iniciales, x0 , x00 , . . . , x0
.
∂f ∂f
n−1)
0
,
,
,.
.
.
son
funciones
continuas
en
un
entorno
de
t
,
x
,
x
.
.
.
,
x
0
0
0
0
∂x ∂x0
entonces existe solución única del problema de valores iniciales (3) en un entorno de t0 .
Corolario 1.1 Si f y
2.
Resolución de ecuaciones de orden superior
Si no aparece en la ecuación la variable x, podemos reducir el orden haciendo el cambio y = x0 ,
xn) = f t, x0 , . . . , xn−1) = y n−1) = f t, y, . . . , y n−2) .
1
Para la reducción de grado de las ecuaciones autónomas, el cambio es tomar la x como nueva variable
dependiente y como variable independiente, y = x0 , lo cual permite reducir el grado una unidad,
dx
dt
d2 x
dt2
d3 x
dt3
3.
=
=
=
y,
dy
dy dx
dy
=
=y
,
dt
dx dt
dx
2
d2 y
d
dy
d2 y
dy
d
dy
=
+ y2 2 .
y
=
y
y
=
y
2
dt
dt
dx
dx
dx
dx
dx
Sistemas de ecuaciones lineales
Nos centraremos ahora en las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales,
x01
= a11 (t)x1 + · · · + a1n (t)xn + f1 (t)
···
(4)
x0n
=
(5)
an1 (t)x1 + · · · + ann (t)xn + fn (t) ,
que podemos expresar en forma vectorial,
X 0 = A(t)X + F (t) ,

a11
 ..
A(t) =  .
an1

· · · a1n
..  .
..
.
. 
· · · ann
Para garantizar que el problema de valores iniciales tenga solución única, exigiremos que aij (t), fi (t)
sean continuas. Combinaciones lineales de soluciones X1 (t),. . . , Xr (t) de X 0 = AX son también solución.
Teorema 3.1 El conjunto de soluciones del sistema X 0 = AX es un espacio lineal de dimensión n.
Teorema 3.2 Sean B = {X1 (t), . . . , Xn (t)} soluciones de X 0 = AX. Si la matriz W (t) = X1 (t), . . . , Xn (t)
es regular en t0 , |W (t0 )| =
6 0, entonces B es base del espacio de soluciones del sistema.
A esta matriz W (t) formada por soluciones independientes la llamaremos matriz fundamental. La
solución general es la combinación lineal con coeficientes generales de las n soluciones independientes,
X(t) = k1 X1 (t) + · · · + kn Xn (t) = W (t)K ,
K = (k1 , . . . , kn )t .
La solución general del sistema X 0 = A(t)X + F (t) es
X(t) = W (t)K + Xp (t) ,
donde Xp (t) es una solución particular del sistema inhomogéneo.
Una solución del sistema inhomogéneo es
Z
Xp (t) = W (t) W (t)−1 F (t) dt ,
y la solución general del sistema inhomogéneo es
Z
X(t) = W (t) W (t)−1 F (t) dt + W (t)K . 2
4.
(6)
(7)
(8)
Sistemas lineales con coeficientes constantes
En el sistema X 0 = AX + F (t) la matriz A es constante. Los elementos aij no dependen de t.
Definimos la exponencial de una matriz cuadrada A por medio de la serie,
eA :=
∞
X
Ak
k=0
k!
=I+A+
2
A2
+ ··· ,
2!
(9)
donde I es la matriz identidad y An = A · · · A es el producto de n copias de la matriz A.
Cuando la matriz es diagonal,
D = diag(λ1 , . . . , λn ) ,
Dk = diag(λk1 , . . . , λkn ) ,
eD = diag(eλ1 , . . . , eλn ) .
La exponencial de matrices verifica propiedades que la asemejan a la exponencial ordinaria,
eA
−1
eB+C = eB eC si BC = CB .
= e−A ,
Si P es una matriz regular, tenemos que
A = P BP −1 ,
A2 = P BP −1 P BP −1 = P B 2 P −1 , . . . ,
Ak = P B k P −1 .
Por tanto, la exponencial es compatible con los cambios de base,
eA = P eB P −1 .
Teorema 4.1 El sistema homogéneo X 0 = AX tiene por matriz fundamental W (t) = eAt . La solución
general del sistema es X(t) = eAt K y la del problema de valores iniciales es X(t) = eA(t−t0 ) X0 .
Por su parte, la solución general del sistema inhomogéneo X 0 = AX + F (t) es
Z
At
At
X(t) = e K + e
e−At F (t) dt ,
(10)
y la solución del problema de valores iniciales con X(t0 ) = X0 es
X(t) = e
A(t−t0 )
X0 + e
At
Z
t
e−As F (s) ds .
(11)
t0
Cuando un autovalor se repite con multiplicidad algebraica mλ , puede ocurrir que la dimensión del
subespacio (multiplicidad geométrica), gλ , que generan sus autovectores sea distinta,mλ ≥ gλ .
En el caso de dimensión dos, según los valores que tomen los autovalores, λ, µ, de A:
λ 6= µ: A es diagonalizable y la matriz del cambio de base la definen dos autovectores: P = (vλ , vµ ).
λ = µ y existen dos autovectores vλ,1 , vλ,2 linealmente independientes: A es diagonal.
λ = µ y existe sólo un autovector vλ , linealmente independiente: A no es diagonalizable, pero se
reduce a la forma de Jordan, J, con matriz de cambio de base P = (wλ , vλ ), con vλ = (A − λI)wλ ,
λ 0
λ 0
0 0
1 0
J=
=
+
= D + N , eAt =
eλt .
1 λ
0 λ
1 0
t 1
λ = a + ib, µ = λ̄ = a − ib, b > 0: Es preciso tomar autovectores conjugados P = (vλ , vλ ).
W (t) = P eJt = eAt P es también una matriz fundamental del sistema lineal y W −1 (t) = e−Jt P −1 . Y
como P = (vλ , vµ ), en el caso diagonalizable, podemos escribir la solución general como
X(t) = k1 eλt vλ + k2 eµt vµ .
Y en el caso no diagonalizable, P = (wλ , vλ ),
X(t) = (k1 wλ + (k1 t + k2 )vλ ) eλt .
En el caso de dimensión tres, según los valores que tomen los autovalores, λ, µ, ν de la matriz A:
λ, µ, ν distintos: A es diagonalizable y la matriz del cambio de base es P = (vλ , vµ , vν ).
λ doble, µ y hay autovectores vλ,1 , vλ,2 linealmente independientes: A es diagonal y P = (vλ1 , vλ2 , vµ ).
3
λ doble, µ y existe sólo un autovector vλ , linealmente independiente: A no es diagonalizable, pero
se reduce a la forma de Jordan, J, y la matriz del cambio de base la define P = (wλ , vλ , vν ), donde
wλ verifica vλ = (A − λI)wλ ,

 λt


e
0
0
λ 0 0
J =  1 λ 0  , eAt =  teλt eλt 0  .
0 0 ν
0
0 eνt
λ triple y existen tres autovectores linealmente independientes. Se reduce al primer caso.
λ triple y existen dos autovectores linealmente independientes. Se reduce al tercer caso.
λ triple y existe un autovector linealmente independiente: A no es diagonalizable, la matriz del
cambio de base es P = (uλ , wλ , vλ ), donde uλ verifica wλ = (A − λI)uλ 6= 0, vλ = (A − λI)wλ 6= 0.




λ 0 0
1
0 0
J =  1 λ 0  , eAt =  t
1 0  eλt .
2
0 1 λ
t /2 t 1
λ = a + ib, λ̄ = a − ib, ν, b > 0: Es preciso tomar autovectores conjugados vλ , vλ ), aparte de vν .
5.
Ecuaciones lineales de orden superior
Sean x∗1 (t), . . . , x∗n (t) n soluciones de la ecuación

x∗1 (t)
 x∗1 0 (t)

W (t) = 
..

.
n−1)
x∗ 1
(t)
homogénea, xn) + a1 (t)xn−1) + · · · + an (t)x = 0,

···
x∗n (t)
0
···
x∗n (t) 

(12)
 ,
..

.
···
· · · x∗ nn−1) (t)
que será una matriz fundamental del sistema si su determinante, que denominaremos wronskiano, es
distinto de cero para algún valor de t, con lo cual la solución general de la ecuación es
x(t) = k1 x∗1 (t) + · · · + kn x∗n (t) .
(13)
Si x1 (t) es una solución de la ecuación lineal homogénea, entonces el cambio x = x1 y permite reducir
una unidad el orden de la correspondiente ecuación para y.
6.
Ecuaciones con coeficientes constantes
Centrémosnos en el caso de la ecuación de coeficientes constantes, xn) + a1 xn−1) + · · · + an x = f (t).
La ecuación caracterı́stica, λn + a1 λn−1) + · · · + an = 0, proporciona n autovalores λ1 , . . . , λn y si
todos son distintos, la solución general de la ecuación es
x(t) = k1 eλ1 t + · · · + kn eλn t .
(14)
λt
λ̄t
at
at
Para el caso de autovalores complejos, λ = a+ib, λ̄ = a−ib, b > 0, ke + k̄e = ce cos bt+de sin bt.
Si λ es un autovalor de multiplicidad g, las soluciones son de la forma (k1 tg−1 + · · · + kg−1 t + kg )eλt .
Para resolver la ecuación inhomogénea, según la forma que tenga la función f (t):
f (t) = eat pm (t), con pm (t) polinomio de grado m: Si a no es autovalor, probar solución particular
xp (t) = eat qm (t), con qm (t) un polinomio de grado m. Si a es autovalor de multiplicidad g, probar
con xp (t) = tg eat qm (t).
f (t) = eat pm (t) cos bt + p̃m (t) sin bt , con pm (t), p̃m (t) polinomios de grado m: Si
a + ib no
es autovalor, probar una solución particular xp (t) = eat qm (t) cos bt + q̃m (t) sin bt con qm (t),
q̃m (t) polinomios de grado m. Si a + ib es autovalor de multiplicidad g, probar con xp (t) =
tg eat qm (t) cos bt + q̃m (t) sin bt .
Las ecuaciones de Euler, tn xn) + a1 tn−1 xn−1) + · · · + an−1 tx0 + an x = 0 , t > 0, si realizamos el
cambio de variable independiente t = es ⇔ s = ln t, se reducen a ecuaciones con coeficientes constantes.
4