Teor´ıa Electromagnética Ayudant´ıa 6

Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenierı́a
Teorı́a Electromagnética
Ayudantı́a 6
0.1.
Impedancia de entrada y Ondas Estacionarias
Anteriormente se determinó la impedancia de entrada en una lı́nea de transmisión, a una
distancia l de la carga. En general
ZL + Z0 tanhγl
Zin = Z0
Z0 + ZL tanhγl
√
Para una lı́nea no disipativa, γ = iβ = iw LC, de forma que
tanh γl =
sinh iβl
sin βl
sinh γl
=
=i
cosh γl
cosh iβl
cos βl
entonces
Zin = Z0
ZL + iZ0 tanβl
Z0 + iZL tanβl
Ω
Es una función perı́odica en l. Los máximos y mı́nimos de Zin se producen en
Vmax
Ω
Imin
Vmin
Ω
(Zin )min =
Imax
El voltaje y la corriente en una lı́nea no disipativa tienen la forma
(Zin )max =
V = V + eiβl + V − e−iβl
V = V + eiβl + ΓL e−iβl
y
I=
V + iβl
e − ΓL e−iβl
Z0
Cuya amplitud está dada por
| V |=| V + | 1 + ΓL e−2iβl + Γ∗L e2iβl + | ΓL |2
| I |=|
1/2
1/2
V+
| 1 − ΓL e−2iβl − Γ∗L e2iβl + | ΓL |2
Z0
Si ΓL =| ΓL | eiϑL , entonces
| V |=| V + | 1+ | ΓL | 2 cos (2βl − ϑL ) + | ΓL |2
1/2
1/2
|V+ |
1− | ΓL | 2 cos (2βl − ϑL ) + | ΓL |2
| I |=
Z0
De aquı́ es claro que el máximo del voltaje y el mı́nimo de la corriente ocurren cuando
2βl = ϑL , en este caso
| V |max =| V + | 1 + 2 | ΓL | + | ΓL |2
| I |min =
1/2
=| V + | (1+ | ΓL |)
1/2 | V + |
|V+ |
1 − 2 | ΓL | + | ΓL |2
=
(1− | ΓL |)
Z0
Z0
Luego
(Zin )max
Vmax
= Z0
=
Imax
1+ | ΓL |
1− | ΓL |
Ω
Del mismo modo, es fácil ver que el mı́nimo del voltaje y el máximo de la corriente están
dados por
| V |min =| V + | (1− | ΓL |)
| I |máx =
|V+ |
(1+ | ΓL |)
Z0
y ocurren cuando
2βl − ϑL = π
Es decir
l=
π
ϑL
+
2β 2β
Es decir, a una distancia de π/2β de los puntos en donde el voltaje es máximo y la corriente
mı́nima. Esta distancia, en términos de la longitud de onda es
π
πv
πλf
λ
=
=
=
2β
2w
2 × 2πf
4
Luego, la impedancia de entrada es mı́nima a distancia λ/4 de donde es máxima, y está dada
por
(Zin )max
Vmin
=
= Z0
Imax
1 − ΓL
1 + ΓL
Ω
Se define la Razón de onda estacionaria como
S=
Vmax
Imax
1+ | ΓL |
=
=
Vmin
Imin
1− | ΓL |
En términos de esta razón, la impedancia máxima y mı́nima se escribe
(Zin )max = SZ0 Ω
2
(Zin )min =
Z0
Ω
S
En particular, si la impedancia de la carga es real, entonces ΓL también, y se tiene
| ΓL |=|
ZL − Z0
|
ZL + Z0
Si ZL > Z0 , entonces
S=
1+ | ΓL |
ZL
=
1− | ΓL |
Z0
S=
1+ | ΓL |
Z0
=
1− | ΓL |
ZL
Si ZL < Z0 , entonces
De esta forma, las impedancias máximas y mı́nimas en la lı́nea dependerán de cual es mayor
entre Z0 y ZL
ZL
para ZL > Z0
(Zin )max =
Z02 /ZL para ZL < Z0
2
Z0 /ZL para ZL > Z0
(Zin )max =
ZL
para ZL < Z0
3
Problema
Se tiene una lı́nea de impedancia caracterı́stica Z0 = 50 Ω conectada a una carga puramente
resistiva ZL = 80 Ω en régimen sinusoidal permanente. Si el voltaje en la carga es VL = 5 V,
encontrar ΓL , S, y la impedancia de entrada Zin para l = λ/4, λ/2, 3λ/8, Vmáx , Vmin , Imáx , Imin
Solución
El coeficiente de reflexión es, simplemente
ZL − Z0
= 0,230769
ZL + Z0
Con esto, la razón de onda estacionaria es
ΓL =
S=
1+ | ΓL |
= 1,6
1− | ΓL |
La impedancia de entrada a una distancia l de la carga está dada por
ZL + iZ0 tanβl
Zin (l) = Z0
Ω
Z0 + iZL tanβl
Usando que β =
w
v
2πf
λf
=
=
2π
,
λ
se obtiene
Zin (λ/4) = 31,25Ω
Zin (λ/2) = 80
Zin (3λ/8) = 44,9438 + i21,9101 = 50ei25,9892
El voltaje mı́nimo en la lı́nea está dado por
Vmin =
VL
= 3,125
S
y el voltaje máximo
Vmáx = SVmı́n=5
La corriente mı́nima es
Imı́n=IL = VL =0,0625
ZL
y la corriente máxima
Imáx = SIL = 0,1
4
Los siguientes gráficos son para esta lı́nea operando con señales de longitud de onda λ = 1
m
5
0.2.
Carga en cortocircuito
Un caso muy interesante es el que ocurre cuando en el extremo de la lı́nea hay un cortocircuito. En esta situación, ZL = 0 y la impedancia de entrada a una distancia l del cortocircuito
es
0 + iZ0 tan βl
= iZ0 tan βl
Zin (l) = Z0
Z0 + i0
Notar que el único valor real que puede tomar es Zin = 0 Ω, en todos los demás casos es un
imaginario puro. En efecto
2π λ
Zin (λ/8) = iZ0 tan
= iZ0 Ω
λ 8
2π λ
Zin (λ/4) = iZ0 tan
= i∞Ω
λ 4
2π 3λ
Zin (3λ/8) = iZ0 tan
= −iZ0 Ω
λ 8
2π λ
Zin (λ/2) = iZ0 tan
= 0Ω
λ 2
El siguiente es un gráfico para Zin en el rango 0 ≤ l ≤ λ, considerando Z0 = 1
La impedancia en la lı́nea toma cualquier valor de impedancia inductiva o capacitiva. De
esta forma, es posible reemplazar una inductancia o un condensador por un cortocircuito!. Este
tipo de adaptadores se utiliza en lı́neas de frecuencias sobre los 100 Mhz, donde la longitud de
los adaptadores en cortocircuito es práctica
6
0.3.
El transformador de λ/4
Recordemos nuevamente la impedancia de entrada de una lı́nea no disipativa, a una distancia
l de la carga
ZL + iZ0 tan βl
Zin = Z0
Z0 + iZL tan βl
Cuando l = λ/4, y recordando que β = 2π/λ se obtiene la siguiente impedancia
Z2
ZL + iZ0 tan π/2
= 0
Zin (λ/4) = Z0
Z0 + iZL tan π/2
ZL
Zin (λ/4) = Z0
Z0
ZL
Ω
Entonces una lı́nea de impedancia caracterı́sitca Z0 de longitud λ/4 puede ser utilizada
como lazo de unión cuando se requiere conectar una lı́nea de transmisión de alta impedancia
con una carga ZL de baja impedancia, o viceversa. Notar que el transformador de λ/4 funciona
para una determinada frecuencia de operación
7
0.4.
Solución gráfica para lı́neas sin pérdidas: La carta
de Smith
Los problemas con lı́neas de transmisión implican usualmente manipular una buena cantidad de números complejos, haciendo que el tiempo y el esfuerzo necesario para encontrar
algunos resultados sea considerable. Para ello fue necesario desarrollar herramientas gráficas
para resolver este tipo de problemas de forma más sencilla, sin perder exactitud. Antes de la
aparición de computadoras digitales, la solución de los problemas de lı́neas de transmisión era
hecha principalmente con una herramienta gráfica conocida como la carta de Smith 1 . La carta
de Smith es un gráfico polar, que permite determinar rápidamente el coeficiente de reflexión y
la razón de onda estacionaria para una lı́nea de impedancia caracterı́stica Z0 conectada a una
carga de impedancia ZL
Figura 1: En la figura se muestra una carta de Smith
En la carta de Smith, una impedancia es gráficada como una impedancia normalizada,
es decir
z=
R + iX
Z
=
= r + ix
Z0
Z0
la parte real de la impedancia, r, está definida por cı́rculos en el diagrama, mientras que la
parte imaginaria x está definida por arcos circulares. Una impedancia normalizada en particular
estará determinada por la itersección de algún circulo con un arco. Por ejemplo, en la figura
uno puede encontrar el cı́rculo asociado a r = 1, e intersectarlo con el arco asociado a jx = j
en el punto z. Este punto de intersección corresponde a una impedancia de
1
P.H Smith, ”Transmission line Calculator”, Electronics, 12, Enero 1939
8
Z = Z0 (1 + j)
Ası́, si Z0 = 50Ω, entonces el punto de la figura tiene asociada una impedancia de
Z = 50 + j50
El coeficiente de reflexión asociado a z es graficado en forma polar, es decir ΓL =| ΓL | eiφ .
Como | ΓL |< 1, toda la información estará contenida en el cı́rculo unitario
La distancia del punto z al centro de la carga corresponde a | ΓL |, que puede ser leido en la
escala de la lı́nea horizontal que atraviesa el centro de la carta. La fase φ es leı́da en la escala
angular del cı́rculo exterior a la carta. La relación básica en la cual se basa la carta de Smith
es la siguiente
ZL − Z0
ZL + Z0
Notar que en términos de la impedancia normalizada, z = ZL /Z0
ΓL =
z−1
z+1
ΓL =
o, equivalentemente
1 + ΓL
1 − ΓL
Escribiendo el coeficiente de reflexión en términos de su parte real e imaginaria
z=
ΓL = Γr + iΓi
se obtiene
z = r + ix =
1 + Γr + iΓi
1 − Γr − iΓi
Igualando la parte real se obtiene
r=
1 − Γ2r − Γ2i
(1 − Γr )2 + Γ2i
y lo mismo para la parte imaginaria
x=
2Γi
(1 − Γr )2 + Γ2i
9
A partir de esto, es posible demostrar las siguientes igualdades
La primera de ella describe una familia de cı́rculos, para cada valor de la resistencia normalizada r se obtiene un cı́rculo. Por ejemplo, el cı́rculo asociado a r = 0 tiene radio 1 y
está centrado en Γr = 0, Γi = 0. El centro de este cı́rculo es el origen de la carta de Smith,
esto concuerda con el hecho de que una carga de reactancia pura tiene asociada un coeficiente
de reflexión igual a 1 en magnitud. Por otro lado, si r = ∞ , entonces z = ∞ y tenemos
ΓL = 1 + j0. El cı́rculo descrito por r = ∞ tiene cero radio y su centro se ubica en el punto
Γr = 1 y Γi = 0, tal cual debe ser!. Otro ejemplo, el cı́rculo asociado a r = 1 tiene radio 0.5 y
origen en Γr = 0,5 y Γi = 0. La siguiente figura muestra los cı́rculos para r = 2, r = 1 y r = 0,5
todos tienen su centro en el eje Γr y pasan por el punto ΓL = 1 + i0. La segunda ecuación
encontrada también representa una familia de cı́rculos asociada para cada valor de la reactancia
normalizada x. Si x = ∞, entonces z = ∞ y ΓL = 1 + i0 nuevamente. El cı́rculo descrito por
x = ∞ tiene cero radio y su centro es el punto Γr = 1, Γi = 0. Si x = 1, entonces el cı́rculo
asociado está centrado en ΓL = 1 + i1 y tiene radio 1. Sólo un cuarto de este cı́rculo pertenece
a la región ΓL = 1, como se muestra en la siguiente figura, además de los cı́rculos asociados a
otros valores de x
10
Ahora resulta evidente el porqué normalizamos la impedancia de la lı́nea ZL , es decir
z=
ZL
= r + ix
Z0
Simplemente localizamos los cı́rculos asociados con r y x, y luego la intersección de ellos
tendrá asociado un cierto coeficiente de reflexión. Para ello es necesario medir la distancia radial
al origen a la intersección de ambos cı́rculos.
Esta distancia al origen puede ser medida con un compás, y la lı́nea horizontal graduada en
el extremo inferior de la carta ayuda a calcularlo al poner el compás sobre ella. El ángulo de
ΓL , (φ) es medido en el sentido contrareloj, con respecto al eje Γr . El ángulo es indicado ( en
grados) en la circunferencia exterior de la carta. La lı́nea recta que une el origen con el punto encontrado se debe extender para alcanzar este perı́metro y ası́ obtener fácilmente el ángulo φ.
Ejemplo
Para una carga de ZL = 25 + i50 en una lı́nea de transmisión de impedancia caracterı́stica
Z0 = 50 Ω, se le asocia una impedancia normalizada de z = 0,5 + i, que corresponde al punto
A en la figura (intersección de los cı́rculos asociados a r = 0,5 y x = 1). De la carta se puede
leer aproximadamente que el coeficiente de transmisión tiene módulo 0.62 y fase φ = 83
11
0.5.
Resumen de algunas propiedades de la carta de Smith
Todos los puntos en el eje horizontal corresponden a impedancias puramente reales
Todos los puntos sobre el cı́rculo que rodea la carta corresponden a impedancias puramente
imaginarias
El punto en el extremo derecho de la carta corresponde a un circuito abierto (llamado O)
El punto en el extremo exterior corresponde a un cortocircuito (llamado S)
El centro de la carta (llamado M ) tiene un coeficiente de reflexión igual a cero, y corresponde
al caso de una carga acoplada ( z= 1)
Los puntos en la mitad inferior de la carta corresponden a cargas con reactancia capacitiva (
parte imaginaria negativa)
Puntos en la mitad superior de la carta corresponden a cargas con reactancia inductiva (parte
imaginaria positiva)
La longitud de la lı́nea recta que une el centro de la carta con un punto en la carta representa
la mangitud del coeficiente de reflexión , siendo igual a 1 en el cı́rculo del borde. La fase del
coeficiente de reflexión está dado en la escala en el borde de la carta
0.6.
Medición de distancias en la lı́nea
La carta de Smith es completada al agregar una segunda escala sobre el perı́metro que
permite obtener distancias a lo largo de la lı́nea. Éstas distancias se obtienen en unidades de la
longitud de onda. No es tan obvio leer esta escala, ası́ que es bueno ver cómo se obtiene. Sea el
voltaje en la lı́nea a una distancia l de la carga
Vl = V0+ eiβl + ΓL e−iβl
y la corriente
I(l) =
V0+ iβl
e − ΓL e−iβl
Z0
luego, la impedancia de entrada (normalizada) a distancia l de la carga es
zin =
1 Vl
eiβl + ΓL e−iβl
= iβl
Z0 Il
e − ΓL e−iβl
1 + ΓL e−i2βl
1+ | ΓL | ei(φ−2βl)
zin =
=
1 − ΓL e−i2βl
1− | ΓL | ei(φ−2βl)
Notar que se verifica que en l = 0
1 + ΓL
ZL
=
1 − ΓL
Z0
como debe ser!. Entonces, la relación obtenida anteriormente nos dice que para encontrar
la impedancia de entrada (normalizada) a distancia l de la carga, simplemente evaluamos
zin (0) =
zin =
1+Γ
1−Γ
donde hemos reemplazado el coeficiente de reflexión de la carga por Γ = ΓL e−2iβl . Es decir,
disminuı́mos la fase de ΓL en 2βl radianes, a medida que nos movemos desde la carga hacia
la entrada de la lı́nea. Sólo el ángulo de Γ cambia, su magnitud permanece constante. De esta
forma, cuando nos movemos desde la carga zL hacia la impedancia de entrada de la lı́nea, nos
12
movemos una distancia l hacia el generador, o equivalentemente recorremos un ángulo de 2βl en
el sentido horario en la carta de Smith. Debido a que la magnitud de Γ permanece constante, el
movimiento hacia la fuente se realiza sobre un cı́rculo de radio constante. Una vuelta alrededor
de la carta equivale a un cambio de π en βl, o equivalentemente, cuando l cambia en media
longitud de onda. Esto concuerda con el resultado obtenido previamente, de que en una lı́nea
sin pérdidas, la impedancia de entrada a distancia λ/2 de la carga es igual a la impedancia de
la carga.
Ejemplo (que vale más que mil palabras)
Consideremos nuevamente una carga de impedancia ZL = 25 + i50 en un cable coaxial sin
pérdidas de 50 Ω. El largo de la lı́nea es 60 cm, y la frecuencia de operación es tal que la
longitud de onda es de 2 m. Deseamos encontrar la impedancia de entrada
Para ello nuevamente consideramos la impedancia normalizada de la carga
zL = 0,5 + i1
Al cual le corresponde el punto A de la figura (el mismo del ejemplo anterior)
A esta impedancia de carga se le asocia un coeficiente de reflexión
ΓL = 0,62∠82
Recordar que la magnitud puede ser obtenida con un compás, mientras que la fase es indicada
en la figura en la intersección de la lı́nea recta que une el origen con el punto A (en rojo) con
la primera escala en el borde de la carta. Además, se obtiene una lectura de 0.135 en la escala
exterior, que está en términos de la longitud de onda. El largo de la lı́nea, en términos de la
longitud de onda es
l
0,6
=
= 0,3
λ
2
Entonces hay una distancia de 0,3 λ entre la carga y la entrada de la lı́nea. Con esto podemos
encontrar zin moviéndonos alrededor del cı́rculo | ΓL |= 0,62 en sentido horario, hasta obtener
una lectura de 0,135 + 0,3 = 0,435 (longitudes de onda). Esto se aprecia en la siguiente figura
13
El punto asociado a la impedancia de entrada es entonces B, cuya impedancia se puede leer
de la carta de Smith
zin = 0,28 − j0,4
Recordando que ésta es una impedancia normalizada
Zin = 50zin = 14 − i20
Un cálculo analı́tico detallado entrega
Zin = 13,7 − i20,2
14
Problema
En una tarjeta de circuito impreso de alta frecuencia 2, 4 Ghz, con dieléctrico r = 4 de 1,5 mm
de espesor, se debe diseñar una lı́nea de transmisión de placas paralelas de 20 cm de largo, de
tal forma de alimentar, sin que se produzca onda estacionaria, un circuito paralelo formado por
la impedancia de entrada de un transistor (ZL1 = 31,12 − i33,88) y la entrada de una lı́nea de
75 Ω de 15 cm de largo con d = 2,4 que alimenta una antena de impedancia ZL2 = 120 + i90.
Determine los parámetros de la lı́nea requerida y encuentre la impedancia de entrada del extremo de alimentación (transmisor) de la lı́nea por Ud diseñada
Solución
La situación es la siguiente
La lı́nea L2 posee una impedancia caracterı́stica Z02 = 70 Ω. Ası́, la carga (que representa
la antena) en el extremo de la lı́nea L2 está caracterizada por una impedancia normalizada
zL2 =
120 + i90
= 1,6 + i1,2
75
En el diagrama de Smith se muestra marcado en rojo
Para determinar la longitud de onda en esta lı́nea, podemos usar el hecho de que la velocidad
de propagación en ella es de
c
3 × 108
v2 = √
= √
= 1,9365 × 108
2,4
2,4
Ası́, la longitud de onda quedará determinada por v2 y la frecuencia de operación
λ=
v2
1,9365 × 108
=
= 0,0807
f
2,4 × 109
Es decir, λ = 8,07 cm. El largo de la lı́nea, en términos de longitudes de onda es
15
l2
15
=
= 1,8587
λ
8,07
Ası́, para determinar la impedancia de entrada de la lı́nea L2 , nos desplazamos desde la
antena al extremo de la lı́nea que se encuentra unido al circuito impreso. En la carta de Smith,
se recorre una distancia en el sentido horario de 1.8587 longitudes de onda. Esto equivale a
recorrer una distancia de 0.3586 longitudes de onda (recordar que una vuelta completa equivale
a 0.5 longitud de onda, ası́ 3 vueltas completas equivalen a 1.5 longitudes de onda). La distancia
relevante es entonces 1.8587-1.5 = 0.3586. Notar que la ubicación de zL2 marca una lectura
inicial de 0.195
De esta forma, se debe recorrer la carta de Smith sobre el cı́rculo al que pertenece zL2 hasta
haber recorrido 0.3586 longitudes de onda. Al hacer esto, se obtiene el punto que se muestra
en la siguiente figura
La impedancia asociada a este punto es
zin2 = 0,4 + i0,25
Zin2 = 30 + i18,75
Ası́, desde el punto de vista de la lı́nea impresa, esta se encuentra conectada a dos impedancias en paralelo, dadas por
Zin1 = 31,12 − i33,88
Zin2 = 30 + i18,75
Ambas juntas equivalen a una impedancia equivalente
ZL =
Zin1 Zin2
= 25,8383 − i0,68661
Zin1 + Zin2
16
Para que no existan ondas estacionarias en el circuito impreso, esta impedancia debe ser
igual a la impedancia caracterı́stica de la lı́nea. Si R, L, C son los parámetros distribuı́dos del
circuito impreso (supondremos que el dieléctrico es perfecto, de forma que G = 0), entonces
r
R + iwL
Z0 =
= 25,8383 − i0,68661
iwC
Es decir
wL
R
−i
= (Zin )2 = 667,1463 − i35,482
wC
wC
Ası́
L
= 667,146
C
R
= 35,482
wC
Además, la velocidad de propagación en la lı́nea es
c
1
vL = √ = 1,5 × 108 = √
4
LC
De aquı́
1
LC
Con esto es posible obtener el valor necesario para C
1,5 × 108
2
=
1
= 667,1463
C 2 (1,5 × 108 )2
Ası́
C = 2,581 × 10−10 F/m
Utilizando que la capacitancia por unidad de largo de una lı́nea de placas paralelas es
d W
d
donde W es el ancho, y d la separación, que nos es dada d = 1,5 × 10−3 m. Se obtiene
C=
4 × 8,84 × 10−12 W
= 2,581 × 10−10 F/m
1,5 × 10−3
El ancho necesario debe ser entonces
C=
W = 1,09 × 10−2 m = 1,09cm
De la condición para R/wC, se despeja la resistencia por unidad de largo necesaria
R = 35,482 × 2π2,4 × 109 × 2,581 × 10−10
R = 138,0979Ω/m
Además, la resistencia para frecuencias altas de una lı́nea de placas paralelas está dada por
√
πf µ0
R= √
σc W
17
luego
r
πf µ0
= 138,0979 × 0,0109 = 1,505
σc
Se obtiene la conductividad necesaria de las placas
σc =
πf µ0
= 4183,097S/m
1,5052
Finalmente, el diseño para el circuito impreso es como sigue
18
Problema
Un transmisor de F M en la banda de 104,5 Mhz alimenta una lı́nea coaxial de 50 Ω de 10 metros
de largo para alimentar dos antenas dipolos de media onda, con el objeto de tener polarización
horizontal y vertical, para una mejor cobertura. Cada antena, cuya impedancia es ZA = 73+i83
Ω está conectada a un cable coaxial de 50 Ω. En el extremo opuesto estos cables están conectados en paralelo a la lı́nea principal de 10 metros. Determine la longitud en metros de estos
cables de tal forma que el acoplamiento con la lı́nea principal sea perfecto y no exista onda
estacionaria hacia el transmisor. Se debe tener en cuenta que para tener un acceso cómodo a la
instalación, uno de los cables no debe ser menor que 3 metros, y el otro no menor que 5 metros.
Considere que todas las lı́neas coaxiales son de buena calidad con dieléctrico de teflón (r = 2,1)
Solución
La situación es la siguiente
Para que no existan ondas estacionarias en la lı́nea principal, es necesario que
Zin = Z0 = 50Ω
En ambos cables coaxiales (L1 y L2 ), la velocidad de propagación está dada por
c
= 2,07 × 108 m/s
v=√
2,1
y la longitud de onda es
λ=
v
2,07 × 108 m/s
=
= 1,98m
f
104,5 × 106
La impedancia normalizada de cada antena referida a los cables coaxiales es
73 + i83
= 1,46 + i1,66
50
o, equivalente, una admitancia normalizada dada por
za =
ya =
1
= 0,29873 − i0,33966
za
La cual se ubica en el diagrama de Smith (en rojo)
19
Podemos escoger los largos de las lı́neas de forma que sus admitancias de entrada sean de
la forma
y1 = 0,5 + ib
y2 = 0,5 − ib
Notar que ası́ la admitancia de entrada equivalente será
yin = y1 + y2 = 1
y entonces
zin = 1
lo que significa que la lı́nea estará adaptada. En la siguiente figura se muestra el cı́rculo al
cual pertenece ya , y se notan 2 intersecciones con el circulo asociado a la parte real igual a 0.5
Estas son
y1 = 0,5 + i0,875308
y2 = 0,5 − i0,875308
La admitancia y1 se obtiene a una distancia ( en longitudes de onda)
d1 = 0,181985 + n1 0,5
y la admitancia y2 se obtiene a una distancia (en longitudes de onda)
d2 = 0,430515 + n2 0,5
donde n1 y n2 son números enteros. Tomemos el cable de admitancia y1 como el más corto,
el que debe cumplir con ser mayor a 3 metros. Recordando que λ = 1,98 m, podemos tomar
n1 = 3, de forma que
L1 = (0,181985 + 1,5) 1,98 = 3,3303m
El cable más largo, cuya longitud debe ser no menor a 5 metros, puede ser obtenido considerando n2 = 5
L2 = (0,430515 + 0,25) 1,98 = 5,8024m
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