Curvas Horizontales y Verticales

CURVAS HORIZONTALES: CIRCULARES, COMPUESTAS, EN "S",
DE TRANSICIÓN, ESPIRAL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Elementos de las curvas simples.
Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI
inaccesible, por un punto obligado, cuando hay obstáculos.
Curvas compuestas. Teoría y cálculo.
Curvas en S.
Curvas de transición. Teoría.
Curvas espirales. Curva simple con espirales simétricas. En curvas compuestas.
Formulario de la parábola cúbica empleada en caminos y la curva compuesta empleada
en ferrocarriles.
Clotoide. Teoría y cálculo.
CURVAS VERTICALES
1.
2.
Solución de la curva vertical mediante la y=kx2.
Solución de la curva vertical, mediante la fórmula de variación de pendiente.
1.
ELEMENTOS DE LAS CURVAS SIMPLES
1.1
Generalidades
Curva es el lugar geométrico de todos los puntos que se van apartando o desviando de la
dirección recta sin formar ángulos.
La necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple propósitos muy diversos, una curva puede
formar parte de una carretera, o el borde de un anden en una esquina o un surco en un campo
agrícola, pero indudablemente el uso mas común de las curvas es en el área de las vías terrestres.
Los tramos rectos de la mayor parte de las vías terrestres de transporte como carreteras, vías férreas,
etc, y de conducción como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos
horizontal y vertical. Una excepción se tiene en el caso de una línea aérea de transmisión eléctrica, en
lo que sólo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres.
En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales.
En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasificación:
a)
b)
c)
d)
Simple
Compuesta
Mixta
Inversa
Simple
Compuesta
Mixta
Inversa
Las curvas de alivio sirven para aminorar el cambio repentino de curvatura en la unión de una
tangente y una curva circular. Una curva espiral es la ideal y usual como curva de alivio. Se tiene la
siguiente clasificación:
Espirales entre tangentes y curva circular.
Espiral doble.
Espiral entre curvas circulares.
Circular
Espiral
Espiral
e
ng
en
te
Ta
nte
Ta
ng
cul
ar
Espiral
Tangente
Cir
Tangente
ula
r
a) Espirales entre tangentes y curva circular
Cir
c
a)
b)
c)
b ) Espiral Doble
Circular
Circular
Espiral
c)
Espiral entre curvas circulares.
1.2 Elementos de una Curva Horizontal Simple
P.S
.S.
T
P.I.
S.T
E
M
P.S.C.
L.C
F
P.C
N
G
C.L
∆
∆
P.T.
2
R
P.S.T
O
En donde:
G
P.I
ST
P.C
P.T.
R
O
L.C
C.L
M
N
F
(C.L).
P.S.C
P.S.S.T
P.S.T
Grado de curva circular.
Punto de inflexión entre dos tangentes que se cortan.
Ángulo de deflexión en el P.I.
Subtangente: porción de tangente P.C P.I ó P.I P.T.
Principio de la curva circular o terminación de la tangente.
Principio de la tangente o terminación de la curva.
Radio de la curva.
Centro de la curva circular.
Longitud total de la curva (arco).
Cuerda Larga (longitud total).
Externa; distancia del P.I al punto medio de la curva (M).
Punto medio de la curva.
Punto medio de la cuerda largo (C.L).
Flecha; distancia del punto M de la curva al punto N de la cuerda larga
Punto sobre curva.
Punto sobre subtangente.
Punto sobre tangente.
1.3 Cálculo de los Elementos Geométricos de la Curva
Circular
Rdio (R):
20
G
=
2πR
360º
B
A
2πR =
G
R=
o
7200
G
7200
=
2πG
R=
1145.92
Grado (G):
si
R=
1145.92
de donde
G
1145.92
G=
R
Subtangente (ST)
Del Triágulo:
O − PC − PI
 ∆  = ST

2 R
∆

2
Tan
ST = RTan
Longitud Total de la Curva (L.C):
L.C.
P.C.
20
∆
G
=
LC
∆
P.T.
G
20 mts
LC =
Cuerda Larga (CL):
Del Triángulo:
PC - PI - N
1
CL
∆
PC
−
N
2
CL


sen  =
=
=
R
R
2R
2
∆

2
CL = 2 Rsen
20∆
G
G
1145.92
G
Del triángulo:
1
CL
CL
 ∆  = PC − N = 2
=

2
ST
2ST
ST
 
cos
PC . PI - N
∆

2
CL = 2 STcos 
Externa (E):
Del Triángulo:
∆ = R

 2  O − PI
cos
O - PC - PI
∆ = R

2 R+ E
por lo tanto cos
pero O-PI=R+E
R
R+E=
∆

2
∆

2
= Rsec
cos
∆ − R

2
E = Rsec


 ∆  − 1
 
2 
E = R sec
E = REXSEC
∆
2
Flecha (F)
Del Triángulo :
O-PC-N
∆ = O−N

R
2
cos
Pero : O-N=R-F
por lo tanto:
∆ = R −F

R
2
cos
∆

2
R − F = Rcos
∆

2
F = R − Rcos


 ∆ 

 2 
F = R 1 − cos
Deflexión por metro (S'):
Por Definición: S =
G
Proporcionalmente
2
P.I.
S
20
=
S´
1
G
S´ =
20
m
G/2=S
P.C
P.T.
G
S´ =
S
20
=
2
20
=
G
40
60´G
40
∆
R
S´ = 1.´5 G
O
NOTA:
Grado de Curvatura.- es el ángulo en el centro de la curva formado por dos radios de circunferencia que limitan un
arco de 20 mts. De la misma.
Generalmente el trazado de las curvas sobre el arco de circunferencia no es practicable; lo acostumbrado es
considerar cuerdas con determinadas longitudes para que estos se confundan con lo arcos.
En una curva cuando el grado es grande el radio es pequeño y viceversa. Para no incurrir en errores que produzcan
discrepancias considerables en longitud, ya que las estaciones y cuerdas unitarias se han establecido de 20 mts,
conviene toma el siguiente criterio:
a)
b)
c)
2.
Usar cuerdas de 20 mts. hasta G=10º
Usar cuerdas de 10 mts. hasta G=20º
Usar cuerdas de 5 mts. hasta G>20º
Cálculo de una cuerda circular por deflexiones y cuerdas
Datos tomados del campo
PI = 15 + 347.83
∆ = 23º27 '
G := 3ºº
V := 60
Km
h
Solución :
1145.92m
R :=
G
R = 381.97mts
∆

2
ST := R⋅ tan
ST = 79.62mts
LC :=
20m⋅ ∆
G
LC = 157.00mts
∆

2
CL := 2 ⋅ R⋅ sin
CL =155.90 mts


 ∆  − 1
 
2 
E := R⋅  sec
E = 8.21mts


 ∆ 

 2 
F := R⋅  1 − cos
F = 8.04mts
'
S := 1.5⋅ G
'
S = 4'5
Cálculo de los kilometrajes (PC y PT)
PC := PI − ST
PT := PC + LC
P.I
S.T
P.C
L.C
P.T
=
=
=
=
=
15 +
15 +
15 +
15 +
15 +
347.83
79.62
268.21
157.00
425.21
NOTA: Los kilometrajes de las cuerdas a cada 20 metros es conveniente tomarlos en números enteros.
P.C= 15+ 268.21
280.00
300.00
320.00
340.00
360.00
380.00
400.00
420.00
P.T = 15 + 425.21
-----------------------------------------
0º 00'
0º53.1'
2º23.1'
3º53.1'
5º23.1'
6º53.1'
8º23.1'
9º53.1
11º23.1'
11º46.5'
S20 mts = 20.00x4.5' =90.0'=1º30' ---(Defexión)
280.00 -- 268.21 = 11.79 mts
S11.79 mts = 11.79 mts
425.21 - 420.00 =5.21 mts
S 5.21=5.21 x 4.5' =23.4' (Subdeflexión)
Comprobación
∆
2
=
23º33´
2
= 11º46.5´
2.1 Trazo de una Curva Circular por Deflexiones y Cuerdas
El trazo por deflexiones desde las tangentes es el método normal y es más usual, siempre y cuado no exista
obstáculo alguno que impida el trazo.
Método:
Con el instrumento emplazado en el P.C (15+268.21), se visa el P.I, con 0º00' en el circulo horizontal. Luego se
gira el ángulo de la subdeflexión (0º53') y se mide la correspondiente distancia (11.79) desde el P.C. hasta la
visual dada por el instrumento (15+280.00)
P.I.
P.C
0º53.1'
15+280.00
11.79 mts
P.T.
15+268.21
A continuación se gira el ángulo de la deflexión siguiente (1º30' o sumado a la anterior 2º 23') y se mide la
distancia (cuerda) correspondiente (20 mts).
P.I.
2º23.1'
20 mts
P.T.
P.C
Desde el punto 1 hasta el punto 2, que es la visual dada por el ángulo 2º23' (15+300.00).
El procedimiento es igual para las demás deflexiones y la última subdeflexión, en la cual su ángulo será igual a
∆/2 (11º46.'5), hasta llegar al P.T (15+425.21).
2.2.
P.I
INACCESIBLE
Ocasionalmente se presenta el problema de no poder llegar al P.I. en forma directa, como sucede en los
siguientes casos:
a)
El P.I. accidentalmente se ubica en alguna andonada u obstáculo que fuera impráctico establecerlo ahí.
b)
Por caer en alguna barranca, río, pantano, ladera, acantilado por ser un lugar bastante lejano y que
fuera impráctico medir las distancias del P.I. al P.C. o al P.T.
Cálculo de una Curva Circular con P.I Inaccesible
P.I.
RÍO
P.A
85º47'
a
50º15'
C
b
c
B
Datos tomados del campo:
v := 60
Km
h
B := 40º12'
º12'
G := 9ºº
C := 50º15'
º15'
Km P.A.= 8+ 314.78
b := 105.42m
Rumbo P.A. - P.I.= N30º 12' E
c := 80.23m
P. A= 85º 47'
P. A= (100.00, 100.00)
Nota:
La posición de las tangentes P.A P.I y P.I-C debe obtenerse por medio de una poligonal que las una; las condiciones
del terreno determinaran el trazado de la poligonal.
Calculo de los Elementos; a, α, β, γ.
Del triángulo P.A- B-C
a=?
P.A.
γ=?
b = 105.42
α=?
B
b := 105.42m
c := 80.23m
β := 17.0909252deg
α := 180deg − 40.0712deg
α = 139.929 deg
a := b + c − 2 ⋅ b ⋅ c⋅ cos( α )
2
2
a :=
2
b + c − 2 ⋅ b ⋅ c⋅ cos( α )
2
2
a = 174.628 m
sin( α )
a
:=
sin( β )
b
( )
C
β=?
c = 80.23
40º12'
sin( β ) :=
b ⋅ sin( α )
a
sin( β ) = 0.2966605
γ := α + β
γ = 22º56'34''3
Obtención de los Elementos: ∆, d y e
Del triángulo P.A. - P.I. - C.
∆
P.I.
d
P.A.
θ
68º31'34
e
27º18'25.1"
a
C
en P.A.:
85º47' − 17º15'26'' = 68º31'34''3
en C:
50º15' − 22º56'34 = 27º18'25''7
θ = 180º − ( 68º31'34'' + 27º18'25'7)
θ = 84º10'03'
∆ = 180º − θ
∆ = 180º − 84º10'03''
∆ = 95º49'57''
sin( 84.054488deg)
174.56
=
sin( 27º18'25''1 )
d
d :=
( 174.56)sin( 27º18'25''1
º18'25''1 )
sin( 84º10'03'')
d = 80.499851
Cálculo del kilómetraje del P.I
Km
+
Km
P.A.= 8+314.78
d=
80.50
P.I. = 8+395.28
El cálculo continua de manera normal con los elementos geométricos de la curva.
R = 127.32mts
∆

2
ST := R⋅ tan
ST = 140.99mts
LC :=
20m⋅ ∆
G
LC = 212.96mts
δ' = 1.5'G = 1.5 ' ( 9 ) = 13.5'
Cálculo del kilometraje P.C. y
P.T.:
P.I. = 8 +
395.28
-ST =
140.99
P.C. = 8 +
254.29
L.C. =
212.96
P.T. = 8 + 467.25
Cálculo de las deflexiones:
P.C. = 8 + 254.29
260.00
280.00
300.00
320.00
340.00
360.00
380.00
400.00
420.00
440.00
460.00
P.T. = 8 + 467.25
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
_________
0º00'
1º17.1'
5º47.1'
10º17.1'
14º47.1'
19º17.1'
23º47.1'
28º17.1'
32º47.1'
37º17.1'
41º47.1'
46º17.1'
47º55.0'
δ' 20=20.00x13.5=270'=4º30'
260.00 - 254.29=5.71m
δ'(5.71)=5.71x13.5'=77.1'=1º17.1'
467.25 - 460= 7.25 m
δ'(7.25) = 7.25x13.5'=97.9'=1º37.9'
Comprobación :
∆
2
:=
95º50'01''
2
= 47º55'01''
El trazo es ideéntico al caso anterior.
2.3.- CALCULO Y TRAZO DE UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE POR UN PUNTO OBLIGADO
Con frecuencia se presenta el caso en que no es posible trazar toda la curva desde un solo punto, ya sea del P.C.
o del P.T.; sino con un punto que puede caer fuera o sobre la misma curva (P.S.C). a continuación se analizará el
caso cuando el punto obligado coincide con la curva.
P.I.
∆
β
α
P
y
R
A
B
∆
X
2
O
Datos de campo:
1) ∆
=
Deflexión
2) P.I - P=l = Distancia
3) α
=
ángulo que forma la tangente con el lado "l"
Deducción del ángulo B:
Del triángulo A - O - P.I
R
180º =
∆
2
+ 90º + α + β
 ∆ + 90º +

2
β := 180ºº −


α
Resolviendo el triángulo P - O -P.I, tenemos:
seny
PI − O
=
senβ
R
Por lo tanto
seny :=
PI − O
R
senβ
Pero también del triángulo O-B-PI, tenemos:
 ∆  = PI − O

R
2
sec 
∆

2
PI − O = Rsec
Por lo tanto
seny =
PI − O
R
∆

 2  sen( β )
Rsec
senβ =
seny =
senβ
∆

2
cos
R
Entonces x se deduce:
β + y + x = 180º
x = 180º − ( β + y)
Una vez obtenido el valor de x, el valor del radio nos lo da la siguiente expresión:
r=
senβ
senx
l
3. CURVAS COMPUESTAS
Existen dos clases de curvas compuestas; las que tienen los centros de las curvas e un solo lado del eje (curvas
compuestas), y las que tienen los centros a cada lado del eje (curvas en S o inversas).
Las curvas compuestas se emplean frecuentemente para adaptar el eje de la vía a la forma del terreno.
Las curvas en S o inversas sólo tienen uso donde se circula a baja velocidad, como en los patios de los ferrocarriles.
El problema fundamental de las curvas inversas esta en el cambio de sobre elevación (peralte) al terminar una y
comenzar otra o sea el paso del P.T al P.C, pues se presenta el fenómeno de torcedura, que en un vehículo chico
sería imperceptible, más no en un camión de varios ejes o en un ferrocarril.
3.1 CURVA COMPUESTA CON CENTRO EN UN SOLO LADO DEL EJE
P.I.
∆
TM
Tm
∆m
∆M
B
C
∆M
RM
A
Rm
∆m
O
Conociendo :Rm, RM, ∆m, ∆M
Encontrar: ∆, TM, Tm
∆ = ∆M + ∆m
Tm =
RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆M
sen∆
TM =
RMVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m
sen∆
Conociendo :∆, Tm, TM,Rm
Encontrar: ∆m,∆M, RM
Tan
1
2
∆M =
Tmsen∆ − RmVERS∆
TM + Tmcos∆ − Rmsen∆
∆m = ∆ − ∆M
RM = Rm +
Tmsen∆ − RmVERS∆
VERS∆M
Conociendo: Rm, RM, Tm, ∆
Encontrar : ∆M,∆m, Tm
Tmsen∆ − RmVERS∆
VERS∆M =
RM − Rm
∆m = ∆ − ∆M
TM =
RMVERS∆ − ( RM − Rm)VERS∆m
sen∆
Conociendo : Rm, RM, ∆, TM
Encontrar : Tm, ∆m, ∆M
VERS∆m =
RMVERS∆ − TMsen∆
RM − Rm
∆M = ∆ − ∆m
Tm =
RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆M
sen∆
Conociendo :∆, Tm, ∆m,Rm
Encontrar: ∆Μ,TM, RM
∆M = ∆ − ∆m
RM = Rm +
Tmsen∆ − RmVERS∆
VERS∆M
TM =
RMVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m
sen∆
Conociendo :∆, TM,RM,∆M
Encontrar: ∆m,Tm, Rm
∆m = ∆M
Rm = RM +
RMsen∆ − TMVERS∆
VERS∆m
Tm =
RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m
sen∆
4.- CURVAS EN "S" O INVERSAS
P.I.
ST1
ST1
G1
O2
R2
C
R2
B
R1
R1
G2
ST2
ST2
O
I2
En donde:
I1
I2
CyT
P
P.I de la curva CP en G1 grados.
P.I. de la curva P.T en G2 grados.
Puntos extremos de la curva en “S” o inversa.
Punto de curva compuesta.
Normas:
I)
El ángulo formado entre la tangente de entrada y la prolongación hacia a tras de la tangente de salida debe
ser igual a la diferencia de ángulos centrales de las dos curvas componentes de la “S”.
II)
La tangente central I1-I2 es común a las dos curvas circulares simples y su longitud debe ser la suma de
las sub tangentes de cada curva simple.
III)
Es conveniente dejar una tangente de 20 mts. Entre cada curva, porque en este tramo sin sobre
elevación, cualquier vehículo se puede enderezar y entrar en el tramo de la curva sin torcerse.
Trazo de las Curvas Compuestas
Una vez calculados los elementos necesarios para el trazo, se prosigue al replanteo en campo o sea la
materialización de estos puntos principales de poyo. Las curvas compuestas se trazan como si fueran curvas
simples sucesivas aplicando la propiedades de las curvas circulares simples.
5.- CURVAS DE TANSICIÓN (ESPIRALES)
Una curva espiral tiene la propiedad de que el vehículo que la recorre con velocidad uniforme, experimenta una
fuerza centrípeta constante o sea proporciona seguridad y comodidad a los ocupantes del vehículo, sin disminuir su
velocidad.
Una curva de transición es aquella cuya proporción de curva aumento gradualmente desde cero hasta la curvatura
central. Este aumento gradual comienza cotar donde se inicia la curva de transición, adoptando su máximo valor al
llegar a la curva central circular, donde se conserva al llegar a la curva central circular, donde se conserva constante
en todo su desarrollo asta el fina de la misma, para volver a disminuir gradualmente en a longitud del otro segmento
de la curva espiral hasta adoptar nuevamente el valor cero al llegar a la tangente de salida.
PI
∆T
Ec
Te
Yc
PSC
LC
Tc
EC
Xc
TL
K
CE
A
Le
CL
Le
B
TL
RC
RC
∆c
TE
p
θe
∆
p
θe
ET
O
Elementos geométricos de las Curvas Espirales (Curva Circular clotoide
Te
Yc
PSC
LC
Tc
EC
Xc
A
Le
TL
K
CL
B
RC
TL
TE
p
θe
∆
p
O
Donde :
P.I
∆T
θe
∆c
φc
φm
T.E
E.C
C.E
E.T.
Rc
Te
Punto de intersección de las tangentes.
Deflecióln total en el P.I.
ángulo total de cada espiral (deflexión de la espiral).
Ángulo central de la curva circular.
Deflexión al E.C. o al C.E (ángulo de la cuerda larga).
Deflexión a cualquier punto “M” de la espiral.
Punto de paso de la tangente a la espiral
Punto de paso de la espiral a circular.
Punto de paso de la curva circulara a la espiral.
Punto de paso de la espiral a la tangente.
Radio de la curva circular.
Distancia del P.I al T.E o al E.T.
∆c
Ec
C.L.
T.L.
T.C.
Xc, Yc
XM, YM
L.c
Le
K,p.
A
Distancia externa de la curva circular.
Cuerda larga al E.C.
Distancia del punto T.E al “A” o Tangente larga).
Distancia del punto “A” al E.C. o (Tangente corta).
Coordenadas del E.C.
Coordenadas de cualquier punto “M” de la espiral.
Longitud de la curva circular.
Longitud total de la espiral (el T.E. al E.C).
Coordenadas del punto “B”.
Punto de intersección de la tangente a la curva circular en el .C con la
tangente primitiva.
Punto donde la curva circular prolongado tiene su radio perpendicular a
la tangente primitiva.
Punto cualquiera de la espiral.
Punto central de la curva.
Grado de la curva circular.
B
M
O
Gc
FORMULARIO :
Rc =
1145.92
Gc
3
Le =
θe =
ψc =
0.0351⋅ V
Rc
Le
Gc
40
θe
3
∆ c = ∆T − 2θe
 θe 

2
CL = 4 ⋅ Rc⋅ sin
Xc = CL⋅ cos ψ c
( )
ó
Le
Xc =
⋅ ( 100 − .003046 ⋅ θe)
100
( )
ó
3
Le
Yc =
⋅ 0.5818⋅ θe − 0.00001266θe
100
Yc = CL⋅ sin ψ c
(
k = Xc − Rc⋅ sin( θe)
p = ψ c − Rc⋅ sinVERS( θe)
TL = Xc − Yc⋅
1
tan( θe)
 ∆T  + k

 2 
Te = ( Rc + p ) ⋅ tan
ψM =
θe⋅ LM
3 ⋅ Le
2
2
TC = ψ c⋅ 
1


 sin( θe) 
LC = 20⋅
∆c
Gc
)
Ejemplo:
Cálculo de los elementos geométricos necesarios para poder trazar la siguiente curva con espirales simétricas de
transición en el campo.
PI := 3000 + 437.95
∆T := 36º45'derecho
º45'derecho
Km
V := 60
h
Gc := 8ºº
Rc :=
1145.92
Gc
Rc = 143.24mts
3
Le :=
0.0351⋅ V
Rc
Le = 52.929mts
Nota: Le siempre es número entero y par
θe :=
ψ c :=
Le
40
⋅ Gc
θe = 10º24'00''
θe
ψ c = 3º28'00''
3
∆ c := ∆T − 2 ⋅ θe
∆ c = 15º57'
 θe 

2
CL := 4 ⋅ Rc⋅ sin
( )
Xc := CL⋅ cos ψ c
CL = 51.93mts
ó
Xc = 51.83mts
( )
Yc := CL⋅ sin ψ c
Le
Xc.1 :=
⋅ ( 100 − .003046 ⋅ θe)
100
Xc.1 = 51.83mts
ó
(
Le
3
Yc.1 :=
⋅ 0.5818⋅ θe − 0.00001266θe
100
Yc = 3.14mts
Yc.1 = 3.14mts
k := Xc − Rc⋅ sin( θe)
k = 25.97mts
p = ψ c − Rc⋅ sinVERS( θe)
p = 0.79mts
sinVERSO = 1 − cos( θe)
)
p := ψ c − Rc⋅ ( 1 − cos( θe) )
TL := Xc −  Yc⋅


TC := ψ c⋅ 
1
1


tan( θe) 


 sin( θe) 


 ∆T  + k
 
 2  
Te := ( Rc + p ) ⋅ tan
TL = 34.72mts
TC = 17.39mts
Te = 73.81mts
LC := 20⋅
∆c
Gc
LC = 39.88mts
d M := 1.5⋅ Gc
ψ M :=
θe
3 ⋅ Le
2
d M = 12'
ψ M = 0.00128205LM
2
TE := PI − Te
CE := EC + LC
EC := TE − Le
ET := CE + Le
Cadenamientos :
PI = 3 + 437.95
Te = 73.81
TE = 3 + 364.14
Le = 52.00
EC = 3 + 416.14
LC39 88
CE = 3 + 456.02
Le = 52.00
ET = 3 + 508.02
LM
TE =
3+364.14
380.00
400.00
LM2
15.86
35.86
LM
EC =
3+416.14
420.00
440.00
LM2
3.86
23.86
LM
CE =
3+456.02
460.00
480.00
500.00
251.54
1285.94
14.90
569.30
LM2
452.00
48.02
28.02
8.02
204304.00
2305.92
785.12
64.32
ET = 3 + 508.02
δ 1 := 3.86⋅ d M
δ 2 := 20.00⋅ d M
δ 3 := 16.02⋅ d M
Comprobación :
 ∆c  := ∆c
 
2
2 
∆c
2
θe
2
= 7º28'
= 3º28'
δ 1 = 46'32
δ 2 = 4º00'
δ 3 = 3º12'24''
7.- CURVA SIMPLE CON ESPIRALES ASIMETRICAS
T.S.T1
X1
T1.
C
A
I
F
d1
D1
Σ
δ1
P.C.C
R
2
R
O
δ2
P.C.C
D2
P.I.
H
P.I.
T
T2
d1.
Donde:
I
Punto de Inflexión.
Σ
Deflexión en el P.I.
S
Deflexión central de la espiral.
T
Tangente
D
Desalojamiento de la curva por la introducción de la espiral.
D=R+d
R
Radio de la curva circular simple.
T.S.T = T + S.T
S.R
Subtangente.
P.C.C
Punto de la curva compuesta (E.C. o C.E.).
X1
Abscisa de la espiral.
B
Elementos Geométricos de una curva simple con Espirales Asimétricos
T.S. T1=CA + AB - IB
X1
C
I
A
B
Pero :
X1
CA = X1-Rsen δ 1=
T1 donde:
De
X1 - T1
T1
R . sen δ 1= X1−
T1
R
X1− T1=R . sen
δ1
R
δ1
y del triángulo O - A -B:
A
B
D1
Σ
2
O
De las figuras siguientes se deduce:
d1 - d2
I
180º − Σ
B
N
M
F
P
I
d1-d2
d1
F
d1-d2
d2
d1
IB II FP
BP II IF
IM = d 1 − d 2 = PN
por lo tanto
IM = PN
Entonces :
I-F-P-B es un rumbo
(
)
por lo tanto
IB = IF = d 1 − d 2 cscΣ
por lo tanto
Σ
TST1 = T1 + D1 ⋅ tan  − d 1 − d 2 cscΣ
2
(
de la misma forma se obtiene TST2
TST2 = TH + HF + FI
Σ
TST2 = T2 + D2 ⋅ tan  − d 1 − d 2 cscΣ
2
 
(
B
)
)
P
CURVAS VERTICALES
Las curvas verticales o parabólica se emplean normalmente para obtener una transición gradual entre línea rasantes o
subrasantes en el plano vertical, en el caso de carreteras y vías férreas. Es decir, para unir líneas de diferente
pendiente.
Cuando las dos pendientes forman una colina la curva se llama “cresta” y cuando forma una depresión se llama
“columpio o valle”.
P.I.V.
P.T.V.
P.C.V.
Cresta
Columpio o valle
P.T.V.
P.C.V.
P.I.V.
Para facilidad de calculo los P.I.V. e localizan de preferencia en estaciones enteras o medias estaciones, siendo a
veces obligado a establecerlos en lugares precisos donde el terreno o el proyecto así lo requiera, sin importar que
sea o no cadenamiento cerrado.
Las pendientes de la tangentes verticales se obtienen dividiendo el desnivel encontrado por las elevaciones de los
puntos extremos de la tangente entre la distancia horizontal de esa tangente. El resultado se expresa en porciento
aproximándolo con dos decimales, a menos que condiciones especiales como igualdades en elevaciones o ligas
requieran de más decimales.
Es positiva la pendiente cuando la elevación del punto extremo delantero es mayor que la de atrás, y negativa en caso
contrario.
4 + 900.00
∆h1= 2130.50
P :=
2130.50 − 2015.50
4900 − 3500
P = 8.214 %
3 + 500.00
∆h1= 2015.50
Proyectadas las tangentes verticales, se procede a calcular las elevaciones de las estaciones a cada 20 mts. Para
calcular las elevaciones a cada 20 mts. de una tangente vertical, es cómodo utilizar el incremento por estación (I), el
que se obtiene dividiendo la pendiente entre cinco, que es el número de estaciones que hay en 100 mts.
I :=
P
5
I = 1.64
incremento por estación
SOLUCIÓN DE LA CURVA VERTICAL, MEDIANTE LA FÓRUMULA
2
Y = kx
La expresión y=Kx2 corresponde a la ecuación de una parábola, que es la recomendada para emplearse en la liga de
dos tangentes verticales, a que propicia el cambio gradual de dirección entre la tangente de entrada y la de salida,
obteniéndose una variación uniforme de la pendiente entre los dos puntos de tangencia (P.C.V. y Bp.t.v.) en que se
intercala la sección de la parábola.
P.T.V D
Yn=d
E
y
P.C.V
A
B
F
X
Xn=n
n = Nº de estaciones de 20 mts.
FE
2
AF
=
CD
2
AC
2
FE =
CD⋅ AF
2
AC
P.I.V
C
Sustituyendo por sus literales, tenemos:
2
x
y=
n
2
⋅ yn =
yn 2
x
2
n
Pero :
yn = d
d
por lo tanto k =
n
y = kx
2
2
De la siguiente figura, tenemos que:
F
X
P.I.V
B
H
G
f
y
E
P.C.V.
P.T.V.
C
D
A
P'
P
L2
AD = DC
BE = ED
BD = 2f
AC = Longitud de la curva
El triángulo ABD, es semejante al triángulo AFC:
Entonces:
BD
FC
=
AD
AC
=
1
2
FC = FG + GC
BD =
1
2
FC =
1
2
( FG + GC)
L2
P=
d
d = Px
x
FG =
GC =
L
2
L
2
( P)
( −P' )
Si :
BD = 2f
BD =
L
4
BD =
( P − P' )
L 
 ( P) − ( P)
2 
L L
2 2
Ordenada media (flecha)
Otra propiedad:
y
=
2
f
 L
2
 
x
y=
(x2)f
 L
2
 
2
2
=
fx
2
2
=
L
4fx
L
2
2
4
Ecuación de la parábola conocida la ordenada media f en función de las pendientes.
 x 2

  =y
L
  
4f
La fórmula para el cálculo de la longitud de la curva es:
2
LCV =
ADp
425
cuando Dp < L
Ejemplo : cálculo de las elevaciones de la siguiente curva vertical, por lo métodos:
2
a ) y=k x
b ) Variación de pendiente
Solución (b)
CADENAMIENTO
PUNTO
ELEVACIÓN
PIV2
17 + 120
1802.32
PIV1
16 + 630
1775.37
490
P( entrada) =
+ 26.95
490
= 0.055
P = 5.5%
26.95
PIV3
17 + 620
1788.82
PIV2
17 + 120
1802.32
500
P( salida ) =
26.95
−13.50
500
= − 0.027
P = − 2.7%
17+120
P.I V2
1802.32
17+620
PIV3 1788.82
16+630
P.I. V1
1775.37
Incremento por estación
5.5
I1 =
= 1.10mts
5
Incremento por estación
2.7
I2 =
= 0.54mts
5
(
)
A = P1 − P2 % = 5.5 − ( −2.7) = 8.2
Datos del Proyecto:
V = 60
km
hr
Tor = 2.5
R = 0.34
Dp =
2
VTPR
+
3.6
V
254f
2
LCV =
ADp
425
=
60⋅ ( 2.5)
3.6
2
=
8.2⋅ 83.36
425
=
2
+
60
254 ⋅ ( 0.34)
56980.895
425
= 41.67 + 41.69 = 83.36
= 134.07mts
134.07
≈
160
∴ L.C.V.= 8 Estaciones (20 mts)
f = ( p − p) ⋅
L
8
= 0.082⋅ 
160 
 1.64
 8 
2
2
x
20 
y1 = 4 ⋅ f⋅   = 4 ⋅ ( 1.64) 
 = 0.10
L
160
 


2
2
x
40 
y2 = 4 ⋅ f⋅   = 4 ⋅ ( 1.64) 
 = 0.41
L
160
 


2
2
x
60 
y3 = 4 ⋅ f⋅   = 4 ⋅ ( 1.64) 
 = 0.92
L
160
 


2
2
x
80 
y4 = 4 ⋅ f⋅   = 4 ⋅ ( 1.64) 
 = 1.64
L
160
 
EST
17+040
17+060
17+080
17+100
17+120
17+140
17+160
17+180
17+200

P%
5.5
PCV
1.10=I1
P.I.V
0.54=I2
P.T.V
-2.7

ELEV. TAN G
y
ELEV. DEFINITIVA
1797.92
1799.02
1800.12
1801.22
1802.32
1801.78
1801.24
1801.70
1800.16
0.00
-0.10
-0.41
-0.92
-1.64
-0.92
-0.41
-0.10
0.00
1792.92
1798.92
1799.71
1800.30
1800.68
1800.86
1800.83
1801.60
1800.16
Solución (a):
ELEVACIÓN
EST
17+040
17+060
17+080
17+100
17+120
17+140
17+160
17+180
17+200
P%
5.5
P.C.V
P.T.V.
-2.7
k =
TAN. PROLONG
e
e2
Y=ke3
ELEVACIÓN DEFINITIVA
1797.92
1799.02
1800.12
1801.22
1802.32
1803.42
1804.52
1805.62
1806.72
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
4
9
16
25
36
49
64
0.00
-0.10
-0.41
-0.92
-1.64
-2.56
-3.69
-5.02
-6.56
1797.92
1798.92
1799.71
1800.30
1800.68
1800.86
1800.83
1800.60
1800.16
1800.16-1806.72
64
-0.1025
Ejemplo :
Calcular las elevaciones de la siguiente cuerva vertical.
Pendiente :
Datos :
V = 90
km
hr
f = 0.305
p ( entrada) = 2.0%
p ( salida ) = −1.0%
TPR = 2.5
PIV = 3 + 420
h ⋅ ( PIV) = 1727.25mts
2
I1 = = 0.4mts
5
1
I2 = = 0.2mts
5
A = 2 − ( −1 ) = 3.0
Dp =
2
VTPR
+
3.6
V
254f
=
90⋅ ( 2.5)
3.6
2
+
90
254 ⋅ ( 0.305)
= 62.5 + 104.56
Dp = 167.06
2
LCV =
ADP
425
=
2167.06
425
2
= 197.00mts
LCV = 10EST⋅ ( 20mts)
km P.C.V. = km PIV-5 Est
P.C.V. = (3+420)-100=3+320
km P.C.V. = km PIV+5 Est
P.C.V. = (3+420)+100=3+520
f = ( p − p) ⋅
L
8
= [ 0.02 − ( 0.01) ] ⋅
=0.03(25)=0.75
200
8
197
≈
200
2
2
x
20 
y1 = 4 ⋅ f⋅   = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ 
 = 3 ⋅ 0.01 = 0.03
L
200
 


2
2
x
40 
y2 = 4 ⋅ f⋅   = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ 
 = 3 ⋅ 0.04 = 0.12
L
200
 


2
2
x
60 
y3 = 4 ⋅ f⋅   = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ 
 = 3 ⋅ 0.09 = 0.27
L
200
 


2
2
x
80 
y4 = 4 ⋅ f⋅   = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ 
 = 3 ⋅ 0.16 = 0.48
L
200
 


2
2
x
100 
y1 = 4 ⋅ f⋅   = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ 
 = 3 ⋅ 0.25 = 0.75
L
200
 
EST
3+320
3+340
3+360
3+380
3+400
3+420
3+440
3+460
3+480
3+500
3+520

P%
2.0
P.C.V
P.I.V
P.T.V
-1.00%

ELEV. TANG
y
ELEV. DEFINITIVA
1725.25
1725.65
1726.05
1726.45
1726.85
1727.25
1727.05
1726.85
1726.65
1726.45
1726.25
0.00
-0.03
-0.12
-0.27
-0.48
-0.75
-0.48
-0.27
-0.12
-0.03
0.00
1725.25
1725.62
1725.93
1726.18
1726.37
1726.50
1726.57
1726.58
1726.53
1726.42
1726.25
2
SOLUCIÓN : y = kx
EST
P%
ELEV. TANG
e
e2
y=ke2
ELEV. DEFINITIVA
3+320
3+340
3+360
3+380
3+400
3+420
3+440
3+460
3+480
3+500
3+520
P.C.V
1725.25
1725.65
1726.05
1726.45
1726.85
1727.25
1727.65
1728.05
1728.45
1728.85
1729.25
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
0.00
1.00
4.00
9.00
16.00
25.00
36.00
49.00
64.00
81.00
100.00
0.00
-0.03
-0.12
-0.27
-0.48
-0.75
-1.08
-1.47
-1.92
-2.43
-3.00
1725.25
1725.62
1725.93
1726.18
1726.37
1726.50
1726.57
1726.58
1726.53
1726.42
1726.25
1726.25-1729.25
100
=
-0.03
P.I.V
P.T.V
k=
NOTA :
La elevación del P.T.V se conoce, ya que se conocen las elevaciones de todos los cadenamientos a cada 20
mts. y porque el P.T.V. es un punto de la tangente vertical.
si no se conoce la elevación del P.T.V como en el caso de un ejemplo en clase, se puede deducir ya que se
conocen; L/2, km P.I.V. y la pendiente.