Universidad Nacional de Ingeniería

Transcripción

Universidad Nacional de Ingeniería
Recinto Universitario Augusto C. Sandino
Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical
Ing. Sergio Navarro Hudiel
Octubre 2011
ESTELÍ - NICARAGUA
Índice
Contenido
Pág.
Introducción .......................................................................................................................................................................... 2
Pendiente ......................................................................................................................................................................... 4
Velocidad de Diseño ...................................................................................................................................................... 6
Carriles de Ascenso ....................................................................................................................................................... 8
Normas generales para el alineamiento vertical. .................................................................................................................. 9
Distancia de Visibilidad ................................................................................................................................................. 9
Distancia de Visibilidad de parada ............................................................................................................................ 10
Distancia de Visibilidad de adelantamiento o rebase ............................................................................................ 12
CURVAS VERTICALES ................................................................................................................................................ 15
Tipos de curvas veticales ........................................................................................................................................... 15
Condiciones de diseño de curvas verticales en cresta o convexas .................................................................. 16
Casos de trazados de curvas verticales en columpio o concávas ..................................................................... 19
Medidas y registros de la distancia de visibilidad.................................................................................................. 24
Elementos de la curva ................................................................................................................................................. 27
Curvas verticales simétricas ...................................................................................................................................... 29
Curvas verticales asimétricas .................................................................................................................................... 30
Longitud de las curvas verticales ............................................................................................................................. 31
Ejemplo de curva en cresta ................................................................................................................................................. 35
Ejemplo de curva en columpio 2 ......................................................................................................................................... 37
EJEMPLO 3 ........................................................................................................................................................................ 40
EJEMPLO 4:....................................................................................................................................................................... 41
Bibliografía.......................................................................................................................................................................... 44
1
Introducción
Las curvas verticales son las que se utilizan para servir de acuerdo entre la rasante de distintas
pendientes en carreteras y caminos. Éstas suavizan el cambio en el movimiento vertical, es
decir que a lo largo de ella se efectúa el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada
a la de salida. Para ello se utilizan arcos parabólicos. (Campos, 2009)
En general cuando la diferencia algebraica entre las pendientes a unir sea menor que
0.5% las curvas verticales no son necesarias (P2-P1 < 0.5%).
Las curvas verticales que unen las rasantes que se cortan en los ferrocarriles, carreteras,
caminos y otros, tienen por objeto suavizar los cambios en el movimiento vertical, En los
ferrocarriles y carreteras, contribuyen a la seguridad, comodidad, confort y aspecto, de un modo
tan importante como las curvas horizontales. Todas las distancias en las curvas verticales se
miden horizontalmente, y todas las ordenadas desde las tangentes a la curva se miden
verticalmente. En consecuencia la longitud de una curva vertical, es su proyección horizontal.
Si no se define de otro modo, las curvas verticales son simétricas en el sentido que las
tangentes son de la misma longitud.
El alineamiento vertical de una carretera está ligada estrechamente y depende de la
configuración topográfica del terreno donde se localice la obra. Se compone de líneas rectas y
curvas en el plano vertical, identificándose las subidas o pendientes ascendentes con un signo
positivo (+), y las bajadas con signo negativo (-), expresadas usualmente en porcentajes. Aparte
de consideraciones estéticas, costos de construcción, comodidad y economía en los costos de
operación de los vehículos, siempre deben tomarse en cuenta los siguientes factores:
• Visibilidad y accidentalidad.
• Composición del tránsito.
• Relación entre la velocidad y sus engranajes de cambio en la operación del vehículo.
(SIECA, 2004)
El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje de la
subcorona, al cual se le llama línea subrasante. El alineamiento vertical se compone de
tangentes y curvas. La posición de la subrasante depende principalmente de la topografía de la
zona atravesada. (Fonseca Rodríguez, 2010). Las curvas verticales en los cambios de rasante
son generalmente arcos de parábola.
Desde el punto de vista de la eficiencia de funcionamiento, conducción suave y aspecto
agradable, las CV deben tener suficiente longitud para mantener el grado de cambio de
pendiente en un mínimo. Además en las carreteras la comodidad exige que se conserve el
grado de cambio de pendiente dentro de límites tolerables. Esto es lo más importante en las
curvas en vaguadas en las cuales la fuerza de gravedad centrífuga actúa en la misma
dirección. Una curva larga tiene un aspecto más agradable que una corta, es preferible una
línea con pendiente suave, en cambios graduales, a otra con numerosos cambios de
pendientes y longitudes de rampas (pendiente ascendente) cortas. Por tanto en el cálculo de la
longitud de curvas verticales se deben tomar en cuenta la visibilidad y comodidad. (Campos,
2
2009)
En la figura anterior se presenta en esquema del resultado de las rasante proyectada sobre el
perfil del terreno del eje del camino en su forma característica, conteniendo los elementos y
datos típicos, tales como; datos de los PI’s verticales correspondientes a elevación y estación ,
curva vertical, así como la pendiente de los segmentos, expresando sus valores en % y el
sentido, ascendente (+) y descendente (-). (UNI)
La pendiente de cada segmento se calcula de la siguiente manera: (m)
m
Elev.2  Elev.1
* 100
Est.2  Est.1
Para facilidad de cálculo, se utiliza la pendiente en valores m/m, a manera de un factor de lo
que sube (-) o baja (-) por metro, para posteriormente calcular a la distancia horizontal que se
requiera, este valor se le suma o resta según sea el caso, a elevación anterior lo cual se puede
expresar como:
dl12=fm/m*L12; Elev2=Elev.1+dl12
dl12= valor que se aumenta o disminuye del punto 1 al pto 2.
Fm/m= factor de la pendiente en m/m.
l12= distancia horizontal del punto 1 al pto. 2.
Elev.1= Elevación del punto 1, como valor conocido
Elev2= Elevación del punto 2, como elemento a calcular.
Tal y como se describe anteriormente (OSPINA, 2002), pág. 396,397 confirma que el
3
alineamiento vertical de una vía compuesto por dos elementos principales: rasante y perfil. La
rasante a su vez está compuesta por una serie de tramos rectos, llamados tangentes,
enlazados entre sí por curvas. La longitud de todos los elementos del alineamiento vertical se
consideran sobre la proyección horizontal, es decir, en ningún momento se consideran
distancias inclinadas.
Para nosotros el eje de Y es rotulado como elevaciones y X estaciones.
Una diferencia importante entre las curvas verticales y horizontales es que las verticales no
necesitan entretangencia, es decir, que puede haber una sucesión de curvas sin ningún
problema para el conductor.
Pendiente
La pendiente influye sobre el costo del transporte, porque al aumentar ella se incrementa el
tiempo de recorrido del vehículo y esto genera un mayor consumo de combustible, aceite
y otros. Por otro lado disminuye la capacidad de la vía, esto cobra importancia cuando hay un
alto porcentaje de camiones. Al tratar de disminuir las pendientes generalmente aumentan los
volúmenes de excavación con un consecuente aumento en los costos. Para hacer una elección
óptima de la pendiente a utilizar, hay que hacer un balance entre costos de construcción y
explotación. Las normas Centroamericanas, en sección 4-63, establecen los siguientes criterios
para clasificar el tipo de terreno en función de la pendiente.
4
Según este manual, en las etapas iniciales del diseño de las carreteras, siempre es
conveniente dar la debida consideración al uso de componentes de dimensiones normales o
mejoradas en la sección transversal, por estar comprobado que con un bajo costo relativo,
reducen sustancialmente los riesgos de accidentes o, inversamente, contribuyen al
mejoramiento de los niveles de seguridad vial. Cualesquiera que sean estos elementos de la
sección transversal, deben mantenerse a lo largo de todo el proceso de diseño de una carretera
o de un segmento dado de dicha carretera.
El manual de Normas en su resumen ejecutivo, indica los siguientes valores típicos para los
Elementos de diseño en las carreteras regional:
5
Velocidad de Diseño
Recordemos que para la velocidad de diseño, para ello las normas de diseño geométrico,
SIECA en su versión 2004, sección 4-3, estipula:
Según SIECA en su sección 3-7, Un conjunto ordenado de especificaciones se podría proponer
para cada tipo de carretera, desglosando aún cada tipo según las características del terreno,
para aceptar mayores restricciones a medida que las difíciles condiciones del terreno hacen
más costosas las soluciones deseables. De tal forma que si en un terreno plano la velocidad de
diseño de un tipo de carreteras, fácilmente puede fijarse en los 90 o 110 kilómetros por hora,
6
las restricciones constructivas y sus implicaciones en materia de costos, aconsejarán que en
terreno montañoso dicha velocidad deba restringirse a 60 o 70 kph, lo cual afectará los radios
mínimos, las distancias de visibilidad, las pendientes máximas.
Se podrían generalizar las velocidades en función del tipo de carretera de la siguiente manera
Clasificación
Troncal suburbana P
Troncal suburbana O
Troncal suburbana M
Troncal Rural P
Troncal Rural O
Troncal Rural M
Colectora suburbana P
Colectora suburbana O
Colectora suburbana M
Colectora Rural P
Colectora Rural O
Colectora Rural M
90
80
70
80
70
60
70
60
50
70
60
50
(Ver detalle de clasificación de carreteras en SIECA).
Partiendo de la clasificación regional en función del tipo de pavimento y volumen de tráfico,
Estableciendo en su sección 2-17 el nivel de servicio para usar con fines de diseño:
7
El vehículo de diseño con su relación peso/potencia, define características de operación
que determinan la velocidad con que es capaz de recorrer una pendiente dada. El
vehículo de diseño WB-15, que es el T3-S2 que conocemos.
Las secciones transversal también se diseñan en función de las condiciones de tráfico, de
manera general la sección típica es:
Tomado de (OSPINA, 2002) figura 55. Pág 261.
Carriles de Ascenso
La justificación para la construcción de un carril de ascenso en una carretera de dos carriles,
debe basarse en los tres criterios siguientes:
a. El tránsito ascendente debe ser mayor de 200 vehículos por hora: este se determina
multiplicando el proyectado volumen de diseño por el factor de distribución direccional para el
tránsito ascendente y dividiendo el resultado por el factor de hora pico.
b. El tránsito ascendente de camiones debe ser mayor de 20 vehículos por hora: la cifra anterior
se multiplica por el porcentaje de camiones en el sentido ascendente del tránsito.
8
c. Debe además concurrir una de las siguientes causales: Se espera que la velocidad de un
camión pesado se reduzca por lo menos en 15 kilómetros por hora
Normasgeneralesparaelalineamientovertical.

En terrenos planos, la altura de la subrasante sobre el terreno se fija normalmente con
base al drenaje. En terrenos en lomerío se utilizan comúnmente subrasantes onduladas. En
terrenos montañosos la subrasante es controlada estrechamente por las restricciones y
condiciones topográficas.

Se le debe dar preferencia a una subrasante suave con cambios graduales, en lugar de
una con numerosos quiebres y pendientes en longitudes cortas. Desde el punto de vista del
proyecto, las restricciones son la pendiente máxima y la longitud crítica.

Deben evitarse vados formados por curvas verticales muy cortas, pues el perfil resultante
corresponde a condiciones de seguridad y estética muy deficientes.

No se recomienda proyectar dos curvas verticales sucesivas en la misma dirección que
estén separadas por una tangente vertical corta.

Es mejor proyectar un perfil escalonado que uno con una sola pendiente sostenida.

Cuando la magnitud del desnivel a vencer o la limitación del desarrollo obliga a proyectar
largas pendientes uniformes, se deberá considerar la opción de construir un carril adicional de
ascenso, si se justifica de acuerdo con los volúmenes de tránsito esperados.

Las curvas verticales en columpio deben evitarse en secciones en corte, a menos que
existan facilidades para las soluciones de drenaje.

En pendientes largas, puede ser preferible colocar las pendientes mayores al pie de la
pendiente y aliviarlas hacia el final o, alternativamente, intercalar pendientes suaves por cortas
distancias para facilitar el ascenso.

En tangente, deberían generalmente evitarse, particularmente en curvas en columpio
donde la visión de la carretera puede ser desagradable al usuario.
Distancia de Visibilidad
Es la longitud máxima de la carretera que un conductor ve continuamente delante de él, cuando
las condiciones atmosféricas y del tránsito son favorables. Por tanto la carretera tanto en su
trazo en planta como en las curvas verticales de la rasante, debe tener las condiciones de
visibilidad precisas para que el conductor pueda tomar las decisiones pertinentes durante su
recorrido.
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La distancia de visibilidad no depende del tránsito pero si influye sobre éste, ya que limita la
velocidad, la capacidad de la vía y es uno de los factores de accidentes de tránsito. En general,
se consideran dos distancias de visibilidad de Parada y de Rebase.
Distancia de Visibilidad de parada
Es la distancia de visibilidad mínima necesaria para que un conductor que transita, cerca de la
velocidad de proyecto, vea un objeto en su trayectoria y pueda parar su vehículo antes de llegar
a él. Es la distancia de visibilidad mínima que debe proporcionarse en cualquier punto de la
carretera.
Según (SIECA, 2004) en su sección 4-22 Esta es la distancia requerida por un conductor para
detener su vehículo en marcha, cuando surge una situación de peligro o percibe un objeto
imprevisto adelante de su recorrido. Esta distancia se calcula para que un conductor y su
vehículo por debajo del promedio, alcance a detenerse ante el peligro u obstáculo. Es la
distancia de visibilidad mínima con que debe diseñarse la geometría de una carretera,
cualquiera que sea su tipo.
La distancia de visibilidad de parada tiene dos componentes: la distancia recorrida por el
vehículo desde que el conductor ve el objeto hasta que coloca su pie en el pedal de freno y la
distancia recorrida por el vehículo durante la aplicación de los frenos. A la primera se le conoce
como distancia de reacción y a la segunda distancia de frenado.
Dp  d  d 
donde:
Dp= Distancia de visibilidad de parada
d= Distancia de reacción
d'= Distancia de frenado
La distancia de reacción se calcula mediante la siguiente fórmula:
d  0.278Vt
donde:
V= Velocidad del vehículo, expresada en km/hr
t= Tiempo de reacción, expresado en segundos
La distancia de frenado se obtiene:
V2
d 
254 f  p 
donde:
f= Coeficiente de fricción longitudinal
p= Pendiente de la carretera
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Sumando d y d' se obtiene la distancia de visibilidad de parada:
V2
Dp  0.278Vt 
254 f  p 
Normalmente se considera un valor del tiempo de reacción de 2.5 segundos. Dependiendo de
la velocidad, el coeficiente de fricción longitudinal se puede estimar con una de las dos
expresiones siguientes:
f = 0.40 – 0.0020 ( V – 30 )
para: 30 km/hr  V  60 km/hr.
f = 0.34 – 0.0015 ( V – 60 )
para: 60 km/hr  V  110 km/hr.
La (SIECA, 2004), en su seccioón 4-23 establece La distancia de visibilidad de parada no
contempla situaciones al azar, que obliguen a los conductores a realizar maniobras
imprevistas, por lo que en los manuales modernos de diseño se ha incorporado el concepto de
distancia de visibilidad de decisión, que se define como aquella requerida por un conductor
para detectar algo inesperado dentro del entorno de una carretera, reconocerlo y seleccionar
una trayectoria y velocidad apropiadas, para maniobrar con eficiencia y seguridad. Por su
concepto, estas distancias resultan sustancialmente mayores que las distancias calculadas de
visibilidad de parada.
Empíricamente se han establecido distancias para cubrir estas distancias divididas en las
siguientes cinco situaciones particulares, que se dimensionan en el cuadro 4-6, literal c):
a. Detención en carretera rural
b. Detención en vía urbana
c. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en carretera rural.
d. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en carretera suburbana
e. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en vía urbana.
El manual centroamericano en su sección 4-28, establece las DISTANCIAS DE VISIBILIDAD
DE PARADA Y DE DECISIÓN (cuadro 4.6)
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Para el caso de las curvas horizontales, la distancia de visibilidad para realizar cálculos de
elementos de diseño recomendado por la AASHTO:
D = R (1- cos 28.65 S/R)
D= Distancia de visibilidad en curvas horizontales
S= Distancia de visibilidad de parada medida a lo largo de la curva,
R= Radio de curva, metros.
Distancia de Visibilidad de adelantamiento o rebase
Se define como la mínima distancia de visibilidad requerida por el conductor de un vehículo
para adelantar a otro vehículo que, a menor velocidad relativa, circula en su mismo carril y
dirección, en condiciones cómodas y seguras, invadiendo para ello el carril contrario pero sin
afectar la velocidad del otro vehículo que se le acerca, el cual es visto por el conductor
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inmediatamente después de iniciar la maniobra de adelantamiento
Se dice que un tramo de carretera tiene distancia de visibilidad de rebase cuando la distancia
de visibilidad en ese tramo es suficiente para que el conductor de un vehículo pueda adelantar
a otro que circula por el mismo carril, sin peligro de interferir con un tercer vehículo que venga
en sentido contrario y se haga visible al iniciarse la maniobra. (Fonseca Rodríguez, 2010)
A partir de 1958, se ha establecido en México 500 metros como límite para la distancia de
velocidad de rebase, a una velocidad de proyecto de 110 km/hr. Para velocidades menores de
110 km/hr, las distancias de velocidad de rebase se reducen proporcionalmente; es decir:
Dr 
500
V  4.545V ;
110
V  110 km hr 
donde:
Dr= Distancia de Visibilidad de Rebase, expresada en metros
Este proceso de revase puede apreciarse en la siguiente figura tomada de (OSPINA, 2002),
página 371, figura 85.
Distancia de seguridad esta entre 35 y 90 m. d4 = (2/3) d2 .
Según SIECA en su sección 4-30,
13
El conductor puede retornar a su carril si percibe, por la proximidad del vehículo opuesto, que
no alcanza a realizar la maniobra completa de adelantamiento.
Para establecer relaciones se establecieron los siguientes supuestos simplificatorios:
♦ El vehículo que es rebasado viaja a una velocidad uniforme.
♦ El vehículo que rebasa viaja a esta velocidad uniforme, mientras espera una oportunidad
para rebasar.
♦ Se toma en cuenta el tiempo de percepción y reacción del conductor que realiza las
maniobras de adelantamiento.
♦ Cuando el conductor esta rebasando, acelera hasta alcanzar un promedio de velocidad de 15
kilómetros por hora más rápido que el otro vehículo que está siendo rebasado.
♦ Debe existir una distancia de seguridad entre el vehículo que se aproxima en sentido contrario
y el que efectúa la maniobra de adelantamiento.
♦ El vehículo que viaja en sentido contrario y el que efectúa la maniobra de rebase van a la
misma velocidad promedio.
♦ Solamente un vehículo es rebasado en cada maniobra.
♦ La velocidad del vehículo que es rebasado es la velocidad de marcha promedio a la
capacidad de diseño de la vía.
♦ Esta distancia de visibilidad para adelantamiento, se diseña para carreteras de dos carriles de
circulación, ya que esta situación no se presenta en carreteras divididas y no divididas de
carriles múltiples.
Las curvas proyectadas para distancia de visibilidad de rebase resultan de gran longitud y sólo
deberán utilizarse donde lo amerite el nivel de servicio.
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En todos los casos, se deberá exceder el valor mínimo de la longitud de curva, calculado con la
ecuación siguiente, desarrollada empíricamente por la AASHTO:
L  0.6 *V
CURVAS VERTICALES
Tipos de curvas veticales
Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical,
para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a
la de la tangente de salida. Se deberá de tratar el empleo de una pendiente uniforme durante
el cambio de una pendiente a otra. Si al diferencia algebraica de las pendientes es menor de
0.5 % no es necesario su empleo.
Cuando la vía es principal la aceleración vertical producto del peso propio y la gravedad
permisible es de 0.15 m/s2 y para las secundarias es de 0.5 m/s2.
Existen básicamente dos tipos de curvas verticales: en cresta o convexas y en columpio o
cóncavas (Las primeras son cóncavas hacia abajo y las segundas hacia arriba). Las primeras
se diseñan de acuerdo a la más amplia distancia de visibilidad para la velocidad de diseño y las
otras conforme a la distancia que alcanzan a iluminar los faros del vehículo de diseño.
(OSPINA, 2002), en su publicación, página 413 y 414, establece la siguiente clasificación:
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Los valores de p y q, corresponden a los valores P1 y P2, que se detallan más adelante.
Condiciones de diseño de curvas verticales en cresta o convexas
Según SIECA, en su sección 4-65, existen dos condiciones para diseñar este tipo de curvas: La
primera considera que la longitud de la curva (L) es mayor que la distancia de visibilidad (S) de
parada y la segunda se presenta cuando L es menor que S.
En el primer caso L> S
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*Tomado de Ospina, 2002. Pag. 386. DPV = S, LV = L
Se aplica la siguiente expresión para calcular la longitud mínima (L) de curva vertical:
Donde,
G = Diferencia algebraica de pendientes (%)
S = Distancia de visibilidad
h1 = Altura del ojo del conductor
h2 = Altura del objeto
Reemplazando en esta fórmula la altura del ojo del conductor h1 = 1.07 metros y
del objeto h2 = 0.15metros, la ecuación para diseño para la longitud mínima de la curva vertical
es la siguiente:
L = GS2 /404
Cuando L < S, la expresión matemática es la siguiente:
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L = 2 S – 404/G
Al comparar las dos ecuaciones obtenidas
Al comparar las ecuaciones
L = 2 S – 404/G
L = GS2 /404
S>L
S<L
Se puede observar en la expresión L = 2 S – 404/G, para valores pequeños de G y S la
longitud es negativa mientras que para la segunda, L = GS2 /404 , siempre serán positivos
y si además se realiza una tabla de valores de LV para las diferentes velocidades y
diferentes valores de A los resultados obtenidos con la segunda expresión siempre
serán mayores. Con lo anterior se puede concluir que la expresión para A < L es la que
se debe emplear.
L puede ser relacionada con la diferencia algebraica de pendientes por medio de un factor
denominado K, que en sí identifica la curva. La longitud de la curva vertical utilizando el factor
K es:
L = K.G en esta lógica de simplificación, si la fórmula de cálculo es L= GS2 /404 el valor de K
sería K= S2 /404 y así sucesivamente para las demás ecuaciones.
De esta ecuación G = L/K
Por ejemplo si se tiene una curva vertical de 80 metros y las pendientes son p1=3% y p2= 5.0%, entonces G = 80/(3 – (-5)) = 10 m/% lo cual significa que para la curva en cuestión se
requieren 10 metros de distancia horizontal para cambiar 1% de pendiente.
Según SIECA en su sección 4-66, Cando se utiliza la distancia de visibilidad de adelantamiento
como criterio de control para el diseño, las longitudes de las curvas verticales en cresta resultan
mayores que las calculadas utilizando las expresiones arriba indicadas, lo que hace pensar que
diseñar para estas longitudes, conduce a una considerable elevación de los costos de
construcción; además, que para recomendar estas distancias, debe haber una combinación
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favorable entre topografía del terreno, seguridad y volúmenes de tránsito, que dé cómo
resultado su plena justificación.
Las distancias de parada y adelantamiento se pueden obtener de las secciones 4-68 y 4-69 de
la SIECA.
Las distancias mínimas de visibilidad para adelantamiento están presentes en el cuadro 4.7,
que en conjunto con los correspondientes a las de visibilidad de parada del cuadro 4.6, se han
utilizado para preparar el cuadro 4.21, que presenta los valores de K para el cálculo de las
longitudes de curvas verticales en cresta para diferentes velocidades de diseño.
De igual manera que el caso anterior, existen dos consideraciones a tomar en cuenta cuando
se usa la distancia de visibilidad de adelantamiento;
La primera se presenta cuando la longitud de curva (L) es mayor que la distancia de visibilidad
(S), entonces se utiliza la siguiente fórmula:
L = GS2 /946 diferenciados en que la altura de objeto es de 1.3 m en vez de 0.15 m.
Cuando L es menor que la distancia de visibilidad de adelantamiento la expresión es:
L = 2 S – 946/G
Casos de trazados de curvas verticales en columpio o concávas
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(OSPINA, 2002) indica que El análisis para la curva vertical cóncava se realiza teniendo en
cuenta la visibilidad nocturna donde la iluminación producida por las luces delanteras del
vehículo juega un papel importante. La visibilidad diurna no representa ningún problema ya que
todo conductor ubicado dentro de una curva vertical cóncava siempre tendrá la visibilidad
necesaria para su seguridad a menos que dentro de la curva vertical este ubicada una curva
horizontal. En vías urbanas donde existe iluminación artificial la longitud mínima de la curva
vertical se rige más bien por la comodidad en la marcha y la estética.
Según SIECA en su sección 4-69 para el diseño de Curvas en Columpios o Cóncavas se han
identificado los siguientes cuatro criterios para usarse en el cálculo de las longitudes de curvas
en columpios.
• El primero y a emplear en diseño, se basa en la distancia iluminada por los faros delanteros
del vehículo o de seguridad
• El siguiente toma en cuenta básicamente una sensación subjetiva de comodidad en la
conducción, cuando el vehículo cambia de dirección en el alineamiento vertical.
• El tercero considera requerimientos de drenaje.
• El último se basa en consideraciones estéticas.
Criterio de la distancia iluminada de los focos delanteros o de seguridad:
La longitud de la curva debe ser tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad sea mayor o
igual que la de parada. En algunos casos especiales, el nivel de servicio deseado puede hacer
necesario que se establezca la longitud de la curva con la distancia de visibilidad de rebase. Se
presentan dos casos a considerar en el primer criterio, dependiendo si la distancia iluminada
por los faros del vehículo es mayor o no que la longitud de la curva.
Cuando la longitud de curva, L, es mayor que la distancia de visibilidad iluminada, S
L = G S²/ (120 +3.5S)
20
Donde,
L = Longitud mínima de curva vertical en columpio, m.
S= Distancia de visibilidad iluminada por los faros del
vehículo, m.
G= Diferencia algebraica entre pendientes de la curva, %.
Cuando L es menor que S la fórmula utilizada es la siguiente:
L min = 2S – (120+3.5S)/G
Se considera una altura de los faros de 0.6 metros y un ángulo de 1° de divergencia de los
rayos de luz. En el desarrollo de las fórmulas de este criterio y para su aplicación en diseño, se
recomienda utilizar los rangos de distancias de visibilidad de parada, que son aproximadamente
iguales a la distancia iluminada por los faros de los vehículos cuando viajan a la velocidad de
diseño. (SIECA, 2004) Sección 4-70.
El segundo criterio basado en la comodidad, tiene su fundamento en la suspensión de la
carrocería de los vehículos, el peso que mueve, la flexibilidad de las llantas, los tipos de
asientos, entre otros. Se reconoce que la operación confortable de vehículos en curvas en
columpio, se logra cuando la aceleración centrífuga alcanza 0.3m/seg², que incorporado a la
fórmula de diseño, resulta:
L = G V²/395 por tanto L / G ≥ V2 / 395
Las longitudes de curvas calculadas utilizando el criterio de comodidad equivalen al 50% de los
correspondientes a la modalidad anterior.
El tercer criterio persigue la satisfacción de las necesidades del drenaje en las curvas en
columpio (también utilizado para las de cresta cuando están alojadas en corte). Un criterio
recomendado para el diseño consiste en dotar una pendiente de 0.3 por ciento dentro de los 15
metros del punto a nivel del terreno, sus resultados son muy similares a los obtenidos de la
21
fórmula L= KG, cuando K= 51 y la velocidad de diseño es de 100 kilómetros por hora.
L = G * 43, por tanto L/G ≤ 43
Hay que aclarar que las longitudes calculadas para efecto de drenaje son máximas hasta 100
kilómetros por hora y no mínimas, como en los demás criterio de diseño de curvas verticales.
Después de 100 hasta 120 Kilómetros por hora, las longitudes son mínimas, al igual que los
otros criterios.
Cuando se trata de tomar en cuenta aspectos de estética o apariencia en estas curvas, existe
la fórmula empírica
L= 30G, Por tanto L / G ≥ 30
Siendo L la longitud mínima y G la diferencia algebraica de pendientes. Los resultados
obtenidos son similares a los que corresponden al criterio de la distancia iluminada por los
faros de vehículos para velocidades de 70 – 80 kilómetros por hora.
En atención a la diferencia de longitudes de curva que se obtienen aplicando los criterios
mencionados, se recomienda diseñar curvas verticales en columpio utilizando el primer criterio
descrito, dando especial consideración al drenaje cuando K es mayor de 51. (SIECA, 2004)
A como se ha indicado en la descripción del primer criterio, la distancia de visibilidad de parada
(Cuadro 4.6) es la que controla la recomendación de longitudes mínimas para curvas en
columpio, considerando valores menores y mayores de este parámetro. De igual manera en
que fueron calculados los valores de diseño de las curvas en cresta, también es conveniente
expresar los controles de diseño de las curvas en columpio en términos de K para todos los
valores de G. Con estas bases se ha preparado el cuadro 4.22 (SIECA, 2004).
22
El manual centroamericano de Normas de Diseño Geométrico en su sección 4-30 estipula los
siguientes valores:
23
Para proyecto, la expresión para el cálculo de la distancia de visibilidad de rebase mínima
que puede aplicarse es Dr= 4.5V, donde Dr es la distancia de visibilidad de rebase mínima
en mts y V la velocidad de proyecto en Km/hr.
Medidas y registros de la distancia de visibilidad
En México y otros países, el criterio que normalmente se sigue es el de seguridad, en el que
cuando menos se debe cumplir con la distancia de visibilidad de parada. Para medir la
distancia de visibilidad se considera, la altura de los ojos del conductor sobre el pavimento de
1.14 metros. En el caso de la distancia de visibilidad de parada, la altura del objeto que debe
ver el conductor es de 0.15 metros. Para medir la distancia de visibilidad de rebase, se fijó una
altura de objeto de 1.37 metros, con la cual se cubre la altura de la mayoría de los automóviles.
Para medir la distancia de visibilidad de rebase, se fijó una altura de objeto de 1.30 mt, con la
cual se cubre la altura de la mayoría de los automóviles. DVP
24
En el caso de las curvas verticales en columpio, se considera la distancia de visibilidad de
parada en función de la zona iluminada por los faros de un vehículo que circula de noche. Para
tal efecto, se establece que los faros del vehículo están a 0.61 metros sobre el pavimento y los
rayos luminosos del cono proyectado forman un ángulo de 1° con la prolongación del eje
longitudinal del camino.
La SIECA en su sección 4-32, establece
25
26
:
Elementos de la curva
La SCT en su página 28, describe que los elementos de la curva vertical son los siguientes:
27
PIV: Punto de Intersección vertical de las tangentes verticales.
PCV: Punto de comienzo de la curva vertical.
PTV: Punto de terminación de la curva vertical.
P1: Pendientes de la tangente de entrada expresada en m/m
P2: Pendientes de la tangente de salida expresada en m/m
G: diferencia algebraica de pendientes. A = P1-(-P2) ó A = P2-P1
L: Longitud total de la curva vertical en m.
K: variación de longitud por unidad de pendiente (parámetro). K = L/G
X: distancia del PCV aun PSV en m.
P: pendiente en un PSV, en m/m. P = P1- (G*(X/L)
P´: Pendiente de una cuerda, en m/m. P´= ½ (P1+P)
E: Externa en m. E = (GL)/8
F: Flecha en m. F = E
T: desviación de un PSV a la tangente de entrada, en m. T = 4E(X/L)2
Zo: Elevación del PCV, en m.
Zx: Elevación de un PSV, en m. Zx = Zo + P1X- GX2/2L Zx = Zo + (P1-(GX/2L) X)
Si esta ecuación se escribiera como función de ejes ordenados la ecuación para encontrar las
elevaciones sobre la curva, se expresaría que:
Y = Yo ± P X ± GX2/2L
Y = Yo ± P X ± GX2/2L
Nota: Si X y L, se expresan en estaciones de 20 m la elevación del PSV puede calcularse con
cualquiera de las expresiones:
28
Zx = Zo + (20P1- (10GX/L) X)
Zx = Zx-1 + (20P1- (10GX/L) (2X-1)
Note que para calcular un punto cualquiera sobre la curva conociendo P2, P1, L y PCV. Se
utiliza la siguiente expresión:
y: Toma signo positivo cuando la curva está en columpio y si está en cresta se resta. La
importancia de “y” radica en que en ocasiones se necesita identificar el punto más bajo o alto
sobre la curva.
x: Distancia horizontal medida a partir del PCV.
Los Coeficientes de K a emplear para diseños, tomados de tablas sugeridas por Normas
SIECA:
Curva vertical en
velocidad
km/h
Cresta
Distancia de
Parada
30
40
50
60
70
80
90
100
110
30
45
65
85
110
140
170
205
245
Columpio
Factor k
3
5
10
18
31
49
71
105
151
4
8
12
18
25
32
40
51
62
Curvas verticales simétricas
La curva esta partida en dos. Se denomina curva vertical simétrica aquella donde la proyección
horizontal de la distancia PCV – PIV es igual a la proyección horizontal de la distancia PIV –
PTV.
29
*Tomado de Ospina, pág 406
PCV = PIV – Lv/2
PTV = PIV + Lv/2
E = G(Lv)/8
Elev PCV = Elev PIV – P1(L/2)/100
Elev PTV = Elev PIV +P2(L/2)/100
Elev Sobre tangents CTi = Elev PIV – P(L)/100
Curvas verticales asimétricas
La curva vertical asimétrica es aquella donde las proyecciones de las dos tangentes de la curva
son de diferente longitud. En otras palabras, es la curva vertical donde la proyección horizontal
de la distancia PCV a PIV es diferente a la proyección horizontal de la distancia PIV a PTV.
Este tipo de curva es utilizado cuando alguna de las tangentes de la curva esta restringida por
algún motivo o requiere que la curva se ajuste a una superficie existente, que solo la curva
asimétrica podría satisfacer esta necesidad. La longitud total de la curva será L1 +L2 y se
trabaja cada longitud independiente.
*Tomado de Ospina, pág 410.
Cuando se emplean curvas asimétricas se recomienda, principalmente por estética, que se
30
cumpla la relación Lmayor / Lmenor <1.5 (OSPINA, 2002)
E = (Lv1 * Lv2 G)/ 2 Lv, donde G es la diferencia algebraica de pendientes en porcentajes.
Longitud de las curvas verticales
Los factores que afectan la longitud de una curva vertical son, (a) efecto centrífugo (b)
visibilidad.
Según (Fonseca Rodríguez, 2010), la condición que se considera óptima para la conducción de
un vehículo en una curva, corresponde a un movimiento con una componente horizontal de la
velocidad constante:
dx
Vx 
C
dt
Por lo que la componente horizontal de la aceleración es:
dVx d 2 x
ax 
 2 0
dt
dt
Para cumplir con lo anterior, normalmente se utiliza una parábola, cuya ecuación general es:
y  Kx 2
Si llamamos A a la diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de
salida y L a la longitud de la curva vertical; como fracción de 20 metros:
A
K
; A  P2  P1
10 L
La expresión de la parábola:
Y
x:
Y:
L:
K:
x2
* K ; en donde
2L
Distancia horizontal variable, medida desde el PCV ó el PTV en dirección al PIV.
Ordenada medida verticalmente; correspondiente a la distancia x, desde la tangente
hasta la curva vertical.
Longitud de la curva vertical.
Diferencia algebraica de las pendiente, posterior menos la anterior (m2-m1). Este valor
se conoce también como “el grado de cambio de pendiente”.
31
Considerando la curva parabólica plana que se muestra en la figura, se puede ver que el eje y
pasa por el PVC y el eje x también, formando un sistema de coordenadas de referencia. En la
curva se tiene que:
L= Longitud de curva
P1= Pendiente de Entrada
P2= Pendiente de Salida
La razón de cambio de la pendiente de la parábola es constante, por lo que, la segunda
derivada de y con respecto a x es una constante:
d2y
 r  constante
(1)
dx 2
Integrando se obtiene la primera derivada o pendiente de la curva expresada por:
dy
 rx  H
dx
(2)
Ahora, cuando x=0, la pendiente es P1 y cuando x=L, la pendiente de la parábola es P2,
obteniéndose:
P1  0  H
(3)
P2  rL  H
(4)
Sustituyendo 3 en 4 y despejando r se tiene:
P  P1
r 2
(5)
L
donde;
r= Razón de cambio de la pendiente en porcentaje por unidad de longitud
Sustituyendo 5 en 2:
32
dy P2  P1 
x  P1

dx
L
Integrando 6 se tiene la altura de la curva y en cualquier punto:
P  P1  x 2
y 2
 P1 x  c
L
2
(6)
(7)
Cuando x=0, el valor de y es equivalente a la elevación del PCV, por lo tanto se obtiene lo
siguiente:
C  YPCV
Quedando la ecuación 7 en su expresión final:
y  Y PCV  P1 x 
r 2
x
2
Esta ecuación es la que se definió como general para el cálculo de las elevaciones sobre la
parábola.
Ejemplo
Diseñe la Long. Vert. Para unir tangentes AB Y BC tomando en cuenta el criterio de
seguridad que la Long. Mínima de las curvas satisfaga cuando menos la distancia de
visibilidad de fondo o que esta longitud se pueda calcular empleando la formula de la
AASHTO para la condición D<L.
= 100
ℎ
= 1 + 500
= 94360 ⁄
1 = +0.03833
2 = −0.05000
= 2 − 1 = −0.05000 − 0.03833
= −0.08833
= −8.833%
Criterio: Es necesario utilizar curva vertical porque A> 0.5 %(Replanteo curva)
Determinación de la longitud de la curva de seguridad considerando el caso D<L.
Para satisfacer el requisito de distancia de visibilidad de parada se tiene.
Lmin= K*A Manual de la SIECA
Lmin= (55) (8.833)= 485.82 m
La longitud obtenida debe redondearse al número de estaciones de veinte m inmediato
superior.
33
Lm= 500 (Para el diseño)
Cálculo de las estaciones
PIV= 1+500
PCV= PIV-L/2 = 1+500-500/2 = 1+250
PTV= PIV+ L/2 = 1+500+500/2 1+750
Calculo de las elevaciones PCV Y PTV
Elev PCV = Elev PIV – PI L/2
Elev PCV = 94.360 – 0.03833 (500/2)
= 84.778m
Elev PTV = Elev PIV – P2 L/2
=94.360 + (-0.05) (500/2)
=81.060m
Cálculo de las ecuaciones de la rasante Pn la curva en puntos espaciados cada 20 m.
2
2− 1
−0.08833
∗
=
∗
2
2 ∗ 500
= −8.833 ∗ 10 ∗
=
Esta ecuación es la misma descrita por la SCT, Zx = Zo + (P1-(AX/2L) X)
Note que el valor sería:
Elev Esti = Elevación Inicial + Pend * L – GX2/2L
Que podrá ser usado como:
Elev x= Elev PCV + P1(x) + GX2/2L
Partiendo de la elevación inicial del PCV y con los valores de P1 y GX2/2L la ecuación genral
de será:
Elev i = Elev PCV + P1*x + Gx2/2L
Sustituyendo los valores en esta ecuación:
Elev. i = 84.778+ 0.03833 X – 8.833*10-5 X2
Elev. (1+250) = 84.778+ (0.03833) (10) – 8.8333*105 (10)
Elev 1+250= 85.161 m
34
La distancia al Punto más alto referido al PCV
Xm =
∗
(0.03833) ∗ (500)
−0.05 − 0.03833
Xm = −216.97
Xm =
Est P más alto = Est PCV –Xm
= 1+250 + 216.97
=1+466.97m
Ejemplodecurvaencresta
V= 80km/h
Est PIV = 23+140
Elev PIV = 31.145
P1= +0.032
P2= -0.044
Dp= 112
G= P2 - P1 = -0.044 – 0.032 = - 0.076 % el valor de G se utiliza como valor absoluto en %.
G = 7.6 %
Si A > 0.5 % se replantea a curva, es decir es necesaria.
L =
L =
∗
404
7.6 ∗ 112
≈ 240 404
4 − 63
Calculo de estacionamiento
EstPIV = 23+140
EstPCV= Est PIV – L/2
=23+140 - 240/2
=23+020
EstPTV= EstPIV + L/2
=23+140 + 240/2
=23+260
35
Calculo de elevaciones
EstPIV = 34.145 m
ElevPCV= ElevPIV – P1(L/2)
=34.145 – 0.0321 (240/2)
=30.305m
ElevPTV= ElevPIV + P2(L/2)
=34.145 + (-0.044)(240/2)
=28.865m
La ecuación general a resolver será: 30.305 + 0.032 X - 1.5833 ∗ 10 X
/2 =
+
−
2
=
−0.076
= −1.5833 ∗ 10
2(240)
Podriamos llamar a la expresión GX2/2L como Y y simplificar los cálculos al hacerlo de forma
tabular encontrando la elevación sobre la curva al resta a la elevación sobre la tangente este
valor:
PCV
PIV
PTV
Estación
23+020
23+040
23+060
23+080
23+100
23+120
23+140
23+160
23+180
23+200
23+220
23+240
23+260
X
0
20
40
60
Elev s/t
30.305
30.945
31.585
32.225
Elev s/c
30.305
30.882
31.332
31.655
80
100
120
140
160
180
200
220
240
32.865
33.505
34.145
33.265
32.385
31.505
30.625
29.745
28.865
31.852
31.922
31.865
31.682
31.372
30.935
30.372
29.682
28.865
y
0
-0.063
-0.253
-0.570
-1.013
-1.583
-2.280
Note que en la ecuación se emplean los valores de x desde el PCV hasta el PTV. Tambien
podría emplearse esta ecuación y comenzar en el PTV y llegar hasta el PIV considerando los
nuevos valores de G y X.
Cada 20m porque los estacionamientos PIV,PCV Y PTV lo indican. Además, según tablas de la
SIECA, si V=80km/h f= 0.14 y e=0.10
36
145692.26(0.10 + 0.14)
= 5.46
80
0
0
Si 0 < G < 6 cadenamientos son cada 20 metros.
=
Se usa la ecuación :
=
∗
ó L = K*A Porque son curvas verticales en función de los parámetros antes descritos
Ejemplodecurvaencolumpio2
V= 80 km/h
EstPIV= 3+900
EstPTV = 104.766 m
= 260
P1 = -0.04333
P2 = +0.03200
G = P2 – P1 = 0.032 – (-0.0433) = 0.0753 , 7.53 % > 0.5%
Cálculo de estacionamientos
EstPIV= 3+900
EstPCV= 3+900 – 260/2
EstPTV = 3+900+260/2
=3+770
=4+0.30
Cálculo de elevaciones
ElevPCV = 104.766m
ElevPIV = 104.766 + (-0.0433) (260/2) = 99.137m
ElevPTV=99.137+ (0.032) (260/2)
=103.297m
La ecuación general quedará: Y = 104.766 – 0.0433 X + 0.0753/2L X2 Reemplazando el valor
de L,
2
=
0.032 − (−0.04333)
∗
2(260)
= 0.1448 ∗ 10
Y = 104.766 – 0.0433 X + 1.448 x 10-3 X2
37
PCV
PIV
PTV
Estación
3+770
3+790
3+810
3+830
3+850
3+870
3+890
3+900
3+920
3+940
3+960
3+980
4+000
4+020
4+030
X
0
20
40
60
80
100
120
130
110
130
70
80
30
10
0
Elev S/T
104.766
103.899
103.033
102.166
101.300
100.433
99.566
99.137
99.777
100.417
101.057
101.697
102.337
102.977
103.297
Elev S/C
104.766
103.957
103.265
102.687
102.227
101.881
101.651
101.584
101.529
101.590
101.767
102.059
102.467
102.991
103.297
Y
0
0.05792
0.23168
0.52128
0.92672
1.448
2.0852
2.44712
1.75208
1.17288
0.70952
0.362
0.13032
0.01448
0
ElevS/T 3+920= 99.137+(0.032)(20)
=99.777
S lo prefieres se pueden replantear la curva desde el PTV donde cambia la ecuación de las
pendientes. Así por ejemplo:
La ecuación ya no será Y = 104.766 – 0.0433 X + 1.448 x 10-3 X2 sino con los valores de P2
por tanto,
Y = 103.297 – 0.032 X + 1.448 x 10-3 X2
De esta ecuación sustituyendo los valores de X desde el PTV encontramos los valores. Así por
ejemplo:
Elevación 4+020 Y4+020 = 103.297 – 0.032 X + 1.448 x 10-3 X2
Elevación 4+020 Y4+020 = 103.297 – 0.032 (10) + 1.448 x 10-3 (10)2
38
De Igual manera:
PCV
PIV
PTV
Estación
3+770
3+790
3+810
3+830
3+850
3+870
3+890
3+900
3+920
3+940
3+960
3+980
4+000
4+020
4+030
X
0
20
40
60
80
100
120
130
110
130
70
80
30
10
0
Elev S/T
104.766
103.899
103.033
102.166
101.300
100.433
99.566
99.137
99.777
100.417
101.057
101.697
102.337
102.977
103.297
Elev S/C
104.766
103.957
103.265
102.687
102.227
101.881
101.651
101.584
101.529
101.590
101.767
102.059
102.467
102.991
103.297
Y
0
0.05792
0.23168
0.52128
0.92672
1.448
2.0852
2.44712
1.75208
1.17288
0.70952
0.362
0.13032
0.01448
0
En Conclusión no importa como usted decida hacerlo. Para puntos ubicados entre el PCV y el
PIV las distancias (X) se consideran desde el PCV, mientras que para los puntos ubicados entre
el PIV y el PTV las distancias (X’) se miden a partir del PTV.
El señor (OSPINA, 2002) propone que este cálculo puede hacerse en función de las
correcciones basados en la externa. Así para las curvas simétricas:
Partiendo de la Externa E = GL/8 = (0.032 – (-0.0433) * 260/8 = -0.0753 * 260/8 = -2.447
La corrección vertical Y =
-2.447/(260/2)2 = 1.447 X 10-4 X2
Al hacer constante el valor de E/(Lv/2)2 resultará:
Al introducir los valores de las distintas distancias (estas distancia se deben tomar desde el
PCV –PIV y PIV –PTV) se obtendrán los valores de Y para luego a la cota de tangente solo
restar este valor y encontrar los valores de elevaciones sobre la curva.
Y 3+790 = 1.447 X 10-4 (20)2 = 0.05792
Estación
X
PCV
3+770
0
3+890
120
Elev S/T
104.766
99.566
Elev S/C
104.766
101.651
Y
0
2.0852
Al Fin es la misma ecuación general que se plasma por la SCT. Para el caso de las asimétricas
39
la ecuación es la misma solo que debe de trabajarse con cada longitud de la cuva y la externa
se calcula por:
EJEMPLO3
Se va a proyectar una curva vertical entre pendientes P1=1.25% y P2= -2.75 % con intersección
en la estación 18 + 000 de elevación 270.29 m. Calcular las elevaciones en las estaciones
cerradas a 20 metros y revisar la longitud.

Velocidad de Proyecto: 110 km/hr.
SOLUCIÓN:
1)
Para definir la longitud de la curva vertical y cumplir con las distancias de visibilidad
de parada debe de cumplirse con el parámetro K para curvas en cresta o para curvas en
columpio según sea el caso. A manera de ejemplo para el cálculo de las elevaciones de la
curva se tomó la longitud L  80m
2)
Cálculo de la curva empleando la ecuación matemática de una parábola se tiene:
r * x2
y  YPCV 
 P1 * x
2
La longitud de curva siempre es planimétrica y se considera la mitad de la curva del PIV hacia
el PCV y la mitad del PIV hacia el PTV. Con este criterio y las pendientes de las tangentes
verticales se calculan las elevaciones de los puntos de inicio y terminación de la curva.
YPTV = 270.29 - (0.0275) (40) = 269.19 m
YPCV = 270.29 - (0.0125) (40) = 269.79 m
La ecuación de la parábola con los valores de la variables conocidos sustituidos y quedando “y”
en función de “x” queda:
r P2  P1  2.75  1.25


 0.00025
2
2L
2 * 80 *100
y  269.79  0.00025 x 2  0.0125 x
Cadenamiento
PCV = 17 + 960
17 + 980
X
Y
Distancia ( m ) Elevación ( m
)
0.0
269.790
20
269.940
40
PIV = 18 +000
18 + 020
PTV = 18 +040
40
60
80
269.890
269.640
269.19
EJEMPLO4:
Calcular la siguiente curva vertical:

P1 = + 3.4 %

P2 = - 4.0 %

PIV = 10 +140

Elevación = 24.145 m
SOLUCIÓN:
3)
Para definir la longitud de la curva vertical y cumplir con las distancias de visibilidad
de parada debe de cumplirse con el parámetro K para curvas en cresta o para curvas en
columpio según sea el caso.
Considerando una longitud L  160m
1)
Cadenamientos del PCV y PTV
2)
L
 160 
 10  140   
  10  060
2
 2 
L
 160 
Cad PTV   Cad PIV    10  140   
  10  220
2
 2 
Elevaciones del PCV y PTV
P L
ElevPCV   ElevPIV   1 *  24.124  0.034 * 80   21.425m
100 2
P L
ElevPCV   ElevPIV   2 *  24.145  0.034 * 80   20.945m
100 2
Cad PCV   Cad PIV  
3)
En este ejemplo se empleará la ecuación directa o método directo que es una
simplificación de del método de la ecuación parabólica anterior, la expresión es:
y  kx 2
P
k
10 L
donde:
y= Ordenada vertical a restar o sumar, a las cotas de la tangente de la curva
P= Diferencia algebraica de pendientes de la curva
x= Número de orden que le corresponde a la estación
L1= Longitud de curva en estaciones de 20 metros
41
Para el ejemplo:
P  7.4%
L=8estaciones
Por lo tanto:
k


7.4
 0.0925
10 * 8
Caso 1: Cotas a través de ambas pendientes
Estación
Cotas
x
x²
k
en
Tangent
es
PCV = 10 + 060
21.425
10 + 080
22.105
1
1
0.0925
10 + 100
22.785
2
4
0.0925
10 + 120
23.465
3
9
0.0925
PIV = 10 + 140
24.145
4
16 0.0925
10 + 160
23.345
3
9
0.0925
10 + 180
22.545
2
4
0.0925
10 + 200
21.745
1
1
0.0925
PTV = 10 + 220
20.945
-
y
Cotas
en
Curva
0.0925
0.3700
0.8325
1.4800
0.8325
0.3700
0.0925
-
21.4250
22.0125
22.4150
22.6325
22.6650
22.5125
21.1750
21.6525
20.9450
Caso 2: Cotas a través de la pendiente de entrada ( P1 )
Estación
Cotas en
x
x²
k
Tangentes
PCV = 10 + 060
10 + 080
10 + 100
10 + 120
PIV = 10 + 140
10 + 160
10 + 180
10 + 200
PTV = 10 + 220
21.425
22.105
22.785
23.465
24.145
24.825
25.505
26.185
26.865
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
4
9
16
25
36
49
64
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
y
0.0925
0.3700
0.8325
1.4800
2.3125
3.3300
4.5325
5.9200
Cotas
en
Curva
21.4250
22.0125
22.4150
22.6325
22.6650
22.5125
21.1750
21.6525
20.9450

Caso 3: Cotas a través de ambas pendientes
PIV=10+150; Elevación=24.145m; PCV=10+070; PTV=10+230
Estación
Cotas en
x
x²
k
y
Tangentes
PCV = 10 + 070
21.425
0
0.0925
10 + 080
21.765
0.5 0.25 0.0925 0.02313
Cotas en
Curva
21.4250
21.7419
42
10 + 100
10 + 120
PIV = 10 + 140
10 + 160
10 + 180
10 + 200
10 + 220
PTV = 10 + 230

22.445
23.125
23.805
23.745
22.945
22.145
21.345
20.945
1.5
2.5
3.5
3.5
2.5
1.5
0.5
0
2.25
6.25
12.25
12.25
6.25
12.25
0.25
-
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.20813
0.57813
1.13313
1.13313
0.57813
0.20813
0.02313
-
22.2369
22.5469
22.6718
22.6119
22.3669
21.9369
21.3219
20.9450
Caso 4: Cotas a través de la pendiente de entrada ( P1 )
PIV=10+150; Elevación=24.145m; PCV=10+070; PTV=10+230
Estación
Cotas en
Tangentes
21.425
21.765
22.445
23.125
23.805
x
x²
k
y
0
0.5
1.5
2.5
3.5
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.0925
0.02313
0.20813
0.57813
1.13313
10 + 160
24.485
4.5
0.0925
1.87313
22.6119
10 + 180
25.165
5.5
0.0925
2.79813
22.3669
10 + 200
25.845
6.5
0.0925
3.90813
21.9369
10 + 220
26.525
7.5
0.0925
5.20313
21.3219
PTV = 10 + 230
26.865
8
0.25
2.25
6.25
12.2
5
20.2
5
30.2
5
42.2
5
56.2
5
64.0
0
Cotas en
Curva
21.4250
21.7419
22.2369
22.5469
22.6718
0.0925
5.9200
20.9450
PCV = 10 + 070
10 + 080
10 + 100
10 + 120
PIV = 10 + 140
Resuelva este ejercicio propuesto por Agudelo en su pág. 426
N
1
2
3
4
Estación
0+000
0+180
0+370
0+580
Elevación
324.51
337.83
322.25
335.90
43
Bibliografía
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44

Universidad Nacional de Ingeniería

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