Amancio Betzuen Zalbidegoitia* y Aitor Barañano Abasolo

Transcripción

50
ANÁLISIS FINANCIERO
Amancio Betzuen Zalbidegoitia* y
Aitor Barañano Abasolo**
Simulación estocástica
en la determinación del valor
en riesgo de los activos financieros.
Stochastic simulation in determining the value at
risk of financial assets.
RESUMEN
El Valor en Riesgo o VaR (Value at Risk) es una medida estadística que con un solo dato resume el riesgo de un
valor, o cartera de valores, de generar pérdidas derivadas de movimientos normales de mercado. Pérdidas
superiores al VaR se producen sólo en movimientos anormales de mercado, y tienen, por tanto, una pequeña
probabilidad de producirse.
Para la determinación de dicho valor necesitamos proyectar flujos de caja y para ello acudiremos a las técnicas de
simulación que consisten en asignar distribuciones de frecuencias a las variables del modelo que tienen riesgo y, posteriormente generar números aleatorios acorde a esas distribuciones “simulando” el comportamiento que se considera (miles de escenarios) que tendrán en el futuro. De esta manera es posible darle más realismo al modelo obteniendo
resultados más confiables a la hora de tomar una decisión.
Palabras clave: Simulación Monte Carlo; Valor en Riesgo; Correlación.
ABSTRACT
Value at Risk (VaR) is a statistical measure that summarizes data in a single risk of a security or portfolio, generating
losses resulting from normal market movements. Losses exceeding VaR occur only in abnormal market movements
and have therefore a small probability of occurring
In determining that value cash flows and projected need for this we turn to the simulation techniques that consist of
frequency distributions assigned to model variables that are at risk and then generate random numbers according to
these distributions “mimicking” the behavior that is considered (thousands of scenarios) that will in the future. This
makes it possible to give more realism to the model to obtain more reliable results when making a decision.
Key words: Monte Carlo Simulation; Value at Risk; Correlation
Recibido: 05 de Septiembre de 2011
Aceptado: 28 de Octubre de 2011
*
Catedrático de Universidad. Departamento Economía Financiera I.
Facultad de CC. Económicas y Empresariales. Universidad del País Vasco.
** Profesor Asociado de Universidad. Departamento Economía Financiera I.
Facultad de CC. Económicas y Empresariales. Universidad del País Vasco.
Amancio Betzuen Zalbidegoitia y Aitor Barañano Abasolo: Simulación estocástica en la determinación
del valor en riesgo de los activos financieros
Stochastic simulation in determining the value at risk of financial assets.
Análisis Financiero n° 117. 2011. Págs.: 50-57
SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA EN LA DETERMINACIÓN DEL VALOR EN RIESGO DE LOS ACTIVOS FINANCIEROS
1. INTRODUCCIÓN
El VaR es una medida que representa un dato de pérdidas
potenciales en circunstancias normales. Es el límite de pérdidas
potenciales de un periodo temporal determinado (por ejemplo
en un día) que está incluido en un porcentaje determinado de
las ocasiones (habitualmente el 95%). Este porcentaje se
corresponde estadísticamente con el intervalo de confianza.
A efectos prácticos, si el VaR a 1 día y para un intervalo de
confianza del 95% de una acción de Repsol es de 0,29
euros. Significa que en un 95% de los casos no perderíamos
más de 0,29 euros con cada acción de Repsol en las siguientes 24 horas.
La forma de medición de este concepto puede variar, y de
hecho varía. Además de que el VaR puede referirse a un día
o a una semana, o tener distintos intervalos de confianza, la
forma en la que se calcula estadísticamente este dato varía.
En nuestra opinión la simulación estocástica es el mejor método para proyectar flujos que consistirá en un modelo de activos, consistente con el mercado, que permita la proyección de
precios y rentabilidades (de los activos financieros). En virtud
del modelo de simulación estocástico, el valor esperado será
igual a la media de esas proyecciones estocásticas.
Para proceder de una forma adecuada en las proyecciones
estocásticas de los activos, se tendrán en cuenta los aspectos
siguientes:
•
El horizonte temporal de la proyección debe ser suficientemente amplio como para reflejar todos los flujos
de caja.
•
El número de proyecciones debe ser lo suficientemente
amplio como para garantizar un grado razonable de
convergencia en los resultados. Se debe analizar la sensibilidad de los resultados respecto al número de proyecciones.
•
Las proyecciones se deben basar en los activos poseídos
actualmente y reflejarán los principios y prácticas de
gestión empresarial aplicados por ésta.
Además, el modelo estocástico será consistente con la actual
estructura temporal de tipos de interés sin riesgo.
Cabe destacar que muy pocos modelos (si es que hay
alguno) pueden replicar todos los valores de mercado
observables para una amplia gama de clases de activos.
Nuestra experiencia nos indica que es preciso aplicar el
buen criterio profesional para obtener estimaciones fiables de aquellos parámetros que no puedan inferirse
directamente de los precios de mercado (como consecuencia de la existencia de mercados incompletos, volatilidad a largo plazo, etc.).
En estas circunstancias, es aceptable ajustar el modelo
utilizando datos extraídos del mejor histórico de precios
disponible, el grado de liquidez más reciente o la última
calificación crediticia del emisor. Esta parametrización
del modelo se ajustará al plazo, grado de liquidez o calidad crediticia deseada de la calibración. A nuestro entender, es la propia compañía quién debería determinar un
rango de parámetros fiables a utilizar en la valoración.
En lo que respecta a los riesgos financieros para los que
no existe cobertura la valoración es, por lo general, ajena
al ámbito de los instrumentos financieros negociables
(vencimientos distintos a los de los instrumentos negociables, activos no negociables o no realizables, etc.) y, por
consiguiente, no será posible derivar la volatilidad implícita a partir de los actuales instrumentos negociables. En
esos casos, se recurrirá a la volatilidad histórica (si está
disponible) corregida para incorporar toda diferencia
observable respecto a volatilidades históricas pasadas.
2. SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA:
MÉTODO MONTECARLO
En el caso de que un modelo de simulación no considere
ninguna variable importante, comportándose de acuerdo
con una ley probabilística, estamos ante un modelo de
simulación determinista. En estos modelos la salida
queda determinada una vez que se especifican los datos
y relaciones de entrada al modelo, tomando una cierta
cantidad de tiempo de cómputo para su evaluación. Sin
embargo, muchos sistemas se modelan tomando en cuenta algún componente aleatorio de entrada, lo que da la
característica de modelo estocástico de simulación.
El método de Monte Carlo es un método no determinista, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se
51
52
llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado
de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la
ruleta un generador simple de números aleatorios.
VaR en la distribución de probabilidades
Media: prdida esperada o promedio
0.1
El procedimiento de la simulación Monte Carlo podríamos
aplicarla en tres etapas:
1ª etapa: se especifican procesos estocásticos para las
variables y se estiman sus parámetros con datos históricos o implícitos.
0.08
Probabilidad
•
0.09
0.07
0.06
0.05
Capital econmico: cubre
prdidas inesperadas hasta
cierto percentil
prdidas inesperadas
0.04
0.03
•
2ª etapa: se simulan trayectorias para las variables y
para el horizonte deseado.
0.02
previsiones
0
0
•
Percentil
99.5%
0.01
Probabilidad que las
prdidas excedan el
VaR (esperadas +
inesperadas): 0.05%
2.5
5
7.5 10
12.5 15
17.5 20
22.5 25
27.5 30
32.5
Prdida en %
3ª etapa: se obtiene la distribución de su rentabilidad y
calculamos el VaR.
Gráfico 1
Fuente: Elaboración propia.
En cuanto a la valoración de activos, la utilización del método Monte Carlo permite obtener el valor final que tendría un
activo financiero, o una cartera de ellos, después de replicar
miles de veces la trayectoria que puede seguir en el tiempo
los precios de los activos. Este ejercicio irá desde el caso más
simple, en el que se valora un único activo básico -un bono o
una acción-, hasta el más complejo, en el que se valora una
cartera compuesta por varios activos y/o derivados.
En todos los casos, la premisa básica es la asunción de alguna hipótesis sobre el comportamiento estocástico de los precios. De todas formas, antes de realizar cualquier simulación
recomendamos la realización de la Bondad de Ajuste.
A modo ilustrativo, se incluye un gráfico en el que se representa el VaR mediante una distribución de probabilidades y
teniendo en cuenta el intervalo de confianza elegido anteriormente.
Esquema de la metodogía del VAR mediante simulación
Montecarlo
VaR Simulación montecarlo
Generar escenarios de comportamiento
para cada factor de riesgo.
1
2
3
n
Valor
Actual
Tradicionalmente, la teoría financiera supone que los precios
siguen una distribución lognormal, o bien que los rendimientos siguen una normal, en cuyo caso el valor del activo en
cualquier instante del tiempo se puede expresar como:
1
2
3
n
Valor
Actual
Calcular cambios implícitos en el
valor del portafolio para cada
escenario y ordenar.
Escenario 1
Escenario 2
-
Escenario n
∆ P1
∆ P2
∆ P50
∆ Pn
∆ Pn
∆ P32
-
-
Calcular VaR.
siendo µ el rendimiento medio.
En definitiva, mediante la simulación Monte Carlo, se estiman posibles evoluciones de un valor o de una cartera de
valores. Según los datos obtenidos en la simulación de la
evolución del valor de mercado se obtiene el punto en el que
se dividen las pérdidas entre, por ejemplo, el 95% (percentil
95) de los casos y el 5% restante.
Gráfico 2
La información que aporta éste gráfico está relacionada con
la metodología que vamos a seguir en la implementación del
método Montecarlo para un caso de estudio concreto.
3. CASOS PRÁCTICOS
53
Rentabilidad esperada de la cartera individualizada
mediante simulación Montecarlo
3.1. Valoración individualizada de activos financieros
Supongamos que partimos de una cartera de renta variable
que está compuesta de acciones de una única compañía,
siendo el valor actual del portfolio de 1.000.000 euros.
Terico (Normal)
Probabilidad que
sea MENOR
que R% 12 meses
Monte Carlo
100%
90%
80%
70%
60%
Antes de realizar las simulaciones, obtenemos los datos históricos de la evolución de los distintos índices en aras a obtener rentabilidades medias, desviaciones típicas, etc.
50%
40%
30%
20%
R%
10%
Simulación Montecarlo mediante Visual Basic
100%
75%
50%
25%
0%
-25%
0%
50%
A modo de ejemplo, partimos de que nuestra cartera obtiene
históricamente un rendimiento y volatilidad medios anuales
del 8% y 18% respectivamente, y deseamos saber cuál es la
perdida probable que puede resultar, pues bien, tal y como
hemos comentado anteriormente, no habría más que generar
miles de números aleatorios que siguiesen una normal estándar, sustituir cada uno de ellos en la expresión anterior y
obtener para cada uno de ellos el precio al cabo del año.
Gráfico 4
En el gráfico se puede apreciar que existe una probabilidad
de pérdida entorno al 35%. Adicionalmente, se observa que
la simulación Monte Carlo se ajusta con la Teórico Normal.
Rentabilidad esperada de la cartera individualizada
mediante simulación Montecarlo
100%
90%
80%
MonteCarlo
Probabilidad que
Portfolio sea MENOR
que ÛX en 12 meses
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
Para hacer simulaciones, se ha diseñado, mediante programación en visual Basic, una macro para Excel que genera
una multitud de simulaciones. Se adjunta parte de la codificación que hemos empleado en Visual Basic.
A continuación, en la hoja de cálculo introducimos los datos
de rentabilidad y volatilidad del activo. Tras realizar 10.000
réplicas, mediante el gráfico siguiente recogemos los distintos porcentajes de rentabilidad esperados así como su probabilidad de ocurrencia:
1.648.000
ÛX
1.702.000
1.540.000
1.594.000
1.432.000
1.486.000
1.378.000
1.270.000
1.324.000
1.162.000
1.216.000
1.054.000
1.108.000
946.000
1.000.000
838.000
892.000
784.000
676.000
Gráfico 3
730.000
0%
Gráfico 5
Dado que nuestro objetivo es calcular el VaR de la cartera
debemos establecer un Intervalo de Confianza y un periodo
de tiempo. En nuestro caso, utilizaremos el percentil 90 a un
año. Para este caso podemos observar que el valor esperado
de la cartera sería de 838.000 euros. Por consiguiente,
teniendo en cuenta que tenemos una cartera actual valorada
en 1.000.000 euros la pérdida esperada a un año y con un
Intervalo de Confianza del 90% ascendería a 162.000 euros.
54
3.2. Valoración conjunta de activos financieros
Supongamos que tenemos otra cartera compuesta por cuatro
activos Indexados: S&P 500, Nasdaq, Gold/Silver Index y
Russel 2000.
Partimos de un valor actual de dicha cartera de 1.000.000
euros y el porcentaje de asignación de la cartera a cada uno
de los activos es equitativa, es decir, asignamos un 25% de la
cartera a cada uno de los cuatro activos que componen nuestra cartera.
Antes de realizar las simulaciones, obtenemos los datos históricos de la evolución de los distintos índices en aras de
obtener rentabilidades medias, desviaciones típicas, y en su
caso, reflejar la correlación existente entre ellos.
Estructura de las carteras
Fecha inicio:
Fecha final:
Date
ene-99
feb-99
mar-99
abr-99
may-99
jun-99
jul-99
ago-99
sep-99
oct-99
nov-99
dic-99
ene-00
feb-00
mar-00
abr-00
may-00
jun-00
jul-00
ago-00
sep-00
oct-00
nov-00
dic-00
ene-01
feb-01
mar-01
abr-01
may-01
jun-01
jul-01
ago-01
sep-01
oct-01
nov-01
dic-01
ene-02
feb-02
mar-02
abr-02
01-ene-99
01-feb-10
^GSPC
1279.64
1238.33
1286.37
1335.18
1301.84
1372.71
1328.72
1320.41
1282.71
1362.93
1388.91
1469.25
1394.46
1366.42
1498.58
1452.43
1420.60
1454.60
1430.83
1517.68
1436.51
1429.40
1314.95
1320.28
1366.01
1239.94
1160.33
1249.46
1255.82
1224.38
1211.23
1133.58
1040.94
1059.78
1139.45
1148.08
1130.20
1106.73
1147.39
1076.92
Diario
Semanal
Mensual
^XAU
63.26
60.56
59.76
73.42
60.87
66.93
62.87
67.34
80.26
69.55
67.04
67.97
59.98
59.76
56.50
54.75
56.28
57.81
50.85
52.34
49.92
43.87
47.08
51.41
48.86
52.51
47.57
55.13
57.13
53.25
53.06
56.56
57.79
54.53
52.57
54.53
61.33
65.16
70.89
7.96
^RUT
427.22
392.26
397.63
432.81
438.68
457.68
444.77
427.83
427.30
428.64
454.08
504.75
496.23
577.71
539.09
506.25
476.18
517.23
500.64
537.89
521.37
497.68
445.94
483.53
508.34
474.37
450.53
485.32
496.50
512.64
484.78
468.56
404.87
428.17
460.78
488.50
483.10
469.36
506.46
510.67
108 datos
ÎXIC
2505.89
2288.03
2461.40
2542.86
2470.52
2686.12
2638.49
2739.35
2746.16
2966.43
3336.16
4069.31
3940.35
4696.69
4572.83
3860.66
3400.91
3966.11
3766.99
4206.35
3672.82
3369.63
2597.93
2470.52
2772.73
2151.83
1840.26
2116.24
2110.49
2160.54
2027.13
1805.43
1498.80
1690.20
1930.58
1950.40
1934.03
1731.49
1845.35
1688.23
OBTENER DATOS HISTÓRICOS DE LOS
ÍNDICES (AITOR)
Nomenclatura de los índices
ÂORD
AUSTRALIA
^BIX
BANK INDEX
^BTK
BIOTECH INDEX
^DJI
DOW
^NFA
FINANCIAL
^FCHI
FRANCE
^XAU
GOLD/SILVER INDX
^GHA
HARDWARE
^HCX
HEALTHCARE
^HSI
HONG KONG
^N225
JAPAN
^SSEC
MEXICO
^MSCI
MOODYS COMMOD
ÎXIC
NASDAQ
^XOI
OIL INDEX
^RLX
RETAIL INDEX
^RUT
RUSSELL 2000
^GSPC
S&P 500
^SOXX
SEMICONDUCTOR
^STI
SINGAPORE
^PSE
TECH INDEX
^GSPTSE
TORONTO INDEX
^DJT
TRANSPORTATION
^FTSE
UK
^SMSI
MADRID GENERAL
^GDAXI
DAX
Tabla 1
Para obtener los datos históricos hemos realizado una macro
que recopila la información durante el periodo de observación y temporalidad que queramos.
55
Una vez detraído la información que necesitamos, después
de calcular los datos estadísticos y mediante el coeficiente de
Pearson obtenemos la matriz de correlaciones entre los distintos activos/índices.
Resultados estadísticos históricos de índices
Activos
Promedio
revalorización
índices
Desviación
Estándar
Distribución
S&P 500
GOLD/
SILVER
INDX
RUSSELL
2000
NASDAQ
0,207%
1,355%
0,697%
0,373%
Rentabilidad esperada de la cartera conjunta
Terico (Normal)
Probabilidad que el
Portfolio sea MENOR
que R% en 12 meses
Monte Carlo
Prdida
LogNormal
100%
90%
80%
3,9%
9,1%
5,5%
7,9%
70%
25,0%
25,0%
25,0%
25,0%
60%
50%
Tabla 2
Probabilidad que el Portfolio sea MENOR que R% en 12 meses
40%
30%
20%
R%
10%
Es importante, en el momento de agregar cada riesgo (índice) individual, tener en cuenta la correlación existente entre
ellos. La agregación de riesgos, evidentemente, no es la
suma de los riesgos individualizados. Para ello, tendremos
en cuenta el coeficiente de correlación que estandariza la
covarianza de manera que no dependa de las unidades en que
estamos midiendo.
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
-20%
-30%
0%
-40%
Mediante los datos históricos observados en la evolución de
los distintos índices, hemos obtenido los estadísticos: media
y volatilidad con la finalidad de realizar la proyección utilizando dichos parámetros.
Gráfico 6
Realizamos, por cada uno de los índices 10.000 simulaciones Monte Carlo y teniendo en cuenta las correlaciones obtenidas anteriormente por el coeficiente de Pearson, vemos,
por un lado, que la distribución se ajusta a una LogNormal,
y por otro lado, la probabilidad de que la cartera tenga pérdidas asciende al 32%
Valor esperado de la cartera conjunta
100%
90%
Resultados matriz de correlaciones de los índices
mediante coeficiente de Pearson
NASDAQ
40%
30%
20%
10%
Gráfico 7
1.619.592
1.516.327
1.413.062
1.309.796
1.206.531
0%
1.103.265
80%
10%
83%
100%
1.000.000
50%
RUSSELL
2000
70%
28%
100%
83%
896.735
Tabla 3
60%
793.469
107 registros
S&P 500
GOLD/
SILVER
S&P 500
100%
14%
GOLD/SILVER IND>
14%
100%
RUSSELL 2000
70%
70%
NASDAQ
80%
10%
70%
690.204
Matriz
Correlación
80%
Probabilidad
MonteCarlo que
Portfolio sea MENOR
que ÛX en 12 meses
ÛX
56
Por último, reflejamos los distintos valores esperados de la
cartera para distintos probabilidades de ocurrencia, acorde a
los 10.000 escenarios simulados. En el gráfico se puede apreciar el valor de la cartera esperado para los diferentes
Intervalos de Confianza.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
4. CONCLUSIONES
BENNETT, D.J. (1998). “Randomness”. Cambridge: Harvard
University Press.
1.- Mediante la simulación Monte Carlo obtenemos resultados de tipo probabilístico a diferencia del análisis determinista o “estimación de un solo punto”. De esta manera,
mediante la simulación estocástica, los resultados muestran no sólo lo que puede suceder, sino lo probable que es
un resultado.
BESIS, Joël (2004). “Risk Management in Banking” (second edition). John Wiley and Sons Inc.
2.- Claridad en los resultados. Gracias a los datos que genera una simulación Monte Carlo, es fácil crear gráficos de
diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan.
Esto es importante para comunicar los resultados a otras
personas interesadas.
3.- En la simulación Monte Carlo, resulta más fácil ver qué
variables introducidas tienen mayor influencia sobre los
resultados finales. En cambio, en los análisis deterministas
es más difícil ver las variables que más afectan el resultado.
4.- Mediante la simulación Monte Carlo, los analistas pueden
ver exactamente los valores que tienen cada variable
cuando se producen ciertos resultados. Esto resulta muy
valioso para profundizar en los análisis, y por consiguiente, facilita el análisis de escenarios. Sin embargo, en
los modelos deterministas resulta muy difícil modelar
diferentes combinaciones de valores de diferentes valores
de entrada, con el fin de ver los efectos de situaciones
verdaderamente diferentes.
5.- En la simulación Monte Carlo es posible modelar la correlación o relaciones interdependientes entre diferentes
variables de entrada. Esto es importante para averiguar
con precisión la razón real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente. Tal y
como hemos realizado en nuestro segundo caso práctico.
6.- Dicha simulación puede incorporar variación temporal en
los parámetros, colas gruesas y escenarios extremos y, por
ende, puede tener una amplia gama de riesgos.
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Amancio Betzuen Zalbidegoitia* y Aitor Barañano Abasolo

Transcripción

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