Ley de los senos

Cap 7 –
Aplicaciones de
la trigonometría
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Sección 7.1
La Ley del seno
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Triángulo Oblicuo
• Un triángulo oblicuo es un triángulo que no
contiene un ángulo recto.
• Para resolver triángulos oblicuos cuando solo
tenemos datos sobre
o Dos ángulos y un lado o
o Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos
Para resolver estos triángulos, usaremos la ley de
senos
Ley de Senos
• Cuando un triángulo oblicuo se nombra
como se muestra, la ley de senos dice
Comentarios
• Noten que la ley de senos consiste de las siguientes
tres fórmulas:
• Para aplicar cualquiera de estas fórmulas a un
triángulo específico, debemos saber los valores de
3 de las 4 variables.
Ejemplo
Resolver el ΔABC (al entero más cerca), si
A = 48°, C = 57°, y b = 47.
• Solución:
Como la suma de los ángulos de un
triángulo es 180°,
B = 180° – (57°+48°)
B = 75°.
• Para hallar el lado a y c, utilizaremos la
ley de senos.
Solución
• Para hallar a:
𝑎
𝑏
=
sin⁡(𝐴) sin⁡(𝐵)
𝑏⁡sin⁡(𝐴)
𝑎=
sin⁡(𝐵)
• Para hallar c:
𝑐
𝑏
=
sin⁡(𝐶) sin⁡(𝐵)
𝑏⁡sin⁡(𝐶)
𝑐=
sin⁡(𝐵)
≈ 36
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Casos en la Ley de Senos
• Los datos que se proveyeron en el ejemplo
anterior nos permiten definir exactamente un
triángulo único.
o dos ángulo y el lado incluido
• Sin embargo, si la información que nos
proveen es la medida de dos lados y un
ángulo opuesto a alguno de esos lados,
entonces, no siempre es posible definir el
triángulo de forma única.
Ejemplo
Resolver el ΔABC, si a = 50, A = 57°, y
b = 65.
• Solución:
sin⁡(𝐴) sin 𝐵
=
𝑎
b
bsin⁡(𝐴)
= sin 𝐵
𝑎
65 ∙ sin⁡(57)
sin 𝐵 =
50
sin 𝐵 ≈ 1.09027
• El ángulo B NO existe. No existe un triángulo con esas
medidas.
Ejemplo
• Resolver el ΔABC, si a = 10, A = 25°, y
b = 13.
• Solución:
sin⁡(𝐴) sin 𝐵
=
𝑎
b
bsin⁡(𝐴)
= sin 𝐵
𝑎
13 ∙ sin⁡(25)
sin 𝐵 =
10
sin 𝐵 ≈ 0.5494
B≈ sin−1 0.5494 ≈ 33.3°
Note que el seno es positivo en
el primer cuadrante y en el
segundo, por lo tanto, B podría
ser un ángulo del segundo
cuadrante, también.
Solución (cont)
B1 en primer cuadrante: B2 en segundo cuadrante:
B1≈ sin−1 0.5494 ≈ 33.3°
C1≈ 180 − (33.3 + 25)
≈ 121.7°
𝑐1
𝑏
=
sin⁡(𝐶1 ) sin⁡(𝐵)
θ𝑟 = sin−1 0.5494 ≈ ⁡33.3°
B2 ≈ 180 − 33.3° = 146.7°
C2≈ 180 − (146.7 + 25) = 8.3°
𝑐2
𝑏
=
sin⁡(𝐶2 ) sin⁡(𝐵)
𝑏⁡sin⁡(𝐶2 )
𝑐2 =
sin⁡(𝐵)
𝑏⁡sin⁡(𝐶1 )
𝑐1 =
sin⁡(𝐵)
13⁡sin⁡(121.7)
𝑐1 =
sin⁡(33.3)
13⁡sin⁡(8.3)
𝑐2 =
sin⁡(146.7)
𝑐1 ≈ 20.1
𝑐2 ≈3.4
Ejemplo
Cuando el ángulo de
elevación del sol es de 64 °, un
poste de teléfono que está
inclinado a un ángulo de 9 ° en
dirección opuesta al sol,
proyecta una sombra 21 pies
de largo sobre el suelo.
Aproxime la longitud del poste.
Solución
En la figura, ¿cuánto mide el
ángulo marcado B ?
B = 90° – 9° = 81°
¿cuánto mide el ángulo
C
marcado C ?
= 180° – (64° + 81°) = 35°
B
Solución
• Un triángulo que representa
esta situación podría ser.
• Para determinar el largo de
poste usamos la ley de seno
sin⁡(𝐴) sin 𝐶
=
𝑎
c
pies