Primer•• Coftlpetencl.s Int.reolaslal

/
Primer• • Coftlpetencl.s Int.reolaslal• •
NOMBRE DE LA ESCUELA
1
2
3
4
5
7
6
9
8.
10
0
I 1 ACADEMIA MENONITA
2 BALWIN SCHOOL
0
~
0
3 COLEGIO EspiRITU SANTO
4 COLEGIO LA MERCED
5 COLEGIO ROSA BELL
e
f
.. ,
COLEGIO SAN IGNACIO
H
7 CROEM
8 ESCUELA EUGENIO MARIA DE HOSTOS
9 UHS
..... .....,.
~
­
10 UNIVERSITY GARDENS (1)
11 UNIVERSITY GARDENS (2)
12
TOTAL
-
13
.
0
0
0
0
0
Q
0
0
0
0
0
14
.
15
:.'.
0
./
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa.______
Valor: 10 puntos Tiempo: 5 minutos
Resuelva la ecuacion sin 3x + sin x
Solve the equation sin 3x + sin x
= cos x
= cos x
para 0 ~ x < 2tr .
para 0 ~ x < 2tr .
50luci6n
Se usa la identidad
a
sin + sin
P=2 Sin( a; P) cos( a;P)
:. sin3x +sinx = 2sin2xcosx
:. 2sin2xcosx = cosx 2sin2xcosx-cosx = 0 (2sin2x -1)cosx = 0 2sin2x 1 0
=> sin 2x = .!.,O :s; 2x < 4tr
2
tr
6
tr
12
5tr
6
5tr
X=12
2x=-
=>2x=6
X=-
13tr
6
13tr
x=12
2x=17tr
2x=
6
6
cosx=O
tr
3tr
2'
2
=>x=- X=­
tr 5tr 13tr 17tr tr 3tr}
-- - - - - - ­
12' 12 ' 12 ' 12 ' 2' 2
Coniunto de soluciones es { ~
6
17tr
X=­
12
Escuela Superior University Gardens Cornpetencias de Matematicas Mesa,____________
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
Mrs. Smales's class filled out a survey. Here are the results for her 30 students
14 like hot dogs
18 like cheeseburgers
16 like tacos
8 like both hot dogs and cheeseburgers
7 like tacos and cheeseburgers 6 like tacos and hot dogs 1 likes none of these How many students like all three?
La clase de Mrs Smales Ilene una encuesta. Aqui estan los resultados de sus 30 estudiantes
14 prefieren los hot dogs
18 prefieren los cheeseburgers
16 prefieren los tacos
8 prefieren los hot dogs y los cheeseburgers 7 prefieren los tacos y cheeseburgers 6 prefieren los tacos y los hot dogs 1 no Ie gusta ninguno de estos lA cuantos estudiantes Ie gustan los tres? Solution: Let's use some trial and error for this particular problem with the help of a Venn Diagram. The diagram on the left has no students liking all three foods and the result is too few students. If 2 students like all three foods, then all the conditions are met. ~~~~------~~~~~
hot dogs (14 J
cheeseburgers (! 8)
hut ;:fugs (14)
_ theeseburgus (! &) I
!~\
")-;;-~ ~
\
J
~
~);WlS{16}
Totals. only 28 people
noot: {If
~~
6\5)
'"
4~5,
I
Vtilt'O${16)
TOOI.!s jO poople none {II
II
I
II v
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa_ _ _ _ __
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
Para que valores de a es {Sa + lX3a+ 2) divisible por 15?
For which values of a is (Sa + lX3a + 2) divisible by 15?
Soluci6n
ISI{Sa+1X3a+2)<=>3ISa+l y S13a+2
<=> Sa + 1== O{mod3)
<=> Sa -1{mod3)
<=> Sa == S{mod3)
<=> a == l{mod3)
<=> a == l{modlS)
3a+ 2 == O{modS)
3a == -2{modS)
3a==3{modS)
a==l{modS)
ya que (3,S) = 1
Asi que los valores de a son a
l{modlS)
0
equivalentemente a = 15k + 1~ k E Z
v
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa- - - - - - -
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
La sucesi6n creciente de enteros positivos al, a:z, . .. tiene la siguiente propiedad: an+Z ::; an + an+1 para n ~ 1. Si a7 ::; 120, entonces as es ? The increasing sequence of positive integers al, a2, . .. has the following property: an+2 ::; an + an+l for n ~ 1. If a7 ::; 120, then as is? Soluci6n: Usando la propiedad tenemos que Eliminando a6 de la ultima ecuaci6n (reemplazando su equivalente a4 + as de la ecuaci6n
anterior) obtenemos 2as + a4 ::; 120; eliminando as de est a ultima ecuaci6n (de la misma forma
que en el primer caso) obtenemos 2a3 + 3a4 ::; 120. Repitiendo el mismo procedimiento hasta
quedar con las variables al Y a2 tenemos la siguiente ecuaci6n Sal + 8a2 ::; i20 6 tambien
Las unicas soluciones para los enteros positivos al , a2 son al ::; 16, a2 ::; S Y al ::; 8 , a2 ::; 10
La primera de estas no es posible ya que la sucesi6n es creciente, luego la unica soluci6n es
al ::; 8 , a2 ::; 10
Hallando los demas valores de forma recursiva tenemos:
a3 ::; 8 + 10 ::; 18 ;
a4 ::; 10 + 18 ::; 28 ;
a6 ::; 28 + 46 ::; 74;
; a7::; 120.
as ::; 18 + 28 ::; 46;
Por 10 tanto
as::; 74 + 120::; 194
v
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa,_ _ _ _ __
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 rninutos
Sea
{all}
una sucesion aritmetica y
Demuestre que
{SII}
su sucesion de sumas parciales.
II
1
LS1 = -n(n +lX2a1 + all).
6
1=1
{all} is an arithmetic sequence and {SII}
II
1
Show that LS1 =-n(n+lX2a1 + all)·
Suppose
6
1-1
Solucion:
t S =tk[2a +(k-l)d]
1
1
1=1
2
1=1
II 1k+Lk(k-l)d
II
]
=,...-1 [ L2a
2
1=1
1z1
its sequence of partial sums.
v
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa,______
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
Llamese memorable a un numero telef6nico dld2dad4dsd6d7 de 7 digitos si la sucesi6n de prefijo
d 1d 2d a es exactamente igual a cualquiera de las sucesiones d4d sd s 6 dsd 6d 7 (0 ambas). Suponiendo que
cada drgito puede ser cualquiera de los digitos decimales 0, 1, 2, ... ,9; la cantidad de numeros
telef6nicos memorables distintos es de _ _ __
Call memorable a telephone number dld2dad4dsdsd7 of 7 digits if the sequence of the prefix d1d 2d a is
exactly to any of the sequences d4dsd s or d sd sd 7 (or both). Assuming that each digit can be any of the
decimal digits 0, 1, 2, ... ,9; the quantity of memorable telephone distinct numbers is __
Solud6n
Hay tres posibilidades
d1d 2d a = d4dsd 6 6
d1d 2da = d sd 6d 7 6 ambas
Con cada una de las 2 primeras se pueden formar 10,000 numeros, mientras que con la tercera 10, por
10 tanto, descontando las repeticiones, la cantidad de numeros que se pueden for-mar en total es 19,990.
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa,____________
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
"Juan tiene por 10 menos 6 primos", dice Jose. "No, tiene menos de 6", corrige Ramiro. "Tal vez tengas raz6n, pero 10 que yo se, es que tienes mas de 1 primo", agrega Ezequiel. lCuantos primos puede tener Juan si se sabe que uno solo de los muchachos dice la verdad? "Juan has at least 6 cousins", say Jose. "No, he has less than 6", clarify Ramiro. "Maybe you are right, but what I know is that you have more than 1 cousin", add Ezequiel. lHow many cousins could have Juan if we know that only one ofthe guys told the truth? Soluci6n:
5610 uno de ellos esta diciendo la verdad. Juan no puede tener por 10 menos 6 primos, porque tanto
Jose como Ezequiel estar!an diciendo la verdad, asf que esa posibilidad esta descartada. Si Juan tiene
entre 2 y 5 primos, tanto Ramiro como Ezequiel estarfan diciendo la verdad, as! que las descartamos
tambiE!n. En cambio si Juan tiene s610 un primo, s610 Ramiro estarfa diciendo la verdad. Por 10 tanto,
la respuesta es 1.
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa' - - - - - -
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
Disponemos de cuatro cuadrados iguales (estan sombreados) y pegados entre sl.
Ahora afiadimos a los cuatro cuadrados un quinto cuadrado, que puede estar en
cada una de las nueve posiciones que se indica.
4
l.Con cuantos de estos nueve poligonos, de cinco cuadrados, podemos formar
un cubo al que Ie falta una cara?
Soluci6n:
x
En principio tenemos cuatro caras, al afiadir la quinta para que resulte una caja sin
tapa, ha de cumplirse que que las aristas sefialadas con las letras x. t han de
coincidir con las senaladas con las letras y, z. Ademas no importa sobre que
arista, de las seis restantes, adjuntemos la quinta cara. Por tanto podemos anadir
los cuadrados 9,8,7,6,5 y 4 para que se cumpla la condici6n.
EscueJa Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa- - - - - -
Valor: 10puntos
Tiempo: 5 minutos
Un granjero tiene una huerta en forma de cuadrado, el lado del cuadrado es igual
a 8 metros de largo. Ha dividido su interior en tres zonas, tal como se muestra en
la siguiente figura:
A
D
'r
I
i
I
Sabiendo que el punto E coincide con el punto medio del segmento AD y que CF es perpendicualr al segmento BE. ,"Cual es el area del cuadrilatero CDEF? Soluci6n: Sabemos que el area de toda la huerta es igual a 8x 8 = 64 metros cuadrados. Ademas el triangulo AEB tiene por area 16 metros cuadrados. Los triangulos ABE Y FeB son semejantes (Los angulos ESC y AES son alternos internos). Como son triangulos 30-60-90, la raz6n de semejanza es
F;{2.
Por 10 tanto la raz6n de sus areas es de 5/4. EI area del triangulo FBG sera por
tanto igual a (4/5) por e1 area del triangulo ABE. Por tanto, el area del triangulo
FCB, es igual a: (4/5).16= 64/5 metros cuadrados
Tenemos que el area del cuadrilatero pedido es igual a: 64-16-(64/5)
metros cuadrados
=176/5
Escuela Superior University Gardens Competencias de Matematicas Mesa______
Valor: 10 puntos
Tiempo: 5 minutos
For this problem, an expression such as "XC" represents the two-digit number with a tens digit
"X" and a units digit "C". In the setoffour equations below, each letter represents a unique
digit and C
=1.
lM = Rl
lP = COFl
What is the value of RD ?
Para este problema, una expresi6n como "XC" representa un numero de dos dfgitos donde "X"
es el dfgito de las decenas y tlC" el de las unidades. En el siguiente conjunto de cuatro
ecuaciones, cada letra representa un dfgito unico y C = 1.
Ml =XC
=
MR =UFA
l M Rl
lP
=COFl
lCual es el valor de RD?
Solution:
We must match the ten letters in the four equations to the ten digits 0 through 9. Basically, this
is a Guess & Check/logic problem. We know that C = 1. We also know that some powers
always keep the same digit in the units place and other powers run through a repeating cycle in
the units digit. For Ml
=Xl, only 3 and 9 raised to powers, can result in a two-digit number
with a units digit of 1. So Ml = 3 or 9 and X =8 either way. We also know l M =Rl which
4
2
=RL Only 43 is a two-digit number. So l M =Rl translates 43 =64. Now we
have C = 1, M :::: 3, l =4, X =8 and R = 6. The third equation MR =UFA, we now know is
6
3 = 729. So lP =COFl translates 4 P=1024. Only P =5 gets us in the one thousand range so
means 4 3 or 29
4 5 = 1024. Now RD = 6° = 1.