Problema 43: El intercambio – Pásame entonces diez minas y seré

Problema 43: El intercambio – Pásame entonces diez minas y seré

Problema 43: El intercambio
Llamemos x e y al peso de cada uno de ellos. Entonces:
Si el que pesa y le pasa diez minas al que pesa x, entonces sus pesos serán, (x + 10) e
(y – 10) respectivamente. Así:
– Pásame entonces diez minas
y seré tres veces más pesado que tú.
– Pásame otro tanto
y yo seré hasta cinco como tú.
x + 10 = 3 · (y – 10)
Si el que pesa x le pasa diez minas al que pesa y, entonces sus pesos serán, (x – 10) e
(y + 10) respectivamente. Así:
Contexto histórico y mitológico
Estos ejercicios con dos incógnitas son curiosos, pues los griegos entendían la matemática casi
única y exclusivamente como geometría, dejando a un lado el resto de las ramas. Por ello muy
pocos matemáticos se dedicaron al álgebra, aunque la tradición aritmético-algebraica mesopotámica
no fue nunca desechada en la matemática griega, ya que diversas fuentes muestran que fueron
incorporados algunos resultados. Entre los matemáticos griegos que se dedicaron al álgebra,
destacamos a Diofanto y Thymaridas de Paros.
A pesar de todo, los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando
métodos geométricos.
Thymaridas de Paros (hacia 400 a.C. – 350 a.C.) diseñó un método para resolver un tipo particular
de sistemas con n ecuaciones lineales y n incógnitas conocido como “La flor de Thymaridas”.
Aunque se sabe poco sobre la vida de Thymaridas, se cree que era un hombre rico, que cayó en la
pobreza. Se dice que Téstor de Poseidonia viajó a Paros con el fin de ayudar a Thymaridas con el
dinero que se recaudó con ese fin para él.
Jámblico afirma que Thymaridas llamó a los números primos como números “rectilíneos”, ya que
sólo se pueden representar en una línea unidimensional. Los números no primos, por otro lado, se
pueden representar en un plano de dos dimensiones, como un rectángulo con lados que, cuando se
multiplican, producen el número no primo en cuestión. Además, llamó al número uno la “cantidad
limitante”. También trabajó con ecuaciones lineales simultáneas. En particular, se creó la entonces
famosa regla que se conoce como la “flor de Thymaridas” para resolver un determinado sistema de
n ecuaciones con n incógnitas.
y + 10 = 5 · (x – 10)
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
 x − 3 y = −40

5 x − y = 60
Si usamos el método de sustitución para resolverlo, tenemos que, despejando x de la primera
ecuación:
x = 3y – 40
Sustituyendo en la segunda:
5 (3y – 40) – y = 60
⇒
15y – 200 – y = 60
⇒
14y = 260
Por tanto:
x=3·
130
390 280 110
– 40 =
−
=
7
7
7
7
Diofanto por su parte también resuelve problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero
transformándolos en una ecuación lineal, aunque nunca encontró un método general.
Solución: Uno 110/7 minas y el otro 130/7.
⇒
y=
260 130
=
14
7