Factorización

Factorización
Aun cuando aprendemos a factorizar desde la secundaria, los problemas de este estilo terminan
siendo de los más complicados de resolver.
1. El polinomio x2 + 1 es irreducible en R, en cambio, x4 + 1 es factorizable en R.
2.
Sophie-Germain
a4 + 4b4 es primo solamente cuando a = b = 1.
3. Una versión alternativa:
Factoriza x4 + 41 y 4 .
Los primeros tres problemas, son fundamentales al resolver problemas de álgebra y siempre hay que
tenerlos en mente.
4. Si n es la suma de dos cuadrados, entonces 2n también lo es.
5. ¾Puedes encontrar enteros m, n con m2 + (m + 1)2 = n4 + (n + 1)4 ?
6. El número 4545 + 5454 , ¾es primo?
7. Calcula la suma
n
X
k=1
4k
4k 4 + 1
8. Muestra que hay una innidad de enteros positivos a de manera que para cualquier n, el número
n4 + a no es primo.
9. Prueba que si n > 1, entonces n4 + 4n nunca es primo.
10. Calcula
(104 + 324)(224 + 324)(344 + 324)(464 + 324)(584 + 324)
(44 + 324)(164 + 324)(284 + 324)(404 + 324)(524 + 324)
11. Encuentra el mayor divisor primo de 252 + 722 .
n
12. Prueba que para todo entero n > 2, el número 22
−2
+ 1 no es un número primo.
13. Prueba que para cualquier sucesión que satisfaga la relación de recurrencia xn+1 + xn−1 =
es periódica.
14. Calcula la suma
n
X
k2 −
k=1
15. Evalúa
k4 +
√
2xn ,
1
2
1
4
4
34 + 14 · · · (2n − 1) + 14
4
24 + 14 44 + 14 · · · (2n) + 41
14 +
1
4
16. Considera el polinomio P (x) = x4 + 6x2 − 4x + 1. Prueba que P x4 puede ser escrito como el
producto de dos polinomios con coecientes enteros, cada un de grado mayor que 1.
1
17. Prueba que para cualquier entero n mayor que 1, n12 + 64 puede ser escrito como el producto de
cuatro enteros positivos distintos mayores que 1.
18. Sean m y n enteros positivos. Prueba que si m es par, entonces
m
X
k
(−4) n4(m−k)
k=0
no es un número primo.
19. Encuentra el mínimo entero positivo n para el cual el polinomio
P (x) = xn−4 + 4n
puede ser escrito como el producto de cuatro polinomios no constantes con coecientes enteros.
20. Si n ∈ N0 =⇒ f (n) = 22 + 22
n
n−1
+ 1 tiene al menos n factores primos distintos.
21. Encuentra todos los primos de la forma nn + 1, que sean menores que 1019 .
22. Factoriza en Z:
a)
x10 + x5 + 1
b)
x4 + x2 + 1
c)
x8 + x4 + 1
d)
x9 + x4 − x − 1
23. Resuelve el sistema de ecuaciones
x+y+z
= a
x2 + y 2 + z 2
= b2
x3 + y 3 + z 3
= c3
24. Prueba que la única solución positiva de
x + y2 + z3
=
3
2
3
=
3
z + x2 + y 3
=
3
y+z +x
es (x, y, z) = (1, 1, 1).
25. Prueba que f (n) = n5 + n4 + 1 no es primo par n > 1.
26. Resuelve 3x + 4y = 5z en enteros no negativos.
27. ¾Para cuáles enteros positivos m, n podemos factorizar mak + nbk ?
El siguiente problema es útil en un sin n de problemas. Vale la pena tener presente su factorización.
28. Factoriza x3 + y 3 + z 3 − 3xyz .
2