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Transcripción

ACTAS DE LA VII
CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Año 2009
ACTAS DE LA VII
CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
SOAREM
Sociedad Argentina de Educación Matemática
http://www.soarem.org.ar
II
ACTA DE LA VII CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
VII CAREM. Organizada por la Sociedad Argentina de Educación Matemática y el
Departamento de Matemática de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la
Universidad Nacional del Litoral, del 15 de mayo de 2008 al 17 de mayo de 2008, en la
Ciudad de Santa Fe. República Argentina
Editoras:
Irene Zapico, Silvia Tajeyan
En la portada:
Fotografía del puente colgante de Santa Fe, propiedad de Silvia Tajeyan e imagen de la
Sociedad Argentina de Educación Matemática, http://www.soarem.org.ar
Diseño de portada y CD:
Irene Zapico, Silvia Tajeyan, Ezequiel Lobatto
Edición:
©2009. SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. Casilla de Correos 50 Sucursal 17 Villa del Parque. (1417) Ciudad de Buenos Aires. República Argentina.
[email protected]
ISBN: En trámite
Derechos reservados.
© SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. http://www.soarem.org.ar
Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente:
Zapico, I., & Tajeyan, S. (Ed.). (2009). Acta de la VII Conferencia
Argentina de Educación Matemática, República Argentina, Ciudad de
Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática.
III
COMITÉ ORGANIZADOR DE LA CAREM
Presidenta Honoraria:
Nelly Vázquez de Tapia
Presidente:
Oscar Sardella
Colaboradores
Norma Cotic (Vicepresidente 1°)
Adriana Engler (Vicepresidente 2º)
Cecilia Crespo Crespo (Secretaria)
Patricia Leston (Prosecretaria)
Adriana Berio (Tesorera)
Liliana Homilía (Protesorera)
Cristina Verdaguer de Banfi (Vocal)
Vilma Giudice (Vocal)
Teresa Braicovich (Vocal)
Irene Zapico (Vocal)
Haydeé Blanco (Vocal
COMISIÓN DE REVISORES DE CUENTAS
TRIBUNAL DE ÉTICA
Titulares:
Enrique Fabián Valiño
Christiane Ponteville
Ángela Pierina Lanza
Suplente: José Luis Rey
Titulares:
Daniela Andreoli
María de las Mercedes Colombo
María Rosa Rodríguez
Suplente: Elsa Groenewold
IV
Comité Científico de Evaluación
Andreoli, Daniela
Holgado, Lisa
Blanco, Haydeé
Homilka, Liliana
Braicovich, Teresa
Lanza, Pierina
Cadoche, Lilian
Lestón, Patricia
Capdevila, Myriam
Mántica, Ana María
Caputo, Liliana
Marcilla, Marta
Cerutti, Rubén
Mercau, Susana
Chahar, Berta
Messina, Vicente
Ciancio, María Inés
Montoito Teixeira, Rafael
Colombo, María de las Mercedes
Oliva, Elisa
Correa Zeballos Marta
Pérez de del Negro, María Angélica
Cotic, Norma
Pérez, María del Carmen
Crespo Crespo, Cecilia
Ponteville, Christiane
Engler, Adriana
Rey, José Luis
Esper, Lidia
Sardella, Oscar
Fayó, Alicia
Seminara, Silvia
Giudide, Vilma
Veliz, Margarita
González de Galindo, Susana
Zapico, Irene
V
Índice – Tabla de Contenidos
•
Básico (7-12 años) y Medio (13-17 años)
Hacia la construcción del concepto de volumen.
1
Gladis Saucedo
Los errores: ¿se emplean en la construcción del conocimiento matemático en
el nivel medio?
9
Higa, María Elena, Bumalen, Leonor Irene, Tarifa, Gloria Elsa
La semejanza, una propuesta de unidad didáctica.
18
Blasón, Rosa, Juárez, Patricia, Villamonte, Patricia, Rosa Salamone
Taller: De la construcción a la validación
28
María Susana Dal Maso y Marcela Götte
Dificultades alrededor de la construcción de la idea del infinito: una
experiencia de clase
33
Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón
Hacer matemática en la sala de informática. Una propuesta didáctica
42
María Ursula Zorba
La clasificación y la validación en geometría en libros de texto de argentina y
Uruguay para alumnos entre 12 y 15 años
54
Andrea Rajchman, Ana María Mántica, María Susana Dal Maso
•
Terciario
Propuesta para trabajar la demostración en el nivel terciario
64
Sara Scaglia, Fernanda Renzulli y Marcela Götte
Clases de matemática: la intervención de practicantes en la puesta en común
73
Adriana Duarte, Silvia Caronía
Había una vez 12 … ,¿o 4? …no!... son 6
81
Mabel Alicia Slavin
Las primeras prácticas docentes de los estudiantes del profesorado de
matemática
91
Liliana Homilka, Cecilia Crespo Crespo, Javier Lezama, Patricia Lestón
Matemática y literatura
98
Irene Zapico, Silvia Tajeyan
VI
El profesorado en matemática de la universidad nacional de rosario: visión de
sus docentes
100
Elisa Petrone, Natalia Sgreccia, Natalia Contreras, Julieta Recanzone.
Organização de feiras, orientação e avaliação de trabalhos em feiras de
matemática
109
Hélio dos Santos Silva , Vilmar José Zermiani, Viviane Clotilde da Silva
Algunos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado completas,
desde los babilonios a Descartes
115
Guillermina Emilia Vosahlo
Una propuesta para la introducción del concepto de derivada desde la
variación. Análisis de resultados
122
Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller
Una ingeniería didáctica para la construcción del concepto de distancia de un
punto a una recta en el espacio
133
Anido, Mercedes, Rubio Scola, Héctor E.
Aprender a demostrar: Reflexiones para la educación matemática
144
Malva Alberto, Juan Pablo Puppo, Gabriela Roldán
¿Pueden los sistemas algebraicos de cómputos (SAC) mejorar la comprensión
de conceptos matemáticos?
160
Sonia Pastorelli, Lilian Cadoche
Entorno de aprendizaje mixto. una experiencia con funciones
169
Daniela Müller, Adriana Engler, Silvia Vrancken
El trabajo con sistemas algebraicos de cómputos como medio para la
valoración continua del aprendizaje y de las prácticas educativas
178
Sandra Ramirez, Silvina Suau, Mercedes Moreno Diaz, Sonia Pastorelli
•
Universitario
La evaluación de la cátedra universitaria: revisiones, reflexiones y
posibilidades de mejora
187
Malva Alberto, Liliana Fiorito, Juan Pablo Puppo
El diálogo como recurso en la construccion del saber matemático en el aula
197
María Cristina Rocerau, Silvia Vilanova, Mercedes Astiz, María Susana Vecino,
Guillermo Valdez, María Isabel Oliver, Perla Medina.
VII
Un análisis desde la didáctica de la matemática. Sobre algunos errores en el
álgebra
206
Silvia Caronía, Ana María Zoppi, María del Carmen Polasek, Marta Rivero, Roxana
Operuk
Taller: Utilitarios de cálculo de uso libre: Octave - Maxima
213
Irma Manuela Benítez , Alicia Elena Carbonell, Maria Itatí Gandulfo
Una propuesta didáctica para la enseñanza de límite.
217
Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein,
María Inés Gregorini, Natalia Henzenn
Un entorno favorable a la demostración
226
Susana Moriena, Silvia Bernardis
Competencias sociales en el aula de matemática
233
Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli
Una propuesta de enseñanza-aprendizaje integradora de algebra lineal en el
marco de formación de competencias
240
Marcela R. Carranza, Gabriela Andino, Silvia Miró Erdmann, Marcela Natalia Baracco
Una trayectoria didáctica para la enseñanza de la geometría analítica en un
laboratorio de informática. Análisis de su idoneidad.
249
Mercedes Anido, Patricia Có, Mónica del Sastre, Erica Panella.
Una experiencia evaluando niveles de desarrollo de competencias matemáticas
258
Dora Fernández, Carolina Ramos , Sara I. Ottonello, Margarita V. Veliz
Un enfoque para la enseñanza de la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales en el primer ciclo universitario
268
Fred Alberto Lucuy Suarez, María Graciela Dodera, Laura Virginia Ponce
En la era del hipertexto se necesitan los textos.
276
Sonia Pastorelli, Ana Kozak
Las NTICS y los proyectos grupales: trabajo colaborativo de docentes y
estudiantes
282
Sonia Pastorelli, Humberto Pampiglioni, Lilian Cadoche, Matias Gareli Fabrizi
Rendimiento académico y actitudes ante el aprendizaje de la matemática
284
Margarita del V. Veliz, María Angélica Pérez y Blanca Estela Lezana
Variables relevantes para estudiar el grado de desarrollo de las habilidades
matemáticas
290
Villalonga de García, P., González de Galindo, S., Marcilla, M. y Mercau de Sancho, S.
VIII
Taller de matemática: propuestas para favorecer la articulación entre niveles
300
Carlos Enrique Parodi, Fabio Rubén Prieto, Sonia Lidia Vicente
Taller:“Uso de simuladores en la clase de matemática”
311
Gemignani, María Alicia, Vaira, Stella Maris, Gandulfo, María Itatí
Números complejos, una propuesta metodológica para alumnos de ciencias
biológicas.
319
María Susana Vecino, Guillermo Valdez, María Cristina Rocerau Silvia, Vilanova,
Mercedes Astiz, María Isabel Oliver, Perla Medina
Sistemas de ecuaciones una meta reflexión sobre la práctica profesional
327
Silvia Caronía, Enzo Berentt, Gerardo Lesiw
Detección y análisis de errores en elementos básicos de la alfabetización
estadística
335
Liliana Tauber, Yanina Redondo, Silvana Santellán
Concepciones y creencias de profesores sobre enseñanza y aprendizaje de la
matemática
346
María Graciela Dodera, Ester Alicia Burroni, María del Pilar Lázaro, Beatriz Piacentini
Uso de la herramienta computacional en la enseñanza de la estadística
356
Teresita Terán
Evolución de procesos de validación: un estudio con futuros profesores
363
Sara Scaglia, Melina Zampar
Scilab: herramienta en la resolución de problemas modelizados mediante
sistemas de ecuaciones lineales.
373
Ma. Graciela Imbach, Paula E. González Mués, Sandra Cristina Ramirez, Paula Andrea
Ricardi, Hurí Julia Speratti, Silvina Guadalupe Suau, Antonieta Ema Zinícola
Análisis del proceso de evaluación de una experiencia taller en geometría
380
Graciela Lombardo, Roxana Operuk
Instrumento para la evaluación de habilidades sociales
388
Lilian Cadoche, Flavia Frank, Hilda Henzenn
•
Educación de adultos
Propuestas para las clases de matemática de jóvenes y adultos de la escuela
primaria.
393
Marina Ángel, Sara Scaglia
IX
HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE VOLUMEN
Gladis Saucedo
Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina.
e-mail: [email protected]
Niveles: Básico y medio
Palabras claves: volumen, capacidad, medida, estimación
Resumen
El concepto de volumen tiene importancia en nuestra vida diaria porque nos movemos en un mundo
tridimensional y en más de una ocasión hemos necesitado medir el volumen de determinados cuerpos.
Sin embargo al revisar el tratamiento escolar que se da a las magnitudes se encuentra que el volumen parece
ser una de la más descuidadas en cuanto a las actividades que se realizan, ya que no sólo se dejan de lado
algunas de sus variadas relaciones con otros temas, sino que muchas veces se confunde la propiedad que se
mide (volumen) con su medida. Y esto se debe en parte a la influencia que tiene el Sistema Métrico Decimal
(SMD) en el currículo escolar, ya que medir se lo asocia al trabajo con el SMD, dando por supuesto que ya se
sabe qué es el volumen.
El presente trabajo se enmarca en un proyecto de investigación donde se pretenden diseñar propuestas
didácticas para trabajar contenidos de la geometría euclídea tendientes a superar las dificultades que supone el
apropiamiento de los conceptos geométricos. En esta propuesta se aborda la noción de volumen y se analizan
diferentes aspectos que tienen que ver con la enseñanza y el aprendizaje de dicho concepto. Estos aspectos
serán de utilidad y servirán de base para la elaboración de una secuencia didáctica sobre volumen
Introducción
La utilidad del concepto de volumen y su medida es innegable, ya que es un conocimiento necesario para
enfrentarse a ciertos requerimientos de la vida diaria como por ejemplo determinar el volumen de un
recipiente o comprender qué significa cuando se lee en un envase 720 cm3. Por lo general este tema está
presente en todos los programas escolares y un trabajo serio sobre el mismo debería incluir no sólo el
desarrollo del Sistema Métrico Decimal (SML) sino los aspectos geométricos, aritméticos y de resolución de
problemas asociados al mismo. Las aproximaciones al concepto de volumen se deben regular realizando
tareas adecuadas, atendiendo a los distintos años de la Educación Primaria y/o Secundaria. Se deben
proporcionar distintas experiencias y con variados materiales que pongan de manifiesto la importancia del
concepto y que permitan la construcción del mismo. No se deben presentar las fórmulas conocidas para
calcular el volumen de ciertos cuerpos, hasta que los alumnos no hallan realizado suficientes actividades que
les permitan utilizarlas comprensivamente.
En esta propuesta se aborda la noción de volumen y se analizan algunas particularidades que tienen que ver
con su el tratamiento didáctico. Estas aportaciones se utilizarán como base para la elaboración de una
secuencia didáctica sobre volumen con el objeto de superar las dificultades que supone su apropiamiento.
Página 1
El concepto de Volumen
Con respecto al concepto no cabe duda que las definiciones de los conceptos geométricos desempeñan un
papel destacado en la enseñanza de la geometría, y es necesario que el docente que va a enseñar un
determinado concepto sea capaz de identificar los rasgos definitorios del mismo. Por otra parte según Alsina,
Frotuny y Pérez (1997) una definición es una convención que explica el significado exacto que debe darse a
una palabra, expresión o símbolo, por lo menos durante el tiempo que la misma tenga validez.
Al realizar un breve rastreo entre los libros de textos que tratan el tema volumen , la mayoría cuando da la
definición de volumen lo hacen referido a poliedros, previa consideración de definir suma de poliedros y la
descomposición de un poliedro en cuerpos piramidales.
Tanto Sánchez Mármol (1947, p.1077), como Ferraris (1991, p. 102) y Puig Adam (1980, p. 339, 340) hacen
un análisis exhaustivo del concepto de volumen. Pero al analizar otros libros de los últimos años del Primario
y principios del Secundario se observa que los que se editaron en la última década dan una idea escueta de lo
que es volumen para luego pasar a la medida del volumen y trabajar con el SMD. En cambio libros más
antiguos, de hace más de dos décadas, hacen un tratamiento más extenso sobre el tema.
Es importante que el docente tenga acceso a distintas bibliografías y seleccione una definición sobre el tema a
tratar, esto lo ayudará no sólo a hacer un uso coherente del concepto sino también a buscar situaciones
didácticas que permitan a sus alumnos formar el objeto mental volumen; cuando decimos objeto mental nos
referimos al sentido que le da Freudenthal (1983) cuando dice que los objetos mentales son todas las
representaciones , ideas, relaciones, significados que el concepto evoca en la mente de la persona.
Trabajaremos con el concepto de volumen que toma Sánchez Mármol (1947), quién expresa que siendo los
cuerpos porciones del espacio limitadas por superficies cerradas, intuitivamente concebimos que dos
cuerpos, teniendo formas geométricas distintas, pueden encerrar en su contorno porciones iguales en el
espacio; tener igual extensión. A estos cuerpos se los denomina equivalentes . Luego dice que al comparar la
extensión de las figuras en el espacio se pueden definir para ellas las operaciones de adición y sustracción así
como establecer las relaciones de igualdad y desigualdad; resultando ser los sólidos una nueva especie de
magnitudes homogéneas Luego define poliedros equicompuestos, equivalentes y volumen como: La medida
de un cuerpo con relación a la unidad elegida se denomina volumen del cuerpo. La unidad elegida es el
volumen del cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Es evidente que: Dos cuerpos iguales o
equicompuestos o equivalentes, tienen igual volumen.
La equivalencia y la equicomposición entre poliedros y la equivalencia entre algunos de éstos con los
cuerpos limitados por superficies curvas, permite la determinación de los volúmenes de aquellos sólidos que
son objeto de estudio en la geometría elemental (p.1078)
Se considera esta definición porque que es más amplia, ya que primeramente hace referencia a cualquier
sólido para luego referirse a los cuerpos poliédricos y diferencia extensión de volumen. Pero así como se
utilizan indistintamente superficie o área, en este trabajo se utilizarán los términos extensión y volumen como
sinónimos, sin embargo se destaca que como formadores se necesita ahondar en estas diferencias aunque no
se expliciten en el desarrollo de las clases.
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Algunas aportaciones para el tratamiento didáctico del Volumen
A continuación se analizan algunos aspectos necesarios conocer, que tienen que ver con la enseñanza y
aprendizaje del concepto de volumen; teniendo en cuenta que estos conocimientos pueden dar lugar al diseño
de situaciones didácticas que permitan a los alumnos ir construyendo el concepto de volumen.
A: Volumen- Capacidad
En el dictado de un curso para maestros en la UNL se realizó una encuesta a 24 docentes de distintas escuelas;
el 54 % de los mismos trabaja en escuelas públicas de la ciudad de Santa Fe, mientras que la mitad del resto
en escuelas confesionales (parroquiales). El 46 % de los docentes son mayores de 40 años y el mismo
porcentaje dicta matemática en cursos superiores 6º, 7º y 8º año ( lo que era, hasta el año pasado, el tercer
ciclo de la EGB).
El 46 % de los encuestados había dictado alguna vez el tema volumen y a pesar de ser un contenido curricular
de los cursos citados anteriormente sólo un docente (4%) manifestó dictarlo en la actualidad, los demás hacía
que no desarrollaban dicho tema alrededor de 10 años.
Las respuestas a la pregunta ¿Qué es el volumen para usted? fueron categorizadas en cuatro grupos:
I. Los que consideran el volumen como capacidad: 50%
II. Los que consideran el volumen como lugar que ocupa un objeto o cuerpo en el espacio: 29 %
III. Los que consideran el volumen en su doble aspecto, como capacidad y lugar que ocupa un
objeto en el espacio: 12%
IV. Los que hacen referencia al volumen sin especificar el concepto correctamente: 9% ( es una
cantidad ; una magnitud ; responde a la tridimensionalidad ; largo x ancho x alto )
Como se observa la mayoría de los docentes consideran el volumen como capacidad. Lo que pasa es que
comúnmente ambos conceptos se expresan como sinónimos, sin embargo sabemos que ambos términos
conllevan significados diferentes. Volumen sugiere el espacio ocupado mientras que capacidad es el espacio
vacío con posibilidad de ser llenado.
Según Kerslake (1976) (citado por Dickson, 1991) la palabra volumen puede ser utilizada con dos
significados:
Volumen interno de un hueco, que es sinónimo de capacidad
Volumen externo como cantidad de espacio ocupado.
Destaca que en la vida cotidiana hacemos mayor referencia al volumen interno/capacidad y al llenado total o
parcial de cosas huecas y no al volumen como espacio ocupado. Además escolarmente se acentúa esta
afirmación ya que en las prácticas en el aula se limitan a llenar espacios huecos y hay una marcada carencia
de actividades que apunten a la noción de volumen como espacio ocupado. Kerslake considera que los
alumnos encuentran más sencilla la noción de volumen interior (¿Cuánto contiene esta caja?) que la de
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volumen exterior (¿Cuánto espacio ocupa este objeto?) y destaca que en general se presentan los mismos
esquemas o dibujos cuando se estudian los dos modelos de volumen, por lo tanto los alumnos no tienen la
oportunidad de distinguir claramente ambos tipos de volumen ni de considerar las diferentes consecuencias
que comporta cada tipo de medida. Por otra parte es más fácil determinar el volumen interno (capacidad) de
un objeto irregular, una pava por ejemplo, llenándola con agua y luego verterla en un vaso graduado, que
estimar el volumen de un objeto sólido como puede ser una mesa o un armario.
Freudenthal (1983) expresa que el volumen está menos expuesto a un empobrecimiento fenomenológico que
el concepto de área, especialmente por su doble aspecto de capacidad y volumen, pero destaca que la relación
entre capacidad y volumen es complicada, sobre todo por el uso que se le da en la vida diaria; ya que es
bastante frecuente utilizar medidas de volumen para medir capacidades o contenidos, por ejemplo: la
cantidad de agua de una piscina, la cantidad de gas que puede almacenar un depósito o la capacidad de un
motor.
Piaget e Inhelder (citado por Dickson, 1991) estudiaron que la noción de volumen ocupado se adquiere más
tarde que la de volumen interno (capacidad). Y que el volumen desplazado resulta más difícil de adquirir,
entendiendo como volumen desplazado la idea de que el volumen de un objeto es equivalente al volumen del
líquido que desplaza al ser sumergido en un recipiente con agua. Para muchos alumnos el volumen
desalojado parecería depender del peso del objeto sumergido, de la profundidad o tamaño. De ahí la
importancia de proponer en el aula actividades que pongan de relieve estos aspectos.
B: Estimación - Medida exacta- Medida entera
Hemos analizado que la mayoría de la bibliografía escolar hace un tratamiento prioritario del SMD dando por
supuesto que se sabe lo que es la magnitud que ha de ser medida, en este caso el volumen. Si bien el SMD
ofrece una gran ventaja no hay que perder de vista que un uso prematuro de tal sistema lleve aparejada la
incomprensión (Chamorro, 1994; p. 43). Es importante tener en cuenta los conceptos previos que el alumno
necesita para el trabajo con el SMD, ya que el mismo funciona por agrupamientos de potencias de diez y es
necesario que el alumno maneje el sistema de numeración decimal entre otras cosas. Tampoco se observan
propuestas de estimación en la mediad del volumen, a pesar que en los diseños curriculares (Pcia de Santa
Fe) incluyen recomendaciones sobre la necesidad de la misma, en general no suelen realizarse actividades de
estimación, tal vez porque no se tiene desarrollada esta habilidad, o porque no se dispone de orientaciones de
cómo hacerlo, o por falta de tiempo.
Para ahondar sobre este punto, en la encuesta citada anteriormente, otra de las preguntas se refería a la
estimación: ¿Cuánto estima que es el volumen de su cuerpo?
Las respuestas fueron clasificadas en dos grupos:
I) Los que responden con una medida.
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Los que responden con una medida totalizan 42% y sus estimaciones varían desde 48 cm3 hasta 14,4 m3. Se
observa que sólo el 21 % del total de los encuestados hace una estimación razonable.
II) El 58 % fue incapaz de estimar una medida: El 25 % del total no responde.
Mientras que el restante 33% responde erróneamente: por ejemplo: Volumen de mi cuerpo es mi peso. Sería
masa mi cuerpo no volumen, de acuerdo a sus medidas
Esta experiencia fue realizada por Kerslake (1976) en distintos países y la conclusión, al igual que la nuestra,
fue que la mayoría de los docentes fueron incapaces de dar una estimación racional del volumen de sus
propios cuerpos. Y esto en parte se debe a que la mayoría de las experiencias cotidianas se refieren al
volumen interno (capacidad) y no al volumen ocupado. La autora citada sostiene que los ejercicios escolares
sobre volumen ocupado se refieren al cálculo del volumen de cuerpos como el ortoedro o cono, sin importar
lo que ocurre fuera del aula, los alumnos se preocupan por calcular volúmenes mediante una fórmula sin
comprender el concepto y cómo se obtiene la misma. Hay una marcada inexperiencia en la noción de
volumen ocupado, en el sentido de la falta de relación entre la situación idealizada presentada en el aula y
cualquier problema práctico de la vida cotidiana.
Tanto la construcción del concepto de área como de volumen son procesos complejos que no se adquieren
inmediatamente sino en forma gradual. Se debe construir el concepto de unidad entre otras cosas y hacer uso
de la iteración de la misma para asignar un número al objeto que se mide. Y la dificultad radica
fundamentalmente que ese número generalmente no es natural y se confunde la medida entera con la medida
exacta. Hay que trabajar en la medición con las aproximaciones y los encuadramientos para evitar de este
modo que los alumnos crean que las medidas son enteras, además de analizar que tanto el encuadramiento
como la aproximación a aplicar en una medida dependen del tipo de medida y del uso de la misma. Al
respecto Chamorro (1994) dice Pocos adultos recordarán, a pesar de haberlo estudiado en la escuela, los
litros que contiene un metro cúbico... y lo que es peor, carecen de estrategias para resolver cuestiones reales
de medición y ningún sentido de la estimación (p. 41) . En el aula por lo general los problemas se refieren a
hallar el volumen de sólidos regulares y cuando en la vida cotidiana se encuentra, por ejemplo, con que tiene
que hallar el volumen de un objeto irregular, es raro que se disponga de medios para resolver el problema.
Por lo tanto es importante que el alumno tenga oportunidades de ejercitar problemas prácticos de medida y
de estimación que encontrará en su entorno. Ya que la estimación es imposible desarrollarla si no se
practican medidas de objetos reales, de manera que el error cometido vaya disminuyendo con la práctica.
Hay dos momentos en donde debemos trabajar la estimación, uno es antes de haber utilizado el SIMELA
mediante la comparación directa de objetos y la otra , luego de haber introducido el Sistema Legal, ésta es
imprescindible para la vida diaria, ya que muchas veces hay que dar una medida sin utilizar instrumentos. Si
se trabajan ambas cuestiones la representación intuitiva de las unidades y la relación de las unidades con lo
real cobrará sentido para el alumno. Se considera que una estimación es aceptable si el error cometido no
supera el 10% de la medida del objeto en cuestión. Es aconsejable practicar la estimación con cada una de las
unidades de medidas que se vayan trabajando, de este modo no sólo se ejercitará la estimación sino el
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aprendizaje de qué unidades usar en la medición. Durante el proceso de construcción de las unidades es
necesario la comprobación con el instrumento de medida. Una primera aproximación es dar los objetos y
pedir que realicen la estimación, una segunda es dar la medida y solicitar objetos que su medida se
aproximen a la dada y por último estimar medidas utilizando unidades que ya han sido interiorizadas.
C: unidimensionalidad o tridimensionalidad
Se puede interpretar el volumen como una magnitud física unidimensional, se lo puede medir, estimar,
comparar, sumar, etc. directamente, el cálculo consiste en el conteo de las unidades de volumen. O como una
magnitud matemática tridimensional calculable como: a) producto de tres longitudes b) producto de una
superficie por una longitud (Maza, 2005)
Según Vergnaud (1983) (citado por del Olmo, 1993) interpretar el volumen como una magnitud
tridimensional corresponde a tratarlo como un modelo multiplicativo, lo que puede acarrear ciertas
dificultades al haber trabajado anteriormente modelos aditivos (perímetro). Según este autor deben trabajarse
coordinadamente los aspectos unidimensional y tridimensional, para lo cual son útiles las actividades de
rellenado. Aparentemente, la constitución del volumen como magnitud tridimensional susceptible de ser
hallado en función de otra magnitud (la longitud), sería obstaculizada por la representación plana de los
objetos tridimensionales y por el aprendizaje previo de los algoritmos de cálculo (Maza, 2005; p. 90).
Abordar estos temas, junto con la proporcionalidad hace que el volumen sea un concepto poderoso y a la vez
difícil de construir por los alumnos.
D: Visualización- Representaciones
Los objetos de la geometría, en este caso los cuerpos pertenecen a un espacio teórico conceptualizado y los
dibujos que realizan nuestros alumnos son una representación de esos objetos teóricos. Muchas veces los
alumnos al mirar o dibujar una figura no analizan su concepto ni sus propiedades sino que se dejan llevar por
lo que ven. Fischbein (1993) se refiere a estas tensiones que se originan en el tratamiento de las figuras
geométricas, analizando que las mismas poseen simultáneamente características conceptuales y figurales, lo
que denomina conceptos figurales. Y los errores que a veces se dan en los razonamientos pueden tener su
origen en la separación entre el aspecto conceptual y figural de estos conceptos figurales. La tendencia a
rechazar la definición bajo la presión de limitaciones figurales, representa un obstáculo principal en el
razonamiento geométrico (p.13).Desde el planteamiento de distintas actividades áulicas se debería trabajar
este doble aspecto, ya que generalmente no es un proceso que se da naturalmente.
Tampoco dominan la visualización espacial, que es el proceso que permite manipular mentalmente figuras
rígidas; el mismo requiere dos tipos de habilidades, una relacionada con la interpretación de la información
figural, o sea poder leer, comprender e interpretar las representaciones visuales y la otra, relacionada con el
procesamiento de imágenes mentales o sea la posibilidad de manipular, analizar y poder transformar los
conceptos relacionados con ella en otra clase de información, a través de representaciones visuales externas.
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Estas habilidades se pueden desarrollar mediante la representación secuenciada de objetos de tres
dimensiones en dibujos de dos y la construcción de objetos tridimensionales a partir de su representación
bidimensional. En este punto cuando se trabaja la representación de un objeto tridimensional en el plano el
docente debe analizar cuál utiliza el texto seleccionado o cuál elegirá él para representar las figuras en E3
(espacio de tres dimensiones), teniendo en cuenta que hay distintos tipos de representaciones, cada una de las
cuales resalta un aspecto determinado del objeto. Entre las representaciones más significativas, según Alsina
(1989) tenemos las proyecciones ortogonales ( donde un grupo de dibujos corresponde a cada una de las
caras de un objeto cuando el mismo es observado perpendicularmente enfrente de cada cara); los dibujos
isométricos (se reproducen tres caras adyacentes del objeto de manera que los ángulos del punto de vista sean
de 120º); los dibujos en perspectiva (donde se da una imagen más acertada del objeto) y los de cortes de nivel
topográfico (donde se dan diferentes cortes planos a alturas determinadas). En el caso que nos ocupa es
conveniente utilizar varias a la vez, para desarrollar y completar la percepción espacial, como así también
proponer otras representaciones personales.
Comentarios finales
Para el estudio del volumen y su medida debe realizarse un estudio completo de la cualidad que permita
aislarla, comparar objetos, usar diferentes unidades de medida, establecer la necesidad de una en particular,
estimar la medida del volumen de un objeto,...o sea se deben poder proponer actividades variadas y con
diferentes materiales que pongan de manifiesto los aspectos mas importantes del concepto de volumen y se
eliminen aquellos que entorpecen la comprensión.
Sólo manipulando es posible distinguir las distintas propiedades de los objetos; es difícil comprender usando
sólo el sentido de la vista que un objeto pesa más que otro, ó que un recipiente tiene más o menos capacidad
que otro sin recurrir al trasvasado de líquido. La actividad de empaquetar es importante para la construcción
del concepto de volumen, también lo son las de llenar y vaciar recipientes con distintos materiales. Es
necesario que el alumno realice este tipo de actividades y no se quede sólo con la observación de un dibujo o
con su relato. Además se debe permitir que descubra y aprenda de sus errores, fomentar las discusiones en
grupo confrontando ideas, plantear situaciones problemáticas relacionadas con la vida diaria, usar y
desarrollar el sentido común.
Freudenthal (1983) considera que para lograr que los alumnos se formen el objeto mental volumen es
necesario trabajar actividades como:
•
Realizar transformaciones con sólidos como modelar, verter, transformaciones de romper y rehacer,
sumergir en líquidos, etc. A través de las actividades diferenciar volumen y área y volumen y capacidad.
•
Realizar repartos equitativos de líquidos, masa, plastilina, etc. aprovechando la regularidad de ciertos
cuerpos; estimando y midiendo.
•
Comparar y reproducir sólidos, ya sea comparando bases y alturas, o por estimación, o por medición, o
usando transformaciones que conserven el volumen. Se consideran también situaciones en las que hay
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que comparar dos volúmenes pero también aquellas en las que se debe realizar una reproducción de un
volumen con una forma diferente.
•
Medir, ya sea por exhausción con una unidad y afinando la medición con subunidades, o por acotación
entre un nivel superior e inferior, o por inmersión, o por medio de relaciones geométricas generales
midiendo las dimensiones lineales y aplicando fórmulas para obtener la medida.
•
Realizar construcciones: cuerpos de igual área y distinto volumen, cuerpos de igual volumen y diferentes
áreas, etc. Y luego representarlos en la hoja utilizando diferentes sistemas de representación.
Lo importante es que haya variedad de actividades para que la comprensión del concepto de volumen sea la
adecuada.
Referencias Bibliográficas:
Alsina, C., Fortuny, J. y Pérez, R (1997) ¿Por qué Geometría? Propuestas didácticas para la ESO. Síntesis.
Madrid
Alsina, C., Burguésm C. y Fortuny, J. (1989) Invitación a la didáctica de la Geometría . Síntesis. Madrid.
Castelnuovo, E. (1963) Geometría Intuitiva Segunda parte. Labor. Bs. As.
Chamorro, C. y Belmonte,J.(1994) El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales Síntesis.
Madrid.
Del Olmo, M.A., Moreno,M.F. y Gil, F. (1993) Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con
fórmulas? Síntesis Madrid.
Dickson, L.; Brown, M.; Gibson, O.; (1991). El aprendizaje de las matemáticas.. Barcelona. Labor
Ferraris, Cristina (1991) Espacio. Universidad Nacional del Comahue.
Fischbein, E. (1993): The theory of figural concepts en Educational Studies in Mathematics, 24. 139 162.(Traducción al español por Victor Larios Osorio, CICB, UAQ, México, 2002, 1 - 18)
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures . Reidel Publishing Company.
Boston.
Maza, Ma Elena (2005) El problema didáctico del aprendizaje del volumen. Tesis de Maestría en Didácticas
Específicas. FHUC. UNL
Puig Adam, Pedro (1980) Curso de Geometría Métrica Tomo I. Decimoquinta edición. Gomez Puig
Ediciones. Madrid
Saíz Roldan, Mariana. El volumen ¿por dónde empezar? En HYPERLINK http://www.matedu.cinvestav.mx
[en linea mayo2007]
Sanchez-Marmol, L. y Perez-Beato, M (1947) Geometría Métrica, Proyectiva y Sistemas de Representación
Tomo II. Segunda edición. S.A.E.T.A. Madrid
Segovia, J. Castro, E. y Rico, L. (1989) Estimación en cálculo y medida. Síntesis. Madrid.
Página 8
LOS ERRORES: ¿SE EMPLEAN EN LA CONSTRUCCIÓN DEL
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN EL NIVEL MEDIO?
María Elena Higa, Leonor Irene Bumalen, Gloria Elsa Tarifa
Universidad Nacional de Salta – Salta- República Argentina
[email protected], [email protected], [email protected]
Nivel Educativo: Medio
Palabras Claves: errores, enseñanza , aprendizaje , articulación
Resumen
Los errores en trabajos y evaluaciones de matemática de los alumnos aparecen frecuentemente como
elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo.
Diversos análisis estadísticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores típicos en que incurren
los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre es positivo porque se utilizan en el proceso de evaluación
como distractores.
En el aula se observa la práctica de resaltar las acciones incorrectas de los alumnos, que según sea el enfoque
del docente puede llegar a convertirse en un obstáculo psicológico en el aprendizaje de los estudiantes.
Por esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemática debe ser una cuestión de permanente
atención en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento cognoscitivo de
los agentes intervinientes en el proceso de enseñanza-aprendizaje. También los docentes pueden utilizar su
conocimiento, como recurso didáctico, para implementar estrategias de mediación a fin de prevenirlos.
Por ello el objetivo de este trabajo es determinar, a vista de los docentes, cuáles son los errores
frecuentemente cometidos por los alumnos de enseñanza media en matemática y qué utilidad otorgan a los
mismos en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Se diseñó un instrumento para recoger información respecto del objetivo planteado a través de una
investigación cualitativa de carácter descriptivo, a fin de implementar acciones conjuntas entre docentes del
nivel medio y universitario para contribuir a la articulación entre ambos niveles.
Introducción
Los errores en trabajos y evaluaciones de matemática de los alumnos aparecen, frecuentemente, como
elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo.
Diversos análisis estadísticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores típicos en que incurren
los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre suele ser positivo porque se utilizan en el proceso de
evaluación como distractores. En el aula se observa la práctica de resaltar las acciones incorrectas de los
alumnos, que según sea el enfoque del docente puede llegar a convertirse en un obstáculo psicológico en el
aprendizaje de los estudiantes.
Actualmente investigadores en educación matemática consideran al error como parte del proceso de
enseñanza y aprendizaje y sugieren su diagnóstico, su tratamiento y discusión con los alumnos de las
concepciones erróneas, para presentarles luego situaciones matemáticas que les permitan reajustar sus ideas.
Además, los errores se pueden utilizar como motivación y como punto de partida para exploraciones
matemáticas creativas de los alumnos, pueden proporcionar una comprensión más completa y profunda del
contenido matemático.
Por todo esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemática debe ser una cuestión de
permanente atención en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento
cognoscitivo de los agentes intervinientes en el proceso de enseñanza- aprendizaje. También los docentes
Página 9
puedan utilizar su conocimiento, como recurso didáctico, para implementar estrategias de mediación a fin de
prevenirlos.
Frecuentemente docentes universitarios, principalmente los de primer año, alegan deficiente formación
matemática de los alumnos promovidos del nivel medio manifestada a través de los errores observados, es por
ello que bregan, desde hace tiempo, por una articulación real entre ambos niveles planteando diferentes
acciones tendientes a ella.
Este trabajo surge de una inquietud de docentes de primer año de la Facultad de Ciencias Exactas de la
Universidad Nacional de Salta, por averiguar, desde el punto de vista de los docentes del nivel medio, cuáles
son los errores más comunes y sistemáticos que cometen sus alumnos en matemática, y además la importancia
y utilidad que los docentes le otorgan a dichos errores.
Objetivo general
Determinar, a vista de los docentes del nivel medio, cuáles son los errores frecuentemente cometidos por sus
alumnos en matemática y qué utilidad le otorgan a los mismos en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Marco teórico
En este trabajo consideramos la concepción de error dada por Godino, Batanero y Font :
“Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida
desde el punto de vista de la institución matemática escolar”.
“La mayor parte de los estudios sobre errores, realizados con anterioridad a 1960, han consistido en recuentos
del número de soluciones incorrectas a una variedad de problemas y un análisis de los tipos de errores
detectados, para proceder luego, a una clasificación que permita determinar cómo surgen los errores a partir
de la solución correcta, en la que se hacen inferencias sobre qué factores pueden haber conducido al error,
argumentaciones de Rico (1995) “Errores en el aprendizaje de la Matemática”, citado por Pochulu
(2005)“Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la
universidad”.
A partir de la década del sesenta y en los años posteriores, las aplicaciones e implicaciones al campo de la
educación comenzaron a proyectarse en forma notable y el abordaje del error tuvo una visión más
constructivista, en tanto se estimuló su ocurrencia puesto que brindaba posibilidades para el sujeto constructor
de conocimiento.
Hoy día existe preocupación en cuanto a los errores que cometen los alumnos en su trabajo de matemática,
puesto que el mismo se ha caracterizado como un aspecto negativo en el proceso de aprendizaje, porque
representa un fracaso. Algunos autores lo han denominado obstáculo, ahora bien, lo rescatable es considerar
el error como fuente de aprendizaje significativo para que se logren nuevos conocimientos y surjan nuevas
ideas. Por ello, es importante que tanto el docente como el alumno mismo consideren el error como una
herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto ayuda al alumno a tomar conciencia de sus
propios errores de tal manera, que aprenda de ellos.
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Conociendo el error cometido el estudiante toma conciencia que, ante el aprendizaje, no puede ni debe
adquirir actitudes superficiales, y por lo tanto, ofrece una coyuntura para la autocrítica y para inferir la
necesidad de aprender de los errores y fracasos.
En este sentido, los errores pueden constituir un elemento importante en el progreso del conocimiento, pues el
alumno no sólo se puede interesar en descubrir ¿dónde está el error? sino también puede formular preguntas,
comparar resultados y procedimientos hasta lograr identificar sus propios errores, a través de sus experiencias
y de la interrelación con los contenidos matemáticos.
Asociado a esto, es importante resaltar que existen múltiples factores que conllevan a un error así como
también existen diversos tipos de errores que interfieren en la adquisición del conocimiento matemático;
algunos de estos factores son la motivación y el rendimiento académico, y en cuanto a los tipos de errores,
algunos autores los clasifican en: los errores de procedimientos, los errores de operación, errores sistemáticos,
errores de conceptos, entre otros.
Metodología de la investigación
Las investigaciones en análisis de errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la
superación del error a través de su eliminación, o a través de la exploración de sus potencialidades. En la
primera categoría se encuentran las investigaciones realizadas por la influencia del conductismo y del
procesamiento de la información. En la segunda categoría, aparecen los trabajos más recientes de carácter
constructivista. Cabe aclarar que esta división no es rígida y pueden ser encontrados los dos objetivos en
algunos trabajos.
La investigación planteada es de carácter cualitativo y descriptivo, ya que buscamos analizar y caracterizar la
importancia y utilización que los docentes del nivel medio otorgan a los errores cometidos por sus alumnos.
Esto permitirá implementar acciones conjuntas entre docentes del nivel medio y universitario para contribuir a
la articulación entre ambos niveles.
Para ello se utilizó un instrumento, modificado convenientemente, para recoger información respecto del
objetivo planteado, tomado de un Trabajo de Graduación presentado a la Facultad de Ciencia, Chile, en
cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciado en Educación Matemática y
Computación, cuya autora es Celeste Priscilla Reyes Pastrián. (ver ANEXO I ).
El mismo fue distribuido entre 25 docentes del nivel medio, entre establecimientos públicos y privados.
Análisis de los resultados
De los 25 cuestionarios distribuidos, el análisis se realiza sobre los 18 respondidos; entre los que se cuentan
12 docentes que se desempeñan en Establecimientos Públicos (7 de los mismos trabajan en Educación de
adultos) y 6 en Establecimientos Privados.
Las opiniones fueron proporcionadas por 6 docentes con una experiencia laboral entre 1 y 10 años; 8 , entre
10 y 20 años y 4 con más de 20 años.
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1.- ¿Qué grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemática y en que se
basa esa apreciación? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinión).
Grado de importancia:
Muy alto
40 %
Alto
30%
Más o menos
Opciones
Un error trae otro error
Un error imposibilita resolver problemas
Los errores desmotivan a los alumnos
Los errores se fijan con la repetición
Los errores nunca se olvidan
Los errores sirven para aprender de ellos
Los errores destruyen lo aprendido
Los errores provocan decisiones erradas
Otra causa (indíquela a continuación)
20%
Bajo
10%
frecuencia
2
4
4
2
0
8
2
3
0
Se puede apreciar que los profesores encuestados le atribuyen una “muy alta importancia” y una “alta
importancia” a los errores. Entre ambas suman 70 % de preferencia lo que indica que los docentes de la
muestra concuerdan que los errores son importantes en la adquisición del conocimiento matemático.
Para la justificación de la importancia de los errores es señalada con más alto porcentaje ( 32 %) “ los errores
sirven para aprender de ellos” siguiéndole “ un error imposibilita resolver problemas” y “ los errores
desmotivan a los alumnos”, con un 16 % para cada una.
2.- A continuación se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemáticos. Marque con X la
frecuencia con que se producen en cada sector.
Sectores
Alta
Frecuencia
Media
Media
alta
baja
3 (17%)
2 (11%)
6 (33%)
5 (28%)
4 (22%)
4 (22%)
4 (22%)
5 (28%)
7 (39%)
3 (17%)
5 (28%)
4 (22%)
7 (39%)
3 (17%)
2 (11%) 1 (5,5%)
6 (33%)
3 (17%)
1 (5,5%) 1 (5,5%)
9 (50%)
0 (0%)
4 (22%)
2 (11%)
6 ( 33%) 3 (17%)
Baja
Cálculo de fracciones
13 (72%)
0 (0%)
Resolución de ecuaciones de primer grado
4 (22%)
3 (17%)
Simplificación de expresiones algebraicas
10 (56%)
0 (0%)
Resolución de ecuaciones cuadráticas
3 (17%)
6 (33%)
Porcentajes y proporciones
4 (22%)
4 (22%)
Transformación de decimales en fracciones y viceversa
6 (33%)
3 (17%)
Determinación de medidas de ángulos en triángulos
8 (44%)
0 (0%)
Factorización de expresiones algebraicas
14 (78%)
1 (5,5%)
Gráficos estadísticos
5 (28%)
4 (22%)
Operatoria con números irracionales
16 (89%)
0 (0%)
Gráfico de funciones
9 ( 50%)
0 (0%)
Proporciones en triángulos semejantes
12 ( 67%)
0 (0%)
Operatoria con números enteros
7 (39%)
2 (11%)
Agregue otras de acuerdo a su experiencia
Aquí se observa que los sectores, según opinión de los docentes, donde se cometen más errores son:
“operatoria con números irracionales”, “factorización de expresiones algebraicas”, “cálculo con fracciones”,
proporciones en triángulos semejantes” y “simplificación de expresiones algebraicas”. Le siguen con 50% o
Página 12
menos: “gráfico de funciones”, “determinación de medidas de ángulos en triángulos” y “operatoria con
números enteros”.
En cuanto al ítem “agregue otras de acuerdo a su experiencia”, el 22% considera que hay una frecuencia alta
de errores en “el lenguaje algebraico” y un 33% lo considera en “interpretación de problemas”.
Las áreas de matemática donde más se cometen errores son en Aritmética y Algebra y en menor grado en
Geometría.
3.- Hay profesores que clasifican los errores matemáticos en cinco categorías. ¿Cuál es el grado de
importancia que Ud. le atribuye a cada una?
Categorías
Alta
12 (67%)
2 (11%)
5 (28%)
11 (61%)
2 (11%)
Errores conceptuales
Errores de procedimientos
Errores de cálculos con números
Errores en la manipulación algebraica
Errores geométricos
Grado de importancia
Media alta Media baja
2 (11%)
2 (11%)
7 (39%)
7 (39%)
6 (33%)
5 (28%)
3 (17%)
2 (11%)
10 (56%)
4 (22%)
Baja
2 (11%)
2 (11%)
2 (11%)
2 (11%)
2 (11%)
Los porcentajes más altos se presentan en las categorías de “errores conceptuales” y “errores en la
manipulación algebraica”. O sea que éstas son las categorías a las que los docentes asignan mayor
importancia.
4.- Describa el/los error/es más frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando
además el curso:
En este ítem se presentan algunos los errores presentados por los docentes, los que aparecieron con más
frecuencia:
♦
Confunden algoritmos de adición y multiplicación de fracciones; curso: 9ª de EGB3, ejemplos:
a)
1 3 1+ 3 4
+ =
=
2 5 2+5 7
b)
3 2 5 * 3 + 4 * 2 15 + 8 23
=
* =
=
4 5
4*5
20
20
♦
Errores de manipulación algebraica, curso: 1ª de Polimodal, ejemplo: 2 a + 3 a 2 = 5 a 3
♦
Transformación de decimales a fracción, curso: 1º de Polimodal , ejemplo : 0,345 =
♦
Aplican la propiedad distributiva de la raíz respecto de la suma algebraica, curso: 2º de Polimodal,
ejemplo:
♦
345
1000
9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7
Extraen la raíz de un número, pero mantienen el símbolo de raíz en el resultado, curso: 2º de
Polimodal, ejemplo:
25 = 5 .
Página 13
Estos errores presentados por los docentes, contribuyen a confirmar lo encontrado en el ítem 2 de este
cuestionario ya que los mismos le asignaban alta frecuencia a los sectores de operatoria con números
irracionales y cálculo con fracciones.
5.- ¿A qué atribuye Ud. la presencia de errores matemáticos en los estudiantes? (marque con una X LAS
TRES MAS IMPORTANTES a su juicio)
Falta de hábitos de estudio
Metodologías de aula poco participativas
Abusos en el lenguaje matemático del profesor
Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas
Deficiente situación de entrada de los alumnos
Poco uso de textos de matemática
(agregue las que Usted considere)
25 %
15 %
10 %
20 %
20 %
10%
Se evidencia que los docentes consideran que las causas de errores es casi en un 50 % responsabilidad del
alumno, ya que las menos señaladas fueron aquellas controladas por los docentes como: metodologías poco
participativas y el abuso en el lenguaje matemático del profesor.
Respecto del poco uso de textos, los docentes de Educación para adultos manifiestan el mayor porcentaje
causal.
Esto indica que sería necesario una mayor reflexión por parte de los docentes de esta situación, ya que no
sólo actúa en este proceso (enseñanza y aprendizaje) el alumno y el docente sino que hay muchos otros
factores que pueden influir en él tales como: el currículo, el contexto, etc.
Conclusiones
Las opiniones de los docentes pueden resumirse en que atribuyen importancia en alto grado a los errores
cometidos por los alumnos. Basan su justificación expresando que los errores imposibilitan la resolución de
problemas y consideran que se presentan con más frecuencia en las áreas de aritmética y álgebra, lo que se
confirma con los ejemplos y descripción por ellos presentados.
Los errores conceptuales y de manipulación algebraica serían las categorías con más frecuencia declaradas y
otorgan tales atribuciones a la falta de hábitos de estudio y a la deficiente formación previa de los alumnos.
Cabe aclarar que estos resultados no son concluyentes por el tamaño de la muestra, sólo proporcionan un
estudio de casos para establecer algún comportamiento respecto del tema tratado.
En la actualidad, el error es considerado una fuente valiosa de información que puede servir para reordenar el
proceso de enseñanza y aprendizaje. También puede utilizarse como motivador para que el alumno pueda
argumentar, discutir y rever sus conocimientos
logrando, de esa forma, mejorar la comprensión y el
razonamiento lógico matemático.
Sería conveniente que los docentes tengamos un mayor acercamiento a los errores desarrollando estrategias
que permitan prevenirlos, como por ejemplo: inducir a que los alumnos descubran sus errores, identifiquen
Página 14
las hipótesis falsas que los produjeron, comparen proposiciones falsas con verdaderas, generen discusiones y
debates sobre los mismos, etc.
Las estrategias deben plantearse en base a lo que los alumnos no saben y sobre todo en por qué no lo saben.
Referencias bibliográficas
Alsina, C y Otros ( 1996) . Enseñar matemáticas. Barcelona, España: Graó
Godino, J; Batanero, C y Font, V ( 2003). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje de la matemática para
maestros. Granada, España: Universidad de Granada.
Mancera, E. (1998 ). Errar es un placer. México: Grupo Ed. Iberoamericano
Pochulu, M. (2005). Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que
ingresan a la universidad. OEI-Revista Iberoamericana de Educación, 35, 4
Reyes Pastrian; C. ( 2006), Determinación de errores frecuentes en el estudio de la matemática en la
enseñanza media. [en línea] abajo de Graduación. Chile. Recuperado el 17 de marzo de 2007., de http://
lemc.usach.cl/trabajos_gr.html
Rico, L. (1993). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Ed.
Iberoamericano.
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ANEXO I
CUESTIONARIO
Institución donde da clases actualmente:……………………………………………………….
Experiencia docente (en años):………………. E-mail:………………………………………
Institución en que se formó:……………………………………………………………………
1.- ¿Qué grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemática y en que se
basa esa apreciación? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinión)
Grado de importancia:
Muy alto
Alto
Más o menos
Bajo
Justificación
Un error trae otro error
Un error imposibilita resolver problemas
Los errores desmotivan a los alumnos
Los errores se fijan con la repetición
Los errores nunca se olvidan
Los errores sirven para aprender de ellos
Los errores destruyen lo aprendido
Otra causa (indíquela a continuación)
Los errores provocan decisiones erradas
…………………………………………………………..
…………………………………………………………...
2.- A continuación se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemáticos. Marque con X la
frecuencia con que se producen en cada sector.
Sectores
Alta
Frecuencia
Media
Media
alta
baja
Baja
Cálculo de fracciones
Resolución de ecuaciones de primer grado
Simplificación de expresiones algebraicas
Resolución de ecuaciones cuadráticas
Porcentajes y proporciones
Transformación de decimales en fracciones y viceversa
Determinación de medidas de ángulos en triángulos
Factorización de expresiones algebraicas
Gráficos estadísticos
Operatoria con números irracionales
Gráfico de funciones
Proporciones en triángulos semejantes
Operatoria con números enteros
Agregue otras de acuerdo a su experiencia
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3.- Hay profesores que clasifican los errores matemáticos en cinco categorías. ¿Cuál es el grado de
importancia que Ud. le atribuye a cada una?
Categorías
Alta
Grado de importancia
Media alta
Media
baja
Baja
Errores conceptuales
Errores de procedimientos
Errores de cálculos con números
Errores en la manipulación algebraica
Errores geométricos
4.- Describa el/los error/es más frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando
además el curso:
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
5.- ¿A qué atribuye Ud. la presencia de errores matemáticos en los estudiantes? (marque con una X LAS
TRES MAS IMPORTANTES a su juicio)
Falta de hábitos de estudio
Metodologías de aula poco participativas
Abusos en el lenguaje matemático del profesor
Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas
Deficiente situación de entrada de los alumnos
Poco uso de textos de matemática
(agregue las que Usted considere)
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LA SEMEJANZA, UNA PROPUESTA DE UNIDAD DIDÁCTICA
Blasón, Rosa- Juárez, Patricia - Villamonte, Patricia - Rosa Salamone
Institución: Facultad de Ciencia y Tecnología. Universidad Autónoma de Entre Ríos- Argentina.
Dirección electrónica:
[email protected] [email protected] [email protected]
Nivel Educativo: Medio
Palabras claves: semejanza, unidad didáctica, problemas
Resumen
Presentamos una unidad didáctica que aborda la semejanza y trata de introducirla a través de una metodología
experimental y activa, que permita desarrollar en el alumno la intuición creadora, fomentar el espíritu crítico,
actitudes positivas hacia la geometría, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas.
La utilización de instrumentos de medida variados, la resolución de problemas geométricos atractivos, la
investigación histórica hará que este nuevo concepto geométrico pueda ser vivido para luego pasar a la
formalización.
La semejanza constituye un nexo de unión con el resto de los contenidos matemáticos y es posible considerar
diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso dentro de la
matemática y fuera de ella.
Las actividades serán trabajadas con una metodología de exploración, investigación, descubrimiento y
construcción sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuición
geométrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia.
Se plantearán según las fases Rico (1999): motivación y exploración inicial, desarrollo de nuevas ideas y
consolidación y ajuste de ritmos.
Introducción
La geometría tuvo su origen en las actividades prácticas del hombre y en los problemas de la vida cotidiana y su
transformación en teoría matemática requirió un inmenso período de tiempo. Las propiedades de los conceptos
geométricos, al igual que los conceptos mismos, han sido abstraídos del mundo que nos rodea.
La descomposición en figuras simples es la base de la formulación de expresiones para el cálculo de áreas y de
volúmenes. Esto nos sugiere que el reconocimiento de figuras iguales y semejantes es un recurso importante para
ciertos conceptos de medidas.
Esta unidad didáctica aborda la semejanza y trata de introducirla a través de una metodología experimental y
activa, que permita desarrollar la intuición creadora, fomentar el espíritu crítico, actitudes positivas hacia la
geometría, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas.
La utilización de instrumentos de medida variados, la resolución de problemas geométricos atractivos, la
investigación histórica hará que todo nuevo concepto geométrico pueda ser vivido para luego pasar a la
formalización.
La semejanza constituye un nexo de unión con el resto de los contenidos matemáticos y es posible considerar
diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso dentro de la
matemática y fuera de ella.
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Las actividades serán trabajadas con una metodología de exploración, investigación, descubrimiento y
construcción sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuición
geométrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia.
Los momentos de discusión de las actividades propuestas permiten dar sentido y generar avances en la
conceptualización de los conocimientos que los alumnos utilizan en la resolución de los problemas. El valor de
los mismos reside en la potencialidad que tienen para generar confrontaciones, reflexiones y argumentaciones por
parte de los alumnos que les exige buscar razones y argumentar intentando defender la verdad o falsedad de los
enunciados. Permiten plantear nuevos problemas obligándolos a reflexionar sobre lo realizado, a explicarlo, a
justificarlo, abriendo un espacio para que progresen en la comprensión de los conocimientos.
¿CÓMO SE PLANTEAN LAS ACTIVIDADES?
Las actividades se plantearán según las siguientes fases Rico (1999):
•
Motivación y exploración inicial: “se recuerdan algunos conceptos y se explora con ellos para valorar
el conocimiento previo, estimular la motivación y adiestrarse en la manipulación de algunas ideas antes
de conceptualizarlas” (Rico, pág. 221,1999).
•
Fase de desarrollo de nuevas ideas: se conceptualizan las nociones fundamentales de la unidad.
•
Fase de consolidación y ajuste de ritmo: donde se planifican actividades para consolidar conocimientos
más avanzados o conceptos básicos de acuerdo al ritmo de los alumnos.
Vamos a proponer tareas grupales y/o individuales. Teniendo en cuenta que deberán exponer y defender ante los
otros grupos su respuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo realizado y presentar por escrito las
conclusiones a las que han arribado. Para que la puesta en común no sea aburrida se seleccionará, con cierta
intencionalidad, algunos grupos para exponer los resultados, organizando un debate sobre ellos. Se realiza un
balance final para institucionalizar los conceptos.
Conocimientos previos
Los contenidos que creemos deben haber sido trabajado en forma previa son: magnitudes de longitud, área,
volumen y amplitud de ángulos. Cuantificación, comparación y transmisión de datos acerca de las magnitudes.
Figuras planas y cuerpos geométricos, proporcionalidad numérica y geométrica. Teorema de Thales.
Contenidos de la unidad didáctica
Semejanza de figuras. Criterios de semejanza de triángulos. Relación entre el área y el volumen de figuras
semejantes. Representaciones manejables de la realidad: planos, mapas y maquetas. Escala. Utilización de
símbolos y del vocabulario geométrico para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y
configuraciones geométricas. Utilización diestra de instrumentos de medida y dibujo habituales. Construcción y
utilización de modelos geométricos bidimensionales y tridimensionales. Búsqueda de propiedades, regularidades
Página 19
y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geométricas. Valoración de la semejanza para resolver
diferentes situaciones. Interés por investigar sobre la historia de la geometría y sus problemas
Objetivos de la unidad didáctica
- Abordar las situaciones problemáticas haciendo uso de todas las técnicas a su alcance: medir, construir, dibujar,
etc. para adquirir los conceptos de la semejanza en figuras planas como espaciales, obteniendo relaciones y
propiedades fundamentales.
- Interrelacionar los conocimientos de semejanza con los distintos campos del saber y la vida cotidiana.
Descripción de las actividades
Actividad 1: Desarrollo de nuevas ideas
Primera Etapa
Consigna: formen grupos de un máximo de cuatro integrantes y construyan las siguientes figuras: rectángulos de
3x4cm (Fig. A); 2,8 x2,1cm (Fig. B); 5 x 4cm (Fig. C) y 6 x 4,5cm (Fig. D). De la figura A,¿hay alguna que sea
ampliación o reducción? Si hay alguna figura que cumpla este requisito calculen en que porcentaje se ha
ampliado o reducido la figura. Justifiquen.
Segunda Etapa
Consigna: En la anterior etapa hemos llegado a la definición: “Dos figuras son semejantes si son ampliación o
reducción de otra”.Para poder identificarlas con facilidad y conocer sus relaciones, construyan un cuadrilátero
semejante al dado y anoten todos los pasos que han seguido para su construcción.
Intenciones: Discutir cuales deben ser las condiciones que debe cumplir una figura para que sea ampliación o
reducción de otra en la primera fase y llegar en un segunda fase a la definición de figuras semejantes.
Comentario: La primera parte está planteada para que los alumnos descubran las relaciones entre los lados en las
figuras semejantes e identifiquen figuras semejantes como aquellas “que tienen la misma forma” aunque puedan
ser de distinto tamaño y que cuando decimos de la misma forma nos referimos a “exactamente de la misma
forma” no de un grupo de figuras “de parecida forma” que con en el lenguaje vulgar se suele identificar a la
semejanza. La segunda parte apunta a clarificar que esa igualdad de forma implica la igualdad de ángulos
homólogos simultáneamente con la proporcionalidad de lados homólogos.
Página 20
Consigna: Comparen las siguientes figuras, ¿cuáles son semejantes? En el caso que las figuras sean semejantes
calculen la razón de semejanza.
Intenciones: Detectar en las figuras dadas cuáles son semejantes, encontrar la razón de semejanza y ampliar el
concepto de semejanza al espacio.
Comentario: La simple observación de las figuras no es suficiente, por lo tanto deberán recurrir a algún
instrumento de medida. Para identificar poliedros semejantes tendrán que tener en cuenta que las caras
correspondientes sean semejantes, las longitudes de las aristas correspondientes proporcionales y se conserven los
ángulos. También deben concluir que la posición espacial no modifica su semejanza.
Actividad 3: Consolidación y ajuste de ritmos
Consigna: ¿Son semejantes todos los triángulos?¿ y los cuadrados?¿ y los rectángulos?¿todos los demás
polígonos regulares?¿y los no regulares? ¿todos los cubos son semejantes?.Y los poliedros, ¿son todos
semejantes?, ¿y las esferas?, ¿son todas semejantes? Justifiquen las respuestas.
Intenciones: Generalizar el concepto de semejanza a polígonos y poliedros regulares e identificar que si las
figuras no son regulares la generalización no es válida.
Comentario: Tendrán que recurrir a investigar en los libros de texto o bien construir algunas figuras para poder
responder a las preguntas de la actividad.
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Consigna: Completen las ampliaciones que se han hecho de estos dibujos a los que les faltan algunos trazos.
Intenciones: Completar dibujos semejantes a partir de uno dado.
Comentario: Deberán tomar medidas para calcular la razón de semejanza y así obtener la ampliación o reducción
de la figura.
Consigna: Consigan una fotografía o una postal de un edificio de Paraná. ¿Serían capaces, utilizando sólo la
fotografía, de calcular las medidas reales del edificio?
Intenciones: Reconocer si es posible aplicar el concepto de semejanza en la fotografía para hallar las medidas
reales de lo registrado en la foto.
Comentario: Las respuestas podrán ser múltiples. Si en la fotografía no aparece algún objeto o persona cuyas
dimensiones sean conocidas, será imposible que logren responder a la actividad. En ese caso podrán ir hasta el
lugar y medir un objeto que aparezca en la misma. La selección de la foto es una variable didáctica importante
porque la semejanza no se conserva si la foto no ha sido tomada perpendicularmente.
Consigna: Se dividirá la clase en seis grupos y cada grupo realizará las siguientes actividades: Grupo 1:
Construyan un triángulo que tenga un ángulo de 35° y otro ángulo de 70°,Grupo 2:Ídem al grupo1,Grupo 3:
Construyan un triángulo de lados 2, 3 y 4 cm., Grupo 4: Construyan un triángulo de lados 4, 6 y 8 cm., Grupo 5:
Construyan un triángulo de lados 2,5 y 4 cm con el ángulo incluido de 50°,Grupo 6: Construyan un triángulo de
lados 5 y 8 cm. con el ángulo incluido de 50°.
Luego de realizar las construcciones se intercambiarán los trabajos el grupo 1 con el 2, el 3 con el 4 y el 5 con el
6. Cada grupo comparará su triángulo con el triángulo del otro grupo y responderá a las siguientes preguntas: ¿los
triángulos que han comparado son semejantes?, ¿cuál es la razón de semejanza?, ¿podrían decir cuáles son las
condiciones para que dos triángulos sean semejantes? Justifiquen.
Intenciones: Lograr que los alumnos reconozcan los criterios de semejanza de triángulos.
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Comentario: Los triángulos obtenidos en cada par de grupos son semejantes, esto les permitirá concluir que no es
necesario el conocimiento de todos los elementos para poder construir triángulos semejantes.
Consigna: Es posible medir la altura aproximada de un edificio solo con una escuadra. Observen la figura que
explica cómo calcular la altura del mástil de tu colegio.
¿Qué medidas tendrían que tomar para calcular la altura del mástil? Calculen utilizando este procedimiento la
altura aproximada del mástil de tu escuela o un edificio cercano.
Intenciones: Modelizar geométricamente identificando el modelo de semejanza en una situación real.
Comentario: Deben reconocer en el problema las medidas que son necesarias tomar y la unidad de medida
(convencional o no) más conveniente para el cálculo de distancias. (metros, centímetros, pasos, etc.)
Consigna: La duplicación del cubo. Cuentan los historiadores que a la muerte de Pericles, se produjo tal revuelo
en Atenas que llevó al Oráculo de Apolo en Delos a sugerir la necesidad de duplicar el volumen del altar cúbico
dedicado a Apolo. Aunque los atenienses duplicaron diligentemente todas las “dimensiones” del altar, no
cumplieron con el deseo expresado. Un chico para justificar por qué no lograron construir el altar construyó un
cubo de 5 cm. de arista y otro cuyas aristas medían el triple del anterior. Hagan lo mismo y respondan: ¿cuál es
la razón de semejanza?, ¿cuántas veces entra el cubo chico en el grande? ¿porqué? Calculen la superficie y el
volumen de cada uno de los cubos. ¿Cuál es la relación que pueden encontrar entre la superficie y los volúmenes
del pequeño y del grande? ¿Se animan a explicar porqué no se pudo construir el altar con esas dimensiones?
Intenciones: Encontrar la relación existente entre la razón lineal, la de área y la del volumen. Mostrar problemas
históricos irresolubles que ayuden a ver una geometría no acabada.
Comentario: Construir un modelo que les permita mediante mediciones y cálculos reconocer las relaciones entre
áreas y volúmenes de figuras semejantes. Mencionar anécdotas del pasado que acerquen la geometría al
alumno, observando las dificultades a las cuales se enfrentaron los antiguos griegos.
Actividad 9: Motivación y exploración
Consigna: Investiguen sobre el tema: “Número de oro” y “Rectángulo áureo”. Incluyan el momento histórico,
dónde aparecen y construyan el rectángulo áureo con regla y compás.
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Intenciones: Pretendemos que logren situarse en el momento histórico y vean las aplicaciones del número de oro
en otras áreas.
Comentario: En el debate se orientará la discusión hacia la relación número de oro y semejanza. La construcción
del rectángulo áureo fue pensada para trabajar las dificultades que tienen en seguir instrucciones en una
construcción.
Actividad 10: Desarrollo de nuevas ideas.
Consigna: Para dibujar objetos muy grandes o muy pequeños tenemos que aumentar o reducir sus medidas,
hacemos un dibujo en escala. Toda escala es una razón entre dos medidas, el numerador indica la longitud del
dibujo y el denominador la longitud correspondiente del objeto que está representando. La escala es adimensional
ya que las medidas se toman en la misma unidad.
En el mapa de la provincia de Entre Ríos está indicada la escala y la fotocopia del mapa está reducida a la mitad.
Marquen en el mapa dos ciudades que estén aproximadamente a 100 Km. Respondan y justifiquen las siguientes
cuestiones: en la fotocopia, ¿a cuántos cm están las ciudades que seleccionaron?, en el mapa ¿a cuántos cm. están
una de la otra?, ¿cuál es la escala que corresponde a la fotocopia?, si el mapa de la provincia se ampliara de modo
tal que su área fuese el doble ¿cuál sería la distancia entre las ciudades?
Intenciones: Reconocer las escalas como una aplicación de la semejanza a la topografía.
Comentario: Es importante que identifiquen e interpreten la escala que figura en el mapa y las unidades de
longitud usadas para que la misma resulte adimensional.
Actividad 11: Consolidación y ajustes de ritmos1
Consigna: ¿Realmente nuestras proporciones son armónicas? ¿Es posible evaluar la belleza física de una persona
por medio de una fórmula matemática? Lo que es bello para una persona puede no serlo para otra. Pero es posible
mostrar la armonía de proporciones, realizando comparaciones. Por ejemplo, si tomamos la medida de una
persona (altura) y la dividimos por la medida que va desde el ombligo hasta el piso, veremos que la razón es la
misma que la de la medida desde el cuello hasta la frente en relación a los ojos hasta el cuello. Lo mismo ocurre
con otras partes del cuerpo.
Te proponemos que trabajes con un compañero y tomes las medidas, hallando la razón entre ellas y
comparándolas.
Intenciones: Reconocer que el coeficiente de proporcionalidad que rige la belleza es el mismo para la mayoría de
las personas y ver como aparece el número de oro en el concepto de armonía física que tenían los griegos.
Comentario: Los alumnos deberán tomar con precisión las medidas
Organizadores considerados en las actividades
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“Los organizadores son aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular
el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas”. (Rico, L. 1999).
En la planificación de la Unidad Didáctica se tuvieron en cuenta los siguientes organizadores:
1) La dificultad asociada a los procesos de enseñanza de la geometría y actitudes afectivas y emocionales
nos llevó a mostrar a la geometría en un contexto cercano al alumno, proponiéndonos el tratamiento de la
semejanza en distintas situaciones, que le ayuden a ver una geometría no inmutable y relacionada con su realidad.
Los alumnos tienden a confiar en la intuición y a generalizar, es por eso que en la actividad 2 se incluyen figuras
espaciales para que analicen que es lo que se debe tener en cuenta para que se conserve la semejanza en el
espacio al igual que en la actividad 8 donde presumen que la razón lineal se mantiene en áreas y volúmenes.
2) Representaciones y Modelos: la razón de semejanza la pueden ver de distintas formas, como una fracción,
como un número decimal o como un porcentaje, cuestión que queda de manifiesto en las actividades 1 y 2.
En relación a la simbología, en la etapa de institucionalización de la actividad 1 aparece la notación simbólica
que se utilizará para expresar que las figuras son semejantes y en la actividad del número de oro aparece el
símbolo usado para expresar un número irracional particular. Se ha favorecido la interiorización de
representaciones visuales asociadas a los conceptos de ampliación o reducción y de semejanza en las actividades
1, 2, 3 y 4. Dos casos significativos de modelización de fenómenos reales son las actividades de proporción
armónica y de medición del mástil de la escuela.
3) Materiales y recursos: en varias actividades se utilizan recursos como la escuadra como elemento de
medición, los libros de texto, internet, las fotos, los mapas y como materiales didácticos las guías con actividades.
4) Se ha usado la información histórica en actividades como el problema de la actividad de la duplicación del
cubo, el número de oro y la construcción del rectángulo áureo.
5) Análisis fenomenológico: la proporción armónica, la altura del mástil, la actividad del mapa, etc. son
ejemplos de este organizador que permite formar un “objeto mental rico” sobre la noción de semejanza en
conexión con diversas situaciones y contextos.
Actividades integradoras
1-Dibuja un triángulo y divídelo en nueve triángulos congruentes entre sí y semejantes al triángulo original.¿Cuál
es la razón de semejanza? Nombra al menos dos pares de polígonos de la figura que sean semejantes entre sí.
2- Una parcela triangular tiene lados de 500 m., 640 m, 720 m. a) Represéntala a escala 1: 10.000 b) Mide una
altura del triángulo dibujado y calcula el área del triángulo. c)¿Cuál es el área de la parcela triangular?
3- Dibuja los conos rectos C1 de radio:18 cm. y generatriz:30 cm. y otro semejante C2 de generatriz: 20 cm. con
la escala que prefieras. Halla la razón entre los volúmenes y si tuvieras que construirlos la cantidad de cartón
necesario.
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4- Construí un círculo cuya área sea el doble de la de un círculo de 2 cm. de radio.¿Cuál es la razón de semejanza
lineal?
Evaluación
La evaluación del aprendizaje debe enriquecer el aprendizaje de la matemática y solo se logra si la misma tiene
carácter integral y es implementada en forma continua de manera de retroalimentar el proceso de enseñanza
informando a los docentes de los cambios que deben efectuar y a los estudiantes de los progresos y dificultades
en el aprendizaje.
La evaluación no puede evadirse de las interacciones sociales que ocurren en el aula y debe ayudar al profesor a
evaluar los distintos procesos de aprendizaje, con herramientas más profundas que el típico si entendí de los
alumnos, por ejemplo ¿la unidad didáctica que diseñó permitió que el estudiante se involucrara en un juego de
producción de conocimiento?, ¿el conocimiento alcanzado por sus estudiantes es apropiado o necesita modificar
o seguir generando mas realizaciones?
Con respecto al alumno, la situación didáctica, debe tender a que reflexione sobre su propio aprendizaje, esta
autoevaluación le permitirá tomar conciencia sobre qué, como y para qué está aprendiendo, entender sus propios
procesos cognitivos y desarrollar competencias para controlar y monitorear tales procesos.
No se evalúa con un único instrumento y se tiene en cuenta la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa.
La observación del trabajo en clase se puede realizar por grupo o individualmente atendiendo a las siguientes
cuestiones: usos de distintas estrategias en la resolución de problemas, reconocimiento y aplicación de
conceptos, grado de interpretación y representación de las actividades, expresión oral y escrita y uso del
lenguaje geométrico como medio adecuado de comunicación, interés e iniciativa en el trabajo individual o
grupal, hábitos de trabajo.
Por razones de espacio sólo hemos incorporado una evaluación tentativa final.
Evaluación Final
Los criterios de la evaluación que se tendrán en cuenta son:
-Reconocer los diversos significados e interpretaciones del concepto, propiedades y criterios de la semejanza en
contextos diversos.
-Llevar a cabo una construcción a partir de instrucciones o datos en forma fiable y prolija.
-Utilizar lenguaje matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones, modelar
situaciones y dar justificaciones.
1-El hermano de Alejandro estudia arquitectura y pasa muchas horas haciendo láminas, planos y maquetas para la
materia Diseño. Tuvo que diseñar un edificio de 27 m de altura. La maqueta era una miniatura del edificio y tenía
una altura de 90 cm. Las medidas de todas las líneas de la maqueta guardaban la misma proporción.
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a)¿Cuánto mide en la maqueta una ventana de 90 cm. y cuánto debería medir de ancho la puerta de entrada si en
la maqueta mide 3,5 cm.?
b) ¿Qué área del edificio representa 1 cm2 de la maqueta y cuál es la medida de la superficie de los
departamentos en la maqueta si en la realidad miden 90 m2?
c) ¿Qué volumen del edificio representa 1 cm3 de la maqueta?
2- ¿Qué condiciones deben cumplirse para que resulten semejantes: ¿dos esferas? ¿dos cilindros?¿dos pirámides
de base cuadrada?
3-Construye un triángulo con dos ángulos de 80° y 35° respectivamente. Determina los puntos medios de dos
lados y únelos ¿son semejantes el triángulo original y el que has obtenido? Justifica
4- Construye un triángulo rms, rectángulo en m cuyos catetos mr y ms midan 5 y 6 cm. respectivamente. Sobre
ms a 2 cm. de m marca el punto c, por c traza un segmento perpendicular a rs, determinando el punto de
intersección d sobre rs. ¿Los triángulos mrs y cds son semejantes? Justifique.
Biembengut, M. S. y Nelson, H. (2000). Modelagem matemática no encino. Brasil: Contexto.
Alsina Catalá, C, Carmé Burgués Flamarich y Joseph Fortuny Aymemí (1989). Invitación a la didáctica de la
geometría. Madrid: Síntesis.
Chevallard, Bosch y Gascón (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y aprendizaje.
Barcelona: Horsori.
Fiol, M. , Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid: Síntesis.
Giménez Rodríguez, J. (1997). Evaluación en Matemáticas. Una integración de perspectivas. Madrid: Síntesis
Grupo Beta (1990). Proporcionalidad geométrica y semejanza. Madrid: Síntesis.
Jaime Pastor, A. y Gutiérrez Rodríguez, A. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Madrid: Síntesis.
Rico, L., Castro, E., Castro, E. E., Coriat, M., Marín, A., Puig, L. Sierra, M. y Socas, M. (1997). La educación
matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori.
Romera Carrión, C. (1997). Bases para el diseño de unidades didácticas de matemáticas para la E.S.O. Madrid:
Universidad Nacional de Educación a Distancia
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Taller: De la construcción a la validación
María Susana Dal Maso y Marcela Götte
Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina.
[email protected] y [email protected]
Nivel educativo: Básico y Medio
Palabras Claves: propiedades geométricas- construir- conjeturar- validar
Resumen
Es importante en el trabajo matemático la argumentación y la validación, pero bien sabemos que para el alumno
no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, será
suficiente para aceptarla como válida.
Para ello es preciso buscar un método de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geométrico
orientado hacia la validación. Es necesario enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la exploración
intentando así derivar en formulación y validación de propiedades.
En este taller se trabajará con el plegado de papel, construcciones y demostraciones sencillas a través de una
sucesión de actividades que pongan en juego una serie de habilidades y propiedades que nos permitan construir
juntos una modalidad de trabajo y desarrollar espacios de exploración que derive en formulación y validación de
otras propiedades. Destacamos que una misma actividad, de acuerdo al nivel de complejidad con que se la
explore y propiedades que se pongan en juego adquiere distintos niveles de complejidad.
“Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo aprendí, lo hice y lo entendí”. Confucio (551adC- 479adC).
“Me lo contaron y lo olvidé,
lo vi y lo aprendí,
lo hice y lo entendí”
Confucio (551adC-479adC)
Marco Teórico
Es importante en el trabajo matemático la argumentación y la validación, pero bien sabemos que para el alumno
no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, será
suficiente para aceptarla como válida.
Para ello es preciso buscar un método de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geométrico
orientado hacia la validación. Es necesario así enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la
exploración intentando así derivar en formulación y validación de propiedades.
“…los recortes del saber cultural geométrico pueden ser adquiridos por los alumnos en el marco de un trabajo
intelectual matemático de resolución y análisis de problemas, de debate y argumentación acerca de éstos, que les
permita, simultáneamente a la apropiación de aspectos o recortes de dichos “objetos del saber”, el acceso a un
modo de pensar y de producir. La adquisición de un tipo de actividad intelectual propia de construcción de
conocimientos matemáticos es, desde nuestro punto de vista, una condición indispensable para acceder a la
cultura matemática. Si esto no es considerado como parte de la enseñanza, se corre el riesgo de transmitir
únicamente resultados” (Broitman, 2003, p 300)
No es una decisión espontánea considerar un dibujo como una representación de todos lo dibujos posibles de un
objeto geométrico. La geometría puede ser considerada como el resultado de una modelización del dibujo,
sirviendo así de instrumento de producción y de control del dibujo, e incluso de predicción. Pero también,
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inversamente, el dibujo en geometría puede ser considerado como modelo del objeto geométrico, ofreciendo así
un campo de experimentación gráfica. “Puesto que la enseñanza ignora las relaciones entre dibujo y objeto
geométrico, este carácter de experimentación no es percibido, por decirlo así, por los alumnos y aún menos
utilizado” (Laborde, 1996).
Además las decisiones que tome el observador con respecto a un dibujo estarán directamente relacionadas con
sus conocimientos teóricos geométricos.
“Por este motivo, las situaciones que se propongan a los alumnos con la finalidad de indagar, identificar o
reconocer propiedades de las figuras deben impactar en procesos intelectuales que permitan hacer explícitas las
características y propiedades de los objetos geométricos, más allá de los dibujos que se utilicen para representar
dichas figuras”. (Itzcovich, 2005, p.18)
Objetivo
El objetivo del taller es que los asistentes a través del plegado de papel, de construcciones, y de demostraciones
sencillas, logren visualizar, conjeturar y demostrar las propiedades de las figuras geométricas y puedan integrar
estas propiedades para la resolución de situaciones problemáticas.
La modalidad de trabajo en forma de taller le permite al docente utilizar diversos recursos y materiales
interesantes en la enseñanza y aprendizaje de la geometría para lograr que el alumno descubra nuevas
características y propiedades de los objetos geométricos, resignifique conceptos ya estudiados y a partir de ellos
participe de discusiones cada vez más argumentativas.
La modalidad de taller, como un modo de configurar la práctica de la enseñanza, supone construir y
conceptualizar desde la puesta en escena de las actividades diseñadas por el docente y a partir del intercambio del
grupo de trabajo. Es por eso que se plantea un trabajo activo por parte de los participantes sobre actividades que
pueden llegar a conocer pero se pretende una reflexión sobre sus finalidades didácticas.
Presentaremos en este taller una sucesión de actividades que pongan en juego una serie de habilidades y
propiedades que nos permitan construir juntos una modalidad de trabajo y desarrollar espacios de exploración
que derive en formulación y validación de otras propiedades. Es conveniente destacar que una misma actividad,
de acuerdo al nivel de complejidad con que se la explore y propiedades que se pongan en juego, será adecuada
para los alumnos del nivel básico o medio. “Un dibujo remite a los objetos teóricos de la geometría en la medida
en que el que lo lee decide hacerlo. La interpretación evidentemente depende de la teoría con la que el lector elige
leer el dibujo, así como de los conocimientos de dicho lector.” (Dal Maso, 2007, p 27)
Trabajando con construcciones
En este extenso colocaremos una muestra de actividades a desarrollarse en el taller y en algunos casos posibles
resoluciones.
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Muchas veces tenemos en nuestro mundo físico objetos que nos sirven como herramientas para… y no nos
detenemos a pensar si es posible utilizarlas con otras finalidades que las que están a simple vista. Por ejemplo
pensemos en una escuadra. Las más utilizadas son las que tienen un ángulo de 60º y otro de 30º. ¿Será posible
con una hoja de papel construir esa escuadra sin medir, sólo con la ayuda de nuestras manos?
Actividad I:
Toma una hoja
A4 , traza por plegado la mediatriz de uno de los bordes más cortos de la hoja, y construye la
escuadra llevando un vértice sobre la mediatriz. Si consideramos a la hoja como una representación de un
rectángulo, ¿qué podríamos haber pedido que se trazara para llevar a cabo la misma actividad? Verifica que la
escuadra construida en la hoja de papel cumpla con los ángulos pedidos.
Posibles resoluciones:
•
Utilizando los ángulos de la escuadra y superponiéndolos sobre la figura construida.
•
Utilizando un transportador para medir los ángulos.
•
Por plegado, verificando que el ángulo de 60º, al plegarlo nuevamente sobre sí mismo, cabe
exactamente 3 veces en la hoja.
•
Por plegado, verificando que el ángulo de 30º, al plegarlo nuevamente sobre sí mismo, cabe
exactamente 3 veces en la hoja.
•
Prescindiendo de la constatación empírica planteando conjeturas y aplicando propiedades adecuadas
que nos permitan una demostración formal.
Actividad II:
Aprovechando el plegado anterior y en la misma hoja, construye un triángulo equilátero. Justifica dicha
construcción. ¿Podrías demostrar que dicho triángulo tiene sus tres lados iguales?
Actividad III:
Con la ayuda de las líneas marcadas y tus manos, recorta el triángulo equilátero. A través del plegado, halla el
incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro de dicho triángulo. Llama O al baricentro. Escribe en una hoja
todos los conceptos que se ponen en juego al realizar esta actividad.
Actividad IV:
Pliega el triángulo equilátero por sus bases medias. Clasifica ese nuevo triángulo. Escribe en una hoja todos los
conceptos que se ponen en juego al realizar esta actividad.
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Actividad V:
Doblar el triángulo ABC mediante una perpendicular a la altura correspondiente al lado BC, de manera que A
coincida con O. Repetir el procedimiento para las otras dos alturas del triángulo. Mediante este plagado se
obtiene un hexágono que llamaremos DEFGHI, donde A, D,
E, C están sobre el mismo lado del triángulo original y en ese
orden. ¿El hexágono DEFGHI es regular? ¿Por qué?
Observaciones: para justificar que el hexágono es regular se
puede utilizar ángulos entre rectas para una justificación
formal o comprobaciones empíricas como por ejemplo
midiendo. La razón de colocar los nombres de los vértices tan
específicamente tiene que ver con las actividades que siguen.
Actividad VI:
Dividir cada mediana del triángulo ABC mediante pliegues paralelos a las bases en 6 segmentos de igual
longitud. Utilizar ese plegado y nombrar J el punto medio de OD, K el punto medio de OE, L el punto medio de
OF, M el de OG, N el de OH y P el punto medio de OI. ¿El hexágono JKLMNP es regular? ¿Por qué?
Observaciones: para la división de la mediana en seis partes iguales se puede utilizar la propiedad que el
baricentro de un triángulo se encuentra a 1/3 de la base y a 2/3 del vértice correspondiente y de allí utilizar punto
medio. Para justificar que el hexágono JKLMNP es regular se puede proceder como en el caso anterior o utilizar
homotecia, ya que este hexágono es homotético del DEFGHI con una homotecia de centro O y razón ½. Se debe
justificar en ambos casos lo que se utilice.
Actividad VII:
Calcular el área de los hexágonos DEFGHI y JKLMNP sabiendo que: a) el lado de ABC es x; b) el área de ABC
es 1 unidad cuadrada y c) el área de KLO es 1 unidad cuadrada.
¿Qué conceptos se utilizan para resolver la situación en cada caso?
Observaciones: aunque esta actividad es de fácil resolución y el concepto de área es suficientemente trabajado
por los docentes, se incluye aquí con el propósito de hacer hincapié en la relación que existe entre áreas de
figuras homotéticas.
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Actividad VIII:
Trabajaremos de aquí en más en el espacio. Plegar por el segmento OB de tal forma que OG y OH coincidan.
Plegar por la altura de OGB llevando B en O. Repetir el procedimiento con OC y OA. Obtenemos de esta forma
una pirámide triangular. ¿Es un tetraedro regular? ¿Por qué?
Observaciones: Antes de obtener el tetraedro regular se puede plegar y obtener una pirámide pentagonal o
cuadrangular. Se hará hincapié aquí sobre las condiciones de regularidad de los poliedros. Se continuará
trabajando también sobre la semejanza en el espacio y la relación entre los volúmenes de figuras homotéticas.
Bibliografía.
Dal Maso, M S (2007): Dificultades en las demostraciones en geometría, en Premisa: Revista de la Sociedad
Argentina de Educación Matemática. Año 9- Nº 35. Bs. As. 26-36
Itzcovich; H (2005): Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. De las construcciones a las
demostraciones. libros del Zorzal. Vd. As.
Laborde, C. (1996): Cabri Geómetra o una nueva relación con la geometría, en Investigación y didáctica de las
matemáticas. Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid. 67-85
Panizza, M (comp). (2003): Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB análisis y
propuestas. Paidós. Bs. As.
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DIFICULTADES ALREDEDOR DE LA CONSTRUCCIÓN DE LA IDEA DEL
INFINITO: UNA EXPERIENCIA DE CLASE
Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” –Buenos Aires – Argentina
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología de Avanzada – México D. F. – México
Nivel medio
Palabras claves: infinito, construcción del conocimiento, discontinuidades, asíntotas
Resumen
Este trabajo presenta los resultados de una experiencia llevada a cabo con alumnos de escuela media que muestra
la existencia de ideas construidas fuera de escenarios escolares y que llegan al aula de matemática,
obstaculizando la construcción de conocimientos matemáticos. La reflexión se realiza desde el enfoque
socioepistemológico, ya que este marco teórico considera a la problemática de estudio de la matemática educativa
como el análisis de los fenómenos que ocurren cuando el saber matemático que se construye socialmente fuera de
la escuela entra en el sistema de enseñanza.
Se describe una situación de clase en donde se presentaron a un grupo de estudiantes funciones racionales
solicitándoles sus caracterizaciones. Surgieron discusiones entre las alumnas, que compartían por un lado, un
bagaje común de conocimientos adquiridos a lo largo de la escolaridad, y por otro, códigos comunes, por su edad,
su nivel económico y social, una cultura compartida.
De la lectura de los diálogos se observa que el infinito dificulta el consenso: se mezcla el deber con el pensar, el
comprender con el aceptar, el cumplir con el discutir. El infinito los coloca en una situación donde ninguno tiene
razón (o al menos no sabe si la tiene) por lo cual el consenso llega de la mano de la necesidad de aprobar una
materia. Las ideas que se generan como resultado de esos diálogos tienen sólo un fin utilitario, pero no modifican
lo que se sabe, lo que se cree, lo que se entiende.
Introducción
Este trabajo presenta los resultados de una experiencia llevada a cabo con alumnos de escuela media que muestra
la existencia de ideas construidas fuera de escenarios escolares y que llegan al aula de matemática,
obstaculizando la construcción de conocimientos matemáticos. Se describe una situación de clase en donde se
presentaron a un grupo de estudiantes funciones racionales solicitándoles sus caracterizaciones. A partir de ella,
surgieron discusiones e intercambios de ideas entre las alumnas, que comparten por un lado, un bagaje común de
conocimientos adquiridos a lo largo de la escolaridad, y por otro, códigos comunes, por su edad, su nivel
económico y social, una cultura compartida.
De acuerdo a la naturaleza de las ideas asociadas al infinito, puede entenderse que la idea intuitiva de infinito es
anterior al infinito matemático (Lestón, 2008). La primera se obtiene fuera del sistema escolar, lejos de la
institución y por lo general, sin intencionalidad explícita de transmisión de ideas matemáticas. Las relaciones de
intercambio que se dan en la vida cotidiana no siempre tienen intención de enseñanza como se entiende en el
sistema escolar ni son siempre controladas, de manera que un niño puede llegar a desarrollar una serie de ideas de
las cuales no hay constancia hasta que no sean evocadas en una situación (didáctica o no) desarrollada a tal fin o
hasta que surjan naturalmente provocando un “error” en la clase. La segunda, la idea matemática del infinito, se
presenta en la escuela, en un escenario escolar generado con el fin de transmisión de conocimientos. Algunos
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docentes, intencionalmente, presentan a los alumnos situaciones que provoquen la necesidad de discusión de este
concepto y lo formalizan a fin de darle el “status” de conocimiento científico.
Marco teórico
La reflexión que presentamos en este trabajo se ha realizado desde el enfoque socioepistemológico, ya que este
marco teórico considera a la problemática de estudio de la matemática educativa como “el examen de los
fenómenos que se suceden cuando el saber matemático, construido socialmente fuera de la institución escolar se
introduce y se desarrolla en el sistema de enseñanza”. (Farfán, 2003, p.5). De esta manera, es posible asumir la
importancia que tienen las formas de comunicación originadas en escenarios no académicos de la sociedad actual,
y que los alumnos llevan a escenarios académicos, como el aula de matemática. “Estamos pasando de una
sociedad con sistema educativo a una sociedad educativa” (Barbero, 2006, p.3). Esta idea parece cada vez más
vital, ya que llama la atención a buscar fuera de la escuela los conocimientos que se construyen y a tratar de
identificar la manera en la que se los construyen (Crespo Crespo, 2007). La escuela pasa a ser, bajo esta
concepción, una instancia más de aprendizaje, pero no la única, se encuentra inmersa en una sociedad en la cual
se construye conocimiento
La socioepistemología hace aportes fundamentales para poder explicar la forma en que el conocimiento surge de
las interacciones sociales de una cultura particular. “Mientras [las aproximaciones epistemológicas tradicionales]
asumen al conocimiento como el resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias
empíricas, ignorando el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales desempeñan en toda
actividad humana, la socioepistemología plantea el examen del conocimiento situado, aquel que atiende a las
circunstancias y escenarios socioculturales particulares. El conocimiento, en este caso, se asume como el fruto
de la interacción entre la epistemología y los diversos factores sociales” (Lezama, 2005, p. 341)
Una experiencia de clase trabajando con funciones racionales
La siguiente experiencia se desarrolla en el transcurso de una clase de 4º Año Ciencias de un colegio de la Ciudad
de Buenos Aires. Si bien el objetivo de la clase no era provocar una discusión como la que a continuación se
describe, la temática desarrollada provocó el desencadenamiento de algunas ideas que permiten ilustrar lo que
ocurre cuando el infinito intuitivo y lo que han ido aprendiendo del infinito matemático y de la matemática en
general se mezclan con un infinito como valor al que tiende un límite.
La discusión se dio durante una clase en que se comenzaba a introducir la idea de funciones continuas y
discontinuas pero sin haber trabajado previamente la unidad de límites. En el currículum de 4º Año, los alumnos
estudian funciones racionales, como uno de los tipos de funciones, pero no se profundiza en el estudio del análisis
matemático, que es un contenido de 5º Año.
Hasta ese momento los estudiantes han trabajado con representaciones gráficas de funciones (sin conocer la
expresión funcional de las mismas) y en función de lo que observan pueden decir si es o no continua, si hay
asíntotas verticales o “agujeritos” (discontinuidades puntuales). Este trabajo se hace durante el segundo año de
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escuela media (14-15 años) dentro de la unidad de Funciones y Generalidades. El objetivo de esa unidad es
simplemente que los estudiantes reconozcan a partir de una gráfica si la representación corresponde a una
función, definen el dominio, la imagen, los intervalos de positividad y negatividad, el conjunto de ceros y los
intervalos de crecimiento y decrecimiento. También se trabaja con la existencia o no de puntos donde la función
no está definida y si existen en ese punto asíntotas o discontinuidades puntuales.
Diseño de la actividad
La clase se desarrolló a partir del estudio de tres funciones, a partir de las cuales se esperaba extrapolar
condiciones para poder identificar las características que la representación gráfica de las mismas iban a tener.
Las funciones que se analizaron fueron:
x +1
x−2
x2 −1
b. f ( x) =
x +1
x 3 − 4x 2 + x + 6
c. f ( x) =
x 2 − 2x − 3
a. f ( x ) =
Como primer punto, se discutió el dominio de estas funciones. La unidad anterior, destinada al estudio de
funciones polinómicas, había abierto la discusión al definición de dominio de una función y a las condiciones que
provocaban que las funciones polinómicas estuvieran definidas en todo el conjunto de los números reales.
Para el caso de estas funciones, se discutió con el grupo si el dominio iba a volver a ser el conjunto de los
números reales o existían valores para los cuales la función no estaba definida. Surge como consecuencia el
problema de la división por cero, frente a lo cual los estudiantes “postulan” que no se puede dividir por cero por
lo cual hay que eliminar las raíces de los denominadores.
La fundamentación de porqué no se puede dividir por cero surge desde dos perspectivas distintas: la negación que
han escuchado a lo largo de toda su escolaridad “no se puede dividir por cero” o por el resultado que la
calculadora no encuentra. Algunas de las justificaciones fueron:
“No se puede dividir por cero porque es como repartir entre nada... no tiene sentido”
“Nunca se puede dividir por cero porque la calculadora da MATH ERROR”
Luego de discutir porqué no se podía dividir por cero, se avanzó a la discusión de qué ocurría en ese punto que
estábamos extrayendo del dominio para el caso de la función a. Y en ese momento comenzó la discusión en
donde todas las ideas sobre infinito, continuidad, densidad, reaparecieron.
Se acordó primero que ese punto podía generar dos cosas: una asíntota vertical o una discontinuidad puntual: esas
son las dos formas de discontinuidad que ellas conocen.
Se realizó entonces una tabla para ver qué ocurría alrededor de ese punto.
f ( x) =
x +1
x−2
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x
f(x)
-5
0,571428571
-4
0,5
-3
0,4
-2
0,25
-1
0
0
-0,5
1
-2
2 no existe
3
4
4
2,5
5
2
6
1,75
7
1,6
8
1,5
Tabla 1
Pero al momento de hacer la gráfica, surgió la necesidad de observar qué ocurría cuando nos acercábamos más la
valor x=2, por lo cual, se realizó otra tabla.
f ( x) =
x
x +1
x−2
f(x)=(x+1)/(x-2)
1,6
-6,5
1,7
-9
1,8
-14
1,9
-29
1,99
-299
1,999
-2999
1,9999
-29999
2 no existe
2,0001
30001
2,001
3001
2,01
301
2,1
31
2,2
16
2,3
11
Tabla 2
Al volcar los resultados hallados en la tabla a una gráfica, aparece una nueva dificultad.
Página 36
Gráfico 1
Los estudiantes reconocen que en x=2 hay una asíntota vertical (lo reconocen por la forma). El conflicto es ¿qué
quiere decir que hay una asíntota?
La definición que los estudiantes presentan es:
“Hay una asíntota vertical cuando tenés un valor que genera una recta (acá x=2) al cual la función se
va pegando pero nunca toca, porque como acá, no existe el resultado en la función”
Sin embargo, a pesar de que esta idea es la idea que los estudiantes tienen desde 2º año, surgieron las preguntas
que suelen aparecer en función a esta temática.
Alumna A: “Es imposible que nunca toque, en algún momento se juntan, nomás por el espesor del
lápiz”
Alumna B: “Pero no podés pensar en el espesor del lápiz, es en teoría, pensá que es como un lápiz pero
sin espesor”
Alumna A: “Pero si yo estoy viendo que es asíntota en la gráfica, la gráfica se dibuja, y cualquier línea
que se vea tiene espesor, no tiene sentido, no se puede seguir infinitamente. Es como lo de las paradojas
de Zenón: la distancia se acaba, el movimiento existe, Aquiles pasa a la tortuga. Es lo mismo, entre el
punto que te pares de la recta y dos, la distancia se acaba, en algún momento se tocan”
Alumna B: “No es lo mismo, porque es en teoría, lo otro es en la práctica”
Sin convencerse, la alumna terminó por aceptar que la asíntota y la función no se intersecan en ningún punto.
Después de estudiar este ejemplo, se pasó al siguiente.
b. f ( x) =
x2 −1
x +1
Se realizó la misma discusión del dominio y se determinó que debía extraerse al valor x=-1 dado que provocaba
una división por cero.
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De manera análoga a lo que se había hecho en el punto anterior, se realizó una primera tabla con valores enteros,
y una segunda tabla con valores cada vez más próximos a x=-1, para ver qué ocurría en las cercanías de ese
punto.
Primera Tabla
x
f(x)
-8
-9
-7
-8
-6
-7
-5
-6
-4
-5
-3
-4
-2
-3
-1 no existe
0
-1
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
Tabla 3
Segunda Tabla
x
f(x)
-0,4
-1,4
-0,5
-1,5
-0,6
-1,6
-0,7
-1,7
-0,8
-1,8
-0,9
-1,9
-0,99
-1,99
-0,999
-1,999
-0,9999
-1,9999
-1 no existe
-1,0001
-2,0001
-1,001
-2,001
-1,01
-2,01
-1,1
-2,1
-1,2
-2,2
-1,3
-2,3
-1,4
-2,4
Tabla 4
Página 38
Se realizó a continuación una gráfica de la función
Gráfico 2
Y la gráfica aparece como una recta con un “agujerito”. Y nuevamente surgen las dificultades.
Alumna A: “¿Porqué ahora sí se ve el agujerito? ¿No era que el lápiz no tiene espesor? Además,
supuestamente entre dos puntos de una recta hay infinitos, si saco uno solo no se ve, no se puede ver”
Alumna B: “Pero es en teoría, es así, se marca para que entiendas que ahí falta un punto, no importa si
se ve o no se ve, vos tenés que saber que es discontinua, entonces lo marcás agujereado para acordarte
que ahí falta un punto”
Alumna A: “Entonces es cualquiera: cuando querés que se vea, se ve; cuando no querés que se vea, no
se ve... Es cualquier cosa...”
Alumna B: “Bueno, no importa, es todo teórico, en realidad tampoco es que hay infinitos puntos entre
dos cualquiera, eso es teoría”
El resto de los estudiantes toman partido por una u otra, en distintos momentos, algunas aceptan lo que se les
presenta, otras dudan pero finalmente aceptan. Aún las que no se convencen, terminan por aceptarlo, por el sólo
hecho de que es un medio para aprobar la materia.
Una de los estudiantes aboga por el argumento de la alumna A (que por lo general se pregunta y cuestiona todo
hasta convencerse) y recuerda la teoría de Geometría que estudiaron en primer año:
Alumna C: “¿Quién era el que estudiamos de Geometría, que tenía los 13 libros?”
Alumna D: “Euclides”
Alumna C: “Bueno, ahí decía que un punto es lo que no tiene partes. Entonces A tiene razón, no se ve,
así como no se ven las líneas, porque las líneas tenían una sola dimensión, no tenían espesor, entonces
tampoco sé si toca o no la asíntota, porque la asíntota tampoco se ve”
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Alumna B: “Bueno, pero con ese criterio, no podría ver tampoco la función, y entonces no tiene sentido
nada. No podés tomar todo al pie de la letra, si no, no hagás nada y listo”
Alumna A: “Sí bueno, está bien, no importa. La teoría dice una cosa y yo hago lo que me sirve en cada
caso... No es muy claro, me parece, pero no importa”
Evidentemente, todo se mezcla: lo que se ve, lo que se dice, lo que se hace, lo que hay que hacer... Ninguna de
los estudiantes presenta una idea consistente en sí misma, pero todas terminan aceptando lo que se les presenta.
El contrato didáctico las obliga, pero todo se mezcla. Y seguramente siga mezclado.
Comentarios finales
En esta experiencia se relata una situación de clase en donde se presentaban a un grupo de estudiantes las
funciones racionales. A lo largo del desarrollo de la clase surgen discusiones entre las alumnas, que comparten
por un lado, un bagaje común de conocimientos adquiridos a lo largo de la escolaridad, y por otro, códigos
comunes, por su edad, su nivel económico y social, una cultura compartida.
De la lectura de los diálogos se observa que el infinito dificulta el consenso: se mezcla el deber con el pensar, el
comprender con el aceptar, el cumplir con el discutir. El infinito los coloca en una situación donde ninguno tiene
razón (o al menos no sabe si la tiene) por lo cual el consenso llega de la mano de la necesidad de aprobar una
materia. Las ideas que se generan como resultado de esos diálogos tienen sólo un fin utilitario, pero no modifican
lo que se sabe, lo que se cree, lo que se entiende.
La forma en que se tratan las funciones, el trabajo con límites, provocaran en los modelos que los alumnos se han
formado, inconsistencias en más de una ocasión: los conceptos se confunden, las propiedades y definiciones se
aprenden y aplican, pero poco significan. Evidencia de esto es la dificultad general que presentan los alumnos en
la primera aproximación que tiene ante el estudio del análisis matemático.
Este trabajo, muestra la existencia de conceptos que, como el infinito, se construyen fuera de la escuela y cuando
entran en el aula de matemática, se manifiestan de manera conflictiva, si no se exploran las construcciones
previas. El proceso de construcción del infinito en la escuela, se ve influido por ideas intuitivas y extraescolares
que reaparecen generando obstáculos epistemológicos que se ponen en evidencia al enfrentar ideas relacionadas
al infinito escolar.
Barbero, J. (2006). Dinámicas urbanas de la cultura y cultura escolar. En Nuevos tiempos y temas en la agenda de
política educativa. La escuela vista desde afuera. Buenos Aires, Argentina.
Crespo Crespo, C. (2001). Acerca de la comprensión del concepto de continuidad. En Boletín de SOAREM nº 11
(pp.7-14). Buenos Aires, Argentina: SOAREM.
Crespo Crespo, C. (2002). La noción de infinito a través de la historia. En C. Crespo Crespo (Ed.), Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa. 15 (1) (pp. 529-534). México.
Página 40
Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la socioepistemología. Tesis de
Doctorado sin publicar. CICATA-IPN, México.
Farfán, R. M. (2003). Matemática Educativa: un camino de filiaciones y rupturas. En J. R. Delgado Rubí (Ed.),
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 16 (1). (pp.5-10). Santiago de Chile: Ediciones Lorena.
Homilka, L. (2008). Influencia de las prácticas docentes en la visión de estudiantes y profesores de matemática
acerca de la matemática en el aula y las decisiones didácticas. Tesis de Maestría en Matemática Educativa sin
publicar. Cicata-IPN, México.
Lestón, P. y Veiga, D. (2004). Introducción al infinito. En L. Díaz, (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa. 17 (1) (pp.404-410). México.
Lestón, P. (2008). Ideas previas a la construcción del infinito en escenarios no escolares. Tesis de Maestría en
Matemática Educativa sin publicar. Cicata-IPN, México.
Lezama. J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la reproducibilidad. Relime, 8 (3), 339-362.
Página 41
HACER MATEMÁTICA EN LA SALA DE INFORMATICA
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
María Ursula Zorba
Escuela de Enseñanza Media Nº 348, Villa Constitución, Santa Fe, Argentina
Escuela de Enseñanza Media Nº 205, Villa Constitución, Santa Fe, Argentina
Inst. Superior de Profesorado “Eduardo Laferriere”, Villa Constitución,
Santa Fe, Argentina
[email protected]
Nivel Medio
Palabras claves: software graficador – función lineal – sistema de ecuaciones – sistema de inecuaciones –
propuesta didáctica
Resumen
Las nuevas tecnologías de la información y la comunicación están aquí. Es un buen momento para comenzar a
aprovechar las oportunidades que nos brindan las TICs como material didáctico e incorporarlas de a poco en las
prácticas docentes. La mayoría de los docentes desconocen la existencia de software específicos para Matemática
o se niegan a utilizarlos porque consideran que no generan aprendizajes, pero la utilización de la computadora no
deja de lado la tiza y el pizarrón, sino que es un material didáctico más que complementa nuestras prácticas.
Depende de nosotros, los docentes, que a partir de su incorporación el trabajo de nuestros alumnos esté mas
motivado y sea, además creativo y reflexivo.
En el artículo se presenta una propuesta didáctica utilizando un software graficador y las actividades concretas
realizadas por los alumnos, donde se interrelacionan funciones y algebra.
Introducción
Esta propuesta didáctica se lleva a cabo desde hace tres años en la Escuela de Enseñanza Media Nº 205 y en la
Escuela de Enseñanza Media Nº 348, ambas de Villa Constitución, provincia de Santa Fe, comenzando el primer
año con función lineal, al año siguiente se incorporó sistemas de ecuaciones y éste último año sistemas de
inecuaciones. Los objetivos planteados fueron incorporar las TICs como material didáctico (software de gráficos)
en las clases de Matemática y, desarrollar y perfeccionar las habilidades de los alumnos para la resolución de
problemas utilizando el recurso informático
Desde hace algunos años, trabajando en los CBC con mis colegas de las escuelas mencionadas, los contenidos
curriculares de 1º Polimodal de Matemática están organizados de tal manera que los ejes Álgebra – Geometría y
Funciones se desarrollen paralelamente para que los alumnos puedan establecer las relaciones existentes entre
ellos, por ejemplo, que las ecuaciones se utilizan para hallar las raíces o ceros de una función, y que las gráficas
de las funciones lineales son útiles para resolver sistemas de ecuaciones o inecuaciones. Las gráficas realizadas
en el pizarrón por el docente o en la carpeta por los alumnos, presentan las dificultades de no poseer la exactitud
necesaria en la solución de un problema y requerir demasiado tiempo de ejecución. Por ello la inquietud era
acercar la computadora a la clase de Matemática, como material didáctico para tratar de superar estas
dificultades, pero, conociendo diferentes software graficadores el problema que presentaba la mayoría de ellos,
era el tiempo de aprendizaje de manejo del programa. El programa Grahpmat supera las desventajas de otros
software graficadores y suple las dificultades de la gráfica manual. Graphmat es un programa de tipo Freeware
(gratuito) que se consigue fácilmente en Internet..
Página 42
Incorporar las TICs en educación matemática
Hoy en día, los docentes en ejercicio necesitan estar preparados para ofrecer a sus estudiantes oportunidades de
aprendizaje apoyadas en las TIC, para utilizarlas y para saber cómo éstas pueden contribuir al aprendizaje de los
estudiantes. Las simulaciones interactivas, los recursos educativos digitales y abiertos, los instrumentos
sofisticados de recolección y análisis de datos son algunos de los muchos recursos que permiten a los docentes
ofrecer a sus estudiantes posibilidades, antes inimaginables, para asimilar conceptos. (UNESCO, 2008).
Como docentes más de una vez nos cuestionamos si estamos preparados para formar a nuestros alumnos para la
sociedad que se avecina, nos replanteamos qué y cómo enseñar en la sociedad actual para mejorar su formación,
para que logren integrarse a esa sociedad del conocimiento. Por que, como dice Isabel Cantón Mayo :“Es posible
que estemos formando personas para una sociedad que está desapareciendo como tal… se entiende que la
educación prepara para el mañana, pero el mañana no es la sociedad actual, es la sociedad del conocimiento. Un
conocimiento que va a transformar profundamente las estructuras actuales. En Educación esta revolución
tecnológica se debe basar sobre todo en los cambios de la metodología y en los contenidos de la enseñanza”.
La incorporación de las TICs en educación matemática se debe acompañar con cambios metodológicos que
permitan desarrollar en nuestros alumnos la creatividad, la cooperación y el aprendizaje.
Domínguez y Santonja en su investigación sobre “Las TIC como herramienta educativa en Matemática”, afirman
que: “A pesar de lo inmovilista que suele ser el mundo educativo (en el que en muchos casos seguimos utilizando
las herramientas y procedimientos didácticos que se utilizaban hace siglos), es indudable que las TIC también
están influyendo en modificar los métodos de la enseñanza. Somos de la opinión que esas tecnologías pueden
servir para una mejor adquisición de contenidos por parte de los alumnos e, indudablemente, prepararlos de una
forma satisfactoria para desenvolverse en una sociedad cada vez más tecnificada”. La educación actual en
Matemática, no escapa al “inmovilismo del mundo educativo”, que no está utilizando toda la potencialidad de los
nuevos materiales didácticos que están a su alcance, entre ellos la herramienta informática, como un medio más
para el logro de aprendizajes. Pero, no solamente deben servir para la incorporación de contenidos, en ocasiones
sirven para comprobar resultados o para reforzar conceptos y en otras, que son las más importantes, sirven para
que el estudiante construya autónomamente su propio conocimiento.
La presencia de computadores en los hogares y en las escuelas, junto a la existencia de una gran cantidad de
programas diseñados específicamente para "hacer Matemática", está lentamente, produciendo cambios
metodológicos importantes y positivos en la enseñanza de la Matemática. Los computadores pueden constituirse
en un laboratorio matemático que permite experimentar, desarrollar la intuición, conjeturar, comprobar,
demostrar y en definitiva, "ver las situaciones matemáticas" de una forma práctica. Por esta razón, las Tic se han
convertido en un valioso instrumento didáctico. (Arrieta, 2003)
El uso de las TIC en las tareas escolares debe complementarse con el uso de otros recursos didácticos, como son
materiales manipulables, cuentos, bits de inteligencia, láminas ilustrativas, etc. Son un recurso más, muy potente
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y atractivo, pero no el único que disponemos y su utilización no deja de lado la tiza y el pizarrón, tan esenciales a
los docentes de Matemática.
Hay investigaciones sobre el uso de las TICs en Matemática, en España ( “Las T.I.C. como
herramienta educativa en matemáticas” de Jesús Fernández Domínguez y José Muñoz Santonja, “Nuevas
tecnologías para la educación matemática: una asignatura pendiente” de Concepción Abraira Fernández) y en
América Latina (“La computadora en el aula como recurso cognitivo” de J. Guadalupe Salcido Núñez, México;
“La resolución de problemas en matemática y el uso de las TIC: resultados de un estudio en colegios de Chile” de
G. Villarreal Farah, Chile; “Visualización y nuevas TIC” de Claudia Caruso, Laura Romeu, Gloria Suhit,
Argentina), y todas remarcan los resultados positivos de su utilización en el aula siempre que el docente
considere, como en cualquier actividad de enseñanza-aprendizaje, todos los aspectos que se deben tener en cuenta
en la planificación.
Trabajemos con Graphmat
La metodología utilizada con los alumnos es trabajar una parte específica de la materia en la computadora a
través de actividades que resuelven de manera grupal (dos o tres alumnos) en la sala de informática y cuyos
resultados son registrados en la carpeta de manera individual. Posteriormente se realiza la socialización y la
discusión de los registros poniendo de relieve los razonamientos y procesos seguidos por cada grupo.
Función lineal
La primera aproximación al trabajo con el software Graphmat se realiza involucrando el contenido Función
lineal, tema que ya fue introducido en clases anteriores utilizando tiza y pizarrón. Los alumnos tienen como
conocimientos previos la fórmula general de una función lineal (donde se trabajó con f(x) = a x + b
e y=a x
+ b) y la forma de la gráfica (con tabla de valores y por desplazamiento).
Los objetivos planteados para esta actividad son:
Objetivo general:
Asociar las gráficas con las fórmulas de las funciones.
Objetivos específicos:
•
Relacionar la forma de la gráfica con la fórmula de la función.
•
Deducir y generalizar la condición para que dos o más funciones lineales tengan representación gráfica
paralela o perpendicular.
Se presenta una breve descripción del software, se les explica a los alumnos cómo buscarlo en la PC y se detalla
para que trabajen con gráficos coloreados. Se aclara verbalmente que en el área de funciones de la pantalla donde
se escribe la fórmula debemos colocar “y” porque el programa así lo requiere. El tema de las escalas sobre los
ejes cartesianos se tratará en otra oportunidad.
A continuación se presentan las actividades que resolverían los alumnos.
Página 44
Actividad nº1
TRABAJEMOS CON GRAPHMAT
Graphmat es un programa que se utiliza para realizar gráficos de funciones a partir de sus fórmulas. Lo
utilizaremos para descubrir algunas particularidades de las funciones lineales y, ya que estamos, descubriremos
particularidades de otras gráficas.
Graphmat tiene un icono de acceso directo, realizá doble clic sobre él. Si querés que los gráficos aparezcan
coloreados, abrí VER, entrá en COLORES y elegí FONDO BLANCO, GRÁFICOS COLOREADOS.
FUNCION LINEAL
AHORA, A TRABAJAR !!!!!!!
1) Donde está el cursor tipeá la fórmula de la función y = 2x-3, presioná
ENTER
y aparecerá la recta.
Observá y contestá:
a) ¿Dónde corta la recta al eje y ?¿Con qué coincide de la fórmula?
b) ¿Dónde corta al eje x ?¿Por qué?
c)
La gráfica que obtuviste, ¿es creciente, decreciente o constante? ¿Qué relación encontrás con la
pendiente?
.
2) Escribí la fórmula de la función y= -3-2x, graficá y tratá de encontrar 3 rectas paralelas a ella. Escribí sus
fórmulas, comparalas y extraé una conclusión.
3) Escribí la fórmula de una función lineal cualquiera (con a ≠ 1), grafícala y encontrá por lo menos 3 rectas
perpendiculares a ella.
a) Escribí sus fórmulas y comparalas con la original. Extraé una conclusión.
b) ¿Cómo son entre sí las rectas que encontraste? ¿Por qué?
4) Hasta ahora trabajamos con funciones lineales porque respondían a la fórmula y = ax+b.
¿Qué ocurrirá si cambiamos el exponente de la x? ( probá con 2, 3, 4, etc). Utilizá el símbolo ^ para potencia.
Ej: y = x ^ 2 (Este símbolo aparece luego de presionar la barra espaciadora o presionando Alt 094).
Escribí las fórmulas que inventaste y dibujá aproximadamente su gráfica. ¿En alguna obtuviste una recta ? ¿Por
qué?
Apreciaciones de la actividad desde la didáctica específica:
En el primer punto se pretende que los alumnos relacionen que la ordenada al origen coincide con el valor de “y”
en el que la recta corta al eje de las ordenadas y que la intersección con el eje de las abscisas es el cero o raíz de
la función y no el valor de la pendiente, como suele pensarse. Además se busca que relacionen el valor de la
pendiente con la inclinación de la recta.
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En el segundo punto se pretende que los alumnos puedan descubrir las fórmulas pedidas y además que sean
capaces de comparar, realizar una deducción y escribir una conclusión. Luego en la socialización de la actividad
se verá qué grupo tuvo en cuenta los conceptos de pendiente y ordenada en esta búsqueda.
En el tercer ítem la dificultad es mayor que en el anterior y aunque la propuesta es similar, muchas veces hay que
guiar un poco el proceso de los alumnos para que lo puedan resolver. Primero es preferible que entre todos se
aclare el concepto de rectas perpendiculares, ya que algunos las confunden con las oblicuas.
En el último punto, como ya se planteó en los objetivos, se pretende que el alumno puede asociar fórmula y
gráfica y, en un futuro, asociar la gráfica con la fórmula correspondiente.
Esta primera actividad está planificada para un módulo de 80 minutos. En la siguiente clase se procede a discutir
grupalmente las respuestas y conclusiones, y además compartir los razonamientos utilizados en los puntos 2 y 3
para encontrar las fórmulas pedidas.
Éste también es un buen momento para que los alumnos comenten los aspectos positivos y negativos del trabajo
realizado, ya que es su primer contacto con el programa, y puede servir de ayuda para planificar futuras
actividades.
Los comentarios y apreciaciones de los alumnos sobre la primera actividad fué positiva, destacando como aspecto
positivo el fácil manejo del software y la posibilidad de hacer matemática en la sala de informática. No
destacaron aspectos negativos.
Sistemas de ecuaciones
En ésta segunda actividad se trabaja con el contenido Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, que ya fué
introducido en la clase anterior a partir de una situación problemática, donde los alumnos hicieron la traducción
al lenguaje simbólico, pero no pudieron resolverlo con los conocimientos que poseían en ese momento, lo que
permitió crear la necesidad de nuevos conocimientos para su resolución. Se comentó sobre los distintos métodos
de resolución, destacándose el método gráfico que se trabajaría la clase siguientes en la computadora.
En ésta actividad se incorpora el uso de escalas sobre los ejes que será requerida en la resolución de problemas.
Existen dos posibilidades para cambiar las escalas: una es utilizar los comandos Acerca – Aleja y la otra es usar
el comando Rango que se encuentra en el menú VER, que permite personalizar las escalas sobre los ejes de
manera que la solución se haga bien visible.
Los objetivos planteados para ésta actividad son:
•
Analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones.
•
Resolver problemas a partir del método gráfico.
A continuación se presentan las actividades que resolverán los alumnos.
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ACTIVIDAD Nº 2
Esta vez utilizaremos el programa para resolver sistemas de ecuaciones gráficamente, los gráficos obtenidos
deben quedar registrados en tu carpeta. Este programa te permite acercar o alejar la gráfica cuando lo necesites
a través de un zoom o podés utilizar Rango del menú VER.
SISTEMAS DE ECUACIONES
1) Graficá las curvas que se corresponden con los siguientes sistemas y analizá la forma de la gráfica cada caso:
a) x – 2y – 4 = 0
b) 2x – y – 4 = 0
4y –2x = -8
5x + y – 3 = 0
c)
2x – 1 = y
y - 2x = 3
¿Cuál es la solución de cada sistema?
Extraé una conclusión relacionando la forma de la gráfica, la solución y las leyes de las funciones lineales en
cada sistema.
2) Dada la función lineal cuya ley es y = 3x –2, inventá otra para formar un sistema de ecuaciones tal que:
a) no tenga solución;
b) tenga una solución única;
c)
tenga infinitas soluciones;
3) Traducí a lenguaje simbólico los siguientes problemas y resolvelos gráficamente:
a) La sexta parte de un número es igual a la mitad de otro. Ambos números suman 80. ¿Cuáles son esos
números?
b) El perímetro de un rectángulo es igual a 70 cm. La diferencia de sus lados es 15 cm. ¿Cuánto mide la
base y la altura? ¿Cuál es su área?
c) Una familia va al zoológico y abona en concepto de entradas $ 20, saliendo $2 la entrada de los
menores y $5 la entrada de los mayores. Si los integrantes de la familia que fueron al zoológico son 7. ¿Cuántos
menores y cuántos mayores hay?
En el primer punto se pretende que los alumnos deduzcan cuál es la solución de cada sistema a partir de la
observación de sus gráficas y, sean capaces de deducir la relación existente entre la gráfica y la solución en un
sistema de ecuaciones.
En el segundo punto se desea que puedan inventar un ejemplo, considerando la deducción realizada en el punto
anterior.
El tercer ítem está relacionado con la resolución de problemas, involucra la traducción al lenguaje simbólico
(trabajada con anterioridad en ecuaciones con una y con dos incógnitas) que normalmente deviene en errores por
parte de los alumnos, la gráfica del sistema y la verificación de la solución. En éste punto es necesario resaltar a
los alumnos la posibilidad que brinda la gráfica de superar errores que se podrían presentar al traducir el
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enunciado de los problemas. Muchas veces hay que guiarlos también con la utilización de las escalas sobre los
ejes para que puedan visualizar las gráficas.
Esta segunda actividad está planificada para un módulo de 80 minutos, realizándose la socialización de la misma
en la clase siguientes.
Sistemas de inecuaciones
En ésta tercera actividad se trabaja el contenido Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, que fué el último
tema en incorporarse al trabajo con software del año. Los alumnos poseen como conocimientos previos
inecuaciones con una incógnita e inecuaciones lineales con dos incógnitas, con sus respectivas representaciones
gráficas de sus conjuntos solución.
Los objetivos planteados para ésta actividad son:
* Deducir y aplicar el concepto de solución de un sistema de inecuaciones.
* Resolver problemas a partir del método gráfico.
A continuación se presentan las actividades que resolverán los alumnos.
ACTIVIDAD Nª 3
Los gráficos obtenidos en los distintos ítems deben quedar registrados en tu carpeta.
SISTEMAS DE INECUACIONES
I) Encontrá gráficamente el conjunto solución del siguiente sistema, escribí dos pares de puntos que pertenezcan
a la ella y verificá:
y<0
y≥x
y < -x -2
II) Inventá y graficá un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas que no tenga solución.
III) Traducí al lenguaje simbólico los siguientes problemas y resolvelos gráficamente:
1) En una editorial el editor está autorizado a gastar como máximo $ 3000 y el productor puede hacer gastos de
hasta $5000, pero entre los dos no pueden superar los $7000.
a) ¿Cuál es la solución ideal para el promotor? ¿Y para el editor?
b) ¿Cuál te parece la solución más equitativa?
2) En un curso de capacitación para docentes se aceptan como máximo 40 inscriptos. Sólo pueden
inscribirse maestros o profesores de manera tal que el número de maestros no sea mayor que el número de
profesores.
Nombrá por lo menos 5 conformaciones posibles de integrar el curso.
Página 48
En el primer ítem se pretende que los alumnos luego de graficar sean capaces de deducir el concepto de conjuntos
solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y su verificación a partir de puntos que
pertenezcan o no al mismo.
El segundo ítem procura que los alumnos tomen conceptos del Trabajo Práctico Nº 2 (sistemas de ecuaciones que
no tengan solución) y los apliquen a ésta actividad.
El tercer punto está planteado desde la resolución de problemas, donde se involucra la traducción al lenguaje
simbólico y la interpretación del conjunto solución.
Esta actividad está planificada para un módulo de 80 minutos. La socialización y discusión sobre los trabajos
grupales se llevará a cabo la clase siguiente.
Reflexión
La implementación de ésta propuesta didáctica fue altamente positiva desde sus comienzos, logró potenciar a los
alumnos para que investiguen, deduzcan, elaboren conclusiones, conceptualicen, comparen, es decir, logró
transformarlos, en cierta medida, en sujetos activos y constructores del conocimiento. Todos sabemos que
nuestra área genera cierta negatividad en la mayoría de los alumnos y, se consiguió con ésta propuesta que esos
alumnos que no participan normalmente en clase, trabajen en la computadora en las actividades propuestas con
entusiasmo y compromiso.
Abraira Fernández, C., Nuevas tecnologías para la educación matemática: una asignatura pendiente,
Aguirre, A. A., (2007), Qué cambia y que permanece con el advenimiento de las TICs, Novedades Educativas,
185, 80-81.
Arrieta, J., Lezama, P. y Velez, a., Servicio social comunitario: Una estrategia de acompañamiento para la
incorporación de las TIC en los procesos escolares, obtenido
20 de enero de 2008, desde
http://www.ribiecol.org/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=54&Itemid=15
Cantón Mayo,I., Nueva organización escolar en la sociedad del conocimiento, Universidad de León, obtenido 21
de diciembre de 2007, desde www.dewey.uab.es/pmarques/dioe/canton.pdf
Cañellas, J., Negre, A. y Ibáñez, M., (1988), Tecnología y medios educativos, Buenos Aires, Argentina, Editorial
Cincel – Kapeluz.
Caruso, C., Romeu, L. y Suhit, G., Visualización y nuevas tecnologías, Facultad Regional Bahía Blanca-UTNArgentina, obtenido el 22 de enero de 2008, desde http://jornadaie.unvm.edu.ar//p11
Domínguez, J. F. y Santonja, J. M., (2007), Las TIC como herramienta educativa en Matemática, Unión Revista
iberoamericana de educación matemática, 9, 119-147.
Página 49
EUTEKA, (2008), Estándares UNESCO de competencia TIC para docentes, obtenido el 28 de enero de 2008,
desde http://www.eduteka.org/EstanderessocentesUnesco
Krebs, G., (2007), Las TICs como contenidos y recursos educativos, Novedades Educativas , 194, 82-83.
Salcido Núñez, G., La computadora en el aula como recurso cognitivo, obtenido 17 de enero de 2008, desde
http://www.latarea.com.mx/articu/articu12/salci12.htm
Molina Parra, O., (2003), Uso de recursos informáticos en la educación matemática en la enseñanza básica, Red
Enlaces, Ministerio de Educación de Chile, obtenido 20 de diciembre de 2007, desde
http://archivos.czsa.cl/usuarios/czsa/AREA%20PEDAGOGICA/2006/MATERIALES/sem2006/s09
Villarreal Farah, G., La resolución de problemas en matemática y el uso de las TIC: resultados de un estudio en
colegios de Chile, obtenido 24 de febrero de 2008, desde
www.uib.es/depart/gte/gte/edutec-e/revelec19/Villarreal.htm
Software Graphmatica, obtenido de http://www.graphmatica.com/espanol/
Se agrega en ANEXO las actividades realizadas por los alumnos.
ANEXO: Trabajos de los alumnos
Trabajo Práctico Nº 1
Función lineal
Página 50
Trabajo Práctico Nº 2
Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 1:
Página 51
Trabajo Práctico Nº3
Sistemas de inecuaciones
Ejercicio I:
Página 52
Ejercicio II:
Página 53
LA CLASIFICACIÓN Y LA VALIDACIÓN EN GEOMETRÍA EN LIBROS DE
TEXTO DE ARGENTINA Y URUGUAY PARA ALUMNOS ENTRE 12 Y 15 AÑOS
Rajchman, Andrea – Mántica, Ana María – Dal Maso, María Susana
Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe, Argentina
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Nivel educativo: EGB 3
Introducción
El presente trabajo se realiza en el marco de una cientibeca dentro del proyecto de investigación “Diseño y
evaluación de propuestas didácticas tendientes a superar dificultades en la enseñanza y aprendizaje de la
geometría euclídea”. El motivo de comparar las propuestas para la enseñanza de la geometría en los países de
Argentina y Uruguay radica en que la cientibecaria cumplimentó sus estudios secundarios en Uruguay y el
profesorado de matemática en la Facultad de Humanidades y Ciencias de la UNL en Argentina. Al cursar las
materias correspondientes al área Geometría de dicha carrera, notó que tenía una formación más sólida que sus
compañeros argentinos en el área. Esto motivó que realizara un estudio comparativo de los diseños y otros
documentos curriculares de ambos países sobre el tratamiento que se realiza de la geometría en alumnos de 12 a
15 años, que son los que permitían compararse, dado que en este nivel de los sistemas educativos de ambos
países se considera el estudio de la geometría métrica.
Ahora bien, el trabajo en geometría adquiere algunas características propias que lo diferencian del álgebra y la
aritmética, planteando a los docentes ciertas cuestiones específicas a tener en cuenta para involucrar a los
alumnos en el aprendizaje. Por un lado, la existencia de diferentes clasificaciones de los conceptos geométricos,
cuya selección tendrá implicaciones prácticas para el posterior trabajo argumentativo con éstos. Por otra parte,
como plantean Berthelot y Salin (1993/94), la compleja relación entre los objetos del espacio físico (con los datos
obtenidos por medio de la percepción y la medición) y el espacio geométrico, constituido de objetos teóricos que
obedecen a reglas de la Matemática, cuya identificación conllevará a los alumnos a poder realizar las
validaciones adecuadas para el nivel educativo correspondiente.
Siendo el libro de texto uno de los materiales didácticos de utilización más frecuente en el sistema educativo,
construido específicamente para la enseñanza en las escuelas, comprendemos que su uso generalizado ha
generado, de alguna manera, no sólo que la práctica escolar esté determinada por su uso, sino también una
organización de la enseñaza a partir de éste. Tal como plantean González Astudillo y Sierra Vázquez (2004): “En
el marco de la investigación histórica en educación matemática, se ha puesto de manifiesto la importancia del
análisis del libro de texto como reflejo de la actividad que se realiza en el aula” (pp. 390), razón por la cual
decidimos complementar el análisis anteriormente mencionado con el de libros de texto.
En este contexto, el libro de texto se sitúa como uno de los recursos más utilizados en la enseñanza, con una gran
influencia a la hora de que el docente decida qué y cómo enseñar, y que a lo largo del tiempo se ha convertido en
uno de los principales controladores del currículo escolar. De este modo, intentaremos analizar el tratamiento de
la geometría propuesto por algunas editoriales destinado a alumnos entre 12 y 15 años, con el fin de estudiar qué
tipo de clasificación está implícito en ellos, así como también qué aspectos de la validación priorizan.
Página 54
Las clasificaciones en geometría
La clasificación por partición de un conjunto de conceptos implica que los conceptos particulares forman
subconjuntos que son disjuntos unos con otros; para esta clasificación, se establecen dos condiciones específicas:
una vez determinado el universo y el criterio de clasificación, cada ejemplo del mismo debe pertenecer a una
única clase, y las subfamilias establecidas deben ser disjuntas; las distintas subfamilias establecidas en el universo
que se está clasificando deben dar cuenta de la totalidad de éste.
La clasificación jerárquica hace referencia a la clasificación de un conjunto de conceptos de modo que los
conceptos particulares forman subconjuntos de los más generales, y se puede observar que estas relaciones
establecen una jerarquía entre los elementos de conjunto. En Matemática, las definiciones utilizan esta
clasificación debido a que proporciona ventajas en cuanto a una formulación más económica de teoremas,
simplifica la sistematización y derivación deductiva de propiedades de los conceptos más especiales,
proporcionando una perspectiva global útil (Mántica, 2006). Como es sabido, en la vida cotidiana la clasificación
más frecuente es por partición, lo que presenta dificultades para el aprendizaje de la clasificación por inclusión o
jerárquica que buscamos los alumnos realicen en Matemática.
Por otra parte, dado que la clasificación de conceptos deriva en definiciones, tuvimos en cuenta lo que Winicki –
Landman y Leikin (2000) señalan sobre algunos principios lógicos que deben cumplirse cuando se define un
concepto matemático: “Definir es dar un nombre. El nombre del nuevo concepto es presentado en la afirmación
usada como una definición y aparece una sola vez en esta afirmación. Para definir el nuevo concepto, sólo
conceptos definidos previamente pueden ser usados. Una definición establece condiciones necesarias y
suficientes para el concepto. El conjunto de condiciones debe ser mínimo. Una definición es arbitraria” (pp. 17).
En este sentido, entendemos que para que los alumnos logren definir un concepto se deberá atender
especialmente a que puedan acordarse definiciones utilizando condiciones mínimas, para luego enunciar
propiedades al respecto.
La validación en geometría
Tal como plantea Villella (2001), en la clase de geometría, habitualmente, “… el uso de la demostración para
justificar la validez de una propiedad, suele ser confundida por los alumnos y también por algunos docentes, con
la enunciación o la representación gráfica de ejemplos que la verifican” (pp. 186). En este sentido, consideramos
que aprender geometría no consta únicamente de aprender definiciones, representaciones, clasificaciones de
figuras y construcciones, sino también de la forma de organizar la información para que, por medio de la
utilización de la lógica, pueda arribarse a la determinación de la verdad o falsedad de las proposiciones
analizadas. Villella plantea que aprender geometría en la EGB es un proceso que busca caracterizar el espacio,
mediante propiedades formalmente validadas, a partir de la exploración del mismo. De este modo, será necesario
que los alumnos puedan “…desarrollar habilidades cognitivas tales como comparar, resumir, observar,
clasificar, interpretar, formular críticas, buscar suposiciones, imaginar, reunir y organizar datos, formular
Página 55
hipótesis, ubicarse en un dominio de ejecución y en un ámbito de conocimientos propios de la geometría dentro
del entramado de la matemática y en función del currículum escolar…” (Itzcovich, 2005: 187).
Asimismo, es sabido que actualmente, en los diseños curriculares y libros de texto de matemática de la mayoría
de los niveles educativos, la actividad referente a la demostración es escasa o hasta nula (Camargo, 2005).
Considerando la demostración como medio de descubrimiento, comunicación, explicación y sistematización de
los resultados, consideramos que a ésta le debería corresponder un papel protagónico en la enseñanza, en diversos
cursos de matemática. En este sentido, el potencial didáctico de la actividad demostrativa en el contexto escolar
debería ser buscado en cuanto que este tipo de actividades son un recurso para la validación. De este modo,
podríamos considerar que en la actividad de validación como proceso están incluidas acciones como la
visualización, la exploración, el análisis y la formulación de conjeturas, y la verificación, siempre y cuando den
significado a la tarea de la argumentación para aceptar afirmaciones y provean los elementos para que los
alumnos se hagan responsables de la verdad de éstas.
Tal como lo plantea Itzcovich, “…las situaciones que se propongan a los alumnos con la finalidad de indagar,
identificar o reconocer propiedades de las figuras deben impactar en procesos intelectuales que permitan hacer
explícitas las características y propiedades de los objetos geométricos, más allá de los dibujos que utilicen para
representar dichas figuras” (Itzcovich, 2005: 18). De este modo, entendemos la importancia de que tanto el
docente como los alumnos estén en conocimiento de la diferencia entre el espacio físico y sensorial y el espacio
geométrico, y la utilidad de la construcción de una figura para poder explorar sus propiedades, aunque no para
poder realizar generalizaciones a otras distintas a ella.
El objetivo de un trabajo con la finalidad de la validación a partir de la construcción, de este modo, radicará en
que los alumnos estén en presencia de un trabajo exploratorio, de ensayos y errores, de ajustes, de explicar lo que
ocurre y de poder dar respuesta a las preguntas anteriormente planteadas. Tal como plantea Itzcovich, en un
momento dado, la comprensión y explicación de la resolución demandará la utilización de alguna propiedad,
aunque la intención no será que el docente presente esta propiedad a los alumnos, sino que se promueva una
exploración que derive en la formulación y validación de ésta.
En este sentido, cobra importancia plantear problemas donde el alumno realice un trabajo exploratorio previo y
luego elabore la conjetura; esto pone en funcionamiento relaciones más complejas que probar una propiedad en la
que se menciona la cuestión a demostrar (por ejemplo, probar que las diagonales del rombo son perpendiculares)
y por tanto en muchos casos el alumno no ve la necesidad de realizar la prueba, sino que lo toma como obvio.
Consideramos que debe dejarse claro que una construcción no permite enunciar una propiedad general sino que
admite avanzar en la búsqueda de argumentos que validan estas afirmaciones, “…la determinación de la
unicidad, existencia o infinitud de construcciones requiere de la explicitación de relaciones entre datos mediante
ciertas propiedades que exceden las experiencias de dibujar” (Itzcovich, 2005: 32). Esta cuestión debe quedar
clara al alumno para que no considere que a partir de una construcción que valida su conjetura puede realizar
generalizaciones.
Página 56
Por último, consideramos oportuno distinguir los procedimientos de formulación de conjeturas y constatación
empírica, en cuanto el segundo implica la generalización o formalización de un resultado a partir de mediciones
realizadas en casos particulares. Tal como plantea el autor mencionado, “Este modo de proceder trae aparejada
la posibilidad de que el resultado obtenido sea “una casualidad” (…) no hay nada que haga suponer que el
resultado no hubiese podido ser otro. No se recurre a ninguna propiedad geométrica que dé cuenta de la
necesariedad del resultado obtenido, ni hay certeza geométrica de que pudiera provenir de concatenar
propiedades que permiten inferir tal resultado (Itzcovich, 2005: 45 – 46).
Análisis de libros de texto: resultados alcanzados
Para llevar a cabo el análisis correspondiente al tratamiento de las definiciones y la validación en geometría
tomamos en cuenta los libros de texto de la colección “Gauss”, sugeridos en los diseños curriculares uruguayos, y
los de las editoriales “Longseller” y “Tinta Fresca”, destinados al tercer nivel del ciclo básico de Argentina.
Libros de texto argentinos
En cuanto a los libros de la editorial Longseller, observamos que se consideran clasificaciones jerárquicas cuando
se trabaja el tema cuadriláteros en el libro de 7º, en el que se incita directamente a los alumnos a la utilización de
clasificaciones jerárquicas (Anexo teórico pp. 54 - 55), presentando un diagrama para sistematizar los
cuadriláteros en función del número de lados paralelos. En el libro de 9º se plantea que pueden realizarse distintas
clasificaciones, dependiendo de los elementos que se utilicen; se consideran distintos atributos para realizarlas: en
un caso la cantidad de lados paralelos y en otro el ángulo formado por las diagonales. Un ejemplo de esto aparece
en la pág. 47 del anexo teórico, donde se expresa: “La manera en que se clasifican los cuadriláteros depende de
las propiedades que se quieran destacar entre sus elementos. Hablar de paralelogramos o no paralelogramos,
cóncavos o convexos, son sólo dos posibilidades entre otras”. Asimismo, cabe destacar que en la pág. 47 del libro
de 9º se retoma la clasificación jerárquica de cuadriláteros dada en 7º según el número de lados paralelos, aunque
luego se plantea una clasificación por partición de éstos en función de sus diagonales, según la cual el cuadrado
no es rombo, y el paralelogramo no es un trapecio. De forma similar a lo planteado por De Villiers (1994), se
toman distintos atributos para realizarlas: en un caso la cantidad de lados paralelos y en otro el ángulo formado
por las diagonales, obteniéndose en un caso una clasificación jerárquica y en el otro una clasificación por
partición. A su vez, aparece lo que Guillén (2005) denomina “clasificaciones siguiendo normas de construcción”
en la pág. 58 de la carpeta de Trabajos Prácticos de 7º, donde se presentan determinadas figuras planas para que
utilizándolas se construyan cuerpos que cumplan determinadas características. Además, se solicita a los alumnos
que agreguen figuras para construir un prisma oblicuo, y en la pág. 61 se les pide que realicen un cuadro para
clasificar los cuerpos según sus características sobre la base de un criterio que ellos elijan. Este tipo de
actividades puede llevar a clasificaciones de familias disjuntas o a familias entre las que se produzcan
Página 57
solapamientos. Cabe aclarar que esta guía de Trabajos Prácticos es la única de la colección en la que se trabaja
con figuras tridimensionales.
Además, puede observarse que a lo largo del ciclo se tienden a lograr algunas de las características que los
matemáticos consideran debe tener una definición cuando se pretende ver cuáles son las condiciones mínimas
para definir, o cuando se analiza qué se considera como definición y qué se deduce como propiedad.
Por otra parte, en el libro de 9º se explicita qué significa en matemática la expresión “condición necesaria y
suficiente”, para relacionarlo luego con el conjunto de condiciones que se establecen para lograr una definición,
en cuanto a que es posible reunir distintos conjuntos de condiciones que identifiquen a una misma figura. En este
sentido, se realiza una observación en la pág. 60 en la que expresa qué significan condiciones mínimas y propone
un ejemplo para definir de dos modos distintos el cuadrado, utilizando esta noción.
En lo que refiere a la demostración, durante todo el ciclo se incita a los alumnos la formulación de conjeturas: en
7º se realiza una constatación empírica para validarlas y en 8º y 9º se intenta llegar a una validación más formal
desde el punto de vista matemático. Como ejemplo de esto, observamos que en el libro de 7º se expresa lo
siguiente: “Construcciones y relaciones. Tengan presente que las construcciones permiten descubrir algunas
relaciones entre los elementos de una figura, pero no sirven como demostración” (pp. 67 de la carpeta de trabajos
prácticos), mientras que en el libro de 9º se plantea: “Conjeturar. En Geometría, algunas construcciones
permiten formular conjeturas acerca de la verdad de ciertas relaciones entre los elementos. Entonces, conjeturar
es anticipar afirmaciones que suelen ser demostradas a partir de los conocimientos matemáticos con los que se
cuenta” (pp. 37 de la carpeta de trabajos prácticos). En este contexto, se plantean actividades prácticas de
validación de conjeturas similares en 7º y en 9º, aunque las últimas presentan claramente la diferencia entre lo
que significa establecer una conjetura y realizar una prueba matemática. Para reforzar esto, en el libro de 8º se
especifica qué se entiende por demostración, en cuanto a la necesidad de razonar a partir de propiedades ya
establecidas (pp. 57), y se define un teorema como “… un tipo de razonamiento matemático en el que se expresa
un encadenamiento deductivo, indicando las propiedades tomadas como punto de partida, el razonamiento que e
realiza a partir de ella y la conclusión o nueva propiedad obtenida” (pp. 66 - 67). En este sentido, se pretende
que los alumnos comiencen a realizar demostraciones más formales; se les presenta una demostración y se les
pide que justifiquen cada paso y luego que traten de realizar una demostración utilizando un camino distinto al
planteado por el autor.
Analizando los libros de la editorial “Tinta Fresca”, observamos que las definiciones de los cuadriláteros se
consideran a partir de una clasificación jerárquica, en cuanto se plantea que si las diagonales de un rectángulo son
perpendiculares, el mismo es un cuadrado, y que si la diagonales de un rombo son iguales, el mismo también será
un cuadrado (libro de 7º, pp. 53 – 54). En ambos casos, se obtienen estas clasificaciones de los cuadriláteros
como conclusión de un problema planteado, y no son definiciones dadas por los autores. Sin embargo, respecto a
la clasificación de los triángulos, observamos que en el libro de 8º se expresan condiciones que cumplen los
triángulos isósceles haciendo mención al lado “desigual”. Del mismo modo, en las actividades planteadas al final
Página 58
del capítulo correspondiente, se pide a los alumnos que construyan un triángulo isósceles especificado la medida
del lado desigual, no dando así la posibilidad a que los alumnos puedan considerar al equilátero como un caso
particular del triángulo isósceles.
Respecto al lugar que se le otorga a la validación, observamos que durante todo el ciclo se plantea la formulación
de conjeturas y la constatación empírica, destacando la importancia de la figura de análisis y del conocimiento de
propiedades de las figuras geométricas para la resolución de situaciones problemáticas y el posterior análisis de
su solución. En general, para introducir un nuevo concepto se plantean situaciones problemáticas para que los
alumnos encuentren regularidades, planteen conjeturas y luego las validen. Una vez realizado este proceso, los
libros presentan la actividad resuelta, con el análisis correspondiente llevado a cabo por los autores. En muchas
actividades se presentan situaciones en las que los alumnos deben plantear conjeturas y argumentar al respecto,
permitiendo que ellos mismos decidan si existen una, ninguna o muchas soluciones y que validen su respuesta. El
nombre de “conjetura” como tal aparece en una actividad de 9º, y todo el trabajo en torno a esta tiende a que los
alumnos logren, en forma gradual, una validación más formal que en 7º y 8º desde el punto de vista matemático.
A su vez, se proponen actividades en las que los alumnos deberán dar instrucciones precisas a un compañero para
que puedan dibujar una figura determinada, apuntando a desarrollar habilidades de comunicación y de aplicación.
Como ejemplo de esto se puede tomar la actividad 9 de la pág. 55 del libro de 7º, en la que los alumnos deben
expresar la información mínima para que un compañero construya el mismo triángulo que allí se presenta. Cabe
destacar que en 7º año las constataciones son empíricas y se realizan a través de construcciones. Las conjeturas
planteadas son validadas por el texto al hacer el análisis de cada construcción.
Por otra parte, en lo que refiere a la demostración como procedimiento nos resulta interesante analizar algunas
presentadas por los autores que no sólo ponen de manifiesto la necesidad de basarse en conocimientos, conceptos
y propiedades ya estudiadas, sino que dejan explícitas algunas consideraciones a tener en cuenta al demostrar,
como por ejemplo la necesidad de analizar todos los casos posibles. Como ejemplo de esto en el libro de 8º,
consideramos el modo de presentar la demostración del Teorema de Pitágoras (pp. 126), para la cual primero se
analiza el caso de un triángulo rectángulo isósceles, con la idea de formar un nuevo cuadrado cuya área sea la
suma de los dos cuadrados iguales dados. Luego, se demuestra que la figura lograda es un cuadrado, debido a que
los lados coinciden con las diagonales de los cuadrados dados, y además las diagonales del nuevo cuadrado son
iguales porque se forman con dos lados de los cuadrados dados. Sin embargo, el análisis no termina ahí, ya que
luego se plantea otro modo de realizar esta demostración “recortando” un cuadrado inicial en cuatro triángulos
rectángulos iguales por medio de la constatación empírica, aunque luego se plantea que el alumno debe
cerciorarse de que este cuadrilátero sea un cuadrado, explicando el modo de hacerlo. Luego, se generaliza el
Teorema para todo triángulo rectángulo.
Del mismo modo, en el libro de 9º se plantea una actividad sobre ángulos inscritos en una semicircunferencia (pp.
53), en la que los alumnos deben hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano que determinan un ángulo
recto con dos puntos A y B dados. En este sentido, los autores plantean a los alumnos que busquen todos los
puntos P del plano que verifiquen esa condición con el uso de una escuadra, y se les pregunta si es cierto que los
Página 59
mismos forman una circunferencia. Para demostrar que esto es válido, se detalla una demostración considerando
un punto P cualquiera sobre la circunferencia, concluyendo que el ángulo APB es recto. Un aspecto interesante
planteado en este problema es que los autores preguntan qué sucede con un punto P exterior y uno interior a la
circunferencia, explicando lo siguiente: “En Matemática y, en particular, en Geometría, hay que analizar todas
las posibilidades; esto es, si se quiere encontrar todos los puntos P que cumplan que el ángulo APB es recto es
necesario considerar los puntos P que se encuentran en la circunferencia (…) y considerar los puntos P que no
se encuentran en la circunferencia y analizar qué sucede en ese caso. Hay que determinar si existe un punto P
que no está en la circunferencia y que, sin embargo, también forma con A y B un ángulo recto” (libro de 9º, pp.
53). Finalmente, se demuestra que los únicos puntos P que forman un ángulo recto con A y con B son los que se
encuentran en la circunferencia que tiene el segmento AB como diámetro.
Libros de texto uruguayos
Respecto a los libros de la colección “Gauss”, observamos que en el libro para 1º se presentan tanto la
clasificación por partición como la clasificación jerárquica. Un ejemplo del primer caso se encuentra en la pág.
114, donde se considera el triángulo isósceles como aquél con exactamente dos lados iguales y dos ángulos
iguales. Por otra parte, en la pág. 115 se presenta una clasificación jerárquica de los cuadriláteros según el
número de lados paralelos, mediante la cual todo paralelogramo es trapecio, y el rectángulo y el rombo son
paralelogramos particulares. Además, se platea que el cuadrado es tanto rectángulo como rombo, de modo que
también se utiliza como criterio de clasificación la medida de los ángulos interiores de los cuadriláteros.
En lo que refiere a la demostración, durante todo el ciclo se incita a los alumnos la formulación de conjeturas: en
1º se sugieren actividades a los alumnos para que trabajen con material concreto para poder constatar
empíricamente propiedades geométricas, y en los libros de 2º y 3º se intenta llegar a una validación más formal
desde el punto de vista matemático. Como ejemplo de esto, observamos que en la pág. 149 del libro de 1º se
propone a los alumnos que corten un rectángulo de cartulina y lo doblen por una recta paralela a uno de sus lados.
Luego, se sugiere que apoyen la cartulina doblada sobre una mesa, y analicen la propiedad de la
perpendicularidad de la recta “doblez” respecto a cualquier recta de la mesa, y la propiedad recíproca. A su vez,
en las págs. 132 y 133 del libro de 2º, luego de deducir la propiedad del baricentro, se pide a los alumnos que
concluyan acerca de qué ocurre con las tres bisectrices de un triángulo para luego, a partir de una secuencia de
construcciones de la circunferencia inscrita a un triángulo, deduzcan la justificación correspondiente. Del mismo
modo, en la pág. 101 del libro de 3º se pide a los alumnos que elaboren conjeturas sobre el paralelismo entre un
lado de un triángulo y su paralela media, para que luego construyan la demostración de esta propiedad y
encuentren la relación de longitudes entre ellas. Asimismo, en la página siguiente se plantea la propiedad
recíproca con su demostración, y los alumnos deben encontrar la diferencia entre un enunciado y otro. Cabe
destacar que tanto en las actividades de validación planteadas en el libro de 1º como en los de 2º y 3º, que son
dadas mediante problemas y ejercicios, en el apartado “Curso” que se presenta al final de cada capítulo se
expresa el enunciado de cada propiedad trabajada, formulada con lenguaje matemático. También resulta de
Página 60
interés mencionar que en el libro de 3º, igual que en el de 1º, se sugieren actividades a los alumnos para que
trabajen con material concreto para poder constatar empíricamente propiedades geométricas. Un ejemplo de esto
se encuentra en la pág. 140, en la que se propone construir en cartulina o papel un triedro para, a partir de él,
mostrar que la suma de las caras es menor que cuatro ángulos rectos y que cada cara es menor que la suma de las
otras dos.
En cuanto a los objetivos de los ejercicios, problemas y actividades, se observa que se tiende a desarrollar
habilidades visuales, de construcción, de aplicación, de comunicación, de razonamiento y de transferencia. En
muchos de ellos se proporciona un diagrama auxiliar para la resolución de actividades, aunque también se
encuentra una gran cantidad de problemas en los que es el alumno quien deberá construir la figura para elaborar
una demostración o responder a la consigna. En especial, se les da una gran importancia a las habilidades de
construcción y de comunicación, ya que en el libro de 1º se especifica lo qué se entiende por “programa de
construcción” como lista ordenada de instrucciones que permite construir una figura. De este modo, en la
mayoría de las actividades del libro de 1º se da el programa de construcción para que el alumno las realice, o bien
se pide al alumno que especifique el programa de construcción necesario para obtener la figura mostrada. En
correspondencia, en los libros de 2º y 3º se plantea el procedimiento del “programa de construcción” como parte
de demostraciones que plantea el libro o que deben realizar los alumnos.
Reflexiones
En líneas generales, los textos considerados en este análisis realizan propuestas acordes a lo que marcan los
distintos documentos curriculares. Respecto a la clasificación, en los documentos de ambos países se propone
trabajar la clasificación jerárquica: en los NAP para 7º (documento argentino) se plantea: “Analizar figuras (…)
y cuerpos (…) para caracterizarlos y clasificarlos. (…) Avanzando en el reconocimiento de relaciones de
inclusión jerárquica…”, y en la Guía de Apoyo docente para 1º: (documento uruguayo) se explicita:
“Comprensión de la inclusión de clases que se da en la clasificación de los cuadriláteros”.
Respecto a la validación, en los documentos argentinos encontramos la siguiente cita en los NAP para 9º:
“Formular conjeturas sobre las relaciones entre distintos tipos de ángulos (…) y producir argumentos que
permitan validarlas. (…) Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumentar sobre su
validez, reconociendo los límites de las pruebas empíricas”, y en el Material de apoyo al docente se explicita:
“Interesa que el alumno aprenda a desarrollar argumentaciones basadas en propiedades conocidas de las
figuras de tal manera de establecer el carácter necesario de los resultados de forma independiente de la
experimentación”; es decir se propone trabajar a partir de la construcción, de la formulación de conjeturas y de la
distinción entre conjetura y constatación empírica. En los documentos uruguayos, en la Guía de apoyo docente
para 1º se plantea: “…la experimentación mal entendida puede desatender el proceso de desarrollo del
pensamiento lógico que es deseable promover en los alumnos”, y en el Programa para 2º: “Las 2 anticipaciones
de objetivos (…) deben considerarse (…) mediante el desarrollo de aptitudes para conjeturar, formular
proposiciones, criticar, justificar mediante argumentaciones o para invalidar propuestas”, o sea propone atender
Página 61
a la visualización, exploración, análisis, formulación de conjeturas y apunta a la distinción entre verificación y
demostración.
Consideramos que los libros de texto pueden realizar propuestas de trabajo acordes a las propuestas curriculares
vigentes, con las que el docente puede acordar o disentir, pero es imperioso que se realice un análisis minucioso
de un libro de texto antes de utilizarlo con los alumnos para saber si la propuesta es coincidente con la
concepción de matemática, enseñanza y aprendizaje del docente que lo utilizará. Este análisis le permitirá trabajar
con comodidad y explotar la propuesta realizada por el autor en beneficio de la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática.
Belcredi, L.; Zambra, M. (1998): Gauss. Matemática para el Primer Año Liceal. La Flor del Itapebí. Montevideo.
Belcredi, L.; Zambra, M. (1999): Gauss. Matemática para el Segundo Año Liceal. La Flor del Itapebí.
Montevideo.
Belcredi, L.; Zambra, M. (2000): Tercer Año del Ciclo Básico. Matemática. Nuevo Gauss. La Flor del Itapebí.
Montevideo.
Berthelot, R.; Salin, M. H. (1993/94): “La enseñanza de la geometría en la escuela Primaria” en Grand N, Nº 53,
Grenoble. Traducido para el PTFD por Capdeville, Varela y Willsch, 1994.
Camargo, L.; Perry, P.; Samper, C. (2005): “La demostración en la clase de Geometría: ¿Puede tener un papel
protagónico?” en Educación Matemática Vol. 17 Nº 3. Santillana. México D.F. pp. 53 – 76.
Chemello, G. (coord.); Agrasar, M.; Crippa, A.; Díaz, A. (2004). Tercer ciclo de EGB. Matemática 7. Longseller.
Buenos Aires.
Buenos Aires
Buenos Aires
De Villiers, M. (1994): The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals. For the
Learning of Mathematics, 14 (1), pp. 11 – 18.
González Astudillo, M. Sierra Vázquez, M. (2004): “Metodología de análisis de libros de texto de matemáticas.
Los puntos críticos en la enseñanza secundaria en España durante el siglo XX”. En Enseñanza de las Ciencias
22. Universidad de Salamanca. España.
Guillén, G. (2005). “Análisis de la clasificación. Una propuesta para abordar la clasificación en el mundo de los
sólidos” en Educación Matemática Vol. 17 Nº 3. Santillana. México D.F. pp. 117-152.
Itzcovich, H. (2005): Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. De las construcciones a las
demostraciones. Libros del Zorzal. Buenos Aires.
Itzcovich, H; Novembre, A. (coords.) (2006): Matemática 7. Tinta Fresca. Buenos Aires.
Página 62
Mántica, A. (2006): “Analizando errores geométricos” en La Matemática. Aportes para su enseñanza.
Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe.
Villella, J. (2001): Uno, dos, tres… Geometría otra vez. De la intuición al conocimiento formal en la EGB.
AIQUE. Buenos Aires.
Página 63
PROPUESTA PARA TRABAJAR LA DEMOSTRACIÓN EN EL NIVEL TERCIARIO
Sara Scaglia, Fernanda Renzulli y Marcela Götte
Facultad de Humanidades y Ciencias. Argentina
Nivel educativo: terciario
Palabras clave: demostración, conjeturas, geometría, enseñanza.
Resumen
El objetivo de la comunicación es describir los lineamientos teóricos y las actividades de una propuesta pensada
para promover el sentido de la demostración en estudiantes de tercer año de Profesorado de Educación Especial
en Sordos e Hipoacúsicos de un instituto de nivel terciario de la ciudad de Santa Fe.
En general, se ha puesto de manifiesto en distintas investigaciones que las actividades en las que se exige “probar
que…” una determinada afirmación es verdadera no resultan efectivas para desencadenar la producción de
argumentos. Las propuestas más efectivas están relacionadas con aquellas actividades en las que se requiere de la
producción de una conjetura, puesto que los argumentos que surgen durante la actividad de conjeturar (se
presume) serán utilizados posteriormente durante la demostración del resultado.
La propuesta versa en torno a las propiedades de las diagonales de los paralelogramos y demanda de parte de los
estudiantes un trabajo cooperativo en torno al enunciado de conjeturas, la resolución de conflictos, la
presentación de argumentos y evidencias, la formulación de hipótesis y la demostración de afirmaciones no
obvias.
1. Introducción
En la actualidad existe en general consenso acerca de que un objetivo importante de la educación matemática es
el desarrollo del sentido de la demostración (Mariotti, 2006). En efecto, en documentos curriculares recientes, se
afirma que el razonamiento y la demostración no deben aparecer esporádicamente en las clases de matemática,
sino que deben formar parte natural de las discusiones de clase.
En los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios se observa una progresión paulatina en la práctica de plantear
conjeturas y proponer argumentos que permitan sostenerlas. En efecto, desde los primeros años se recomienda “la
exploración de la validez de afirmaciones propias y ajenas” (2004, p. 15), en tanto que a partir de 4º año plantea
“la producción de conjeturas y de afirmaciones de carácter general, y el análisis de su campo de validez” (2005,
p. 16). A partir de 7º año se sugiere “la producción e interpretación de conjeturas y afirmaciones de carácter
general y el análisis de su campo de validez, avanzando desde argumentaciones empíricas hacia otras más
generales” (2006, p. 16). Esta graduación, como veremos, se ajusta a las recomendaciones de las investigaciones
respecto del trabajo de la demostración en los distintos niveles educativos.
En los Estándares Curriculares del NCTM, ya desde la década del noventa del siglo pasado se plantea como
objetivo que los alumnos “aprendan a razonar matemáticamente”, incluyendo la capacidad de “formular
hipótesis, recopilar evidencias y elaborar un argumento que apoye estas nociones” (NCTM, 1991; p. 7). En los
Estándares correspondientes a la década actual se propone “reconocer el razonamiento y la demostración como
aspectos fundamentales de las matemáticas, formular e investigar conjeturas matemáticas, desarrollar y evaluar
argumentos matemáticos y demostraciones y elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de
demostración” (NCTM, 2003; p. 59).
Página 64
Los párrafos anteriores muestran la importancia adjudicada a la demostración en las recomendaciones
curriculares. No obstante, la actividad propia de demostrar resultados genera muchas dificultades, bien
documentadas en la bibliografía (Battista y Clements, 1995). Mariotti (2006) observa una evolución desde los
primeros estudios, en los que se enfoca sobre las concepciones de los estudiantes (incluso de profesores) de la
demostración hacia estudios más actuales donde se presentan y discuten opiniones sobre si es posible superar las
dificultades y, en caso de que lo sea, cuáles serían intervenciones de enseñanza apropiadas.
La presente comunicación se encuadra en este último tipo de estudios, dado que su objetivo es describir los
lineamientos teóricos y las actividades de una propuesta pensada para promover el sentido de la demostración en
estudiantes de Profesorado de Educación Especial en Sordos e Hipoacúsicos de un instituto de nivel terciario de
la ciudad de Santa Fe. La propuesta versa en torno a las propiedades de las diagonales de los paralelogramos.
A continuación se presentan algunos elementos teóricos dentro de los que se enmarca la propuesta, y
posteriormente se presentará la guía completa de actividades.
2. Aportes teóricos
Tanto la teoría de Piaget como la de Van Hiele sugieren que los estudiantes deben pasar por niveles bajos de
pensamientos geométricos antes de que puedan alcanzar niveles superiores, y que este pasaje toma una
considerable cantidad de tiempo (Battista y Clements, 1995). Según la teoría de Van Hiele, la instrucción debería
ayudar a los estudiantes a progresar gradualmente desde niveles inferiores de pensamiento geométrico antes de
comenzar un estudio de geometría orientado hacia la demostración. Se considera que enfrentar a los estudiantes
prematuramente a la prueba formal puede conducirlos a sólo intentos de memorización y a confundir el propósito
de la prueba (Battista y Clements, 1995).
Numerosas investigaciones (Battista y Clements, 1995) proponen una alternativa a las aproximaciones
axiomáticas, llevando a los estudiantes a realizar justificaciones significativas. Se propone que los estudiantes
trabajen cooperativamente, realizando conjeturas, resolviendo conflictos y presentando argumentos y evidencias,
probando afirmaciones no obvias y formulando hipótesis para probar.
El currículo geométrico de la escuela secundaria debería ser apropiado para todos lo niveles de pensamiento a
través de los cuales los estudiantes pasan a lo largo del año (Battista y Clements, 1995). Se debería guiar a los
estudiantes a aprender sobre conceptos significativos e interesantes y permitir usar justificaciones visuales y
empíricas porque tal pensamiento es el fundamento para niveles superiores. Se debería requerir que los
estudiantes expliquen y justifiquen sus ideas, refinen su pensamiento y que gradualmente comprendan las
limitaciones de las justificaciones visuales y empíricas para que de esta forma comiencen a utilizar los
componentes críticos de la prueba formal, pero la prueba formal es apropiada si los estudiantes pueden usarla
como una manera de justificar ideas de manera significativa. El camino más efectivo para engendrar un uso
significativo de la prueba en la geometría de la escuela secundaria es evitar la prueba formal en muchos
estudiantes, apuntando sobre la justificación de ideas y construyendo las bases visuales y empíricas para niveles
superiores de pensamiento geométrico.
Página 65
Algunos autores ponen de relieve una discrepancia entre argumentación y demostración. Para Duval (1999, p.
43), “la argumentación es aquel tipo de razonamiento que se halla intrínsecamente ligado al uso del lenguaje
común. Y por esto pareciera ser la forma natural de razonamiento. En efecto, se pone en movimiento de manera
espontánea en todas las situaciones donde un parecer, una afirmación, una opinión, o una elección se pueden
poner en duda y requieren de una justificación”. La demostración consiste en una secuencia lógica de
implicaciones de las que se deriva la validez teórica de una afirmación. Este autor afirma que la concepción de
demostración como un proceso que busca convencer al interlocutor puede conflictuar con los requerimientos de
una demostración matemática. En un sentido similar, Balacheff (1999) considera que “la argumentación
constituye un obstáculo epistemológico para la demostración”.
Esta ruptura intenta ser superada por algunos autores proponiendo la noción de “unidad cognitiva”. Durante la
producción de la conjetura, el estudiante elabora progresivamente su afirmación a través de una actividad
argumentativa intensa. Posteriormente, durante el proceso de demostrar la afirmación, el estudiante conecta de un
modo coherente algunas de las justificaciones (“argumentos”) producidas durante la construcción de la
afirmación de acuerdo a una cadena lógica.
En general, se ha puesto de manifiesto en algunas investigaciones que las actividades en las que se exige “probar
que…” una determinada afirmación es verdadera no resultan efectivas para desencadenar la producción de
argumentos (Mariotti, 2006). Las propuestas más efectivas, sostienen, están relacionadas con aquellas actividades
en las que se requiere de la producción de una conjetura. “En este último caso es posible esperar que los
argumentos surjan para alimentar el razonamiento y este tipo de situación es sugerida como útil para aproximar el
tema de la demostración en la escuela por esta razón” (Mariotti, 2006; p. 189).
Finalmente, hay dos aspectos importantes a tener en cuenta en una propuesta que tiene como objetivo desarrollar
en los estudiantes el sentido de la demostración. Por un lado, el hecho de que para hablar de demostración
matemática se deben tener en cuenta dos elementos: una afirmación y una teoría completa. “Desde una
perspectiva teórica, la demostración de una afirmación válida es realizada aceptando tanto la verdad hipotética de
los axiomas establecidos como el hecho de que las reglas establecidas de inferencia “transforman verdad en
verdad”” (Mariotti, 2006, p.184).
Por otro lado, no puede dejar de considerarse la dimensión social de la demostración. En efecto, “la demostración
tiene sentido respecto de una comunidad que comparte (más o menos implícitamente) los criterios de
aceptabilidad de los argumentos en juego” (Mariotti, 2006; p.188). En la comunidad de matemáticos, existe una
serie de criterios de aceptabilidad compartidos que son respetados por sus miembros para la elaboración de
demostraciones. En la comunidad escolar, resultaría complicado trabajar a partir de estos cánones de
aceptabilidad, por lo que es necesario ‘aliviar’ las exigencias si se espera tener algún éxito en la producción de
justificaciones de las conjeturas enunciadas. El rol del profesor es el de “mediador cultural” que debe proponerse
introducir a los estudiantes en los estándares de la validación matemática (Mariotti, 2006).
Página 66
3. Descripción de la propuesta
Las líneas teóricas anteriores conducen a considerar determinadas cuestiones en la propuesta objeto de esta
comunicación.
Por un lado, se ha optado por proponer actividades que requieran de la conjetura de las propiedades y su posterior
justificación, dado que, como se ha planteado en el marco teórico, los estudiantes tienen la posibilidad de
desarrollar argumentos (durante la formulación de conjeturas) que podrían utilizar posteriormente en la
producción de una demostración de la conjetura.
Por otro lado, se considera necesario introducir un apartado en el que se describen los conocimientos y
actividades previas, con el objeto de establecer un marco de conocimientos geométricos que proporcione a los
alumnos elementos conceptuales útiles para ser aprovechados posteriormente en las actividades de conjeturar y
justificar propiedades geométricas.
3.1. Algunos elementos metodológicos
La investigación se sitúa en el paradigma interpretativo (Cohen y Manion, 1990) y la metodología es cualitativa.
En la presente comunicación se presentan los lineamientos generales de la propuesta de actividades, en tanto que
se espera en una segunda etapa desarrollar un estudio descriptivo en pequeña escala, cuya finalidad es la
interpretación de las respuestas y producciones de sujetos.
La propuesta ha sido diseñada para implementar en un tercer año del Profesorado de Educación Especial en
Sordos e Hipoacúsicos de un instituto terciario de la ciudad de Santa Fe.
3.2. Actividades y conocimientos previos
Los estudiantes que participan de la propuesta desarrollaron durante su segundo año de estudio conocimientos
relacionados con las propiedades de los ángulos determinados entre rectas paralelas cortadas por una transversal.
En actividades previas se revisaron los criterios de congruencia de triángulos.
Con respecto al estudio propiamente dicho de los cuadriláteros, durante las dos semanas previas a la
implementación de la propuesta se desarrollaron actividades tendientes a trabajar la clasificación de los
cuadriláteros según el paralelismo de lados opuestos, obteniéndose la siguiente clasificación:
•
Trapezoide: no tiene lados paralelos
•
Trapecio: un par de lados paralelos
•
Paralelogramo: dos pares de lados paralelos
A continuación se describen las actividades previas.
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Actividad previa Nº 1
Figura 1
a) Agrupar los siguientes cuadriláteros (ver Figura 1) según alguna
característica, de modo que ninguna figura quede sin formar parte de algún
grupo.
Escriban la característica que tuvieron en cuenta para armar cada grupo.
Durante la resolución de la actividad, los alumnos que trabajaron en grupos utilizaron como criterio de
clasificación la igualdad de los lados, la amplitud de los ángulos y el paralelismo de lados opuestos.
Surgieron así las siguientes clasificaciones:
Grupo 1
- Dos lados iguales y dos desiguales.
- Los cuatro lados desiguales.
- Los cuatro lados iguales.
Grupo 2
- Poseen cuatro ángulos rectos.
- No poseen los cuatro ángulos de 90º.
Grupo 3
- Cuatro lados iguales.
- Cuatro lados no iguales.
Grupo 4
- Dos pares de lados opuestos paralelos.
- Un solo par de lados opuestos paralelos.
- Ningún par de lados opuestos paralelos.
El análisis de estas producciones queda fuera de los objetivos del presente trabajo. No obstante, se puede
consultar una comparación de las producciones de estudiantes de Profesorado de Nivel Inicial y de 8º año de
EGB en torno a esta actividad en Renzulli y Scaglia (2007).
Para finalizar esta actividad se institucionalizaron las definiciones de paralelogramo, trapecio y trapezoide, como
los cuadriláteros que responden a la última clasificación.
a)
Escribir todas las características del cuadrilátero 13 (Figura 1).
b) Escribir todas las características del cuadrilátero 8 (Figura 1).
c)
Escribir todas las características del cuadrilátero 9 (Figura 1).
En la puesta en común se plantearon las siguientes características para cada uno de los cuadriláteros:
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Cuadrilátero 13:
- Posee los cuatro lados iguales.
- Posee los lados opuestos paralelos.
- Posee los ángulos opuestos iguales.
Cuadrilátero 8:
- Posee dos lados iguales y dos lados iguales.
- Posee cuatro ángulos rectos.
Cuadrilátero 9:
- Tiene los ángulos opuestos iguales.
- Posee cuatro ángulos rectos.
- Posee cuatro lados iguales.
A partir de esta actividad se institucionalizaron las definiciones de rombo, rectángulo y cuadrado. Se trabajó a
partir de una clasificación jerárquica de estos cuadriláteros (De Villiers, 1994) caracterizada porque los conceptos
más particulares forman subconjunto de los conceptos más generales.
A partir de la manipulación de figuras recortadas en papel los alumnos conjeturan la propiedad de que las
diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. La profesora (integrante, además, del equipo de
investigación) guió mediante preguntas la escritura de la demostración en el pizarrón, a partir de la utilización de
criterios de congruencia de triángulos.
Mediante el mismo procedimiento que en la actividad anterior se trabaja la propiedad de que en todo
paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
Se conjetura (mediante la manipulación de figuras recortadas en papel) la propiedad de que en todo
paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. La demostración de la conjetura se dejó para que los
estudiantes realicen de tarea, en forma individual.
3.2. Propuesta
Para el estudio de las propiedades de las diagonales de los distintos paralelogramos, se proponen una serie de
actividades grupales. El curso fue dividido en 6 equipos de entre 3 y 4 alumnos cada uno.
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Dos equipos (Nº 1 y 2) trabajaron sobre el rectángulo, otros dos (Nº 3 y 4) sobre el rombo y los dos restantes (Nº
5 y 6) sobre el cuadrado. Como los enunciados de las actividades son similares (salvo el tipo de paralelogramo
involucrado), se describen a continuación únicamente las actividades propuestas para los dos grupos que
trabajaron sobre el rectángulo.
ACTIVIDAD 1
¿Qué condiciones deben cumplir las diagonales de un cuadrilátero para que sea un rectángulo? Escribir la
respuesta en este papel.
Una vez que los dos equipos terminan la actividad, se retiran sus producciones y se intercambian para que,
atendiendo a la producción del grupo que trabaja sobre el mismo cuadrilátero, cada equipo responda a la consigna
de la siguiente actividad.
ACTIVIDAD 2
Pensar y dibujar cuadriláteros que no sean rectángulos pero que cumplan las condiciones dadas. (Aquí las
condiciones dadas refieren a las que el otro grupo fijó para las diagonales del rectángulo)
Cuando un grupo encuentra un contraejemplo, se da esta información al grupo que ha elaborado las condiciones,
para que rehaga su trabajo, tratando de producir nuevas condiciones que superen el contraejemplo dado por sus
compañeros. Luego las nuevas condiciones regresan al grupo que controla, para que busque nuevos
contraejemplos. La ‘ida y vuelta’ concluye cuando no se encuentran más contraejemplos, lo que aseguraría que
las condiciones dadas para las diagonales del rectángulo son necesarias y suficientes. Justamente el objetivo de
este intercambio es que se puedan elaborar una serie de condiciones necesarias y suficientes para las diagonales
de cada paralelogramo.
La razón por la que se decide el intercambio es para evitar situaciones en las que sea el profesor el que termina
validando o no las producciones de cada grupo en la actividad 1. Se obliga así a los estudiantes a ejercer el
control sobre las producciones propias y las de sus compañeros.
Ante la posibilidad de que los estudiantes no encuentren contraejemplos de cuadriláteros en la actividad 2 aunque
estos existan, la docente del grupo prepara dibujos de cuadriláteros especiales, que satisfacen determinadas
características. En la siguiente sección se describen las figuras preparadas por el docente, dado que están en
relación directa con las posibles respuestas dadas por los estudiantes en la actividad 1.
Una vez que se ha logrado un enunciado de condiciones satisfactorio para las propiedades de las diagonales de
los paralelogramos, se pasa a las siguientes actividades.
ACTIVIDAD 3
Elaborar una propiedad en la que se indica cómo son entre sí las diagonales del rectángulo.
ACTIVIDAD 4
Probar la propiedad enunciada.
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3.3. Procedimientos esperados en la actividad 1
Algunas de las posibles respuestas de los alumnos respecto de las condiciones que deben cumplir las diagonales
de un cuadrilátero para que sea un rectángulo se incluyen a continuación:
A) Las diagonales se cortan en su punto medio.
B) Las diagonales son iguales.
C) Las diagonales son perpendiculares.
D) Las diagonales son iguales y perpendiculares.
E) Las diagonales son iguales y se cortan en su punto medio (respuesta correcta).
Como se ha indicado, se esperaba que en caso de que las condiciones formuladas por un equipo no fueran
correctas, el otro equipo encontrara contraejemplos para esas situaciones. No obstante, la docente había
preparado los siguientes contraejemplos para el caso del rectángulo:
A) Cualquier cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio pero no son iguales (N y G de la figura
2).
B) Cualquier cuadrilátero cuyas diagonales son iguales pero no se cortan en su punto medio (P, Q y T de la figura
2).
C) Cualquier cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares, pero no son iguales o no se cortan en su punto
medio (figuras T, M2, M y G de la figura 2).
D) Cualquier cuadrilátero cuyas diagonales son iguales y perpendiculares pero no se cortan en su punto medio (T
de la figura 2).
Figura 2. Contraejemplos
Página 71
4. Reflexiones finales
Los aportes teóricos considerados ponen de manifiesto que el tratamiento de la demostración formal sin realizar
previamente un acercamiento a través del planteo de conjeturas, formulaciones de hipótesis, desarrollo de
argumentos, conduce a un aprendizaje memorístico y a confundir el propósito de la demostración (Battista y
Clements, 1995). La propuesta de actividades presentadas apunta a que los estudiantes de un nivel terciario
tengan un acercamiento a la demostración formal basado en las recomendaciones de la bibliografía consultada.
El trabajo se completará con el estudio de las producciones de los estudiantes durante la implementación de la
propuesta, así como la identificación de sus limitaciones y potencialidades.
5. Referencias bibliográficas
Balacheff, N. (1999). ¿Es la argumentación un obstáculo? Invitación a un debate. Extraído de
http://www.mat.ufrgs.br/∼portosil/resut2.html. Fecha de captura: 30/10/05.
Battista, T. y Clements, D. (1995). Geometry and Proof. The Mathematics Teacher, 88(1), 48-53.
Cohen, L. y Manion, L. (1990). Métodos de investigación educativa. Madrid: La Muralla.
De Villiers, M. (1994). The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals. For the
Learning of Mathematics, 14, 1, 11-18.
Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva? México: Grupo Editorial
Iberoamericano.
Mariotti, M.A. (2006). Proof an proving in mathematics education. En A. Gutiérrez y P. Boero (2006). Handbook
of Research on the Psychology of Mathematics Education. Rotterdam: Sense Publishers; 185-216.
Ministerio de educación, ciencia y tecnología. (2004). Núcleos de Aprendizaje Prioritarios. Primer Ciclo de EGB
/ Nivel Primario. Extraído de http://www.me.gov.ar/curriform/nap.html. Fecha de captura: 15/10/07.
Ministerio de educación, ciencia y tecnología. (2005). Núcleos de Aprendizaje Prioritarios. Segundo Ciclo de
EGB / Nivel Primario. Extraído de http://www.me.gov.ar/curriform/nap.html. Fecha de captura:
15/10/07.
Ministerio de educación, ciencia y tecnología. (2006). Núcleos de Aprendizaje Prioritarios. Tercer Ciclo de EGB
/ Nivel Medio Matemática. Extraído de http://www.me.gov.ar/curriform/nap.html. Fecha de captura:
15/10/07.
National Council of Teachers of Mathematics (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la
Educación Matemática. Sevilla: S.A.E.M. Thales.
National Council of Teachers of Mathematics (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática.
Granada: S.A.E.M. Thales.
Renzulli, F. Y Scaglia, S. (2007). Clasificación de cuadriláteros en estudiantes de EGB 3 y futuros profesores de
nivel inicial. Revista de Educación Matemática, 22, 2, 3-19.
Página 72
CLASES DE MATEMÁTICA: LA INTERVENCIÓN DE PRACTICANTES
EN LA PUESTA EN COMÚN
Adriana Duarte -Silvia Caronía
Institución: Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales.
Universidad Nacional de Misiones. Argentina
Dirección electrónica: [email protected]; [email protected]
Nivel educativo: Universitario
Palabras Claves: practicantes- puesta en común- clases de matemática- análisis didáctico
Resumen
Desde la formación docente que adhiere a la corriente francesa de la Didáctica de la Matemática, entendemos que
existen ciertos momentos en una clase de matemática donde el protagonismo del docente es sumamente crucial.
En la etapa de preparación profesional futura que corresponde a la práctica misma, uno de los aspectos sobre los
que centramos nuestra atención corresponde al conocimiento didáctico que se debe tener a la hora de llevar
adelante un trabajo colectivo de discusión. Nos vamos a detener en el análisis de lo que ocurre con los
practicantes en el espacio comúnmente reconocido como la “puesta en común”.
Introducción
Desde la formación docente que adhiere a la corriente francesa de la Didáctica de la Matemática, entendemos que
existen ciertos momentos en una clase de matemática donde el protagonismo del docente es sumamente crucial.
En la etapa de preparación profesional futura que corresponde a la práctica misma, uno de los aspectos sobre los
que centramos nuestra atención corresponde al conocimiento didáctico que se debe tener a la hora de llevar
adelante un trabajo colectivo de discusión. Nos vamos a detener en el análisis de lo que ocurre con los
practicantes en el espacio comúnmente reconocido como la “puesta en común”.
En este sentido y desde nuestra experiencia en la cátedra 1 podemos plantear a modo de hipótesis que la relación
del practicante con el conocimiento matemático como objeto de estudio y como objeto de enseñanza y
aprendizaje, condiciona su intervención en los diferentes momentos de una clase.
Basados en esta hipótesis, tenemos en cuenta las ideas de Brousseau (1999) quién postula que lo primero que se
debería analizar es el conocimiento, porque a partir de él hay distintas reformulaciones, reconstrucciones posibles
que son necesarias conocer para poder interpretar qué es lo que pasa con el aprendizaje y decidir qué actividades
proponer para que sean coherentes con lo que se pretende enseñar. Desde esta perspectiva, nuestra tarea en la
cátedra comprende dos momentos: 1) el análisis previo, apuntando al conocimiento matemático como objeto de
estudio y el análisis a priori de las actividades 2 , 2) el análisis llevado a cabo durante la práctica efectiva en el
aula.
1) El análisis previo
Convencidas de la necesidad de complejizar este análisis y teniendo en cuenta autores que sostienen...“ que la
didáctica de las matemáticas se ha visto forzada a cuestionar la transparencia del conocimiento matemático, a
problematizarlo ...” 3 , como así también lo expresado por Sadovsky (2005) 4 quien manifiesta: “problematizar la
1
Corresponde a la asignatura Práctica Profesional, del 4º año de Profesorado en Matemática.
Que serán puestas en escena en las práctica en una institución escolar
3
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón J. (1997). pág.75.
4
Sadovsky (2005) en Alagia, H., Bressan, A. y Sadovsky, P. (2005). Pág 11
2
Página 73
actividad matemática de la clase constituye a la vez una tarea matemática y didáctica: se trata de estudiar un
tipo de actividad particular –la de la disciplina matemática- en la que está presente la intención de enseñar”,
proponemos un trabajo con los practicantes tendiente a hacerlos percibir esta idea.
Con este objetivo, se plantean en clases de Práctica una serie de interrogantes que guían por un lado, a la
reflexión y por otro sirven de modelo para posteriores cuestionamientos que deberían hacerse ellos mismos antes
y durante la práctica en el aula, analizando el contenido involucrado en las actividades diseñadas tanto desde el
enfoque matemático como de su didáctica. Ejemplos de ellos son:
¿qué debo enseñar y en qué año escolar?, ¿qué deben aprender los alumnos?, ¿qué actividades debo proponer
para lograr esos aprendizajes?, en cuanto a las actividades propuestas ¿cuáles son sus objetivos?, ¿qué
conocimientos van a estar en juego? ¿son de iniciación?, ¿de refuerzo?, ¿qué soporte didáctico utilizar?, y en
particular ¿cuál es el objetivo de cada consigna?, ¿qué significados del conocimiento se abordan en ellas?, ¿están
secuenciadas?, ¿qué aporta, por ejemplo la consigna 2 que no aporta la 1?, ¿si desapareciera una de las consignas,
afectaría la secuencia y en qué forma?, ¿Cuáles son las variables didácticas y el contexto?. Estas cuestiones nos
estarían dando una visión global del dominio que tendrían los practicantes de las actividades elaboradas como así
mismo su grado de apropiación.
Sin embargo, durante esta etapa con frecuencia se presentan cuestiones que podríamos catalogar como
dificultades; por ejemplo: detectar la importancia de que esté presente o no una determinada consigna y reconocer
en qué lugar de la secuencia se la presentaría, determinar los objetivos tanto de una actividad como de sus
consignas, algunas veces se evidencia insuficiente profundización en el conocimiento de la dimensión
matemática-didáctica del contenido, resulta difícil “anticipar” en la secuencia las cuestiones que surgirían en los
momentos de validación y confrontación, como también aquellas cuestiones o consideraciones que serían
necesarias destacar para llegar a un acuerdo en común... 5
Pensamos que posiblemente, estas dificultades podrían deberse a algunas de las siguientes causas:
9
limitada profundidad en el conocimiento del contenido matemático involucrado 6
9
Dificultad de detectar y poner en juego otros aspectos relacionados con el conocimiento matemático 7 .
9
Escasa visualización de la escena de una clase donde se pone en juego una actividad de este tipo 8 .
2) El análisis durante la práctica efectiva en el aula
En esta etapa interviene una diversidad de factores que hacen de la práctica una actividad muy compleja, y como
dijimos al principio, en esta oportunidad centramos nuestra atención en el rol que ocupa el practicante como
5
En las producciones escritas algunos practicantes manifestaban: “durante la puesta en común el profesor propondrá la discusión…”, pero
no hacían referencia sobre qué se discutiría. También, durante el debate en nuestras clases algunos detallaban las cuestiones sobre las que se
iba acordar en la puesta en común sin embargo en sus informes escritos no quedaban asentados cuáles eran esos acuerdos.
6
Por ejemplo en producciones sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, no daban cuenta acerca de las transformaciones en un sistema de
ecuaciones llevadas a cabo mediante operaciones elementales y el porqué de las mismas. Así mismo cuando se van produciendo dichas
transformaciones para obtener sistemas equivalentes, parecía tarea compleja establecer analogía entre la resolución analítica y gráfica de
dichos sistemas.
7
Por ejemplo las letras como incógnitas, como variables, el significado del signo igual, las diferentes definiciones de ecuación la
generalización, la simbolización, etc.
8
Creemos que es un trabajo arduo para los practicantes imaginarse una situación que nunca han vivido ya que en su historia como alumnos
asistieron y participaron en clases más “tradicionales”.
Página 74
docente a cargo de la clase en un momento fundamental de la situación de enseñanza y aprendizaje, como es la
puesta en común.
En Didáctica de la Matemática, se presenta al docente la necesidad de “poner en común” los resultados de la
actividad en la clase; estos momentos, denominados “de discusión o de puesta en común” involucran mucho más
que una simple explicitación frente a toda la clase de las producciones individuales o grupales. Citamos aquí a
Quaranta y Wolman (2003) 9 , que se manifiestan sobre este aspecto de la siguiente manera:
Su valor central reside en que son potencialmente fructíferos para la generación de confrontaciones,
reflexiones y argumentaciones (ERMEL, 1993, 1996), [...] “Los momentos de discusión conforman una
de las modalidades que adquiere la interacción entre pares en el aula: se trata de un intercambio entre
todos los alumnos de la clase conducidos por el docente” [...] “Deben ser organizadas intencional y
sistemáticamente por el maestro, a quien le corresponde
un papel central e insustituible en su
desarrollo”[...] “El grupo ERMEL (1995) señala que corresponde al docente hacer sacar a luz –
explicitar o hacer público-, hacer circular y, si es posible, analizar y someter a discusión por toda la
clase las producciones de un alumno o un grupo de alumnos. Es el momento de comunicar los
procedimientos y resultados, difundirlos, intentar comprender los procedimientos de otros,
compararlos, poder reconstruir aquellos que parecen más eficaces, valorar los aspectos positivos de las
diferentes producciones, considerar cuán generalizables son a otra situaciones, confrontarlos,
cuestionar y defender las diferentes proposiciones utilizando argumentos vinculados con los
conocimientos matemáticos en cuestión.
En relación a lo dicho precedentemente hemos detectado que los practicantes durante su desempeño asumen roles
dispares a la hora de la coordinación de un debate. Citamos dos casos que se han destacado en clases de 1º
Polimodal, para la enseñanza de ecuaciones de primer grado, con una incógnita 10 .
Caso 1: en su intento de producir el debate, no alcanza a provocarlo. Si bien inicia esta etapa haciendo pasar a un
representante de un grupo a exponer sus procedimientos, la “discusión” se aborta al dar lugar a un diálogo. El
profesor interviene corrigiendo la producción del alumno y habla sólo con él (comunicación unidireccional), es él
el que valida, sin devolver dicha responsabilidad a los demás integrantes de la clase.
Caso 2. Logra dirigir el debate con éxito. Cuando un grupo expone sus resultados, el “profesor” solicita que sea
validado por el resto de la clase, luego toma la decisión de poner en consideración otras producciones con la idea
de sacar a la luz procedimientos que no estaban expuestos y provocar así el debate. Actúa como guía de la
discusión realizando interrogantes adecuados, encaminándolos hacia el objetivo que se había propuesto en este
caso: analizar el significado de la letra como variable en una ecuación.
9
Quaranta, M. y Wolman, S. (2003). “Discusiones en las clases de Matemática: qué, para qué y cómo se discute.”, en Panizza, M. (comp.).
(2003). Pág.190
10
La actividad y los registros de las respectivas clases aparecen en Anexo
Página 75
Conclusiones
Estos ejemplos que expusimos como casos significativos, dan cuenta que no resulta sencilla la comprensión por
parte de los practicantes de la idea central en la puesta en común.
Consideramos que el trabajo sobre el rol del profesor en esta etapa abordado específicamente por nosotras en su
preparación antes y durante sus prácticas, aportaría elementos para que hubiera un aprendizaje de dicho rol. El
hecho de abordar al conocimiento matemático como objeto de estudio y como objeto de enseñanza y aprendizaje
garantizaría al practicante un dominio no sólo de estos objetos de estudio sino también de modos de intervención
más sólidas. Sin embargo, los diferentes tipos de intervenciones estarían condicionados más bien por los saberes
procedimentales y actitudinales de la práctica profesional adquiridos por los practicantes, los que requieren
tiempos de aprendizaje diferentes y propios de cada uno.
Por otra parte, parece de fundamental importancia el saber cómo producir el debate, es decir, qué tipos de
preguntas o intervenciones asegurarían la continuidad del mismo o su culminación. Cuestiones tan primordiales
entre las que citamos algunas:
¿Qué se rescata de las producciones de los alumnos? ¿Qué se discute? ¿Qué ideas se tienen que ir cerrando y
cuando? ¿Cómo se utiliza lo trabajado y acordado con los alumnos para dar lugar a la institucionalización?
Sin embargo advertimos que en esta instancia, una de las dificultades es que no logran abrir el debate y depositar
en los alumnos la validación de sus argumentos o razonamientos. En general, la tendencia del “profesor” es
adelantarse y dar respuestas o hacer afirmaciones sobre los resultados, sin esperar lo que los alumnos puedan
advertir o responder.
Creemos que esta actitud en gran medida estaría vinculada con una matriz de enseñanza fundamentada en su
historia escolar y su vivencia personal, o bien estaría relacionada con el grado de apropiación que ha realizado el
futuro docente de la actividad planificada y puesta en escena.
En otro orden, durante una discusión colectiva en la que los pares actúan como observadores, si bien suelen
advertir algunas de las dificultades y/o errores que se comenten durante esta etapa, cuando les corresponde
intervenir posteriormente como coordinadores del debate, cometen los mismos errores. Por ello, consideramos
que es necesaria la mirada experta 11 para analizar la intervención particular de un practicante en esta situación
que acompañe este proceso de aprendizaje del rol que le compete.
Concientes de que este proceso requiere de un tiempo prolongado y que la incorporación de los aprendizajes no
se hará en su totalidad debido al paso fugaz por la práctica, sostenemos que vale el esfuerzo desde la cátedra en
gestar estas instancias de reflexión y análisis de intervenciones no comunes y no siempre observadas en clases
habituales. Esta visión debería hacerlos recapacitar y tomar conciencia de que es un aspecto que forma parte de la
complejidad que resulta la tarea de enseñar y aprender matemática, pero, en definitiva, la mayor o menor medida
en el logro de este tipo de trabajo, dependerá de un convencimiento personal sobre el mismo.
11
La que tendría un especialista en Didáctica de la Matemática
Página 76
Alagia, H., Bressan, A. y Sadovsky, P. (2005). Reflexiones Teóricas para la Educación Matemática. Argentina:
Editorial Libros del Zorzal.
Brousseau, G (1999). Educación y Didáctica de las Matemáticas. Aguascalientes, México: Trabajo presentado en
el V Congreso Nacional de Investigación Educativa.
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón J. (1997). Estudiar Matemática. El eslabón perdido entre enseñanza y
aprendizaje. Barcelona: Editorial Horsori.
Panizza, M. (comp.). (2003). Enseñar matemática en el nivel inicial y el 1º ciclo de la EGB. Argentina: Editorial
Paidós.
Quaranta, M. y Wolman, S. (2003). Discusiones en las clases de Matemática: qué, para qué y cómo se discute.
Argentina: Editorial Paidós.
Página 77
Anexo
Consigna 1
a) Este dibujo representa una balanza cuyos platillos están en equilibrio, en ella hay jarras y pesas, sus números
expresan kilogramos. Utilizando estos objetos, averigüen cuánto pesa cada jarra de manera que la balanza siga
estando en equilibrio
b) Esta balanza también está en equilibrio. Averigüen cuanto pesa cada lata.
Para ello podrán usar otras pesas de 3kg y de 5kg.
Consigna 2: La siguiente balanza esta en equilibrio
¿Cuál de las siguientes acciones la mantendría en equilibrio?
a)
Pasar 3 kg. del platillo izquierdo al derecho
b) Se disponen de pesas de 4 kg. Agregar 4 kg. a cada platillo
c)
Quitar 5 kg. a cada platillo
d) Pasar una caja del platillo derecho al izquierdo
e)
Quitar 2 cajas del platillo izquierdo y una del derecho
f)
Quitar una caja de cada platillo
Página 78
Consigna 3: Expresar en símbolos tanto las sucesivas situaciones de equilibrio de las balanzas, como los
razonamientos utilizados.
CASO 1:
P. bueno, vamos a ver que hizo este grupo (indica y hace pasara una alumna). Se queda al lado
de la alumna mientras escribe, dialoga con ella, el resto de la clase no presta atención lo que
están haciendo en el pizarrón, salvo los alumnos del mismo grupo.
A1:
7 pesas + 2 jarras = 2 pesas + 4 jarras
P: vean… (se dirige a la clase) la compañera está expresando en números y letras, es decir en
símbolos. ¿Me siguen?
Alumnos. Siiiii !
El profesor se da vuelta y sigue trabajando solo con la alumna que está al frente, le propone que
borre y abrevie lo que escribió:
A1: 7p + 2j = 2 p + 4 j
7p - 2j = 4j- 2j +2p (*)
7p = 2 p + 2 j
7p - 2p = 2j -2p
5p = 2j
Desde el banco un compañero de grupo le señala que no está bien (el resto no atiende) y la
alumna dice:
A1: bueno, borro… total, es lo mismo
7p - 2p = 2p -2j
Comentario que me voy haciendo para analizar en la reflexión: El profesor no pregunta a la
clase, tampoco mas adelante retoma este comentario (“borro total es lo mismo”) y los pasos de
esta producción. ¿Porqué el profesor pide a la alumna que borre y” sintetice” en símbolos
¿porqué no preguntó a la clase? ¿porqué no retomo para ver las diferencias de escrituras y
desembocar en la simbología?
Me pregunto ¿sabrá cuál es la parte importante de retomar y que quede claro que pasó en la
segunda y tercera transformación? (*)
A1:
5p = 2j
Hablan todos y un alumno pregunta: ¿porqué escribiste así?
A1: porque él quiere que escriba así (señala al profesor) y yo entiendo así
P: está bien, sentate…
Me pregunto ¿quién validó? ¿Se dio cuenta de esto?, además ¿qué es lo que está bien?...
Página 79
CASO 2:
P ¡atención chicos!!
A1: pasa al pizarrón y escribe:
2x + 7 = 4x + 2
2x + 7 - 2 = 4x + 2 – 2
x + 5 – 2x = 4x - 2 x
5 = 2x
5/2 = x
Borra y vuelve a escribir
A1: 2x + 5 = 4x
Otro grupo dice: ¡nosotros hicimos pero en resta!
A2: 2x - 7 = 4x – 7
P: vi que un alumno hizo un procedimiento diferente…
El alumno pasa y escribe
A3: 7P+ 2J = 4J + 2 P
7P – 2P+ 2J = 4J + 2 P -2P
5P+ 2J = 4J
5P+ 2J-2J = 4J - 2 J
5P = 2 J
5P = J
2,5 = J
A2: ¿no era que la letra representa la incógnita?
A3: no, yo le puse la cantidad
P: ¿la x, es lo mismo que la J? ¿qué representa la x? x representa el peso de la jarra y J en este caso…?
A1: la jarra, … el peso
A4: representa el peso de una jarra
P ¿qué calculamos acá?
A4: el peso de la jarra....
A5: ¡cumple la misma función..... la J o la x!
P: ahora….¿ Qué significa P? en el otro, 7 representa Kg
P: ¿es lo mismo escribir 7 que 7P?
Alumnos: nooooo ¡
(se discute si 7P quiere decir 7Kg. )
A2: esa P está demás!
P: el sentido que le dio el grupo es…(…) ¿Hay alguna duda?
Página 80
HABIA UNA VEZ 12 … ,¿o 4? …NO!... SON 6!
Mabel Alicia Slavin
Instituto Superior de Formación Docente Nº 10.Tandil. Argentina.
[email protected]
Nivel Inicial. Nivel E.P.B. 1º Ciclo y 2º Ciclo.Nivel E.S.B.
Palabras Clave: Construir- descubrir- rompecabezas-jugar
Resumen
El escaso conocimiento sobre el concepto de volumen con el que ingresan los estudiantes al nivel terciario
establece la necesidad de realizar algunas reflexiones sobre el interés formativo del tema. Es necesario percibir la
magnitud volumen como paso anterior a la medición; por ello es que se propone la obtención de relaciones entre
volúmenes a partir de la descomposición, evitando el uso irreflexivo de fórmulas.
El espacio de la práctica docente es una oportunidad para que los alumnos, futuros docentes comiencen a intentar
nuevas propuestas que faciliten la adquisición de conceptos y dinamicen el trabajo en el aula.
Este trabajo consiste en una propuesta basada en un rompecabezas que surge como consecuencia de la lectura del
cuento “El patito feo” de Hans Andersen, al que hay que ilustrar.
La idea es que los dibujos cumplan con la condición de estar basados en simetrías y que se puedan armar seis
ilustraciones sobre cubos que, a su vez , se obtienen con doce pirámides. Se aprovechan de esta forma los
sentidos, se pone en juego la interdisciplinariedad que lleva al uso de diferentes lenguajes y se fomenta la
participación colectiva.
El cuento y su rompecabezas permiten su uso desde el nivel inicial hasta el último año de la E.S.B., posibilitando
el desarrollo de diferentes capacidades adecuadas al nivel en cuestión.
Introducción
Esta propuesta tiene como objetivo presentar una situación interdisciplinaria que sirva tanto para informar como
para ayudar a la reflexión, entretener, divertir, asombrar, plantear dudas y proponer caminos de descubrimiento y
de invención.
En realidad se trata de establecer una relación entre los lenguajes propios de la literatura, el arte y la matemática
.Se tratará de buscar, mirar, hasta encontrar lo que hay de común en objetos de conocimiento aparentemente muy
distintos.
Cada disciplina posee un lenguaje particular constituido sobre la base de un sistema de signos y de reglas que le
es propio. Por esto, saber leer es una de las metas fundamentales de la enseñanza escolar. Pero tanto la lectura
como la escritura comprometen un cúmulo de actividades que el sujeto debe realizar: comprender, sintetizar,
traducir, transcribir, construir. Todas ellas son aplicables a diferentes disciplinas.
Partiendo de esta idea, pensando que se debe lograr una educación del pensamiento (A. Palacios ,1998) 12 y que
esto no es posible desde una disciplina, porque el pensamiento es interdisciplinario, surge este rompecabezas
intentando lograr una unificación entre el lenguaje literario, artístico y matemático.
La idea parte de la lectura del cuento de Hans Christian Andersen, “El Patito Feo”, para generar ilustraciones del
mismo en cubos que se forman, cada uno, con tres pirámides rectangulares de base cuadrada.
12
En una idea de “Modelo” donde se refiere a que en la relación entre significante y significado interviene el intérprete que es quien descubre
esa relación.
2
“Hacia un modelo del aprendizaje humano”, en Valores de la persona y técnicas educativas, Buenos Aires, Docencia.
Página 81
Aquí aparece la idea del juego como un recurso pedagógico, deliberadamente propuesto para orientar al niño y/o
al adolescente en la adquisición de saberes y prácticas curriculares valiéndose de una actividad cercana a ellos y
elegida por ellos (N. Aizencang, 2005).
Si se toma al juego como una actividad seria y espontánea, se logrará que el niño y/o adolescente desarrolle
formas alternativas para la resolución de los problemas planteados.
De un estudio de Víctor García Hoz (1982) 13 se desprende que un análisis del vocabulario de las diferentes
ciencias nos llevará a encontrar los elementos comunes que permitan integrar las asignaturas en un mismo
proceso de aprendizaje y formación mental.
La experiencia muestra que:
Comparados los vocabularios de distintas ciencias, se observa que tienen en común más palabras de significación
nominal u objetiva (adjetivos y sustantivos) que términos de significación funcional o activa (verbos).
Las ciencias se distinguen entre sí por el objeto material que estudian pero coinciden en las actividades o
funciones que dicho estudio (conocimiento científico) implica.
En las ciencias hay una realidad estática y otra dinámica. La primera es el objeto de la ciencia; la otra, la
estructura y funcionalidad del pensamiento científico. Las ciencias difieren en lo estático y coinciden en lo
dinámico.
Las palabras de significación objetiva son trasmisoras del contenido de la enseñanza, es decir, de la realidad
estática de una disciplina. Las palabras de significación activa permiten, en cambio, detectar el aspecto funcional
del pensamiento, es decir, la realidad dinámica.
Aquí es donde el juego que presenta una combinación interesante de símbolos y signos convencionales sirve de
intermediario entre lo real y la ficción. La utilización de juegos con algunas características que les permitan
adaptarse a las necesidades de los alumnos, posibilitan la instalación de situaciones imaginarias.
Esto facilita el abordaje de diferentes temáticas en forma indirecta, exteriorizar conflictos o disconformidades y ,
fundamentalmente, ponerse en el lugar del otro. Es mediante la simulación que implica el jugar que se pueden
aprender o modificar conductas y/o conceptos que permitan organizar situaciones a futuro. 14
El camino para abordar la enseñanza interdisciplinariamente obligará a poner énfasis en la formación del
pensamiento a través de sus diversas operaciones, tomando los contenidos de las varias disciplinas como materias
al servicio de las actividades de relación y de reflexión.
El elemento mediador de todo este proceso será el juego.
Consideraciones sobre la propuesta
La propuesta de lograr un pensamiento integrador que de lugar a un saber en movimiento, abarcativo, que
permita tender puentes entre los diferentes conocimientos que le faciliten al alumno formar una cosmovisión con
la cual enfrentarse intelectualmente a la realidad es el desafío de la educación del siglo XXI. 15
14
15
Ver nota del suplemento “iEco” del Diario Clarín del domingo 7 de octubre de 2007, página16.
..”el pensamiento integrador como un circuito pedagógico”A.Palacios en Cartesiana Mente (2005)
Página 82
La propuesta consiste en trabajar con 12 pirámides cuadrangulares rectas de largo, ancho y alto iguales .Tres de
estas pirámides se ensamblan formando un cubo 16 .Estas pirámides forman cuatro cubos que se apilan
formando un paralelepípedo de bases cuadradas y altura igual a la de las pirámides.
La educación del pensamiento es una idea matriz generadora de una escuela que da como resultado una
formación por el pensamiento activo, disponiendo de los contenidos como ejes alrededor de los cuales gira todo
el quehacer educativo.
Las prácticas pedagógicas en las que se involucra el juego facilitan la transferencia de hábitos y saberes a nuevas
situaciones sociales. Vigotsky 17 considera que trabajo y juego difieren solamente en el carácter de los resultados.
En el primero se concreta un producto previsto y objetivo, y en el segundo se resuelve subjetivamente,
produciendo el goce del jugador por el juego ganado. Salvo estas diferencias, ambas actividades coinciden en su
naturaleza psicológica, se puede decir que el juego es una forma natural de la actividad infantil que constituye
una preparación para la vida futura.
El juego es un elemento valioso mediante el cual el alumno entiende el medio, destacando el lenguaje natural
que lo llevará a establecer relaciones con los lenguajes gráficos y simbólicos propios de la matemática.
Recomponer las piezas del rompecabezas para armar las ilustraciones del cuento, para encontrar las formas
pedidas, es sólo cuestión de percepción espacial, de aplicar ciertos desplazamientos sencillos y no perder de vista
el modelo, pero la percepción espacial no es una simple actividad de copia de la realidad sino que es el resultado
de la organización y la codificación de informaciones sensoriales.
La posibilidad de actuar, accionar manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando
desplazamientos, medidas, cálculos creará la motivación 18 necesaria, aunque no suficiente ni única que
despertará la curiosidad que generará el entusiasmo que permita resolver el problema.
La curiosidad es el primer impulso para saber, es el placer de experimentar lo nuevo, de descubrir, de superar el
desafío; es el componente fundamental de la motivación intrínseca. Por lo tanto la clase se debe convertir en un
grupo cooperativo en el que docente y alumnos utilicen este recurso: jugar para construir conocimientos a partir
de diferentes alternativas de discusión, decisión y ejecución.
Esta estructura de aprendizaje cooperativo impone la necesidad de tomar en cuenta el punto de vista de los
demás, la estructura de juego es capaz de facilitar la organización del material para aprender. Se presenta la
obligación de intercambiar el material cognitivo con otros constituyendo de esta manera un factor básico para la
formación de competencias metacognitivas que a posteriori se transferirán al aprendizaje individual. 19
El docente no puede ser un sujeto pasivo como así tampoco lo será el alumno, hacia quien está dirigida
fundamentalmente la propuesta de jugar, los conocimientos escolares que surgirán del juego serán interesantes,
significativos y con valor social.
16
Esto constituye un rompecabezas de origen Chino conocido como Yang-ma, que aparece en los comentarios de Liu-Hui a la obra china
“Nueve capítulos sobre el arte matemático”
17
Citado por Aizencang en “Jugar ,aprender y enseñar”
18
“Motivar es entonces, suministrar motivos para que el individuo realice determinada acción y ponga todo su empeño, interés y voluntad en
el logro de la misma“. Bixio (2006)
19
En “Interacciones sociales y rendimientos en los aprendizajes” de Jean-Marc Monteil en “Aprendizajes y didácticas” compil. por Gérard
Vergnaud.
Página 83
Se debe rescatar el sentido lúdico que tiene el enseñar y el aprender, por eso el rompecabezas propuesto
permitirá armar y desarmar, y volver a armar solos o entre varios el deseo de aprender la matemática.
La manipulación de material concreto, hará despertar mejor los sentidos y agudizará la mente para resolver un
problema y así alcanzar ese objetivo central en matemáticas que es la generalización. El rompecabezas propuesto
se transforma así en una situación que le permitirá proceder a la solución explicitando sus conocimientos en un
lenguaje que debe ser comprendido por los demás , además de justificar ante sus pares las herramientas implícitas
que ha utilizado en ese acto. 20
La idea es empezar con algo muy concreto para luego pasar a lo abstracto. La abstracción comienza a producirse
cuando el alumno llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material. Estas manipulaciones
son un paso fundamental para motivar que los alumnos descubran conceptos matemáticos observando relaciones
de regularidades y formando generalizaciones.
La filosofía constructivista también propone 21 , que para los alumnos no hay aventura más apasionante que la del
descubrimiento y que la mejor manera de disfrutarla es cuando él mismo ha sido capaz de experimentar dicho
descubrimiento.
Por lo que se entiende que el aprendizaje efectivo
22
requiere participación activa del estudiante en la
construcción del conocimiento, ya que este proceso está mediado por procesos de pensamiento, de comprensión y
de dotación de significado.
Entonces la actividad de los alumnos, en este caso el juego, es base fundamental para el aprendizaje mientras que
la acción del docente es aportar las ayudas necesarias, estableciendo esquemas básicos (situaciones
problemáticas) sobre los cuales explorar, observar, y reconstruir conocimientos.
Se toma aquí el concepto de Interacción Socio Cognitiva: la cognición humana óptima se lleva a cabo con la
colaboración de otras personas y de objetos físicos y simbólicos que potencian las capacidades individuales. 23
Así los procesos grupales de construcción de conocimientos son medios altamente eficaces para el logro de un
aprendizaje significativo, aunque en ellos se hace necesaria una intervención del docente muy cuidadosa,
optimizando las actividades, facilitando los intercambios cognitivos, supervisando, recuperando oportunamente
lo producido en cada grupo, y logrando la reorganización final de los conocimientos.
Niveles propios del funcionamiento de los conocimientos en una situación adidáctica: nivel de la acción; nivel de la formulación; nivel
de convalidación. Broussseau ,1986
21
Bruner (1966) en su teoría de la secuencia del desarrollo conceptual.
Dienes y Golding(1971) y sus ideas de manipulaciones y juegos controlados .
Brousseau (1986) .”además de resolver problemas, el matemático generaliza, descontextualiza, reorganiza.” citado por Sadosky (2006)
Chevallard (1986) y su noción de modelización que permite “mirar” globalmente la actividad matemática ;
citado por Sadosky (2006)
10
Aebli(1991)…”señala seis pasos para lograr aprender
a) Tener una idea de la realización correcta.
b) Intentar realizarla por sí mismo.
c) Observarse en su realización y discutir la observación.
d) Formular como autoinstrucciones del aprendizaje ,reglas de dirección y control.
e) Llevar éstas a la práctica con nuevos contenidos.
f)
Juzgar el proceso de aprendizaje y su resultado.
23
Esquema propuesto por Engëstrom (1987 ,1991) para el análisis de situaciones educativas .Tomado luego por Cole (1999) y Baquero y
Terigi (1996) , entre otros.
20
Página 84
Por otra parte, se toma el concepto de estrategia didáctica de Bixio (1995): conjunto de las acciones que realiza el
docente con clara y conciente intencionalidad pedagógica, o sea, de lograr un aprendizaje en el alumno
Las estrategias deben apoyarse en los conocimientos previos de los alumnos (significatividad) para orientar la
construcción de conocimientos a partir de materiales adecuados y deben poder desarrollarse en el tiempo
previsto.
En el campo de la Didáctica de la Matemática, la propuesta se apoya en la “ingeniería didáctica” (Douady; 1996):
elaboración de un conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para
efectuar un proyecto de aprendizaje.
Así, la llamada “Situación fundamental”, dada por las situaciones “adidácticas” (Brousseau; 1988), enfrenta a los
alumnos a un conjunto de problemas que evolucionan de manera tal que el conocimiento que se quiere que
aprendan es el único medio eficaz para resolverlos. Intervienen las “variables didácticas” para que el
conocimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las “recontextualizaciones” de los conceptos
tratados en los marcos geométrico y algebraico le otorgan significatividad a la propuesta.
En la resolución de los problemas, se espera que aparezcan distintas estrategias derivadas del compromiso del
alumno con la situación planteada. También se deberán realizar puestas en común en las que se validen los
resultados, se detecten los errores, se analicen las distintas propuestas y representaciones que se hayan utilizado,
se elijan las más eficaces, se debatan las argumentaciones, se identifiquen los conocimientos puestos en juego,
etc. a fin de que esos conocimientos evolucionen en la totalidad del grupo de clase y converjan hacia el que se
quiere construir.
Por esto la apuesta es enseñar “en” y “para” el juego para que los niños y/o adolescentes vean facilitado su
trabajo, que se puedan modificar algunas de las dificultades que suelen surgir en el aprendizaje, con una última
finalidad: comprender y mejorar las prácticas de enseñanza.
Uso del material
El material preparado para esta propuesta taller consiste en un rompecabezas formado por doce pirámides rectas
de base cuadrada que poseen el largo , el ancho y la altura de igual longitud .Estas doce piezas forman cuatro
cubos que se apilan para obtener un paralelepípedo de base cuadrada y altura igual a la de cada una de las piezas
piramidales.
Para lograr el ensamble de las pirámides correspondientes a cada cubo se deben encontrar las partes que
constituyen cada uno de los dibujos internos.
Aquí se deben formar cuatro figuras imposibles que presentan seudo-simetrías ; cuatro pinturas de M. Escher que
presentan diferentas simetrías y , cuatro figuras formadas por palabras , dos ambigramas y dos palíndromos .
Al generar las seis posibles caras cuadradas del paralelepípedo se deben formar las seis ilustraciones que contiene
el cuento “El Patito Feo” (en el libro que acompaña al rompecabezas) que están todas dibujadas en base a
simetrías axiales, centrales, radiales o composiciones de ellas.
Cada cubo tiene en su interior imanes para que no se desprendan las pirámides y se puedan formar los dibujos
basados en simetrías y sus composiciones.
Página 85
Intenciones pedagógicas
Descubrir las simetrías y sus consecuencias en términos de sectores angulares y longitudes.
Entrenarse para poner de relieve elementos no materializados sobre la representación de una figura.
Diferenciar entre figura geométrica (abstracta) y su representación material.
Diferenciar perímetro de superficie.
Establecer relaciones parte-todo.
Calcular volúmenes.
Establecer relaciones entre volúmenes de distintos cuerpos.
Identificar figura-fondo.
24
Abstraer conceptos y relaciones.
Escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica en distintos portadores de texto.
Integrar el lenguaje propio del pensamiento visual.
Utilizar gráficos, esquemas y dibujos.
25
Facilitar la concentración, debido a la situación de juego.
Generar iniciativas y dejar de lado el aburrimiento.
Facilitar el intercambio con otros.
Placer al superar obstáculos.
Mayor tolerancia al error, esto evita frustraciones.
Diferenciar entre medio y fin, el proceso es más relevante que el resultado por alcanzar.
26
Anticipar funciones relevantes que le permiten realizar transformaciones para resolver el conflicto.
Respetar reglas impuestas por el grupo.
Potenciar el desarrollo general, haciendo hincapié en el desarrollo del lenguaje.
Implementacion
La versatilidad del material nos permite la utilización del mismo desde la sala de 4 (cuatro), del Nivel Inicial
hasta el último año de la E.S.B. (9º año).
Algunas sugerencias para el uso del material (cada docente establecerá el esquema que le convenga de acuerdo
con los conocimientos y dificultades de su grupo de alumnos).
NIVEL INICIAL 27
(Desde sala de 4) Posibilidad de construir un sólido por ensamblaje de otros sólidos
(Desde sala de 4) Análisis de las caras de los sólidos. (Figuras)
(Desde sala de 5) Buscar la mayor cantidad posible de ensamblajes.
24
Habilidades que se deben lograr en la enseñanza de los contenidos de geometría que enuncia José Villella , en “Uno ,dos ,tres …geometría
otra vez” (2001)
25
Beneficios del juego que destaca Bruner ( 1984) y menciona Aizencang en “Jugar ,aprender y enseñar” (2005)
26
Ventajas del juego mencionadas por Vigotsky (1988)
27
Algunas de estas son sugeridas por F Cerquetti (1994)
Página 86
(Todas las salas) Apilamientos libres
(Desde sala de 4) Formar las ilustraciones del cuento.
(Sala de 4 y sala de 5) Reconstrucción del cuento a partir de los dibujos formados en el rompecabezas.
(Desde sala de 4) Reconocer simetrías
(Desde sala de 4) Completar figuras de los interiores del rompecabezas.
(Desde sala de 4) Reconocer traslaciones.
(Desde sala de 5) Reconocer letras más comunes.
(Desde sala de 4) Contar y sumar.
(Desde sala de 5) Noción de tiempo a partir de los dibujos del cuento.
(Desde sala de 5) Noción de fracción. Reconocimiento de mitad (
si el grupo lo permite, ( 1 =
1
1
) y de cuarto ( ).Sugerir la equivalencia,
2
4
1 1 1
+ + ). (Cuidado con la forma de la pieza).
3 3 3
E.P.B. 28
PRIMER CICLO
(Desde 1º año) Reconocimiento de sólidos .Cubos y pirámides.
(Desde 1º año) Reconocer fracciones en un mismo cubo (
1
1
,
,
2
3
1
4
,
1
6
,
1
)
12
(Desde 1º año) Encontrar equivalencias de fracciones entre diferentes partes del rompecabezas.
(Desde 1º año) Identificar simetrías.
(Desde 1º año) Armar las figuras que ilustran el cuento.
(Desde 2º año)Leer el cuento.
(Desde 2º año) Encontrar las simetrías en los interiores de los cubos.
(Desde 3º año) Encontrar las simetrías en las palabras del interior de los cubos.
(Desde 3º año) Descubrir los palíndromos 29 del interior de los cubos.
(Desde 2º año) Intentar encontrar palabras que sean ambigramas 30 .
SEGUNDO CICLO
(Desde 4º año). Reconocer y clasificar las simetrías de las ilustraciones del cuento.
(Desde 4º año) Encontrar las rotaciones y las traslaciones de las ilustraciones del cuento.
(Desde5º año) Reconocer los teselados de los interiores de las pirámides.
(Desde 6º año) Reconocer las figuras imposibles de los interiores de las pirámides.
(Desde 6º año) Calcular volúmenes de los distintos sólidos.
28
Ideas surgidas revisando la propuesta curricular vigente para E.P.B. y E.S.B. , producidas por la Dirección General de Cultura y
Educación de la Pcia de Buenos Aires.
29
Palíndromos: frases escritas que se leen igual al derecho que al revés.
30
Ambigramas: son palabras o frases que tienen dos lecturas diferentes según la posición en la que se la mire. Uno de los grandes genios de
los ambigramas es Carlos Carpio Hernández.
Página 87
(Desde 5º año) Reconocer las propiedades de los sólidos que forman el rompecabezas
E.S.B
(Desde 7º año). Comenzar el trabajo de proporcionalidad.
(Desde 7º año). Establecer relaciones entre las superficies de las distintas figuras.
(Desde 8º año) Encontrar el valor exacto de las longitudes de los sólidos que forman el rompecabezas.
(Desde 8º año) Reconocimiento de la existencia del número irracional.
(Desde 7º año). Encontrar las figuras simétricas.
(Desde 8º año) Realizar el desarrollo de las pirámides.
(Desde 7º año) Calcular los volúmenes de los distintos sólidos que forman el rompecabezas.
(Desde 8º año) Intentar la construcción de las figuras imposibles: Uso de Cabri Géomètre II Plus.
(Desde 7º año) Realizar otras ilustraciones para el cuento.
El material
El material que se sugiere puede ser construido por lo mismos niños y/o adolescentes, ya que constituye en sí
mismo un problema no convencional que exige la puesta en marcha de habilidades manuales y destrezas en el uso
de herramientas, (estos aspectos han dejado de ser tenidos en cuenta en estas últimas modificaciones de la
enseñanza básica). Se tuvo en cuenta que los materiales pudieran ser económicos y posibles de construir en
cualquier contexto social, no por desconocer u oponerse a las nuevas tecnologías, sino para presentar opciones
que alternen su uso. 31
Con este rompecabezas, el número racional se trabaja desde lo visual buscando una fuerte reflexión sobre las
relaciones parte-todo y parte-parte en un todo continuo. Para profundizar se calculan áreas y perímetros, apelando
a propiedades y teoremas para iniciar la formalización.
La experimentación con el material lleva a las propiedades de las figuras, esto le dará significatividad a los
resultados y a la necesidad de ordenar datos para obtener representaciones claras de las medidas.
Se pueden generar la idea de volumen, con la posibilidad de deducir cómo encontrar su valor numérico a partir
de la idea de “ensamblar”.
La existencia de figuras que resultan imposibles permite la introducción de la necesidad de la construcción con
regla y compás y /o el uso de un software del tipo Cabri para establecer la validez de lo visual.
Este material deja un total margen de libertad al docente para que de acuerdo con sus capacidades, gustos y/o
estilos decida como, cuando y para que utilizarlo, solo pretende ser el comienzo de vivencias diferentes, de
expresiones enriquecedoras que hagan más apasionante la clase de matemática.
El uso de la imagen, tan popular en los medios de comunicación actuales, será necesaria para lograr el
entendimiento con miras a un aprendizaje más directo.
El uso de un cuento como base de todo el rompecabezas tiene su fundamento en la utilización de diferentes
lenguajes par describir y explicar un mismo concepto.
31
Sugerencias que realiza S. Ricotti (2005)
Página 88
Los diseños
Vista de las tres pirámides
rectangulares con base cuadrada
Desarrollo de la pirámide
Cubo terminado (tres
pirámides ensambladas)
Comentarios finales
Si se busca educar para aprender a pensar por sí mismo .Si el pensamiento es co-disciplinar .Si la integración no
se da por los temas sino por la actitud. Si no depende solo de los contenidos, si sólo cuentan los objetivos, por
que no abordar la matemática desde un relato que nos posibilite la interpretación del mismo.
Si se reconoce que el mundo del pensamiento es inabarcable
y que, las preguntas, las opiniones, los
conocimientos, las valoraciones, los deseos,… todo forma parte de los pensamientos. Entonces comparando, se
pueden establecer relaciones
que permitirán descubrir afinidades
y estas conducirán a que los alumnos
establezcan juicios .Esto es razonar.
El alumno debe actuar, teniendo en cuenta los conocimientos que le ofrecen su saber, su pensar y su conocer.
Debe reflexionar y comprender para perfeccionar su accionar sobre la realidad.
Un pensamiento bien formado es el que relaciona, buscando conectivos, tejiendo una trama para llegar al
razonamiento correcto. Esto permite superar las fronteras interdisciplinarias para encontrar puentes que se
transformen en los principios unificadores del conocimiento. Por esto es que se deben articular los diversos
saberes con el fin de lograr una integración que conduzca a la educación del pensamiento.
El desafío consiste en lograr que los alumnos logren la capacidad para manejar las herramientas intelectuales
básicas .Las operaciones
del pensamiento son fundamentales para el proceso del lenguaje
que nombra,
denomina, fija en palabras la realidad.
El conocimiento humano se unifica, se integra a través de conductas operativas de la inteligencia y se divide
según contenidos. Para lograr la unidad de los distintos aprendizajes se deben lograr hábitos de indagación
reflexiva.
Como aprender a pensar es aprender a vivir, a vivir conociendo, que es vivir más intensamente, la propuesta de
partir desde un cuento autobiográfico que tiene un mensaje muy particular, aplicable para que los niños y/o
adolescentes actuales vean que deben en todo momento respetar a cada uno ya que la aventura del conocimiento
es una experiencia personal. Que se debe “aprender a ser” no a parecer. Que cada uno posee diferentes formas
para acceder a los conocimientos, ya sea en términos de sus intereses, estilos e historias de aprendizaje, y que
entonces se vuelve necesario atender a la necesidad propia de cada uno.
Página 89
La propuesta de jugar se basó en ver en el juego una situación privilegiada de interacción con otros, un escenario
propicio para promover la creatividad y la reflexión, que facilita la atención de las diferencias presentes en las
aulas y amplía las posibilidades de responder a las necesidades de los alumnos.
El juego constituye un motivo de exploración e invención en sí mismo. Aprender y jugar no se oponen en
tiempos y espacios diferentes, se entrelazan y sustentan mutuamente.
El aprendizaje puede ser creatividad, placer en la acción y en el pensamiento, junto con el juego coinciden en la
“zona de ilusión” (Winnicott, 1990). El aprendizaje es vivencia, compromete al cuerpo, el pensamiento y la
afectividad. El aprendizaje es un proceso de ida y vuelta, movimiento y búsqueda, a veces infructuosa y fallida y
aún así enriquecedora .
Se debe aspirar a que alguna vez se entienda que la matemática tiene tanto de narración y relato como de
cálculos y fórmulas y que se parece mucho a lo que ocurre en nuestra vida diaria, por eso desearía que los
alumnos nos digan:
“Gracias, por permitirnos el asombro y la curiosidad porque asombrarse es la esencia de la vida”
Aizencang, N. (2005). Jugar, aprender y enseñar. Bs. As: Manantial.
Baquero, R. (2001).Introducción a la psicología del aprendizaje escolar. Bs. As: Universidad Nacional de
Quilmes.
Beltrán, J y otros. (1993).Intervención psicopedagógica. Madrid: Pirámide.
Bixio, C. (2006). ¿Chicos aburridos? El problema de la motivación en el aula. Rosario: Homo Sapiens
Cerquetti-Aberkane, F. (1994).Enseñar Matemática en el Nivel Inicial. Bs. As: Edicial.
Cerquetti-Aberkane, F. (1994).Enseñar Matemática en los Primeros Ciclos. Bs. As: Edicial.
Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 1º Parte .La Plata:
Subsecretaría de Educación. DGCyE.
Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 2º Parte .La Plata:
Subsecretaría de Educación. DGCyE.
Edelstein, G. (1995).Imágenes e Imaginación .Iniciación a la Docencia. Bs.As: Kapelusz.
Gómez, J. (2002). De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Paidos.
Palacios, A. (1999).Interdisciplina para armar. Bs.As: Magisterio del Río de la Plata.
Palacios, A. (2005).Cartesianamente. Bs.As: Lumen
Ricotti, S. (2005).Juegos y problemas para construir ideas matemáticas.Bs. As: Novedades Educativas.
Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Bs.As: Libros del Zorzal.
Vergnaud, G. (1997).Aprendizajes y didácticas: ¿qué hay de nuevo? Bs.As: Edicial
Villella, J. (2001).Uno, dos, tres…geometría otra vez. Bs.As: Aique
Winnicott, D. (2001).Realidad y Juego. Barcelona: Gedisa
Página 90
LAS PRIMERAS PRÁCTICAS DOCENTES DE LOS ESTUDIANTES DEL
PROFESORADO DE MATEMÁTICA
Liliana Homilka, Cecilia Crespo Crespo, Javier Lezama, Patricia Lestón
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” –Buenos Aires – Argentina
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología de Avanzada – México D. F. – México
Nivel superior
Palabras claves: Profesor, residencia, didáctica, practicante
Resumen
Este trabajo presenta los resultados de una investigación en la que se evidencian los recursos con los cuales los
estudiantes de profesorado realizan sus primeras prácticas docentes.
Durante la residencia se ha observado que algunos practicantes en ocasiones proyectan en sus clases la modalidad
de enseñanza que utilizan los docentes del profesorado, no pueden distinguir la naturaleza de la matemática
superior de la de la escuela media. En la planificación de la clase, realizan una transposición en base a la
emoción, es decir que repite en el aula todo aquello que le ha servido cuando era estudiante de la escuela
secundaria.
Con el propósito de establecer si existe proyección de la clase del profesorado a la de escuela media se han
entrevistado a cuatro practicantes y se les ha pedido que caractericen aquellos aspectos que consideran que se
vinculan o relacionan con lo que se hace en las clases del profesorado y de la escuela secundaria.
Del análisis de las entrevistas se pone de manifiesto, la relación profesorado escuela secundaria, y los modelos
docentes que en ambas instituciones se presentan. En algunos casos, el entrevistado considera que en el
profesorado no reciben una formación didáctica suficiente que les permita unificar los conocimientos y las ideas
que en él se comunican no responden a la realidad del aula del nivel medio.
Introducción
Este trabajo presenta los resultados de una investigación en la que se evidencian los recursos con los cuales los
estudiantes de profesorado realizan sus primeras prácticas docentes.
Durante la residencia se ha observado que algunos practicantes en ocasiones proyectan en sus clases la modalidad
de enseñanza que utilizan los docentes del profesorado, no pueden distinguir la naturaleza de la matemática
superior de la de la escuela media. En la planificación de la clase, realizan una transposición en base a la
emoción, es decir que repite en el aula todo aquello que le ha servido cuando era estudiante de la escuela
secundaria. Esto nos ha llevado a reflexionar acerca de cómo es su formación y porqué estructuran un sentido, un
significado, una visión parcializada de la matemática que tienen que enseñar y de la profesión que practicará.
Planteo del problema y marco teórico
Los principales problemas que se presentan en la residencia
El fenómeno de la residencia presenta diferentes problemas, los que se originan a partir de la relación entre dos
instituciones diferentes, el profesorado con la escuela media, ambas presentan características distintas por su
historia, fines y funciones (Homilka, 2008). Las relaciones entre ellas se dan a nivel superestructural, no hay un
trabajo sistematizado de integración y de retroalimentación institucionalmente manifiesto, no existen mecanismos
institucionales para compartir y discutir las problemáticas que le son comunes. El profesorado debería considerar
la importancia de esta relación dado que su función formadora está directamente orientada en función de las
Página 91
necesidades de la enseñanza secundaria (Diseño Curricular, 2005). Lo que en realidad ocurre es que ese vínculo
está dado por la relación personal entre colegas o entre el Profesor de profesorado y directivos de algunos
establecimientos educativos municipales, relación que está enmarcada en el aspecto laboral de unos pocos o
simplemente de compañerismo, perdiéndose entonces la posibilidad de un trabajo académico institucionalizado.
También, se producen interacciones entre docentes que poseen distinta formación y actualización, diferentes
visiones acerca de la matemática y su didáctica. Esto hace que se presente una variabilidad de situaciones,
contextos, culturas, lo que determina la necesidad de reconocer y respetar la diversidad (Crespo Crespo, 2007).
Pero a su vez, hace que la residencia se constituya en un espacio de diálogo entre pares en donde se delibere, se
reflexione sobre problemáticas comunes, se compartan y construyan nuevos conocimientos acerca de la
enseñanza-aprendizaje de la matemática del nivel medio.
En la práctica, algunas veces, este espacio se constituye en un conflicto para los participantes dado que no
siempre se tiene la misma intencionalidad didáctica, la misma visión de la realidad. Se debe tener en cuenta los
sentidos que se construyen de este espacio y que es necesario que cada individuo los pueda flexibilizar en función
de retomar el trabajo en torno al conocimiento matemático a enseñar y al enseñado.
Por otro lado, se ha heredado una creencia de que la residencia tiene un fuerte componente evaluativo:
- Para algunos estudiantes es un espacio en el que deben mostrar lo que saben de matemática, sólo les interesa la
acreditación de la materia. Para otros es lograr la aceptación de los alumnos de la escuela secundaria, de modo
que su desempeño como docente no se vea alterado por problemas que no saben dominar y poder cumplir de la
mejor manera con los requerimientos establecidos por el Profesor de secundaria y el de prácticas, este último es
quien lo califica. Para unos pocos, consiste en el momento de evaluar su propio saber, lo que los lleva a buscar y
evaluar posibles líneas de acción para continuar con su formación profesional.
- Para algunos Profesores de escuela media significa una evaluación por parte de quienes aún no son docentes y
no cuentan con la suficiente experiencia como para criticar su desempeño o por parte de colegas que están muy
alejados de la realidad del aula, los que no viven las dificultades que hoy en día se presentan en la escuela y
especialmente las que se plantean en las clases de matemática.
- Para el profesor de profesorado también significa una evaluación de su desempeño por parte de los Futuros
docentes dado que en situaciones inciertas el profesor debe orientarlo y no siempre se es coherente en ello o no se
manifiestan conocimientos sólidos para poder enfrentarlas.
Por lo que dicha creencia impide contemplar algunos factores que condicionan los procesos de adquisición,
reproducción, negociación, resistencia, intercambio, institucionalización del conocimiento matemático a enseñar
y a aprender.
Como lo plantea Edelstein hay que:
“admitir que constituye un momento privilegiado para compartir y para construir
conocimientos ligados a las prácticas profesionales que no se puede perder. Eso significa
apostar por la especificidad formativa de dichos espacios.”
(Edelstein, 2003, p. 82)
Página 92
Además, se debe contemplar el papel que el docente le asigna a la observación de clases, situación que genera en
ellos diferentes significaciones. Algunos interpretan que el ser observado por otros es una supervisión, un control
de su actividad. Otros en cambio, la consideran como un hecho natural que se da para que el practicante pueda
conocer y comprender lo que ocurre actualmente en las aulas con los alumnos de la escuela media
El momento de la observación tiene que centrarse en el conocimiento práctico y teórico de la didáctica. Edelstein
señala que:
“La observación tiene que pasar a ser entendida como un medio para obtener información y
como proceso para producir conocimientos, en el que el profesor marca momentos y apuesta
por concretar desde una posición de ayuda las mejores producciones posibles en cada
situación. Se trata de un desplazamiento impostergable, de girar el foco de atención de la
observación-calificación a la construcción de conocimientos acerca de las prácticas de la
enseñanza.”
(Edelstein, 2003, p. 83)
Además de las ideas anteriores, se considera necesario contemplar el trabajo de Lezama (2005, 2006, 2007)
acerca de las características del nuevo profesor que se requiere en la actualidad desde la aproximación
socioepistemológica, dado que éste es fundamental en el proceso formativo porque históricamente desempeñó un
papel muy importante en la educación matemática. A lo largo de la misma, ha sido un factor determinante del
discurso matemático escolar. Si se transforma en un profesional flexible, adaptable y actualizado, si su profesión
se basa sobre una didáctica nueva y no en su experiencia podrá rediseñar el discurso matemático escolar vigente.
La experimentación
Con el propósito de establecer si existe proyección de la clase del profesorado a la de escuela media se han
entrevistado a cuatro practicantes, para conocer sus visiones a partir de sus vivencias, experiencias, necesidades
que se le han presentado en su tránsito por la escuela media desempeñándose como docente, de modo de
comprender e inferir algunos de los factores que tienen implicaciones formativas y que influyen o que son
determinantes en la construcción de la profesión. Por lo cual, se les ha pedido que caractericen aquellos aspectos
que consideran que se vinculan o relacionan con lo que se hace en las clases del profesorado y de la escuela
secundaria.
Resultados y análisis
La entrevistada A en función de sus primeras prácticas docentes realizadas comenta que no ha transferido
conocimientos unificados en el momento de estar frente a un curso de la escuela secundaria, al respecto dice:
“No se proyecta nada, ni los conocimientos pedagógicos, porque no te enseñan a dar clases, sólo
te salvan los contenidos disciplinares. La formación pedagógica general que posees, no se puede
aplicar en las prácticas, te encontrás con otra realidad en las aulas.”
Página 93
Por lo que se puede inferir que en el profesorado la profesión se construye sobre la base de los contenidos que
están presentes en el eje disciplinar.
“Las personas no nacen sabiendo enseñar. Como alumno te enseñan procedimientos, ya los se,
entonces no voy a tener problemas al dar clases, pero te encontrás que hay gente que no puede
aprender esos procedimientos, no los puede retener. Entonces qué se hace, ves de explicarlo de
diversas formas, si no da resultado consultás con un profesor, con otro, y nuevamente otro
escollo.”
Se encontró con otra realidad en la escuela media, no sólo es practicar para aprender, la memoria no siempre
ayuda a aplicar procedimientos matemáticos en las clases, ahora hay un alumno distinto en la escuela, la
experiencia de otros docentes no alcanza, esto también es una dificultad. La experiencia realizada, la lleva a
manifestar:
“Pienso que debe haber otra forma de transmisión, ampliar el horizonte de herramientas, no es
sólo imaginación, esto no alcanza, ni te alcanza lo que sabés de matemática, ni las cualidades
personales del docente ni las del alumno. El profesorado no te prepara para enseñar, y eso se debe
aprender también.”
Ha pasado mucho tiempo desde que abandonó la escuela secundaria, hay cambios en dicha institución, esto le
crea nuevas necesidades, que según su opinión el profesorado no contempla.
En cambio, la entrevistada B manifiesta:
“Esa proyección existe, pero es relativa e inevitable porque cuando uno ejerce la docencia, de
alguna manera, somos el reflejo de nuestras experiencias vividas, tanto en el profesorado como en
nuestra formación secundaria.”
La actividad del profesor es una actividad humana, por lo tanto las experiencias en ambos niveles de formación
van moldeando su visión. Pero, ¿qué papel cumple el conocimiento en la construcción del ser docente? ¿Podemos
hablar de una visión estática cuando la realidad es cambiante?
“Uno toma modelos que luego reproduce en sus clases; si la experiencia fue mala, intenta nunca
reproducirlas, en cambio, si la experiencia fue buena las recrea y las adapta a su realidad
escolar.”
Se puede llegar a inferir de sus comentarios que si fue bueno para ella, entonces recrea en el aula lo positivo, lo
que le fue útil, para determinar con que criterio lo adapta, se cree necesario contar con más evidencias al respecto.
Lo cierto es, que plantea la relación explicita que se da entre profesorado y escuela media y entre modelo docente
observado como alumno y modelo docente que se reproduce cuando se es profesor. Lo que está reflejando la
influencia que tiene la practica docente sobre la visión del estudiante.
Página 94
“Si las clases de los docentes de nivel medio, en general, son expositivas es porque su formación docente
fue expositiva. De lo contrario, no tendría porqué suceder.”
La entrevistada C, argumenta que:
“Lo que se hace en el profesorado no se hace en la escuela media, los contenidos si se trasladan, algunos,
por ejemplo, Geometría I se trasladan, los de geometría métrica figuran en los programas del secundario,
están de ahí, que se den es otra cosa. A nivel primario los maestros no saben mucha matemática, menos
geometría, por eso no se enseñan esos temas, algunos consideran que es perder tiempo.”
De lo que se puede inferir, que la transferencia sólo se da si se conoce la matemática, lo cual es cierto, pero, es en
el profesorado, donde el rigor matemático está presente. Hace referencia a aspectos metodológicos:
“En Taller de Matemática se utilizan las mismas actividades que en la secundaria; algunos temas como
trigonometría, vectores, no se profundizaban en el profesorado.”
Distingue al alumno del estudiante:
“Los profesores del profesorado no tienen la misma actitud que en la escuela secundaria frente a los
alumnos, el estudiante está en el profesorado porque quiere ser profesor, en la escuela el alumno está por
obligación.”
Por ultimo, el siguiente comentario:
“En el profesorado hay más resolución de problema, es allí donde se muestra una matemática un poco
diferente. En ambos casos el alumno adquiere los conocimientos pero es en el profesorado donde se
aprende a pensar.”
También nos hace pensar que su visión está influenciada sólo en la matemática y que en el escenario institucional
la profesión se construye fundamentalmente sobre la base del eje disciplinar.
La entrevistada D hace un interesante comentario:
“Pasar de las clases de matemática de la secundaria a las del profesorado es muy traumático, porque
estás acostumbrado a una matemática más light, en el profesorado te hacen ver otra matemática, más
interesante, otra forma de encarar su estudio, te plantean la necesidad de analizar diferentes caminos.”
Para ella, el transitar de un nivel educativo a otro, está signado por la dificultad que presenta la ciencia
matemática, su forma de estudiarla.
“Pasar de las clases del profesorado a ver las clases de la escuela media es también traumático, porque te
das cuenta que es aún más light la matemática que se hace en las aulas en los diferentes años de la
escuela. El alumno está sentado, intenta hacer algo y son muy pocos los alumnos que pueden seguir al
profesor, no entienden lo que hacen, ni para que les sirve, es como que están resignados y sufren la
materia.”
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Su opinión acerca de lo que encuentra en la escuela media, luego de algunos años, no tantos, ya que es la más
joven de todas las entrevistadas, nos muestra que en la actualidad, la matemática que se hace en el aula es aún
más recortada, más alejada de los alumnos y de la escuela. Establece que el trabajo docente es similar en ambos
niveles, lo que se infiere de lo siguiente:
“En realidad creo que hay proyección en el sentido de que en ambas instituciones el docente trabaja con
el grupo de los mejores alumnos, algunas actividades que realizás en el profesorado también se repiten en
la secundaria, quizá, aquí se repite más veces el mismo tipo de actividad.”
Es decir que por un lado, en el nivel medio, el hecho de que el profesor haga todo más fácil, no resuelve los
problemas que se presentan hoy en la clase, en muchos casos, la naturaleza de la matemática del profesorado es
similar a la de la escuela, por lo que en esta ultima se hace necesario repetir y repetir las actividades.
Comentarios finales
Se manifiestan diferentes formas de mirar la existencia o no, de diversos aspectos que proyectan docentes y
estudiantes en las clases de matemática de la escuela media, los que se resumen en:
La entrevistada A plantea que no se establece una proyección desde el profesorado hacia la clase de la escuela
secundaria, porque no se brindan las herramientas teóricas para enseñar matemática, señala explícitamente que
profesor no se “nace”, se debe “aprender” a ser docente. Lo que está considerado es que le ha sido insuficiente la
formación didáctica recibida.
La entrevistada B sostiene que hay proyección de la clase del profesorado hacia la escuela media debido a la
experiencia que ha tenido cada uno en ambos niveles educativos y es lo determinante en su desempeño como
docente, se reproducen los modelos con los que se siente identificado, no contempla posibilidad de cambio de la
realidad, ni la idea de formación continua que debe tener como profesional.
La entrevistada C considera que existe relación entre algunos contenidos, pero que el tratamiento es diferente en
ambas instituciones, que en el nivel medio, se pierde una de las características de la matemática escolar que es la
de aprender a pensar. Se focaliza en la naturaleza de la matemática que se hace en una u otra institución y en las
motivaciones e intenciones de sus destinatarios por aprenderla.
La entrevistada D señala que en las clases del profesorado se le plantean necesidades al estudiante que en el nivel
medio no se le presentan. Su visión es que es mayor el deterioro en la enseñanza y en los aprendizajes que se
observan en el secundario, la distancia entre lo que se enseña y lo que se aprende es grande. Señala una
coincidencia en la forma en que se relaciona el docente con los alumnos: sólo con aquellos que los pueden seguir.
Se aprecian diferentes concepciones acerca de la construcción de la profesión, para A es necesaria una formación
docente que contemple los aspectos matemáticos y didácticos porque se aprende a ser profesor.
Para la entrevistada B la profesión se construye en base a la experiencia y a las influencias de los modelos
docentes con los que se ha relacionado y con los que ha tenido éxito. Ser profesor consiste en reproducir esos
modelos, sin contemplar que toda profesión evoluciona en función de las necesidades que demanda la sociedad.
Página 96
Además, se identifica una desnaturalización de la matemática que se hace en la escuela secundaria, no contribuye
al desarrollo del pensamiento ni se le plantea al alumno la necesidad de estudiarla. Todo esto, esta indicando que
en el profesorado, se le da mayor peso a la formación disciplinar centrada solo en la matemática, el rol que se le
otorga a la experiencia personal o de conjunto en el aula de matemática, en función de las vivencias que cada uno
a sintetizado a partir de las influencias formativas, especialmente por aquellas que provienen de las acciones de
los docentes del profesorado. ¿Se está reclamando una didáctica actualizada? Un trabajo que contemple los
problemas reales que hoy se presentan en la clase.
Todo lo hasta aquí planteado, pone de manifiesto, la relación profesorado escuela secundaria, y los modelos
docentes que en ambas instituciones se presentan. La clase de matemática en el profesorado no los lleva a
unificar los conocimientos y las ideas que en ella se comunican no responden a la realidad del aula del nivel
medio; no alcanza para cambiarla, con la experiencia de los profesores y estudiantes. No se observa que en el
profesorado se sinteticen las mismas. Esto nos lleva a pensar que es importante que en la institución se realicen
investigaciones para que contemos con mas elementos para reflexionar acerca de la formación que se esta
impartiendo de modo de continuar mejorándola.
Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la socioepistemología. Tesis de
doctorado sin publicar. CICATA-IPN, México.
Diseño Curricular. (2005, junio 6). Diseño Curricular para la formación en matemática. (1174). En el Instituto
Superior del Profesorado "Dr. Joaquín V. González". Buenos Aires, Argentina.
Edelstein, G. (2003). Prácticas y residencias: memorias, experiencias, horizontes... Revista Iberoamericana de
Educación. Nº 33, pp. 71-89.
Homilka, L. (2008). Influencia de las prácticas docentes en la visión de estudiantes y profesores de matemática
acerca de la matemática en el aula y las decisiones didácticas. Tesis de Maestría en Matemática Educativa sin
publicar. Cicata-IPN, México.
Lezama, J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la reproducibilidad. Revista
Latinoamericana de Matemática Educativa 8(3), 339-362.
Lezama, J. (2006, octubre). Hacia un modelo del profesor desde la perspectiva socioepistemologica. En el
Instituto Superior del Profesorado "Dr. Joaquín V. González". Buenos Aires, Argentina.
Lezama, J. (2007, octubre). Una mirada a la investigación en el campo académico de la Matemática educativa
en América Latina. V Congreso Virtual de Enseñanza de las Matemáticas.
Página 97
MATEMÁTICA Y LITERATURA
Irene Zapico , Silvia Tajeyan
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” – Ciudad de Buenos Aires - Argentina
[email protected] – [email protected]
Niveles Medio y Terciario
Palabras clave: Matemática - Literatura – Poesía – Prosa
Resumen
“El verdadero matemático es poeta”, afirma Carl Weierstrass, matemático alemán del siglo XIX, refiriéndose a la
obra del gran matemático noruego Neils Abel (1802 - 1829) y más adelante agrega: “Los mejores trabajos de
Abel son poemas líricos, de una belleza sublime, en donde la perfección de la forma deja transparentar la
profundidad del pensamiento, a la vez que llena la imaginación de cuadros de ensueño sacados de un mundo de
ideas aparte, por encima de la trivialidad de la vida y más directamente emanados del alma misma que todo lo
que haya podido producir ningún poeta en el sentido ordinario de la palabra…” (Vera, 1961, p. 74 )
Esta apreciación de un matemático de renombre sobre la obra de otro famoso matemático puede resultar extraña a
quienes son ajenos a esta ciencia, sin embargo, la imaginación y la creatividad son características propias tanto de
los artistas como de los matemáticos. Existen múltiples relaciones entre distintas ramas del Arte y muchos
conceptos matemáticos.
Hubo (y hay) matemáticos que se sintieron atraídos por la literatura, al punto de incursionar exitosamente en ella.
Por otro lado existen, en el campo estrictamente literario, creadores que han amado la Matemática, la han
estudiado, le han dado un lugar en sus obras.
Las relaciones entre la matemática y la literatura han sido uno de nuestros temas de investigación, en el equipo que
integramos y depende del ISP Dr. JVGonzález; las hemos buscado y diseñado actividades para el aula en base a
ellas.
En esta Comunicación presentamos una breve síntesis y un par de ejemplos de lo realizado.
Introducción
“El verdadero matemático es poeta”, afirma Carl Weierstrass, matemático alemán del siglo XIX, refiriéndose a la
obra del gran matemático noruego Neils Abel (1802 - 1829) y más adelante agrega: “Los mejores trabajos de Abel
son poemas líricos, de una belleza sublime, en donde la perfección de la forma deja transparentar la profundidad
del pensamiento, a la vez que llena la imaginación de cuadros de ensueño sacados de un mundo de ideas aparte, por
encima de la trivialidad de la vida y más directamente emanados del alma misma que todo lo que haya podido
producir ningún poeta en el sentido ordinario de la palabra…” (Vera, 1961, p. 74)
Esta apreciación de un matemático de renombre sobre la obra de otro famoso matemático puede resultar extraña a
quienes son ajenos a esta ciencia, sin embargo, la imaginación y la creatividad son características propias tanto de
los artistas como de los matemáticos. Existen múltiples relaciones entre distintas ramas del Arte y muchos
conceptos matemáticos.
Hubo (y hay) matemáticos que se sintieron atraídos por la literatura, al punto de incursionar exitosamente en ella.
Nuestro compatriota Guillermo Martínez (por ejemplo) es autor de espléndidos cuentos y novelas, entre éstas:
Acerca de Roderer, La mujer del maestro y Crímenes Imperceptibles (Premio Planeta 2003) que han sido
publicadas por la prestigiosa Editorial Planeta recientemente y han alcanzado la lista de best sellers. En ellas hay
una “presencia matemática” a partir de personajes que se dedican a esta ciencia. También Guillermo Martínez es
autor de “Borges y la Matemática”, libro que consta de una serie de artículos que ponen de manifiesto, en la obra
de este magnífico autor, la presencia de algunos temas matemáticos que siempre le interesaron.
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Guillermo Martínez nació en Bahía Blanca en 1962 y es Doctor en Matemática.
El Dr. Oscar Varsavsky, quien fue profesor titular del Departamento de Matemática de la UBA, firmaba como
“Abel Asquini - escritor argentino” una serie de cuentos cortos que, en clave de comedia, narran crímenes fallidos
que se intentan en un laboratorio de investigaciones; estos cuentos aparecieron en la primera revista de ciencia
ficción argentina: Más Allá, entre 1953 y 1957.
El escritor y matemático francés Raymond Queneau (Le Havre, 1903 - París, 1976) es otro ejemplo, muy
interesante, entre quienes se dedicaron a ambas áreas. Su universo literario está construido con grandes dosis de
humor inteligente e ironía, que a veces roza el absurdo, como en Zazie en el metro (1959) su obra más difundida;
por otro lado, como matemático, trabajó en el grupo Nicolás Bourbaki.
También hay quienes, desde la Matemática, orientan su talento hacia la divulgación científica y la Matemática
Recreativa, transformándose en autores de verdaderas piezas literarias en las que aparecen interesantes personajes y
argumentos. Se encuentran, entre ellos, Yakov Perelman, Martin Gardner, Malba Tahan, Raymond Smullyan y
Jean Pierre Alem.
“El hombre que calculaba”, por ejemplo, puede ser considerada una “novela matemática”, pues las andanzas de
sus personajes despiertan tanto interés como los problemas que resuelven.
Por otro lado existen, en el campo estrictamente literario, creadores que han amado la Matemática, la han
estudiado, le han dado un lugar en sus obras. Entre quienes la amaron porque la conocieron se encuentra el poeta
francés Paul Valéry; entre quienes también le dieron un lugar en sus obras: Edgar A. Poe, Antonio Machado, Jorge
Luis Borges,...
Bertrand Russell es otro ejemplo de esta dualidad matemático-literaria, su obra como lógico- matemático es de
fundamental importancia y fue Premio Nobel de Literatura en 1950.
Para nombrar ejemplos más recientes, tomemos “El Código Da Vinci”, de Dan Brown, cuya primera edición es del
año 2003 y ha resultado un best-seller mundial. En él se teje una trama de intrigas y misterio a partir del mensaje en
clave que deja el curador del Museo del Louvre, antes de morir asesinado... en esa clave aparece la Sucesión de
Fibonacci y, en uno de los primeros capítulos, otro de los protagonistas ilustra ampliamente al lector sobre el
Número de Oro y la Proporción Áurea.
Apóstolos Dioxadis, matemático griego de nuestros días, es el autor de “El tío Petros y la conjetura de Goldbach”
(primera edición griega: 1992; en español: mayo de 2000) Con esta obra, según Miguel de Guzmán, “la
Matemática ingresa a la novela”; el conflicto del “Tío Petros” es matemático.
“El último Teorema de Fermat”, de Simon Singh (primera edición inglesa: 1997) cubre ampliamente todos los
aspectos de este famosísimo Teorema, incluyendo su demostración realizada, en 1993, por el matemático inglés
Andrew Wiles.
Para finalizar esta breve, y muy incompleta, reseña de autores que han incursionado en la Matemática y en la
Literatura, recordemos a Charles Dodgson, profesor de Matemática y Lógica, que bajo el seudónimo de Lewis
Carroll nos legó sus deliciosas Obras: “Alicia en el país de las Maravillas” y “Alicia a través del espejo”.
Página 99
Tanto los poetas y novelistas como los matemáticos desarrollan su actividad intelectual, su talento, su imaginación,
capacidad creadora e intuición; no debe extrañarnos, entonces, que una misma persona tenga las condiciones
necesarias para interesarse en ambas actividades.
Nuestra propuesta es tomar obras literarias (o fragmentos de ellas) convenientemente elegidas y llevarlas a la clase
de Matemática.
Seguramente algunos alumnos, a los que el lenguaje algebraico desconcierta, se sentirán más cómodos y seguros
leyendo un cuento de Borges o de Kafka.
Los atractivos que la Literatura ofrece son diferentes a los que ofrece nuestra materia, intentamos despertar el
interés de los chicos hacia la lectura... y hacia la Matemática.
A continuación damos dos ejemplos de lo que estamos diciendo.
Poesía: Miguel de Unamuno
Miguel de Unamuno y Jugo, tal su nombre, es reconocido como ensayista, dramaturgo, novelista, poeta, y
pensador. Nació en Bilbao, España, en 1864 y murió en Salamanca en 1936.
Estudió Filosofía y Letras en Madrid, pero residió una buena parte de su vida en Salamanca, donde fue Rector de
la Universidad del mismo nombre, desde 1901 hasta 1924; esta actividad la desarrolló con interrupciones, debido
a destituciones y contratiempos políticos, volviendo a este honorable cargo académico en 1931, hasta el
comienzo de la Guerra Civil Española.
En su destierro vivió en París, Francia, cultivando la poesía y logrando, además, una gran popularidad
internacional, pero con la mirada nostálgica puesta en su España. Al regresar La República le devolvió, en 1931,
el rectorado y su cátedra de historia de la lengua española y continuó su vida de intensa actividad intelectual.
Poseía una cultura muy amplia, conocía lenguas y literaturas modernas y antiguas y le interesaba la filología.
En las obras de Unamuno se refleja una fuerte preocupación filosófica, se refleja su angustia por la división entre
lo ideal y lo real, entre el corazón y la razón, pues había perdido su fe católica en su juventud y aparecen dos
grandes temas: el problema de España y el sentido de la vida humana.
Unamuno es uno de los escritores más importantes del grupo llamado la
"Generación del 98", quienes se preocupaban por el futuro de España ante el
mundo moderno, pues en ese año España perdía las últimas colonias
ultramarinas.
En sus obras empleó un lenguaje sin adornos, esencial para transmitir sus
ideas, con un estilo que le permitiera expresarlas, para lograr lo que él llamaba
"una lengua seca, precisa, rápida, sin tejido conjuntivo", con personajes casi
carentes de descripción física, porque lo que los define es la lucha interior.
Las obras literarias de Unamuno no son fáciles de categorizar en poesía,
drama, ensayo, o novela; al escribir “Niebla” (1914), él mismo la clasificó de "nívola" en vez de "novela" con el
siguiente argumento: "Invento el género e inventar un género no es más que darle un nombre nuevo, y le doy las
leyes que me placen".
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Entre sus novelas están “Abel Sánchez” (1917), "San Manuel Bueno, mártir” (1931), las obras de teatro “La
venda” (1899), “Fedra” (1910), “El otro” (1926), y “El hermano Juan” (1929), en cuanto a poesías “El Cristo de
Velásquez” (1917) “Teresa" (1923). En el género de ensayos su primera obra fue “En torno al casticismo”
(1891), “Del sentimiento trágico de la vida en los hombres y en los pueblos” (1913). Otras de sus obras
reconocidas son “La Tía Tula” (1921) y “Cancionero. Diario poético” (publicado póstumamente en 1953).
Su postura ante las fuerzas franquistas provocó su destitución del rectorado y sufrió arresto domiciliario. Murió
repentinamente el 31 de diciembre de 1936 inconforme y disidente de todos los bandos, lleno de fe en España, en
la libertad y el valor de la palabra y la inteligencia.
CANCIONERO 225
(a + b)2 = a2 + 2a b + b2
Se casaron a y b, y sus dos cuartos
ya cuadrados al ir a juntar
traspasados en flecha amorosa,
norte a sur, por común diagonal,
construyeron la casa y se hallaron
con dos amplias alcobas de más.
Dos mellizos, a-b, sus dos hijos
le llenaron el hueco al hogar
y quedóse cuadrada la casa
por la regla de multiplicar.
De: “Cancionero. Diario poético” (publicado póstumamente en 1953).
Sugerencias para el aula
1) Investigar sobre la vida y obra de Miguel de Unamuno y elaborar una breve biografía que contenga referencias
a sus obras.
2) ¿Qué conceptos matemáticos incluye el autor en este poema?
3) Explicar a qué se refiere al decir:
“y quedóse cuadrada la casa
por la regla de multiplicar.”
4) Demostrar la igualdad que aparece en el primer verso, utilizando la definición de potenciación y la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
5) Bhaskara fue un matemático hindú que vivió en el Siglo XII. Investigar sobre su vida y su obra.
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6) En sus libros, como en los de otros matemáticos hindúes, aparecen problemas de tipo folklórico en tono
poético (los originales están escritos en verso, la rima se pierde en la traducción)
En geometría, demuestra algunas propiedades mediante una figura y la expresión: ¡Mira! Damos aquí un
ejemplo.
¿Cuál es la longitud del lado de este cuadrado en función de a y b?
Expresar su superficie utilizando esas dos variables.
7) Observando la figura, verificar la igualdad que se enuncia al
comenzar el poema.
8) ¿Con que nombre se conoce a dicha igualdad?
Prosa: Edwin Abbott Abbott
Nació en 1838 en Marylbone, Middlesex, Inglaterra, Y falleció en 1926 en
Hampstead, Londres, Inglaterra, de gripe.
Fue profesor y teólogo, estudió en Cambridge, donde obtuvo los honores más altos
en el estudio de los clásicos, matemáticas y teología. Fue, además, director de la
escuela de Londres.
Se retiró cuando contaba 50 años; a partir de ese momento se dedicó a escribir.
Antes de comentar algunos de los libros que publicó, debemos decir que hizo muchas
innovaciones al plan de estudios cuando enseñaba en la escuela; entre otras, impuso
un conocimiento elemental de química obligatorio a través de la escuela superior, y transmitió su propio
entusiasmo por la literatura (inglesa y clásica) a sus pupilos.
Como erudito, Abbott hizo trabajos excelentes de escritura en una amplia variedad de cuestiones, entre ellas
gramática y filología.
Su trabajo más famoso, por el cual lo incluimos en esta selección, es: “Flatland: A romance of many dimensions”
que Abbott escribió bajo un pseudónimo: “Un Cuadrado”.
En este libro se muestran los intentos de Abbott para popularizar la noción de la geometría multidimensional,
pero el libro es también una sátira a valores sociales, morales, y religiosos del período victoriano inglés.
Flatland, cuya traducción es: “Planolandia. Una novela de muchas dimensiones" fue publicada en 1884, y
contiene ilustraciones propias del autor. La historia postula un mundo de sólo dos dimensiones, y el narrador es
un humilde cuadrado.
Vale el observar que la notable escritura de Abbott predijo el mundo n-dimensional de Einstein cuarenta años
antes de la relatividad.
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Sobre los habitantes de Planolandia (Fragmento)
La máxima longitud o anchura de un habitante plenamente desarrollado de Planolandia puede considerarse que es
de unos veintisiete centímetros y medio. Los treinta centímetros puede considerarse un máximo.
Nuestras mujeres son líneas rectas.
Nuestros soldados y clases más bajas de trabajadores son triángulos, con dos lados iguales de unos veintisiete
centímetros de longitud, y una base o tercer lado tan corto (no supera a menudo el centímetro y cuarto) que sus
vértices forman un ángulo muy agudo y formidable. De hecho, cuando sus bases son del tipo más degradado (no
más de 0,30 cm. de tamaño), difícilmente se pueden diferenciar de las líneas rectas o mujeres, por lo
extremadamente puntiagudos que llegan a ser sus vértices. En nuestro caso, como en el vuestro, estos triángulos
se diferencian de los otros porque se les llama isósceles; y con este nombre me referiré a ellos en las páginas
siguientes.
Nuestra clase media está formada por triángulos equiláteros, o de lados iguales.
Nuestros profesionales y caballeros son cuadrados (clase a la que yo mismo pertenezco) y figuras de cinco lados
o pentágonos. Inmediatamente por encima de éstos viene la nobleza, de la que hay varios grados, que se inician
con las figuras de seis lados, o hexágonos. A partir de ahí va aumentando el número de lados hasta que reciben el
honorable título de poligonales, o de muchos lados. Finalmente, cuando el número de lados resulta tan numeroso
(y los propios lados tan pequeños) que la figura no puede distinguirse de un círculo, ésta se incluye en el orden
circular o sacerdotal; y ésta es la clase más alta de todas.
Es una ley natural entre nosotros el que un hijo varón tenga un lado más que su padre, de modo que cada
generación se eleva (como norma) un escalón en la escala de desarrollo y de nobleza. El hijo de un cuadrado es,
pues, un pentágono; el hijo de un pentágono, un hexágono; y así sucesivamente.
Sugerencias para el aula
1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?
2) Con las dimensiones dadas, aproximadamente, por el autor, para los soldados de Planolandia, ¿Por qué tienen
un ángulo agudo tan pequeño?
3) Completar la siguiente demostración: Observá la figura:
La recta H es paralela al lado ab del triángulo.
¿Cómo son, entonces, los ángulos α y a?
¿Y los ángulos β y b?
En la figura se observa que α + β + c = .......
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De estas tres relaciones se deduce cuál es la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
En esta figura: a + b + c = ......
4) ¿Cómo se definen los polígonos regulares? ¿Cómo son entre sí los ángulos interiores de un polígono regular?
5) Veamos cuál es la suma de los ángulos interiores de un hexágono.
Observen la figura. Se han trazado segmentos desde un punto interior a cada uno de los vértices.
¿Cuántos triángulos quedaron determinados? ¿Cuál es la suma de
todos los ángulos interiores de esos triángulos? 180º x ... = ....
Observá que si a ese resultado se le restan 360º, se obtiene la suma
de los ángulos interiores del hexágono?
¿Por qué restamos 360º?
¿Cuál es, entonces, la suma de los ángulos interiores de un
hexágono?
6) Si en lugar de un hexágono se tratara de un polígono de cualquier
número de lados (llamemos n a ese número) ¿Cuántos triángulos quedarían determinados al hacer una
construcción similar a la del ítem anterior?
Seguí los pasos de dicho ítem y obtené la fórmula que permite calcular la suma de los ángulos interiores de un
polígono.
7) Observa las dos figuras que se muestran a continuación: en la primera los cuatro triángulos que están
numerados forman un rombo, en la segunda los mismos triángulos forman un rectángulo. Obtené la de la
superficie del rombo en función de sus diagonales.
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Bibliografía
Borges, J. L. (1991). Ficciones. Buenos Aires: Emece Editores
Brown, D.( 2003). El Código Da Vinci. Barcelona, Umbriel.
De Guzmán, M. (2000) La Matemática entra en la novela. Saber/Leer, Revista crítica de libros, 137, 8-9.
Doxiadis, A. (2000). El tío Petros y la conjetura de Goldbach, Barcelona, Ediciones B.
Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y los números. Barcelona, Ediciones B.
Martínez, G. (2003). Crímenes imperceptibles. Buenos Aires, Planeta.
Russell, B.. 1967) Misticismo y lógica (y otros ensayos). Buenos Aires, Paidos.
Salas, H. (1994). BORGES. Una Biografía. Buenos Aires, Planeta.
Singh, S. (1999) El último teorema de Fermat. Bogotá, Editorial Norma.
Tahan, M. (1976). El hombre que calculaba. Barcelona, Editorial Vosgos.
Toranzos, F. (1999). Cuando Borges conoció a Cantor (Relaciones entre la matemática y la literatura fantástica
moderna. Texto de la conferencia expuesta en el marco del Primer Congreso Argentino de Educación
Matemática, Buenos Aires
Vera, F. (1961) .Veinte Matemáticos célebres. Buenos Aires, Los libros del mirasol.
Zapico, I. Serrano G. y otros (2000). Integración de áreas para el mejoramiento de la enseñanza de la
Matemática. Buenos Aires, Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior
del Profesorado “Dr. J. V. González”.
Página 105
EL PROFESORADO EN MATEMÁTICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE
ROSARIO: VISIÓN DE SUS DOCENTES.
Elisa Petrone, Natalia Sgreccia, Natalia Contreras, Julieta Recanzone.
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario, Argentina.
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Nivel educativo: Superior.
Palabras clave: Formación de Profesores en Matemática
Resumen
Este trabajo se inscribe en un Proyecto de Investigación cuyo objetivo general es generar conocimientos que
permitan mejorar las condiciones de funcionamiento del Profesorado en Matemática (PM) de la Universidad
Nacional de Rosario (UNR) y que, además, constituyan una base de trabajo para futuros estudios sobre la
Formación de Profesores en Matemática en general.
En esta oportunidad la población en estudio está compuesta por los docentes de la carrera, quienes se reparten de
acuerdo al campo de formación en dos facultades de la UNR.
Para esta presentación fue necesario efectuar un recorte de la información, obtenida mediante encuestas
realizadas a una muestra significativa, focalizando en lo referido a:
los profesores del PM, para contextualizar las muestras en estudio;
la formación brindada a los estudiantes del PM -donde se consignan tanto aspectos importantes que
brinda cada asignatura específica como aspectos de la carrera relevantes para el futuro ejercicio de la
profesión-, para comparar “lo elemental” con “lo sistémico”, respectivamente.
Los resultados evidencian un alto grado de coherencia entre lo que aporta cada docente desde su materia y su
visión global de la carrera y también revelan convergencia, en cuanto al paradigma de posicionamiento, de los
docentes de ambas facultades, el que sustenta sus declaraciones y acciones tendientes a concretar una formación
integral de los estudiantes, que involucre su reconocimiento de la importancia de los distintos campos de
formación, su autonomía de pensamiento, su capacidad de crítica constructiva y también una actitud
comprometida con el futuro ejercicio de la profesión.
1. Contextualización
El Profesorado en Matemática (PM) en estudio fue creado en el Departamento de Matemática de la Facultad de
Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR) en el año
1988. En aquel momento se atendían en dicho Dpto. la Licenciatura en Matemática (LM) y algunas asignaturas
de la Licenciatura en Física. Fue creado con una estructura, que conserva, de cursado repartido en dos unidades
académicas: la formación específica en la FCEIA, en cursado común con la LM, principalmente por razones
presupuestarias y la formación pedagógica mayormente en la Facultad de Humanidades y Artes (FHyA) de la
UNR, en cursado común con otros profesorados de diversas disciplinas.
Estudios realizados por docentes (Montelar y cols., 1996) sobre la realidad del PM, los CBC para la Formación
Docente, pautas ministeriales y evaluaciones institucionales propias que revelaban la conveniencia de ciertos
cambios, determinaron algunas innovaciones que debían introducirse en la carrera. Las mismas se concretaron en
un nuevo Plan de Estudios vigente desde 2002.
2. Caracterización del trabajo
El presente trabajo se inscribe en un Proyecto de Investigación de la FCEIA, UNR, años 2006 y 2007, cuyo
objetivo general es generar conocimientos que permitan mejorar las condiciones de funcionamiento del
Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional de Rosario y que, además, constituyan una base de
trabajo para futuros estudios sobre la Formación de Profesores en Matemática en general.
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Inicialmente se relevaron datos relativos a la realidad de los egresados de la carrera desde el punto de vista de la
trayectoria laboral, formación de posgrado y percepciones en relación a la profesión. A fines del año 2006 se
recogieron datos relativos a la realidad y opiniones sobre diversos aspectos de la carrera en el cuerpo docente y
también entre los estudiantes avanzados de la misma.
Este trabajo reporta una parte de los resultados correspondientes al cuerpo docente del PM en relación a su
formación y trayectorias laborales, sus opiniones y experiencias sobre los aspectos importantes para la formación
de un Profesor en Matemática (Prof. Mat.) brindados por la materia que cada uno de ellos dicta y los aspectos de
la carrera que perciben como relevantes en la formación de un Prof. Mat. para el futuro ejercicio de su profesión.
Se espera que los resultados de este trabajo, sumados a los anteriores, contribuyan a evaluar formalmente y con
una perspectiva global la realidad de la carrera.
3. Algunos referentes teóricos
En carreras de nivel superior formadoras de profesionales que desarrollarán su trabajo mayormente fuera de la
institución, se requiere el monitoreo de sus actividades dada una doble perspectiva de interés: la gestión interna
de la carrera y la proyección social de sus resultados. Además conviene tener presente el planteo de Celman
(1998) “La evaluación se constituye en fuente de conocimiento y lugar de gestación de mejoras educativas si se la
organiza con una perspectiva de continuidad. La reflexión sobre las problematizaciones y propuestas iniciales, así
como sobre los procesos realizados y los logros alcanzados –previstos o no previstos–, facilita la tarea de
descubrir relaciones y fundamentar decisiones”.
En particular, Azcárate Goded (2005) señala: “La Formación del Profesor es hoy uno de los temas de especial
actualidad, dado el tiempo cambiante y de continua reforma a la que nos enfrentamos. En relación con ello, el
diseño y desarrollo de procesos de formación en los diferentes momentos de su vida profesional, es un objeto de
investigación significativo”.
Las componentes del conocimiento profesional docente, en particular de Matemática, y la forma en que se
generan es motivo de estudio y análisis por parte de numerosos investigadores.
Según Llinares (2002) “el conocimiento profesional del profesorado de matemáticas será considerado como una
variable relevante para definir la enseñanza de las matemáticas como una profesión en la medida en que esté
vinculado a la práctica, al responder a situaciones prácticas (ser útil) de la enseñanza de las matemáticas,
integrando además información procedente desde diferentes dominios científicos. En este sentido, el
conocimiento profesional del profesorado de matemáticas no sería ni artesanal (procedente únicamente de la
reflexión sobre la práctica) ni científico (en el sentido de proceder de investigaciones adscritas a un paradigma
racional). Debe ser considerado en otra categoría”.
Robert y Pouyanne (2005) piensan que para hacer evolucionar la Formación de Prof. Mat. no basta con formar
enseñando (“haz como yo”) o diciendo (“haz lo que yo hago”) a partir de la experiencia personal. Si bien esto,
junto con la formación matemática inicial, es indispensable, no resulta suficiente.
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Respecto de la Formación inicial en los PM, según Villella (2001), no hay un único enfoque para determinar qué
y cómo debe aprender el futuro Prof. Mat. El análisis de algunas fuentes bibliográficas le permiten concluir que
las tendencias formativas corresponden principalmente a tres enfoques:
Tradicional: La capacitación profesional aparece íntimamente ligada a la adquisición del dominio de la
disciplina. El buen Prof. Mat. será aquel que tenga adecuadas aptitudes personales innatas y que dispone de un
alto dominio académico del contenido matemático que va a enseñar.
De racionalidad técnica: El objetivo es el entrenamiento del futuro Prof. Mat., concebido como técnico, en el
dominio de destrezas didácticas relacionadas con la Matemática como base de su competencia profesional.
De progresión continua: La capacitación profesional comienza en la formación inicial y continúa desde la
interacción práctica-teoría y el análisis de los referentes en los que se ejercerá la profesión, haciendo que el Prof.
Mat. investigue su propia práctica.
Gascón (2001) muestra en un estudio “cómo se corresponden muchas decisiones y actuaciones docentes, e
incluso ciertos modelos docentes relativamente estructurados, con los modelos epistemológicos generales que
han existido a lo largo de la historia de la Matemática y que perviven entremezclados en las diferentes
instituciones didácticas”. Según este autor cada modelo docente condiciona la forma de organizar y planificar el
proceso de enseñanza de la Matemática del Prof. Mat., incidiendo luego sobre su práctica áulica.
Blanco y Barrantes (2003) afirman que los recuerdos sobre la Matemática y sobre los procesos de su enseñanza y
aprendizaje constituyen el factor más influyente en las concepciones de los futuros Prof. Mat.: los alumnos de
profesorados “no desean ser imitadores de sus maestros, pues intuyen que hay una cultura de enseñanzaaprendizaje distinta que puede ser aplicada, aunque apenas la conocen ni la han experimentado, lo que provoca
que sus recuerdos tengan más peso en sus concepciones que sus expectativas”.
4. Metodología
El enfoque predominante en este estudio es el cualitativo ya que se basa principalmente en la recolección de datos
sin medición numérica, tales como descripciones y observaciones. El proceso de investigación es flexible, se
mueve entre los eventos y su interpretación, entre las respuestas y el desarrollo de la teoría, con el fin de
reconstruir la realidad tal y como la observan los actores de este sistema social previamente definido.
Coherentemente con el enfoque, se aprecia el todo sin reducirlo al estudio de sus partes, lo que le da el carácter
de holístico.
El alcance del estudio es exploratorio ya que el objetivo a examinar es un contexto particular -un caso- que no
ha sido analizado en el mismo sentido con anterioridad. A su vez, se avanza en la especificación de ciertas
características destacadas de las declaraciones de los docentes, por lo que el alcance es también descriptivo.
Finalmente, por evaluar la relación que existe entre las categorías entre sí, alcanza rasgos correlacionales.
Como técnica para la recolección de datos se empleó una encuesta semi estructurada que, si bien en un primer
momento puede parecer no compatible con el enfoque, resultó adecuada para obtener información en profundidad
de esta comunidad de sujetos, en sus propias palabras y contexto, y procesarla de manera científica en el tiempo
disponible. Se considera oportuno fundamentar la elección del empleo de esta técnica en este estudio: los datos
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cualitativos, recogidos en los ambientes naturales y cotidianos de los sujetos, consisten en la descripción
profunda y completa de eventos, situaciones, imágenes mentales, interacciones, percepciones, experiencias,
actitudes, creencias, emociones, pensamientos y conductas reservadas de las personas, ya sea de manera
individual, grupal o colectiva, y resultan muy útiles para comprender los motivos subyacentes, los significados y
las razones internas del comportamiento humano. Se reconoce que el medio óptimo hubiese sido la entrevista
abierta, pero se optó por una encuesta semi estructurada (más pertinente que una encuesta cerrada) por el factor
condicionante de los recursos para su procesamiento.
4.1. Diseño de la investigación
Para analizar aspectos de la realidad de los docentes del PM se establecieron las diferentes fases del trabajo a
desarrollar: selección de indicadores; confección y aplicación de un instrumento; procesamiento y análisis de
resultados de la encuesta; obtención y elaboración de conclusiones.
4.2. Sujetos
La población en estudio corresponde a los docentes, profesores y ayudantes, de todas las asignaturas de la carrera.
Estos se reparten de acuerdo al campo de formación, disciplinar o pedagógica, en dos facultades FCEIA y FHyA,
respectivamente. Hay algunos docentes que se desempeñan en cátedras que integran ambos campos de
formación, quienes han sido encuestados según el lugar donde revista su cargo.
El contacto entre los docentes de ambas facultades es casi nulo y sus realidades laborales son diferentes. En la
FHyA los cursos son muy numerosos y muy heterogéneos porque comprenden diversas carreras de profesorados
de la UNR; algunos docentes de la FHyA aún no han tenido alumnos del PM; generalmente en la FHyA una
misma persona no trabaja en más de una asignatura. En cambio en la FCEIA cada asignatura tiene una única
división, no demasiado numerosa, y algunas atienden exclusivamente a alumnos del PM aunque la mayoría son
compartidas con la LM. Hay dos características distintivas de la actividad en el Departamento de Matemática de
la FCEIA, que provocan un rico y fluido contacto entre docentes y alumnos: el alto porcentaje de docentes que
trabaja muchas horas allí y la tradicional política de rotación muy frecuente de los docentes entre las diferentes
asignaturas.
Se logró obtener las encuestas contestadas de 29 docentes de la FCEIA, sobre un total de 38 que estaban
trabajando en el año 2006 en el PM, (este grupo se ha denominado Muestra 1) y de 9 docentes de la FHyA, sobre
un total de 25, (que constituyen la Muestra 2). Se consideraron dos muestras que se distinguen dado las
características anteriormente señaladas que llevaron a elaborar encuestas diferentes para cada grupo.
4.3. Instrumentos
Se emplearon dos protocolos de encuesta, uno (protocolo 1, con 20 preguntas) para los docentes que trabajan en
la FCEIA y otro (protocolo 2, con 16 preguntas) para los docentes de la FHyA, en ambos casos con algunas
preguntas de tipo cerrado, algunas en base a opciones múltiples y otras de carácter abierto.
Los protocolos empleados contenían preguntas que permiten ser agrupadas conceptualmente así:
• Referido a los profesores del PM (9 preguntas en protocolo 1 y 4 preguntas en protocolo 2).
• Referido a cada asignatura en que se desempeña el docente (7 preguntas en cada protocolo).
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• Referido a la carrera en general (3 preguntas en cada protocolo).
• Desempeños de los estudiantes del PM (2 preguntas en protocolo 2).
Al final, en cada uno, se dio la opción de mencionar libremente otros aspectos de interés para el encuestado.
Para efectivizar esta presentación se hizo necesario un recorte, en el cual se focaliza lo referido a:
►
los profesores del PM, para contextualizar las muestras en estudio;
►
la formación de un Prof. Mat. -donde se consignan tanto aspectos importantes que brinda cada asignatura
específica como aspectos de la carrera relevantes para el futuro ejercicio de la profesión-, para comparar
“lo elemental” con “lo sistémico”, respectivamente (Godino y cols., 2006).
4.4. Indicadores
Entre las cuestiones abordadas por los instrumentos, en este trabajo se focaliza en los siguientes indicadores:
4.4.1. Realidad profesional de los docentes del PM
Carreras de grado y de posgrado realizadas; Instituciones donde estudió; Año desde el cual trabaja en el PM;
Materias en las que trabajó; Trayectoria laboral por fuera del PM; Percepciones de diferencias entre este PM y
otros; Integración de proyectos de investigación aprobados.
4.4.2. Opiniones sobre aspectos de la carrera
Aspectos importantes para la formación de un Prof. Mat. que brinda la materia; Aspectos de la carrera relevantes
en la formación de un Prof. Mat. para el futuro ejercicio de su profesión.
4.5. Procesamiento de la información
Se emplearon diversas variables, cualitativas y cuantitativas, cada una con diversas modalidades, quedando
asociada a cada sujeto una modalidad por cada variable en estudio. Ellas son:
Carrera de grado: Consigna cuál carrera de grado completó o cursa el docente del PM.
Carrera relacionada a la educación: Indaga si docente tuvo formación pedagógica en su carrera de grado.
Carrera de posgrado: Consigna si el encuestado ha iniciado y/o completado alguna carrera de posgrado y, en
caso afirmativo, cuál.
Carrera de posgrado relacionada a la educación: Cuando ha cursado carreras de posgrado, recoge información
sobre la eventual formación pedagógica brindada por la misma.
Cantidad de años que trabaja en el PM: Variable cuantitativa que adopta valores numéricos naturales.
Función docente: Señala, de acuerdo al cargo, si es responsable de la materia o ayudante de práctica.
Materia compartida: Indaga si el dictado es simultáneo para alumnos de diferentes carreras y cuáles.
Aspectos importantes para la formación que brinda su materia: Recoge las opiniones libremente vertidas por los
docentes, de acuerdo a lo planificado y desarrollado en las cátedras en que se desempeñan, en relación a la
formación brindada a sus alumnos del PM.
Componentes relevantes de la carrera: Releva aspectos considerados trascendentes desde la óptica de los
docentes en cuanto a la formación global del PM de la UNR.
5. Resultados
5.1. Realidad profesional de los docentes del PM
Página 110
De los 29 encuestados de la FCEIA cerca de la mitad corresponden a docentes con cargo de profesor (Adjunto,
Asociado o Titular) y el 80% de los encuestados son egresados de la FCEIA. Varios se desempeñan en más de
una asignatura y contestaron en relación a cada una de ellas por separado. La información recogida abarca 21 de
las 22 materias del PM que se dictan en la FCEIA (2 de ellas de dictado compartido con la FHyA) y en la
mayoría se obtuvieron la opinión del profesor y ayudantes de la cátedra.
Las 9 encuestas recogidas de la FHyA tienen información relativa a 4 de las 5 asignaturas que se dictan en esa
Facultad (2 de ellas de dictado compartido con la FCEIA). Todos los docentes de la FHyA tienen formación
pedagógica, mientras que sólo el 34% de los docentes encuestados de la FCEIA la tienen, entre los cuales un 20%
corresponde a formación sólo de grado (son Prof. Mat.).
Cant.
Cant.
Cálculo I
3
Funciones Reales
2
Álgebra
3
Geometría III
1
Geometría I
2
Modelos y Optimización
3
Cálculo II
2
Práctica de la Enseñanza I
2
Álgebra Lineal
1
Práctica de la Enseñanza II
2
Computación
3
Práctica de la Enseñanza III
2
Cálculo III
2
Historia y Fundamentos de la Matemática
1
Estructuras Algebraicas
3
Pedagogía
2
Matemática Discreta
2
Historia Socio-Polít. del Sist. Educ. Arg.
4
Probabilidad y Estadística
1
Teorías del Sujeto y del Aprendizaje
0
Física
0
Currículum y Didáctica
4
Ecuac. Diferenc. y Modelos Continuos
1
Residencia
3
Geometría II
2
Tabla 1: Asignaturas del PM y cantidades de docentes actuales encuestados
Prácticamente todas las encuestas fueron contestadas en forma personal aislada por escrito y devuelta
posteriormente al equipo de investigación. Algunos docentes se negaron a contestar la encuesta y a otros hubo
que insistirles bastante para conseguir que lo hicieran, aunque una vez logrado se advirtió un aporte interesante de
opiniones e ideas.
En la Tabla 1 se consignan las asignaturas de la carrera y las cantidades de docentes de cada una de ellas que
contestaron la encuesta. En las celdas con fondo blanco figuran las materias que se cursan en la FCEIA, con
fondo gris se indican las que se cursan en la FHyA y con fondo rayado las 2 asignaturas de cursado compartido
entre ambas Facultades.
5.2. Opiniones sobre aspectos de la carrera
5.2.1. A los docentes tanto de la FCEIA como de la FHyA se les solicitó que: Señalen tres aspectos importantes
para la formación de un Profesor en Matemática que brinda la materia en la que trabaja.
• Los docentes de la muestra 1 señalaron 90 aspectos, los que fueron agrupados según los argumentos que los
sustentaban de la siguiente manera:
29 respuestas sólo aluden a la conveniencia o importancia de conocer los contenidos de la materia. A veces se
señalan algunos tópicos específicos (de Matemática, de Computación, de Didáctica de la Matemática) que se
desarrollan en la materia, otras sólo se afirma en general.
Página 111
Otros 29 aspectos mencionados constituyen agrupamientos conceptuales, o bien refieren capacidades que se
desarrollan, muchas veces acompañados de fundamentaciones epistémicas o didácticas de su importancia,
siempre en relación directa a los temas que se tratan en la materia.
Hay 18 referencias a la formación de actitudes o capacidades generales necesarias para el trabajo matemático,
como por ejemplo, interpretación de consignas, razonamiento, ejercicio del poder de síntesis, abstracción,
relación entre intuición y deducción lógica, globalización de conceptos anteriores, habilidad en el ejercicio del
pensamiento lógico, desarrollo del pensamiento crítico y la capacidad reflexiva a través de demostración de
propiedades y resolución de problemas, visión más general de lo que significa Matemática, razonamiento
autónomo, manejo de vocabulario matemático.
11 hacen referencia directa a aspectos formativos o contenidos vinculados al futuro ejercicio de la profesión del
Prof. Mat., referidos al intercambio con pares, trabajo grupal, capacidad didáctica y práctica pedagógica.
3 aspectos mencionados se refieren a la formación de actitudes favorables, tanto al estudio como al futuro
desempeño profesional, por ejemplo autonomía en la resolución de ejercicios.
• Los docentes de la muestra 2 mencionaron 34 aspectos, que han sido agrupados como sigue:
18 corresponden a contenidos vinculados estrictamente con la asignatura, ya sea desde el campo curricular, de la
historia del sistema educativo o referido a cuestiones pedagógicas.
En 8 de las declaraciones se percibe un desprendimiento a lo estrictamente desarrollado en la cátedra con una
mirada hacia el futuro ejercicio de la profesión docente de los estudiantes del PM, por ejemplo, se recalca que
ciertos aspectos son “imprescindibles a la hora de ingresar a la docencia” o que “permiten una mejor
comprensión de lo que sucede en el presente en el campo profesional docente”.
En 6 oportunidades se mencionaron habilidades más bien transversales a las que también se contribuye desde la
asignatura, por ejemplo, “manejar bibliografía de diversos autores y opiniones” o “desarrollar capacidad crítica
en el análisis de información y documentos”.
Una docente destaca además los beneficios que otorgan tanto la heterogeneidad del grupo de alumnos de los
profesorados de la UNR para su formación como la experiencia de los docentes de la cátedra en distintos niveles
educativos.
5.2.2. A los docentes de ambas facultades se les formuló la siguiente pregunta abierta: ¿Cuáles aspectos de la
carrera considera relevantes en la formación de un Prof. Mat. para el futuro ejercicio de su profesión?
Las opiniones recogidas fueron variadas y, a los efectos de su análisis, se agruparon en función de semejanzas
conceptuales, en algunos casos vinculadas a los diferentes campos de formación. De todas formas, para no perder
la rica variedad de aspectos tenidos en cuenta por los docentes, ya que los mismos constituyen su visión de “la
misión del PM”, se transcriben textualmente sus dichos.
• En la muestra 1 se recogieron 38 opiniones que se agruparon según hacían referencia a:
Aspectos particulares de formación matemática (señalados entre 9 encuestados): manejar cierto vocabulario
(tanto oral como escrito); tener conceptos matemáticos claros y manejarlos desde diferentes enfoques; escribir
matemáticamente; demostrar rigurosamente; interpretación del papel de la matemática, como herramienta para
Página 112
resolver problemas y para elaborar modelos; sólida formación matemática (en especial con respecto a las
materias de 1º y 2º año); gran manejo de bibliografía de las materias básicas; manejo de práctica
(problemas/ejercicios); manejo de vocabulario específico; manejo en resolución de problemas.
Aspectos particulares de formación pedagógica (8 encuestados): saber planificar las clases; conocer distintas
teorías de enseñanza y aprendizaje; la exposición oral en todas las materias; que sepan hacer comprender los
conceptos en forma intuitiva y que no pretendan excederse en el “rigor formal”; formación en recursos
didácticos y uso de nuevas tecnologías de la comunicación y la información; transmisión de conocimientos.
Formación matemática en general (6 encuestados): tener un conocimiento amplio del tema a desarrollar; la
buena formación matemática que adquieren los estudiantes del PM de la UNR.
Cuestiones actitudinales/emocionales (6 encuestados): actitud de trabajo serio, hincapié en el aprender y
formalizar, no en el pasar, contagio a sus futuros alumnos de ganas de saber; mayor sensibilización como Prof.
Mat.; autonomía y responsabilidad por el propio desarrollo intelectual; buena disposición para enseñar;
entusiasmo por descubrir, resolver problemas, explicar y entusiasmar a otros.
Formación equilibrada entre lo pedagógico y lo específico (6 encuestados): tener capacidad para considerar las
distintas respuestas de los alumnos; sólida formación matemática + formación pedagógica + integración de
ambos campos; todos los aspectos que este PM contempla en cuanto a formación académica; formación
universitaria amplia que lo capacita mejor en su profesión porque enseñar lo más elemental a los más chicos es
muy difícil.
Mayor formación matemática que pedagógica (3 encuestados): buena formación pedagógica y muy buena
formación matemática; bien que tengan didáctica de la matemática en su carrera pero no sé si tanta; las
actitudes pedagógicas pero fundamentalmente una base muy fuerte en matemática.
Convivencia de los alumnos del PM con los de otras carreras profesionales (1 encuestado): se trata de una
formación menos endógena y por lo tanto más positiva que la que ofrece un PM a nivel terciario.
• En la muestra 2 se recogieron 20 opiniones, las cuales se agruparon de la siguiente manera:
Estructura curricular del Plan de Estudios (8 encuestados): destaca las áreas y los contenidos; formación
académica sólida, consistente; manejo fluido de la relación del saber con otras disciplinas; todos los aspectos
del plan.
Prácticas pedagógicas (5 encuestados): aptitud para la docencia; manejo del arte y la ciencia de enseñar; la
formación didáctica; la transposición didáctica; comprensión del presente del campo profesional docente.
Reflexiones sobre la complejidad de la Educación Matemática (4 encuestados): pensar que no basta con saber
matemática para saber enseñar; pensar la complejidad de la educación; comprender la actividad docente que
realiza en todas sus dimensiones; capacidad crítica en el análisis de información y documentos.
Aspectos emocionales (2 encuestados): agrado por el trabajo a desarrollar; placer por el trabajo docente y
contacto con adolescentes.
Conocimiento profesional docente (1 encuestado): unir conocimiento, experiencia y creatividad.
6. Síntesis
Página 113
La relación que hay entre la cantidad de docentes encuestados y el total de docentes del PM y la relación entre
cantidad de materias relevadas y el total de materias del PM son altas, lo que habla de la representatividad de la
muestra global (sólo dos cátedras no participaron, en una de ellas los 7 docentes que la integran se negaron a
hacerlo).
Más de la mitad de los docentes encuestados del PM, de FCEIA y FHyA, señalan la importancia formativa de los
contenidos de la materia que dicta, lo cual habla de una esperable y positiva valoración de su propia práctica.
Alrededor de la quinta parte de los encuestados proyecta el efecto de los aprendizajes de los estudiantes a su
futuro desempeño profesional desde múltiples facetas (epistémicas, didácticas, actitudinales, analíticas, laborales,
etc.). También una quinta parte hace referencia a la contribución para el desarrollo de capacidades transversales,
metacognitivas, globales, que exceden el marco de su materia incidiendo en la competencia para la Educación
Matemática.
Los docentes de ambas facultades (más marcadamente los de FCEIA) explicitaron menor cantidad de respuestas
a la última pregunta que a la anterior, quizás en algunos casos porque en aquélla ya habían incorporado elementos
que correspondían a ésta. En relación a la última pregunta se advierte que hay una diferenciación un poco más
marcada entre las sustancias de las respuestas de los docentes de las dos facultades, destacándose sin embargo la
complementariedad de las mismas.
Además se percibe un alto grado de coherencia entre “lo elemental”, que aporta cada uno desde su materia, y “lo
sistémico”, visión de la carrera en su conjunto, ya que las declaraciones ponen de manifiesto las contribuciones
que los docentes del PM realizan desde sucesivas aproximaciones, en cuanto a la especificidad y niveles de
profundización, a lo que, con unas u otras palabras, consideran “un profesional de la Educación Matemática
competente”.
Los resultados de este estudio evidencian una mayor coherencia, que la informalmente sospechada en el ambiente
de la carrera del PM, entre las visiones de los docentes de las dos facultades, ya que se advierte una convergencia
en cuanto al paradigma de posicionamiento, el de la complejidad, que sustenta sus declaraciones y acciones
tendientes a concretar una formación integral de los estudiantes, que involucre su reconocimiento de la
importancia de los distintos campos de formación, su autonomía de pensamiento, su capacidad de crítica
constructiva y también una actitud comprometida con el futuro ejercicio de su profesión.
Azcárate, P. (2005). Los procesos de formación: En busca de estrategias y recursos. Univ. de Cádiz, España.
Blanco, L., Barrantes, M. (2003). Concepciones de los estudiantes para maestro en España sobre la geometría
escolar y su enseñanza-aprendizaje. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 6 (002), 107-132.
Celman, S. (1998). La evaluación de los aprendizajes en el debate didáctico contemporáneo. Bs. As.: Paidós.
Gascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes. Revista
Latinoamericana de Matemática Educativa, 4 (002), 129-159.
Godino, J., Contreras, A., Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoque ontológicosemiótico de la cognición matemát. Recherches en Didactique des Mathématiques, 26 (1), 39-88.
Página 114
Llinares, S. (2002). La práctica de enseñar y aprender a enseñar Matemáticas. La generación y uso de
instrumentos de la práctica. Revista de Enseñanza Universitaria, N° 19, Univ. de Sevilla.
Montelar, M., Petrone, E., Del Sastre, M. (1996). Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional de
Rosario. Primer Congreso Internacional de Formación de Profesores, Sta. Fe.
Robert, A., Pouyanne, N. (2005). Formar formadores de maestros de matemáticas de educación media. ¿Por qué
y cómo? Revista Educación Matemática, 17 (002), 35-58.
Villella, J. (2001). Uno, dos, tres... Geometría otra vez. De la intuición al conocimiento formal en la EGB.
Buenos Aires: Aique.
Página 115
ORGANIZAÇÃO DE FEIRAS, ORIENTAÇÃO E
AVALIAÇÃO DE TRABALHOS EM FEIRAS DE MATEMÁTICA
Hélio dos Santos Silva 1 , Vilmar José Zermiani e Viviane Clotilde da Silva
Area Tematica: Educación Matemática em la Formación de Profesores.
Palabras Claves: Matemática, Feria, organización, orientación, evaluación.
Resumen
En los más recientes 24 años de la existencia del Movimiento de las Ferias de Matemática en el estado de Santa
Catarina, Brasil, percibimos que lo planeamiento y la ejecución de una Feria de Matemática non sieguen reglas
fijas. No en tanto, algunas etapas asemejan-se y deben ser estudiadas e adaptadas pela Comisión Central
Organizadora (CCO). La presiente obra tiene la finalidad de explicitar las principales etapas de la organización de
una Feria de Matemática. La gestión e organización de las Ferias de Matemática dividen-se en tres etapas: Etapa
1 - Planeamiento de una Feria, Etapa 2 - Preparo e operacionalización de una Feria e Etapa 3 - Analice posevento (feedback). Esas etapas todas tienen como finalidad la producción y la diseminación de conocimientos
matemáticos. [1] Organización de Ferias de Matemática en los varios niveles. (a) Planeamiento de una Feria; (b)
Preparo de una Feria; (c) Operacionalización de una Feria; (d) Acciones Pos-Feria. [2] Orientación de Trabajo a
la una Feria de Matemática. [3] Evaluación de Trabajos en una Feria de Matemática. La nuestra idea es
desarrollar el Taller en 3 módulos, con cada módulo tiendo indicaciones a textos con las fundamentación teóricas
e consideraciones acerca de participaciones personales: Modulo 1 – Organización de una Feria de Matemática;
Modulo 2 – Orientación de Trabajos para Feria de Matemática; Modulo 3 – Evaluación de Trabajos en una Feria
de Matemática.
Introdução
Uma Feira de Matemática consiste em três fases: 1) Gestão e organização da Feira; 2) Orientação de
Trabalhos; 3) Avaliação dos Trabalhos. As três fases serão abordadas no minicurso de forma prática e
exemplificadas. Ao longo de 24 anos como gestores e organizadores de Feiras de Matemática de âmbito
escolar, municipal, regional e estadual, percebemos que o planejamento e a execução de uma Feira não
seguem regras fixas. No entanto, algumas etapas assemelham-se e devem ser estudadas e adaptadas pela
Comissão Central Organizadora (CCO). Assim, pensamos que um minicurso pode ser uma forma de
multiplicar a experiência adquirida naqueles eventos e discutir aspectos educacionais polêmicos que estão
envolvidos nas Feiras de Matemática como competitividade, estruturação e eficiëncia.
Desenvolvimento
Este artigo compõe-se de três pontos de discussão: Gestão e Organização de Feira (GOF), Orientação de
Trabalhos (OT) e Avaliação de Trabalhos (AT).
1. Gestão e organização de Feira (GOF) - A GOF tem três etapas: o planejamento da Feira, o preparo e
operacionalização da Feira e a análise pós-evento (feedback). São vários os gestores das Feiras que se
manifestaram a respeito desta temática, dentre eles destacamos FLORIANI & ZERMIANI (1985),
BREUCKMANN (1993), DAMÁZIO & TOMELIN (2002) e GAUER (2004). Hoje, a avaliação não é
meramente quantitativa, mas também qualitativa. Todos os trabalhos são premiados com um troféu na condição
de destaque ou menção honrosa. A Comissão de Avaliação, designada pela Comissão Central Organizadora,
escolhe os trabalhos que serão destaques ou menção honrosa. Esta Comissão efetuará a avaliação dos trabalhos
baseada nos seguintes critérios: a) Gerais: Comunicação de trabalho: clareza, adequação da linguagem e
objetividade; Domínio do conteúdo matemático envolvido; Qualidade científica: organização do relatório,
disposição dos elementos no estande, sistematização e organização dos alunos durante a exposição; Relevância
social: importância do trabalho para a comunidade escolar e para a sociedade; Ênfase dada ao conteúdo
matemático: clareza e objetividade nas definições e nos conceitos científicos essenciais, bem como, nas
1
Dirección Postal: Laboratorio de Matemática da FURB (LMF). Rua Antonio da Veiga, 140, Victor Konder. 89012-900 Blumenau – SC [Tel./Fax: (47) 3321-0463] y Correo Eletrónico: [email protected], [email protected], [email protected] .
Página 116
operações e propriedades matemáticas empregadas. b) Específico, por modalidade: Coerência do trabalho com a
modalidade na qual o projeto está inserido.
Etapa 1 – Planejamento de uma Feira - Conceitos e Finalidades - Na organização de qualquer atividade é de
suma importância que se conceituem e que se estabeleçam suas finalidades. Neste particular, o Regimento das
Feiras Estaduais (RFEs) estabelece que a Feira de Matemática é um processo científico-pedagógico em que
professores, estudantes, dirigentes educacionais do sistema escolar e a comunidade, de uma forma geral, são copartícipes na promoção das seguintes ações: a) Despertar nos alunos maior interesse na aprendizagem da
Matemática; b) Promover o intercâmbio de experiências pedagógicas e contribuir para a inovação de
metodologias; c) Transformar a Matemática em ciência construída pelo aluno e mediada pelo professor; d)
Chamar a atenção para a necessidade, cada vez maior, da integração vertical e horizontal do ensino da
Matemática; e) Promover a divulgação e a popularização dos conhecimentos matemáticos, socializando os
resultados das pesquisas nesta área; f) Integrar novos conhecimentos e novas tecnologias de informação e
comunicação nos processos de ensino e aprendizagem.
O Público alvo é composto de Professores, dirigentes educacionais e estudantes da Educação Básica, Educação
Especial e Educação Superior, bem como a comunidade, de forma geral.
Quanto às Categorias/Modalidades, os trabalhos inscritos são enquadrados em uma das seguintes categorias:
Educação Especial, Educação Infantil, Ensino Fundamental (séries iniciais), Ensino Fundamental (séries finais),
Ensino Médio, Educação Superior, Professor, Comunidade, e apresentados nas modalidades: Materiais e/ou
Jogos Didáticos, Matemática Aplicada e/ou Inter-Relação com Outras Disciplinas, e Matemática Pura. De acordo
com as deliberações do SAFCM (1993), as modalidades possuem as seguintes características: (I) Materiais e/ou
Jogos Didáticos: material que têm como característica o uso de propriedades matemáticas. São recursos
educacionais através dos quais pela exploração, discussão e análise elaboram-se conceitos, tiram-se conclusões e
constrói-se o conhecimento matemático; (II) Matemática Aplicada e/ou Inter-Relação com Outras Disciplinas: a
matemática é um recurso para a aplicação direta como forma de se obter um resultado concreto dentro de uma
atividade, por assuntos e por métodos; (III) Matemática Pura: trabalho sobre conceitos, operações e propriedades
da matemática.
Ainda de acordo com SAFCM (1993), somente poderão inscrever-se na categoria Educação Especial, Pessoas
Portadoras de Necessidades Educativas Especiais (PPENS) que estejam freqüentando uma instituição de
Educação Especial oficialmente reconhecida. Na categoria Ensino Médio, poderão se inscrever alunos
devidamente matriculados no Ensino Médio, tanto das Redes Públicas como da Particular de Ensino. Na
categoria Professor, poderá inscrever-se qualquer profissional da área de Educação que tenha desenvolvido um
projeto envolvendo Matemática; Na categoria Comunidade, poderá inscrever-se qualquer pessoa que tenha
desenvolvido ou implementado alguma atividade envolvendo Matemática.
Do ponto de vista da Programação, há três situações a se analisar: Montagem dos estandes e dos trabalhos;
Exposição, avaliação e visitação pública; Premiação e encerramento. Dentre as demais atenções estão a definição
de: local do evento, ficha de inscrição, material de divulgação e croqui dos estandes.
Etapa 2 – Preparação e Operacionalização - Nesta etapa, os organizadores deverão proporcionar um ambiente
pedagógico em que os expositores, avaliadores e visitantes promovam a construção e reconstrução do
conhecimento científico e sua socialização.
Secretaria - Seus integrantes prestarão serviço de assessoria na digitação, reprodução de material e registro em
atas das decisões tomadas pela CCO. Após a pré-seleção dos trabalhos, a secretaria realizará a sistematização dos
trabalhos que serão apresentados aos participantes através de duas tabelas. A primeira contendo as informações
das fichas de inscrição cuja função é relacionar os trabalhos, separados por categorias, contendo informações a
respeito do número do trabalho, título, modalidade, unidade escolar, cidade de procedência, nome do professor
orientador com endereço eletrônico, nome dos expositores, bem como se o trabalho necessita de tomada de
energia elétrica e/ou de água. A partir dos dados dessa primeira tabela, a secretaria deverá montar a segunda
tabela, que tem como finalidade quantificar a participação dos municípios em todas as categorias. Esta segunda
tabela é de fundamental importância para a Comissão de Avaliação realizar a definição do número de avaliadores
por categorias, assim como, a composição dos grupos de avaliadores. A mesma tabela será usada pela comissão
Página 117
de alimentação e alojamento e pela CCO na premiação dos trabalhos destaques e de menção honrosa. Além da
secretaria, as preocupações estão na estruturação de: recepção, praça de alimentação, palco, montagem dos
estandes, sanitários, alojamento, avaliação de trabalhos e avaliação do evento. Recomenda-se que o local do
processamento da avaliação esteja próximo ao local da sala de apoio dos avaliadores, dispondo de um
computador com impressora e material de expediente. É de suma importância que o aceso a este ambiente seja
restrito a CCO e aos integrantes da Comissão de Avaliação. Não se deve esquecer-se do ambiente para descanso
das crianças da Educação Infantil e da Premiação.
Etapa 3 – Análise Pós-Evento (Feedback) - Após a realização do evento faz-se a desmontagem dos estandes para,
em seguida, ser realizada a retirada do material de divulgação, (tais como: faixas, banners). No primeiro
momento, a CCO orienta a secretaria para a elaboração de uma correspondência de agradecimento aos
colaboradores do evento e a Comissão de Finanças para que seja realizada a prestação e aprovação das contas da
Feira. Num segundo momento, é feita uma avaliação do evento como um todo, pelos integrantes da CCO com os
representantes das instituições parceiras do evento. Já, num terceiro momento, a CCO através da assessoria de
imprensa fará a clipagem dos relizes dos jornais e boletins informativos que publicaram sobre o evento. Por fim,
é elaborado o Relatório Final, realizada a prestação de conta e constituída a Comissão de Revisores dos Anais da
Feira.
2. Orientação de Trabalhos de uma Feira de Matemática
A Matemática, com sua estrutura, garante à pessoa, nas suas mais diversas atividades, uma melhor agregação de
dados facilitando interpretações e tomadas de decisões. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática (Brasil, 1998 p. 24) “a Matemática é considerada uma ciência viva não apenas no cotidiano dos
cidadãos, mas também nas Universidades ou centro de pesquisas, onde se versifica a produção de novos
conhecimentos úteis para resolução de problemas sociais.”
Etapa 1 - Orientação de Trabalhos nas Diferentes Categorias - Categorias: Educação Infantil, Educação Especial,
Ensino Fundamental – Séries Iniciais (1.ª a 4.ª série) e Séries Finais (5.ª a 8.ª série), Ensino Médio, Ensino
Superior, Professor e Comunidade.
Etapa 2 - Documentando Pesquisas para Feiras de Matemática - Projeto significa idéia que se forma de executar
ou realizar algo, no futuro; plano; esboço preparatório. Quando fizemos uma pesquisa é de extrema importância
organizar um projeto visto que teremos uma visão mais ampla dos caminhos que iremos percorrer durante a
realização do trabalho. O projeto refere-se aos primeiros manuscritos realizados pela equipe de pesquisa e cabe
ao orientador direcionar estes registros para determinadas etapas importantes e necessárias para sua composição.
O projeto auxiliará na elaboração do relatório de pesquisa, sendo que este irá compor a parte introdutória. As
etapas de um projeto para os trabalhos das Feiras de Matemática são:
• Tema: a escolha do tema deverá ocorrer através de um consenso entre orientador e orientando, pois fica difícil
imaginar alguém pesquisando algo que não goste, apesar de sabermos que isto ainda é muito freqüente. “Muitas
vezes os projetos são sugestões dos professores e os alunos, por este motivo, não se sentem à vontade de
participar da construção do trabalho” SAFCM (2007, p.56).
• Título provisório: o título, no transcorrer do trabalho, poderá sofrer modificações. Em geral, quando o trabalho
estiver finalizado, surgem novas idéias para a construção do título que estejam relacionados à Matemática.
Analisando alguns projetos apresentados na Feira Municipal de Matemática de Blumenau (agosto de 2007)
verificamos alguns títulos desvinculados da Matemática. Em geral, no processo de avaliação, os avaliadores
foram unânimes quanto à colocação: ‘título desvinculado da Matemática’, dando a entender muitas vezes que o
próprio trabalho também se distanciava do foco principal: a Matemática.
• Justificativa: em forma de texto, trata-se de uma redação sucinta, mas que busque convencer da importância do
tema, dentro da Matemática, para realização da pesquisa. Também é importante ressaltar pra quem e pra que ela
serve, incluindo também os seus desdobramentos / limitações. Ex.: o trabalho não vai ser aplicado na prática
(Matemática Pura), mas desenvolve o raciocínio lógico-dedutivo contribuindo, em geral, para estimular a
criticidade, levando o aluno a solucionar problemas de seu cotidiano através de decisões eficazes. Analisando a
justificativa do ponto de vista de cada modalidade, temos:
Página 118
Matemática Aplicada: nesta modalidade cabe convencer ao leitor da importância da aplicação e/ou utilização da
Matemática para explorar, explicar e procurar solucionar os problemas delineados no tema em estudo. Também é
preciso mencionar ou, levar em consideração, para quem e porque se torna necessário e/ou benéfico solucionar
determinadas situações.
Inter-Relação com outras Disciplinas: nesta modalidade, além de evidenciar a aplicabilidade da matemática no
tema abordado, também se torna importante ressaltar o nível de inter-relação com outras disciplinas que também
auxiliarão quanto à tomada de decisões e explicações de situações em estudo.
Material Instrucional: aqui cabe justificar a importância da confecção e utilização de materiais na abordagem de
conceitos matemáticos para a ocorrência de uma aprendizagem mais prazerosa e, portanto, mais significativa.
Jogos Didáticos: nesta categoria é necessário apresentar a importância do lúdico na construção ou re-construção
do conhecimento matemático já que os jogos e as brincadeiras são alternativas que tornam as aulas mais alegres,
mais atrativas, motivando e transformando o processo ensino-aprendizagem.
Matemática Pura: nesta categoria, como são utilizados conceitos, propriedades, operações, deduções,...,em geral,
não apresenta aplicações práticas do tema desenvolvido, mas este poderá gerar uma idéia, que por sua vez, gerará
outra. Esta importância precisa ser esclarecida para o leitor que muitas vezes, por falta de conhecimento, possui
uma idéia distorcida e equivocada referente à Matemática Pura. Em geral, as pessoas pensam que, se a
Matemática não possui aplicação no dia-a-dia, não precisa ser abordada nas instituições de ensino, pois, devido
ao seu grau de complexidade e abstração, serve apenas para aumentar índices de reprovação. Portanto, cabe
ressaltar a importância da Matemática Pura no desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo do aluno,
auxiliando-o a refletir e interagir de maneira mais eficaz nas situações do seu cotidiano.
• Problema: é apresentar a dúvida que se tem em relação ao tema. É aquilo que será pesquisado. Deve ser claro e
objetivo. Este poderá ser contextualizado, ou não.
Em relação a cada modalidade, temos:
Matemática Aplicada: Ex.: Como a modelagem matemática poderá auxiliar no cálculo da análise de alguns
aspectos físico-químico do Ribeirão Garcia? (Anais do II Seminário de Avaliação das Feiras Catarinenses de
Matemática, 2001, p. 119).
Inter-Relação com outras Disciplinas: Ex.: Como a Matemática, inter-relacionada com outras disciplinas, poderá
servir de instrumento para explicar e analisar o tema proposto?
Material Instrucional: Ex.: A confecção e utilização de materiais instrucionais no estudo da Geometria tornam o
ensino deste conteúdo mais atrativo e significativo?
Jogos Didáticos: Ex.: Como os jogos poderão auxiliar os alunos a melhorarem seus entendimentos e
conseqüentemente seus desempenhos e rendimentos no estudo das frações?
Matemática Pura: Ex.: Torna-se possível fazer o Estudo de Palavras utilizando conceitos, definições,
propriedades,..., da Álgebra Moderna?
• Objetivos: é o que se pretende alcançar na pesquisa. Sempre começam com verbos de ação (no infinitivo,
como: identificar, verificar, analisar,...). Dividem se em: Gerais: são objetivos mais amplos, ligados a uma visão
geral da pesquisa. Específicos: são aqueles que permitem atingir o(s) objetivo(s) geral (ais).
• Pressupostos, Hipóteses ou Proposições: são respostas provisórias às questões formuladas no problema; são
previsões do que vai ocorrer na pesquisa sendo que estas poderão ser verdadeiras ou não. Modalidades:
Matemática Aplicada, Inter-relação com outras disciplinas, Material Instrucional, Jogos Didáticos, Matemática
Pura.
• Cronograma e relatório - os componentes básicos para a elaboração de um relatório de pesquisa para Feira de
Matemática são: Capa, Sumário, Sinopse (ou resumo), Introdução, Desenvolvimento, Conclusão, Referências
Bibliográficas.
3. AVALIAÇÃO DE TRABALHOS (AT)
Página 119
A avaliação de um trabalho apresentado numa Feira de Matemática, seja em nível Escolar, Municipal, Regional
ou Estadual, abrange diversos aspectos e peculiaridades que necessitam ser detalhados aos cursistas, para que a
sua formação seja a mais abrangente possível. Para a inscrição dos trabalhos, as Categorias consistem em:
Educação Infantil, Ensino Fundamental - séries iniciais, Ensino Fundamental - séries finais, Educação Especial,
Ensino Médio, Educação Superior, Professor e Comunidade. Por sua vez, as Modalidades de inscrição
correpondem a: Materiais e/ou Jogos Didáticos, Matemática Aplicada e/ou Inter-Relações com Outras
Disciplinas e Matemática Pura.
Pergunta básica: Como avaliar um trabalho numa Feira de Matemática?
Resposta sucinta: De acordo com LUCKESI (2005), a atividade de avaliar caracteriza-se como um meio
subsidiário do crescimento da aprendizagem do educando; ou seja, da construção de um resultado positivo e
satisfatório da sua apreensão de conhecimento. No nosso dia-a-dia, tanto e atos simples como complexos, a
avaliação subsidia a obtenção de resultados satisfatórios. Em nossa casa, avaliamos o alimento que estamos
fazendo quando provamos seu sabor, sua rigidez, verificando se ele se encontra “no ponto” ou se necessita de
mais algum ingrediente, de mais um tempo de cozimento etc. A avaliação tem por função, subsidiar a construção
de resultados satisfatórios. Assim, planejamento e avaliação são atos que estão a serviço dessa construção.
Enquanto o planejamento traça previamente caminhos, a avaliação é um ato de investigar a qualidade dos
resultados intermediários ou finais de uma ação, subsidiando sempre sua melhora.
Por outro lado, ainda segundo LUCKESI (2005), o ato de avaliar também exige a entrega à construção da
experiência satisfatória do educando. A entrega ao desejo de que o educando cresça e se desenvolva possibilita,
ao avaliador, o envolvimento com o processo do educando, estando sempre atento às suas necessidades. Isso não
implica que o avaliador substitua o educando em seus processos de crescimento, mas sim que clareie para si e
para o educando as exigências do crescimento. A avaliação é uma forma de o grupo (orientador e educandos)
tomar consciência sobre o significado da ação na construção do desejo que lhe deu origem. Ou seja, as
“sugestões” do avaliador aos alunos apresentadores devem ser no sentido de melhoria do trabalho. Isso pressupõe
que o grupo deve melhorar a sua apresentação para a próxima Feira, com os seus autores buscando uma maior
compreensão e domínio dos conteúdos e, conseqüentemente, demonstrando uma evolução do trabalho e
evidenciando, assim, um diferencial positivo para uma nova rodada de avaliação.
A avaliação de um trabalho de Feira de Matemática tem pelo menos 3(três) aspectos que devem ser considerados:
(1) postura do avaliador; (2) critérios de avaliação; (3) aspectos subjetivos prós e contras da avaliação.
1) Postura do avaliador
O avaliador de um trabalho apresentado numa Feira de Matemática deve ter bem claras algumas informações
iniciais como: sua postura frente ao desafio de avaliar (aspecto pessoal); dados históricos das feiras para se situar
no espaço e no tempo, na Feira presente (aspecto informativo); visão geral dos trabalhos, por categoria,
visualizando a realidade da Feira como um todo (aspecto geral); e imparcialidade (aspecto ético).
2) Critérios de avaliação
a) Gerais: Comunicação do trabalho: clareza, adequação da linguagem e objetividade; Domínio do conteúdo
matemático envolvido; Qualidade científica: organização do relatório, disposição dos elementos no estande,
sistematização e organização dos alunos durante a exposição; Relevância social: importância do trabalho para a
comunidade escolar e para a sociedade; Ênfase dada ao conteúdo matemático: clareza e objetividade nas
definições e nos conceitos científicos essenciais, bem como nas operações e propriedades matemáticas
empregadas.
b) Específicos, por modalidade: Coerência do trabalho com a modalidade na qual o projeto está inserido. Hoje, a
avaliação não é meramente quantitativa, mas também qualitativa. A Comissão de Avaliação, designada pela
Comissão Central Organizadora (CCO), classifica todos os trabalhos e premia-os com um troféu, ou na condição
de Destaque ou na condição de Menção Honrosa. Para um trabalho ser Destaque, ele deverá ter no mínimo o
conceito “BOM” em cada um dos quesitos da ficha de avaliação:
3) Aspectos subjetivos prós e contras da avaliação.
Página 120
Prós: autonomia dos alunos na exposição, estética do trabalho, criatividade; Contras: a maior preocupação com a
boa qualidade dos materiais utilizados; muita diversificação do trabalho; excesso de bom humor e alegria dos
apresentadores; maior preocupação com a estética pessoal; descompromisso com o grupo; fragmentação do
trabalho; baixa relação teoria/prática.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O evento Feira de Matemática pode ser visto como um mecanismo de ensino-aprendizagem bom e complementar
ao ensino de sala de aula, tanto no que concerne aos conteúdos de Matemática, aos conteúdos das outras
disciplinas (quando o professor faz a ponte relacionando-a a um tema específico de Matemática) e também, à
cidadania (quando analisam-se medidas, posturas e ações eticamente corretas). Este minicurso faz parte da
proposta de um curso de aperfeiçoamento no tema a ser empreendido pela FURB, no regime semi-presencial e,
posteriormente, totalmente à Distância.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática / Secretaria de
Educação Fundamental. – Brasília MEC/SEF, 1997. 142p.
Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática / Secretaria de
Educação Fundamental. – Brasília MEC/SEF, 1998. 148p.
Breuckmann, H. J.(1996) Avaliação de Trabalhos: uma longa caminhada. Revista de Educação Matemática,
Blumenau, n. 1, ano 1, p. 25-28, 1996.
DAMÁZIO, A., TOMELIN, L. Z. (2002). Como avaliar um trabalho. In: Anais do II Seminário de Avaliação
das Feiras Catarinenses de Matemática. Blumenau: Edifurb, 2002. Cap. 6, p. 84-93.
FLORIANI, J. Valdir; ZERMIANI, V. J. (1985)Feira de Matemática. Revista de Divulgação Cultural,
Blumenau, n. 28, p. 1-16, dez 1985.
GAUER, A. J. (2008) Critérios de avaliação de trabalhos em Feiras de Matemática: Um olhar voltado para o
processo. In: Feiras de Matemática: Um Programa Científico & Social. Blumenau: Acadêmica Publicações,
2004. Cap. 2, p. 27-58.
LUCKESI, C. C. (2005) Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e preposições. São Paulo : Cortez, 2005.
SAFCM (1993) – Seminários de avaliação das feiras catarinenses de matemática: (I: 1993: Blumenau). Anais.
Blumenau: Edifurb, 1993 (mimeo).
Página 121
ALGUNOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO COMPLETAS, DESDE LOS BABILONIOS A DESCARTES
Guillermina Emilia Vosahlo
Instituto Técnico de Aguilares y Facultad de Ciencias Económicas, UNT, Argentina
[email protected]
Nivel medio y superior
Palabras clave: ecuaciones de segundo grado
Resumen
El presente trabajo analiza algunos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado completas desde la
Civilización Babilónica hasta Descartes.
Los primeros indicios de resolución de ecuaciones cuadráticas los encontramos en la Civilización Babilónica
(Milenio II a.C.), que usaba la actual resolvente en un lenguaje coloquial.
En los Elementos de Euclides (año 300 a.C.) podemos encontrar la interpretación gráfica del cuadrado de un
binomio y algunas resoluciones geométricas de ecuaciones de segundo grado del tipo x2 + ax = a2, con a > 0.
En su obra Aritmética, Al-Khowarizmi, matemático árabe que vivió alrededor del año 800, muestra dos formas
de resolver las ecuaciones x2 + bx = c, x2 + c = bx, con b > 0, c > 0.
René Descartes (1596-1650), matemático francés, presenta en su obra Geometría, soluciones de ecuaciones del
tipo x2 = ax + b2, con a >0.
Si bien resulta más fácil la resolución de la ecuación usando la fórmula actual o completando cuadrado, la
importancia de conocer las construcciones geométricas griegas, árabes y de Descartes, es la posibilidad de
obtener las soluciones de la ecuación por medición de segmentos, cuando es relativamente fácil la construcción
de las soluciones pero no tenemos disponible una calculadora para realizar operaciones con números irracionales.
La presentación integrada de la resolución algebraica con interpretaciones geométricas permite a los alumnos
vincular Álgebra y Geometría, que habitualmente se enseñan separadas, y puede favorecer la comprensión al
permitir que el alumno aborde un mismo problema desde distintos puntos de vista.
Introducción
El presente trabajo es un recorrido por alrededor de 3.500 años de la Historia de la Matemática, desde la
Civilización Babilónica hasta Descartes, analizando cómo se resolvieron a través de este tiempo las ecuaciones de
segundo grado completas.
Dado que uno de los métodos que se usarán está basado en la interpretación gráfica del cuadrado de un binomio,
el trabajo comienza con una presentación de este tema como conocimiento previo.
Los primeros indicios de resolución de ecuaciones cuadráticas los encontramos en la Civilización Babilónica
(Milenio II a.C.), que ya usaba la actual resolvente, pero en un lenguaje coloquial. Dado que los babilónicos
conocían la representación gráfica del cuadrado de un binomio, es factible que hayan conocido también el
método de completar cuadrado para resolver estas ecuaciones, puesto que es posible deducir la fórmula
resolvente a partir de esta interpretación gráfica, como paso concreto previo al abstracto.
En los Elementos de Euclides (año 300 a.C.) también podemos encontrar la interpretación gráfica del cuadrado de
un binomio y algunas resoluciones geométricas de ecuaciones de segundo grado, como aquellas del tipo x2 + ax =
a2, con a > 0.
Página 122
En su obra Aritmética, Al-Khowarizmi, matemático árabe que vivió alrededor del año 800, muestra dos formas
de resolver las ecuaciones del tipo x2 + bx = c, basadas en la interpretación gráfica del cuadrado de un binomio y
del tipo x2 + c = bx, con b > 0, c > 0, con justificaciones geométricas.
René Descartes (1596-1650), matemático francés, presenta en su obra Geometría, soluciones gráficas de
ecuaciones cuadráticas del tipo x2 = ax + b2, con a >0.
Quedan entonces cubiertos con los enfoques griego, árabe y de Descartes, las tres combinaciones posibles, con
signos distintos, de los coeficientes a, b y c de la ecuación general ax2+ bx+ c = 0, los cuales están incluidos en el
tratamiento actual por el método de completar cuadrado y uso de la fórmula.
CONOCIMIENTOS PREVIOS NECESARIOS
1) Cuadrado de una suma y una diferencia
Actualmente, con la notación que tenemos nos resulta fácil hacer una demostración acerca de cómo obtener el
cuadrado de un binomio basada en propiedades de los números reales o complejos, pero por ejemplo, en la
civilización Babilonia (Milenio II a.C.) y de la Antigua Grecia (siglo IV y III a.C) no se conocía la notación
actual, debida en parte a Johann Widmann (signos + y -, en su obra Aritmética, aparecida en Leipzig en 1489) y
en parte a Nicolás Chuquet (la regla de los signos del producto y la escritura de las potencias de las incógnitas
como exponente, pero indicado en el coeficiente, aparecen en su obra Le Triparty en la science des nombres,
compuesta en 1484).
Los babilonios y griegos al no contar con una notación adecuada, y dado que los objetos matemáticos no tenían el
grado de abstracción que hoy tienen, se basaban en figuras geométricas para deducir este tipo de propiedades,
puesto que había predilección por lo visual, lo táctil, lo limitado, lo finito.
Para poder demostrar esta propiedad, interpretaron los cuadrados y productos contenidos en ella como áreas de
cuadriláteros.
El cuadrado de un binomio, con su interpretación geométrica fue publicada como Proposición 4, en el Libro II, de
la obra Elementos de Euclides, quien fue un matemático griego que vivió alrededor del año 300 a.C. Allí a2 se
interpreta como el área de un cuadrado de lado a, y b2 como el área de un cuadrado de lado b; mientras que a.b es
el área de un rectángulo de lados a y b. Ordenando estas figuras como si fueran partes de un rompecabezas, se
puede completar un cuadrado más grande.
a
a
b
a2
ab
b
ab
b2
El lado del cuadrado grande es a + b, y su área es (a+b)2, la cual se puede escribir como suma de las áreas de las
cuatro figuras que componen este cuadrado. Entonces:(a+b)2 = a2 +2ab +b2.
Página 123
2) Construcción geométrica de la raíz cuadrada
René Descartes, filósofo, biólogo, físico y matemático francés, que vivió entre 1596 y 1650, basándose en
trabajos de los griegos, publicó en su obra Geometría la forma de representar mediante el uso de regla y compás
las cinco operaciones aritméticas (suma, resta, producto, cociente y raíz).
Jean-Paul Collette (1998), muestra el siguiente procedimiento usado por Descartes para representar
geométricamente la raíz cuadrada de un número no negativo a.
4
a se grafica de la siguiente forma: Sea a la longitud del segmento GH, y
FG un segmento de longitud 1. Se dibujan ambos segmentos uno a
x
continuación del otro. Se considera K, el punto medio del segmento FH y se
traza la semicircunferencia de centro K y radio la longitud del segmento
7
5
6
FK. Por G se traza un segmento perpendicular a FH, que intersecta a la semicircunferencia en el punto I. La
longitud de IG es
Vemos que si
a.
a no tuviera un resultado exacto y no contáramos con una calculadora, se lo puede obtener
mediante la construcción anterior, midiendo el segmento GI, con un pequeño error de medición.
Resolución de la ecuación de segundo grado completa, usando el método de completar cuadrado
Si bien de la bibliografía consultada no se puede inferir que los griegos y babilonios hayan usado el método de
completar cuadrado para resolver una ecuación de segundo grado, dado que conocían la interpretación
geométrica del cuadrado de un binomio es posible que la hayan usado para resolver este tipo de ecuaciones.
Por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + 6x = 16 los babilonios y los griegos podrían haber pensado el primer
miembro como la suma de la superficie de un cuadrado de lado x y dos rectángulos de área 3x cada uno (sus lados
miden x y 3 = 6/2). Para poder completar un cuadrado con estas tres áreas, hay que agregarle un cuadrado de lado
3.
El área del cuadrado grande es (x+3)2 = x2 + 6x + 9 = 25, entonces la medida del lado es x + 3 = 5, al resolver la
ecuación lineal resultante se obtiene x = 2.
Babini (1973), presenta el siguiente problema de segundo grado resuelto por los babilonios: “Largo y ancho. He
multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al área el exceso del largo sobre el ancho: 183,
además he sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y área”. Considerando como incógnitas x, y, cuyos
significados son el largo y ancho respectivamente, este problema conduce a las ecuaciones xy + x - y =183 y x + y
= 27, eliminando una variable se obtiene la ecuación x2 + 29x = 210. El procedimiento que se describe que siguió
Página 124
el calculista es el siguiente: “toma la mitad de 29: 14 y medio, de cuyo cuadrado resta 210, obteniendo un cuarto,
cuya raíz cuadrada un medio suma y resta a 14 y medio obteniendo los valores 15 y 14”. Traducido a símbolos
2
actuales la operación realizada es
29
29 1
⎛ 29 ⎞
± ⎜ ⎟ − 210 =
± , que coincide con nuestra resolvente actual,
2
2
2 2
⎝ ⎠
2
puesto que
− b ± b 2 − 4ac − b
c
⎛ b ⎞
=
± ⎜ ⎟ − . Por lo tanto, es factible que los babilonios conocieran el
2a
2a
a
⎝ 2a ⎠
procedimiento de completar cuadrado, porque resolvían las ecuaciones de segundo grado con la resolvente actual,
que quizás se pudo deducir mediante el uso de la representación gráfica del cuadrado de un binomio, puesto que
ellos la conocían (paso concreto, previo al abstracto de la fórmula).
Los babilonios, griegos y árabes sólo llegaban a la solución positiva, puesto que no trabajaban con números
negativos. Además, la interpretación geométrica como áreas sólo permite este resultado.
Por su parte, Al-Khowarizmi, matemático árabe, quien vivió alrededor del año 800, presentó en su obra
Aritmética la siguiente solución para la ecuación x2 + 6x = 16.
Parte de un cuadrado de lado x, sobre cuyos lados construye 4 rectángulos de lados x y 1,5 = 6/4 (la suma de las
áreas de los 4 rectángulos es 6x), y completa un cuadrado agregando en las esquinas 4 cuadrados de lado 1,5 (la
suma de las áreas de estos 4 cuadrados es 9 = 4.1,52). Se obtiene así un cuadrado de área 25 = 16 + 9, cuyo lado
mide 5 = 1,5 . 2 + x, de donde se deduce que x = 2.
1,5
x
Nuevamente, se puede destacar que los árabes sólo llegaban a la solución positiva, porque al pasar de (x + 3)2 = 5,
al siguiente paso, sólo consideran x + 3 = 5, y no x + 3 = -5.
Resolución de la ecuación de segundo grado, usando la representación gráfica de una raíz cuadrada
Colette (1993) presenta la siguiente resolución de una ecuación de la forma x2 = ax + b2, a > 0, usando el método
descripto por Descartes referido a la representación gráfica de una raíz cuadrada.
a/2
a/2
b
Página 125
Se construye el triángulo rectángulo NLM con el lado LM igual a b, la raíz cuadrada del término independiente b2,
y el otro lado, LN, igual a
a
a
, la mitad del coeficiente de x. Con centro en N y radio
se traza una
2
2
circunferencia. Se prolonga MN, la hipotenusa de este triángulo, hasta obtener el punto O de intersección con la
circunferencia. La longitud del segmento OM y el opuesto de la longitud del segmento MP son las soluciones
buscadas.
Se puede probar usando Teorema de Pitágoras que: OM =
a
a 2 + 4b 2
+
= x1.
2
4
Restando el radio de la longitud de MN, se obtiene la longitud de MP: MP =
a 2 + 4b 2 a
− = -x2.
4
2
Si no contamos con una calculadora, que nos permita calcular los valores de x1 y x2 en forma aproximada,
podemos usar este método, construir los segmentos OM y MP, y luego midiéndolos podemos obtener las raíces.
Morris Kline (1994) explica cómo resolver gráficamente la ecuación x2 + ax = a2, con a > 0. La resolución que
Euclides realizó es la siguiente: considera un cuadrado ABCD de lado a. Traza el segmento EB, siendo E el punto
medio del segmento AD. Prolonga el segmento DA hasta el punto F, tal que las longitudes de EF y EB sean
iguales. Determina el punto H, sobre el lado AB, trazando el cuadrado AFGH, cuyo lado AH o AF es x, una
solución de la ecuación dada. Se puede probar que la otra solución es el opuesto de la longitud del segmento DF.
En el trabajo de Euclides no se nombra la solución negativa, porque los griegos no trabajaban con números
negativos, y además este método está planteado en el contexto de un problema, donde la solución negativa de la
ecuación de segundo grado no verifica las condiciones del problema.
Nuevamente, si la solución de la ecuación es un número irracional y no tenemos una calculadora para obtener una
solución aproximada, la podemos determinar realizando la construcción y midiendo las longitudes de los
segmentos AF y DF. Las raíces son la longitud del segmento AF y el opuesto de la longitud del segmento DF.
Si el término independiente no fuera un cuadrado perfecto, se puede construir el lado del cuadrado mayor con el
método descripto por Descartes, para la construcción de una raíz cuadrada.
Resolución de la ecuación de segundo grado completa, usando una demostración geométrica
Collette (1998) , presenta cómo resolvían los árabes una ecuación del tipo x2 + c = bx, con b, c > 0.
Página 126
Al-Khowarizmi dibujaba un cuadrado APBH que representa x2 y el rectángulo BPGD que representa 21 unidades.
Entonces el rectángulo total AGDH, que comprende ambas figuras, tiene como área 10x. Por lo tanto los lados
AG y HD deben medir 10 unidades, porque la altura es x.
Trazamos la mediatriz ET de AG y de HD, la extendemos hasta C de manera que la longitud del segmento TC sea
igual a la de TG y completamos los cuadrados TCLG y CMNE.
El área del rectángulo PTEB es igual a la de MLDN, porque sus respectivos lados son congruentes, TE tiene igual
longitud que ND (por ser de igual longitud TC y ED por construcción, EC y EN por ser lados de un cuadrado,
entonces al restar las respectivas longitudes dan el mismo resultado) y PT tiene igual longitud que DL (porque AT
es congruente con TG por ser TE mediatriz de AG, y AP tiene igual longitud, x, que GD, entonces restando las
respectivas longitudes, los resultados son iguales).
El cuadrado TGLC tiene área 25, porque su lado mide 5 (pues AG mide 10), y la figura TENMLG tiene área igual
a 21, por ser igual a la del rectángulo PGDB. Por lo tanto, el cuadrado ECMN tiene área 4, y su lado mide 2
unidades. Como el segmento EC es congruente con EB, y la longitud de HE es 5, entonces x = 5 – 2 = 3, es una
de las soluciones de la ecuación, y era la única dada por los árabes.
Para determinar la otra raíz de la ecuación, se puede hacer otra construcción.
Se construye el cuadrado APBH de área x2, al que se adosa un rectángulo PGDB de área 21, entonces el
rectángulo total AGDH tiene área 10x, y dado que su altura es x, su base es 10.
Trazamos ET, la mediatriz del segmento AG. Trazamos QL de manera que AQ sea congruente con AT (cada uno
mide 5 unidades), quedando completados los cuadrados ATCQ y TGLC.
El área del rectángulo TPMC es igual a la del CEDL, porque sus lados son congruentes, pues TC es congruente
con CL por ser lados de un cuadrado y TP es congruente con CE (pues tanto la longitud de AP como de AH es x,
Página 127
y AT es congruente con TC por ser lados de un cuadrado, entonces cuando restamos las respectivas cantidades los
resultados son iguales). Por lo tanto, CMBE es un cuadrado.
El cuadrado TGLC tiene igual área, 25, que la figura PGDECM, y el rectángulo PGDB tiene área 21, entonces el
área del cuadrado CMBE es 4, y su lado mide 2.
Entonces x = 5 + 2 = 7 es la otra solución de la ecuación dada.
Conclusión
Si bien resulta más fácil la resolución de la ecuación usando la fórmula actual o completando cuadrado, la
importancia de conocer las construcciones geométricas griegas, árabes y de Descartes, es la posibilidad de
obtener las soluciones de la ecuación por medición de segmentos, cuando es relativamente fácil la construcción
de las soluciones pero no tenemos disponible una calculadora para realizar operaciones con números irracionales.
La presentación integrada de la resolución algebraica con interpretaciones geométricas permite a los alumnos
vincular Álgebra y Geometría, que habitualmente se enseñan separadas, y puede favorecer la comprensión al
permitir que el alumno aborde un mismo problema desde distintos puntos de vista.
Babini, José (1973). Historia de las Ideas Modernas de la Matemática. OEA.
Collette, Jean Paul (1998). Historia de la Matemática. Siglo XXI Editores. 3ª edición.
Kline, Morris (Primera reimpresión, 1994). El Pensamiento Matemático de la Antigüedad a nuestros días.
Alianza Editorial.
Rey Pastor, J. y Babini, José (1984). Historia de la Matemática. Gedisa.
Página 128
UNA PROPUESTA PARA LA INTRODUCCIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA
DESDE LA VARIACIÓN. ANÁLISIS DE RESULTADOS.
Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller
Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral - Argentina
Kreder 2805 - (3080) Esperanza - Santa Fe - Argentina
Nivel: Medio - Terciario - Universitario ciclo Básico
Palabras claves: variación, derivada, errores, dificultades
Resumen
Los cambios que ocurren en nuestra vida cotidiana y en distintas ramas de la ciencia, tienen comportamientos
diversos. El cálculo diferencial y, en particular, el estudio del comportamiento variacional de las funciones,
resulta fundamental para analizar estos fenómenos.
El aprendizaje del cálculo constituye uno de los mayores desafíos de la educación actual, no sólo por su
importancia, sino por las numerosas dificultades que trae aparejado, relacionadas con un pensamiento de orden
superior. Intentando comprender las ejecuciones de nuestros alumnos ante las tareas propuestas y las razones por
las que su pensamiento opera como lo hace, llevamos a cabo estudios que comprenden el análisis de los errores y
dificultades en el aprendizaje de contenidos básicos del cálculo. Comenzamos, además, a diseñar, poner en
práctica y evaluar secuencias didácticas que prioricen el tratamiento de los errores que nos permitan detectar
dificultades en la formación de conceptos y realimentar el proceso de aprendizaje.
En este trabajo presentamos algunas actividades de una secuencia que preparamos con el propósito de facilitar la
construcción del concepto de derivada. Asumimos que el tratamiento y conversión entre los diferentes registros
en que puede ser presentado (numérico, coloquial, geométrico, algebraico) y el desarrollo de ideas variacionales,
como la noción de razón de cambio, puede contribuir a este propósito. La propuesta se llevó al aula con alumnos
cursantes de Matemática II de la carrera Ingeniería Agronómica de la Universidad Nacional del Litoral.
Analizamos los errores y las dificultades que tuvieron en la resolución de las distintas actividades.
Introducción
El cálculo es la rama de la matemática a la que se dedica mayor tiempo en los currículos iniciales de distintas
carreras universitarias, ya sea en las áreas de ciencias exactas y tecnológicas, como biológicas, sociales y de
humanidades. En nuestra carrera, Ingeniería Agronómica de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad
Nacional del Litoral, se desarrollan los principios fundamentales del cálculo durante el dictado de la asignatura
Matemática II. Como futuros ingenieros, los alumnos deben recibir el conocimiento matemático adecuado que les
permita identificar, interpretar, modelar y resolver situaciones diversas relacionadas con su ejercicio profesional.
Los cambios que ocurren en la sociedad, economía, naturaleza, en nuestra vida cotidiana, tienen distintos
comportamientos. En matemática se crean modelos abstractos para describir dichos fenómenos y la medición del
cambio de esos fenómenos es un aspecto esencial de la variación y el elemento eje en la formación del concepto
de derivada. En este sentido, el cálculo diferencial, especialmente el estudio del comportamiento variacional de
las funciones, resulta fundamental para analizar los cambios que ocurren en los fenómenos y, en consecuencia,
para formular dichos modelos.
El aprendizaje del cálculo y, en particular, la conceptualización de la noción de derivada, constituye uno de los
mayores desafíos de la educación actual, ya que trae aparejado numerosas dificultades relacionadas con un
pensamiento de orden superior. Artigue (1995) expresa que si bien muchos estudiantes pueden aprender a
Página 129
realizar de forma mecánica cálculos de derivadas, primitivas y resolver algunos problemas, se encuentran grandes
dificultades para alcanzar una verdadera comprensión de los conceptos involucrados y un desarrollo adecuado de
métodos de pensamiento que son el centro de este campo de la matemática.
Un fenómeno educativo de la matemática es el predominio de métodos algebraicos y algorítmicos. Cantoral y
Mirón (2000) señalan que esto provoca que una gran cantidad de alumnos no logren dar sentido y significado a
los conceptos básicos, de modo que, aún siendo capaces de derivar una función, no pueden reconocer en cierto
problema la necesidad de una derivación.
Ante la constatación de la tendencia en la enseñanza de dedicar una gran parte de las actividades al aprendizaje
de reglas de cálculo, sin basarse en la comprensión de los conceptos, Azcárate, Bosch, Casadevall y Casellas
(1997) resaltan la importancia del uso de representaciones diversas, como pueden ser la gráfica, la numérica y la
algebraica, de manera de lograr relacionarlas y pasar de una a otra a fin de alcanzar representaciones mentales
ricas que reflejen muchos aspectos relacionados con el concepto.
En general, las tareas de conversión entre diferentes sistemas de representación son minimizadas en la enseñanza
y eso produce limitaciones en la comprensión. Duval (1998) expresa que el uso de distintas representaciones es
esencial en el desarrollo del pensamiento y en la producción de conocimiento. Distintos autores apoyan esta idea
y manifiestan que llegar a comprender un concepto matemático implica realizar procesos de conversión entre
diferentes registros de representación, manifestados por la posibilidad de movilización y de articulación entre los
mismos (Rico, 2000, D´Amore, 2002).
Para poder entender el proceso de construcción de los conceptos y procesos matemáticos es necesario analizar las
ejecuciones de los alumnos ante las tareas propuestas y las razones por las que su pensamiento matemático opera
como lo hace, aún en el caso de que sus respuestas o producciones no correspondan con nuestro conocimiento.
En este sentido, en el marco del proyecto de investigación “Errores y dificultades: organizadores didácticos en el
aprendizaje del cálculo en carreras no matemáticas”, en el que estamos trabajando desde el año 2005, llevamos a
cabo estudios que comprenden el análisis de los errores y dificultades en el aprendizaje de los contenidos básicos
del cálculo. Comenzamos, además, a diseñar, poner en práctica y evaluar secuencias didácticas articuladas en
torno a diferentes organizadores que prioricen el tratamiento de los errores para detectar dificultades en la
formación de conceptos y realimentar el proceso de aprendizaje (Engler, Vrancken y Müller, 2003a, 2003b).
En este trabajo presentamos algunas actividades de una secuencia didáctica que preparamos con el propósito de
facilitar la construcción del concepto de derivada. Asumimos que el tratamiento y conversión entre los diferentes
registros en que este concepto puede ser presentado (numérico, coloquial, geométrico, algebraico) y el desarrollo
de ideas variacionales, como la noción de razón de cambio, pueden contribuir a este propósito. Analizamos los
errores y las dificultades que presentaron los alumnos en la resolución de las actividades como una manera de
explorar sus concepciones sobre el concepto de velocidad promedio e instantánea así como los problemas en el
tratamiento de las funciones y la conversión entre distintos registros.
Página 130
Desarrollo de la propuesta
Elaboramos una secuencia didáctica cuyas actividades pretenden desarrollar habilidades relacionadas con las
variables, las funciones y la variación. Para su diseño se tuvo en cuenta las ideas desarrolladas por Dolores (1999,
2007) y Azcárate y cols. (1997), además de las dificultades y errores observados en trabajos nuestros de años
anteriores. La propuesta se basa en una introducción intuitiva e informal al cálculo diferencial. Con la resolución
de los problemas se busca desarrollar ideas variacionales que lleven a la comprensión de los conceptos
fundamentales. Al respecto, Dolores (2007, p. 198) expresa:
Ubicar como eje rector de todo el curso de Cálculo Diferencial al estudio de la variación, de modo que la
derivada no sea un concepto matemático abstracto sino un concepto desarrollado para cuantificar,
describir y pronosticar la rapidez de la variación en fenómenos de la naturaleza o de la práctica.
Azcárate y cols. (1997) señalan la necesidad de partir de las concepciones previas que tienen los alumnos acerca
de la velocidad, utilizar las representaciones gráficas de las funciones para visualizar ideas, en especial la de
razón de cambio media como pendiente de una recta.
Las actividades se presentan en registros diferentes (coloquial, algebraico, gráfico, numérico) y requieren las
conversiones entre los mismos. Las tablas, gráficas, expresiones en lenguaje coloquial y representaciones
algebraicas, que contienen la misma información ponen en juego diferentes procesos cognitivos, relacionados
entre sí. Como expresa Carabús (2002), las tablas contemplan los aspectos numéricos y cuantitativos, las
representaciones gráficas potencian las posibilidades de la visualización, las expresiones algebraicas se
relacionan con la capacidad simbólica, el lenguaje coloquial se vincula con la capacidad lingüística y es
importante para interpretar y relacionar todas las representaciones.
Dividimos la secuencia en dos partes. El primer bloque de actividades demanda el manejo de los conceptos de
variable, función y variación de cada una de las variables involucradas. Su resolución requiere de habilidades
como representar variables, evaluar y graficar funciones, cuantificar cambios por medios numéricos, geométricos
o analíticos y analizar el comportamiento de esos cambios. En la segunda parte aparecen las razones de cambio y
se interpretan geométricamente. Su resolución requiere habilidades para calcular cambios relativos (velocidad
media y velocidad instantánea), interpretar la velocidad promedio como la pendiente de la recta secante y la
velocidad instantánea como la pendiente de la recta tangente.
La propuesta se llevó al aula con alumnos cursantes de Matemática II en la carrera Ingeniería Agronómica de la
Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional del Litoral agrupados de a dos. El abordaje de los
problemas fue la actividad principal realizada en el aula. Los alumnos resolvieron las actividades prácticamente
sin intervención del docente a cargo de la clase.
Los dos bloques de actividades se implementaron en dos clases sucesivas. En la primer clase el profesor hizo una
introducción sobre el tema que empezaba a desarrollar y su importancia y explicó la forma de trabajo. Luego los
alumnos resolvieron las actividades. En la segunda clase, se discutieron brevemente en primera instancia las
actividades de la clase anterior, tratando de dejar en claro cómo se calculan los cambios, la importancia de
respetar el orden de los términos de la diferencia (resolviendo estado final menos estado inicial), el significado de
Página 131
los cambios y la interpretación de su signo. Luego los alumnos resolvieron las actividades del segundo bloque.
En una tercera clase, se pusieron en común los resultados de las actividades de la clase anterior y a partir de los
mismos el profesor definió razón de cambio media, razón de cambio instantánea, relacionó dichos conceptos con
su interpretación geométrica y definió derivada.
A continuación enunciamos tres de las actividades propuestas. Una correspondiente a la primera parte de la
secuencia y dos de la segunda, algunos comentarios sobre su resolución y un análisis de las respuestas de los
alumnos.
Presentación de las actividades y análisis de los resultados
Actividad. Las gráficas muestran el espacio recorrido s(t) por dos partículas respecto del tiempo demorado en
recorrerlo. Para cada una complete una tabla como la que sigue.
Intervalos
Δs
0≤t≤1
1≤t≤2
2≤t≤3
3≤t≤4
4≤t≤5
¿Cómo se comportan en cada caso los cambios Δs? ¿En qué intervalos los cambios fueron más rápidos?
En esta actividad se presentan dos funciones definidas gráficamente y se solicita a los alumnos la medición de
los cambios de la variable dependiente y el análisis del comportamiento de estos cambios. Con respecto a los
registros, el alumno debe elaborar la traducción del registro gráfico al numérico e interpretar lo realizado en el
registro coloquial, lo que le exige relacionar las diferentes representaciones.
De setenta y cuatro trabajos que se analizaron, aproximadamente en el 80% la primer tabla estaba completa de
manera correcta. De los trabajos en los que la tabla estaba incorrecta (quince), observamos que la tercera parte
escribe Δs = 1, lo que muestra que confunden la variable independiente con la variable dependiente. Se
detectaron más dificultades en la segunda tabla, la que fue completada de manera correcta por el 61% de los
grupos aproximadamente. Observamos en dieciocho trabajos (24,3%) que los alumnos escriben los cambios
pero positivos, sin los signos, y en seis trabajos escriben negativo sólo el cambio que corresponde al intervalo en
que la función es negativa. Esto nota que no reconocen la importancia en el orden de su cálculo (valor final
menos valor inicial) por lo que no distinguen las diferencias entre variaciones positivas y negativas. En el
segundo caso confunden además el signo de los cambios con el signo de la función.
En relación a la pregunta sobre cómo se comportan los cambios, no se observaron muchas dificultades. En
algunos casos se detecta que intentan relacionar los cambios de la función con su crecimiento pero confunden
los conceptos o no pueden explicarlo correctamente, por lo que sus respuestas resultan incorrectas. Algunos
grupos escribieron : “Los cambios crecen en el primero, en el segundo crecen o decrecen”; “En el primer caso
Página 132
los cambios son proporcionales”; “En el primer caso aumenta en todos los intervalos, en el segundo caso la
función decrece hasta 4 y luego crece”; “En el primer caso se mantiene en aumento. En el segundo disminuye el
espacio recorrido, luego aumenta”.
Con respecto a la pregunta en qué intervalo los cambios fueron más rápidos, el 55,4% respondió correctamente,
prácticamente el 7% no responde y el resto responde de manera incorrecta. Las dificultades se presentaron para
el segundo gráfico. Veinticuatro grupos dan como respuesta, los tres últimos intervalos.
2
Actividad. La posición de una piedra que es lanzada hacia arriba está dada por s(t) = −2t + 8t + 2 metros, donde
el tiempo t se mide en segundos. Complete la siguiente tabla. Realice la representación gráfica e interprete en la
misma las medidas t2 − t1 y s(t2) −s(t1).
Intervalo
t1 ≤ t ≤ t2
Δs = s(t2) −s(t1)
Δs s (t2 ) − s (t1 )
=
Δt
t2 − t1
0≤t≤1
1≤t≤2
2≤t≤3
3≤t≤4
¿Qué significado tienen los valores obtenidos en
cada columna? Determine las unidades en las que
se expresan los mismos. ¿Qué puede decir con
respecto a la velocidad de la piedra en todo su
trayecto? Estime la velocidad de la piedra a los 3
segundos de iniciado el movimiento.
La resolución de esta actividad requiere que el alumno traduzca del registro algebraico al numérico y gráfico
además de interpretar lo realizado en el registro coloquial. Se presenta una función definida algebraicamente y
se solicita la medición de los cambios y el análisis del comportamiento de los mismos. Con las respuestas, el
docente puede indagar las concepciones de los alumnos sobre el movimiento variado.
De ochenta y tres trabajos que se obtuvieron en total, no se observaron dificultades mayores para completar la
tabla, ya que aproximadamente lo hizo de manera correcta el 94%. Solamente cinco grupos cometen errores al
evaluar s(t).
El 86% traza correctamente la gráfica y un sólo grupo no la hace. En los doce trabajos en los que la
representación no es correcta, observamos que no coinciden los valores marcados con los de la tabla. En la
mayoría de las representaciones el problema fue que empiezan y terminan la curva en s = 0.
Llama la atención que prácticamente el 56% de los grupos no mostró en la gráfica las medidas solicitadas. Esto
nos muestra las dificultades que presentan para interpretar y relacionar lo realizado en la tabla con respecto a
los cambios y la gráfica.
A la pregunta sobre qué significado tienen los valores obtenidos en cada columna, cinco grupos (6%) no
responden. Sólo veintiún grupos (el 25% aproximadamente) responden correctamente, expresando que Δs
representa el cambio de posición y
Δs
representa la velocidad de la piedra, aunque muchos no aclaran que se
Δt
trata de la velocidad promedio en el intervalo correspondiente.
Página 133
Algunas de las respuestas que no fueron consideradas correctas, aportan información sobre el movimiento de la
piedra pero no solicitada en la pregunta. Algunas fueron: “La piedra sube hasta cierto punto y luego cae”; “La
primer columna nos informa sobre el ascenso y descenso de la piedra y la segunda columna lo mismo pero en
relación al tiempo”; “La variación de la posición va aumentando hasta cierto punto luego comienza a disminuir
progresivamente. Aumenta en las dos primeras unidades y luego disminuye. No son constantes”; “La variación
de posición no se mantiene constante por cada unidad de tiempo”.
En relación a la pregunta sobre la velocidad de la piedra en todo su trayecto, pretendíamos simplemente que
observen que la velocidad no es constante, respuesta detectada en el 21,7% de los trabajos. Cuatro grupos
respondieron que la velocidad decrece hasta los dos segundos, cuando alcanza la altura máxima, y aumenta
desde los dos segundos hasta los cuatro. No se encuentran referencias al hecho de que la velocidad es negativa,
por lo que en realidad esta no aumenta, sino la rapidez.
Cinco grupos no respondieron a esta pregunta.
En las respuestas notamos confusión entre la posición de la piedra y la velocidad. Dieciocho grupos (21,7%)
responden: “aumenta hasta dos segundos y a partir de ese instante comienza a disminuir”. Otras respuestas
fueron: “La piedra comienza a ascender hasta un punto máximo y luego desciende”, “La velocidad va
disminuyendo con el paso del tiempo”, La velocidad con que fue lanzada fue la misma con la que cayó”.
La última pregunta, referida a la velocidad del móvil a los tres segundos de iniciado el movimiento, la habíamos
incluido para indagar sobre las concepciones de los alumnos acerca de la velocidad en un instante. Queríamos
averiguar si eran capaces de calcular la velocidad en un intervalo pequeño como aproximación a lo pedido.
Presentamos las repuestas más significativas por los porcentajes detectados.
En veinticinco trabajos (30,12%) los alumnos calcularon
8 m
m
= 2,66
. Observamos que dividen el valor
3 seg
seg
que corresponde a la posición de la piedra en el instante t = 3 por el tiempo transcurrido hasta el instante pedido
(3 segundos). Un sólo grupo de los mencionados considera que la velocidad es negativa. Otro grupo escribe el
⎛ km ⎞
mismo valor pero con la unidad incorrecta ⎜
⎟.
⎝ seg ⎠
El 25,3% del total (veintiún grupos) calcula la velocidad promedio en el intervalo comprendido entre t = 0 y t =
3 segundos. Realizan
8−2
m
, de los cuáles sólo uno la da con el signo negativo.
=2
3−0
seg
Otros grupos (once, que corresponden al 13,25%) respondieron directamente 8
m
lo que resulta al dividir el
seg
valor de la posición de la piedra en t = 3 por un segundo.
Siete grupos no respondieron la pregunta (8,43%) y sólo uno dio la respuesta correcta, que fue calculada a
través del límite (el grupo estaba formado por alumnos recursantes a la asignatura).
Las demás respuestas fueron variadas pero ninguno intentó hacer una aproximación de la velocidad.
Página 134
Actividad. En un experimento de laboratorio se estudió la caída libre de una bola de hierro pequeña. La gráfica
muestra el espacio e recorrido por la bola (en centímetros) en función del tiempo t (en segundos).
a) Determine la velocidad promedio de la bola en el intervalo de
1 a 2 segundos.
b) Observe el gráfico y complete la tabla considerando los
intervalos (1, 1 + Δt), teniendo en cuenta los valores de Δt que
aparecen en la primer fila de la tabla.
Δt
Intervalo
(1, 1 + Δt)
Espacio
recorrido
Velocidad
promedio
0,8 seg.
0,6 seg.
0,4 seg.
0,2 seg.
c) En cada uno de los siguientes gráficos, calcule la pendiente de la recta que une los puntos A y B. Relacione
los valores de las pendientes con los cálculos realizados en los incisos anteriores. Dibuje la recta.
Nota. Por razones de espacio los gráficos no se incluyen. En cada uno se presenta la misma gráfica de
arriba y se representan los puntos A y B que son los que tienen como abscisa los extremos de los intervalos
de los incisos a) y b).
d) ¿Cuál es aproximadamente la velocidad de la bola en el instante t = 1 segundo?
e) Dibuje la recta tangente a la gráfica en el punto A. ¿Qué relación existe entre la pendiente de esta recta y la
velocidad pedida en d)?
Nota. El gráfico no se incluye. El punto A corresponde a la abscisa t = 1.
En esta actividad se relaciona el concepto de razón de cambio con su interpretación geométrica como pendiente
de una recta. Esto ayuda a introducir este aspecto esencial en la construcción del concepto de derivada, que se
presenta como un obstáculo para los alumnos y provoca numerosas dificultades.
Del total de trabajos (ochenta y tres), ocho grupos no respondieron esta actividad. Según lo observado por el
docente presente en el aula, esto puede deberse en parte a que era la última actividad a responder y algunos no
tuvieron tiempo para desarrollarla.
De las respuestas al primer inciso observamos que lo hicieron de manera correcta cincuenta y siete grupos (el
85,5 %). Tres grupos (4%) dan la respuesta pero la unidad usada es incorrecta. Además, en otros tres trabajos
expresaron que en el intervalo dado la bola recorre 45 centímetros en un segundo, lo que muestra que tienen
idea de velocidad pero no logran enunciarla correctamente.
En el inciso b) debían completar la tabla. Con respecto a los intervalos fueron armados correctamente por
sesenta y dos grupos (74,7%). Diez grupos, aproximadamente el 12%, no responden a esta consigna y el resto lo
hace de manera incorrecta.
Página 135
En relación al espacio recorrido en el intervalo determinado anteriormente, catorce grupos no responden
(16,9%) y dieciséis (19,3%) no lo hacen de manera correcta. En estos trabajos encontramos como errores más
significativos que consideran como espacio recorrido la posición de la partícula en los instantes t = 0,8; 0,6; 0,4
y 0,2 segundos o bien la posición en t = 1,8; 1,6; 1,4 y 1,2 segundos.
En cuanto a la velocidad promedio, catorce grupos no responden (casi el 17%), cuatro lo hacen de manera
incorrecta y el resto la calcula correctamente, aunque en algunos casos no obtienen la respuesta esperada ya
que arrastran errores del inciso anterior.
En el siguiente ítem los alumnos debían dibujar las rectas secantes, calcular sus pendientes y relacionar los
resultados con lo obtenido anteriormente. No respondieron a este inciso dieciséis grupos (19,3%). El cálculo de
las pendientes fue incorrecto en catorce trabajos (prácticamente el 17%). En los demás trabajos (cuarenta y
cinco), los resultados para las pendientes fueron correctos, considerando valores aproximados. Observamos que
un gran número de grupos no percibe que son los mismos cálculos que para la última fila de la tabla y no
trabaja con los mismos valores del inciso anterior. Es así que sólo diecisiete grupos (20,5%), expresan la
relación entre las pendientes y las velocidades promedio, de las cuales trece respuestas fueron correctas.
Con respecto al dibujo de las rectas, la actividad es respondida por treinta y ocho grupos (45,8%). Veintisiete lo
hacen correctamente y once dibujan el segmento que une los dos puntos.
Ningún grupo resuelve correctamente el inciso d). Veintisiete grupos no responden (32,5%) y el resto lo hace de
manera incorrecta. De éstos, treinta (un poco más del 36%) señalan que la velocidad en ese instante es 15
cm
.
seg
El valor 15 corresponde a la posición de la bola en t = 1 segundo. A pesar de que se presentó la tabla con
intervalos de tiempo cada vez más pequeños, intentando hacerlos razonar sobre el proceso requerido para
calcular la velocidad instantánea, no lograron llegar a una respuesta.
El dibujo de la recta tangente en el último inciso es realizado por veintisiete grupos (32,5%). Uno sólo la dibuja
mal y los demás trabajos la grafican correctamente. En diez trabajos (12%), los alumnos expresan de manera
aceptable la relación entre la pendiente de la recta tangente y la velocidad en un instante, en once lo hacen de
manera incorrecta y el resto no responde a este apartado. Sin embargo ningún grupo expresa que el valor de la
pendiente debe ser el mismo que el resultado obtenido en el inciso anterior. Los alumnos que expresan la
relación habían cursado la materia el año anterior pero no son capaces de reconocerla y aplicarla a la
situación.
Reflexiones
La formación de las nociones de variable, función y derivada se basan en el entendimiento de los procesos de
cambio, fundamentales para el desarrollo de un pensamiento y lenguaje variacional. Un escaso desarrollo de los
procesos de cambio impedirá lograr profundidad en las concepciones relativas al cálculo. Este desarrollo no se
logra de manera instantánea, es necesaria una preparación adecuada.
Página 136
El análisis de las dificultades en la resolución de las diferentes actividades nos permitió reflexionar sobre los
procesos de enseñanza. En primer lugar resaltamos la importancia de analizar el tratamiento del tema funciones
ya que muchos de los problemas están relacionados con este concepto.
Del análisis de las respuestas surgieron las dificultades que tienen los alumnos para relacionar de manera correcta
los diferentes registros. Es necesario promover las tareas que conectan los distintos sistemas de representación ya
que permiten acercar al alumno al concepto desde diferentes perspectivas, favoreciendo la visualización de las
ideas, lo que los llevará a la aprehensión de los distintos conceptos.
Desde un punto de vista actitudinal, el trabajo realizado resultó interesante tanto para los alumnos como para los
docentes. Creemos que la modalidad de trabajo los motivó a la búsqueda de sus propias estrategias de solución
para resolver los problemas planteados. De esta manera logramos promover un aprendizaje más activo, junto con
la posibilidad de ayudar a que aprendan mediante la construcción y la reflexión, alentando la discusión de
distintas estrategias y soluciones, así como motivar explicaciones que llevan a comenzar procesos de
argumentación y demostración.
Destacamos este tipo de propuesta que nos permite analizar las producciones de nuestros alumnos ya que sus
respuestas nos proporcionan una idea clara de sus concepciones por lo que resulta primordial en nuestra tarea de
acercarnos a comprender sus procesos de pensamiento. El análisis y valoración de los resultados de la experiencia
será tenido en cuenta para la toma de decisiones en acciones futuras.
Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y
didácticos. En Artigue, M.; Douady, R.; Moreno, L. y Gómez, P. (editor). Ingeniería didáctica en educación
matemática (pp. 97-140). México: Una Empresa Docente y Grupo Editorial Iberoamérica.
Azcárate, C.; Bosch, D.; Casadevall, M.; Casellas, E. (1997). Cálculo diferencial e integral. España: Síntesis.
Cantoral, R. y Mirón, H. (2000). Sobre el estatus de la noción de derivada: de la epistemología de Joseph Louis
Lagrange al diseño de una situación didáctica. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa, 3(3), 265-292.
Carabús, O. (2002). El Aprendizaje del Cálculo en la Universidad. La Conceptualización de la Derivada de una
Función y sus Niveles de Comprensión. Producciones Científicas NOA. Sección: Educación y Sociedad.
Catamarca. Obtenido en diciembre 13, 2006 de http://www.editorial.unca.edu.ar /NOA2002 /
Aprendizaje%20Calculo%20Universidad.pdf (pp.1-11)
D´Amore, B. (2002). La complejidad de la noética en matemática como causa de la falta de devolución. Revista
TED de la Universidad Pedagógica de Bogotá. Colombia, 11, 63-71.
Dolores, C. (1999). Una introducción a la derivada a través de la variación. México: Grupo Editorial
Iberoamérica.
Dolores, C. (2007). La derivada y el Cálculo. Una mirada sobre su enseñanza por medio de los textos y
programas. En Dolores, C.; Martínez, G.; Farfán, R.; Carrillo, C.; López, I. y Navarro, C. (Eds.). Matemática
Página 137
Educativa. Algunos aspectos de la socioepistemología y la visualización en el aula. (pp. 2-25). México:
Ediciones Díaz de Santos.
Duval, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En Hitt, F.
(Ed.). Investigaciones en Matemática Educativa II (pp. 173-201). México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Traducción de: Registres de représentation sémiotique et functionnement cognitif de la pensée. Annales de
Didactique et de Sciences Cognitives. Vol. 5 (1993).
Engler, A., Vrancken, S. y Müller, D. (2003a). La derivada: actividades que favorecen su comprensión. Revista
Novedades Educativas, 15 (146), 32-36.
Engler, A., Vrancken, S. y Müller, D. (2003b). Derivada y función derivada: su aporte en el estudio del
comportamiento de la función. Revista Novedades Educativas, 15 ( 153), 30-37.
Rico, L. (2001). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en Educación
Matemática. En Contreras, L...[et al.] (eds.). Actas del IV Simposio de la SEIEM (pp. 219 – 231). Huelva,
España: Servicios de Publicaciones, Universidad de Huelva.
Página 138
UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO
Anido, Mercedes; Rubio Scola, Héctor E.
FCEIA - FCEE – CIUNR - Universidad Nacional de Rosario, Argentina.
[email protected]
Nivel terciario
Palabras Claves: Ingeniería Didáctica, vector, Comprensión flexible.
Resumen
En el contexto de un curso de un primer año de Álgebra y Geometría Analítica desarrollado en una facultad de
ingeniería es importante y básico el concepto de distancia. Este se plantea a través de distintas situaciones:
distancia entre dos puntos, distancia de un punto a una recta en el plano, distancia de un punto a un plano en el
espacio, de distancia de un punto a una recta en el espacio y distancia entre recta alabeadas. En todos estos casos
el concepto geométrico de distancia es esencial en la modelización matemática en distintas dimensiones de
problemas, principalmente de optimización, para distintas aplicaciones tanto en las áreas de ingeniería como de la
economía. En este trabajo nos centraremos en el concepto de distancia de un punto a una recta en el espacio
pensada como longitud, sin convenciones sobre signo.
El problema de obtención de la distancia de un punto a una recta en el espacio presenta aristas delicadas.
Geométricamente ¿Cómo se construye? Y aunque se perciba la existencia de esa distancia geométrica en el
espacio ¿Qué proceso analítico lleva a su cálculo? Precisamente el problema de didáctico investigación se centra
en la construcción geométrica mental por los alumnos de la distancia geométrica y en la comprensión de la
traducción analítica de esa construcción a una fórmula o proceso de obtención numérica
En este trabajo, se presentan, como producto de una Ingeniería Didáctica, distintos casos constituidos por
propuestas de los alumnos a la solución del problema geométrico que plantea la obtención de la distancia de un
punto a una recta en el espacio.
Introducción
En esta trabajo y como una nueva etapa de los análisis realizados en construcción del concepto de vector (Anido,
Katz, Guzman, 2007) y su aplicación a la construcción de la Geometría Lineal del espacio, se presentan distintos
casos constituidos por propuestas de los alumnos a la solución de un problema geométrico: la obtención de la
distancia de un punto a una recta en el espacio.
En el contexto de un curso de un primer año de Álgebra y Geometría en una facultad de ingeniería es importante
y básico el concepto de distancia. Este se plantea a través de distintas situaciones: distancia entre dos puntos,
distancia de un punto a una recta en el plano, distancia de un punto a un plano en el espacio, de distancia de un
punto a una recta en el espacio y de distancia entre recta alabeadas. En todos estos casos el concepto geométrico
de distancia es esencial en la modelización matemática en distintas dimensiones de problemas, principalmente de
optimización, para distintas aplicaciones tanto en las áreas de ingeniería como de la economía. En este trabajo
nos centraremos en el concepto de distancia de un punto a una recta en el espacio pensada como longitud, sin
convenciones sobre signo.
El problema de obtención de la distancia de un punto a una recta en el espacio presenta aristas delicadas.
Geométricamente ¿Cómo se construye? Y aunque se perciba la existencia de esa distancia ¿Como se materializa?
Precisamente el problema de didáctico investigación se centra en la construcción geométrica mental por los
Página 139
alumnos de la distancia geométrica y en la comprensión de su traducción analítica a una fórmula o proceso de
obtención numérica.
Este problema tradicionalmente se ha considerado, como un tema en el que el profesor debe presentar una
fórmula, como aplicación casi directa del producto vectorial, perdiéndose la enorme riqueza de situaciones
adidácticas a la que el análisis geométrico del problema, por los mismos alumnos, puede llevar. Precisamente el
objetivo del trabajo es el análisis de esas situaciones adidácticas que genera el problema. Situaciones adidácticas
en el sentido de Brousseau, como juego de propuestas de solución imprevistas por el docente.
Metodología
Se trata de un estudio de casos realizado con la metodología de investigación de la Ingeniería Didáctica (Artigue,
1995) en un contexto de un primer curso normal (60 alumnos) de Álgebra y Geometría (primer cuatrimestre de
primer año)
Análisis previos: fundamento teórico
En el marco de la Ingeniería Didáctica a la que dan lugar el aprendizaje de problemas de este tipo, interesa en la
fase correspondiente a los “análisis previos”, determinar en que concepción de la comprensión de problemas
geométricos trabajaremos.
En una posición abierta a la integración de distintas corrientes teóricas, se considera que a esos estudios
preliminares se pueden integrar algunos elementos teóricos de análisis propios de la propuesta denominada
“Enseñanza para la Comprensión” como herramientas útiles para el enfoque de la actividad didáctica que genera
el problema.
Esta propuesta se originó en la Escuela de Graduados de Educación de Harvard y tiene como representantes
principales a Howard Gardner, David Perkins y Vito Perrone. En ella, como su nombre lo indica, el papel central
se encuentra en la comprensión, es decir la habilidad de pensar crítica y constructivamente para actuar con
flexibilidad a partir de lo que se ha aprendido.
Es conveniente desarrollar la idea de la comprensión, pues ésta constituye el núcleo central de la propuesta desde
una perspectiva pedagógica.
En la propuesta de la Enseñanza para la Comprensión se la entiende como la habilidad de pensar y actuar
flexiblemente con lo que uno conoce. Es decir, que no se reduce únicamente al saber como sinónimo de
conocimiento, sino que además implica la idea de poder hacer uso de él de manera variada.
Si un estudiante no puede ir más allá de un pensamiento y acción memorísticos, rutinarios, significa que hay falta
de comprensión.
Para apreciar la comprensión de una persona hay que 1) solicitarle que haga algo para usar o poner en práctica la
comprensión: explicar, resolver un problema, construir un argumento, armar un producto, 2) lo que los
estudiantes hacen no sólo muestra su comprensión actual, sino que también es probable que logren mayores
Página 140
avances al usar su comprensión como respuesta a un reto en particular y llegar a comprender mejor lo que se
suponía comprendido.
En consecuencia, existe una identificación entre lo que es la comprensión y el Y lo que Perkins (2004) llama
desempeño flexible. “Comprender un tópico quiere decir ni más ni menos que ser capaz de desempeñarse
flexiblemente en relación con el tópico: explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de maneras que van más
allá del conocimiento y la habilidad rutinaria. Comprender es cuestión de ser capaz de pensar y actuar con
flexibilidad a partir de lo que uno sabe. La capacidad de desempeño flexible es la comprensión”.
Por otra parte desde la Escuela Francesa Brusseau, ya en 1986, define una situación didáctica como un conjunto
de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno o
medio (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor, con el fin de permitir a los alumnos aprender, es
decir construir o reconstruir, algún conocimiento y da paso a una nueva definición cuando expresa : “La
concepción moderna de la enseñanza va a exigir al maestro que provoque en el alumno las adaptaciones deseadas
por una elección sensata de “los problemas” que el propone. Estos problemas, elegidos de modo tal que el
alumno pueda aceptarlos, deben hacerlo actuar, hablar, reflexionar, evolucionar por su propio movimiento. Entre
el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquel en que se produce su respuesta, el maestro
se rehúsa a intervenir en calidad de oferente de los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe que el
problema fue elegido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este
conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que puede construir sin tener
presente razones didácticas. Tal situación es llamada situación adidáctica”.Sintetiza esta idea cuando dice que una
situación adidáctica es la situación matemática específica del conocimiento concreto que por sí misma, sin apelar
a razones didácticas y en ausencia de toda indicación intencional, permite o provoca un cambio de estrategia en el
alumno”.
Pensamos, siempre desde una posición propia, que en las “situaciones adidácticas”, que según Brusseau se debe
provocar en alumno, se sumarian por la proposición de problemas adecuados, las capacidades de vinculación y
extrapolación de conocimientos adquiridos, a otras formas de resolución en la búsqueda de la flexibilidad que
interesa.
Otro tema a tener en cuenta en los análisis previos, está constituído por las competencias de los estudiantes para
abordar el tema. En este caso los alumnos participantes de la experiencia son alumnos ingresantes a la
universidad que ya en un segundo mes de clase han elaborado los conceptos básicos de la Geometría Lineal del
plano y el espacio con un enfoque vectorial (Anido, Katz, Guzman, 2007) o sea conocen los espacios vectoriales
de los segmentos orientados en un eje, en el plano y en el espacio y su correspondencia con los espacios
vectoriales, que la consideración de las respectivas bases, generan en R1, R2, R3. En relación a la temática propia
de la Geometría Analítica, conocen las ecuaciones de la recta en el plano, la recta en el espacio y el plano en el
espacio.
Página 141
La concepción y el análisis a priori
Se presenta como selección del profesor el siguiente problema para ser resuelto en forma grupal con un espacio
previsto a posteriori para el análisis y discusión de las distintas propuestas de solución
PROBLEMA: Dada la recta de ecuación
⎧ x = 3 + 2t
⎪
⎨ y = 2 + 6t
⎪ z = 4 + 3t
⎩
t ∈ℜ
y el punto P1 (4, 5, 7) hallar la distancia del punto a la recta.
Los alumnos ya han deducido y aplicado además las fórmulas de distancia de un punto a una recta en el plano y
distancia de un punto a un plano en el espacio.
Precisamente en este análisis a priori, sobre el impacto del problema, se prevé como obstáculos epistemológicos
los conceptos de: distancia de un punto a una recta en el plano y de distancia de un punto a un plano en el
espacio. En ambos casos la construcción geométrica intuitiva es fácil y la obtención de dos formulas análogas, a
partir de los datos, implica; en el marco del concepto de generalización de Polya (1981), una generalización en la
segunda de los procesos que llevaron a la obtención de la primera, Su obtención se basa en la proyección de un
vector que une el punto dado (según el caso en el plano o espacio) con un punto cualquiera de la recta o plano,
realizada sobre el vector normal a recta o plano. Estrategia que permite obtener analíticamente las fórmulas de
inmediata aplicación.
Desarollo y analisis a posteriori: las propuestas de los alumnos
Los alumnos trabajaron en grupos naturalmente constituidos. Las primeras experiencias infructuosas de intentos
de aplicación de las fórmulas conocidas sobre distancia de un punta a una recta en el plano o de distancia de un
punto a una recta en el espacio, mostraron que el obstáculo epistemológico previsto era acertado: querían
extender un procedimiento a una situación problemática que no le proporcionaba los datos para hacerlo (no existe
una ecuación de la recta en el espacio que generalice la forma de la ecuación de la recta en el plano), A pesar de
esta primer dificultad no se amilanaron. Se observaron dibujos como figuras de análisis en otros grupos
materializaciones de los elementos geométricos dados como datos: la recta con reglas o filo de la puerta o aristas
del salón, la fijación de un punto en el espacio (punta de un dedo) y del segmento representativo de la distancia
que buscaban obtener.
A esas primeras etapas de discusión intergrupos, siguió la elaboración de distintas propuestas presentadas como
trabajo grupal. A continuación se transcriben con las representaciones realizadas por los alumnos.
Página 142
CASO 1
Consideramos el vector dirección de la recta dada, y vamos a determinar el plano π perpendicular a la recta que
contenga a P1. Encontraremos la intersección S de la recta dada con el plano y el modulo del vector
SP1
es la
distancia pedida.
u = (2, 6, 3)
→ π) 2 x + 6 y + 3 z + d = 0
Como queremos que contenga al punto P1(4, 5, 7)
reemplazamos
2. 4 + 6. 5 + 3. 7 +d = 0 → d = -59
La ecuación del plano que contenga a (4, 5, 7) será → 2 x +
6 y + 3 z - 50 = 0
Buscamos ahora la intersección entre la recta y el plano ,
resolviendo un sistema de ecuaciones
x = 3 + 2t
(1)
⎧
⎪
y = 2 + 6t
(2)
⎪
⎨
z = 4 + 3t
(3)
⎪
⎪⎩2 x + 6 y + 3 z − 59 (4)
Remplazando (1), (2) y (3) en (4) obtenemos: 2 (3+2t) + 6 (2+6t) + 3 (4+3t) - 50 = 0
Despejamos el parámetro “t”:
t=
29
49
Y reemplazando ahora t en (1), (2) y (3) obtenemos el punto S
29 205
⎧
x
=
3
+
2
=
⎪
49 49
⎪⎪
29 272
=
⎨y = 2 + 6
49
49
⎪
29
283
⎪z = 4+3 =
⎪⎩
49 49
Luego
S ∩π = (
205 272 283
,
,
)
49 49 49
El modulo del vector con origen en el punto intersección de (al que llamamos S) y extremo en el punto P1 nos
dará la distancia buscada
2
2
2
205 ⎞ ⎛
272 ⎞ ⎛
283 ⎞
⎛
δ (rP1 ) = SP1 = ⎜ 4 −
⎟ + ⎜5 −
⎟ ⎜7 −
⎟ ≅ 1,355..
49 ⎠ ⎝
49 ⎠ ⎝
49 ⎠
⎝
ANÁLISIS
Esta propuesta se ciñe a la definición y construcción teórica geométrica del concepto de distancia de un
Página 143
punto a una recta en el espacio. Es un camino conceptualmente rico porque además ya en el terreno de la
geometría analítica exige la interpretación geométrica de los coeficientes de la ecuación de un plano y la
comprensión del significado de ecuación de un lugar geométrico, en este caso un plano, en cuanto a que
la pertenencia de un punto significa la satisfacción de su ecuación.
SEGUNDA PROPUESTA
Consideramos un triángulo rectángulo formado
por P1, un punto cualquiera P0 de la recta y el
pie S de recta perpendicular por P1.
La distancia pedida es la longitud del cateto
P1 S
Para obtenerlo podemos, primero, calcular con los datos dados, el módulo de
P0 P1
y el módulo del vector
Pr oyu P0 P1 y aplicar luego el Teorema de Pitágoras para la obtención de un cateto conocida la hipotenusa y el
otro cateto.
P0 P1 = (4,−3,5,−2,7,−4) = (1,3,3) ⇒ P0 P1 = 12 + 32 + 32 = 19
1
Pr oyu P0 P1 =
Pr oyu P0 P1 =
u
. P0 P1 xu =
1
4 + 36 + 9
(2,6,3) x(1,3,3) =
1
29
29 =
7
7
2
2
Planteando el triangulo rectángulo P0 P1 S tendremos: P0 P1 = SP1 + Pr oyu P0 P1
S P1 = δ (rP1 ) =
δ (rP1 ) = 19 −
2
2
2
P0 P1 − Pr oyu P0 P1
29
≅ 1.355...
7
ANÁLISIS
La propuesta segunda, exige un buen manejo de la operatoria del álgebra vectorial y una buena
Página 144
comprensión del concepto de proyección de un vector sobre otro y muestra una concepción totalmente
vectorial de la Geometría Analítica.
CASO 3
Teniendo en cuenta la figura observamos que
cos α =
P0 P1 xu
P0 P1 u
P0 P1 = (1,3,3) →
P0 P1 = 12 + 32 + 32 = 19
u = 2 2 + 6 2 + 33 = 49 = 7
cos α =
P0 P1 xu
P0 P1 u
=
(1,3,3) x(2,6,3) 2 + 18 + 9
29
=
=
= 0.9504
19 7
7 19
19
P0 S = P0 P1 cos α = 19
29
7 19
Aplicando Pitágoras P1 S =
=
2
29
7
P0 P1 − P0 S
2
2
⎛ 29 ⎞
= 19 − ⎜ ⎟ ≅ 1,355
⎝ 7 ⎠
ANÁLISIS
Esta propuesta tercera, es análoga a la segunda pero muestra un menor grado de conocimiento de las
definiciones y propiedades vectoriales: los alumnos prescinden del concepto de vector proyección.
Hacen todo el desarrollo con conceptos trigonométricos que los llevan implícitamente , a la deducción
del módulo de la proyección de un vector sobre otro, concepto que se supone ya poseían
CASO 4
cos α =
P0 P1 xu
P0 P1 u
P0 P1 = (1,3,3) →
P0 P1 = 12 + 32 + 32 = 19
u = 2 2 + 6 2 + 33 = 49 = 7
Página 145
cos α =
P0 P1 xu
P0 P1 u
=
(1,3,3) x(2,6,3)
=
19 7
2 + 18 + 9
29
=
= 0.9504
7 19
19
Partiendo del coseno del ángulo α obtengo el seno y determino el valor del segmento P1 S = δ (rP1 )
2
⎛ 29 ⎞
841
90
senα = ± 1 − cos 2 α = 1 − ⎜⎜
=
⎟⎟ = 1 −
931
931
7
19
⎝
⎠
P0 S = δ (rP1 ) = P0 S senα = 19
90
1710
=
≅ 1,355.. (*)
931
931
ANÁLISIS
En esta propuesta los alumnos utilizan métodos trigonométricos que podrían haber inducido una
aplicación natural del módulo del producto vectorial ya conocido.
CASO 5
Este caso fue trabajado con los mismos alumnos de la propuesta 4 pero a requerimiento del docente por medio de
una pregunta guía
El docente plantea al grupo que trabajó la
propuesta 4 el siguiente problema.
Con los datos vectoriales del problema inicial ¿Es
posible calcular el seno de alfa directamente sin
conocer el coseno?
Un alumno recordó la fórmula del módulo del
producto vectorial
P0 P1 ∧ u = P0 P1 u senα
El docente plantea al grupo que trabajó la propuesta 4 el siguiente problema. Con los datos vectoriales del
problema inicial ¿Es posible calcular el seno de alfa directamente sin conocer el coseno?
Un alumno recordó a la fórmula del módulo del producto vectorial
P0 P1 ∧ u = P0 P1 u senα , y de allí reemplazan en (*): P0 S = δ (rP1 ) = P0 S senα =
P0 P1 ∧ u
u
de donde se obtiene la fórmula que pide el programa de la asignatura
Página 146
δ (rP1 ) =
P0 P1 xu
u
i j k
P0 P1 ∧ u = 1 3 3 = −9i + 3 j + 0k = (−9,3,0)
2 6 3
u = 4 + 35 + 9 = 49 = 7 , P0 P1 ∧ u = (−9) 2 + 32 = 90
δ (rP1 ) =
P0 P ∧ u
u
=
90
≅ 1,355
7
Caso 6
Imaginamos una esfera con centro en el punto
dado y tratamos de buscar condiciones para que la
recta dada la toque tangencialmente y en
consecuencia el radio sea la distancia del centro a
la recta buscada.
Sea
( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 + ( z − 7) 2 + = d 2
la ecuación de esa esfera.
Para buscar la intersección con la recta dada plantemos el sistema
x = 3 + 2t
⎧
⎪
y = 2 + 6t
⎪
⎨
z = 4 + 3t
⎪
⎪⎩( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 + ( z − 7) 2 + = d 2
(1)
( 2)
(3)
( 4)
P = (4,5,7)
Lo resolvemos por sustitución reemplazando (1), (2), (3), en (4) y obtenemos una ecuación de segundo grado en t
(3 + 2t − 4) 2 + (2 + 6t − 5) 2 + (4 + 3t − 7) 2 + = d 2
(−1 + 2t ) 2 + (−3 + 6t ) 2 + (−3 + 3t ) 2 + = d 2
Página 147
49t 2 − 58t + 19 = d 2
Para que tenga solución única (pueden ser 0 o 1 o 2 soluciones), o sea que la recta sea tangente a la esfera, el
discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser igual a cero.
Δ = b 2 + ac = 0 ⇒ 3364 − 4,49(19 − d 2 ) = 0 ⇒ 3364 − 3724 + 196d 2 = 0
− 360 + 196d 2 = 0 ⇒ −360 + 196d 2 = 0 ⇒ 196d 2 = 360 ⇒ d 2 =
Tomando el valor positivo obtenemos d =
360
196
90
90 3 10
=
=
49
7
7
ANÁLISIS
Esta solución sorprendente implica un pensamiento algebraico geométrico no habitual en alumnos con la
formación previa dada.
En el grupo que la presentó uno de los integrantes ha sido un alumno que en otras oportunidades generó
situaciones adidácticas inesperadas.
Conclusión
Respecto al marco teórico referencial de la enseñanza para la comprensión 1) El problema planteado promovió la
explicación, resolución, construcción de argumentos y armado de un producto, 2) lo que los estudiantes hicieron
no sólo muestra su comprensión actual, sino que llegaron a discutir sobre lo que se suponía comprendido por
ejemplo la equivalencia de algunos procedimientos y las supuestas ventajas de unos sobre otros.
Lo que mas vale ser destacado como positivo de esta experiencia es precisamente el grado de implicación, interés
y motivación de los estudiantes que legitima el espacio dedicado a trabajos de esta tipo y le otorga lo que Godino
llama idoneidad emocional, además de la idoneidad cognitiva que surge de la riqueza de las situaciones
adidácticas planteadas (Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2007).
La metodología de trabajo que transforma el aula en un taller de conocimiento promueve, la perseverancia,
responsabilidad y la autoestima que surge de la puesta en juego de sus potencialidad en la resolución de
problemas - Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
En cuanto a la interacción docente alumno:
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase y no la exclusión. La interacción entre alumnos
se favorece por el diálogo y comunicación entre los estudiantes que disparan las respuestas a veces no esperadas Se favorece la inclusión en grupos y el trabajo colaborativo.
Respecto a autonomía se han contemplado momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del
estudio (exploración, formulación y validación de la propuesta realizada).
Página 148
Anido, M. ; Guzmán, M.; Katz, R. (2007) La construcción de una representación geométrica del espacio
vectorial. 9no. Simposio de Educación Matemática. Chivilcoy - Buenos Aires – Argentina.
Artigue, M., Douday, R., Moreno, I. Y Gómez, P. (1995) Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Bogotá,
Colombia: Grupo Editorial Iberoamericano.
Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de didáctica de la matemática. Publicaciones del Seminario
García de Galdeano. Universidad de Zaragoza. (Traducción de "Fondements et méthodes de la didactique des
mathématiques", Recherches en Di-dactique des Mathématiques, 7.2, La Pensée Sauvage, Grenoble).
Brousseau, G. (1996) “La Didàctica de les Matemàtiques en la formació del profesorat”. Butlletí de la Societat
Catalana de Matemàtiques, 11(1), 33-45.
Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2007). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica
de procesos de estudio de las matemáticas. Paradigma, Volumen XXVII, Nº 2 (en prensa).
Perkins, D. (2004). Teaching for Meaning - Knowledge Alive - To create, communicate, organize, and act on
knowledge -- These four skills encompass a neglected curriculum. Educational Leadership : Journal of the
Department of Supervision and Curriculum Development, N.E.A.. 62(1), 14.
Polya G. (1981). Matemática y Razonamiento Plausible. Editorial Tecnos, Madrid.
Página 149
APRENDER A DEMOSTRAR:
REFLEXIONES PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Malva Alberto; Juan Pablo Puppo; Gabriela Roldán
Facultad Regional Santa Fe - Universidad Tecnológica Nacional - Argentina
Facultad Ciencias Económicas - Universidad Nacional del Litoral- Argentina
[email protected]
Niveles Secundario y Terciario
Palabras claves: habilidades; demostrar; justificar; teoremas
Resumen
En los últimos años hemos observado un creciente interés en la educación matemática por la problemática de la
enseñanza y el aprendizaje de la demostración. En numerosos documentos consultados del Ministerio de
Educación y en diversos trabajos presentados en Congresos nos encontramos con claros mensajes sobre la
necesidad de la argumentación, la demostración, la justificación; allí se citan expresamente la investigación de la
validez de generalizaciones, el uso y explicación del valor del contraejemplo para rebatir generalizaciones e
hipótesis, la utilización e interpretación correctas de los términos tales como: "si....entonces", "y", "o",
"suficiente", "necesario", "causa de", "si y sólo si...". La enumeración continúa con la elaboración de
proposiciones condicionales distinguiendo hipótesis de conclusiones, diferenciación entre razonamientos
inductivos y deductivos, realización de demostraciones matemáticas sencillas, etc. Este interés parece justificado
por los procesos de validación que son propios del quehacer matemático y por el bajo nivel que muestran
nuestros estudiantes en la comprensión y elaboración de demostraciones. En este taller compartiremos
actividades favorecedoras para internalizar habilidades para demostrar, validar, justificar, explicar, argumentar,
mostrar; nos acercaremos a las demostraciones contextualizadas desde la lógica y los sistemas formales;
incluiremos además ejemplos justificados desde la práctica de la educación matemática impartida en nuestras
aulas tales como pruebas por implicaciones directas, por contra recíproco y por el absurdo; propondremos
ejemplos sencillos para ser iniciados en la educación secundaria y complejizados en la formación superior con el
objetivo de favorecer una inclusión efectiva y eficaz de la demostración en la educación matemática de los
jóvenes.
1. Justificación
Es nuestra intención fundamentar la necesidad de introducir desde los primeros cursos de matemática aquellos
conceptos y procedimientos que favorezcan en los estudiantes el logro de las habilidades para demostrar, mostrar,
probar, argumentar, validar.
En los últimos años hemos observado un creciente interés en la educación matemática por la problemática de la
enseñanza y el aprendizaje de la demostración. Este interés parece justificado por los procesos de validación que
son propios del quehacer matemático y por el bajo nivel que muestran nuestros estudiantes en la comprensión y
elaboración de demostraciones. En este taller compartiremos actividades referidas a vocablos tan emparentados
como demostrar, validar, justificar, explicar, argumentar, mostrar; nos acercaremos a algunas demostraciones
desde la lógica y los sistemas formales; incluiremos ejemplos que utilizamos en nuestra propia práctica docente
y que comprenden pruebas por implicaciones directas, por contra recíproco y por el absurdo; propondremos
ejemplos sencillos para ser iniciados en la educación secundaria y complejizados en la formación superior con el
Página 150
objetivo de favorecer una inclusión efectiva y eficaz de la demostración en la educación matemática de los
jóvenes. Queremos compartir una propuesta sobre cómo iniciar a los estudiantes en el intento por demostrar;
queremos señalar caminos y tendencias sobre cómo favorecer la internalización de la habilidad cognitiva que
estamos requiriendo en los alumnos universitarios sobre los porqués, sobre la necesidad de justificar
procedimientos, mostrar deducciones, argumentar hechos y precisar razonamientos matemáticos.
Tenemos en la historia de la enseñanza de la Matemática fuertes debates y escuelas que han marcado rumbos
respecto del uso didáctico de la demostración desde temprana edad. Son bien conocidos por los docentes del
profesorado los acalorados debates en décadas pasadas sobre la demostración de la irracionalidad de
2 , por
ejemplo, además de la enseñanza de la geometría y de la lógica, de las estructuras algebraicas y la teoría de
conjuntos, por citar sólo algunos. Ya en la década del 60, autores como Burton, W., Kimball, R., Wing, W.,
(1969, p. 507) señalan que “los estudiantes comprenderán mejor la naturaleza de la demostración matemática si
este concepto es desarrollado en forma lenta, desde temprana edad y elaborado a partir de aquello que al alumno
le resulta familiar”. Los mismos autores dicen que los contenidos disciplinares de la lógica matemática brindan
elementos para adquirir un pensamiento crítico y eficaz, más preciso y científico y dan herramientas para
argumentar situaciones diversas, evitando las ambigüedades. Los razonamientos matemáticos enfatizan algunos
elementos del análisis de tipo lógico que son necesarios para comprender el lenguaje de la matemática y la
estructura propia de sus demostraciones.
Más recientemente, en la década de los 90, los Contenidos Básicos Comunes para el Tercer Ciclo de la Educación
General Básica y los de la Educación Polimodal, indican la necesidad de rescatar el uso y explicación del valor
del contraejemplo para rebatir generalizaciones e hipótesis, la utilización e interpretación correctas de los
términos relacionales tales como: "si ... entonces", "y", "o", "suficiente", "necesario", "algunos", "todos", "no
correlacionado con", "causa de", "si y sólo si...". La enumeración continúa con la elaboración de proposiciones
condicionales distinguiendo hipótesis de conclusiones, discriminación entre razonamientos inductivos y
deductivos, realización de demostraciones matemáticas sencillas, etc.
En la educación secundaria no se ha avanzado demasiado en cómo fundamentar la verdad de ciertas
afirmaciones. En muchos casos, percibimos en los alumnos de nivel medio la tendencia por argumentar sólo las
proposiciones falsas mediante el uso de contra ejemplos. Mientras que si la afirmación es verdadera, se justifica
porque es una definición dada o un teorema enunciado en clases (que pocas veces es demostrado). Acciones
reiteradas en este sentido crean una concepción parcial y hasta errónea acerca del rol de la demostración como
actividad matemática.
Con respecto al cómo hacerlo o desde qué momento hacerlo, contamos con aproximaciones a la respuesta y son
las que queremos compartir.
2. Resultados desalentadores
Hemos encontrado en nuestra práctica docente en el aula graves dificultades para demostrar todo tipo de
teoremas o propiedad, incluso después de haber cursado la materia. Las siguientes demostraciones fueron pedidas
Página 151
en los exámenes de los últimos dos años para alumnos universitarios que finalizaron el cursado del primer
cuatrimestre, en distintas cátedras.
“Para a, b ∈ Ν y d = mcd (a, b). Demuestra que d es único”. Ninguno de los 18 alumnos que rindió el examen
dio una respuesta correcta y sólo 3 de ellos obtuvieron una aproximación. Similarmente ocurrió con la siguiente:
“Si p, q son números primos, demuestra que p divide a q si y sólo si p = q”. En este caso, 2 alumnos
fundamentaron adecuadamente; 5 alumnos obtuvieron una aproximación a lo pedido y 11 no respondieron.
“Sea A una matriz de orden nxn, demuestra que (AAt)t = AAt ”. O similarmente “Sea A una matriz de orden nxn,
demuestra que (A+At)t = A + At . Sólo un 10 % de los alumnos realizó correctamente estas demostraciones. Un
50 % de los alumnos dio ejemplos numéricos como argumento para la validez y el 15 % realizó un
procedimiento aplicando propiedades pero partiendo de la tesis. Un 12 % aproximadamente demuestra la
propiedad para el caso particular de una matriz de 2x2 y el resto de los alumnos no respondió.
“Sean A, B y C matrices de orden nxn. Si AB = AC y A tiene inversa, entonces B = C”. Muy frecuentemente
encontramos justificaciones del tipo: como B = C, si se multiplica ambos lados de la igualdad por A se obtiene
AB = AC; lo que nos da la pauta de la falta de identificación de la hipótesis y la tesis que tiene implícita la
proposición.
Hemos encontrado que el 90% de los alumnos que rindieron un examen dijo que la implicación “Dada una
sucesión de números reales {an}, si lim a n = 0 ⇒
n →∞
∞
validez del teorema “Si
∑a
n =1
n
∞
∑a
n =1
n
es convergente” es verdadera, justificándola con la
es convergente ⇒ lim a n = 0 ”, considerando la implicación directa y su
n →∞
recíproca como equivalentes. La aplicación correcta del teorema es un buen ejercicio para analizar condiciones
necesarias y/o suficientes.
Numerosos son los ejemplos que justifican nuestra preocupación sobre las carencias
y vacancias que
encontramos en la habilidad para demostrar. El inicio temprano y el ejercicio continuado de la demostración se
tornan imprescindibles.
3. Propuestas de trabajo para el Taller
Las siguientes son actividades que serán socializadas durante el taller. En algunos casos, la escogencia tiene su
fundamento en los resultados logrados durante el trabajo áulico; otras actividades fueron diseñadas
con
intencionalidad, esperando a priori, mejores desempeños; otras están contextualizadas para reforzar la habilidad
para demostrar en distintos niveles y con contenidos diversos.
Las enseñanzas de este maestro siguen muy vigentes: Santaló, L. (1997) dice que hay ciertos conocimientos de
lógica que deben usarse con frecuencia para que vayan siendo asimilados como parte natural del lenguaje y del
pensar cotidianos, más que como conceptos adquiridos a través de un aprendizaje especial. Veamos el caso de las
proposiciones lógicamente equivalentes o de los condicionales equivalentes, los que pretendimos descubra el
alumno mediante el diseño e implementación de una adecuada secuencia didáctica. Para que el alumno asuma la
Página 152
situación como un compromiso personal pensamos ejemplos de uso corriente o del lenguaje diario, referentes a
casos concretos donde debe debatir e intercambiar ideas con sus compañeros, tutores o profesores. Se presenta la
siguiente situación con el objetivo de identificar y encontrar formas equivalentes para expresar implicaciones o
condicionales:
Por ejemplo: ¿Por qué se detiene un auto? La participación de los alumnos es muy rica y tiene una significación
social compartida: Un auto se detiene por diversos motivos. Por ejemplo, porque pasa un perro, un peatón, es
decir no sólo cuando el semáforo tiene la señal en rojo. Frente a estas respuestas de los alumnos, la intervención
del docente se produce pidiendo al alumno una respuesta a lo siguiente: ¿Es suficiente que el semáforo esté en
rojo para que los autos se detengan? En general, los alumnos justifican, por su razonamiento anterior, que el auto
se puede detener porque el semáforo tenga la señal en rojo pero también puede hacerlo por otros motivos, como
por ejemplo los ya mencionados. Afirman que la condición es suficiente pero no necesaria. Descubren entonces
que las afirmaciones A y B no son equivalentes.
Afirmación A: “Los autos se detienen si el semáforo tiene la señal en rojo”
Afirmación B: “Los autos se detienen sólo si el semáforo tiene la señal en rojo”
Se propone inmediatamente la discusión de una nueva oración disparadora. En el lenguaje comercial se utilizan
frases como por ejemplo:
“Si el consumidor paga con tarjeta de crédito entonces el precio aumenta en un 2%”.
“El consumidor paga con tarjeta de crédito sólo sí el precio aumenta en un 2%”.
¿Tienen los mismos valores de verdad?
En general, la participación de los alumnos en el razonamiento de estas y otras situaciones cotidianas resultó
abundante y exitosa. Podríamos decir, entonces, que los ejemplos que se propusieron son variables a tener en
cuenta, pues permitieron la evolución del conocimiento. Se cierra el debate final con la reflexión del docente
sobre lo realizado en las actividades presentadas, e institucionalizando el contenido emergente en la secuencia. El
condicional o implicación tiene numerosas formas de ser expresado. Comprender su significado cuando resulta
verdadero es muy importante.
Podemos afirmar que las oraciones “Los autos se detienen si el semáforo tiene la señal en rojo” y “Los autos se
detienen sólo si el semáforo tiene la señal en rojo” no poseen el mismo valor de verdad. Si llamamos p: “El
semáforo tiene la señal en rojo”, y q: “Los autos se detienen”; las afirmaciones se pueden traducir como p ⇒ q y
q ⇒ p, respectivamente. Sus valores de verdad difieren cuando p es falsa y q es verdadera. Los autos pueden
detenerse cuando pasa un peatón por ejemplo. Por lo tanto que el semáforo tenga la señal en rojo es condición
suficiente para que los autos se detengan pero no, necesaria. Para finalizar esta secuencia, se proponen
actividades de revisión, de refuerzo y de aplicación del tema en distintos contextos y representaciones, problemas
y ejercicios de autoevaluación. Ejercicios como el siguiente pueden ser trabajados en otros cursos como parte de
la secuencia:
Problema Nº1: I) ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? Justifica.
Página 153
1.1) n = 2 sólo si n2 + 3n −10 = 0
1.5) si n2 + 3n −10 = 0 entonces (n = 2 y n = −5)
1.2) n = 2 si n2 + 3n −10 = 0
1.6) si n2 + 3n −10 = 0 entonces (n = 2 o n = −5)
1.3) n = 2 es necesario para que n2 + 3n −10 = 0
1.7) n2 + 3n −10 = 0 si y solo si (n = 2 o n = −5)
1.4) si n2 + 3n −10 = 0 entonces n = 2
1.8) n2 + 3n −10 = 0 si y solo si (n = 2 y n = −5)
Para debatir en el taller:
II) ¿Será cierto que n (n+1) es divisible por 2 para todo n?
III) ¿Será cierto que n2 - 9 es divisible por n -3 para todo n?
Obtener formas equivalentes, trabajando con los condicionales directos, recíprocos, contrarios y contra
recíprocos, se pueden implementar en distintos momentos de la educación polimodal. Probar los verdaderos y
refutar los falsos es una actividad para los docentes del taller:
Problema Nº2: a) Escribe los contra recíprocos para cada uno de los enunciados dados (todas las variables son
números naturales):
a1) Si a > b y a y b son cuadrados perfectos consecutivos entonces a – b es impar.
a2) Si a2 es par entonces a es par.
b) Indica si las proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las respuestas
b1) Si 7 ≤ 5 entonces 7 < 5 ∨ 7 = 5.
b2) ∀ a, b, ∈ R, a ≤ b entonces a < b.
b3) ∀ a, b, ∈ R, | a | = | b | entonces a = b.
b4) ∀ x, b, ∈ R, b ≠ 0, si “b divide a x” entonces “b divide a kx”, ∀ k∈ Z.
c) Considera la siguiente expresión: “Todos los enteros múltiplos de 9 son múltiplos de 3”. Podemos afirmar que
la negación de la proposición dada es equivalente a (puede haber más de una correcta):
c1) Todos los enteros múltiplos de 9 no son múltiplos de 3.
c2) Todos los enteros múltiplos de 3 son múltiplos de 9.
c3) Algunos enteros múltiplos de 9 no son múltiplos de 3.
c4) Algunos enteros no son múltiplos de 9 ni son múltiplos de 3
c5) Todos los enteros múltiplos de 3 son múltiplos de 9.
c6) Existen enteros que son múltiplos de 3 y no son múltiplos de 9.
c7) Algunos enteros son múltiplos de 9 y no son múltiplos de 3.
c8) Existen enteros que no son múltiplos de 3 ni de 9.
El siguiente problema es una simplificación o acercamiento muy elemental a un modelo axiomático. Modelos
similares pueden ser creados por el propio docente. Más adelante volveremos con nuevos ejemplos sobre
modelos axiomáticos.
Problema Nº3: Sea A = {*, &} un alfabeto y las siguientes reglas que definen las expresiones bien formadas que
serán las palabras de nuestro vocabulario:
i) * es una expresión bien formada.
Página 154
ii) Si X es una expresión bien formada, &X y *X también lo son.
iii) X es una expresión bien formada sí y sólo si se la puede obtener aplicando un número finito de veces las
reglas anteriores.
Para cada una de las siguientes expresiones, decide si son o no expresiones bien formadas y en caso de serlo
mostrar las reglas aplicadas para obtenerlas:
1) *
2) ***&
3) &
4) &&&&
5) &&*
6) &&*&
7) &*&&*
8)***
Presentamos a continuación otros modelos, más o menos complejos, pero fácilmente adaptables a distintos
grupos de alumnos y cursos. Como dijimos, algunos de ellos fueron usados durante nuestras clases con alumnos y
son socializados en este taller; otros son propuestos a los docentes como disparadores y generadores de sus
propios ejemplos. En cada uno se ponen en juego distintas habilidades básicas para demostrar, mostrar, justificar,
validar, elaborar, argumentar.
A modo de revisión: Una importante aplicación de las reglas de inferencia se encuentra cuando en Matemática
necesitamos demostrar teoremas. Un teorema es básicamente una implicación del tipo H ⇒ T, donde H se
denomina hipótesis (conjunción de premisas) y T es la tesis (conclusión). En todo teorema H ⇒ T se requiere
que el condicional sea tautológico. No es intención de este trabajo, dar marcos de referencia teóricos sobre la
formulación y justificación de los teoremas. Mostraremos varios métodos que pueden ser usados para justificar
que H ⇒ T es una tautología.
La metodología a usar en el taller será la siguiente: presentaremos el método de demostración que usaremos,
haremos explícitos los axiomas; pediremos las propiedades o teoremas que los docentes irán demostrando y luego
socializaremos las demostraciones. Una síntesis es (o puede ser) la siguiente:
Método directo: Cuando queremos demostrar la implicación H ⇒ T partimos de la suposición de que H es
verdadero y utilizando las reglas de inferencia, leyes de la lógica, axiomas, definiciones o teoremas, concluimos
que T es verdadera. Una primera aproximación, consiste en definir un sistema axiomático simple, y luego, a
partir de dichos axiomas probaremos algunos teoremas.
Ejemplo 1: Sea B un subconjunto de los números reales (B ⊆ ℜ) donde se cumplen los siguientes axiomas:
A1: 3 ∈ B
A2: x ∈ B ⇒ 2x + 1 ∈ B
Teorema 1: 7 ∈ B ⇒ 18 ∈ B; es decir
Hipótesis: 7 ∈ B
A3: x, y ∈ B ⇒ x + y ∈ B
Tesis: 18 ∈ B
Demostración:
1) 7 ∈ B
por hipótesis
2) 2 . 7 + 1 = 15 ∈ B
de 1) y A2
3) 15 ∈ B ∧ 3 ∈ B
conjunción de 2) y A1
4) 15 + 3 = 18 ∈ B
de 3) y A3. Luego 7 ∈ B ⇒ 18 ∈ B, como queríamos demostrar.
Veamos ahora, cómo a partir de los tres axiomas y del Teorema 1 podemos deducir otras proposiciones:
Teorema 2: 2 ∈ B ⇒ 23 ∈ B; es decir
Hipótesis: 2 ∈ B
Tesis: 23 ∈ B
Página 155
Demostración:
1) 2 ∈ B
por hipótesis
2) 2 . 2 + 1 = 5 ∈ B
de 1) y A2
3) 3 ∈ B
por A1
4) 2 . 3 + 1 = 7 ∈ B
de 3) y A2
5) 18 ∈ B
por 4) y Teorema 1
6) 5 ∈ B ∧ 18 ∈ B
conjunción de 2) y 5)
7) 5 + 18 = 23 ∈ B
de 6) y A3. Luego 2 ∈ B ⇒ 23 ∈ B
Veamos otros ejemplos que constituyen un buen ejercicio para comenzar con pruebas formales:
Ejemplo 2: La aritmética es muy rica en propiedades que permiten consolidar la habilidad para demostrar.
Veamos el siguiente:
Teorema 3: Si m y n son enteros positivos, tales que m es un factor de n, y n es un factor de m, entonces son
iguales, es decir, m = n.
Estamos nuevamente en presencia de una propiedad de la forma p ⇒ q donde p es: m y n son enteros positivos,
tales que m es un factor de n, y n es un factor de m y q es: m = n.
Demostración: Sean m, n enteros positivos, tales que m es un factor de n y n es un factor de m. Dado que m es un
factor de n, se sigue que m ≤ n. Por ser n un factor de m, resulta n ≤ m. De donde m = n.
Uno de los contenidos conceptuales previstos para el nivel secundario que muestra el espíritu de la demostración
en matemática es el de logaritmos. No pretendemos abordar una cuestión sobre la implementación de tal o cual
secuencia didáctica, sino poner énfasis en la demostración. Nuestro objetivo es analizar si ciertas afirmaciones
son verdaderas o falsas, demostrando las verdaderas por el método directo y justificando las falsas mediante
algún contraejemplo. Asumimos que el logaritmo en base b (donde b es un número positivo distinto de 1) de un
número positivo a es el número c, si y sólo si b elevado al exponente c da como resultado a. En símbolos: log b a
= c ⇔ bc = a donde a, b∈ℜ+, b ≠ 1, c∈ℜ
Ejemplo 3: El logaritmo en base b de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos en la
misma base b de cada uno de ellos: log b (X · Y)= log b X + log b Y
Demostración:
Sea log b X = x; esto significa, por definición de logaritmo, que bx = X.
Sea log b Y = y; esto significa, por definición de logaritmo, que by = Y.
log b(X . Y)= log b (bx . by) = log b bx+y = x + y = logbbX + logbbY
Todas las igualdades correctamente justificadas permiten revisar y recordar otras definiciones y propiedades ya
trabajadas. Análogamente se pueden proponer demostraciones similares por el método directo tales como:
log b (X : Y) = log b X – log b Y ; log b Xn = n log b X
Es interesante además, mostrar formas alternativas para estas propiedades:
Demostración Alternativa 1: Sea log b X = x; esto significa que bx = X.
Log b Xn = log b (bx)n = log b bn.x = nx = n log b X
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Demostración Alternativa 2 (para n∈Ν):
Log b Xn = log b (X.X…X) = log b X + log b X + …+ log b X = n log b X
Ejemplo 4: Determina si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta:
a) log b b = 1, para todo número real b.
b) log b a0 = 0, para todo número a real positivo, y para todo número b real positivo distinto de uno.
c) log b (a.b) = log b a + 1, para todo número a real positivo, y para todo número b real positivo distinto de uno.
d) log n
a 1
= (loga − logb) , para cualesquiera números a y b reales positivos y cualquier número natural n.
b n
e) logb (1/5) + logb5 = 0, para todo número b real positivo distinto de 1.
f) Si log x y = z, entonces xy = z.
g) log c (a. b) = log c (a + b), para cualesquiera números a, b y c reales positivos y c distinto de uno.
h) log a (b.c)n = n (log a b + log a c), para cualesquiera números a,b y c reales positivos y a distinto de uno.
i) log 3 3x = 1 + log 3 x, para todo número x real positivo.
Insistimos en que este tema puede ser ideal para ensayar el método directo de demostración, ya que se pueden
demostrar varias propiedades conociendo solamente la definición y unas pocas propiedades. Esto nos permite
mostrar como podemos amalgamar definiciones y teoremas para probar nuevos teoremas, al mismo tiempo que
los alumnos van descubriendo qué es una definición, qué es un teorema y cómo se valida o refuta una afirmación.
Método por contraposición: Para probar la implicación H ⇒ T, probamos el contra recíproco ¬T ⇒ ¬H. Es
decir, tomamos ¬T como válida, luego debemos deducir ¬H. Este método consiste en suponer que la conclusión
es falsa y analizar los valores de verdad de las proposiciones que componen las premisas. En el análisis debemos
trabajar bajo la suposición de que las premisas son verdaderas; hasta que resultan todas verdaderas o hasta que
una de ellas (premisa) resulte forzosamente falsa. Si alguna premisa es falsa, el razonamiento es válido.
Ejemplo 5: Seguiremos trabajando con el sistema axiomático planteado en el Ejemplo 1 previo y continuaremos
demostrando teoremas válidos en ese sistema axiomático:
Teorema 4: 19 ∉ B ⇒ 8 ∉ B; es decir
Hipótesis: 19 ∉ B
Tesis: 8 ∉ B
Demostración: Suponemos, por Contraposición, que la tesis no se cumple:
1) 8 ∈ B
2) 8 + 8 = 16 ∈ B
de 1 y A3
3) 16 ∈ B ∧ 3 ∈ B
conjunción de 2 y A1
4) 16 + 3 = 19 ∈ B
de 3 y A3. Esto contradice la hipótesis. Luego 19 ∉ B ⇒ 8 ∉ B
Teorema 5: (2x – 4) ∉ B ⇒ x ∉ B ∨ (–8) ∉ B
Suponemos que la tesis no se cumple:
1) x ∈ B ∧ (–8) ∈ B
2) (2x + 1) ∈ B ∧ (–8) ∈ B
de 1 y A2
3) 2x + 1 + (–8) = (2x – 7) ∈ B
de 2 y A3
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4) (2x – 7) ∈ B ∧ 3 ∈ B
de 3 y A1
5) 2x – 7 + 3 = (2x – 4) ∈ B
de 4 y A3. Esto contradice la hipótesis.
Veamos ahora el siguiente Teorema 6:
Ejemplo 6: Si n2 es par, entonces n es par.
La proposición es de la forma p ⇒ q donde p es: n2 es par, y q es: n es par. Utilizando la equivalencia anterior,
probaremos el Teorema 5: “Si n no es par entonces n2 no es par”, es decir, usaremos el condicional equivalente
¬q ⇒ ¬p.
Si n no es par entonces n es impar. Es decir: n = 2m + 1, para algún entero m y elevando al cuadrado,
n2 = (2m + 1)2, de donde n2 = 4m2 + 4m + 1 y finalmente n2 = 2 (2m2 + 2m) + 1. De donde n2 es impar, es decir
no es par. Lo que completa la prueba.
Método por Reducción al Absurdo. En símbolos, para probar que p ⇒ q probamos que (p ∧ ¬q) ⇒ F0
Revisamos que nuestros docentes-alumnos que las proposiciones p ⇒ q y (p ∧ ¬q) ⇒ F0) son lógicamente
equivalentes.
Ejemplo 7: Si queremos demostrar, por ejemplo, que si un triángulo T es equilátero entonces es isósceles,
podemos considerar: p: el triángulo T es equilátero y q: el triángulo T es isósceles
Luego, en lugar de probar que p ⇒ q, probaremos que (p ∧ ¬q) ⇒ F0. Así, suponemos que la conclusión q es
falsa, esto es, que T no es isósceles, y por lo tanto no tiene dos lados iguales. Pero por hipótesis, T es equilátero y
por lo tanto tiene tres lados iguales, y entonces tiene también dos lados iguales; con lo cual hemos llegado a una
contradicción: T no tiene dos lados iguales y T tiene (al menos) dos lados iguales (tiene tres). Concluimos luego
que si T es equilátero entonces es isósceles.
Finalmente invitamos a probar este teorema utilizando más de un método: Sea a un número entero. a2 es divisible
por 3 si y solo si a es divisible por 3.
4. Reflexiones
Durante muchos años la enseñanza de la matemática se centró en sus aspectos deductivos. Décadas más tarde se
desechó el método axiomático y las demostraciones y pruebas formales desaparecieron de los libros de texto,
dando lugar exclusivamente al método heurístico, la experimentación, el descubrimiento, la analogía y la
comparación con el propósito de guiar al estudiante para que pueda descubrir por sí mismo los procedimientos y
los principios que debe aprender. Éstos, y otros métodos pueden convivir en verdadera armonía y todos
constituyen importantes entradas al conocimiento. Polya, G. (1954, Vol 1, p. vi), citado en Burton, W (1969, p.
525) nos dice “la matemática en proceso de elaboración se parece a cualquier otro conocimiento humano en
elaboración ... el resultado de la labor creadora de los matemáticos consiste en razonamientos deductivos, en
demostraciones; pero las demostraciones se descubren por medio del razonamiento plausible, de las conjeturas. Si
se quiere que el aprendizaje de la matemática refleje en alguna medida el carácter inventivo que ésta posee debe
haber lugar en él para las conjeturas y las inferencias plausibles”. Creemos que es una tarea imperiosa recuperar
los distintos métodos de la demostración desde la formación inicial del profesorado y que en la educación
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secundaria, deben además, rescatarse aquellas propiedades y teoremas que pueden ser argumentados por los
estudiantes.
Burton, W.; Kimball, R.; Wing, R. (1969): “Hacia un pensamiento eficaz”. Ediciones Troquel. B. Aires.
Polya, G. (1966): “Matemática y razonamiento Plausible”. Madrid. Tecnos.
Santaló, L. A. (1997): “Matemática para no matemáticos”. En Parra, C; Saiz, I. (comps.). Didáctica de
matemáticas. Aportes y reflexiones. Capítulo I. Buenos Aires. Editorial Paidós.
En Internet:http://www.cimm.ucr.ac.cr/ (consulta en línea realizada en marzo de 2007)
Godino, J.; Recio, A. (2001) “Significados institucionales de la demostración. Implicaciones para la educación
matemática”. Investigación Didáctica. Revista electrónica: Enseñanza de las Ciencias, 19, p 405-414.
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¿Pueden los sistemas algebraicos de cómputos (SAC) mejorar la comprensión de
conceptos matemáticos?
Sonia Pastorelli; Lilian Cadoche
Universidad. Tecnológica Nacional. ARGENTINA;
[email protected]
Nivel: Medio; terciario y Universitario
Palabras claves: Comprensión – Álgebra - Sistema Algebraico de Cómputos
Resumen
El objetivo de esta investigación fue diseñar una secuencia didáctica para mejorar los desempeños de
comprensión de los alumnos de primer año de la Licenciatura en Organización Industrial de la Facultad
Regional Rafaela de la Universidad Tecnológica Nacional.
Nos preguntamos entonces: ¿Puede, el diseño de una secuencia didáctica apropiada que incorpore softwares
matemáticos, ayudar a mejorar la comprensión de los conceptos matriz pseudoinversa y noción de cuadrados
mínimos en el estudio de sistemas lineales?
Para dar respuesta a este interrogante se diseñó una secuencia didáctica que incluyo el desarrollo de un proyecto
usando un Sistema Algebraico de Cómputo (SAC). El énfasis se centró en la comprensión y uso activo de los
conocimientos compartidos, basando esta experiencia en el marco conceptual de la Enseñanza para la
Comprensión.
El propósito de mejorar los desempeños de comprensión en dos tópicos de mucha utilidad para el futuro
profesional fue alcanzado en la mayoría de los estudiantes.
Si bien el uso de SAC es una exigencia curricular, en esta experiencia fue revalorizado por los estudiantes, no
sólo como herramienta para resolver complejos y tediosos cálculos sino como favorecedor de la comprensión
y motivador del aprendizaje.
Hemos encontrado evidencias de que estas herramientas apoyan la colaboración y el aprendizaje entre pares, el
ensayo de distintos caminos para la resolución de problemas, el uso de distintos registros para el abordaje de los
temas, la autovaloración de los avances y el desarrollo de desempeños de comprensión cada vez más refinados.
Justificación de la investigación.
«El álgebra lineal
en espacios n-dimensionales
es una materia que tradicionalmente se impartía en
licenciaturas donde es necesaria una formación matemática y física; sin embargo, el rápido desarrollo de las
computadoras de alta velocidad ha obligado a que disciplinas como administración, economía y ciencias
sociales, entre otras, incorporen esta rama a sus cursos», Grossman (1996, contratapa).
Luego la comunidad de docentes de matemática se ha enfrentado al objetivo de “bajar” contenidos a niveles en
los que tradicionalmente no se impartían.
Es así que la Universidad Tecnológica Nacional, en el diseño curricular de todas las carreras de grado
(Resolución N° 68/94 del Consejo Superior Universitario de la Universidad Tecnológica Nacional), incorpora a
la asignatura del primer nivel Álgebra, como contenidos mínimos, noción de los cuadrados mínimos en estudio
de los sistemas lineales y matriz pseudoinversa. El motivo de esta inclusión no es caprichoso. Estos conceptos
permiten resolver problemas medulares del futuro profesional, tales como obtener soluciones aproximadas a
problemas cuyo planteo matemático deviene de un sistema de ecuaciones lineales incompatible. El mismo diseño
aclara que, la enseñanza de la matemática debe ser motivada y no axiomática y que la práctica debe ser resuelta
con softwares especializados.
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Consideramos pertinente aclarar que, el diseño curricular enumera ambos contenidos antes de espacios
vectoriales, autovalores y auto-vectores. Esto seguramente debido a que el mismo prevé un desarrollo motivado y
no axiomático de los mismos. Tanto por las importantes aplicaciones de los conceptos, como por la centralidad
que le otorga el diseño curricular, (que menciona estos dos tópicos dentro de los 14 totales), es necesario
esforzarse para que los estudiantes alcancen desempeños de comprensión de niveles superiores en los mismos.
Metodología de trabajo en esta investigación.
Constó de cuatro partes
•
Análisis del contexto inicial (dificultades en la comprensión, material y propuestas existentes),
•
delimitación de elementos constitutivos del marco conceptual en los tópicos elegidos,
•
experimentación en un período acotado de tiempo en el aula y aula-taller,
•
análisis reflexivo de lo actuado, para retroalimentación y posteriores mejoras y avances.
1. Análisis del contexto inicial
Aquí interesa mencionar en este trabajo lo referido a las propuestas existentes. Se realizó un exhaustivo análisis
del tratamiento de estos contenidos en los libros adecuados a la comprensión de un estudiante del primer nivel
universitario. Para el análisis del tema en los distintos textos se emplean dos categorías:
•
los más nombrados como libros de cátedra de las asignaturas Álgebra y/o Álgebra y Geometría
Analítica de las Facultades Regionales de la Universidad Tecnológica Nacional y
•
los libros más vendidos de Álgebra Lineal, en la actualidad, en Argentina.
El motivo de la elección de estos dos grupos es sencillo.
Los primeros se debieron a que no se encontró otras carreras de grado que mencionen Pseudoinversa y/o
Mínimos Cuadrados en una asignatura del primer nivel en la Argentina. Sólo la Universidad Tecnológica
Nacional fija dentro de sus contenidos mínimos Álgebra estos dos temas (para todas sus facultades). Se
analizaron así los textos Introducción al Álgebra Lineal (Antón, 1996 y 1999) ; Álgebra Lineal (Grossman,
1996); Fundamentos de Álgebra Lineal y Aplicaciones (Florey, 1980) ; Álgebra Lineal (Lipschutz,1996);
Álgebra y Elementos de Geometría Analítica (Di Caro, 1987) ; Álgebra Lineal (Gerber, 1992); Álgebra Lineal
(de Burgos, 1993); Álgebra II (Rojo, 1978); Álgebra Lineal Aplicada (Noble y Daniel, 1989) y Álgebra Lineal
(Fraleigh y Beauregard, 1989) .
Los segundos fueron tomados de la página web de la Librería Cúspide en mayo del 2006. Esta categoría se elige
porque se conjetura que los libros más vendidos son los que se usarán en un futuro cercano, luego son los que
impactan o impactarán en la enseñanza del Álgebra Lineal. Se analizaron los textos Álgebra Lineal (Grossman,
1996); Álgebra Lineal (Lipschutz, 1992) y Álgebra Lineal con aplicaciones y MatLab (Kolman, 1999).
Como puesta en común es posible mencionar que sobre los doce textos analizados, cinco no tratan ninguno de
los temas involucrados. Sólo el texto de los autores Noble y Daniel (1989) trabajan con ambos contenidos, pero
lo hace en forma demasiado rigurosa dado que; según el prólogo de los autores; es un texto que se supone
leerán personas que ya tienen un acercamiento previo al álgebra lineal. Luego si bien un libro muy útil para
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consulta del docente es inapropiado para los alumnos de un primer año de una licenciatura. Tres autores trabajan
mínimos cuadrados pero sólo desde el ajuste de datos (uno de ellos: Grossman; es el segundo más mencionado
como bibliografía y el más vendido). Tres textos generalizan el uso de mínimos cuadrados a cualquier sistema de
ecuaciones lineales. En cuanto al uso de SAC; de los siete que tratan algún contenido, dos no utilizan SAC, entre
ellos el más mencionado (Antón, 1996 y 1998).
Cabe mencionar que los ejercicios más ricos desde el punto de vista conceptual están tratados en los bloques
donde se usan SAC (así estos solicitan realizar confrontaciones gráficas, y numéricas, introducen nuevos
conceptos tales como punto disperso o mínimo cuadrado ponderado). Esto permite inferir que los autores que
usan SAC parecen avalar la teoría que la introducción de herramientas de cómputos puede liberar al lector de la
atención de los cálculos y llegar así a niveles más elevados de comprensión.
Por otro lado, los ejercicios prácticos de estos tópicos necesitan de numerosos cálculos algebraicos, multiplicar
matrices de considerables dimensiones, invertir matrices que tienen la mayoría de los elementos no nulos, etc.
Esto desvía la atención del alumno de lo conceptual a lo procedimental. En el caso de los problemas que
involucran ajustes de datos, la confrontación gráfica de datos versus curva de ajuste, cotejo que ofrece tanta
riqueza experimental, no es posible realizarlo en el aula, con tecnología tradicional (más allá del ejemplo típico
de un ajuste a una recta). Sin dudas este es uno de los motivos por lo que el diseño curricular incorpora como
uno de los contenidos mínimos computación numérica y simbólica aplicada al álgebra.
2. Delimitación de elementos constitutivos del marco conceptual de la Enseñanza para la Comprensión.
El objetivo de esta investigación fue diseñar una secuencia didáctica para
mejorar los desempeños de
comprensión de los alumnos de primer año de la Licenciatura en Organización Industrial de la Facultad
Regional Rafaela de la Universidad Tecnológica. Nos preguntamos entonces: ¿Puede, el diseño de una
secuencia didáctica apropiada que incorpore softwares matemáticos, ayudar a mejorar la comprensión de
los conceptos matriz pseudoinversa y noción de cuadrados mínimos en el estudio de sistemas lineales?
Para dar respuesta a este interrogante se diseñó una secuencia didáctica. El énfasis se centró en la comprensión y
uso activo de los conocimientos compartidos, basando esta experiencia en el marco conceptual de la Enseñanza
para la Comprensión (EpC).
Esta metodología de la enseñanza deriva de cuatro preguntas claves que se realiza todo docente:
•
¿Qué tópicos se deben comprender?
•
¿Qué aspectos de esos tópicos deben ser comprendidos?
•
¿Cómo podemos promover la comprensión?
•
¿Cómo podemos averiguar lo que comprenden los alumnos?
Las respuestas a estas preguntas son los pilares de la EpC y se denominan respectivamente Tópicos Generativos,
Metas de Comprensión, Desempeños de Comprensión y Evaluación Diagnóstica Continua.
En esta experiencia se adoptó como tópico generativo el ajuste de datos; como meta de comprensión que los
alumnos comprendan como utilizar lo que saben para encontrar ecuaciones que representen razonablemente
bien un fenómeno dado a través de datos. El desempeño final de síntesis fue realizar un proyecto consistente en
Página 162
reproducir, utilizando un sistema algebraico de cómputos, un dibujo diseñado en papel, mientras que la
valoración continua de los aprendizajes tuvo su eje en la tutoría para el desarrollo del proyecto.
La EpC aboga por la mejora de los desempeños de comprensión a través de la valoración continua de los mismos,
recurso pocas veces usados en la universidad (en este contexto la evaluación tradicionalmente se hace a través de
un examen final, con propósitos de evaluación sumatoria). Los desarrollos de proyectos son adecuados para este
fin, ya que a la vez que permiten observar los desempeños de los estudiantes, posibilitan retroalimentar y
andamiar el aprendizaje. La observación de los desempeños durante la etapa de investigación guiada junto a los
desplegados en la evaluación integradora permitió reconocer el nivel de comprensión de los tópicos para cada
estudiante. En el siguiente gráfico las tres entregas del proyecto de una alumna.
3. Experimentación en un período acotado de tiempo en el aula y aula-taller
La experiencia se esquematiza cronológicamente en el siguiente gráfico.
Clases previas de Laboratorio.
3° y 7° semana
Dibujo en papel
4° semana
1° entrega con SAC
7° semana
1° clase. Intuitivo-numérico
En aula, con recursos usuales.
8° semana
2° clase. Intuitivo-gráfico
En el laboratorio, con SAC
10° semana
Clase Práctica
Tradicional
8° semana
Evaluación Clásica.
9° semana
Valoración de la
comprensión previa
Dibujo con SAC
3° clase. Justificación Teórica
En el aula. Con libro de texto.
14° semana
Evaluación integradora
17° semana
Evaluación continua.
10° a 16° semana
Valoración de la
comprensión final
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Esta secuencia involucra inicialmente el desarrollo práctico de los tópicos utilizando tecnologías tradicionales
(calculadoras, transparencias, retroproyector). El tratamiento de los contenidos en esta clase lo denominamos
intuitivo-numérico, se realizó en la 8º semana de la cursada y reflejó el previsto por el diseño curricular, a juicio
del orden enunciado en los contenidos mínimos; esto es, luego de sistemas lineales, antes de espacios vectoriales.
La valoración de la comprensión a través de esta metodología (tradicional) se realizó a través de un ejercicio de
la segunda prueba parcial (9º semana). Más allá de ser una evaluación sumatoria, se diseñó un instrumento para
valorar la comprensión previa (considerando ésta como la alcanzada sin utilizar los SAC).
El desarrollo de los contenidos utilizando sistemas algebraicos lo denominamos intuitivo-gráfico ya que es
previo al tratamiento teórico y permite advertir visualmente la aproximación de la solución aproximada por
mínimos cuadrados del sistema lineal derivado de un ajuste de datos. Se realizó en la 10º semana en el
laboratorio de computación. Desde aquí y hasta el final de la cursada (17º semana) cada alumno desarrolló su
proyecto (esto es reproducir su diseño, utilizando el software matemático, lo que involucra conocer una ecuación
para cada trazo del mismo).
Finalmente el tratamiento formal de los contenidos, luego del desarrollo de espacios vectoriales, se realizó en la
14º semana de cursada.
La observación de los desempeños durante la etapa de investigación guiada junto a los desplegados en la
evaluación integradora permitió reconocer el nivel de comprensión de los tópicos para cada estudiante.
4. Análisis de los resultados.
Dado que interesó comparar la comprensión antes y después de la experiencia, y como la comprensión es un
constructo difícil de medir, con este marco fue posible observando los niveles de desempeños antes y después de
la incorporación de los sistemas algebraicos de cómputos.
La EpC
destaca cuatro dimensiones para la comprensión: contenidos, métodos, propósitos y formas de
comunicación.
•
Contenidos valora el nivel hasta el cual los alumnos han trascendido las perspectivas intuitivas, el grado
hasta el cual pueden moverse con flexibilidad entre ejemplos y generalizaciones en una red conceptual
coherente y rica.
•
Métodos evalúa la capacidad de los estudiantes de mantener un sano escepticismo acerca de lo que se
conoce o lo que se les dice, así como el uso de métodos confiables para construir y validar afirmaciones y
trabajos verdaderos.
•
Propósito aprecia la capacidad de los aprendices para reconocer los propósitos e intereses que orientan la
construcción del conocimiento, su capacidad para usar este conocimiento en múltiples situaciones y las
consecuencias de hacerlo.
•
Formas de comunicación juzga el uso de sistemas de símbolos para expresar lo que se sabe (escribir
ensayos, realizar una presentación o explicar un algoritmo).
Para describir la comprensión se evalúan los niveles alcanzados en cada una de las dimensiones. Estos niveles se
pueden observar a través de los desempeños alcanzados.
Página 164
•
Los desempeños de comprensión ingenua están basados en conocimientos intuitivos, como un proceso no
problemático que consiste en captar información que está disponible, resultando, generalmente, poco
reflexivos y no estructurados.
•
Los desempeños de comprensión de principiante o novato están predominantemente basados en
procedimientos ritualizados y mecanismos de prueba. La naturaleza y los objetivos de la construcción del
conocimiento son descriptos como procedimientos mecánicos, paso por paso. La validación de un trabajo
depende más de la autoridad externa que de los criterios desarrollados dentro de la disciplina.
•
Los desempeños de
comprensión de aprendiz están basados en conocimientos y modos de pensar
disciplinarios y demuestran un uso flexible de conceptos. Con apoyo, pueden detectar la relación entre el
conocimiento disciplinario y problemas cotidianos.
•
Los desempeños de comprensión de maestría son predominantemente integradores, creativos y críticos y
permiten usar los conocimientos para reinterpretar el mundo y a menudo implican una comprensión intra,
meta o interdisciplinar.
La valoración de la experiencia se realizó contrastando la comprensión inicial (antes de usar SAC) y la final
(luego de usarlos). La comprensión inicial se valorizó en la 9º semana, a través de un ejercicio de un parcial. Es
importante aclarar aquí que no creemos que la comprensión, en todas sus dimensiones, pueda quedar reflejada en
una única evaluación. Sin embargo es el método al cual más se recurre en la universidad.
Para valorizar el nivel de comprensión inicial se describieron los parámetros que la reflejan. Así por ejemplo
para la dimensión de los propósitos éstos fueron: reconoce el porqué ajustar datos (el uso para extrapolar);
argumenta la función elegida (gráfico, tabla, etc); discute la factibilidad de las proyecciones obtenidas.
Los resultados obtenidos se resumen en el siguiente cuadro:
Notar que más del 85% de los estudiantes no superan el nivel de comprensión ingenua, esto significa que no han
superado los conocimientos intuitivos, poco reflexivos y nada estructurados. Solo el 12 % alcanzó un nivel de
principiante, nivel basado en procedimientos ritualizados y mecánicos, alumnos que necesitan de validación
externa, incapaces de usar algún mecanismo de control. Ninguno alcanzó los dos niveles de comprensión más
elevado.
La comprensión final, a diferencia de la inicial; tuvo distintas oportunidades para ser valorada, andamiada y
superada; pilar fundamental de la EpC. Los momentos los clasificamos en:
•
Tutorías: clases de laboratorio; un espacio donde los alumnos pudieran construir su proyecto. El docente
brindó las ayudas oportunas para mejorar los desempeños.
Página 165
•
Proyecto: producción de cada estudiante en la tercera entrega del proyecto (que es donde se utilizan los
tópicos de los cuales se desea observar la comprensión).
•
Evaluación Integradora: donde los jóvenes debieron explicar, justificar, extrapolar, vincular, ejemplificar y
aplicaran los contenidos.
•
Entrevista Final, la que tuvo por propósito indagar, según la visión del estudiante, la influencia del
desarrollo del proyecto en la comprensión de los contenidos de la asignatura, y su
opinión sobre la
experiencia educativa.
El instrumento de evaluación para la comprensión final fue pues más refinado que para la inicial. Se construyó
para valorizar cada una de las dimensiones de la comprensión a través de los rasgos de cada una. Para retratar y
relevar los desempeños se definieron criterios o pautas, las que se plantearon bajo la forma de respuestas a 21
preguntas que refieren a los rasgos o cualidades de cada dimensión de la comprensión y dentro de la tabla se
incluyen los indicadores de “dificultades en la comprensión”. Los resultados se resumen en el siguiente gráfico.
Como puede apreciarse, los resultados al finalizar la experiencia muestran una dispersión normal en torno del
nivel de comprensión de principiante. Esta situación refuerza la idea de que la experiencia ha logrado mejorar los
niveles de comprensión de un tema intrínsecamente complejo hasta llevarlo a niveles estándar.
Consideraciones finales.
Contrastando los niveles de comprensión antes y después del uso de los SAC es posible concluir que el propósito
inicial de mejorar los desempeños de comprensión en dos tópicos de mucha utilidad para el futuro profesional fue
alcanzado en la mayoría de los estudiantes.
En esta propuesta se abarcó además el resto de los contenidos de la asignatura (que si bien su comprensión no
fue de interés para el análisis de esta investigación permitió tanto desarrollarlos como integrarlos).
Por otro lado, si bien el uso de SAC es una exigencia curricular, en esta experiencia fue revalorizado, no sólo
como herramienta para resolver complejos y tediosos cálculos sino como favorecedor de la comprensión y
motivador del aprendizaje.
Involucrar a los estudiantes en el desarrollo de un proyecto personal permitió que los mismos asumieran un
compromiso con los objetivos de la cátedra desde el inicio del cursado.
Pero quizás el punto más fuerte de la experiencia es el clima de comunidad educativa que se generó en las clases.
La posición de docente y evaluadora inicial fue virando a través del desarrollo del proyecto a facilitadora de
Página 166
conocimientos y colaboradora en la tarea.
El proyecto de Enseñanza para la Comprensión definió a la comprensión como la capacidad de pensar y
desempeñarse flexiblemente con los conocimientos que cada uno dispone para, por ejemplo, resolver un
problema, presentar ideas de manera clara y convincente, aplicar conceptos para explicar algo, etc.
El proyecto denominó a estas actividades desempeños de comprensión y comprobó que eran medios efectivos de
desarrollar y al mismo tiempo demostrar la comprensión. Si pretendemos que los alumnos piensen por sí mismo o
lleguen a ser capaces de aplicar lo que saben apropiada y creativamente, el proceso de aprendizaje debe
implicarlos, precisamente, en este tipo de pensamiento activo.
Es preciso que los docentes nos aseguremos que los alumnos pasen una amplia parte del tiempo utilizando y
expandiendo activamente sus mentes y no recibiendo pasivamente lo que otros han creado. Esto es, debemos
aspirar a lograr verdaderos desempeños de comprensión, que les permitan pensar avanzando más allá de lo que se
les dice, confrontando sus ideas y actitudes desde una perspectiva más crítica y combinando y contrastando esas
ideas de formas hasta el momento inexploradas.
Los docentes efectivos diseñan desempeños en los cuales sus alumnos pueden usar lo que Gardner (1999) llama
las inteligencias múltiples, vale decir las diferentes formas de expresión que pueden incluir actividades verbales,
matemáticas, visuales, musicales, de movimiento, introspectivas e interpersonales.
Stone Wiske (1999) afirma que las nuevas tecnologías pueden perfeccionar y enriquecer los desempeños de
comprensión de diversas maneras, entre las que se incluyen:

La tecnología multimedia permite que el estudiante investigue nuevas ideas y produzca conocimientos
utilizando una variedad de inteligencias.

Muchos softwares pueden hacer visibles conceptos abstractos y permiten que los estudiantes comprendan
ideas complicadas experimentando activamente con ellas, manipulando variables y observando la interacción
dinámica de los elementos de un sistema

Las tecnologías digitales y las herramientas informáticas permiten que los alumnos expresen su comprensión
en una rica variedad de formas. Estas tecnologías también permiten registrar el trabajo de los alumnos en
formatos que pueden corregirse, combinarse y distribuirse más fácilmente.
Hemos encontrado evidencias de que estas herramientas apoyan la colaboración y el aprendizaje entre pares, el
ensayo de distintos caminos para la resolución de problemas, el uso de distintos registros para el abordaje de los
temas, la autovaloración de los avances y el desarrollo de desempeños de comprensión cada vez más refinados.
Tareas que hubiesen resultado engorrosas o imposibles con las herramientas tradicionales utilizadas en las aulas,
se pudieron realizar con eficiencia y calidad. Los desempeños de comprensión nos permitieron también diseñar
estrategias para que los alumnos saquen el mayor provecho educativo de las nuevas tecnologías.
El clima de trabajo, el compromiso asumido, el compañerismo observado durante las tutorías alientan a continuar
con esta propuesta y a desarrollar otras similares.
Página 167
Antón, H. (1996). Introducción al Álgebra Lineal. México: Limusa.
Antón, H. (1998). Introducción al Álgebra Lineal. (3º ed.). México: Limusa.
de Burgos, J. (1993). Álgebra lineal. España: McGraw-Hill.
Di Caro, H. (1987). Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Tomo 1 y 2. (6° ed.). Buenos Aires: Editorial
Munro.
Fraleigh, J y Beauregard, R. (1989). Álgebra Lineal. New York: Addison-Wesley Iberoamericana.
Florey, F. (1980). Fundamentos del Álgebra lineal y Aplicaciones. México: Prentice Hall Internacional.
Gardner, H. (1994). Estructuras de la mente. La teoría de las inteligencias múltiples. México: Fondo de la
Cultura.
Gerber, H. (1992). Álgebra Lineal México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Grossman, S. (1996). Álgebra Lineal (5º ed.). México: McGraw-Hill.
Kolman, B. (1999). Álgebra Lineal con aplicaciones y MatLab. (6° ed.). México: Prentice Hall.
Lipschutz, S. (1992). Matemáticas Para Computación. Series de Compendios Schaum. México: Libros McGrawHill.
Noble, B y Daniel, J. (1989). Álgebra Lineal Aplicada (3º edic.) México: Prentice-Hall Hispanoamericana.
Rojo, A. (1978). Álgebra II. Buenos Aires: El Ateneo.
Stone Wiske, M. (comp.). (1999). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la
práctica. Buenos Aires: Paidós.
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ENTORNO DE APRENDIZAJE MIXTO. UNA EXPERIENCIA CON FUNCIONES
Daniela Müller, Adriana Engler, Silvia Vrancken
Facultad de Ciencias Agrarias − Universidad Nacional del Litoral − Argentina
[email protected]
Niveles Medio/Terciario/Universitario
Palabras clave: enseñanza presencial, entorno virtual, funciones
Resumen
La utilización de las nuevas tecnologías y en especial de los recursos informáticos como herramienta
complementaria de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, cada vez es más frecuente en las aulas y en
especial en las de nivel Superior. El modelo de aprendizaje mixto (blended learning) combina la enseñanza
presencial con la tecnología no presencial donde no se trata sólo de agregar nuevos recursos a la clase, sino de
reemplazar algunas actividades de aprendizaje con otras apoyadas con tecnología. Este modelo puede ser una
nueva ocasión para reflexionar sobre cómo introducir la tecnología en los ambientes donde se mantiene la clase
presencial. Es importante el papel que tiene el profesor en este proceso. Las herramientas de comunicación
asincrónicas del curso permiten desarrollar foros temáticos en los que los alumnos participan y debaten sobre los
ejercicios propuestos. En el segundo cuatrimestre de 2007 diseñamos e implementamos un curso sobre el bloque
Funciones bajo esta modalidad mixta para los alumnos de primer año que no habían aprobado Matemática I, es
decir para aquellos alumnos para los que el método tradicional de enseñanza no fue exitoso. En este trabajo
presentamos las características y los principales resultados de esta experiencia.
Introducción
La creciente introducción de recursos tecnológicos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la
Matemática, han generado nuevas posibilidades para mejorarlos y enriquecerlos. Integrarlos a los procesos en los
que las actividades presenciales se mantienen de manera significativa, permite, entre otros aspectos, mejorar el
acceso a los contenidos y a sus distintas representaciones.
También, el uso de dichos recursos en la educación superior, son motivo de reflexión permanente. Esta labor, de
construir ambientes de aprendizaje que se apoyen en las nuevas tecnologías, ha creado una serie de necesidades
para hacerle frente a esta integración, como por ejemplo rediseñar y encarnar nuevos procesos formativos, nuevos
roles y nuevas competencias, en donde se integren y exploren otros contenidos y otros métodos así como también
estrategias didácticas más acordes a las necesidades actuales, nuevas formas de comunicación y de expresión,
otras formas de aprender y de evaluar.
Algunos autores, como Coll y Martí (2001), caracterizaron ciertas potencialidades de las tecnologías de la
información y comunicación (TIC) que pueden cambiar el proceso de aprendizaje del alumno cuando éste se
relaciona con la información cuyo soporte se basa en la utilización de estas tecnologías. Una de las características
consideradas es el formalismo. Trabajar con las nuevas tecnologías implica utilizar ciertas componentes
semióticas que nos son familiares como letras, signos más o menos figurativos, imágenes, sonido y textos que
crean, a partir de la integración de los sistemas semióticos clásicos, nuevas condiciones de transmisión, acceso y
uso de la información que antes sólo se recibía a través de la escritura, imágenes, sonido o el habla. Si bien en los
últimos años se han creado interfases más intuitivas, el uso de las nuevas tecnologías requiere cierta planificación
de las acciones y un nivel mínimo de toma de conciencia de lo que se está haciendo para que la interacción con la
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máquina tenga éxito. Otra característica es la interactividad que implica que se establezca una relación activa y
constante con la información, con un alto grado de interacción y reciprocidad. Otra es el dinamismo, pues a
través de estos recursos, es posible transmitir información dinámica para representar visualmente fenómenos,
procesos, sucesos, situaciones o actividades que se transforman o pueden cambiar a lo largo del tiempo.
La incorporación de las TIC en el aula ha supuesto un cambio en la enseñanza tradicional a nivel metodológico y
actitudinal tanto para los profesores como para los propios alumnos.
Coincidimos con González Mariño (2006) al establecer como principales ventajas educativas que resultan de la
utilización de las nuevas tecnologías a la independencia en el tiempo y en el espacio al aprender en cualquier sitio
y momento, al acceso a la educación y a través de internet, a recursos y servicios educativos en permanente
crecimiento, al potencial para un aprendizaje basado en tareas o para el trabajo de investigación. La incorporación
de las nuevas tecnologías en el aula ayuda a mejorar la elección del estilo de enseñanza, los servicios y materiales
de enseñanza personalizados, el seguimiento y registro individual de los procesos educativos, la autoevaluación y
monitoreo del rendimiento del alumno, la comunicación entre los que intervienen en el proceso educativo y el
acceso interactivo a recursos didácticos. Su uso posibilita que el alumno fije la atención en los aspectos
conceptuales, facilita la tarea meramente técnica conservando de esa manera la importancia de los significados de
los conceptos en juego.
Teniendo en cuenta estas potencialidades que aportan las TIC, es importante reflexionar, en primer lugar, sobre la
posibilidad de aplicar estas características para crear espacios educativos que utilicen la tecnología y, en segundo
lugar, acerca del uso adecuado de estos espacios en contextos concretos y procesos específicos de enseñanza y de
aprendizaje, de manera adecuada a las necesidades de aprendizaje de los alumnos, para dar soporte a los procesos
cognitivos de éstos, a la interacción social entre los participantes o a la interrelación entre ambos procesos.
La innovación en el uso de recursos en el aula ha dado lugar a un nuevo modelo denominado B-learning
(Blended Learning) que se puede traducir como Aprendizaje Combinado o Mixto y se lo define como aquel
modo de aprender que combina la enseñanza presencial con la tecnología no presencial donde no se trata sólo de
agregar tecnología a la clase, sino de reemplazar algunas actividades de aprendizaje con otras apoyadas con
tecnología. Se trata de un modelo compuesto por instrucción presencial y por funcionalidades del aprendizaje
electrónico con la finalidad de potenciar las fortalezas y disminuir las limitaciones de ambas modalidades.
Para Bartolomé (2004) la idea clave del cambio metodológico no es para aprender más, sino aprender diferente.
Las universidades y en general todo el sistema educativo deben preparar a ciudadanos en una sociedad en la que
el acceso a la información, y la toma de decisiones se convierten en los elementos distintivos de la educación de
calidad.
En el B-learning el docente asume de nuevo su rol tradicional, pero usa en beneficio propio el material didáctico
que la informática e Internet le proporcionan, para ejercer su labor en dos aspectos: como tutor virtual (tutorías a
distancia) y como educador tradicional (cursos presenciales). La forma en que combine ambas estrategias
depende de las necesidades específicas de ese curso, dotando así a la formación online de una gran flexibilidad.
Página 170
Este modelo mixto trata de recoger las ventajas del modelo virtual tratando de evitar sus inconvenientes.
Aprovecha la importancia del grupo, el ritmo de aprendizaje y el contacto directo con el profesor de la enseñanza
presencial, pero trata de desarrollar en los alumnos la capacidad de auto-organizarse, habilidades para la
comunicación escrita e incrementa la participación de los alumnos como responsables de su propio aprendizaje.
Es especialmente importante en este modelo el desarrollo de habilidades en la búsqueda y trabajo con
información en las actuales fuentes de documentación en Internet.
Desde hace varios años incorporamos a nuestras clases de Matemática el uso de recursos informáticos como
elemento reforzador del aprendizaje mediante actividades optativas complementarias al trabajo del aula.
Teniendo en cuenta lo anteriormente expresado, en el segundo semestre de 2007 decidimos diseñar e
implementar un curso sobre funciones bajo esta modalidad mixta para los alumnos de primer año de Ingeniería
Agronómica que no habían aprobado Matemática I, es decir para aquellos alumnos para los que el método
tradicional de enseñanza no fue exitoso.
Al combinar el aprendizaje virtual con clases presenciales es importante determinar adecuadamente qué
contenidos se impartirán a través de cada medio. La primera fase importante en el diseño fue la de analizar los
contenidos del curso para definir qué íbamos a trabajar de manera presencial o sincrónicamente, y qué
asincrónicamente de forma virtual. Además, por experiencia, sabemos que al planear y diseñar actividades para
ser utilizadas en el sistema presencial, lo hacemos sin precisar exhaustivamente la forma en que las
desarrollaremos en el aula. Por el contrario, al diseñar actividades para un sistema virtual, una preocupación
permanente fue la de hacer explícito con el mayor detalle posible, lo que proponíamos al alumno y las
instrucciones precisas de lo que esperábamos que ellos hicieran.
De los temas Matemática I, elegimos el bloque de Funciones donde se estudian las funciones escalares
algebraicas y trascendentes, además de las gráficas de las funciones según distintas transformaciones. Lo
organizamos en ocho semanas diseñando, para cada una de ellas, las actividades que realizaríamos de manera
presencial y virtual.
Cada clase presencial fue de dos horas de duración y se desarrollaron los días lunes en el Gabinete de Informática
de la Facultad que dispone de 20 equipos conectados a Internet. Para el desarrollo de los temas y resolución de
actividades, se siguieron los contenidos del libro Funciones de Engler, Müller, Vrancken y Hecklein (2005). En
estas clases, luego de tratar el tema correspondiente a la semana en curso, los alumnos trabajaron en las
computadoras con guías de estudio en las que las actividades están redactadas para ser resueltas utilizando el
graficador matemático “Funciones para windows” que es un programa de tipo freeware.
Para la parte no presencial elegimos como plataforma el Entorno Virtual (http://entornovirtual.unl.edu.ar) que
desde agosto de 2003 la Universidad Nacional del Litoral puso a disposición de todos los docentes.
Una vez que ingresamos como docentes del curso, es posible realizar la administración del mismo pudiendo
elegir la estructuración del mismo de manera semanal o por temas y proponiendo una serie flexible de actividades
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como foros, cuestionarios, encuestas, tareas, chat y teniendo además la posibilidad de subir archivos, imágenes o
el enlace a páginas web.
Para una mejor organización de los contenidos a desarrollar elegimos el formato semanal y una vez cargadas las
actividades, la página principal es como la que se muestra a continuación:
Al curso se anotaron 54 alumnos de los cuales 38 habían quedado libres en Matemática I, 4 eran regulares pero
no habían podido aprobarla y 12 no la habían cursado por no haber aprobado a término el curso de ingreso
disciplinar de Matemática. Los alumnos que participaran activamente de todas las actividades planteadas y
aprobaran una evaluación escrita, tendrían aprobado el bloque funciones para los exámenes de diciembre de 2007
y marzo de 2008, debiendo rendir sólo el bloque de Álgebra.
En el entorno virtual, para cada una de las semanas propusimos tres foros: uno con preguntas de reflexión, uno
con actividades integradoras de los temas de la semana y otro para consultas generales sobre cualquier ejercicio o
problema, un cuestionario con preguntas de opción múltiple y un chat para consultas de manera sincrónica.
Para ilustrar el resultado de la implementación de este curso, mostraremos las distintas actividades planteadas a
los alumnos. Por razones de extensión sólo presentamos algunas de la semana tres correspondientes a Función de
primer grado.
Actividades presenciales planteadas
En cada clase presencial, luego de revisar las definiciones y de discutir la resolución de algunos ejercicios y
problemas propuestos por ellos, utilizando el software mencionado realizaron lo siguiente:
Guía de estudio:
Actividad. Represente gráficamente las siguientes funciones en el mismo sistema coordenado y en el orden dado:
f(x) = x + 3
g(x) = 2x + 3
h(x) = 1 x + 3
2
i(x) = −3x + 3
j(x) = − 3 x + 3
2
Indique la característica que presentan las gráficas. …………………………………………………
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El parámetro que se mantiene constante es…….……………. y el que ha variado es …....................
Las coordenadas del punto que caracteriza a estas gráficas son: P( …., …. )
Actividad. Escriba la expresión algebraica de cuatro funciones cuyas gráficas pasen por el P( 0, −2)
f(x) = …………
g(x) = …………
h(x) = …………
i(x) = …………
Para verificar sus respuestas, represente gráficamente las mismas en un mismo sistema coordenado.
Actividad. Escriba la expresión matemática de dos funciones cuyas gráficas pasen por el punto P(0, 0)
f(x) = …………
g(x) = ………… Realice las gráficas y verifique su respuesta.
Actividad. Represente gráficamente las siguientes funciones en el mismo sistema coordenado y en el orden dado:
f(x) = 2x
g(x) = 2x + 2
h(x) = 2x + 5
i(x) = 2x − 1
j(x) = 2x − 3
Indique la característica que presentan las gráficas. ……………………………………………………
El parámetro que se mantiene constante es ……………. y el que ha variado es ...................................
Las gráficas de estas funciones son ………………………………………………….…………………
Actividad. Represente gráficamente las siguientes funciones en el mismo sistema coordenado:
g(x) = − 1 x; f(x) = 2x. Indique la característica que presentan las gráficas. ¿Cuál es la propiedad que verifican
2
las pendientes de estas funciones?
En estas actividades se promueve la utilización de las distintas representaciones y la conversión de unas
representaciones en otras. Al representar las funciones, incorporando las ecuaciones de a una a la vez, se espera
que los alumnos puedan observar las características de las funciones de primer grado cuyas gráficas pasan por un
mismo punto, son paralelas o perpendiculares.
Por ejemplo, para la primera de las actividades planteadas, la gráfica final
que se obtiene es la que se encuentra a la derecha.
En todo momento se propicia que al observar las respectivas expresiones
algebraicas, enuncien de manera oral cómo piensan que resultarán las
gráficas correspondientes y que corroboren sus respuestas observando lo
que obtuvieron al representarlas.
Actividades virtuales planteadas
Para la resolución de cada una de estas actividades propuestas, los alumnos podían entrar al entorno virtual en el
momento que ellos lo deseen, pero debían responderlas antes del lunes de la semana posterior, momento en el que
se empezaba a tratar el tema siguiente dentro del cronograma establecido.
Los foros son espacios de comunicación asincrónica y su naturaleza propia es la de promover el encuentro y la
comunicación entre personas alrededor en un mismo tema.
Foro de actividades de reflexión.
Página 173
Actividad. P es un punto que pertenece a la gráfica de una función de primer grado de pendiente m = −
1
. Sea
2
Q otro punto de la misma gráfica ubicado 4 unidades a la derecha de P. Entonces este punto Q, ¿cuántas unidades
hacia arriba o hacia abajo de P se encuentra?
Si R es otro punto de la misma gráfica ubicado 4 unidades arriba de P, ¿cuántas unidades hacia la izquierda o
hacia la derecha de P se encuentra R? Justifique sus respuestas.
En este foro, cada alumno emitió su respuesta y la participación fue del 100%. Podían utilizar cualquier recurso
para responderlo.
Por ejemplo, la situación podría haber sido pensar en
cualquier función de pendiente m = − 1 , representarla
2
con el programa funciones, elegir un punto P cualquiera
de la misma y observar dónde quedarían ubicados los
otros puntos.
Foro de actividades integradoras.
En este foro propusimos actividades correspondientes al tema de la semana y si era factible se las integraba con
los temas anteriores. Los alumnos debían resolverlas utilizando cualquier procesador de texto y luego adjuntaban
el archivo correspondiente respondiendo a este foro. Para función de primer grado, algunas fueron las siguientes:
3
Actividad. Halle la ecuación de la función de primer grado cuya gráfica pasa por los puntos P(2, –3) y Q ⎛⎜ 5, ⎞⎟ .
⎝
2⎠
Determine la ecuación de la función de primer grado cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y es paralela
a la obtenida en el paso anterior.
Actividad. Obtenga la ecuación de la función de primer grado cuya gráfica pasa por el punto P(3, –1) y es
perpendicular a la recta de ecuación x – 2y – 4 = 0. Determine si el punto R(3, –2) pertenece a la recta obtenida.
Represente todo gráficamente.
Actividad. El peso promedio P en gramos de un pez en un estanque depende de la cantidad n de peces que
habitan en el mismo según la ley P(n) = 500 – 0,5n.
Represente gráficamente la función dada. Determine el peso promedio de un pez si se sabe que en el estanque hay
300 peces. Calcule la cantidad de peces que hay en el estanque si el peso promedio de uno de ellos es de 250 g.
¿Cuál es la cantidad máxima de peces que puede contener el estanque? ¿Por qué?
Foro de de consultas generales.
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En este foro los alumnos podían presentar consultas sobre cualquiera de los ejercicios o problemas que se les
presentaba al estudiar el tema de la semana. Las mismas fueron coordinadas y en su mayoría respondidas por el
docente a cargo, pero también contó con una buena participación por parte de los alumnos.
Cuestionario con preguntas de opción múltiple.
En la elaboración de las preguntas de este cuestionario tuvimos en cuenta las distintas representaciones y la
conversión de unas en otras. Para cada una, las opciones que se presentan, sólo una es verdadera y las otras
corresponden a concepciones erróneas que hemos detectado. A cada opción le redactamos el mensaje que le
aparecerá al alumno cuando éste finalice el cuestionario y analice el resultado final. En el mismo figura un
mensaje de estímulo en el caso de haber respondido correctamente o algún aspecto teórico que debe repasar, en
caso contrario.
El objetivo principal de esta actividad es el de fomentar en los alumnos la autoevaluación de su aprendizaje
valorando el trabajo realizado e identificando aquellos aspectos que debe reforzar o corregir.
Algunas de las preguntas propuestas para función de primer grado fueron:
Actividad. La expresión algebraica de la función definida gráficamente es:
•
g(x) = −
1
x+4
2
•
g(x) = −4x + 2
•
g(x) = −2x + 4
Actividad.
La expresión algebraica de una función de primer grado creciente que pasa por el punto P(−3, 2) es:
y − 2x = 8; y − 2x = −4 o y + 2x + 4 = 0
Actividad.
Para que el punto P(1, −2) pertenezca a la gráfica de la función de primer grado 5x – ky – 4 = 0, el valor de k
debe ser: k = −
1
2
; k=1 o k=1
2
Chat para consultas online.
Este chat no se planteó con día y horario fijos para coincidir en la discusión o consulta de algún tema, sino como
la posibilidad de intercambiar opiniones entre ellos o con el docente en el caso de coincidir sincrónicamente en el
entorno.
Resultados
En la resolución de todas las actividades, tanto presenciales como virtuales, la participación de los alumnos fue
muy activa.
En las clases presenciales las guías de estudio fueron resueltas completamente y propiciaron la discusión sobre
los aspectos teóricos que abarcaban.
Página 175
Con respecto a las actividades virtuales, todos los alumnos participaron activamente en los foros de actividades
de reflexión y de actividades integradoras. Una vez finalizada la semana correspondiente a un tema, antes de
comenzar con el siguiente, los alumnos podían constatar sus respuestas a los foros analizando la resolución
completa realizada por los docentes donde además figuraban los comentarios y orientaciones necesarias para
ampliar la comprensión y superar las dificultades observadas.
En el foro de reflexión para función de primer grado, sólo dos alumnos (3,7%) recurrieron a la representación
gráfica como auxiliar para emitir la respuesta y 25 alumnos (46,30 %), respondieron correctamente las dos
situaciones planteadas.
En el foro de actividades de integración, la mayoría respondió correctamente las primeras actividades pero se
observaron dificultades en la respuesta a la tercera de las preguntas del problema correspondiente a cuál es la
cantidad máxima de peces que puede contener el estanque.
En este foro, una de las principales dificultades con la que se enfrentaron los alumnos fue la de no disponer de los
conocimientos computacionales necesarios para la escritura de símbolos o ecuaciones matemáticas. También
pudieron observarse serias dificultades en el trabajo con imágenes.
Con respecto al cuestionario con preguntas de opción múltiple, fue posible determinar el porcentaje mínimo de
preguntas correctas para la aprobación de la misma. Si bien esto no era requisito para el curso, fue una forma de
que ellos puedan obtener una calificación por las respuestas acertadas. Lo importante de destacar es que aquellos
alumnos que obtuvieron una baja nota, por iniciativa propia volvieron a realizar otro intento.
De los 54 alumnos inscriptos al curso, 24 (44,45%) aprobaron el bloque funciones. De ellos, 17 alumnos
(70,83%) aprobaron el examen correspondiente al bloque de Álgebra en los turnos de noviembre y diciembre de
2007.
Reflexiones
El entorno de aprendizaje utilizado y las actividades desarrolladas por los alumnos apoyadas por los recursos
tecnológicos les permitieron aprender técnicas de comunicación e interacción utilizando las nuevas tecnologías,
adquirir técnicas de autoaprendizaje y utilizar herramientas informáticas para el aprendizaje del tema planteado.
En algunos de los foros virtuales se ha percibido la riqueza de la discusión basada en los textos escritos por lo que
supone la reflexión de las intervenciones y por el esfuerzo que requiere en los alumnos desarrollar su capacidad
para expresarse con claridad y precisión.
En la Educación Superior, la implementación de este sistema mixto es factible de poder realizarse. La plataforma
utilizada no sólo es gratuita, sino que también fácil de usar y tiene requerimientos técnicos mínimos. Pero, para
los docentes que estén dispuestos a implementarlo, inicialmente ello demandará más tiempo y trabajo por el
desempeño de nuevos roles para aplicar eficientemente innovaciones metodológicas que les proporcionen a los
alumnos otras herramientas para integrar nuevos conocimientos. La clase así formada por dos espacios: uno
presencial y otro virtual, extiende la actividad del docente a dominios espaciales y temporales más amplios que
Página 176
sólo los del aula donde todos tiene la posibilidad de participar y de expresarse y donde los materiales deben
adecuarse a los alumnos para los que están dirigidos. Todo un desafío al que los invito a participar.
Bartolomé, A. (2004). Blended Learning, Conceptos Básicos. Píxel-Bit. Revista de Medios y Educación. n° 23,
págs. 7-20. Recuperado el 12 de diciembre de 2007 de http://www.sav.us.es/pixelbit
Coll, C. y Martí, E. (2001). La educación escolar ante las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación. En C. Coll, J. Palacios y A. Marchesi (Comps.). Desarrollo psicológico y educación.
Psicología de la educación escolar. (pp.623-651). Madrid: Alianza Editorial.
Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S. y Hecklein, M. (2005). Funciones. Santa Fe, Argentina: Centro de
Publicaciones. Universidad Nacional del Litoral.
González Mariño, J. (2006). B-Learning utilizando software libre, una alternativa viable en Educación Superior.
Revista Complutense de Educación, 17 (1), 121-133
Página 177
EL TRABAJO CON SISTEMAS ALGEBRAICOS DE CÓMPUTOS COMO
MEDIO PARA LA VALORACIÓN CONTINUA DEL APRENDIZAJE Y DE LAS
PRÁCTICAS EDUCATIVAS.
Sandra Ramirez; Silvina Suau; Mercedes Moreno Diaz ; Sonia Pastorelli
Facultad Regional Santa Fe, Univ. Tecnológica Nacional. ARGENTINA;
[email protected]
Nivel: Medio; terciario y Universitario
Palabras claves: Sistemas Algebraicos de Cómputos (SAC) - comprensión – trabajos grupales - aprendizaje
cooperativo.
Resumen
Cooperar significa trabajar juntos para alcanzar objetivos compartidos. El Aprendizaje Cooperativo es el uso en
educación de grupos pequeños, en los que los alumnos trabajan juntos para mejorar su propio aprendizaje y el de
los demás.
En la cátedra de Análisis Matemático I de la Facultad Regional Santa Fe de la Universidad Tecnológica
Nacional se realizó una práctica, incorporando el uso de sistemas algebraicos de cómputos para el desarrollo de
un trabajo práctico que engloba la mayoría de los contenidos conceptuales de la asignatura con el objetivo de
mejorar la comprensión de los mismos.
Comprender un tópico según el marco teórico Enseñanza para la Comprensión (EpC) requiere en situaciones
nuevas en donde interviene dicho tópico poder explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de maneras que
van más allá del conocimiento y la habilidad rutinaria (sin que ello signifique restarle importancia al
conocimiento y las habilidades básicas).
Los jóvenes que participaron en esta experiencia la han criticado y valorizado desde distintas aristas. De este
modo, las situaciones habituales de aprendizaje se convirtieron en fuentes de problematización y de indagación
reflexiva de nuestras prácticas de enseñanzas.
Introducción.
los demás (Johnson y cols.,1999).
En el año 2007 la cátedra de Análisis Matemático I de la Facultad Regional Santa Fe de la Universidad
Tecnológica Nacional se realizó una experiencia, incorporando el uso de sistemas algebraicos de cómputos para
el desarrollo de un trabajo práctico que englobaba la mayoría de los contenidos conceptuales de la asignatura.
El modelo pedagógico.
Cuando nos preguntamos ¿qué es la comprensión?, las respuestas surgen generalmente vinculadas a procesos que
podemos observar. Decimos que alguien ha comprendido no sólo si sabe del tema sino que puede pensar a partir
de él. Dos ideas surgen de estas afirmaciones. Primero, para apreciar la comprensión de una persona en un
momento determinado, hay que pedirle que haga algo que ponga en juego su comprensión, explicando,
resolviendo un problema, construyendo un argumento, etc. Segundo, lo que los estudiantes responden no sólo
demuestra su nivel de comprensión actual, sino que lo más probable es que los haga avanzar. «Al trabajar por
Página 178
medio de su comprensión en respuesta a un desafío particular, llegan a comprender mejor» (Perkins, en Stone
Wiske 1999).
La idea de que reconocemos la comprensión por medio del desempeño, no sólo tiene sentido sino que aparece a
lo largo de una variedad de investigaciones sobre la cognición humana. El psicólogo suizo J. Piaget, determinaba
la comprensión de las estructuras lógicas básicas por parte de los niños estableciendo tareas que debían realizar,
por ejemplo, ordenar un grupo de palitos del más corto al más largo. Para hacer una generalización reconocemos
la comprensión por medio de un criterio de desempeño flexible. La comprensión se presenta cuando la gente
puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe. Por contraste, cuando un estudiante no puede ir más
allá de la memorización y el pensamiento y la acción rutinarios, esto indica falta de comprensión.
Los desempeños de comprensión son actividades que desarrollan y demuestran la comprensión del alumno al
exigirles usar lo que saben, de nuevas maneras. Según define Blythe (1999, p. 162) “en esas actividades, los
alumnos reconfiguran, expanden y aplican lo que saben y, además, extrapolan y construyen a partir de sus
conocimientos previos”.
En este contexto, el criterio de desempeño flexible señala la presencia de la comprensión, y a su vez la
comprensión es la que provoca esta capacidad de desempeño flexible. Comprender un tópico quiere decir
entonces, desempeñarse flexiblemente a partir de él, explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de maneras
más creativas y exigentes que el conocimiento o la habilidad rutinaria. Un desempeño de comprensión siempre
nos obliga a ir más allá, provocando avances en la comprensión así como también, producciones que demuestran
esta comprensión.
De ninguna manera el énfasis en los desempeños implica quitarle importancia a los conocimientos o las
habilidades básicas, pero los primeros constituyen un proceso más activo y constructivo. Los tipos de
desempeños, desde luego, variarán con el campo disciplinar, el contexto, las exigencias del tópico, etc. Pero estas
complicaciones no se deben a la visión de la comprensión vinculada con el desempeño, sino a la propia
comprensión, que tiene niveles y exigencias distintas y variadas.
La Comprensión en Matemática está asociada con las situaciones típicas de la enseñanza de esta disciplina, por lo
que se pone de manifiesto ante conceptos y definiciones, teoremas y demostraciones, procedimientos y
problemas.
La comprensión en matemática de un estudiante como proceso, ante una exigencia, se caracteriza por una
actuación que expresa la capacidad de éste para:
9
Leer en el lenguaje simbólico que la expresa.
9
Transcribir al lenguaje de la Matemática correctamente.
9
Identificar datos e incógnitas de un enunciado analítico.
9
Identificar los conocimientos asociados con los datos y con las incógnitas de un enunciado analítico.
9
Hallar respuestas creativas.
9
Emplear todos los registros (gráfico, analítico) para la respuesta a un problema.
9
Validar el proceso seguido para hallar una respuesta.
Página 179
9
Relacionar problemas con los posibles métodos de resolución.
9
Seleccionar acertadamente de lo que sabe lo que necesita para inferir lo que busca.
9
Determinar de lo que le dan, lo que le falta para inferir lo buscado.
9
Utilizar estrategias de trabajo hacia adelante, con lo dado, y hacia atrás con lo buscado para
conectarlos mediante inferencias, formando una cadena donde cada inferencia y su premisa forman
un eslabón.
9
Establecer una cadena de inferencias.
9
Fundamentar cada inferencia.
9
Controlar el propio proceso de comprensión.
Todas estas capacidades se desarrollan y se demuestran a través de un proceso potenciado cuando se interactúa
entre pares, el que no puede ser valorado a través de un único examen final (y mucho menos si éste es sólo
individual y escrito). Sin embargo (y normalmente por exigencia curricular) éste metodología es la empleada en
la enseñanza universitaria.
Como ataque a este conflicto la metodología de enseñanza EpC (Enseñanza para la Comprensión) aboga por la
mejora de los desempeños de comprensión a través de la valoración continua de los mismos. Los desarrollos de
proyectos grupales son adecuados para este fin, ya que a la vez que permiten observar los desempeños de los
estudiantes, posibilitan retroalimentar y andamiar el aprendizaje.
La experiencia.
En el año 2007 la cátedra Análisis Matemático I de la Regional Santa Fe de la Universidad Tecnológica Nacional
contó aproximadamente con unos 350 alumnos ingresantes a las carreras de ingeniería distribuidos en 8
comisiones.
Cabe destacar que esta materia es de dictado anual y algunos de sus contenidos son funciones, curvas dadas en
su forma paramétrica, límite funcional, derivada y sus aplicaciones, como ejemplo búsqueda de extremos.
Integrales y sus aplicaciones, áreas planas, longitud de curva, volumen de sólidos de revolución. La adquisición
de estos nuevos conceptos por parte de los alumnos, la necesidad de hacer una valorización continua del
aprendizaje por parte de los docentes, el contar con un gabinete de informática y un software matemático con
muchas potencialidades fueron los determinantes para la realización de esta experiencia.
Si bien años anteriores se desarrollaron propuesta similares para grupos reducidos de jóvenes, durante el 2007 se
decidió hacer extensiva la experiencia a todos los alumnos y de manera obligatoria. Es de hacer notar que en las
experiencias previas se desarrollaban clases de laboratorios donde docentes enseñaban a utilizar el software
seleccionado, desde el inicio del cursado. Desafortunadamente estas no se pudieron plasmar durante el 2007
dado que las luchas gremiales redujeron las actividades a las mínimas planificadas.
Para sortear este problema y con la idea que esta dificultad podría aportar datos sobre la incorporación de las
herramientas SAC en el aprendizaje de la matemática sin tutor, docentes y jefes de trabajos prácticos de la
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asignatura redactaron un material que resume la sintaxis y los comandos básicos necesarios para desarrollar las
actividades.
Materiales
En esta experiencia se utilizó el software Matemática 5.1 ya que por sus potencialidades numéricas y gráfica la
facultad años atrás adquirió su licencia de uso.
El material redactado se presentó en dos formatos: uno versión word y otro como cuaderno electrónico de
Matemática. Estos archivos se colgaron de la página web de la cátedra. En el mismo, a través de ejemplos, se
muestra como realizar cálculos numéricos y simbólicos, como resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones,
límites, derivadas, integrales indefinidas y definidas; trazar gráficas, reunir distintos gráficos, como conseguir
ayuda dentro del soft, etc.
Las siguientes gráficas, son parte del material en word.
Página 181
Las consignas del trabajo práctico.
Los estudiantes se reunieron en grupos de hasta 4 integrantes. Cada grupo debía elegir un ejercicio de tres
propuestos y resolverlo. Dos de estos ejercicios tenían consignas más cerradas y orientadas.
Uno de ellos por ejemplo, dado un pez y su pecera, se desea realizar un dibujo de ellos.
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Se dio algunos datos de las funciones o curvas que modelan el gráfico, como las ecuaciones generales y algunos
puntos que pertenecen a cada una, parte de esto se muestra a continuación.
-La cola está delimitada por la recta vertical y8 que pasa por (-8,4),
y1 que pasa por (-8,4) y (-5,0) y la recta y2 que pasa por (-8,-8) y (-5,0).
-La parte superior del cuerpo está delimitada por la parábola y4 cuyo vértice es (0,6) y pasa por
-La recta
(5,0).
- La parte inferior del cuerpo está delimitada por la parábola y5 cuyo vértice es (0,-3) y pasa por
(-5,0).
……etc
En principio se solicitó que con la información dada el alumno encuentre las ecuaciones particulares de las curvas
que intervienen y trazar el gráfico usando el software. Avanzando en el conocimiento adquirido por el alumno,
se pide por ejemplo plantear y resolver un problema de optimización y calcular el volumen de un sólido de
revolución con las siguientes consignas
- Se quiere utilizar un vidrio especial para construir una nueva pecera.
2
Si tengo 11000 cm de dicho material para hacer la pecera en forma de prisma con base cuadrada y parte
superior abierta, calcular las dimensiones de la pecera para que su volumen sea el máximo posible.
- Supongamos que la pecera original está centrada en el origen de coordenadas y que es un sólido de
revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región limitada por la recta que pasa por los
puntos (0,10) y (7,10) y la elipse que pasa por los puntos (7,10) y (15,0).
- Calcular el volumen de la pecera.
- Comparando los resultados obtenidos con la nueva pecera ¿es conveniente la nueva pecera? ¿Por qué?
Se pide en también en otros incisos cálculo de longitud de curva, cálculo de áreas planas correspondiente al
dibujo del pez, etc.
Página 183
El otro ejercicio, con una consigna más abierta, solicitaba trazar un gráfico cualquiera y determinar áreas
parciales y totales. La gráfica de algunos de estos trabajos presentados se muestra a continuación.
En todos los casos se pedía realizar los cálculos con y sin programa.
Las consultas.
Las preguntas referidas al manejo del soft fueron atendidas a través del correo electrónico por el jefe del
laboratorio. Las referidas a conceptos de matemática se contestaban durante la clase de trabajos prácticos.
Las consultas frecuentes dejaron en evidencia los problemas a los que se enfrentan nuestros estudiantes.
Usualmente se referían al uso del software en si, obviamente esperadas, dado que los jóvenes no tuvieron un
entrenamiento previo en su uso. Sin embargo hubo muchas, y fue la mayoría, referidas a falencias conceptuales
puestas de manifiesto por el uso del software. Así, frecuentemente se necesitaba graficar la recta
x = k . En
general los estudiantes intentaban utilizar el comando Plot, el que no permite trazarla ya que es un comando para
gráfica de relaciones funciones y = f (x ) . Ante la ayuda brindada por el tutor “graficála usando el comando
ParametricPlot” grande fue la sorpresa cuando notamos que los estudiantes no conseguían determinar una forma
paramétrica para la recta
x=k.
Algunos resultados:
Una vez resuelto el ejercicio de ambas formas, manual y utilizando el soft, los alumnos debían entregar el trabajo
completo en cuyo último inciso, se pedía de manera obligatorio la entrega de sus conclusiones en las cuales
podían expresar las fortalezas y debilidades de la actividad. Para ello, las conclusiones debían contener las
consignas:
-
De que manera le resultó más sencilla la actividad.
-
De que manera le resultó mas comprensible la actividad.
-
La realización de esta actividad mejoró la comprensión de los contenidos
- Cualquier otro comentario que le hubiera facilitado la actividad.
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Se evaluaron las respuestas, que fueron dispares, por tratarse de un comentario. De las respuestas concluimos que
los jóvenes que participaron en esta experiencia la han criticado y valorizado desde distintas aristas.
Muchos valorizaron el soft como instrumento para resolver problemas. Así Hugo y Matias opinaron “Después
de haber realizado este trabajo podemos concluir en que es de mucha ayuda tener herramientas para resolver
los problemas. Es claro que la resolución nos resulto mucho mas sencilla trabajando con el software y nos
hubiera ahorrado mucho tiempo. Gracias a esta herramienta pudimos constatar los resultados hechos a mano.
Pero sin embargo al ser la primera vez que trabajamos con este software nos encontramos con dificultades de
comprensión y manejo del software en si, que fueron resueltas gracias al manual provisto por la cátedra y a
diferentes consultas. En nuestra opinión, el software es un poco difícil de manejar la primera vez y se hace un
poco engorroso trabajar siempre con comandos. Pero se aprende rápidamente y sirve para ahorrar mucho
tiempo. Esta actividad nos sirvió mucho, tanto para aplicar los conocimientos como para aprender a usar un
nuevo software que nos servirá de herramienta para la cátedra y para el futuro”.
Algo similar opinaron Pablo y Roberto, estudiantes de ingeniería en sistemas de información: “La utilización del
software nos hizo más sencilla la resolución del ejercicio, además de tener una mayor prolijidad. Nos ayudo a
comprender los temas desarrollados en clase, como por ejemplo la obtención de áreas por medio de integrales
definidas. Sabiendo como se utiliza el programa, hemos obtenido una importante y muy útil herramienta, que nos
permitirá seguir desarrollando nuestros conocimientos en matemática. De todos modos, también fue importante
resolver en primera instancia el ejercicio en papel, para comenzar a plantear cual era la superficie que íbamos a
graficar, y para realizar los cálculos necesarios para obtener los resultados requeridos.
Algunos estudiantes opinaron que el uso del soft no agregó nada a su comprensión pero si a afianzar los
aprendizajes. Muchos dejan entrever que no descartan la posibilidad que, bajo otras condiciones, lo mejoren.
Así Luis, Pablo, Javier y Lucas dijeron “Concluido el trabajo práctico y luego de haber experimentado la
resolución de las operaciones que implicaba a nuestro criterio, estamos en condiciones de afirmar que la
resolución del trabajo en general nos pareció más sencilla por la forma “manual”, pero esto es así solamente
por el hecho de que como el programa era desconocido para nosotros lleva un tiempo acostumbrarse a los
signos a utilizar, y, tener en cuenta detalles como mayúsculas y formas de presentar las órdenes para que el
software las pueda interpretar. Por otro lado, considerando las prestaciones del programa es evidente que si se
aprende a utilizar bien puede ser una herramienta muy poderosa además de sumamente práctica para la
resolución de integrales que por la forma manual tenemos que tener mucha agilidad y experiencia en el tema
que es posible que un profesional que no esté vinculado con el desarrollo y análisis de estas operaciones en
particular no posea. En cuanto a la comprensión del concepto en sí de la integral y del cálculo de áreas como
una aplicación importantísima de la misma creemos que de las dos formas uno logra conocer mejor el tema; es
la resolución en sí lo que nos permite esto, o sea, el cálculo de los rangos, la determinación de las funciones, la
lectura de los resultados y por supuesto los mismos errores cometidos tanto manual como con Mathematica.
Para finalizar bastaría aclarar que consideramos la actividad realizada una muy buena manera de afirmar los
conocimientos teóricos y prácticos sobre el tema y de poder ver la forma de aplicarlos, aparte de tener un
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conocimiento, por más escaso que sea, sobre un software como Mathematica que evidentemente tiene un
potencial interesantísimo y es muy probable que volvamos a utilizarlo en el futuro.
También hubo estudiantes que concluyeron sobre que el software puso en evidencia dificultades de comprensión.
Así Nicolás y Esteban dijeron “Para esta parte del problema no tuvimos la capacidad de comprender el
programa para aplicarlo en esta situación”, refiriéndose a que no logran determinar las ecuaciones paramétricas
de una recta y de una elipse. Es más, critican al material dado opinando “Plantear las ecuaciones en el
programa es la dificultad que se nos presentó, debido a que el apunte dado no nos resolvió muchas dudas… En
nuestro caso particular hubiésemos preferido hacer un curso introductorio antes de realizar el trabajo, debido a
que sabiendo como usar el programa este sirve de mucha utilidad, es una herramienta muy buena”
En cuanto al replanteo de nuestras prácticas que a inicio del artículo comentamos han surgido varias como
prioritarias. La primera referida a que para años siguientes es necesario realizar una o dos clases de laboratorio
a inicio del cursado de la asignatura con lo básico del soft y otra cuando se hayan desarrollados los conceptos del
cálculo para que los estudiantes se familiaricen con el uso del mismo.
La segunda al rediseño de esta actividad para que conste de varias entregas en distintos momentos del curso,
incorporando en cada una los nuevos conceptos. Esto permitirá evaluar y andamiar los aprendizajes. En esta
experiencia el trabajo constó de una única entrega por razones de necesidad debido a un cursado anormal
plagada de inactividad debida a paros y causas extraordinarias.
La tercera es que es necesario aclarar los premios y los castigos explícitamente para la actividad a inicio del
cursado. Si bien fueron varios los comentarios al respecto podemos resumirlo en el más crítico de ellos, aportado
por el estudiante de ingeniería industrial, Sebastián: “quiero expresar que no me pareció correcto que incluyeran
la realización de este trabajo en un mes de exámenes, y mucho menos que nos pongan las condiciones de que si
no se entregaba, se perdía la promoción y la regularidad. Y menos que nos digan que “si el trabajo se entrega en
tiempo y forma… “talvez”… sumaba en la nota final. Aunque se encarga de aclarar que no es el trabajo el que
critica “Por otro lado, la realización de este trabajo fue una muy buena experiencia, ya que me permitió conocer
este software que me servirá en las materias y problemas a resolver en el futuro”.
Como docentes consideramos que la experiencia fue buena y dio buenos resultados, con el compromiso de los
alumnos hacia el trabajo y con críticas de parte de ellos que en general resultaron favorecedoras y nos alentaron a
seguir mejorando la experiencia para el futuro.
Blythe, T. y cols. (1999). La enseñanza para la comprensión. Guía para el docente. Buenos Aires: Editorial
Paidós.
Johnson, D. W. , Johnson, R.T. y Holubec , E.J. (1999): El aprendizaje cooperativo en el aula.
(1º edic). Buenos Aires: Ediciones Paidos.
Stone Wiske, M. (comp.). (1999). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la
práctica. Buenos Aires: Ediciones Paidós.
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LA EVALUACIÓN DE LA CÁTEDRA UNIVERSITARIA: REVISIONES,
REFLEXIONES Y POSIBILIDADES DE MEJORA
Malva Alberto; Liliana Fiorito; Juan Pablo Puppo
Facultad Regional Santa Fe - Universidad Tecnológica Nacional - Argentina
[email protected]
Nivel Universitario
Palabras claves: proceso; evaluación; cátedra; universidad
Resumen:
Este trabajo refleja los aportes del análisis de tarea aplicado al estudio del proceso evaluativo de la cátedra
universitaria. Reporta las actividades de lectura bibliográfica y de observación crítica llevadas a cabo con el
objetivo consensuar el concepto de evaluación que compartimos y asumimos; refleja momentos de exploración y
de reflexión entre pares con el propósito de encontrar coherencias o incoherencias entre la planificación de la
cátedra, los objetivos de aprendizaje, los contenidos seleccionados, los ejercicios y problemas propuestos en
exámenes parciales o finales y el proceso de evaluación implementado para la promoción de la cátedra. A pesar
de estar frente a una realidad perfectible, extraemos algunas conclusiones de carácter exploratorio que permiten
argumentar que, a priori, el proceso incide positivamente como reflejo de los desempeños académicos de los
estudiantes.
Como docentes nos preocupamos por generar diversas acciones para motivar, adecuar, sugerir, repensar, revisar,
actualizar o redimensionar los programas y proyectos educativos, los planes de estudios, los planes curriculares,
las propuestas pedagógicas integradas entre varias cátedras, los contenidos de aprendizaje, la discusión o la
puesta en escena de éstas y otras acciones. La evaluación forma parte de estos proyectos, se complementa,
retroalimenta y se nutre de ellos. Mejorar la calidad de la acción educativa es un compromiso asumido y
compartido y en este marco, entendemos que la evaluación, como un proceso permanente y sistemático de
recolección de datos, control, detección de dificultades, observación y comunicación de logros, es un área clave
para la reflexión y las posibilidades de implantar mejoras.
Introducción
El escenario educativo contemporáneo está sujeto a constantes cambios: existen nuevas formas de gestión
educativas, nuevos paradigmas educativos, nuevas formas de transición hacia una sociedad que exige formas
alternativas de apropiación del conocimiento que implican la participación comprometida y creativa de alumnos y
docentes.
Como docentes nos preocupamos por generar diversas acciones para motivar, adecuar, sugerir, repensar, revisar,
actualizar o redimensionar los programas y proyectos educativos, los planes de estudios, los planes curriculares,
las propuestas pedagógicas integradas desde varias cátedras, los encuentros para el debate, la discusión o la
puesta en escena de estas y otras acciones.
En este contexto de cambio y adecuación, de revisión y mejora, nos alienta la perspectiva de trabajar desde
adentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, durante las intervenciones educativas, con el propósito
permanente de mejorar la calidad de la acción educativa. Es un compromiso compartido y asumido por los
docentes y auxiliares de la cátedra. Y en este marco acordamos áreas claves para la búsqueda de calidad y fijamos
distintos pasos a seguir: hemos atendido a la planificación de la estructura curricular de la cátedra en
concordancia con la de la carrera y la institución (en proceso de revisión para el próximo período académico);
hemos producido el material didáctico que es compartido por docentes y alumnos (libro de texto que está en
proceso de revisión) y hemos incorporado la evaluación como un proceso permanente y sistemático de
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recolección de datos, control, detección de dificultades; observación y comunicación de logros. En este trabajo,
la evaluación se analizará desde un marco básicamente curricular. Podemos aclarar que estos pasos no son
secuenciales, no son compartimientos separados, sino que son complementarios e influyen unos en otros. Nuestro
trabajo muestra el análisis de tarea desarrollado para encontrar el equilibrio y la justa mediación entre la
concepción que tenemos de los procesos de enseñanza y aprendizaje, la práctica cotidiana en el aula universitaria
y la puesta en escena del modelo de evaluación implementado. Adherimos a posturas que argumentan que el
sistema de evaluación implementado debe estar en concordancia no sólo con la propuesta curricular propiciada
desde la cátedra, sino también con la concepción de enseñanza con la que trabajan los docentes en el aula
(Celman, S., 2004) y desde nuestra práctica agregamos que debe atender también a las resoluciones y
procedimientos que reglamentan la promoción de los alumnos y el currículum universitario en vigencia. Es decir,
enseñanza, aprendizaje y evaluación son conceptos que se implican mutuamente, se alimentan, se solidarizan y se
nutren unos de los otros.
Satisfacer las demandas educativas de esta nueva sociedad es comprender que las situaciones de aprendizaje son
coproductoras del conocimiento y es poner en juego nuevas dimensiones y desafíos que requieren de propuestas
de carácter prospectivo, de reflexiones sobre las usuales prácticas pedagógicas, de planificaciones curriculares
actualizadas y flexibles y del ejercicio permanente de actitudes críticas frente a la propia tarea desarrollada.
Nuestro trabajo intenta encontrar y mostrar coherencias o incoherencias entre la planificación de la cátedra, los
objetivos de aprendizaje, los contenidos seleccionados con los ejercicios y problemas propuestos en exámenes
parciales o finales para la promoción de la cátedra.
La evaluación
Encontramos que esta problemática es una preocupación constante y permanente en la agenda didáctica de
docentes e investigadores. Por ejemplo, Celman (op. cit. 2004) realiza un recorrido por las diferentes
concepciones de evaluación desde 1950 en adelante y expresa que las diferencias entre las distintas nociones de
evaluación educativa radican básicamente en la concepción de educación que se tenga y que esas diferencias se
centran en la tarea del evaluador, en lo que se evalúa, en el para qué evaluar. Destaca que es impensable un
concepto de evaluación que no tenga en cuenta al sujeto, el objeto y práctica de la evaluación. Además refuerza la
idea de “evaluación educativa, participativa, democrática, tendiente a la comprensión” (p. 141) favoreciendo así
la formación de docentes críticos y comprometidos.
Entre las tendencias actuales sobre evaluación encontramos las que hacen referencia a las formas explícitas de la
evaluación, nos centramos en las opiniones de Lipsman, M. (2004) cuando aclara que “es importante que los
criterios de evaluación sean transparentes, que proporcionen a todos la igualdad de oportunidades (…) que tales
criterios sean públicamente conocidos por los alumnos y que los juicios de valor sean actos de negociación
explícita entre todos los implicados” (p. 145). Así mismo remarca y argumenta la idea de que no se puede
encontrar un método que se consiga aplicar globalmente, exacto y que dé cuenta fehaciente de las competencias
adquiridas por los alumnos y sus procesos de aprendizaje.
Página 188
Gimenez Uribe y Samoluk (2007) plantean cinco dimensiones básicas de la evaluación relativas a los
cuestionamientos que siempre han dado lugar a diferencias respecto de la definición de evaluación. Ellos
distinguen:
•
El momento en que se realiza la evaluación que está relacionado con el “cuándo evaluar” y distinguen
tres tipos de evaluaciones: la Inicial que se realiza antes de comenzar a desarrollar el programa educativo y tiene
como finalidad dilucidar los puntos de partida de los sujetos de aprendizaje; la evaluación continua o de procesos
durante el período de duración del programa de enseñanza. Esto permite además reflexionar sobre el proceso de
enseñanza-aprendizaje mientras transcurre; posibilita tomar decisiones sobre cómo continuar y mejorar, así, la
calidad de la enseñanza y la evaluación final que se realiza al término del desarrollo del programa y tiene como
objetivo recopilar información sobre los resultados del proceso de enseñanza-aprendizaje y tomar decisiones no
sólo sobre la práctica docente sino también sobre la promoción y acreditación de los alumnos.
•
Los objetivos de la evaluación, que está relacionado con el “para qué evaluar” y se distinguen tres tipos
de evaluación: la evaluación diagnóstica que permite dar cuenta de las condiciones en las que ingresan los
alumnos, ya sean afectivas, sociales educativas y/o intelectuales. Sirve para hacer una valoración sobre los
conocimientos previos de los alumnos y sentar las bases sobre las cuales descansará la práctica docente. La
evaluación formativa: cuya finalidad es realizar una valoración del proceso de enseñanza-aprendizaje a medida
que ocurre, para detectar problemas en el aprendizaje de los alumnos o en la adecuación de la currícula al grupo
de alumnos en general y a cada alumno en particular, para atender a sus dificultades específicas y la evaluación
sumativa que se utiliza para analizar si los objetivos propuestos se cumplen. Se realiza al finalizar cada unidad
didáctica y/o al culminar el programa educativo y permite la acreditación o promoción del alumno.
•
El evaluador, dimensión que está relacionada con el “quién evalúa” y nos hablan de evaluaciones
internas y externas como aquellas que son realizadas por los participantes del proceso de enseñanza-aprendizaje o
por una persona o equipo ajeno o no partícipe de la enseñanza, respectivamente.
•
El objeto de la evaluación, dimensión relacionada con el “qué evaluar”: los aprendizajes de los
alumnos, el desempeño del docente, los programas educativos, las instituciones educativas.
•
Instrumentos de evaluación o el “cómo evaluar”. Estos instrumentos deben adecuarse a los puntos
anteriores, puesto que responderán de manera diferente de acuerdo a cual sea nuestro interés en la información
que se recolecta. Por esto, debemos analizar, si el instrumento elegido es idóneo para nuestro propósito. Entre
estos instrumentos mencionamos la observación, las entrevistas, los exámenes orales, los exámenes escritos, los
trabajos en clase, las comunicaciones.
Por otra parte, autores como Santos Guerra (1998) entienden que si bien el proceso evaluador es muy complejo,
la evaluación desempeña algunas funciones generales, que clasifica como: de diagnóstico, selección,
jerarquización, comunicación y formación:
•
Diagnóstico: permite saber cuáles son los conocimientos previos que trae el alumno, para ajustar las
prácticas en concordancia con el basamento sobre el que el alumno, construirá y afirmará su trabajo académico.
Página 189
•
Selección: permite distinguir a los estudiantes, mal que nos pese a los docentes, según su calificación,
según lleguen al mínimo establecido o no.
•
Jerarquización: permite decidir qué es evaluable y qué no lo es.
•
Comunicación: tanto el docente como los alumnos se comunican mediante la evaluación; y sus
resultados influyen psicológicamente en ambos. El alumno se ve comparado con sus pares y el docente entiende
que su asignatura es más o menos importante para sus alumnos según su desempeño.
•
Formación: permite conocer como se va llevando a cabo el aprendizaje y a partir de esto analizar
nuestro desempeño como docentes; y el alumno su desempeño académico.
La lectura bibliográfica nos permitió consensuar el concepto de evaluación. Los debates internos en reuniones de
cátedra pusieron de manifiesto que la evaluación no debe ser un anexo o agregado al final del curso, para
examinar si se cumplieron los plazos y objetivos planificados. Por el contrario, acordamos que es una parte
fundamental del proceso de enseñanza y aprendizaje, porque la lectura de sus resultados no sólo hablan de lo
aprendido o no por el alumno, sino también de la eficacia, la pertinencia, las competencias logradas o vacantes, la
calidad del programa de estudios, el desempeño del docente en cuanto a criterios de selección, organización y
jerarquización de contenidos y actividades.
Concertamos además que es posible conocer los alcances y
limitaciones de un proyecto educativo a medida que se va ejecutando. De nada sirve hacer el análisis sólo al final,
puesto que esto impide mejorar y revisar la práctica que se desempeña en el momento actual. Por otra parte, la
revisión de nuestras prácticas nunca es fútil, trivial, o insignificante sino que nos da las herramientas para
mejorarlas en el futuro. Pautamos que la evaluación debe mostrarnos los procesos de pensamiento, las
habilidades cognitivas logradas y las que están ausentes, los grados de desempeño de los estudiantes, por lo que
es muy importante no solo tener en cuenta qué evaluar, sino también cómo, cuándo y mediante qué instrumentos.
Concluimos que el proceso evaluativo debe ser planificado de forma rigurosa y con conciencia, debe ser
explícito, ofrecer alternativas, ser continuo y permitir la retroalimentación y corrección del proceso.
Nuestro acercamiento a un proyecto (modelo) de evaluación de los aprendizajes
En la planificación de la cátedra Matemática Discreta (2007), para la carrera de Ingeniería en Sistemas de
Información hemos presentado un modelo de evaluación que atienda a una matemática de base inductivadeductiva y con potencial heurístico, que permite diagnosticar, regular y mejorar el proceso de enseñanza y
aprendizaje, que refleje las prácticas en el aula y los procesos de planificación curricular. Explicita, entre otros,
los momentos y los instrumentos de la evaluación cuando dice, por ejemplo:
•
Momentos: Inicial o diagnóstica, formativa o continua, sumativa o final
1. Inicial o diagnóstica: para todos los alumnos ingresantes, al comenzar el cuatrimestre.
2. Formativa o continua: durante el cuatrimestre, para todos los alumnos.
3. Sumativa o final: en los turnos de exámenes, para los alumnos regulares (promovidos por parciales y no
promovidos).
•
Instrumentos: para cada una de las instancias anteriores
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1. Para la evaluación inicial: Prueba estructurada y semiestructurada que evalúa conocimientos previos y
procedimientos con los que cuentan los alumnos ingresantes.
2. Para la evaluación formativa o continua: Se implementan Cuatro Evaluaciones de Seguimiento, con las
características de ser estructuradas o semiestructuradas que evalúan contenidos conceptuales y procedimentales.
Dos de ellas son individuales y dos de ellas grupales y todas son escritas. Se implementan dos pruebas
globalizadoras y un examen final. Las Pruebas Globalizadotas incluyen la evaluación de contenidos conceptuales
y procedimentales; justificación de hechos y procedimientos, actividades de análisis y síntesis; se aplican para
todos los alumnos; son individuales y escritas. El Examen final es un coloquio, para los alumnos regulares que
hayan promocionado por parciales sobre un tema de interés para el Área.
3. Para la evaluación sumativa o final: Exámenes globalizadores escritos e individuales de aproximadamente tres
horas de duración en cada uno de los turnos de exámenes fijados por la Unidad Académica para los alumnos
regulares no promocionados.
Revisión crítica en busca de Coherencias o concordancias entre el Diseño Curricular, la Planificación y los
Exámenes Parciales/Finales de la Cátedra
Entre las concordancias encontradas entre el diseño curricular de la carrera, de la cátedra y el proyecto de
evaluación encontramos, entre otras que:
El perfil del graduado tecnológico de ISI, contempla un: “Profesional de sólida formación analítica que le permite
la interpretación y resolución de problemas mediante el empleo de metodologías de sistemas y tecnologías de
procesamiento de la información”
En la planificación de la cátedra (Pág. 8, 9), encontramos en la Metodología utilizada, este párrafo:
“La propuesta didáctica pone en juego diferentes actividades como explicación, ejemplificación, aplicación,
resolución de problemas, integración e interconexión de contenidos, justificación, comprensión e investigación.
Se diagraman actividades que estimulan la expresión oral y escrita, la creatividad, el desarrollo de la capacidad de
síntesis, abstracción y participación, con el objetivo de “enseñar a comprender”, tanto un contenido, como un
concepto y/o una demostración utilizando básicamente la selección de ejes generatrices con sus aplicaciones
focalizadas en el área de ciencias de la computación. Existen actividades que requieren de conocimiento y
práctica referentes a datos y procedimientos de rutina; continuamos con prácticas referentes a la resolución de
problemas típicos de la asignatura y diseñamos otras que requieren conocimiento y práctica referentes a la
justificación y a la explicación de los hechos. Proponemos actividades especiales para los alumnos que adhieran a
un régimen especial de seguimiento y promoción por parciales (en concordancia con la Ordenanza 231/03) de la
cátedra”.
En la Pág. 2 de la Planificación de Cátedra en la Fundamentación de la asignatura encontramos: “Las capacidades
de razonamiento, diseño y desarrollo de programación se van fortaleciendo desde el inicio de la carrera, con el
aporte de todas las disciplinas del área. Desde la cátedra Matemática Discreta insistimos con actividades que
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favorezcan el anclaje y permanencia de habilidades cognitivas generales tales como interpretar, identificar,
calcular, algoritmizar, modelar, justificar, demostrar, entre otras.”
En la Pág. 3 correspondiente a los Objetivos Generales leemos:
“Contribuir a la formación integral del Ingeniero en Sistemas de Información, posibilitándole una sólida y
adecuada formación básica y tecnológica inicial con aportes de contenidos y procedimientos propios de
Matemática Discreta, en concordancia con el área de Programación, Computación, y la Formación Básica
Homogénea”.
“Posibilitar el uso de las distintas representaciones (simbólicas, matriciales, gráficas)…”
“Favorecer la inserción de los contenidos no abordados en la Formación Básica Homogénea, tales como lógica
proposicional y de predicados, teoría de números, recurrencia, grafos y autómatas, en el área de la
programación, atendiendo a la resolución de situaciones problemáticas”
En la Pág. 4 correspondiente a los Objetivos Específicos se detallan:
“Diseñar autómatas finitos como máquinas reconocedoras de una sucesión de entradas cada vez que la misma
aparezca en una cadena”.
“Aplicar el proceso de minimización para obtener máquinas de estados finitos simplificadas”
En concordancia con los antecedentes citados, el examen final del 26/07/07 contiene problemas como el
siguiente:
Problema 4:
a) Diseña una máquina de estado finito que acepte cadenas de 0 y 1, que comiencen y finalicen con 1, tengan un
único 0 y que tengan a la derecha del 0 un número positivo par de 1. Es la máquina diseñada un autómata finito.
Justifica.
c) ¿Es posible simplificar la siguiente máquina? Si es posible, hazlo y dibuja la máquina simplificada. Si no es
posible, justifica.
s0
s1
s2
s3
s4
s5
f
0
s0
s1
s2
s2
s4
s1
1
s2
s0
s0
s3
s1
s2
g
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Al continuar con esta revisión, leemos en la misma Pág. 2:
“Enfatizar conceptos y procedimientos propios de la lógica proposicional y de la lógica de predicados, de la
inducción matemática y el uso de funciones recursivas propias del área de la programación en la introducción
a la lectura de sencillos algoritmos basados en estructuras de control donde se focalizan estos contenidos de la
Matemática Discreta”.
“Resolver situaciones problemáticas mediante el pensamiento inductivo, el deductivo y el recursivo”.
En la Pág. 3 correspondiente a los Objetivos Generales leemos:
Página 192
Posibilitar el uso de las distintas representaciones (simbólicas, matriciales, gráficas) y de distintos razonamientos
(inductivos, recursivos, deductivos) como medios para favorecer la integración de conceptos y procedimientos
derivados de los contenidos disciplinares propios.
Favorecer la inserción de los contenidos no abordados en la Formación Básica Homogénea, tales como lógica
proposicional y de predicados, teoría de números, recurrencia, grafos y autómatas, en el área de la
programación, atendiendo a la resolución de situaciones problemáticas.
En las páginas 3 y 4, enunciamos como Objetivos Específicos para los Módulos de Lógica; Teoría de Números y
Recursión y Números Aleatorios los siguientes:
“Aplicar los operadores y las leyes lógicas para obtener nuevas proposiciones, expresiones duales o
equivalentes”;
“Utilizar adecuadamente los cuantificadores para manipular expresiones relacionales”;
“Comprender las diferencias entre las funciones proposicionales y las proposiciones”; “Utilizar esquemas de
razonamientos válidos en la demostración de propiedades”.
“Reconstruir propiedades relacionadas con variables discretas a través de las observaciones de patrones y luego
usar la inducción para probarlas”; “Utilizar la inducción como una estrategia para demostrar propiedades relativas
a los números naturales y para verificar la tarea correcta que realizan algunos algoritmos”.
“Aplicar adecuadamente las variables discretas en la generación de sucesiones dadas por recurrencia”; “Utilizar
la recursión para resolver situaciones problemáticas tales como el conocido problema de las Torres de Hanoi, la
reproducción de conejos, etc.”. ; “Conocer distintas alternativas para resolver relaciones de recurrencia lineales
de primer y segundo orden homogéneas y no homogéneas”; “Encontrar expresiones recursivas para una
determinada sucesión de números o para resolver un determinado problema”.
En concordancia con lo escrito, el examen final del 26/07/07 contiene problemas como los siguientes:
Problema 1:
a) Demuestra que esta proposición es una tautología (p ∨ q) ∧ ¬p → q. Utiliza esta tautología para justificar
que es verdadera la siguiente implicación: Si n2 +3 n − 4 = 0 y n ≠ 1 entonces n = −4.
c) Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando las respuestas:
c1) ∀ m ∈ Z +, ∃ n ∈ Z + tales que m < n.
c2) ∃ m ∈ Z +, ∃ n ∈ Z + tales que 14 m + 20 n = 101
c3) ∃ n ∈ Z +, ∀ m ∈ Z +, tales que m < n.
c4) ∀ n ∈ Z +, ∃ m ∈ Z + tales que m < n.
Problema 2:
a) Dada la sucesión a0, a1, a2, …., an, ….de números reales y sea Sn la suma de los n primeros elementos de la
n
sucesión, esto es Sn =
∑a
k
. Escribe Sn mediante una definición recursiva.
k =0
b) Encuentra la solución general para la relación de recurrencia an = 2 a n-1 + 1, con a0 = 0.
c) Demuestra por inducción que P(n) : 3n(n + 1) es divisible por 6, para todo número natural n.
Página 193
d) Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta:
d1) Todo grupo de tres elementos es conmutativo.
d2) Existen anillos en los que se verifica que a b = 0 y a ≠ 0 y b ≠ 0.
d3) Todo grupo de cuatro elementos posee sólo dos subgrupos.
Continuando en la Pág. 2 de la Planificación de Cátedra encontramos:
“Comprender las estructuras lógicas y su generalización a las Álgebras de Boole como fundamento para la
arquitectura de los ordenadores”. O bien, “Simplificar las redes de conmutación y funciones booleanas.”
Y en concordancia con estos objetivos, el examen contiene estos problemas:
Problema 3:
a) Demuestra que cada elemento de un álgebra de Boole tiene un único complemento.
b) Escribe la función f(x, y, z) = x y + y z’ en su segunda forma canónica. Previamente construye la tabla de
entradas y salidas de la función.
Desajustes, disonancias o incoherencias entre la Planificación de Cátedra y los Exámenes Parciales/Finales
de la Cátedra.
En general no encontramos incoherencias entre la planificación y las evaluaciones revisadas. Es decir, el
contenido, los momentos y los instrumentos están contemplados y explícitos en la planificación. Pero debemos
hacer ajustes. Notamos que ciertos objetivos específicos no aparecen en los exámenes o aparecen muy
tangencialmente. Sin embargo, creemos que su omisión es pertinente, porque son escasamente trabajados en las
clases. Nos parece necesario aclarar que lo que se evalúa se adecua totalmente a las intervenciones didácticas
puestas de manifiesto en la clase (que tiene como especial colaborador el libro de texto). Nuestra revisión recae
entonces en una nueva reformulación de esos objetivos específicos. Así nos encontramos que en la Pág. 3
correspondiente a los Objetivos Específicos dice: “Reconstruir propiedades relacionadas con variables discretas a
través de las observaciones de patrones y luego usar la inducción para probarlas”. En este aspecto debemos
aclarar que, generalmente la observación de patrones se trabaja en problemas relacionados con la construcción de
relaciones de recurrencia y la prueba por inducción se hace con propiedades que ya están dadas; es decir, el
proceso de la construcción de la propiedad es escasamente ejercitado. En la misma página podemos leer también
los siguientes Objetivos Específicos:
“Identificar las funciones proposicionales y las proposiciones en la lectura de estructuras de control de segmentos
de algoritmos”
“Utilizar la inducción como una estrategia para demostrar propiedades relativas a los números naturales y para
verificar la tarea correcta que realizan algunos algoritmos”
Estos objetivos deben ser reformulados; el análisis, recorrido y la lectura de algoritmos, es un contenido de
borde, una lectura complementaria, una propuesta motivadora de integración al área de programación que
justifica la inclusión de la inducción matemática como objeto de estudio. Este contenido se aborda en un
seminario extracurricular optativo, luego debe repensarse como objetivo específico.
Página 194
Encontramos que hay aspectos de la planificación, tanto en Objetivos como en Contenidos, que están planteados
como si tuvieran la misma jerarquía e importancia, pero que por el contrario, dentro de la Cátedra se consensúa
un tratamiento distinto; en este sentido la evaluación refleja situaciones de aprendizaje en el aula y se distancia de
lo planificado.
Conclusiones
Entendemos que la innovación en evaluación no se refiere a la búsqueda de nuevas técnicas e instrumentos sino
al compromiso asumido por los docentes en cuanto a la integración de la enseñanza, el aprendizaje y el concepto
de evaluación; la evaluación es a la vez instrumento de reflexión y análisis de la práctica docente. Debe
ofrecernos no sólo información sobre lo que los alumnos aprendieron o no, sino también sobre cómo enseñamos
y cómo continuaremos con nuestra práctica a partir de las mediaciones ofrecidas y los resultados obtenidos. Para
Masingila, Nigan y Domínguez (1997, pág. 33) “la evaluación es un proceso continuo e interactivo y (…) una
herramienta para la enseñanza y el aprendizaje de la que podrían sacar mucho mayor partido tanto los profesores
como los alumnos”. Nuestra reflexión nos ha movido hacia una corrección en la planificación curricular. Como
aportes de este trabajo, para una innovación en evaluación, entendemos que deben cuidarse estas características
mínimas: selección y adecuación de criterios acordes a los objetivos; reconocimientos de la complejidad de las
múltiples variables que inciden en la evaluación; continuidad y globalidad (inclusión); coherencia entre lo que se
hace y lo que se evalúa; utilización de un lenguaje directo, claro y que fomente la comunicación, entre otras.
Celman, S. (2004): Evaluación y compromiso público en la Argentina de los noventa en Publicación de
Conferencias y Paneles del 2º Congreso Internacional de Educación. La Formación Docente. Evaluaciones y
nuevas prácticas en el debate educativo contemporáneo. Santa Fe. Ediciones UNL.
Giménez Rodríguez, J. (1997), Evaluación en Matemáticas. Editorial Síntesis. S.A. Madrid
Giménez Uribe, A.; Samoluk, M. (2007) Reflexiones sobre la evaluación universitaria: Posibilidades de revisión
y mejora. Material didáctico entregado en el curso autorizado por la Red Federal de Formación Docente
Continua. Cabecera Santa Fe.
Lipsman, M. (2004). La innovación en las propuestas de evaluación de los aprendizajes en la cátedra
universitaria. Perspectivas y limitacione, en Publicación de Conferencias y Paneles del 2º Congreso
Internacional de Educación. La Formación Docente. Evaluaciones y nuevas prácticas en el debate educativo
contemporáneo. Santa Fe. Ediciones UNL.
Masingila, J. O. ; Nigam, P.; Domínguez, Á. (1997): Evaluación: una herramienta para enseñar y aprender En
Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas: Evaluación. Número 11. GRAÓ.
Palou de Maté, C. (2004) Los criterios de evaluación en la práctica de la enseñanza en Publicación de
Conferencias y Paneles del 2º Congreso Internacional de Educación. La Formación Docente. Evaluaciones y
nuevas prácticas en el debate educativo contemporáneo. Santa Fe. Ediciones UNL.
Página 195
Santos Guerra, M. A. (1998): Evaluación Educativa: Un proceso de diálogo, comprensión y mejora. Bs. As.
Editorial Magisterio del Plata.
Como Documentos Utilizados incluimos: Planificación de la Cátedra Matemática Discreta aprobada para el ciclo
lectivo 2007 por CD de la FRSF.UTN y el Examen Final de fecha 26/07/07.
Página 196
EL DIÁLOGO COMO RECURSO EN LA CONSTRUCCION DEL SABER
MATEMÁTICO EN EL AULA
María Cristina Rocerau, Silvia Vilanova, Mercedes Astiz, María Susana Vecino, Guillermo Valdez, María Isabel
Oliver, Perla Medina
Universidad Nacional de Mar del Plata – República Argentina
[email protected], [email protected]
Nivel educativo: Medio y universitario
Palabras clave: diálogo, recurso, aprendizaje, matemática
Resumen
Las estrategias dialógicas contribuyen a construir conocimientos y códigos compartidos y ayudan a establecer un
"universo discursivo" que favorece la comprensión de los temas que se enseñan. A esta perspectiva sociolingüística, debe sumársele la psicológica, ya que el lenguaje es una manifestación de algo más profundo, del
contexto mental al que se integran concepciones, significados y marcos de referencia. El diálogo crea un proceso
de comprensión interpersonal, un espacio de negociaciones de significados y una revalorización de las diferencias
como oportunidades de alcanzar perspectivas nuevas. El presente trabajo pretende hacer una reflexión sobre el
valor del diálogo en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, técnica usada por los griegos hace más de
dos mil años y vigente en épocas posteriores. Se intenta mostrar, a partir de ejemplos de la utilización de este
recurso por reconocidos matemáticos contemporáneos, que el diálogo permite reflexionar, exponer, analizar y
criticar ideas y que constituye una herramienta didáctica potente y fundamental en la enseñanza y aprendizaje de
la matemática. Si como docentes concebimos la educación como una ayuda para que el que aprende adquiera
herramientas de creación de significados y reconstruya la realidad, la utilización del diálogo permite, no sólo la
apropiación de la cultura sino su participación en ella, la ampliación de la comprensión del contenido, de las
personas y del conocimiento, ya que cuando los saberes de uno se enfrentan con los de otros es cuando la
estructura que sostiene las certidumbres comienza a desmoronarse.
Introducción
El diálogo crea un proceso de comprensión interpersonal, un espacio de negociaciones de significados y una
revalorización de las diferencias como oportunidades de alcanzar perspectivas nuevas. Señala Bachelard (1985):
“Ante todo es necesario saber plantear los problemas. En la vida científica los problemas no se plantean por sí
mismos. Es precisamente este sentido del problema el que caracteriza el verdadero espíritu científico. Para un
espíritu científico, todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no hubo pregunta, no puede haber
conocimiento.” Así, el tipo de pregunta que propicia la apertura al diálogo es aquella que plantea un problema,
un desafío o una crítica; aquella que permite trascender la mera respuesta y lleva a plantearse más preguntas;
aquella que tiene la suficiente fuerza como para hacer tambalear los cimientos sobre los que se asienta la propia
certeza, que puede no ser la certeza de otros. Según Burbules (1999), “comprender que el que formula una
pregunta puede, a su vez, ser objeto de otra pregunta, es la condición que ayuda a crear y a mantener una relación
dialógica de respeto y confianza mutuos.” El presente trabajo tiene la intención de hacer un breve rastreo de la
utilización del diálogo en la matemática, desde el período socrático hasta nuestros días y recuperar el valor del
diálogo para la enseñanza y el aprendizaje.
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El diálogo y la Matemática.
Recuperar el valor del diálogo en el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática, es recuperar una técnica que ya
usaban los griegos hace más de dos mil años y que ha continuado vigente en épocas posteriores.
La contribución de Sócrates a la filosofía ha sido de un marcado tono ético, pero también hizo hincapié en la
discusión racional y en la búsqueda de definiciones universales. Dice Bréhier (1956): “ lo que con razón puede
atribuirse a Sócrates son los razonamientos inductivos y las definiciones universales, situados unos y otras al
principio de la ciencia .” En el siguiente pasaje del Teetetos de Platón, se caracteriza el arte de la mayéutica
propuesto por Sócrates (Ferrater Mora, J., 1969):
“ Mi mayéutica - dice Sócrates- tiene las mismas características generales que el arte de las comadronas. Pero
difiere de él en que hace parir a los hombres y no a las mujeres y en que vigila las almas, y no los cuerpos, en su
trabajo de parto. Lo mejor del arte que practico es, sin embargo, que permite saber si lo que engendra la reflexión
del joven es una apariencia engañosa o un fruto verdadero”
Su método centrado en el diálogo, y sobre todo la interrogación, su habilidad de persuadir y disuadir y de hecho
toda su obra, se dirigió al descubrimiento de problemas, más que a la búsqueda de soluciones .“Sócrates hacia
surgir dondequiera, lo que antes parecía no existir: un problema.” (Ferrater Mora, J, 1969).
En nuestros días, reconocidos matemáticos contemporáneos han retomado la utilización del diálogo aunque
con fines diversos: la obra pionera de Polya, por ejemplo, aborda la resolución de problemas a través de un
gran diálogo con el lector; el matemático húngaro Renyi, presenta contenidos de gran complejidad a través de
diálogos, que convierte en ingeniosos textos de divulgación; por último, la mirada crítica de Morris Kline
sobre lo que se denominó “la matemática moderna” se expresa, en algunas partes de su libro, a través de
diálogos cuya finalidad es refutar una postura; por último, Mason, Burton y Stacey le dan al diálogo una
finalidad metacognitiva: la de cuestionar nuestro propio pensamiento matemático.
♦ Polya: Cómo plantear y resolver problemas
Cómo plantear y resolver problemas, una de las obras de Polya (1979) de especial interés para docentes y
estudiantes de matemática, editada por primera vez en inglés en 1945 y en español en 1965, enfatiza el proceso
de invención de la matemática y su lado experimental e inductivo, proporcionando procedimientos originales
para llegar a la solución de los problemas. Como lo señalan importantes matemáticos actuales vinculados a la
educación matemática (Schoenfeld, 1985), fue Polya quien sentó las bases sobre las que se impulsó el cambio en
la enseñanza de esta ciencia y este material constituye el primer intento de la puesta a punto de la heurística
moderna, que según su propia definición:
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“(…) trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones
mentales típicamente útiles en este proceso. (…) Un estudio serio de la heurística debe tener en cuenta el
trasfondo tanto lógico como psicológico (…) pero debe apegarse más a la experiencia objetiva. Una experiencia
que resulta a la vez de la solución de problemas y de la observación de los métodos del prójimo, constituye la
base sobre la cual se construye la heurística. En este estudio buscaremos, sin descuidar ningún tipo de problema,
los puntos comunes de las diversas formas de tratar cada uno de ellos y después trataremos de determinar las
características generales independientes del tema del problema. Tal estudio tiene objetivos prácticos; una mejor
comprensión de las operaciones mentales típicamente útiles en la solución de un problema puede en efecto influir
favorablemente en los métodos de la enseñanza, en particular en lo que se refiere a la matemática” (Polya, 1979)
En su libro, además de opinar sobre la enseñanza de la matemática y el rol de docentes y alumnos, explica el
desarrollo de su método a través de cuatro problemas que, bajo la forma del diálogo, ayuda a resolver. Realiza
un serio estudio de los métodos de solución y hace un recorrido histórico por la heurística, desde matemáticos
como Pappus, hasta contemporáneos como Hadammard. En la última parte del texto, da al lector la oportunidad
de resolver veinte problemas de diverso tipo y para cada uno de ellos ofrece sugerencias para su solución en
diálogo permanente con el lector-resolutor, poniéndose en evidencia un método didáctico inductivo. Siempre hay
un doble diálogo maestro-alumno y escritor-lector, que se hace evidente en las citas siguientes:
“(...) el profesor (…) tiene que estar dispuesto a emplear toda una serie de alusiones cada vez más explícitas :
¿Qué clase de triángulo quieren que aparezca? ¿Todavía no pueden determinar la diagonal?. Sin embargo, decían
ustedes que sabían cómo encontrar el lado del triángulo. Entonces ¿que van a hacer? ¿Podrían encontrar la
diagonal si fuese el lado de un triángulo? Cuando finalmente, con su ayuda, los alumnos han logrado hacer el
elemento auxiliar decisivo, el maestro debe asegurarse que ven la continuación del razonamiento antes de
animarlos a lanzarse en cálculos reales.” (Polya, 1979)
“ALUMNO: ¿Por dónde puedo empezar?
DOCENTE: Empiece de nuevo por el enunciado del problema. Empiece cuando dicho enunciado resulte
tan claro y lo tenga tan bien grabado en su mente que pueda usted perderlo de vista por un momento sin
temor de perderlo por completo.
ALUMNO: ¿Qué puedo hacer?
DOCENTE: Aislar las principales partes del problema. La hipótesis y la conclusión son las principales
partes de un “problema por demostrar”; la incógnita, los datos y las condiciones son las (…)
ALUMNO: ¿Qué gano haciendo esto?
DOCENTE: Está usted preparando y aclarando detalles que probablemente estarán en juego más tarde.”
(Polya, 1979)
♦ Rényi: sus diálogos
Alfred Renyi fue un importante matemático húngaro que se destacó en estadística, métodos probabilísticos,
teoría del número y teoría de grafos; aplicó técnicas probabilísticas a la mecánica cuántica, a la química
industrial, a la biología, a la regulación de tráfico y al control de precios. Junto a su interés por las
Página 199
aplicaciones de la matemática, puede verse en su obra el interés por la historia, la filosofía y la enseñanza de
la matemática.
Sus ideas son expuestas en tres ensayos forma de diálogo ficticio, en los que sus actores principales son Sócrates,
Arquímedes, Herón, Hipócrates, Galileo, etc. Estos grandes diálogos son publicados por primera vez en Hungría
en 1965 y en ellos Rényi batalla con problemas como la naturaleza de la matemática, matemática pura vs.
matemática aplicada, la relación de la matemática con las ciencias naturales, etc.
En el fragmento que sigue del Diálogo Socrático sobre la Matemática, en el que intervienen Sócrates e
Hipócrates, Renyi plantea una discusión sobre la naturaleza de la matemática:
“SÓCRATES: Bien, dime entonces: ¿sabes qué es la matemática? Supongo que puedes definirla ya que
deseas estudiarla.
HIPÓCRATES: Pienso que un niño puede hacerlo. La matemática es una de las ciencias y una de las más
admirables.
SÓCRATES: No te he pedido que alabes a la matemática, sino que describas su naturaleza. Por ejemplo, si te
interrogo sobre el oficio de los médicos me responderías que se trata de la salud y de la enfermedad y que su
finalidad es curar los enfermos y preservar la salud. ¿Estoy en lo cierto?
HIPÓCRATES: Exactamente.
SÓCRATES: Respóndeme entonces lo siguiente: ¿el oficio de los médicos trata con algo existente o con algo
que no existe? Si no existiesen los médicos, ¿existirían las enfermedades?
HIPÓCRATES: Seguramente y más que en la actualidad. (…)
SÓCRATES: Y si afirmo que todo oficio trata con algo que existe estarías de acuerdo?
HIPÓCRATES: Completamente.
SÓCRATES: Dime ahora, mi joven amigo, ¿cuál es el objeto de la matemática? ¿Qué objetos estudian los
matemáticos? (…)”. (Renyi, 1989)
Sin duda los llamados diálogos socráticos de Renyi, son un ejemplo contemporáneo de las virtudes del diálogo
como método expositivo de ideas, en algunos casos, de gran complejidad. Son, además, valiosas herramientas
didácticas para introducir problemas básicos de la historia y posiblemente de la filosofía de la matemática y
generar discusiones en torno a algunas de las cuestiones que en ellos se presentan.
♦ Kline: su pensamiento crítico
¿Por qué Juanito no sabe sumar? El fracaso de la matemática moderna, obra del matemático norteamericano
Morris Kline (1976), constituye una crítica a la influencia en la educación de lo que se llamó “la matemática
moderna”. La búsqueda de la formalización, que caracterizó en gran medida a la matemática de finales del siglo
XIX y principios del siglo XX, tuvo una influencia importante en las reformas del curriculum matemático que se
gestaron en el mundo en la década de los 50. En este libro, Kline intenta llamar la atención sobre el fanatismo con
el que una gran parte de los docentes de matemática abrazó esta moda pedagógica. Su texto es una incisiva y
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razonada refutación de la matemática moderna, unida a un llamado a la reflexión sobre cuestiones metodológicas
relacionadas con la enseñanza de esta ciencia.
En el primer capítulo titulado “Una muestra de la matemática moderna” ilustra irónicamente, bajo la forma de
un diálogo, una clase típica basada en la nueva metodología de enseñanza:
“Echemos un vistazo a una clase de matemática moderna. La docente pregunta:
« ¿Por qué es 2 + 3 = 3 +2?»
Los estudiantes responden decididamente:
«Porque ambos son iguales a 5.»
«No —reprueba la profesora—, la respuesta correcta es: porque se cumple la propiedad conmutativa de la
suma.»
La siguiente pregunta es:
«¿Por qué 9+2= 11?»
De nuevo los estudiantes responden a la vez:
«9 y 1 son 10 y 1 más son 11.»
«Falso —exclama la profesora—. La respuesta correcta es que, por definición de 2, 9+2=9+(1+1). Pero
como se cumple la propiedad asociativa de la suma, 9 + (1+1)= (9+1) + 1. Ahora bien, 9+1 son 10, por
definición de 10, y 10 + 1 son 11 por definición de 11.»
Evidentemente, la clase no lo está haciendo muy bien, así que la docente plantea una pregunta más sencilla:
«¿7 es un número? » (…)
Cansada, pero no vencida, pregunta una vez más:
«¿Cuánto es 2 dividido por 4?»
Un brillante estudiante dice sin dudar: «Menos 2.»
«¿Cómo has obtenido ese resultado?», pregunta la profesora.
«Bien —dice el alumno—, usted nos ha enseñado que la división es una substracción repetida. Yo resté 4 de 2
y saqué menos 2.»
Podría parecer que los pobres chicos se habían hecho merecedores de algún descanso después de la escuela,
pero no. Los padres, ansiosos por conocer los progresos hechos por sus niños, también les preguntan. Un
padre le pregunta a su hijo de ocho años:
«¿Cuánto es 5+3?»
Por toda respuesta obtiene que 5+3=3+5, por la propiedad conmutativa. Asombrado, vuelve a preguntar:
«Pero, ¿cuántas son 5 manzanas y 3 manzanas?»
El niño no comprende bien que «y» significa «más» y pregunta:
« ¿Quieres decir 5 manzanas más 3 manzanas?»
El padre se apresura a responder afirmativamente y espera atento.
«0h! —dice el niño—, no importa si son manzanas, peras o libros; en cada caso, 5+3=3+5.»
Página 201
Otro padre, preocupado por los progresos de su hijo en aritmética, le pregunta cómo va.
«No muy bien —responde el niño—. La profesora se dedica a hablar de las propiedades asociativa,
conmutativa y distributiva. Yo hago las sumas bien, pero a ella no le gustan.»(…)” (Kline, 1976)
Podría decirse que éste es un diálogo paradigmático, una suerte de arquetipo caricaturizado con gran valor
didáctico, ya que en sólo tres páginas incita a la reflexión y discusión de las ideas que expondrá en el resto de su
texto. Entre ellas señala, que en el nuevo plan: “(…) se subrayan sofisticadas versiones finales de ideas simples,
mientras que se tratan superficialmente las ideas más profundas, lo que conduce necesariamente al dogmatismo
y al aprendizaje mecánico de nuevas rutinas mucho más inútiles que las rutinas tradicionales” (Kline, 1976).
♦ Pensar matemáticamente
En el libro Pensar Matemáticamente, de particular importancia para docentes, padres y, en general, para
cualquiera que esté en posición de ayudar al pensamiento de otros, Mason, Burton y Stacey (1992), incitan a la
resolución de problemas centrándose en los procesos que rigen el pensamiento matemático. Paulatinamente van
mostrando cómo se puede reflexionar sobre la propia experiencia, involucrando al lector en un clima de “diálogo
activo” que lo lleva a formular conjeturas, discutirlas, probarlas, variarlas, etc.
En el primer capitulo del libro, se presentan los primeros problemas que incitan a reflexionar sobre los procesos
fundamentales de particularización y generalización; uno de estos problemas es el denominado Cuadros del
Ajedrez: ”Alguien dijo una vez que el tablero de ajedrez corriente tenía 204 cuadrados. ¿Puedes explicar esta
afirmación?”
En el siguiente capitulo, dedicado a las tres fases del trabajo llamadas abordaje, ataque y revisión, los autores
utilizan el problema llamado Rectángulos en el tablero de Ajedrez para continuar reflexionando: “¿Cuántos
rectángulos hay en un tablero de ajedrez?” y orientan el pensamiento con las siguientes preguntas:
“¿ATASCADO?
* ¿Qué es lo que quieres?
* Inténtalo primero con un tablero pequeño (particulariza).
* ¿Qué forma sistemática de contar los rectángulos será la mejor?
* Examina el método utilizado para contar los cuadrados en un tablero de ajedrez, y generaliza.
* ¿generalizar? ¡Generaliza el tablero!” (Mason et al, 1992)
Ahora la respuesta aislada de 204 para el número de cuadrados del tablero de ajedrez se ha situado en un contexto
más amplio: es un caso particular de una ley más general. Una de las características interesantes de un problema
es la de admitir diversas generalizaciones que extienden el marco original ya que sólo se llega a entender a fondo
un resultado cuando se le enmarca en un contexto más amplio. Muchas veces esto se puede hacer eliminando o
debilitando hipótesis del enunciado del problema, por ejemplo:
“¿Por qué tiene que ser un tablero ordinario? Prueba con NxN cuadrados.
¿Por qué contar cuadrados? Cuenta rectángulos.
Página 202
¿Por qué empezar con un cuadrado? Cuenta rectángulos en un rectángulo.”
E incluso:
“¿Por qué contar sólo cuadrados con lados paralelos a los del original?
¿Por qué trabajar en dos dimensiones? (…)” (Mason et al., …..)
De este modo, en los diez capítulos del libro está presente la técnica del diálogo que, a lo largo del texto, moviliza
al lector a trabajar con los problemas propuestos, replanteándose permanentemente sus hipótesis y estrategias.
Retomando la mayéutica de Sócrates que, como señaláramos antes, consiste esencialmente en emplear el diálogo
para llegar al conocimiento, cabe preguntarse: ¿qué es lo que comparten estos matemáticos contemporáneos con
ella?
Se podría decir que básicamente todos tienen un método de trabajo basado en la interrogación, ya sea por
razones de índole filosófica, científico-didáctica o científico- filosófica. Estos matemáticos, que en su obra
responden a un modo de pensar que esencialmente es no dogmático, han utilizado el diálogo como herramienta
de comunicación y todos, a pesar de sus diferencias, han aprovechado las virtudes del diálogo para lograr sus
propósitos. Sin embargo, la finalidad de su utilización varía en cada uno de ellos:

En el Menón, Sócrates, a través de un diálogo con el esclavo, intenta exponer su teoría de la reminiscencia.
Aquí se utiliza el diálogo para demostrar una teoría.

Polya, en su diálogo con el lector, muestra como funciona su método para enseñar a resolver problemas a
través de diálogos ficticios entre un docente y un posible alumno. Se utilizan diálogos, dentro de un gran
diálogo para enseñar a enseñar métodos de resolución de problemas.

Renyi, a través de sus diálogos, que son ingeniosos textos de divulgación, presenta ideas de elevada
complejidad a personas que no son expertas y que, de otro modo, requerirían de mucho tiempo y de una
formación académica más compleja para comprenderlas. Son diálogos didácticos para facilitar la comprensión
de ideas.

Kline , a través de un diálogo figurado, muestra de modo contundente las terribles fallas de lo que llama el
nuevo currículum matemático. Es un diálogo para refutar una postura pedagógica.

Mason, Burton y Stacey ayudan a reflexionar sobre la propia experiencia matemática, involucrando al lector
en un clima de “diálogo activo” que lo lleva a formular conjeturas, discutirlas, probarlas, variarlas, etc. Es un
diálogo para cuestionar el propio pensamiento.
En síntesis, el mismo recurso con cinco finalidades diferentes, que de ninguna manera agotan sus posibilidades
de aplicación.
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Consideraciones finales
Desde hace algún tiempo, se ha comenzado a pensar el aula como un tipo de contexto social específico y al
diálogo como uno de los mediadores del proceso que allí ocurre. Las estrategias dialógicas contribuyen a
construir conocimientos y códigos compartidos y ayudan a establecer un "universo discursivo" que favorece la
comprensión de los temas que se enseñan. A esta perspectiva socio-lingüística, debe sumársele la psicológica, ya
que el lenguaje es una manifestación de algo más profundo, del contexto mental al que se integran las
concepciones, los significados y los marcos de referencia. (Amos, 2002).
Si como docentes concebimos la educación como una ayuda para que el que aprende adquiera herramientas de
creación de significados y reconstruya la realidad, la utilización del diálogo permite, no sólo la apropiación de la
cultura sino su participación en ella, la ampliación de la comprensión del contenido, de las personas y del
conocimiento, ya que cuando los saberes de uno se enfrentan con los de otros es cuando la estructura que sostiene
las certidumbres comienza a desmoronarse. Lleva también a cuestionar las jerarquías y las concepciones
tradicionales de la autoridad en la escuela, a tolerar y apoyar la diversidad, a no descansar en supuestos sobre
respuestas correctas y verdades últimas, a no apoyarse en esfuerzos aislados sino en relaciones comunicativas
mutuas y recíprocas (Burbules, 1999).
Generar el espacio del diálogo y adentrarse en él implica, para el docente, transitar por un terreno difícil e
inseguro, que implica una modificación de su metodología de trabajo, una concepción distinta del conocimiento,
del aprendizaje, del que enseña y del que aprende, situación que para algunas personas puede resultar
amenazante.
Este trabajo ha intentado mostrar, a partir de los ejemplos anteriores, que a pesar de las dificultades que puede
acarrear su utilización, el diálogo es un recurso potente, que permite reflexionar, exponer, analizar y criticar
ideas, en muchos casos, de gran profundidad. Sus ilimitadas posibilidades de utilización en el aula, lo convierten
en una herramienta didáctica fundamental en la enseñanza y el aprendizaje del quehacer matemático.
Amos, S. (2002). Teachers’ questions in the science classroom. En Amos, S. & Booham, R. (eds.). Aspects of
teaching secondary science. Perspectives on practice. London: Routledge.
Bachelard, G. (1985) La formación del espíritu científico. Siglo XXI, México.
Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Universidad. Madrid.
Brehier, É. (1956) Historia de la Filosofía. Sudamericana. Buenos Aires.
Burbules, N. (1999) El diálogo en la enseñanza. Teoría y práctica. Amorrortu, Buenos Aires.
Edwards, D Y Mercer, H. (1988). El conocimiento compartido: El desarrollo de la comprensión en el aula.
Paidós-MEC.
Ferrater Mora, J. (1969) Diccionario de filosofía. Sudamericana. Buenos Aires.
Kline, M. (1976) ¿Por qué Juanito no sabe sumar? El fracaso de la matemática moderna . Siglo XXI. Madrid.
Mason, J-Burton, l-Stacey (1992):” Pensar Matemáticamente” Ed. Labor. Barcelona.
Página 204
Platón (2004) Menon. Editorial Universitaria, Bogotá.
Polya. G. (1979) Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México.
Renyi, A. (1989) “Dialogo socrático sobre la matemática.” Revista de Educación Matemática, 4 (3) Unión
Matemática Argentina. Córdoba. Argentina.
Renyi, A. (1990) “Diálogo sobre las aplicaciones de la matemática”. Revista de Educación Matemática, 5 (1)
Unión Matemática Argentina. Córdoba. Argentina.
Página 205
UN ANÁLISIS DESDE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
SOBRE ALGUNOS ERRORES EN EL ÁLGEBRA
Autores: Esp. Prof. Silvia Caronía; Dra. Zoppi Ana María;. Prof Polasek, María del Carmen;
Prof Rivero, Marta; Prof Operuk, Roxana
Institución: Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales. Universidad Nacional de Misiones.
Argentina
[email protected]
PALABRAS CLAVES: errores, obstáculos epistemológicos, ingreso.
RESUMEN
El presente es un informe parcial de avance de la investigación:”Los conocimientos matemáticos en el umbral de
la universidad: una asignatura en discusión”. Es una investigación enmarcada en los paradigmas descriptivo,
interpretativo y reflexivo. La población en estudio alcanza en total 1200 estudiantes.
Se busca analizar el estado de los conocimientos matemáticos en el ingreso y posteriormente, en la culminación
del primer año de cada carrera. Pretende describir e interpretar la transformación que sufren esos conocimientos.
Se realiza el estudio de las respuestas a algunos de los ítems de las evaluaciones de ingreso en cuestiones
relacionadas con el Álgebra y algunas particularidades de la Aritmética.
Se presenta una tipificación de los errores más frecuentes cometidos por cada estudiante, teniendo en cuenta tanto
los conceptos involucrados como los procedimientos adoptados, y un análisis de las regularidades y coherencia
de los mismos en los exámenes de ingreso y al cabo de un año de cursado.
INTRODUCCIÓN
En esta investigación, desde el interés didáctico, lo que importa no es discutir las políticas de ingreso, sino
analizar “lo que está” en el pensamiento de los estudiantes que parecen saber o no saber determinados contenidos.
Para ello se llevó a cabo el estudio en tres carreras de la FCEQyN (cohortes: 2003-2004) 1 .
Desde algunas teorías contemporáneas de la enseñanza y del aprendizaje sabemos que se presentan obstáculos en
el aprendizaje. En ese contexto nuestras preguntas son: ¿Cuáles son los errores más frecuentes detectados? ¿Qué
características tienen? ¿Cuál es su consistencia interna en los procesos de pensamiento que revelan? ¿Existe una
cierta regularidad? referidos por ejemplo a la transferencia de tipo algebraico, argumentativo, simbólico, etc.
De todos los conocimientos matemáticos evaluados en las pruebas de ingreso, este estudio se centró en el análisis
de las respuestas a los protocolos relacionadas con el Álgebra y algunas cuestiones referidas a la Aritmética,
siendo ésta una decisión operativa del grupo de investigación, para realizar un recorte del problema.
Se analizó en forma individual cada prueba para: identificar y tipificar los errores cometidos e inferir en “qué
estuvo pensando el alumno” cuando hizo su desarrollo. Además, se detectan las regularidades y coherencias en
esos procesos considerados erróneos.
Transcurrido un año del cursado se diseñó una 2ª evaluación para analizar el “estado” en el que se encontraban
los conocimientos de la población en estudio. Se partió para la confección de la misma, de los mismos contenidos
1
Carreras: Profesorado de Matemática, Ingeniería Química y Genética.
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evaluados en el ingreso, con el fin de analizar por ejemplo si cometió el mismo error, si lo pudo superar o si
cometió “nuevos errores”.
Por último se presenta algunas consideraciones acerca de los aportes de esta investigación a la Didáctica y a la
formación de profesores.
¿Cuáles fueron los errores detectados?
Para el análisis de los errores que se manifestaron en los exámenes de los ingresantes, se tomaron como
referencia las investigaciones realizadas por autores como: Kieran (1989); Berté (1999); Panizza, Sadovsky y
Sessa (1997), Engler & otros (2004) con el fin de cotejar si las cuestiones tratadas por los mismos, son similares
a las que se pudieron advertir en esta población de ingresantes.
Del estudio de los exámenes efectuados y teniendo como base los errores tipificados por los investigadores antes
mencionados, en nuestra indagación realizamos una nueva clasificación:
La aplicación de propiedades
Los manejos operatorios
El orden en que efectúan las operaciones
La forma de ver el signo igual
El significado que le atribuyen a las letras
La no-aceptación de la falta de cierre
La posibilidad de “control” de sus resultados.
La dificultad en la lectura y comprensión de los enunciados y consignas de trabajo 2 :
2
¾ La aplicación de propiedades: Los alumnos estiman posible la aplicación de la propiedad distributiva en los casos de: la
raíz, la potencia, el cociente, respecto de la suma, entre otros. Estos tipos de errores están asociados a un pensamiento
(
)2
lineal, lo cual obstaculiza implícitamente a otros modelos no lineales. Por ejemplo: a + b = a 2 + b 2
Los manejos operatorios adecuados: otros autores lo identifican como: ...”errores al operar algebraicamente, [...] empleo
incorrecto de propiedades y definiciones...”...” el uso inapropiado de fórmulas o reglas de procedimientos...”, Confunden no
solo las aplicaciones de las propiedades sino también, las reglas de las operaciones.
El orden en que efectúan las operaciones: Los estudiantes consideran que el orden del cálculo que deben realizar es de
izquierda a derecha, de la manera como se presentan los términos. Vale explicitar desde la aritmética, dificultades
relacionadas con la jerarquía de las operaciones, cuestiones éstas que influirán cuando operen algebraicamente Este tipo de
error, algunos autores lo consideran como:”errores técnicos.”
La forma de ver el signo igual: Los alumnos visualizan al signo igual como un simple separador de las secuencias de
operaciones que realizan para llegar al resultado. Además lo conciben como la “señal de hacer algo”, esta dificultad es un
obstáculo a la hora de trabajar algebraicamente. El autor percibe que esta tergiversación produce la violación de las
propiedades de simetría y transitividad de la igualdad
El significado que le atribuyen a las letras: Los alumnos revelan el uso de las letras como etiquetas. Esta consideración
obstaculiza el significado de los términos variables en las ecuaciones algebraicas, en tal sentido las variables, por ejemplo la
“x”, es identificada como objeto: 5x representan 5 manzanas. En otros casos las letras son “forzadas” y son tomadas como
variables, recurriendo a la sustitución por tanteo o la suposición de que pueden “reemplazar” por “algo”. Con este
“significado violan la simetría”.
La no-aceptación de la falta de cierre: Los alumnos tienen arraigada la aritmetización en los problemas algebraicos,
ostentan la necesidad de arribar a un número concreto, igualan a un número, en general a cero, no se dan cuenta que el
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Los errores tipificados ¿son frecuentes?
Se realizó el estudio de los errores cometidos en la prueba de ingreso, correspondiente a algunos temas básicos y
se analizaron la frecuencia con que se produjeron, según el tipo de error encontrado. Lo expresado se observa en
el siguiente gráfico Nº1:
Gráfico Nº 1
frecuencia en % del tipo de errores según algunos tem as.
cohortes 2003-2004
120
100
1- aplicac de prop.
80
2- manejo operatorio
%
3- orden que se efetúa oper
60
4- forma de ver el signo igual
40
5- signif. se atrib a letras
20
6- la no aceptación falta cierre
7- control de resultados
0
ECUACIONES
EXPRE. ALGEB
ARITMÉT.
8- dificultad en la lectura
temas
Los errores tipificados: ¿son consistentes para el mismo alumno?
Se toma en esta presentación un caso para analizar la coherencia interna del pensamiento del estudiante: es decir,
si los errores cometidos se vinculan internamente entre sí.
¾ Resolver la ecuación:
3 + 3 8x + 1 = 5
3 + 3 8(1) + 1 = 5
3+39
3+ 2 = 5
3 + 3 8x + 1 = 5
Supone la “x” como variable por eso le otorga un valor igual a 1(sustitución
por tanteo). El “reemplazar” por “algo” viola la propiedad de simetría.
Dificultad en “el significado que le atribuyen a las letras”
“Error en el manejo operatorio adecuado”, confunde la definición de
radicación, considera “la base3” y busca el número al que hay que elevar para
obtener 9.
procedimiento es a menudo la respuesta”. Los alumnos…”tratan las letras en expresiones y ecuaciones como incógnitas
específicas más que como números generalizados o como variables...”.
La posibilidad de “control” de sus resultados, tan pronto los estudiantes de álgebra aprenden a manejar un método
formal de resolución de ecuaciones tienden a abandonar el uso de la sustitución para la verificación...”. Este tipo de error
otros autores lo consideran como: ...”falta de verificación en la solución...”
La dificultad en la lectura y comprensión de los enunciados y consignas de trabajo” las pruebas de matemática
también son, en alguna medida, prueba de lectura...”. Otros autores lo traducen como la...” interpretación incorrecta del
lenguaje...”
Página 208
4
En la siguiente expresión a + 81 determine si el cociente es exacto o no
a−3
Para a = 0 ⇒ el cociente es exacto
Cuando efectúa la “simplificación” considera implícitamente la
4
a/ + 81
propiedad distributiva del cociente respecto de la suma. Error en “la
= -27
aplicación de propiedades: modelo lineal”
a/ − 3
¾
a = −2 ⇒ el cociente no es exacto
Para
(−2)
4
+ 81
( −2 − 3)
Para
=
a = 2 ⇒ el cociente es exacto, porque dividimos por 1 y el resultado es el numerador
4
( 2) + 81
=
( 2 − 3)
Al no tener en claro el cociente entre polinomios y la divisibilidad de los mismos, se supuso que este alumno
interpreta que: para analizar la exactitud del cociente debe arribar necesariamente a un “número”, es por ello que
sustituye la “letra” por tanteo. Comienza el análisis otorgando distintos valores, considerando a la misma como
variable “a” y de acuerdo con los resultados que le ofrecen los mismos, determina la exactitud o no de la
expresión.
En resumen en este caso, los ejercicios desarrollados en este alumno, se observó consistencia del error en el
significado que le atribuye a las letras como así también la falta de manejos operatorios adecuados tanto en el
empleo de propiedades como en el uso de las definiciones.
Los errores tipificados: ¿son persistentes para el mismo alumno?
Con las dos evaluaciones realizadas, se pretendió observar y comparar la evolución en el pensamiento de cada
estudiante.
Cabe aclarar que los que se consignan a continuación son algunos ítems de los exámenes que hemos estudiado,
teniendo en cuenta también el recorte en sus contenidos. Los conceptos involucrados fueron ecuaciones con
radicales, exponenciales y logarítmicas con distintos grados de dificultad, evaluándose también el manejo de
propiedades y definiciones de potencia, logaritmos, propiedades de los números reales, etc. Se analizaron además
ejercicios relacionados con polinomios: operaciones, factoreo, divisibilidad y sus gráficas.
Página 209
Página 210
Conclusiones
Tal como se observó en esta investigación, hasta la fecha se mostró que:
los errores hallados se corresponden con las observaciones realizadas en otras investigaciones por autores
como: Kieran (1989); Berté (1999); Panizza, Sadovsky y Sessa (1997), Engler & otros (2004).
estos errores respondieron a “patrones de comportamientos” a los que se reconoce como “error”. En general
se advirtió coherencia en los errores encontrados, cuestión que señala Brousseau (1999) entre otros.
Los errores encontrados no son independientes y se presentan habitualmente, como partes de una misma
estructura de pensamiento. Es por ello que resultó compleja la identificación en forma independiente de los
tipos de errores localizados en esta investigación.
El análisis de las frecuencias detectadas mostró algunos errores que deberían ser considerados “muy
especialmente” por su generalización en los temas sobre ecuaciones, expresiones algebraicas, como así
también en cuestiones relacionadas con la aritmética. De los errores hallados, un 100% estuvieron vinculados
con “las aplicaciones de propiedades”, seguido entre un 80% y 90% en los “manejos operatorios adecuados”.
Otro error recurrente (100%) fue “la dificultad en la lectura y comprensión de los enunciados y consignas de
trabajo” (Gráfico Nº1)
La importancia que tiene la “dificultad en la lectura” que se ha detectado debería advertir además, acerca de
los riesgos que conlleva la misma presentación de las consignas. Probablemente el leer e interpretar
consignas debería ser en sí mismo un objetivo de aprendizaje.
Con respecto a las comparaciones de los alumnos ingresantes 2004 con su 2º evaluación (2005), se
detectaron en algunos casos: persistencia en los errores; no contestaban algunos de los ítems de ejercicios
que anteriormente realizaban correctamente; presentaban “nuevos” errores y en otros casos evolucionaron en
sus procedimientos
El conocimiento de estos errores nos posibilitó trabajar para prevenir su emergencia. Por ejemplo, deberían
proponerse de manera cuidadosa actividades conducentes a facilitar la comprensión de las propiedades y sus
usos. Esto indica pensar en actividades significativas que no estén orientadas exclusivamente a la resolución
del algoritmo y que, por el contrario, atiendan y apoyen los procesos comprensivos que deberían sustentar
esas resoluciones.
El aporte que consideramos importante en este estudio, independientemente de sus corroboraciones, es que
pudimos reconocer procesos operatorios que subyacen como errores en el razonamiento de estos estudiantes.
Así esperamos contribuir a una mejor comprensión de la actividad intelectual desplegada en situaciones
como ésta que seguramente, al ser más analíticamente conocidas, podrán ser mejor tratadas desde una
perspectiva pedagógica.
Página 211
Pensamos que este conocimiento más exhaustivo acerca de los errores en las resoluciones matemáticas debe
ser una cuestión explícitamente considerada en la formación de los futuros docentes., además de contribuir a
desnaturalizar la concepción dominante que sustentamos, según la cual: “el alumno es el que no estudia” o
“con más ejercitación (de la misma clase) podrán saber”. Esto es así desde la población en general como
también, lamentablemente, entre los mismos profesores del nivel superior.
Berté A. (1999). Matemática Dinámica. Pág. 120 a 145. Buenos Aires. Argentina: Editorial AZ
Brousseau, G. (1978). L`stude des processus d`apprentissages en situations scolaires. Francia: IREM
de
Bordeaux.
Brousseau, G (1999). Educación y Didáctica de las Matemáticas. México. Trabajo presentado en el V
Congreso Nacional de Investigación Educativa. Aguascalientes.
Engler, A., Gregorini, M I y otros (2004). Los errores en el aprendizaje de matemática. Revista Premisa de
la Sociedad Argentina de Educación Matemática. Año 6- Nº 23. Págs. 23 a 32. Buenos Aires. Argentina.
Kieran, C. (1989). El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica. Canadá,
Universidad de Québec Montreal. F. Filloy Yagüe. México, Centro de Investigación y Estudios
avanzados del IPN. Inglaterra, University of London Institute of Education,.
Panizza, M Sadosky, P. Sessa, C. (1997). Los Primeros Aprendizajes Algebraicos: El Fracaso Del Éxito.
Argentina: Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires.
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TALLER: UTILITARIOS DE CÁLCULO DE USO LIBRE: OCTAVE - MAXIMA
Irma Manuela Benítez - Alicia Elena Carbonell – Maria Itatí Gandulfo
Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Autónoma de entre Ríos, Argentina
[email protected] ; [email protected] ; [email protected] ;
Nivel educativo: Secundario - Universitario
Palabras claves: cálculo – gráfica - software libre
Resumen
La computadora es un medio instrumental para mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje, un buen auxiliar
en la transferencia de conocimientos y una herramienta de desarrollo. Se mostrarán paquetes altamente
divulgados en el área de matemática e ingeniería, que funcionan sobre plataforma LINUX, son de uso libre y
tienen sus códigos disponibles.
Los softwares usados sirven para resolver eficazmente diversos problemas, desde la evaluación de una función
simple hasta la resolución de complejos sistemas de ecuaciones. Con el uso de eficientes lenguajes de
programación son capaces de integrar, calcular, graficar y escribir textos. Su interactividad, los ha convertido en
utilitarios de computación preferidos por muchos. Brindan posibilidades de simular y hacer desarrollos
sofisticados. Son soportes que permiten, con elevados niveles de precisión, graficar, analizar convergencias y
determinar los errores en cálculos avanzados como el de elementos finitos, métodos espectrales u otros.
En particular se mostrará OCTAVE y MAXIMA. En la actualidad estos utilitarios tienen una interfaz gráfica e
icónica amigable. Poseen bibliotecas y herramientas de gran potencia, con una gran variedad de entornos
gráficos y de escritorio. Al correr bajo plataforma LINUX, son muy pocos los virus que lo afectan, por los
permisos de ejecución y las entradas a ciertos dominios.
Introducción
Este taller se presenta dentro del marco del proyecto “Actualización en el uso de Nuevas Tecnologías.
Laboratorio de matemática”, implementado desde hace dos años en la Facultad de Ciencia y Tecnología de la
Universidad Autónoma de Entre Ríos, por docentes de las cátedras Cálculo, Lógica y Álgebra y Matemática
Discreta.
El salto que esta Universidad, dedicada fundamentalmente a la docencia, tiene que dar en investigación y
extensión, moviliza a los docentes de los distintos departamentos a realizar acciones que lo propicien.
La actividad de producción académica y su extensión procede de un contexto social e institucional y no es una
labor individual, sino que forma parte de una red de relaciones en la que intervienen otros docentes, ya sea dentro
del mismo equipo, o relacionados por el campo de estudios. En el proyecto se pretende transferir parte de la
formación académica de los docentes, enriqueciéndola con la interacción con otros grupos de trabajo.
Fundamentación del taller
El uso de software matemático sirve para resolver eficazmente diversos problemas, desde la evaluación de una
función sencilla hasta la resolución de complejos sistemas de ecuaciones.
Estos sistemas de computación numérico y simbólico incorporan un excelente lenguaje de programación y son
capaces de integrar cálculos, gráficos y texto. Su interactividad, los han convertido en utilitarios de computación
preferidos por muchos.
Página 213
Son soportes que permiten elevados niveles de precisión para graficar las convergencias y los errores con
ambientes sofisticados y algoritmos avanzados. Se pueden enseñar de manera sencilla, jugando y entendiendo
cada uno de los nuevos métodos matemáticos y de programación.
La mayoría de los docentes están acostumbrados a utilizar en las prácticas, software con licencias privadas, sin
estar conscientes realmente de lo que ello significa. Cuando se instala el software se debe aceptar los términos de
la licencia si se lo quiere utilizar. Esto implica que, aunque se necesite trabajar con colegas o con alumnos, se está
imposibilitado de hacer copias en otras computadoras que no sean las habilitadas para el software propietario.
Además, en caso de existir fallas en la realización de alguna tarea, aunque se tengan los conocimientos para
detectarlas y corregirlas, esto no se puede realizar. Por ejemplo, si se pide al software Mathematica que grafique
la raíz cúbica de una función que en un intervalo es negativa, esto produce un error. Si se tienen los
conocimientos necesarios se puede solucionar el problema, modificando el algoritmo que permite la graficación,
pero existe la prohibición legal de hacerlo.
Existen cada vez más, programadores que deciden dotar a sus creaciones de una licencia distinta. A estos
softwares se los denomina Software Libre.
En particular, el software libre fue definido por Stallman (2004) como todo aquél que garantice las siguientes
libertades:
•
La libertad de correr el programa con cualquier propósito.
•
La libertad de estudiar cómo funciona el programa y adaptarlo a sus necesidades. El acceso al código
fuente es una precondición para esto.
•
La libertad de distribuir copias, de manera que pueden ayudar a sus vecinos.
•
La libertad de mejorar el programa, y hacer públicas las modificaciones, de modo que toda la comunidad
se beneficie.
Esta definición es muy cercana a las características de las comunidades de conocimiento científico, en las que
sostienen que los avances se basan en la existencia de canales para el intercambio de conocimiento, la revisión
por pares y la publicación de mejoras.
Son software libre todos los programas que se distribuyen bajo la licencia pública GNU (bajo la cual se
distribuyen el núcleo de Linux y la mayoría de los programas incluidos en todas las distribuciones de
GNU/Linux).
En este taller se dará una introducción al cálculo simbólico a través de paquetes altamente divulgados en la
actualidad en sus versiones libres para Linux. En particular se mostrará OCTAVE y MAXIMA.
GNU OCTAVE es un lenguaje de alto nivel, utilizado principalmente para tareas de cómputo numérico. Provee
una conveniente línea de comando para realizar cálculos numéricos que resuelven problemas concretos, usando
un lenguaje que es en su mayor parte compatible con Matlab.
Tiene herramientas para resolver problemas de álgebra lineal, encuentra raíces de ecuaciones no lineales, integra
funciones, resuelve ecuaciones diferenciales, grafica, etc. Es fácilmente extensible a través de funciones definidas
Página 214
por el usuario escritas en el mismo lenguaje de Octave, o usando módulos cargados dinámicamente escritos en
C++, C, Fortran, u otros lenguajes.
MAXIMA es un descendiente del programa Macsyma, que tuvo sus orígenes en 1960 en el MIT. Es un programa
de álgebra y cálculo, que gracias a la licencia GPL, pudo continuar su desarrollo hasta incluir muchas de las
funciones del software Mathematica y Maple, tales como ploteo 3D. Está escrito en Lisp y está muy bien
documentado.
Objetivos
Mediante las actividades del taller, se tratará que los asistentes:
•
Vean herramientas computacionales de uso libre que contribuyan al razonamiento, planteo de modelos,
cálculo y resolución de problemas matemáticos.
•
Intercambien experiencias y se involucren en tareas de desarrollo académico con el uso de software
libre.
•
Exploren y evalúen la incorporación de herramientas didácticas de libre acceso en sus prácticas
docentes.
Contenidos del taller
Se tiene planificado trabajar los siguientes temas, no obstante, de acuerdo a los intereses de los participantes se
podrán incorporar otros que resulten de mayor interés.
•
Introducción al uso de software libre sobre plataforma Linux
•
OCTAVE: Vectores. Graficas. Escalas. Definición de funciones. Tablas y gráficas. Matrices.
Operaciones con matrices. Programación: principales comandos, rutinas simples.
•
MAXIMA: Cálculos simbólicos: límites, derivadas, integrales. Gráficas
Metodología
El taller tiene como finalidad comunicar y enseñar de manera sencilla y participativa el uso de los paquetes
seleccionados de software libre para los cálculos matemáticos. Se pretende que el grupo genere ideas para el
logro de ambientes explorativos y de desarrollo de habilidades de pensamiento, que estimule las actividades del
trabajo colectivo.
Las actividades serán teórico- prácticas y se realizaran en un laboratorio de computación. Se harán exposiciones,
con el apoyo didáctico de un cañón para proyecciones y en actividades que permitan el conocimiento y
manipulación del software seleccionados. Se complementará con una guía donde se presentan los principales
comandos y funciones, permitiendo a los participantes el acercamiento al uso de los softwares en la resolución
de problemas sencillos.
Página 215
Grossman, S. I. (1996). Álgebra Lineal (5ta edición). México: Ed. McGraw Hill.
Stewart, J. (2002). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas. España: Ed. Thomson Learning Ibero.
Van Loan, Charles (1997). Introduction to scientific computing. U.S.A.: Prentice-Hall.
Zorzoli, Gustavo y otros (2006). Análisis Matemático utilizando MATHEMATICA. Argentina: Omicron System.
Stallman, R. M. (2004). Software libre para una sociedad libre, [en línea]. Madrid: Traficantes de Sueños.
Disponible en: http://biblioweb.sindominio.net/pensamiento/softlibre/softlibre.pdf [2008, 1 de abril].
Página 216
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LÍMITE.
Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein, María Inés Gregorini y
Natalia Henzenn
Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral - Argentina
[email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected];
Nivel: Medio - Terciario - Universitario ciclo Básico
Palabras clave: límite - construcción - errores - dificultades
Resumen
El trabajo en el aula y sus resultados, nos lleva a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte, enseñar
y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas,
en nuestro caso, Ciencias Agrarias.
Queremos, que nuestros alumnos, lleguen a la construcción del concepto de límite. Para ello llevamos a cabo
nuestra experiencia, teniendo en cuenta que si pretendemos enseñar, debemos crear las condiciones que
producirán la apropiación del conocimiento por parte del alumno.
Realizamos en primer lugar una reflexión acerca de las dificultades con las que se pueden encontrar los alumnos,
asumiendo que si hay construcción, hay proceso y en este camino surge la posibilidad de enfrentarnos a errores.
En este contexto nuestro interés se enfocó en efectuar una serie de actividades, trabajadas en forma grupal, para
salvar esas dificultades de aprendizaje y procesos de construcción o reconstrucción del concepto de límite.
Finalmente, a través del análisis de sus producciones y de encuestas realizadas a los estudiantes, nos posibilitó
constatar algunas de las causas que explican por qué no tienen un rendimiento aceptable en el aprendizaje de los
conceptos fundamentales del cálculo, las mismas las encontramos tanto en el terreno epistemológico como en el
didáctico y en el cognitivo.
Introducción
El trabajo en el aula y sus resultados, nos lleva a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte, enseñar
y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas,
en nuestro caso, Ingeniería Agronómica.
Por lo general, la enseñanza del cálculo a nivel universitario se lleva a cabo con métodos tradicionales, donde lo
que se exige del alumno es sólo el “dominio” algorítmico repetitivo y algebraico. En particular en el caso del
límite, se desarrolla a partir de las habituales y rigurosas definiciones del mismo, con guías de ejercicios
similares, que van complejizando su dificultad, pero que responden al mismo esquema de pensamiento, tarea que
termina siendo rutinaria.
Fijamos como objetivo abordar el tema límite no desde una óptica convencional sino tratando de construir su
concepto desde la intuición para luego llegar a una formalización del mismo, a través de actividades
constructivistas y participativas.
El aprendizaje de la matemática implica aprender y utilizar el “lenguaje matemático”. Es esencial para esta
actividad que los alumnos puedan movilizarse entre varios registros en el curso de una misma acción, o bien
elegir un registro en vez de otro. Existe pues la necesidad de cambiar de sistema de representación ya que como
afirma Duval (1998) la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representaciones, esta se
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logra articulando entre diferentes registros. Entendemos por representaciones, diferentes notaciones, ya sean
gráficas, simbólicas, así como expresiones verbales. Estas representaciones se agrupan en registros. Por ejemplo,
el registro gráfico o el registro numérico. Entonces un reto importante en el aprendizaje de la matemática no
puede ser, solamente, la automatización de ciertas técnicas operatorias sino que debe ser también, la coordinación
de los diferentes sistemas de representación.
En el concepto de límite, el registro numérico se ve mediante tablas de valores, la posibilidad de acercarse a un
determinado valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. El registro gráfico
mediante utilización de los ejes cartesianos. El registro simbólico cuando es posible definir el límite de una
función utilizando la simbología adecuada. Y el registro verbal cuando es posible definir el concepto utilizando
palabras de nuestro vocabulario.
Además, entendiendo la construcción de los conocimientos, como una actividad reflexiva individual, cargada de
subjetividad, tenemos que prever que los errores son una posibilidad y una realidad en el trabajo con nuestros
alumnos, por lo que es necesario hacer un estudio especial de ellos, no como obstáculo para la apropiación del
conocimiento sino como parte de la construcción del mismo.
Los errores siempre han ayudado al avance de las distintas ciencias. Muchas veces una teoría se considera cierta
hasta que alguien demuestra que no es válida. El desarrollo científico a lo largo de los años ha estado plagado de
errores. Por lo que no debemos desechar los errores que cometen nuestros alumnos, porque en ellos puede haber
“algo de cierto”, que ayude a que busquen nuevas herramientas para resolver una situación, o indagar otros
conceptos o teorías que expliquen en qué están equivocados o cómo pueden solucionarlo. Esto nos dice que
debemos tomarlos como fuentes de información, como parte componente de la adquisición de conocimiento, ya
que pueden ser el motor que provoque un cambio en el aprendizaje del alumno, transformándose así, en un
elemento constructivo e innovador dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje.
Analicemos lo que significa “error”, esto nos ayudará a llevar a cabo un trabajo de diagnóstico, de detección,
corrección y superación de los mismos.
Godino, Batanero y Font (2003) citados por Abrate et al, (2006, p14), expresan “hablamos de error cuando el
alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la
institución matemática escolar”. Además señalan que “si bien el error puede tener procedencias diferentes,
generalmente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no
solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos”.
Para Rico (1995) el error se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión
matemática, esta respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en relación a la cuestión planteada.
Podemos aseverar que los errores de nuestros estudiantes no son casuales, ya que, en algunos casos están basados
en experiencias, conocimientos previos y también en preconceptos. En otros casos presentan patrones, o
regularidades en sus equivocaciones, atribuibles a concepciones erróneas o simplemente distracciones. Muchas
veces los alumnos no son siquiera capaces de brindar una respuesta.
Página 218
La causa y orígenes de los errores son diversos, decidimos analizar aquellos basados en dificultades de tipo:
epistemológicas, didácticas, cognitivas y actitudinales.
Las dificultades epistemológicas son las relacionadas esencialmente con el propio concepto. Los alumnos
mantienen concepciones y creencias propias sobre la naturaleza de la ciencia y del conocimiento científico y,
además, sobre sus propios procesos y productos del aprendizaje, lo que ocasiona limitaciones o impedimentos
que afectan sus capacidades para construir el conocimiento real o empírico.
Con respecto a las dificultades didácticas, es decir las originadas por el sistema de enseñanza, podemos destacar
dos aspectos de los que nos ocupamos en nuestra propuesta de trabajo. No realizamos un mero recuento de
soluciones incorrectas, ni tampoco brindamos todos los medios necesarios para salvar el error. De ser así, según
dice Pochulu et al. sobre lo escrito por Cury (1994), estaríamos apuntando sólo a la “eficiencia”, a solucionar el
error, pero atentando contra la “comprensión”.
Con respecto a las dificultades cognitivas, muchas veces asociamos el error a falta de conocimiento, pero como
expresa Brousseau (1983, c.p. Batanero et al., 1994, p.2), el mismo manifiesta que “es un conocimiento, no una
falta de conocimiento”.
El alumno utiliza lo que conoce para dar respuestas a situaciones dadas en un cierto contexto, cuando lo utiliza
fuera de ese contexto produce respuestas incorrectas.
Si analizamos cómo se manifiesta en los alumnos, podemos observar que al trabajar un concepto y explicarlo,
elaboran construcciones personales con base a lo que adquirieron anteriormente y/o en su interacción con sus
compañeros y forman así construcciones que no son correctas desde el punto de vista científico, pero que
debemos revisar y reacomodar para volver a usar en una nueva construcción.
La actitud del alumno, predisposición o forma en la que enfrenta la tarea, es otro factor importante a la hora de
analizar las dificultades en el aprendizaje. Al encontrarse con temas totalmente desconocidos para él, puede
generar que sólo tengan actitud de escuchas, y no se predispongan como protagonistas de la clase.
Todo lo manifestado anteriormente tiene su incidencia en el aprendizaje y lo tuvimos en cuenta en la elaboración
de nuestra propuesta para la enseñanza del límite.
Nuestra propuesta de trabajo constó, en primer lugar, de dos guías de trabajos previos al desarrollo de los
contenidos teóricos. Los alumnos las resolvieron en forma grupal sin la intervención del docente. Se corrigieron,
marcando donde había error. Se hizo la devolución de las mismas para que ellos lograran argumentarlos y
corregirlos, de esta forma se generó el debate. Al finalizar cada uno de los trabajos prácticos se desarrollaron las
clases teóricas y prácticas sobre los temas trabajados en las guías. Luego se dio un cierre con el trabajo final,
realizado también en forma grupal. Por último realizamos entrevistas a los alumnos.
Los alumnos eran cursantes de Matemática II de la carrera durante en el año 2006. Los trabajos fueron en total,
ciento sesenta, los cuales se dividieron en setenta y seis grupos.
Los objetivos principales de la propuesta fueron:
Página 219
-
El trabajo cooperativo de los alumnos, en pequeños grupos.
-
Aprender a confrontar ideas que en muchos casos son muy disímiles entre compañeros, y consensuar
cual será la postura tomada, para la resolución a entregar.
-
Poder defender su postura.
-
Analizar enunciados, observar, comparar, discriminar, interpretar datos o información ofrecida por
representaciones algebraicas, numéricas, tabulares y gráficas. En la resolución de las guías estaban
obligados, por el tipo de actividades planteadas, a realizar procesos de conversión entre los distintos
tipos de representación antes mencionados.
-
Llegar a escribir y hacer transferencia en distintos registros de representaciones de límite.
-
Lograr justificar, corregir y consensuar entre los integrantes del grupo, sobre los errores cometidos, a
través de la autorreflexión de su trabajo, para luego confrontar con la totalidad de clase.
Para las actividades tuvimos en cuenta los diferentes sistemas de representación, utilizados en matemática: las
figuras, las gráficas, la escritura simbólica y el lenguaje natural.
Comentamos los aspectos que abarcan cada guía y realizamos un análisis del trabajo final.
Primer Guía de Trabajo: Límite Finito
En este trabajo se incluyeron siete ejercicios que, en forma gradual,
incorporaban estrategias para lograr
familiarizar a los alumnos con nuevas nociones que serán necesarias para la adquisición del concepto de límite.
En ellos se trabajan distintas representaciones (tabla, gráfica, fórmula). Aquí se introduce la idea intuitiva de
aproximación del límite por derecha y por izquierda. Luego las palabras “tiende a...”. En ejercicios posteriores se
acerca al alumno a una mirada más formal hacia la definición de límite, también aparecen a través de distintas
gráficas e intervalos la idea del Épsilon y Delta.
Se propone una actividad cuya intención es ver lo que sucede cuando los límites laterales son distintos. Para
luego presentar una definición de límite efectuada con los datos que los alumnos manejan hasta éste momento, a
decir:
-
aproximarse x a a por izquierda y por derecha,
-
podemos hacer que f(x) esté tan próximo al límite L como queramos eligiendo x lo suficientemente
cerca de a, pero x ≠ a.
-
la notación de límites por izquierda y por derecha,
-
las aclaraciones de que para que haya límite de una función deben existir estos límites laterales y ser
iguales y que la función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese punto.
Por último deben hacer una interpretación de la definición de límite realizando gráficas que deben cumplir una
serie de consignas pautadas.
Segunda Guía de Trabajo: Límite Infinito y en el Infinito
La guía consta de tres actividades, subdivididas en ítems donde debían interpretar, que a medida que la variable
independiente crece, la función crece indefinidamente. En ellas surge la idea de crecimiento indefinido de la
función hacia lo positivo y lo negativo dependiendo si la función se acerca a un punto por izquierda o por
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derecha. Y de crecimiento indefinido de la función hacia lo positivo cuando se acerca al punto tanto por derecha
o por izquierda. La tercera actividad es una aplicación.
El Trabajo Final: Límite de Funciones.
El trabajo constó de nueve actividades, cuya resolución exigía el uso de las diferentes representaciones (gráficas,
simbólicas, analíticas, coloquial) y realizar procesos de conversión entre ellas.
•
En las primeras tres actividades, se trató de propiciar el análisis de gráficos y simbología en forma
conjunta, ya que a través de ellos, debían completar los límites que se les pedían, los mismos eran finitos en
algunos casos, infinitos y en el infinito, en otros. Se pretendía con esto analizar si los alumnos comprenden el
concepto de límite a partir de una función definida gráficamente.
Veamos como ejemplo algunas producciones de los alumnos.
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Un alto porcentaje de alumnos ha resuelto satisfactoriamente estas actividades, y un 21 % cometió errores,
la mayoría de ellos se han presentado cuando no hay existencia de límites.
• A partir de la cuarta hasta la séptima actividad, debían graficar una función a partir de una serie de
condiciones, a cumplirse en forma simultánea. Se pretendía evaluar la capacidad de ilustrar su idea de
límite.
Se muestran algunas actividades planteadas y los errores cometidos por los alumnos.
Actividad 4: Represente gráficamente una función cuyo dominio sean todos los números reales, que
verifique las siguientes condiciones:
a) lim −f(x) = 4 , lim +f(x) = +∞ , lim −f(x) = f(x)
x → −1
x →−1
b) lim+f(x) = −2 , lim−f(x) = −∞ , f(1) = 3
x →−1
x →1
x →1
Actividad 5: Grafique una función, lo más sencilla posible, que cumpla simultáneamente las siguientes
características:
lim g (x) = 2 ,
x → −∞
lim g (x) = −∞ ,
x →−1+
lim g (x) = 0 ,
x →3
lim g (x) = +∞ ,
lim g (x) = −3 ,
x →−1−
x →0
lim g (x) = 2
x →+∞
Actividad 6: Representa gráficamente dos funciones distintas par las cuales el límite cuando x tiende a +
∞ sea distinto del límite cuando x tiende a - ∞
Actividad 7: Representa gráficamente una función que verifique f(-6) = 1,
3 ∉ Df , lim−f(x) = −∞
x→ 3
,
lim f(x) = +∞ ,
x →3+
lim f(x) = 1 ,
x →−6 −
lim f(x) = 2 ,
x → −6 +
lim f(x) = +∞ , lim f(x) = 0
x → −∞
x →+∞
Página 222
En las actividades 4, 6 y 7 la mitad de los alumnos graficó correctamente, y en la actividad 5 un 64% cumplió
con todos los requisitos pedidos. Sólo cuatro grupos no realizan los ejercicios. En los demás trabajos se evidencia
que confunden las variables independiente y dependiente, no marcan el valor de la función en el punto dado,
colocan mal el dominio de definición. Cuando x tiende a un valor toman como asíntota el eje x o el eje y.
También grafican mal la función sobre la asíntota, lo que hace que un valor tenga infinitas imágenes, dejando de
ser función. En otros casos realizan una gráfica para cada condición dada en el enunciado.
Cabe destacar que las mayores dificultades fueron en la “traducción” de los distintos tipos de representaciones.
Les ha costado más graficar que el cálculo. Comparando las actividades 2 y 6 que consistían en límites cuando la
variable tiende a infinito, un 47 % del total de alumnos resuelve bien la segunda actividad y mal la sexta. Lo
mismo se presenta si comparamos las actividades uno y siete, teniendo un porcentaje de respuesta similar.
•
En la actividad 8 la resolución consta de la evaluación de unos límites establecidos y a partir de ellos
calcular los propuestos. En estos ejercicios las mayores dificultades se presentan en la factorización de las
expresiones, o para salvar las indeterminaciones, cometiendo muchos errores algebraicos y de cálculos. En la
última actividad, muchos realizan solamente las sustituciones, y no intentan otra cosa.
En cuanto a las entrevistas, si tenemos en cuenta los objetivos que perseguimos con este trabajo pudimos
visualizar:
-
Para los alumnos que no tenían conocimientos previos de límite, ante la pregunta ¿Qué tipo de
dificultades tuviste para resolver las guías? la gran mayoría coincidió en sus respuestas manifestando
que al enfrentarse a las guías todo parecía complicado pero luego al intentar resolver las consignas, las
respuestas iban fluyendo.
-
Para los alumnos que tenían conocimientos previos de límite ya sea por ser recursantes, ya sea por
haber visto Límite en el Polimodal, expresaron en su gran mayoría, que algunas cosas se saben y otras
no, y que le resultaron simples de realizar.
Página 223
Reflexiones
De lo expuesto, nos resulta inmediato extraer algunas reflexiones en el plano educativo. Bajo este enfoque, la
construcción del conocimiento no es una empresa nada fácil ya que requiere de condiciones de trabajo muy bien
determinadas, herramientas que favorezcan los procesos y un seguimiento continuo.
Primero buscamos impulsar la participación activa de los estudiantes a través de pequeños grupos, para la
resolución de las actividades diseñadas. En segundo término, logramos que los miembros del grupo participaran
generando debate, para revisar y analizar errores desde los enfoques de los distintos equipos de trabajo. Pudimos
aquí apreciar la capacidad real del alumno cuando tiene que enfrentarse a dificultades y a nosotros nos permitió
rever nuestras estrategias.
Y en tercer lugar, se pretendió que el estudiante, una vez terminados estos trabajos y dictadas las
correspondientes clases teóricas, dedicara tiempo fuera del horario de clase para llevar a cabo las actividades del
libro de estudio, previa reflexión de las tareas desarrolladas en el aula.
Por último, resolvieron de manera grupal el trabajo final que fue integrador de las actividades desarrolladas.
En cuanto a nuestro objetivo de trabajo cooperativo creemos que fue una estrategia acertada, ya que nos permitió
como educadores darnos cuenta de la importancia de la interacción que se establece entre el alumno con las
personas que lo rodean, por lo cual no se puede dejar de lado el análisis de la influencia educativa que ejercemos
como docentes, sino que tenemos que tomar en cuenta la que ejercen también los compañeros de clases o
estudios. Esta forma ayudó a que los alumnos construyan su propio aprendizaje, estimulando la tarea de
confrontar, discutir y defender ideas, además de lograr que cuando den una respuesta a los docentes o al grupo en
general, comiencen a familiarizarse en el uso del vocabulario específico del área.
En el desarrollo de la propuesta encontramos por un lado alumnos que tenían buen desempeño en los prácticos y
que supieron confrontar y defender sus posturas. Por otro, los que lograron resolver las actividades pero en las
que contenían errores se presentaban contradicciones con las que habían resuelto bien. Se observaron grupos que
ante la inseguridad y el miedo a equivocarse no resolvían las situaciones y los que no han querido trabajar, que
fueron muy pocos.
En las entrevistas, un alto porcentaje manifestó que antes de resolver las actividades conjugaban sentimientos de
ansiedad por lo desconocido del tema, por las actitudes que esperan de los profesores, por el estilo de enseñanza,
y miedo a no saber cómo resolverlos, al fracaso, a los errores, pero que al final del tema la estrategia de trabajo
había sido positiva.
Como el resultado de esta propuesta didáctica fue favorable, continuamos trabajando con esta metodología
durante el año 2007.
Quedan en nuestros deseos que los alumnos reconozcan que experimentar, observar, buscar pautas y
regularidades en los razonamientos, realizar procesos inductivos, la verificación o refutación de sus propios
argumentos y conjeturas además del trabajo cooperativo, resulta una poderosa y esencial parte de las
matemáticas.
Página 224
ABRATE, R.; POCHULU, M.; VARGAS, J. (2006). Errores y dificultades en matemática. Análisis de causas
y sugerencias de trabajo. 1ª ed. Buenos Aires: Universidad Nacional de Villa María.
BATANERO, C; GODINO, J. D.; GREEN, D. R.; P. HOLMES, P. y VALLECILLOS, A. Errors and
difficulties in understanding elementary statistical concepts. Internation Journal of Mathematics Education in
Science and Technology, 25(4) 527-547. En http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/erroresestadis.doc
BLÁZQUEZ,
S.
Los
sistemas
de
representación
en
la
enseñanza
del
Límite.
En
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33530204.pdf . Consultado 27-06-07.
BLÁZQUEZ, S.; ORTEGA, T. (2000). El concepto del límite en la educación secundaria. En CANTORAL, R.
(Ed.) El futuro del cálculo infinitesimal. ICME 8. México.
DUVAL, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En
HITT, F. Editor. Investigaciones en Matemática Educativa II pp.173-201. Grupo Editorial Iberoamérica S.A de
C.V.
FARFÁN BLÁZQUEZ, R. M. (1997). Ingeniería Didáctica: Un estudio de la variación y el cambio. Grupo
Editorial Iberoamérica S.A de C.V.
GARCÍA
CRUZ,
J.
A.
La
didáctica
de
las
Matemáticas:
una
visión
general.
En
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm. Consultado 26-09-07
MAZ MACHADO, A.; GÓMEZ ALFONSO, B.; TORRALBO RODRIGUEZ, M. (compiladores y editores).
(2005). Investigación en Educación Matemática, Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación
Matemática SEIEM. Editan Servicio de Publicaciones de la Universidad de Córdoba y la Sociedad Española de
Investigación en Educación Matemática SEIEM, España.
PAREDES ALFARO, S. Implementación de actividades de aprendizaje cooperativo a la asignatura de
Cálculo de Ingeniería. En http://www.eici.ucm.cl/descargas/sochedi/Paredes%20_Sara%20_2_.pdf . Consultado
20-11-07
POCHULU, M. D. Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que
ingresan a la universidad. Revista Iberoamericana de Educación. En http://www.rieoei.org/deloslectores/
Consultado 07-08-07
RICO, L. (1995). Errores en el aprendizaje de la Matemática. KILPATRICK, J.; GÓMEZ, P.; RICO,
L..(1995) Educación Matemática. Errores y dificultades de los estudiantes. Resolución de Problemas.
Evaluación. Historia. Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 69 – 108.
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UN ENTORNO FAVORABLE A LA DEMOSTRACIÓN
Susana Moriena
Silvia Bernardis
Facultad de Humanidades y Ciencias (UNL). Santa Fe. Argentina
[email protected]
Nivel secundario y universitario
Resumen
El objetivo de esta comunicación es presentar algunos aspectos que consideramos fundamentales tener en cuenta
al diseñar una secuencia de actividades de geometría para alumnos de los últimos años del nivel secundario (15 a
17 años) y para estudiantes del nivel superior.
Las actividades deberán basarse en la exploración e investigación a través de la geometría dinámica. La aparición
de este recurso ha producido una revolución en la enseñanza de la geometría y su aplicación exige un cambio en
las actividades que resultan interesantes plantear.
Es necesario acostumbrar a nuestros alumnos a justificar sus afirmaciones, para ello priorizamos la “explicación”,
entendiendo a ésta como una forma de mostrar cómo (por qué) es verdadera una conjetura en términos de otros
resultados geométricos ya conocidos, es decir, cómo “esto” es una consecuencia lógica de “estos otros”
resultados.
Suponemos que algunos alumnos podrán realizar demostraciones deductivas informales sencillas, pero sobre todo
queremos lograr que comprendan la necesidad de demostrar y que realicen aquéllas que su destreza matemática y
su experiencia escolar les permitan. Así como también aprovechen al máximo las ventajas que ofrece la
Geometría Dinámica en este camino.
Nuestro trabajo se enmarca dentro del proyecto de Investigación CAID 2006 (PE/227) ¨La problemática de la
demostración en el aprendizaje de la Geometría¨.
Palabras Claves: explorar-descubrir-validar-explicar.
1. Introducción
El objetivo de esta comunicación es presentar algunos aspectos que consideramos fundamentales tener en cuenta
al diseñar una secuencia de actividades de geometría para iniciar a los alumnos en las demostraciones
geométricas. El nivel educativo al que está destinado es para estudiantes de los últimos años del nivel secundario
(15 a 17 años) y del nivel superior.
Las actividades deberán basarse en la exploración e investigación a través de la geometría dinámica. La aparición
de este recurso ha producido una revolución en la enseñanza de la geometría y su aplicación exige un cambio en
las actividades que resultan interesantes plantear.
Nuestro trabajo se enmarca dentro del proyecto de Investigación CAID 2006 (PE/227) ¨La problemática de la
demostración en el aprendizaje de la Geometría¨.
2. Encuadre teórico
Uno de los objetivos de la enseñanza de la geometría en los niveles preuniversitarios y universitarios es que el
alumno aprenda a validar sus conjeturas a través de una demostración. Para alcanzarlo es necesario que el alumno
aprenda que no todo lo que se ve es verdadero. En este sentido, Balacheff (2000a) menciona dos obstáculos
respecto de las demostraciones geométricas:
Página 226
9
La evidencia de los hechos que se impone a la razón: los alumnos no experimentan la necesidad de
demostrar, ya que las figuras son evidencia de la demostración.
9
La enseñanza en matemática despoja a los estudiantes de la responsabilidad de la verdad. Por ejemplo,
cuando el problema planteado se presenta de la forma “mostrar que…”, el enunciado en cuestión es de
hecho considerado como verdadero; lo que se está por descubrir es una demostración.
El primer obstáculo puede manifestarse más notoriamente cuando se utiliza un software de geometría dinámica
en la enseñanza. “Una propiedad geométrica es un invariante perceptual. Esta evidencia perceptual es tan fuerte
que incluso puede hacer que los estudiantes no lleguen a entender por qué es necesario demostrar una propiedad.
Hasta cierto punto, la eficiencia del software ha eliminado la necesidad de la demostración.”(Balacheff, 2000b; p.
95)
En relación con el segundo obstáculo, en las actividades a desarrollar en estos entornos, los estudiantes investigan
sobre un problema y descubren determinadas propiedades geométricas. “En matemática, transformar las
herramientas que se usan conduce a un cambio de los problemas que resulta interesante plantear, más que a una
transformación de la matemática en sí, como muchas veces se ha afirmado.”(Balacheff, 2000b; p. 96)
Es importante crear en nuestros alumnos la necesidad de explicar la verdad comprobada en todos los casos con el
software, es decir la demostración como una explicación a través de las propiedades conocidas (De Villiers,
1996). Mediante la exploración experimental es posible despejar las dudas en torno a la verdad del enunciado, sin
embargo será necesario explicar por qué se está cumpliendo. “Tradicionalmente, el enfoque crítico de la
geometría era tratar de crear dudas en la mente de los estudiantes acerca de la validez de sus observaciones
empíricas, esas estrategias de tratar de generar dudas para crear la necesidad de una demostración simplemente
no funcionan cuando las conjeturas geométricas se investigan a fondo a través de su variación continua con un
software de geometría dinámica.” (De Villiers, 1996; p. 2 ).
El argumento: “el resultado se debe probar para que todos los casos estén contemplados, ya que tu dibujo es uno
particular”, no funciona cuando las conjeturas geométricas se investigan a fondo a través de su variación
constante en estos entornos.
Es necesario acostumbrar a nuestros alumnos a justificar sus afirmaciones, argumentar lo que aseguran es
verdadero en base a resultados y propiedades que ya conocen. Esta tarea no es sencilla. Como afirman Balacheff
y Dreyfus (2000; p. 130), “no deberíamos esperar que nuestros estudiantes sean capaces de captar demostraciones
sofisticadas y de alto nivel, sin haber estado expuestos durante muchos años al espíritu de la justificación y a la
naturaleza del pensamiento matemático.”
El desafío será diseñar actividades para lograr que los alumnos valoren la necesidad de justificar sus
construcciones y conjeturas. “
Es importante no retardar indebidamente la primera introducción de la
demostración como medio de explicación, ya que los alumnos podrían acostumbrarse a ver la geometría sólo
como una acumulación de hechos descubiertos empíricamente en la cual la explicación no tiene ningún rol. Usar
la demostración como herramienta de descubrimiento en lugar de centrarse unilateralmente en la demostración
como herramienta de verificación en geometría.” (De Villiers, 1996; p. 3).
Página 227
La demostración tiene muchas otras funciones: de verificación, sistematización, comunicación, de
descubrimiento, reto intelectual, etc. Desde esta perspectiva resumimos aquí las funciones de la demostración
matemática propuestas por De Villiers (1996):
•
Verificación: concerniente a la verdad de una afirmación.
•
Explicación: profundizando por qué es verdad.
•
Sistematización: organización de resultados dentro de un sistema axiomático.
•
Descubrimiento: descubrimiento/invención de nuevos resultados.
•
Comunicación: transmisión del conocimiento matemático.
Para fundamentar las respuestas que esperamos de los estudiantes en estas actividades seguimos las ideas de
Balacheff (2000a), quien clasifica las demostraciones de los estudiantes en dos categorías: pragmáticas o
experimentales y conceptuales o deductivas. Para las demostraciones pragmáticas introduce una clasificación en
varios tipos:
•
Empirismo naïf: el proceso consiste en la verificación de la propiedad para unos pocos ejemplos
elegidos sin ningún criterio. Se caracterizan por la ausencia de validación, es el tipo más elemental de
demostración.
•
Experimento crucial: los procedimientos de los estudiantes se basan en la elección minuciosa de un
ejemplo, tan poco particular como le es posible, convencidos de que si se cumple allí, se cumplirá
siempre.
•
Ejemplo genérico: es el caso de procedimientos basados en la elección y manipulación de un ejemplo
que, si bien es particular, actúa como representante de su clase. Los estudiantes empiezan a usar
propiedades abstractas en sus demostraciones, aunque referidas al ejemplo. Si suprimimos el dibujo
usado, la demostración que queda pierde información o carece de significado.
Para las demostraciones conceptuales o deductivas, Balacheff distingue los siguientes tipos:
•
Experimento mental: la explicación se centra en la acción interiorizada, separándola de su ejecución
sobre un representante particular. Es una demostración deductiva abstracta organizada a partir de
manipulaciones de ejemplos concretos. Es posible suprimir los dibujos realizados que acompañan a la
demostración, sin que pierda significado. Este tipo de demostración aparece como medio para
fundamentar las soluciones propuestas en un esfuerzo de explicación.
•
Cálculo sobre enunciados: Son construcciones intelectuales basadas en teorías más o menos
formalizadas o explícitas, se originan en una definición o propiedad y se basan en la transformación de
expresiones simbólicas formales.
Para situarnos en el nivel de razonamiento de los estudiantes en esta etapa, tuvimos en cuenta el proceso de
aprendizaje de la demostración desde el análisis de los Niveles de Razonamiento de Van Hiele, en particular los
que tienen que ver con la demostración, que resumimos a continuación: (más detalles Jaime, Gutiérrez, 1990)
Nivel 1: (Reconocimiento) No hay demostración. La verdad de una afirmación se justifica por la observación de
una figura.
Página 228
Nivel 2: (Análisis) Demostración empírica. La verdad de una afirmación se verifica en uno o más ejemplos,
realizando mediciones, transformaciones, recuentos etc.
Nivel 3: (Clasificación) Demostración deductiva informal. La verdad de una afirmación se demuestra mediante
un argumento deductivo informal, después de analizar ejemplos o realizar mediciones, transformaciones.
Niveles 4: (Deducción Formal) Demostración deductiva formal. La verdad de la proposición se demuestra
mediante la producción de demostraciones deductivas formales. Los estudiantes son capaces de aceptar diferentes
formas de demostración y de comprender la estructura axiomática de la matemática: significado y uso de
axiomas, definiciones, teoremas, etc.
Niveles 5: (Rigor) Posibilidad de trabajar en sistemas axiomáticos distintos del inicial de la geometría euclídea,
capacidad para compararlos y decidir sobre su equivalencia.
Este modelo de Van Hiele refleja que el aprendizaje de la demostración es un camino largo que los estudiantes
deben recorrer y no podemos saltear niveles y exigir a los estudiantes de este nivel que realicen demostraciones
correspondientes a un nivel superior de razonamiento, sino que es importante que se recorra este camino
acompañándolos en su evolución hacia las demostraciones deductivas.
3. ¿Cómo diseñar una secuencia de actividades en geometría?
Teniendo en cuenta el encuadre teórico, para diseñar una serie de actividades en torno a un problema, para el
trabajo con los estudiantes en un entorno de geometría dinámica, proponemos seguir las orientaciones del modelo
de razonamiento geométrico de Van Hiele. Ubicándonos en el Nivel 2, dado que los alumnos a los que estarán
dirigidas realizan sólo demostraciones empíricas.
Van Hiele sugiere la organización de la enseñanza sobre la base de cinco “fases de aprendizaje”: información,
orientación dirigida, explicación, orientación libre e integración (aplicables a todos los niveles). En la fase 1 de
información, los alumnos revisarán los contenidos previos, necesarios para abordar la actividad. La fase de
explicación deberá tenerse en cuenta en el desarrollo de todas las actividades.
Las actividades deben buscar provocar un conflicto socio-cognitivo en la clase, deben tener que ver con
conjeturar, validar, es decir enfrentar a los estudiantes con el problema de la verdad, con el de la eficiencia y de la
comunicabilidad de las soluciones. De esta manera se movilizan varios registros de validación que favorecen el
desarrollo de actividades argumentativas.
En la fase 2 de orientación dirigida, proponemos realizar las actividades en etapas, que no pretenden ser fijas,
sino sólo aspectos a tener en cuenta, necesarios para enriquecer el trabajo de los alumnos en los entornos de
geometría dinámica.
Etapa 1: Exploración libre y formulación de conjetura
Página 229
Los estudiantes reconocerán figuras geométricas y sus propiedades, mediante experimentación comprobarán para
uno o pocos casos.Abordarán el problema de manera experimental, examinarán varios ejemplos, medirán
segmentos, podrán tomar como solución algún caso tan poco particular como les sea posible. Es decir esperamos
obtener respuestas correspondientes al empirismo naïf o experiencia crucial.
Etapa 2: Exploración y formulación de la conjetura con la función “desplaza”
En esta actividad, el software les da la posibilidad del desplazamiento continuo de la figura y así podrán observar
todas las posibles ubicaciones de la figura. Esto confirmará o no la conjetura inicial de la Parte 1. Responderán
con una aproximación más fina. Los estudiantes
necesitarán explicar razones de validez de la conjetura,
separándose de su ejecución sobre un representante particular. Suponemos que ante la necesidad de explicar a
otros su conjetura y debido a la visualización lograda de la situación, algunos estudiantes podrán usar el tipo de
prueba de ejemplo genérico o bien de experimento mental, aunque no necesariamente utilizarán la simetría para
su argumentación.
Etapa 3: Validación de la conjetura
En esta etapa los estudiantes se enfrentarán a la necesidad de explicar sus construcciones a otros, lo que ellos
vieron, descubrieron, pensaron y concluyeron. El razonamiento se transforma en un vehículo para entender y
explicar por qué puede funcionar la conjetura descubierta. Más aún, se transforma en el medio para convencer a
otros de la validez de la misma.
Con esta actividad los alumnos necesitarán basarse en propiedades de los objetos geométricos para argumentar la
validez de la conjetura. En un esfuerzo de explicación, deberán fundamentar las soluciones propuestas de modo
que les permita liberarse de situaciones particulares y pasar a acciones interiorizadas. Suponemos que podrán
encaminarse hacia el tipo de demostración de experimento mental.
Este trabajo previo de exploración, formulación de conjetura y validación permitirá introducir actividades
correspondientes a la fase 4 de orientación libre.
Etapa 4: Extensiones del problema
En esta etapa los estudiantes deberán aplicar los conocimientos y lenguaje utilizados en la fase 2 para resolver
las actividades.
La idea de estas extensiones del mismo problema, están pensadas como un complemento de las actividades
realizadas, que podrán dejarse a los alumnos para que resuelvan de manera autónoma. Esperando que los
estudiantes realicen pruebas de tipo experimento mental y argumenten las soluciones encontradas.
Página 230
Finalmente para que los alumnos adquieran una visión global de todo lo aprendido, integrando los nuevos
conocimientos con los ya estudiados, es necesario organizar actividades según la fase 5: Integración
Etapa 5: Exploración de propiedades
De esta manera, algunos alumnos, habrán logrado capacidades para producir demostraciones deductivas
informales.
Es necesario acostumbrar a nuestros alumnos a justificar sus afirmaciones, para ello priorizamos la “explicación”,
entendiendo a ésta como una forma de mostrar cómo (por qué) es verdadera una conjetura en términos de otros
resultados geométricos ya conocidos, es decir, cómo “esto” es una consecuencia lógica de “estos otros”
resultados.
En este marco de construcción del conocimiento, la enseñanza de la geometría utilizando un sistema de geometría
dinámica está basada en la resolución de problemas, con una perspectiva en la que los alumnos tienen la
posibilidad de ejercer el papel de investigadores sobre cada contenido que se pretende adquirir. El docente
cambia su papel de director y experto por el de co-partícipe, apoyo y co-aprendiz. ( Fisher,1993)
La comprobación experimental constituye una evidencia de falsedad si encontramos un contraejemplo; pero si la
conjetura es cierta observaremos que se cumple para todas las posiciones que dibujemos de la figura, lo cual no
constituye una prueba formal.
Pensamos que este trabajo previo, teniendo en cuenta otras funciones de la demostración como una herramienta
de descubrimiento o la de explicación, deberían utilizarse para introducir la demostración como una actividad
significativa para nuestros alumnos en este nivel escolar.
Somos conscientes de la complejidad del aprendizaje de la demostración, de hecho no pretendemos construir
situaciones que permitan al alumno automáticamente realizar demostraciones formales de manera comprensiva,
sino actividades que la problematicen.
Suponemos que algunos alumnos podrán realizar demostraciones deductivas informales sencillas, pero sobre todo
queremos lograr que comprendan la necesidad de demostrar y que realicen aquéllas que su destreza matemática y
su experiencia escolar les permitan. Así como también aprovechen al máximo las ventajas que ofrece la
Geometría Dinámica en este camino.
Balacheff, N. (2000a): “Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas”, Una empresa docente, Univ. de
Los Andes. (Bogotá).
Balacheff, N. (2000b): “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y
expectativas”, en Colén, M Fraile, Y, Vidal, C (editores): ¨Matemática y educación. Retos y cambios desde
una perspectiva internacional¨, Barcelona, GRAÓ DE Irif, S. L.
Página 231
Battista , Michael y Clements, D. (1995): “Geometry and prof”, The Mathematics Teacher, vol 88 Nº 1.
De Villiers, Michael. (1996): “Algunos desarrollos en enseñanza de la geometría” The Future of Secondary
School Geometry, la lettre de la preuve, Noviembre-Diciembre, 1999.
Dreyfus, T. (2000): “La demostración como contenido del currículum”, en Colén, M Fraile, Y, Vidal, C
(editores): ¨Matemática y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional”, Barcelona,
GRAÓ DE Irif, S. L.
Duval, R. (1999): “Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales”,
Universidad del Valle, Instituto de Educación y pedagogía.
Fisher, E. (1993): ¨The teacher’s role¨, en P. Scrimshaw (Ed.), Language, classrooms and computer. (p. 57-74),
London: Routledge.
Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1990): ”Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El
modelo de Van Hiele”, en Llenares, S; Sánchez, M.V. (eds.), Teoría y práctica en educación matemática.
(Alfar: Sevilla), 295-384.
Hershkowitz, R. (2001): “Acerca del Razonamiento en Geometría” www.euclides.org.
Laborde, Jean-Marie y Otros. (1997): “Geometric explorations for the classroom”, NCTM National Conference.
Minneapolis, Minnesota, EEUU.
Página 232
COMPETENCIAS SOCIALES EN EL AULA DE MATEMÁTICA
Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli
Facultad de Ciencias Veterinarias, Universidad Nacional del Litoral – ARGENTINA
[email protected]
Nivel Medio y/o Universitario
Palabras Claves: Competencia social – aprendizaje cooperativo – trabajo en equipo - educación
Resumen
El aprendizaje cooperativo es el uso en educación de grupos pequeños en el que los estudiantes trabajan juntos y
aprovechan al máximo el aprendizaje propio y el que se produce en la interrelación (Johnson & Johnson, 1991).
Para lograr esta meta, se requiere planeación, habilidades y conocimiento de los efectos de la dinámica de grupo.
En el aula de Matemática, el proceso de enseñanza y aprendizaje se ve francamente favorecido por la interacción
cara y la interdependencia positiva entre los alumnos y docentes, por lo que la estrategia cooperativa se muestra
como un recurso valioso para mejorar este proceso. Las habilidades de autoestima, asertividad, confianza en si
mismo y en los demás, comunicación, y resolución de conflictos son competencias que el alumno debe ejercitar
en el aula de clases y que lo habilitaran a más y mejores aprendizajes. El aprendizaje cooperativo apela
permanentemente al desarrollo de estas competencias en la medida en que, sin ellas, se hace imposible un trabajo
en equipo eficaz y productivo
En la Facultad de Ciencias Veterinarias de la Universidad Nacional del Litoral, se desarrolla desde hace algunas
años una experiencia de aprendizaje cooperativo en Matemática, que ha dado muy buenos resultados tanto en el
rendimiento académico como en el desarrollo de competencias sociales para la interacción estimulante y el
trabajo en equipo, para el logro de una educación integral.
Introducción
La “competencia social” es una expresión que engloba dimensiones cognitivas y afectivas positivas que se
traducen en conductas congruentes valoradas por la comunidad. Estos comportamientos hábiles favorecen la
adaptación, la percepción de autoeficacia, la aceptación de los otros y los refuerzos agradables, es decir, el
bienestar. De acuerdo con el modelo biosicosocial vigente se puede afirmar incluso que la competencia social es
un indicador social de salud mental.
En el aula, la interacción con los compañeros y con el docente se vé francamente favorecida en aquellos alumnos
que resultan socialmente hábiles. Por otro lado, la falta de estas competencias, como la inhibición o agresividad,
las fallas en la autoestima, las dificultades en la comunicación, antipatía, etc., son deficiencias que pueden
promover dificultades de todo tipo para alcanzar el éxito en la empresa educativa.
En la Facultad de Ciencias Veterinarias de la Universidad Nacional del Litoral, un grupo de investigadores está
desarrollando una propuesta de aprendizaje cooperativo, en la que se desea mejorar las habilidades sociales de los
alumnos intervinientes. Para el logro de estas mejoras se han diseñado estrategias de intervención en las que se
estimulan y valoran competencias que ayuden a la adaptación al nuevo espacio de interacción y que promuevan
aprendizajes solidarios , actitudes positivas, asertividad, empatía y habilidades para la resolución positivas de los
conflictos.
Objetivos
El interés de la investigación se centró en el mejoramiento de las competencias sociales de los alumnos
ingresantes a la carrera de Medicina Veterinaria (para este informe, en año 2007).
Página 233
Metodología de trabajo
Para el logro de los objetivos, la primera tarea importante fue la de comprender qué son y cómo pueden evaluarse
las competencias sociales. El análisis bibliográfico permitió identificar cuatro componentes de la competencia
social :
•
Habilidad: es la capacidad y la destreza para realizar algo. En la habilidad hay una vertiente cognitiva y
otra conductual. Con el término “habilidades sociales” se designa un amplio conjunto de acciones que permiten a
las personas iniciar y mantener relaciones saludables con los demás. Las habilidades sociales son necesarias para
la plena adaptación vital. El entrenamiento en este tipo de destrezas ayuda a superar el aislamiento, la
inseguridad, la timidez y las conductas antisociales. En el ámbito educativo deben desarrollarse estrategias de
interacción tendientes a prevenir deficiencias comunicativas y a garantizar óptimas relaciones con los demás. Se
debe aspirar a que los alumnos sean eficaces al conversar, solicitar ayuda, defender sus derechos, resolver
situaciones conflictivas, integrar equipos, etc.
•
Objetivo : Es la meta a la que se dirigen las personas en sus interacciones sociales. En el ámbito escolar,
los objetivos dirigen las acciones de los alumnos hacia la consecución de una gran variedad de metas. En
particular, es razonable aceptar que su amplitud dificulta su clasificación, sin embargo, la mayoría de las metas
de los estudiantes tienen que ver con reclamar la atención de los compañeros y docentes, el deseo de agradar, la
obtención de buenas calificaciones, etc.
•
Estrategia : son los planes de acción que se encaminan a alcanzar los objetivos. Las estrategias son
reguladas por el propio sujeto y pueden modificarse a través de la educación. Con el paso del tiempo, las
estrategias, se tornan más elaboradas y positivas, a medida que el alumno participa de experiencias sociales
enriquecedoras.
•
Situación: La realidad social condiciona las relaciones. Tanto la situación objetiva como la subjetiva
influyen en los objetivos y estrategias de los alumnos. El contacto con sus pares y educadores favorece la
adquisición de comportamientos, merced a los modelos que observa, a los refuerzos que obtiene de sus propias
acciones. La importancia de la situación social estimula la necesidad de crear en el aula un clima educativo
apropiado, esto es, presidido por la cordialidad, el respeto y la confianza, que permita el establecimiento de
relaciones positivas.
Estos componentes de las competencias sociales parecen indicar que éstas no constituyen una realidad estática
sino que es posible realizar acciones educativas que permitan su enriquecimiento. Resulta, entonces muy
conveniente desarrollar en los alumnos un
comportamiento prosocial que les permita manejarse
satisfactoriamente en las, cada vez más complejas, relaciones interpersonales. Para Moraleda (1995, 1998), el
fomento de la competencia social pasa por prestar atención a dos tipos de componentes: 1) el comportamiento
positivo, en el que se enmarcan tanto los aspectos internos, pensamientos y sentimientos que predisponen a la
interacción con los demás como a las acciones manifiestas que posibilitan las relaciones, y 2) el aprendizaje de
estrategias o habilidades de interacción social apropiadas según las distintas situaciones.
Página 234
A partir de estas ideas, nos preguntamos si es posible mejorar las competencias sociales de los alumnos en el
aula. Para dar respuesta a este interrogante se estableció que estas habilidades pueden trabajarse a partir de cinco
pilares: empatía , asertividad, autoestima, comunicación y desarrollo moral. A continuación describimos cada
constructo y algunas de las acciones realizadas para ayudar a su desarrollo. La experiencia se desarrolló con
alumnos ingresantes a la carrera de Medicina Veterinaria. En este informe relatamos las tareas realizadas con 37
alumnos ingresantes 2007, en una comisión de trabajos prácticos de Matemática. Cada encuentro tuvo una
extensión de 3 hs semanales y los mismos fueron organizadas en forma de aula-taller con entrega de resultados al
final de cada uno.
Para el desarrollo del trabajo distribuimos a los alumnos en 9 grupos, cada uno de los cuales estuvo monitoreado
por un tutor (alumnos avanzados de la carrera que se ofrecieron voluntariamente para esta labor).
Tanto los tutores como el docente responsable participaron de seminarios internos de capacitación para la
recolección y análisis de variables sicosociales . Cada tutor volcó en una planilla sus impresiones respecto de las
habilidades mostradas por los alumnos en las clases. En estas grillas se incluyeron aspectos que intentaron
cuantificar estas competencias para medir la evolución de los grupos y retroalimentar su integración (al finalizar
cada clase se leyó al grupo las impresiones recogidas y se los instó a que se autocalifiquen y se comprometan a
mejorar aquellos aspectos deficientes).
I) Empatía :
Definición: es la capacidad del sujeto para ponerse en el lugar del otro. Gracias a ella nos adentramos en la
realidad personal de los demás. La habilidad para reconocer los estados anímicos ajenos requiere espíritu
solidario, comprensión, destreza perceptiva, capacidad para adoptar distintos papeles sociales y madurez. La
empatía es el punto de partida de las relaciones sociales positivas y aun del altruismo.
Tareas realizadas: para ayudar a que el alumno desarrolle esta habilidad fue preciso generar un ambiente de
trabajo en el que tanto los alumnos como los docentes se sintieran seguros, confiados, y que las actividades que
se desarrollen respeten la sensibilidad de cada uno. La idea de aprendizaje cooperativo apuesta precisamente a
generar este clima de interacción cara a cara e interdependencia positiva . Cada alumno debía sentir que era
responsable de su aprendizaje y el de sus compañeros de grupo y que alcanzaría el éxito en todas las tareas solo si
también lo alcanzan los demás. Esta idea de trabajo solidario reforzó positivamente la cohesión del grupo
provocando un doble beneficio, en lo académico con trabajos más completos y consensuados y en lo social con
alumnos comprometidos, responsables y confiados. En las planillas de evolución de habilidades sociales se
incluyeron consignas del tipo: se preocupa por el avance de todos, verifica la comprensión del grupo, se muestra
confiable, ofrece su ayuda, es consultado por sus compañeros. Con ellas no sólo se tuvieron indicadores de los
avances sino también instrumentos para retroalimentar el cada grupo reforzando sus vínculos y su integración.
II) Asertividad:
Definición: Se define como una conducta que permite a una persona actuar con base a sus intereses más
importantes, defenderse sin ansiedad, expresar cómodamente sentimientos honestos o ejercer los derechos
Página 235
personales, sin negar los derechos de los otros. Como afirma Roche (1995), la asertividad permite a la persona
expresarse libre, directa, sincera y adecuadamente con cualquier interlocutor.
Tareas realizadas: en el aula, para favorecer la asertividad fue preciso generar actividades que permitan la
integración de los equipos de trabajo, estimulando el dialogo, la confrontación de ideas, el debate entre pares. Fue
importante permitir que los alumnos expresen sus sentimientos sin inhibiciones, corregir posiciones agresivas, y
valorar las acciones que contribuyan a un clima de bienestar. Para mejorar la asertividad en las discusiones, se
generó un ambiente en el que se privilegió el dialogo, la comunicación sincera y el respeto por lo sí mismo y por
los demás. Se incluyeron en estas planillas expresiones del tipo: estimula el debate, consulta claramente sus
dudas, es respetuoso de las opiniones ajenas, se muestra confiado, que permitieron retratar aspectos de la
asertividad de cada alumno y cada grupo.
III) Autoestima:
Definición: para los psicólogos humanistas la autoestima es el aspecto nuclear de la personalidad, hasta el punto
de que sólo si una persona se acepta a si misma avanzará en su proceso de maduración y autorrealización. Para
Branden (1995) , la autoestima es la experiencia básica de que podemos llevar una vida plena y cumplir sus
exigencias. La autoestima supone, desde el conocimiento de las capacidades y flaquezas que se poseen, una
aceptación positiva, realista y equilibrada de uno mismo como requisito para vencer los escollos, enriquecerse
personalmente y respetar y experimentar sentimientos favorables hacia los demás (Martínez Otero 2000).
Tareas realizadas: Para potenciar la autoestima en los alumnos de esta experiencia, se comenzó por crear un
ambiente en el que el todos sintieran que podían expresarse libremente y con confianza, que se aspiraba a valorar
las actividades no sólo por su corrección matemática sino también por la creatividad, iniciativa propia y
compromiso que se mostrara en su realización. Todos los participantes de esta actividad cooperativa debían sentir
que eran útiles y necesarios y que la responsabilidad de alcanzar las metas era de todos juntos. Se realizaron
reforzamientos positivos diarios, alentando a los grupos que evolucionaban positivamente, tanto con elogios y
felicitaciones como con calificaciones adicionales por el buen funcionamiento de los mismos.
IV) Comunicación
Definición: Trianes, De la Morena y Muñoz (1999) señalan que las capacidades comunicativas de
los
adolescentes juegan un relevante papel en la competencia social. Estas autoras, siguiendo a Duck (1989),
describen varios niveles en la “competencia comunicativa”:
-
habilidades básicas no verbales que actúan como prerrequisitos en la conversación y dependen de los
valores y usos sociales de los contextos culturales, (como la edad y el tipo de interacción). En este primer nivel
hallamos, por ejemplo, el contacto visual y los gestos.
-
competencia en conversaciones: que se relacionan la capaciad para despertar el interés de alguien hacia
la conversación. Los alumnos que carecen de habilidades conversacionales están más expuestos a la
discriminación o al rechazo, sobre todo porque no despiertan el interés entre sus compañeros.
-
habilidades lingüísticas y de persuasión: equivalen a tener aptitud verbal y a conocer las reglas que
controlan diversos tipos de situaciones conversacionales, según se trate de encuentros formales (realizar una
Página 236
exposición oral en clase, solicitar una revisión de un examen, etc.) o privados (expresiones de amistad, diálogo
entre compañeros, etc.).
Tareas realizadas: para acrecentar la competencia comunicativa de los alumnos se los instó a expresarse sin
inhibiciones hablando, escuchando, escribiendo y leyendo para todos. Para las manifestaciones observables de las
habilidades de comunicación la grilla de control y retroalimentación incluyó premisas del tipo: explica a los
demás, estimula el debate, consulta claramente sus dudas, lee las consignas en voz alta, se preocupa por la
presentación, redacta los trabajos, es claro al expresarse, etc. El registro de estos aspectos de la relación intra y
extra grupo mostró una clara tendencia positiva en todos los equipos, lo que fue permanentemente reconocida y
alentada por los docentes y tutores. Para la vertiente no verbal de la comunicación, se observaron y registraron
permanentemente los aspectos más destacados del comportamiento de los alumnos en clase, tratando de anticipar
conflictos, estimular la participación de todos, ayudar a los más retraídos, etc.
V) Desarrollo moral
Definición: El crecimiento moral está muy vinculado con el desarrollo de la competencia social y emocional. Se
ha encontrado, por ejemplo, una relación positiva entre comportamiento moral y ser acogido por los compañeros,
y relación negativa entre agresividad y aceptación (Jiménez 2000). Es evidente que la capacidad de los alumnos
para adscribirse voluntariamente al “bien”, interesarse por los demás y rechazar en sí mismos o en otros las
acciones orientadas a producir daño son requisitos del intercambio positivo y convivencial (Martinez Otero,
2000)
En la actualidad, por el retroceso en el comportamiento humano tanto en lo cívico como en lo social, se hace
imprescindible insistir en la importancia de un desarrollo moral saludable, que aspire a generar las condiciones
para progreso del hombre y la sociedad, en todas sus dimensiones. Nunca como ahora, insistir en estas premisas
es un imperativo de la educación actual, ya que aunque se ha avanzado considerablemente en el plano
tecnológico, el debilitamiento de la convivencia se observa a todo nivel.
Tareas realizadas: El desarrollo en los alumnos de actitudes y valores que le permitan obrar con justicia, rectitud
y honestidad debe ser una constante en toda intervención docente. De hecho, la premisa de esta experiencia se
basó en la posibilidad de mejorar los aprendizajes de los alumnos a partir de la valoración de sus habilidades
sociales, entre las cuales, la ética y las buenas costumbres ocupan un lugar de privilegio. De allí que
permantentemente se haya insistido en la necesidad de ser solidarios, comprometidos con el bien de todos,
reflexivos y críticos. Se alentó la idea de igualdad de oportunidades, de intercambio solidario, el respeto por las
ideas y sentimientos del otro, desterrando prejuicios y miradas estereotipadas muy frecuentes en los adolescentes.
Algunos resultados
La experiencia resultó muy positiva en los aspectos que hacen al desarrollo de las competencias sociales de los
alumnos y de los tutores y docentes en la interacción. En todos los grupos en mayor o menor medida se observó
una evolución positiva en todas las dimensiones de estas habilidades. En lo relacionado con la empatía, ocho de
los nueve grupos se consolidaron como verdaderos equipos de trabajo, produciendo progresivamente trabajos de
Página 237
mejor calidad tanto por su contenido como por su presentación y prolijidad (mostrando respeto no solo para los
compañeros sino también por el docente evaluador), mostrando una seria voluntad de integración y de
compromiso de todos con todos . Sólo un equipo evidenció dificultades para su integración, ya que dos de los
participantes que habían conformado una parejita, en la mitad del cursado se distanciaron, rompiendo la armonía
del conjunto, que no logró resolver positivamente el conflicto.
Los registros de los tutores mostraron coincidencias respecto del reconocimiento de los compañeros hacia
aquellos que los ayudaban y una encuesta que se realizó al finalizar el período lectivo, mostró que un porcentaje
cercano al 95% de los alumnos consideró muy importante poder ayudar y ser ayudado por sus compañeros en las
tareas en el aula.
La asertividad de los participantes fue creciendo a lo largo del cursado. En varios equipos, los debates se hicieron
intensos en más de una ocasión por diferentes motivos, pero todos fueron conducidos positivamente, mostrando
capacidad de dialogo y madurez emocional entre los integrantes. Uno de los grupos estuvo integrado por jóvenes
inhibidos y poco expresivos, pero con ayuda del tutor y del docente responsable, fueron habituándose a
conversar, a confiar en los otros y a crear una corriente de comunicación sincera y asertiva.
Para la autoestima, el reconocimiento y valoración de las acciones productivas, alentó en estos jóvenes un
reforzamiento positivo y un reconocimiento de las propias potencialidades. En el aula de Matemática es frecuente
escuchar que el alumno considera que tiene pocas o ninguna probabilidad de acierto porque la materia es para
“inteligentes”. La ayuda ofrecida en el seno de cada equipo por los compañeros y tutores y la necesidad de apoyar
el proceso con los recursos propios, hizo crecer en la mayoría de los estudiantes la confianza en sí mismos y el
respeto por sus capacidades. En la encuesta final , la sensación de haber mejorado y haber comprendido sus
potencialidades quedó plenamente reflejado en el hecho de que más del 80% de los alumnos admite haber
entendido todos los temas y valorarlos positivamente para su futuro académico.
La comunicación es la habilidad que más y mejor desarrollaron los alumnos durante toda la experiencia. De
preguntas tímidas y muchas veces mal formuladas se observaron, con el paso del tiempo, expresiones pertinentes,
apreciaciones justas, trabajos más depurados y correctos, y participaciones reflexivas y maduras. Entre los roles
que se estimularon a representar para la realización de los trabajo prácticos, el de relator del grupo y el de
coordinador de los debates fueron los que mejores calificaciones recibieron. En dos oportunidades se observaron
discusiones subidas de tono en un grupo, que luego con la guía del tutor y la reflexión de las partes, arribaron a
planteos serios y reformulaciones correctas y oportunas.
El ambiente cálido y de trabajo que se generó cotidianamente en el aula, la interacción productiva, la solidaridad
para el aprendizaje de todos , el compromiso con el grupo, el respeto por las ideas ajenas, etc., produjeron un
espacio de desarrollo moral positivo. La valoración de los aspectos éticos y sociales en igual proporción que los
avances cognitivos permite hablar de un verdadero proceso educativo, en el que los alumnos ganaron en
confianza en sí mismos y en los demás. El aprecio y reconocimiento por los compañeros y tutores estableció un
espacio de acción saludable y eficaz tanto en lo académico como en lo social y afectivo.
Página 238
A modo de conclusión
Esta investigación se ha ocupado de mejorar las competencias sociales de los alumnos de la carrera de
Veterinaria. Las ideas apuntan a optimizar la tarea académica considerando al alumno en todas sus dimensiones.
Se trata de enriquecer el proceso educativo incluyendo valoraciones que permitan apreciar no solo los progresos
cognitivos sino también la mejora en otras competencias tanto o más importantes aún. Hemos asumido el reto de
favorecer de manera equilibrada el desarrollo del pensamiento unido a las emociones, generando un clima de
trabajo ético y saludable que contribuya al logro de futuros profesionales comprometidos con su entorno y
concientes de los valores y aptitudes
con las que debe contar.
Lograr en estos jóvenes una mayor
responsabilidad social, un compromiso firme con actitudes y creencias que los promuevan como seres humanos
útiles y valiosos es el sustento de nuestra tarea como tutores y docentes.
La competencia personal (individual y social) no deber quedar como una asignatura pendiente de nuestros
tiempos: es preciso educar para la comunicación y la paz desde la armonía y la salud física y mental. La
intervención educativa encaminada a favorecer en los jóvenes el conocimiento de sí mismos y de los demás, la
ayuda, la cooperación, la ética, etc., tiene un enorme valor preventivo de conductas antisociales, pero constituye
sobre todo un genuino compromiso con el desarrollo del hombre y el futuro de nuestra sociedad.
Branden, N. (1995): Los seis pilares de la autoestima, Barcelona, Paidós.
Duck, S. (1989). Socially competent communication and relationship development. En B.H. Schneider, G. Attili,
J. Nadel y R.P. Weisberg (eds.). Social competence in developmental perspective Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers. pp.91-106.
Martínez Otero, V. (2000). Formación integral de adolescentes. Educación personalizada y Programa de
Desarrollo Personal (P.D.P.). Madrid: Fundamentos.
Martínez Otero, V. (2001). Convivencia escolar: problemas y soluciones. Revista Complutense de Educación,
vol. 12, nº 1. pp 295-318.
Moraleda, M. (1995): Comportamientos sociales hábiles en la infancia y adolescencia, Valencia, Promolibro.
Moraleda, M, González Galán, A. & García Gallo, J. (1998). Actitudes y estrategias cognitivas sociales. (AECS),
Madrid: TEA.
Roche, R. (1995). Psicología y educación para la prosocialidad. Barcelona: Universidad Autónoma.
Trianes, Mª V.; Muñoz, A. Mª Y Jiménez, M. (2000). Competencia social: su educación y su tratamiento.
Madrid: Pirámide.
Página 239
UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE INTEGRADORA DE
ALGEBRA LINEAL EN EL MARCO DE FORMACIÓN DE COMPETENCIAS
Marcela R. Carranza, Gabriela Andino, Silvia Miró Erdmann, Marcela Natalia Baracco
Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales- Universidad Nacional de San Luis –Argentina
[email protected],
Enseñanza Superior
Uso TIC- Modelo de Leontieff- Resolución de problemas- Competencias-
Resumen
Nuestro marco apoya la tesis de que la enseñanza a través de resolución de problemas contribuye a
encontrar sentido a la tarea. En este marco se entiende que el modelaje colabora en la formación de competencias
profesionales de los estudiantes a la vez que representa una metodología válida y viable para mejorar los procesos
de enseñanza con impacto en el aprendizaje. Se presenta una propuesta de enseñanza- aprendizaje que intenta
integrar temas de algebra lineal en estudiantes de ciencias económicas a través de problemas de aplicación que se
pueden presentar en la vida real y profesional. El recurso de plantear actividades integradoras mediante
problemas es pertinente y resulta ser un medio eficaz para introducir aplicaciones teóricas muy importantes como
es el Modelo De Leontieff.
Esto contribuye a mejorar el aprendizaje conceptual de la matemática, mejora sus habilidades para
trabajar en grupo y para resolver problemas en trabajo cooperativo, a la vez que interpretar textos académicos. Se
trabajan contenidos transversales como lo son la comprensión de textos académicos y la procedencia de los
mismos cuando éstos son provistos por páginas web de la Internet.
Es decir, que mediante la resolución de problemas se puede intentar capacitar al alumno en el saber
(contenidos de algebra lineal), en el saber hacer en un contexto (resolución de problemas reales), y en el saber
ser (implicancias éticas en las decisiones cuándo se adopta un modelo teórico).
1. Introducción
En la nueva agenda universitaria se ha incluido como política estrechamente vinculada al desarrollo socio
productivo del país, la línea de enseñar por competencias a los futuros profesionales, ya que estos actúan como
nexo entre los sistemas educativo y
productivo. En virtud de ello, el diseño curricular elaborado por
competencias está siendo validado por diversas experiencias pedagógicas en las universidades intentando mostrar
su eficiencia y eficacia en la formación de profesionales.
La propuesta presentada se
trabajó una clase especial de matemáticas con el propósito de investigar las
motivaciones de los alumnos frente a diferentes
factores que eran necesarios analizar en una enseñanza
universitaria. De ser satisfactorias sus conclusiones, podría dar curso a la implementación de nuevas formas de
enseñar el contenido matemático en esta asignatura.
Datos de un reporte de investigación anterior de este equipo demuestra que la competencia para resolver
problemas es una condición necesaria para la comprensión de nuevos conocimientos matemáticos. Y, que las
condiciones de contexto institucionales en que se da una enseñanza y un aprendizaje y extrauniversitarias
(sistema de enseñanza media) pueden modificar el desarrollo de esta competencia en uno u otro sentido. Que la
metodología empleada hasta el momento en cursos de matemática iniciales no aportan significativamente a
Página 240
desarrollar la competencia y, por lo tanto a mejorar la comprensión. Por lo tanto, se debe afrontar el desafío de
plantear cursos que apunten al desarrollo de la competencia de resolver problemas y nó solo atienda al contenido.
El presente trabajo tiene entonces, como objetivo central mejorar la enseñanza de la matemática mediante la
resolución de problemas como medio para asegurar una mejor calidad de los aprendizajes, teniendo en cuenta que
se enseña matemática a no matemáticos. Se parte de la concepción de que el quehacer matemático es un acto de
darle sentido a las ideas matemáticas, buscar patrones y relaciones, comunicar las ideas, usar métodos empíricos.
Como consideración previa puede decirse que los problemas de aplicación introducidos como mera ejercitación
en las guías de trabajos prácticos destinadas a los alumnos, no resultan de gran motivación si no son trabajadas de
otra manera en el contexto áulico. Pretendemos que la introducción del modelado matemático como herramienta
de enseñanza sea un instrumento válido y viable para mejorar el grado de aprendizaje y motivación de los
alumnos y desarrollar competencias 1 exigidas en su futuro profesional.
La metodología empleada se inscribe como una introducción a la modelización. Ya que si bien el trabajo sobre
las unidades didácticas (trabajo llevados a cabo individualmente por los alumnos dentro del aula para aprender
los conceptos matemáticos por construcción del modelo a partir de una situación usual en sus estudios), el
trabajo en proyectos para trabajar modelos matemáticos que responden a situaciones de su vida profesional, no se
llevó a cabo como tal, puesto que en este primer ensayo fue realizado dentro del aula y nó fuera de ella.
Como se sabe, esta metodología fue pensada para ayudar a desarrollar experiencias en los primeros años de la
universidad, enseñando matemática para no matemáticos, como es el caso de los alumnos sobre los cuales se
realizó la experiencia.
2. Metodología utilizada
Para la metodología de modelización, se hace uso del siguiente:
ESQUEMA DEL PROCESO DE MODELIZACIÓN
1 Se toma como concepto de competencia "el conjunto de saberes (saber, saber hacer, saber estar y saber ser –conocimientos,
procedimientos y actitudes) combinados, coordinados e integrados en el ejercicio profesional". El dominio de estos saberes le
"hace capaz" de actuar a un individuo con eficacia en una situación profesional. (Tejada, 1998).
Página 241
La propuesta metodológica está centrada en los siguientes puntos:
1.
Presentación de una situación simplificada del mundo real.
2.
Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.
3.
Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.
4.
Presentación de la solución en términos no matemáticos.
Por otra parte la propuesta se puede inscribir en la Teoría de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, ya que
son tareas organizadas de modo que el trabajo que demanda produzca el aprendizaje del conocimiento del
Modelo de Leontieff.
Las actividades que se proponen en la primera parte al alumno si bien son altamente significativas en el propio
contexto, sirven como encadenamiento para aprender el nuevo conocimiento, de modo que éste cobre sentido y
significado para el y para los contenidos de matemática que está estudiando.
3.- Propuesta áulica
Esta propuesta de Enseñanza Aprendizaje fue diseñada y aplicada para alumnos de primer año de Ciencias
Económicas.
El tiempo utilizado fue de tres horas.
Con la finalidad de propender a la formación educativa propia de la enseñanza universitaria a la vez de un
enriquecimiento cognitivo, se planteó una propuesta que atendió a diversos objetivos. Para dar cumplimiento a
los mismos, la intervención de los docentes apuntó esencialmente a promover el uso de estrategias de resolución
de problemas. Asimismo hubo observación no participante en los grupos. Tanto el docente con observación no
participante como los participantes elaboraron sus observaciones.
La propuesta se dividió en dos partes bien diferenciadas:
I) La primera parte tuvo como objetivo principal la integración de los temas desarrollados en álgebra lineal a
través de situaciones reales aunque simplificadas del ámbito de las ciencias económicas, entendiendo que se debe
capacitar a los alumnos para que sean capaces de relacionar los conocimientos matemáticos y las habilidades
adquiridas con la situaciones presentadas para poder saber usar la matemáticas en fines prácticos. O sea,
reconocer el valor del conocimiento matemático en la resolución de situaciones de la vida real en general y del
ámbito económico en particular.
En esta parte se proveyó de material didáctico a los alumnos, en el cual se plantean problemas concretos de
naturaleza económica, en los cuales surge como herramienta fundamental los conocimientos proveídos por el
algebra matricial.
Página 242
Se trató de indagar sobre los siguientes aspectos: a) Análisis y discusión de los procesos puestos en juego para
resolver las tareas en pequeños grupos. b) Aprendizaje cooperativo a través del intercambio que se produce en
pequeños grupos.
II) La segunda parte tuvo dos objetivos principales - además de darle continuidad a la primera de ellas y que
fueron preparatorias para la adquisición de un conocimiento más complejo. Uno de ellos fue introducir el
concepto de Matriz Insumo- Producto o Modelo de Leontieff, intentando que se reconociera el valor del mismo
desde diferentes contextos de las ciencias sociales. Este concepto deviene de un problema técnico real, que se
expresa en térmicos matemáticos (Modelo de Leontieff) y la interpretación del mismo, la resolución y la
interpretación de los resultados en términos del problema y la extracción de conclusiones de la situación
planteada requiere mayor grado de conocimiento. Como los alumnos a esta altura de la carrera (incipiente) aún no
han abordado temas de economía, el análisis es mas bien intuitivo pero permite integrar los conocimientos de
algebra lineal y hasta producen conocimientos propios a partir de sus conclusiones.
Esto, consideramos, puede ayudar a que un alumno aprenda a hacer en un contexto.
La modalidad adoptada en este caso para abordar el estudio del tema fue a propósito de cumplir un segundo
objetivo: ahondar en el uso apropiado de los recursos que las páginas web brindan en el ámbito académico.
Respecto a esto ultimo se entiende que el alumno debe prepararse para utilizar inteligentemente y con
responsabilidad ética los recursos tecnológicos actuales. Por ello la discusión del Modelo se hizo mediante textos
extraídos de páginas web seleccionadas por los docentes a ese efecto. Es decir, que como contenidos
transversales al Modelo de Leontieff se trabajó la compresión de textos y el manejo de Internet respecto a los
textos académicos. En este caso, la indagación investigativa se hizo alrededor de: a) interpretación de textos y, b)
exploración del modo en que aceptan los alumnos documentos bajados de Internet.
Este objetivo atiende a un problema muy común que se ha generado en estos tiempos como emergente de los
nuevos modos de producción y acceso al conocimiento a partir del fenómeno tecnológico que ha acompañado a
la globalización, que es el uso y abuso de Internet y sobre el cual bastante poco hacemos los docentes que no sea
cuestionar: el “copy & paste” que se ha institucionalizado en el mundo académico y particularmente en los
alumnos.
Los diferentes textos que se debieron analizar en grupos en esta actividad fueron muy variados y de amplio
espectro para abordar desde diferentes ángulos la teoría de Leontieff: biografía de Leontieff, Criticas al modelo
econométrico planteado, desarrollo del Modelo, problemas de aplicación del Modelo, bibliografía del modelo
econométrico, relaciones entre matemática, econometría, y ciencias sociales.
Se destinó parte de la clase para abordar la importancia que reviste en la Universidad el reconocer un texto
académico: artículo, ensayo, ponencias científicas, programas de estudios, monografías, a través de sencillas
caracterizaciones de cada uno.
Posteriormente, también a partir de una segunda clasificación se les solicitó una segunda clasificación de los
textos: la procedencia de la página web: enciclopedia, librería, página académica, página institucional, página
Página 243
informativa, página personal, revista, wblogs u otras. Debe en este punto reflexionarse que para estos alumnos no
es un tema menor familiarizarlos sobre el uso reflexivo de la web.
En este aspecto, se entiende que toda innovación educativa debe atender aspectos esenciales de la vida del
estudiante como es la incorporación de nuevas tecnologías .Si la tecnología no es leída como organización social,
no solo no dará cuenta de una mayor comprensión entre sociedad y ambiente sino que no permitirá reconstruir la
relación que se establece entre la tecnología y su uso.
4 . Observaciones de las actividades efectuadas por docentes
Como se señaló en los objetivos planteados, las observaciones por parte de los docentes tuvieron como ejes los
siguientes: a) Análisis y discusión de los procesos puestos en juego para resolver las tareas en pequeños grupos.
b) Aprendizaje cooperativo a través del intercambio que se produce en pequeños grupos c) Adquisición de
conocimiento del Modelo de Leontieff, d) Manejo de los textos de Internet
Así se tienen las siguientes:
•
Al finalizar la tarea se los vio muy entusiasmados con las tareas asignadas y con deseos manifiestos
de continuar con tareas símiles. Al respecto debe notarse que no fue una característica del grupo de
alumnos durante el cursado la motivación para la tarea.
•
Cada uno de los 5 grupos conformados mantuvo su identidad. Por ejemplo: uno de los grupos
decidió leer todo el texto antes de resolver el primer problema. Otro, trabajó independientemente de
los docentes, evidenciando una gran concentración en las actividades propuestas y ello posibilitó
no solo interpretar bien los problemas sino resolverlos por dos métodos diferentes. En un tercero, el
aprendizaje cooperativo solo se dio entre algunos miembros del equipo, ya que uno de ellos se
apartó y resolvió individualmente no aportando a la discusión. Un cuarto grupo fue muy
comunicativo y pudieron interpretar mejor las situaciones a través de un trabajo cooperativo.
•
Para poder producir un mejoramiento en sus producciones se deben implementar mecanismos de
tareas colaborativas, ya que no están preparados para el trabajo autónomo.
•
Después de un lapso de tiempo destinado a la tarea, y en algunos casos a instancias del docente, la
mayoría de los grupos implementó estrategias de resolución de problemas.
•
Entre los integrantes de un mismo grupo, primaron algunos individualismos hasta en la lectura de
los textos. Luego de unos minutos advirtieron que si entre ellos cooperaban podían llegar ala
resolución más eficiente de la tarea.
•
Algunos creyeron que podían resolver las situaciones solo leyendo, hasta que advirtieron que no era
la estrategia adecuada.
Página 244
•
Algunos comentaron entre sí, antes de leer las actividades, el porqué de esta actividad diferente a las
habituales y llegaron a la conclusión que es para observar sus capacidades de resolución y
comprensión.
•
Las preguntas que hicieron a los docentes fueron pertinentes y totalmente de contexto. Sin embargo
se observó que hay poca riqueza en el vocabulario.
•
Luego de unos minutos se entusiasmaron con la tarea y vieron la aplicabilidad que tienen los temas
dados de algebra lineal.
•
Dependiendo de los textos virtuales que se le asignara a cada grupo, realizaron lectura comprensiva
tomando apuntes, señalando o subrayando ideas principales, elaborando pasos matemáticos no
explícitos, etc. Todos pudieron explicar los textos leídos y enmarcar el modelo de Leontieff desde
diferentes ángulos, no necesariamente matemáticos. Así descubrieron a un Leontieff hombre,
científico y un modelo matemático que aparentemente resuelve un sistema económico de un país.
•
Pudieron rescatar las limitaciones del Modelo Insumo Producto, la vinculación del mismo con la
generación de empleo en determinados sistemas industriales, las limitaciones e importancia de la
matemática en un modelo económico con implicaciones sociales, el reconocimiento o no de la
economía como ciencia.
•
Pudieron distinguir, en función de la clasificación efectuada, la procedencia de los textos
seleccionados a través de una búsqueda por Internet y por lo tanto, reflexionar sobre la veracidad de
lo que en ellos se exponía, cuáles textos pueden ser usados como referencias científicas y cuales no.
5. Evaluación de la actividad por parte de los alumnos
Aspectos positivos:
•
Todos coincidieron en que lo mas positivo de las actividades planteadas es que vieron una aplicación
real de la asignatura en situaciones problemáticas que se pueden presentar en la vida y en la carrera. Que
no tenían que esperar al “después” sino que ya mismo podían vivenciarlo.
•
Consideraron a estas actividades como “muy importante para abrir sus mentes”.
Aspectos negativos:
•
Opinaron que se sintieron muy observados y eso los limitó al principio en trabajar libremente,
ya que este hecho ocurría por primera vez.
•
Tuvieron serios problemas de interpretación no atribuibles a los problemas planteados, ni a los
textos que dieron lectura sino a las limitaciones de su vocabulario.
•
La interpretación incorrecta, impactó sobre la resolución de algunos problemas.
•
Se presentaron algunas dudas para resolver ecuaciones lineales ya que se las variables no
fueron nominadas como de costumbre.
Página 245
•
Al principio les fue difícil efectuar el cambio de registro entre el lenguaje coloquial de las
situaciones reales, al lenguaje matemático.
•
Consideraron que les faltó tiempo para realizar todas las actividades propuestas.
6.- Conclusiones
“El concepto de competencia es diverso, según el ángulo del cual se mire o el énfasis que se le otorgue a uno u
otro elemento, pero el más generalizado y aceptado es el de “saber hacer en un contexto”. El saber hacer”, lejos
de entenderse como “hacer” a secas, requiere de conocimiento (teórico, práctico o teórico-práctico), afectividad,
compromiso, cooperación y cumplimiento, todo lo cual se expresa en el desempeño, también de tipo teórico,
práctico o teórico-práctico. Por ejemplo, cuando alguien lee un texto e interpreta (saber hacer) ejecuta una acción
(desempeño) en un contexto teórico (contenido del texto).” 2
El equipo docente considera que si una de las competencias que son exigidas en el mundo laboral es el
pensamiento orientado a la resolución de problemas y su aplicación práctica, este tipo de actividades ayuda a
dinamizar su desarrollo.
Ha sido evidente que se logró la motivación para la tarea y que los contenidos matemáticos desarrollados
lograron una real significación.
Que si bien la inteligencia, la capacidad de observación, y toda otra habilidad congénitas en un individuo, que
permiten un fácil proceso de adaptación el medio y una resolución mas o menos exitosa de problemas de índole
practica, las instituciones educativas y primordialmente la Universidad, debe contribuir que desarrollar mas
eficazmente esta habilidades en sus alumnos.
Que los docentes tenemos responsabilidades en propiciar un rico acercamiento a la tecnología digital, en
particular, en lo que atañe a los documentos que aparentan ser producciones académicas y no son mas que meras
opiniones sin responsabilidad intelectual que los conduce muchas veces a que ellos mismos presenten
documentos que rayan con el plagio y la falta de seriedad. Debemos ayudar a que ellos distingan su procedencia y
el valor ético e intelectual de los mismos.
Por ultimo, si, como dijo P. Puig Adam, Cálculo integral, 1972:
“ Uno de los defectos fundamentales que tenia la enseñanza matemática, para técnicos en los comienzos del
siglo era su exceso de abstracción, su inconsciente apartamiento de toda aplicación inmediata al mundo real.
Ello motivó, como es sabido, una intensa reacción antimatemática en las escuelas técnicas, que quedó
rápidamente frenada en cuanto los mismos técnicos se dieron cuenta de que la culpa de su incapacidad no
2 Rodolfo Posada Álvarez - Facultad de Educación, Universidad del Atlántico, ColombiaFORMACIÓN SUPERIOR BASADA EN COMPETENCIAS, NTERDISCIPLINARIEDAD Y TRABAJO AUTÓNOMO
DEL ESTUDIANTE- Revista Iberoamericana de Educación (ISSN: 1681-5653)
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radicaba en la matemática en sí, sino en el modo cómo se las había enseñado” El cómodo pretexto: “Ustedes
verán cómo esto se aplica en....” rara vez tenía confirmación.
entendemos que esta propuesta aporta concretamente a la realización de mejores prácticas en la enseñanza de la
matemática a no matemáticos.
A partir de los aportes de opinión de los propios alumnos respecto a la actividad, se puede decir que este tipo de
propuestas ayudan a dar sentido al conocimiento matemático, cuando se trata de matemática para no
matemáticos. Por lo cual entendemos que se debe encontrar el modo de que estas actividades sean evaluadas, ya
que no solo con los parciales escritos se puede evidenciar aprendizajes. Una producción por parte del alumno en
esta dirección los prepararía además, para el mundo del trabajo, en el cual operan múltiples maneras de
objetivación de soluciones y respuestas a las problemáticas que este mundo les presenta.
Que este tipo de actividades deben ser planificadas cuidadosamente antes de su implementación, para que
cumplan con el objetivo que se plantea. O sea ; deben seleccionarse cuidadosamente:
-
El contenido que se pretende enseñar.
-
La planificación de las interacciones entre quienes aprenden y el conocimiento que se tiene que aprender.
-
Las intervenciones y el papel del docente en una situación de clase.
El resultado obtenido en estas experiencias es que una buena práctica no consiste en que se coloquen situaciones
problemáticas en el contexto de una guía de matemática, que mas bien están puestas a modo de “ilustración” de
su aplicación sino en trabajar esas situaciones en clases especiales con metodologías apropiadas. Los resultados
son absolutamente diferentes porque se los condiciona a la elaboración de juicio crítico.
Como dice Rodolfo Posadas Álvarez, y que puede apreciarse en el grafico siguiente, “ el saber hacer en contexto
es el núcleo central de una competencia, en torno al cual gravitan los otros saberes: conocer, pensar, ser,
convivir, sentir, compartir, etc. “
Todo ello es sumamente necesario en la formación de un profesional de las ciencias sociales –Y, cuando
enseñamos matemáticas, no debemos descuidar el perfil de ese profesional.
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Referencias Bibliográficas
Aravena. D. .M., Caamaño, E. C.(2000) Análisis Epistemológico de los problemas presentados en los textos de
álgebra usados en la enseñanza universitaria a partir de 1980. En Libro resúmenes. Primer Evento
Internacional matemática educativa e Informática. Universidad de Camaguey. Cuba.
Berra, M (1994) Innovación tecnológica e innovación social. Nuevos modelos organizativos. Tradución de
ANAHÍ GALLARDO VELÁZQUEZ Conferencia Magistral el día 24 de agosto de 1994 en la Sala de
Consejo Académico de la UAM-Azcapotzalco.
Brousseau. G.(1990). Le contrat didactique : le milieu . Recherches en Didactiques des mathematiques, 1990
Díaz Barriga, F. “Formación docente y educación basada en competencias”, en: Formación en competencias y
certificación profesional. Pensamiento universitario. No. 91. CESU-UNAM. 2000
Farfan Marquez, R. M., Ingeniería Didáctica- Un estudio de la variación y el cambio. Grupo Editorial Ibero
América. 1997
Gonczi, A. Enfoques de la Educación Basada en Competencias: la. Experiencia Australiana (segunda parte). La
Academia.
Noviembre
diciembre
de
1997.
Disponible
en:
http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/ipn/academia/11/sec_8.htm,http://www-ma4.upc.es/~andreu/
López, M. & Cordero, G. (2003, febrero-marzo). La experiencia de validar un instrumento para evaluar revistas
académicas electrónicas en Internet. Razón y Palabra, 31. Consultado el 20 de noviembre del 2005.
http://www.razonypalabra.org.mx/anteriores/n31/mlopez.html
Oteiza, FIDEL y otros. (1998). La tecnología informática como recurso transversal el currículo escolar:
conceptos, experiencias y condiciones para su puesta en práctica. En Revista Pensamiento Educativo.
Santiago, Chile: Pontificia Universidad Católica de Chile.
Otero. M, .Fanaro Elichibehety,I (2001). El Conocimiento matemático de los estudiantes que ingresan a la
Universidad. Revista Latinoamérica de Investigación en Matemática Educativa. Vol. 4. N 3. 2001.
P.109133.
Polya. (1987). Cómo resolver y plantear problemas. G.Trillas. México.
Posada, R. (1997) La investigación en el aula: Una alternativa para el trabajo docente. Santa Marta:
Universidad del Magdalena, 1997.
Posada Álvarez, R. - Facultad de Educación, Universidad del Atlántico, Colombia- Formación superior basada
en competencias ,interdisciplinariedad y trabajo autónomo del estudiante- Revista Iberoamericana de
Educación (ISSN: 1681-5653)
Puig Adam,P. “Cálculo Integral”. Edición 1972.SLADOGNA MÓNICA G. Una mirada a la construcción de las
competencias desde el sistema educativo. La experiencia de Argentina (2000). Articulo Disponible en
http://www.cinterfor.org.uy/public/spanish/region/ampro/cinterfor/publ/boletin/149/pdf/sladog.pdf
Rodríguez Roa , E. Educación y Educadores en el Contexto de la Globalización. Revista Iberoamericana de
Educación (ISSN: 1681-5653) - Universidad La Salle, México
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UNA TRAYECTORIA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA EN UN LABORATORIO DE INFORMÁTICA. ANÁLISIS DE SU
IDONEIDAD.
Autores: Anido, Mercedes; Có, Patricia: del Sastre, Mónica, Panella, Erica.
Institución: Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. Universidad Nacional de Rosario.
Argentina.
[email protected]@fceia.unr.edu.ar–[email protected]
Palabras Claves: Enseñanza- Idoneidad Didáctica- Herramientas computacionales
Resumen
Parte de la dificultad que tienen los alumnos para realizar las actividades que les permiten la interpretación de
registros gráficos y su conversión a registros simbólicos tiene que ver con la presentación que comúnmente
hacemos de los objetos geométricos de estudio: por definición (abstracta) o por representación gráfica en pizarra
(estática, sin posibilidad alguna de manipulación concreta).
El desafío se plantea entonces en la búsqueda de estrategias de enseñanza que, utilizando las nuevas tecnologías,
renueven los procesos de enseñanza y aprendizaje tradicionales, cuidando siempre que el uso de tales
herramientas no llegue a comprometer toda la atención de los alumnos desplazando la propia reflexión
matemática.
En este trabajo se describe un proceso de instrucción que utiliza la computadora como “medio” para la
construcción de conceptos matemáticos en el aula y se efectúa el análisis de su Idoneidad Didáctica.
La noción de Idoneidad Didáctica, introducida por Godino y otros, constituye un criterio sistémico de pertinencia
o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo y se hace operativa a través de seis criterios
parciales de idoneidad, atendiendo a las dimensiones que caracterizan y condicionan los procesos de enseñanza y
aprendizaje: epistémico, cognitiva, mediacional, emocional, interaccional y ecológica.
El análisis se realiza a través de un informe basado en los registros de observación del proceso de estudio y aspira
a la valoración de cada una de las dimensiones mencionadas.
La finalidad de este trabajo es obtener datos para retroalimentar experiencias futuras tendientes a la mejora de los
procesos en el aula.
Introducción:
Numerosas investigaciones dan cuenta de que existen diversos problemas vinculados con la enseñanza y el
aprendizaje de la Geometría; en particular nos interesa el tema relacionado con la visualización espacial de
figuras geométricas tridimensionales.
Nos encontramos con alumnos que muestran concepciones geométricas deficientes (en especial las asociadas a la
Geometría del espacio) unidas a un pobre manejo algebraico, que se traducen en verdaderos obstáculos no
permitiéndoles la elaboración adecuada de conceptos propios de la asignatura.
A través de nuestra experiencia, podemos reconocer que estos alumnos presentan en su mayoría, dificultades al
llevar a cabo actividades que les permitan la interpretación de las distintas representaciones, registros de
representación, tratamientos y conversiones. Esto se pone fundamentalmente en evidencia en el momento en que
tienen que modelizar figuras espaciales a partir de definiciones, o bien al intentar deducir propiedades a partir de
representaciones gráficas dadas.
En el contexto de la enseñanza de la Matemática en el primer año de las carreras de Ingeniería, la tiza y el
pizarrón son las herramientas didácticas más utilizadas por los docentes para el desarrollo de sus clases.
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Debemos reconocer que en parte la dificultad que tienen los alumnos para realizar las actividades que les
permiten la interpretación de registros gráficos y su posterior conversión a registros simbólicos tiene que ver con
la presentación que comúnmente hacemos de los distintos objetos geométricos de estudio: por definición
(abstracta) o por representación gráfica en pizarra (estática, sin posibilidad alguna de manipulación concreta).
En la actualidad las imágenes generadas por distintos software matemáticos hacen posible no sólo la
visualización de figuras geométricas, sino su manipulación a través de cortes y rotaciones. Además posibilitan en
instantes el cambio de un registro de representación a otro.
Teniendo en cuenta que el uso irreflexivo de este tipo de material manipulativo puede constituir un obstáculo
para la apropiación efectiva del conocimiento matemático y el desarrollo del pensamiento abstracto puro,
debemos fomentar constantemente en los alumnos la reflexión crítica sobre su utilización.
El desafío se plantea entonces en la búsqueda de estrategias de enseñanza que, utilizando las nuevas tecnologías,
renueve los procesos de enseñanza y aprendizaje tradicionales, cuidando siempre que el uso de tales herramientas
no llegue a comprometer toda la atención de los alumnos desplazando la propia reflexión matemática.
Se muestra en este trabajo el análisis de la Idoneidad Didáctica de un proceso de instrucción que utiliza la
computadora como “medio” para la construcción de conceptos matemáticos en el aula. La finalidad es la de
mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de algunos contenidos específicos: ecuación general de 2º grado
y superficies, correspondiente a la asignatura Algebra y Geometría Analítica I del primer año de las carreras de
Ingeniería de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario.
Problema de investigación y Marco Teórico
¿Es idóneo un proceso de aprendizaje basado en la utilización adecuada de la computadora para la
construcción de conocimientos?
En diversos trabajos Godino y colaboradores (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y
Wilhelmi, 2007) han introducido la noción de Idoneidad Didáctica de un proceso de estudio matemático con la
intención de orientar su análisis y valoración. La Idoneidad didáctica es el criterio sistémico de pertinencia o
adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico puede ser la
adaptación entre los significados personales logrado por los estudiantes y los significados institucionales
pretendidos / implementados (Godino, Batanero y Font, 2006; Godino, Wilhemi y Bencomo, 2005).
Para hacer operativa esta definición se introducen seis criterios parciales de idoneidad atendiendo a las siguientes
dimensiones que caracterizan y condicionan los procesos de enseñanza y aprendizaje: epistémica (relativa a los
significados institucionales), cognitiva (relativa a los significados personales), mediacional (relativa a los
recursos tecnológicos y temporales), emocional (relativa a las actitudes, afectos y emociones), interaccional
(interacciones docentes- discentes) y ecológica (relaciones intra e interdisciplinares y sociales).
Estas dimensiones de análisis y sus descriptores nos ayudan a estructurar y ampliar nuestro problema de
investigación a través de nuevas preguntas:
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¿Es posible, en el nivel universitario, diseñar y desarrollar una metodología innovadora de forma tal que se
facilite la adecuación entre el significado implementado y el significado de referencia? (Idoneidad epistémica).
¿Es posible utilizar la computadora como herramienta cognitiva? (Idoneidad cognitiva).
¿Tiene la Institución Universitaria el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y
temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje. (Idoneidad mediacional).
¿Qué grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes se puede alcanzar? (Idoneidad emocional).
¿Qué grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones intra e interdisciplinaria se puede conseguir
con una metodología que implica una enseñanza donde el eje de las clases es el problema en el área disciplinar de
interés? (Idoneidad ecológica).
Metodología
Descripción del proceso de estudio observado
Se trató de una investigación cualitativa llevada a cabo con técnicas de observación no participante, en el
contexto del aula de Informática, en la asignatura Álgebra y Geometría Analítica I. El tiempo destinado fue de
una observación semanal de 2 hs. de duración, durante cuatro semanas. El tamaño de la población observada en
registro narrativo: 50 alumnos y en registro auditivo: 2 alumnos, en interacción con el docente y una
computadora. Los instrumentos de recolección y registro de la información estuvieron constituidos por: notas de
campo (descriptivas, textuales y aproximativas), registros anecdóticos, grabaciones magnetofónicas y
grabaciones del trabajo realizado por los alumnos en disquete.
Las clases en el aula de Informática se desarrollaron a través de las siguientes actividades:
Actividad 1: Introducción al Maple
Se buscó familiarizar a los alumnos con el manejo básico del software a través de ejemplos que ponen en
evidencia los aspectos a tener en cuenta para comenzar a trabajar con el mismo. Se detalló la sintaxis de los
principales comandos a utilizar durante el proceso de instrucción, teniendo en cuenta la asignación de nombre a
funciones o variables, la utilización de paquetes de comandos y funciones específicas, etc. Se mostraron
ejemplos de gráficas en el plano y en el espacio que produjeron un fuerte impacto visual en los estudiantes con la
finalidad de motivarlos a “jugar” con las distintas opciones gráficas que brinda el programa.
Actividad 2: Secciones Cónicas
Se presentó una serie de ecuaciones de segundo grado en las variables x e y (incluyendo ecuaciones con términos
rectangulares, que representan cónicas degeneradas o ningún lugar geométrico) y se pidió a los alumnos una
posible “clasificación” de las mismas a través de la asociación y el análisis de similitudes y diferencias entre los
coeficiente de las ecuaciones y las gráficas que éstas producen en la pantalla de la computadora.
Actividad 3: Estudio de la ecuación general de segundo grado
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Se estudió la ecuación general de 2º grado con término rectangular no nulo, explicando la forma de encontrar el
ángulo de rotación. Se presentaron los comandos que facilitan los tediosos cálculos que requiere este proceso,
pidiendo a los alumnos analizar la forma en que opera el software para producir las gráficas de la ecuación
original dada y de la ecuación reducida que devuelve.
Actividad 4: Superficies y curvas en el espacio
Se propuso a los alumnos obtener gráficas de superpies dadas por sus ecuaciones en forma explícita o implícita,
con la finalidad de, aprovechando la potencia visual del software, analizar las propiedades de las mismas:
simetrías, intersecciones con los ejes, con los planos coordenados, con los planos paralelos a los coordenados, si
se trata de superficies de revolución, hallar su eje y su directriz, etc.
Análisis didáctico del proceso de estudio
Significados de referencia de los criterios o indicadores
Idoneidad epistémica: Grado de representatividad de los significados institucionales implementados, respecto
del significado de referencia.
Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados (pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los
alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos /
implementados.
Idoneidad mediacional: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales
necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje.
Idoneidad emocional: Grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes.
Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de
significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje.
Idoneidad ecológica: Grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones intra e interdisciplinares.
Realizamos el análisis didáctico del proceso de estudio a través de un informe basado en los registros de
observación, elaborado por la Especialista en Educación Lic. Laura Medina:
Con respecto al modo de apropiación de los contenidos por parte de los alumnos, es posible distinguir, a los
fines del análisis, tres momentos estrechamente vinculados entre sí:
- Primer momento: la curiosidad que suscita el uso de la PC, el impacto visual que provocan las imágenes del
programa actúan, en principio, como fuente de motivación para los alumnos; quienes comienzan, mediante la
manipulación y exploración de las funciones del ordenador, a familiarizarse tanto con los contenidos
procedimentales necesarios para el correcto uso del MAPLE, como con los contenidos procedimentales y
conceptuales de la materia. En este momento predominan las situaciones adidácticas de acción (Brousseau,
1989), donde los alumnos interactúan con la computadora, y mediante un modelo teórico implícito traducido en
el uso de nociones matemáticas proceden a la resolución del problema.
- Segundo momento: tiene lugar a partir del diálogo, la discusión y el intercambio de información entre ambos
alumnos, con intervenciones ocasionales de las docentes y de compañeros de otros grupos. Predominan las
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situaciones adidácticas de formulación, en donde la resolución del problema está expresada a través de nociones
paramatemáticas que dan cuenta del grado de apropiación de los contenidos conceptuales por parte de cada
alumno. Aquí tienen lugar los primeros intentos por explicitar y analizar el uso de las estrategias que emplean
mientras buscan la solución, así como también comienzan a interpretar, identificar y definir lo que observan en
la pantalla, es decir, las respuestas que les devuelve la computadora.
-
Tercer momento: pueden distinguirse situaciones adidácticas de validación a medida que transcurren las
clases de Laboratorio, y los alumnos, en base a la institucionalización hecha por las docentes (esto incluye a las
denominadas clases “teóricas”) utilizan nociones matemáticas no sólo para demostrar y definir los conceptos
sino que, a nivel procedimental, les permite realizar hipótesis acerca de los resultados posibles y, en
consecuencia, obtener la estrategia “óptima” de resolución.
La aparición de un nuevo conocimiento, o de alguna respuesta “inesperada” por parte de la PC, provoca un
conflicto cognitivo en los alumnos, conflicto que no puede ser resuelto mediante estrategias del tipo “ensayoerror” debido a la función conceptualizadora del diálogo, que obliga a los alumnos a analizar y reflexionar
sobre sus acciones, para poder argumentar con racionalidad la pertinencia de sus decisiones en la solución
dada al problema.
Otro rasgo a destacar en el proceso de aprendizaje es que la modalidad de trabajo adoptada (donde el énfasis
está puesto en la exploración, la experimentación, la investigación, antes que en la “respuesta correcta”) les
permite a los alumnos utilizar al error no ya como sinónimo de “fracaso” sino como otro punto de partida para
nuevas problematizaciones y reflexiones, donde las posibilidades y consecuencias muchas veces son
desconocidas hasta para las propias docentes.
Si centramos nuestra mirada en el rol docente, éste aparece como fundamental en el proceso de apropiación de
los conocimientos por parte de los alumnos. De los datos obtenidos podemos deducir que la intervención de las
docentes tiende principalmente a la provocación del conflicto cognitivo en los alumnos, mediante la
problematización de los contenidos presentados. Para ello, se basan en el uso del interrogatorio didáctico, la
pregunta y repregunta, el cuestionamiento de las estrategias de los alumnos, la contradicción y la duda, con el
fin de lograr el análisis y la reflexión por parte de los mismos. Resulta interesante observar la alternancia de
situaciones didácticas (Brousseau,1989) en las que las docentes conceptualizan lo trabajado por los alumnos
(instancia de institucionalización) con el desarrollo de situaciones adidácticas; en donde se evidencia la tensión
producida por la demanda de los alumnos para obtener respuestas puntuales y la no-intervención deliberada de
las profesoras.
La disposición de los educandos en pequeños grupos facilita no sólo el diálogo entre integrantes de un mismo
equipo, sino que además propicia un clima áulico distendido que favorece la realización de la tarea. La
restricción que presenta esta modalidad didáctica, de acuerdo a lo analizado, radica en la dificultad que
enfrentaron las profesoras en la atención simultánea de múltiples grupos con necesidades y ritmos de
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aprendizaje diferentes, situación que en varias ocasiones limitó (debido a cuestiones físicas y horarias) la
posibilidad de intervención docente al mínimo.
En lo que hace, específicamente, a la interacción de los alumnos con la computadora, puede evidenciarse la
importancia de los contenidos procedimentales relacionados con el manejo y la comprensión del programa, en
tanto se manifiestan como la base para la apropiación de los contenidos conceptuales y parecen cumplir una
función destacada en la asimilación y desarrollo de otras habilidades inherentes a la actividad matemática. En
lo que hace a lo observado, merecen mencionarse: procedimientos de tipo conceptual (definir, demostrar,
identificar, comparar); procedimientos traductores (interpretar); procedimientos operativos (calcular, graficar,
aproximar, optimizar); y procedimientos heurísticos y metacognitivos (resolver).
Los alumnos incluyen, entre sus estrategias de resolución de problemas, diversos “juegos de cuadros” (Douady,
1995) al utilizar los recursos tanto gráficos como algebraicos y numéricos que presenta el software MAPLE.
En este sentido, las posibilidades gráficas y visuales de dicho programa tienen una apreciable influencia en las
formas de aprender de los educandos al cumplir diferentes funciones:
- función motivadora: mediante el impacto y la riqueza de las imágenes (color, volumen, animación, etc.);
- función problematizadora: al permitir la creación de nuevas figuras y relaciones espaciales, abriendo paso a
numerosas experimentaciones e interrogantes;
- función orientadora: como vía de familiarización con los diversos objetos matemáticos, a través de la
identificación, comparación, interpretación, aproximación y comprensión por analogía de sus representaciones.
Dentro de la investigación realizada, resulta necesario señalar que los alumnos no se limitan al uso de la PC
como única herramienta presente en el medio, sino que utilizan otros dispositivos (podríamos decir
“tradicionales”) en la consecución de la tarea, tanto como para complementar las estrategias de resolución
brindadas por la máquina, como para verificar o corregir los datos e informaciones que la misma les suministra.
Al valerse también de otros instrumentos (calculadora, lápiz y papel, apuntes tomados en clase, textos de teoría)
ponen en circulación sus saberes previos, integrándolos de esta manera a la totalidad de los conocimientos y
habilidades adquiridos.
Puede verse en lo anteriormente escrito una estrecha relación con el rol asignado a la computadora, ya sea a
nivel de los alumnos o de las docentes, en el sentido de que se tiende, de forma explícita, hacia un uso racional y
crítico de la misma, reflexionando continuamente acerca de sus alcances y limitaciones, ventajas y desventajas;
lo cual puede ser señalado en el progresivo “aprovechamiento” de esta herramienta durante el transcurso de los
laboratorios.
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Análisis del proceso:
Como se evidencia en los primeros párrafos del informe transcripto más arriba, las situaciones problema
seleccionadas e implementadas por las docentes resultan una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación respecto del significado de referencia (declarado en los apuntes de la
cátedra). La amplia variedad de situaciones presentadas, la alternancia de situaciones didácticas
problematizadoras para los alumnos y la aparición de situaciones adidácticas,
promovieron momentos de
argumentación, validación e institucionalización que generaron permanentemente la negociación de elementos
regulativos: definiciones, proposiciones y procedimientos (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007). Las
profesoras articularon todos estos elementos mediante eficaces y adecuados recursos linguísticos,
argumentativos, gestuales, etc. En las intervenciones docentes, el lenguaje utilizado fue adecuado a los
destinatarios y siempre orientado a la provocación de interpretaciones, reflexión y cuestionamientos críticos por
parte de los alumnos.
Se advierte además, la presencia de momentos de apropiación del problema por parte de los alumnos teniendo
ocasión de formular o reformular y plantear cuestiones relacionadas, en definitiva, de asumir los problemas como
propios.
Creemos, en consecuencia, que la Idoneidad epistémica del proceso de estudio es positiva ya que los elementos
conceptuales, proposicionales y procedimentales están contextualizados mediante las situaciones, explicados y
justificados con argumentos pertinentes y todos estos elementos soportados mediante recursos expresivos
eficaces.
Coincidimos con Godino y otros (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007), en que para evaluar la Idoneidad
cognitiva de un proceso de instrucción en términos de proximidad de la zona de desarrollo potencial del alumno
es necesario hacer un seguimiento detallado de los estudiantes (test, entrevistas, evaluaciones orales y escritas,
etc.) para conocer sus significados previos y determinar si las explicaciones dadas por el profesor fueron
efectivas. En este sentido reconocemos que existe un déficit en nuestra experiencia porque este seguimiento no
fue hecho previamente aunque podemos asegurar, a partir de los registros verbales y escritos, que “... al valerse
también de otros instrumentos (calculadora, lápiz y papel, apuntes tomados en clase, textos de teoría) pusieron
en circulación sus saberes previos …”. Sin duda, la valoración y pertinencia de tales saberes deberá ser tenida en
cuenta para retroalimentar una futura experiencia de este tipo.
Tampoco se realizaron evaluaciones “formales” y/o “tradicionales” de los conocimientos/competencias
anhelados, pero los diversos registros recabados en esta experiencia, permitieron la evaluación durante todo el
proceso de instrucción, del grupo y de cada alumno en particular.
En esta experiencia, tanto las profesoras como los alumnos tuvieron a su disposición medios informáticos
pertinentes al estudio del tema en cuestión y el alcance de estos medios materiales se encontró adaptado a los
significados pretendidos. Tanto el número de estudiantes y su agrupamiento, de a dos o tres por computadora, fue
adecuado para el desarrollo del proceso instruccional pretendido. Pensamos que estos hechos hacen que la
Idoneidad mediacional se vea afectada positivamente con respecto al trabajo tradicional basado exclusivamente
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en la pizarra, lápiz y papel. No se tuvo en cuenta el tiempo no presencial del trabajo individual de los alumnos, lo
que podría preverse en un futuro diseño y planificación de actividades.
El informe transcripto sugiere además que este proceso cuenta con un alto grado de Idoneidad emocional, tal vez
el más alto de todas las idoneidades analizadas, ya que la situación propuesta originó una gran participación y
motivación de los alumnos. Se evidencia la creación de un “clima” de respecto mutuo entre docentes y alumnos y
entre alumnos del mismo o de distintos grupos de trabajo, como así también un ambiente de trabajo cooperativo.
Del análisis detallado de los conocimientos puestos en juego, surge que el profesor cumple un papel esencial en
los distintos momentos del proceso de estudio ayudando a que la actividad no quede paralizada frente a los
conflictos de significado y a que los cocimientos adquieran el nivel pretendido. Sostenemos que este tipo de
propuestas didácticas, con utilización de herramientas informáticas, ayuda a crear un contexto rico para propiciar
un ambiente de diálogo entre grupos de alumnos y entre docente y alumnos, con el propósito de realizar tareas
específicas que ponen en juego los conocimientos matemáticos pretendidos, cuestiones que evidencian una
Idoneidad interaccional positiva.
Por último, si se considera que por ser ésta una propuesta innovadora podría no adaptarse completamente al
proyecto educativo de la Institución, deberíamos dar escaso valor a la Idoneidad ecológica. Sin embargo estamos
convencidas de que la incorporación de nuevas tecnologías en la formación inicial de los estudiantes ayuda a
establecer conexiones con contenidos intra e interdisciplinares favoreciendo su formación socio-profesional, lo
que contribuye a elevar el valor esta idoneidad.
Valoración de la Idoneidad Didáctica
En base a las apreciaciones realizadas, intentamos representar gráficamente estos resultados a través del
hexágono no regular interior dibujado en línea punteada en el siguiente esquema, donde se muestran las
componentes de la idoneidad didáctica:
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Reflexiones finales:
Considerando a la Idoneidad Didáctica como un criterio sistémico de pertinencia o adecuación de un proceso de
instrucción al proceso educativo que busca orientar su análisis y valoración y; del análisis de sus componentes y
descriptores, pensamos que hemos logrado una mejor compresión del proceso estudiado, posibilitando su
comparación y valoración en relación a procesos similares realizados en el pasado y favoreciendo su
retroalimentación en el futuro, delineando falencias y exigencias que deberemos priorizar en nuevas experiencias.
De este análisis surge un indicador empírico que busca en última instancia evaluar la adaptación de los
significados personales logrados por los alumnos y los significados institucionales pretendidos. Este indicador
nos alienta en cuanto a la incorporación del proceso “innovador” de instrucción al proyecto educativo
institucional, de modo que utilice a la computadora como herramienta cognitiva en forma habitual.
Creemos que para que este tipo de recursos desempeñen un papel en el aprendizaje es necesario que los docentes
formulemos propuestas que inciten tanto a la acción como a la reflexión matemática. La utilización de estos
materiales permite el planteamiento de problemas significativos para los estudiantes y resultan una invitación a
poner en juego conocimientos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Es claro que el grado de aptitud de
un recurso informático dependerá de la aplicación que los docentes hagan del mismo.
Brousseau , G.(1989): Fundamentos de Didáctica de las Matemáticas. Universidad Zaragoza. España.
Bruner, J. (1980) Investigación sobre el desarrollo cognitivo. Pablo del Río Editor: Madrid. España.
Douady,R. (1995) La ingeniería Didáctica y la Evolución de su Relación con el Conocimiento. En – Artigue, M.,
Douady, R., Moreno, I. y Gómez, P. (1995): Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Grupo editorial
Iberoamericano. Bogotá. Colombia. 34 – 56; 61 – 97.
Duval, R.(1998). Registres de représentation sémiotique et functionnement cognitif de la pensée. Annales de
Didactique et de Sciencies Cognitives. IREM. Estrasburgo, Francia.
Godino, J. D., Wilhelmi, M. R. and Bencomo, D. (2005). Suitability criteria of a mathematical instruction
process. A teaching experience of the function notion. Mediterranean Journal for Research in Mathematics
Education, 4.2: 1–26.
Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2006). Un enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción
matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
Godino, J. D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoque
ontológico-semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactiques des Mathematiques, 26 (1): 3988.
Godino, J.; Recio, M.; Roa, R.; Ruiz, F.; Pareja, J. (2006). Criterio de diseño y evaluación de situaciones
didácticas basadas en el uso y medios informáticos para el estudio de las matemáticas. Revista Número nº 64.
Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2007). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica
de procesos de estudio de las matemáticas. Paradigma, Volumen XXVII, Nº 2: 221-252.
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UNA EXPERIENCIA EVALUANDO NIVELES DE DESARROLLO DE
COMPETENCIAS MATEMATICAS
Dora Fernández, Carolina Ramos , Sara I. Ottonello, Margarita V. Veliz
Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Tucumán. Argentina
Nivel Superior
Palabras clave: diseño curricular, matemática, competencias, evaluación
Resumen
Las evaluaciones institucionales en las Universidades, indican la necesidad de actualización y adaptación de los
planes de estudio. Por un lado, se ha comprobado que muchos alumnos ingresan a la universidad sin las
competencias básicas necesarias para realizar estudios superiores. Por otro lado, las transformaciones de la
sociedad y del mercado laboral, exigen a los estudiantes desarrollar competencias de adaptación permanente al
cambio.
La formación por competencias obliga a repensar la educación, con el fin de estimular la autonomía del
estudiante, favorecer la comprensión, propiciar la integración de los conocimientos y la relación entre disciplinas.
El término competencia puede ser definido, como un “saber”, “saber hacer”, “saber ser”; es decir, lo que una
persona puede hacer bien como resultado de la integración de sus conocimientos, habilidades, actitudes y
cualidades personales.
Las competencias pueden clasificarse por niveles: Cero: aprender a saber, Primero: aprender a conocer, Segundo:
aprender a hacer, Tercero: aprender a emprender, Cuarto: aprender a ser. (Bogoya y Torrado, 2000)
La noción de competencia matemática implica la capacidad de pensar y razonar, de argumentar, de modelar, de
representar y de plantear, formular, resolver e interpretar problemas dentro de una variedad de situaciones y
contextos.
Este trabajo, enmarcado en el Proyecto de Investigación “Evaluación y reformulación del diseño curricular de
Matemática en carreras de Ciencias Económicas” en la U.N.T., muestra la relación entre los grados de desarrollo
de competencias matemáticas de diferentes niveles, alcanzados por alumnos del ciclo matemático de esta facultad
en el año 2006.
.
Introducción
En la actualidad asistimos a un periodo de replanteos y cambios curriculares, como respuesta a resultados de
evaluaciones institucionales que indican la necesidad de actualización y adaptación de los planes de estudio a las
transformaciones de la sociedad. Por un lado, se ha comprobado que los alumnos ingresan a la universidad sin
haber aprendido ciertos contenidos disciplinares que los docentes universitarios consideramos adquiridos y
ejercitados en el nivel medio, y sin haber aún desarrollado muchas de las competencias básicas necesarias para
avanzar exitosamente en los estudios superiores. Tal es el caso de la lectura e interpretación de textos, el
razonamiento lógico matemático, la capacidad de análisis y síntesis, de argumentación. Por otro lado, la constante
y vertiginosa transformación del mercado laboral actual exige a las Universidades brindar a sus estudiantes
oportunidades de aprendizaje que les permitan desarrollar competencias de adaptación permanente al cambio.
En las últimas décadas surgieron cambios en los propósitos pedagógicos y sociales que abarcan todo el sistema
de enseñanza – aprendizaje, entre otros, la inclusión explícita de contenidos valorativos y de procedimientos, en
términos de un “saber hacer”. El preguntarnos cómo aprenden nuestros alumnos, fue cuestionando paradigmas
educativos tradicionales y planteando cambios de enfoque, procesos y prácticas. La formación por competencias
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obliga a repensar la educación superior y a considerar una transformación radical, aunque no inmediata, de la
organización de todo el sistema educativo desde el currículo, la didáctica y la evaluación.
“La promoción de habilidades de orden superior como la autorregulación metacognitiva y la creatividad, son
también fundamentales en un mundo en constante cambio e incertidumbre, donde cada día, el individuo hace uso
de una cantidad de información, que demanda competencias relacionadas con el mejoramiento de sus
habilidades de procesamiento y la utilización de estrategias metacognitivas que potencien la capacidad de
aprendizaje” (Flores Merino, 2005, p. 3).
En los últimos años, se trabaja a nivel nacional para dar respuesta a los cambios curriculares mencionados,
atendiendo entre otras dificultades, a la necesidad de articular la educación media y superior, definir
competencias para los distintos ciclos de formación y delimitar las competencias básicas para diferentes áreas,
entre ellas Matemática.
Objetivo
Este trabajo, enmarcado en el Proyecto de Investigación “Evaluación y reformulación del diseño curricular de
Matemática en carreras de Ciencias Económicas” en la U.N.T., tiene como objetivo evaluar comparativamente en
qué medida los estudiantes alcanzaron ciertos niveles de competencias matemáticas. Se analizaron las
producciones de una muestra de alumnos que cursaron las asignaturas Álgebra e Introducción al Análisis
Matemático de la Facultad de Ciencias Económicas de la U.N.T, durante el período lectivo 2006.
Fundamentación teórica
“El término competencia puede ser definido de manera general, como un “saber”, “saber hacer”, “saber ser”;
es decir, como una medida de lo que una persona puede hacer bien como resultado de la integración de sus
conocimientos, habilidades, actitudes y cualidades personales”. (Flores Merino, 2005, p. 4).
En sentido amplio, una competencia es una macrohabilidad que integra tres tipos de saberes:
•
El saber conceptual: referido a la habilidad para el manejo de conceptos, datos, informaciones y hechos.
•
El saber procedimental: relacionado con la habilidad para ejecutar una acción o secuencia de acciones
siguiendo métodos, técnicas y/o estrategias adecuadas a la resolución de una tarea concreta.
•
El saber actitudinal: concerniente a la habilidad para vincular el saber y el saber hacer a valores, principios o
normas que configuran nuestras actitudes, asegurando que la búsqueda del éxito y el progreso personal no se
contradigan con el bienestar social.
Diseño curricular por competencias, didáctica, evaluación
Programar por competencias significa haber identificado el conjunto de conocimientos, saber ser y saber hacer
organizados, que el sujeto necesita para ejecutar adecuadamente una tarea o un conjunto de tareas que satisfagan
exigencias sociales o individuales precisas. El modelo de competencias, nos ofrece la posibilidad de percibir
espacios transversales de conexión entre disciplinas, y nos muestra la necesaria colaboración que ha de existir
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entre ellas, teniendo en cuenta que lo importante es la comprensión de los procesos y no la acumulación de los
conocimientos. Nos pueden ayudar a evitar la actual atomización de los aprendizajes y a alcanzar las
competencias señaladas como metas de capacitación profesional (Mérida Serrano y García Cabrera, 2005)
El currículum basado en competencias, plantea a los docentes la necesidad de cambiar las metodologías
transmisionistas por metodologías centradas en el alumno y en el aprendizaje. Las estrategias pedagógicas se
diseñan, entonces, con el fin de que los alumnos: comprendan la relevancia y pertinencia del contenido a
aprender a través de la aplicación de los conocimientos a situaciones relacionadas con la especialidad; integren
los conocimientos y logren mayor autonomía.
Dado que las competencias se ponen de manifiesto fundamentalmente en el desempeño, la evaluación debe
combinar conocimientos, comprensión, resolución de problemas, habilidades y actitudes.
Las competencias genéricas
Las competencias genéricas identifican los elementos compartidos que pueden ser comunes a cualquier titulación.
En el marco del proyecto Tuning, durante el año 2004, se realizaron encuestas en toda Latinoamérica, a docentes,
estudiantes y graduados de las carreras de Ciencias Económicas de las que se concluyó que las competencias
genéricas consideradas más importantes son:
•
Compromiso con la calidad
•
Capacidad de aprender y actualizarse
•
Compromiso ético
•
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica
•
Capacidad para tomar decisiones
•
Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas
La innovación del Diseño curricular propuesto en el marco del Proyecto de Investigación “Evaluación y
reformulación del diseño curricular de Matemática en carreras de Ciencias Económicas” (U.N.T) se orientó sobre
esta base de las competencias antes mencionadas.
Las competencias matemáticas
Las competencias matemáticas específicas identificadas por Niss (1999) son:
•
Pensar y razonar. Incluye plantear preguntas características de las matemáticas; reconocer el tipo de
respuestas que las matemáticas ofrecen para estas preguntas; distinguir entre diferentes tipos de
proposiciones (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, condicionales); y entender y
manipular el rango y los límites de ciertos conceptos matemáticos.
•
Argumentar. Se refiere a saber qué es una prueba matemática y cómo se diferencia de otros tipos de
razonamiento matemático; poder seguir y evaluar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos;
desarrollar procedimientos intuitivos; y construir y expresar argumentos matemáticos.
Página 260
•
Comunicar. Involucra la capacidad de expresarse, en forma oral y escrita, sobre asuntos con contenido
matemático y de entender las aseveraciones, orales y escritas, de los demás sobre los mismos temas.
•
Modelar. Incluye estructurar la situación a moldear; traducir la “realidad” a una estructura matemática;
trabajar con un modelo matemático; validar el modelo; reflexionar, analizar y plantear críticas a un modelo y
sus resultados; comunicarse eficazmente sobre el modelo y sus resultados (incluyendo las limitaciones que
pueden tener estos últimos); y monitorear y controlar el proceso de modelado.
•
Plantear y resolver problemas. Comprende plantear, formular, y definir diferentes tipos de problemas
matemáticos y resolver diversos tipos de problemas utilizando una variedad de métodos.
•
Representar. Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de
representaciones de objetos y situaciones matemáticas y sus interrelaciones; escoger entre diferentes formas
de representación, de acuerdo con la situación particular.
•
Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas: Comprende decodificar e interpretar
lenguaje formal y simbólico, entender su relación con el lenguaje natural; traducir del lenguaje natural al
lenguaje simbólico / formal, manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas;
utilizar variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos.
•
Utilizar ayudas y herramientas: Esto involucra conocer, y ser capaz de utilizar diversas ayudas y
herramientas (incluyendo las tecnologías de la información y las comunicaciones TICs) que facilitan la
actividad matemática y comprender las limitaciones de estas ayudas y herramientas.
En la noción de competencia matemática está implícita la capacidad de plantear, formular, resolver, e interpretar
problemas empleando la matemática dentro de una variedad de situaciones y contextos.
La estructuración de un currículum por competencias apunta a la formación y evaluación con este enfoque
pedagógico, ya que contempla la construcción y reelaboración del conocimiento dentro de un contexto social,
respondiendo a problemas concretos y reales.
Tanto los materiales curriculares elaborados durante el desarrollo del proyecto de investigación en que se
enmarca este trabajo, como las diferentes experiencias realizadas y la propuesta de reformulación del diseño
curricular, se fundamentaron en las competencias matemáticas propuestas por Niss. (Lezana y Veliz, 2007)
Niveles de competencias
Bogoya y Torrado (2000) define los siguientes niveles de competencias:
•
Nivel cero: Aprender a saber. La persona tiene conocimientos sueltos sobre un tema o área, como datos
aislados sin conexión a su estructura cognitiva y los retiene en la memoria temporalmente.
•
Primer nivel: Aprender a conocer. El estudiante va apropiando los conocimientos básicos por medio de la
abstracción, simbolización y conceptualización, se dice: él sabe. Reconoce y distingue los elementos, objetos
o códigos propios de cada área o sistema de significación, en tanto campo disciplinar del saber. Es
importante que el estudiante cambie de un aprendizaje principalmente memorístico hacia el aprendizaje
significativo, en el cual puede incorporar el conocimiento nuevo a las estructuras previas del conocimiento,
Página 261
relacionar el conocimiento nuevo con el previo, relacionar un aprendizaje con hechos u otros objetos de la
experiencia Estos dos tipos de aprendizaje, memorístico y significativo, no son excluyentes, sino
complementarios y hacen parte de un continuo.
•
Segundo nivel: Aprender a hacer. Una vez interiorizado el nuevo conocimiento, el alumno puede
comunicarlo y utilizarlo, hace uso comprensivo de los objetos o elementos de un sistema de significación. Es
decir, el alumno debe aplicar sus conocimientos adquiridos en su quehacer o a través de ejemplos. La idea es
poder plantear soluciones a problemas reales o figurados, adquirir habilidades para realizar procesos
mentales y procedimientos (manuales, experimentales, investigativos, etc.). El estudiante aplica sus
conocimientos y comprende para qué los aprendió. De esta manera el aprendizaje significativo conduce a la
noción de competencias, porque el estudiante logra crear y acomodar lo aprendido ante problemas reales o
hipotéticos. Este nivel de competencias hace parte de la formación integral y está vinculada directamente al
desempeño profesional y laboral.
•
Tercer nivel: Aprender a emprender. Implica un mayor grado de apropiación, el estudiante debe empezar a
pensar, a crear otras alternativas, dar más argumentos, poder responder en diferentes situaciones o contextos
(frente a diferentes casos con un problema similar). Debe analizar, sintetizar, inferir, asociar para
particularizar los conceptos generales de un tema con explicaciones coherentes..
•
Cuarto nivel: Aprender a ser. Competencia que se aprende durante toda la vida, las competencias del saber o
conocer, del hacer y del emprender sólo tienen sentido en el ser. Éste es el pilar fundamental, que debe
tallarse para la realización ecuánime del futuro profesional, que urge en toda sociedad.
Trabajo realizado- metodologia
En el marco del Proyecto de Investigación “Evaluación y reformulación del diseño curricular de Matemática en
carreras de Ciencias Económicas”, se realizó este trabajo en dos etapas.
En la primera etapa, se seleccionó una muestra de 390 alumnos de una población de 1800 inscriptos en el año
2006 en la asignatura Álgebra, correspondiente al primer cuatrimestre de primer año, y se analizó la resolución de
ejercicios, evaluando en qué medida los alumnos desarrollaron competencias del nivel cero y del primer nivel. En
el primer caso se evaluó si fueron capaces de vincular el nuevo concepto con los conceptos previos relacionados
con éste, y cómo realizaron el trabajo algebraico pertinente. En el segundo caso, se evaluó la habilidad para el
manejo de un nuevo concepto, el planteo y la resolución de una ecuación y la utilización del lenguaje formal y
simbólico adecuado. Se establecieron indicadores para definir, respectivamente, cinco grados de desarrollo de las
competencias en los estudiantes.
Luego se trabajó con los 111 alumnos del total de 390 de la muestra anterior que, habiendo aprobado Álgebra,
cursaron la asignatura Introducción al Análisis Matemático, correspondiente al segundo cuatrimestre de primer
año. Se evaluó en qué medida los alumnos desarrollaron competencias del segundo nivel, es decir, si
interiorizaron nuevos conocimientos y los supieron aplicar. Dado que una de las competencias genéricas
consideradas más importantes es la de “plantear y resolver problemas” y que el futuro profesional será un
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“elaborador, analista y comunicador de información”, se estudió el desempeño de los alumnos al “plantear y
resolver un problema matemático, y comunicar los resultados”. Para ello, se analizó la resolución de un problema
propuesto en el tercer parcial de esta asignatura. Se establecieron indicadores para definir cinco grados de
desarrollo de esta competencia en los estudiantes.
Cabe aclarar que los alumnos trabajaron en las asignaturas consideradas en la experiencia, con materiales
curriculares especialmente diseñados para favorecer el desarrollo de las competencias matemáticas.
En la segunda etapa, se clasificó a los alumnos en tres categorías definidas para cada uno de los tres niveles,
agrupándolos según el grado en que habían desarrollado la competencia:
No alcanzó el nivel (NA) Alcanzó medianamente el nivel (AM) Alcanzó satisfactoriamente el nivel (AS)
NIVEL CERO
•
NA: si no intenta resolver el ejercicio o si no maneja adecuadamente el nuevo concepto y además comete
errores algebraicos, en el intento de resolución.
•
AM: si aplica bien el nuevo concepto, sin embargo, los cálculos algebraicos son erróneos y por lo tanto no
obtiene el resultado correcto.
•
AS: si aplica bien el nuevo concepto, sigue el procedimiento adecuado para la resolución, pero algún error
algebraico lo conduce a un resultado erróneo o si aplica convenientemente el nuevo concepto y sigue el
procedimiento adecuado para la resolución, lo cual le permite arribar al resultado correcto.
PRIMER NIVEL
•
NA: si no intenta resolver el ejercicio o si no maneja el nuevo concepto, plantea y resuelve mal la ecuación
correspondiente y comete errores al pasar del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico
•
AM: si aplica en forma adecuada el nuevo concepto, traduce bien del lenguaje coloquial al simbólico y sin
embargo tiene dificultades para planear y resolver la ecuación correspondiente.
•
AS: si aplica bien el nuevo concepto, hace una traducción correcta del lenguaje natural al lenguaje simbólico,
pero no arriba al resultado correcto a pesar de haber planteado en forma correcta la ecuación o si resuelve
correctamente el ejercicio propuesto.
SEGUNDO NIVEL
•
NA: si no intenta resolver el problema o si no plantea adecuadamente el problema y por tanto no logra
resolverlo correctamente.
•
AM: si plantea adecuadamente el problema pero en la resolución comete varios errores, ya sea algebraicos,
de aplicación del método y/o de nuevos contenidos y por lo tanto no llega al resultado correcto.
•
AS: si plantea bien el problema, aplica correctamente el método y nuevos contenidos, aunque comete algún
error algebraico o al comunicar la respuesta o si plantea y resuelve bien el problema, aplica adecuadamente
el método y nuevos contenidos, obtiene y comunica correctamente el resultado.
Resultados
Página 263
Los siguientes resultados, surgen en la segunda etapa del presente trabajo.
Cuadro N° 1: Distribución conjunta “Alcanzar desarrollo de competencias de Nivel cero” y “Alcanzar desarrollo
de competencias de primer Nivel”. Alumnos 1° año, Cátedra Álgebra FCE, UNT. Julio 2006
Primer Nivel
NA
AM
AS
Total
NA
52,3
6,7
11,5
70,5
Nivel cero
AM
4,4
1,3
2,8
8,5
AS
4,6
2,0
14,4
21
Total
61,3
10,0
28,7
100(390)
Observamos que el porcentaje más alto corresponde a aquellos alumnos que no desarrollaron competencias en los
niveles cero y uno, lo cual pone en evidencia la carencia de conocimientos matemáticos básicos de los alumnos
ingresantes a la universidad. Por otro lado, un 21% de los estudiantes que no lograron desarrollar competencias
de nivel cero o que las desarrollaron medianamente, desarrollaron satisfactoriamente competencias del primer
nivel, lo cual refleja el proceso de superación de estos alumnos.
Cuadro N° 2: Distribución conjunta “Alcanzar desarrollo de competencias de Nivel cero” y “Alcanzar desarrollo
de competencias de primer Nivel”. Alumnos 1° año, Cátedra Álgebra FCE, UNT. Diciembre 2006.
Primer Nivel
NA
AM
AS
Total
NA
14,4
7,2
14,4
36
Nivel cero
AM
3,6
2,7
6,3
12,6
AS
6,3
5,4
39,6
51,3
Total
24,3
15,3
60,3
99,9(111)
En este caso, se trabajó sólo con los 111 alumnos del total de 390 de la muestra anterior, que, habiendo aprobado
Álgebra, estaban en condiciones de cursar la asignatura Introducción al Análisis Matemático. Observamos que el
mayor porcentaje corresponde a aquellos alumnos que desarrollaron competencias en ambos niveles, es decir, que
fueron capaces de integrar los conocimientos previos con los nuevos conceptos adquiridos. Un 14,4% evidenció
falta de conocimientos previos y carencias tanto en el nivel conceptual como procedimental, en este caso, los
estudiantes no desarrollaron competencias en estos niveles. Por otro lado, el 14,4% de los alumnos que no
desarrolló competencias del nivel cero y que sí logró desarrollar las competencias del primer nivel tuvieron una
notable evolución por cuanto lograron pasar de un aprendizaje memorístico a un aprendizaje significativo.
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Cuadro N° 3: Distribución conjunta “Alcanzar desarrollo de competencias de primer Nivel” y “Alcanzar
desarrollo de competencias de segundo Nivel”. Alumnos 1° año, Cátedras Álgebra e Introducción al Análisis
Matemático FCE, UNT. Diciembre 2006
Segundo Nivel
NA
AM
AS
Total
NA
9
7,2
8,1
24,3
Primer Nivel
AM
5,4
4,5
5,4
15,3
AS
14,4
10,8
35,1
61,3
Total
28,8
22,5
48,6
99,9(111)
Se observa que el mayor porcentaje corresponde a los estudiantes que desarrollaron competencias en los niveles
uno y dos. Ellos fueron capaces de relacionar los nuevos conocimientos con los conocimientos previos
correspondientes, como así también, detectar el problema, analizarlo y aplicar conocimientos específicos para su
resolución. El 14,4% de los alumnos pudo relacionar los conceptos previos adquiridos con los nuevos
conocimientos e incorporarlos a su estructura cognitiva, sin embargo, ellos no poseen la capacidad de aplicar los
nuevos conocimientos adquiridos. Por otro lado un 10,8% de los estudiantes que desarrollaron competencias en el
primer nivel, sólo lograron desarrollar medianamente las competencias del nivel dos y evidenciaron falencias en
cuanto al saber procedimental.
Conclusiones:
9 En una sociedad cambiante donde las demandas se reformulan constantemente y atendiendo a los
resultados de los debates sobre la educación superior a nivel nacional y en Latinoamérica, se considera
fundamental la reformulación del diseño curricular desde los contenidos, modelos didácticos y
evaluación, basado en la formación de competencias, ya que éste busca generar procesos formativos de
mayor calidad, atendiendo las necesidades de la sociedad, de la profesión, del desarrollo de la disciplina
y del trabajo académico.
9 Se considera que el alto porcentaje de alumnos que no alcanzaron el nivel cero medido en la primera
etapa de la experimentación, evidencia un indicador del bajo grado de desarrollo de competencias con el
que ingresan a la facultad los alumnos.
9 Atendiendo a la falta de articulación entre niveles, ciclos y modalidades del sistema educativo, y a las
falencias referidas a conocimientos previos, hábitos de estudio y orientación vocacional de los alumnos
que inician estudios superiores, se advierte la necesidad del diseño de un ciclo de nivelación para
ingresantes a nuestra facultad, basado en la formación por competencias.
9 Se observa que sobre el total de alumnos de la muestra que cursaron las dos asignaturas de 1º año del
área matemática, el 48,6% alcanzó un grado de desarrollo satisfactorio de competencias matemáticas del
segundo nivel.
Página 265
9 Se considera importante continuar investigando sobre la enseñanza basada en competencias, así como
ajustar en esta línea los materiales curriculares elaborados, a fin de que un mayor número de alumnos
pueda desarrollar en alto grado las competencias matemáticas.
Badilla, L. (2006). Nociones sobre el concepto de competencias. Recuperado el día 18/08/06 del sitio Web:
http://www.cumex.org.mx/archivos/ACERVO/Tuning.pdf .
Becerra Ríos, L. (2005). “Los objetivos y las competencias en educación”. Recuperado el día 20/07/05 del sitio
Web: http://pcadcurriculo.blogspot.com/2005/03/los-objetivos-y-las-competencias-en-la.html.
Blythe, T. (1999). La enseñanza para la comprensión. Buenos Aires: Editorial Paidós.
Bogoya, D. y Torrado, M. C. (2000). Competencias y Proyectos pedagógicos. Capítulo: “Educar para el
desarrollo de competencias: Una propuesta para reflexionar”. Bogotá. Univ. Nac. de Colombia.
Codece (2005): “Documento base para la acreditación.” Santiago del Estero, Argentina
Flores Merino, E. (2005). Una metodología de diseño curricular para programas de formación profesional por
competencias.
.
Recuperado
el
día
28/02/07
del
sitio
Web:
http://www.cucea.udg/mx/ncentro/taller_dis_cur_competencias/pdf.
Lazarte, A.; Guevara, E.; Mura, R. (2005). “Informe sobre Competencias Educativas. Proyecto: Articulación de
los Ciclos de Nivelación/Introducción y del Ciclo General Común/Primeros años, de las Carreras
Pertenecientes a las Ciencias Económicas. Tercera Etapa”. UNCa, Argentina.
Lezana, B. y Veliz, M. (2007). Diseño curricular por competencias. Una propuesta. Ponencia presentada en el
marco de las XXII Jornadas Nacionales de docentes de matemática de Facultades de Ciencias Económicas y
Afines. Publicada en CD con ISBN Nº 978-987-575-059-3. Mendoza, Argentina.
Mérida Serrano, R. y García Cabrera, M. (2005). “La formación de competencias en la universidad”, en Una
herramienta para la construcción del estado del Arte. Bibliografía Digital para comprender la Formación de
Competencias. UNCa, Argentina
Niss, M. (1999). Competencies and Subject Description, Uddanneise, 9, pp. 21-29, en OCDE / PISA (2003).
Competencias
en
Matemáticas.
Recuperado
el
día
05/07/05
del
sitio
Web:
www.eduteka.org./Pisa2003Math.php, traducido por EDUTEKA de algunos apartes de la sección
correspondiente a “Competencias en Matemáticas” del documento “The PISA 2003 Asssessment Framework”
publicado (en inglés, en formato PDF, 1.7MB) por OECD/PISA, en el sitio Web: http://www.pisa.oecd.org/.
OCDE / PISA (2003). “Competencias en Matemáticas”. Recuperado el día 05/07/05 del sitio Web:
http://www.eduteka.org./Pisa2003Math.php.
Pagano, R. (1999). Estadística para Las Ciencias del Comportamiento. México: International Thomson Editores.
Pinilla Roa, A. (2006). Las competencias en la educación superior”. Recuperado el día 18/08/06 del sitio Web:
http://www.cumex.org.mx/archivos/ACERVO/Tuning.pdf .
Página 266
Posada Álvarez, R. (2005). “Formación Superior basada en Competencias. Interdisciplinariedad y trabajo
autónomo
del
estudiante”,
Recuperado
el
día
12/04/06
del
sitio
Web:
http://www.ricoci.org/deloslectores/648Posada.PDF.
Rodríguez Bejarano, J. (1997). La gramática básica de la matemática y competencias matemáticas. Documento
de trabajo, SNP – ICFES.
Salas Zapata, W. (2005). Formación por Competencias en Educación superior. Una aproximación conceptual a
propósito
del
caso
colombiano.
Recuperado
el
día
29/03/06
del
sitio
Web:
http://www.rieoei.org/deloslectores/10365Salas.PDF.
Wattíez Franco, R. L., Quiñónez de Bernal, C. y Gamarra de Sánchez, M. Competencias. Recuperado el día
18/08/06 del sitio Web: www.cumex.org.mx/archivos/ACERVO/Tuning.pdf.
Consejo Nacional de Decanos de Ingeniería (CONFEDI). (2005). Documento preliminar del Proyecto
Estratégico de Reforma curricular de las Ingenierías, presentado en la XXXVII Reunión Plenaria. 4 al 6 de
mayo
de
2005.
Recuperado
el
día
16/04/07
del
sitio
Web:
http://www.unlu.edu.ar/~acreditar/ProyectoEstrat.pdf. Santa Fe, Argentina.
Proyecto Tuning América Latina. (2007). Documento final. Recuperado el día 15/04/07 del sitio Web:
http://tuning.unideusto.org/tuningal/index.php?option=com_docman&task=down&bid=47.
Página 267
UN ENFOQUE PARA LA ENSEÑANZA DE LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES EN EL PRIMER CICLO UNIVERSITARIO
Lucuy Suarez Fred Alberto, Dodera María Graciela, Ponce LauraVirginia
Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires - Argentina
[email protected] ; [email protected]
Nivel universitario
Palabras clave: Sistemas de ecuaciones lineales – visualización – compatibilidad parcial – inversa
generalizada
Resumen
El presente estudio consiste en una propuesta didáctica orientada a la enseñanza de Algebra en los primeros
cursos universitarios. La misma se apoya en una concepción de aprendizaje constructivo y significativo y consiste
en el tratamiento y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales a partir una adecuada visualización gráfica.
Pretende contribuir a una mayor comprensión del tema sistemas de ecuaciones lineales y, en particular, al
fortalecimiento del concepto ‘solución’.
En el trabajo se explicitan las condiciones para la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales en sistemas
compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles haciendo hincapié en las implicancias gráficas de
las mismas. El estudio se focaliza en el análisis de sistemas incompatibles. Se introduce el concepto de
compatibilidad parcial a un sistema incompatible de ecuaciones lineales y se detallan los métodos para alcanzar
la solución más cercana a la esperada u óptima mediante el uso de la matriz inversa generalizada, la proyección
ortogonal y el método de cuadrados mínimos. Se presenta además un ejemplo de aplicación.
Introducción
La resolución de problemas no sólo implica la aplicación de pasos estructurados y reglas sino la utilización de la
capacidad de análisis, síntesis, correlación y la observación-intuición.
Se debe considerar la visualización como apoyo al álgebra lineal, no sólo para volcar sus resultados de manera
gráfica, sino para afianzar conceptos y métodos matemáticos.
Hillel (1997), en un trabajo sobre nivel de descripción y nivel de representación en Algebra Lineal realizado con
alumnos universitarios, marca que las dificultades en el aprendizaje se centran en el contenido del tema teórico en
sí mismo y en las características del álgebra lineal. Señala además, la dificultad que tienen los alumnos en el
manejo del lenguaje de la teoría general (espacios vectoriales, subespacios, dimensión, operadores), del lenguaje
de la teoría específica en Rn (n-uplas, matices, determinantes, soluciones de sistemas de ecuaciones) y del
lenguaje geométrico en dos o tres dimensiones (vectores, rectas, planos, hiperplanos, proyecciones).
Página 268
Según Alsina Catalá, Fortuny y Burgués (1987), el referente geométrico en dos y tres dimensiones contribuye a la
formación del pensamiento visual. Por su parte, De Guzmán (2002) afirma que existe una correspondencia entre
la representación visual y los significados matemáticos (representación isomórfica).
Se observa que en la currícula de las escuelas de nivel secundario y de los primeros cursos universitarios se
prescinde en general del empleo de la geometría para interpretar las diferentes soluciones de los sistemas de
ecuaciones, impidiendo una visualización adecuada del conjunto solución en el plano y en el espacio.
Algunos autores, entre ellos Mallet (2007), proponen métodos de enseñanza de sistemas de ecuaciones lineales a
partir del uso de programas tales como Maple que permiten graficar las ecuaciones de manera de facilitar la
visualización del sistema propuesto y su correspondiente conjunto solución.
El presente trabajo consiste en una propuesta didáctica que introduce una estrategia para el tratamiento y
resolución de los sistemas de ecuaciones lineales a partir de una adecuada visualización gráfica. La misma está
orientada a alumnos de los primeros cursos universitarios de Algebra y se apoya en una concepción de
aprendizaje constructivo y significativo.
El estudio se focaliza en el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales incompatibles, cuyo tratamiento resulta
de mucha utilidad en áreas de optimización y programación dinámica.
Se presentan, en primer término, los criterios para la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales en
compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible, con su correspondiente interpretación
gráfica.
Se analiza en particular el caso incompatible. Se incorpora la noción de compatibilidad parcial, inversa
generalizada y proyección ortogonal para poder emplear una adecuada visualización geométrica que permita
encontrar soluciones aproximadas. Dichas soluciones presentan error y éste debe ser el menor posible, lo cual se
consigue aplicando el método de cuadrados mínimos –o equivalentemente, la proyección ortogonal– siendo el
mejor ajuste aquel que se adecue al contenido que la solución exige.
Por último, se da un ejemplo de aplicación de un sistema lineal incompatible en el cual se presentan dos formas
alternativas de resolución para encontrar una solución aproximada y se evalúa el error que se comete.
Clasificación de los sistemas lineales - Compatibilidad parcial
Las diferentes técnicas empleadas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales permiten encontrar por lo
general tres tipos de soluciones, respecto de las cuales dichos sistemas se clasifican como compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Al desarrollar tales técnicas, suele ocurrir que en la mayoría de los casos no se exige una interpretación
geométrica más amplia y adecuada del problema a resolver, y por tal motivo, se pierde información lo
suficientemente relevante, que impide compatibilizar las ecuaciones en forma parcial o total, para lograr una
solución determinística.
Al escribir un sistema de ecuaciones en su forma matricial (Grossman, 2008), se obtiene una ecuación del tipo:
Página 269
Ax = b
, A∈ R
m× n
, x∈R
El sistema tendrá solución siempre que el vector
n×1
, b∈R
m×1
(1)
b pertenezca al subespacio col( A) generado por vectores
columna {W1 , W 2 ,......., W k } linealmente independientes de la matriz original A , siendo
Si x 0 es solución única de (1) el vector
rg ( A) = k , k ≤ n .
b puede expresarse como una combinación lineal de la forma
k
b = ∑ x0 jW j , siendo k = n y x 0 j cada una de las componentes del vector x 0 .
j =1
Si el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones del tipo x 0 + λΦ , la combinación lineal se
[
]
b = ∑ x0 jW j + λ (ϕ jW j ) , con k < n y Φ = ∑ ϕ jW j = 0 . De esta forma la solución se puede
k
reduce a
k
j =1
j =1
expresar como una solución particular x 0 más la solución del homogéneo
Si el sistema es incompatible, el vector
λΦ .
b no podrá estar completamente generado por col( A) , y en cuyo caso el
rango de su matriz ampliada A será mayor que la dimensión del subespacio
,
vector
col( A) . A menos que dicho
b se encuentre íntegramente generado por el subespacio ortogonal al col( A) , existirá una compatibilidad
parcial debido a la proyección
πb,A
de dicho vector sobre el hiperplano generado por los vectores base de
col( A) , como se muestra en el esquema de la Fig.1:
b
ε
W2
W1
Ax
Fig. 1: Proyección del
vector b sobre el
subespacio generado por
el col ( A) , que
compatibiliza en forma
parcial el sistema
Ax = b
πb,A
Esta proyección permite definir el vector
r ( A)
ε
como
ε = b − A x ⇔ Ax = b − ε ⇔ b = Ax + ε
ε
(2)
representa el vector diferencia o residuo cuya norma se quiere anular o en el peor de los casos minimizar.
Página 270
Al extender la base de
vector
col( A) a {W1 ,W2 ,.......,Wk ,Wk +1 ,Wk + 2 ........Wm } para generar todo el espacio, el
b se expresa como:
k
b = ∑ α jW j +
j =1
m
∑α W
j = k +1
j
(3)
j
donde la primera sumatoria es la combinación lineal de vectores que generan la proyección del vector
b sobre
col( A) y la segunda sumatoria corresponde a la proyección del vector b sobre Nul ( A) .
Comparando las expresiones (2) y (3), se deduce que el vector diferencia o residuo
ε
está generado por
Nul ( A) , de dimensión m − k .
m − k = 0 es ε = 0 , el vector b está íntegramente generado por col( A) y por ende el
Cabe destacar que si
sistema planteado en (1) resulta compatible. En cambio, si
incompatible, a menos que la proyección del vector
m − k > 0 (ε ≠ 0) , el sistema (1) resulta
b sobre col( A) sea nula. En dicho caso es posible
encontrar una solución aproximada que compatibilice parcialmente al sistema dado en (1). La compatibilidad
parcial se optimiza proyectando el vector
vector diferencia o residuo
ε
b sobre col( A) en forma ortogonal pues esa proyección minimiza al
definido en la expresión (2).
Interesa encontrar la proyección ortogonal del vector
b sobre col( A) para el caso en que ambos no sean
ortogonales. Para ello se multiplica a izquierda la expresión central en (2) por la traspuesta de A obteniéndose:
A t A x = A t (b − ε )
donde At A resulta inversible (determinante no nulo) ya que el vector
pues el producto A
t
(4)
b no es ortogonal a col( A) , y A t ε = 0
ε es la proyección ortogonal del vector residuo ε sobre el subespacio generado por
col( A) .
Multiplicando a izquierda en (4) por la inversa de At A , se llega a la siguiente expresión para la solución x más
cercana a la esperada u óptima del sistema planteado en (1):
(
x = At A
(
t
La matriz A A
)
−1
)
−1
At b
(5)
At , que puede no ser única, se conoce como inversa generalizada de A o inversa de Moore-
Penrose o pseudoinversa (Rao y Mitra, 1971; Searle, 1982).
Cabe destacar que la solución óptima también se puede alcanzar en base al análisis estadístico, minimizando la
suma de los cuadrados de los errores SSE.
En efecto, a partir de la expresión (2), la suma de los cuadrados de las componentes del vector residuo (SSE)
resulta:
Página 271
(b − A x )t (b − A x ) = ε t ε = ∑ ε i2 = SSE
(6)
Luego de distribuir y agrupar convenientemente se obtiene:
x t A t A x − b t A x − x t A t b + b t b = SSE
(7)
Al desarrollar los productos matriciales en (7), se obtiene una expresión escalar que puede derivarse respecto de
las componentes xi del vector solución
(b A x )
t
t
x . Teniendo en cuenta que la matriz At A es siempre simétrica y que
= x t A t b , derivando la expresión (7) respecto de cada componente xi e igualando a cero, se obtiene
lo siguiente :
∂
(SSE ) = 0 ⇒ 2 A t A x − 2 At b = 0 ⇒ At A x = At (b − ε )
∂xi
(8)
t
Dado que A A resulta inversible, despejando de (8) se obtiene la expresión (5). Esta solución es la que optimiza
el vector solución
vector residuo
ε
x debido a que da un valor estacionario de ε t ε que corresponde al mínimo de la norma del
.
Ejemplo de aplicación
En este apartado se analiza un sistema de ecuaciones lineales incompatible.
En primer término se halla la solución más cercana a la esperada u óptima utilizando la proyección ortogonal
π b, A del vector b sobre col( A) , con el objetivo de minimizar la norma del vector ε , y luego se la obtiene
empleando el método de la inversa generalizada.
Dado el siguiente sistema lineal (Grossman, 2008) se procede a trabajar sobre él para clasificarlo y hallar el
conjunto solución:
⎛1 2
⎧ x1 + 2 x 2 = 0
⎛ 1 2⎞
⎛ 0⎞
⎜
⎜
⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟
⎪
⎨ 2 x1 + x 2 = 1 ⇒ ⎜ 2 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⇒ ⎜ 2 1
⎜1 1
⎪ x + x =1
⎜ 1 1 ⎟ ⎝ x2 ⎠ ⎜ 1 ⎟
2
⎩ 1
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
0⎞
⎟
1⎟
1 ⎟⎠
(9)
Una vez triangulado el sistema se clasifica como incompatible de acuerdo con la matriz ampliada equivalente
obtenida:
⎛1 0
⎜
⎜0 1
⎜0 0
⎝
23 ⎞
⎟
− 1 3⎟
2 3 ⎟⎠
Página 272
⎛0⎞
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
El vector b = ⎜ 1 ⎟ no se puede escribir como combinación lineal de los vectores W1 = ⎜ 2 ⎟ y W2 = ⎜ 1 ⎟ ,
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
vectores linealmente independientes que generan
col( A) .
Se extiende la base a R de forma tal que el nuevo vector W3 sea ortogonal a
3
optimizar la solución.
Planteando la condición de ortogonalidad W3 .
[α W
t
1
col( A) , con la finalidad de
]
+ β W2t = 0 y considerando que dicha condición se
⎛ 1 1 ⎞
, − , 1⎟ .
⎝ 3 3 ⎠
debe verificar ∀ α , β no simultáneamente nulos, se obtiene W3 = δ ⎜ −
t
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
3
Se elige, sin perder generalidad, W3 = ⎜ 1 ⎟ para completar la base de R .
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
Escribiendo
b como combinación lineal de los vectores W1 ,W2 y W3 , la expresión (3) se reduce a
⎛2 ⎞
⎛− 2 ⎞
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ 11⎟
⎜
⎟
11
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
8
3
13
−
2
−
b = ⎜1⎟ =
2 +
1 +
1
=
+ ⎜− 2 ⎟
11⎜ ⎟
11 ⎜ ⎟
11 ⎜ ⎟
11⎟
⎜
⎜ 11⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ − 3⎟
5
⎜
⎟
⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ 11 ⎠
⎝ 11 ⎠
(
)
(
)
Como resultado de la proyección ortogonal, y de acuerdo a la Fig.1,
vectores proyección
π b, A
⎛ 2 11 ⎞
⎛ − 2 11⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
= ⎜13 11⎟ y residuo ε = ⎜ − 2 11⎟ .
⎜ 5 11 ⎟
⎜ 6 11 ⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
En consecuencia, el sistema incompatible
Ax = b se puede expresar como
Ax = π b , A + ε
Debido a que
π b, A
b se puede escribir como suma de los
es combinación lineal de los vectores
(10)
W1 y W2 , que generan col( A) , el sistema
⎛ 2 11 ⎞
⎛ 1 2⎞
⎟
⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜
⎜
⎜ 2 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜13 11⎟
⎜ 1 1 ⎟ ⎝ x 2 ⎠ ⎜ 5 11 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
resulta compatible.
Página 273
⎛ 1 2 | 2 11 ⎞
⎜
⎟
Al triangular la matriz ampliada ⎜ 2 1 |13 11⎟ se obtiene
⎜ 1 1 | 5 11 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 0 | 8 11 ⎞
⎜
⎟ ⎧ x1 = 8 11
, siendo el
⎜ 0 1 | − 3 11⎟ ⇒ ⎨
⎜ 0 0 | 0 ⎟ ⎩ x 2 = − 3 11
⎝
⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ 8 11 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ es la solución del sistema Ax = π b , A .
⎝ x 2 ⎠ ⎝ − 3 11⎠
vector
Dicha solución, por ser la que deriva de la proyección ortogonal de
b sobre col( A) , determina la
compatibilidad parcial óptima del sistema incompatible en cuestión. La solución más aproximada u óptima del
⎛ − 2 11⎞
⎟
⎜
⎛ x1 ⎞ ⎛ 8 11 ⎞
⎟⎟ , y el vector residuo resulta ε = ⎜ − 2 11⎟ .
sistema dado es pues ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ x 2 ⎠ ⎝ − 3 11⎠
⎜ 6 11 ⎟
⎠
⎝
Es posible llegar en forma más directa al mismo resultado utilizando el método matricial referido a la inversa
generalizada de la expresión (5). Reemplazando las matrices adecuadas en (4) se obtiene:
⎛ 0⎞
⎛1 2⎞
⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟
⎛ 1 2 1⎞ ⎜
⎟⎟ ⎜ 1 ⎟
⎟⎟ ⎜ 2 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎝ 2 1 1⎠ ⎜ 1 1 ⎟ ⎝ x 2 ⎠ ⎝ 2 1 1⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎠
⎝
=>
⎛ 0⎞
⎛ 6 5 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟
⎟⎟ ⎜ 1 ⎟ .
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎝ 5 6 ⎠ ⎝ x 2 ⎠ ⎝ 2 1 1⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
Al multiplicar a izquierda esta última expresión por la matriz inversa, resulta
⎛0⎞
⎛ 0⎞
−1
⎛ x1 ⎞ ⎛ 6 5 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛⎜ 611 − 511⎞⎟ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟ ⎜ 1 ⎟ ,
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜ 1 ⎟ =
⎝ x2 ⎠ ⎝ 5 6 ⎠ ⎝ 2 1 1⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎜⎝ − 511 611 ⎟⎠ ⎝ 2 1 1⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛⎜ − 411 711 111⎞⎟ ⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜1⎟ =
⎝ x 2 ⎠ ⎜⎝ 711 − 411 111⎟⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
es decir
7
1 ⎞
⎛− 4
11
11
11⎟ = A t A
⎜ 7
−4
1 ⎟
11 11⎠
⎝ 11
donde ⎜
(
)
−1
⎛ 8 11⎞
⎟⎟ ,
⎜⎜
⎝ − 3 11⎠
A t es la inversa generalizada de la matriz A .
Por su parte, el vector residuo se puede obtener de acuerdo a la expresión (2) mediante:
⎛ 0 ⎞ ⎛ 2 11 ⎞ ⎛ − 2 11⎞
⎛ 0⎞ ⎛ 1 2⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎛ 8 11⎞ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟ − ⎜13 11⎟ = ⎜ − 2 11⎟
ε = b − A x = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 1 ⎟ ⎜⎜
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎝ − 3 11⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 11 ⎟ ⎜ 6 11 ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝
Página 274
Conclusiones y perspectivas
En el área de Ciencias Económicas e Ingeniería, entre otras, se presentan datos experimentales y es altamente
probable que al plasmar un problema o diseño en lenguaje algebraico y proceder a su resolución resulte un
sistema incompatible. Aunque dichos sistemas no admitan una solución determinística, resulta de mucha utilidad
encontrar al menos aquella solución más cercana a la esperada u óptima.
A tal fin, en el presente trabajo se trabaja con la noción de compatibilidad parcial e inversa generalizada para
poder emplear una adecuada visualización geométrica que permita encontrar soluciones aproximadas. Dichas
soluciones presentan error y éste debe ser el menor posible, lo cual se consigue aplicando el método de cuadrados
mínimos –o equivalentemente, la proyección ortogonal– siendo el mejor ajuste aquel que se adecue al contenido
que la solución exige.
Si bien, esta propuesta didáctica carece de resultados experimentales que permitan avalar la inclusión de esta
metodología (será el objetivo de futuros trabajos), la misma intenta proporcionar un enfoque alternativo que
contribuya a una mejor comprensión de los sistemas de ecuaciones lineales y, en particular, al fortalecimiento del
concepto ‘solución’.
Bibliografía
Alsina Catalá C. y Fortuny J. y Burgués C. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. (Ed), Madrid:
Síntesis.
De Guzmán M. (2002). La experiencia de descubrir en geometría.(Ed), Madrid: Nivola.
Hillel J. (1997). Des niveaux de description et du problème de la represéntation en algèbre linéaire. In J,L.
Dorier (ed.) L’Enseignement de l’Alg̀ebre Linéaire en Question, Panorama de Recherche en Didactique sur
ce Thème , pp.231-247. (Ed). Grenoble, France: La pensée sauvage
Mallet D.G. (2007). Multiple representations for systems of linear equations via the Computer Algebra System
Maple. Vol.2 No.1, pp.17-31. International Electronic Journal of Mathematics Education.
Rao C.R. y Mitra S.K. (1971), Generalized inverse of matrices and its applications. (Ed), New York-LondonSydney: John Wiley & Sons.
Searle S.R. (1982). Matrix algebra useful for statistics, Wiley Series in Probability and Statistics. (Ed). New
York, USA.:John Wiley & Sons.
Grossman S.I., (2008), Algebra Lineal. (ED). Mc Graw Hill.
Página 275
En la era del hipertexto se necesitan los textos.
Sonia Pastorelli; Ana Kozak
Universidad Tecnológica Nacional. ARGENTINA;
[email protected]
Nivel: Terciario y Universitario
Palabras claves: Textos – Currículo - Álgebra – Geometría Analítica.
Resumen
El vertiginoso avance científico y tecnológico producido en el siglo XX ha obligado a rever contenidos,
aplicaciones, recursos y formas de enseñar en las carreras de ingeniería. Obviamente ya no se puede formar con
la metodología del siglo pasado. Seleccionar contenidos, priorizando los conceptuales y aquellos con alta utilidad
práctica es esencial si se pretende formar ingenieros que posean una adecuada formación tanto teórica como
práctica.
La apuesta de la Universidad Tecnológica Nacional de la Argentina fue reorganizar contenidos y asignaturas
para formar ingenieros con planes de estudio de 5 años. Esto no significa que se eliminaran contenidos, sino por
el contrario muchos se han incorporado, algunos que tradicionalmente se desarrollaban en postgrados (tal como
matriz seudoinversa; ahora contenido de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica). Estas inclusiones se
soportan en un diseño que propone una enseñanza de la matemática motivada y no axiomática; que potencie la
autogestión de los conocimientos a partir de problemas de ingeniería.
El mayor problema al que nos enfrentamos los docentes de Álgebra y Geometría Analítica es la falta de un texto
que sea compatible con estilo aprendizaje, tiempos académicos y contenidos. La investigación, selección de
materiales y el aprendizaje autogestivo en alumnos del primer nivel de una carrera universitaria
desafortunadamente es una quimera.
La Universidad concluyó que contar con un libro de texto posibilitaría cumplir con el ajustado cronograma de la
amplia asignatura, texto que fue editado a través de un convenio con la editorial Mc Graw Hill y que fue bien
recibido por la comunidad educativa.
Introducción.
El vertiginoso avance científico y tecnológico producido en el siglo XX ha obligado a rever contenidos,
aplicaciones, recursos y formas de enseñar en las carreras de ingeniería.
Obviamente ya no se puede formar con la metodología del siglo pasado. Seleccionar conocimientos, priorizando
los conceptuales y aquellos con alta utilidad práctica es esencial si se pretende formar ingenieros que posean una
adecuada formación tanto teórica como práctica.
La apuesta de la Universidad Tecnológica Nacional de la Argentina fue reorganizar contenidos y asignaturas
para formar ingenieros con planes de estudio de 5 años. Esto no significa que se eliminaran conceptos, sino por
el contrario muchos se han incorporado, algunos que tradicionalmente se desarrollaban en postgrados (tal como
matriz seudoinversa; ahora contenido de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica).
Estos profundos cambios se soportan en un diseño que propone una enseñanza de la matemática motivada y no
axiomática; que potencia la autogestión de los conocimientos a partir de problemas de ingeniería. Tal como dice
el diseño curricular el estudiante debe formarse como pensador de los problemas básicos que dan origen a su
carrera, enfrentándose a ellos, integrando teoría y práctica al modo del trabajo profesional (en
Resolución N° 68/94 del Consejo Superior Universitario de la Universidad Tecnológica Nacional, denominada
Parte Homogénea del Diseño Curricular de Carreras de Grado en la Universidad Tecnológica Nacional).
Las reformas de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica.
Es indudable que las reformas del diseño curricular a esta materia del primer nivel fueron cuidadosamente
Página 276
estudiadas y reflexivas. Tal como expresa el autor Grossman (contratapa, 1996) “El álgebra lineal en espacios
n-dimensionales es una materia que tradicionalmente se impartía en licenciaturas donde es necesaria una
formación matemática y física; sin embargo, el rápido desarrollo de las computadoras de alta velocidad ha
obligado a que disciplinas como administración, economía y ciencias sociales, entre otras, incorporen esta rama
a sus cursos”. De allí que se innove incorporando contenido tales como “noción de los cuadrados mínimos en
estudio de los sistemas lineales” y “matriz pseudoinversa”. Estos conceptos
permiten resolver problemas
medulares del futuro profesional, tales como obtener soluciones aproximadas a problemas cuyo planteo
matemático deviene de un sistema de ecuaciones lineales incompatible. Luego la comunidad de docentes de
matemática se ha enfrentado al objetivo de bajar contenidos a niveles en los que tradicionalmente no se
impartían.
El diseño propone además una la enseñanza de la matemática debe ser motivada y no axiomática y que la
práctica debe ser resuelta con softwares especializados. Desarrollar estos tópicos mostrando su utilidad práctica
a través de la resolución de problemas de interés del futuro profesional facilita la aprehensión de los mismos. Los
tediosos cálculos pueden ser simplificados y algoritmizados usando softwares matemáticos.
La inclusión de contenidos ausentes en libros de textos (a los cuales los estudiantes de primer año de ingeniería
pudieran acceder con una lectura comprensiva) no es el único problema al que se debieron enfrentar los docentes
de Álgebra y Geometría Analítica.
Ya el nombre de la asignatura denota que la misma reúne dos ramas de la matemática que tradicionalmente se
tratan por separado, lo que implicaría deber adoptar al menos dos libros de cátedra.
Sumado a esto esta asignatura se da en paralelo con Física que necesita desde el inicio de la cursada los
estudiantes
comprendan conceptos tales como vectores geométricos en espacios bidimensionales y
tridimensionales.
Uno de los recursos para sortear estas cuestiones es que el docente preseleccione un conjunto de textos y/o que
los estudiantes investiguen otros en distintos medios, autogestionando su material de estudio. Esta habilidad, si
bien muy ambicionada en la formación de un profesional, es quizás una actividad demasiado tempana para los
estudiantes recién egresado del nivel medio y muchas veces no deja de ser una quimera.
La transición de la escuela media a la universidad ya requiere de considerables esfuerzo por parte de los jóvenes.
Habituarse a los nuevos niveles de exigencia -en cuanto a horas y técnicas de estudio-, insertarse en un medio
que exige habilidades y competencias sociales - tales trabajar en grupo, desarrollo de proyectos, etc.- son
dificultades a las que se enfrenta un ingresante.
Consideramos inadecuado agregar a éstas, la necesidad de seleccionar un material de estudio de un conjunto que
contiene lenguaje simbólico y enfoques teóricos o prácticos disímiles o que necesita de conocimientos previos
que el lector es carente (y del cual muchas veces ni siquiera es conciente). Enfrentarlo a necesidad de cumplir una
tarea para la cual no está preparado (elegir un libro académico) puede ser una razón que contribuya a la
deserción temprana.
Somos concientes y abogamos para que el saber seleccionar el material de estudio sea una habilidad que el
Página 277
estudiante adquiera a lo largo de la cursada de su carrera.
El libro de texto.
Coincidimos con Diaz Pardo (2007) en que el libro de texto no es un medio más entre los restantes materiales
curriculares. A diferencia de los demás, no se diseña para que sea útil en situaciones específicas y puntuales de la
enseñanza, sino que es un recurso con suficiente potencial para ser usado a lo largo de todo el curso. Además, es
un recurso decisivo para traducir el currículo oficial y mediar entre éste y los profesores y en él se encuentran
aspectos valiosos para el docente como los objetivos, la metodología, propuestas de actividades y modelos de
evaluación, además de los contenidos de la materia.
Es por ello que en un esfuerzo conjunto de varias Facultades Regionales de la Universidad Tecnológica
Nacional, algunos docentes nos dedicamos a la tarea de redactar un texto que se pudiera constituirse en el libro
de cátedra de las asignaturas Álgebra y Geometría Analítica y Álgebra de las distintas de carreras que se cursan
en ella (en su mayoría ingenierías). Esto fue posible a través de un convenio entre la Secretaría Académica del
Rectorado de la Universidad y la editorial Mc Graw Hill. La Regional Avellaneda tomó la iniciativa de coordinar
el texto, y una de sus tareas fue seleccionar a los tres autores (Kozak de la Regional Avellaneda, Pastorelli de la
de Regional Rafaela y Vardanega de la Regional Buenos Aires). Cada uno de ellos
pudo elegir al menos un
colaborador que ayudara en la propuesta y resolución de ejercicios, y que a su vez se convirtiera en el primer
crítico y consejero en la organización del texto.
Obviamente los contenidos tratados son los preestablecidos por el diseño curricular. Así, el primer paso fue
pautar entre los autores la organización de los mismos. En ellos se tuvo en cuenta las características especiales de
los diseños de las carreras de la Universidad Tecnológica (por ejemplo la ya mencionada necesidad de comenzar
por el estudio de los vectores geométricos). Así se organizaron los contenidos de la siguiente forma:
• Capítulo 1. Álgebra vectorial
• Capítulo 2. Rectas y planos
• Capítulo 3. Secciones cónicas
• Capítulo 4. Superficies
• Capítulo 5. Sistemas de ecuaciones lineales
• Capítulo 6. Matrices
• Capítulo 7. Determinantes
• Capítulo 8. Espacios vectoriales
• Capítulo 9. Transformaciones lineales
• Capítulo 10.Autovalores y autovectores
• Capítulo 11.Números complejos
El segundo paso fue consensuar un modelo pedagógico, obviamente respetando el currículo. Recordando que
éste en la resolución N° 68/94 del Consejo Superior de la UTN propone que “el estudiante debe formarse como
pensador de los problemas básicos que dan origen a su carrera, enfrentándose a ellos, integrando teoría y
Página 278
práctica al modo del trabajo profesional”, se decidió comenzar cada unidad con un problema que usara los
contenidos desarrollados en la misma y los integrara a otros desarrollados en capítulos anteriores o en asignaturas
de cursada paralela, y que además dieran cuenta tanto de la necesidad del estudio de los conceptos como de los
problemas sustanciales que a través de los mismos se solucionan.
Así por ejemplo la unicidad de la solución de un sistema lineal normal fue utilizada como motivadora del estudio
de la función determinante. Determinar los esfuerzos en las patas de una grúa para los distintos estados de cargas
es un problema que se propone resolver luego de la lectura comprensiva del capítulo (ver como ejemplo, la figura
1).
Figura 1: página 381 del texto
La próxima decisión fue distribuir tareas (cada autor se hizo cargo de algunas unidades), pautando el tratamiento,
simbología de aquellos que se relacionan., cantidad de problemas y ejercicios (desarrollados y propuestos),
Página 279
estilos de representaciones gráficas que ayudan en la comprensión de los contenidos y en la construcción de
diferentes nociones, etc.
Por supuesto que el material, si bien concebido por separado, fue revisado y
compaginado globalmente. La comunicación fluida entre los autores a medida que se desarrollaba el texto
permitió resolver esta tarea en solo tres meses.
La revisión final y el diseño visual estuvieron a cargo de la editorial, siendo su editora Verónica Rosas. El texto
se tituló Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal y estuvo en librería en marzos del 2007, a sólo seis
meses de iniciada la tarea.
Figura 2: portada del texto.
Algunos logros y líneas futuras.
Area Moreira (1998) expresa que los libros de texto son el material impreso más importante y extendido en la
enseñanza. Son los libros más idiosincrásicos del mundo educativo y específicamente escritos con una finalidad
exclusivamente pedagógica. En pocas palabras podemos afirmar que se caracterizan por presentar los principios o
aspectos básicos de un tema, área o disciplina para los alumnos de un nivel educativo concreto con el fin de que
se conviertan en la base del desarrollo de la enseñanza en el aula. Se puede decir que este tipo de libros es un plan
completo para la enseñanza de un área y/o nivel educativo específico. Son libros muy estructurados, en los que se
presenta el contenido seleccionado y organizado en un nivel de elaboración pertinente a sus destinatarios junto
con las actividades y ejercicios adecuados para el logro de objetivos de aprendizaje. Si bien no creemos haber
logrado este acometido, pensamos que estamos transitando el camino a él. Así el comentario de un alumno
extraído de la página de internet de la librería cúspide dice: “Muy buen libro, explica claramente todo el
programa de álgebra de la UTN”. Otro logro es que otras universidades lo hayan adoptado como libro de cátedra
(tal como la Universidad de Belgrano lo hizo para el primer semestre del 2008).
Otro de los puntos favorable es poder contar con una pagina de Internet, donde en el enlace “Centro de
estudiante” se puede incluir resultados de los ejercicios que por razones de espacio no se incluyeran en la primer
edición, resoluciones de ejercicios, inclusión de nuevos ejemplos y hasta una fe de errata.
Página 280
Consideraciones finales.
La realidad educativa actual nos obliga a actualizar los conceptos de los distintos elementos que intervienen en la
práctica docente y, en este caso, concreto, reflexionar sobre el diseño y elaboración de los materiales curriculares.
Estudios realizados por Jiménez Llanos y Cabrera Pérez (1999) confirman que los profesores de todos los
niveles siguen siendo altamente dependientes de la tecnología impresa. Ni el auge de las nuevas tecnologías, ni
tan siquiera el transcurrir del tiempo han logrado erradicar esta tendencia.
En la universidad, el uso de materiales elaborados por el profesor puede considerarse característico. También es
propio aquí el uso de un sólo libro de texto, aunque estudios han mostrado que la selección del libros de texto
entre varios texto (incluso otros materiales) suele ser responsabilidad compartida entre docentes y estudiantes.
Es así que este texto pretende ser un aporte más para facilitar el inicio de una carrera universitaria a nuestros
alumnos, quienes tendrán la tarea final de seleccionar los contenidos desde el o los materiales donde se les
presenten con mayor claridad.
Finalmente, coincidiendo con Díaz Pardo (2007) opinamos que si bien el libro de texto es una herramienta
fundamental e imprescindible en la enseñanza, ha de ser compatibilizado su uso con otros materiales que
favorezcan el aprendizaje de nuevos contenidos y capacidades.
Area Moreira, M. (1998). Los medios y materiales impresos en el currículum en Sancho Gil, J. M: Para una
Tecnología Educativa, Barcelona, Horsori, pp. 85-114.
Díaz Pardo (2007, Nº 6). Presente y futuro de los materiales curriculares. Avances en Supervisión Educativa,
ISSN: 1885-0286. Extraído en www.adide.org/revista
Grossman, S. (1996). Álgebra Lineal. 5º Edición. Editorial McGraw-Hill. México.
Jiménez Llanos A.; Cabrera Pérez L. (1999). Aproximación a las teorías implícitas del profesorado de educación
infantil y primaria, secundaria y superior sobre los medios de enseñanza. En Revista Píxel-Bit. Nº 13.
Universidad de Sevilla. España, 1999. I.S.S.N.: 1133-8482. pp. 25-30
Kozak, A.,Pastorelli, S. y Vardanega P.. (2007). Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. Buenos
Aires: McGraw-Hill.
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LAS NTICS Y LOS PROYECTOS GRUPALES: TRABAJO COLABORATIVO DE
DOCENTES Y ESTUDIANTES.
Sonia Pastorelli ; Humberto Pampiglioni; Lilian Cadoche (*); Matias Gareli Fabrizi
Facultad Regional Santa Fe, Univ. Tecnológica Nacional. ARGENTINA;
(*) Facultad de Ciencias Veterinarias, Universidad Nacional del Litoral ARGENTINA;
[email protected]
Nivel : EGB3, Polimodal y/o universitario
Palabras claves: matemática – simulaciones- sonidos – Ntic´s
Resumen
Cooperar significa trabajar juntos para alcanzar objetivos compartidos.
Los proyectos usando NTICs constituyen hoy un medio importante en la enseñanza de la matemática; no sólo por
las potencialidades que presentan sino por el interés que desata en los jóvenes. En el 2003 el National Council of
Teachers of Mathematics (NCTM) expresa que la tecnología es una herramienta básica para la enseñanza y el
aprendizaje efectivo; amplía los contenidos que se pueden enseñar y mejoran el aprendizaje.
Los desarrollos de proyectos grupales en colaboración con los docentes, usando Sistemas Algebraicos de
Cómputos (SAC) permiten a los estudiantes ser testigos de desempeños modelos tanto por parte de expertos
como de otros estudiantes.
El desarrollo de proyectos donde en cada etapa se deben superar los anteriores permiten al docente reconocer los
desempeños alcanzados y andamiar los siguientes. En este taller se desarrollaran actividades que emulan en
trabajo con un grupo de estudiantes en donde se utilizan los sonidos y simulaciones generados por un SAC como
recurso didáctico para promover experiencias de aprendizaje significativas e estimulantes para los alumnos, a la
vez que les ayuda a potenciar la comprensión de los conceptos objeto de estudio (desde las mas sencillos
funciones trigonométricas periódicas y no periódicas hasta los mas complejos serie de Fourier).
El objetivo final de este taller de 4 horas de duración será generar una composición musical y justificar la forma
en que un órgano electrónico genera los sonidos o como se almacenan los mismos en un disco compacto.
Introducción.
los demás.
Los alumnos sienten que pueden alcanzar sus objetivos de aprendizaje sólo si los demás integrantes
de su grupo también los alcanzan (Johnson, 1999).
En octubre de 2003 el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publica el documento “The Use of
Technology in the Learning and Teaching of Mathematics”. Este expresa que la tecnología es una herramienta
básica para la enseñanza y el aprendizaje efectivos de las matemáticas; amplía las matemáticas que se pueden
enseñar y mejoran el aprendizaje de los estudiantes. El documento se explaya aclarando que las nuevas
tecnologías ayudan en la recolección, la organización, el tratamiento y el análisis de datos. Proporcionan
visualizaciones convenientes, exactas, y dinámicas. Con tales herramientas los estudiantes pueden ampliar la
gama y la calidad de sus investigaciones matemáticas y encontrar ideas matemáticas en ajustes más realistas. Las
animaciones y/o representaciones de fenómenos realizados a través del uso de sistemas algebraicos de cómputos
Página 282
conjugan la riqueza de la observación experimental de los fenómenos con la facilidad de la presentación de los
mismos.
No es nueva la idea de que la observación de los fenómenos físicos facilita la comprensión de los conceptos
matemáticos que los describen. Ya Arquímedes explicaba que a través de observaciones lograba comprender
resultados, los que luego debía demostrar formalmente. Aclaraba que, si bien el hecho no se explicaba en sí
mismo por sola observación, es más fácil poder ofrecer una razón luego de haberlo comprendido, que intentar
hacerlo sin ningún conocimiento previo.
Por otro lado, la Enseñanza para la Comprensión (EpC, Blythe (1999), Stone Wiske(1999); marco conceptual
desarrollado por la Escuela de Graduados de Educación de Harvard cuyos exponentes máximos son Perkins,
Gardner y Perrone; postula la valoración diagnóstica continua de desempeños de comprensión como uno de los
pilares básicos de la educación.
Los desarrollos de proyectos grupales en colaboración con los docentes, usando Sistemas Algebraicos de
Cómputos (SAC) permiten a los estudiantes ser testigos de desempeños modelos tanto por parte de expertos
como de otros estudiantes. Pueden analizar y criticar estos desempeños ejemplares según criterios tendientes a
comprender qué entraña un desempeño bien hecho. Los estudiantes emulan estos modelos y el aprendizaje
avanza por medio de la valoración del desempeño propio y de los otros en relación con criterios claros. De esta
manera, la evaluación diagnóstica refuerza a la vez que evalúa el aprendizaje.
Las evaluaciones continuas se basan en criterios públicos, relevantes y explícitos y se realizan a menudo, desde el
principio de una secuencia curricular, hasta su fin y se realizan conjuntamente con cada desempeño significativo
de comprensión. Estas evaluaciones se orientan hacia los próximos pasos y se remontan a controlar y evaluar el
avance realizado, de modo que los alumnos, no sólo pueden saber cómo han cumplido un desempeño, sino
también, cómo pueden mejorarlos.
El desarrollo de proyectos donde en cada etapa se deben superar los anteriores permiten al docente reconocer los
desempeños alcanzados y andamiar los siguientes. En el desarrollo de cada etapa del proyecto el docente es un
guía que propicia nuevos desempeños de comprensión.
La exp er ien c ia con los e st ud iante s.
En este taller (dirigidos a los participantes del congreso) se desarrollarán las actividades que emulan el trabajo
con nuestros estudiantes. En los talleres con nuestros alumnos se utilizan los sonidos y simulaciones generados
por un SAC como recurso didáctico para promover experiencias de aprendizaje significativas e estimulantes, a la
vez que les ayuda a potenciar la comprensión de los conceptos objeto de estudio (desde los mas sencillos tales
como funciones trigonométricas periódicas y no periódicas hasta los mas complejos tal como la utilidad de las
series de Fourier).
Las actividades de este taller han sido desarrolladas con dos grupos de alumnos distintos de la facultad Regional
Santa Fe de la Universidad Tecnológica Nacional
Página 283
•
Estudiantes del tercer año de ingeniería (mecánica, civil, industrial y eléctrica) en la cátedra Cálculo
Avanzado; donde el objetivo es reconocer usos tecnológicos del desarrollo en series trigonométricas de
Fourier.
•
Aspirantes al ingreso a la universidad, donde los sonidos se utilizaron como favorecedores de la
comprensión del tópico período y amplitud de funciones trigonométricas.
Objetivo del ta ller
El objetivo final en ambos casos del taller de 4 horas de duración fue generar una composición musical y
justificar la forma en que un órgano electrónico genera los sonidos o como se almacenan los mismos en un disco
compacto.
Obviamente los contenidos conceptuales son distintos en ambos grupos pero en ambos el motor de la experiencia
es desatar el interés de los alumnos en las aplicaciones tecnológicas de los conceptos matemáticos.
E l t ra t a m ien t o d e lo s con t e ni do s .
Se trabaja con materiales generados por integrantes (docentes y becarios) del proyecto de investigación “Uso
pedagógico de las NTICs para mejorar la comprensión del Cálculo”, el cual tiene por objetivo el diseño, uso y
evaluación de materiales didácticos que, adaptados a los conocimientos previos de los alumnos y a sus intereses
y motivaciones propendan al logro de buenos desempeños de comprensión.
Estos materiales tienen formato de archivo electrónico generados bajo el software Mathematica 5.1
En el siguiente cuadro (figura 1) se esquematiza el desarrollo de los contenidos durante el taller con el grupo de
Cálculo Avanzado.
Repaso de funciones trigonométricas.
Objetivo: Conocer la
sintaxis del sofware a la vez que se
caracterizan las gráficas de y = g ( x) a sen( b x )
Caracterización
de
Determinación de una Serie de Fourier.
un órgano musical.
Objetivo: Confrontar similitudes y diferencias entre la gráfica de
Objetivo: Mostrar un
f(x) y las distintas sumas parciales de la serie de Fourier. Analizar
uso
convergencia, derivabilidad y fenómeno Gibbs.
conocimiento
tecnológico
del
matemático
Generación de sonidos con matemática
Objetivo: Confrontar similitudes y diferencias entre la gráfica de
f(x) y las distintas sumas parciales de la serie de Fourier,
Página 284
Figura 1: Esquema de trabajo en el laboratorio
Luego de una primera etapa donde se repasa la sintaxis del software a través de las generaciones de las gráficas
y = sen ( k x ) ; y = k sen ( x ) y y = g ( x ) sen ( x ) , se utilizan las series de Fourier para generar una onda
triangular y una cuadrada.
En esta segunda fase se analizan los algoritmos presentes en el archivo y que determinan sumas parciales de
serie correspondientes a una onda cuadrada y a una triangular. Las animaciones confrontan las similitudes y
diferencias entre las gráficas de éstas y las de la función periódica correspondiente (ver Figura 2. y 3).
Estos ejemplos dan pie para analizar condiciones de convergencia, contrastar la derivabilidad de la serie con la de
la función, así como para la visualización del paradójico efecto Gibbs.
Fig
ura 2: Onda triangular y sumas parciales de orden n de la Serie de Fourier.
Página 285
Fig
ura 3: Onda triangular y sumas parciales de orden n de la Serie de Fourier.
También se contrastan las diferencias en los desarrollos de medio rango usando las distintas series (de senos o de
cosenos, ver figura 4).
x
Figura 4: Desarrollo en medio rango de la función y = e en [0;1].
Finalmente, en el tercer bloque de archivos, se utilizan los sonidos generados por Mathematica para analizar las
Página 286
tres componentes del mismo: altura, intensidad y timbre (este último relacionado a los contenidos tratados, ya
que se relacionan con la forma de la onda).
Utilizando un archivo de diapositivas se realiza una breve introducción de los principios físicos que genera el
sonido (ver figura 5).
Figura 5: sonido generado por un diapasón.
La función Play del software Mathematica permite generar sonidos con distintas frecuencias, amplitudes y
formas de ondas (ver figura 6, 7 y 8 ).
Figura 6: Entrada y Salida que genera un sonido con distinta intensidad (armónica con frecuencia 440)
Página 287
Figura 7: Entrada y Salida que genera un sonido con distintos tonos (escala musical).
Finalmente, para posibilitar mejores desempeños de comprensión se solicita a los participantes que descubran los
efectos de los distintos tipos de teclas de un órgano eléctrico, analizado desde la visión matemática.
Figura 8: Sonidos con distintos timbres (de igual amplitud y frecuencia).
Algunos resultados.
Se han valorizado los laboratorios a través de encuestas a los alumnos que participaron en las experiencias.
Página 288
Descubrimos que los sonidos y simulaciones permiten experiencias de aprendizaje significativas e estimulantes
para los alumnos, a la vez que les ayuda a potenciar la comprensión de los conceptos objeto de estudio.
Las expresiones de algunos estudiantes resumen quizás el pensamiento común de éstos. Lucio manifestó “Con
la computadora se ve mejor, no es que se aprenda más, pero si más rápido. Seguramente, cuando me pusiera a
estudiar para rendirlo lo iba a entender igual, pero así, en una clase, comprendí más rápido y mejor, digamos que
costó menos”. Raúl dice “Todo lo que entra por los ojos, dura más en la cabeza. Seguramente en unos años no
me voy a acordar del tema de las integrales que determinan los coeficientes, pero casi seguro que voy a saber
para qué usar estas series”. María dice “Una experiencia agradable y útil. A veces uno piensa que entendió sólo
porque supo resolver las integrales”. Fernando expresa “Además de entender cosas básicas, que no las tenía
claras, aprendí algo de como funciona el sonido. Entendí algunos principios tecnológicos, cosa que nunca me
puse a pensar. Uno escucha que mandaron a analizar la voz para saber si era de un tipo, pero no sabía con que
principio lo hacían”.
Uno de los aspectos importantes a resaltar en esta experiencia es la integración obtenida entre pedagogía y
tecnología para la enseñanza de conceptos matemáticos que son abstractos y que los alumnos, por si mismos no
relacionan con su entorno.
Blythe, T. y colaboradores. et al (1999). La enseñanza para la comprensión. Guía para el docente. Buenos
Aires: Editorial Paidós.
Johnson, D. W. , Johnson, R.T. y Holubec , E.J. (1999): El aprendizaje cooperativo en el aula. (1º edic.).
Buenos Aires: Editorial Paidos.
Stone Wiske, M.. (comp.). (1999). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y
la práctica. Buenos Aires: Editorial Paidós.
NCTM: National Council of Teachers of Mathematics (2003). The Use of Technology in the Learning and
Teaching of Mathematics. Disponible en: http://www.nctm.org
Página 289
VARIABLES RELEVANTES PARA ESTUDIAR EL GRADO DE DESARROLLO DE
LAS HABILIDADES MATEMATICAS
Villalonga de García, P.; González de Galindo, S.; Marcilla, M. y Mercau de Sancho, S.
Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia – Universidad Nacional de Tucumán – Argentina
Email: [email protected] ; [email protected]
Nivel Educativo: Universitario
PALABRAS CLAVE: evaluación, habilidades matemáticas, prueba de papel y lápiz, objeto modelo.
0H
H
H1
H
Resumen
Este trabajo es un avance del Proyecto “Metodologías de enseñanza y evaluación que favorecen aprendizajes
significativos para cursos masivos de primer año de una facultad de Ciencias” del Consejo de Investigaciones de
la Universidad Nacional de Tucumán. Este Proyecto tuvo como objetivo diseñar e implementar una estrategia
didáctica superadora de las clases vigentes de tipo magistral, desarrolladas en las clases de Matemática 1
(asignatura de primer año). La estrategia se diseñó a partir de criterios para la enseñanza y la evaluación de los
aprendizajes, derivados de teorías cognitivas. Se la implementó en el año 2006, habiéndose elaborado un material
instruccional en el que se desarrollaron tópicos relativos al tema Continuidad de una función.
El objetivo de este artículo fue construir el objeto modelo, para estudiar el grado de desarrollo de ciertas
habilidades generales del quehacer matemático, alcanzado por los alumnos al realizar actividades evaluativas
sobre los contenidos seleccionados. El marco teórico de referencia fue elaborado a partir de principios de
Brousseau y de seguidores de la Escuela Histórico Cultural: Hernández, Rodríguez, Valverde y Delgado Rubí. Se
caracterizan cada uno de los procedimientos generales matemáticos, interpretándose que el conjunto de los
mismos constituye un sistema de naturaleza jerárquica con estructura funcional. Se define conceptual y
operacionalmente una variable y las dimensiones: Identificar, Recodificar, Calcular, Graficar y Controlar
consideradas relevantes para estudiar el desarrollo alcanzado por los estudiantes en las habilidades matemáticas.
Introducción
Matemática I es una de las asignaturas del primer cuatrimestre de primer año de las carreras que se cursan en la
Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la Universidad Nacional de Tucumán, Argentina. En ella se
desarrollan los conceptos básicos del Cálculo Diferencial e Integral en una variable.
Algunas de las características de los procesos de enseñanza y aprendizaje de Matemática I, correspondientes a
períodos lectivos anteriores al 2005 son: a) las clases teóricas eran del tipo magistral dialogada; b) el currículo
era de tipo técnico; c) la evaluación de los aprendizajes se realizaba por exigencias de la gestión académica y no
por una necesidad pedagógica; d) la comunicación entre los distintos agentes del proceso educativo evidenciaba
falencias; e) los alumnos evidenciaban fallas en la solidez de los conocimientos adquiridos en Matemática 1
(durante el cursado de la asignatura Matemática 2).
Para superar la problemática detectada, se comenzó por elaborar un marco teórico a partir del cual se derivaron
Criterios para la enseñanza y evaluación de los aprendizajes de las Ciencias. Estos criterios, en una primera
instancia, sirvieron de referentes al diseñar las encuestas destinadas a recabar información de docentes y alumnos
sobre las metodologías de enseñanza y evaluación vigentes en Matemática 1 en el año 2005 (Marcilla, Mercau,
González y Villalonga, 2005; Villalonga de García, Mercau de Sancho y González de Galindo, 2006). A partir de
los resultados obtenidos en estas encuestas y de los criterios derivados del marco teórico, se diseñó e implementó
en el año 2006 una estrategia didáctica. La misma puso énfasis en la actividad del alumno, recurriendo a un
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material instruccional elaborado sobre contenidos relativos al tópico Continuidad de una función (Villalonga de
García y González de Galindo, 2005, 2006; González, Villalonga, Marcilla y Mercau, 2006).
Al evaluar la estrategia se decidió, entre otras acciones, estudiar el grado de desarrollo de ciertas habilidades
matemáticas evidenciadas por los alumnos al resolver actividades sobre el tema seleccionado, incluidas en un
examen parcial de la asignatura. El objetivo de este trabajo es presentar el objeto modelo, que obrará como
instrumento de análisis, de las habilidades matemáticas manifiestas en los protocolos de los estudiantes. Se
escogió como unidad de análisis a la respuesta al item de la prueba de lápiz y papel. Se definió conceptual y
operacionalmente la variable y las dimensiones consideradas relevantes para este estudio.
Marco teórico
El proceso de enseñanza y aprendizaje
La estrategia didáctica diseñada tuvo en cuenta los lineamientos teóricos de Brousseau, quien considera que en el
proceso de enseñanza pueden diferenciarse tres situaciones (Bessot, 1994): - Situación didáctica: es la diseñada
explícitamente por el docente para favorecer el aprendizaje de un cierto conocimiento; - Situación no didáctica:
corresponde a aquellas situaciones que no fueron organizadas intencionalmente para posibilitar el aprendizaje de
un determinado conocimiento, - Situación adidáctica: es aquella que posee las condiciones adecuadas para que el
estudiante establezca una interacción fructífera con el conocimiento que se pretende que adquiera, con
independencia del docente.
Con respecto a los conocimientos y habilidades matemáticas se reconoció que tradicionalmente se ha enfatizado
la enseñanza de sistemas conceptuales, descuidando su relación indisoluble con los modos de actuación
generales, los que en última instancia permiten activar tales conocimientos, convirtiendo el aprendizaje en
desarrollo del individuo. Por ello, el acento debe estar puesto en la formación de los procedimientos generales del
quehacer matemático 1 .
F0F
F
Los Procedimientos generales matemáticos
Según Talízina (1984) no se puede separar el saber del saber hacer, porque siempre saber, es saber hacer algo, no
puede haber un conocimiento sin una habilidad, sin un saber hacer. Atendiendo a esta premisa, Hernández (1989)
definió el Sistema Básico de Habilidades Matemáticas, a través de las cuales es posible resolver problemas
matemáticos en su acepción amplia. Este sistema está conformado por las siguientes habilidades: Definir,
Demostrar, Identificar, Interpretar, Recodificar, Graficar, Algoritmizar y Calcular. Este Sistema Básico fue
ampliado posteriormente con los procedimientos: Modelar (Rodríguez, 1991), y, más recientemente ampliado por
los procedimientos Comparar, Resolver, Aproximar, Optimizar y Controlar (Delgado, 1995). El conjunto de los
procedimientos generales matemáticos se presenta como una totalidad imprescindible para el trabajo con la
Matemática y sus modelos, constituyendo un sistema de naturaleza jerárquica. Así, cada procedimiento o
combinación de ellos, puede ser considerado como un sistema. Estos procedimientos tienen presencia
1 En este trabajo las expresiones: procedimiento matemático y habilidad matemática se consideran sinónimos.
Página 291
irreemplazable en el quehacer matemático ya que cada uno de ellos se convierte en una regularidad, por la
sistematicidad de su aplicación y por su carácter universal y movible (Hernández, 1990).
El sistema de procedimientos posee una estructura funcional que se evidencia en la ejecución de tareas y, en
general, en la resolución de problemas matemáticos. Si se desea obtener una adecuada formación matemática,
que no conduzca a un conocimiento fraccionado y de escasa solidez, el docente debe desarrollar acciones para
formar los diversos procedimientos que constituyen este sistema y los alumnos deben canalizar sus esfuerzos en
esta dirección.
Caracterización de los procedimientos generales matemáticos
Delgado Rubí (2001) los caracterizó de la siguiente manera:
Interpretar: “es atribuir significado a las expresiones matemáticas de modo que éstas adquieran sentido en
función del propio objeto matemático o del fenómeno real de que se trate” (Delgado Rubí, 2001:73). Ejemplo: Se
interpreta cuando se asume que el signo menos que puede aparecer al derivar dos veces la función que da la
posición de un vehículo en un cierto tiempo, indica que éste se está frenando (si la velocidad, es decir la primera
derivada, tiene signo positivo).
Identificar: “es distinguir el objeto de estudio matemático, sobre la base de sus rasgos esenciales” (Delgado
Rubí, 2001:73). Ejemplo: Se identifica cuando se afirma que una función es discontinua en un punto al no
verificarse al menos una de las condiciones impuestas en la definición pertinente.
Recodificar: “es transferir la denominación de un mismo objeto de un lenguaje matemático a otro” (Delgado
Rubí, 2001:74). Ejemplo: Se recodifica cuando se representa gráficamente en un sistema de ejes coordenados
cartesianos una función definida analíticamente a través de una ecuación matemática.
Calcular: “es una forma existencial de un algoritmo que puede llevarse a cabo de forma manual, verbal (oral o
escrita), mental y mediante el uso de tablas, calculadoras u ordenadores” (Delgado Rubí, 2001:75). Ejemplo: Se
calcula cuando se resuelve un límite aplicando la Regla de L´Hopital, previa transformación, si fuera necesario, a
las formas indeterminadas que lo permiten.
Algoritmizar: “es plantear una sucesión estricta de operaciones matemáticas que describan un procedimiento
conducente a la solución de un problema” (Delgado Rubí, 2001:75). Ejemplo: Se algoritmiza cuando se
establece la sucesión de pasos que deben realizarse para determinar los extremos relativos de una función de
acuerdo al Criterio de la Primera Derivada.
Graficar: “es representar relaciones entre objetos matemáticos tanto desde el punto de vista geométrico como
de diagramas o tablas y recíprocamente, colegir las relaciones existentes a partir de su representación gráfica”
(Delgado Rubí, 2001:76). Ejemplo: Se grafica cuando se representa a través de diagramas o tablas la clasificación
de los polígonos según sus lados.
Definir: “es establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes del objeto de
estudio” (Delgado Rubí, 2001:77). Ejemplo: se define cuando se establece que la derivada de una función es el
límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.
Página 292
Demostrar: “es establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una proposición o su
refutación” (Delgado Rubí, 2001:77). Ejemplo: Se demuestra que la derivada nula de una función en un punto es
una condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremo, estudiando el comportamiento de la
función f : f(x) = x3 en el origen de coordenadas.
Modelar: “es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que represente determinados
comportamientos, relaciones o características” (Delgado Rubí, 2001:78). Ejemplo: Se modela al asociar al
crecimiento de las bacterias en un cultivo una función exponencial.
Comparar: “es establecer una relación entre lo cuantitativo o cualitativo que hay entre dos entes matemáticos
de un mismo conjunto o clase” (Delgado Rubí, 2001:78). Ejemplo: Se compara cuando se determina la posición
relativa de dos rectas analizando si son coincidentes, paralelas, perpendiculares o si se intersecan según un ángulo
cualquiera.
Resolver: “es encontrar un método o vía que lleve a la solución de un problema matemático” (Delgado Rubí,
2001:80). Ejemplo: Se resuelve cuando el alumno logra encontrar la solución del problema de representar
gráficamente una función que verifique simultáneamente diversas condiciones impuestas a la misma y a sus
derivadas.
Optimizar: “es encontrar el objeto (valor numérico, función, conjunto, etc.) que maximiza o minimiza la clase
de objetos a la que pertenece ó el método óptimo para resolver un determinado problema” (Delgado Rubí,
2001:81). Ejemplo: Se optimiza el cálculo del rango de una matriz si previamente se analizan las combinaciones
lineales entre filas o columnas que pudieran existir.
Aproximar: “es sustituir un objeto por otro, al que se lo considera un modelo suyo” (Delgado Rubí, 2001:81).
Ejemplo: Se aproxima cuando se reemplaza en una práctica de laboratorio, una función no polinómica por un
Polinomio de Taylor de un cierto grado n.
Controlar: “es monitorear
y regular, es evaluar un conjunto de informaciones con relación a objetivos
prefijados, a los efectos de tomar decisiones en el abordaje y resolución de un problema” (Hernández Fernández,
Delgado Rubí, Valverde Ramírez y Rodríguez Hung, 2001: 113). A su vez, esta habilidad está conformada por
tres acciones que se definen así:
Monitorear: “registrar las ocurrencias, los pasos que se van dando y las soluciones que se van obteniendo”
Evaluar: emitir un juicio de valor sobre el grado de correspondencia entre el objetivo que se persigue (patrón
aceptador de la acción) y las informaciones y criterios que se tienen, a los efectos de tomar decisiones
Regular: intervenir, ajustar y aplicar correctivos para modificar el proceso.
Ejemplo: cuando al intentar resolver la integral
∫ x cos x dx , el alumno elige erróneamente las partes de la
siguiente manera: u = cos x, dv = x dx, la integral que obtiene resulta ser más complicada que la de partida. De
esta forma el alumno se autocontrola ya que esto le genera preguntas tales como: ¿me conviene esta elección?
¿me facilita la resolución de la integral de partida? Este monitoreo lo lleva a evaluar los pasos seguidos y a tomar
decisiones sobre continuar en ese camino, considerando las complicaciones mayores que se producirían o a
Página 293
cambiar la selección de las partes; es decir el alumno regula al efectuar correcciones y ajustes sobre el
procedimiento empleado. De esta manera, el autocontrol potencia la actuación del estudiante en la resolución de
problemas.
El grado de complejidad de las habilidades matemáticas realizadas por un individuo al intentar resolver una
situación, tiene carácter relativo y subjetivo. Dependerá no solamente de las características de la situación
planteada sino también de particularidades del sujeto que realiza la tarea. En relación al primer aspecto, conforme
al carácter sistémico de las habilidades matemáticas, el grado de complejidad desplegado al realizar un
procedimiento en el contexto de una tarea dependerá del momento en que el estudiante se enfrente con la tarea.
Por ejemplo, la habilidad de Graficar, deberá estar más desarrollada para bosquejar por primera vez el gráfico de
una función que satisfaga varias condiciones simultáneamente, que para graficar una función expresada por una
fórmula realizando una tabla de valores.
Con respecto al segundo aspecto, o sea las particularidades del sujeto, una tarea resulta ser un problema cuando el
alumno se enfrenta a ella y la resuelve por primera vez. Desde ese momento, para ese estudiante, ese tipo de tarea
se convertirá tan sólo en un ejercicio, dado que su solución requerirá una actividad cognitiva de nivel más bajo.
La evaluación
Siendo consecuentes con los referentes teóricos enunciados, la evaluación del aprendizaje debiera ser una
estrategia constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, capaz de generar y favorecer aprendizajes
significativos. Además, debiera ser continua y cumplir una función integradora de todos los elementos que
interactúan en el proceso. Para llevar a la práctica estas propuestas programáticas generales, la evaluación del
aprendizaje debiera satisfacer los siguientes criterios (NCTM: National Council of Teachers of Mathematics,
1989, 1995, 2000; Jorba y Casellas, 1997; Villalonga de García, 2003):
a) Retroalimentar el proceso de enseñanza aprendizaje, informando al estudiante de los progresos logrados en el
aprendizaje. b) Optimizar la comunicación entre los participantes. c) Desempeñar una función motivadora y
educativa. d) Formar a los alumnos como aprendices independientes mediante el empleo de técnicas
autoevaluativas. e) Enfatizar objetivos y contenidos destacados por el currículo y por los estándares de evaluación
del N.C.T.M, que sean motivantes y coherentes con el nivel de desarrollo del estudiante. f) Promover la igualdad
de oportunidades, brindando un trato diferenciado a cada estudiante según sus características, potencialidades y
limitaciones, ofreciéndole oportunidades para evaluar e incrementar su potencia matemática 2 (N.C.T.M., 1995).
F1F
F
g) Ser un proceso en el que todos los implicados tengan información sobre él, conozcan los criterios de
evaluación e interpreten los resultados de la misma. h) Promover inferencias válidas acerca de aprendizajes
2 La potencia matemática incluye la habilidad para explorar, efectuar conjeturas, y razonar lógicamente; para resolver problemas no rutinarios; para comunicar
ideas matemáticas, y comunicarse usando la matemática como herramienta; y conectar ideas dentro de la matemática y, entre matemática y otra actividad
intelectual. La potencia matemática también involucra el desarrollo personal de la auto confianza y la disposición de buscar, evaluar y emplear información
cuantitativa en la resolución de problemas y en la toma de decisiones. La flexibilidad del estudiante, perseverancia, intereses, curiosidad e inventiva también
contribuyen a alcanzar la potencia matemática” (N.C.T.M., 1995).
Corresponde a una traducción efectuada por las autoras, extraída del glosario de la versión electrónica de los estándares del N.C.T.M. del año 1995.
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significativos de la Matemática. i) Ser un proceso coherente con lo enseñado. j) Ser una herramienta valiosa para
la toma de decisiones para la enseñanza y el aprendizaje. k) Tender a la formación integral del estudiante.
Metodología
El instrumento
Para evaluar el grado de desarrollo de las habilidades matemáticas evidenciadas por los alumnos al resolver
actividades relativas al contenido Continuidad se diseñó, siguiendo los lineamientos de Galli y Castro (1992), un
instrumento que contenía, entre otros, dos ítems (ítems a y b) relativos a este tema (Ver Apéndice 1). Los
objetivos que se pretendían evaluar en estos dos ítems en cuanto a conceptos y habilidades fueron:
Que el alumno sea capaz de: - Evaluar el valor de una función en un punto; - Calcular el dominio de una función;
- Graficar funciones seccionalmente continuas; - Calcular el límite de una función en un punto;
- Analizar la continuidad de una función en un punto; - Clasificar el tipo de discontinuidad que presenta una
función; - Sintetizar en un gráfico una función, expresada en lenguaje simbólico, que satisfaga simultáneamente
varias condiciones; - Utilizar distintos registros para representar una función continua en un punto y una función
discontinua en un punto; - Controlar la continuidad de una función en un punto.
Se garantizó la validez de contenido del instrumento sometiéndolo al juicio de diez docentes que participaban en
el dictado de la asignatura, quienes constataron que las actividades seleccionadas resultaban adecuadas para
evaluar el nivel de desarrollo de los procedimientos matemáticos trabajados en el curso.
Las habilidades involucradas en cada uno de los ítems propuestos fueron:
En el Ítem a: Calcular, Graficar, Controlar, Recodificar e Identificar y
En el Ítem b: Identificar, Recodificar y Graficar.
Cabe aclarar que el nivel de dificultad de las tareas evaluadas fue similar al de las desarrolladas en el curso, es
decir ninguna de las tareas evaluadas constituyó realmente un problema para el alumno. Por eso, en este artículo,
no se estudia el desarrollo de la habilidad Resolver.
Las habilidades estudiadas pueden esquematizarse, en orden decreciente, de acuerdo a su grado de dificultad de
la siguiente manera:
⎤
⎡
⎥
⎢
⎤⎥
⎡
⎢
⎥
⎢
⎢
⎡
⎤⎥⎥
⎢
⎢
⎢
⎥⎥⎥
⎢
⎢
Re
codificar
⎡
⎤
⎢Graficar
⎥ ⎥
⎢
Controlar
Calcular
⎢
⎢
⎥ ⎥⎥
⎢
⎢
⎣Identificar ⎦ ⎥ ⎥ ⎥
⎢
⎢
⎥⎥
⎢
⎥
⎢
⎣⎢
⎦⎥ ⎥ ⎥
⎢
⎢
⎥⎥
⎢
⎢
⎦
⎣
⎥
⎢
⎦
⎣
Gráfico 1: Representación del Sistema de Habilidades requeridas para resolver el “Ítem a”
⎡
⎤
⎢
⎥
Identifica
r
⎡
⎤
⎢Graficar
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣Re codificar ⎦ ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Gráfico 2: Representación del Sistema de Habilidades requeridas para resolver el “Ítem b”
Página 295
Es necesario aclarar que en el Ítem b al desarrollar la habilidad Recodificar el estudiante simultáneamente está
desarrollando la habilidad de Interpretar. Es decir, en este contexto, Recodificar e Interpretar son equivalentes,
por eso no se incluyó Interpretar en el esquema.
Además, la habilidad Graficar del Ítem b que requería graficar una función que satisfacía varias condiciones
simultáneamente, al ser realizada por primera vez, tendría mayor grado de complejidad que la habilidad Graficar
del Ítem a (graficar una función expresada mediante una fórmula realizando una tabla de valores). Este hecho
llevó a estudiar, en este artículo, de manera separada las habilidades Graficar del Ítem a y Graficar del Ítem b.
Marco teórico metodológico
Para sistematizar el análisis de los protocolos de los estudiantes se procedió orientándose por los principios
teóricos metodológicos que se presentan brevemente a continuación (Samaja, 2003).
Dado que todo objeto real de investigación en ciencias sociales posee un gran número de atributos, relaciones y
contextos, es necesario que el indagador, en base a modelos preexistentes al acto investigativo -consecuencias de
la historia personal, intuiciones, experiencia y circunstancias (preconcepción modelizante (Ladrière, 1978))efectúe una reducción de su complejidad explicitando qué aspectos relevantes tendrá en cuenta de sus
componentes y qué procedimientos concretos usará para llevar a cabo su descripción. Es decir, debe construir un
objeto modelo. El denominado objeto modelo, queda delimitado por los distintos tipos de unidades de análisis
escogidas para la investigación, mediante la aplicación del conjunto de variables, propio de cada tipo de unidad
de análisis, que se seleccionen para describir el objeto real de la indagación. (Samaja, 2003).
Metodología para analizar los protocolos de los estudiantes
Para sistematizar el análisis de los protocolos de los estudiantes, se escogió como unidad de análisis a la
respuesta dada por el alumno a cada uno de los dos ítems de la prueba. La variable considerada relevante se
denominó: Desarrollo de habilidades. Las dimensiones de estudio consideradas para esta variable fueron:
1. Identificar, 2. Recodificar, 3. Calcular, 4. Graficar, 5. Controlar.
Tabla 1: El objeto modelo para el análisis de los protocolos
Unidad de
análisis
Variable
RESPUESTA
Desarrollo de
habilidades
AL
Indicador
Dimensión
Reconoce una función lineal en (-∞, 1] en ítem a.
Recodificar
Identificar
Calcular
ÍTEM
Procedimiento
Reconoce una función logaritmo en (1,∞) en ítem a.
Grafica correctamente la función f pero no su dominio en el
ítem a.
Conoce las condiciones teóricas que debe considerar para
analizar la continuidad de una función en un punto en ítem a.
Clasifica correctamente la discontinuidad en ítem a.
Calcula correctamente f (1) en ítem a.
Calcula correctamente lim f ( x) en ítem a
−
x →1
Valor
1:en caso afirmativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
Página 296
Calcula correctamente lim f ( x) en ítem a
+
1:en caso afirmat.
Verifica si
x →1
0: en caso negativo
lim f ( x) = f (a )
en ítem a
x →1
0: en caso negativo
Controlar
Hay coherencia entre el desarrollo analítico y el gráfico en
ítem a
Grafica correctamente la función lineal en ítem a
Grafica correctamente la función logarítmica en ítem a
Grafica correctamente el dominio de f en el ítem b
Grafica el punto (0,-1) en el ítem b
Graficar
Grafica una discontinuidad evitable en x = 2 en el ítem b
Grafica una función que cumpla las tres condiciones
simultáneamente en el ítem b
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
0: en caso negativo
Definición conceptual de la variable Desarrollo de habilidades y de sus dimensiones
1. Desarrollo de habilidades: capacidad del alumno para ejecutar procedimientos matemáticos, necesarios para
resolver problemas disciplinares en su acepción amplia.
Las dimensiones para esta variable fueron:
1.1. Identificar: determinar si el objeto de estudio matemático pertenece a una determinada clase de
objetos, los que presentan ciertas características distintivas.
1.2. Recodificar: transferir la denominación de un objeto de un lenguaje matemático a otro.
1.3. Calcular: aplicar un algoritmo que puede llevarse a cabo de forma manual, verbal (oral o escrita),
mental, o recurriendo al uso de tablas, calculadoras o computadoras.
1.4. Graficar: representar relaciones entre objetos matemáticos a través de diagramas, tablas o
geométricamente, y recíprocamente, deducir de ellas las relaciones existentes.
1.5. Controlar: evaluar un conjunto de información en base a objetivos prefijados, con el fin de efectuar
una toma de decisiones para abordar y resolver un problema.
El objeto modelo propio de esta investigación que se empleará como instrumento para analizar los protocolos de
los estudiantes es el presentado en la Tabla I.
Página 297
Apéndice 1
Ítem a) Grafica y analiza si f es continua en c = 1
f(x) =
2x – 3
log x
si x ≤ 1
si x > 1
Si fuera discontinua clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.
Ítem b) Bosqueja la gráfica de una función que cumpla simultáneamente con las tres condiciones dadas:
• Dom f = ℜ - {2}
• f(0)=-1
•en x = 2 presenta una discontinuidad evitable
Bessot, A. (1994). Panorama del quadro teorico della matematica. LÉducazione Matematica, 15 (4), vol. 1, pp. 37-47.
Delgado, J. R. (1995). Citado por Delgado Rubí, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos. En Cuestiones de
Didáctica de la Matemática. Conceptos y procedimientos en la educación Polimodal y Superior, pp. 69-87. Homo
Sapiens Ediciones. Argentina.
Delgado Rubí, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos, en Cuestiones de Didáctica de la Matemática.
Conceptos y procedimientos en el educación Polimodal y Superior, pp. 69-87. Homo Sapiens Ediciones. Argentina.
Galli, A. y Castro C. (1992). Exámenes orales y escritos. Módulo 6. Programa de formación docente pedagógica. Publicación
de la Organización panamericana de la salud y Organización mundial de la salud. Ed. Paltex. Washintong-E.U.A.
Hernández Fernández, H.; Delgado Rubí, J.; Valverde Ramírez, L. y Rodríguez Hung, T. (2001). Un recurso metacognitivo
para resolución de problemas en Matemática: El autocontrol en Cuestiones de Didáctica de la Matemática. Conceptos y
procedimientos en la educación Polimodal y Superior, pp. 107-119. Homo Sapiens Ediciones. Argentina.
Hernández, H. (1990). Saltar a la vista lo evidente. Revista cubana de Educación Superior. Vol. X, Nº 1.
Hernández (1989). Citado por Delgado Rubí, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos. En Cuestiones de
Jorba, J. y Casellas, E. (1997). Estrategias y técnicas para la gestión social del aula. Volumen 1. La regulación y
autorregulación de los aprendizajes. Editorial Síntesis.
Ladrière, J. (1978). Citado por Samaja Epistemología y metodología. Elementos para una teoría de la investigación científica.
Buenos Aires: Eudeba. (2003). (415 p.). 3º edición. 3º reimpresión.
Marcilla, M., Mercau, S., González, S. y Villalonga, P. (2005). Opiniones de alumnos universitarios de primer año sobre las
clases masivas de matemática. Comunicación presentada en la I Jornadas de Ciencia y Tecnología de las Facultades de
Ingeniería del NOA. San Salvador de Jujuy. Argentina.
N.C.T.M. (1989) Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática. España: Sociedad Thales.
N.C.T.M. (1995) “Assessment Standards for School Mathematics”. http://standards.nctm.org/Previous/AssStds/index.htm
H2
H
(11/4/2003).
N.C.T.M. (2000). “Principles for School Mathematics”, en N.C.T.M. (2000).
Principles and Standards for School
Mathematic. http://standards.nctm.org/document/chapter2/index.htm (11/4/2003).
H3
H
Rodríguez, T. (1991). Citado por Delgado, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos en Cuestiones de
Página 298
Samaja J. (2003). Epistemología y metodología. Elementos para una teoría de la investigación científica. Eudeba. Buenos
Aires.
Talízina, N. F. (1984). Conferencias sobre los Fundamentos de la Enseñanza en la Educaión Superior. CEPES. Universidad
de la Habana. Cuba. Citado por Delgado, J. R. 2001. Los procedimientos generales matemáticos en Cuestiones de
Didáctica de la Matemática. Conceptos y procedimientos en el educación Polimodal y Superior, pp. 69-87. Homo
Villalonga de García, Mercau de Sancho y González de Galindo. (2006). “Espacio de Atributos para analizar una encuesta a
docentes con el fin de diagnosticar la evaluación del aprendizaje de Matemática”. Resúmenes de la VI Conferencia
Argentina de Educación Matemática – SOAREM – pp 10 -11.
Villalonga de García, P. (2003). Un enfoque alternativo para la evaluación del Cálculo en una Facultad de Ciencias. Tesis de
Magíster no publicada. Universidad Nacional de Tucumán. Tucumán-Argentina.
Villalonga de García, P. y González de Galindo, S. (2005). Criterios derivados de teorías cognitivas empleados como
referentes al diseñar y validar una experiencia didáctica. Comunicación presentada en la V Conferencia de Educación
Matemática. Buenos Aires.
Villalonga de García, P.; González de Galindo, S. (2006). “Opiniones de alumnos universitarios de primer año sobre las
clases masivas de matemática”. Memorias del 8vo. Simposio de Educación Matemática. (pág. 1508-1526).
Página 299
TALLER DE MATEMÁTICA: PROPUESTAS PARA FAVORECER LA
ARTICULACIÓN ENTRE NIVELES
Carlos Enrique Parodi - Fabio Rubén Prieto - Sonia Lidia Vicente
Universidad Nacional de La Pampa – Facultad de Ingeniería - República Argentina
[email protected] ; [email protected] ; [email protected]
Palabras Claves: Articulación - universidad - nivel polimodal - actividades de extensión
H4
H
H5
H
H6
H
Resumen
El desfasaje entre las competencias cognitivas que demanda el cursado de estudios superiores y los
conocimientos que los jóvenes incorporan en el nivel medio, constituye una de las principales dificultades de los
aspirantes a ingresar a la universidad. Esto nos hizo reflexionar sobre la necesidad de instrumentar mecanismos
para mejorar el traspaso entre ambos niveles educativos. Como la procedencia de los ingresantes es muy variada,
hemos advertido que, en ocasiones, los ciclos de nivelación no son suficientes para equiparar conocimientos
básicos indispensables.
En este contexto, un grupo de docentes del área de matemática de la Facultad de Ingeniería de la UNLPam, lleva
adelante el proyecto “Articulación y Nivelación: acciones para mejorar el rendimiento de los ingresantes a la
Universidad.” En el marco de este proyecto hemos implementado desde el año 2004, un Taller de revisión de
temas de Matemática. La iniciativa apunta a desarrollar acciones con alumnos de la escuela media/polimodal para
favorecer las condiciones de ingreso de los jóvenes al ámbito universitario, y mejorar el desarrollo de
competencias básicas.
En el trabajo que presentamos, se muestra una síntesis de las acciones llevadas a cabo en el taller antes
mencionado en el transcurso de los últimos años, como así también algunas conclusiones sobre el análisis de
encuestas y evaluaciones realizadas.
Introducción
El desfasaje entre las competencias cognitivas que demanda el cursado de estudios superiores y los
conocimientos que los jóvenes incorporan en el nivel medio constituye una de las principales dificultades de los
aspirantes a ingresar a la universidad. Esto nos hizo reflexionar sobre la necesidad de instrumentar mecanismos
para mejorar el traspaso entre ambos niveles educativos. Como la procedencia de los ingresantes es muy disímil,
hemos advertido que en ocasiones los ciclos de nivelación no son suficientes para equiparar conocimientos
básicos indispensables.
Algunas de las dificultades más comunes con que se encuentran los alumnos que intentan el paso del nivel medio
a la universidad que hemos detectado en nuestros ingresantes son:
•
Imposibilidad de transferir conocimientos a nuevas situaciones.
•
Desconocimiento de elaboraciones conceptuales aparentemente resueltas en el nivel medio.
•
Poder pasar de un aprendizaje memorístico y repetitivo a uno que involucre mayor razonamiento y
fundamentación.
•
Carencia de competencias básicas para sostener un proceso de estudio con características diferentes al trabajo
escolar realizado en los niveles educativos anteriores.
•
Falta de compromiso frente a las exigencias de un estudio sostenido y responsable.
Página 300
Desde lo propiamente didáctico nos formulamos preguntas acerca de qué contenidos incluir, cómo organizar las
respectivas propuestas de enseñanza, cuál es el sistema de evaluación más apropiado, etc.
En este contexto, un grupo de docentes del área de matemática de la Facultad de Ingeniería de la UNLPam,
presentamos y llevamos adelante el proyecto “Articulación y Nivelación: acciones para mejorar el rendimiento
de los ingresantes a la Universidad”.
La iniciativa apunta a desarrollar acciones con alumnos de la escuela media/polimodal para favorecer las
condiciones de ingreso y permanencia de los jóvenes en el ámbito universitario, y avanzar en el desarrollo de
competencias básicas con las que se pueda:
•
Favorecer la articulación de estudios de alumnos del último año de la enseñanza media con la
universidad.
•
Activar procesos mentales en la aplicación conceptual de los aprendidos en las ciencias básicas y su
transferencia a la práctica.
•
Facilitar los procesos de aprendizaje ejercitando la comprensión de textos.
Con estas actividades pretendemos que los alumnos construyan y/o reconstruyan conceptos matemáticos básicos;
que planteen y resuelvan situaciones problemáticas; que desarrollen habilidades que les permitan, desde el
pensamiento matemático, enfrentar nuevas situaciones buscando, además, caminos alternativos para su
resolución; que interpreten los resultados obtenidos y que analicen la factibilidad de los mismos dentro del
contexto de la situación planteada.
Se tiene previsto incorporar nuevas técnicas de aprendizaje activo utilizando las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación como herramientas auxiliares.
ANTECEDENTES
En año 2004 se desarrolló a principio del año, un Taller de resolución de problemas, en dos encuentros con
estudiantes del último año del polimodal. Este acercamiento nos permitió ver más de cerca la problemática que a
ellos los preocupa en este último año, que es la dificultad de llegar a tener éxito en el ingreso a diversas
universidad de distintos puntos del país en lo que respecta a exámenes de ingreso en los que tengan matemática.
En ese momento se pensó en presentar, desde nuestra facultad, algunas actividades de articulación en el área de
matemática. A través de ellas se dio apoyo presencial a estudiantes del nivel medio/polimodal procedentes de
distintos establecimientos educativos de la zona a través de un Taller de Revisión de Contenidos de Matemática
el cual se viene implementando, siempre en el transcurso del segundo cuatrimestre, desde ese año hasta el
presente.
Desarrollo
Desarrollo del Taller de Matemática
Contando con el apoyo de las autoridades de la Facultad de Ingeniería y en el marco del proyecto de
investigación antes mencionado, se realizó cada año la convocatoria a los alumnos de establecimientos
educativos de nuestra localidad y de localidades próximas que actualmente cursan tercer año de nivel polimodal,
Página 301
y que piensen continuar estudios superiores en carreras donde se necesite una formación matemática básica,
ofreciéndoles la posibilidad de asistir a un taller dictado por profesores de esta casa de estudios.
Como cada año la cantidad de alumnos inscriptos superó el cupo previsto, hubo que implementar dos turnos para
el desarrollo del taller (uno durante la semana desdoblado en dos días y otro los días sábados para los estudiantes
de localidades vecinas).
Habiéndose establecido un cupo de 40 alumnos por turno (en virtud de poder utilizar el centro de cómputos y que
se dispusiera de una computadora cada dos estudiantes), quienes desertaban eran reemplazados por otros, que
estaban anotados en lista de espera.
En cada oportunidad el taller fue coordinado por tres profesores de la cátedra de Análisis I de esta facultad
quienes integran el proyecto antes mencionado. Se desarrolló durante los meses de agosto, septiembre y octubre
con una carga horaria de 3 horas semanales para cada grupo, totalizando 30 horas.
Los temas se agruparon en 6 unidades didácticas cuyos principales ejes temáticos son: números reales,
polinomios y expresiones algebraicas, ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, funciones y gráficas,
sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas con dos incógnitas y trigonometría.
Las clases tuvieron diferentes modalidades: Clases teóricas con apoyo computacional, clases teóricas dictadas en
forma tradicional, prácticas en gabinete de computación, prácticas en el aula y clases destinadas a evaluar
conocimientos.
Con el fin de tener una idea de las expectativas que tenían los alumnos al comenzar el taller y para determinar el
grado de afinidad que ellos tienen con la matemática, durante el transcurso del primer encuentro se pidió a los
estudiantes que completaran una encuesta, y al finalizar el taller, junto con la evaluación final, se realizó otra con
el fin de recabar información acerca de sus opiniones sobre el desarrollo de los temas abordados en el taller y si
sus expectativas fueron cubiertas.
ANÁLISIS DE LAS ENCUESTAS (Ver Anexos 4 y 5)
Encuesta inicial
En esta primera encuesta se apuntó a recabar información sobre los siguientes aspectos de la relación de los
alumnos con la matemática:
•
gusto por la matemática.
•
facilidad por parte de los alumnos para tratar temas de matemática: empeño y/o dedicación al
estudio.
•
resultados más frecuentes en su trabajo en matemática.
Respecto a las expectativas con que comenzaron el taller, los estudiantes manifiestan que esperan:
•
“Adquirir un conocimiento básico para matemática”.
•
“Capacitarse en temas básicos para que se le facilite el ingreso”.
•
“Reforzar conocimientos de matemática”.
•
“Entender mejor la materia”.
•
“Para estar más seguro”.
Página 302
•
“Mejorar las posibilidades al momento de ingresar”.
•
“Refrescar algunos conocimientos para enfrentar la universidad”.
•
“Aclarar conceptos”.
•
“Que le ayude a superar las dificultades que tiene con la materia”.
•
“Aprender temas nuevos (ampliar conocimientos)”.
•
“Orientarse para saber si lo que va estudiar le gusta realmente”.
•
“Acostumbrarse al movimiento que genera la universidad en todos sus aspectos”.
•
“Mejorar en el área de la matemática para obtener mejores resultados”.
Con el objetivo de hacer los ajustes necesarios en los contenidos seleccionados, a partir de la planilla de
inscripción al taller se obtuvo la siguiente información: la orientación o modalidad del nivel polimodal de la que
provenían, carrera que pensaban seguir y en qué universidad lo harían. Así se observó que era un grupo muy
heterogéneo ya que los estudiantes provenían de distintas orientaciones o modalidades: Economía y gestión,
Ciencias Naturales, Humanidades y Ciencias Sociales, Escuelas Técnicas.
En función de este análisis se modificó el material didáctico con el que se pensaba trabajar tratando de
readecuarlo en función de las universidades y carreras elegidas por los estudiantes.
Carreras elegidas
• Ingeniería Química
• Técnico en radiología
• Bioingeniería
• Ingeniería industrial
• Medicina
• Ciencias biológicas
• Ciencias Económicas
• Licenciatura en Economía
• Kinesiología
• Profesorado en Nivel Inicial
• Profesorado en Ciencias de la Educación
• Licenciatura
en
Administración
de
Negocios
Agropecuarios
• Administración de empresas
• Psicología
• Arquitectura
• Diseño de indumentaria
• Gastronomía
• Veterinaria
• Ingeniería en Sistemas
• Ingeniería Electromecánica
• Analista Programador
• Turismo
• Ingeniería Agronómica
• Licenciatura en economía
Localidades elegidas
•
Córdoba
•
Buenos Aires
•
La Plata
•
Santa Rosa
•
General Pico
•
Mercedes (San Luis)
Página 303
Se observó que en el año 2004 a 2006, 29 de los 91 estudiantes de General Pico que continuarían sus estudios
universitarios lo harían: 18 en la ciudad de Córdoba Capital y 11 en Santa Rosa; mientras que los provenientes
de localidades vecinas irían 6 a Santa Rosa y 5 a General Pico. En tanto que en el año 2007 aumentó
notablemente la cantidad de estudiantes que aspiran a ingresar a la Facultad de Ingeniería de Gral. Pico (33 en
total).
Diagnóstico inicial
El diagnóstico inicial consistió en ocho ítems en los cuales se incluían los temas a desarrollar en el transcurso del
taller (Ver anexo 1). Del análisis de los diagnósticos que se realizaron a cada uno de los grupos al inicio del
dictado de cada uno de los talleres se observó que algunas de las dificultades más comunes con que se encuentran
los alumnos que intentan el paso del nivel medio a la universidad son:
•
Dificultades en el manejo algebraico (incapacidad de resolver cálculos elementales con números reales,
errores al operar con expresiones algebraicas, desconocimiento de nociones como perímetro y área de figuras
elementales).
•
Imposibilidad de transferir conocimientos a situaciones problemáticas.
•
Desconocimiento de elaboraciones conceptuales aparentemente resueltas en el nivel medio.
•
Poder pasar de un aprendizaje memorístico y repetitivo a uno que involucre mayor razonamiento y
fundamentación.
•
Un desarrollo insuficiente de competencias básicas para sostener un proceso de estudio con características
diferentes al trabajo escolar realizado en los niveles educativos anteriores.
Encuesta Final
A esta encuesta la completaron los alumnos que asistieron a la última clase. Del análisis de las encuestas de los 4
años se obtuvieron los porcentajes promedio.
Con dicha encuesta se pretendió averiguar:
•
Si consideraban que el taller les fue de utilidad: El 65% de los estudiantes encuestados opina que le sirvió
para repasar temas que conocía y/o descubrir enfoques diferentes de temas conocidos.
•
Si creían que la cantidad de horas destinadas al desarrollo del taller fue suficiente: en promedio el 60% cree
que sí.
•
Si la fecha de comienzo fue adecuada: en promedio el 64% cree que sí, mientras que el resto considera que
debería haberse comenzado antes.
•
Si estaban de acuerdo con la modalidad de las clases: Un gran porcentaje (el 88% en promedio) considera
que el uso de medios audiovisuales (uso del programa Power Point y uso del cañón de proyección y TV para el
desarrollo de las clases) ayudó a la revisión de los temas, en tanto que un 52% en promedio preferiría que las
clases se dieran en forma tradicional (explicaciones del profesor con tiza y pizarrón). Un 44% en promedio
hubiera preferido más clases en el Centro de Cómputos.
Página 304
Con respecto a si se cubrieron las expectativas con las que asistieron al taller: el 52 % en promedio, opina que
muy satisfactoriamente, mientras que para un 48% fueron satisfactoriamente cubiertas.
Evaluación final
La evaluación consistía en 8 ítems sobre los temas desarrollados en el transcurso del taller, los cuales contenían
ejercicios conceptualmente similares a los del diagnóstico, para luego poder efectuar una comparación que
permita determinar si los estudiantes mejoraron en los aspectos considerados. (Ver anexo 2)
Del análisis realizado a las evaluaciones finales de los estudiantes se observó que:
•
Hubo mejora en lo que respecta a las dificultades presentadas en el diagnóstico, en el manejo algebraico,
logrando, en general, resolver cálculos elementales con números reales; hubo menos errores al operar con
expresiones algebraicas, pudieron trabajar mejor con los conceptos de perímetro y área de figuras
elementales.
•
Algunos estudiantes mostraron una mejora en el aspecto de la transferencia de conocimientos a nuevas
situaciones.
Conclusiones
Las conclusiones que presentamos pueden resultar poco objetivas si pensamos que el grupo de alumnos con el
que trabajamos reunía condiciones que, según nuestro criterio y experiencia como docentes, favorecen el proceso
de enseñanza aprendizaje y que por supuesto influyeron en los resultados logrados. Esas condiciones a las cuales
nos referimos son las siguientes:
•
Los estudiantes se inscribieron en forma voluntaria.
•
Los asistentes al taller manifestaron tener cierta inclinación por las matemáticas.
•
Se trabajó con un número reducido, ya que al fijar un cupo para la inscripción, la cantidad de alumnos no
superó a los 50 por clase.
•
El 85 % de los estudiantes ya tenía definida la carrera a seguir, y sabía que en el ingreso iba a tener una
evaluación de matemática, o matemática como materia a cursar en el ingreso (o en el primer cuatrimestre).
Otros aspectos que favorecieron el desarrollo de las clases del taller fueron que:
•
Tenían la posibilidad de acceder al material didáctico ya que algunas veces ellos sacaron fotocopias y otras
veces se les entregó clase a clase.
•
Disponíamos de una infraestructura adecuada, ya sea para las clases teóricas como para las prácticas, en las
aulas del Centro Universitario.
•
Teníamos la posibilidad de utilizar una computadora cada dos alumnos con el software adecuado.
•
El personal afectado al dictado del curso estuvo compuesto por tres docentes del área de Matemática
quienes se alternaron en el dictado de los temas propuestos. Mientras que uno de los profesores tenía a su cargo el
desarrollo de las clases, el resto colaboró en todo momento (durante el transcurso de las clases prácticas en el
aula o el Centro de Cómputos).
Sin embargo, a partir de los análisis de las evaluaciones y las encuestas detectamos algunos aspectos a mejorar
en vistas a implementar este taller en los próximos años. Como por ejemplo destinar más carga horaria a la
Página 305
resolución de situaciones problemáticas, ya sea en forma individual o grupal y preparar material específico para
utilizar en el Centro de Cómputos.
En el cuadro siguiente se presenta la cantidad de alumnos que hicieron las evaluaciones en los años
considerados.
Alumnos que:
Años que se analizaron
2004
2005
2006
2007
Hicieron la evaluación diagnóstica
----
86
60
96
Hicieron la evaluación final
24
16
20
48
Hicieron las dos evaluaciones
----
16
15
47
Se analizó el planteo, la resolución
y la respuesta de cada uno de los ejercicios de cada tema, computando la cantidad de ellos en los cuales: los
alumnos mostraron una mejoría en la resolución, no evidenciaron progresos significativos o bien los resultados
fueron peores que los obtenidos en la instancia anterior. Entendiendo por mejoría que el ejercicio tuviera un
planteo y/o una resolución más completa y/o una mejor justificación; en caso de que el ejercicio hubiera sido
resuelto bien, mal o regular en las dos instancias por igual, se lo computaba como que no evidenció progresos y
en caso contrario como que habían obtenido peores resultados. Siempre comparando las resoluciones de los
ejercicios de la evaluación diagnóstica con los de la final. (Ver ejemplo en la tabla del Anexo 3).
Obviamente no eran los mismos ejercicios porque se eligieron de tal manera que cada uno de los del diagnóstico
tuviera otro semejante en la evaluación final, y que el grado de complejidad de los ejercicios de esta última fuera
mayor que el correspondiente en el diagnóstico.
Esta comparación se realizó en cada año (2005, 2006 y 2007) y se obtuvieron los porcentajes promedios de los
totales obtenidos. En el año 2004, el procedimiento seguido para tomar las avaluaciones diagnósticas fue distinto
al seguido los años siguientes, por ese motivo no se pudo efectuar la comparación tal como se hizo el resto de los
años.
A partir del análisis comparativo realizado entre las evaluaciones diagnósticas y las finales de cada grupo de
estudiantes de los tres últimos años, podemos afirmar que, en promedio, un 30% de los estudiantes mostró una
significativa mejora en los aspectos evaluados, un 65% no evidenció progresos significativos, en tanto que el 5%
restante obtuvo peores resultados.
Esperamos que nuestra propuesta contribuya a intensificar y desarrollar espacios de articulación con el nivel
polimodal, a través de acciones orientadas a mejorar las condiciones de ingreso a la Universidad, consolidando el
Ciclo de Introducción a los Estudios Universitarios a partir de la revisión y fortalecimiento de la experiencia
desarrollada.
Artigue, M.; Douady, L; Moreno, Luis. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo editorial
Iberoamericana. Bogotá 1995 (pp 33 - 56)
Codina Sánchez, A. Experimentaciones en Educación matemática en los niveles Medio Superior y Universitario.
(pp 33 - 41)
Página 306
Gatica, N. Tauber,L. Ruiz López, F. Representación y comprensión del concepto de función. XV reunión
Latinoamericana de matemática educativa. Buenos Aires 1995.
De la Serna, Manel y otros (1998); "Creación de materiales para la innovación educativa con nuevas tecnologías"
Ed. Instituto de Ciencias de la Educación". Málaga. (pp 483-486).
Krantz, Steven; "How to teach mathematics"; American Mathematical Society - Providence- Rhode Island.
(pp 78-80; 129-153).
Mena Merchán y otros; (1996) "Didáctica y nuevas tecnologías en educación" Editorial Escuela Española.
Madrid. (pp 143-179).
Podall, Monserrat; Comellas, Jesús; (1996) "Estrategias de aprendizaje: su aplicación en las áreas verbal y
matemática" Ed. Laertes. Barcelona. (pp 107-149).
ANEXO 1
TALLER DE REVISIÓN DE TEMAS DE MATEMÁTICA
Evaluación diagnóstica
Apellido y nombre:..........................................................................................................................
1) Calcular en forma exacta la superficie y el perímetro de un triángulo equilátero de 8 cm de lado.
2)
Encontrar el conjunto de números reales cuya distancia a dos sea menor que cuatro. Interpretar gráficamente
en la recta numérica y expresar el resultado utilizando la notación de intervalos.
3) Al simplificar la expresión
x2 − 4
x2 + 4x + 4
se obtiene.................................................................................
4) Siendo a y b dos números enteros tales que a > b > 0 marcar con una cruz la/s respuesta/s correcta/s
a
•
>1
b
• a−b< 0
1 1
•
>
a b
• −a>−b
5) Dos canillas comienzan, simultáneamente, a verter agua en un depósito de 4000 litros hasta llenarlo. Los
caudales respectivos son: 8 litros por minuto y 12 litros por minuto. Calcular la cantidad de agua aportada
por cada canilla.
6) En un círculo de 5 cm de radio se inscriben rectángulos de base x y altura y. Expresar la altura de un
rectángulo inscripto en función de la base.
7) Una cámara ubicada a 2000 metros de la base de lanzamiento registra las distintas posiciones de un cohete a
medida que éste asciende en forma vertical. ¿Cuál es la variación entre los ángulos de elevación cuando el
cohete pasó de 1000 a 3000 metros de altura?
8) Sabiendo que sen α =
1
y cos α < 0 , marcar con una x cada respuesta correcta:
2
Página 307
π
•
α=
•
Sen(π + α ) =
•
Tg α < 0
•
Sec α = 2
•
π
2
6
1
2
<α <π
•
Cos α = 1 − Sen α = 1 −
•
Sen 2α = 2 ⋅ Senα
1
2
ANEXO 2
TALLER DE REVISIÓN DE TEMAS DE MATEMÁTICA
Evaluación Final
2
1) Calcular en forma exacta la superficie y el perímetro de la siguiente figura:
18
2+ 8
2) Utilizar valor absoluto para encontrar el conjunto de números reales cuya distancia a dos sea mayor o igual que
cuatro. Interpretar gráficamente en la recta numérica y expresar el resultado utilizando la notación de intervalos.
3)Dada la siguiente función : f ( x ) =
(x
2
)(
− 9 x2 − 4
x2 − x − 6
)
a) Indicar el dominio de f(x)
b) Hallar una función g(x) que resulte de simplificar la anterior. ¿Son iguales las funciones f(x) y g(x)? ¿Por qué?
c) Graficar f(x).
4) Siendo a y b dos números enteros tales que a > b > 0 marcar con una cruz la/s respuesta/s correcta/s
•
•
a
>1
•
a−b< 0
•
b
1
a
>
1
b
−a>−b
5) Dos canillas comienzan, simultáneamente, a verter agua en un depósito de 4000 litros hasta llenarlo. Los
caudales respectivos son: 28 litros por minuto y 12 litros por minuto.
a)
b)
c)
d)
Calcular la cantidad de agua aportada por cada canilla.
Expresar la cantidad de litros que ingresan al depósito en función del tiempo transcurrido.
Representar gráficamente la función obtenida en b) e indicar su dominio e imagen.
Si el caudal de una canilla fuera 5/3 el caudal de la otra y el depósito debe llenarse en una hora, calcular
cual es el caudal de cada canilla (sugerencia: Plantear un sistema de ecuaciones).
6) En un círculo de 5 cm de radio se inscriben rectángulos de base x y altura y.
a) Expresar la altura de un rectángulo inscripto en el círculo, en función de la base del mismo.
b) Indicar el dominio de la función obtenida en a) y expresarlo utilizando la notación de intervalos.
Página 308
7) Una cámara ubicada a 2000 metros de la base de lanzamiento registra las distintas posiciones de un cohete a
medida que éste asciende en forma vertical. Si la diferencia entre los ángulos de elevación para dos posiciones
sucesivas del cohete es de 8 ° ¿A qué altura se encuentra el cohete sabiendo que el primer ángulo de elevación
corresponde a una altura de 1000 m ?
8) Sabiendo que Sen α =
•
•
•
1
2
y Cos α < 0 , marcar con una x cada respuesta correcta. Justificar
Sen 2α = 2 ⋅ Senα
Cos α = 1 − Sen α
α=
•
Sec α = 2
•
Tg α < 0
π
•
π
2
6
<α<π
1
•
Sen(π + α ) =
•
Sen(α + 2π ) =
•
Sen(π − α ) =
2
1
2
1
2
ANEXO 3
TABLA CORRESPONDIENTE AL AÑO 2006 (USADA PARA EL ANÁLISIS COMPARATIVO)
Esta misma tabla se usó para los otros años.
Temas evaluados
mostraron una mejoría en
la resolución
14%
no evidenciaron progresos
significativos
60%
Expresiones algebraicas
20%
80%
Ecuaciones y sistemas
25%
60%
Funciones
20%
80%
Trigonometría
40%
60%
Números reales
Obtuvieron peores resultados
26%
15%
ANEXO 4
TALLER DE MATEMÁTICA
Apellido y nombre: ..................................................................................................................
PARA CADA UNA DE LOS SIGUIENTES ITEMS, ELIJA UNA SOLA RESPUESTA
RESPECTO A SU GUSTO POR LA MATEMÁTICA
A) Le gusta mucho trabajar en matemática
B) Trabaja a gusto en matemática
C) Trabaja en matemática porque tiene que hacerlo
D) Le disgusta tener que trabajar en matemática
RESPECTO A SU FACILIDAD PARA TRATAR TEMAS DE MATEMÁTICA
A) Considera usted que tiene facilidad para trabajar con Matemática
B) Considera usted que tiene poca facilidad para trabajar con Matemática
C) Considera usted que no tiene facilidad para trabajar con Matemática
Página 309
RESPECTO A SU EMPEÑO Y/O DEDICACIÓN PARA ESTUDIAR MATEMÁTICA
A) Considera usted que pone mucho empeño al momento de trabajar con Matemática.
B) Considera usted que pone poco empeño al momento de trabajar con Matemática.
C) Considera usted que no pone empeño al momento de trabajar con Matemática.
ACERCA DE LOS RESULTADOS MÁS FRECUENTES DE SU TRABAJO EN MATEMÁTICA
A) Ha obtenido resultados muy buenos
B) Ha obtenido resultados buenos
C) Ha obtenido resultados regulares
D) Ha obtenido resultados malos
E) Ha obtenido resultados muy malos
¿Qué expectativas tiene respecto a este Taller de Matemática?
......................................................................................................................................................................................
ANEXO 5
ENCUESTA FINAL
Esta encuesta es importante para nosotros porque nos interesan sus opiniones para tratar de lograr una mejora en
los próximos cursos.
Piensa que este curso le sirvió para: (poner una cruz en los ítems que correspondan)
1)
Aprender algún tema que desconocía
2)
Entender conceptos que había visto pero no había comprendido
3)
Repasar temas que conocía
4)
Ordenar sus conocimientos
5)
Descubrir enfoques diferentes de temas conocidos
¿Considera que la utilización de medios audiovisuales ayudó a la revisión de los temas, o hubiera preferido que
las clases se dieran de otra manera?
................................................................................................................................................................................
¿Opina que las horas de clase de este curso fueron suficientes? SI
NO
¿Considera que se deberían haber presentado menos temas pero con más profundidad? SI
Indique, con respecto a la modalidad del curso, lo que usted considera:
POSITIVO
NEGATIVO

NO
INTERESANTE
Por favor, escriba cuáles serían sus otras SUGERENCIAS
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Página 310
TALLER
“USO DE SIMULADORES EN LA CLASE DE MATEMÁTICA”
Gemignani, María Alicia, Vaira, Stella Maris, Gandulfo, María Itatí
UTN – FACULTAD REGIONAL PARANÁ – ARGENTINA
[email protected] [email protected] [email protected]
Nivel: Medio y Superior
Palabras Claves: Simuladores, motivación, interactividad, nuevas tecnologías.
7H
8H
9H
Resumen
Las nuevas tecnologías, que en los últimos años han avanzado en forma vertiginosa, permiten modificar
sustancialmente las prácticas de enseñanza. Sin embargo, estos cambios no se han reflejado con la misma rapidez
en las aulas.
Conscientes en que la enseñanza interactiva de la matemática permite una mejor apropiación de los
conocimientos, pretendemos acercar una estrategia de enseñanza complementaria que contribuya a generar un
aprendizaje significativo y constructivista que puede ser utilizada sola o combinada con otras, potenciando los
modelos de práctica profesional docente a través de una metodología activa.
En el presente taller la propuesta didáctica está centrada en el manejo de simuladores digitales realizados en
JAVA usando el NIPPE (núcleo interactivo para programas educativos), desarrollado por el Ministerio de
Educación y Ciencia de España, en su proyecto “Descartes” para matemática. Se trabajará en formas activa con
los simuladores digitales que corresponden a ese proyecto y se mostrará cómo adaptarlos a las necesidades de
cada contexto en particular, ya que son de libre uso educativo, y siempre que no medie finalidad comercial, uno
puede crear sus propios Applets de Java para colocar en una página web o utilizarlo en forma off-line en las
aplicaciones que se desee.
Si bien la actividad está planteada para temas de función de primer y segundo grado, el repositorio existente en la
página http://descartes.cnice.mecd.es/index.html permitirá extender su uso en otros temas de la currícula.
10H
Introducción
Alfabetización audiovisual y alfabetización informática son expresiones acuñadas en las instituciones educativas
con respecto a los medios de comunicación y las nuevas tecnologías. En un intento de integrarlas en forma global
y conjunta como recursos en la enseñanza y su consideración como agentes educativos, han surgido diversas
propuestas de Universidades Nacionales que internalizan este concepto en pos de la mejora en la enseñanza.
En el marco de la realidad actual, se hace necesario reflexionar sobre la escuela media, no sólo por las
disfunciones que varios estudios han señalado, sino también en el marco de los procesos de modernización y
desarrollo. Se acusa a esta etapa de preparar mal a los estudiantes, tanto para los estudios superiores, como para la
entrada al mercado laboral.
Una educación media pensada en el marco señalado hace necesario el compromiso de los directivos y docentes
de asumir nuevos roles para que los centros educativos se transformen en verdaderos espacios de formación y
crecimiento.
Página 311
Creemos que ha llegado el momento de generar puentes entre la escuela media y las Universidades con el
objetivo de contribuir a colocar a la educación a la altura del actual desarrollo Científico-Tecnológico,
privilegiando la aplicación de estrategias no tradicionales.
La motivación es un elemento esencial para la buena marcha del aprendizaje escolar y para otorgar sentido y
significado al conocimiento. Sin motivación el alumno no realiza ningún trabajo adecuadamente. La construcción
de aprendizajes requiere de la participación activa del sujeto que aprende.
Es por eso que el instrumento o medio utilizado en las prácticas docentes, actúa como facilitador de aprendizajes,
despierta el interés, la curiosidad y la motivación, pero éste no es un fin en sí mismo, sino que depende de la
propuesta pedagógica en que se inserta.
En matemática es frecuente que los alumnos memoricen mecánicamente los conceptos sin relacionarlos con los
conocimientos que ya poseen y muchas veces no los aplican en la vida real, o en otras situaciones.
“Los conocimientos matemáticos se generan a partir de la resolución de problemas, pero no se reducen a los
problemas y técnicas de resolución; el progreso matemático, tanto individual como colectivo tiene lugar cuando
se logran generalizar y justificar los procedimientos de solución a tipos de problemas cada vez mas amplios”
(Godino, 2007)
Las simulaciones son potencialmente estrategias que permiten promover en los estudiantes el desarrollo de
modelos mentales sobre situaciones complejas y también realizar un uso activo de estrategias de resolución de
problemas. Los estudiantes toman decisiones durante las simulaciones. Los participantes tienen responsabilidades
asumidas durante el desarrollo de una situación. Son estudios de casos dinámicos.
Una de las principales ventajas que puede originar una simulación se basa en descubrir, comprender, reflexionar
sobre sus propios conocimientos ante una situación problemática dada. Descubrir algo antes que el docente lo
haya enseñado específicamente, puede provocar en los estudiantes, sensaciones de capacidad, confianza en sí
mismos y sobretodo, de interés por adquirir los nuevos conocimientos que le permitan corroborar lo descubierto y
explicar teóricamente su causa.
El docente deberá preparar las condiciones necesarias para que el alumno descubra y posteriormente, tendrá que
aprovechar el interés despertado por lo descubierto. Con el fin de lograr :
•
Incorporar sistemática y gradualmente el uso de las TIC en la enseñanza de la matemática.
•
Poner en práctica el uso significativo de las TIC basándose en un modelo pedagógico orientado a
mejorar y a enriquecer el aprendizaje de los contenidos curriculares.
•
Explorar el uso de las TIC para la enseñanza de contenidos más allá del currículo, con base en el acceso
a ideas importantes en matemática.
Página 312
En la Regional Paraná de la Universidad Tecnológica Nacional, estamos desarrollando el proyecto de
investigación “Educación Matemática y Tecnologías. Implementación de los medios tecnológicos en el proceso
de enseñanza-aprendizaje: perspectivas de mejora y análisis del cambio”. Como integrantes de este equipo,
presentamos la propuesta de incorporar los simuladores digitales en la clase de matemática.
Objetivos:
•
Utilizar de nuevas tecnologías en el aula de matemática
•
Despertar en el alumno interés y motivación
•
Profundizar temas de matemática
•
Promover el trabajo en equipo, generando la interacción entre alumnos, docente y recurso.
•
Formular y validar hipótesis.
•
Expresar y debatir ideas.
Los APPLETS son miniaplicaciones realizadas en JAVA que pueden incorporarse a sitios WEB y ser ejecutados
desde una página base. Los utilizados en este taller pertenecen a desarrollos realizados por el Centro Nacional de
Información y Comunicación Educativa MECD de España, que crea el concepto de NIPPE (núcleo interactivo
para programas educativos). A través de este concepto se crea el proyecto Descartes para matemática que nos
permite modificar, adaptar y hasta crear nuestros propios simuladores sin ser expertos programadores.
Actividades:
1) Conocimiento y manipulación de los Simuladores Digitales (2 hs.):
•
Presentación, funcionamiento y estructura lógica de los Simuladores Digitales. Funcionamiento
ON LINE y OFF LINE
•
Instalación de JAVA y “Motores de Descartes”
•
Utilización de los paneles de control de la interface de los APPLETS
•
Edición, modificación y creación.
2) Estudio de la Función de primer grado (1 hs.)
3) Estudio de la Función de segundo grado e intersecciones (1 hs.).
Algunas de las actividades planteadas para elaborar lo planificado en 2 y 3 se presentan en el Anexo.
Metodología de trabajo:
Las actividades en el aula-taller se organizan a partir de actividades que deben realizar los asistentes.
Simultáneamente reflexionan sobre lo que van realizando en la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo;
por otro lado, las actividades ya completadas proporcionan información al docente acerca de la comprensión que
los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Éstos realizan las actividades en
Página 313
grupos frente a la computadora, de acuerdo con las actividades programadas. En tal modalidad se fomenta la
discusión entre los asistentes, quienes se ven en la necesidad de verbalizar y de expresar de múltiples formas sus
respuestas, generando un clima de discusión. En las discusiones colectivas que organiza el profesor se contrastan
los diferentes acercamientos a una actividad determinada que se presenta en el grupo. Esos intercambios suelen
tener un impacto significativo en los modos de apropiación del conocimiento.
Gestión de Aula: Facilitar y afianzar el aprendizaje de matemática a través de las tecnologías educativas con
ayuda de un simulador. Para ello se implementa la estrategia de aula taller, caracterizada por:
o
“Aprender haciendo”, clave del aprendizaje.
o
Construcción del conocimiento en una dinámica colectiva y participativa.
o
Generador de ambientes propicios para la asimilación de conceptos básicos en matemática para
su discusión y aprendizaje.
o
Utilización de material didáctico para la exploración de situaciones concretas, que conlleve al
desarrollo de un pensamiento matemático y científico.
o
Expresión libre de ideas, privilegiando las actividades de aprendizaje significativo.
Conclusiones:
Se contempla una participación activa de los profesores y alumnos de modo que se produzca una construcción
cooperativa de conocimiento entre ellos, de forma que los participantes tendrán que analizar su respectivo
sistema educativo y reflexionar sobre la posibilidad de un cambio comparando y analizando posibilidades reales
de concreción. Identificar factores para una educación de calidad para todos en el siglo XXI en nuestras
respectivas instituciones educativas.
Bibliografía
Alonso Delgado, Julia. (2007). Programa de tecnologías educativas avanzadas: una reseña histórica.
Actualidades Investigativas en Educación. Revista Electrónica publicada por el Instituto de Investigación en
Educación Universidad de Costa Rica ISSN 1409-4703. http://revista.inie.ucr.ac.cr
Barros, B.; Velez, J., y Verdejo, F. (2004): Aplicaciones de la teoría de la actividad en el desarrollo de sistemas
colaborativos de enseñanza y aprendizaje. Experiencias y resultados”, en Inteligencia artificial, 24, pp. 67-76.
Brunner, Juan J. (1990): Educación Superior en América Latina: Cambios y desafíos. Santiago. Chile. Fondo de
cultura económica.
Cabrera Murcia, E. P. (2005): Aprendizaje colaborativo soportado por computador (CSCL): su estado actual, en
Revista Iberoamericana de Educación.
Página 314
Carrió Pastor. (2007). Ventajas del uso de la tecnología en el aprendizaje colaborativo. Revista Iberoamericana
de Educación (ISSN: 1681-5653) n.º 41/4. EDITA: Organización de Estados Iberoamericanos para la
Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI)
Cavallo, David. (2002). Diseño emergente y ambientes de aprendizaje. http://www.incae.edu/ES/clacds/nuestros1H
proyectos/nacionesdigitales/ Construyendo-escenarios-para-el-desarrollo/pdfs/diseno-emergente-ambientesdeaprendizaje.pdf
Cebrián, Manuel, (2003) Análisis prospectiva y descripción de las nuevas competencias que necesitan las
instituciones educativas y los profesores para adaptarse a la sociedad de información. Revista Medios y
Educación, 20, pp 73-80.
Godino, J. D. et al. (2007) Criterios de diseño y evaluación de situaciones didácticas basadas en el uso de
medios imformáticos, para el estudio de las matemáticas. Publicado en memorias del congreso EDUTEC, Bs
As, Argentina.
Guzmán, Miguel de.
(1999) Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los procesos
matemáticos. Ediciones Pirámide. Madrid
MEC. Proyecto Descartes, http://descartes. Cnice.mecd.es/
Ross, Sheldon M. (1999). Simulación. Segunda Edición. Prentice Hall, México.
Tedesco, J. C. 2003. Los pilares de la educación del futuro. Ponencia para la Fundación JAIME BOFILL.
ANEXO
Ejercicio nº 1
Función polinómica de primer grado
1) Dadas las ecuaciones:
y = 3x + h1
y = -2x + h2 con h1 y h2 reales.
a)
¿Existirán valores de h1 y h2 para que las rectas sean paralelas?
b) ¿Existirán valores de h1 y h2 para que las rectas sean perpendiculares?
c)
¿Qué signo deben tener h1 y h2 para que las rectas se corten en un punto que está en el semieje
positivo de las x?
d) ¿Qué valor deben tener h1 y h2 para que las rectas contengan al origen de coordenadas?
Página 315
Fig. 1: Simulador en cero
Fig. 2: Simulador activado
Ejercicio nº 2
Función polinómica de segundo grado o función cuadrática
a) Proponer la expresión de una función y = f(x), cuya gráfica sea una parábola, que pase por los puntos
(1; 0)
y (4; 0). ¿Hay más de una función? ¿Por qué?
b) Proponer la expresión de una función y = f(x), cuya gráfica sea una parábola, que pase por los puntos
(-3,2)
y (2; -1). ¿Hay más de una función? ¿Por qué?
c) Proponer la expresión de una función y = f(x), cuya gráfica sea una parábola, que tenga como vértice al punto
(2; 2) y pase por el punto (3; -3/2). ¿Hay más de una función? ¿Por qué?
d) Proponer la expresión de una función y = f(x), cuya gráfica sea una parábola, que tenga como vértice al punto
(2; 2) y pase por el punto (0; 0). ¿Hay más de una función? ¿Por qué?
e) Proponer la expresión de una función y = f(x), cuya gráfica sea una parábola, que pase por los puntos
(0; -
4); (1;1) y (-1;-5). ¿Hay más de una función? ¿Por qué?
f) ¿En cuáles de los casos anteriores puede encontrar una única función que satisfaga las condiciones dadas? ¿Por
qué?
Discuta las situaciones planteadas, relacione los aspectos analíticos y algebraicos con los geométricos.
Página 316
Fig 3 Simulador parábola
Observación: En esta actividad se presentara en la pantalla la posibilidad de trabajar con las tres formas de la
ecuación de la parábola a efectos que los alumnos detecten cuál es la forma más conveniente de usar de acuerdo a
la situación.
Ejercicio nº 3
a) Una función de segundo grado del tipo f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c reales (a≠0) que tiene dos ceros reales
distintos: ¿qué signo tiene la ordenada del vértice de la parábola que la representa?
b) Una función de segundo grado del tipo f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c reales (a≠0) que tiene un único cero
real: ¿qué valor tiene la ordenada del vértice de la parábola que la representa?
Página 317
c) Una función de segundo grado del tipo f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c reales (a≠0) que no tiene ceros reales:
¿qué signo tiene la ordenada del vértice de la parábola que la representa?
Fig 4: Simulador parábola
Función de primer y segundo grado
4) Sea y = 3x + h (h ∈ ℜ) y la parábola de ecuación y = 2 (x-1)(x-3).
a)
Varíe h libremente para determinar gráficamente y en forma aproximada qué valores de h hacen que la recta
corte a la parábola en un sólo punto, dos puntos o ningún punto.
b) Resuelva la situación analíticamente.
c)
Fig. 5: Simulador parábola y recta
Página 318
NÚMEROS COMPLEJOS, UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA ALUMNOS
DE CIENCIAS BIOLÓGICAS.
María Susana Vecino, Guillermo Valdez, María Cristina Rocerau Silvia, Vilanova, Mercedes Astiz, María
Isabel Oliver, Perla Medina
Universidad Nacional de Mar del Plata – República Argentina
[email protected], [email protected]
Palabras claves: metodología, números complejos, biología, historia
12H
13H
Resumen
El avance de las Ciencias y de la Tecnología, han evolucionado en forma vertiginosa en los últimos tiempos, lo
cual genera un interés por parte de los docentes en la búsqueda de actualizaciones para la posterior capacitación y
formación profesional. Numerosos cambios se han dado en la enseñanza a nivel universitario, entre ellos: el
incremento del número de estudiantes que actualmente cursan estudios terciarios; los importantes cambios
curriculares en el nivel pre-universitario; las crecientes diferencias entre la educación matemática de nivel
secundario y la de nivel terciario, con respecto a sus propósitos, objetivos, métodos y enfoques de enseñanza; el
rápido desarrollo de la tecnología; etc.
Estos aspectos y las exigencias que transcurren en la vida cotidiana, hacen que cada día que pase, el docente
aumente su interés por el perfeccionamiento y la búsqueda de nuevas estrategias para poder desenvolverse en una
sociedad llena de exigencias, tomando un rol mucho más comprometido con el aprendizaje del alumno.
A efectos de mostrar una experiencia didáctica se ha elegido el tema “Números Complejos”, que corresponde a
la asignatura Matemática II de la Lic. en Ciencias Biológicas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la
Universidad Nacional de Mar del Plata.
Este trabajo, que forma parte de estudios realizados por el Grupo de Investigación: “ Investigación Educativa”
de esta Facultad, propone una alternativa metodológica que intenta ensamblar aspectos históricos,
epistemológicos y psicopedagógicos e incorporar una participación activa del alumnado
Fundamentación teórica del trabajo
El grado de crecimiento e integración que han adquirido los conocimientos científicos y sus aplicaciones técnicas
y tecnológicas repercuten en un conjunto de esferas de la vida sociopolítica, económica y en particular en la
esfera educativa. En consecuencia los actuales sistemas de enseñanza se enfrentan al problema de reelaborar una
concepción del proceso de enseñanza de las nuevas condiciones históricas, que garantice la actividad creadora del
hombre y el desarrollo de su personalidad. A partir de esta realidad y analizando las distintas tendencias
pedagógicas contemporáneas, el trabajo se fundamenta en las siguientes Teorías:
Enfoque Histórico Cultural, con la teoría de la Actividad y la Teoría de formación por Etapas de las Acciones
Mentales: Se apoya en los trabajos de Vigotsky. La tesis fundamental que sustenta esta tendencia pedagógica es
reconocer la naturaleza histórico social del hombre, de sus cualidades y capacidades y considerar a la actividad
consciente y transformadora como el elemento fundamental para el desarrollo del individuo. Uno de los aportes
más importantes de Vigotsky lo constituye el concepto de la zona de desarrollo próximo quien la define como la
Página 319
distancia de lo que puede un alumno realizar por si solo, con los conocimientos y habilidades que posee y lo que
es capaz de alcanzar con la ayuda de otro .Leontiev y Galperin, enriquecen este enfoque con la Teoría de la
Actividad y la Teoría de Formación por etapas de las acciones mentales respectivamente y constituyen junto con
el enfoque Histórico Cultural un fundamento teórico que permite contextualizar y hacer más activo el proceso de
aprendizaje y del conocimiento del estudiante que es concebido como un proceso de construcción personal que
transcurre como parte de una colaboración entre alumnos y profesor en la actividad conjunta que ellos realizan.
El Enfoque Cognoscitivo. Piaget, pionero en la concepción constructivista del aprendizaje, describió el
aprendizaje en términos de esquemas, conceptos y estructuras, el conocimiento se manifiesta en niveles de
pensamiento y se desarrolla a través de procesos de asimilación, acomodación y adaptación., recurre a la noción
de asimilación para describir el proceso por el que un estudiante toma alguna experiencia o trozo de información
y lo coloca en la estructura existente de su conocimiento. La asimilación consiste en utilizar los esquemas
existentes para dar sentido a lo nuevo que se aprende. La noción de acomodación describe el cambio producido
en la configuración del conocimiento para que la idea nueva pueda ser asimilada. Otro concepto planteado por
este enfoque es el de Aprendizaje Significativo propuesto por Ausubel, quien lo define como un proceso por el
cual se relaciona nueva información con algún aspecto ya existente en la estructura cognitiva de un individuo y
que sea relevante para el material que se intenta aprender.
Importancia del tema
Los números complejos sirven no sólo para representar todas las posibles raíces de todos los polinomios de
coeficientes reales. Disponer de esta clase de números es de particular importancia en las aplicaciones a la Física,
la Ingeniería e incluso la Biología.
En el siglo XVI, los algebristas italianos para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado expresaron las
raíces de los números negativos mediante símbolos, como
− n , siendo n un número real cualquiera, debido a
que estas expresiones carecían de significado en el campo de los números reales. En concreto, fueron
introducidos por Cardano (1501-1576) para resolver ecuaciones de tercer grado.
Con estos símbolos se operaba según las reglas de cálculo de los números reales, y en el siglo XVII fueron
denominados por los matemáticos como números imaginarios pues no correspondían entonces a nada concreto.
En el siglo XVIII, los matemáticos intentaron encontrar una teoría coherente para estos números, y así el suizo
Euler (1707-1783) introdujo la notación i =
− 1 y posteriormente Wessel en 1798 y después Argand en 1806
proporcionaron su interpretación geométrica.
Gauss (1777-1855) continuó estudiando esta interpretación e introdujo la expresión de número complejo y
mostró que cualquier número complejo puede escribirse mediante la expresión a + bi, siendo a y b dos números
reales e i el símbolo de Euler.
El matemático irlandés Hamilton en 1835 estableció una la teoría completa de los números complejos que ha sido
conservada todavía y únicamente se tradujo al lenguaje de la teoría de conjuntos.
Página 320
El 19 de mayo de 1673, los naturistas de la Royal Society de Londres recibieron una carta con remitente de
Holanda. En ella Leewuwenhoek daba cuenta de sus observaciones con un microscopio que él mismo había
construido. En una de sus observaciones demostraba que el agua de las charcas, aparentemente limpia, estaba en
realidad poblada por un gran número de seres vivos. Había nacido la MICROBIOLOGÍA.
Tres siglos después el investigador C. A. Pickover, hacía un descubrimiento mientras se encontraba trabajando en
un programa para obtener conjuntos de Julia, cometió un error empleando la orden OR en lugar de la AND.
El efecto fue que apareció ante sus ojos un gráfico enteramente distinto al esperado. Bien mirado, su aspecto
recordaba algo al de un protozoo. Por ello la revista Omni caracterizó a Pickover como homólogo de von
Leewuwenhoek en el siglo XX, porque del mismo modo que el holandés descubrió seres unicelulares en una
charca, Pickover lo hizo en el propio plano complejo.
Aunque se trata de construcciones matemáticas, tienen un notable parecido con los seres unicelulares reales.
Ciertamente Pickover les puso el nombre de biomorfos y no fue por capricho.
Así es que graficando la función f(z) =
z 5 + c donde c = 0.1 - 0.9 i ITERANDO mientras el MÓDULO se
mantenga menor que un valor determinado (por ejemplo, 50) aparece la gráfica que recuerda al Paramecium.
PRERREQUISITOS DEL TEMA
La Teoría Ausubeliana del Aprendizaje significativo mantiene que todo nuevo aprendizaje significativo requiere
conectarse de algún modo a conceptos ya existentes en la estructura cognitiva del sujeto que aprende. Por eso
para obtener mayor rendimiento y un buen desarrollo de los contenidos, asegurando la asimilación y comprensión
de los mismos, se deberá verificar que los alumnos tengan en claro los siguientes contenidos:
Propiedades de los números Reales como cuerpo ordenado
Resolución de ecuaciones lineales de primer grado
Resolución de ecuaciones de segundo grado con discriminante mayor o igual que cero.
Valor absoluto de un número real
Funciones Trigonométricas. Seno, Coseno, Tangente. Valores de estas funciones en los
ángulos notables.
Objetivos del tema
Página 321
•
Caracterizar los números complejos mediante sus formas: par ordenado, binómico, polar, y
trigonométrica.
•
Operar con números complejos en forma binómica y trigonométrica
•
Determinar sectores del plano mediante ecuaciones e inecuaciones con números complejos
•
Calcular las raíces de la ecuación
X n = R , R∈C
utilizando el teorema de De Moivre y verificar
que son los vértices de un polígono regular de n lados.
Desarrollo:
Se desarrollan tres clases teórico - prácticas presentando el Conjunto de los Números Complejos, las
operaciones y sus propiedades utilizando técnicas participativas y recursos informáticos para las gráficas de
raíces enésimas de un complejo e iteraciones de funciones de la forma f(z) = z + c .
5
Se aplica la técnica de observación directa experimental en las siguientes instancias:
1.
Se continúa en las clases prácticas con el trabajo en pequeños grupos observando sistemáticamente
las actitudes personales del alumno, su forma de organizar el trabajo, las estrategias que utiliza, de
cómo resuelve las dificultades que encuentra, etc. llevando registro mediante.
2.
Se seleccionan distintos ejercicios de la práctica para que un integrante de cada grupo exponga en
forma oral. Esta actividad tiene por objetivo acostumbrar al alumno a fundamentar sus afirmaciones,
generar intercambio con sus compañeros de grupo, mejorar su forma de expresión y propiciar que
llegue a las instancias de examen parcial con mayores posibilidades. (INSTRUMENTO A ).
3.
Al finalizar la guía de trabajos prácticos, y previo al primer examen parcial, se incorporan instrumentos
de auto evaluación ( INSTRUMENTOS B Y C) y de reflexión sobre lo aprendido y cómo se ha
aprendido, y también, sobre lo enseñado y cómo se ha enseñado.
4.
Al completar la primera mitad del cuatrimestre son evaluados mediante un examen parcial.
Instrumentos de evaluacion
INSTRUMENTO A: para evaluar las exposiciones orales de los alumnos durante el desarrollo de las
prácticas correspondientes a cada una de las unidades:
Este instrumento trata de valorar el trabajo independiente del alumno.
Alumno
Totalmente
Independ.
Independiente Con algo de Con mucha
ayuda
ayuda
No
corresponde
Puede explicar lo que ha
hecho.
Página 322
Presenta más de una
solución (en caso que exista
y esté disponible).
Realiza buenas preguntas
tales como
Qué pasa si...?
Discrimina entre la
información provista
(datos) y la pedida
Reorganiza conceptos y
propiedades vistas para
resolver una nueva
situación?
Instrumento de autoevaluación b
Para contestar por los alumnos, una vez finalizada la unidad.
Fecha:
SI
NO
NO LO SUFICIENTE
Leyó los conceptos teóricos
previos al desarrollo de la guía de
actividades?
Pudo concluir con la guía de
ejercicios según el cronograma
propuesto por la asignatura?
Pudo desarrollar los ejercicios
planteados con los conceptos
vistos en las clases teóricas?
La metodología de trabajo le
resultó efectiva?
Pudo consultar a alguno de los
docentes cuando era necesario?
Página 323
Hubo un buen ambiente de
trabajo en las distintas clases
prácticas y /o teóricas ?
Comentarios: (describa brevemente dificultades que tuvo para el desarrollo de esta guía de ejercicios)
Instrumento de autoevaluacion c:
Para contestar una vez finalizada la unidad y antes de la evaluación sumativa
Casi todos los ejercicios consisten en preguntas de opción múltiple o verdadero-falso que requieren pocos o
ningún cálculo. Las respuestas a estos ejercicios se encuentran al pie de página. Los mismos están diseñados para
ver si el estudiante entiende las ideas básicas y deben resolverse antes de abordar los problemas más generales
que les siguen.
1) z = z si y sólo si
a) z es real
b) z es imaginario
c) z ≠ 0
2) Para z= a+ bi la magnitud de z, denotada z
a)
a2 − b2
b)
a2 + b2
es :
c)
1− a2
Verdadero o falso:
3) Para z = a + bi, arg z =
4)
π − arctan g
b
si a ≺ 0 y b
a
0
z =− z
5) arg z = − arg z
6) − 1 = 1.(cos π
+ isenπ )
⎛ −1
7) (1 + i ) = 4 2 ⎜
5
⎝ 2
8) si
−
1 ⎞
i ⎟ = −4 − 4i
2 ⎠
5
5 ⎞
1⎛
π
π⎞
⎛
z = 2⎜ cos π + i sen π ⎟ entonces z −3 = ⎜ cos + i sen ⎟
4
4 ⎠
8⎝
4
4⎠
⎝
Página 324
9) Una de las raíces cuartas de -1 es
(
2 +i 2
)
10) Una de las raíces cúbicas de (−1 + i ) tiene argumento mayor que un ángulo llano.
Respuestas a la autoevaluación
1) a
2) b
3) V
4) F
5) V
6) V
7) V
8) V
9) F
10) V
Ejercicios propuestos para la evaluación parcial y correspondientes al tema:
Se muestran a continuación dos ejercicios del tipo de los que se proponen para la evaluación del tema dentro del
primer examen parcial
Los mismos se han seleccionado porque:
El ejercicio 1 evaluará el aprendizaje del concepto de raíz n-ésima de un complejo (Validez Conceptual) y
también la habilidad para operar con números complejos (Validez funcional).
El ejercicio 2 evaluará la habilidad para calcular las raíces n-ésimas de un complejo (Validez funcional).
EJERCICIO 1
z 4 − 3i + 1
donde z es una de las raíces cuartas
Calcular y expresar en forma binómica el conjugado de
( z 2 + 1).( z 2 − 1)
de i
EJERCICIO 2
Hallar y graficar todos los complejos z tales que:
( z 3 + i ).( z 4 + 16) = 0
Consideraciones finales:
A pesar de que el alumno universitario debería tener la inquietud de aprender, más allá del resultado de la
evaluación, la realidad muestra que una gran parte de ellos, especialmente alumnos de los primeros años, se
preocupan por estudiar lo que “seguramente van a tomarle en el examen” o en discutir la nota obtenida a efectos
de conseguir un “aprobado”.
El presente trabajo brinda la oportunidad de replantear las clases, considerar y aplicar técnicas participativas,
implementar distintas alternativas de trabajo y aplicar recursos que brindan las nuevas tecnologías.
Página 325
BOYER, C. (1996). Historia de la Matemática. Madrid. España: Editorial Alianza Universidad Textos.
CALLEJO, M. (1994). Un club matemático para la diversidad- España: Editorial Narcea.
DÍAZ BARRIGA, A. (1994). El examen. En Díaz Barriga (Ed.). Docente y Programa. Lo institucional y lo
didáctico (pp. 125-140). Argentina: Aique Grupo Editor S.A .
DÍAZ BARRIGA, A. (1990). Una polémica en relación al examen. En Díaz Barriga (Ed.), Currículo y
evaluación escolar (pp. 31-52). Argentina: Aique Grupo Editor S.A.
GENTILE, E. (1973). Notas de Álgebra I. Buenos Aires, Argentina: Ed. EUDEBA.
GIMENO SACRISTAN, J. (1994). La evaluación de la enseñanza. En Gimeno Sacristán,J. y Pérez Gómez, A.
(Eds.). Comprender y transformar la enseñanza (pp. 334-397). Madrid: Ediciones Morata.
PALOU DE MATÉ, M. (1998). La evaluación de las prácticas docentes y la autoevaluación. En Camilloni,
A.;Celman,S.; Litwin, E. y Palou de Maté, M. (Eds.). La evaluación de los aprendizajes en el debate didáctico
contemporáneo (pp. 93-131). Buenos Aires. Argentina: Paidós.
POLYA, G. (1979). Como plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas.
VILLALONGA de GARCIA, P. y COLOMBO de CUDMANI, L. (2003)- ¿Cómo evaluar el conocimiento
matemático de los alumnos?. Actas de la Décimo Tercera Reunión Nacional de Educación en Física. Volumen en
soporte magnético. Río Cuarto. Córdoba. Argentina.
Página 326
SISTEMAS DE ECUACIONES
UNA META REFLEXIÓN SOBRE LA PRÁCTICA PROFESIONAL
Esp. Prof. Caronía, Silvia; Berentt, Enzo ; Lesiw, Gerardo
Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales. Universidad Nacional de Misiones. Argentina
[email protected]
Palabras claves: institucionalización, análisis didáctico, sistemas de ecuaciones, registros de clases
14H
RESUMEN
En el presente trabajo se analiza algunas cuestiones puntuales a posteriori del proceso de la Práctica Profesional,
en este caso la observación de uno de los momentos de la clase: “la institucionalización” desde el punto de vista
de la Teoría de las Situaciones didácticas de Guy Brousseau .
Se intenta realizar una meta reflexión que permitirá comprender aspectos que en un análisis a priori fueron
estudiados, consensuados como referentes de los procesos teóricos didácticos- matemáticos que se encuentran
íntimamente imbricados y cómo, a la hora de la puesta en escena, juegan los mismos.
Para provocar esta reflexión, se considera algunas cuestiones que surgieron en la clase de un practicante se
intenta analizar, discutir y en “una nueva mirada”, volver a cuestionarse, a partir de las intervenciones en clase y
de la evaluación propuesta, qué efectos produjeron en los alumnos, cuáles fueron los procedimientos adoptados,
qué puntos hoy parece necesario volver a replantear y en qué medida se suscitó la apropiación del conocimiento
por parte del alumno.
Después de un tiempo, provocar éste análisis, llevará seguramente a la necesidad de redimensionar, valorar y
entender los aportes fundamentales de la Didáctica de la Matemática que contribuyen en la formación del futuro
docente
Para tener en cuenta lo mencionado precedentemente se utilizaron como insumo, los registros de clases
efectuados por los alumnos practicantes y la docente de la Práctica sobre un tema desarrollado durante la misma:
sistemas de ecuaciones.
Introducción
Es nuestra intención analizar sobre algunas cuestiones puntuales a posteriori del proceso de la práctica
profesional, en este caso detenernos en uno de los momentos de la clase: “la institucionalización” desde el punto
de vista de la Teoría de Las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau .
Para efectuar dicho análisis consideraremos uno de los conceptos desarrollados durante la práctica: sistemas de
ecuaciones, observaremos algunas cuestiones que surgieron en una de las clases de un practicante para intentar
luego provocar una reflexión, discutir y en “una nueva mirada”, volver a cuestionarse, a partir de las
intervenciones en clase y sus evaluaciones, qué efectos produjeron en los alumnos, cuáles fueron los
procedimientos adoptados, qué puntos hoy parece necesario volver a replantearse y en qué medida se suscitó la
apropiación del conocimiento por parte del alumno.
Para tener en cuenta lo mencionado precedentemente se utilizaron como insumo los registros de clases realizados
por los alumnos practicantes, futuros docentes y docente de la práctica.
De todas las actividades desarrolladas comentaremos y analizaremos una de las clases de la práctica, en especial
nos detendremos en uno de los momentos. el de “la institucionalización”, que según la Teoría de las Situaciones
Página 327
Didácticas de Brousseau es una de las instancias fundamentales en el proceso de enseñanza- aprendizaje.
Respecto a éste concepto Panizza (2004) expresa que “… es la posibilidad de establecer relaciones entre las
producciones de los alumnos y el saber cultural…”, supone además que su presentación no debería quedar
desvinculado del trabajo efectuado anteriormente con los alumnos, por ello continúa expresando que …“durante
la institucionalización se deben sacar conclusiones […] recapitular, sistematizar, ordenar, vincular lo que se
produjo en diferentes momentos del desarrollo de la secuencia didáctica, etc., afín de poder establecer
relaciones entre las producciones de los alumnos y el saber cultural…”
Brosseau sostiene en general que para la construcción del conocimiento el alumno debe ser responsable de sus
producciones pasando por otras etapas 3, antes de la intervención del docente en la institucionalización quién es el
2F
responsable de “oficializar el saber” que estuvieron trabajando los alumnos en las distintas instancias de la clase.
Ello diferencia de una clase tradicional donde es el docente el que inicia definiendo el concepto a enseñar e
inmediatamente supone que con los ejemplos ofrecidos logrará el aprendizaje por parte del estudiante. En esta
propuesta se revierte dicho planteo.
Para el análisis de la clase se toma como ejemplo los registros de una de ellas observando la etapa de la
institucionalización. Nos preguntamos así: ¿a que nivel se dio la misma? ¿que significó para el alumno que el
docente oficialice los conceptos?, ¿a la hora de poner en práctica lo aprendido, el estudiante tuvo en cuenta lo
desarrollado en la institucionalización? 4
3F
¿Cómo se pensaron las actividades para lograr la resignificación?
Sostenemos que para producir un aprendizaje en la enseñanza del sistema de ecuaciones es necesario replantear el
tipo de actividades que darían significado a los conceptos, considerando en primer lugar la tarea de una ecuación
con dos incógnitas y luego con los sistemas de ecuaciones y métodos de resolución.
Para ello se pensó en una actividad lúdica, esto es, un juego dónde se trata de trabajar una ecuación con dos
incógnitas (ver anexo). Comprender este primer concepto conduce a dos vías: por un lado a la característica que
exhibe infinitas soluciones y segundo preparar el camino para entender el significado de un sistema de
3 llamadas situaciones adidácticas, ellas son: acción, formulación y validación. Sadovsky en su tesis cap 1 expresa:… “El carácter de
“adidáctico” remite a un tipo de vínculo con el medio, en el que el sujeto compromete esencialmente su sistema matemático de
conocimientos. “Entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el que produce su respuesta, el maestro rehusa
intervenir proponiendo los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle
adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la
situación y que puede construirlo sin atender a razones didácticas.”(Brousseau, G; 1986 (1993) l). Como lo han señalado muchos autores,
por ejemplo Margolinas la noción de “adidáctico” […] se refiere al tipo de compromiso que el alumno tiene con el medio y no alude al
“silencio” del maestro sino al hecho de que, para dar lugar a la producción de conocimientos, el docente no explicita cuáles son los
conocimientos que el alumno debe movilizar..”.
4 Sadovsky manifiesta… “Por otro lado, Brousseau atribuye al docente un papel esencial en el proceso de transformación de los
conocimientos en saberes: “Fue así como “descubrimos”(¡!) lo que hacen todos los docentes en sus clases pero que nuestro esfuerzo de
sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que han hecho los alumnos, describir lo que ha sucedido y lo que tiene una
relación con el conocimiento al que se apunta, dar un estatuto a los acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como
resultado del docente, asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los otros
(culturales o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados .( ...) La consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del
alumno y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico:
ese doble reconocimiento constituye el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN.”(1988 b).
Página 328
ecuaciones. ¿Cómo?, se propuso otra consigna: que a la primera ecuación se le agregara una segunda las que
juntas conducirían a presentar el sistema de ecuaciones y su resolución por alguno de los métodos posibles.
Las actividades estuvieron secuenciadas para dar sentido a los conceptos que se pretendía enseñar 5 y a lograr que
4F
los alumnos trabajaran y se responsabilizaran de sus producciones en los distintos momentos de la clase para
después converger en la puesta en común, lugar dónde los alumnos exponen y discuten las elaboraciones que
producen, siendo las mismas una aproximación al conocimiento que se busca enseñar.
Se tuvo especial cuidado que, a través de las actividades, el alumno lograra hallar el conjunto solución, aún sin
conocer por el momento cuál era el método que estaba utilizando debiendo ser el docente quién lo condujera a
ello para luego discutir cual o cuales serían las técnicas más convenientes para la resolución de los mismos,
cuestión ésta sobre la que no se reflexiona en la enseñanza tradicional y se presentan los métodos independientes
como si no existiera lo posibilidad de trabajarlas en forma combinada.
Registro y observación de la institucionalización en la clase mencionada
Como lo que se pretende institucionalizar es extenso, con muchos puntos que el docente debe remarcar, para este
momento fue necesario ir dialogando, y a su vez instalando mini institucionalizaciones. En este caso el docente
inicia mencionando lo que se estuvo trabajando en clases anteriores y procura establecer a partir de las mismas,
las características que presentan las ecuaciones con dos incógnitas, cuando dice:
P: ¿recuerdan que comenzamos trabajando con la ecuación x+2y=47? Luego de ésta les di muchas otras de
forma similar x + 4y = 81
3x + 2y = 84…( pone otras mas)
A: profe… veo que aparecen en todas x e y?
P si en todas aparecen “x” e ”y” y están igualadas a un número. Si queremos escribir la forma general podemos
usar letras por ejemplo: ax + by = c
P: “x” e “y” son las incógnitas de la ecuación a y b son números reales cualesquiera y son los coeficientes de
las incógnitas. Esta es la forma general de una ecuación de primer grado con 2 incógnitas.
P: Pero ¿que pasó? ¿Pudieron encontrar los números que pensé?
Todos: Nooo…
P: No pudieron. ¿se acuerdan? los distintos grupos encontraron valores de “x” e “y” pero no eran los que
pensé, por ejemplo encontraron:
x = 45
x = 37 x = 7
y=1
y = 5 y = 20
P: Ustedes encontraron varios pares de números que son solución de la ecuación que les di, esto se debe a que
una ecuación con 2 incógnitas tiene infinitas soluciones.
Estas cuestiones que va aludiendo apuntan a caracterizar que la ecuación con dos incógnitas presenta infinitas
soluciones. Se observa a los alumnos participar e interrogar sobre puntos que el docente destacará luego cuando
dicen: … “pero en todos dio profe… y fueron muchos los que encontramos eso…. ¿por qué es…”. En este
momento el docente se encarga de ir remarcando que todas son soluciones de la ecuación cuando manifiesta:
…Ustedes encontraron varios pares de números que son solución de la ecuación que les di, esto se debe a que
una ecuación con 2 incógnitas tiene infinitas soluciones...
5 Si bien las actividades son propuestas y trabajadas con anterioridad se las consideran flexibles y en muchos casos dependiendo del grupo
con el que se trabaje se vuelven a realizar modificaciones.
Página 329
En el momento que el profesor dice… Pero ¿que pasó? ¿Pudieron encontrar los números que pensé? Todos:
Nooo… Con la pregunta lo que pretende es conducirlos más adelante a los sistemas de ecuaciones. Con ese
objetivo vuelve a la pregunta inicial para que el alumno relacione con lo trabajado anteriormente para dejar
sentado el concepto que pretende enseñar.
P: Por lo que vi ningún grupo encontró el par 13 y 17. ¿qué pasó?
P: Para que puedan encontrarlo di otra ecuación que junto con la primera permitió hallar el par de números que
pensé.
x + 2y = 47
x + 4y = 81
P: Estas 2 ecuaciones, juntas, forman un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. La llave indica que se buscan
los valores de “x” e “y” que verifiquen ambas ecuaciones a la vez.
P: La forma general es:
ax + by = c
dx + ey = f
Donde a, b, c, d, e, f son números reales. “x” e “y” son las incógnitas del sistema. a, b, d, e, son los coeficientes
de las incógnitas, c y f son términos independientes.
P: Como aún así nadie pudo encontrar los números que pensé, les di un listado de pares de números hallados
por otros alumnos de otro curso, donde algunos cumplían la primer ecuación, otros la segunda y solo un par
cumplía las 2 ecuaciones. Este era el par 13,17
P: Este par de números es la solución del sistema y, en este caso, es el único par de números que verifica las 2
ecuaciones simultáneamente.
x = 13
y = 17
[….]
P: Luego en la consigna 4 encontraron pistas que solo tengan “y” Por ejemplo, restaron las ecuaciones
iniciales:
_ x + 4y = 81
x + 2y = 47
2y = 34
P: Luego buscaron una ecuación que solo tenga x. Usaron una ecuación que era múltiplo de una inicial y
restaron a la otra (inicial):
2x + 4y = 94
x + 4y = 81
x = 13 (*)
P: ¿Que pudimos obtener realizando estas operaciones?
As: Los números que pensó.
P: Bien, así pudimos obtener los valores x = 13 e y = 17. Son los números que pensé y es la solución del sistema
de ecuaciones:
x + 2y = 47
x + 4y = 81
P: La solución de éste sistema de ecuaciones en particular es el par de números que verifican las 2 ecuaciones al
mismo tiempo. Con la solución encontrada podemos escribir de la siguiente manera
x = 13
y = 17
P: En este sistema podemos apreciar los valores de “x” e “y”. Este sistema de ecuaciones es equivalente al
sistema inicial.¿porqué?
P: porqué un sistema es equivalente a otro si tiene exactamente el mismo conjunto solución.
Página 330
P: Estos sistemas que fuimos trabajando [muestra el profesor (*)] tienen la misma solución, x = 13 e y = 17.
P: Las operaciones válidas que utilizamos para encontrar la solución de un sistema y que permiten encontrar
sistemas de ecuaciones equivalentes son: multiplicar o dividir a una ecuación por un número distinto de cero y
sumar o restar a una ecuación un múltiplo de la otra. (**)
El docente pretende hacer notar que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y un sistema de
ecuaciones con dos incógnitas una sola solución (para este ejemplo), se nota cuando expresa. …“ Este par de
números es la solución del sistema y, en este caso, es el único par de números que verifica las 2 ecuaciones
simultáneamente…”.
Además con las producciones que fueron realizando (*) retoma para dar significado al concepto de ecuaciones
equivalentes por ejemplo cuando expresa: … P: Luego en la consigna 4 encontraron pistas que solo tengan “y”
Por ejemplo, restaron las ecuaciones iniciales:…
Volviendo a observar lo desarrollado (**) entendemos que el profesor debería haberse detenido, hacerlos
reflexionar del ¿porqué se deben realizar estas operaciones, que se pretende con las mismas? Queda a nivel de
mención y hubiera sido conveniente a través de los ejemplos trabajados observar dónde se aplicaron las
operaciones válidas o permitidas -el alumno lo hizo sin tener presentes las mismas- que se puedan efectuar, para
arribar a sistemas equivalentes y encontrar los valores de las incógnitas.
Por último tomando lo trabajado muestra el método utilizado dando significado a la resolución de un sistema de
ecuaciones a través de uno de los métodos, como vemos a continuación:
Por ejemplo:
x + 2y = 47
x + 4y = 81
_ x + 4y = 81
x + 2y = 47
2y = 34
y = 17
P: El procedimiento utilizado se denomina “Método de reducción por sumas y restas” y consiste en encontrar
una ecuación que posea solo una de las variables del sistema. Luego encontrar el valor de la otra variable
repitiendo el mismo procedimiento.
A: profe…? Y si sabemos el valor de y ¿podemos utilizarlo en la ecuación para encontrar x?
P: muy bien así es, este valor se puede reemplazar en una de las dos ecuaciones:
x + 2(17) = 47
x + 34 = 47
x + 34 – 34 = 47 – 34
x = 13
Un alumno propone otro recurso para encontrar el valor de la incógnita faltante a lo que el docente asiente. Cabe
destacar que esto ocurrió sin que éste lo mencionara. En este caso el alumno ha sido capaz de transferir otro
concepto aprendido, como ser el tema de ecuaciones con una incógnita. El docente continúa diciendo:
P: entonces otra forma de buscar el valor de una variable es, una vez que conocemos el valor de una de ellas,
por ejemplo “y”, se puede reemplazar este valor en una de las ecuaciones del sistema y encontrar el valor de la
variable restante, en este caso “x”.
P: y se encuentra el sistema equivalente en el cual podemos ver las soluciones. Si realizamos de esta forma
estamos utilizando una combinación de métodos pues, primero, para encontrar el valor de “y” utilizamos el
Página 331
método de reducción y luego para encontrar el valor de “x” utilizamos otro método que llamamos método de
“sustitución”
x = 13
y = 17
Esto último que les he explicado depende de la forma que tenga el sistema de ecuaciones. Primero hay que
observar y luego ver cuál será el método más conveniente a elegir para encontrar la solución
Luego de este trabajo se presentaron actividades donde se discutieron con más profundidad el “Método de
reducción por sumas y restas” y el de sustitución. Para finalizar el tema el docente propuso ejercicios de refuerzo
para que los resolvieran por el método más conveniente y justificaran su elección 6.
5F
Finalizado el desarrollo del tema…
¿Qué efectos se produjeron en los alumnos, cuáles fueron los métodos adoptados, en qué medida se suscitó la
apropiación del conocimiento por parte del alumno?.
Para tener en cuenta lo mencionado precedentemente se muestran algunos procedimientos utilizados en una de
las preguntas hechas en los exámenes realizados por los alumnos, dando cuenta o no de la apropiación de los
conocimientos desarrollados
Evaluación 7: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones y explicar ¿cuál es el método utilizado y porqué le
6F
resulta el más conveniente para encontrar el valor de las incógnitas?
Conclusiones
La institucionalización es un momento especial de la clase en que el docente debe: Responsabilizarse, sacar
conclusiones.
6 En este caso solo se ha mostrado dos de los métodos de resolución
7 Se toma como ejemplo la evaluación hecha por un alumno
Página 332
Es de destacar que en los temas trabajados al ser complejos, existen varios conceptos relacionados, elementos y
características que el docente necesariamente debe institucionalizar. Es de observar que esta etapa, no
necesariamente debe hacerse siempre al final de toda la actividad, podría concebirla de a poco con mini
institucionalizaciones, como ha sucedido en esta clase.
Se ha observado la importancia de encarar actividades donde se puedan discutir dentro de los sistemas de
ecuaciones, el método más conveniente de aplicar a fin de dar sentido a lo trabajado para que no se convierta en
algo mecánico y sin significado.
Es importante efectuar una reflexión sobre el significado de encontrar sistemas de ecuaciones equivalentes para
que no quede lo aprendido como algo formal sin sentido, privado de la comprensión de sus aplicaciones
prácticas.
Por último realizar una meta reflexión aportó a nuestro entender, comprender aspectos que en un análisis a priori
han sido estudiados, analizados, consensuados y “comprendidos” como los referentes a los procesos teóricos
didácticos- matemáticos que se encuentran íntimamente imbricados y cómo a la hora de la puesta en escena
juegan los mismos. No obstante de realizar dicho análisis se ha visto que es importante la flexibilidad en las
consignas, ya que dependen de los estudiantes con los que se está trabajando.
Éste análisis, nos llevó a redimensionar, valorar y entender los aportes fundamentales de la Didáctica de la
Matemática que contribuyen sin lugar a duda a la formación del futuro docente.
ALONSO F. BARBERO, C. y otros Grupo AZARQUIEL (1993): “ideas y actividades para enseñar Álgebra”.
Edit Síntesis
BROUSSEAU, G (1999). “Educación y Didáctica de las Matemáticas” Trabajo presentado en el V Congreso
Nacional de Investigación Educativa. Aguascalientes, México
PANIZZA,M- SAIZ, I (COMP.) (2003): “Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB:
Análisis y propuestas. Editorial: Paidós.
PANIZZA, M- SADOVSKY, P- SESSA, C. (1996): “Los primeros aprendizajes algebraicos. El fracaso del
éxito”. Comunicación presentada a la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina, Salta. Versión en
ingles: The first algebraic learning. The failure of success. Proceedings of the 20 th Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education. University of Valencia, Sapain.
SADOVSKY, P. (2004) Tesis doctoral “condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas
aritméticas y prácticas algebraicas”. Capítulo 1: “Marco didáctico general: La Teoría de Situaciones”.
Anexo
Página 333
ACTIVIDAD 3: “Dando Pistas” 8
7F
Consigna 1:
He pensado dos números, que llamo “x” e “y”. La siguiente ecuación es una pista para averiguarlos:
X + 2Y = 47
Encuentren cuáles son esos números.
Consigna 2:
Como nadie descubrió los números que pensé, agrego a la anterior, otra pista:
x + 4y = 81
Cuando hayas averiguado los números no se lo digan a nadie.
Construyan ustedes otras ecuaciones que proporcionen nuevas pistas.
Consigna 2b (opcional)
Los siguientes pares de números fueron planteados por alumnos de otra división:
(-7, 22)
(-3,21)
(1, 20)
(9, 18)
(5, 22)
(13, 17)
(-1, 24)
(5, 19)
(-3, 25)
(7, 20)
Averigüen si entre estos se encuentran los números que pensó el profesor
Consigna 3
En otro curso trabajamos con las mismas ecuaciones:
X + 2Y = 47
X + 4Y = 81
Ellos obtuvieron las siguientes pistas:
2x + 4y = 94
3x + 12y = 243
2x + 6y =128
3x + 10y = 209
5x + 16y = 337
a)
Analizar la validez de las mismas.
b) ¿Es posible obtener estas pistas relacionando las pistas dadas por el profesor?
Consigna 4
a) ¿Podrían establecer (o encontrar) una nueva pista que solo tenga “y”, trabajando con las ecuaciones dadas
inicialmente?
a)
“¿Podrían establecer (o encontrar) una nueva pista que solo tenga “x”, trabajando con las ecuaciones dadas
inicialmente?”.
8 Las actividades propuestas han sido extraídas del texto: Alonso F. Barbero, C. y otros Grupo AZARQUIEL (1993): “ideas y actividades
para enseñar Álgebra”. Edit Síntesis, y trabajadas en las asignaturas Taller II y Seminario III
Página 334
DETECCIÓN Y ANÁLISIS DE ERRORES EN ELEMENTOS BÁSICOS DE LA
ALFABETIZACIÓN ESTADÍSTICA
Liliana Tauber, Yanina Redondo y Silvana Santellán
Facultad de Humanidades y Ciencias – Universidad Nacional del Litoral - Argentina
e-mail: [email protected]
Nivel educativo: Polimodal, Enseñanza Terciaria y Universitaria
Palabras Claves: Alfabetización estadística, Teoría de las Funciones Semióticas, Interpretación de gráficos y
tablas descriptivos, Análisis Exploratorio de Datos.
15H
Resumen
La importancia de la resolución de actividades que impliquen el uso y la interpretación de múltiples herramientas
del Análisis Exploratorio de Datos en cursos introductorios de Estadística a nivel universitario, ha sido puesta de
manifiesto en diversas investigaciones en las últimas décadas. Por otro lado, otros estudios recomiendan
profundizar sobre las dificultades de comprensión de los conceptos básicos que promueven la alfabetización
estadística, los significados de dichos conceptos y las relaciones presentes entre dichos significados.
El objetivo de nuestro estudio es profundizar sobre las dificultades y las relaciones mencionadas. Para ello,
hemos elaborado una categorización de elementos de significado, a partir de un análisis a-priori de diferentes
actividades de Análisis Exploratorio de Datos, que constituye el significado de referencia (que denominaremos
Significado Institucional) que nos permitirá evaluar la comprensión de los alumnos (Significado Personal
Logrado). Luego de realizar el análisis mencionado, se presentaron las actividades a una muestra de alumnos
universitarios de diversas carreras de la Universidad Nacional del Litoral.
A partir de las producciones de los alumnos, hemos realizado un análisis semiótico que nos ha permitido obtener
las primeras conclusiones en relación con los elementos de significado utilizados por ellos y, a partir de estos
elementos, pudimos detectar algunos desajustes entre el Significado Institucional y el Significado Personal
logrado por los alumnos en relación con la alfabetización estadística, los cuales evidencian algunas dificultades
de comprensión en los conceptos estadísticos introductorios. Finalizamos este trabajo proponiendo algunas líneas
de trabajo para favorecer la adquisición de los conceptos mencionados.
Introducción
Aproximadamente, desde los ’90, ha habido un fuerte reclamo desde la educación estadística para centrarse más
en la problemática particular de la alfabetización, el razonamiento y el pensamiento estadísticos. Uno de los
argumentos principales presentados por los investigadores en este campo (Batanero, 2001; Gal, 2004) es que las
aproximaciones tradicionales de enseñanza de la estadística se han centrado básicamente en procedimientos y
cálculos, los cuales no han provocado que los estudiantes logren razonar o pensar estadísticamente.
En los últimos años, los educadores estadísticos han dado muchas recomendaciones sobre cómo se deberían dar
los cursos de estadística. Algunas de estas recomendaciones son: Trabajar con datos reales, desarrollar la
alfabetización, el razonamiento y el pensamiento estadísticos, utilizar distintas alternativas de lectura para
favorecer el aprendizaje, favorecer la generación de un amplio rango de actitudes, incluyendo la evaluación
crítica de los conceptos estadísticos.
Marco teórico
Cuando analizamos las recomendaciones anteriores, en ellas, no hay definiciones consistentes para los objetivos
de aprendizaje sobre alfabetización, razonamiento y pensamiento. Tampoco se logra una distinción clara entre
estos tres términos que son claves a la hora de decidir cuáles serán los objetivos de enseñanza y de aprendizaje en
Página 335
cada nivel educativo. En el ICOTS 5, realizado en Singapur en 1998 se comenzaron a delinear algunas
definiciones de estos términos que luego fueron plasmadas por Ben-Zvi y Garfield (2004). En el mencionado
libro se presentan las definiciones más aceptadas, las cuales resumimos a continuación:
• Alfabetización estadística: incluye habilidades básicas e importantes que son usadas en la comprensión de
información y resultados de investigaciones. Estas habilidades incluyen: organizar datos, construir y presentar
tablas y trabajar con distintas representaciones de datos.
• Razonamiento estadístico: se puede definir como la manera de razonar de la gente sobre las ideas estadísticas
y cómo le dan sentido a la información estadística. Todo esto involucra: hacer interpretaciones basadas en un
conjunto de datos, representar o resumir datos. También involucra las relaciones entre conceptos (p.e., centro y
dispersión), o combinar ideas sobre los datos y las posibilidades
• Pensamiento estadístico: involucra la comprensión de porqué y cómo se realizan las investigaciones
estadísticas y las “grandes ideas” implícitas en ellas. Estas ideas incluyen a la naturaleza omnipresente de la
variación y, cuándo y cómo usar los métodos más apropiados de análisis de datos, tales como resúmenes
numéricos y gráficos. Además de entender cómo, cuándo y por qué las herramientas inferenciales pueden
usarse para fundamentar los procesos de investigación.
En nuestro país se ha incluido en las orientaciones curriculares la enseñanza de los conceptos estadísticos desde
el Nivel Inicial, pero somos conscientes que en la mayoría de los casos estos contenidos quedan solamente en las
planificaciones y, que la mayoría de los docentes no los enseña porque no los conoce o porque no se siente
cómodo enseñándolos. Conscientes de esta problemática y de las recomendaciones mencionadas en párrafos
anteriores, hemos pensado que debíamos comenzar nuestro trabajo proponiendo instrumentos para evaluar el
conocimiento básico de los alumnos que ingresan a un primer curso universitario de estadística.
Es por ello que en este trabajo presentamos el primer instrumento diseñado con el objetivo de indagar sobre el
nivel de alfabetización estadística que poseen nuestros alumnos al ingresar al curso mencionado. Este
instrumento es una herramienta de exploración que nos permite detectar qué es lo que conocen los alumnos en
relación con la lectura e interpretación de datos estadísticos representados en tablas y gráficos.
Al momento de elaborar el instrumento pensábamos que era importante fundamentar la elección de las preguntas
y tareas que se incluirían, y para ello hemos utilizado, el modelo onto-semiótico propuesto por Godino (2003).
Una de las características que distinguen esta teoría, es que problematiza la naturaleza de un objeto matemático,
suponiendo que un mismo término o expresión matemática, por ejemplo el concepto de promedios, designa
entidades diversas. Estas entidades no aparecen aisladas en la actividad matemática, sino que se ponen en
relación durante la misma. Para tener en cuenta estas relaciones entre elementos además de la dimensión
institucional, se tiene en cuenta en nuestro marco teórico lo que Godino (2003) denomina Funciones semióticas y
que están compuestas por diversos elementos de significados, los cuales pueden ser de diversa índole y se pueden
clasificar de la siguiente manera (de acuerdo a la categorización realizada en Tauber (2001)):
¾
Extensivos: entidades fenomenológicas que inducen a actividades matemáticas (situaciones-problemas,
aplicaciones).
Página 336
¾
Ostensivos: representaciones materiales utilizadas en la actividad matemática (términos, expresiones,
símbolos, tablas, gráficas). Estos elementos se pueden observar y manipular y tiene una doble función.
¾
Actuativos: modos de actuar ante situaciones o tareas (procedimientos, algoritmos, operaciones).
¾
Intensivos: ideas matemáticas, abstracciones, generalizaciones (conceptos, proposiciones).
¾
Validativos: tipos de argumentaciones usadas para validar proposiciones: generalización, comprobación de
casos, análisis, síntesis, la utilización de la representación gráfica como un medio de justificación.
Esta categorización de elementos de significado nos brinda una metodología para determinar el significado
institucional que se pretende presentar a los alumnos por medio de determinadas tareas. Además, nos permitió
identificar cuáles han sido los elementos del significado personal utilizados realmente por los alumnos y luego
contrastarlos con el significado institucional. Dicho contraste permitió detectar los errores de interpretación en la
lectura de gráficos y tablas descriptivos.
Errores en la lectura e interpretación de datos estadisticos
En Batanero et al. (1994) se destaca la necesidad de que los alumnos adquieran destrezas en la lectura crítica de
datos, ya que ésta es un componente básico para lograr la alfabetización estadística y una necesidad en nuestra
sociedad tecnológica. Por otro lado, Curcio (1989) describe tres niveles distintos de comprensión de los gráficos:
Leer los datos: este nivel de comprensión requiere una lectura literal del gráfico; no se realiza interpretación de la
información contenida en el mismo. Leer dentro de los datos: incluye la interpretación e integración de los datos
en el gráfico; requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemáticas.
Leer más allá de los datos: requiere que el lector realice predicciones e inferencias a partir de los datos sobre
informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico.
Por ejemplo, si analizamos una tarea en la que se requiere la interpretación de un gráfico de barras, “leer los
datos” se refiere a cuestiones sobre la lectura de las escalas o encontrar el valor de la frecuencia correspondiente
a una categoría, dado el valor de las otras frecuencias y el tamaño de muestra. “Leer dentro de los datos” se
refiere, por ejemplo, a cuestiones sobre la comparación de frecuencias entre categorías diferentes o a la
comparación con respecto a otra muestra. Finalmente, el descubrimiento de las tendencias y/o las relaciones entre
muestras o categorías requeriría el trabajo en el nivel de “leer más allá de los datos”.
Curcio encontró que las principales dificultades aparecen en los dos niveles superiores (“leer dentro de los datos”
y “leer más allá de los datos”).
Metodología
Basándonos en la definición de alfabetización estadística y en las recomendaciones realizadas por algunos de los
autores mencionados (Curcio, 1989; Li y Shen, 1992, Ben-Zvi y Garfield, 2004), elaboramos un cuestionario que
consta de 5 ítems en el que se presentan tablas y gráficos estadísticos para variables cualitativas, cuyas preguntas
han sido orientadas a obtener información sobre las conocimientos de nuestros alumnos en relación con la lectura
crítica de estos resúmenes estadísticos. Los objetivos que nos hemos planteado al construir este instrumento han
sido los siguientes:
• Categorizar los elementos de significado institucionales que se presentan en el instrumento.
Página 337
• Determinar los elementos de significado personales que utilizan los alumnos en la resolución de las tareas.
• Indagar sobre los elementos básicos de alfabetización estadística que poseen los alumnos cuando comienzan
un curso introductorio de estadística a nivel universitario.
• Comparar entre el significado institucional y el personal con el fin de detectar desajustes y posibles conflictos
de aprendizaje en relación con los conceptos estadísticos básicos.
• Establecer si existen diferencias entre los alumnos que han estudiado previamente estadística y los que no lo
han hecho, en relación con las destrezas básicas de alfabetización estadística, y establecer si existen diferencias
entre los alumnos que cursan un profesorado de matemática con alumnos de otras carreras universitarias.
Instrumento para la toma de datos y su construcción
Durante el año 2005 se elaboró la primera versión del cuestionario y se aplicó a una muestra piloto. A partir de
esta primera experiencia se modificaron algunas cuestiones de formato, redacción de las preguntas, etc, de tal
manera que se obtuvo un segundo cuestionario en el que se mejoraron algunas cosas, especialmente la
presentación de los gráficos que en la primera versión no habían resultado claros al imprimirlos y por lo tanto, era
dificultosa la lectura.
Se seleccionaron exclusivamente tablas y gráficos para variables cualitativas porque pensábamos que serían
contenidos que muchos habrían trabajado en el Nivel Medio y, porque es información que se presenta muy a
menudo en los medios gráficos y televisivos y queríamos indagar sobre qué parte de la información se comprende
mejor cuando se utilizan estos resúmenes.
Como primera fase del trabajo, una vez que se había elaborado el cuestionario definitivo, se realizó un análisis apriori de los ítems, basándonos principalmente en la metodología planteada por Godino (2003), y a partir de ella
hemos determinado los elementos de significado incluidos en el significado institucional.
Una vez pasado el cuestionario, hemos realizado una codificación de las respuestas en función de los elementos
de significado determinados en la primera fase. Luego se han cargado los datos en el programa SPSS y por último
hemos realizado algunos análisis descriptivos de los resultados obtenidos. Por otra parte, también hemos
realizado un análisis de corte cualitativo que nos ha permitido detectar algunos elementos erróneos en las
justificaciones y argumentaciones dadas por los alumnos. En este trabajo sólo presentamos el análisis descriptivo
para algunos de los elementos de significado personales.
Muestra participante
La muestra original estuvo conformada por 300 alumnos
de diversas carreras que realizan su primer curso de
Estadística a nivel universitario, de dos Universidades:
Nacional del Litoral y Católica de Santa Fe. En este
trabajo, sólo presentaremos los resultados de una submuestra seleccionada al azar de la muestra original, en la
que se ha quitado los cuestionarios resueltos por los
alumnos de la Universidad Católica de Santa Fe, ya que se
Lic. en Sociología
TOTAL
25
60
Tabla 1: Conformación de la muestra a analizar
Carrera que está estudiando
Nº de alumnos
Diplom. Ciencias Políticas
6
Prof. de Matemática
20
Prof. de Biología
1
Prof. de Historia
1
Lic. en Geografía
3
Lic. en Biodiversidad
4
Página 338
pretende realizar solamente una comparación entre los alumnos de las diversas carreras de la Universidad
Nacional del Litoral. En consecuencia, la muestra que analizaremos en este trabajo está conformada de la manera
que se presenta en la Tabla 1.
Análisis a – priori del instrumento
Describimos el análisis a priori realizado de un cuestionario que se les pasó a los alumnos antes de comenzar su
primer curso universitario de Estadística. El instrumento consta de 5 ítems que se analizan a continuación:
Ítemes N° 1 y N° 2: corresponden a la búsqueda de información acerca de los conocimientos previos que los
alumnos poseen sobre Estadística, como así también los temas desarrollados en aquellos casos en que los
estudiantes hayan manifestado haber estudiado alguna vez esta asignatura. Esta información nos servirá de
referente para realizar las comparaciones entre los que han estudiado previamente Estadística y los que no.
Ítem N° 3: En este ítem se presenta la información a través de dos diagramas de barras, con el objetivo de
observar cuáles son los conocimientos intuitivos de los alumnos con respecto a la información que se recibe a
diario a través de los distintos medios de comunicación. Para tal fin se utilizó un gráfico de barras, el cual se
utiliza como distractor, en el que se refleja de manera incorrecta la información debido a la presencia de una
tercera dimensión que no representa ningún tipo de información. Se utilizó este tipo de gráfico porque
comúnmente se presenta en publicaciones de consumo masivo y pretendíamos indagar si los alumnos pueden
distinguir la forma más adecuada de presentar la información en aquellos casos en los que se está representando
categorías de una variable cualitativa y las frecuencias correspondientes.
En las Tablas N° 2, 3 y 4 se describen los elementos de significado que, desde el significado institucional local,
se pretende poner en juego en la resolución del cuestionario. Desde este punto de vista se prevé que los alumnos
deberían relacionar estos diversos elementos de significado en distintas funciones semióticas. Por ejemplo, una
persona que tome la decisión de utilizar el diagrama de barras 1 del ítem 3, no sólo está tomando una decisión
correcta sino que además está poniendo en interrelación varios elementos de significado de índole distinta tales
como: lectura de la información contenida en el gráfico (elemento actuativo), convenio de construcción de
gráficos de barras (elemento intensivo), relación entre altura de una barra y su correspondencia con la frecuencia
(elemento intensivo), relación entre el tipo de variable y el tipo de gráfico que corresponde (elemento intensivo),
identificación de datos que faltan en el gráfico tal como los títulos en los ejes (elemento actuativo), justificación
de la elección del gráfico adecuado (elemento validativo). Todos estos elementos de significado no se ponen de
manifiesto de manera inconexa, sino que por el contrario, se presentan relacionados por medio de diversas
funciones semióticas complejas.
TABLA N° 2: Elementos de significado institucional utilizados en el ítem 3
Elementos de significado
Significado institucional local puesto en juego en el ítem N° 3
Diagrama de barras (el n° 1 es adecuado, mientras el n° 2 es un distractor)
Ostensivo Gráfico
Categorías y subdivisiones de los ejes. Escala. Títulos en los ejes (información que
Ostensivo Simbólico
no está completa y que se usa como distractor)
Muestra
Intensivo
Frecuencias absolutas
Convenios de construcción de gráficos de barras.
Página 339
Actuativo
Validativo
Extensivo
Escala y altura de las barras.
Variable cualitativa.
Correspondencia entre tipo de variable y tipo de gráfico
Interpretación de la tercera dimensión (no válida en este caso).
Seleccionar el gráfico correcto
Identificar información faltante
Leer, interpretar y explicar la información contenida en los diagramas de barras.
Justificación por medio de las características que debe presentar un diagrama de
barras.
Justificación de la elección por medio del gráfico correspondiente.
Representación del rendimiento en Estadística de un grupo de 100 alumnos, a través
de diagramas de barras.
Item N° 4: En este caso se proponen un diagrama de barras y un gráfico de sectores, que representan la misma
distribución de frecuencias. En la Tabla 3 se presentan los elementos de significado correspondientes a la
actividad planteada en este ítem.
Tabla N° 3: Elementos de significado institucional utilizados en el ítem 4
Representación por medio de un diagrama de barras y de sectores de la distribución
Extensivo
de frecuencias del nivel de estudio de un grupo de 881 personas encuestadas en la
ciudad de Santa Fe.
Diagrama de barras (correcto ). Diagrama de sectores (distractor).
Ostensivo gráfico
Referencia en ambos diagramas.
Ostensivo verbal
Lectura de los ejes, escala (en el diagrama de barras).
Ostensivo Simbólico
Convenio de lectura de gráfico de barras y de sectores. Representación de la escala y
Intensivo
la altura de las barras en el diagrama correspondiente. Características propias de los
gráficos de barras y sectores (por ejemplo: el gráfico de sectores es adecuado para
representar un número reducido de variables, la tercera dimensión, lo que representa
cada sector). Variable cualitativa.
Seleccionar el gráfico correcto. Leer, interpretar y explicar los diagramas de barras.
Actuativo
Extraer conclusiones.
Justificación por medio de las características propias del gráfico (p. e.: no puede
Validativo
representarse la tercera dimensión, faltan los porcentajes en el gráfico de sectores).
Los objetivos de este ítem son: observar las conclusiones que extraen de cada uno de ellos, determinar si los
alumnos saben distinguir cuál de estos gráficos es el más adecuado para representar esta información, observar
qué elementos del gráfico se observan para realizar la lectura e interpretación del mismo.
Vale mencionar, que el diagrama de sectores juega el papel de distractor, ya que en él se presenta información
incorrecta, tal como utilizar una tercera dimensión que no representa ninguna variable; no mostrar los porcentajes
correspondientes a cada categoría; número elevado de variables que hace que algunos sectores sean muy
pequeños o no presenten demasiadas diferencias entre sí.
Item N° 5: En este punto se agrega la información numérica correspondiente a los gráficos presentados en el ítem
4 con el objetivo de observar si los alumnos pueden agregar alguna información adicional a las conclusiones
antes extraídas y también detectar posibles errores respecto de la elección de gráficos antes realizada. El
objetivo principal de esta tarea es observar si los alumnos interpretan correctamente la información numérica y si
logran detectar características adicionales de la muestra que no hayan sido detectadas en el gráfico. Además, se
Página 340
pretende comparar si les resulta más fácil la lectura de los datos presentados en una tabla de frecuencias o en un
gráfico.
Tabla N° 4: Elementos de significado institucional utilizados en el ítem 5
(Godino)
Contexto de la actividad número 4, sólo se agrega información numérica.
Extensivo
Se presenta la tabla de frecuencias con la información numérica que corresponde a
Ostensivo tabular o
la información gráfica presentada en el gráfico de sectores
simbólico
Frecuencia absoluta y frecuencia porcentual.
Ostensivo numérico
Categoría para representar los datos.
Ostensivo verbal
Frecuencias. Porcentajes. Variables. Escala. Gráficos adecuados para esta situación
Intensivo
(tener en cuenta tipo y cantidad de variables, frecuencia utilizada).
Leer, interpretar y explicar los diagramas de barras. Tomar una decisión. Extraer
Actuativo
conclusiones.
Leer e interpretar la tabla. Justificación en función de las características del
Validativo
diagrama elegido.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
A continuación realizaremos la discusión sobre algunos de los elementos de significado que han utilizado los
alumnos para resolver cada uno de los ítems. No realizamos el análisis completo por cuestiones de espacio.
Para cada ítem, presentamos una descripción de los elementos de significado seleccionados, discriminando los
resultados por carrera seleccionada, o de acuerdo a si estudió o no previamente Estadística.
Análisis de resultados por tipos de elementos de significado
Item Nº 3: En esta actividad se debía decidir sobre el tipo de gráfico más adecuado a la situación planteada
(diagrama de barras 1), considerado un elemento de significado actuativo. En el gráfico Nº 1 podemos observar
que la mayoría de los alumnos han seleccionado en forma correcta el gráfico adecuado: un 71,4% para los
alumnos que han estudiado estadística y un 56,3% para los que no lo han hecho. Es importante el porcentaje de
alumnos que expresan que se podría utilizar cualquiera de los dos gráficos o el gráfico de barras en tres
dimensiones (28,6% para los que han estudiado previamente estadística y 40,6 % para los que no estudiaron
estadística). Si analizamos la elección del gráfico discriminando por carreras (ver Gráfico Nº 4), podemos decir
que hemos encontrado resultados que nos sorprenden, como por ejemplo: que los alumnos del profesorado de
matemática han seleccionado el gráfico incorrecto en un porcentaje similar a los alumnos de Sociología y de
Ciencias Políticas (45% de los alumnos de Matemática, 36% de alumnos de Sociología y 50% de alumnos de
Ciencias Políticas, seleccionaron el gráfico incorrecto o ambos), considerando que los primeros tienen estadística
en el 4º año de su carrera, mientras que los segundos la tienen en 2º año.
En relación con la lectura y descripción de la información contenida en el gráfico (elemento actuativo), podemos
observar (Gráfico Nº 2) que los alumnos que nunca estudiaron estadística leen en forma totalmente correcta la
información en mayor proporción que los que sí lo hicieron (46,9% para los que no estudiaron estadística y
35,7% para los que han estudiado). En relación con los argumentos expuestos por los alumnos para justificar la
elección del gráfico (elemento validativo), cabe destacar que un gran porcentaje de alumnos no logra dar una
Página 341
justificación adecuada o directamente no da ninguna justificación (42,9 % para los que estudiaron estadística
previamente y 46,3% para los que no lo hicieron).
Gráfico Nº 1: Tipo de gráfico seleccionado
Gráfico Nº 2: Lectura de la información
70
100
60
80
50
60
40
30
¿Estudió estadística
20
Sí
20
Porcentaje
Porcentaje
40
No
0
o
N
s
Lo
s
do
as
rr
ba
as
rr
ba
s
a
m
ra
ag
di
de
de
a
on
ci
en
m
a
am
gr
ia
D
a
am
gr
ia
D
10
Sí
No
0
Correcto
Parcialmente correct
No utiliza
3
2
Elección del gráfico (preg. 3)
Lee y describe información contenida en el gráfico
Gráfico Nº 3: Argumentos utilizados
Gráfico Nº 4: Elección del gráfico por Carrera
80
Carrera que está est
120
70
Matemática
100
60
Prof . Biología
80
50
Lic. Biodiversidad
40
60
Lic. Sociología
Sí
10
No
0
Dipl. Ciencias Polít
40
20
Porcentaje
Porcentaje
30
icas
20
Lic.Geograf ía
0
Prof .Historia
s
do
s
a
m
ra
ag
di
D
3
no
gu
in
N
s
Lo
o
et
pl
m
co
in
2D
as
rr
ba
as
rr
ba
za
ili
ut
o
nt
e
um
rg
A
o
N
o
ct
re
or
C
to
ec
rr
co
In
Argumentos en relación con la elección del gráfico
Elección del gráfico (preg. 3)
Item 4: En esta actividad se debía decidir sobre el tipo de gráfico más adecuado para la situación planteada
(gráfico de barras), considerado un elemento de significado actuativo. En los gráficos Nº 5 y 6, podemos observar
un bajo porcentaje de alumnos que han seleccionado en forma correcta el gráfico adecuado: un 32,1% para los
alumnos que han estudiado estadística y un 28,1 % para los que no lo han hecho. Es importante el porcentaje de
alumnos de cada grupo que no logra optar por alguno de los dos gráficos (ver gráficos Nº 5 y 6).
Gráfico Nº 6: Selección del gráfico de sectores
100
100
80
80
60
60
40
40
20
Sí
No
0
Correcto
No utiliza
Gráfico de barras 2-D (preg. 4)
Porcentaje
Porcentaje
Gráfico Nº 5: Selección del gráfico de barras
Página 342
20
Sí
No
0
Incorrecto
No utiliza
Gráfico de sectores 3-D (preg. 4)
Item 5: Entre los elementos de significado que hemos seleccionado en este análisis, se destacan la lectura y
descripción de las frecuencias porcentuales (elemento actuativo), la realización de inferencias (elementos
actuativos y validativos), y la elección del gráfico que más se adecue a la información presentada en la tabla de
frecuencias (elemento actuativo) y la fundamentación de dicha elección (elemento validativo).
En el Gráfico Nº 7, podemos observar que es alarmante el porcentaje de alumnos (más del 80 % para los que
estudiaron estadística y más del 90% para los que nunca estudiaron estadística) que no logran leer y describir las
frecuencias porcentuales (lo mismo ocurre con las frecuencias absolutas).
Gráfico Nº 7: Lectura de frecuencias
Gráfico Nº 8: Realizar inferencias incorrectas
120
100
100
80
80
60
60
40
20
Sí
0
No
Correcto
Parcialmente correct
No utiliza
Leer y describir frecuencias porcentuales (preg. 5
Porcentaje
Porcentaje
40
20
Sí
No
0
Incorrecto
No utiliza
Realiza una inferencia
Por otro lado, podemos observar (ver Gráfico Nº 8) que hay alumnos (aproximadamente un 20% del total de
alumnos) que realizan inferencias inapropiadas cuando se les pide que describan la información contenida en el
gráfico. Hay alumnos que luego de describir las frecuencias más importantes (p.e: los que no saben leer ni
escribir y los que tienen estudios primarios incompletos, ver gráfico de barras 4.2 del Anexo), realizan
conclusiones que no se les ha solicitado y que no son apropiadas para la situación ya que no se conoce cómo ha
sido tomada la muestra, por ejemplo un alumno menciona lo siguiente: “a partir de los datos observados,
podemos ver por qué el nivel educativo de los argentinos es tan bajo”, o: “Evidentemente algo está fallando en
el Sistema educativo”. En relación con algunos de los elementos validativos, en los gráficos 9 y 10 presentamos
los resultados obtenidos en relación con la decisión de elegir uno de los dos gráficos del ítem 4 para representar la
información de la tabla de frecuencias que se da en el ítem 5 y la justificación sobre dicha elección
respectivamente. En el gráfico Nº 9 se observa que un poco más del 50 % de cada uno de los grupos (estudió o no
estadística previamente) toma una decisión adecuada con respecto al gráfico que podría representar
adecuadamente la situación de la tabla de frecuencias, mientras que sólo un 10 % de los alumnos que estudiaron
previamente estadística, logran justificar tal elección.
Página 343
Gráfico Nº 9: Decisión sobre el gráfico
Gráfico Nº 10: Justificación sobre la elección
60
50
50
40
40
30
30
20
10
Sí
No
0
Incorrecto
Correcto
No utiliza
Tomar decisiones sobre el gráfico adecuado (preg
Porcentaje
Porcentaje
20
10
Sí
No
0
Incorrecto
No utiliza
Correcto
Parcilamente correct
Justificar la elección del gráfico (preg. 5)
Conclusiones y persepectivas de estudio
Hemos construido y analizado una encuesta piloto que se utiliza para determinar los conocimientos intuitivos de
los alumnos en relación con la interpretación de resúmenes numéricos y gráficos sencillos y para explorar los
posibles errores de interpretación en este tipo de información estadística.
Desde el punto de vista de la enseñanza de los conceptos estocásticos, el análisis a priori permite detectar todos
los conceptos que están implícitos cuando construimos o leemos determinados resúmenes estadísticos, como lo
son los gráficos y las tablas de frecuencias. Estos conceptos implícitos se deberían tener en cuenta a la hora de
enseñar gráficos y tablas. Al analizar las respuestas dadas por los alumnos que respondieron el cuestionario, se
han puesto de manifiesto las dificultades en la lectura, interpretación y toma de decisiones a la hora de
seleccionar la información más adecuada. Este es un resultado importante que deberíamos tener en cuenta cuando
enseñamos estadística descriptiva y exploratoria.
A la vista de las conclusiones anteriores, la información obtenida, a pesar del tamaño limitado de la muestra, nos
permite realizar una primera aproximación a los conflictos semióticos (Godino, 2003) que se pueden presentar
cuando se leen e interpretan resúmenes estadísticos de uso cotidiano, y sobre todo nos aporta información
original, a la vez que abre un camino en el estudio de las dificultades de comprensión de los alumnos en relación
con los conceptos estadísticos básicos. Dado que el tema ha sido poco tratado en investigaciones previas,
pensamos que se debería seguir investigando sobre estas cuestiones, dado que es el paso inicial para poder
continuar con la enseñanza de la inferencia estadística y la base de la alfabetización estadística.
Página 344
Batanero, C., Godino, J. D. Green, D., Holmes, P., & Vallecillos, A. (1994). Errors and difficulties in
16H
understanding statistical concepts. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology,
25 (4), 527-547.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Universidad de Granada.
Ben-Zvi, D. y Garfield, J. (2004). Statistical Literacy, Reasoning and Thinking: goals, definitions and challenges.
En: D. Ben-Zvi y J. Garfield (eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking, pp.
3-15.
Godino, J. (2003). Teoría de las funciones semióticas. Un enfoque ontológico-semiótico de la cognición e
17H
instrucción matemática. Trabajo de investigación presentado para optar a la Cátedra de Universidad de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada
Tauber, L. (2001). La construcción del significado de la distribución normal a partir de actividades de análisis
de datos. Tesis Doctoral. Sevilla: Universidad de Sevilla.
Curcio, F. R. (1989). Developing graph comprehension. Reston, VA: N.C.T.M.
Li, K. Y. y Shen, M. (1992). Students’ weaknesses in statistical projects. Teaching Statistics, 14 (1), 2-8.
Página 345
CONCEPCIONES Y CREENCIAS DE PROFESORES SOBRE
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA
Dodera M.G. – Burroni E.A. – Lázaro M.P. – Piacentini B.
Ciclo Básico Común de la Universidad de Buenos Aires – Argentina
[email protected] ; [email protected]
Nivel universitario
Palabras clave: creencias - concepciones - enseñanza-aprendizaje – profesores – matemática
18H
19H
Resumen
En este trabajo se caracteriza a un grupo de docentes de matemática del Ciclo Básico Común de la Universidad
de Buenos Aires en cuanto a sus concepciones y creencias sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje, y a sus
creencias sobre las opiniones de los alumnos respecto de estas cuestiones. Se establecen, además, similitudes y
diferencias con otros grupos de profesores.
El interés del mismo radica en que el conocimiento de las concepciones y creencias del profesor permite
comprender sus actitudes y posiciones.
Se utilizó como instrumento un cuestionario cerrado, a modo de escala de valoración, de 15 preguntas que
contienen ítems no alternativos que expresan diferentes concepciones o creencias ante la cuestión general que la
precede. Diez de las preguntas corresponden a la encuesta validada e implementada por Gil Cuadra y
colaboradores (Gil Cuadra, 2003) para obtener el perfil de los profesores de matemática españoles después de la
reforma del año 1990 que implantó la enseñanza secundaria obligatoria. Las cinco preguntas restantes recaban
opiniones de los docentes sobre las características del buen profesor y sobre las creencias de los alumnos acerca
de ciertos aspectos de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Se agregaron con la intención de elaborar, en base
al cuestionario definitivo de 15 preguntas, una encuesta paralela destinada a alumnos que permita contrastar, en
una instancia posterior, las opiniones de docentes y de alumnos acerca de los procesos de enseñanza y
aprendizaje.
Introducción
Actualmente la enseñanza de la matemática aboga por un método más participativo de enseñanza, con mayor
protagonismo del alumno, enfatizando el ‘proceso’ de hacer matemática, más que considerar el conocimiento
matemático como un ‘producto’ acabado. Esta perspectiva se fundamenta en una consideración epistemológica
particular de la propia matemática. Según Steiner (1987) la filosofía de la matemática se proyecta en una forma
de concebir la enseñanza, que lleva implícita una visión epistemológica particular y filosófica, que se incluye en
el constructivismo. Esta concepción concibe al alumno como actor en la construcción del conocimiento, a partir
de sus representaciones y estructuras cognitivas anteriores (Vergnaud, 1990; Ernest, 1994; Lerman, 1994). Estas
se componen de concepciones y creencias sobre la matemática, su enseñanza y su aprendizaje y deben ser
consideradas en la formación del alumno (Llinares,1989).
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También interesa identificar, conocer y reflexionar sobre las creencias de los profesores como una de las variable
que incide en su práctica educativa, ya que la conducta cognitiva del profesor está guiada por el sistema personal
de creencias y valores, que le confieren sentido a dicha conducta (Pozo, 2006).
En la literatura no hay consenso unificado sobre el significado de los términos concepción y creencia.
Vicente (1995) delimita el sentido de creencia al asentimiento o aceptación de una comunicación de otras
personas. Para otros autores (Marcelo, 1987; Fishbein y Ajzen, 1989) la definición de creencia se fundamenta en
la idea de contraponer ‘creer’ a ‘conocer por la verificabilidad del conocimiento’.
Thompson (1992) afirma que las creencias se caracterizan por poder ser sostenidas con varios grados de
convicción y por no ser consensuales y destaca, siguiendo a Green (1971), que las creencias se presentan en
grupos formando sistemas de creencias según la forma en que se cree y no por su contenido.
Pajares (1992) destaca los componentes cognitivo, afectivo y conductual de la creencia.
Ponte (1994b) considera que el sistema de creencias no requiere un consensus social relativo a su validez o
adecuación, e incluso, que las creencias personales no requieren consistencia interna.
Para Flores Martinez (1998) el término creencia se atribuye a una actitud y a un contenido. La actitud contempla
el grado de probabilidad de certeza y la predisposición a la acción, confiriendo un carácter emotivo no explícito.
El contenido encierra un conocimiento que no necesita formularse en términos de modelos compartidos, y que se
caracteriza por no haber sido contrastado.
Por otra parte, la diferenciación entre concepción y creencia no es siempre clara. Pajares (1992) caracteriza las
creencias distinguiéndolas de una manera muy sutil de las concepciones. Thompson (1992) las diferencia
explícitamente al expresar que las concepciones están compuestas de creencias y otras representaciones, pero en
otros contextos las trata como sinónimos. Llinares (1991) reconoce que entre conocimiento, creencias y
concepciones existen diferencias sutiles.
Según Ponte (1994) las creencias y concepciones forman parte del conocimiento. Para este autor las creencias
son las ‘verdades’ personales indiscutibles, derivadas de la experiencia o fantasía, con un fuerte componente
evaluativo y afectivo, mientras que las concepciones son los marcos organizadores implícitos de conceptos, de
naturaleza esencialmente cognitiva y que condicionan la forma de abordar las tareas.
El presente trabajo se desarrolla en el marco del Proyecto U005 ‘Diversidad y rendimiento académico en
matemática: un estudio en el primer año de la Universidad’ de la Programación Científica UBACyT 2004-07.
Forma parte de la línea de investigación enfocada a obtener el perfil de los alumnos y docentes del área de
Matemática del Ciclo Básico Común de la Universidad de Buenos Aires (CBC-UBA) en cuanto a las
concepciones y creencias que sustentan los mismos sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje.
En particular se pretende caracterizar a un grupo de docentes del área de Matemática del CBC en cuanto a sus
concepciones y creencias sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje, y establecer similitudes y diferencias
con otros grupos de profesores. Se intenta además conocer sus creencias sobre las opiniones de los alumnos
respecto de estas cuestiones.
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Creemos -siguiendo a Gil Cuadra (2003)- que conocer las concepciones y creencias del profesor, considerado
como profesional reflexivo que toma decisiones racionales, permite comprender sus actitudes y posiciones. Cada
profesor da una respuesta personal a las cuestiones del aula aún cuando deba ajustarse a los requerimientos del
currículo y a las normas de la institución educativa. Tiene objetivos que para alcanzarlos trabaja ciertos
contenidos con determinada metodología y aplica criterios de evaluación para responder a las preguntas: qué,
cómo y cuándo enseñar y qué, cómo y cuando evaluar.
Adherimos como Gil Cuadra (2003) a los siguientes significados:
Creencias: son “verdades personales indiscutibles, sustentadas por cada uno, derivadas de la experiencia o de la
fantasía, que tiene un fuerte componente evaluativo y afectivo (Pajares, 1992). Las creencias se manifiestan a
través de declaraciones verbales o de acciones (justificándolas).”
Concepciones: son “los marcos organizadores implícitos de conceptos, con naturaleza esencialmente cognitiva y
que condicionan la forma en que afrontamos las tareas (Ponte 1994). Tanto las concepciones como las creencias
tienen un componente cognitivo, la distinción entre ambas reside en que las primeras son mantenidas con plena
convicción, son consensuadas y tienen procedimientos para valorar su validez, y las segundas, no (Thompson,
1992)”
Descripción de la experiencia
Para conocer las creencias de los docentes se utilizó como instrumento una encuesta que incluye una sección de
datos personales y experiencia docente, y un cuestionario cerrado de 15 preguntas, a modo de escala de
valoración. Cada pregunta contiene varios ítems no alternativos que expresan diferentes concepciones o creencias
ante la cuestión general que la precede. En su totalidad la encuesta está conformada por 78 ítems.
Diez de las preguntas corresponden a la encuesta validada e implementada por Gil Cuadra y colaboradores (Gil
Cuadra, 2003) para obtener el perfil de los profesores de matemática españoles (grupo comparativo GC) después
de la reforma del año 1990 que implantó la enseñanza secundaria obligatoria (LOGSE, 1990).
Las cinco preguntas restantes (conformadas por 31 ítems) se agregaron con la finalidad de indagar las opiniones
de los docentes del área de Matemática del CBC (grupo CBC) y de un grupo de profesores del secundario (grupo
SEC) sobre las características del buen profesor y sobre las creencias de los alumnos acerca de ciertos aspectos de
los procesos de enseñanza y aprendizaje. La elaboración de este cuestionario adicional de 5 preguntas cerradas se
apoya sobre la identificación empírica de los juicios que, sobre tales cuestiones, emitieron profesores del área de
Matemática del CBC en entrevistas personales.
En base al cuestionario definitivo de 15 preguntas se diseñó una encuesta paralela destinada a alumnos (con 11
preguntas y 51 ítems) con la finalidad de contrastar, en una instancia posterior, las opiniones de docentes y de
alumnos acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
En la Tabla I se transcriben cada una de las 15 preguntas generales del cuestionario definitivo de la encuesta a
profesores con las distintas opciones propuestas (ítems) que el profesor debe valorar en una escala del 1 al 9,
indicando así sus creencias y preferencias sobre el tema. En dicha tabla se consignan, por grupo, las medias y los
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desvíos estándar obtenidos para cada ítem. Las preguntas agregadas al cuestionario original, que sólo son
respondidas por los docentes de los grupos CBC y SEC, se señalan con asterisco. Corresponden a las preguntas
2*, 4*, 6*, 9* y 15* del cuestionario definitivo.
Respecto a los contenidos de la encuesta a profesores, en la misma se plantean:
-
cuestiones relativas a práctica docente: preparación de materiales para los alumnos (pregunta 1);
contenido (11) y actividades (12);
-
criterios para la valoración de algunos aspectos de la enseñanza: del trabajo en clase (3); del alumno (5);
de la formación del profesor (7); de las características de buen profesor (15*);
-
cuestiones epistemológicas: fines (8); concepciones del aprendizaje (10);
-
dificultades del aprendizaje: responsabilidades (13); utilidad de los errores (14);
-
creencias de los alumnos relativas a cuestiones epistemológicas: fines (9*); y a algunos aspectos del
aprendizaje: preparación de la materia (2*); hechos que lo favorecen (4*); perfil del buen alumno (6*).
La encuesta fue administrada durante el segundo cuatrimestre de 2007 a 40 profesores: 26 docentes auxiliares del
área de Matemática de la Sede J.L. Romero del CBC – UBA (grupo CBC) y 14 profesores de matemática del
nivel medio de escuelas de la Provincia de Buenos Aires asistentes a un curso de perfeccionamiento docente
(grupo SEC). De los 26 docentes del grupo CBC, 15 tienen experiencia en docencia universitaria o terciaria,
aparte de la del CBC, y sólo 8 tienen experiencia en colegios secundarios. Ninguno de los docentes del grupo
SEC tiene experiencia a nivel universitario. En promedio, la experiencia docente en el grupo CBC es algo mayor
a 15 años, mientras que la del grupo SEC es de 5 años y la del grupo GC, de 17 años.
En cuanto al modo de administración, se realizó una breve descripción de la finalidad de la encuesta y se aclaró la
consigna para responder a los ítems en una escala del 1 al 9, donde 1 indica ‘muy en desacuerdo’; 5 indica
‘indiferente’ y 9 ‘muy de acuerdo’. El tiempo para responder el formulario fue libre, completándose
aproximadamente en 45 minutos.
Para el análisis de datos se emplea una metodología descriptiva y comparativa. El estudio se focaliza en
establecer las creencias más compartidas y no en establecer la concepción general y las creencias particulares de
los profesores. En una primer dimensión se analizan las concepciones y creencias de los docentes de los grupos
CBC y SEC sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje mediante un estudio descriptivo de las valoraciones
de los docentes para establecer el grado de aceptación y de consenso de cada categoría. En una segunda
dimensión, se establecen las similitudes y diferencias entre los docentes de los grupos CBC y SEC en cuanto al
grado de aceptación de cada uno de los ítems de las 15 preguntas de la encuesta, y se contrastan las respuestas a
las 10 preguntas del cuestionario original con las de los profesores del grupo comparativo GC reportadas en Gil
Cuadra (2003).
Análisis de resultados y discusión
Del análisis descriptivo de las valoraciones otorgadas por los docentes de los grupos CBC y SEC y la
comparación de resultados con los reportados en Gil Cuadra (2003), se puede destacar que:
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¾ El docente del área de Matemática del CBC (grupo CBC) declara que para la preparación de materiales
(pregunta 1) trata de cumplir las condiciones generales prefijadas institucionalmente (ítem 1a) y reflexionar
sobre el proceso de aprendizaje (1c), pero no le asigna demasiada importancia a la reflexión sobre el curriculo
(1b). Otros de los ítems más votados de la pregunta 1 son el (1e) y el (1d) que se refieren a la búsqueda de
material adicional, tanto teórico como práctico, para proponer en los cursos como complemento del material
oficial, sin intención de oficializarlo. Sin embargo declara serle indiferente la elaboración de documentos sobre
contenidos (1h), consecuencia tal vez de que, debido a la masividad y diversidad en el staff docente, el material y
cronograma de desarrollo de clases están previamente elaborados y pautados por la dirección de la cátedra para
garantizar la unificación de criterios y nivel de contenidos. También denota indiferencia respecto al intercambio
de información con los colegas (1f ).
Las mayores diferencias observadas entre las creencias sustentadas en el grupo CBC respecto de los grupos SEC
y GC radican en que el grupo SEC prioriza la búsqueda de información en libros y materiales previos (1d) y que
tanto el grupo SEC como el GC otorgan mayor importancia a la elaboración de guías de trabajos prácticos (1g).
Suponemos que esto se debe a que el docente del nivel medio debe elaborar la planificación anual, en donde se
explicitan contenidos, objetivos, recursos y estrategias didácticas, modo de evaluación y cronograma, en base al
curriculo previamente pautado por la institución y es quien decide el material aúlico que se adecua a dicha
planificación.
¾ La pregunta 2* se refiere a las creencias del docente acerca de la conducta que adopta el alumno en la
preparación de la materia. Es una de las preguntas agregadas al cuestionario original con la finalidad de contrastar
–a posteriori– con las respuestas de los alumnos. El docente del grupo CBC tiene una fuerte creencia que el
alumno valoriza el uso de cuadernillos de ejercicios resueltos (2f: 8.1), cuadernillos no oficiales y no avalados
por el docente, que contienen el desarrollo de los ejercicios de la guía de trabajos prácticos. Dicha creencia está
fundamentada en la observación de la tenencia de los mismos por parte de los alumnos y manifestado por ellos en
encuestas anteriores. En cambio, para el grupo SEC este ítem resulta indiferente (2f) por no contar con material
didáctico unificado.
Si bien se observan diferencias, ambos grupos CBC y SEC valoran positivamente la creencia de que el alumno
estudia sobre el material propuesto en las guías de trabajos prácticos (2h), no buscando información adicional (2c
y 2d). La alta valoración otorgada a los ítems ‘trata de cumplir las condiciones fijadas por el docente’ (2a),
‘estudia de los apuntes de clase’ (2e) y ‘resuelve ejercicios y problemas de la guía de trabajos prácticos’ (2h) –
que contrasta con la desvalorización observada en el ítem 2c– refuerzan la creencia de que el alumno sólo se
atiene a estudiar los contenidos indicados por el docente y cumplir sus consignas.
La creencia que el alumno no reflexiona sobre su propio proceso de aprendizaje (2b) es fuertemente compartida
por los docentes de los grupos CBC y SEC.
¾ Los tres grupos otorgan una alta valoración a todos los ítems de la pregunta 3: ‘¿Qué hecho te hace sentir
que has realizado un buen trabajo enseñando matemática?’. Los docentes de los grupos CBC y GC priorizan en
cierta medida el avance en el aprendizaje de los alumnos (3c) y el interés y participación en el aula (3b) frente al
Página 350
ambiente en el aula (3a) y los buenos resultados en las evaluaciones (3d). En cambio el grupo SEC sobrevalora el
buen ambiente en el aula (3a). Suponemos que ello se debe a que los problemas de disciplina de los adolescentes
en la escuelas donde ejercen, le demandan una mayor capacidad de manejo de grupos y le restan tiempo y
dedicación al desarrollo de la materia.
¾ Por su parte, al recabar mediante la pregunta 4* las creencias sustentadas por los docentes de los grupos
CBC y SEC acerca de lo que el alumno supone que favorece su aprendizaje, el menor grado de consenso se
observa en el ítem 4c. Mientras que el grupo CBC piensa que al alumno le es indistinto que participen o no otros
compañeros, el grupo SEC le da una alta valoración, que condice con la importancia de un buen clima en el aula
(3a), ya que sólo bajo esta condición se logra la participación de los alumnos. Los docentes de ambos grupos
comparten la creencia que el alumno sobrevalora el obtener buen resultado en la evaluación.
¾ En la pregunta 5, referida a las creencias de los profesores sobre lo que es un buen alumno, se observa una
estimación positiva de los ítems aunque se valora más el esfuerzo (5b) y la motivación (5c) que las capacidades
intelectuales (5a). Si bien la distribución en los tres grupos es bastante similar hay una notoria valoración en los
profesores del grupo SEC respecto de la responsabilidad y participación del alumno (5d). La importancia
otorgada a un buen ambiente en el aula (2a), incide en el momento de la evaluación sobreestimando dichas
condiciones respecto al aprendizaje.
¾ Con referencia a la pregunta 6*, los docentes de los grupos CBC y SEC comparten la opinión que para el
alumnado, un ‘buen alumno’ es quien tiene buenas capacidades intelectuales.
¾ Respecto a la pregunta 7, los docentes de los tres grupos valoran positivamente la necesidad de capacitación
didáctica (7b) y el manejo de otros recursos (7c), lo cual refleja la inseguridad del docente en su trabajo cotidiano
en el aula a pesar de su experiencia y formación pedagógica (principalmente en el grupo SEC, donde el grado de
aceptación es algo mayor). Al grupo comparativo GC le resulta indiferente la mejora en el conocimiento
específico de la asignatura, lo que sí es valorado por el grupo CBC y SEC. La justificación que otorga Gil Cuadra
(2003) es que ‘el profesorado de matemáticas se siente más seguro del contenido frente a otros conocimientos
necesarios para su labor docente’. Llama la atención el alto grado de sustentación otorgado a la comunicación e
intercambio de experiencias (7d), cuando al momento de preparar materiales para la clase se subestima el pedir
información a otros colegas (1f).
¾ Las respuestas a la pregunta 8 permiten inferir consenso entre los grupos CBC y GC en que los alumnos
deben estudiar matemática en la enseñanza secundaria obligatoria, en primer lugar, por el carácter formativo de la
materia (8c); en segundo término, por razones de utilidad social y profesional (8b) y, por último, por su interés
dentro del propio sistema educativo (8c). Por su parte, el grupo SEC otorga mayor importancia a la utilidad social
y profesional (8b).
¾ Respecto de las creencias de los alumnos acerca de por qué deben estudiar matemáticas (pregunta 9*), los
docentes del grupo CBC otorgan mayor grado de sustentación a que lo hacen por ser obligatorio (9d), y suponen
que al alumno le es indiferente el carácter formativo (9a), las aplicaciones posibles (9c) y la utilidad social y
profesional (9b). En cambio, los docentes del grupo SEC dieron igual peso a las distintas opciones.
Página 351
¾ Las respuestas a la pregunta 10 indican la importancia asignada por los docentes del grupo CBC y del grupo
GC a la creencia que matemática se aprende mediante el esfuerzo y el trabajo personal (10a).
El grupo SEC considera igual de importante el esfuerzo personal (10a) como la ayuda externa (10b), aunque
prioriza la estimulación de procesos cognitivos (10e).
¾ Respecto a los contenidos (pregunta 11), el grupo CBC considera más importantes aquellos que potencian la
abstracción (11a), y en menor medida, los conceptuales (11e) y los útiles para la vida real (11b), en desmedro de
los procedimentales (11f) y los actitudinales (11g), resultándole este último indiferente.
Los docentes del grupo SEC asignan mayor importancia a lo procedimental (11f) y actitudinal (11g) frente a la
abstracción (11a), aunque todos ellos son altamente valorados. Por su parte, el grupo GC antepone los contenidos
procedimentales (11f) y útiles para la vida real (11b) a los contenidos que potencian la abstracción (11a) y los
conceptuales (11e).
¾ Al interrogar acerca de las actividades más recomendables para enseñar matemática (pregunta 12),
nuevamente el grupo SEC muestra mayor interés por aquellas que destacan la dinámica de trabajo de los alumnos
(12b) y la conexión con situaciones reales (12c), respecto a los docentes de los grupos CBC y GC, aunque todos
tuvieron una valoración bastante considerable.
¾ Existe una creencia generalizada entre los profesores de los tres grupos en que las dificultades en la
enseñanza de matemática (pregunta 13) son debidas principalmente al sistema educativo (13d).
El grupo SEC opina, en segundo término, que las dificultades se deben a los alumnos (13a), lo cual se
correlaciona con la valoración otorgada al buen ambiente en el aula (3a).
¾ Respecto al papel que juega el error en la enseñanza de la matemática (pregunta 14), existe alto consenso
entre los docentes de los tres grupos en la importancia que tienen para diagnosticar el conocimiento y corregir
deficiencias (14a) y reconsiderar la planificación (14c).
¾ Por último, la pregunta 15* formulada a los grupos CBC y SEC fue agregada para –a posteriori– poder
cotejar creencias de docentes y alumnos acerca de cómo debería ser un buen profesor de matemática. El grupo
CBC valora, en primer lugar, la cualidad de explicar detalladamente los conceptos nuevos (15b) y, en segundo
lugar, el tener trato cordial con los alumnos (15f). A diferencia de los profesores del grupo SEC, los del grupo
CBC no otorgan importancia el poner a disposición de los alumnos material adicional (15d).
Conclusiones
En base a las valoraciones otorgadas a los ítems y el grado de consenso con que los profesores sustentan los
conceptos en ellos contenidos (cuyos indicadores son la media y el desvío estándar, respectivamente) se puede
destacar que en el grupo de docentes del área de matemática del CBC:
- es fuertemente aceptado, con alto grado de consenso, que la razón primordial para estudiar matemática es su
carácter formativo y, respecto a la práctica docente, que las actividades más adecuadas son las que destacan el
trabajo intelectual de razonamiento y análisis. Con menor valoración y grado de consenso, es comúnmente
aceptado que los contenidos más importantes son los que potencian la abstracción y la simbolización.
Página 352
- existe consenso, con una valoración muy positiva, en que la satisfacción del profesor viene determinada por el
interés y participación de los alumnos, en conjunción con un buen ambiente en el aula.
- para el profesor el buen alumno es quien se esfuerza y trabaja, y es comúnmente aceptado que matemática se
aprende mediante el esfuerzo y el trabajo personal; pero considera que el alumno prioriza las capacidades
intelectuales y un buen resultado en las evaluaciones.
- hay alto grado de consenso entre los profesores en creer que el alumno prepara la materia en base a cuadernillos
extraoficiales de ejercicios de la guía resueltos y, en menor grado, es comúnmente aceptado que estudia
principalmente debido al carácter obligatorio de la materia.
Bibliografía
Ernest P. (1994). What is social construtivism in the psychology of mathematics education? En J. Ponte y J. F.
Matos. (Eds.) Proceedings of the eigtheenth International Conferencie for PME. Lisboa, 304-311.
Flores Martinez P. (1998). Concepciones y creencias de los futuros profesores sobre las matemáticas, su
enseñanza y aprendizaje. Investigación durante las prácticas de enseñanza. Granada, España. Comares.
Gil Cuadra F., Rico Romero L. (2003). Concepciones y creencias del profesorado de secundaria sobre enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. Enseñanza de las ciencias, 21 (1), 27-47.
Green T.F. (1971). The activities of teaching. New York: McGraw Hill.
Lerman S. (1994). Metaphors for mind and metaphors for teaching and learning mathematics. En J. Ponte,
J.F.Matos. (eds.), Procedings of the eighteenth International Conference form PME, Lisboa, III, 144-151.
Llinares S. (1989). Las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas y su enseñanza en estudiantes para
profesores de primaria: dos estudios de casos. Tesis doctoral inédita. Universidad de Sevilla.
Llinares S. (1991). La formación de profesores de matemáticas. Sevilla: GID.
Marcelo C. (1987). El pensamiento del profesor. Barcelona. Ceac.
Pajares M. F. (1992). Teacher`s beliefs and educational research: cleaning unp a messy contruct. Review of
Educational Research, 62 (3), 307-332.
Ponte J. P. (1994). Knowledge, beliefs and conceptions in mathematics teaching and learning. En L. Bazzini
(ed.), Theory and practice in mathematics education. Proceedings of the Fifth internacional conference on
systematic cooperation between theory and practice in mathematics education. Grado, Italia.
Pozo J.I., Scheuer M, et al (2006). Nuevas formas de pensar la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona, España.
Grao.
Steiner H. G. (1987). Philosophical and Epistemological aspect of mathematics and their interaction with theory
and practices in mathematics education. For the Learning in Mathematics 7 (1), 7-13.
Thompson A. G. (1992). Theacher´s beliefs and conceptions: a synthesis of the research. En D. A. Grouws, (ed.),
Handbook on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, 127-146.
Página 353
Vergnaud G. (1990). Epistemology and psychology of mathematics education. En P. Nesher y J. Kilpatrick,
(eds), Mathematics and cognition: A research Synthesis by the International Group for the Psychology of
Mathematics Education. Cambridge: Cambridge University Press, 14-30.
Vicente L. (1995). Palabras y creencias. Murcia: Universidad de Murcia.
ENCUESTA A PROFESORES SOBRE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA
Cuestionario cerrado con escala de valoración del 1 al 9
1) ¿Qué proceso sigues para preparar materiales?
Cuando preparo materiales para la clase de matemática:
(a) trato de cumplir las condiciones generales fijadas previamente
(b) reflexiono sobre el currículo
(c) reflexiono sobre el proceso de aprendizaje
(d) busco información en libros y materiales previos
(e) busco listas de ejercicios, ejemplos y actividades de motivación
(f) pido información a los compañeros
(g) elaboro listas de problemas, ejercicios y actividades
(h) elaboro documentos sobre contenidos y otros materiales
Grado de aceptación y consenso
CBC
m SD
7,9 1,3
6,5 2,4
7,5 1,9
7,3 1,5
7,7 1,3
5,3 2,1
6,2 2,8
4,3 2,9
SEC
m SD
6,9 2,3
5,4 2,7
8,2 1,9
8,9 0,3
7,9 2,4
6,1 2,9
8,1 1,2
6,5 2,3
2*) ¿Qué proceso piensas que sigue el alumno para preparar la materia?
Cuando se prepara para rendir una evaluación, el alumno:
(a) trata de cumplir las condiciones fijadas por el docente
(b) reflexiona sobre su propio proceso de aprendizaje
(c) busca información en libros y apuntes teóricos
(d) busca ejercicios para resolver, aparte de los de la guía
(e) estudia de los apuntes tomados en clase
(f) usa cuadernillos de ejercicios resueltos
(g) toma clases particulares o en un instituto
(h) resuelve ejercicios y problemas de la guía de trabajos
CBC
m SD
6,4 1,9
3,0 1,9
3,6 1,8
4,5 2,8
6,9 1,7
8,1 0,9
5,5 1,6
7,8 1,2
SEC
m SD
5,6 2,8
3,1 2,8
2,4 1,8
4,6 2,9
6,3 2,4
4,9 3,0
6,0 2,7
6,4 2,8
3) ¿Qué hecho te hace sentir que has realizado un buen trabajo enseñando matemática?
Me siento satisfecho de mi trabajo cuando:
(a) observo un buen ambiente en el aula
(b) aprecio interés y participación de los alumnos en el aula
(c) hay avance en el aprendizaje de los alumnos
(d) los alumnos obtienen buenos resultados en la evaluación
4*) ¿Según tu opinión, qué hecho cree el alumno que favorece su aprendizaje?
Creo que piensa que su estudio es favorecido cuando:
(a) observa un buen ambiente en el aula
(b) participa durante el desarrollo de la clase
(c) participan otros compañeros durante el desarrollo de la clase
(d) observa avance en su aprendizaje
(e) obtiene buenos resultados en la evaluación
(f) estudia con compañeros
(g) el profesor responde todas sus dudas
5) ¿Quién piensas que es un buen alumno de matemática?
Para mí un buen alumno es:
(a) quien tiene buenas capacidades intelectuales
(b) el que se esfuerza y trabaja
(c) quien está motivado por la materia
(d) el que es responsable, solidario, participativo
6*) ¿Según tu opinión, qué piensa el alumno acerca de lo que es ser un buen alumno de matemática?
Creo que el alumno piensa que un buen alumno es el que:
(a) tiene buenas capacidades intelectuales
(b) se esfuerza y trabaja
(c) está motivado por la materia
(d) es responsable, solidario, participativo
7) ¿En qué aspectos podría aumentarse la calificación profesional de los profesores de matemática?
La calificación de los profesores podría aumentarse:
(a) al mejorar en el conocimiento de la matemática
(b) al profundizar el conocimiento didáctico
(c) en la formación práctica y el conocimiento de recursos
(d) mediante la comunicación y el intercambio de experiencias
8) ¿Por qué deben los alumnos estudiar matemática en la enseñanza secundaria obligatoria?
Se debe estudiar matemática:
(a) por el carácter formativo de la materia
(b) por razones de utilidad social y profesional
(c) por su interés dentro del propio sistema educativo
9*) ¿Según tu opinión, por qué creen los alumnos que deben estudiar matemática?
Pienso que los alumnos creen que deben estudiar matemática:
CBC
m SD
7,4 1,8
8,2 1,2
8,3 1,2
7,4 1,3
SEC
m SD
8,6 1,1
8,4 1,2
8,6 1,1
8,1 1,5
CBC
m SD
6,5 1,8
7,2 1,6
4,9 2,4
7,7 1,6
8,3 1,3
6,8 1,2
7,7 1,7
SEC
m SD
7,1 1,9
7,3 1,5
7,9 1,5
7,5 2,6
8,7 0,6
7,1 2,9
7,9 2,1
CBC
m SD
5,7 2,4
7,3 1,8
6,7 2,2
5,9 2,4
SEC
m SD
6,4 2,7
8,3 1,0
8,0 1,5
8,5 1,1
CBC
m SD
8,5 0,8
6,0 1,9
6,4 1,7
5,2 2,1
SEC
m SD
8,1 2,2
6,8 1,7
6,5 2,3
6,7 2,6
CBC
m SD
7,7 1,7
7,4 1,9
7,7 1,8
7,5 1,2
SEC
m SD
8,0 1,7
8,6 1,2
8,6 1,1
7,9 1,7
GC
m SD
5,4 2,5
7,4 1,6
7,9 1,3
7,7 1,3
CBC
m SD
8,1 1,9
7,0 2,0
5,5 2,3
SEC
m SD
7,4 2,3
8,1 1,3
6,8 2,5
GC
m SD
8,1 1,3
7,4 1,6
6,5 2,0
CBC
m SD
SEC
m SD
GC
m SD
6,7 2,0
6,4 1,8
7,5 1,5
7,7 1,3
7,8 1,3
5,9 2,2
7,7 1,3
5,9 2,2
GC
m SD
7,3 1,6
8,3 1,2
8,4 1,0
7,2 1,5
GC
m SD
6,6 1,9
7,5 1,4
7,6 1,5
6,3 2,1
Página 354
(a) porque ayuda a pensar mejor
(b) por razones de utilidad social y profesional
(c) por las aplicaciones posibles en la disciplina que estudia
(d) porque es obligatorio
10) ¿Cómo se aprende la matemática?
La matemática se aprende:
(a) mediante el esfuerzo y el trabajo personal
(b) mediante ayudas externas, correcciones y explicaciones
(c) por predisposición natural del alumno o por motivación
(d) mediante incremento de algún tipo de conocimiento o capacidad
(e) estimulando procesos cognitivos y fomentando ciertas actividades
11) ¿Qué contenidos son los más importantes en la enseñanza-aprendizaje de la matemática?
Los contenidos matemáticos más importantes son:
(a) aquellos que potencian la abstracción, la simbolización o algún otro rasgo específico del
conocimiento matemático
(b) los útiles para la vida real
(c) los que tienen implicaciones curriculares posteriores
(d) los pertenecientes a determinadas disciplinas matemáticas
(e) los conceptuales
(f) los procedimentales
(g) los actitudinales
12) ¿Qué actividades son más recomendables para enseñar matemática?
Las actividades más adecuadas son las que destacan:
(a) el trabajo intelectual de los alumnos razonando, analizando…
(b) la dinámica de trabajo de los alumnos
(c) la utilidad y conexión con situaciones reales
(d) la realización de ejercicios y prácticas para adquirir destrezas
(e) la motivación y el interés
13) ¿A qué se deben las dificultades en la enseñanza de la matemática?
Las principales dificultades son debidas:
(a) a los alumnos
(b) a la materia
(c) a los profesores
(d) al sistema educativo
14) ¿Qué papel juega el error en la enseñanza de la matemática?
Los errores sirven:
(a) para diagnosticar el conocimiento y corregir deficiencias
(b) como factor o condición para el aprendizaje
(c) para valorar y reconsiderar la planificación o programación
15*) ¿Cómo debería ser un buen profesor de matemática?
Un buen profesor es el que:
(a) sabe mucho
(b) explica detalladamente los conceptos nuevos
(c) resuelve y explica muchos y variados ejercicios
(d) trae material adicional (ejercitación, parciales,…)
(e) fundamenta las correcciones realizadas en los parciales
(f) tiene trato cordial con los alumnos
(g) dialoga con los alumnos
(h) cumple sus horarios
6,0
4,7
5,7
8,0
2,2
2,4
2,4
1,8
6,6
6,6
6,3
5,9
2,8
3,1
3,2
3,1
CBC
m SD
8,2 1,7
7,2 1,3
7,0 1,3
5,7 2,1
6,8 2,2
SEC
m SD
7,4 1,7
7,4 1,4
7,1 2,2
7,5 1,7
8,4 1,2
GC
m SD
7,9 1,2
7,1 1,4
6,9 1,7
6,1 1,6
7,1 1,6
CBC
m SD
SEC
m SD
GC
m SD
7,5
6,8
6,2
5,0
6,9
6,5
5,7
8,1
7,6
7,6
7,0
7,9
8,6
8,4
6,7
7,4
6,7
5,1
6,8
7,4
6,8
1,8
1,7
2,2
1,7
2,3
2,5
2,6
1,2
2,4
1,2
1,6
1,2
0,6
0,9
1,7
1,4
1,7
1,7
1,5
1,4
1,7
CBC
m SD
8,2 1,2
7,1 1,7
7,2 2,1
7,5 1,7
7,6 1,3
SEC
m SD
8,4 1,3
8,6 0,9
8,5 0,9
7,9 1,0
7,9 2,1
GC
m SD
7,8 1,3
7,2 1,3
7,7 1,2
7,2 1,2
7,7 1,3
CBC
m SD
5,2 2,4
4,7 3,0
6,4 2,0
7,5 2,1
SEC
m SD
7,2 2,4
5,5 2,1
6,1 2,5
8,6 0,6
GC
m SD
6,1 2,0
6,2 2,1
5,6 2,1
7,2 2,0
CBC
m SD
7,5 1,6
6,3 2,3
6,8 1,8
SEC
m SD
8,6 0,9
8,4 1,2
7,8 1,7
GC
m SD
7,6 1,5
6,6 1,8
7,2 1,6
CBC
m SD
6,9 2,1
7,7 1,7
6,7 1,8
5,8 2,0
6,8 2,3
7,3 1,7
6,5 2,2
6,9 2,2
SEC
m SD
6,0 1,3
6,9 2,9
7,8 1,4
7,6 2,3
8,1 1,4
8,0 1,2
7,6 2,1
7,2 2,5
Página 355
USO DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL EN LA ENSEÑANZA DE LA
ESTADÍSTICA
Terán, Teresita E.
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística – U.N.R. – Argentina
[email protected]
Palabras claves: enseñanza – estadística – computadora – aprendizaje significativo
20H
Resumen
Basados en los interrogantes formulados por Anido (2002), sobre si la herramienta computacional es un
instrumento útil de exploración del conocimiento o si sólo ayuda a ahorrar ese tiempo en situaciones de cálculos
rutinarios y tediosos, se analiza el uso de la computadora y calculadora en la instrucción estadística.
En la Universidades Nacionales de Argentina y en las Facultades en las que se cursan carreras donde la
Estadística es una disciplina de carácter principalmente instrumental, se están desarrollando movimientos
tendientes a lograr reformas curriculares en dicha área, plasmados en diversos documentos de Consejos de
Decanos, Asociaciones de Profesores, Congresos, etc. En los mismos se expresa la necesidad de una enseñanza
más eficiente y efectiva, y en forma explícita o implícita se hace referencia a la incorporación de tecnología
informática.
En este trabajo se realiza una evaluación de una experiencia realizada en el año 2007 en la Facultad de Ciencias
Veterinarias en el dictado de un tema de Inferencia Estadística dentro de la asignatura Bioestadística, con el
apoyo de la herramienta computacional durante el desarrollo de las clases prácticas. La utilización de esta
herramienta pone en evidencia matices diferenciados con respecto a la observación de clases en la modalidad
tradicional en cuanto a la apropiación del conocimiento por parte del alumno. La posibilidad de interactuar con la
computadora aumenta el protagonismo de los alumnos permitiendo detectar más fácilmente las situaciones de
acción, formulación, validación e institucionalización propuestas por Brousseau (1997), a través de la
desgrabación de los diálogos de los alumnos frente a la computadora.
Introducción
La teoría que soporta el desarrollo de la mayoría de las técnicas estadísticas, así como la aplicación empírica de
las mismas, tiene como común denominador la necesidad de evaluar cálculos, algoritmos, ecuaciones y teoremas
complejos.
Esta tarea demanda por parte del docente y de los alumnos, una notable cuota de esfuerzo y tiempo de
dedicación.
A tal fin, la historia de la Estadística muestra intentos de emplear métodos y arribar a sus
conclusiones reduciendo la carga de trabajo de cálculo. Hoy en día estos atajos han sido dejados de lado en virtud
de la inestimable ayuda que nos brindan las computadoras.
La idea de cómo incorporar su utilización al proceso de enseñanza-aprendizaje, ha sido motivo de diversos
trabajos de investigación.
Según Anido (2002), mundialmente se está haciendo uso de computadoras y calculadoras en la instrucción
matemática y estadística, hay muchos software y paquetes de enseñanza disponibles para un gran rango de
tópicos curriculares. Esto, por supuesto, plantea la cuestión de qué es lo que estos software y paquetes ofrecen a
la enseñanza y aprendizaje del tema y qué problemas potenciales pueden generar para la comprensión y el
Página 356
razonamiento. Sería beneficioso reunir los ejemplos donde el uso de la tecnología informática y el software
resultan enriquecedores para la experiencia de los estudiantes y devengan en una mejor comprensión y
aprendizaje.
En las Universidades Nacionales de Argentina, específicamente en las Facultades en las que se cursan carreras
donde la Estadística es una disciplina de carácter principalmente instrumental, se están desarrollando
movimientos tendientes a lograr reformas curriculares en dicha área, plasmados en diversos documentos de
Consejos de Decanos, Asociaciones de Profesores, Congresos, etc. En los mismos se expresa la necesidad de una
enseñanza más eficiente y efectiva y, en forma explícita o implícita se hace referencia a la incorporación de
tecnología informática (Anido, 2002).
Los nuevos sistemas computacionales para el cálculo numérico, simbólico y gráfico, denominados Computer
Algebraic System (C.A.S.) son formidables herramientas que complementan el trabajo matemático pues permiten
experimentar lo que era inexperimentable y representar gráficamente lo que era irrepresentable. Entonces ¿cuál es
el papel que debe asignarse a la computadora como herramienta en la práctica educativa?
Para Anido (2002), dada la rapidez de respuesta de la computadora, que hace posible establecer analogías y
realizar pruebas en menos tiempo, surgen los siguientes interrogantes: ¿Es un instrumento útil de exploración del
conocimiento o sólo ayuda a ahorrar ese tiempo en situaciones de cálculos rutinarios y tediosos? ¿Lleva sólo a
una abstracción empírica o puede estimular los mecanismos de abstracción reflexiva? ¿Ayuda a reconocer e
identificar nuevos problemas? ¿Cómo?
Según Anido (2002), de la evaluación de las experiencias se podría extraer, en procedimientos comparables,
comportamientos posibles y reproducibles de alumnos y docentes que favorezcan la adquisición del conocimiento
matemático. Entre otros:
La potencia y rapidez de las herramientas C.A.S., permite dedicar a la formación de conceptos, espacios y
tiempos ocupados habitualmente en una operatoria matemática estéril en sí misma.
La rapidez de respuesta del ordenador favorece el análisis de múltiples ejemplos en un proceso de inducción del
descubrimiento de posibles propiedades por el alumno o la inmediata verificación de su no existencia.
La posibilidad de resolución de problemas con datos reales en situaciones reales motiva al alumno.
La aparición de situaciones problemáticas (por ejemplo: resultados no esperados en la pantalla) invita al alumno a
un trabajo de profundización teórica y autoexigencia de procesos demostrativos.
Problema de investigación
Basados en las experiencias realizadas, y de nuestra propia práctica docente surgen las siguientes preguntas:
¿Es posible utilizar la computadora como herramienta cognitiva?
¿La utilización de una metodología innovadora puede facilitar la adecuación entre la enseñanza y el aprendizaje?
¿Estamos en condiciones de brindar a los alumnos los recursos materiales y temporales adecuados para el
desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje?
¿Qué grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes se puede alcanzar?
Página 357
¿Es posible que la metodología a utilizar en Estadística donde se utilicen situaciones específicas del contexto de
las Ciencias Veterinarias con relaciones conexiones intra e interdisciplinaria corresponda a una enseñanza donde
el eje de las clases es el problema en el área disciplinar de interés?
Objetivo general
¾ Analizar la incorporación de la herramienta computacional como facilitadora del proceso de enseñanza y
aprendizaje en las clases de Estadística, en carreras donde la Estadística cumple un rol instrumental en la
Universidad.
Objetivos específicos
¾ Proponer situaciones problemáticas referidas al campo de la medicina Veterinaria.
¾ Analizar las situaciones adidácticas a través de una observación no participante, donde se transcriben los
diálogos de los alumnos frente a la computadora. .
Marco teórico
A fines de la década del ochenta en distintos centros universitarios e institutos de investigación del mundo se
desarrollaron programas computacionales que genéricamente se llaman por las siglas C.A.S (Computer Algebraic
System) que no sólo hacen una parte del trabajo numérico y simbólico, que hacían los matemáticos sino más
aún, son formidables herramientas que complementan el trabajo matemático. Ellas son entre otras: Matlab,
Basile, Derive, Mathematica.
La Dra. Anido de López los comienza a investigar en 1989 y forma un primer equipo interdisciplinario para
estudiar su potencialidad primero para la misma Matemática y luego para la enseñanza. Desde la Didáctica de la
Matemática dirige un Proyecto de Investigación y Desarrollo, en el que trabajan docentes de distintas facultades y
distintas ramas de la Matemática, entre los que me encuentro .En este proyecto se analizó: el computador en el
aprendizaje. En este campo conceptual se estudió la concepción del ordenador como “herramienta cognitiva” en
el sentido de Alonso y Gallego (1995). Además, se recopilaron aquellas investigaciones más significativas
realizadas sobre todo en países anglosajones, donde desde hace dos décadas se estudiaron los efectos sobre la
enseñanza-aprendizaje de la Matemática cuando se utiliza el computador como herramienta.
La didáctica de la Estadística ha cobrado un gran desarrollo en las dos últimas décadas, como se observa con la
aparición de las revistas como Teaching Statistics, la formación de la Asociación Internacional sobre Educación
Estadística (IASE) y la preocupación demostrada por los estadísticos en las Conferencias Internacionales sobre la
Enseñanza de la Estadística (ICOTS) que se realiza cada cuatro años desde 1982.Es por ello, que este marco
teórico nos permitirá ahondar en el uso de la herramienta computacional como herramienta cognitiva en el campo
de la Estadística.
En cuanto a la observación de las tareas, Vergnaud y Durand ( 1976 ) buscan conocer la capacidad real de los
alumnos para resolver problemas matemáticos o científicos y analizar los procesos o mecanismos mentales que
Página 358
subyacen a sus comportamientos . Se trata de observar la actividad del sujeto e identificar el modelo de actividad
en una situación de resolución de problemas.
De un modo muy general, el observador pretende conocer cómo identifica el alumno los elementos de la
situación, cómo analiza las relaciones entre ellos y cómo se sirve de esquemas operatorios de razonamiento y de
acción.
Casanova (1995) distingue la observación participante y no participante. En la observación no participante, el
observador es absolutamente externo al grupo, se mantiene al margen de las actuaciones del mismo y de las
relaciones que se establecen entre sus miembros. Un observador externo al grupo-clase, sin implicaciones ni
responsabilidades en su modo de funcionar, y sin tareas concretas que desarrollar durante el tiempo que observa,
advertirá mayor número de facetas en su observación y la interpretación que ofrezca será, sin duda, desde un
ángulo distinto y complementario al de los protagonistas de la acción.
Posicionados en la Teoría de Brousseau (1997), consideramos a una situación adidáctica como parte de una
situación más amplia que este autor llama situación didáctica. Una Situación didáctica es un conjunto de
relaciones explícita o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos y el profesor, para
construir un conocimiento.
En la práctica de la docencia universitaria, serían, por ejemplo origen de situaciones adidácticas, aquellas
preguntas de los alumnos, a veces impredecibles, que demuestran que el alumno está “pensando”, además, a
veces no es fácil responderlas pero que indudablemente provocan un cambio en el desarrollo de nuestra clase.
En los diálogos analizaremos estas situaciones adidácticas, las cuales se clasifican según Brousseau en:
•
Acción: el alumno actúa, explora, investiga y formula hipótesis que aún no puede demostrar.
•
Formulación: el alumno comunica sus hallazgos a una o varias personas.
•
Validación: el alumno trata de demostrar que la propiedad que ha conjeturado es válida. Para ello debe
convencer a los otros.
•
Institucionalización: el conocimiento se explicita en el contexto del “saber a enseñar”
Interesa entonces mostrar el rol del computador en la generación de situaciones adidácticas en problemas
concretos, porque la detección de una secuencia de acción, formulación y validación en los alumnos es un
indicador de ese aprendizaje significativo en el sentido de Ausubel (2002), Polya (1975) y otros epistemólogos
modernos.
Metodología
Una experiencia en la Facultad de Ciencias Veterinarias.
Durante el primer cuatrimestre del año 2007, en la Facultad de Ciencias Veterinarias en el dictado de los temas
referidos a Estadística Descriptiva dentro de la asignatura “Bioestadística”, se siguieron los lineamientos del
método de proyectos, como un plan de acción conjunto entre docentes y alumnos alrededor de un tema
significativo, en dirección a una meta asociada con un producto que posee etapas a ser cumplidas en un tiempo
Página 359
determinado y que integra contenidos de distintas áreas programáticas, con el apoyo de la herramienta
computacional durante el desarrollo de las clases prácticas, en grupos de tres alumnos frente a cada computadora.
Para el dictado de la segunda parte de la asignatura, Estadística Inferencial, por limitaciones de tiempo, no se
pudo aplicar el método de proyectos, pero las clases prácticas se continuaron dictando en la Sala de Informática.
Esta sala cuenta con seis computadoras, todas ellas con el software desarrollado por el Prof. Arturo Arango
Duran, basado en la Planilla de Cálculos Excel, cuya finalidad principal es resolver la práctica propuesta en el
libro Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía de Kazmier, L (1999) .Además, se trabajó con
contribuciones breves de situaciones problemáticas referidas al campo de la Medicina Veterinaria y prácticas
propuestas por la Cátedra sobre problemas específicos en el mismo contexto de aplicación. Se presenta a
continuación una situación problemática propuesta por la cátedra para ser resuelta con la computadora: Se
efectuó un experimento cuyo objetivo fue determinar la relación entre el Rendimiento de leche (en litros)
considerada como variable independiente y el % de grasa, variable dependiente, en vacas Holando Argentina. Se
observaron los siguientes resultados:
X:(l ) 30-43-44-45-35-30-49-50-44
Y:(%) 5 - 6 – 7- 7 - 4 - 2- 7- 8- 6
Brinde la ecuación de Regresión lineal y represéntela en un diagrama de dispersión. Analice los estimadores a y
b. Interprete en términos del problema. Qué concluye ¿Puede estimar valores de y en función de valores de x.
Por qué ?
El valor r=0,8893 es la estimación de un parámetro de interés. Indique cuál es el parámetro e interprételo en
términos del problema. Qué concluiría respecto de la asociación entre las variables?
Se registraron los diálogos entre los alumnos, durante las dos horas de laboratorio correspondientes al tema
Regresión y Correlación. Se desgrabaron y se analizaron con el fin de conocer el impacto en el aprendizaje al
utilizar la herramienta computacional.
A partir del análisis de los diálogos podemos sintetizar la situación adidáctica de la siguiente manera:
Al comenzar a trabajar frente a la computadora introducen los datos y se observa cómo surge la situación
adidáctica, a través de la acción: los alumnos exploran las variables independiente o exploratoria y la dependiente
o de respuesta, realizan diagramas de dispersión, analizan si la relación es lineal o no, describen las formas de la
relación entre las variables en función de los datos que utilizan. Discuten, se genera un diálogo enriquecedor,
cambian pareceres y juegan cambiando datos para observar distintas formas de relaciones.
Posicionados en una relación lineal, determinan los coeficientes a y b. Analizan e interpretan en términos del
problema la ordenada al origen y estudian la pendiente. Analizan cambios de pendiente. Comienza el paso de
formulación ya que comentan sus resultados a sus compañeros y comunican lo investigado a su profesora.
Intentan demostrar que la relación obtenida es la correcta en función de sus datos y argumentan sus
observaciones, iniciándose el paso correspondiente a la validación.
Nuevamente se comienza a visualizar la situación de acción al indagar sobre la conveniencia de la recta como
medio de predicción y al avanzar y proceder al cálculo de la variancia de la recta de regresión, Sobre este cálculo
Página 360
los alumnos analizan qué sucede si la variancia es menor, y su relación con la precisión de la recta como
instrumento de predicción. Así pasan a la situación de formulación, explicando los cambios en las variancias a
sus compañeros y preguntándose qué pasa si los datos de esta muestra brindan evidencia suficiente para pensar
que la pendiente es realmente significativa. Proponen el Test de Hipótesis correspondiente a la significatividad de
la pendiente y analizan de sus bases de datos distintas situaciones. Observan casos en los que la pendiente es nula
y otros donde es significativa.
En estos casos proponen valores para predecir dentro y fuera del rango de valores experimental, discutiendo
cuando es aplicable la inferencia y cuándo no, estableciendo las limitaciones correspondientes. Comunican lo
analizado a sus compañeros, por lo que avanzan a la etapa de formulación y al argumentar el por qué de las
limitaciones de la inferencia para aplicar la recta de regresión como medida predictiva, alcanzan la etapa de
Validación.
Los alumnos hacen una puesta en común, con la guía de la profesora donde reflexionan sobre el uso de la
herramienta computacional como instrumento que facilita el aprendizaje, obviando los grandes cálculos que
desviarían por un rato, el fundamento y aplicación de la regresión como método útil en el análisis de datos
provenientes de poblaciones bivariantes.
La profesora realiza un resumen de lo aprendido por sus alumnos, en base a lo expuesto por ellos, llegando a una
síntesis de lo enseñado, en el contexto de lo realmente aprehendido, con lo que se finaliza la etapa de
institucionalización, y el proceso que motivó esta situación adidáctica de aprendizaje.
Reflexiones
La utilización de la herramienta computacional pone en evidencia matices diferenciados referidos a motivación,
interés y dedicación para encontrar el camino correcto, con respecto a la observación de clases en la modalidad
tradicional en cuanto a la apropiación del conocimiento por parte del alumno. La posibilidad de interactuar con la
computadora aumenta el protagonismo de los alumnos permitiendo detectar más fácilmente la puesta en juego de
los pasos explicitados por Brousseau para que el alumno aprenda.
De la desgrabación de los diálogos, hemos observado que los alumnos exploran y experimentan, gestándose
distintas situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización. A partir de un mismo problema,
con variaciones de los elementos que intervienen en la construcción de una Recta de Regresión, justifican desde
la praxis explorando. Además, argumentan, relacionando:
•
Variables independientes y dependientes.
•
Formas funcionales.
•
Valores positivos y negativos de la pendiente, en función de la situación problemática.
•
Valores de la ordenada al origen con sentido en términos del problema.
•
Variaciones en la recta según los datos de la muestra que se elige.
•
Menor Variancia de la recta de regresión con mayor precisión.
•
Predicciones de Valores dentro del rango de los datos muestrales y fuera de ellos.
Página 361
Se observa una relación más espontánea entre los alumnos y la relación de dependencia entre expresión y
contenido. La rapidez de cálculo y visualización que permite la computadora, hace a que:
•
La facilidad de cambiar los valores de la pendiente y la ordenada al origen le permiten obtener y
establecer relaciones entre distintas rectas de regresión.
•
Puedan experimentar con muestras distintas, del mismo tamaño, de una misma población, y visualizar en
pantalla en forma inmediata si la recta obtenida es la que mejor ajusta a los datos poblacionales.
•
Los diálogos grabados revelan argumentaciones y validaciones no solicitadas como una necesidad
natural de la experimentación.
•
Los alumnos se centran en ideas y conceptos relevantes y no se dedica tiempo a los cálculos rutinarios.
Estas situaciones nos permiten reflexionar que el uso de la herramienta computacional ha permitido un
aprendizaje significativo entendiendo por tal a aquel que tiene en cuenta o atribuye un papel clave a la interacción
social, la cooperación, el discurso, la comunicación y también a la interacción del sujeto con las
situaciones-problemas (Godino,2002) y ha incentivado a que el sujeto sea capaz de realizar las distintas prácticas
prototípicas que configuran el significado de dicho objeto en la institución, del tema Regresión Lineal en alumnos
de un primer curso de Estadística en una Facultad de Ciencias Veterinarias donde esta asignatura cumple un rol
instrumental.
Bibliografía
Alonso, C. y Gallego, D. (1995) Aprendizaje y ordenador. Madrid: UNED
Anido, M. (2002). Una propuesta de incorporación de la herramienta computacional a la enseñanza de la
Matemática en la Universidad. Tesis de doctorado, UNED, Madrid, España.
Ausubel, D. P. (2002). Adquisición y retención del conocimiento. Una perspectiva cognoscitiva. Barcelona:
Piados.
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer A. P.
Casanova, M. A. (1995). Manual de evaluación educativa. Madrid: La Muralla.
Godino, J. D. (2002).Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactiques
des Mathematiques. Vol. 22(2/3).
Kazmier, Leonard J. (1999) Estadística aplicada a la administración y a la economía. 3ra. ed. México: McGrawHill Interamericana.
Polya, G. (1975). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
Vergnaud, G. y Durand, C. (1976). Structures additives et complexité psychogénétique. En Revue française de
Pédagogie, 36. pp. 28-43.
Página 362
EVOLUCIÓN DE PROCESOS DE VALIDACIÓN: UN ESTUDIO CON FUTUROS
PROFESORES
Sara Scaglia y Melina Zampar
Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral
[email protected]
Nivel universitario
Palabras clave: demostración, procesos de validación, futuros profesores.
21H
Resumen
Esta comunicación tiene como objetivo analizar la evolución de los procesos de validación puestos en juego por
futuros docentes de matemática para fundamentar resultados geométricos. Los sujetos de estudio son estudiantes
que cursan Geometría Euclídea Plana, una asignatura del segundo año del Profesorado de Matemática.
En este estudio, en general, se confirman los resultados bien documentadas en la bibliografía, referidos a que la
actividad de demostrar resultados genera muchas dificultades en los estudiantes.
Se puede desatacar que en la actividad en la que los alumnos deben justificar que la suma de los ángulos
interiores de cualquier triángulo es igual a 180º, se observa un progreso considerable, que radica en una
disminución de los errores en general, y de los errores de razonamiento en particular. En la segunda actividad,
cuando deben desarrollar una justificación de que la suma de los ángulos interiores del rectángulo es igual a 360º,
se observa también una disminución de los errores de razonamiento. Este progreso es importante, dado que los
alumnos superan, en general, una dificultad bastante común, que es la utilización de hipótesis no dadas.
1. Introducción 9
8F
La demostración es considerada una característica fundamental de la esencia de las matemáticas. Esta cuestión no
puede desatenderse en la enseñanza, dado que “la formación matemática de un individuo incluye no sólo el
desarrollo de competencias específicas, sino también la consolidación de una concepción de lo que son las
matemáticas y de cómo se validan sus construcciones, concepción que se logra mediante la experiencia del
quehacer matemático” (Camargo, Perry y Samper, 2005; p. 54).
En las orientaciones curriculares de diversos países se hace hincapié en la necesidad de justificar o validar las
afirmaciones y resultados (NCTM, 1990; NAP, 2006). Sin embargo, “varios estudios han reportado que la
deducción formal entre los estudiantes que han estudiado geometría escolar secundaria está prácticamente
ausente” (Battista y Clements, 1995; p. 48). Estos autores reportan diversas investigaciones en las que se ponen
de manifiesto las dificultades que tienen los sujetos para justificar los resultados a los que arriban, y más aún para
desarrollar demostraciones formales.
Con la finalidad de profundizar en las particularidades de las demostraciones que realizan los alumnos, se ha
diseñado un estudio que tiene por objeto indagar la evolución de la habilidad para demostrar resultados
geométricos de estudiantes del profesorado de matemática. Se propone para ello realizar un estudio longitudinal
de un grupo de estudiantes que cursan una asignatura del segundo año de la carrera, considerando tres momentos
específicos: el inicio del año académico, la finalización del primer cuatrimestre y la finalización del año
9
Esta indagación se enmarca en el proyecto de investigación C.A.I.+D. P.E. 12/F603 “La problemática de la
demostración en el aprendizaje de la geometría”.
Página 363
académico. En esta comunicación presentamos los resultados obtenidos en el primer momento y en el segundo
momento, es decir, en el inicio y en la finalización del primer cuatrimestre.
La asignatura Geometría Euclídea Plana se dicta durante el primer cuatrimestre del segundo año de la carrera
Profesorado de Matemática. El estudio de conceptos y propiedades geométricas se propone a partir de una
construcción axiomática, siguiendo el texto de Puig Adam (1980). Se espera analizar la repercusión que podría
tener una formación sistemática en geometría y en sus métodos de demostración en la evolución del pensamiento
geométrico de los sujetos, en particular en lo que refiere a las habilidades para demostrar resultados.
2. Marco teórico
Siguiendo a Balacheff (Balacheff, 2000; p. 12) la explicación “establece y garantiza la validez de una
proposición, se arraiga en sus conocimientos y en lo que constituye su racionalidad, es decir, sus propias reglas
de decisión de la verdad”. Esto es, cuando la explicación se lleva a cabo tiene como objetivo hacer evidente la
verdad de las proposiciones. Cuando una explicación es reconocida y aceptada se le asigna el término prueba.
Cuando la explicación expresada en un discurso asegura la validez de una proposición y esta es aceptada por una
comunidad, se habla del paso de la explicación a la prueba. La demostración es un tipo de prueba dominante en
las matemáticas, consiste en una serie de enunciados que se organizan siguiendo un conjunto de reglas
(Balacheff, 2000).
El término razonamiento hace referencia a la actividad intelectual que consiste en la manipulación de la
información dada o adquirida, para producir una nueva información. La expresión proceso de validación es
asignada a esta misma actividad, cuando tiene como fin asegurarse de la validez de una proposición y producir
una explicación.
En lo que respecta a categorizaciones de errores en geometría, Franchi y Rincón (2003) proponen una tipología
errores en el área de la Geometría Plana que permita identificar y clasificar los errores de los alumnos. Las
categorías en las cuales se ubican los errores son las siguientes:
Errores de pre-requisitos:
“Los errores de pre-requisitos se deben a un aprendizaje deficiente de hechos, habilidades y destrezas que el
alumno debió adquirir antes de iniciar el estudio de la geometría” (Franchi y Rincón, 2003; p. 197). Se incluyen
en este tipo los errores observados en operaciones, en la manipulación de expresiones algebraicas o cuando se
utiliza inadecuadamente los instrumentos de dibujo.
Errores propios del lenguaje geométrico
“Estos errores se hacen evidentes cuando el estudiante utiliza inadecuadamente las notaciones de las figuras y
elementos geométricos, demuestra o intenta demostrar una proposición geométrica que no se le pide, da una
respuesta distinta o adicional a la que se le pide en un problema geométrico, cuando plantea una ecuación o
proposición en discordancia con el enunciado de un problema geométrico dado y cuando utiliza inadecuadamente
la terminología geométrica o describe defectuosamente la construcción de figuras geométricas” (Franchi y
Rincón, 2003; p. 198).
Página 364
Errores gráficos
“Se entenderá que un estudiante incurre en este tipo de errores cuando dibuja una figura geométrica que no se
corresponde con el enunciado de un problema geométrico propuesto, no dibuja una figura geométrica a propósito
de un problema geométrico propuesto, cuando toma mal un dato de una figura geométrica o lo ignora en la
solución o demostración de un problema geométrico” (Franchi y Rincón, 2003; p. 198).
Errores de razonamiento
Se incluyen aquí los errores derivados del mal uso de las implicaciones y equivalencias lógicas. “Se manifiestan
cuando el alumno añade hipótesis que no están dadas en la solución o en la demostración de un problema
geométrico, intenta demostrar o resolver un problema geométrico sin utilizar algún dato dado, usa un axioma,
teorema o corolario sin que se tengan las hipótesis requeridas para su aplicación o lo usa en un contexto que no le
corresponde, interpreta y usa inadecuadamente una definición, usa el recíproco de una implicación como
verdadera, cuando construye y usa una implicación que no es verdadera” (Franchi y Rincón, 2003; p. 199).
Errores de transferencia
“Se presentan, cuando el estudiante transforma defectuosamente una situación problemática real en un problema
geométrico, o cuando aplica defectuosamente conocimientos propios de otras asignaturas o disciplinas en un
problema geométrico planteado” (Franchi y Rincón, 2003; p. 200).
Errores de técnica
Se incluyen aquí los errores que surgen por la aplicación inadecuada de procedimientos o algoritmos en la
solución de problemas geométricos o en la demostración de proposiciones geométricas. “Se puede identificar este
tipo de errores cuando el estudiante utiliza un algoritmo correcto en la solución de un problema geométrico pero
lo aplica en forma defectuosa, enuncia proposiciones ciertas sin justificación o mal justificadas o cuando utiliza
un algoritmo adecuado para la solución o demostración de un problema geométrico pero no llega a su solución”
(Franchi y Rincón, 2003; p. 201).
Errores de tecnología
“Se consideran errores de tecnología, aquellos que se producen cuando el alumno selecciona un algoritmo
inadecuado para resolver un problema geométrico o usa una estrategia inadecuada para realizar una demostración
geométrica” (p. 201).
Errores azarosos
Se incluyen en este grupo los errores ocurridos por un descuido. “Se pueden detectar cuando el alumno transcribe
mal una cantidad o símbolo o sustituye mal un dato en una ecuación dada, manipula inadecuadamente los signos
algebraicos o cuando ejecuta mal operaciones aritméticas” (Franchi y Rincón, 2003; p. 203).
A partir de las consideraciones anteriores, en este trabajo se estudian los procesos de validación que los sujetos
ponen en juego para fundamentar dos resultados geométricos. La clasificación de Franchi y Rincón (2003) será
utilizada para analizar los errores observados.
Página 365
3. Encuadre metodológico
Esta indagación se sitúa en el paradigma interpretativo (Cohen y Manion, 1990). Se trata de un estudio
descriptivo en pequeña escala, cuya finalidad es la interpretación de las respuestas y producciones de sujetos de
modo de comprender sus acciones, sin perseguir la generalización de los resultados. Desde el punto de vista
metodológico, se trata de una investigación cualitativa donde los datos son frases y palabras, antes que datos
numéricos. Además, el análisis de datos no descansa en métodos estadísticos.
Para el procesamiento de la información se elabora una categorización inicial que da cuenta de las diferentes
instancias de respuestas, de modo de volcar en una tabla las afirmaciones dadas por todos los sujetos.
Posteriormente se retoman las categorías que resultan de mayor interés en función del objetivo del trabajo, esto
es, analizar los procesos de validación puestos en juego por los estudiantes.
Como se ha expresado, los sujetos de estudio son estudiantes que cursan Geometría Euclídea Plana, una
asignatura del segundo año del Profesorado de Matemática. Se administró el cuestionario a 19 sujetos en la
primera aplicación (inicio del cuatrimestre) y a 14 sujetos en la segunda (fin del cuatrimestre). De estos últimos,
sólo 9 habían realizado en cuestionario en la primera aplicación. Por lo tanto, en la presente comunicación se
estudia la evolución de los procesos de validación de estos 9 estudiantes.
Para elaborar el cuestionario en primer lugar se adopta el criterio de seleccionar propiedades elementales
conocidas por los estudiantes (aunque difícilmente hayan sido trabajadas a partir de una demostración formal). Se
desea que los alumnos puedan disponer mínimamente de ideas previas que les permitan abordar la resolución del
cuestionario.
Un segundo criterio es presentar propiedades que puedan relacionarse en una cadena deductiva. Así, la
justificación de que la suma de los ángulos interiores del rectángulo es 360º podría basarse en la obtención de dos
triángulos al trazar su diagonal. De este modo, se utilizaría la propiedad de la actividad 1 para justificar la
respuesta a la actividad 3. Este segundo criterio justifica también la inclusión de definiciones de rectángulo.
Cuestionario
1) ¿Por qué la suma de los ángulos interiores de un triangulo cualquiera es igual a 180º?
2) Elige de las siguientes definiciones de rectángulo la que te resulte más conocida:
“Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene los cuatros ángulos iguales”.
“Un rectángulo es un paralelogramo que tiene un ángulo recto”.
3) A partir de la definición de rectángulo que elegiste, ¿a que es igual la suma de los ángulos
interiores de un rectángulo? Justifica tu respuesta.
Los sujetos a los que se administró el cuestionario abordan por primera vez en la carrera un estudio formal de la
geometría euclídea en la asignatura Geometría Euclídea Plana (que como se dijo, corresponde al segundo año del
Página 366
plan de estudios). Durante el primer año realizan demostraciones en otras materias (Matemática Básica, Cálculo
I, Álgebra Lineal I) razón por la que tienen experiencias en la práctica de argumentar a partir de las reglas y
criterios propios de la matemática. En lo que respecta a las propiedades abordadas en el cuestionario, tratándose
de ideas elementales, los alumnos las conocen desde su paso por la escuela primaria (en la que es probable que
hayan desarrollado una prueba empírica de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, mediante la
construcción y recorte en papel para ‘comprobar’ que una vez colocados sus ángulos en forma consecutiva
conforman un ángulo llano). También conocen sobradamente que el rectángulo posee los ángulos rectos. En
primer o segundo año de la escuela media es probable que hayan demostrado la primer propiedad mediante el
trazado de una recta paralela a un lado por el vértice opuesto (dado que se aplican las relaciones entre ángulos
determinados por rectas paralelas cortadas por una transversal, que se estudian en esta etapa de la escolaridad).
Sin embargo, no puede desconocerse que en estos niveles, “si algo ‘se cae’ del programa por falta de tiempo es la
geometría. Al punto de que nadie dudaría en promover a un alumno de quinto año de EGB a sexto por no conocer
la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo” (Itzcovich, 2005; p. 109).
A partir de estas consideraciones, es de esperar que si bien es posible que en la primera administración del
cuestionario a inicios del primer cuatrimestre algunos alumnos tengan dificultades en desarrollar demostraciones
adecuadas (añadiendo a la ausencia de un estudio formal de la geometría los resultados reportados en
investigaciones respecto de las dificultades de los alumnos para desarrollar demostraciones formales), se espera
que en la segunda administración del cuestionario (al final del cuatrimestre) los sujetos dispongan de las
competencias requeridas para demostrar las propiedades planteadas.
4. Estudio de respuestas
4.1. Actividad 1
1) ¿Por qué la suma de los ángulos interiores de un triangulo cualquiera es igual a 180º?
4.1. 1. Categorías de respuestas
En la tabla 1 se incluyen las categorías en que se clasificaron los procesos de validación de los estudiantes.
CATEGORÍAS
1º APLICACIÓN
2º
APLICACIÓN
1. Utilización de recta paralela a un lado por vértice opuesto
5, 3, 9
1, 2, 3, 7, 9
2. Utilización de un rectángulo (en un solo caso un
5, 6, 7, 8
8
4
4, 5, 6
paralelogramo) dividido por una diagonal
3. Utilización de propiedad de los ángulos exteriores del
triángulo
4. Sin explicación
1, 2
Tabla 1. Categoría de respuestas para la pregunta 1
Página 367
En la primera tabla se observa una mejora en los procesos de validación relacionada con las categorías de
respuesta. Por un lado, disminuye de 4 alumnos (1º aplicación) a 1 solo alumno el uso de la categoría 2. Los
alumnos que utilizaron esta categoría, en su mayoría demuestran la propiedad (o intentan hacerlo) para un caso
particular de triángulo: el rectángulo. Por tanto, no se demuestra el caso general. Por otro lado, en la segunda
aplicación todos los alumnos intentan una justificación del resultado, en tanto que en la primera dos alumnos no
habían presentado demostración.
Además, aumenta el número de alumnos que utiliza la demostración clásica (el trazado de una recta paralela a un
lado por el vértice opuesto, utilizando posteriormente propiedades de los ángulos determinados por rectas
paralelas cortadas por una transversal). Esta demostración es la que se encuentra en el texto seguido en la
asignatura (Puig Adam, 1980). La propiedad de los ángulos exteriores de los triángulos también figura en este
libro de texto, y se presenta como una consecuencia de la propiedad cuya demostración se pide en la primera
actividad. Por tanto, se puede observar en estos casos una mejora en el proceso de validación que se produciría
como consecuencia de un aumento del conocimiento de los alumnos en torno a las propiedades geométricas.
4.1.2. Errores observados
En la tabla 2 resumimos los errores observados según la clasificación de Franchi y Rincón (2003), incluyendo
una descripción de los errores y los sujetos en los que se manifiesta.
TIPO DE
IDENTIFICACIÓN DEL ERROR
1º APLICACIÓN
2º APLICACIÓN
a) Hipótesis no dada: el triángulo posee un ángulo
recto.
b) Hipótesis no dada: la suma de los ángulos interiores
es la misma para todos los triángulos.
c) Uso de una propiedad sin que se tengan las hipótesis
requeridas para su aplicación: la diagonal es bisectriz
en el cuadrado y en el rombo, pero no en un rectángulo
cualquiera.
a) Utilización defectuosa de un algoritmo correcto:
comparación errónea de ángulos.
5, 6, 7, 8
8
b) Utilización de un algoritmo adecuado para la
demostración pero no justifican todos los pasos
(incompleto).
c) Enunciado de proposiciones ciertas sin justificación.
6, 9
4
Confusión de términos.
-
ERROR
ERROR DE
RAZONAMIENTO
(E.R.)
ERROR DE
TÉCNICA
(E.T.)
ERROR DE
LENGUAJE
(E.L.)
6
5, 7, 8
3
6, 9
2, 9
Tabla 2. Clasificación de errores en la actividad 1, 1º y 2º aplicación
En este caso, se observa que en la 2º aplicación disminuyen notablemente los errores de razonamiento (de 8 en la
1º aplicación a uno solo en la 2º). Disminuyen también los errores de técnica (de 4 a 2). En cambio, mientras que
en la primera aplicación no hubo errores de lenguaje, en la segunda se observan 2.
Página 368
En la tabla 3 se resume la producción de cada alumno, con el objeto de estudiar la evolución del proceso de
validación.
ALUMNO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RESULTADO 1º APLICACIÓN
Cat. 4. (Sin explicación)
Cat. 1; Sin Error
Cat. 4. (Sin explicación)
Cat. 1; EL
Cat. 1; ET (a)
Cat. 1; Sin Error
Cat. 3; ET (c)
Cat. 3; Sin Error
Cat. 1. Sin justificar
Cat. 3; Sin Error
Cat. 2; ER (a y c)
Cat. 2; (con rectángulo). ER (a y b)
Cat. 3; ET (b)
Cat. 2; (con paralelogramo) ET (b)
Cat. 2; ER (a y c)
Cat. 1; Sin Error
Cat. 2; ER (a y c)
Cat. 2; ER (a)
Cat. 1; ET (b)
Cat. 1; ET (b) y EL
Tabla 3. Evolución de los procesos de validación en la actividad 1
En general, en la tabla 3 se puede observar que en todos los alumnos (salvo el sujeto 9) se observa un progreso en
la justificación de la propiedad. En algunos casos, se pasa de una ausencia de justificación o justificación con
errores a una demostración (en el sentido de Balacheff, 2000). Es el caso de los sujetos 1, 3, 4, 5 y 7. En otros
casos, se pasa de ausencia de justificación o justificación con errores, a una justificación con menor presencia de
errores (sujetos 4, 6 y 8).
4.2. Actividad 2
3) A partir de la definición de rectángulo que elegiste, ¿a que es igual la suma de los ángulos
interiores de un rectángulo? Justifica tu respuesta.
4.2.1. Categorías de respuesta
En la tabla 5 se incluyen las categorías en que se clasificaron los procesos de validación de los estudiantes.
CATEGORÍAS
1º APLICACIÓN
2º
APLICACIÓN
1. Consideración del rectángulo formado por dos triángulos.
1, 2, 7
2, 3, 5, 6
2. Utilización de dato adicional relacionado con la amplitud de
3, 4, 5
1, 5
6, 8, 9
9
-
4, 7, 8
los ángulos.
3. Utilización de conceptos de paralelismo y perpendicularidad
de lados en el rectángulo.
4. Utilización de propiedades del rectángulo.
Tabla 5. Categoría de respuestas para la pregunta 3
En general, la única categoría que está suponiendo un error es la segunda, dado que se estaría utilizando un dato
no conocido relacionado con la presencia de ángulos rectos en la figura (se trata de sujetos que no han
Página 369
seleccionado la definición 1, que afirma que los cuatro ángulos del rectángulo son iguales, pero no que posee
algún ángulo recto).
Las restantes categorías contienen ideas adecuadas que, desarrolladas satisfactoriamente, deberían conducir a
demostraciones en el sentido de Balacheff (2000). Como veremos en la tabla 6, en general no es el caso, porque
se observan diversos errores en las justificaciones de los alumnos.
4.2.2. Errores observados
TIPO DE ERROR
IDENTIFICACIÓN DEL ERROR
ERROR DE
TÉCNICA
ERROR DE
LENGUAJE
a) Hipótesis no dada: el rectángulo posee un
ángulo recto.
b) Hipótesis no dada: los ángulos interiores del
rectángulo son rectos.
c) Construye y usa una implicación errónea
(que involucra una relación entre área y suma
de ángulos interiores).
a) Enunciado de proposiciones ciertas sin
justificación.
a) Utilización inadecuada de términos
geométricos.
ERROR GRÁFICO
a) Toma mal un dato de una figura geométrica.
ERROR DE
RAZONAMIENTO
3
1
2, 4, 5
5
7
6, 8
1, 2, 3, 5, 8
1, 7
8 (2)
-
9
Tabla 5. Clasificación de errores
Tal como ocurre en la primera actividad, se observa una disminución de los errores de razonamiento (de 5 errores
en la primera aplicación se pasa a 2 en la 2º). Sin embargo, se observa un aumento de los errores de técnica,
fundamentalmente debido a que las explicaciones son incompletas. Las justificaciones incompletas se presentan,
por ejemplo, cuando se utiliza la categoría 1 y no se justifica en ningún momento que la suma de los ángulos del
rectángulo se completa con la suma de los ángulos de los dos triángulos en que queda dividido el mismo al trazar
una diagonal cualquiera (sujetos 1, 2, 3, 5 en la segunda aplicación). El otro caso en que se presentan
justificaciones incompletas se debe a que se afirma que si un ángulo es recto, los restantes también lo son,
faltando la justificación de este último hecho (sujeto 6, 1º aplicación y sujeto 8, 1º y 2º aplicación).
En la 2º aplicación se observa un error de gráfico, porque el sujeto 9 cuando debe tomar dos lados opuestos del
rectángulo, considera erróneamente dos lados consecutivos. Quizá este error sea un descuido, porque la
justificación es correcta salvo ese pequeño desliz.
A partir de estos resultados, no es posible afirmar que ha mejorado en general el proceso de validación de los
estudiantes al finalizar el cursado de la asignatura Geometría Euclídea Plana, aunque sí es importante remarcar
que han disminuido los errores de razonamiento.
Finalmente, y tal como se hizo en la actividad 1, se muestra en el cuadro 6 un resumen de la evolución de las
producciones de los estudiantes.
ALUMNO
1
2
Cat. 1. EL (a)
Cat. 1. ER (b)
Cat. 2; ER (a) y ET (a)
Cat. 1; ET (b)
Página 370
3
4
5
6
7
8
9
Cat. 1; Sin error
Cat. 2; ER (a)
Cat. 2; ER (b)
Cat. 2; ER (b)
Cat. 1; ET (a)
Cat. 4; Sin Error
Cat. 1; ET (a)
Cat. 2; ER (b)
Cat. 3; ET (a)
Cat. 1; Sin Error
Cat. 1; ER (c) y EL (a)
Cat. 4; Sin Error
Cat. 3; ET (a)
Cat. 4; ET (a) y EL (2)
Cat. 3; Sin error
Cat. 3; EG
Tabla 6. Evolución de los procesos de validación en la actividad 2
Se ha observado un progreso en los procesos de validación de algunos alumnos que pasan de una justificación
con errores en la 1º aplicación a una justificación sin errores en la 2º (sujetos 4, 6 y 7 respectivamente). El
alumno 2 ha pasado de un error de razonamiento a un error de técnica (que tiene que ver con una justificación
incompleta), lo que también podría considerarse un progreso.
Se observa, en cambio, un retroceso en los sujetos 1, 5, 3, 8 y 9. En algunos casos, se ha pasado de una
justificación sin error a una con error (sujetos 3 y 9); en los restantes casos, ha aumentado el número de errores.
En este estudio, en general, se confirman los resultados bien documentadas en la bibliografía (Battista y
Clements, 1995), referidos a que la actividad de demostrar resultados genera muchas dificultades en los
estudiantes. En este caso, se trata de estudiantes de Profesorado de Matemática que han estado durante un
cuatrimestre estudiando una asignatura (de 6 hs semanales) que supone un abordaje axiomático de la geometría
euclídea plana.
Si se miran con optimismo los resultados, se puede desatacar que en la actividad en la que los alumnos deben
justificar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º se observa un progreso
considerable, basado en una disminución de los errores en general, y de los errores de razonamiento en particular.
En la segunda actividad, cuando deben desarrollar una justificación de que la suma de los ángulos interiores del
rectángulo es igual a 360º, se observa también una disminución de los errores de razonamiento. Este progreso es
importante, dado que los alumnos superan, en general, una dificultad bastante común, que es la utilización de
hipótesis no dadas.
Sin embargo, en la segunda actividad se produce en general un retroceso en los procesos de validación.
Aumentan los errores de técnica, de lenguaje y de gráfico. Los errores de estos dos últimos tipos, posiblemente,
se deban a descuidos. No obstante, en los errores de técnica se observa en general un desconocimiento de que las
afirmaciones deben justificarse. Quizá debido a que se trabaja con un concepto muy común para ellos (el
rectángulo) se suponen como datos conocidos algunos hechos que no están dados por la definición seleccionada
(aunque se podrían obtener de esta definición siguiendo un razonamiento adecuado).
En general, el estudio ha puesto de manifiesto que el desarrollo de la habilidad para realizar demostraciones
requiere de una atención especial por parte de los formadores de docentes de matemática, y que el estudio con un
Página 371
enfoque sistemático de la geometría euclídea durante un cuatrimestre puede ser insuficiente para superar algunas
dificultades de los estudiantes.
6. Bibliografía
Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Bogotá: una empresa docente y
Universidad de los Andes.
Battista, T. y Clements, D. (1995). Geometry and Proof. The Mathematics Teacher, 88(1), 48-53.
Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2005). La demostración en la clase de geometría: ¿puede tener un lugar
protagónico? Educación Matemática, 17(3), 53-76.
Cohen, L. y Manion, L. (1990). Métodos de investigación educativa. Madrid: La Muralla.
Franchi L. y Rincón A. (2003). Tipología de errores en el área de la geometría plana. Parte II. Educere, 8(25),
196-204.
Extraído
el
20
de
Abril
de
2006
desde
http://www.saber.ula.ve/db/ssaber/Edocs/pubelectronicas/educere/vol8num25/articulo8.pdf.
Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. Buenos Aires: libros del Zorzal.
Puig Adam, P. (1980). Curso de Geometría Métrica. Tomo I. Fundamentos. Madrid: Euler, G. Puig Ediciones.
Página 372
SCILAB: HERRAMIENTA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MODELIZADOS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Ma. Graciela Imbach, Paula E. González Mués, Sandra Cristina Ramirez, Paula Andrea Ricardi,
Hurí Julia Speratti, Silvina Guadalupe Suau, Antonieta Ema Zinícola
Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. UNL. Santa Fe Argentina.
[email protected]
Nivel educativo: Universitario (Ciclo Básico)
Palabras claves: Nuevas tecnologías * Scilab * Sistemas de ecuaciones lineales *Resolución de problemas.
2H
Resumen
Se presentará una experiencia en la cual se ha utilizado el “Scilab” (software matemático) en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales, con los alumnos de la asignatura Matemática Básica de la carrera de
Arquitectura. Diseño y Urbanismo (UNL) . Con la utilización de este software se pretendió favorecer la
construcción y apropiación del conocimiento para reconstruirlo en el aula y fuera de ella.
El objetivo fue mostrar al alumno los beneficios de esta herramienta en la resolución de problemas con un alto
número de incógnitas, agilizando los cálculos y permitiendo así centrarse en el análisis e interpretación de los
mismos; lo cual posibilitó el análisis de situaciones que antes no se planteaban por su laboriosa resolución
algebraica como son, por ejemplo, los problemas de flujo de tránsito, modelizados a través de un sistemas de
ecuaciones y su correspondiente resolución con la obtención de la matriz escalonada reducida por renglones.
Introducción
Desde hace algunos años, el concepto de enseñanza que teníamos al que actualmente se está imponiendo ha
sufrido cambios. Es indudable que existe un alejamiento creciente entre la forma en que se enseña y el modo en
que las nuevas generaciones se acercan a la información y al conocimiento. De aquí la preocupación por
aprovechar el nexo de la computadora como herramienta para el aprendizaje, y también que la incorporación de
las nuevas tecnologías (NTIC’S) acaparen buena parte del debate sobre la calidad educativa. Así, desde la
aparición de estas y su aplicación a nuestro campo, han surgido infinidad de posibilidades que queremos aplicar
en nuestro ámbito de la manera más eficaz. Pero la computadora no es sinónimo de calidad educativa ni mucho
menos garantía de aprendizaje. La clave no está en la tecnología, sino en las complejas interacciones entre el
profesor, el alumno y el contenido.
A partir de disponer en la Facultad del aula de Informática, es que decidimos incorporar la utilización de un
software matemático con el objetivo de motivar al alumno de arquitectura en el análisis y resolución de
situaciones problemáticas que hasta el momento no abordábamos debido al tiempo que insumía su resolución en
la forma tradicional. Esto posibilitó ahorrar tiempo y nos permitió abordar temas cuya resolución manual era
laboriosa y que respondían más a la realidad, es decir, acercarnos a modelos reales, donde los datos no tienen por
qué “estar preparados” para que sea sencilla su resolución.
En la búsqueda del software más conveniente el primer condicionante que tuvimos, fue que el Aula de
Informática está bajo entorno LINUX, de manera que el software elegido debía funcionar en dicho entorno, esto
dificultaba que los alumnos pudieran realizar actividades fuera del ámbito del aula de informática, siendo una
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realidad que el entorno utilizado por la mayoría es WINDOWS. Por esto enfocamos nuestra búsqueda hacia un
software que pudiera ser utilizado en ambos entornos.
Dentro de los programas disponibles elegimos el software Scilab. Que es un Software de uso libre desarrollado
por el INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique), cuyas principales características
son:
software para cálculo científico
interactivo
programable
disponible para diferentes plataformas: Windows, Linux, Sun, Alpha, ...
El software Scilab, posee una sintaxis sencilla y con él cubrimos ampliamente el programa de nuestra asignatura
que comprende temas tan variados como son matrices, sistemas de ecuaciones, funciones, geometría
bidimensional y tridimensional
Esta herramienta, nos permite centramos más en el razonamiento y
entendimiento lógico de la matemática y no en el cálculo concreto de un resultado que nos dará la computadora
de manera rápida.
Experiencia
Se implementó la utilización del software “Scilab” en la propuesta de las clases de la asignatura MATEMÁTICA
BASICA, de la carrera de Arquitectura dependiente de la Universidad Nacional del Litoral. La idea consistió en
mostrar al alumno los beneficios de esta herramienta en la resolución de problemas con un alto número de
incógnitas, agilizando los cálculos y permitiendo así centrarse en el análisis e interpretación de los mismos.
La utilización de éste recurso didáctico significó la reorganización de las actividades que realizábamos años
anteriores. Esta tarea implicó la realización de guías de trabajos prácticos con ejercicios y problemas típicos de la
asignatura que permitieran a los alumnos fijar los conocimientos teóricos adquiridos y además la elaboración de
guías de actividades para resolver en el aula de informática con Scilab, que incluyen la verificación de los
ejercicios realizados con lápiz y papel para luego resolver ejercicios con niveles de complejidad creciente.
También se elaboró un manual de Scilab donde el alumno pudiera encontrar las sentencias necesarias para la
realización de los ejercicios propuestos.
Objetivos de la experiencia
Incorporar las nuevas tecnologías en la Enseñanza de la Matemática en la Facultad de
Arquitectura, Diseño y Urbanismo dependiente de la U.N.L.
Dinamizar y efectivizar procedimientos matemáticos.
Adquirir habilidades para la resolución de problemas específicos.
Página 374
Metodología
Se trabajó con los alumnos de segundo año de la carrera de Arquitectura que cursaron Matemática Básica en el
primer cuatrimestre del año 2007, en dos comisiones (turno mañana – turno tarde), totalizando entre ambas 280
alumnos.
Los alumnos asistían a las clases teóricas (obligatorias) una vez por semana (dos horas) y a las clases prácticas
una vez por semana (4 horas).
De acuerdo a la capacidad del aula de informática concurrían a la misma, dentro del horario de las clases
practicas, en grupos de aproximadamente 50-60 alumnos (dos por computadora) acompañados por dos docentes.
Previamente los alumnos resolvieron problemas con sistemas de ecuaciones lineales de la guía de trabajos
prácticos de sencilla resolución en forma convencional y en el aula de informática se les mostró los comandos
básicos utilizados en Scilab para resolver los ejercicios del tema, como así también algunos ejemplos. Toda ésta
información los alumnos la tenían disponible en el manual realizado por la cátedra, lo que les permitía trabajar
luego en forma independiente, de esta manera cada alumno trabajaba asimilando los conocimientos adquiridos,
respetando sus tiempos.
La experiencia se centró en la realización de dos instancias:
1) Análisis y planteo de distintas situaciones problemáticas.
2) Resolución de los sistemas planteados utilizando el “Scilab” y discusión de las soluciones obtenidas.
En la primera instancia se les plantearon problemas de aplicación específica, como por ejemplo: ajuste de curvas
y flujo de tráfico. Los alumnos debían analizar el problema y plantear el sistema de ecuaciones correspondiente.
En la segunda instancia resolvieron, utilizando Scilab, el sistema planteado y luego analizaron las soluciones
obtenidas.
Actividad
El siguiente es uno de los problemas trabajados con los alumnos:
El gráfico muestra una red de calles de una determinada ciudad y se quiere analizar el flujo de tráfico en cada
una de las calles,
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Con las siguientes consideraciones:
¾
Todas las calles son de un solo sentido (Las flechas indican la dirección del flujo).
¾
El flujo que entra y que sale de la red se mide en vehículos por hora (vph).
¾
Los datos que se presentan se basan en las horas pico.
¾
Al flujo de trafico a través de los distintos ramales los simbolizamos con:
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 .
Y teniendo en cuenta la Ley de conservación del flujo en el tráfico, que afirma:
Todo el tráfico que llega a una unión, debe salir de esa unión.
La restricción de la conservación del flujo en el tráfico lleva a un sistema de ecuaciones lineales.
Entonces:
Unión A:
Tráfico de entrada = 400 + 200. Trafico de salida =
Por lo tanto:
x1 + x 5
x1 + x 5 = 600
Unión B:
Tráfico de entrada = x1
Por lo tanto:
+ x6 . Trafico de salida = x 2 + 100
x1 + x6 = x2 + 100
Continuando de la misma manera, se llega al sistema de ecuaciones:
Unión A :
Unión B :
Unión C :
Unión D :
Unión E :
Unión F :
+ x5
x1
x1
− x2
= 600
+ x6
− x7
+ x7
x2
− x3
− x3
= 100
+ x4
x4
+ x6
+ x5
= 500
= 200
= 800
= 600
Se tiene, entonces, la siguiente matriz aumentada para resolver el sistema:
Página 376
Cargando esta matriz en Scilab con el comando rref() se puede obtener la matriz escalonada reducida por
renglones equivalente a la matriz dada.
-->A=[1 0 0 0 1 0 0 600;1 -1 0 0 0 1 0 100;0 1 0 0 0 0 -1 500;0 0 -1 0 0 0 1 200;0 0 -1 1 0 1 0 800;0 0 0 1 1 0 0
600];
-->rref(A)
ans =
1. 0. 0. 0. 0. 1. - 1.
600.
0. 1. 0. 0. 0. 0. - 1.
500.
0. 0. 1. 0. 0. 0. - 1. - 200.
0. 0. 0. 1. 0. 1. - 1.
600.
0. 0. 0. 0. 1. - 1. 1.
0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0.
Reconstruyendo el sistema se tiene:
⎧ x1
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
+ x6
− x7
− x7
= 600
= 500
− x7
= −200
+ x6
− x7
= 600
− x6
+ x7
=0
x2
x3
x4
x5
Despejando cada variable en término de las variables restantes, se obtiene:
⎧ x1 =
⎪x =
⎪⎪ 2
⎨ x3 =
⎪x =
⎪ 4
⎪⎩ x5 =
− x6
+ x7
x7
− x6
x6
x7
+ x7
− x7
+ 600
+ 500
− 200
+ 600
Este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones; es decir, existen varios flujos de tráfico posible.
Suponiendo que hay que hacer algunas reparaciones en la calle Córdoba entre La Rioja y Salta, se quiere tener la
menor afluencia de tráfico en esta calle, por lo que cabe preguntarse por ejemplo: ¿Cuál es la menor afluencia de
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tráfico en la calle Córdoba sin que se provoque un congestionamiento? ¿Cuál sería entonces la afluencia de
tráfico en las otras calles? El modelo planteado nos permitirá responder a estas preguntas.
Minimizar la afluencia de tráfico en la calle Córdoba corresponde a minimizar
x7 .
Como toda afluencia de tráfico debe ser mayor o igual a cero, la tercera ecuación implica que el valor mínimo
x7
para
es 200, ya que de otra manera
x3
sería negativa (una afluencia negativa se interpreta como un tráfico
que se mueve en dirección contraría a la permitida en una calle de un solo sentido). De manera que los trabajos de
reparación deben permitir una afluencia de por lo menos 200 vph en el ramal CD durante las horas picos.
Remplazando este valor tenemos:
Vemos que x 7 = 200 implica x3 = 0 , entonces la afluencia mínima en x 7 se obtiene haciendo x3 = 0 ; es decir,
cerrando DE al tráfico.
Teniendo en cuenta nuevamente que toda afluencia de tráfico debe ser mayor o igual a cero, se tendrá que:
⎧ x1 = − x6
⎪x =
⎪⎪ 2
⎨ x3 =
⎪x = − x
6
⎪ 4
⎪⎩ x5 = x6
+ 800
700
0
+ 800
− 200
De manera que se debe asegurar la afluencia mínima en el ramal EB de 200 vph y máxima de 800 vph para que el
flujo de tráfico no presente inconvenientes.
Conclusiones:
Las principales conclusiones que hemos obtenido en la realización de la experiencia y utilización de este
software se pueden resumir en las siguientes:
•
El uso del programa en la clase de matemática posibilito que los alumnos comprueben tanto el resultado
como el proceso de resolución de un problema cuando esto era posible, permitiendo que el profesor haga
énfasis en el aprendizaje del alumno, que es la parte más importante del proceso.
•
La experiencia sugiere que los alumnos se mostraron más predispuestos, en las clases, hacia la
resolución de problemas en los que se involucran sistemas de ecuaciones lineales con un número
elevado de incógnitas.
•
Los alumnos reconocieron que aunque la computadora es de gran ayuda, ella por sí misma, no resuelve
el problema, sino que se requiere del análisis e interpretación de parte de ellos.
•
Los alumnos que siguieron la metodología expuesta adquirieron los niveles exigidos por la cátedra tanto
en el desarrollo de las clases como en los resultados finales.
Página 378
•
Para nosotras fue un primer paso en nuestra adaptación a las Nuevas Tecnologías y en particular en
esta experiencia, al uso del software “Scilab”.
Bibliografía:
Burbules, Nicholas C. Y Callister, T.a. (2001). Educación: riesgos y promesas de las nuevas tecnologías de la
información (Trads. L. Wolfson, A. Oviedo, D. Sagaró, J. Frachia y P. Grosman). Barcelona: Granica.
Caro, Andrés Alfonso. Sepúlveda, Cesar Valero (2004). Fundamentos de Scilab y aplicaciones. Documentación
Libre GNU – Free Software Foundation.
Castells, Manuel (1998). La era de la Información. Vol. 1. La sociedad red. Madrid. Alianza.
Grossman, Stanley (2004). Algebra Lineal (Quinta edición) México. Mc Graw-Hill
Litwin, Edith (2000). Las configuraciones didácticas. Buenos Aires. Editorial Paidós.
Litwin, Edith (Compiladora) (2005). Tecnologías educativas en tiempos de internet. Buenos Aires. Amorrortu
editores.
Nicholson, W. Keith (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones (4 edición). Madrid. Mc Graw-Hill
Página 379
ANÁLISIS DEL PROCESO DE EVALUACIÓN DE UNA EXPERIENCIA TALLER
EN GEOMETRÍA
Lombardo, Graciela C.; Operuk, Roxana V.
Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales - Universidad Nacional de Misiones - Argentina
[email protected]; [email protected]
Nivel Universitario
Palabras claves: Geometría – Evaluación – Prácticas docentes – Trabajo grupal
23H
24H
Resumen:
El objetivo principal del presente trabajo es analizar cada una de las instancias de evaluación que fueron llevadas
a cabo en un Taller de Geometría, como también la efectividad de las mismas en beneficio de sus actores:
alumnos y docentes.
El “Taller de Regularización de Geometría Métrica”, aprobado según Disposición Nº 731-06, fue implementado
por la cátedra Geometría I del Profesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas Químicas y
Naturales de la UNAM, dentro del Plan Departamental “Proyecto Principal de Desarrollo – Consolidación de la
estructura y funcionamiento departamental”.
Este Taller fue pensado a raíz de que históricamente se ha observado un gran porcentaje de deserción de alumnos
cursantes, un escaso rendimiento en los parciales, y como consecuencia de esto, una gran cantidad de alumnos
libres.
El equipo docente tomó la decisión de confeccionar una serie de actividades, las que serían diseñadas teniendo en
cuenta los temas a tratar, como así también incluir en forma integrada aquellos que presentaron mayor dificultad
en los encuentros anteriores. A esta serie de actividades se las denominó “Instrumentos de integración de
contenidos”.
En cada encuentro se entregó a los alumnos un cuestionario en el que debían consignar reflexiones personales
sobre las actividades desarrolladas en cada reunión, y ser devueltos respectivamente al finalizar cada clase. El
análisis de las respuestas dadas por los alumnos posibilitó a los docentes tomar conocimiento sobre los
aprendizajes que realizaban los educandos, las concepciones alternativas que pudieran existir, como también
repensar y argumentar las prácticas docentes.
Introducción:
El objetivo principal del presente trabajo es analizar cada una de las instancias de evaluación que fueron llevadas
a cabo en un Taller de Geometría, como también la efectividad de las mismas en beneficio de sus actores:
alumnos y docentes.
El “Taller de Regularización de Geometría Métrica”, aprobado según Disposición Nº 731-06, fue implementado
por la cátedra Geometría I del Profesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas Químicas y
Naturales de la UNAM, dentro del Plan Departamental “Proyecto Principal de Desarrollo – Consolidación de la
estructura y funcionamiento departamental”.
Geometría I es una asignatura del mencionado Profesorado, ubicada en el primer cuatrimestre del primer año del
plan de estudios de la carrera. Dada la masividad de alumnos inscriptos en el cursado “normal”, y a pesar de la
intención de los docentes de realizar una evaluación continua durante el proceso de enseñanza y aprendizaje, solo
se toman dos exámenes parciales con opción a recuperatorio de solo uno de éstos. Cumplidos estos requisitos, el
alumno adquiere la condición de regular, caso contrario la de alumno libre. Tanto el alumno regular como el libre
deben rendir examen final, para la promoción de la asignatura, en las fechas previstas en el calendario académico
de la Institución.
Página 380
A raíz de que históricamente se ha observado un gran porcentaje de deserción de alumnos cursantes, un escaso
rendimiento en los parciales, y como consecuencia de esto, un gran número de alumnos libres, es que el equipo
de cátedra decidió implementar el Taller de Regularización de Geometría Métrica.
Los objetivos propuestos fueron:
- Otorgar a los alumnos libres la posibilidad de establecer otro espacio de consulta y aprendizaje, además de los
tradicionalmente brindados por la cátedra, como también obtener la regularidad de la materia.
- Propiciar que los alumnos reflexionen sobre los contenidos de Geometría y las distintas formas de aplicarlos a
través de la participación en actividades que impliquen plantear cuestiones problemáticas, construir posibles
estrategias de solución, distinguir técnicas utilizadas en procesos de resoluciones y construcciones geométricas.
- Construir un ámbito de intercambio de experiencias, en el que el análisis de situaciones problemáticas,
trabajadas por los alumnos y guiadas por
los docentes a cargo, favorezcan el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
- Solicitar adscriptos a la cátedra, con el objetivo de formar recursos humanos en el área.
La experiencia se llevó a cabo durante el segundo cuatrimestre del año 2007 con los alumnos que no alcanzaron
la regularidad pretendida en el cuatrimestre anterior. En la oportunidad se contó con la colaboración de dos
alumnos avanzados adscriptos ad-honorem a la cátedra.
Se pretendió que con la implementación del Taller se avance en la resolución de situaciones problemáticas que
sirven para enriquecer los conocimientos tratados en el dictado normal de la asignatura. Se utilizó la metodología
de aula-taller para motivar una dinámica diferente del abordaje de esos conocimientos.
Como docentes del primer año de la carrera de grado, hemos podido percibir, año a año, la dificultad que
presentan los alumnos en el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos matemáticos del ciclo básico
universitario, y los correspondientes a la Geometría I no son la excepción. A pesar de que muchos de estos
contenidos son obligatorios en el Currículum de la EGB3 y Polimodal, los estudiantes no los reconocen como
tratados en su escolaridad. Entre las dificultades que se han observado están: el uso de los elementos de
geometría, construcciones geométricas, resolución de problemas, decodificación de consignas formuladas por el
Profesor, capacidad de formular y comprobar hipótesis, elaborar argumentos que fundamenten su validez,
identificar y clasificar entes geométricos en dos y tres dimensiones, entre otros aspectos. Lo antes mencionado
contribuye a que el alumno sume obstáculos a los que pudiera ocasionarle la Geometría en momento de
conceptualizar los contenidos de la asignatura.
Marco teórico
El fundamento teórico que sustenta esta estrategia didáctica, se basa en la corriente epistemológica del
Constructivismo, el cual se nutre de las teorías de Piaget, Vigotsky, Ausubel, entre otros. A diferencia de otras
corrientes, esta centra su atención en el sujeto cognoscente, quien puede entenderse como un producto de su
conocimiento, como consecuencia de lo que extrae del medio desde la interacción social en consonancia con
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parámetros sociales, y todo el bagaje cognoscitivo interno, el cual es realizado y modificado constantemente en
todo instante de su vida.
Todo concepto que ha sido incorporado significativamente en la estructura cognitiva es cimiento para el asiento
de la nueva información, la que potencialmente tendrá significado para el individuo. Este proceso se producirá en
forma sucesiva cada vez que ingrese nueva información, y en la medida que se vaya eslabonando con ideas o
conceptos relevantes previos, lo cual implica que al producirse un nuevo aprendizaje significativo,
consecuentemente se reestructurará la organización jerárquica conceptual hasta entonces existente.
En toda la actividad docente queda de manifiesto el tipo de práctica evaluativa, la concepción de enseñanza y de
aprendizaje que el docente posee y realiza. Con esta práctica se puede o bien abonar u obstaculizar la
construcción y adquisición del conocimiento del alumno.
En general se confunde al proceso de evaluación con la medición o cuantificación de saberes alcanzados, como
también con la instancia de acreditación que legitima saberes ante la institución, por ende se desconoce la
verdadera dimensión de la evaluación.
En el proceso evaluativo no solamente se evalúan los conocimientos que el alumno ha adquirido, sino también de
qué forma lo hace, cómo se contribuye para alcanzar esa meta, la efectividad del diagnóstico continuo realizado
para seleccionar los contenidos en función del grupo presente, y también la auto-evaluación docente que
resignifica todos los resultados obtenidos durante y al final del proceso.
En el ámbito académico, usualmente suele decirse que la evaluación es llevada a cabo mediante un proceso, pero
casi siempre el docente concluye realizando el control y registro de los resultados obtenidos por los alumnos.
Es así que amerita realizar constantemente diagnósticos, antes, durante y al final del proceso, a efectos de
establecer el nivel alcanzado por los jóvenes, realizar ajustes sobre la marcha en el proceso de enseñanza
aprendizaje, obtener elementos de juicio a fin de centrarse en aspectos conceptuales de los contenidos para
fomentar la reflexión, eliminar la rutina y la tendencia a la memorización.
Según Palou de Maté (2003) existen dentro del aula tres instancias fundamentales en el proceso de evaluación, las
cuales se complementan mutuamente, por el sentido que cada una de ellas tiene. La autora denomina a esas
instancias: Diagnóstico Inicial, Evaluación Diagnóstica Continua y Acreditación. En la primera etapa la finalidad
es establecer cuáles son los saberes alcanzados por los alumnos en los años anteriores; en la siguiente determinar
cuáles son los nuevos conocimientos adquiridos a fin de enmarcar la propuesta de enseñanza, como también
establecer criterios de valoración de los aprendizajes, y en la última fase el propósito está centrado en la
verificación de resultados para certificar y legitimizar sus conocimientos ante la Institución.
Descripción de la experiencia:
Al inicio de la implementación del Taller ya se conocía al grupo de alumnos con los cuales se iba a trabajar,
razón por la cual la instancia de evaluación diagnóstico inicial estaba consolidada, al conocerse cuáles eran los
saberes que detentaban los estudiantes y el real estado de sus dificultades. El equipo docente tomó la decisión de
confeccionar una serie de actividades, las que serían diseñadas teniendo en cuenta los temas a tratar, incluyendo
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en forma integrada aquellos que presentaron mayor dificultad en los encuentros anteriores. A esta serie de
actividades se las denominó “Instrumentos de integración de contenidos”. Con esta metodología de trabajo se
llevó a cabo la evaluación diagnóstica continua con el propósito de recabar información de las distintas
competencias logradas por los estudiantes, la evaluación de la enseñanza y la reflexión sobre las prácticas
docentes que apunta a la acreditación.
“En otras palabras, se deben determinar cuáles son los conceptos más importantes (centrales) relacionados con el
material a enseñar que se encuentran firmemente establecidos en la memoria de largo plazo, como así también la
forma en que están relacionados entre ellos. Estos conceptos tienen la particularidad de ser claros y estables para
el estudiante, siendo por lo tanto los más pertinentes (en términos de la teoría de la asimilación) para actuar como
subsumsores del nuevo material, o, lo que es lo mismo, funcionar como elementos de “anclaje” donde la nueva
información que se va a impartir quedará firmemente “encadenada”. (Chrobak, 1998).
Antes de la primera clase se realizó una reunión en la que se dieron a conocer los reglamentos del Taller, a saber:
- Condición de asistencia al mismo, ya que se estimaron siete encuentros quincenales, de cuatro horas reloj cada
uno.
- Asistencia a las clases con elementos geométricos, Instrumentos de integración de contenidos, bibliografía
específica y con los conocimientos teóricos de la clase a desarrollar previamente estudiados.
- Modalidad de trabajo: a) en grupos reducidos con uso de los Instrumentos de integración de contenidos
elaborados por la cátedra atendiendo a las respuestas dadas por los alumnos y considerando su desempeño; b) uso
del último tercio de la clase para hacer la puesta en común, en el que se irían presentando las distintas formas de
resolución de los ejercicios y la argumentación de los desarrollos realizados.
- Forma de evaluación: en proceso y con examen final para legitimar conocimientos a efectos de la acreditación.
Al finalizar el primer encuentro se entregó un cuestionario en el que debían consignar reflexiones personales
sobre las actividades desarrolladas en cada reunión, y ser entregados al finalizar cada clase. Las preguntas
formuladas fueron:
1) ¿Qué partes del trabajo práctico te resultaron especialmente fáciles o difíciles?
2) ¿Qué estrategias para la resolución de los ejercicios te resultaron fructíferas? ¿Cuáles no?
3) ¿Quieres hacer algún comentario que consideres importante para que lo tengamos en cuenta?
De las respuestas dadas por los alumnos, a cada una de las preguntas formuladas, como también de su desempeño
durante los encuentros, se pudo realizar una evaluación diagnóstica continua. Por un lado se determinó cuáles
eran los aprendizaje logrados y por otro las concepciones alternativas existentes. Es así que el equipo docente
tomaba esta potente información para repensar su práctica a través del diseño del Instrumento para la integración
de contenidos del siguiente encuentro. Este accionar constituyó una metaevaluación de la práctica docente, la
cual apunta a mejorar las estrategias para optimizar los aprendizajes de los alumnos.
El análisis del cuestionario arrojó el siguiente resultado:
1) ¿Qué partes del trabajo práctico te resultaron especialmente fáciles o difíciles?
Página 383
- Primer encuentro: los temas que en general los alumnos demostraron tener mayor dificultad son los
movimientos del plano y en particular los giros, ya que tienen dificultades en la ubicación de la posición final de
la figura conforme el sentido del ángulo dado.
En relación a las composiciones que se realizaron, por ejemplo se solicitaba:
“Aplicar a un triángulo las transformaciones que a continuación se indican:
G(O, -130º) o Tv (el vector v es equipolente con el vector CB, y el punto O es ortocentro de la figura).”
Otros contenidos que ofrecieron dificultad, pero en menor porcentaje, fueron las relaciones existentes entre
ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
- Segundo encuentro: el tema que presentó mayor conflicto fue la determinación de la recta y la circunferencia
de Euler. Hicieron referencia a la complejidad de la construcción, expresando: “hay que ser precisos”, lo cual fue
motivo de insistencia en que debían asistir a clase, cada alumno con sus elementos de geometría y realizar
construcciones prolijas lo que le confería precisión en el trazado.
Otro obstáculo que el equipo percibió fue que no recordaban, o no sabían cómo aplicar adecuadamente las
propiedades de los cuadriláteros inscriptibles o circunscriptibles a una circunferencia y las relaciones arcoángulo.
No obstante no se observó inconvenientes en temas relacionados con la construcción de cuadriláteros y la
utilización de sus propiedades.
- Tercer encuentro: las opiniones y reflexiones que realizaron están polarizadas en dos extremos. Por un lado una
gran mayoría de los alumnos adujo que les resulto difícil la construcción de los segmentos cuarto, tercero y
medio proporcional, las homotecias con razones fraccionarias y el no recordar los enunciados de los teoremas del
cateto, altura, Pitágoras, mediana y los triángulos especiales fue motivo de imposibilidad a la hora de resolver la
ejercitación presentada. Mientras que otro grupo expresó lo contrario.
-Cuarto encuentro: el tema de mayor conflicto fue el cálculo del área comprendida entre dos figuras planas. Por
ejemplo:
“Construir un hexágono regular inscripto en una circunferencia y un triángulo regular inscripto en el hexágono. a)
Calcular la expresión del área comprendida entre ellos. b) Calcular el perímetro del triángulo sabiendo que r =
3 cm.”
En general se observó la dificultad que tuvieron en la decodificación y argumentación en la resolución del
problema cuando se les solicitó que dieran la “expresión general” del área comprendida cuando no se les
presentaban datos numéricos. De hecho que para poder resolver esa situación problemática no se requiere,
precisamente, “saber de memoria” las relaciones de los polígonos regulares, las cuales se pueden encontrar
teniendo en cuenta conocimientos previos.
En un menor porcentaje los temas relacionados con el trazado del eje y la ubicación del centro radical,
retomando la opinión de los alumnos que “hay que ser cuidadoso en su construcción”.
- Quinto encuentro: los temas tratados, y que en general presentaros grandes dificultades conceptuales fueron
área lateral, total y volumen. Un ejemplo de lo solicitado en los problemas fue:
Página 384
“Se tiene una esfera situada dentro de un cilindro de manera tal que el cilindro tiene altura y diámetro igual a la
del diámetro de la esfera. a) Determinar la relación entre el área de la esfera y el área lateral del cilindro. b) Hallar
el área total del cilindro. c) Hallar el volumen de la esfera y el del cilindro”.
Algunos estudiantes utilizaron como estrategia la confección de un esquema, lo que les permitía continuar con el
desarrollo analítico. Entre las reflexiones que resultaron significativas fue la realizada por una alumna, la cual
expresó: “Me cuesta relacionar lo que tengo que hacer”.
Al trabajar en grupos las distintas opiniones generaban una dialéctica entre sus integrantes lo que les permitía, en
la mayoría de los equipos, poder continuar con su resolución.
- Sexto encuentro: se realizó un trabajo integrador donde se consideraron, en su mayoría, los contenidos
abordados durante los seis primeros encuentros. Para sorpresa de los docentes algunos alumnos vertieron como
opinión que los temas con mayor dificultad eran los que habían consignado en cuestionarios anteriores. Esto
muestra que, a pesar de saber que las actividades a realizar en esa instancia corresponderían a las de un trabajo
final integrador, en el que se abordarían contenidos fundamentales a ser evaluados para la acreditación, no se
notó interés por parte de esa minoría de alumnos en revertir la situación y destinar el tiempo necesario en estudiar
en profundidad los temas que precisamente habían expresado tener dificultad.
“El aprendizaje significativo presupone tanto que el alumno manifiesta una actitud de aprendizaje significativo;
es decir, una disposición para relacionar sustancial y no arbitrariamente el nuevo material con su estructura
cognoscitiva, como que el material que aprende es potencialmente significativo para él, es decir, relacionable con
su estructura de conocimiento sobre una base no arbitraria y no al pie de la letra.” (Ausubel, Novak y Hanesian,
1983). (Ausubel, et al., 1983).
2) ¿Qué estrategias para la resolución de los ejercicios te resultaron fructíferas? ¿Cuáles no?
Al analizar las respuestas, recabadas en los distintos encuentros, se obtuvo en un mayor porcentaje las siguientes
opiniones:
- Trabajar en grupo, la ayuda entre los integrantes, el debate dentro del mismo, poder opinar, las distintas formas
de resolver los ejercicios, la puesta en común en el pizarrón.
- Consulta con los docentes.
- Uso de apuntes y bibliografía disponible.
Algunos alumnos señalaron de manera autocrítica:
- “Es más fácil cuando estudio con anticipación los temas a desarrollar”.
- “Por más que profundice no puedo terminar el trabajo”.
- “La discusión me obliga a practicar lo aprendido”.
- “Trato de no ir directamente a los apuntes y acordarme”.
- “Los ejercicios que quedan sin resolver los hago en mi casa y los comparo con mis compañeros y si no entiendo
le pregunto a los docentes”.
- “Leer la consigna muy bien antes de hacer algo”.
- “Me costó entender el problema, identificar datos e incógnitas para ver que tengo que utilizar”.
Página 385
- “Lo resuelvo sola y consulto a los docentes”.
- “La estrategia fue tratar de hacer sin mirar ni consultar cuando resolví el práctico integrador”.
- “Recurrir a los apuntes no me fue muy efectivo”.
3) ¿Quieres hacer algún comentario que consideres importante para que lo tengamos en cuenta?
En mayor porcentaje las respuestas dadas fueron:
- “El tiempo es muy poco sabiendo que nosotros tendríamos que haber ocupado las clases para consultar y no
recién para aprender”.
-“Fui sin repasar y me costaron todos los ejercicios; asumo la culpa de no leer antes la teoría”.
- “Las horas de clases no fueron suficientes”.
- “Faltó tiempo porque no alcanza para hacer todos los ejercicios y para sacarse las dudas”.
- “No estoy dedicando el tiempo que debería sabiendo que esta materia me cuesta”.
Y en menor porcentaje opinaron:
- “No se marca el error como algo prohibido”.
- “Perder el miedo a opinar me parece muy bien”.
- “Me preparé un poco más y estaba más segura”.
- “Dar trabajos grupales domiciliarios para exponer en clase”.
- “Dar dos o tres clases solamente con áreas”.
- “El taller me parece bien porque nos da la oportunidad de aprobar la materia, va a depender de nosotros, yo creí
que todo era más fácil por eso no aprobé en el primer cuatrimestre”.
Conclusión:
La instancia de evaluación diagnóstica continua tuvo lugar durante la observación y registro que hicieron los
docentes del desempeño de los alumnos durante los siete encuentros y de las respuestas que dieron a las
preguntas de las encuestas.
La instancia de acreditación se realizó con la toma del parcial, el que posibilitó verificar cuáles eran los
aprendizajes operados por cada uno de los alumnos.
Asimismo las opiniones de los alumnos y los resultados finales observados en los exámenes parciales resultaron
ser instrumentos potentes para evaluar el impacto producido por el taller y establecer su efectividad.
Al analizar los parciales se pudo observar que nuevamente los puntos que presentaron mayor dificultad fueron los
relacionados con: a) área comprendida entre dos figuras planas; b) volumen comprendido entre cuerpos; c) giros;
d) cuadriláteros inscriptos y circunscriptos a una circunferencia; e) homotecia; f) ángulos formados entre
paralelas cortadas por una transversal; g) eje y centro radical.
A pesar de las recomendaciones realizadas por el equipo docente en forma individual durante el transcurso del
Taller sobre la necesidad de asistir a los encuentros con una previa lectura de los contenidos a trabajar, recurrir a
clases de consulta, profundizar sobre los temas que presentaron mayor conflicto y sobre aquellos que indicaron
los docentes en forma particular, se observó que algunos estudiantes hicieron caso omiso a estas sugerencias. No
Página 386
obstante, los mismos realizaron una autocrítica reconociendo esa desatención, y en ciertos casos lograron revertir
la situación en la instancia recuperatoria obteniendo resultados satisfactorios.
Al finalizar el Taller, luego de tomar el examen y su recuperatorio se obtuvieron cifras alentadoras y
significativamente positivas para este equipo docente, ya que un 65 % de los estudiantes alcanzaron su
regularidad.
Ausubel, D., Novak, J. y Hanesian, H. (1983). Psicología educativa: Un punto de vista cognoscitivo (2da Ed.).
México D. F., México: Trillas.
Chrobak, R. (1998). Metodologías para lograr aprendizaje significativo. Neuquén, Argentina: Educo.
Palou de Maté, M. (2003). Evaluar para enseñar y evaluar para acreditar. En Una propuesta para matemática y
lengua (pp. 19-48). Buenos Aires, Argentina: Geema Grupo Editor Multimedial.
Página 387
INSTRUMENTO PARA LA EVALUACIÓN DE HABILIDADES SOCIALES
Lilian Cadoche, Flavia Frank, Hilda Henzenn
Facultad de Ciencias Veterinarias, Universidad Nacional del Litoral – ARGENTINA
[email protected]
Nivel Medio y/o Universitario
25H
Resumen
El aprendizaje cooperativo es un método o técnica de enseñanza y aprendizaje cuya meta es conseguir que todos
los alumnos aprendan, sintiéndose comprometidos con el aprendizaje de sus compañeros. Para poder ponerlo en
práctica es necesario que trabajen en grupos y que, dentro del aula, se valoren ciertas actitudes y se practiquen
determinadas habilidades sociales. En la Facultad de Ciencias Veterinarias de la Universidad del Litoral, se está
desarrollando una experiencia bajo las premisas del aprendizaje cooperativo, en alumnos de primer año de la
carrera. Para valorar las habilidades sociales fue preciso definir primero qué tipo de competencias alienta la
propuesta cooperativa para luego diseñar un instrumento que permitiera su ponderación. Se reconoció que las
habilidades de comunicación, liderazgo, resolución de conflictos y confianza eran valores muy importantes para
el buen funcionamiento de los equipos por lo que la atención se centró en estas competencias. Para su evaluación
se confeccionaron grillas de control que dieran cuenta de la presencia o no de las mismas. Para una primera
aproximación docentes y tutores (alumnos avanzados de la carrera) relevaron datos de actividades realizadas por
los alumnos en el aula los dos primeros encuentros. Luego se contrastó esta información con la bibliografía
consultada y los objetivos perseguidos.
Para validar las grillas se recurrió a observadores expertos y al contraste de evaluaciones (tres tutores observaron
al mismo grupo y reportaron sus apreciaciones). Contamos así con instrumentos confiables que pueden utilizarse
para realizar valoraciones que consideren al alumno como ser social en todas sus dimensiones.
Palabras claves: aprendizaje cooperativo – habilidades sociales – instrumento de evaluación - grilla - validación
Introducción
El aprendizaje cooperativo es un método o técnica de enseñanza y aprendizaje cuya meta es conseguir que todos
los alumnos aprendan, sintiéndose comprometidos con el aprendizaje de sus compañeros. Para poder ponerlo en
práctica es necesario que trabajen en grupos y que, dentro del aula, se valoren ciertas actitudes y se practiquen
determinadas habilidades sociales. En la Facultad de Ciencias Veterinarias de la Universidad del Litoral, se está
desarrollando una experiencia bajo las premisas del aprendizaje cooperativo, en alumnos de primer año de la
carrera. Para valorar las habilidades sociales fue preciso definir primero qué tipo de competencias alienta la
propuesta cooperativa para luego diseñar un instrumento que permitiera su ponderación. Se reconoció que las
habilidades de comunicación, liderazgo, resolución de conflictos y confianza eran valores muy importantes para
el buen funcionamiento de los equipos por lo que la atención se centró en estas competencias. Para su evaluación
se confeccionaron grillas de control que dieran cuenta de la presencia o no de las mismas.
¿Qué habilidades sociales?
Página 388
En esta investigación establecimos como hipótesis que la estructura de aprendizaje puede propender al logro de
mejoras en las capacidades de los alumnos del ciclo básico de Medicina Veterinaria. Se trata entonces de un
diseño longitudinal, tomando como unidad de observación la Facultad de Ciencia Veterinarias de la Universidad
Nacional del Litoral (Santa Fe, Argentina) y como unidad de análisis los alumnos de un curso de Matemática del
ciclo básico de la carrera de Medicina Veterinaria siendo las principales variables objeto de indagación las
capacidades que, como resultado de la interacción en el aula, lograron los alumnos mencionados.
Si bien las reformas educativas actuales reportan
cinco grandes bloques de habilidades (cognitivas o
intelectuales; afectivas o de equilibrio personal; motrices; de comunicación o relación interpersonal y de
actuación e inserción social) dirigimos nuestra atención especialmente a las capacidades intelectuales y de
comunicación e inserción social (a las que sintetizamos como "sociales").
Dentro de las habilidades sociales nos interesamos especialmente por las habilidades de comunicación, de
confianza, de liderazgo y de resolución de conflictos.
Para esta valoración analizamos aspectos que indican la presencia o no de estas habilidades:
-Habilidades de comunicación : Estas competencias pueden observarse desde dos perspectivas. Por parte de
quien habla , que debe ser capaz de expresar ideas y sentimientos de una forma clara. Esto supone que coincidan
los mensajes verbales y no verbales. Muchas veces esta coincidencia no se dá o bien por falta de sinceridad o
bien por que el sujeto no ha logrado hacer conciente los sentimientos e ideas que desea expresar.
Por parte del que escucha, este debe lograr escuchar sin hacer juicios previos, ni descalificaciones verbales o no
verbales.
Entran también en el rango de habilidades de comunicación la correcta redacción de un trabajo, la atención a la
prolijidad y al respeto a las reglas ortográficas
-Habilidades de confianza: Construir y mantener la confianza conlleva , por un lado, estar abiertos a la otra
persona y compartir no solo ideas o sentimientos sino también materiales, trabajos y recursos. Y por otro, aceptar
a los demás como son y servirles de apoyo en sus dificultades. Esta habilidad debe ser considerada en dos
direcciones:
i) aprender a confiar en los demás, es decir ser confiado
ii) aprender a ser fiable, para que los demás puedan confiar en uno
-Habilidades de liderazgo: un buen líder debe ayudar al grupo para que funcione con éxito tanto para el logro de
los objetivos académicos como para el desarrollo de un entorno en el que se mantengan y potencien las relaciones
sociales entre sus miembros. Es preciso saber escuchar y hacerse escuchar, tener capacidad de autocrítica,
cumplir con los compromisos, tener coherencia entre lo que se dice y lo que se hace, tener una mentalidad
positiva, aprender a aprender y superarse permanentemente. La actuación de un líder debe orientar los esfuerzos
del grupo para que todos sus componentes aporten ideas y , al mismo tiempo, se alivien las tensiones del grupo.
El grupo debe, además, saber rechazar a un mal líder.
-Habilidades para la resolución de conflictos: El conflicto aparece cuando las opiniones o ideas aportadas por
una persona son incompatibles con las de otra y ambas deben llegar a un acuerdo. El primer paso en la
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demostración de estas habilidades es plantear bien el conflicto, cualquier controversia, debe tomarse como una
oportunidad que se brinda al grupo para que pueda aclarar sus diferencias. Es por ello que se tiene especial interés
en que estos problemas se planteen para desarrollar habilidades en dos sentidos:
-a nivel académico: ya que durante el transcurso de la controversia tiene lugar un nivel superior de razonamiento
que facilita la retención a largo plazo
-a nivel social, pues se mejoran la relaciones entre los miembros y se aumenta su creatividad
Resolver bien los conflictos no es tarea fácil, pero si el contexto en el que se producen es de cooperación, donde
se valora la negociación sobre la imposición, la mediación sobre la indiferencia y el respeto a las ideas ajenas
sobre su destrucción, se tendrán avances muy importantes en el proceso educativo.
¿Cómo medirlas?
El aprendizaje cooperativo es más complejo que el competitivo o el individualista, porque los alumnos deben
encarar simultáneamente la ejecución de las tareas y el trabajo en equipo. Ambas actividades son necesarias par
trabajar cooperativamente. Para el control de la actividad en el aula, debimos tomar dos decisiones:
-
Qué prácticas interpersonales íbamos a favorecer y evaluar
-
Cómo las íbamos a evaluar
Cada clase, un grupo de tutores (alumnos avanzados de la carrera que se ofrecieron voluntariamente) trabajaron
en la recolección de información relacionada con las habilidades sociales que se esperaba estimular con la
propuesta cooperativa. En grillas confeccionadas para tal fin volcaron sus impresiones y con ello, evaluaron este
aspecto tan importante del intento educativo.
Las grillas empleadas fueron confeccionadas como resultado de la observación durante dos años de las
relaciones, actividades, conductas, reacciones, de los alumnos en el aula. Estas observaciones condujeron a la
siguiente planilla:
Grupo:
Fecha:
Tema:
Tutor:
Juan Maria José Inés
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Explica a los demás
Estimula el debate
Consulta claramente sus dudas
Demuestra comprensión
Lee las consignas en voz alta
Participa activamente
Se preocupa por la presentación
Redacta los trabajos
Es claro al expresarse
Es respetuoso de las opiniones ajenas
Es solidario
Se preocupa por el avance de todos
Verifica la comprensión del grupo
Se muestra confiado
Ofrece su ayuda
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI NO NO OBS
SI NO NO OBS
SI O NO
SI O NO
SI NO NO OBS
SI O NO
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16
17
18
19
20
21
Se muestra confiable
Organiza el trabajo
Supervisa las tareas
Se destaca como líder
Es creativo para resolver problemas
Es consultado por sus compañeros
SI NO NO OBS
SI O NO
SI O NO
SI O NO
SI NO NO OBS
SI O NO
Observaciones:
Fuente: Elaboración propia
La confección de las grillas significó resumir en aspectos observables las habilidades sociales esperadas, de modo
tal que los ítems, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9 intentaron evaluar la evolución en las habilidades de comunicación; los
ítems 10, 11, 12, 13 y 17 las de resolución de conflictos; los ítems 14, 15, 16 y 21 las habilidades de confianza y
los 6, 18 19 y 20 las de liderazgo. Está claro que delimitar nominalmente la habilidad lograda para ponerla en una
categoría específica es solo con fines estadísticos ya que los límites y alcances de cada logro se articulan,
interrelacionan e interactúan de modo tal que el logro de una competencia implica seguramente mejoras en todas
las restantes (y , la falta, debilidades en las otras).
A cada observación positiva se le asignó un 1 y a la ausencia un 0. Sólo excepcionalmente se adjudicó un –1, a
aquellos alumnos que mostraron una conducta agresiva que obstaculizó la actividad del grupo.
Para validar las grillas se recurrió a observadores expertos y al contraste de evaluaciones (tres tutores observaron
al mismo grupo y reportaron sus apreciaciones).
Contamos así con instrumentos confiables que pueden utilizarse para realizar valoraciones que consideren al
alumno como ser social en todas sus dimensiones.
Algunos resultados
Las planillas confeccionadas fueron utilizadas durante tres años en cuatro grupos de alumnos diferentes. Para
exponer algunos de los resultados que pudimos recoger de su aplicación mencionamos, a continuación, aspectos
sobresalientes de la experiencia durante el primer cuatrimestre del año 2006. Se trata de un grupo de trabajos
prácticos de la materia Matemática, que realizó la tarea de aprendizaje cooperativo durante 14 semanas 3 hs por
semana. Se organizaron once grupos de 4 alumnos cada uno, monitoreados por un tutor y dos docentes
responsables. De los once grupos que participaron en la experiencia:
•
Solo dos grupos mostraron una tendencia negativa en el desarrollo de habilidades sociales. De estos dos
grupos uno de ellos estuvo integrado por alumnos que no mostraron en clase intenciones de aprender, no
se presentaron a las evaluaciones parciales, y dos de sus integrantes abandonaron la carrera antes de la
finalización del cuatrimestre.
•
Las habilidades de comunicación de los alumnos mejoraron con el paso de las clases, ante la insistencia
de los tutores y docente responsable, los alumnos se esforzaron por expresar correctamente sus ideas,
Página 391
escuchar y ser escuchados, redactar con prolijidad sus entregas y valorar la precisión en el lenguaje tanto
escrito como oral.
•
Las habilidades de confianza evidenciaron una evolución positiva. En 7 de los 11 grupos, se observaron
alumnos que inicialmente se mostraban retraídos, apáticos y desconfiados, pero con el correr de las
clases éstas conductas se modificaron, de modo tal que, dos de estos jóvenes de diferentes grupos, se
identificaron como líderes creativos al finalizar la experiencia.
•
Las habilidades de liderazgo son las que menos retrató la experiencia. Los alumnos no mostraron, en su
mayoría, aptitudes para liderar su grupo aunque si se pudieron observar miembros de algunos grupos que
para distintos temas, motivaron la participación de los otros, condujeron la resolución de los ejercicios y
organizaron las entregas con entusiasmo y compromiso con su aprendizaje y el de sus compañeros
•
Las habilidades para la resolución de conflictos, en especial la solidaridad y el compromiso por el
aprendizaje de todos fue la competencia que más se destacó como logro de la mayoría de los alumnos.
Sólo dos grupos mostraron una situación constante entre sus integrantes, mientras que en los restantes la
evolución fue positiva creciente.
Bibliografía
* Johnson, D. W. , Johnson, R.T.(1994). Learning together and alone: cooperation, competition and
individualization. 4ta. Edic. Englewood Cliffs. EEUU: N.J. Prentice Hall..
*Johnson, D. W. , Johnson, R.T. y Holubec , E.J. (1999). El aprendizaje cooperativo en el aula. 1ra. Edic.,
Buenos Aires: Paidos.
*Ovejero, A. (1990). El aprendizaje cooperativo: una alternativa a la enseñanza tradicional.
Barcelona:
Promociones y Publicaciones. Universitarias, S.A.
*Slavin, R. E.(1998). Research on Cooperative Learning and Achievement: What We Know, What We Need to
Know. En Contemporary Educational Psychology.. pp. 43-69. EE.UU
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PROPUESTAS PARA LAS CLASES DE MATEMÁTICA DE JOVENES Y ADULTOS
DE LA ESCUELA PRIMARIA
Marina Nagel(1) y Sara Scaglia(2)
Instituto Formación Docente Nº 32 y Nº 6 (1) y Facultad de Humanidades y Ciencias (UNL)(2). Argentina
[email protected] y [email protected]
Educación Primaria de Jóvenes y Adultos
Palabras claves: alfabetización, competencias, contextos, adultos.
26H
27H
Resumen
En la presente comunicación presentamos situaciones problemáticas que responden a los lineamientos teóricos
del Diseño Curricular Jurisdiccional de Educación de Jóvenes y Adultos de la Provincia de Santa Fe
correspondiente al nivel primario.
El Diseño de matemática atiende al enfoque de la Educación Matemática Crítica (Skovsmose, 1999), considerado
pertinente para abordar la alfabetización matemática de jóvenes y adultos dado que plantea como objetivo central
para la educación matemática el desarrollo de una concepción crítica del uso que se realiza de las matemáticas en
la sociedad.
Las propuestas atienden a algunos elementos que se consideran de importancia para abordar la formación
matemática de estos estudiantes: están incluidos en contextos que resultan significativos para los estudiantes (por
tanto, favorecen la construcción del sentido de los saberes que se construyen), resultan aptos para trabajar en el
plurigrado y favorecen el desarrollo de competencias que responden al enfoque de la Educación Matemática
Crítica.
1. Introducción
En la presente comunicación presentamos situaciones problemáticas que responden a los lineamientos teóricos
del Diseño Curricular Jurisdiccional de Educación de Jóvenes y Adultos de la Provincia de Santa Fe
correspondiente al nivel primario.
El Diseño de matemática atiende al enfoque de la Educación Matemática Crítica, cuyo referente teórico es Ole
Skovsmose. Este autor destaca el valor y la importancia del conocimiento reflexivo al que relaciona “con la
competencia general necesaria para reaccionar como ciudadanos críticos en la sociedad de hoy en día”
(Skovsmose, 1999; p.111). Considera, por tanto, que el objetivo de la educación matemática es lograr que los
sujetos desarrollen una concepción crítica del uso que se realiza de las matemáticas en la sociedad.
Además, en el diseño se retoman los principios de la Matemática Realista (Bressan, Zolkower y Gallego, 2004).
Goffree (2000) enuncia estos principios del siguiente modo:
- El aprendizaje de la matemática es una actividad constructiva.
- El proceso de aprendizaje de cada alumno se da a diferentes niveles de formalización. “Para poder conseguir un
avance en los niveles los alumnos deben tener a su disposición herramientas que les permitan establecer un
vínculo entre las matemáticas informales y las formales” (p. 156).
- “El aprendizaje de la matemática se estimula con la reflexión” (p.156).
- La interacción entre los distintos actores (alumnos entre sí, alumnos y docentes) debe convertirse en una parte
natural de la educación matemática.
Página 393
- Las ideas y reflexiones construidas se incorporan a las que ya se tienen. Se aprende matemática, de este modo,
“como un todo coherente y no como partes separadas” (p. 157). La enseñanza debe estar basada en situaciones
del mundo real, puesto que ello proporciona significado a la actividad.
A partir de los lineamientos teóricos mencionados, se concibe un diseño curricular de matemática centrado en la
resolución de problemas enmarcados en contextos realistas. En esta comunicación nos proponemos (sección 2)
profundizar en el enfoque teórico que caracteriza al diseño y (sección 3) presentar algunas propuestas de
actividades que responden a estos lineamientos.
2. Algunas consideraciones teóricas
La alfabetización matemática se concibe como “la capacidad individual para identificar y entender el papel que
las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en
aquellos momentos de la vida en que se le presenten necesidades y tenga que actuar como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo” (Rico, 2004; p. 91). Desde esta posición, alfabetizar matemáticamente
no significa enfatizar la enseñanza de conocimientos y destrezas, sino promover el desarrollo de competencias, lo
que supone poner “el acento en lo que el alumno es capaz de hacer con sus conocimientos y destrezas
matemáticas, más que en el dominio formal de los conceptos y destrezas” (Rico, 2004; p. 98).
La alfabetización matemática se interpreta como un proceso integrado por la “composición de diferentes
competencias: la matemática, la tecnológica y la reflexiva” (Skovsmose, 1999; p. 111):
-
Competencias matemáticas: suponen “las habilidades llamadas comúnmente matemáticas, como las
competencias para reproducir pensamientos matemáticos, teoremas y demostraciones, ejecutar algoritmos y
realizar cálculos” (Skovsmose, 1999; p. 111). Por ejemplo, la habilidad para calcular un porcentaje o la
habilidad para construir e interpretar un gráfico de barras.
-
Competencias tecnológicas: suponen la habilidad para resolver problemas que están enunciados en
lenguaje natural y que tienen su origen y aplicación en el mundo natural, social y cultural en el que viven los
sujetos y en su vida cotidiana. Por ejemplo:¿cuáles son los tipos de alimentos que ingieren más de la mitad de
los jóvenes de Argentina, según el siguiente gráfico?
Fuente: Kornblit, Mendes Diz y Adaszko (2006).
Página 394
- Competencia reflexiva “es la competencia necesaria para ser capaces de tomar una posición justificada sobre
asuntos tecnológicos” (Skovsmose, 1999; p. 111). Por ejemplo: Analiza el gráfico anterior y responde:
¿deberían modificarse los hábitos alimenticios de los jóvenes de Argentina? ¿en qué te basas para dar tu
respuesta?
En el Diseño Curricular Jurisdiccional de Educación de Jóvenes y Adultos de la Provincia de Santa Fe se propone
(siguiendo a Rico, 2004) una serie de competencias (cuadro 1) para el área Matemática que abarcan las
competencias matemáticas, tecnológicas y reflexivas propuestas por Skovsmose.
Competencias
Pensar y razonar desde un punto de vista matemático.
Representación de objetos matemáticos y situaciones
Comunicación de procedimientos, resultados y conocimientos matemáticos.
Planteo y resolución de problemas.
Modelización de situaciones reales mediante modelos matemáticos (sencillos).
Organización e interpretación de información.
Utilización del lenguaje simbólico y geométrico y sus relaciones con el natural, y las operaciones.
Argumentación sobre la validez de afirmaciones.
Cuadro 1: Competencias incluidas en el Diseño Curricular Jurisdiccional de Educación de Jóvenes y Adultos de la Provincia
de Santa Fe para el área Matemática (Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe, 2007; p.137)
En lo que respecta a las características de los sujetos jóvenes y adultos que desean completar sus estudios
primarios, la mayoría dispone, en mayor o en menor medida, de estrategias y herramientas informales que les han
resultado útiles para satisfacer las necesidades que se les plantean en la vida cotidiana y en ámbitos laborales.
Estos conocimientos representan la base cognitiva y afectiva sobre la que se asientan sus interpretaciones y
construcciones, por lo que no se pueden eludir si se desea evitar el fracaso. No nos es ajeno vivir situaciones en
las que "[...] los adultos insisten en recuperar, en el aula, conceptos, procedimientos y nociones matemáticas que
const

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