Oscilaciones I Oscilador armónico Solución del oscilador armónico

Oscilaciones I Oscilador armónico Solución del oscilador armónico

Oscilaciones I
Oscilador armónico
Solución del oscilador armónico
Condiciones iniciales
Oscilador armónico
Implementación con resortes elásticos
k
2
1
2
m
F1
x
k
2
F2
0m
Fuerza elástica resultante:
F = F1 + F2 = −
k
k
· x − · x = −k · x
2
2
Newton #2:
m · ẍ = −k · x
Ecuación de movimiento
Ecuación de movimiento es ecuación diferencial ordinaria, lineal y
homogénea, de orden 2:
ẍ +
k
x =0
m
Definir constante positiva:
ω02
k
=
m
r
→
ω0 =
k
m
[ω0 ] = rad s−1
Ecuación de movimiento del oscilador armónico:
ẍ + ω02 x = 0
con la solución general:
x(t) = A cos(ω0 t + φ),
A, φ = constantes de integración
Solución del oscilador armónico
1. Insertar solución de prueba x(t) ∝ exp(λ · t):
λ·t
ẍ + ω02 x = 0 →
λ2 + ω02 · |{z}
e
=0
| {z }
!
6=0
=0
2. Hay dos soluciones x1,2 (t) ∝ exp(λ1,2 · t) con:
q
p
λ1,2 = ± −ω02 = ± (−1) · ω0 = ±i ω0
3. Solución general es superposición lineal:
x(t) = a e iω0 t + b e −iω0 t ,
!
a, b ∈ C
!
4. x ∈ R entonces x ∗ (t) = x(t):
!
a∗ e −iω0 t + b∗ e iω0 t = a e iω0 t + b e −iω0 t
∀t ⇐⇒ a∗ = b
Solución es entonces:
x(t) = a e iω0 t + a∗ e −iω0 t = a e iω0 t + c.c.
Solución con funciones trigonométricos
1. Insertar exp(±i ω0 t) = cos(ω0 t) ± i sin(ω0 t):
x(t) = a [cos(ω0 t) + i sin(ω0 t)] + a∗ [cos(ω0 t) − i sin(ω0 t)]
= (a + a∗ ) cos(ω0 t) + i (a − a∗ ) sin(ω0 t)
2. Parte real e imaginaria de a = ar + i ai :
<(a) =
=(a) =
a + a∗
= ar
2
∗
a−a
= ai
2i
3. Entonces:
x(t) = 2ar cos(ω0 t) − 2ai sin(ω0 t) = C cos(ω0 t) + D sin(ω0 t)
¡También cos(ω0 t) y sin(ω0 t) son soluciones elementales!
Solución aún más elegante
Número complejo con amplitud y fase: a = |a| exp(i φ):
x(t) = a e iω0 t + c.c. = |a| e iω0 t+iφ + e −iω0 t−iφ
= 2|a| cos(ω0 t + φ) = A cos(ω0 t + φ)
φ
1
A
0.5
x (t )/A
0
-0.5
-1
0
I
I
I
π
2
π
3π
2
2π
ωt
5π
2
3π
7π
2
4π
¡Amplitud A siempre es número positivo!
Fase (ángulo) φ desplaza oscilación en el tiempo.
A y φ se determinan con condiciones iniciales.
Condiciones iniciales
Tenemos la solución general.
Para obtener una solución especifica hay que determinar las dos
constantes de integración, C y D, o A y φ.
I
Se requieren dos condiciones iniciales, por ejemplo:
!
x(t = 0 s) = x0
!
ẋ(t = 0 s) = v0
I
posición inicial
velocidad inicial
Solución especifica depende cómo parte el problema en el
momento inicial t = 0 s
Versión con C y D:
x(t) = C cos(ω0 t) + D sin(ω0 t)
Condiciones iniciales:
x(0 s) = C cos(0) + D sin(0) = C
!
= x0
!
ẋ(0 s) = −C ω0 sin(0) + Dω0 cos(0) = Dω0 = v0
Constantes de integración:
C = x0 ,
D=
v0
ω0
Solución con condiciones iniciales incorporadas:
x(t) = x0 cos(ω0 t) +
v0
sin(ω0 t)
ω0
Versión con amplitud y fase:
x(t) = A cos(ω0 t + φ)
Condiciones iniciales:
!
x(0 s) = A cos(0 + φ) = A cos φ = x0
!
ẋ(0 s) = −Aω0 sin(0 + φ) = −Aω0 sin φ = v0
Constantes de integración:
2
v0
,
A2 = x02 +
ω0
tan φ = −
v0
ω0 x 0
Solución con condiciones iniciales incorporadas:
s
2
v0
v0
2
x(t) = x0 +
cos ω0 t + arctan −
ω0
ω0 x 0
Oscilador armónico vs no armónico
1.5
no armónico
1
x
-0.5
0
-0.5
armónico
-1
-1.5
0
π
2
π
3π
2
2π
ωt
5π
2
3π
7π
2
4π