es cuela tщcnica s uper ior de ingenier os indus tr iales y de
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es cuela tщcnica s uper ior de ingenier os indus tr iales y de
es cuela técnica s uper ior de ingenier os indus tr iales y de telecomunicación t elekomunikazio et a indus t r i ingeniar ien goi mailako es kola APUNTES DE LA ASIGNATURA: (/(0(1726'(0É48,1$6 < 9 ,% 5 $& ,21(6 ASIGNATURA OPTATIVA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL T EMA 6 EQUILIBRADODE MÁQUINAS Y MECANIS MOS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS - 6.2 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS INDICE 6.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 6.2 E 6.2.1 Ecuación del movimiento 6.2.2 Máquinas de equilibrado estático 6.3 D 6.4 A G 6.5 E 6.5.1 Bastidor basculante 6.5.2 Punto nodal 6.5.3 Compensación mecánica 6.6 EQUILIBRADO “IN SITU” CON UNA CALCULADORA PROGRAMABLE 6.7 EQUILIBRADO DE MOTORES ALTERNATIVOS 6.7.1 Equilibrado de un motor de un solo cilindro 6.7.1.1 Método de la masa imaginaria 6.7.2 Equilibrado de motores con varios cilindros 6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros 6.7.2.2 Motor de tres cilindros 6.7.2.3 Motor de seis cilindros 6.7.2.4 Otros motores 6.8 EQUILIBRADO DE MECANISMOS 6.8.1 6.9 Método de Berkof-Lowen de los vectores linealmente independientes E ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.3 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.1 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Descripción del problema ! " Sabemos deun #$que %'&los esfuerzos () *sobre #eleslabó # n de referencia ()# # #mecanismo, #& +osobre +&el soporte ,"-de esfuerzos pueden provocar vibraciones que a veces pueden alcanzar amplitudes peligrosas. Incluso aunque no lo fueran, las vibraciones someten a los cojinetes a cargas repetidas que provocan las piezas. & elfallo ()por fatiga & de , Por .()tanto, en /el 0 diseño 12de !maquinas /& !no basta % o por lo menos reducir, en primera instancia, las fuerzas de inercia que producen estas vibraciones. o &elemento rotació & -Cualquier 3eslabó n3 3 que 4seencuentre en 56 n pura puede, 7() teó ,ricamente, "89 9& $estar - * :%;<& = < 6 6>& 6> ,>>>$ %? menos que la vibració n o sacudimiento sean necesarios. @ A A ()A&A- B C A-$ AD $ "E ; F-$ F=G() F; $ "H I JI I& II - 8K L $ 1) L %'# %'M-$ #&# *#- & N5L JO$P$ J " rotació Las partes Q& Fen R npueden, ,Rygeneralmente ">S Rdeben, ser %>diseñadas T() como Uinherentemente UV tolerancias que !!& de !producció $!n Whacen & ! !haya & algún pequeño !Ldesequilibrio L&en7cada LLuna. Por -lo tanto, ")X magnitud y localizació n de cualquier desequilibrio pueden ser determinadas con bastante exactitud, y compensadas al agregar o quitar material en las ubicaciones correctas. tema moLdeterminar -$ En O53este $ Lestudiaremos L 7 analíticamente ();57có L y7diseñar # ()un estado #de $equilibrio & YZ como motores alternativos o eslabonamientos de cuatro barras. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.4 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.2 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Equilibrado estático La configuració n mostrada en la figura 1 se compone de una combinació n de un disco y un eje, que descansa sobre unos rieles rígidos y duros, de tal manera que el eje, que se supone es perfectamente recto, pueda rodar sin fricció n. Se fija un sistema de 9referencia "*S<&xyz <en-eldisco .que )&se mueve F& T + T-$ -$ J + ' < J-$ SJ ' J () J & $ JJ J" + Se deja rodar libremente al sistema eje-disco hasta que vuelve al reposo. + Se marca, con una tiza p ' YZ& %& J$O YZJJ J& J " + Se repite la operació n cuatro o cinco veces. + Si las marcas quedan dispersas en lugares diferentes alrededor de la periferia, el disco se encuentra equilibrado estáticamente. + Si lo + todas las +marcas + coinciden, YZ+$ el5<disco se +encuentra ++estáticamente 33 desequilibrado, " La posició n de las marcas con respecto al sistema xy indica la ubicació n angular del desequilibrio; pero no su magnitud. EsO improbable < , que <&cualquiera < de .las marcas <quede -$ 6localizada 6'a180º de 6&las ;restantes, 6'aun YZ $ " %- Si sedescubre se puede corregir eliminando J&que existe ,desequilibrio estático : % material o bien agregando masa a la periferia a 180º de la marca. Puesto que se desconoce la magnitud del desequilibrio, estas correcciones se deben hacer por tanteos. Si se introduce la participació n de una masa de ensayo m, se puede determinar la correcció n a introducir en el sistema: + Sea ensayos A% la marca $J Nrealizada () enJ&los J & ' Janteriores J yA’JelJpunto Osituado 5)a" 180º. Por lo ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.5 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS + Colocando una masa m en la periferia del disco (de radio r) según una direcció n & & ' % ' $JJ$ % $ J ')& " ϕ + una masa m* = m / tgϕ. 6.2.1 ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Si se montan un disco y un eje desequilibrados sobre unos cojinetes, y se hacen %P& $G ! G 0 mrGω2 que se ilustra en la figura 2. Esta fuerza que actúa sobre el eje produce las reacciones giratorias en los cojinetes indicadas en la figura. Para determinar la ecuació n del movimiento del sistema se establece la siguiente notació n: + m: masa total del sistema. + mu: masa no equilibrada. + k: rigidez del eje; un número que describe la magnitud de la fuerza necesaria para flectar al eje una distancia unitaria cuando se aplica en O. Por tanto, k tiene las unidades de newton / metro. + c: coeficiente de amortiguamiento viscoso. Figura 2 – Eje con disco desequilibrados Si se selecciona cualquier coordenada x normal al eje, ahora se puede escribir ∑F = −kx − cx& − m&x& + m u rG ω2 cos ωt = 0 0 XJ ,JJ-J ,J O $J () J& F YZ x= m u rG ω2 cos(ωt − φ) (k − mω ) 2 2 + c 2 ω2 J$ 3& 3 3 7 donde φ por tanto, φ es el ; y su valor es: φ = tan −1 cω k − mω 2 (1) (2) murGω2 y la amplitud X de la vibració n del eje; (3) S "!$#&% ω2) del denominador de (2) fuera cero, la amplitud de x sería muy grande debido a que só lo estaría limitada por la constante de amortiguamiento c, que por lo general es 5 &:"O() FF '!$#&% 2 ω % 5O ω ) sea cero, recibe el nombre de velocidad angular natural (ωn), velocidad crítica frecuencia circular natural: ωn = k m ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (4) - 6.6 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS En el estudio de las vibraciones libres, se demuestra que existe un valor del amortiguamiento c que no conduce a vibració n alguna, sino a un desplazamiento amortiguado que tiende a cero. Este valor se conoce como amortiguamiento crítico y se expresa mediante la ecuació n: c = 2mωn (5) A partir de este valor, se define la relación de amortiguamiento ξ, como el cociente entre el amortiguamiento real del sistema y el crítico; esto es: ξ= c c = c 2mωn (6) & 5) L& - $ F - $J& JJ () J& ) " amortiguamiento, ξ Llamando X ≤ ξ ≤ 0.120. J J& JJJ J ,!%-JJ&J)& x = X cos(ωt − φ) (7) Si ahora se divide el numerador y el denominador de dicha amplitud X entre k, se designa la excentricidad como e = rG, y se introducen las ecuaciones (4) y (6), se obtiene la razó n mX = mue (1 − ω 2 (ω ωn )2 2 2 ωn2 ) + (2ξω ωn ) (8) ecuació n que nos proporciona la razó n de amplitudes de la vibració n de un conjunto de disco y eje girando. Si no se considera amortiguamiento, se hace m = mu, y se sustituye e con rG: X = rG (ω ωn )2 2 1 − (ω ωn ) (9) donde rG es la excentricidad y X es la amplitud de la vibració n correspondiente a cualquier razó n de frecuencias ω ωn . Ahora, si en la figura 2 se designa O como el centro del eje en el disco y G como el centro de masa del disco, se puede llegar a conclusiones $ interesantes , al representar !" - aparece D& ilustrado D en& lafigura 3, $ en donde sobre el eje vertical y la razó n de frecuencias a lo largo de la abscisa. Figura 3 – Amplitud del movimiento X 3&:7 3 & YZ $ L E E E& , ()LO 7& 7& L () ; 7# "'M ###M #-$# O%' G ?G G 5= YZ , -$ , 3 0 3 centros de los cojinetes. De esta manera, la figura 3 proporciona informació n tanto sobre las relaciones de amplitud como sobre la fase. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.7 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS 5T $ & >() , 5 &:La+frecuencia & & +natural es +ωn -"; + + /() 3 YZ%K 3 + +& % + ! YZ#& * () # 0 %' #& #ξ =0) en #la /()velocidad crítica ()/5<(resonancia). 5)+Al +pasar + el aumentando la velocidad. XB $ B () %N %NB B& BP () B9() () $B / % & P$99 9 () 94 YZ%8 99 $9() 0 9 % J- $J JN & & ()% -r G. En tal línea central de los cojinetes. $ - generan vibraciones indeseables y reacciones giratorias en los cojinetes. A la hora de tratar de problema, reducir -$ resolver %& este J $J & se puede " laexcentricidad %rG&utilizando &:equipos de equilibrado rG , siempre se pueden esperar problemas cuando ω = ωn. $%4! !!& ,LL 5) 8L O L %) L$ F $F : G;FF&I& J I WI $& II posible, con el fin de evitar que se desarrollen vibraciones peligrosas. 6.2.2 MÁQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO & &, >>>$ >& > O6 O>& O %?>& >-$ equilibrada. En caso de no estarlo, , indicando su magnitud y ubicación. X F$ F& -$ só lo para piezas cuyas dimensiones ) #&: (tienen la forma general de un disco delgado), como por ejemplo: engranes, poleas, ruedas, levas, ventiladores, volantes e impulsores. %<& Con frecuencia reciben &el $nombre - de I I I & " I & F > & - %I- $I? I () )( planos; GG pero %P es +&importante +hacer $Gnotar aquí Gque -$ si sedeben GLmontar varias () ruedas W sobre 3 un eje que . H- % & J $J& J ' YZ JJO& " " " " "" pieza Yase disco-eje L Luna ,fuerza L de 8gravedad #&0 #ouna fuerza * centrífuga. $ # # ha visto & que el% conjunto # 5< YZ$ + "+-+% + ,+ 33 3 L 5)LL O LL L ()" P L L& L 8K L 0 L 8# velocidad Entonces, predeterminada. & se podrían medir " Hlas -reacciones !& en!los -cojinetes $! !yutilizar /sus toman las mediciones, se usa un estroboscopio para indicar la ubicació n de la correcció n requerida. ; L 3 $ 3 3 EE - mida que J -tanto N5L $la& magnitud " . como JJ&laubicació J n del desequilibrio, &JJOyproporcione 'la correcció ' J& n" de ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.8 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS X - $ & 'J-N &" & que puede inclinarse en cualquier direcció n (esquema B 4.a). BCuando semonta %NP&en su Bplataforma " La direcció n de la inclinació n da la ubicació n del =5T$ θ (figura 4.b) indica la magnitud. Se suele recurrir & J ' O aOcierto &amortiguamiento " $ JJ J-$ ' & En <la<figura <$5, se <&muestra < un nivel "*XLuniversal Lcomo < 6&el que 6se 6suele montar 5E #sobre - la -$ F F& & F onzas-pulgadas. Una burbuja, que se muestra en el centro, se mueve con el desequilibrio e indica tanto la ubicació n como la magnitud de la correcció n que es necesario introducir. ; () () & J& JJ$ JJ J-$ ' ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.9 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS 6.3 La figura 6 representa un rotor que se va a montar sobre los cojinetes A y B. Se podría suponer que se colocan dos masas iguales m1 y m2 en los extremos opuestos del rotor, y a distancias iguales r1 y r2 del eje de rotació n. Puesto que las masas son iguales, r1 = r2 y se encuentran en lados n,se ,JJ opuestos %& Jdel eje & de 'rotació JJ puede Jcolocar -$ el rotor Jsobre rieles, JNcomo O se posiciones angulares. ; ' $ J ! %W& $3-3 ' Si el rotor se hace girar a una velocidad angular ω 2 2 centrífugas 2 sobre los extremos del rotor. Estas B m 0 1r1ωBy& m 2r2ω $, respectivamente, B Benm 1 y m B B YZ FA y FB, y todo el -37 $33 P3 7() 9 ω. Por consiguiente, un rotor puede . Figura 7 – Ejes desequilibrados ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.10 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Así, en la figura 7, se presentan los dos casos de desequilibrio: & J 5L .Cuando + En !la figura 7.a, !se 9 presenta ! YZ un !eje -$con 99 4 9 < < el<rotor gira, ,"*las S $O J + m -$J JJ J YZ%O O $J " X7 " 3& 99 YZ9-$ 9 9& 99 $ " ; el a !voltear rotor gira, $!!eldesequilibrio ! /crea &un W&par -que !tiene ! / el rotor. /El ! conjunto / YZ se " ; O O $J-JJ J& %& N J O&-" #M#$ %' # - ,## ### # #M YZ## +& +&+ 6 ,66 6 %& $6 ;6 ,6 # #6 5)!& !& 8K 8 L& %)0)L O57 YZ L L " . %) pueden () provocar 5G94&otros & 9errores YZo"*Hdesequilibrios . en %*un <calibrado & <inapropiado, <por - la$ existencia de -JO- &JJ Jcasi $Osiempre % -$> - > 5 * = & = & O 6 YZ %?6 > & O> 6 %?0?> direcciones de estas reacciones giratorias en los cojinetes, sean diferentes. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.11 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.4 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS desequilibrio mostrar El objetivo % 5 de este apartado es 9 cómo analizar & & cualquier & sistema CCgiratorio $ " Para JJdeterminar O -laOmagnitud $ y ubicació n de las correcciones, se usan las dos ecuaciones del r r F ∑ =0 r r M ∑ =0 (10) GGG) Sabemos que la fuerza centrífuga es proporcional al producto m·r giratoria, siendo el factor de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad angular ω2. Dadas las tres 8.a, masas de-la$ figura " X se supone ()-que giran % & en&un solo plano y, por tanto, 0 es un caso !de de las tres masas m1R1, m2R2, m3R3 %- $JJ O O r R i como se indica. En este caso, la primera de las ecuaciones de (10) se aplica construyendo un polígono de r fuerzas (figura 8.b). Puesto que este polígono requiere de otro vector m c R c para cerrarse, la r JJ J ,J $J& & mcRc y su direcció n paralela a R c . Figura 8 – Sistema de tres masas girando en un plano. Polígono de fuerzas centrífugas ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.12 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS ; & % $! ! W / ecuaciones de (10). Así, la figura 9.a es una vista desde un extremo de un eje sobre el que se han montado las tres masas m1, m2 y m3 a las distancias radiales respectivas R1, R2 y R3. La figura 9.b es una vista lateral del mismo eje mostrando los planos de correcció n izquierdo y derecho, así como las distancias a las tres masas. Se desea hallar la magnitud y la posició n angular de las correcciones a introducir en cada plano. ' < J $ JJO& " $ O $ J primer centrífugas El!! !paso & de%4 la solució 5)Ln es 7tomar una suma ")SLde los Omomentos 8-Ldelas Lfuerzas O L A en el plano izquierdo de correcció n, para eliminar el momento de la masa izquierda de correcció n. Aplicando la segunda de las ecuaciones de (10): r r r r r m1l1R 1 + m 2 l 2R 2 + m 3 l 3R 3 + mR IR R R = 0 (11) Ecuació n vectorial en la que las direcciones de los vectores son paralelas, respectivamente, r a los vectores R i de la figura 9.a. Ello permite construir el polígono de momentos de la figura 9.c. Ahora bien, aunque a la figura 9.c se la conoce como polígono de momentos, es conveniente constatar que los vectores que componen este polígono poseen una magnitud proporcional (ω2) al momento en A asociado a cada una de las fuerzas centrífugas, pero la direcció n del vector de r posició n correspondiente R i . El verdadero polígono de momentos se obtendría haciendo girar la " %T T& - ()- r r % 5 $ l ×R ω2. Sin r embargo, de esta manera el vector de cierre mR lR R R del polígono empleado proporciona de ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.13 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS % 6 forma directa, no só lo la magnitud direcció n de la corrección requerida para el plano derecho. Ahora ya es factible hallar las cantidades mR y RR ya que, generalmente, la magnitud de RR es un dato del problema. Por consiguiente, se puede escribir la ecuació n: r r r r r r F = m R + m R + m R + m R + m R (12) ∑ 1 1 2 2 3 3 R R L L = 0 Puesto que, de la misma manera que RR, la magnitud de RL suele ser conocida, esta ecuació n se resuelve para la correcció n izquierda mLRL, construyendo el polígono de fuerzas de la figura 9.d. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.14 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS 6.5 Las unidades en que se mide el desequilibrio por costumbre han sido la onza-pulgada (oz·pulg), & $- Gel gramo-centímetro -GGW (g·cm) 3y launidad híbrida de$gramo-pulgada 3& & (g·pulg). Si se sigue la este P3SI33 SW3& 3 & YZ3 en & sistema es el miligramo-metro (mg·m "P+$%P& ? G GG 1000; & en 3consecuencia, $ & no YZ se recomienda el prefijo ¢i - 5)%! & %L C& C nombrada debe tener prefijo. Por consiguiente, no se deben utilizar el gramo-centímetro ni el kilogramo-milímetro, aunque ambos tienen magnitudes aceptables. Anteriormente, se ha constatado el hecho de que " para discos, " ! 9 $ L $ L ruedas, engranes y elementos rotativos "8 semejantes, 949 9 %* situada en un solo plano de rotación rotores de turbinas o motores, la presencia de fuerzas centrífugas desequilibradas dan lugar a pares cuyo efecto es tender a que el rotor se voltee. El propó sito del es medir el par desequilibrado y agregar un nuevo par en la direcció n opuesta y de la misma magnitud. Este nuevo par se introduce mediante la adició n de masas en dos planos de corrección preseleccionados, o bien, la eliminació n de masas (haciendo perforaciones) en dichos dos planos. J % $ -$ $ 5)% % J+ ,%+ ,+ +JJ+ $+ J J& + & + ,"-+ / ++ +& ,+ + 3 ,33 J& J /()J $+ "WH P % " " debe medir la magnitud y ubicación angular de la masa de corrección para cada uno de los dos planos de corrección. H : tres & J $ métodos T& de uso Tgeneral en la determinació n de las correcciones . bastidor basculante, punto nodal y 6.5.1 BASTIDOR BASCULANTE lafigura F-En $F YZ =10, Ise Ipresenta I&un rotor IIa-equilibrar Jmontado "sobre ? medios I cojinetes I?o rodillos J conecta a un motor impulsor por medio de una articulació n universal. Existe la posibilidad de hacer bascular el bastidor alrededor de cualquiera de los dos puntos (pivotes) que, a su vez, se ajustan para coincidir con los planos de correcció n del elemento que se va a equilibrar. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.15 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M ' < J $ " MECANISMOS J- ' En el caso de la figura, el pivote izquierdo se muestra en la posició n liberada, y el bastidor y el rotor - %)aequilibrar L Lpueden 7 bascular ;53libremente en %)torno - al5)pivote LKderecho. YZ LEn #cada -extremo #$del de un solo grado de libertad. En muchos casos, estos resortes y amortiguadores se hacen lafrecuencia ()ajustables >de manera O &que se "?pueda > 3 hacer %?>coincidir - 3 > Gnatural del Gsistema B& con Bla desplazamiento Estos dedesplazamiento & $L M -situados en 7cada extremo 7Ldel %)bastidor. - 8L L transductores $L& # # # bastidor que se mueve en relació n con una bobina estacionaria, generando de esta manera una tensió n proporcional al desequilibrio. ;L 7& () 7-$L 7L 77& 7L ,%)L&O YZ * B !5G / - <5I$ , , . Las lecturas ' 4% & ! ! ! ! & ! & () YZ L O $L otro plano de correcció n alguno en torno al mismo. En efecto, un desequilibrio con el pivote de la derecha fijo es un desequilibrio corregible en el plano izquierdo de correcció n y produce una vibració n cuya amplitud se mide mediante el indicador izquierdo de amplitud. Cuando se introduce (o se mide) esta correcció n, se libera el pivote de la derecha, se fija el de la izquierda y se hace otro conjunto de mediciones para el plano de correcció n de la derecha, empleando el indicador de amplitud de la derecha. La relació n ente la magnitud del desequilibrio y la amplitud medida viene dada por la ecuació n (8). Reordenando y sustituyendo e por r: X= ( m u r (ω ωn ) m 1 − ω 2 ωn2 2 ) + (2ξω ω ) 2 2 (13) n expresió n en la que: + mur es el desequilibrio + m es la masa del conjunto formado el bastidor y el rotor + X es la amplitud del movimiento medida ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.16 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Esta ecuació"Bnmuestra que la" amplitud % del movimiento $ X es directamente & proporcional , al desequilibrio mur "6 #$ #& 6 ;6 6' amortiguamiento determinada ξ deliberadamente con el fin de filtrar ruidos y otras vibraciones que pudieran afectar a los resultados. $% W 5) N , E -9E #& #5 otras condiciones del medio ambiente. La figura muestra que de $)laresonancia J& " (ω = ωn), puesto que, para un desequilibrio dado, en esta regió n se registra la Figura 11 – Amplitud de vibració n vs Desequilibrio E %/ 5) ! : , ! ! conecta J O al eje impulsor. OJSi& laonda %Jsenoidal () $Jgenerada se compara, "con -la onda establecida por uno , / " $ & % - , J J$ JNN5LJ JJ J ' JJ " fasímetro O& JJ J ,!%J J J)& ,J& JJ$ JN φ = tan −1 2ξ ω ωn 1 − (ω ωn ) # " 2 (14) ##- ## $ ##-# ,#& ## # ,# amortiguamiento ξ. Esta curva muestra que, en la resonancia, cuando la velocidad ω del eje y la - YZ %+J& () $ frecuencia natural ωn LL$ ")SK L& L& 8M *-$# # YZ$#M& % φ = 90º $ ?5 $ - J& & & %+ & <<$) < YZ"*<-< J " 66 () 66 - 9 B() resonancia. ω aumenta por encima de la 6.5.2 PUNTO NODAL La separació n de los planos de equilibrado utilizando un punto de vibració n cero o mínima recibe & el nombre ',Nde método J-Jdel punto " nodal de equilibrado. La figura 12 puede ayudar a ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.17 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Aquí el rotor que se va a equilibrar YZ se muestra -$ montado YZ Rsobre soporte que recibe el nombre de barra nodal. . En 6principio, 5) -$Fsesupone en el plano de correcció n de la izquierda (plano A) y que todavía existe un desequilibrio en el plano derecho (plano B), tal como se indica en la figura. J& J ' una vibració n en todo el conjunto, haciendo que la 6Debido 'a este 6!desequilibrio, GG Gse&produce O, ocupando & B E "/EN%/ E$ alternativamente !& las posiciones CC y DD ! ! $ ! *5T O, deslizando &un reloj comparador () J JJJ () 0 1 - punto nulo o nodal. Dicho punto constituye el centro de oscilació n para un centro de percusió n situado en el plano de correcció n de la derecha. !&Hay Lque Lrecordar ,Lque Lse L hasupuesto 1) Lcomo hipó %)tesis K) -de partida L Lque no existía %)desequilibrio L la daría el reloj lo tanto, comparador & ubicado -& en elpunto % nodal que $se acaba de determinar. & Por ! ! al situar el reloj sin interferencia alguna del que exista en el plano de la derecha. De manera semejante, se puede encontrar otro punto nodal que só lo mida el desequilibrio en el plano de correcció n de la derecha sin interferencia alguna del que existe en el plano de la izquierda. @; N EE$ EE E E#() ,E "WS3&3 P3 3$ 99 6.5.3 COMPENSACIÓN M contrafuerzas en cada plano de correcció n que equilibren exactamente las fuerzas que provocan la O $JJ 'N JJ () " vibració % n.El resultado de ,introducir 5# estas la contrafuerza, para obtener la correcció n exacta que se requiere. Este método recibe el nombre de . ;== = =& ,=$ %;= & = +() =* = 9 99<) &<- $< <& JL O() "*) .<& & B& B AAA % C () AA ,A () % A %E& autoimpulsarse deun de$gasolina. si setrata, por ejemplo, G5 F $motor F+ ;F&El equipo ?5)Felectró F;nico es simple, F T& T $ %5U 5U , directamente. XE " & 5) !, & & , $ " observar un extremo del rotor, se ve uno de los planos de correcció n con el desequilibrio que se va a corregir representado con ω·r. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.18 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS JJ& ,J$ ! ' J& ,JJ O&O& ' aumenta la vibració n, (b) sistema compensado E # E& # dos pesos compensadores. Estos tres pesos deben girar con la misma velocidad angular ω, pero se puede hacer variar la posició n relativa entre ambos pesos compensadores, y en relació n con el peso no equilibrado, por medio de dos controles: P$ + Un control hace varia α entre los pesos compensadores. Es el control de magnitud, y da una lectura directa cuando se compensa el desequilibrio del rotor. + P T T$ β, posició n angular de los pesos compensadores en relació ! n con P el desequilibrio. B-B& Es %NelB control de Bubicació P nPy,:cuando se compensa desfase angular exacto del desequilibrio. S %'& * YZ& %' # ## /() ,++ + - /5<+& ++ voltímetro, se aseguraría la compensació n cuando la manipulació n de los controles permitiera conseguir que la lectura en el voltímetro fuese cero. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.19 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.6 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Equilibrado “in situ” con una calculadora programable S+&+ +$ Z + Z% ++ 3& 37()"W7 % sin embargo, los efectos cruzados y la interferencia de los planos de correcció n a menudo requieren veces -- que " se equilibre $%.8cada E extremo 9$del rotor 9&dos Eo tres E para alcanzar -= resultados =& 'N() JJ % J$O OJ& JJ " CEl equilibrado CC “insitu” Ces & $necesario - " para %Lrotores Cmuy grandes %& + J+ J$ rotores de alta velocidad se equilibren en el taller durante su fabricació n, con frecuencia resulta necesario volverlos a equilibrar “in situ” debido a ligeras deformaciones producidas por el transporte, por fluencia o por altas temperaturas de operació n. Tanto Rathbone como Thearle han desarrollado$métodos en dos planos de& equilibrado YZ y se resuelven con una “in situ” que se pueden expresar haciendo uso del calculadora programable. El tiempo que se ahorra en usar una calculadora () /!!& !! / / $ /!!$ /!programable 7es & YZde usando una calculadora científica ordinaria. J$ OJ %J $J OJ J& J & ' O& YZ R = R/θ = iθ = x + iy (15) Figura 14 – Equilibrado “in situ” en dos planos. Notació n y referencia xy En la figura 14, se supone que existen los desequilibrios desconocidos ML y MR en los planos de correcció n izquierdo y derecho, respectivamente. Las magnitudes de estos desequilibrios son ML ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.20 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS 563 33 $ y M de la 5)R - φ Ry% φL -apartir $ referencia de la ()rotació ! n./&Una vez / que se y derecho para lograr el equilibrado. Los desequilibrios giratorios ML y MR producen perturbaciones en los cojinetes A y B. Los equipos comerciales para equilibrado “in situ” permiten medir las amplitudes y los desfases L<-L& "*S< $6 6 , X = X/φ, con los subíndices apropiados, para designar estas amplitudes. En el equilibrado “in situ”, se llevan a cabo tres ensayos (Método de las tres carreras): + PRIMER ENSAYO. Se miden las amplitudes XA = X A φ A y XB = X B φ B en los cojinetes A y B, debidas só lo a los desequilibrios originales ML = M L φ L y MR = M R φR . + SEGUNDO ENSAYO. Se agrega la masa de ensayo mL = mL θ L al plano de correcció n de la izquierda y se miden las amplitudes XAL = X AL φ AL y XBL = X BL φBL en los cojinetes izquierdo y derecho (A y B), respectivamente. + TERCER ENSAYO. Se elimina la masa de ensayo mL = mL θ L ensayo mR = mR θR 5T : & !! ,! ! %4 ! () las amplitudes en los cojinetes: XAR = X AR φ AR y XBR = X BR φ BR . ;- ?GG +& + %P ZGG 5)? que desequilibrio de ensayo, si se utiliza una distancia unitaria desde el eje de rotació n. Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio definamos primero el concepto de rigidez compleja. Se entiende como tal a la amplitud que resultaría en cualquiera de los cojinetes debida a un desequilibrio unitario ubicado en la intersecció n de la marca de referencia giratoria (desfase nulo) y uno de los planos de correcció n. Por tanto, es necesario encontrar las rigideces complejas (AL, BL) y (AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario ubicado en la intersecció n de la marca de referencia giratoria los planos L y R, respectivamente. Conocidas las rigideces, y de acuerdo con los tres ensayos descritos anteriormente, se podrían escribir las siguientes de ecuaciones complejas: XAL = XA + AL mL XBL = XB + BL mL XAR = XA + AR mR XBR = XB + BR mR ; O P O 5)% O O $J (16) (17) (18) (19) O , OJ-O AL = (XAL – XA) / mL (20) BL = (XBL – XB) / mL (21) AR = (XAR – XA) / mR (22) BR = (XBR – XB) / mR (23) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.21 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS De esta forma, una vez determinadas las rigideces en las ecuaciones (20) a (23), y de acuerdo con la definició n de rigidez compleja, del primer ensayo se tiene: XA = AL ML + AR MR (24) XB = BL ML + BR MR () $ - & % & (25) desequilibrios incó gnitas en ambos planos de equilibrado: ML = X A BR − X B A R A LBR − A R BL MR = X B A L − X A BL A LBR − A R BL (26) =F G$ =F& F G F& & YZ%OF %OI rectangular compleja. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.22 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.7 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Equilibrado de motores alternativos 6.7.1 EQUILIBRADO DE UN MOTOR DE UN SOLO CILINDRO En la figura 15.a, se representa el mecanismo de pistó n-biela-manivela correspondiente a un motor de un solo cilindro. En este caso, la manivela no se haya equilibrada, ya que su centro de gravedad ejede - G2 se encuentra $ desplazado Tcon respecto T a su ()T rotació () n (punto O 2). Por&otra parte, determinació n de las masas equivalentes del sistema (mA, mB) localizadas en el pasador (A) de la manivela y en el pasador (B) de la corredera o pistó n, respectivamente. La razó n de esto es que el pasador sobre un círculo y el del pistó n en línea recta; movimientos Ode 5Ola $ manivela OJse mueve " Figura 15.a – Mecanismo pistó n-biela-manivela con manivela no equilibrada Figura 15.b – Masas equivalentes en el mecanismo pistó n-biela-manivela un9 motor 33Considerando 3 33el&mecanismo 3 como mecanismo -$ 9plano, & las 9masas ! giratorias 5)9(m A) en ! - capítulo, pero no así las masas con movimiento alternativo (mB); por lo tanto, en este apartado hablaremos, en realidad, del desequilibrio. No obstante, aunque las masas con movimiento alternativo no se pueden contrapeso, ! equilibrar usando U+un simple ,UU Asies Aposible A$modificar AAlas fuerzas de sacudimiento desequilibrando las masas con movimiento rotativo. H YZ& % :$ &&-& ! () ! 5)!!)! la masa giratoria equivalente en la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo (por lo ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.23 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA %8< <: .<) &< TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS J5 << << () << () alternativo para alterar las características de equilibrado en los motores de un solo cilindro). Designando la masa del contrapeso por mC, la fuerza de inercia debida a este contrapeso es r r r FC = −m C rω2 cos ω t i − m C rω 2 sen ω t j (27) Nó tese que tanto la masa empleada para equilibrar como el pasador de la manivela tienen el mismo radio∗. Designando por mA y mB las masas equivalentes de los elementos con movimiento rotativo y alternativo, respectivamente, se tiene: mC = m A + mB 2 (28) J J& ,J J %J J!'J&J r r r m m FC = − m A + B rω 2 cos ω t i − m A + B rω 2 sen ω t j 2 2 (29) A su vez, la fuerza de inercia debida a las masas rotativas (FA) y a las masas con movimiento alternativo (FB) responde a la expresió n: r r r r r r (30) FA,B = F x i + F y j = (m A + m B )rω 2 cos ω t + mB rω 2 cos 2ω t i + m A rω 2 sen ω t j l Al sumar las ecuaciones (29) y (30), se obtiene la fuerza de inercia resultante como: r m r r r m F = B rω 2 cos ω t + m B rω 2 cos 2ω t i − B rω2 sen ω t j l 2 2 (31) En dicha expresió n (31) se suelen distinguir dos componentes vectoriales: + La componente primaria de la fuerza de inercia resultante: que tiene un mó dulo de %& J & 'JN()- ' JN() J valor mB rω2 2 -ω, 5L-$J- J& '-()- (girando “hacia atrás r r mB 2 rω (cos ω t i − sen ω t j ) (32) 2 + La componente secundaria: componente restante de la expresió n (31) y que resulta ser la proyecció n x de un vector cuyo mó dulo es mB rω2 (r l) y que gira (“hacia adelante”) con una velocidad angular 2ω. N5)% !%N()JN() La & se produce cuando ω r 1 Fmax = mB rω 2 + l 2 (33) ya que cosωt = cos2ωt = 1 cuando ωt = 0. ∗ ! "# ! !" " $%&! ' ( ( &" ! ) "# !* ( !" +,- . $ ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.24 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS % 3 : NW & W mC, la fuerza de inercia $) J % J J)& ,! r Fmax = mB rω2 + 1 l (34) H * %'#-#%'M -#M &+ J / +$) + sacudimiento en un 50% de la componente primaria y agregar fuerzas de inercia verticales en donde antes no existían. En la figura 16, se representa un diagrama polar de la ecuació n (31), para un valor r/l de ¼: + El vector OA gira en sentido opuesto al de las manecillas del reloj con velocidad 2ω y su proyecció n horizontal, OA’, es la componente secundaria. + El vector OB, componente primaria, gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj con ω. + Se muestra la fuerza total de sacudimiento PGF para 7()la-posició n OB y BB’ = OA’. Figura 16 - Fuerza total de sacudimiento 6.1.1.1 Método de la masa imaginaria - 5) El método de la masa imaginaria . E redefinido y ampliado por Stevensen. método del rotor virtual, porque utiliza lo que se podría llamar un rotor virtual que gira en sentido contrario para recibir parte del efecto del pistó n en un motor de movimiento alternativo. Antes de entrar en detalles, es necesario explicar un cambio en la notació n a la hora de ver el círculo de la manivela de unmotor. Al desarrollar -el secció n y la que sigue, se utiliza el sistema coordenadas de la figura 17, en el que el eje y se localiza girando en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj a partir de x, y donde la rotació n positiva se muestra con tal sentido. Se adopta esta notació n porque se ha utilizado desde hace mucho tiempo en la industria automovilística. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES JJ JJ " ; , ' - 6.25 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS & - %4!!! / // a la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo en el armó nico particular estudiado. El propó sito de estas masas ficticias es reemplazar los efectos de la masa con movimiento alternativo. opuestas y con ()Estas masas O imaginarias P5L-$giran J alrededor ONdel centro JJdeJla manivela, endirecciones punto muerto superior (PMS) como en el punto muerto inferior (PMI) como se ve en la figura 17. La masa +mB/2 gira con el y la otra B/2 en sentido opuesto. La masa que gira con la movimiento () B-$Bde la manivela BB 9 B&masa -m B BB B$!5F , opuesta, con un signo menos. La definició n y distribució n establecida para ambas masas permite asegurar que el centro de masa de las dos masas giratorias queda siempre sobre el eje del pistó n o cilindro. ++ ++ ++ ,+& el movimiento del pistó n y la fuerza de inercia resultante siempre se pueden representar mediante una <6 6 6 %666 # # serie & de 6Fourier. 6 ()Este tipo 6de ,serie & JN N5L& J " J % & $ 3&:3&3& %89 99, 9! 9 99 &:== , %; <+ =$< YZ" * + &%;- >>- $ presentes los armó nicos impares (tercero, quinto, etc.) por la simetría del movimiento del pistó n. Por lo tanto, cada armó nico, primero, segundo, cuarto, etc., se representa mediante un par de masas imaginarias. Las velocidades angulares de estas masas son ±ω para el primer armó nico, & #M %590' () " ; () $# * ±2ω para el segundo, ±4ω cuenta del sexto armó nico en adelante. Stevensen sugiere las siguientes reglas para ubicar las masas imaginarias: - Para I cualquier Iposició n dada Ide >las $manivelas, > las posiciones >& JIdelas ()masas II&imaginarias JI punto lasmasas $ muerto T superior T$ymoviendo () imaginarias, & &en sentidos ! opuestos, ,unos - considerado. .O O$ OJ $JJ& 'J J J& ,JJ& J JJ () " & -A A motor de un solo cilindro, considerando únicamente el primer armó nico. + En la figura 18, la masa +mB/2 localizada en A gira a la velocidad ω con la manivela, en tanto que la masa -mB/2 en B gira a la velocidad -ω opuesta a la rotació n de la manivela. + Se puede equilibrar la masa imaginaria en A agregando J una : " masa igual en A’, para que gire + S C %# -$ puede equilibrar por la adició n ni por la sustracció : %nde - 'masas Jen Jcualquier ,Jparte &-del " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES JJ J ' imaginaria - 6.26 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Cuando la mitad de la masa equivalente de partes con movimiento alternativo se equilibra de esta manera, es decir, agregando la masa en A’, la parte no equilibrada del primer armó nico, debida a la masa en B, hace que el motor vibre en el plano de rotació n en forma igual en todas las direcciones, como una verdadera masa giratoria no equilibrada. de# motocicleta En %)Leste sentido, Lresulta L interesante L saber $que en los YZ motores ## de #un # solo L YZ")H 8-L ,%)7 -$ utilizando un contrapeso cuya JO$OJ J JJ JJJ () sobreequilibrados J () . con !Sin embargo, !9 resulta () imposible !4equilibrar : %8el4segundo armó nico 9y)armó nicos superiores <& .< , . : " =%O F F; FF = , J+ YZJ J& 33 3 33 7() 3 : (como en el caso del motor Plymouth Arrow de 1976), pero al costo de una complicació n tremenda que hace que no resulte una solució n habitual. 6.7.2 EQUILIBRADO DE MOTORES CON VARIOS CILINDROS H I JI& ,I$ I?& II II >E() cilindros, consideremos un motor de dos cilindros en línea cuyas manivelas tiene una separació n de 5 =& = ()+5) F F = F &"O-G &II & J - %N J$ %J N " Figura 19 – Esquema de un motor de dos cilindros en línea O& #O & F& F , F T diagrama de la figura 19.a. En ella se muestra que las masas +1 y +2, que giran en el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se equilibran entre sí, como lo hacen las masas – 1Oy& – 2,que Ogiran ,en sentido O-$Jopuesto al de Olas Nmanecillas J del J&reloj. JPor -Jconsiguiente, & ,JJlas Jfuerzas () de . ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.27 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS S 3 %W3 7 " 33 ()33- !9-$994 9& " H -E ,%.E $E- & 9 9+ = * alrededor del eje y. Se pueden determinar los valores de estos pares, siendo posible equilibrar el par debido a las masas giratorias reales, lo mismo que a las semimasas imaginarias que giran con el -motor; $J sin Jembargo, J Jno se puede " equilibrar el par debido a la semimasa del primer armó nico que En la figura 20.a, se muestra la ubicació n de las masas imaginarias para el segundo armó nico, empleando la regla de Stevensen. En diagrama, este -$F se observa que las fuerzas de los segundos armó los nicos. Puesto $) que presentan en los puntos muertos, casi siempre se trazan los diagramas para esta posició n extrema, colocando la manivela 1 en el PMS, como en la figura 20.b. Figura 20 – Masas imaginarias para el segundo armó nico. H ,J N5LJH S Este desequilibrio produce una vibració n en el plano xz de frecuencia 2ω. El diagrama para los cuartos armó nicos, sería el mismo que el de la figura 20.b, só lo que con velocidad es 4ω. 6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros el esquema de un motor de cuatro cilindros en línea cuyas manivelas -$ILa &figura 21.c > muestra "-I se puede tratar como si fueran dos motores de dos cilindros uno contra el otro. Por consiguiente, 5)%J$%! " 5 % T-$Tlas fuerzas del I primer I& armó Inico & siguen + equilibradas , " ; - %-J& N $++-() YZ + ++ :/ J YZ % arriba y hacia abajo, y a doblar el centro de un eje de dos cojinetes, en la misma forma. Figura 21 – Esquema de un motor de cuatro cilindros en línea ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.28 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS En la figura 21.b, se constata el hecho de que cuando las manivelas 1 y 4 se encuentran en el punto muerto superior (PMS), todas las masas que representan al segundo armó nico y que se desplazan una fuerza en "'ambas M direcciones, ###se acumulan Jen Jese punto & +-muerto, $+ +produciendo YZ x y, por tanto, los segundos armó nicos desequilibrados provocan una vibració n vertical con una frecuencia igual al doble de la velocidad del motor. Esta característica es típica de todos los motores de cuatro cilindros con esta disposició n de las manivelas. @ 3 33 , 0 3 349& 99 " %M5G ; -O 0 J O %& JJN J$O ()N5L YZ JP " 6.7.2.2 Motor de tres cilindros En la figura 22, se ilustra un motor ()de tres &cilindros en línea " con X 9-$= <= con el orden en el que llegan al punto muerto superior. En la figura 23, se observa como las fuerzas de los primeros, , segundos -$ y & cuartos equilibradas y só lo,las fuerzas de- los $ completamente desequilibradas; no obstante, 5 la &magnitud : de 5 estas &fuerzas despreciar por lo que respecta a la vibració n que introducen en el sistema. ' Figura 22 – Esquema de un motor de tres cilindros en línea < JN OJ O - O , ! % % M5 @;L$ 7L 7& 7L ; 7M& * , #- ### # () 1 se encuentra en el punto muerto superior (figura 22), existe una componente vertical de las fuerzas en las manivelas 2 y 3, cuya magnitud es igual a la mitad de la fuerza sobre la manivela 1. La resultante de estas dos componentes hacia abajo es equivalente a una fuerza hacia abajo, con igual magnitud a la de la fuerza sobre la manivela 1 y localizada a la mitad entre las manivelas 2 y 3. Así pues, se establece un par con un brazo igual a la distancia entre el centro de la manivela 1 y la línea central entre las manivelas 2 y 3. Al mismo tiempo, las componentes horizontales de las ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.29 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS fuerzas +2 y – 2 se cancelan entre sí, al igual que las fuerzas +3 y – 3 (figura 22). Por lo tanto, no nicos. existe %Wpar horizontal. 33 Se Pencuentran 7 pares 5)9similares -$9 para los segundos 9 y cuartos 9& armó 99 &Por -9lo las fuerzas de los primeros, segundos y cuartos armó nicos, no queda todavía libre de vibraciones debido a la presencia de pares en estos armó nicos. 6.7.2.3 Motor de seis cilindros concibe F Si se F & un motor de & seis %Jcilindros Fen línea Fcomo &una combinació %N $ nde dos Tmotores de inherente B de los 9 primeros, G segundos G- $yBcuartos B armó nicos. &Y, -en Lvirtud 5I dela simetría, $ los pares 0 "-de & %)L-L& - L % LL 8M : 59 # YZ#M : !$ 5E 6GGG- ,G 0 G& G G& ,GG !() " %J F F , F-$ & G5F # vibració O 5Ln&en el :plano N5L& $vertical, - con Juna &frecuencia Jde N6ω. Sin Jembargo, N() ,la " magnitud de estas fuerzas 6.7.2.4 Otros motores Tomando en consideració n la disposició n de los cilindros y el espaciamiento de las manivelas, una 6&6 se ()-pueden ; 6obtener ,6 'gran cantidad G&de Gconfiguraciones. , GPara %Pcualquier Gcombinació + n, S++& - + ,+& $ 33& 33 3 3 que S ()se han descrito. ) ,$ ! !!& W& ! !& W -$ %5 () EE E E$ apropiados a partir de ese mismo punto muerto superior. Esto es particularmente importante cuando se investigan motores radiales y de pistones opuestos. ;J YZ& O& $- %&J& J-O O& J ' + En un motor radial detres % cilindros ()-con $ una manivela ytres bielas &que tienen el mismo pasador de los primeros armó nicos, en tanto que las masas positivas se localizan siempre en el pasador de la manivela. Estos dos hallazgos son inherentemente verdaderos para todos los motores radiales. Asimismo, puesto que el motor radial tiene sus cilindros en un solo plano, desequilibrados. En cualquier $Nno se producen OJ pares O J OO , P5Lcaso, ,el motor O&de tres cilindros " + Un motor () 7de dos %)cilindros -$L con L&pistones # ?opuestos, # con & un espaciamiento %'?59de las , 1& JJ-$J J& J O& " -$G G& G + Un línea con manivelas motor L<de )&cuatro .cilindros , %*&en < < < -$< < L& a90º "*6'6 , 6 -$N J& J P OJ& J O& ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES . - 6.30 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS -$ + Un motor de ocho cilindros en línea con manivelas a 90º equilibrado tanto fuerzas & JJ-$J para las JJ como J para , los " pares en el primer y segundo armó nicos; -$L L + Un motor de ocho cilindros en V con manivelas a 90º para las fuerzas en el primer y segundo armó nico y para los pares en el segundo. A su vez, los &pares Ono J equilibrados JJen & 'el primer -5L&armó -nico "-se N pueden &JJ equilibrar '-$Jpor medio de para las fuerzas en el cuarto armó nico. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.31 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA 6.8 TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Equilibrado de mecanismos S $ -$Q QQ Q QQ reacciones $ %#que se - ejercen "H ;sobre el% eslabó ##n& de referencia #6del mecanismo, 6 o ?el soporte de la son el equilibrado de la fuerza de sacudimiento y el del momento de sacudimiento. En el equilibrado de fuerzas es importante la posició n del centro total de masa. Si se puede encontrar una manera de hacer que este centro total de masa se mantenga & . Lowen y Berkof llegaron a catalogar sacudimiento en un mecanismo: & - El J - 5)" J J - O"J O, enJelque J-las $ masas concentradas J () de " los eslabones - El , en el que se obtiene una expresió n analítica para el centro de masa y luego se manipula para saber có mo se puede influir en su trayectoria. - El , en el que el centro de masa de un mecanismo 3&se hace 3estacionario, K & Eprovocando E ,Eque Ese anulen E #los 5)coeficientes - E8de los total de masa. - El uso de masas impulsadas por levas para mantener estacionario el centro de masa. - La adició n de un mecanismo duplicado axialmente mediante el cual se hace estacionario el nuevo centro total combinado. Sin embargo, en lo que al problema del equilibrado del momento de sacudimiento se refiere, Lowen y Berkof apenas encontraron unos cuantos estudios sobre el problema. 6.8.1 MÉTODO DE BERKOF-LOWEN DE LOS VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES S O()L# *& *& #-# #& #M ## # %59 $6 E # EF F& ,F; FFF FF barras típico. El procedimiento seguido es el siguiente: ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.32 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS + Determinar centro -J ,laJecuació n $Jde laPtrayectoria Odel 5)O total Odemasa &del Jeslabonamiento. - &" + Hacer estacionario () elcentro % total de masa cambiando la posició nde las .masas de /los dependen del tiempo. + H 3-%! $ 3 , . =()- unitarios que dependen del tiempo contenidos en la ecuació n sean linealmente independientes. En la $ figura 24, se representa que tiene las masas de los eslabones los ITm ilocalizadas : en puntos Gi. A su vez, las coordenadas (ai, φi,) describen las posiciones de cada uno de estos puntos dentro de cada eslabó n. ; & D D posició n del centro total de masa r del eslabonamiento por vector rs : ( ' ; $ J ) r 1 r r r rs = m 2 rs2 + m 3 rs3 + m 4 rs 4 (35) M r r r en donde (rs2 , rs3 , rs 4 ) son los vectores que describen las posiciones de m2, m3 y m4, "+H G %3 5 respectivamente, de coordenadas xy & J$ en Jel&sistema YZ r rs2 = a 2 e i( θ2 + φ2 ) r rs3 = r2 e iθ2 + a 3 e i( θ3 + φ3 ) r rs4 = r1e iθ1 + a 4 e i( θ4 + φ4 ) (36) (37) (38) Por otro lado, la masa total del mecanismo M es: M = m2 + m3 + m4(39) Al sustituir la (36), (37) y (38) en la expresió n (35): r M rs = (m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 )e iθ2 + (m 3 a 3 e iφ3 )e iθ3 + (m 4 a 4 e iφ4 )e iθ4 + m 4 r1e iθ1 en donde se ha usado la identidad e i( α +β ) = e iα e iβ (39) & J& ' & ' P OJJ " S 33& 3 33 3 3 %8 9 , vectorial de cierre del circuito tiene la forma: r2 e iθ2 + r3 e iθ3 − r4 e iθ4 − r1e iθ1 = 0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (40) - 6.33 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS H % #6&6 & e iθ2 , e iθ3 y e iθ4 de la expresió n (39) no son linealmente independientes. Para hacer que lo sean, se resuelve (40) para uno de los vectores unitarios, por ejemplo e iθ3 , y se sustituye el resultado en (39). De donde: e iθ 3 = 1 (r1e iθ1 − r2 e iθ2 + r4 e iθ4 ) r3 (41) Con lo que ahora (39) se convierte en: r r r M rs = m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 − m 3 a 3 2 e iφ3 e iθ2 + m 4 a 4 e iφ4 + m 3 a 3 4 e iφ3 e iθ4 r3 r3 (42) r + m 4 r1 + m 3 a 3 1 e iφ3 e iθ1 r3 La expresió n (42) nos muestra que el centro total de masa puede hacerse estacionario en la posició n r r rs = 1 (m 4 r3 + m 3 a 3 e iφ3 )e iθ1 r3 M (43) J J O O OJ P OJ&J- & m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 − m 3 a 3 m 4 a 4 e iφ 4 + m 3 a 3 r2 iφ3 e =0 r3 (44) r4 iφ3 e =0 r3 (45) Pero la ecuació n (44) se puede simplificar localizando G3 respecto al punto B, en lugar de hacerlo en relació n con el punto A (figura 24). En tal caso, a 3 e iφ3 = r3 + a' 3 e iφ'3 (46) Y con esta sustitució n, la ecuació n (44) se convierte en: m 2 a 2 e iφ 2 − m 3 a ' 3 r2 iφ '3 e =0 r3 (47) -Por =lo tanto, para obtener ! 35 el! equilibrio "G- total de las %Gfuerzas de sacudimiento Use +$deben compleja, conducen a dos conjuntos de condiciones (igualdad en mó dulo e igualdad en fase): m 2 a 2 = m 3 a' 3 r2 y φ 2 = φ' 3 r3 (48-49) m4 a 4 = m3 a 3 r4 y φ4 = φ3 + π r3 (50-51) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.34 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Un estudio de estas condiciones permite comprobar que se pueden especificar de antemano la masa y su ubicació n para cualquier eslabó n individual; y luego se puede obtener el equilibrio completo reacomodando la masa de los otros dos eslabones. El problema usual en el equilibrado de un eslabonamiento de cuatro barras es que las longitudes 0 de los $ eslabones rivienen &" normalmente ; - %+definidas & Gpor la resolució , ndel problema 5) & de GG& GG0 %P & GG& $ : N &3 3 3 entrada y salida, con el objeto de redistribuir sus masas, sin que por ello se altere la geometría del tercer eslabó n mó vil (acoplador). J %JJ:J &OJJ - ' O O mi a i φi = mi0 a i0 φi0 + mi* a i* φi* (52) & $ % * * m , a y φ* son los & $ #' &5 6 #& $ #66 6i 6 i #i en donde mi0 , a i0 y φ0i mi , a i y φ i (48) a (51). Una segunda condició n que es preciso satisfacer en general es mi = mi0 + mi* (53) Si la solució n para un problema de equilibrado puede permanecer como el producto masadistancia m*i a *i , no es necesario usar la ecuació n (53), y se puede resolver la (52) para llegar a mi* a *i = (mi a i )2 + (m0i a i0 )2 − 2(mi a im0i a i0 )[cos(φi − φi0 )] m i a i sen φ i − m i0 a 0i sen φ i0 φ = tan m i a i cos φ i − m i0 a 0i cos φ i0 * i −1 (54) (55) En la figura 25, se ilustra un eslabonamiento típico de seis barras y la notació n correspondiente. Figura 25 – Eslabonamiento de seis barras ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.35 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS Para este caso, las condiciones de Berkof-Lowen para que exista un equilibrado total son: m2 a 2 iφ 2 a b a e = m 5 5 2 e i ( φ ' 5 + α 2 ) + m 3 3 e iφ ' 3 r2 r5 r2 r3 m4 a 5 iφ 4 a b a e = m 6 6 4 e iφ ' 6 − m 3 3 e ( iφ 3 + α 4 ) r4 r6 r4 r3 m5 a 5 iφ 5 a e = −m 6 6 e iφ6 r6 r5 (56-58) Se pueden idear relaciones similares para otros eslabonamientos de seis barras para el equilibrado total. Las ecuaciones (56) a (58) muestran %que &es #preciso 6 6satisfacer /- una Gdeterminada & ? relació n masa-geometría entre los eslabones 5 y 6 masas de dos eslabones cualesquiera así como sus ubicaciones. Entonces se logra el equilibrado mediante una redistribució n de las masas de los tres eslabones mó viles restantes. Es importante hacer notar que la adició n de contrapesos para equilibrar las fuerzas de & , + + & + & & + & 3 , 3 $ de sacudimiento. Por consiguiente, adecuada posible entre estos tres efectos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.36 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS 6.9 anterior, & En % el apartado JOJ $O se explicó &%la&forma deJequilibrar las Jfuerzas J de uneslabonamiento &" Por momentos &desgracia, G esto GGno Gequilibra , los 3 &de " sacudimiento SW y,de hecho, $ es probable W-que () los compuesta de varios mecanismos, se podría considerar el equilibrado de la misma, equilibrando cada mecanismo E& E Epor $separado. %. Sin EEembargo, = = pudiera ,==ser = que =esto =no=conduzca &al<&mejor D9 D ,DD DD& & "= $%= desequilibrio de un mecanismo puede contrarrestar el desequilibrio de otro, eliminando en primera instancia la necesidad de algunos contrapesos. En este sentido, Stevensen demostró que cualquier armó nico simple de fuerzas, equilibrar agregando seis contrapesos. Estos se disponen sobre tres rotores, dos por rotor, impulsados a la velocidad constante del armó nico, y definidos de forma que tengan los ejes paralelos, tres que K Lrespectivamente, LL# #$acada " uno de#los -# ejes #mutuamente perpendiculares #& YZ## & pasan # por & en este curso, vale la pena examinar el planteamiento general: ;$ y angulares de los + , () OJJaceleraciones $ %& Jlineales J J J& OJde Jcada Juno JJ Jcentros J () de masa " + Calculo, oO determinació J J$ n" experimental, de las masas y los momentos de inercia de los + Calculo de las fuerzas de inercia, momentos de torsió n de inercia y momentos de las fuerzas; tres & & tomando 9como E&sistema E& de8referencia EElos E Eejes Ede $coordenadas " * mutuamente -<& +& + %+ $3 &%K & 3 5 + + para los momentos. & ,#M$ J , + +& + J , J& J+ fuerzas no equilibradas, paralelas a los tres ejes, y los momentos no equilibrados en torno a estos tres ejes. H E E E , %.E& =* == =$ = & $66 ωt+M ωt, L $# #con # los subíndices 5) # apropiados. Entonces, 7 -7L 7 7 & "'- # & $# ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.37 - DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA, ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA ETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M MECANISMOS LLLLL ; 7L por grupos N O J& !J ωt JyJsenωt &queden J multiplicados " + ;! !! $LL -LL () L 7& L 7 7& - 5L O O$ ON% O& J O O&OJ " mr S ()+- ,% ++++ &++3 $ 3 YZ % T T& + T -T T%!& 3 YZ& %! () JJJ& JJ J$ " ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - 6.38 -