Apunte de Placas Cilíndricas - Universidad Nacional de La Plata
Transcripción
Apunte de Placas Cilíndricas - Universidad Nacional de La Plata
TEORÍA GENERAL DE PLACAS CILÍNDRICAS Estructuras IV Ingeniería Aeronáutica Universidad Nacional de La Plata Marcos D. Actis Juan Pablo Durruty Ignacio J. Curto Sillamoni 2012 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP TEORIA GENERAL DE PLACAS CILÍNDRICAS I - PLANTEO GENERAL DE LAS ECUACIONES Considere un elemento diferencial de una placa cilíndrica con cargas simétricas respecto al eje de revolución: Se plantea equilibrio de fuerzas y de momento en el área diferencial de la figura, considerando una presión externa positiva Pz + Σ . =0 . . − . . =0 ⇒ + Σ . + . ( ) =0 . . − . . + ⇒ = Σ . . . + =− +2 . 2 . =0 ( ) =0 . . . + . . . . 2 − + . . . + . . =0 2 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Despreciando las derivadas de segundo orden queda que: . . − . . =0 ⇒ = ( ) Reemplazando (3) en (2) obtenemos: + =− ( ) Ahora aplicamos las condiciones de deformación de la placa cilíndrica: Por simetría sabemos que los desplazamientos “v”, en el sentido de la circunferencia son nulos, entonces planteamos los dos restantes: u: deformación en el eje longitudinal [x] (a lo largo del cilindro) w: deformación en el eje normal a la placa [] (en el espesor del cilindro) Se plantean las ecuaciones de deformación específica en ambas direcciones: = = ( ) ( ). = – . = − 3 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Que serán igualadas a sus expresiones generales, a saber: . = − = − . Se opera multiplicando la expresión anterior de por y sumándolo a x + . = − (1 − ) . + . . − = (1 − ) Despejando x obtenemos: = + . = (1 − − . ) Análogamente se puede obtener: = (1 − ) + . = (1 − ) − + . Ahora se plantea la ecuación del esfuerzo axil (Nx) en el recipiente, que es la tensión axil ( ) multiplicada por el espesor del cilindro (h) = .ℎ Considerando el caso de un recipiente sin restricción en el eje x (por ejemplo sin tapas), no hay presentes esfuerzos en la dirección “x”, es decir el esfuerzo axil es nulo (ya que está libre de deformarse en esa dirección), por ende: =0 ∴ .ℎ = .ℎ (1 − ) − . =0 con lo cual ⇒ = . Planteando la ecuación del esfuerzo axil en el eje y reemplazando con la igualdad anterior obtenemos: 4 Estructuras IV = TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS .ℎ = .ℎ − (1 − ) + . = .ℎ − (1 − ) = − + . FI-UNLP = − . ℎ. (1 − ) . (1 − ) . ℎ. Finalmente se plantea la ecuación de momento alrededor del eje x, en función de “w”, la elástica de la placa. =− + . siendo D: Rigidez de la placa plana Si se considera que =0 = . ( ) (por no tener cambio de curvatura en -simetría axial-) Obtenemos que: =− Análogamente, el momento alrededor del eje es: =− + . =− . . (sin cambio de curvatura en “y” -simetría axial- ) Entonces se puede expresar: = . Ahora, tomando la ecuación (4) y reemplazando en ella la expresión de Mx en función de la derivada segunda de la elástica, obtenida anteriormente, se llega a: − . − . ℎ. =− 5 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Si el espesor (h), que se encuentra dentro del término D (rigidez de la placa), es igual a lo largo del cilindro, entonces es una constante en la derivada respecto a “x”, por lo tanto la ecuación (4) queda: . . . + = donde ( ) : elástica (deformación del espesor) : radio ℎ: espesor : rigidez = . ( ) Esta expresión (5) es la ecuación de la elástica en función de la presión. Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene la deformación de cualquier punto de la placa cilíndrica (o recipiente). El tipo de solución general propuesta para esta ecuación diferencial es del tipo: ( )= ( . cos + . sen )+ ( . cos + . sen )+ ( ) (6) Este tipo de solución considera la solución particular -f(x)- así como la solución homogénea, para obtener la función “w” que es la deformación de cada punto del recipiente. Dicha solución depende de las constantes C1 a C4, las cuales se determinarán a partir de las condiciones de borde del cilindro, particulares para cada caso. Finalmente, el término β se obtiene de la siguiente igualdad: .ℎ =4 . = ⇒ .ℎ ℎ . . 12(1 − = = 12(1 − ℎ . ) ) ( − . ) En la sección siguiente se resolverán estas ecuaciones para diferentes condiciones de carga, de apoyo e incluso con y sin tapas; diferentes clases de recipientes a presión usuales en problemas ingenieriles. 6 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP II – DIFERENTES CASOS DE CARGA (CONDICIONES DE BORDE) II-A) Tubería circular con Corte y Momento puntuales Supongamos un cilindro con un momento M0 y un corte Q0 puntuales, aplicados de manera distribuida a lo largo de toda su circunferencia, cómo se muestra en la siguiente figura. De esta manera se podría modelar, por ejemplo, un empotramiento que sostiene al recipiente. z=0 x⇾∞ Se propone una solución general a la ecuación (5) de la forma (6): ( )= ( . cos + . sen )+ ( . cos + . sen )+ ( ) donde f(x) corresponde a la solución particular y los otros dos términos corresponden a la solución de la homogénea. En este caso, al no tener solicitación debido a diferencias de presión (Pz=0) la solución particular es nula, por ende f(x)=0. De esta manera la expresión (6) queda: ( )= ( . cos + . sen )+ ( . cos + . sen ) (II.A.1) Utilizando ahora la condición de borde se puede decir que, suficientemente alejados del extremo de aplicación de la carga, los efectos de la misma se disipan, por ende la deformación es nula. Matemáticamente esto se traduce sobre la solución propuesta de la siguiente manera: →∞ ⇒ ⇒ ( )= ( . ( )→0 ∴ + . ≠0 ⇒ =0 ⇒ ) = =0 ≠0 ∧ ≠0 (II.A.2) Sólo resta ahora obtener las dos constantes C3 y C4, para ello se plantearán las dos condiciones de borde de este problema, las cuales son: 7 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS ( )⃒ = ( )⃒ = =− FI-UNLP ⃒ =− ⃒ Para poder trabajar con estas condiciones de borde se debe derivar la expresión (A2) dos veces y reemplazar la primera condición (M(x)=M0), luego una vez más (tercer grado) y reemplazar con la segunda condición (Q(x)=Q0). ′( ) = − . ⇒ ′′( ) = ⇒ ( . cos ′( ) = − . . Cómo . sen (− . . sen + . ( . sen ′′′( ) = −2 . − − . cos ) . cos )+2 . ( (sen − cos )− − . cos ) ( . sen . sen + . ( . cos + . sen + . sen − . cos ) − . (− . sen + . cos + . cos + . sen . + . sen ) ′′( ) = +2 ( . cos )+ . cos ′′′( ) = −2 ⇒ + ( . cos (cos + + sen . sen ) ) )) ( )=− Se reemplaza ′′( ) en dicha expresión obteniendo: ( ) = − .2 . ( . sen − . cos ) Y se aplica la condición de borde: M(x=0) = M0 ( = 0) = = −2 . (− ) ⇒ = Luego, se utiliza la segunda condición de borde, Q(x=0) = Q0 Recordando que ( )= ( )=− = − . [−2 se plantea: . ( (sen − cos )− (cos + sen ))] 8 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS ( = 0) = (− = − . [−2 ⇒ = − − 2 − 2 )] ⇒ = − = − ( FI-UNLP − + . ) Finalmente: ( )= ( . ( − )− . ) (II.A.3) Algunos puntos interesantes a analizar de dicha solución son la deformación y el giro en el punto de aplicación de la carga: ( )⃒ =− ( + . ) CONDICIONES GENERALES ( )⃒ = ⃒ = − ( +2 . ) 9 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP II-B) Cilindro sometido a una carga puntual distribuida Suponga ahora un caso similar al anterior pero sólo con una fuerza puntual F aplicada a lo largo de la circunferencia, en x=0. Para el tratamiento de este caso se toma el resultado del caso anterior, y en la ecuación (II.A.3) se reemplazan las condiciones de borde: =− ( )⃒ =0 (por simetría de deformaciones) Entonces ( )⃒ = ( )⃒ = − 1 ( 2 ⇒ +2 . = )= − 1 2 (− 2 +2 . ) 4 Reemplazando en (II.A.3) ( )= 2 ( . 4 (sen − cos )+ 2 . cos )= . 8 (cos + sen ) Luego, la condición de borde arroja que: ( )⃒ = 8 Finalmente queda que: ( )=− ( )=− 2 2 = . − 4 cos (cos − sen ) (II.B.1) (II.B.2) 10 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Gráficamente =0 = 3. 4 =∞ ( )=0 = ( )=0 = ⇒ = 3(1 − ℎ . 4 2 ) 11 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP II-C) Tubo sometido a presión interna Recordemos las ecuaciones membranales que se obtienen de plantear el equilibrio en un tubo sometido a presión interna positiva, libre de deformarse, a modo de obtener las expresiones generales de la tensión en el cuerpo. En el sentido práctico esto significaría un tubo infinitamente largo o, en otros términos, un tubo cuyo análisis se realice en una zona suficientemente alejada de sus extremos. Equilibrando el corte anterior (sumatoria de fuerzas en ) se obtiene que: 2. . ℎ. = . 2. . ⇒ = . Si realizamos el equilibrio en un extremo del recipiente se obtiene . . ⇒ = . ℎ. 2. . = . . Finalmente, la ecuación de la elástica para este caso, partiendo de la solución general -ecuación (6)( )= ( . cos + . sen )+ ( . cos + . sen )+ ( ) se simplifica considerablemente, quedando sólo con la solución de la particular. La deformación del recipiente no depende de la coordenada x, para tubos suficientemente largos. Es decir siempre y cuando nuestros puntos de análisis estén suficientemente alejados de los extremos o apoyos, la solución no depende de las condiciones de borde y es igual a: ( )= ( )=− . .ℎ Que es lo que se obtiene resolviendo la ecuación (5) para una presión interna positiva. 12 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP II-D) Tubo simplemente apoyado Considere ahora un tubo, nuevamente con presión interna, simplemente apoyado en sus extremos, a lo largo de todo su perímetro: ACLARACIÓN: En este caso, las ecuaciones se desarrollan considerando que el origen de coordenadas está puesto en uno de los extremos de la estructura. En este punto la deformación real es cero ya que es el punto de apoyo, pero (para simplificar el planteo) se desplaza el eje z un valor (el valor de la deformada máxima en el centro del recipiente). Este posicionamiento del eje implica que ahora el valor de deformación máxima se “observe” en los extremos (con un valor w = ). Si bien físicamente sabemos que esto ocurre en el medio, este cambio de coordenadas simplifica considerablemente el tratamiento matemático del problema. Las condiciones de borde de este problema se reducen a que en x = 0 y x = L se da que w = y M(x) = 0 (apoyo simple) Luego = = ⇒ = . Utilizando la expresión de del caso membranal: Tomando la ecuación (II.A.3) y haciendo = . . = = .ℎ . ( = 0) = 0 y ( = 0) = − 13 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP se obtiene: ( )= (− 2 cos ) Y se plantea la condición de borde en ( )⃒ ∴ = .2 = = 2 es el esfuerzo tal que produce una deformación Reemplazando y simplificando = . .ℎ .2 . = . . 2. . ℎ. . = . 3(1 − ). 2. . ℎ . ℎ. . ℎ . 12(1 − ) ⇒ = Reemplazando en la ecuación de la elástica y trabajando la expresión se obtiene: ( )= 2 ( = 0) = 2 4 cos = 4. = . 4 cos 3(1 − ) .ℎ . ( .ℎ 12 1 − ( = 0) = ) . .ℎ 14 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP II-E) Tubo Empotrado Considere el caso anterior pero ahora los extremos del tubo se encuentran empotrados en todo su perímetro. Las condiciones de borde que aplican en este caso son: en x = 0 w= =0 Tomando la ecuación (II.A.3) y haciendo ( )⃒ ( )= ( . 2 = − (sen − cos queda: )+ . cos ) Reemplazando en la primera condición de borde se obtiene que ( )⃒ = (− . . )= + (II.E.1) . (recordar que 4 = . . ) Utilizando la segunda condición de borde, es decir que la pendiente de la deformada en el empotramiento es cero, se puede obtener el valor del momento en el origen de coordenadas: ′( )⃒ = = 1 2 ⇒ (− = )=0 +2 . 2 Reemplazando en (E1): ( )⃒ ⇒ = ⇒ = . .4 . .ℎ = . .4 . 2 . .ℎ = = 1 2 − . 2 + . = .ℎ 2 Finalmente: ( )= 2 ( . . .4 . 2 . .ℎ (sen − cos )+ . .4 . .ℎ . cos ) 15 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Con esta expresión se puede observar que el valor de la deformada máxima coincide con el caso del tubo simplemente apoyado. Como ya fue aclarado, la deformación máxima ocurre físicamente en el medio del recipiente, si bien matemáticamente se expresa en los extremos. En el centro del recipiente el efecto de los bordes se disipa, por ende la deformación es la misma para el caso empotrado cómo para el caso simplemente apoyado. ( )⃒ =− . .4 . .2 . + = 4. . ℎ .ℎ .ℎ 16 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP III - RECIPIENTES CON PRESIÓN INTERNA III-A) Tubo Zunchado con y sin tapas Suponga ahora un tubo, con presión interna positiva, zunchado. En este caso se superponen dos deformaciones principales a analizar, la deformación debido a la presión (), que infla el recipiente, y la deformación por la fuerza F que el zuncho efectúa en el cilindro (1), que se opone a la deformación de la presión (intenta mantener su diámetro original). La deformación final del recipiente en la zona del zuncho será llamada 2 y será la composición de la deformación “hacia afuera” causada por la presión interna con la deformación “hacia adentro” causada por el zuncho. Consideremos primero el caso sin tapas: 2 1 Por ejemplo, si el anillo fuese rígido, la deformación total en ese punto es nula, por ende 2 = 0. Recordemos que para un tubo con carga puntual distribuida (F) se tiene que: ( )⃒ = = 8. . siendo F, en este caso, la fuerza puntual que ejerce el zuncho sobre el tubo. En este caso se analiza la fuerza que realiza el zuncho considerando un corte por la mitad del mismo de la siguiente manera: = . . dA a . . = 2. d R R Siendo dP el diferencial de presión interna, a el radio del tubo y R la fuerza normal soportada por el zuncho (la reacción). 17 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Integrando: − . . cos ⃒0 = 2.F.a = 2.R ⇒ = . Ahora analizaremos la tensión normal que se produce en el anillo (zuncho), la cual será nombrada σA . . = = ⇒ = = . Siendo A = área transversal del anillo (zuncho) ∴ = . . = . Planteando la compatibilidad de las deformaciones se obtiene que: − . .ℎ . .ℎ . .ℎ = = 1 8. . . 2. . ℎ + + − = 8. = . = . 8. = . + 3(1 − 2 ) .ℎ . 12 (1 − ℎ2 . 2 . .ℎ . . 2 + ℎ = . . .ℎ . ) + 2. ℎ 2. Simplificando . = ∴ = + 2. ℎ 2. . + . . ACLARACIÓN: Para el caso de no tener tapas Si el tubo tuviese tapas las tensiones en “x” no son nulas, por ende x 0 Se plantea la relación tensión vs. deformación en el sentido tangencial: = − = . 18 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Y se sabía previamente que: = . ℎ y = . 2. ℎ Reemplazando: = . . − ℎ. 2. ℎ. = . ℎ. 1− 2 Entonces: = ∴ = . ℎ. 1− . . . + . 2 − ACLARACIÓN: Para el caso con tapas 19 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP III-B) Recipiente a presión con tapas esféricas En este caso también se compondrán dos deformaciones diferentes, llamaremos a la deformación del recipiente a causa de la presión interna (independiente de la tapa) y a la deformación que experimentan las tapas. Tomando el valor de la deformada máxima de la teoría membranal para el recipiente se tiene que: = . .ℎ 1− 2 con ≠ Como se definió previamente, 1 es la deformación del recipiente libre, sin considerar la tapa unida a él en el extremo del mismo. Ahora se procede al cálculo de 2 que es la deformación de la tapa. Para ello se hace la siguiente hipótesis, se supone que 2 es producido en una esfera de radio a, libre (sin un recipiente unido) Esfera de radio a, y espesor h2 x Pi . . = 2 . .ℎ . = En la tapa, por simetría esférica, se tiene que . 2. ℎ = ∴ = . 2. ℎ − = . (1 − ) 2. ℎ . Luego = = . = . (1 − ) 2. ℎ . 20 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Notar que considerando un recipiente donde su espesor (h1) es igual al espesor de la tapa (h2) las deformaciones no serán iguales: Si h1 = h 2 1 2 Se planteará ahora la ecuación de la elástica (w) partiendo desde el caso de un cilindro con corte Q0 y momento M0 en un extremo, ecuación (II.A.3) ( )= 2 ( . (sen − cos )− . cos ) En este caso se tiene que ( )⃒ =− ( )⃒ =− Cuando la relación entre el radio del recipiente y el espesor es grande ( a/h 30 ) se puede considerar M0 = 0 cometiendo un error menor al 1 . De esta manera la unión entre el recipiente y la tapa pasa a considerarse como un punto articulado y la expresión queda: ( )= ( 2 . cos ) Con ( )⃒ = 2 El caso del recipiente con tapa esférica es uno en el cual no se puede obtener de manera directa la deformación final del punto de unión entre el tubo y la tapa, ya que esta unión y sus deformaciones diferentes entre sí constituyen una condición hiperestática. Para resolver dicho problema, se propone como hipótesis que la deformada final de esa zona es el promedio de ambas deformadas. − 2 − 2 = = ( )⃒ ( )⃒ = 2 Considerando espesores iguales en el tubo y en las tapas (h2 = h1) se tiene que 21 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS . ℎ. FI-UNLP . 1 − 2 − 2. ℎ. (1 − ) = 2 2 . [(2 − ) − (1 − )] = 2. ℎ. ⇒ = . . . 2. ℎ. Reemplazando queda: . ( )= . . . cos . . . = . . cos (II.B.1) que es la ecuación de la elástica para un recipiente a presión con tapas esféricas. A partir de (II.B.1) se puede recuperar la condición de borde fácilmente haciendo: ( )⃒ = . 4. . ℎ Finalmemente se obtiene la expresión del momento: ( )=− ( )=− . 4. ℎ. . =− cos + ∴ . cos 4. ℎ. − . . sen 4. ℎ. . . ( )=− . . . . + . sen 4. ℎ. − . . sen 4. ℎ. . − . cos 4. ℎ. . . Para obtener la coordenada del punto donde se presenta el momento máximo se deriva la función M(x) y se la iguala a cero: ( ) ( )⃒ á ⇒ =− ( ) . =0 ⇒ . . 2. ℎ. . = . 4 √2 2 con = ( ) . y = . ( ) 22 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS ( ) á =− .ℎ 3(1 − ) . . . 12(1 − ) .ℎ 2. ℎ. FI-UNLP . √2 2 Considerando = 0,3 se puede expresar numéricamente: ( ) á ≅ −0.04878 . .ℎ 2 23 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP IV - CÁLCULO DE TENSIONES xS (secundarias) Debidas a la flexión xP (primarias) Debidas a la teoría membranal x Con: = 6. ℎ = . 2. ℎ S (secundarias) Debidas a la flexión P (primarias) Debidas a la teoría membranal Con: = . = . . − ℎ Por ejemplo en el caso anterior del cilindro con tapas esféricas (III-B) se tiene que: = . 6 ( ) − 2. ℎ ℎ ⇒ = . 6 . . . − . 2. ℎ ℎ 2. ℎ. . sen . . ( ) 6 ( ) − + . ℎ ℎ = ⇒ = . − ℎ . . . 4. ℎ. cos − . 6 . . . . ℎ 2. ℎ. . sen Y se podrá calcular el punto de tensión máxima haciendo, en el caso de la tensión en dirección axial (“x”): á = 6. ( ) ℎ á ≅ −0.04878 . .ℎ 6 . . ≅ 0.293 2 ℎ 2. ℎ para el punto = 24 Estructuras IV á TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS = + ≅ 1.293 . ≅ . 2. ℎ FI-UNLP . Luego, la tensión en el sentido tangencial (“ϴ”) en ese punto será: = . = ≅ 0.3 × 0.293 . 2. ℎ . . − ℎ con ( )⃒ = . 4. . ℎ . . . √2 ≅ 0.3224 2 4. . ℎ entonces ≅ . . − 0.3224 . ℎ 4. . ℎ = + ≅ ≅ 0.9194 . . − 0.0866 ℎ ℎ . ℎ + 0.04395 . ℎ . ≅ . para el punto = es decir ≅ 0.78 Si se quisiera saber, independientemente, en qué punto se encuentra más solicitado el recipiente, en la dirección tangencial (“ϴ”), y el valor de la tensión, se debería operar de la siguiente manera: á ⇒ ⇒ á ≅ . =0 ⇒ ≅ 1.85 . 25 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP EJEMPLO DE APLICACIÓN Se requiere diseñar un recipiente a presión de acero con las siguientes características geométricas . D=2 m L=22 m P( 20º C ) = 20 Kg / cm2 t smín (t = 1 mm ) ff = 3450 Kg/cm2 a) Para el cálculo del espesor considerar tensiones primarias p f / 2 y que las tensiones primarias mas las secundarias p + S 2/3·ff b) El recipiente constará con dos anillos cirunferenciales ubicados a una distancia tal que minimizan los momentos flectores máximos.Asumir carga uniforme y despreciar el peso del fluído, los anillos tendrán la siguiente sección 2.5 t 7.5 t 2.5 t 15 t c) Considerar como carga transitoria el incremento de temperatura 50º C utilizando por ejemplo p + S 3/4·ff La hipótesis de trabajo será sacar un espesor tentativo y ver donde se produce la mayor diferencia y luego trabajar en esa zona hasta que verifique el espesor. a) Las tensiones principales serán las debidas a la presión en la dirección de = p·a . p = 20 Kg / cm2 t r = a = 1 m = 100 cm ff / 2 26 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP 20Kg/cm2·100cm = 3450 Kg/cm2 t 2 t = 2·20·100 cm = 1,1594 cm = 11,6 mm 3450 como el t = 1mm de la chapa tomo t = 12 mm Ahora debo verificar las demás condiciones 1º) Cálculo del peso de la estructura t t = 12 mm = 0,012 m ac = 7800 Kg / m2 1m 20 m Vol = Volesf + Volcil + Volanillos Volesf = 4 ··(re3 - ( re - t )3) = 4 · ·(13 - 0,9883 ) = 0,14899412 m3 3 3 2 2 Vol al = L· ·( re - ( r-t) ) = 20m··(12 - 0,9882) = 1,498917 m3 Vol Total = 148994,12 cm3 + 1498917 cm3 + 101780 cm3 = 1749691 cm3 P = ·Vol = 7,8·10-3 Kg/cm2· 1749691 cm3 = 13642 Kg El momento de inercia en la sección media del cilindro es: I = ( r4 - (r-t)4) = (14 - 0,9884) = 0,037026 m4 4 4 I = 0,037026 m4 = 3702594,022 cm4 Cálculo de las distancias de los apollos para minimizar el momento máximo F1 F3 F2 F2’ F2 = F3 A ½ (l-x) C x l B ½ (l-x) 27 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP q= P . RA = RB = q·L/2 L MAi = - F1 · ( L-x ) 4 MCi = - F1 ( ( L - x ) + x )) + RA x - F2´ x . 4 2 2 4 Condición: -MA = MC -F1(L-x) - F1 ( L-x + x ) + RA x - F2 x = 0 4 4 2 2 4 - F1 L + F1 x -F1 x + RA x - F2 x = 0 2 2 2 2 4 -q( L - x ) . L + q·L . x - q x . x = 0 2 2 2 2 2 4 2 2 x - 4·L·x + 2·L = 0 x1,2 = 4·L (16·L2 - 8·L2 ) = L·(4 8 ) 2 2 2 2 x1 = L·0,586 ( tomo este ) x1,2 = L·(2 8 ) 2 x2 = L·3,412 x = 22·0,585786 m = 12,8873 m = 1288,7 cm Mmáx = (L/2 - x/2)2·q = 455,6352 ·q = 103802 ·P cm2 2 2 2200 cm Debido a la flexión como viga Mmáx = 103802 · 13642 Kg·cm = 643290 Kg·cm 2200 Con esto podría verificar las otras tensiones primarias x = xp + xf = p·r + Mx r = (833,33 + 16,4) Kg/cm2 2·t I 2 x = 850 Kg / cm ff / 2 VERIFICA Ahora voy a hallar las tensiones secundarias en los extremos y en los anillos. En los anillos tenemos las siguientes condiciones F p f - A = P Debido a la Presion Debido al anillo Total 28 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP 1) p = p·a2 (1- ) ( Por tener tapa ) E·t 2 2 2) F = F··a . (Deformación del anillo) = 4 3·(1-2 ) = 0,117341 1/cm 2·E·t a2·t2 3) A = F·a2 E·A donde A = ( 2,5·7,5 + 2,5·15 )·t2 =56,25 cm·t2 siendo A el area del anillo la ecuación de compatabilidad será: p - F = A p·a2 (1 - ) - F··a2 = F·a2 E·t 2 2·E·t E·56,25·t2 F=( 1 + ) = p (1 - ) 56,25·t 2 2 = 0,3 F = p·(1-0,15 ) 1 . ( 1 + 0,117341 ) 56,25·1,2 2 F = p·11,6 cm = 20 Kg/cm2 ·11,6 cm = 232 Kg / cm (Fuerza de tracción en el anillo) el momento Mox en el anillo es Mox = F 4· = 231,34 Kg/cm = 494 Kg 4·0,117341 xS = Mox·6 = 494Kg·6 = 2058 Kg / cm2 t2 1,22·cm2 (Tensión debido a la flexión local por la presencia del anillo) xP + xS 2/3·ff donde xP = xNP + xMP xNP = p·a = 833,33 Kg/cm2 2·t xMP = Mx· a = 16,4 Kg/cm2 I xP = xNP + xMP = 850 Kg/cm2 (Tensión de tracción debido a la presencia de tapas) (Tensión debido a la flexión en los apoyos por peso propio) xP + xS 2 ·ff 3 850 Kg/cm2 +2058 Kg/cm2 = 2908 Kg/cm2 2300 Kg/cm2 NO VERIFICA y las tensiones en el anillo serán S = ·xS = 0,3·2058 Kg / cm2 = 617 Kg /cm2 (Debido a la flexión local) 29 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP P = ·E = w·E = (p - F) · E = ( p·a2 (1-) -F··a2 )· E (Tensión tangencial) a a t·E 2 2·t·E a P = P·a ·0,85 - F··a = 20 Kg/cm2·100cm·0,85 - 232 Kg/cm·0,117341·100 t 2·t 1,2 cm 2·1,2 cm P 2 = 283 Kg/cm S + P = 617 Kg/cm2 + 283 Kg/cm2 = 900 Kg/cm2 S + P 2/3·ff VERIFICA voy a incrementar el espesor y verificar para x ya que es la que no verifica, puesto que es la zona del anillo las tensiones x son las más altas. 1) Para t = 1,3 cm xNP = p·a = 20 Kg/cm2·100cm = 770 Kg/cm2 2·t 2·1,3 cm xMP ? Vol = 1784257,901 cm3 P = 13917,21163 Kg I = 4005119,041 cm4 Mxf = 455,6352·P cm2 = 656650 Kg·cm 2 L xMP = Mxf ·a / I = 16,4 Kg/cm2 xP = xNP + xMP xS = Mx·6 / t2 = 0,112737652 1/cm F = 243 Kg / cm Mx = 538 Kg / cm2 xS = 1911 Kg/cm xP + xS = 2697,4 Kg/cm / 2/3ff NO VERIFICA 2) Ahora tomo t = 1,4 cm xNP = p·a = 20 Kg/cm2·100cm = 714 Kg/cm2 2·t 2·1,4 cm xMP ? debido al flector Vol = 1920454,52 cm3 30 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP P = 14979,54 Kg I = 4306725,93 cm4 Mxf = 706776 Kg·cm xMP = 16,411 Kg/cm2 xP = xNP + xMP = 730,4 kg/cm2 xS ? = 0,1086367198 1/cm F = 254 Kg/cm Mx = 584 Kg·cm xS = Mx·6 / t2 = 1787 Kg/cm2 xS + xP = 2517,4 Kg/cm2 / 2/3· 3450 Kg/cm2 NO VERIFICA 3) t = 1,5 cm xNP = p·a = 20kg/cm2·100cm = 667 Kg/cm2 2·t 2·1,5 cm P xM ? Vol = 2056500,688 cm3 P = 16040,7054 Kg I = 4607416,54 cm4 Mxf = 756844 Kg·cm xMP Mxf · a / I = 16,4 Kg/cm2 xNP + xMP = xP = 683,4 Kg/cm2 Calculo xS xS = Mx·6 / t2 = 0,10495304 1/cm F = 264 kg/cm Mx = 629,5 Kg·cm xS = Mx·6 / t2 = 1679 Kg/cm2 xS + xP = 2362,4 Kg/cm2 / 2/3·ff NO VERIFICA 4) Calculo para t = 1,6 cm xNP = p·a = 20 kg/cm2·100cm = 625 Kg / cm2 2·t 2·1,6 cm 31 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP xMP ? Vol = 2192396,44 cm3 P = 17100,6922 Kg I = 4907192,74 cm4 Mxf = 806854 Kg·cm xMP = Mxf · a / I = 16,4 Kg / cm2 xP = xNP + xMP = 641,4 Kg /cm2 Calculo xS ? xS = Mx·6 / t2 = 0,1016203 1/cm F = 275 Kg/cm Mx = 677 Kg·cm xS = Mx·6 / t2 = 1586 Kg/cm2 xP + xS = 2227,4 Kg/cm2 / 2/3ff = 2300 VERIFICA t = 1,6 cm Ahora voy a verificar las S + P 2/3·f S = x· = 1586 Kg/cm2 · 0,3 = 475 Kg/cm2 P = ·E = E ·w = E· ( P- F ) a a P 2 = ( p·a ( 1- ) - F·a2· )· E E·t 2 2·E·t a P = ( 20Kg/cm2·100cm·0,85 - 275 Kg/cm·100cm·0,1016203 1/cm ) 1,6 cm 2·1,6 cm P = 190 Kg/cm2 P + S = 665 Kg/cm2 2300 Kg/cm2 VERIFICA 32 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Ahora voy a calcular las tensiones en las tapas Por lo general no influyen en el dimensionado si se usa este tipo de tapa. Q Mo Debido a la discontinuidad w = e-x · cosx 16·D·4 Mx = - D·2w = - p·a·h·-x senx x2 12(1-2) Mx = 0 x= x 4· M(x)máx = - p·a·h 2 2 8·3(1- ) 2 xS = 6·MxN = 0,293 p·a = 183 kg/cm2 t2 2·t xP = p·a = 20 Kg/cm2·100 cm = 625 Kg/cm2 2·t 2·1,6m xP + xS = 808 Kg/cm2 2/3 ff VERIFICA S = ·xS = 0,3·183 Kg/cm2 = 55 Kg/cm2 P = p·a - E· = p·a - E·w t t a 2 wx=/4 = p·a · 0,3224 4·E·t P = p·a - E·p·a2·0,3224 = p·a (1- 0,3224 ) = 1150 Kg/cm2 t 4·a·E·t t 4 S + P = 1205 Kg/cm2 2/3 ff VERIFICA 33 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP c) Ahora hago los cálculos para un incremento en la presión debido a un incremento de T Si T = 50 ºC Volrecip = 4 · ·( r - t )3 + L··( r - t )2 3 Volrecip = 64828246,84 cm3 p1 = cte = T1 = ( 273 + 70 ) p0 T0 ( 273 + 20 ) p1 = 20 Kg/cm2 · 1,17064 = 23,41 Kg/cm2 1) Ahora recalculo todos los estados tensionales y esas serán mis tensiones t tracciones para las nuevas tensiones solo verificaré para los x en la zona del anillo ya que si verifica ,verificará para todos los otros puntos xNP = Kg/cm2 donde la xNP indica que es la tensión debido al incremento de p xMP no varían xS = 1852 Kg/cm2 F = 321,214 Kg/cm Mx= 790,232 kg·cm xS = 1852,105 Kg/cm2 xP + xS 3/4·ff = 2587,5 kg/cm2 2493,5 Kg/cm2 2587,5 kg/cm2 VERIFICA Los otros estados tensionales no son necesarios calcularlos ya que estarán por debajo de estos valores. el espesor es t = 1,6 cm Datos de la Geometría finales, Espesor (t) = 1,6 cm Vol mat = 2192396,44 cm3 Volrecip= 64828246,84 cm3 radio (a) = 100 cm Psin anillos =17100,69 Kg 34 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Los anillos Sección A = 56,25·1,62 cm2 = 144 cm2 para p = 20 Kg/cm2 R = F· a R = 274,542 Kg/cm2·100 cm R = 27454,2 Kg x = R = 27454,2 Kg = 190,654 Kg / cm2 A 144 cm2 si lo consideramos primario para el anillo x ff / 2 VERIFICA Volumen de los anillos Habíamos dicho que: Vol = Vol1 + Vol2 P = Vol · [Kg] CUADRO REPRESENTATIVO DE LAS TENSIONES Lugar Anillo L/2 Tapas P 190,654 1250 1149,25 S 474,899 0 54,9375 xNP 625 625 625 xMP 16,4423 0 0 Lugar Anillo L/2 Tapas P 1725 190,654 1250 1149,25 P + S 2300 665,554 1250 1204,1875 Lugar Anillo L/2 Tapas xP 1725 641,4423 625 625 xP + xS 2300 2224,438 625 808,125 xS 1582,996 0 183,125 35 Estructuras IV TEORIA GENERAL DE PLACAS CÍLINDRICAS FI-UNLP Debido al T = 50ºC Lugar Anillo L/2 Tapas P 223 1462 1345 S 554 0 64 xNP 731 731 731 Lugar Anillo L/2 Tapas P + S Lugar Anillo L/2 Tapas xP + xMP 16,44 0 0 xS 1852 0 214 2587 1462 1409 xS 2587 731 945 36