Ejercicio nº 2



Ejercicio nº 2.- .- Cuestión: Dado un vector ω ∈V3 − 0 , se considera el tensor

W = (ω ∧) 2 . Se pide deducir razonadamente sus autovalores y autovectores en términos

del vector ω . [3 puntos].

Problema: En una base cartesiana B = {ei } de V3, un tensor T viene dado por el
producto T = H 1 .H 2 , siendo H 1 la simetría respecto del plano Π 1 ≡ {x + z = 0} y H 2
la simetría respecto del plano Π 2 ≡ {− y + z = 0}. Se pide:

1) Calcular las componentes de H 1 y H 2 en B = {ei }. Explicar razonadamente que T
es una rotación y obtener sus componentes cartesianas. [3 puntos].


2) Determinar el ángulo θ y el eje e de dicha rotación en la base original B = {ei }. [2
puntos].

     
3) Expresar T y H 1 en la base B ′ = {u i } dada por {e , e ∧ e1 , e ∧ (e ∧ e1 )} [2 puntos].
{}
Solución:



1) e2 está en el plano vectorial Π 1 y dicho plano es bisector de los vectores e1 y − e3 .






Por lo tanto: H 1 .e1 = −e3 ; H 1 .e2 = e2 ; H 1 .e3 = −e1 .


Igualmente e1 está en el plano vectorial Π 2 y dicho plano es bisector de los vectores e2

 




y e3 . Por lo tanto: H 2 .e1 = e1 ; H 2 .e2 = e3 ; H 2 .e3 = e2 .
Por lo tanto, las componentes de las simetrías en la base B serán:
0 0 −1 
1
=
0 1 0  , ( H 2 ij )
( H1ij ) =
0
 −1 0 0 
0
0 0
0 1
1 0

,

T será el producto contraido de las dos simetrías , luego sus componentes en B serán:
=
(Tij )
 0 0 −1  1 0 0 

 

 0 1 0 .  0 0 1 

 

 −1 0 0   0 1 0 
=
 0 −1 0 


 0 0 1


 −1 0 0 
,
Como T .T = 1 y det(T ) = 1 , T será un tensor ortogonal directo, luego será una
rotación.
2) Como 1 + 2cos θ = traza Tij  = 0 ⇒ cos ϑ = − 12 ⇒ ϑ = 120º (El doble del ángulo formado
T
por los dos planos vectoriales).
El vector característico asociado al autovalor 1, nos da el eje de rotación:
 1
 −1 −1 0   x 

  2
 0 −1 1  .  x 


 −1 0 −1  x3 
 
=
 0
 
 0
 
0
 x1 + x 2 =
0

⇒ 2
⇒e =
3
0
− x + x =
1
3
  
(−e1 + e2 + e3 )
(Vector base de la intersección de los dos planos vectoriales)
También se puede obtener de la componente antisimétrica de T
 Aij  =
 0 −1 1 

1
 1 0 1
2

 −1 −1 0 

, como A = sen ϑ.e =
3
2
 
.e ⇒ e =
1
3
  
(−e1 + e2 + e3 )

 
  
     
3) La base {e , e ∧ e1 , e ∧ (e ∧ e1 )} es ortogonal y e = 1 , e ∧ e1 = e ∧ (e ∧ e1 ) . Por lo

 
tanto: T .u1 = T .e = u1 ,



1
3
T .u 2 = − cos 60º u 2 + sen60º u 3 = − u 2 +
u3 ,
2
2



3 1
T .u 3 = − cos 30º u 2 − sen30º u 3 = −
u 2 − u3
2
2
Las componentes contra-covariantes del tensor en la nueva base serán: ( t.′ji ) =


1 0

1
0 −
2


3
 0
2



0 
3

−
2 

1 
− 
2 
.
También se podían haber obtenido a partir de la matriz de cambio de base de B a B´ :
=
C
 1
−
 3

 1
 3

 1

 3
0
2
− 
3

1
− 
3

1
− 
3
1
=
, C −1
3
1
−
3
 1
−
 3

 0


 −1

1
3
1 

3 
3

−
2 
1 
− 
2 
3
=
, ( t.′ij ) C −1 . (Tij ) .C
2
−
1
2
(La matriz C se obtiene efectuando los productos vectoriales).
 
Igual ocurre con la simetría H 1 , ya que el plano Π 1 contiene al vector u1 = e y forma


30 º con el vector u 2 y 60º con el u 3 , por lo tanto:
 
H 1 .u1 = u1 ,



1
3
H 1 .u 2 = cos 60º u 2 − sen60º u 3 = u 2 −
u3 ,
2
2



3 1
H 1 .u 3 = − cos 30º u 2 − sen30º u 3 = −
u 2 − u3
2
2
Por lo tanto, las componentes contra-covariantes de este tensor en la nueva base serán:
(h ′ ) =
i
1 .j


0
1

1
0
2


3
 0 −
2



0 
3

−
2 

1
− 
2 
Lo mismo se podría haber obtenido a partir de la matriz de cambio de base C.
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