Polinomios Objetivo general Objetivos espec´ıficos

Polinomios Objetivo general Objetivos espec´ıficos

An
tioq
uia
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matemáticas
Grupo de Semilleros de Matemáticas
(Semática)
Polinomios
Matemáticas
Operativas
Taller 8
2012 − 1
ive
Objetivo general
rsid
ad
de
Los polinomios forman una clase muy importante de funciones en matemáticas que están definidos en términos de sumas, restas y multiplicaciones de monomios. Los polinomios aparecen en diversas áreas de la
matemática y las ciencias naturales, usualmente en problemas de aplicación que invocuran ecuaciones polinómicas, y es por esto que es de gran
importancia contar con métodos para calcular y estimar (aproximar) sus
raı́ces.
Encontrar las raı́ces de una ecuación polinómica es uno de los problemas
más antiguos en matemáticas. Sin embargo, los conceptos formales y la
notación que actualmente utilizamos para resolver este tipo de problemas,
sólo fueron desarrollados a partir del siglo XV d. C. Antes de esto, las
ecuaciones eran escritas en palabras y no con los sı́mbolos actuales.
Figura 1: F. Viète
El matemático francés Francois Viète (Fontenay-le-Comte, 1540 - Parı́s,
1603) es considerado uno de los precursores del álgebra moderna. En su obra principal Isagoge
Artem Analycitem (“Introducción al arte analı́tico”), se presenta por primera vez una concepción
consistente y sistemática de la noción moderna de ecuación algebraica. Viète introduce el uso de
sı́mbolos para representar los términos que constituyen una ecuación: vocales para las incógnitas
y consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Este enfoque, además de proporcionar
métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, permitió establecer la relación que existe
entre las formas de las soluciones de una ecuación y sus coeficientes.
El trabajo de Viète al final del siglo XVI marca el inicio de lo que actualmente conocemos
como álgebra. Durante este perı́odo se desarrollaron métodos para la búsqueda sistemática de
soluciones de ecuaciones de grado superior (y técnicas para aproximar dichas soluciones) que
finalmente conducirı́an al surgimiento del concepto de polinomio. Este perı́odo fue testigo de la
adopción de muchas de las ideas del álgebra en otras disciplinas matemáticas como la geometrı́a,
el análisis y la lógica, y finalizó con el surgimiento de nuevos objetos matemáticos que finalmente
reemplazarı́an a los polinomios como tema principal de estudio del álgebra.
Utilizar las propiedades de las funciones polinomiales para resolver problemas algebraicos.
Objetivos especı́ficos
1. Identificar polinomios
Un
2. Dividir polinomios
3. Estudiar los posibles factores que puede tener un polinomio
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1.
Funciones polinomiales
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Definición 1.1. Se dice que f es una función polinomial de grado n, con coeficientes reales, si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
n = 0, 1, 2, . . . y a0 , a1 , . . . , an números reales reales.
Ejemplo 1.1. .
1. f (x) = c es un polinomio de grado 0 (si c 6= 0).
con an 6= 0,
2. f (x) = ax + b es un polinomio de grado 1 (si a 6= 0).
3. f (x) = ax2 + bx + c es polinomio de grado 2 (si a 6= 0)..
1.1.
Casos especiales
de
El “comportamiento” de la gráfica de una función polinomial dependerá del grado de la función.
Por ejemplo, para f (x) = axn tendremos las siguiente s dependiendo que el grado n sea par o impar.
Si n es un entero positivo impar (figura (2)), f es una función impar y la gráfica de f es simétrica
con respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la gráfica “crece” con más “rapidez”
para x > 1.
Si n es un entero positivo par (figura (3)), f es una función par y la gráfica de f es simétrica
con respecto al eje y. Observemos que a medida que el exponente aumenta, la gráfica se “aplana”
alrededor del origen.
rsid
1
y
ad
y
f2
1
f3
f5
f4
f7
1
ive
-1
x
-1
1.2.
Un
Figura 2: f3 (x) = x3 , f5 (x) = x5 , f7 (x) = x7
f6
-1
1
x
-1
Figura 3: f2 (x) = x2 , f4 (x) = x4 , f6 (x) = x6
Teorema del valor intermedio para funciones polinomiales
Como la idea en esta sección, es tratar de caracterizar las funciones polinomiales, el siguiente
resultado nos dice otra propiedad importante de las mismas.
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Teorema 1.1 (Teorema del valor intermedio). Si f es una función polinomial y f (a) 6= f (b)
para a < b, entonces f toma todo valor entre f (a) y f (b) en el intervalo [a, b]. Es decir, si k es
cualquier número entre f (a) y f (b), por lo menos hay un número c entre a y b tal que f (c) = k,
Gráficamente tenemos lo siguiente:
y
f (b)
y=k
k
f (a)
c
x
b
de
a
Una consequencia del Teorema del valor intermedio es que si f (a) y f (b) tienen signos contrarios
(uno positivo y otro negativo), al menos hay un número c entre a y b tal que f (c) = 0, es decir, f
tiene un cero (o raı́z) en c.
y = f (x)
a
b
c
x
b
b
a
ive
(a, f (a))
b
rsid
(b, f (b))
ad
y1
y
(a, f (a))
y1 = f (x1 )
c
b
x1
b
(b, f (b))
Ejemplo 1.2. La función f (x) = −x4 + 3x3 − 2x+ 1 tiene un cero entre 2 y 3. Note que al sustituir
x por 2 y 3, obtenemos que f (2) = 5 y f (3) = −5.
Un
Ejercicio 1.1. Considera la función polinomial f (x) = x3 − x2 − 12x y encuentra los valores de x
para los cuales f (x) > 0 y f (x) < 0. Además trazar la gráfica de f .
Solución. Nota que podemos factorizar a f (x) como
f (x) = x3 − x2 − 12x
= x(x2 − x − 12)
= x(x + 3)(x − 4).
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A partir de esta ecuación vemos que los ceros, es decir los x tales que f (x) = 0, son los puntos
−3, 0 y 4, ası́ que estos puntos nos dicen que podemos dividir el eje x en los intervalos (−∞, −3),
(−3, 0), (0, 4) y (4, ∞) y de la misma manera que en desigualdades podemos resumir la situación
con la siguiente tabla:
XXX
intervalo
XXX
(−∞, −3) (−3, 0) (0, 4) (4, ∞)
XX
f (x)
XX
x
−
−
+
+
(x + 3)
−
+
+
+
(x − 4)
−
−
−
+
Signo f (x)
−
+
−
+
Concluimos que f (x) > 0 en (−3, 0) y (4, ∞) y f (x) < 0 en (−∞, −3) y (0, 4), lo cual representamos
gráficamente como
y = x3 − x2 − 12x
0
4
x
2.
rsid
ad
−3
de
y
Propiedades de la división
Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si f (x) es divisible
por g(x).
Ejemplo 2.1. .
1. x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3. (Producto notable)
ive
2. x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9. (Producto notable)
3. 7x2 + 3x − 10 es divisible entre x2 − x + 10. (División sintética)
Un
Teorema 2.1 (Algoritmo de la división para polinomios). Si f (x) y p(x) son polinomios y si
p(x) 6= 0, entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que
f (x) = p(x)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) se conoce
como el cociente y el polinomio r(x) se conoce como el residuo en la división de f (x) entre
p(x).
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A través del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de la división de polinomios.
Ejercicio 2.1. Divide 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1.
Solución. .
3x4
−3x4
0
+2x3
2x3
−2x3
0
−x2
−3x2
−4x2
−4x2
4x2
0
−x
−6
−x
−2x
−3x
−6
−3x
Por tanto, tenemos que
−6
4
−2
x2 + 1
3x2 + 2x − 4
3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1) − 3x − 2.
Un caso especial del algoritmo de la división es el siguiente teorema:
de
Teorema 2.2 (Teorema del residuo). Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el
residuo es f (c).
Ejercicio 2.2. Sin efectuar la división, calcula el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.
ad
Solución. . Según el teorema, el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado f (x) entre x + 3
es
f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4.
Puedes comprobar el resultado efectuando la división (ejercicio).
A partir del teorema del residuo, obtenemos el siguiente resultado:
rsid
Teorema 2.3 (Teorema del factor). Un polinomio f (x) tiene un factor x−c si y sólo si f (c) = 0.
Ejercicio 2.3. Por medio del teorema del factor, demuestra que x − 5 es un factor de
f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.
ive
Solución. Recordemos que x − 5 es factor de f (x) si f (5) = 0. Verifiquemos entonces esta última
condición:
f (5) = 53 − 8(5)2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.
Un
Al dividir un polinomio f (x) entre x − c, las operaciones resultantes pueden ser bastante largas si se utiliza la división ordinaria. Existe un método para efectuar rápidamente esta división
denominado división sintética.
El profesor te ilustrará en el tablero el procedimiento de división sintética por medio del siguiente
ejemplo.
Ejercicio 2.4. Dividir el polinomio 3x3 − 4x2 − 2x − 7 entre x − 2
Solución. .
3
3
−4
+6
+2
−2 −7 | 2
+4 +4
+ 2 |−3
6
El cociente está dado por 3x2 + 2x + 2 y el residuo es −3.
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Observación 1. No olvides que este método se aplica sólo cuando el divisor es de la forma x − c
En términos de notación de esta sección podemos concluir que las siguientes expresiones son
equivalentes:
1. f (a) = b (el valor de f en x = a es igual a b).
2. El número a es solución de la ecuación f (x) = b.
3. El punto (a, b) está en la gráfica de f .
4. Si f (x) se divide entre x − a, el residuo es b.
3.
Ejercicios
3. h(w) = 9w4 − 3w2 + 2w − 1;
h(1/10).
h(1/3),
4. f (x) = x5 − 2x4 − 3x2 − 2x − 8;
f (−1).
f (3),
5. f (x) = 4x4 − 3x2 + 3x + 7;
7. g(z) = 2z 5 − 14z 3 + 8z 2 + 7;
8. f (x) = x3 + 4x2 + 7x − 2;
x + 1/2
w−1
z+3
ive
9. y − c es divisible exactamente entre y + c
si n es par
n
10. y n + cn es divisible exactamente entre y + c
si n es impar
12. w + 3;
13. z − 1;
Un
Usando el teorema del factor y la división sintética, comprobar si el binomio dado es un factor del
polinomio dado
11. x − 2;
z=2
18. h(x) = 3x5 − x4 + 2x3 − 4x2 + 3x − 10;
x=1
19. Use división sintética para hallar el cociente y el residuo de h(x) = 2x4 − 5x3 + 3x2 −
x + 3 dividido entre 2x + 1. (Sugerencia:
efectúe la división entre x + 1/2 y luego
divida el cociente entre 2).
x+2
Demostrar el enunciado dado por medio del teorema de residuo sabiendo que n es un número
entero positivo.
n
17. f (z) = z 3 − 9z 2 + 26z − 24;
rsid
6. h(w) = w6 − w4 + w2 − 2;
16. g(w) = 5w6 + 3w5 − 2w3 − 7w2 + 1; w = 1
ad
Obtener el cociente y el residuo usando la división sintética.
de
Hallar los valores que se piden del polinomio da14. x + 2;
g(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 5x − 9
do usando la división sintética y el teorema del
residuo
Use el teorema del factor y la división sintética
para determinar si el polinomio tiene el cero que
1. f (x) = x3 − 2x2 + 3x− 2; f (0.2), f (−0.1).
se indica
2. g(z) = 3z 4 − 5z 3 + 2z 2 − 7z + 8; g(1),
g(−2).
15. f (x) = x4 + 5x3 + 4x2 − 7x − 3;
x = −3
f (x) = x6 − 5x5 + 3x3 − x2 + 7
g(w) = w5 + 4w4 − 7w2 + 5w − 3
h(z) = z 3 + 2z 2 − 4z + 1
Construir la gráfica del polinomio dado y hallar
los ceros reales del mismo.
20. f (x) = x4 − 5x2 + 4
7
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21. h(z) = z 3 − 2z 2 − 8z
tos indicados
23. f (x) = (x − 1)2 (x + 2)3
22. g(w) = w4 − 2w3 − 12w2 + 2w + 11
de
24. h(z) = z(z + 3)3 (z − 4)2
ad
Trazar la gráfica de f (x) sin efectuar los produc-
Referencias
rsid
[1] I. Stewart, Historia de las matemáticas. Crı́tica, 2008.
Un
ive
[2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima
edición, editorial Thomson, 2006.