Envolvente - Apuntes de matemática

3º B.D. opción Físico-Matemática
Matemática II
Envolvente.
Estudiar y caracterizar las siguientes familias:
1. Sea rm : (m + 2 )x − (m + 1) y + m + 2 = 0 (Ecuación 1)
Ordenando según el parámetro obtenemos: ( x − y + 1)m + (2 x − y + 2 ) = 0
x − y + 1
obtenemos la solución P(− 1,0 )
2 x − y + 2
Esto implica que existe un par ( x, y ) verifica la ecuación de rm (Ecuación 1) independiente del valor de m.
Resolviendo el sistema 
Por tanto se trata de un haz de rectas que concurren en un punto, el punto P:
Por tanto, se trata de un haz de rectas de centro P
Haz Propio
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(
)
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(
)
2. Sea rm : m 2 + 2 x + 4 m 2 + 8 y + 4 m = 0 (Ecuación 2)
Ordenando en m obtenemos: ( x + 4 y )m + 4m + (2 x + 8 y ) = 0
Observemos que los coeficientes no pueden anularse simultáneamente, por tanto no se trata de un haz propio.
Veamos que sucede con los coeficientes angulares de las rectas rm :
2
m2 + 2
1
m2 + 2
⇔ αm = −
= − Por tanto todas las rectas rm tienen la misma inclinación.
αm = − 2
2
4(m + 2 )
4
4m + 8
Gráficamente:
Haz Impropio
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3. Sea rm : 2mx − y + m = 0 (Ecuación 3)
2
Se observa en este caso que no se trata de un haz propio ni de un haz impropio.
2
Ordenemos según m: m + 2 xm − y = 0 .(Ecuación 4)
Si consideramos a la ecuación 4 como una ecuación de segundo grado en m, el número de soluciones depende
del discriminante, estudiemos que sucede:
∆ = 4x 2 + 4 y
•
•
•
Si ∆ > 0 la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas.
Si ∆ < 0 la ecuación no tendrá soluciones reales.
Si ∆ = 0 la ecuación tendrá dos soluciones reales iguales.
Interpretación geométrica.
∆ = 4 x 2 + 4 y si ∆ > 0 entonces 4 x 2 + 4 y > 0 ⇔ y > − x 2 esta inecuación representa la zona del
plano con dos soluciones es decir, por donde pasan dos rectas de la familia rm .
2
2
2
• ∆ = 4 x + 4 y si ∆ < 0 entonces 4 x + 4 y < 0 ⇔ y < − x esta inecuación representa la zona del
plano sin soluciones reales es decir, por donde no pasa ninguna recta de la familia rm .
2
2
2
• ∆ = 4 x + 4 y si ∆ = 0 entonces 4 x + 4 y = 0 ⇔ y = − x esta ecuación representa el conjunto de
puntos del plano por donde pasa una única recta de la familia rm .
•
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