expected_shortfall - Finanzas Mundiales

expected_shortfall - Finanzas Mundiales

Artı́culo: On the coherence of shortfall
Carlo Acerbi , Dirk Tasche
Defincion de Cuantil
Medida de Riesgo
Medida Coherente de Riesgo
VaR TCE WCE CVaR TM ES
Msc. Rodolfo Murillo Arias
email: [email protected]
Sábado 10 de Mayo del 2014
1
Msc. Rodolfo Murillo Arias
1.
On the coherence, expected shortfall 2
Introducción
El Valor en Riesgo (VaR) es una medida de riesgo muy criticada
por no contar siempre con la propiedad de sub-aditividad, es decir,
que el riesgo del portafolio puede ser más grande que la suma del
riesgo de cada una de los activos financieros vistos individualmente
(ver Artzner et al., 1997,1999). En ese sentido, medir el riesgo a
través del VaR puede ser inapropiado cuando falla la diversificación
intentada ser empleada en el portafolio de inversiones; el VaR no
toma en cuenta eventos de riesgo extremos.
En respuesta a esas deficiencias del VaR es que nace la noción de
medidas coherentes de riesgo introducidas por Artzner et al. (1997,
1999), Delbaen (1998). Un ejemplo de este tipo de medida representa el WCE (”Worst Conditional Expectation”), Artzner et al. 1999.
El WCE, a pesar de ser una medida coherente de riesgo, es una medida empleada exclusivamente para efectos teóricos tomando en cuenta que su medida requiere la totalidad del espacio de probabilidad
del activo financiero. Por el contrario, existe otro tipo de medida de
riesgo cual es el TCE (”Tail Conditional Expectation”), ver también
Artzner et al. 1999, el cuál representa una medida de riesgo más
práctica o sencilla de calcular pero cuenta con el inconveniente de
que no es una medida coherente.
Por lo tanto, el objetivo es construir una medida de riesgo que
cuente con ambas ventajas, es decir, fácil de calcular o estimar y
coherente. Para tal efecto, se define ES(”Expected Shortfall”) para
un nivel α, ver Acerbi et al. 2001, como la pérdida promedio para el
100 α % peor de los casos.
Se presentan 4 formas de poder caracterizar el ES:
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 3
1. La integral de todos los cuantiles por debajo del correspondiente nivel α (Proposición 3.2 del artı́culo)
ESα (X) = −α
−1
Z α
0
qu (X)du
2. El lı́mite en la cola de acuerdo con la Ley Fuerte de Grandes
Números (Proposición 4.1 del artı́culo):
Sea α ∈ (0,1) siendo fijo, una variable aleatoria siendo E(X) <
∞ y (X1 , X2 , . . .) una sucesión independiente de variables aleatorias con la misma distribución.
bnαc
Xi:n
∑
= x(α)
lı́m i=1
n→∞ bnαc
Si X es integrable, entonces la convergencia de la expresión
anterior se mantiene también.
3. El mı́nimo de cierta relación funcional introducido por Pflug(2000)
Corolario 4.3 del artı́culo: Sea X una variable aleatoria integrable perteneciente al espacio de probabilidad (Ω, A , P) y α ∈
(0,1) siendo fijo. Por tanto,
ESα (X) = CVaRα (X) = −α −1 (E[X1X≤s ]+s(α −P[X ≤ s])), s ∈ [x(α) , x(α) ]
4. El máximo de los WCEs al variar el espacio de probabilidad
del activo financiero (ver corolario 6.3 del artı́culo):
Sea X una variable aleatoria en el espacio de probabilidad (Ω, A , P)
con E[X − ] < ∞. Fije α ∈ (0,1). Entonces:
0
0
0
0
0
ESα (X) = max{WCEα (X ) : X variable aleatoria en (Ω , A , P )
0
con P [X ≤ x] = P[X ≤ x] para todo x ∈ R }
Msc. Rodolfo Murillo Arias
2.
On the coherence, expected shortfall 4
Definiciones Importantes
2.1.
Definición de Cuantiles
x(α) = qα (X) = ı́nf{x ∈ R : P[X ≤ x] ≥ α} es el más pequeno
α − cuantil de X
x(α) = qα (X) = ı́nf{x ∈ R : P[X ≤ x] > α} es el más grande α −
cuantil de X
También se puede reescribir x(α) de la siguiente manera:
x(α) = sup{x ∈ R : P[X 6 x] 6 α}
A continuación, se presentan 2 casos:
1. x(α) = x(α) ssi P[X ≤ x] = α
2. Para el caso x(α) < x(α) existen a su vez 2 casos:
{x ∈ R : α = P[X ≤ x]} =
(
[x(α) , x(α) ], P[X = x(α) ] > 0 (punto de discontinuidad)
[x(α) , x(α) ], P[X = x(α) ] = 0 (punto de continuidad)
2.2.
Definición de Medida de Riesgo
Sea (Ω, F − medible, P) el espacio de probabilidad y V un conjunto no negativo de variables aleatorias F - medible. Tomando en
cuenta lo anterior, una medida de riesgo se define de la siguiente
manera:
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 5
ρ : V −→ R ∪ {∞}
2.3.
Definición de Valor en Riesgo - (VaR)
Definción 2.2 del artı́culo:
VaRα = VaRα (X) = −x(α) = q1−α (−X) ; el VaR de la variable
aleatoria X al nivel de confianza α.
Como se verá posteriormente y más en detalle el TCE dado por
Artzner et al. (1999, Definition 5.1), el valor de dicha medida de
riesgo depende de la escongencia del cuantil que mide el VaR. Por
lo tanto, la escogencia del VaR afectará el valor del TCE; lo anterior
representa la razón por la cual se determina tanto el TCEα como el
TCE α .
NOTA:
Para efectos de notación empleada en este artı́culo, denote la parte positiva del número x por:
(
x , x>0
x+ =
0 , x60
Su parte negativa representada por : x− = (−x)+
2.4.
Propiedades del VaR
Proposición 2.3 del artı́culo Expected Shortfall and beyond
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 6
Sea α ∈ (0, 1] y (Ω, F , P) el espacio de probabilidad. Considere
la medida de riesgo ρ en el conjunto V de todos los F - medible de
las variables aleatorias, donde:
ρ(X) = VaRα (X) , X ∈ V
En ese sentido, ρ cuenta con las siguientes propiedades:
Monótona: X,Y ∈ V :
X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≥ ρ(Y )
Positivamente homogenea:
X ∈ V, h > 0, h X ∈ V ⇒ ρ(hX) = hρ(X)
Translación invariante:
X ∈ V, a ∈ R, X + a ∈ V ⇒ ρ(X + a) = ρ(X + a) = ρ(X) − a
Ley Invariante:
X,Y ∈ V, P[X ≤ t] = P[Y ≤ t] ∀ t ∈ R ⇒ ρ(X) = ρ(Y )
Aditividad:
f , g no decreciente, Z variable aleatoria en (Ω, F , P) tal que f
o Z, Z o Z ∈ V ⇒ ρ(f o Z + g o Z) = ρ(f o Z) + ρ(g o Z)
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 7
Buscando la analogı́a con el análisis de riesgo, ρ(X) es igual al
VaRα (X), X ∈ V. El VaRα tiene una Ley invariante en un sentido
muy rı́gido o fuerte; es decir, la distribución de X y de Y no requieren de la restricción de ser idénticas para que se cumpla que
VaRα (X) = VaRα (Y ). Por ejemplo, la variable aleatoria X puede
tener colas delgadas en su distribución y Y puede tener una distribución con colas gruesas, que a pesar de eso, ambas variables aleatorias pueden tener el mismo VaRα . Lo anterior representa una de las
grandes crı́ticas del VaR. En otras palabras, esta medida de riesgo
no cuenta con la propiedad de sub-aditividad, por lo cual, tampoco
es una medida de riesgo.
2.5.
Medida Coherente de Riesgo
Definición 3.1 del artı́culo Expected Shortfall and beyond
Una medida de riesgo ρ : V −→ R ∪ {∞} se dice que es coherente
ssi la función que la mide es:
1. Monótona: X,Y ∈ V , X 6 Y ⇒ ρ(X) > ρ(Y )
Significado en Finanzas: Si se gana menos en la posición de X
que en la de Y, significa que se está expuesto a mayor nivel de
riesgo en X.
2. Sub-additividad: X,Y, X +Y ∈ V ⇒ ρ(X +Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y )
Significado en Finanzas: La diversificación disminuye el riesgo
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 8
3. Positivamente Homogenea: X ∈ V, h > 0, hX ∈ V ⇒ ρ(hX) =
hρ(X)
Significado en Finanzas: Si se cambia la posición de inversión
de X a hX, el riesgo asumido cambiará en la misma proporción.
4. Traslación Invariante: X ∈ V, a ∈ R ⇒ ρ(X + a) = ρ(X) − a
Significado en Finanzas: Si se invierte en el instrumento sin
riesgo, disminuye el riesgo equivalente a la posición asumida.
2.6.
TCE: Tail Conditional Expectation
Definición 2.3 del artı́culo
Bajo el supuesto que E[X − ] < ∞, el TCEα (X) = −E[X|X ≤ x(α) ]
es el más pequeno TCE al nivel α de X. TCE α (X) = - E[X ≤ x(α) ]
es el TCE más alto al nivel α de X.
A continuación, se muestra el siguiente resultado:
TCEα ≥ TCE α
De acuerdo con el Teorema 6.10 de Delbaen de 1998, se demuestra que TCE α no cuenta con la propiedad de sub-aditividad. Por
esta razón, el concepto de ”Worst Conditional Expectation”(WCE)
fue introducido en Artzner et al. en 1999.
2.7.
Concepto de : Worst Conditional Expectation (WCE)
Definición 2.4 del artı́culo
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 9
Bajo el supuesto que: E[X − ] < ∞,WCEα (X) = −ı́nf{E[X|A] :
A ∈ A , P[A] > α} representa el WCE al nivel α de X.
En ese sentido, bajo el supuesto que E[X − ] < ∞ el valor de WCEα
es siempre finito tomando en cuenta que lı́mt→∞ P[X ≤ x(α) +t] = 1.
Lo anterior implica que existe un evento donde A = {X ≤ x(α) + t}
con P[A] > α y E[X|1A ] < ∞.
De manera general, para cualquier variable aleatoria X y Y en un
mismo espacio de probabilidad:
WCEα (X +Y ) ≤ WCEα (X) +WCEα (Y )
es decir, que WCE cuenta con la propiedad de sub-aditividad.
También, de acuerdo con Artzner et al. (1999), se cumple que
WCEα ≥ TCE α . En otras palabras, WCEα representa una mayorización de TCE α ≥ VaRα ; dicho de otra forma, es la más pequena
medida coherente de riesgo que domina el VaRα (ver también teorema 6.10 Delbaen 1998).
De acuerdo con este artı́culo, lo anterior es un excelente resultado pero con un cierto grado de insatisfacción pues el infimo no es
muy útil. Por lo anterior es que se introduce el concepto de CVaR
por Uryasev (2000). Este estimador promedio puede ser usado para
eficientizar procedimientos de optimización; sobre esto último, se
hace un cambio de notación del nivel de confianza del α a 1 − α.
2.8.
Concepto de : Conditional Value-at-Risk (CVaR)
Definición 2.5 del artı́culo
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 10
Sea E[X − ]. CVaRα (X) = ı́nf{(E[X − s]/α) − s : s ∈ R} representa el CVaR al nivel α de X.
Note que de acuerdo con la proposición 4.2 y 4.9 del artı́culo ,
el CVaR está bien definido. Al mismo tiempo, Pflug afirma en (1.3)
de Pflug (2000) la relación CVaRα (X) = TCE α (X), sin considerar
ningún supuesto (se hace el cambio de -X en vez de Y y, 1 − α en
vez de α).
NOTA IMPORTANTE:
Ligando Corolario 5.3 y el Corolario 4.3 del artı́culo, se muestra
que son verdaderos si P[X ≤ x(α) ] = α, P[X < x(α) ] > 0 o bien
P[X ≤ x(α) , X 6= x(α) ] = 0 ( en particular si la distribución de x es
contı́nua).
A continuación se hace mención a dos conceptos importantes:
”Tail Mean”(TM) aparece con valores negativos (proposición 4
del artı́culo) y el ”Expected Shortfall” (ES) que representa las pérdidas potenciales de manera positiva generalmente. De acuerdo con el
artı́culo, TM representa una prueba fácil de super-aditividad independientemente de la distribuciones de las variables aleatorias.
Como se verá en el Corolario 4.3, el ES es, en realidad, lo mismo
que el CVaR donde ambos cuentan con las propiedades de coherencia, continuidad y monotoniedad en el nivel de confianza (sección 3
del artı́culo). Además, es el más grande valor posible que el WCE
puede tomar (ver Corolario 6.3 del artı́culo).
2.9.
Concepto de : Tail Mean y Expected Shortfall
Definición 2.6 del artı́culo
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 11
Asuma que E[X − ] < ∞. Por tanto, x(α) = T Mα (X) = α −1 (E[X1{X≤x(α) } ]+
x(α) (α − P[x ≤ x(α) ])) representa TM al nivel α de X. ESα (X) =
−x(α) es el ES en el nivel α de X.
Tanto T Mα como ESα solo dependen de la distribución de X y
del nivel α pero no en una definición particular del cuantil.
2.10.
Propiedades del Tail Mean y Expected Shortfall
Proposición 3.1: Coherencia de ES
Sea α ∈ (0, 1) siendo fijo. Considere un conjunto V de variables aleatorias en un espacio de probabilidad (Ω, A , P) tal como
E[X − ] < ∞ para todo X ∈ V . Por tanto, ρ : V → R con ρ(X) =
ESα (X) para X ∈ V representa una medida coherente de riesgo de
acuerdo con la definición 2.1 en Delbaen (1998); es decir:
1. Monótona: X ∈ V , X ≥ 0 ⇒ ρ(X) ≤ 0
2. Sub-additividad: X,Y, X +Y ∈ V ⇒ ρ(X +Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y )
3. Positivamente Homogenea: X ∈ V, h > 0, hX ∈ V ⇒ ρ(hX) =
hρ(X)
4. Traslación Invariante: X ∈ V, a ∈ R ⇒ ρ(X + a) = ρ(X) − a
NOTA: En la industria financiera, ha ido creciendo la necesidad de tratar variables aleatorias con distribuciones discontı́nuas;
por ejemplo el análisis de portafolio de cartera de créditos. Un problema con medidas de riesgo en la cola tales como el VaR, TCE y
WCE, cuando se aplican distribuciones discontı́nuas, es su sensibilidad frente a pequenos cambios en el nivel de confianza α.
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 12
En contraste, ESα es contı́nuo con respecto a α. En ese sentido, sin importar la distribución del activo financiero, se puede estar
seguro que el riesgo medido por el ESα no cambia su valor drásticamente cuando hay un cambio en el nivel de confianza, es decir,
algunos puntos base.
Proposición 3.2
Si X es una v.a. en el espacio de probabilidad (Ω, A , P) con
E[X − ] < ∞ y α ∈ (0, 1) está fijo, entonces:
x(α) = α
−1
Z ∞
0
x(u) du
con x(α) y x(u) de acuerdo con las definiciones 2.6 y 2.1 respectivamente del artı́culo.
Por la definición de ES, la proposición 3.2 implica la representación :
ESα (X) = −α
−1
Z α
0
qu (X)du
Esta última ecuación ( ecuación 3.3 del artı́culo) muestra que ES
es una medida coherente de riesgo usado por Kusuoka (2001) como
el principal bloque de edificación como representación de medida
coherente de riesgo de Ley Invariante.
Corolario 3.3
Si X es una variable aleatoria con E[X − ] < ∞ , entonces α → xα
y α → ESα son contı́nuas α en el intervalo (0,1).
Proposición 3.4
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 13
Si X una variable aleatoria con E[X − ] < ∞ , entonces para cualquier α ∈ (0, 1) y cualquier ε > 0 con α + ε < 1, tenemos las siguientes desigualdades:
x(α+ε) ≥ x(α) y ESα+ε (X) ≤ ESα (X)
2.11.
Motivación del ”Tail Mean” y ”Expected Shortfall”
Asuma que queremos estimar el más bajo cuantil, es decir, xα de
algunas variables aleatorias X. Tomemos una muestra (X1 , . . . , Xn ),
la cuál es generada de independientes valores de X. Denote por
X1:n 6 . . . 6n:n los componentes de la N-tupla ordenada (X1 , . . . , Xn ).
También denote por bxc la parte entera del número x ∈ R, es decir:
bxc = max{n ∈ Z : n 6 x}
En ese sentido, el ordenamiento estadı́stico Xbnαc:n aparece como
un estimador natural para x(α) . Sin embargo, es bien conocido que en
el caso de no haber un único cuantil, es decir, x(α) < x(α) la cantidad
Xbnαc:n no converge a x(α) . Lo anterior concuerda con lo establecido
en el teorema 1 en Feldman y Tucker (1966), el cuál establece lo
siguiente:
1 = P[Xbnαc : n 6 x(α) in f initamente a menudo] = P[Xbnαc : n 6
x(α) in f initamente a menudo]
NOTA: Sobre el apartado anterior, se logra bien determinar el
lı́mite cuando se reemplaza un único ordenamiento estadı́stico por
un promedio sobre la parte izquierda de la cola de la muestra; recordar la definción 2.1 del artı́culo.
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 14
Proposición 4.1 del Artı́culo
Sea α ∈ (0, 1) sea fijado. X una variable aleatoria con E[X] <
∞y(X1 , X2 , . . .) una suceción de variables aleatorias independientes
con una misma distribución; con probabilidad igual a 1, tenemos
que :
bnαc
Xi:n
∑
lı́m i=1
= x(α)
n→∞ bnαc
Si X es integrable, entonces la convergencia de la expresión anterior se sostiene en L1 también.
NOTA:
La proposición 4.1 valida la interprentación dada sobre TM en
Acerbi et al (2001) como el promedio de los peores casos en 100α %.
Lo anterior aparece en la literatura sobre el tema de administración del riesgo sobre las diversas maneras de esperanza condicional
más allá del VaR el cuál cuenta con diversos conceptos para el caso
de distribuciones discretas: ”Tail Conditional Expectation”, ”Worst
Conditional Expectation”, ”Conditional Value-at-Risk”todos llevan
en su nombre el hecho que son valores de esperanza condicional de
una variable aleatoria.
Para TCEα , por ejemplo, el estimador natural no está dado por el
analizado en 4.1 del artı́culo, sino por el siguiente:
− ∑ni=1 Xi 1{Xi 6Xbnαc:n }
∑ni=1 1{Xi 6Xbnαc:n }
No obstante, esta última expresión tiene problemas de conver-
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 15
gencia cuando x(α) < x(α) . Esta es la razón por la que se evade el
término ”condicional” en la definición de TM. En ese sentido, en
el ejemplo 5.4 del artı́culo refleja el caso en donde TM no admite
una representación general en términos de esperanza condicional de
X dado un evento A ∈ σ (X). Por tanto, no es posible brindar una
definición de tipo :
x(α) = E[X|A] para A ∈ σ (X)
a menos que el evento A es escogido de un σ − algebra A ⊃
σ (X) en un nuevo espacio de probabilidad artificial (ver corolario
6.2 del artı́culo).
Con el propósito de hacer visible la semejanza del CVaR y el TM,
la proposición siguiente colecciona algunos hechos de cuantiles que
son bien conocidos de la teorı́a de probabilidad.
Proposición 4.2
Sea X una variable aleatoria integrable en un espacio de probabilidad (Ω, A , P). Fije un α ∈ (0, 1) y define la función Hα : R →
[0, ∞) por:
Hα (s) = αE[(X − s)+ ] + (1 − α)E[(X − s)− ]
Por tanto la función Hα es convexa (por tanto contı́nua) con lı́m|s|→∞ Hα (s) =
∞. El conjunto Mα de minimizadores de Hα corresponde a un intervalo compacto llamado:
Mα = [x(α) , x(α) ] = {s ∈ R : P[X < s] 6 α 6 P[X 6 s]}
Msc. Rodolfo Murillo Arias
Hα (s) = αE[X] + α
On the coherence, expected shortfall 16
E[(X
− s)− ]
α
!
−s
Corolario 4.3
Sea X una variable aleatoria integrable en un espacio de probabilidad (Ω, A , P) y α ∈ (0, 1) siendo fijo. Entonces,
ESα (X) = CVaRα (X) = −α −1 E[X1{X6s} ]+s α −P[X 6 s] , s ∈ [x(α) , x(α) ]
En las definiciones 2.5 y 2.6 solo se requiere que E[X − ] < ∞.
En otras palabras, con la condición exclusiva de integrabilidad se
se garantiza la relación acabada de mencionar; es decir, la relación
(4.11) del artı́culo.
2.12.
Desigualdades y Contra-Ejemplos
En esta sección, el artı́culo expone un comparativo entre ES, TCE
y WCE. Al mismo tiempo, se muestra un ejemplo que muestra que
tanto el VaR como el TCE no son sub-aditivos, de manera general.
Tomando en cuenta el mismo ejemplo que se verá en esta misma
sección, se muestra que la relación entre WCE y el TCE no es muy
clara.
Proposición 5.1
Sea α ∈ (0, 1) fijado y X siendo una variable aleatoria en un espacio de probabilidad (Ω, A , P). Suponga que existe una función
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 17
f : R → R tal que E[( f ◦ X)− ] < ∞ , f (x) 6 f (x(α) ) para x < x(α) , y
f (x) > f (x(α) ) para x > x(α) . Sea A ∈ A es un evento con P[A ] > α
y E[| f ◦ X|1A ] < ∞. Por tanto,
(i) T Mα ( f ◦ X) 6 E[ f ◦ X|A]
(ii) T Mα ( f ◦ X) = E[ f ◦ X|A] si P[A ∩ {X > x(α) }] = 0 y
P[X < x(α) ] = 0 , o bien
P[X < x(α) ] > 0, P[Ω \ A ∩ {X < x(α) }] = 0 y P[A] = α
Si f (x) < f (x(α) ) para x < x(α) y f (x) > f (x(α) ) para x > x(α)
Por tanto,
T Mα ( f ◦ X) = E[ f ◦ X|A] implica P[A ∩ {X > x(α) }] = 0
Lo anterior ocurre con las relaciones acabadas de describir también en esta sección, es decir, (5.1) y (5.2) del artı́culo.
Con base en la proposición 5.1, se resaltan conclusiones sobre
TCE, WCE y ES. Para la presentación de lo siguiente, renombre
ESα = −T Mα .
Corolario 5.2
Sea α ∈ (0, 1) y X sea una variable aleatoria en un espacio de
probabilidad (Ω, A , P) con E[X − ] < ∞. Entonces,
TCE α (X) 6 TCEα (X) 6 ESα (X)
y
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 18
TCE α (X) 6 WCEα (X) 6 ESα (X)
Corolario 5.3
Sea α y X descritos como en el Corolario 5.2 del artı́culo. Entonces,
(i) P[X 6 x(α) ] = α, P[X < x(α) ] > 0 o bien
P[X 6 x(α) , X 6= x(α) ] = 0 ssi :
ESα (X) = WCEα (X) = TCEα (X) = TCE α (X)
En particular, esta última expresión (5.11 del artı́culo) sostiene
que si la distribución de X es contı́nua, es decir, P[X = x] = 0 para
todo x ∈ R
(ii) P[X 6 x(α) ] = α
TCEα (X).
o bien
P[X < x(α) ] = 0 ssi ESα (X) =
El Corolario 5.2 deja abierta la relación entre TCEα (X) y WCEα (X).
La implicación
P[X 6 x(α) ] > α ⇒ TCEα (X) 6 WCEα (X)
es obvia. El Corolario 5.3 (ii) muestra que:
P[X 6 x(α) ] = α ⇒ TCEα (X) > WCEα (X)
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 19
El artı́culo muestra que ninguna de los siguientes cuantiles - qα ,
VaRα , TCEα , TCE α es una medida sub-aditiva, en general.
Ejemplo 5.4 del Artı́culo
Considere el espacio de probabilidad (Ω, A , P) con Ω = {ω1 , ω2 , ω3 },
A representa el conjunto de todos los subconjuntos de Ω y P especificado de la siguiente manera:
P[{ω1 }] = P[{ω1 }] = p
P[{ω3 }] = 1 − 2p
y escoja 0 < p < 13 . Se fija un un número positivo N y sea Xi ,
i = 1,2, dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de
probabilidad (Ω, A , P) con valores:
(
−N, si i = j
Xi (ω j ) =
0 si no
Caso 1: p < α < 2p
−qα (X1 ) − qα (X2 ) < −qα (X1 + X2 )
VaRα (X1 ) +VaRα (X2 ) < VaRα (X1 + X2 )
TCEα (X1 ) + TCEα (X2 ) < TCEα (X1 + X2 )
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 20
TCE α (X1 ) + TCE α (X2 ) < TCE α (X1 + X2 )
Las desigualdades anteriores muestran que ninguna de las nociones −qα , VaRα , TCEα , TCE α puede ser usado para definir una medida de riesgo sub-aditiva. Para este primer caso, tenemos tambı́en:
TCEα (X1 ) < ESα (X1 )
TCE α (X1 ) = TCEα (X1 ) < WCEα (X1 )
WCEα (X1 ) < ESα (X1 )
Caso 2: p = α
TCE α (X1 ) < TCEα (X1 )
y
TCEα (X1 ) > WCEα (X1 )
El siguiente resume los resultados del ejercicio:
Medidas de Riesgo
Medida de Riesgo p < α < 2p
p=α
p>α
X1,2 X1 + X2 X1,2 X1 + X2 X1,2 X1 + X2
−qα
0
N
N
N
N
N
VaRα
0
N
0
N
N
N
α
TCE
Np
N
Np
N
N
N
TCEα
Np
N
N
N
N
N
N
N
WCEα
N
N
N
N
2
2
Np
ESα
N
N
N
N
N
α
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 21
Traducido el ejemplo anterior al caso financiero, suponga que las
dos variables aleatorias corresponden a dos bonos riesgos con valor
nominal ”N” con no entrecruces de estados ωi de default con probabilidad p.
2.13.
Representación de ES en términos del WCE
De acuerdo con el ejemplo 5.4 del artı́culo, se muestra que WCE
y ES difieren en general. Sin embargo, este resultado ocurre para el
caso en que el espacio de probabilidad del activo subyacente es muy
pequeno, es decir, no permite representaciones de variables aleatorias contı́nuas. Por el contrario, algunas variables aleatorias discretas
(bajo ciertas condiciones) pueden cambiarse a espacios probabilı́sticos más amplios de tal manera que el valor de WCE coincida con el
de ES.
Proposición 6.1
Sea X y Y variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad (Ω, A , P) tal como E[Y − ] < ∞. Se fija un α ∈ (0, 1). Asuma
que Y está dado por Y = f ◦ X donde f satisface f (x) 6 f (x(α) ) para
y f (x) > f (x(α) ) para x > x(α) .
(i) Si P[X 6 x(α) ] = α entonces
ESα (Y ) = −
ı́nf
E[Y |A]
A∈A ,P[A]>α
(ii) Si la función de distribución de X es contı́nua, entonces también:
Msc. Rodolfo Murillo Arias
On the coherence, expected shortfall 22
ESα (Y ) = WCEα (Y )
Corolario 6.2
Sea (Xi , . . . , Xd ) representa un Rd vector aleatorio en el espacio
de probabilidad (Ω, A , P) tal como E[Xi− ] < ∞, i = 1, . . . , d. Fi0
0
je α ∈ (0, 1). (Xi , . . . , Xd ) definido en un espacio de probabilidad
0
0
0
(Ω , A , P ) con la siguientes dos propiedades:
0
0
(i) Las distribuciones de (Xi , . . . , Xd ) y (Xi , . . . , Xd ) son iguales,
es decir:
0
0
P[X1 6 x1 , . . . , Xd 6 xd ] = P[X1 6 x1 , . . . , Xd 6 xd ] para todo (x1 , . . . , xd ) ∈
d
R .
0
(ii) WCE y ES coincide para todo i = 1, . . . , d, es decir, WCEα (Xi ) =
0
ESα (Xi ), i = 1, . . . , d.
Corolario 6.3
Sea X una variable aleatoria en un espacio de probabilidad (Ω, A , P)
con E[X − ] < ∞. Fije α ∈ (0, 1). Entonces,
0
0
0
0
0
0
ESα (X) = máx{WCEα (X : X una variable aleatoria en (Ω , A , P ) con P[X 6
x] = P[X 6 x] ∀ x ∈ R}