Sistemas dinámicos en el círculo

Transcripción

SISTEMAS DINÁMICOS EN EL CÍRCULO
EMALCA 2009 — ZACATECAS
AUBIN ARROYO Y ADOLFO GUILLOT
Parte I
El Teorema de Denjoy
Un sistema dinámico en el círculo consiste de una transformación f : S 1 → S 1 . El tipo de preguntas que nos interesan conciernen a las propiedades que las órbitas de f , es decir, de las sucesiones O f (x) := { f n (x); x ≥ 0}, para cada punto x en el círculo S 1 . ¿ f tiene órbitas periódicas, esto
es, existen puntos tales que f k (x) = x, para algún k ∈ N? ¿existen órbitas densas (O f (x) = S 1 )?,
¿qué otros tipos de órbitas puede haber? En particular nos enfocaremos a definir un invariante
que nos permita clasificar todos los tipos de dinámicas posibles en el círculo. Veremos, de hecho, que es posible asignar un número a cada sistema dinámico del círculo y este número nos
proporcionará suficiente información para clasificar un gran pedazo del espacio de todos los
sistemas dinámicos del círculo. Henry Poincaré fue quién por primera vez estudió este número,
conocido como el número de rotación.
En la primera parte del curso estudiaremos algunas herramientas necesarias para entender y
demostrar el Teorema de Denjoy, que el número de rotación nos sirve para clasificar a todos los
sistemas dinámicos en el círculo siempre y cuando estos tengan suficiente regularidad.
A lo largo de estas notas estudiaremos este tipo de preguntas. Para esto, tendremos que dedicar
un poco de tiempo para entender como definir funciones del círculo. Cabe mencionar tambien
que una buena parte de estas notas está basada en los libros de [Mil01] y [Nav07].
Advertencia: Estas notas todavía están en construcción. Agradecemos comentarios, dudas, sugerencias y avisos de errores (así como sugerencias para corregirlos) por correo electrónico.
1. F UNCIONES EN EL CÍRCULO
Entendemos el círculo como el grupo cociente: R/Z. Esto es, el conjunto de clases de equivalencia de la relación entre números reales:
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z
1
2
Podemos denotar la clase de x como ζ = (x mod Z). O de manera más precisa, esta asignación
está dada por una proyección:
Π : R → R/Z
Π(x) = (x mod Z) = ζ.
Ahora bien, es necesario proveer a R/Z con una topología y para esto utilizamos a la función Π.
La topología natural del círculo así construido es precisamente la que hace a la función Π una
función contínua. De hecho, Π es un homeomorfismo local.
Recuerdo: Una función h de un espacio topológico X en sí mismo es un homeomorfismo si h es
biyectiva, contínua y h −1 también es contínua. Una función h : X → Y es un homeomorfismo
local en x ∈ X si existen abiertos U ⊂ X , V ⊂ Y tales que x ∈ U , h(x) ∈ V y h|U : U → F (U ) ⊂ V es
un homeomorfismo.
No es dificil ver que podemos identificar biunívocamente R/Z con el círculo unitario
S 1 := {z ∈ C | |z| = 1}
usando la aplicación:
(1)
x 7→ e 2πi x = (cos(2πx), sin(2πx)).
Observación: El círculo unitario tiene varias maneras de representarse. Además de las dos anteriores, podemos pensar tambien a S 1 como R̂ = R ∪ {∞} la compactificación de R con un punto
al infinito, via la proyección estereográfica.
Una función del círculo será cualquier función contínua f : R/Z → R/Z. Un levantamiento de f
será una función F : R → R de modo que satisfaga la siguiente identidad:
(2)
Π(F (x)) = f (Π(x)),
es decir, el siguiente diagrama conmuta:
F
R −→ R
Π↓
↓Π
f
R/Z −→ R/Z
Nota: Observa que la función en (1) es un homeomorfismo local y, de hecho coincide con Π.
Ejemplo (las rotaciones): Dado un número real a, la traslación en R determina la rotación de
ángulo Π(a) en el círculo. Considera T a : R → R, definidas por T (x) = x + a. No es difícil ver que
T induce una transformación R a : R/Z → R/Z mediante la fórmula:
R( Π(x) ) = Π(T (x)) = Π(x) + Π(a).
Esta función está bien definida, pues si x − y ∈ Z, entonces T (x) − T (y) = x − y ∈ Z. Observa
que la identidad en (2) se cumple trivialmente. Si a ∈ [0, 1), a la transformación R la llamaremos
la rotación de ángulo a y la denotaremos por R a : R/Z → R/Z. Vale resaltar que omitimos la
proyección Π al denotar el ángulo.
3
Una función F : R → R que satisface:
(3)
F (x + 1) = F (x) + d , ∀x ∈ R
para algún d ∈ Z, induce una función del círculo en sí mismo. Para verificar esta afirmación basta
probar que la función:
f (Π(x)) := Π(F (x))
está bien definida sobre los elementos de R/Z. Es decir, basta probar que si x − y = m ∈ Z entonces Π(F (x)) = Π(F (y)), o bien F (x) − F (y) ∈ Z. Ahora bien, dado que x = y + m entonces
F (x) = F (y + m) = F (y) + md y por lo tanto:
F (x) − F (y) = F (y) + md − F (y) = md ∈ Z.
Ejemplo: Si F es periódica, entonces satisface (3) con d = 0. De hecho, F es periódica si F (x +1) =
F (x), para toda x ∈ R. Las funciones cos(2πx), sin(2πx) son de este tipo. Para d ≥ 1 podemos
tomar como ejemplo d x, o bien d x + cos(2πx).
La afirmación recíproca también es verdad, y caracteriza las funciones del círculo en sí mismo.
Teorema 1. Dada una función contínua del círculo f : R/Z → R/Z existe F : R → R, contínua,
que satisface (3), de manera que f (Π(x)) = Π(F (x)). Más aún, esta función es única salvo por la
adición de un entero.
Una manera equivalente de enunciar el teorema anterior es: Toda función del círculo posee un
levantamiento a R y este levantamiento es unico, salvo por la adición de un entero. Al número d
se le denomina el grado de f .
Demostración: Observa que Π−1 ( f (Π(0)) ⊂ R es un conjunto numerable y discreto. De hecho,
sus elementos difieren por un entero. Elije algún y ∈ Π−1 ( f (Π(0)) y con base en él definiremos
F (0) := y. Ahora bien, la proyección Π es un homeomorfismo local, esto es, en una pequeña
vecindad U de y, la función Π : U → Π(U ) es biyectiva. Así, podemos definir F : U → R por
la fórmula: F (x) = Π−1 ◦ f ◦ Π(x). Para extender el dominio de F a todos los números reales,
es necesario repetir este proceso en los puntos de U . Por supuesto, hay que tener un poco de
cuidado al elejir las pre-imagenes, de modo que coincida con la extensión anterior.
Ejercicio: Terminar los detalles de esta prueba.
Una función f : R/Z → R/Z de grado uno es un homeomorfismo si f es biyectiva y f , como
su inversa f −1 son contínuas. Al conjunto de homeomorfismos del círculo lo denotaremos por
Homeo(S 1 ).
Ejercicio: Una función del círculo de grado d ≥ 2 no es inyectiva.
Lema 1. Si f ∈ Homeo(S 1 ) y F es un levantamiento de f , entonces F es estríctamente monótona,
i.e. una de las dos afirmaciones vale para todos x y y en R.
+) si x < y entonces F (x) < F (y).
-) si x < y entonces F (x) > F (y).
4
Demostración: Si F no es estrictamente decreciente, existen tres puntos z < x < y en R tales que
F (x) ≥ z y F (x) ≥ y entonces existe un punto x̃ ∈ R z < x̃ < y tal que F (x̃) es un maximo local de
F . Por lo tanto, arbitrariamente cerca de x̃, la función F no es inyectiva y por lo tanto f tampoco
lo es.
A los homeomorfismos que satisfacen +) se les conoce como homeomorfismos que preservan
la orientación, al contarario de los que satisfacen -), que la invierten. Nos interesa, de ahora en
adelante estudiar los homeomorfismos que preservan orientacion. Denotemos por Homeo+ (S 1 )
al conjunto de estas transformaciones.
Ejercicio: Pruebe que si f ∈ Homeo(S 1 ) invierte orientación, entonces f tiene un punto fijo.
Sea f : R/Z → R/Z una función del círculo de grado +1 y sea F un levantamiento de f . Una
observación interesante es que F conmuta con la traslación por x 7→ x+1. Es decir, Si T (x) = x+1,
entonces F ◦ T = T ◦ F . Por lo tanto:
F (x + n) = F (x) + n, ∀n ∈ Z
Ahora bien, dado un punto x 0 ∈ R, podemos considerar el límite:
xn − x0
,
τ(F, x 0 ) = lim
n→∞
n
donde x n = F n (x 0 ). Si este límite existe lo llamaremos el número de traslación de la órbita de
x0 .
F̃
Supongamos por un momento que dicho límite existe. Si x −→ F (x) + m es otro levantamiento
de f , el número de traslación de F̃ está dado por:
τ(F̃ , x 0 ) = τ(F, x 0 ) + m,
y por lo tanto define correctamente una clase de equivalencia en R/Z. De esta manera, a la
f -órbita de ξ0 = Π(x 0 ) le podemos asociar un número ρ( f , ξ0 ) ∈ R/Z, independientemente del
levantamiento que utilizemos. Precisamente,
ρ( f , ξ0 ) = Π(τ(F, x 0 )).
(4)
Para demostrar que el límite τ(F, x 0 ) existe si F es el levantamiento de un homeomorfismo del
círculo estudiaremos el intervalo definido por el lim inf y el lim sup de la sucesión (x n −x 0 )/n. De
hecho, denotemos por:
xn − x0
xn − x0
τ− (F, x 0 ) = lim inf
, y por τ+ (F, x 0 ) = lim sup
;
n→∞
n
n
n→∞
y consideremos el supremo y el ínfimo sobre todos los reales de estos números:
τ− (F ) = inf τ− (F, x 0 ), y τ+ (F ) = sup τ+ (F, x 0 ).
x∈R
x∈R
Solo con la hipótesis de que f es una función el círculo podemos garantizar que [τ− (F ), τ+ (F )]
es un intervalo no vacío y eso es suficiente para extraer de f algunas propiedades dinámicas
5
(ver [Mil01]). Sin embargo, veremos un poco más adelante que si nos restringimos un poco y
suponemos que f es un homeomorfismo del círculo y F es un levantamiento de f , este límite
siempre existe y no depende del punto donde lo calculemos. En este caso el intervalo [τ− (F ), τ+ (F )]
corresponde a un único número, τ(F ), que se llama el número de traslación de F .
Como ya hemos visto en (4), dado f : R/Z → R/Z,el número de traslación de un levantamiento de
f (si existe y no depende del punto) define un punto en el círculo independientemente de cuál
levantamiento hayamos considerado. Esto nos permite escribir la siguiente definición.
Definición: Dado f : R/Z → R/Z y F un levantamiento de f . Si τ(F, x) existe y no depende del
punto x ∈ R, el número ρ( f ) := Π(τ(F )) es el número de rotación de f .
Ahora bien, podemos acotar la longitud del intervalo [τ− (F ), τ+ (F )] haciendo uso de una función
alternativa que mide el desplazamiento de x: Sea δ(x) = F (x) − x. Dado que F (x + 1) = F (x) + 1,
la función δ(·) es periódica (δ(x + 1) = δ(x)). Por lo tanto alcanza su mínimo y su máximo en R.
Observa que:
δ(x 0 ) + · · · + δ(x n−1 )
,
τ(F, x 0 ) = lim
n→∞
n
cuando el límite existe. El lado derecho de esta igualdad puede pensarse como el desplazamiento promedio de la órbita de x 0 .
Lema 2. La siguiente desigualdad es válida:
min δ(x) ≤ τ− (F ) ≤ τ+ (F ) ≤ max δ(x).
x
x
Demostración: Para cualquier n ≥ 1 tenemos que:
x n − x 0 δ(x 0 ) + · · · + δ(x n−1 )
=
≤ max δ(x)
x
n
n
Entonces lim supn→∞ (x n −x 0 )/n ≤ maxx δ(x) y por lo tanto τ+ (F ) ≤ maxx δ(x). Un razonamiento
análogo concluye la otra desigualdad.
Lema 3. Dado q ∈ N tenemos que τ± (F q , x 0 ) = qτ± (F, x 0 ), respectivamente.
Demostración: Sea q ∈ N. Probaremos esta afirmación para τ+ (F, x 0 ). Un razonamiento análogo
sirve para el otro caso. Observe que:
(a) Todo entero n se descompone como n = k n q + l con 0 ≤ l < q. Si n → ∞, entonces
k n → ∞ y además n ∼ k n cuando n es grande.
(b) |x n − x kq | < M cuando n y k tienden a ∞.
(c) (x k q − x 0 )/kq ∼ (x k q − x 0 )/n asintóticamente.
¯
¯ x kn q − x 0
∴ ¯¯
kn q
−
¯
x n − x 0 ¯¯
→ 0 cuando n → ∞
n ¯
6
(d)
1
q
lim supn
x kn q −x 0
k
= lim supn
x n −x 0
n .
Lema 4. Supongamos que F es una función monótona, es decir,
x < y =⇒ F (x) ≤ F (y),
Entonces el límite τ(F, x 0 ) está bien definido y no depende de x 0 .
Demostración: Dado que F es monótona, la función δ(x) := F (x) − x satisface que:
max δ(x) − min δ(x) < 1.
x
x
Para verificar esto, supongamos que δ(·) alcanza su máximo en x max y su mínimo en x min (estos
puntos existen porque δ es periódica). Además, podemos suponer que x max < x min < x max + 1.
Entonces,
F (x max ) = x max + δ(x max ) ≤ F (x min ) = x min + δ(x min ),
debido a que F es monótona. Por lo tanto, δ(x max )−δ(x min ) ≤ x min −x max < 1. El Lema 2 garantiza
que: τ+ (F, x 0 ) − τ− (F, x 0 ) < 1. Aplicando esta desigualdad a F q y utilizando el Lema 3 obtenemos
que
1
τ+ (F, x 0 ) − τ− (F, x 0 ) < ,
q
para cualquier q ≥ 1. Por lo tanto τ+ (F, x 0 ) = τ− (F, x 0 ), es decir, el límite existe. Ahora bien, para
mostrar que este número no depende del punto x 0 consideremos otra órbita y n = F n (y 0 ), donde
x 0 < y 0 < x 0 + 1. Por inducción obtenemos que: x n < y n < x n + 1, para toda n. Por lo tanto las
sucesiones: (x n − x 0 )/n y (y n − y 0 )/n tienen el mismo límite.
2. D INÁMICA EN EL CÍRCULO
No es dificil demostrar que si f ∈ Homeo+ (S 1 ) tiene un punto periódico, entonces ρ( f ) es un
número racional.
Ejercicio: Suponga que f q (x) = x, entonces ρ( f ) = p/q para alguna p ∈ N.
Ejercicio: Pruebe que si f tiene orbitas finitas, entonces, todas tienen la misma cardinalidad.
De hecho, podemos ir más lejos con esta observación:
Teorema 2. ρ( f ) es racional si y sólo si f tiene al menos un punto periódico.
Demostración: Suponiendo que el ejercicio anterior ha sido resuelto con éxito, basta probar que
si ρ( f ) es racional, entonces existe un punto periodico. Del Lema 3 no es dificil concluir que para
cualquier q ∈ N se cumple que:
ρ( f q ) = qρ( f ).
Ahora bien, por esta identidad, basta probar entonces que si ρ( f ) = 0 entonces f tiene un punto
fijo (recuerde que los puntos periodicos de periodo q de f son puntos fijos de f q ).
Supongamos que f no tiene puntos periódicos y tomemos F un levantamiento de f . Observe
que la función δ(x) = F (x) − x ∉ Z para toda x ∈ R (en caso contrario, habría un punto fijo). Por
7
otro lado, δ(x) es una función contínua y periódica. Asi, podemos suponer que existe δ0 ∈ R tal
que:
δ0 ≤ δ(x) ≤ 1 − δ0 ,
para toda x ∈ R. De la hipótesis podemos concluir solamente que la imagen de δ(·) está contenida en el intervalo (m, m + 1), para algún m ∈ Z. Eligiendo el levantamiento adecuado podemos suponer que m = 0.
Sea x ∈ R. La desigualdad anterior nos permite acotar tambien el promedio de δ(·) a lo largo de
una órbita:
X
1 n−1
δ(F j (x)) ≤ 1 − δ0 ,
δ0 ≤
n j =0
para cualquier n ∈ N. Entonces, como n1
tizar que τ(F ) ∉ Z y por lo tanto ρ( f ) 6= 0.
Pn−1
j =0
δ(F j (x)) → τ(F ), cuando n → ∞, podemos garan-
Podemos enunciar el teorema anterior de la siguiente manera:
Teorema 3. ρ( f ) es irracional si y sólo si f no tiene puntos periódicos.
2.1. Conjugación topológica. Para clasificar los sistemas dinámicos en el círculo, es necesario
determinar cuándo dos son equivalentes. La noción de conjugación topológica nos proporciona
esta relación.
Definición: Dados f y g en Homeo(S 1 ) decimos que son topológicamente conjugados, y lo denotamos por f ∼ g , si exite h ∈ Homeo(S 1 ) tal que h ◦ f = g ◦ h; es decir, el siguiente diagrama
conmuta.
f
S 1 −→ S 1
h↓
↓h
S1
g
−→
S1
Ejercicio: Verifica que esta relación es una relación de equivalencia.
Lema 5. Dados f y g en Homeo+ (S 1 ), tales que f ∼ g , entonces ρ( f ) = ρ(g ).
Demostración: Dado que f y g son topológicamente conjugados, existe h tal que h ◦ f (x) = g ◦
h(x), para todo x ∈ S 1 . Si consideramos F , G y H levantamientos de f , g y h, respectivamente,
podemos afirmar que:
Π[H ◦ F (x)] = Π[G ◦ H (x)],
para toda x ∈ R. Esto es lo mismo que afirmar que existe m ∈ Z tal que
H ◦ F (x) = G ◦ H (x) + m.
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Entonces, si tomamos otro levantamiento de G, G̃(x) = G(x) + m, podemos garantizar que H ◦
F (x) = G̃ ◦ H (x), es decir, el siguiente diagrama conmuta:
F
R
−→
R
H↓
↓H
R
G̃
−→
R
Si tomamos x n := F n (x), entonces H (x n ) = G̃ n (H (x)). Además, se verifica que |H (x n ) − x n | < M ,
para toda n ∈ Z. Por lo tanto:
¯
¯
¯ x n − H (x n ) ¯
¯
¯=0 |ρ( f ) − ρ(g )| = lim ¯
¯
n→∞
n
Una pregunta natural es si vale el recíproco de esta afirmación: ¿si ρ( f ) = ρ(g ) entonces f ∼ g ?
Para poder responder a esta pregunta tenemos que estudiar un poco más la dinámica de los
homeomorfismos del círculo con número de rotación irracional, en particular, el conjunto de
puntos donde las órbitas se acumulan.
El conjunto de puntos donde una órbita se acumula por iteraciones positivas se le denomina el
omega-límite. Precisamente, dado f : S 1 → S 1 y x ∈ S 1 :
ω(x) = {y ∈ S 1 | ∃n j → ∞ tal que f n j (x) → y},
Ejercicio: Dado f ∈ Homeo(S 1 ), entonces ω(x) es un subconjunto compacto no vacío de S 1 .
Teorema 4. Si f es un homeomorfismo del círculo y ρ( f ) es irracional, entonces
• ω(x) = ω(y), para todos x, y ∈ S 1 .
• Sea E = ω(x), para algún x ∈ S 1 . Si E 6= S 1 entonces E es un conjunto de Cantor.
Antes de demostrar este teorema debemos recordar que un conjunto K es un conjunto de Cantor
se si es compacto, perfecto (i.e. todos sus puntos son puntos de acumulación de sucesiones
infinitas) y denso en ninguna parte (i.e. ∂K = K ).
Demostración: Primero debemos verificar que se cumple la siguiente afirmación: dados un
punto arbitrario x ∈ S 1 y dos enteros diferentes m y n, la órbita positiva de cualquier punto y ∈ S 1
pasa eventualmente por el intervalo I = [ f m (x), f n (x)]. Es decir, ∀y ∈ S 1 ∃k > 0 tal que f k (y) ∈ I .
Para esto hay que observar que los intervalos f −k(m−n) (I ), con k ≥ 0 colindan sucesivamente (se
tocan en un extremo) y por lo tanto, o bien basta un número finito para cubrir S 1 o se acumulan
monótonamente en un punto fijo. Como el ρ( f ) es irracional, no hay puntos periódicos y por lo
tanto para cada y ∈ S 1 existe k ≥ 1 tal que y ∈ f −k(m−n) (I ), es decir f k (y) ∈ I .
Ahora, dado x ∈ S 1 , mostraremos que para cualquier y ∈ S 1 , el conjunto ω(y) = ω(x). Tomemos
x 0 ∈ ω(x), entonces existe f an (x) → x 0 con a n → +∞. La afirmación que acabamos de demostrar
nos garantiza que, para cada n existe b n tal que f bn (y) ∈ [ f an−1 (x), f an (x)] y de modo que b n →
+∞. Entonces f bn (y) → x 0 y por lo tanto ω(y) ⊂ ω(x). Intercambiando los papeles de x y y en el
argumento obtenemos que ω(y) = ω(x).
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Sea E = ω(x), para alguna x ∈ S 1 . Si z ∈ E , como E = ω(z), entonces z ∈ ω(z). Por lo tanto,
existe una sucesión f cn (z) → z. Esta sucesión esta formada por puntos distintos, ya que, en caso
contrario, el punto z sería periódico. Por lo tanto E es perfecto.
Finalmente, el conjunto E no contiene subconjuntos invariantes no vacíos. Si ; 6= E 0 ⊂ E entonces existe z ∈ E y por lo tanto E = ω(z) ⊂ E 0 . Como f es un homeomorfismo, ∂E ⊂ E es un
cerrado invariante, entonces, o bien ∂E = ; y en ese caso E = S 1 ; o bien ∂E = E y entonces E es
un conjunto de Cantor.
Observación: Dado α ∈ R à Q, consideremos R α , la rotación de ángulo α. Entonces ω(x) = S 1 ,
para toda x ∈ S 1 . Es decir, cualquier órbita es densa.
Para convencerse de que esta observación es cierta, es necesaria la siguiente noción: Toma x 0 ∈
S 1 y denota, como siempre, x n := R αn (x 0 ) a su órbita. Decimos que q ∈ N es un retorno de x 0 a
y si ∀0 < | j | < q, x j pertenece a la misma componente conexa de S 1 à {y, x q }. Dado que α es
irracional, la sucesión q j de retornos de x 0 a y = x 0 es infinita. De hecho, en caso contrario,
x 0 sería un punto periódico. En particular, x 0 ∈ ω(x 0 ). Ahora bien, no es difícil verificar que la
sucesión de retornos a cualquier y ∈ S 1 es infinita.
Teorema 5. Dado f ∈ Homeo+ (S 1 ), si ρ( f ) ∉ Q, entonces existe h : S 1 → S 1 , contínua y suprayectiva tal que h ◦ f = R ρ( f ) ◦ h.
Observa que h no es una conjugación topológica dado que este teorema no garantiza la inyectividad de h. En general, esta noción es llamada: semi-conjugación.
Idea de la demostración: El lector interesado podrá encontrar una demostración completa de
este teorema en [Nav07] (donde construye explicitamente h). Sin embargo aquí sólo daremos
una idea de porqué es verdad. Denota por ρ = ρ( f ). Toma un levantamiento F de f y toma un
punto x 0 ∈ R. La manera natural de definir H , un levantamiento de la función h que buscamos,
de modo que respete el órden de las órbitas en S 1 es la siguiente: a cada n ∈ Z
H : x n 7→ nρ.
Observa que {Π(x n )|n ∈ Z} es la órbita de Π(x) bajo f y {Π(nρ)|n ∈ Z} es la órbita del Π(0) bajo
R ρ . Y por supuesto h = Π ◦ H satisface que h ◦ f = R ρ ◦ h en los puntos de la órbita de x 0 . Dado
que la órbita del 0 bajo la rotación es densa en S 1 , Π ◦ H se extiende de manera contínua y el
contradominio es todo S 1 . Por otro lado, el dominio es la cerradura de {Π(x n )|n ∈ Z}, que es
precisamente ω(Π(x 0 )). El Teorema 4 nos garantiza que ω(Π(x 0 )) o bien es todo S 1 o bien es un
conjunto de cantor. Para garantizar que h se extiende a todo el círculo, hay que verificar que h
es constante en cada componente conexa del complemento del conjunto de cantor.
Cabe resaltar lo siguiente: Si J es una componente conexa de ω(x 0 ) en S 1 entonces
S 1 = ∪n∈Z f n (J ) ∪ ω(x 0 )
y {h ◦ R ρn (J )|n ∈ Z} corresponde a la órbita de un punto ζ ∈ S 1 bajo R ρ . La propiedad clave para
verificar este hecho es que los extremos de dichos intervalos tienen los mismos retornos de la
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órbita de x 0 bajo f . Por supuesto, esto no es una demostración formal, sino sólo la idea dinámica
detrás del teorema.
Definición: Dado f ∈ Homeo+ (S 1 ) un intervalo J ⊂ S 1 tal que f n (J ) ∩ J = ; para toda n ∈ Z es un
intervalo errante.
Dado f ∈ Homeo+ (S 1 ), si podemos garantizar que no existen intervalos errantes, entonces podremos garantizar que h es una conjugación. Sin embargo, hay ejemplos de homeomorfismos
que, en efecto, tienen intervalos errantes (ver [Mil01]). Para garantizar que no existen intervalos
errantes, debemos restringir el universo de sistemas dinámicos en el círculo a los difeomorfismos de clase C 2 . Un homeomorfismo del círculo f es diferenciable si algun levantamiento de
f es diferenciable y es un difeomorfismo si tanto f como f −1 son diferenciables. Un difeomorfismo es de clase C 2 si f si la primera y la segunda derivada de f son contínuas.
2.2. Control de la distorsión. Considera una función F : R → R de clase C 1 y un intervalo I ⊂ R
tal que F 0 (x) 6= 0, para todo x ∈ I . A la pareja (F, I ) podemos asignarle un número, llamado la
nolinearidad de F en I , de la siguiente manera:
µ
¶
³
´
³
´
maxx F 0 (x)
nl(F, I ) = log max F 0 (x) − log min F 0 (x) = log
x
x
minx F 0 (x)
Este número refleja que tan lejos de ser lineal está la funcion F : I → F (I ). De hecho, nl(F, I ) = 0
sí y sólo sí F (x) = ax + b, para algunos a y b reales.
Lema 6. Sean F : I 0 → I 1 y G : I 1 → I 2 , funciones de clase C 1 , definidas en sus correspondientes
intervalos de R y cuyas derivadas son positivas, entonces
nl(G ◦ F, I 0 ) ≤ nl(F, I 0 ) + nl(G, I 1 ).
Demostración: Es una sencilla aplicación de la regla de la cadena. De hecho,
log(G ◦ F )0 (x) = log F 0 (x) + logG 0 ( F (x) ). Ahora bien, si suponemos además que F es de clase C 2 , podemos obtener una fórmula interesante para calcular la distorsión de una función, mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.
De hecho, si F 0 alcanza su máximo x max y su mínimo x min en I , entonces tenemos que
Z xmax
0
0
(5)
nl(F, I ) = log F (x max ) − log F (x min ) =
(log F 0 )0 (x)d x
x min
Z xmax 00
Z xmax ¯ 00 ¯
¯ F (x) ¯
F (x)
¯
¯
=
(6)
dx ≤
¯ F 0 (x) ¯ d x
0
x min F (x)
x min
Por otro lado, podemos transportar estos conceptos a los difeomorfismos del círculo. Sea f :
R/Z → R/Z un difeomorfismo de clase C 2 y considera un intervalo I 0 ⊂ R/Z. Denota los iterados
de este intervalo por I n := f n (I 0 ), para cada n ∈ Z. Observa que la derivada de f tiene sentido y
es una función contínua f 0 : R/Z → R. Entonces, la no-linearidad de f en I 0 está bien definida:
nl( f , I 0 ) ≥ 0.
11
Lema 7. Dado un difeomorfismo f , de clase C 2 en el círculo, existe una constante:
¯ 00 ¯
Z
¯ f (ζ) ¯
¯
¯
K :=
¯ 0 ¯ d ζ < +∞,
R/Z f (ζ)
que verifica lo siguiente: para cualquier intervalo I 0 ⊂ R/Z y cualquier n > 0, si {I j := f j (I 0 )| 0 ≤
j ≤ n − 1}, son disjuntos dos a dos, entonces tenemos que:
nl( f n , I 0 ) ≤ K .
Demostración: El Lemma 6 y la cuenta en (5) nos
dades:
Z
n−1
X
nl( f , I j ) ≤
nl( f n , I 0 ) ≤
j =0
permiten afirmar las siguientes desigual-
¯ 00 ¯
¯ f (x) ¯
¯
¯ (x)d x ≤ K .
¯ 0
¯
∪I j f (x)
Es importante recalcar que para poder afirmar la segunda es necesario que los intervalos {I j }
sean disjuntos dos a dos.
Ahora si podemos dar una demostración del teorema de Denjoy.
Teorema 6 (Denjoy). Sea f un difeomorfismo del círculo de clase C 2 que preserva orientación y
tal que ρ( f ) ∉ Q. Entonces f es topológicamente conjugado a una R ρ( f ) .
Demostración: Solo nos queda demostrar que si f satisface las hipótesis del teorema de Denjoy
entonces no tiene intervalos errrantes. Sea I un intervalo errante de f y definamos I n := f n (I ),
para cada n ∈ Z. Tomemos además z 0 ∈ I 0 y definamos z n = f n (z 0 ) ∈ I n como punto de referencia.
(a) Existen infinitos retornos q j de z 0 a sí mismo, pues ρ( f ) ∉ Q.
(b) Dado que I n ⊂ S 1 , para toda n y son disjuntos dos a dos, entonces |I n | → 0 cuando
|n| → ∞. |J | denota la longitud del intervalo J .
Estas dos afirmaciones nos garantizan que podemis elegir un retorno q = q j tal que la longitud
de I q como I −q sean arbitrariamente pequeñas.
La idea, ahora, es construir una sucesión de intervalos J 0 , J 1 , . . . , J q disjuntos, donde la nolinearidad de f q : J 0 → J q sea arbitrariamente grande.
Denota por T el intervalo entre I 0 y I −q que no contiene a los demás intervalos I j . Observa que,
como q es un retorno, entonces, todos los intervalos I j , con 0 < | j | < q están contenidos en la
misma componente conexa de S 1 à {z 0 , z −q }. Llamemos entonces
J 0 := I 0 ∪ T ∪ I −q .
Y definamos ahora J i := f i (J 0 ), con i = 1, . . . , q − 1. Observa que estos intervalos son disjuntos
dos a dos.
12
(c) Una aplicación del Teorema del valor medio. Observa que φ := f q : I −q → I 0 es diferenciable y que existe un punto α ∈ I −q ⊂ J 0 tal que φ0 (α) = |I|I−q0 || . Por otro lado, φ := f q : I 0 → I q
también es diferenciable y que existe un punto β ∈ I 0 ⊂ J 0 tal que φ0 (β) =
|I q |
|I 0 | .
Por lo tanto,
nl(φ, J 0 ) = max log(φ0 (x)) − min log(φ0 (x))
x∈J 0
0
x∈J 0
0
≥ log(φ (α)) − log(φ (β)) → ∞
q→∞
Pues, cuando q → ∞ tenemos que |I q | y |I −q | tienden a 0. Esto contradice al Lema 7. Por lo tanto,
f no puede tener intervalos errantes.
No es dificil demostrar, ahora, el siguiente corolario:
Corolario 1. Si f y g son difeomorfismos de clase C 2 del círculo, que preservan orientación y tales
que ρ( f ) = ρ(g ) entonces f y g son topológicamente conjugados.
Parte II
Teorema de Duminy
3. M INIMALES DE ACCIONES DE GRUPOS POR HOMEOMORFISMOS
Sea G un grupo con elemento neutro e. Una acción por homoeomorfismos de G en S 1 es una
función Φ : G × S 1 → S 1 que satisface las condiciones
• Para cada g ∈ G, Φ(g , ·) : S 1 → S 1 es un homeomorfismo.
• Φ(e, x) = x para toda x
• Para todo g 1 , g 2 ∈ G y para todo x ∈ S 1 ,
Φ(g 2 (Φ(g 1 , x)) = Φ(g 2 g 1 , x).
El caso más sencillo de una acción es la que está dada por un homoeomorfismo f . En este caso
el grupo es (Z, +) y la acción está dada por
Φ(n, x) = f n (x).
Sea Φ : Γ × S 1 → S 1 una acción (por homeomorfismos). Un conjunto A ⊂ S 1 se llama invariante
si para todo x ∈ S 1 y todo g ∈ Γ se tiene que Φ(g , x) ∈ A.
Definición 1. Dada una acción, un minimal es un conjunto cerrado invariante (no vacío) que no
contiene propiamente a ningún subconjunto cerrado invariante (no vacío).
13
El conjunto de todos los cerrados invariantes está naturalmente ordenado por contención. Además,
como la intersección de conjuntos cerrados invariantes no vacíos y anidados es un conjunto cerrado invariante no vacío, podemos aplicar el lema de Zorn, lo que nos garantiza la existencia de
un minimal. En cuanto a la naturaleza del minimal, tenemos la siguiente:
Proposición 2. Un minimal es
• un conjunto finito,
• un conjunto de Cantor o
• todo S 1 .
Demostración. Sea Λ un minimal. A partil de éste, podemos construir otros dos cerrados invariantes contenidos en Λ: la frontera ∂Λ y su primer conjunto derivado Λ0 (el conjunto de sus
puntos de acumulación). Por la minimalidad de Λ, tenemos las siguientes posibilidades:
• Λ0 es vacío así que Λ es una órbita finita;
• ∂Λ es vacío así que Λ = S 1 .
• Λ0 = Λ y ∂Λ = ;, es decir, Λ es un conjunto cerrado de interior vacío tal que todos sus
puntos son puntos de acumulación (en otras palabras, es un conjunto de Cantor).
Proposición 3. Si el minimal es un conjunto de Cantor, está contenido en la cerradura de toda
órbita (en particular, el minimal es único).
Demostración. Sea p ∈ S 1 , q ∈ Λ. Debemos probar que existe una sucesión {g i } ⊂ Γ tal que
limi →∞ g i (p) = q. Esto es consecuencia de la minimalidad de Λ. Si p ∈ Λ entonces, por minimalidad, la órbita de p es densa en Λ. Si p ∉ Λ, consideramos el intervalo I = (a, b) ⊂ S 1 \ Λ tal
que a, b ∈ Λ. Como la órbita de a es densa en Λ y éste no tiene puntos aislados, debe existir una
sucesión {g i } ⊂ Γ tal que limi →∞ g i (a) = q y de modo que los intervalos g i (I ) sean ajenos. La
longitud de g i (I ) debe entonces tender a cero, por lo que limi →∞ g i (p) = q.
Del Teorema de Denjoy y las propiedades del número de rotación podemos obtener el siguiente
corolario:
Corolario 4. Si f : S 1 → S 1 es un difeomorfismo C 2 entonces su minimal no puede ser un conjunto
de Cantor.
Sabemos que si el número de rotación es racional hay una órbita periódica (en este caso esta
órbita es o contiene un minimal). Si es irracional entonces (por el Teorema de Denjoy) es conjugado topológicamente a una rotación irracional, así que todas las órbitas son densas y el minimal
todo S 1 .
El Teorema de Duminy generaliza este corolario a las acciones de grupos sobre el círculo.
14
Es necesario incluir una hipótesis que no está presente en el caso de acciones de Z, que tiene
que ver con qué tan cerca está un difeomorfismo C 2 de ser una rotación.
Sea f : R/Z → R/Z un difeomorfismo C2 del círculo que preserve la orientación. Sea fe : R → R
uno de sus levantamientos. Definimos
Z 1 ¯¯ e00 ¯¯
¯f ¯
V (f ) =
¯ ¯
0 ¯ fe0 ¯
Afirmamos que V ( f ) = 0 si y sólo si f es una rotación: Necesariamente tenemos fe(x) = ax + b
pero como fe(x + 1) = a(x + 1) + b = (ax + b) + 1 entonces necesariamente a = 1 y se trata de una
rotación. Además, la variación es subaditiva:
(7)
V ( f g ) ≤ V ( f ) + V (g ).
Ejercicio 1. Prueba esta desigualdad.
Teorema 5 (Duminy). Existe una constante universal V0 > 0 que satisface la siguiente propiedad:
si Γ es
• un subgrupo de difeomorfismos C 2 del círculo generado por un conjunto G de difeomorfismos tales que al menos uno de ellos tenga un número finito de puntos periódicos o
• un subgrupo de difeomorfismos analíticos del círculo generado por un subgrupo G
tal que V (g ) < V0 para todo g ∈ G, entonces un minimal de la acción de Γ no puede ser un conjunto
de Cantor.
Nuestro objetivo en estas notas es ilustrar este Teorema en un caso muy particular. No estudiaremos difeomorfismos del círculo arbitrarios. Pensaremos ahora al círculo como R∪{∞}.
Consideremos ahora el grupo SL(2, R), el grupo (multiplicativo) de matrices 2 × 2 de determinante 1. Este grupo actúa en R ∪ {∞} de la sigiuente manera:
µ
¶
ax + b
a b
.
(8)
·x =
c d
cx + d
Hay que entender que esta transformación manda el punto ∞ a a/c y el punto −d /c a ∞.
Podemos ir de una representación del círculo a otra por
f : R/Z → R ∪ {∞}, f (β) = tan(βπ).
Por ejemplo, las rotaciones est´an dadas por el grupo de las matrices dela forma
½µ
¶
¾
cos(θπ) sin(θπ)
(9)
|θ ∈ R
− sin(θπ) cos(θπ)
ya que
µ
¶
µ
¶
cos(θπ) tan(βπ) + sin(θπ)
cos(tan(βπ) + tan(θπ)
1
1
arctan
= arctan
= β+θ
π
− sin(θπ) tan(βπ) + cos(θπ)
π
− tan(θπ) tan(βπ) + 1
15
4. U N POCO DE GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
4.1. El plano euclidiano. Una manera de definir la distancia en R2 es la siguiente: dada una
curva diferenciable γ : [a, b] → R2 , γ(t ) = (γ1 (t ), γ2 (t )), podemos definir su longitud como
Z bq
(γ01 )2 + (γ02 )2 .
L(γ) =
a
Después definimos la distancia entre dos puntos como
d (p, q) = inf{L(γ)|γ : [a, b] → R2 , γ(0) = p, γ(1) = q}
Ejercicio 2. Demuestra que la distancia así definida es la misma que la distancia “usual” de R2
dada por
q
d ((x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 )) = (x 0 − x 1 )2 + (y 0 − y 1 )2 .
4.2. El plano hiperbólico. Esta manera de definir distancias se puede generalizar a muchos contextos. A nosotros nos interesa la geometría hiperbólica. Sea
H2 = {(x, y) ∈ R2 |y > 0} = {z ∈ C| ℑ(z) > 0}
el semiplano superior. Para una curva γ : [a, b] → H2 definimos su longitud hiperbólica como
Z b q
1
L h (γ) =
(γ01 )2 + (γ02 )2 ,
a γ2
y definimos la distancia hiperbólica entre dos puntos como
d h (p, q) = inf{L h (γ)|γ : [a, b] → H2 , γ(0) = p, γ(1) = q}.
Al plano H2 dotado con esta manera de medir lo llamamos plano hiperbólico.
Afirmamos que la curva g (t ) = (0, e t ) es una geodésica, es decir, que minimiza la distancia entre
cualesquiera dos de sus puntos (es lo más parecido a una recta del plano euclidiano). Su longitud
es
Z
b
L(g ) =
a
d ξ = b − a.
probaremos que es la curva que tiene la menor longitud enre todas las que unen a sus extremos.
Supongamos que tenemos una curva γ(t ) : [a 0 , b 0 ] → H2 uniendo el punto p = (0, e a ) al punto
q = (0, e b ). Tenemos
Z b0 0
Z b0 ¯ 0 ¯ Z b0 0
Z b0 q
¯ γ2 ¯
γ2
|γ2 |
0
1
0 2
0 2
¯ ¯≥
(γ1 ) + (γ2 ) ≥
=
= log(γ2 )|ba 0 = b − a = L h (g ).
L h (γ) =
¯
¯
0
0
0
0
γ2
γ2
a
a
a γ2
a γ2
Aquí entra ahora PSL(2, R). Este grupo actúa en el plano hiperbólico de la siguiente manera:
µ
¶
az + b
a b
·z =
.
c d
cz + d
16
esta acción queda completamente determinada por su restricción al eje real, que es la acción (8).
Esta acción preserva el semiplano superior puesto que, para las partes imaginarias, tenemos
¶
µ
ℑ(z)
az + b
=
.
(10)
ℑ
cz + d
|c z + d |2
Lo más notable es que esta acción preserva las distancias
hiperbólicas!
Por ejemplo, si tomamos
µ
¶
0 1
la transformación −1/z, asociada a la matriz S =
y la curva γ : [a, b] → H2 , la transfor−1 0
mada de la curva está dada por:
Ã
!
−γ1
γ2
S(γ) = 2
,
.
γ1 + γ22 γ21 + γ22
Ejercicio 3. Demuestra que γ y S(γ) tienen la misma longitud.
Si tenemos la matriz
µ
A=
a
c
b
d
¶
y d 6= 0 entonces
µ
(11)
A=S
−1 c/a
0 −1
¶ µ
¶
a
b
S
.
0 1/a
Si ya demostramos que S preserva las distancias hiperbólicas, para acabar de probar que todo
PSL(2, R) las preserva solo tenemos que verificarlo (por esta factorización) para las transformaciones de la forma z 7→ αz + β, α, β ∈ R.
Ejercicio 4. Hazlo (es mucho más fácil que el anterior)
Como el grupo PSL(2, R) preserva las distancias (decimos que es una isometría), transforma las
geodésicas en geodésicas.
No es difícil probar que S transforma el círculo de radio r con centro en p ∈ R en el círculo de
radio
r
2
||p| − r 2 |
con centro en
p
.
|p|2 − r 2
Los círculos que pasan por el origen (centrados en la recta real) los transforma en rectas verticales y vicecersa. Preserva la recta vertical que pasa por el origen.
De la factorización (11), tenemos que las geodésicas de la geometría hiperbólica son arcos de
círculos ortonogales al eje real o rectas verticales.
17
5. D E VUELTA CON D UMINY
¿Qué tiene que ver todo esto con Duminy?
Algo notable es que si g es un difeomorfismo que proviene de SL(2, R) entonces
V (g ) = d h (i , g · i )
Pruebalo! Las rotaciones (9) son exactamente las tranformaciones que fijan al punto i .
En este contexto, la fórmula (7) es simplemente la desigualdad del triángulo y la invarianza de la
distancia hiperbólica:
V ( f ) + V (g ) = d h (i , f · i ) + d h (i , g · i ) =
= d h (i , f · i ) + d h ( f (i ), ( f g ) · i ) ≤ d h (i , ( f g ) · i ) = V ( f g )
De esta manera la variación es muy natural dentro de la geometría hiperbólica. Podemos dar
una versión simplificada del Teorema de Duminy de la siguiente manera:
Teorema 6 (“Duminy” para PSL(R)). Existe una constante universal V0 > 0 que satisface la siguiente propiedad: si Γ es un subgrupo de PSL(2, R) generado por un conjunto G tal que d h (i , g (i )) <
V0 para todo g ∈ G, entonces un minimal de la acción de Γ no puede ser un conjunto de Cantor.
Ahora veremos, con un ejemplo, que la hipótesis acerca de la variación (o la no linearidad) es
indispensable.
6. E L GRUPO MODULAR Y SU ACCIÓN EN EL CÍRCULO
El grupo PSL(2, Z) o grupo modular es el cociente del grupo
¾
½µ
¶¯
a b ¯¯
ad − bc = 1, a, b, c, d ∈ Z
c d ¯
µ
¶
−1
0
por el subgrupo generado por
. Es un grupo infinito. Para su acción en el círculo,
0 −1
todas las órbitas son densas (la órbita de 0 la componen los racionales). Veremos que si deformamos un poco este grupo, el minimal de la acción en el círculo será ahora un conjunto de
Cantor.
Tenemos que precisar, sin emabrgo, qué quiere decir deformar el grupo y para eso tenemos que
entender mejor el grupo PSL(2, Z).
Este grupo tiene dos elementos
µ
S=
0 1
−1 0
¶
µ
,T =
1 1
0 1
¶
18
para los cuales tenemos S 2 = I ,
n
T =
µ
1 n
0 1
¶
.
Actúan en H2 de la manera siguiente:
1
S
T
z −→ − , z −→ z + 1.
z
Queremos probar que el conjunto
∆ = {x + i y ∈ H2 | x 2 + y 2 ≥ 1, |x| ≤ 1/2}
es un dominio fundamental de la acción de PSL(2, Z) en H2 . Esto quiere decir que
• Para todo z ∈ H2 existe g ∈ PSL(2, Z) tal que g (z) ∈ ∆.
• Para todo z en el interior de ∆ y todo g ∈ PSL(2, Z), g 6= e, g (z) ∉ ∆ (es decir, para los
puntos del interior el elemento g del inciso anterior es único.
Vamos a probar lo anterior de una manera “algorítmica”. Sea z 0 ∈ H2 . Queremos probar el primer
inciso. Para esto haremos lo siguiente:
Paso 0: empecemos con i = 0.
Paso 1: Sea ζ ∈ H2 tal que |ℑ(ζ)| ≤ 1/2 y tal que exista una m ∈ Z tal que T m (z i ) = ζ. Si ζ ∈ ∆,
ya acabamos. Si no, sea z i +1 = S(ζ).
Paso 2: Repita el Paso 1 con i = i + 1.
Por supuesto, tenemos que ver que, sin importar con que z 0 empecemos, siempre acabamos en
un número finito de pasos, lo que implica que, efectivamente, existe un elemento de PSL(2, Z)
que lleva z 0 a ∆. Notemos, por un lado, que como T es una traslación horizontal, preserva la
parte imaginaria; por otro lado, según la fórmula (10), si z = x + i y, la parte imaginaria de S(z)
es
y
.
2
x + y2
De este modo, si ζ ∉ ∆, entonces |z| < 1. Esto implica que, en la sucesión z i que construimos, las
partes imaginarias son estrictamente crecientes. Sea entonces z ∞ un punto de acumulación de
{z i }
Se puede probar (no lo haremos) que esta sucesión nos lleva eventualmente a ∆.
Para probar que de hecho es un dominio fundamental de todo el grupo. Si A ∈ PSL(2, Z) une dos
puntos del interior del dominio, podemos suponer que ℑ(Az) ≥ ℑ(z). Si
µ
¶
a b
A=
c d
esto quiere decir, según la fórmula (10) que
(c x + d )2 + c 2 y 2 ≤ 1.
19
Si c = 0, que d 2 ≤ 1 y entonces d = 1 y tenemos que A = T n ; y si c 6= 0, que
¶
µ
12
d 2
+ y2 ≤ ,
x+
c
c
que es un círculo con radio 1/c centrado en la recta real. Como tiene que intersectar al dominio,
tenemos que c 2 = 1 (c = 1). La desigualdad se vuelve
(x + d )2 + y 2 ≤ 1,
y entonces d = 0 ó d = 1. y estos círculos no intersectan en el interior de ∆.
Corolario 7. S y T generan a PSL(2, Z).
Demostración. Sabemos que todo punto de H2 lo podemos llevar a ∆ por un elemento (esencialmente único) de PSL(2, Z). Sabemos también que este elemento lo podemos escribir (por el
algoritmo) como composición de S y de potencias de T .
Sabemos que S y T generan al grupo, pero esto no es suficiente para caracterizarlo. Para esto,
consideremos
µ
¶
0
1
R = ST =
, R3 = I .
−1 −1
Notemos que T = SR así que, como S y T generan al grupo, S y R también lo generan.
Proposición 8. El grupo PSL(2, Z) es isomorfo al producto libre amalgamado (Z/2Z) ∗ (Z/3Z).
Esto quiere decir que no sólo todo elemento del grupo se puede escribir como composición
de S y R sino que esta composición es única (basta probar que ninguna composición de S y R
puede ser la identidad). La prueba se basa en el lema del Ping-Pong. Sea A el conjunto de los
reales positivos, B el conjunto de los reales negativos. Notemos que S(B ) = A, que R(A) ( B
y que R 2 (A) ( B , así que, para i = 1, 2, SR i (A) ( A. Supongamos que podemos escribir a la
identidad de G como
e = R i 1 SR i 2 S · · · SR i n
con i j ∈ {1, 2}. Por un lado, e(A) = A. Por otro lado,
R i 1 SR i 2 S · · · SR i n = R i 1 (SR i 2 ) · · · (SR i n )
tenemos que SR i n (A) ⊂ (A) pero como R i 1 (A) ⊂ B , e(A) ⊂ B , y esto es una contradicción. Si
e = SR i 1 SR i 2 S · · · R i n = (SR i 1 ) · · · (SR i n )
entonces por una lado e(A) = A y por otro e(A) ( A, lo que también es una contradicción.
Faltaría estudiar otros dos tipos de elementos, que son los que acaban (¿empiezan?) con S y no
con una potencia de R. Sin embargo, se pueden conjugar por S para reducirlos a los casos que
ya estudiamos.
Ejercicio 5. Convéncete de la última afirmación.
20
Vamos ahora a deformar nuestro grupo PSL(2, Z) dentro de PSL(2, R). Vamos a considerar una
familia a un parámetro de grupos Γθ , que van a estar generados por S y por
p
p
µ
¶
1
sin(2πθ) + 3 cos(2πθ)
− 3
p
p
.
R(θ) =
3
sin(2πθ) − 3 cos(2πθ)
2 sin(2πθ)
Ésta es una transformación de orden 3 que fija el punto exp(2i πθ). Estudiaremos cuál es el minimal de la ación de Γθ en R ∪ {∞}.
Nuestro caso, PSL(2, Z), corresponde a θ = 1/3. Otro caso interesante es el caso en que θ = 1/4. En
este caso S y R generan un grupo finito de orden 6, un grupo de rotaciones (ambos generadores
fijan el punto i . Nos van a interesar los valores θ ∈ [1/4, ∞). En el valor 1/4 estamos en el caso de
la rotación. Conforme θ aumenta nos vamos alejando más y más de ser una rotación, es decir,
el mínimo valor que V toma en S y R(θ) va aumentando. La siguiente dicotomía ejemplifica el
Teorema de Duminy (sobre todo, la necesidad de las hipótesis):
• Si θ ∈ [1/4, 1/3], el minimal de la acción de Γθ en S 1 es todo S 1 .
• Si θ > 1/4, el minimal de la acción de Γθ en S 1 es un conjunto de Cantor.
Algo especial de ∆, el dominio fundamental de PSL(2, Z), es que, a pesar de no ser compacto, su
área hiperbólica es finita. Del mismo modo en que para saber el área de un subconjunto A de R2
hacemos la integral
Z
d xd y,
A
en el plano hiperbólico el área (¡hiperbólica!) de un conjunto A está dada por la integral
Z
1
d xd y.
2
A y
Afirmamos que el área de ∆ es π/3 (y, en particular, es finita). Podemos partir ∆ con la recta y = 1.
Al hacerlo nos quedan tres pedazos, dos de ellos de áreas iguales y tenemos:
ÃZ 1
!
ÃZ 1
!
Z
Z ∞
Z 1
2
2
1
1
1
d xd y =
dx dy +2 p 2 p
dx dy
2
2
3 y
∆ y
y=1 y
− 21
1−y 2
2
Z 1
Z 1 p
Z ∞
1 − y2
1
1
dy + p 2dy −2 p
dy
=
2
3 y
3
y2
y=1 y
2
2
Z 1 p
1 − y2
2p
π
=
3−2 p
dy =
2
3
3
y
3
2
Para los valores θ ∈ (1/4, 1/3) tenemos, segun Knapp (ver [Kna68]), la siguiente dicotomía:
• el grupo generado no es discreto, es decir, existe una sucesión {g i } ⊂ Γθ de elementos
distintos de la identidad tales que limi →∞ = e.
• el grupo generado es discreto y tiene un dominio fundamental compacto (en particular,
de área finita).
21
En el primer caso, todas las órbitas de la acción de Γθ en S 1 son densas puesto que, dado x ∈ S 1 ,
limi →∞ g i (x) = x. En el segundo caso (que contiene los grupos triangulares (2, 3, n), n ≥ 7), la
compacidad del dominio fundamental implica que, en el círculo, todas las órbitas son densas.
Para θ > 1/3, según el mismo Knapp, el grupo es discreto. Su dominio fundamental es ahora de
área infinita. Esto implica que el minimal de la acción en S 1 es un conjunto de Cantor.
7. PARA LEER MÁS
El libro de Andrés Navas [Nav07] tiene mucho de lo que se sabe acerca de los difeomorfismos del
círculo. Además de sus cualidades matemáticas, está en español y se puede descargar gratis.
Milnor [Mil01] escribió unas notas de sistemas dinámicos que cubren una gran variedad de
temas. Aquí puedes leer más acerca del Teorema de Denjoy.
El libro de Katok [Kat92] trata de los grupos fucshianos, los grupos discretos de isometrías de H2 .
Es una excelente referencia de nivel introductorio.
R EFERENCES
[Kat92] Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL,
1992.
[Kna68] W. A. Knapp. Doubly generated fuchsian groups. Michigan Math. J., 15(3):289–304, 1968.
[Mil01] John Milnor. Introductory dynamics lectures. Disponible en: http://www.math.sunysb.edu/∼jack/DYNOTES,
2001.
[Nav07] Andrés Navas. Grupos de difeomorfismos del círculo, volume 13 of Ensaios Matemáticos. Sociedade Brasileira de Matemtica, Rio de Janeiro, 2007. Disponible gratuitamente en:
http://www.emis.de/journals/em/ensaiossite.html.
E-mail address: [email protected] –- [email protected]

Sistemas dinámicos en el círculo

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