Números complejos

Transcripción

Números complejos

TESOEM
CUADERNILLO DE
APUNTES DE
MATEMÁTICAS III
(ÀLGEBRA LINEAL)
ELABORADO POR: LUIS IGNACIO SANDOVAL
PAÈZ
M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paèz
1
ÌNDICE
Números complejos. …………………3
Introducción……………………………3
Números complejos…………………..4
Matrices…………………………………9
Concepto de matriz…………………..11
Matrices iguales………………………13
Matrices especiales………………….14
Matriz traspuesta……………………..21
Suma de matrices…………………….25
Multiplicación de matrices………….39
Sistemas de ecuaciones…………….54
Determinantes…………………………75
Matriz inversa………………………….93
Regla de cramer………………………103
Espacios vctoriales……………………...108
Introducción…………………………….108
Valores propios y vecrtores propios…..119
Bibliografía……………………………..121
2
Números complejos.
INTRODUCCIÒN
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos
proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Heron de
Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible
sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el
Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas
de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos
italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en
las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la
necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término
imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo
XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue
completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación
geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos
años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal,
con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros
campos para una descripción adecuada de las señales periódicas
variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ
podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda
sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente
o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento
sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la
forma
f(t) = z eiωt
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da
la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las
resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas
introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes
eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad
imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de
corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya
matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita
sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la
métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo
como una variable imaginaria.
3
En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces
complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de
primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las
funciones base de la forma: f(t) = ert.
NÙMEROS CONPLEJOS
Los Números Complejos son una extensión de los números reales,
cumpliéndose que
. Los números complejos tienen la capacidad
de representar todas las raíces de los polinomios cosa que con los reales
no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso
de una unidad imaginaria llamada número i. Donde
. Cada
complejo se representa en forma binomial como a + i·b donde a es la
parte real i b es la parte imaginaria. Desde un punto de vista geométrico la
recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista
como un subconjunto del plano de los números complejos. Cada número
complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que
siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división
entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a,
b), que verifican las siguientes propiedades:
•
•
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo el
cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter
único de ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el
cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más
aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los
complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números
reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo
ordenado.
4
Definición y propiedades principales de los números complejos
Un número complejo
decir
, donde
es un par ordenado de números reales
se denomina parte real de
parte imaginaria y se denotan por
,
los números complejos lo denotaremos por
complejos cualesquiera
e
, es
se denomina
. El conjunto de todos
. Para los números
y
, se define la operación
suma `` '' y multiplicación `` '' de la siguiente forma:
Es fácil comprobar que si y son números tales que
,
las operaciones anteriores coinciden con las de los números reales, de
forma que los números reales son un subconjunto de los complejos,
concretamente son los números complejos de la forma
.
Utilizando el conjunto de los números complejos descubrimos que es
posible resolver ecuaciones algebraicas que no eran resolubles para los
reales, por ejemplo
La expresión más común para representar un número complejo es la
forma binómica:
Antes de pasar al segundo punto de este apartado debemos destacar que
los números complejos también satisfacen los axiomas de cuerpo, no así
los de orden.
En efecto, probemos que para los complejos es imposible que se
cumplan los axiomas (propiedades) de la definición orden:
Un conjunto de elementos
relación de orden
cumple que
axiomas:
es un conjunto ordenado si existe una
tal que cuales quiera sean
y elementos de
se
o no se cumple y además tienen lugar los siguientes
5
1.
Para todo
,
2.
Si
y
entonces
.
Si
y
entonces
.
3.
4.
Para todos
,o
o
.
Si además, es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean
se tiene que
5.
Si
entonces
Si
y
y de
.
6.
entonces
.
Supongamos por ejemplo que
entonces por el axioma 6.
. Entonces o
, luego
(lo cual pudiera ser cierto en
o
,
, o equivalentemente,
pues no hemos decidido todavía que
criterio vamos a utilizar para ordenarlos). Ahora bien, si
, de donde
. Si
, entonces
, lo cual es imposible por el axioma 4. Es
. Un razonamiento análogo demuestra que
decir es imposible que
no puede ser menor que cero (probar esto último como ejercicio). Luego
no hay forma alguna que nos permita ordenar los complejos.
Operaciones elementales. Sean
números complejos cualesquiera, entonces
Se llama complejo conjugado de un número
. Para
y
dos
al número
se cumple que:
6
Además
de donde deducimos que
si y sólo si
.
Forma trigonométrica y exponencial de un número complejo.
. Se define el módulo de
al ángulo
tal que
El módulo
propiedades.
1.
al número
Sea
y al argumento de
,
. Entonces,
y el argumento de
cumplen con las siguientes
.
2.
3.
.
4.
.
5.
.
6. Si
Dado
y
, se define la exponencial compleja de
, entonces
,
como
(1)
7
Por tanto, cualquier número complejo se puede escribir de la forma:
La ecuación (1) se conoce como fórmula de Euler.
Definiremos la función
mediante la expresión
La función exponencial tiene las siguientes propiedades:
1.
.
2.
.
3.
4.
.
5.
6.
Potencias enteras y raíces enteras de un número complejo.
Entonces
Sea
.
La fórmula anterior se conoce como fórmula de Moivre.
Tomemos ahora un número complejo
tiene
soluciones
las raíces
la fórmula:
. Entonces la ecuación
y dichas soluciones, que son
ésimas complejas de un número complejo están dadas por
MATRICES
8
Introducción
Las matrices y los determinantes comenzaron a desarrollarse con mayor
fuerza a fines del siglo XVII. En sus comienzos, su desarrollo estaba
dirigido a transformaciones de objetos geométricos y a la resolución de
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Aunque en nuestros tiempos se consideran primero las matrices antes
que los determinantes, en sus inicios no fue así. Se le daba más énfasis al
estudio de los determinantes que a las matrices.
Actualmente, las matrices son de mucha utilidad en problemas
prácticos de la vida diaria. Sobre todo en aquellos que involucran
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Por ejemplo, considera lo siguiente:
La siguiente información corresponde a la cantidad de energía (calorías) y
proteínas (gramos) que aportan a nuestro organismo una porción de
leche en polvo con una porción de alimento fortificante.
¿Cuántas porciones de leche en polvo y alimento fortificante se requiere
para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas?
Sea x la cantidad de porciones de alimento fortificante y sea y la cantidad
de porciones de leche. De acuerdo a esto, podemos formar la siguiente
ecuación:
9
Problemas como este, tan propios de tu vida, se pueden solucionar
utilizando la Teoría de Matrices.
Algunos de los principales exponentes que de alguna u otra forma
aportaron con sus cocimientos en el desarrollo de la Teoría de Matrices
son Gauss, Cramer, Laplace, Leibniz, De l’hospital, Cardan y muchos
otros más.
Si deseas investigar más al respecto y te gusta mucho navegar por
Internet, al final de todos los módulos encontrarás algunos sitios que
pueden enriquecer aún más tus conocimientos. También encontrarás
bibliografía por si deseas consultar libros al respecto.
Concepto de matriz
Llamaremos matriz de orden (nxm) sobre el cuerpo de los números reales
a un conjunto de números reales dispuestos en n filas y m columnas de la
siguiente forma:
10
Consideraciones
1. Las matrices se designan con una letra mayúscula, como A, B, C , D ,
etc.
Ejemplo:
2. La dimensión u orden de una matriz, está dado por la cantidad de filas
(n) y la cantidad de columnas (m) que esta tenga y se denota por (nxm).
Ejemplo:
11
3. Cada elemento de la matriz corresponde a un número real representado
de la forma (aij) donde i corresponde a la posición de fila y j corresponde
a la posición de la columna dentro de la matriz.
Ejemplo:
Donde:
4. La cantidad de elementos de la matriz se determina multiplicando la
cantidad de filas por la cantidad de columnas.
12
Ejemplo:
De ahora en adelante, denotaremos por A(nxm) o simplemente A, a una
matriz cualquiera de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los
números reales.
MATRICES IGUALES
Diremos que dos matrices son iguales, si tienen el mismo orden o
dimensión y los elementos que se encuentran en la misma posición, son
iguales. Esto es:
La idea es que dos matrices son diferentes si difieren en al menos un
elemento.
Ejemplo:
Luego, A = B.
ESCALAR
13
En los capítulos siguientes, muchas veces nos referiremos al término
"escalar". Llamaremos escalar a cualquier constante numérica
perteneciente a los números reales.
Matrices Especiales
Como te podrás ir dando cuenta, existen infinitas matrices de distinto
orden con elementos pertenecientes a los números Reales.
Tenemos un grupo de matrices que, debido a los elementos que las
componen y a la forma en que están ubicados, cumplen con propiedades
especiales. Lo que facilita mucho las cosas cuando se trata de resolver
algún problema práctico (que verás más adelante).
Sea A(nxm) una matriz con elementos pertenecientes a los números
reales.
1. A será llamada matriz fila si n=1.
Ejemplo:
2. A será llamada matriz columna si m=1.
Ejemplo:
3. A será llamada matriz nula si aij =0 ∀i 1 <= i <= n; ∀j 1 <= j <= m.
14
Ejemplo:
En los próximos capítulos, a la matriz nula la denotaremos simplemente
como 0.
4. A será llamada matriz cuadrada si n=m.
Ejemplo:
5. A será llamada matriz diagonal si:
a) n = m
b) aij=0 si i ≠ j
Ejemplo:
6. A será llamada matriz identidad si:
a) n = m
15
b) aij=0 si i ≠ j y aij = 1 si i =j
Ejemplo:
7. A será llamada matriz triangular superior si:
a) n = m
b) aij = 0 si i >= j
Ejemplo:
8. A será llamada matriz triangular inferior si:
a) n = m
b) aij = 0 si i <= j
Ejemplo:
16
9.
A será llamada matriz simétrica si
a) n = m
b) aij = aji
Ejemplo:
Ejercicios de Matrices Especiales
1. Dada la siguiente matriz A = (aij), completa con el elemento o con la
posición del elemento (ejemplo a11 = -1, -2 = a13 ).
a32 =
1.5 =
a34 =
-3 =
a24 =
17
1/5 =
2. Solo una de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera ¿Cuál
es?
a) Las matrices se designan siempre con letras minúsculas.
b) El orden de una matriz está dado por la cantidad de filas que esta
tenga.
c) La cantidad de elementos de una matriz se determina sumando la
cantidad de filas columnas.
d) Para que dos matrices sean iguales, basta que tengan la misma
dimensión u orden.
e) Un elemento en una matriz corresponde a la intersección entre una fila
y una columna.
3. Dadas las siguientes matrices:
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Marca el cuadro que aparece a la derecha de la letra correspondiente a la
matriz(ces) que consideres correcta.
a) ¿Cuál(es) matriz es cuadrada?
A
B
C
D
E
F
G
H
E
F
G
H
F
G
H
F
G
H
b) ¿Cuál(es) matriz es simétrica?
A
B
C
D
c) ¿Cuál(es) matriz es triangular superior?
A
B
C
D
E
d) ¿Cuál(es) matriz es triangular inferior?
A
B
C
D
E
19
e) ¿Cuál(es) matriz es una matriz columna?
A
B
C
D
E
F
G
H
E
F
G
H
f) ¿Cuál(es) matriz es una matriz fila?
A
B
C
D
g) ¿Cuál(es) matriz es igual a la matriz C?
A
B
C
D
E
F
G
H
D
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
h) ¿Cuál(es) matriz es nula?
A
B
C
i) ¿Cuál(es) es una matriz diagonal?
A
B
C
D
j) ¿Cuál es una matriz identidad?
A
B
C
D
4.
Representa la información del ítem a y b por medio de una matriz y
luego concluye en el ítem c.
a) La producción en granos de trigo, arroz, maíz y cebada en miles de
toneladas durante el año 2000 en la región A fue respectivamente 3000,
200, 400 y 600. En la región B fue 700, 350, 700, 100. En la región C fue
1000, 100, 500, 800.
b) La producción en granos de trigo, arroz, maíz y cebada en miles de
toneladas durante el año 2001 en la región A fue respectivamente 5000,
50, 200 y 0. En la región B fue 2000, 100, 300, 300. En la región C fue 2000,
100, 600, 600.
c) ¿Qué puedes concluir respecto a la producción de granos en las
regiones A, B y C durante los años 2000 y 2001?
Matriz Transpuesta
20
¿Qué relación existe entre los siguientes pares de matrices A y B?
La relación que existe entre cada par de matrices, es que las filas de la
matriz A se convierten en las columnas de la matriz B. A la matriz B la
llamaremos matriz transpuesta de A y la denotaremos como:
Luego, sea A = (aij) una matriz de orden (nxm) con elementos
pertenecientes a los número reales. Llamaremos matriz transpuesta de A
a la matriz:
Ejemplo:
21
EJERCICIOS MATRIZ TRASPUESTA
Dadas las siguientes matrices:
1. Escribe en el recuadro la letra de la matriz transpuesta
correspondiente.
22
23
2. Para cada una de las matrices, determina la traspuesta de la matriz
transpuesta.
De esta actividad podemos concluir que:
a) La traspuesta de la matriz traspuesta es siempre una matriz cuadrada.
b) La traspuesta de la matriz traspuesta es siempre una matriz columna.
c) La transpuesta de la matriz traspuesta es siempre una matriz simétrica.
d) La traspuesta de la matriz traspuesta es la misma matriz.
e) La traspuesta de la matriz traspuesta es siempre una matriz fila.
3. Multiplica cada matriz por un escalar y determina la matriz transpuesta.
4. Multiplica la traspuesta de cada matriz por el mismo escalar del
ejercicio anterior.
5. De los ejercicios 3 y 4 podemos concluir que:
6. La siguiente matriz es la traspuesta de la matriz F indicada al inicio de
esta página ¿Cuál es el valor de x?
24
SUMA DE MATRICES
Vamos a comenzar esta unidad resolviendo un problema práctico.
La siguiente información, corresponde a la producción en granos en
miles de toneladas, en dos años consecutivos:
¿Cuál es la producción de granos en miles de toneladas durante los dos
años consecutivos?
Para resolver este problema, debemos sumar la producción del primer
año, con la producción del segundo año. Esto equivale a sumar los
elementos de la primera matriz con los elementos correspondientes de la
segunda matriz:
25
Lo que respondería nuestra pregunta.
Supongamos ahora que existen muchos incentivos para incrementar la
producción, condiciones climáticas favorables, etc. De tal forma que se
estima que la producción para el tercer año será el triple de la producción
del primero ¿Cuál será entonces, la producción estimada de este último
año?
En este caso, debemos multiplicar la producción del primer año por tres
(recuerda que es el triple).
26
Luego tenemos:
Para solucionar los problemas anteriores, acabamos de utilizar dos
operaciones muy importantes con matrices: la suma y la multiplicación
por un escalar (un número Real).
La suma de dos matrices, sean A =(aij) y B = (bij), solo es posible cuando
ambas matrices tienen la misma dimensión u orden. Esto es, sean A =
(aij) y B = (bij) matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a
los números reales.
Si sumamos A + B obtendremos una matriz C = (cij) con elementos
también pertenecientes a los números reales y del mismo orden:
27
Donde los elementos de la matriz C son de la forma:
Veamos un ejemplo:
Tenemos que A + B = B + A ¿Será conmutativa la suma de matrices?
Por supuesto que es conmutativa, puedes ver la demostración: CLICK
AQUI
Ahora si que podemos afirmar que la suma de matrices es conmutativa. O
sea:
Consideremos lo siguiente:
28
Tenemos que A+ ( B + C ) = ( A + B ) + C
Como en el caso anterior, veamos si la suma de matrices es asociativa:
De acuerdo a la demostración, podemos afirmar que la suma de matrices
es asociativa:
Veamos si la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices:
Luego, cualquier matriz sumada a la matriz nula, da como resultado la
misma matriz. O sea, la matriz nula es un elemento neutro en la suma de
matrices.
Listo, ahora ya sabemos sumar matrices. Pero aún nos falta analizar la
multiplicación de una matriz por un escalar.
Como nos pudimos dar cuenta en el problema planteado al comienzo de
este capítulo, para multiplicar una matriz por un número escalar, basta
multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por este número. Esto
es, sea A una matriz de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los
números reales. Y sea k un número real (el escalar).
29
Veamos dos ejemplos:
Sean
30
Matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números
reales. Y sea k un escalar Real.
Como lo vimos anteriormente, trata de demostrar que:
EJERCICIOS DE SUMA DE MATRICES
EJERCICIOS SUMA DE MATRICES
1. Dadas las siguiente matrices:
¿Cuál de los siguientes pares de matrices se pueden sumar?
a) La matriz C con la matriz E.
b) La matriz B con la matriz A.
c) La matriz E con la matriz F.
d) La matriz A con la matriz C.
e) La matriz D con la matriz F.
31
2. Sean A, B y C matrices de orden (nxn) con elementos pertenecientes a
los números reales. Si B es la matriz nula ¿Cuál de las siguientes
expresiones es siempre correcta?.
a) (D + C) + A + B = C + ( D + B)
b) C + ( D + A) = (C + D) + B
c) (A + D) + B + C = C + (D + A)
d) (B + D) + A + C = D + B - (C + A)
e) Ninguna de las anteriores.
3. Si C es la matriz nula ¿Cuál matriz corresponde a la matriz X?
32
Calcular:
A+B
A+C
C+B
5. ¿Cuál es el valor de x , y , z?
x=
y=
z=
6. Si la matriz resultado es una matriz triangular inferior ¿Cuál es el valor
de x, y, z?
x=
y=
z=
33
7. Si la segunda matriz de la expresión, es una matriz diagonal ¿Cuál es
el valor de x, y, z?
x=
y=
z=
8. Si la matriz resultado es la matriz simétrica de la primera matriz de la
expresión ¿Cuál es el valor de x, y, z?
x=
y=
z=
9. La siguiente información corresponde a la cantidad de libros de la
editorial A, B y C ordenados por tipo y empaste, que una librería tiene a la
venta.
34
a) ¿Cuál matriz representa la cantidad total de libros que la librería tiene a
la venta, por tipo y empaste.?
35
b) El dueño de la librería decide abrir una nueva sucursal. Para comenzar,
se lleva la décima parte de los libros de la editorial A, la quinta parte de la
editorial B y la cuarta parte de la editorial C. ¿Cuál es la cantidad total de
libros por tipo y empaste de esta nueva sucursal?
c) Si en la nueva sucursal se vendieron todos los libros ¿Cuántos libros
por tipo y empaste quedan por vender?
36
10. La siguiente información corresponde a los estilos de casa que diseña
un arquitecto y la cantidad de material que se requiere para su
construcción.
Si le piden construir tres casas de cada tipo ¿Cual es la cantidad de
material que se va a gastar en ello?
Fierro
Madera
Vidrio
Pintura
Tejas
11. La siguiente información corresponde a la distancia en kilómetros
entre ciudades.
37
Si la ciudad G está entre la ciudad A y la ciudad D. La ciudad H está entre
la ciudad A y la ciudad E. La ciudad I está entre la ciudad A y la ciudad F.
¿Que distancia hay entre la ciudad G y la ciudad D, la ciudad H y la ciudad
E, la ciudad I y la ciudad F?
Entre G y D
Entre H y E
Entre I y F
12. La siguiente información corresponde a la cantidad de productos que
producen las plantas 1, 2, 3 y 4 en un día.
¿Cuál es la cantidad de producto1, producto2 y producto3 que se
producen en ocho días?
Producto1
Producto2
Producto3
13. Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos A, B y C. Partes
de cada uno se elaboran en la fábrica F1 de Taiwán y después se terminan
en la fábrica F2 de Estados Unidos. El costo total de cada producto
consta de los costos de manufactura y de embarque.
38
¿Cuál es el costo total de manufactura y embarque?
Costo Manufactura
Costo Embarque
MULTIPLICACIÒN DE MATRICES
La siguiente información corresponde a la cantidad de vitaminas A, B y C
contenidas en cada unidad de los alimentos I y II.
Si ingerimos cinco unidades del alimento I y dos unidades del alimento II
¿Cuánto consumiremos de cada tipo de vitamina?
39
Para resolver este problema, representemos el consumo de los alimentos
I y II (en este orden) en la siguiente matriz:
La operación que nos va a permitir obtener la cantidad ingerida de cada
vitamina es la siguiente:
Esto quiere decir que serán ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15
unidades de vitamina B y 2 unidades de vitamina C. Lo que respondería
nuestra interrogante.
Supongamos ahora que el costo de los alimentos depende solamente de
su contenido vitamínico y sabemos que los precios por unidad de
vitamina A, B y C son respectivamente $5, $3 y $5. Entonces ¿Cuánto
pagaremos por la porción de alimentos indicada anteriormente?
Esto lo podemos resolver de la siguiente forma:
40
Esto quiere decir que pagaríamos $205.
Las dos operaciones que acabamos de realizar las llamaremos producto
o multiplicación de matrices. La matriz resultado o matriz producto es
obtenida a partir de una fila de la primera matriz y una columna de la
segunda. Veámoslo para un caso genérico:
41
Para poder multiplicar dos matrices, es necesario que la cantidad de
columnas de la primera matriz, sea igual a la cantidad de filas de la
segunda.
Luego, si A es una matriz de orden (nxm) y B es una matriz de orden
(mxp), entonces la matriz resultado será una matriz de orden (nxp).
Veamos un ejemplo:
Aquí sucede algo muy importante, fíjate que AB es distinto de BA, esto
quiere decir que el producto de matrices no es conmutativo.
42
EJERCICIOS MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
a) ¿Cuál(es) de los siguientes pares de matrices se pueden multiplicar?
A por E
C por E
D por A
B por E
D por C
b) Calcula:
AB
AC
¿Que puedes concluir de ambos resultados?
c) Calcula:
t
(A B)
t
t
B A
43
d) Calcula:
A(B + C)
AB + AC
e) Calcula:
(AB)E
A(BE)
¿Que puedes concluir de los resultados?
f) Calcula:
DE
¿Que puedes concluir del resultado?
44
g) Multiplica cada matriz por la matriz identidad ¿Que puedes concluir del
resultado?
h) Demuestra las siguientes propiedades del producto de matrices:
Recomendación: Empieza probando la propiedad distributiva. Puedes
trabajar con estas tres matrices:
Sigue desarrollando hasta llegar a AB + AC. Si no deseas escribir tanto,
puedes resumir utilizando sumatorias.
2. La siguiente matriz nos muestra la cantidad de alumnos del tercer año
A y tercer año B de un Liceo, separados por sexo:
45
Como regalo de fin de año, se dispone de $7000 para el regalo de las
niñas y $6900 para el regalo de los hombres ¿Cuánto se gastará por
curso?
Gasto por Curso
3ºA
3ºB
3. La siguiente matriz nos muestra la cantidad de rifas y talonarios que se
vendieron, desde el primer año medio al cuarto año medio para el
aniversario del Liceo.
Si por la venta de una rifa se asignan cinco puntos y por la venta de un
talonario se asignan 10 puntos ¿Qué curso sacó más puntaje?
º Medio con
puntos
46
4. Un corredor de la bolsa decide comprar acciones de una determinada
empresa de la siguiente forma: 400 acciones del tipo A, 500 acciones del
tipo B y 600 acciones del tipo C. Si cada acción de tipo A, B y C cuesta
respectivamente $500, $400 y $300 respectivamente ¿Cual es el costo
total de las acciones?
Costo total =
5. Un constructor tiene contrato para construir tres tipos de casa:
moderno, mediterráneo y colonial. La cantidad de material que se utiliza
en la construcción de cada tipo de casa está dado por la siguiente matriz:
a) Supongamos que los precios por unidad de fierro, madera, vidrio,
pintura y tejas sean respectivamente 15, 8, 5 , 1 y 10 ¿Cual es el precio
unitario por cada tipo de casa?
Moderno
Mediterráneo
Colonial
b) Si se van a construir 5, 7 y 12 casas tipo moderno, mediterráneo y
colonial respectivamente ¿Cuántas unidades de cada material se va a
utilizar?
Fierro
Madera
Vidrio
Pintura
Tejas
47
c) Si se van a construir 5, 7 y 12 casas tipo moderno, mediterráneo y
colonial respectivamente y el valor de la UF equivale a $15558 ¿Cual es el
costo total del material utilizado en pesos?
Valor total en pesos =
6. Las plantas se rocían con pesticida para eliminar insectos dañinos; sin
embargo, absorben parte de las sustancias. Luego, los herbívoros comen
las plantas contaminadas. En base a la información proporcionada a
continuación:
¿Cual es la cantidad de pesticida 1, 2, 3 absorbida por cada uno de los
herbívoros?
Herb. 1: Cant. Pest. 1
Cant. Pest. 2
Cant. Pest. 3
Cant. Pest. 2
Cant. Pest. 3
48
Cant. Pest. 2
Cant. Pest. 3
7. Un fabricante de muebles fabrica sillas y mesas que deben pasar por
un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para
estos procesos están dados (en horas) por la siguiente matriz:
El fabricante tiene una planta en la ciudad A y otra en la ciudad B. Las
tarifas por hora de cada proceso están dadas (en dólares) por la matriz:
¿Que le dicen al fabricante el producto de matrices AB?
a) Cuantas sillas y mesas se pueden construir en la Ciudad A y en la
Ciudad B, tomando en cuenta el proceso de armado y acabado.
b) Cuantas horas tarda el proceso de armado y acabado de sillas y mesas
en la Ciudad A y la Ciudad B.
c) El costo (en dólares) en hacer sillas y mesas en la Ciudad A y en la
Ciudad B por hora.
d) El que ciudad es más conveniente construir sillas y mesas en cfont>
49
e) El tiempo de proceso (horas) en construir sillas y mesas en la Ciudad A
y en la Ciudad B, sin considerar el proceso de armado.
Si el proceso de acabado de una silla aumenta en 90 minutos. ¿En cuál
ciudad es más conveniente construir los muebles?
Ciudad A
Ciudad B
¿Cuál es el costo de producir los muebles en la planta de la ciudad B?
US$
8. Un fabricante elabora productos P y Q en dos plantas X e Y. Durante la
fabricación se producen los contaminantes bióxido de azufre, óxido
nítrico y partículas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante
están dadas (en kilogramos) por la matriz:
Los reglamentos municipales exigen la eliminación de estos
contaminantes. El costo diario por deshacerse de cada kilogramo de
contaminante está dado (en dólares) por la matriz:
50
¿Que le dicen al fabricante el producto de matrices AB?
a) La cantidad de contaminantes mímanos que deben producir los
productos P y Q en las Plantas X e Y respectivamente.
b) El costo (en dólares) por hacer los contaminantes P y Q en las Plantas
X e Y diariamente.
c) De acuerdo las leyes federales, la cantidad máxima de contaminantes
que están permitidos producir en las Plantas X e Y.
d) La cantidad de contaminantes que producen los productos P y Q en
las Plantas X e Y respectivamente.
e) El costo diario (en dólares) por deshacerse de los contaminates de los
productos P y Q en las Plantas X e Y.
Si en ambas plantas, el costo por deshacerse de las partículas
suspendidas disminuye a la quinta parte ¿En cuánto disminuye el costo
del producto Q en la Planta X?
US$
9. Una empresa de fotografía tiene una tienda en la ciudad A, B y C. Cierta
marca de cámara está disponible en los modelos automático y manual.
Además, cada una tiene una unidad de flash correspondiente, la cual se
vende por lo general junto con la cámara. Los precios de venta de las
cámaras y de las unidades de flash están dados (en dólares) por la matriz:
51
El número de equipos (cámara y unidad de flash) disponibles en cada
tienda está dado por la matriz:
¿Que indica el producto de matrices AB?
a) El número de cámaras y unidades de flash que se encuentran
disponibles en las ciudades A, B y C respectivamente.
b) El costo (en dólares) que sale producir cámaras y unidades de flash en
las ciudades A, B y C.
c) La cantidad de equipos que se encuentran disponibles y su valor (en
dólares) en las ciudades A, B y C.
d) El monto invertido (en dólares) en cámaras y unidades de flash en las
ciudades A, B y C.
e) La cantidad de cámaras y unidades de flash que se venderán en las
ciudades A, B y C respectivamente.
52
10. Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños
de ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la
matriz:
El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que
consume cada niño y adulto, está dado por la matriz:
a) ¿Cuantos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres
del proyecto?
b) ¿Cuantos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?
c) ¿Cuantos gramos de grasa y carbohidratos consumen diariamente
todos los hombres?
53
SISTEMAS DE ECUACIONES
Si se busca la palabra "lineal" en un diccionario, se encontrará algo
parecido a lo siguiente:
LINEAL: (Del latín linealis.) adj. Perteneciente a la línea (Tomado del
diccionario de la lengua española, Real academia española, 1984.).
En matemáticas, la palabra "lineal" tiene un significado mucho más
amplio. De cualquier manera, una gran parte de la teoría de álgebra lineal
elemental es de hecho una generalización de las propiedades de la línea
recta.
Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos encontrar en
problemas tan prácticos de la vida diaria como el siguiente ejemplo:
La siguiente matriz, nos muestra la cantidad de calorías y proteínas que
aportan a nuestra nutrición un huevo, un vaso de leche y un jugo de
naranja:
¿Qué cantidad de huevos, leche y jugo de naranja necesitamos consumir
para aportar a nuestro organismo 470 calorías y 19 gramos de proteínas?
Analicemos el problema:
Sea
x1 = Cantidad de huevos
x2 = Cantidad de vasos de leche
x3 = Cantidad de vasos de jugo de naranja
Se nos está pidiendo que:
54
Por lo tanto, nuestro principal problema consiste en resolver este sistema
de ecuaciones con dos ecuaciones y tres incógnitas o variables. O sea,
determinar el valor de x1, x2 y x3.
Generalizando lo anterior, tenemos que un sistema de n ecuaciones
lineales y m incógnitas es un conjunto de ecuaciones del tipo:
Una solución al sistema anterior es un conjunto de m de números reales
(x1,...,xm) que satisfaga simultáneamente estas n ecuaciones.
Escribamos el sistema anterior en forma matricial:
O bien
55
Donde
Donde la matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de
las incógnitas y la matriz B es la matriz de los términos independientes.
La otra matriz que podemos asociar al sistema es la matriz ampliada.
Por ejemplo, si representamos en forma matricial el siguiente sistema:
Tenemos:
56
En términos de matrices ampliadas, en la resolución del sistema
tenemos:
ELIMINACIÒN DE GAUSS-JORDAN Y GAUSIANA
En esta sección se describe un método para encontrar todas las
soluciones (si existen) de un sistema de n ecuaciones con m incógnitas.
Imagina que estás en consejo de curso y ocurre la siguiente problemática.
Se decide comprar 2 destacadores, 5 lápices y 3 cuadernos. Para
determinar el costo de los útiles, se sabe que el año pasado se gastó en 1
destacador más 4 cuadernos más 3 lápices $ 2600; 2 destacadores más 5
cuadernos más 4 lápices se gastó $ 3500 y 1 destacador más 3 cuadernos
más 2 lápices se gastó $ 2000. ¿Cuál es el costo total de los útiles?
Para resolver este problema, vamos a determinar el costo por unidad de
cada uno de los útiles: destacador, cuaderno y lápiz.
De acuerdo a los datos proporcionados, podemos construir el siguiente
sistema de ecuaciones:
57
Donde
x1 = Precio de un destacador
x2 = Precio de un cuaderno
x3 = Precio de un lápiz
Para comenzar, vamos a enumerar las ecuaciones del sistema de 1 a 3 y
vamos a asociar el sistema anterior a la matriz de coeficientes como
sigue:
Primer paso: Eliminemos x1 de las ecuaciones (2) y (3). Para esto,
multipliquemos la ecuación (1) por –2 y sumemos la ecuación obtenida a
la ecuación (2), obteniendo una nueva ecuación (2’).
Multipliquemos la ecuación (1) por –1 y sumémosla a la ecuación (3),
obteniendo la ecuación (3’). Esto nos da como resultado el siguiente
Segundo paso : Eliminemos x2 de la ecuación (1’). Para esto,
multipliquemos la ecuación (3’) por 4 y luego sumémosla a la ecuación
(1’), obteniendo la ecuación (1’’).
58
Tercer paso: Multipliquemos la ecuación (3’’) por –3. El sistema queda así:
Cuarto paso: Eliminemos x2 de la ecuación (3’’’). Sumemos la ecuación
(2’’’) a la ecuación (3’’’), obteniendo la ecuación (3iv).
El sistema quedaría así:
Quinto paso: Eliminemos x3 de la ecuación (1iv) y (2iv). Para esto,
sumemos la ecuación (3iv) a la ecuación (1iv), obteniendo la nueva
ecuación (1v).
Multipliquemos la ecuación (3iv) por 2 y luego sumémosla a la ecuación
(2iv), obteniendo la nueva ecuación (2v).
59
Sexto paso: Multipliquemos la ecuación (2v) por –1/3, obteniendo la
ecuación (2vi).
O sea:
Del sistema anterior, podemos desprender que:
x1 = 300; x2 = 500; x3 = 100
Esto quiere decir que el precio de un destacador, un cuaderno y un lápiz
es respectivamente: $100, $500 y $100.
Resolviendo el problema que teníamos en un comienzo, tenemos que el
costo total de los útiles es $2600. Pues:
2 (300) + 5 (100) + 3 (500) = 600 + 500 + 1500 = 2600
¿Qué te parece?, con esto resolvimos el problema. Este método que
acabamos de utilizar es conocido como Eliminación de Gauss-Jordan.
Ahora, analicemos lo que hicimos.
Si representamos en forma matricial el sistema del problema anterior
tenemos:
60
La matriz ampliada asociada al sistema es:
Con todas las operaciones que realizamos llegamos a:
que es la matriz ampliada resultante del sistema:
Ahora, vamos a definir las tres operaciones que anteriormente
realizamos.
61
OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ
1. Permutación de la i-ésima y j-ésima fila.
2. Multiplicación de la i-ésima fila por un escalar no nulo k.
3. Sustitución de la i-ésima fila por la i-ésima fila más k veces la j-ésima
fila.
El proceso de aplicar las operaciones elementales con filas para
simplificar una matriz aumentada se llama reducción por filas.
Siendo consecuentes con lo anterior, si A y B son matrices de orden
nxm, diremos que B es equivalente (por filas) a la matriz A si B fue
obtenida de A a través de un número finito de operaciones elementales
sobre las filas de A. Esto lo denotaremos como:
62
Por ejemplo:
pues
Otro ejemplo
De nuevo se puede "ver" de inmediato que la solución es:
x1 = 4,
x2 = -2,
x3 = 3
63
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA CON UN NÚMERO INFINITO DE
SOLUCIONES
Resolvamos el sistema:
Escribamos el sistema como una matriz ampliada:
Después, se obtiene sucesivamente,
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen solo dos ecuaciones para las tres
incógnitas x1, x2, x3 y existe un número infinito de soluciones. Para ver
esto, se elige un valor de x3. Entonces
x2 = 4 - 2x3
64
x1 = 1 + x3
Esta será una solución para cualquier número x3. Por ejemplo, si x3 =0 se
obtiene x1 = 1 y x2 = 4. Si x3 = 10 se obtiene x1 =11 y x2 = -16.
UN SISTEMA INCONSISTENTE
Resuelve el sistema
La matriz ampliada para este sistema es
Tratemos de resolver este sistema
Hagamos una pausa aquí; las últimas dos ecuaciones son
65
Lo que es imposible, ( si -2x2 - 3x3 = -5, entonces 2x2 + 3x3 =5, no 4 ). Así
no hay una solución. Se puede proceder de otra forma para obtener una
forma más estándar:
Ahora la última ecuación es 0x1 + 0x2 + 0x3 = -1, lo que es imposible ya
que 0 es distinto de -1. Así, el sistema anterior no tiene solución en los
reales. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.
Luego
EJERCICIOS GAUSS-JORDAN, ELIMINACIÓN GAUSSIANA
1. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes dada?
66
2. ¿Cuál de las siguientes es una operación elemental con filas?
a) Remplazar una fila con un múltiplo diferente de cero de esa fila.
b) Sumar una constante diferente de cero a cada elemento en una fila.
c) Intercambiar dos columnas.
d) Remplazar una fila por una suma de filas y una constante distinta de
cero.
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada?
a) Está en la forma escalonada por fila.
b) No está en la forma escalonada por fila porque el cuarto número en la
fila 1 no es 1.
67
c) No está en la forma escalonada por fila porque el primer elemento
diferente de cero en la fila 3 es 3.
d) No está en la forma escalonada por fila porque la última columna
contiene un cero.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado?
a) Tiene una solución única x = 1; y = 1; z = 1
b) Es inconsistente.
c) Tiene un número infinito de soluciones.
5. Utiliza la eliminación de Gauss-Jordan para encontrar todas las
soluciones (si existen) para los sistemas dados:
68
a) ¿Cuál(es) sistema(s) tiene(n) una única solución?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
g)
h)
i)
h)
i)
b) ¿Cuál(es) sistema(s) no tiene(n) solución?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
c) ¿Cuál(es) sistema(s) tiene(n) infinitas soluciones?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
69
a) ¿Cuál(es) matriz(ces) se encuentra(n) en la forma escalonada por filas,
pero no en la forma escalonada reducida por filas?
A
B
C
D
E
b) ¿Cuál(es) matriz(ces) se encuentra(n) en la forma escalonada reducida
por filas?
A
B
C
D
E
c) ¿Cual(es) matriz(ces) no se encuentra(n) en ninguno de los dos casos
anteriores?
A
B
C
D
E
7. Dadas la siguientes matrices.
70
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La matriz L es la forma escalonada por filas de la matriz A.
b) La matriz I es la forma escalonada por filas de la matriz C.
c) La matriz E es la forma escalonada reducida por filas de la matriz B.
d) La matriz H es la forma escalonada reducida por filas de la matriz A.
e) La matriz E es la forma escalonada por filas de la matriz B.
f) La matriz K es la forma escalonada reducida por filas de la matriz B.
g) La matriz D es la forma escalonada por filas de la matriz C.
h) La matriz J es la forma escalonada reducida por filas de la matriz C.
i) La matriz F es la forma escalonada por filas de la matriz A.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
8. Solucionar:
71
x=
y=
z=
x=
y=
z=
x=
y=
z=
9. Solucionar:
10. Solucionar:
11. Solucionar:
72
x=
y=
z=
w=
12. La siguiente información corresponde a la cantidad de energía
(calorías) y proteínas que aportan a nuestro organismo una porción de
leche en polvo con una porción de alimento fortificante.
¿Cuántas porciones de leche en polvo y alimento fortificante se requiere
para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas?
Porciones de leche
Porciones de alimento
13. Sean 3 números tal que cuatro veces el primero, más el triple del
segundo, más el triple del tercero es 19. Veinte veces el primer número,
más 20 veces el segundo, más 10 veces el tercero es 90. Cuatro veces el
primer número, más dos veces el segundo y más 5 veces el tercero es 29 .
Sean x, y, z los tres números respectivamente, entonces:
x=
y=
z=
14. Un muéblelo fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se
necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para
barnizarla. Se necesitan 12 minutos para lijar una mesa para café, ocho
para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 15 minutos para lijar una
mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 para barnizarla. La mesa de
73
lijado está disponible 16 horas a la semana, la mesa de pintura 11 horas a
la semana y la mesa de barnizado 18 horas ¿Cuántas unidades de cada
mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo
se ocupen todo el tiempo disponible?
Cant. sillas
Cant. mesas café
Cant. mesas comedor
15. Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones
distintas: libro de bolsillo, club de lectores y edición de lujo. Cada libro de
bolsillo necesita un minuto para el cosido, dos para el pegado y 3 para el
secado. Cada libro para el club de lectores necesita dos minutos para el
cosido, cuatro para el pegado y 5 para el secado. Cada libro en edición de
lujo necesita tres minutos para el cosido, cinco para el pegado y 7 para el
secado. Si la planta de cosido está disponible seis horas diarias, la planta
de pegado 11 horas diarias y la planta para secado 15 horas diarias
¿Cuántos libros de cada presentación se pueden producir por día de
modo que las plantas se aprovechen a toda su capacidad?
Cant. Libros bolsillo
Cant.libros club de lectores
Cant. libros edición de lujo
16. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en
Inglaterra, $20 en Francia y $20 diarios en España por concepto de
hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en
Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10
diarios en cada país. Los registro del viajero indican que gastó un total de
$250 en hospedaje, $230 en comida y $200 en gastos adicionales durante
74
su viaje por estos tres países. ¿Cuántos días que pasó el viajero en cada
país?
Cant. días en Inglaterra
Cant.días en Francia
Cant. días en España
DETERMINANTES
Consideremos el sistema
La solución a este sistema es:
Asociemos el denominador a la matriz A = (aij)
En un sistema de dos ecuaciones:
75
La solución es:
Nuevamente asociemos el denominador a la matriz:
En un sistema de tres ecuaciones:
Si resolvemos este sistema, llegaremos a que los denominadores de x1,
x2, x3 son iguales a:
76
Que también podemos asociar a la matriz
A estos números que aparecen en los denominadores y que asociamos a
la matriz cuadrada A de orden (nxn) con elementos pertenecientes a los
números reales, los llamaremos el determinante de la matriz A y lo
denotaremos como:
Así,
77
Y así sucesivamente....
Como te puedes dar cuenta, el cálculo del determinante de una matriz
puede ser muy engorroso. Sobre todo si se trata de matrices de orden
superior a 3.
A continuación estudiaremos un método que nos facilitará en gran
manera el cálculo de los determinantes. Este método es conocido como:
78
MÉTODO DE LAPLACE
Si seguimos desarrollando el determinante de la matriz de orden (3x3)
anterior, tenemos:
Donde Aij es una submatriz de la matriz A en donde se quitan la i-esima
fila y la j-esima columna.
Con esto tenemos
Si generalizamos esto para matrices cuadradas de orden (nxn) con
elementos pertenecientes a los números reales, tenemos
79
Aclaremos un poco más.
80
Veamos algunos ejemplos:
1.
Vamos a resolverlo fijando la fila 1:
81
2.
Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 2:
82
3.
Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 3:
83
Como puedes ver, fijando la fila 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado.
Ahora está en tí que te fijes cuál de las filas es la que te conviene tomar
para resolver el ejercicio.
Veamos que pasa si lo resolvemos fijando las columnas.
4.
Ahora lo vamos a resolver fijando la columna 1:
84
5.
Resolvamos fijando la columna 2:
85
6.
Finalmente lo vamos a resolver fijando la columna 3:
86
Al igual que en las filas, fijando la columna 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo
resultado. O sea, fijando cualquier fila o cualquier columna, obtendremos
el mismo resultado. Pero usa tu ingenio para saber cual es más
conveniente elegir.
Otro ejemplo:
Resolvamos fijando la columna 4:
87
¿Ahora entiendes por qué es necesario saber elegir?
EJERCICIOS DETERMINANTES
a) Calcular el determinante de A, B, C y D respectivamente:
88
Calcular el determinante de la transpuesta de A, B, C y D
respectivamente:
De acuerdo a esta actividad ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
El determinante de una matriz cuadrada ...
Es siempre igual al determinante de la matriz identidad.
Es igual al determinante de la matriz traspuesta menos uno.
Es igual al doble del determinante de su matriz traspuesta.
Es igual al determinante de su matriz traspuesta.
Es distinto al determinante de su matriz traspuesta.
b) Intercambia dos filas en cada una de las matrices y vuelve a calcular el
determinante a esta nueva matriz.
Ejemplo:
verdadera?
El determinante de la nueva matriz es ...
Cero.
Igual al determinante de la matriz original.
Igual al determinante de la matriz original multiplicada por -1.
89
Igual al doble del determinante de la matriz original.
Siempre positivo.
c) Multiplica una fila por una constante cualquiera perteneciente a los
números Reales y vuelve a calcular el determinante a esta nueva matriz.
Ejemplo:
verdadera?
Cero.
Igual al determinante de la matriz original multiplicada por la
constante.
Siempre positivo.
d) Multiplica una fila por una constante cualquiera (perteneciente a los
números Reales) y luego suma esta fila a otra fila cualquiera de la matriz.
Calcula el determinante a la nueva matriz.
Ejemplo:
90
verdadera?
Cero.
Igual al determinante de la matriz original menos la constante.
Siempre positivo.
2. Calcula el determinante de las siguientes matrices triangulares.
verdadera?
El determinante de una matriz triangular es ...
Siempre cero.
91
Siempre positivo.
Siempre negativo.
Igual al producto de los elementos de su diagonal.
Siempre un número impar.
3. Calcular:
det(A) =
det(B) =
det(AB) =
det(C) =
det(D) =
det(CD) =
det(E) =
det(F) =
det(EF) =
92
det(G) =
det(H) =
det(GH) =
det(I) =
det(J) =
det(IJ) =
verdadera?
El determinante de AB es ...
Siempre cero.
Siempre positivo.
Siempre negativo.
Igual al determinante de la matriz A por el determinante de la matriz B
Siempre un número impar.
MATRIZ INVERSA
Consideremos nuevamente el siguiente problema. En consejo de curso se
decide comprar 2 destacadores, 5 lápices y 3 cuadernos.
Para determinar el costo de los útiles, se sabe que 1 destacador más 4
cuadernos más 3 lápices se valen $ 2600, 2 destacadores más 5
cuadernos más 4 lápices valen $ 3500 y 1 destacador más 3 cuadernos
más 2 lápices valen $ 2000.
¿Cuál es el costo total de los útiles?
93
Para resolver este problema, vamos a determinar el costo por unidad de
cada uno de los útiles: destacador, cuaderno y lápiz.
De acuerdo a los datos proporcionados, podemos construir el siguiente
Donde
x1 = Precio de un destacador
x2 = Precio de un cuaderno
x3 = Precio de un lápiz
Podríamos resolver este problema en forma matricial. Esto es:
O bien:
Donde
94
La matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de las
incógnitas y por último, la matriz B es la matriz de los términos
independientes.
Para solucionar la ecuación matricial AX=B, vamos a despejar la
incógnita, que en este caso corresponde a la matriz X.
Lo que nosotros necesitamos es una matriz tal que, al multiplicarla por la
matriz A, nos de cómo resultado la matriz identidad. Llamemos a esa
matriz la matriz inversa de A y denotémosla como:
De esta forma, podríamos resolver nuestra ecuación matricial:
Y solucionado el problema.
Siguiendo con nuestro problema planteado, tenemos que la matriz
inversa de A es:
Entonces
95
Esto nos indica que x1= 300, x2= 500 y x3=100. Por lo tanto, el precio de
un destacador, un cuaderno y un lapiz es respectivamente $300, $500 y
$100.
Pero ¿Cómo se obtuvo la matriz inversa de A?
Como te puedes dar cuenta, el cálculo de la matriz inversa nos puede ser
muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Ahora, el
gran problema se traduce en como obtenerla.
Es muy importante que te fijes que el sistema de ecuaciones anterior
tiene la misma cantidad de ecuaciones e incógnitas, lo que significa que
nuestra matriz de coeficientes es una matriz cuadrada. Por lo tanto, para
calcular la inversa de una matriz, se requiere que la matriz sea cuadrada.
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
Supongamos que B es la matriz inversa de A. O sea, se tiene que cumplir
que:
a) AB =I2
y
b) BA =I2
96
Revisemos a)
O sea, AB = I2
Revisemos b)
O sea, BA=I2
Por lo tanto,
97
Ahora, nuestro principal problema se traduce en obtener la inversa de una
matriz cuadrada, si es que realmente existe una.
Antes de lanzarnos en esta búsqueda, consideremos las siguientes
propiedades respecto a la matriz inversa:
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
1. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ambas inversibles,
entonces:
Demostremos esta propiedad:
2. Si la matriz A tiene inversa, esta es única.
3. No toda matriz tiene inversa.
En efecto:
La cual no tiene inversa ya que la siguiente ecuación matricial no tiene
solución.
98
Tenemos que 2c =1 y c=0. En los números reales no podemos tener estas
igualdades simultáneamente.
Ahora que ya conoces estas tres propiedades de la matriz inversa, vamos
a conocer una matriz especial que nos va a ayudar a encontrar la inversa
de una matriz cuadrada. Esta es la matriz adjunta.
Dada una matriz A, el cofactor del elemento aij de la matriz es:
Donde Aij es una submatriz de A obtenida extrayendo la i-ésima fila y la jésima columna. Con estos elementos podemos formar una nueva matriz
de cofactores de A. denotada como cof(A).
Ejemplo:
99
Entonces
Así, dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz adjunta de A a la
traspuesta de la matriz de cofactores de A.
De acuerdo al ejemplo anterior, tenemos:
Veamos que pasa si multiplicamos A con adj(A)
100
Si calculamos el determinante de la matriz A llegaremos a que det (A) = 19. Luego, en este caso tenemos que:
Vamos a suponer esta propiedad válida para toda matriz cuadrada de
orden n.
Supongamos ahora que A(nxn) tiene inversa. Usando una de las
propiedades de los determinantes tenemos:
Del producto anterior podemos concluir que si A tiene inversa:
O sea, det A distinto de cero, es una condición necesaria para que A
tenga una inversa. Verifiquemos que también es suficiente (o sea, que si
el determinante de una matriz es distinto de cero, entonces la matriz es
inversible).
Ya sabemos que:
101
Ahora si que podemos afirmar que:
En este caso:
Este resultado nos ofrece un nuevo método para calcular la inversa de
una matriz.
Ejemplo 1:
Calculemos la inversa:
102
Ejemplo2:
REGLA DE CRAMER
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Podemos expresar este sistema en forma matricial
103
O bien
Donde
Donde la matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de
las incógnitas y por último, la matriz B es la matriz de los términos
independientes.
Para la ecuación A X = B supongamos que det(A) ≠ 0, por lo tanto A tiene
inversa. Entonces:
104
En forma matricial:
Usando la relación
Tenemos:
Fíjate que el numerador de esta fracción es igual al determinante de la
matriz que obtenemos de A, pero sustituyendo los coeficientes (a1i ...
a1n) por la matriz de los términos independientes (b1 ... bn). De echo,
usando el desenvolvimiento de Laplace, tenemos:
105
Generalizando:
106
Este método de resolución de Sistemas de
Ecuaciones es conocido como Regla de Cramer y es aplicable en
sistemas donde la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de
incógnitas.
Importante es recordar siempre que la Regla de Cramer en la resolución
de un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas sólo se puede
aplicar cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto
de cero.
Ejemplo:
Dado el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:
Por lo tanto, podemos usar la Regla de Cramer.
Luego:
107
ESPACIOS VECTORIALES
Definición de Espacio Vectorial
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica
a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que
representan magnitudes y dirección, ya sea una fuerza, una velocidad o
una distancia. El término vector también se usa para describir entidades
como matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto donde para
escalares cumplen con las siguientes propiedades:
y
Propiedad de cerradura
.
.
108
Propiedad de adición
.
.
contiene al elemento 0 con
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
.
Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo
anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y
escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores
forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada,
asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los
escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los
cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a
seguir es encontrar todas las características estructurales de estos
espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra
Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia,
mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más
complejos por medio de productos cartesianos.
Subespacios Vectoriales
Para un espacio vectorial
•
El elemento
, si existe un subconjunto
está también en
•
•
tal que:
.
.
y
cualquier escalar.
Entonces
es un subespacio vectorial en , es decir, cualquier
subconjunto de un espacio vectorial que mantiene las mismas
propiedades por sí mismo conforma un subespacio.
109
Relaciones de Orden
En un espacio vectorial, podemos ordenar los subes-pacios por su
contención, por ejemplo, el subespacio más pequeño consistente del
elemento 0 está contenido en cualquier otro subespacio, o el espacio
completo es el subespacio más grande que contiene a cualquier otro.
Par dos subespacios
, definiremos el subes-pacio más grande
, por otra parte, el subespacio más
común a ambos como
consiste en todas las
pequeño que contiene tanto a como a
combinaciones lineales de vectores posibles con los dos subconjuntos y
no sólo en
.
Con esto, los subconjuntos de un espacio vectorial pueden ser
organizados en una jerarquía, en donde para cada subconjunto se obtiene
el mínimo subespacio que lo contiene o el máximo subespacio que éste
contenga, esto nos lleva a una noción fundamental en el estudio de
espacios vectoriales, la de base.
Base de un Espacio Vectorial
Hasta el momento, hemos visto que las relaciones de orden nos ofrecen
una forma de organizar los subespacios de un espacio vectorial según su
contención, en especial, todos los múltiplos escalares de un subespacio
forman el menor conjunto que incluye a
Supongamos que para
elemento
decir:
.
, con
, todo
es una combinación lineal de los elementos de
, es
(1)
entonces se dice que
es una expansión de
Para
dependiente si existen escalares
que:
.
, decimos que
es linealmente
no todos iguales a 0 tal
110
(2)
Esto indica que alguno de los elementos de
es múltiplo de otro; en
caso contrario, si la ecuación 2 no se cumple más que para
, entonces los elementos de
son linealmente
independientes.
De aquí, si
es una expansión de
, entonces el conjunto de vectores
linealmente independientes
forma una base de . Con las
relaciones de orden sobre , podemos encontrar como el conjunto de
elementos linealmente independientes que generan a por medio de
todas las posibles combinaciones lineales, así, el número de vectores
linealmente independiente en
espacio.
dado por
define la dimensión del
Relaciones de Equivalencia
Una vez definida la estructura de un espacio vectorial, es interesante
analizar los mapeos que pueden existir entre los elementos de varios
espacios, en este caso, el uso de relaciones de equivalencia ayuda a
hacer más clara la interacción entre dos espacios conectados por una
función.
Una función debe cumplir que para cada elemento ,
sea única; de
este modo, para espacios vectoriales se requiere que las funciones
cumplan con ser lineales, esto es:
(3)
Funciones lineales entre espacios vectoriales forma otro espacio
vectorial; los valores que tome la función dependen de los valores que
asigne a la base del espacio, pues de ahí todos los demás elementos se
generan como combinaciones lineales.
Para un subconjunto de un espacio vectorial donde una función toma el
mismo valor en cada elemento del subconjunto, se define una clase de
equivalencia; las contraimágenes de esta función dependen de la
111
contraimagen de 0 pues dos elementos de la misma clase de equivalencia
tienen las mismas imágenes; por esto, la contaimagen de 0 constituye el
kernel del mapeo. Las imágenes y contraimágenes de un espacio
vectorial son también espacios vectoriales.
Producto Cartesiano
Sea
una familia de espacios vectoriales para
un conjunto que indexa a la familia
donde
es
, entonces:
(4)
denota el conjunto de todos los mapeos
para cada
tal que
.
Bajo esta construcción,
se denota como el producto directo o producto
cartesiano de los espacios
. El producto cartesiano es una de las
maneras más sencillas de fomar un espacio vectorial complicado
utilizando espacios más simples. Las funciones que vayan desde las
bases a los elementos del producto se denominan proyecciones y sirven
para recobrar los factores originales del producto cartesiano.
)
112
2)
3)
113
114
4)
5)
115
116
6)
117
8)
9)
118
Valores propios y vectores propios
Introducción:
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz
simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería,
entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una
matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de
inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de
un sistema oscilante.
Muchos problemas prácticos de determinación de vectores y valores
propios de una matriz de orden n solo requieren el conocimiento de un
número limitado de dichos pares; por ejemplo, aquellos cuyos p valores
propios (p < n) son los de mayor módulo.
Cuando p = 1 y se trata de obtener el valor propio de mayor módulo o
valor propio dominante de una matriz general y su vector propio
asociado, puede citarse como más adecuado el método de la potencia,
atribuido a Von Misses [1], el cual, a partir de una aproximación arbitraria
del vector propio buscado, obtiene iterativamente la aproximación
deseada en función de la precisión requerida. La localización de otros
valores propios se puede realizar utilizando técnicas de deflacción [2],
pudiéndose obtener de esta forma los valores propios dominantes y sus
correspondientes vectores propios.
Otros métodos de obtención del valor propio dominante de una matriz se
basan en el concepto de "Cociente de Rayleigh" [3] por el cual pueden
construirse algoritmos iterativos que convergen cuadraticamente al valor
propio dominante.
Los métodos de Iteración Simultánea constituyen una generalización del
método de la potencia. Se basan en el procesamiento simultáneo de un
subconjunto inicial de p vectores ortogonales a los que se trata de modo
que en cada paso del proceso iterativo se mantenga entre ellos la relación
de ortogonalidad y no converjan al mismo vector propio. Estos
procedimientos son más eficaces que las técnicas de deflación. Entre
ellos se pueden señalar el método desarrollado por Rutishauser [4] en
1969, de aplicación a matrices simétricas definido-positivas. En 1970,
Clint y Jennings [5] publican su aportación para matrices simétricas. En
1975, Jennings y W.J. Steward [6] desarrollan un algoritmo para matrices
reales simétricas y no simétricas.
El método que presentamos en estas notas es general, válido para
matrices finitas de cualquier tipo. Si bien constituye una generalización
del método de la potencia, difiere de los métodos de iteración simultánea
en los siguientes aspectos:
•
Se basa en las propiedades de las matrices sigma [7] y en el
concepto de matriz propia.
119
•
Desde un punto de vista computacional, no es necesario
ortogonalizar los vectores de iteración según las técnicas descritas
en Wilkinson [8] ni resolver en cada ciclo el problema de valores y
vectores propios, como ocurre en los métodos de Iteración
Simultánea o los de Arnoldi y Lanczos [9]. Este hecho es debido a
que la convergencia del método no se estudia en los valores
propios si no en las matrices sigma.
Se denominan valores propios o raíces características de una matriz
cuadrada A, a los valores de tales que.
Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n.
Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio, y luego
aplicaremos un método de hallar las raíces del polinomio. Este
procedimiento es apropiado cuando se presentan valores propios que no
son reales sino complejos.
Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X
correspondiente al valor propio  e s n e c e s a rio re s o lve r e l s is te m a
homogéneo
donde el vector X es
Siempre podemos tomar x 0 como 1,
y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1,
y resolver el sistema lineal.
El método de Leverrier
Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico
de la matriz es
120
Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones
(1)
Los valores s 1 , s 2 , ... s n son las trazas de las potencias de la matriz
cuadrada A.
La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal
principal.
La codificación en términos de la clase Matriz no reviste dificultad, y tiene
dos partes, en la primera se calcula las potencias de la matriz A, y la traza
de cada una de ellas, en segundo lugar se calculan los coeficientes p i del
polinomio característico. Para hallar las potencias de la matriz A se
emplea un código similar al que empleamos para hallar las potencias de
un número. En aquella ocasión la potencia de orden cero de un número
es la unidad, en este caso es la matriz unidad de la misma dimensión que
A.
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122

Números complejos

Transcripción

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