Vectores - Guzlop Editoras

VECTORES. BIDIMENSIONAL
1.
Dado los vectores A, B, C, D, E, F y G que se muestran en la figura, determinar el
modulo del vector resultante si C = 5N y F = 4N.
Rpta. R = 17,35N.
2.
En el primer cuadrante de un sistema de coordenadas XY se encuentra un vector A de
9m de longitud y que hace con el eje +Y un ángulo de 35°. En el segundo cuadrante
un vector B de 12m de longitud que hace con el eje –X un ángulo de 27° y en el
cuarto cuadrante un vector C de 15m de longitud que hace con el eje –Y un ángulo
de 36°. Encontrar:
a) La representación de cada vector en dicho sistema de coordenadas. Rpta. A = 5,2
i+7,4 j B = -10,7 i+5,5 j C= 8,8 i -12,1j
b) El vector resultante y su magnitud. Rpta. R= 3,3i +0,68 j y 3,36
c) El ángulo que forman los vectores P=A-B y Q=B-C. Rpta. 131,3°
3.
Determinar el modulo del vector resultante de los vectores que se
muestran en la figura, si B = 15N y el ángulo entre A y C es 90°.
Rpta. 36
4.
Dado los vectores fuerza que se muestran en la figura, determinar el modulo del
vector resultante si D = 5N y G = 3N.
Rpta. 13,34N
5.
Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F1 = 5N, F2 = 15N y F3 =
10N.
Y
F1
a) Expresar cada vector en función de los
20°
vectores unitarios i y j.
F3
30°
b) Determinar el vector: 2 (F1 - F2) + F3
c) Determinar el producto: F1• F2
45°
X
Rpta. a) F1 = 4,33i + 2,5j
F2 = 10,61i – 10,61j
F2
F3 = -9,4i – 3,42j
b) -21,96i + 22,8j
c) 19, 41
6.
Determinar la magnitud del vector resultante de los vectores que se muestran en la
figura, si la diagonal del cubo vale 4√ 3 m.
Rpta. 4
7.
Dado los vectores A y B, determinar:
El vector unitario en el sentido negativo del vector (A -2B).
Rpta. j
b)
El ángulo entre los vectores A y B.
Rpta. 44,8°
a)
8.
9.
Y
En la figura se muestra los vectores A, B y
C. Si el lado del cuadrado vale 1m.
a) Expresar cada vector en función de los
vectores unitarios i y j.
b) b) Determinar un cuarto vector D tal que
A+B-2C = D.
Rpta. a) A = 2i+2j B = -3j
C = 5i-3j
b) D = -8i+5j
Las figuras muestran un rectángulo de lados
3m y 5m y un triangulo equilátero de 25cm
de lado. Determinar:
a) Los vectores AB, OB, AC y BC.
b) Los vectores OF y FG.
c) El vector (OF -2FG)
Rpta. a) 5 i, 5 i+3 j, -3 j
b) 12,5 i +21,7 j y 12,5 i -21,7 j
c) -12,5 i + 65 j
A
X
B
C
Y(m)
A
Y(cm)
F
B
3
0
5
C X(m) 0
G X(cm)
10.
La figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes A = 4N,
C = 2N. Determinar:
a) Los vectores A, B y C en términos de los vectores i , j y k .
b) El vector D = (A – 2B +C).
c) Un vector unitario en la dirección y sentido que D.
Rpta. a) A = 3,2i + 2,4j
b) 9,2i -7,6j
B = -3i + 4j
c) 0,77i – 0,64j
C = -2j
B = 5N y
11. La figura muestra tres vectores A, B y C, Ubicados en un sistema de coordenadas
cartesiano en un plano. Sus direcciones y sus magnitudes, en newtons, se dan en la
figura mostrada. Determinar:
a) Los vectores A, B y C en términos de los
A = 25N Y
vectores unitarios i y j
b) El vector R = 3A – 2C + B
B =15N
c) El ángulo que forma el vector A con el vector
o
o
52
R
39
X
d) El vector P = ( A.B )C – 3B
27o
C = 12N
Rpta. (a) A = -15.39 i + 19.70 j , B = 11.66 i +9.44 j
C = -5.45 i -10.69 j. (b) -45.41 i + 47.16 j
(c) 5.87o (d) -70.50i – 98.02 j
12. Los módulos de los vectores que se muestran en la
figura son: F1 = 5N, F2 = 10N, F3 = 15N.
Determinar:
F2
y
F1
o
37
→
→
→
o
53
→
→
a) F1, F2, F3 en términos de los vectores unitarios i y j
→
→
b) El vector 2 F1 + F2 −
x
o
53
→
1
F (1 punto)
2 3
→

→


F3
c) Un vector unitario en la dirección del vector  F1+ F3 
Rpta. (a) F1 = 3 i+4 j , F2 = -8 i – 6 j , F3 = 9 i – 12 j (b) -6.5 i + 8 j (c) 0.83i – 0.55 j
13. La figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes:
y
A = 4N, B =5N y C =2N. Determinar:
a) Los vectores A, B y C en términos de los vectores i , j (2p).
b) El vector D = 2A +B –C (1p).
C
c) Un vector unitario en la dirección de B (2p).
B 127
Rpta. (a) A = 3.2 i +2.4 j , B = -3i + 4j , C = -2 j
o
(b) 3.4 i + 10.8 j. (c) -0.6 i + 0.8 j
A
37
o
x
14. Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F1 =
10N y F3 = 20N
a) Expresar cada vector en función de los vectores
unitarios î y ˆj (2 puntos)

5 2 N , F2 =

b) Determinar el vector 2( F1 − F2 )
c) c) Determinar un vector unitario en la dirección del
vector
15.
 
F
( 1 + F3 )
La figura muestra los vectores A, B y C, cuyas magnitudes son 50 u, 10 u y 20 u
respectivamente. Encontrar:
a) El vector S = A + B + C
b) El vector R = A ( B. C) – B ( A. C)
c) El ángulo que forman los vectores R y S
16. Dado los vectores que se muestran en la figura, en donde el lado del cuadrado vale 1u,
determinar
a) El vector resultante en función de los vectores i y j.
b) El vector unitario en la dirección del vector P =2A +
B.
17.
 

   
La figura muestra los vectores A, B, C , D y E . Si los módulos C = E = 5 N ,
determinar el modulo de la suma de los vectores
mostrados.

B

A

C
35°

D

E
 
  
  
Dado los vectores A y B tal que A + B = 2i + 3 j y A − B = 4i + 5 j , determinar:
 
a) Los vectores A y B (1 pto)
  
b) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector P = A + 2 B
18.
19. Con los vectores de la figura, determinar:
a) Los vectores A, B, C y D en términos de los
vectores unitarios i, j.
(2p)
b) S = A + B + C – D (1p)
c) (B – C). A
(1p)
d) Un vector unitario en la dirección de (A +
B). (2p)
y
1.5m o
40
C
25
o
1.0m
D
1.5m
20.
A
2.0m
B
19o
x
En el plano XY se muestran los vectores A,
B, C, y D cuyas magnitudes son todas iguales a 10 unidades. Encontrar:
La representación de cada vector, en términos de los vectores unitarios i, j, en el sistema de
coordenadas cartesianas mostrado.
(1p)
a) El vector: R = 2 A – 2 D + C - B
(1p)
b) El vector Q = [ (A + B ). ( C + D) ] D.
(1p)
c) El ángulo entre los vectores R y A.
(1p)
21. Dado los vectores A y B que se muestran en la figura y el vector C = 2 i + b j.
Determinar:
a) Los vectores A y B expresados en términos de los
vectores unitarios i y j (1p)
b) Un vector unitario en la dirección y sentido de (A + 2
B) (2p)
c) El valor de “b” en el vector C, tal que C sea
perpendicular al vector (A + 2 B) (2 p)
   
 

 
Dado los vectores A = 4i + 3 j , B = −3i + 2 j y C = ai − 3 j . Determinar:
 
a) El producto escalar A • B . (2ptos).

b) El ángulo formado entre A y B . (1pto)


c) El valor de “a” tal que el vector A sea perpendicular al vector C . (1pto)

d) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector C . (1pto)
22.
 

 
34. Dado el vector A = −3i + 5 j y los vectores B y C que se muestran en la figura,
determinar:
   
B=50
y
a) El vector S = A + B + C . (2 ptos)
 

 
b) El vector D = ai + 3 j tal que D ⊥ B (1pto)
 
•
c) El ángulo entre D y A . (1 pto)
32,14
23.
C= 100
0
24.
x
La figura muestra cuatro vectores en el plano XY.
D, 12
A, 8
50°
35°
C, 6
B, 10
Encontrar:
a) La representación de cada vector en función de los vectores unitarios i y j. (1
punto)
b) Hallar el vector P = [(A – B).C] D. (2 puntos)
c) El ángulo entre el vector P y el vector D. (1 punto)
25. La figura mostrada, los módulos de los vectores son
A = 10u, F = 20 u y el
ángulo θ = 37°.
Encuentre: (5P).


a) Los vectores A y F 



b) El vector R = A + B + C + D 

c) El ángulo que forma el vector R con F
VECTORES. TRIDIMENSIONAL
26. Se tienen los vectores:
A=-3i+4j–5k
B = 4 i – 6 j + 10 k
Encontrar:
a) El vector R = (A.B) (A – B)
(1 punto)
b) La magnitud y el ángulo que hace el vector R con el eje X (1 punto)
c) El ángulo que hacen los vectores R y A.
(1,5 punto)
d) El ángulo que hacen los vectores A y B.
(1 punto)
27. Dado los siguientes vectores: A = -3i + 2j, B = 2i-3j-2k y C = 4j +3k, realizar las
siguientes operaciones:
a) R = 2A + B –3C y encontrar el ángulo que forma con el eje x.
b) S = A – 2B y encontrar el ángulo que forma con el eje y.
c) D= R - S
d) El ángulo que forman los vectores R y S.
Rpta.-a) R = -4i -11j -11k b) S = -7i +8j+4k
28.
29.
c) D= 3i-19j-15k d) θ = 124,8°
Dado los vectores A, B y C que se muestran en la figura, determinar:
a) La representación en el sistema de coordenadas
cartesianas de loa vectores A, B y C.
Z
b) El vector R = A + B + C
c) El vector unitario en la dirección del vector R.
A
d) El ángulo formado entre el vector R y el vector
4
D = 4i + 4j + 4k.
Rpta. a) A = 4i
B= 4j
c) C = - 4i + 4k
4
4
b) R = 4j + 4k
c) uR = 0,71j +0,71k
X
B
En la figura se muestran un cubo de lado 2u y
los vectores A, B y C, determinar:
a) El vector S = A + B + C
b) El ángulo entre los vectores A y C
c) La expresión vectorial de un vector de modulo
30u a lo largo del vector B.
Rpta. a) S = 2i +4j +6k
b) θ = 54,74°
c) 21,2j + 21,2k
C
Y
Z
A B
C
Y
X
30.
Se tienen los siguientes puntos en el espacio cuyas coordenadas son P(-1,3,0),
Q(0,0,-1), R(2,-3,1) y S(-4,0,1) metros. Encontrar: (Ex. Sust 2003-1)
a) El vector A que va desde el punto P a Q.
b) El vector B que va desde el punto Q a R.
c) El vector C que va desde el punto S a R.
d) Realizar la siguiente operación: (A . B) C - 3 (B + C).
(A . B) C - 3 (B + C)
e) El ángulo que forma el vector (A + B) con el vector C.
Rpta. (a) i - 3j – k. (b) 2i - 3j + 2k. (c) 6i - 3j. (d) 30i - 9j – 6k. (e) θ = 37.7º
31.
Se dan los siguientes vectores:

A = 3iˆ − 2 ˆj − 4kˆ

B = −4iˆ + 3kˆ

C = 3iˆ − kˆ
Encontrar:
b) El vector




R = 3 A − 2( B + 3C )

  
  
c) El vector S = ( A • B)C − ( B • C ) A


d) El ángulo entre los vectores R y S .
32. Dado los vectores:
A=i–k
B=3j–4k
C=-3i+2j–4k
D=-3k
Encontrar:
b) El vector P = ((A – B).(B + C)) A (2 puntos).
c) Un vector unitario en la dirección de Q = A – B + C – D. (2puntos).
d) El ángulo entre los vectores P y C (2 puntos).
33.




Dado los vectores a y b ; cuyas magnitudes son: a = 3 14 N y b = 13 N
 
respectivamente. Halle el vector unitario del vector a − b .
z
(0;0;2
a
y
b
(6;4;0
x
34.
En la figura el vector A es de modulo 15 u. Y el vector
B su modulo 10 u. Hallar:
a) Expresar A y B en forma vectorial. (1 punto)
b) El ángulo formado por los vectores
A y B. (2 puntos)
c) Un vector perpendicular al plano formado por los
vectores A y B. (2 puntos).
35. Dado los vectores:
A=4i–4j+4k
B=-5i+4k
C=-6i–4j+8k
Encontrar:
a) El vector P = (A.B) C – (B.A) B. (2 puntos)
b) El vector Q = (A – B).(B + C) A. (2 puntos)
c) El ángulo entre los vectores P y Q. (1 punto)
36. La figura muestra las fuerzas F1= 350 N y F2= 120 N, aplicadas en los vértices del
paralelepípedo. Estas siguen las direcciones de las diagonales de las caras. Determine:
Z
(4 p)
a) Los vectores F1 y F2
B
C
b) El producto escalar F1·F2
F2
A
c) El producto vectorial F1× F2
2,0
D
4,0
d) El ángulo que forman F1 y F2
3,0
Y
F1
F
E
X
37. Considerando los vectores mostrados en la figura, determinar:
a) A + B + C + D, en términos de los vectores
unitarios i, j
(2p)
b) (A.B)C
(1p)
c) Un vector unitario perpendicular al vector B y
en el plano de la figura. (1p)
38.
Los vectores mostrados en la figura se encuentran en el plano XY. Representando los
vectores en función de los vectores unitarios i, j realizar las siguientes operaciones.
a) Encontrar el vector: R = 2 (A + B) – 2 (C – D) (1.5 puntos)
b) Encontrar el vector: P = (A• C) B + (C• D) A (1.5 puntos)
c) El ángulo que hacen los vectores R y P. (1 punto)


39. Dos vectores F 1 de módulo 60N y F 2 de módulo 40N, actúan en el punto A. Hallar:


a) Los vectores F 1 y F 2 en función de los vectores
 
unitarios i y j . (2ptos)
  
b) R = F 1 + F 2 . (1 pto)



 
c) Un tercer vector F 3 = (ai − 4 j ) N tal que F 3 ⊥ R . (2 ptos)