MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA
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MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA
MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA Clave: 66815 Carácter: Optativa Tipo: Teórica Créditos: 6 Horas Teoría: 3 Práctica: 0 Horas por semana 3 Objetivo general: Desarrollar la capacidad de analizar sistemas médicos o biológicos mediante modelos matemáticos. Objetivos específicos: El estudiante podrá analizar sistemas médicos o biológicos mediante modelos matemáticos basados en ecuaciones en diferencias finitas, ecuaciones diferenciales y procesos estocásticos. El curso está dirigido a estudiantes con nociones de álgebra y cálculo diferencial. Contenido Temático Unidad I. Ecuaciones en diferencias finitas 1.1 Ecuaciones en diferencias finitas lineales. 1.2 Métodos iterativos. 1.3 Ecuaciones en diferencias finitas no lineales. 1.4 Soluciones estacionarias y estabilidad. 1.5 Ciclos y estabilidad. 1.6 Caos y cuasiperiodicidad. 1.7 Ejemplo sugerido: Caos en células cardíacas estimuladas periódicamente. Unidad II. Ecuaciones diferenciales unidimensionales 2.1 Conceptos básicos. 2.2 Soluciones estacionarias y puntos fijos. 2.3 Análisis geométrico de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. 2.4 Análisis algebraico de puntos fijos. 2.5 Perturbaciones temporales impulsivas, respuestas transitorias y convolución. 2.6 Ejemplos sugeridos: Fechamiento por técnicas de radiocarbono, Crecimiento de tumores de Gompertz, Ecuaciones de Hodgkin-Huxley para potenciales eléctricos a través de una membrana de axón de células nerviosas. Unidad III. Ecuaciones diferenciales bidimensionales 3.1 El oscilador armónico. 3.2 Soluciones, trayectorias y flujos. 3.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales bidimensionales. 3.4 Sistemas de ecuaciones lineales acopladas de primer orden y el problema de valores propios. 3.5 El espacio fase. 3.6 Análisis de estabilidad local. 3.7 Ciclos límite. 3.8 Ejemplos sugeridos: Ecuaciones de Lotka-Volterra para sistemas de predador y presa. Ecuaciones de Lorenz para patrones climáticos, Modelo de administración y evaluación de fármacos, Dinámica de interacción de partículas virales y leucocitos, Metástasis de tumores malignos. 30 Unidad IV. Procesos estocásticos 4.1 Movimiento browniano en una dimensión. 4.2 Caminatas aleatorias y la Ecuación Maestra. 4.3 Procesos de Markov. 4.4 Ecuación de Chapman-Kolmogorov. 4.5 Ecuación de Langevin. 4.6 Ecuación de Fokker-Planck. 4.7 Solución estacionaria de la ecuación de Fokker-Planck para potenciales biestables. 4.8 Ejemplos sugeridos: Modelo estocástico de reacciones químicas sin difusión, Modelo estocástico de formación de costras sanguíneas. Unidad V. Sinergismo y auto-organización 5.1 Organización y eliminación adiabática de variables: parámetros de orden y de control. 5.2 Auto-organización y retroalimentación de sistemas acoplados. 5.3 Potenciales biestables y ecuaciones de reacción-difusión. 5.4 Fluctuaciones, adaptabilidad y ruptura espontánea de la simetría. 5.5 Ejemplos sugeridos: Modelo de morfogénesis de órganos florales, Modelo del SIDA como una transición de fase. Unidad VI. Tópico optativo: Redes booleanas y autómatas celulares 6.1 Elementos y redes. 6.2 Variables booleanas, funciones y redes. 6.3 Redes booleanas aleatorias. 6.4 Autómatas celulares. 6.5 Ejemplo sugerido: Modelo de locomoción de salamandra. Bibliografía Básica: - H. Haken, Synergetics, Springer-Verlag, Berlin, 1978. - N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland Publishing Co., Amsterdarm, 1981. - J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer, Berlin, 1989. - C. Castillo-Chávez y et-al, Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases, Springer, New York, 2002. - D. Kaplan y L. Glass, Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, New York , 1995. - Allman Elizabeth S. y Rhodes John A., Mathematical Models in Biology, Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 31