Adición de Números Naturales

Adición de Números Naturales
Definición: Dados dos números naturales a y b, se le llama adición a la operación interna que cumple:
i)
a+0 = a
ii) a + sig b = sig (a+b)
El resultado de la adición de a+b es un natural único llamado suma de a+b.
Propiedades:
1. Existencia de Neutro:
Para todo natural a se cumple que a+0=a y que 0+a=a
Dem:
a+0=a por definición, probaremos que 0+a=a por inducción completa.
-Si a=0 entonces 0+0=0 porque a+0=a
-Hip: a=x 0+x=x
Tesis a=sigx
0+sigx=sigx
Dem 0+sigx=sig(0+x)=sigx
2. Conmutativa
a+b= b+a para todo a y b que pertenecen a N.
Dem: a cargo del lector.
3. Asociativa.
(a+b)+c= a+(b+c) para todo a, b, y c perteneciente a los naturales.
Dem: a cargo del lector
Teorema: Si el sig 0 =1 entonces sigx= x+1
4. Monotonía
Si a=b entonces a+n=b+n para todo a, b , n que pertenecen a N
Dem : n=0
b+0=b por Neutro
a+0=a por Neutro
a+0=b+0
a=b por hipótesis
Hip
Tesis
Dem
n=x a+x=b+x
n=x+1
a+(x+1)= b+(x+1)
a+(x+1)=( a+x) +1= (b+x) +1= b+(x+1)
5. Cancelativa
Si a+n=b+n entonces a=b para todo a, b, n que pertenecen a N
Dem: a cargo del lector.
6. Tricotomía
Para todo a y b que pertenecen a N se cumple una y solo una de las siguientes tres afirmaciones:
i) a=b
ii) existe n natural distinto de 0 tal que a+n=b
iii) existe n natural distinto de 0 tal que b+n=a
Definición: si se cumple ii) se dice que a<b y si se cumple iii) se dice que a>b.
Multiplicación de números naturales.
Definición: Dados dos números naturales ay b, se llama multiplicación a la operación interna que cumple:
i) a.0=0
ii) a.sigb=a.b+a
Como ya vimos que sig b=b+1 podemos escribir ii) a.(b+1)=a.b+a.
A la operación se le llama multiplicación, al natural a.b se le llama producto y a cada natural factor.
Propiedades:
1. Absorción: a.0=0.a=0 ∀ a ∈ N
Dem: a cargo del lector.
2. Distributiva del producto respecto a la suma: (a la derecha y a la izquierda)
a.(b+c)=a.b+a.c
(a+b).c=b.a+c.a
Dem: a cargo del lector.
3. Conmutativa: ∀ a, b ∈ N a.b=b.a
Dem: a cargo del lector.
4. Asociativa: (a.b).c=a.(b.c)
Dem: a cargo del lector.
∀ a,b,c ∈ N.
5. Existencia del neutro: a.1=1.a=a ∀ a ∈ N
Dem: a cargo del lector.
6. Monotonía: x=y ⇒ a.x=a.y
Dem: a cargo del lector.
a.x = a. y 
⇒ x= y
a≠0 
Dem: a cargo del lector.
7. Cancelativa:
8. Propiedad HANKELIANA: (Herman Hankel , alemán, 1839-1873) a.b=0 ⇔ a=0 o b=0.
Dem: a cargo del lector.