3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango
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3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango
Rango y matriz inversa 3 3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango de una matriz filas, y lo notaremos por rango al número de filas no nulas de su forma canónica por . rango Observación: Se verifica que rango . EJEMPLO 9 Calcula, mediante operaciones elementales, el rango de la matriz: 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 2 3 1 0 1 1 1 2 1 3 Solución: 1 0 0 0 Por el ejemplo 8 se sabe que la forma canónica por filas de es: 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 , 1 0 3. que tiene 3 filas no nulas. Por tanto, su rango es: rango 3.2. MATRIZ INVERSA Dada una matriz cuadrada tal que Una matriz , se dice que es regular si existe otra matriz . La matriz recibe el nombre de matriz inversa de . se dice que es singular si no tiene inversa. 3.2.1. PROPIEDADES DE LA INVERSA • La identidad y todas las matrices elementales son regulares. • Si es regular entonces • Si es regular entonces • Si y son regulares entonces • La matriz es regular si y sólo si rango • La matriz es regular si y sólo si su forma canónica por filas es la matriz identidad es regular, y es: es regular, y es: es regular, y es: . . 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata 3.2.2. MATRIZ DE PASO Por la relación dada entre operaciones elementales y matrices elementales, si la forma canónica por filas de la matriz es , entonces … Donde es la matriz elemental asociada a la operación i‐ésima realizada. … Sea el producto de matrices elementales que intervienen en la obtención de la se dice que la matriz es una matriz de forma canónica por filas de . Dado que paso de a . Además la matriz es regular, por ser producto de matrices regulares y puede ser construida, sin necesidad de calcular cada , aplicando a la matriz identidad las mismas operaciones elementales por filas hechas sobre : … Así pues, para obtener las matrices y se deben realizan, respetivamente sobre e , las mismas operaciones elementales por filas y, por tanto, pueden calcularse simultáneamente operando sobre una matriz doble: | | ~ ~…~ … | … EJEMPLO 10 Obtener la forma canónica por filas de la matriz 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 , y una matriz de paso 1 1 de a su forma canónica por filas. Solución: Se construye la matriz | , y se hacen operaciones elementales por filas sobre esta matriz doble, hasta obtener la forma canónica por filas de : | 2 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ~ 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 2 3 1 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ~ 0 1 Rango y matriz inversa 1 0 ~ 0 0 1 0 ~ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 4 4 1 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1/2 0 1 0 1/4 1 1 0 ~ 0 0 0 1 2 1 0 1 1/2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ~ 0 0 1 0 0 0 1/4 1 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 0 0 0 ~ 0 0 1 0 0 1 4 0 1 1 0 0 3/2 3/4 1/2 1/4 1/2 1/4 0 1 1 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 ~ 0 1 1 1 0 1/2 1/4 1/2 1/2 1/4 1/2 0 1 1 1/2 1/2 1/2 1 1/4 1/4 1/4 1 0 1/4 1/4 1 0 0 ~ 0 1 0 0 0 1 Se tiene que la forma canónica por filas de la matriz y una matriz de paso son: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3/2 1/2 1/2 0 3/4 1/4 1/4 1 1/2 1/2 1/2 1 1/4 1/4 1/4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Se puede comprobar que se verifica que: 3/4 1/4 1/4 1 1/2 1/2 1/2 1 1/4 1/4 1/4 1 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 2 3 0 1 0 0 3/2 1/2 1/2 0 3.2.3. ALGORITMO PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Cuando la matriz es cuadrada y regular, su rango es máximo y su forma canónica por filas es , de donde se deduce que . la matriz identidad, es decir Esto nos proporciona el siguiente algoritmo para calcular la inversa de una matriz 1. Construir la matriz doble | 2. Hacer operaciones elementales sobre la matriz doble canónica por filas de : | ~ | 3. Si , entonces es regular, y , entonces es singular. 4. Si | hasta obtener la forma EJEMPLO 11 Estudiar si la matriz 1 1 0 1 1 1 1 0 es regular y, en caso afirmativo, calcular su inversa. 1 3 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata Solución: | Se construye la matriz , y se hacen operaciones elementales por filas sobre esta matriz doble hasta obtener la forma canónica por filas de : 1 1 0 1 1 1 11 00 10 1 ~ 0 0 1 1 0 11 10 11 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ~ 0 1 0 0 1 ~ 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 1 ~ 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 Puesto que la forma canónica es la identidad, la matriz es regular y 4 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ~ 0 1 1 0 0 1 1 1 1 . 0