Cálculo Integral : Guía II - CECyT 11

Transcripción

2010
Cálculo Integral: Guía II
Profr. Luis Alfonso Rondero García
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU”
Departamento de Unidades de
Aprendizaje del Área Básica
15/10/2010
Unidades de Aprendizaje del Área Básica
Integración de Potencias de Funciones
Trigonométricas.
Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es
necesario utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva
expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.
Las identidades más empleadas son:
Sen 2 x + Cos 2 x = 1
Sen 2 x =
1
1  Cos 2x 
2
Sec 2 x - Tg 2 x = 1
Cos 2 x =
Csc 2 x - Ctg 2 x=1
1
1  Cos 2x 
2
Integrales de potencias de la función Seno.
 Si las potencias son impares deberás emplear :
Sen 2 x + Cos 2 x = 1
de donde :
Sen 2 x = 1 - Cos 2 x
 Si las potencias son pares deberás emplear : Sen 2 x =
1
1  Cos 2x 
2
Ejemplos:
a)
 sen
2
xdx  
1
1  cos 2 x dx   1dx   1 cos 2 xdx  1 x  1  cos u du  1 x  1  cos udu
2
2
2 2
4
2
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2

1
1
x  sen 2 x  c
2
4
En algunos textos ésta solución se ve diferente porque se emplea la identidad del ángulo
doble:
Sen 2u = 2 Sen u Cos u
Página 2

1
1
1
1
1
1
x  sen 2 x  x  2senx cos x   x  senx cos x  c
2
4
2
4
2
2
b)
 sen
3




xdx   senx sen 2 x dx   senx 1  cos 2 x dx 


  cos x   u 2  du    cos x   u 2 du   cos x 
u3
1
  cos x  cos 3 x  c
3
3
Integrales de potencias de la función Coseno.
 Si las potencias son impares deberás emplear :
Sen 2 x + Cos 2 x = 1
de donde :
Cos 2 x = 1 - Sen 2 x
 Si las potencias son pares deberás emplear : Cos 2 x = 1 1  Cos 2x 
2
Ejemplos:
2
 cos x dx
a)
 cos
2
x dx  
=  1  Cos 2 x dx 
1
2
1
1
dx   cos 2 xdx 

2
2
1
1  Cos 2 x dx  1  dx  1  cos 2 xdx 
2
2
2
1
1
du 1
1
1
1
x   cos u
 x   cos udu  x  sen2 x  c
2
2
2 2
4
2
4
du
u  2 x du  2dx
 dx
2

Como:
Sen 2u = 2 Sen u Cos u

1
1
x  senx cos x  c
2
2
Página 3
b)  cos 3 xdx   cos x cos 2 xdx   cos x1  sen2 x dx   cos x   cos xsen 2 xdx
u  senx
du  cos xdx
 senx   u 2 du  senx 
u3
c
3
sen3 x
 senx 
c
3
Integrales de potencias de la función Tangente.
Debes emplear :
2
2
Identidad Pitagórica:
Sec - Tan u = 1
Diferencial de la tangente:
d tanu = Sec u du
2
 tan udu  ln secu  c
y la integral :
Ejemplos:
a)  tan 2 udu
)
b)  tan3 udu =
=  =  sec 2 u  1du   sec 2 udu   du  tan u  u  c
 tan u tan
2


udu   tan u sec 2 u  1 du
  tan u sec 2 udu   tan udu
Realizando cambio de variable en la primera integral:
 zdz  ln sec u  c 
c)  tan 4 udu
=


 tan
2
z  tan u dz  sec2 udu
z2
1
 ln sec u  c  tan 2 u  ln sec u  c
2
2
u tan 2 udu  solo se sustituye una tangente cuadrada

tan 2 u sec 2 u  1 du   tan 2 u sec 2 udu   tan 2 udu
z  tan u dz  sec 2 udu
  z 2 dz   tan 2 udu  
z3
1
 tan u  u   c  tan 3 u  tan u  u  c
3
3
Página 4
Integrales de potencias de la función Cotangente.
Debes emplear:
2
Identidad Pitagórica:
2
Csc - Ctg u = 1
2
Diferencial de la Cotangente:
d Ctgu = - Csc u du
 ctg udu  ln sen u  c
Integral de la Cotangente:
a)  cot 2 xdx   csc 2 x  1dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c


b)  cot 3 xdx   cot x cot 2 xdx   cot x csc 2 x  1 dx
  cot x csc 2 xdx   cot xdx   u  du   Ln senx    udu  Ln senx  
u2
 Ln senx
2
u  ctgx
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx

ctg 2 x
 Ln senx  c
2


c)  cot 4 xdx   cot 2 x cot 2 xdx   cot 2 x csc 2 u  1 dx


  cot 2 x csc 2 xdx   cot 2 xdx   u 2  du    csc 2 x  1 dx    u 2 du   csc 2 xdx   dx
u  cot x
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx

u3
cot 3 x
 csc 2 x  x  c  
 cot x  x  c
3
3
Integrales de potencias de la función Secante y Cosecante.
Las integrales de las potencias impares de la Secante y Cosecante no pueden resolverse por
éste método; se resolverán más adelante con el Método de <Integración por Partes> solo
pueden resolverse las potencias pares que no sean múltiplos de potencias impares, ya que
se puede emplear:
a)
 sec
2
xdx  tan x  c
b)
 csc
2
xdx  ctgx  c
Página 5
Ejemplo:
Siendo u=tg x & d tgx= sec2x dx tenemos
Como en la cotangente tenemos: d ctgx = -csc2x dx &
 csc
2
xdx  ctgx  c
Justifica ó demuestra que:
=
INTEGRACIÓN DE PRODUCTOS DE POTENCIAS DE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
SENOS Y COSENOS:
Potencia par del seno e impar del coseno:
Ejemplo:
 sen x cos
2
 sen
2
3
xdx  Se descompone la potencia impar del coseno:
x cos 2 x cos xdx 
se toma al cosx dx como una “semilla” diferencial del seno ya que : dsenx = cosx dx.
2
2
2
Se respeta: sen x y se transforma cos x en : 1-sen x


  sen 2 x cos 2 x cos xdx   sen 2 x 1  sen 2 x cos xdx   sen 2 x cos xdx   sen 4 x cos xdx
u3 u5 1
1
  u du   u du 

 sen 3 x  sen 5 x  c
3
5 3
5
2
4
Página 6
Potencia impar del seno y par del coseno:
Ejemplo:
 sen x cos
3
2
xdx
Se descompone la potencia impar del seno:
y se toma
 sen
2
x cos 2 xsenxdx
senxdx como una “semilla” diferencial del coseno ya que:
Por lo que :
dcosx = -senxdx
u = cos x , du = - senx dx & -du = senx dx
RECOMENDACIÓN:
Se respeta: cos2x y se transforma sen2x en : 1-cos2x ,ya que no se debe repetir la
misma función que es semilla diferencial.
  sen 2 x cos 2 xsenxdx 
 1  cos xcos
2
2
x senxdx   cos 2 xsenxdx   cos 4 xsenxdx
u3 u5
1
1
  u (du )   u (du )   
 c   cos 3 x  cos 5 x  c
3
5
3
5
2
4
Potencia par del seno y par del coseno:
RECOMENDACIÓN: Deberás siempre emplear las identidades:
Sen 2 x =
1
1  Cos 2x 
2
Cos 2 x =
1
1  Cos 2x 
2
Página 7
A) Potencia impar de la tangente y par de la secante:
Ejemplo:
 tan
3
x sec4 xdx
2
Se descompone la potencia par de la secante dejando sec x dx como “semilla” diferencial :
 tan
3
x sec2 x sec2 xdx
Se descompone la otra sec
2
x en : 1+tan2x y se deja sin cambio la tan3x siguiendo la
recomendación anterior.





= tan x 1  tan x sec xdx  tan x sec xdx  tan x sec xdx
3
2
2
3
2
5
2
2
u=tan x du=sec x dx


= u du  u du 
3
5
u4 u6 1
1

 tan 4 x  tan6 x  c
4 6 4
6
Página 8
B) Potencia par de la tangente e impar de la secante:
No puede resolverse por éste método.
C) Potencia par de la tangente y par de la secante:
Se procede igual que que en A)
sen 2 xdx
 cos 6 x
Ejemplo: Resolver la siguiente integral
sen 2 xdx
sen 2 xdx
2
4
2
2
2
 cos 6 x   cos 2 x cos 4 x   tan x sec xdx   tan x sec x sec xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
 tan x1  tan xsec
2
2
2
xdx   tan 2 x sec2 xdx   tan 4 x sec2 xdx
sen 2 xdx
u3 u5
1
1
2
4

u
du

u
du


 c  tan 3 x  tan 5 x  c
 cos 6 x 

3
5
3
5
D) Potencias impares de ambas funciones:
Se descomponen ambas funciones en par- impar dejando como “semilla” diferencial:
Sec x tan x dx
n
ya que : d secx = sec x tan x dx por lo que se respetará la función : sec x , y solo se
transformará
tanmu empleando : tan2u = sec2u -1
Ejemplo:
 tan
 sec
3
4

1
1
x sec x tan xdx   sec 2 x sec x tan xdx   v 4 dv   v 2 dv  sec 5 x  sec 3 x  c
5
3
 tan x sec
5


x sec 3 xdx   tan 2 x sec 2 x sec x tan xdx   sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan xdx 
3


2
xdx   tan 4 x sec 2 xsec x tan xdx   tan 2 x sec 2 xsec x tan xdx

2


  sec 2 x  1 sec 2 sec x tan xdx   sec 4 x  2 sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan xdx
Página 9
  sec6 xsec x tan xdx   2 sec4 sec x tan xdx   sec2 xsec x tan xdx
u  sec x
du  sec x tan x
Actividad I:
Resuelve las siguientes integrales de potencias trigonométricas y de
Productos de potencias trigonométricas.
1)
 sen
2)
 sen dx 
4
dx 
6)
 tan
3
11)  sen 2 x cos 3 x dx 
xdx 
7)  tan 4 3xdx 
5
 ctg
12)
 sen
13)
 sen
3)  cos 4 3xdx 
8)
4)  cos 5 2 xdx 
9)  ctg 3 xdx 
14)
 tan
5)  tan 2 xdx 
10)  ctg 4 x dx 
15)
 tan
2
xdx 
16)

tg 3 4 x sec 4 4 xdx
3
x cos 4 x dx
17)
 sen x cos
5
2 x cos 3 2 xdx 
18)
 tan x sec
3
x sec5 xdx 
19)
 tan x sec
3
x sec 6 xdx 
20)
 sen x cos
Actividad II: Resuelve las siguientes integrales aprovechando
2
xdx 
4
xdx 
3
3
5
3
3
xdx 
3
xdx 
todo lo practicado
anteriormente.
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
Página 10
Después de resolver todos los ejercicios anteriores satisfactoriamente ,podrías
resolver la integral
?
¡ Inténtalo !
Página 11
INTEGRACIÓN POR PARTES
Descripción del método
Hay un gran número de integrales no inmediatas que presentan productos de
funciones de distintas clases, por ejemplo:
 xsenxdx ;  xe
x
dx ;
 arctan
xdx
Estas integrales pueden resolverse por el método llamado integración por partes que
se describe a continuación:
De la fórmula diferencial:
Se tiene que:
d (uv) = udv + vdu
udv = d (uv) - vdu
Integrando en ambos miembros:  udv = uv   vdu : Fórmula para integrar por partes
Esta fórmula o método se aplica cuando se quiere integrar un producto
 udv ,
cuyos
factores “u” y “dv” son las partes de la integral, en donde “dv” debe ser integrable y
siempre incluye a la “dx”. La integral que se obtiene
 vdu
en el segundo miembro de la
fórmula, debe ser mas sencilla que la original, o bien un múltiplo de ella.
Pasos para integrar por partes .
1º.- Seleccionar y designar las partes de la integral como (u y dv). No hay una regla
sobre como tomar las partes, sin embargo, se recomienda tomar como “u” a la parte
más sencilla y a “dv” la parte restante del integrando, que por lo general es la de
aspecto más complicado.
2º.- Calcular “du “ (diferenciando u) y “v“(integrando dv).
3º.- Sustituir los valores seleccionados y calculados en la fórmula
 udv = uv   vdu
y
desarrollar todo simplificando hasta obtener una integral inmediata y fácil de resolver.
Página 12
Ejemplo 1
 xsenxdx
Sea
u=x
du
1
dx
;
dv  senx dx

;
du  dx

;
; v= dv  senxdx
v   cos x
 xsenxdx  x cos x    cos xdx   x cos x   cos xdx  x cos x  senx  c
Realicemos el mismo ejercicio pero tomando al contrario las partes
u  senx
dv  xdx
;
du
 cos x
dx
; v=
 dv   xdx
du  cos xdx
;
x2
v
2
 x2 
x2
 xsenxdx  senx 2    2 cos xdx
Se complicó la integral. Lo anterior significa que es muy importante la manera en que
son designadas las partes de la integral.
Existen integrales en las que el proceso de integración por partes debe aplicarse más
de una vez hasta que la segunda integral resultante de cada proceso sea inmediata.
Ejemplo 2 :
x
2
senxdx
Selección : u = x2
Cálculo : du = 2x dx
dv = senx dx
v= - cos x
Página 13


=  x 2 cos x  2 xsenx   senxdx   x 2 cos x  2 xsenx  2 senxdx 
 x 2 cos x  2 xsenx  2 cos x  =  x 2 cos x  2 xsenx  2 cos x  c
Existen integrales en las que después de aplicar la integración por partes vuelve a
aparecer la misma integral original pero con signo diferente por lo que deberá tomarse
como incógnita de una ecuación y por lo tanto deberá despejarse al primer miembro
para finalmente obtener su valor .
Ejemplo 3
 sec
3
x dx   sec x sec 2 x dx
u  sec x dv  sec 2 x dx du  sec x tg x dx v  tg x
 sec x tan x   tan x sec x tan x dx  sec x tan x   tan 2 x sec xdx


 sec x tan x   sec 2 x  1 sec x dx
 sec x tan x   sec 3 x dx   sec x dx
  sec 3 x dx  sec x tan x   sec 3 x dx   sec x dx
  sec 3 x dx   sec 3 x dx  sec x tan x  Ln sec x  tan x
 2  sec 3 x dx  sec x tan x  Ln sec x  tan x
  sec 3 x dx 
sec x tan x  Ln sec x  tan x
2
c
Página 14
Actividad II: Resolver las siguientes integrales por Integración por partes
1)
 x cos xdx 
4)
x e
dx 
7)
 xe dx 
10)
xe
2)
x
5)
 xe
dx 
8)
 ln xdx =
11)
 arc tg 3xdx 
3)
 x e dx 
6)
 xe
dx 
9)
 x ln xdx 
12)
 arc sen 2 xdx =
2
senxdx 
2 x
3 2x
2x
x
x
3 x2
dx 
13)
 e senxdx 
14)
x e
15)

x
2 3 x
dx 
ln xdx

x2
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Se aplica a integrales de funciones racionales dónde aparezca una diferencia ó suma
de cuadrados lo que permite relacionarse con el Teorema de Pitágoras y por lo tanto
se puede estructurar un triángulo rectángulo donde la expresión original define alguna
función trigonométrica de uno de sus ángulos agudos.
1º Debes considerar que por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa y cualquiera de los
catetos se obtienen de la siguiente manera:
Hipotenusa :
cateto1  cateto 2
Cateto :
hip 2  cateto 2
2
2
ya que el teorema tiene la siguiente representación geométrica y matemática:
Página 15
2º Las funciones angulares más sencillas que se pueden definir en el triángulo establecido
son: seno-tangente-secante
3º La condición básica al establecer éstas funciones es que la variable esté siempre en el
numerador de la fracción obtenida como función.
Ejemplos:
I)
x
dx

4
2
2
En la expresión : x - 4 , la raíz del minuendo es la hipotenusa : x y la raíz del
sustraendo es uno de los catetos : 2 . En el siguiente triángulo rectángulo
ubicaremos éstos elementos y definiremos la función correspondiente.
El arreglo del segundo triángulo es el correcto por lo que lo completaremos el
triángulo colocando el otro cateto que es :
Sustituyendo x y su diferencial en la integral original tenemos:
Página 16
x
2 sec u tg u du
2 sec u tg u du 1 sec u tg u du 1 sec u du
dx

 
 

2
2
2
tg u
4 sec u  4
4 sec 2 u  1
tg 2u
4

2
1
secu 
cos u
Como:

x

senu
y tg u 
cos u
1
entonces secu  cos u  1  cscu
tg u senu senu
cos u
dx
1
1
  csc udu  ln csc u  ctg u  c
2
4 2
2
Finalmente deberá regresarse a la variable original x por lo que deberá calcularse en el
triángulo: csc u y ctg u
cscu 
x
x2  4
x

II )
ctg u 
x
dx
9  4x 2
2
x2  4
dx
1
x
2
1
x2

 ln
c
 ln 2
2
4 2
x 4
x 4 2
x2  4
2

9  4x 2 es la hipotenusa y la raíz de los sumandos son los catetos: 3 & 2x . En el
siguiente triángulo rectángulo ubicaremos éstos elementos y definiremos la función correspondiente
La expresión:
Página 17
Sustituyendo “x” y su “dx” en la integral original tenemos:

dx
x 9  4x 2


3 2
sec u du
sec 2 u du
sec 2 u du
2


3
tan u 9  9 tan 2 u
tan u 9 1  tan 2 u
9

tan u 9  4 tan 2 u 
2
4



1
1
sec 2 u du
1 sec u du 1 cos u
1 1
1
 


du

du

csc u du



3 tan u sec 2 u 3 tan u
3 senu
3 senu
3
cos u

1
ln csc u  ctg u  c
3
Finalmente deberá regresarse a la variable original “x” por lo que deberá calcularse en
el triángulo: csc u y ctg u
csc u 

9  4x 2
2x

dx
x 9  4x 2
ctg u 

3
2x
1
9  4x 2
3
1
9  4x 2  3
ln

 c  ln
c
3
2x
2x
3
2x
Página 18
5dx

III)
25  x 2

En la expresión : 25  x 2 :la raíz del minuendo 25 es la hipotenusa 5 y la raíz del sustraendo x2
es el cateto : x . En el siguiente triángulo rectángulo ubicaremos éstos elementos y definiremos la
función correspondiente
Sustituyendo x y su diferencial en la integral original tenemos:

5dx
25  x
 5
2
5 cos u du
25  25sen u
2
 25
cos u du

25 1  sen u
2

 25
cos udu
5 cos 2 u
 5 du  5u  c
Finalmente deberá regresarse a la variable original x por lo que deberá calcularse en el
triángulo:
u
En el triángulo observamos que: u es el ángulo cuya función seno vale
lo cual se escribe matemáticamente : arcsen


x
5
x
5
x
5
arcsen
c

5
25  x 2
5dx
Estos tres problemas tipo permitirán que resuelvas los problemas
propuestos en la siguiente actividad.
Página 19
Actividad III: Resuelve las siguientes integrales por Sustitución
trigonométrica.

5 xdx
4)

x 2 dx
7)
x
1)
10)

13)

16)

19)

=
x 9
2
9  x2

dx
2
x 2 dx
 x 2  16 
3)

5)
x 2 dx
 9  x2 
6)
x
2
9)

4  x2
dx 
x4

12)
x

15)
 1 x
18)
 4x
21)
x
1  x 2 dx

x

8)

11)
 x
x 2 dx
14)

dx

17)
x
x 2  4 dx 
20)
x
x 9
2
x 2 dx
9  x 
2 3
x 2  16
dx 
x4
dx
x4  x6
5dx
2)

2
4
9 x

2
2
dx

2
x 3
2
4  x 2 dx 
Actividad Complementaria III
2
25  x 2
=
dx

1
dx
9  x2
2
dx
2


dx

2
9
dx

1
2
(mayor grado de dificultad)
En los siguientes ejercicios, calcula la integral indefinida:
Página 20
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES
PARCIALES.
Se llama función racional a una expresión del tipo:
f ( x) 
g ( x)
h ( x)
;
x 3  3x
x  2x  3
2
Cuyo numerador y denominador son polinomios.
Si el grado del numerador es igual o superior al del denominador se tiene una fracción
impropia por lo que el cociente resulta ser un entero más un residuo. Este cociente se
obtiene por medio de la división. Así :
x 3  3x
10 x  6
 x2 2
2
x  2x  3
x  2x  3
Una fracción cuyo numerador es de grado inferior al denominador puede
transformarse en una suma de fracciones parciales, cuyos denominadores sean
factores del primitivo denominador. Así tenemos que:
10x  6
10x  6
9
1



x  2x  3 x  3x  1 x  3 x  1
2
Muchas veces esas fracciones pueden hallarse por tanteos.
La descomposición en fracciones parciales presenta 4 casos diferentes los cuales se
muestran a continuación:
Caso I.- Los factores en que se pueden descomponer el denominador son todos de
primer grado y ninguno se repite.
x 4  2x  6
dx
Ejemplo  3
x  x 2  2x
Dividiendo el numerador por el numerador por el denominador, obtenemos
Página 21
x 4  2x  6
3x 2  6
3x 2  6
 x 1 3
 x 1
x 3  x 2  2x
x  x 2  2x
xx  1x  2
Supongamos
3x 2  6
A
B
C
 

xx  1x  2 x x  1 x  2
Los 2 miembros de esta ecuación son simplemente maneras distintas de escribir la misma
función. Por consiguiente, si quitamos denominadores, los 2 miembros de la ecuación
resultante.
3x 2  6  Ax  1x  2  Bxx  2  Cxx  1


3x 2  6  A x 2  x  2  Bx2  2Bx  Cx 2  Cx
3x2  6  Ax 2  Ax  2A  Bx2  2Bx  Cx 2  Cx
Factorizando:
3x2  6  A  B  Cx2  A  2B  Cx  2A
De esta identidad tenemos
ABC 3
I
A  2B  C  0
II
 2A  6
III
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos A  3, B  3, C  3
Recíprocamente, si A, B y C tienen esos valores, se satisfacen idénticamente las ecuaciones
anteriores. Por consiguiente:
x 4  2x  6
3
3
3 

 x3  x2  2x dx   x  1  x  x  1  x  2 dx
  xdx   dx  3
dx
dx
dx
 3
 3
x
x 1
x2
Página 22
x2
x  1x  2  C
x2
  x  3 ln x  3 lnx  1  3 lnx  2  C   x  3 ln
2
2
x
Caso II.- Los factores en que se puede descomponer el denominador son todos de
primer grado, pero algunos están repetidos.
8x 3  7
dx
Ejemplo 
x  12x  13
Supongamos que:
8x 3  7
x  12x  1
3

A
B
C
D



2

x  1 2x  13
2
x
 1
2x  1
Correspondiendo al factor repetido (2x+1)3, introducimos entonces fracciones con
2x  13
y todas las potencias inferiores como denominadores. Desarrollando y resolviendo en igual
forma que en el caso I obtenemos:
A  1, B  12, C  6, D  0
De aquí obtenemos
 1

8x 3  7
12
6
 x  12x  13 dx    x  1  2x  13  2x  12 dx


 ln x  1 
Caso III.-
3
3

C
2
2x  1 2x  1
El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno
repetido.
4x 2  x  1
dx
Ejemplo: 
x3  1


Los factores del denominador son x  1
y
x
2
 x  1
Página 23
Supongamos
4x 2  x  1
A
Bx  C

 2
3
x 1
x 1 x  x 1
Empleamos pues, con el denominador cuadrático x2+x+1, un numerador que no es una
sola constante, sino una función lineal Bx+C. Haciendo desaparecer las fracciones y
resolviendo para A, B y C obtenemos:
A=2, B=2 y C=1
Por consiguiente
4x 2  x  1
2x  1 
 2
 x3  1 dx    x  1  x2  x  1 dx
2
= 2 ln x  1  ln x  x  1  C
Caso IV.-
El denominador contiene factores de segundo grado repetidos.

Por cada factor de la forma ax  bx  c
2

2
que resulte de la factorizacion de g(x) le
corresponde una suma de “n” fracciones de la forma:
ax
Ax  B
2
 bx  c

n

ax
Cx  D
2
 bx  c

n 1

Lx  M
ax 2  bx  c


De haber factores lineales repetidos o no, se resuelven estos como el caso I y II.
Ejemplo:

8x 3  13x
x
2
2

2
dx
Página 24


Solucion : Incluim os una fraccion sim ple por cada potencia de x 2  2 y exp resam os
8x 3  13 x
Ax  B
Cx  D

 2
2
2
x 2
x2  2
x2  2




8x 3  13 x  Ax  B  (Cx  D)(x 2  2)
 Ax  B  Cx 3  2Cx  Dx 2  2D
 Cx 3  Dx 2  ( A  2C)x  (B  2D)
C 8
D0
A  2C  13
B  2D  0
8x 3  13x
x
2
2

2
A  2C  13
A  2(8)  13
A  13  16
A  3

 3x
2
(x  2)

B  2D  0
B  2(0)  0
B0
8x
2
x 2

  3x
8x 


dx =
 (x 2  2) 2
x 2  2 


8x
x
dx  3 2
2 dx
x 2
( x  2)
2
3 ( x 2  2 ) 1
 4 ln x  2 
2
1
2
3 ( x  2)1
 4 ln x 2  2 
+c
2
1
2
3 ( x 2  2)1
 4 ln x  2 
+c
2
1
2
3 ( x 2  2)1
 4 ln x  2 
+c
2
1
2
Página 25
 4 ln x 2  2 


3 ( x 2  2)1
+c
2
1
8x 3  13 x
x
2
2

dx = 4 ln x 2  1 
2
3
2
2(x  2)
+c
EJEMPLOS CASO I: Factores lineales no repetidos
1) 
3x  2
dx
x  x 2  2x
3
Paso 1.- Factorizar el denominador:


x 3  x 2  2x  x x 2  x  2  xx  2x  1
Paso 2.-
A cada factor lineal
ax  b que esté una sola vez en el denominador de una fracción
racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma
A
donde A es una
ax  b
constante cuyo valor habrá que calcularse.
En este ejemplo, descompondremos la fracción original en tres fracciones cuyos numeradores
serán A, B y C. Observemos que el grado del denominador es tres y es el mismo número de
constantes por determinar.
 x3
3x  2
2
 x  2x
dx 
3x 2  2
3
2
x  x  2x

3x  2
xx  2x  1
3x  2
A
B
C



x  2 (x  1)
xx  2x  1
x
3x  2
A(x  2)(x  1)  Bx (x  1)  Cx(x  2)

xx  2x  1
x(x  2)(x  1)
3x  2  A(x  2)(x  1)  Bx (x  1)  Cx(x  2)
Página 26
Para calcular el valor de las constantes A, B y C, obtenemos las raíces de x(x  2)(x  1)
que son:
x(x  2)(x  1) = 0
x
x
x
x
x
 0
2  0
 2
1 0
 1
Evaluando las raíces
3x  2  A(x  2)(x  1)  Bx (x  1)  Cx(x  2)
para x  0
 2  A(2)(1)  B(0)  C(0)
 2  2 A
A 1
para x  2
4  A(0)(3)  B(6)  C(0)
4  6B
2
B 
3
para
x1
 5  A(0)  B(0)  C(3)
 5  3C
5
C  
3
Sustituimos los valores obtenidos de A, B y C, en
2
5
1
3x  2

 3  3
xx  2x  1 x x  2 x  1
Página 27
Integramos
 x3
3x  2
2
 x  2x
 ln x +
dx  
dx 2 dx
5 dx
 
 
x
3 x2 3 x1
2
5
ln x –2 ln x+1 + c
3
3
por la propiedad de los logaritmos queda:
ln xx  2 3
3x  2
c
=
dx
 3
5
x  x 2  2x
ln x  1 3
2
x
2)
3x  1
 x6
2
Paso 1.- Factorizamos el denominador:
x 2  x  6  x  3x  2
Paso 2.-Descomponemos la fracción original en dos fracciones parciales:
3x  1
2
x x6

A
B

(x  3) (x  2)
Paso 3.- Multiplicamos en cruz empleando el algoritmo para la suma de fracciones con
distinto denominador:
3x  1
 A(x  2)  B(x  3)
Página 28
Paso 4.- Sustituimos valores
x3  0
x  3
x2  0
x  2
para x  3
3(3)  1  A(3  2)  B(3  3)  5 A
8  5A
8
A
5
para x  2
3(2)  1  A(2  2)  B(2  3)  5 B
 7  5 B
7
B
5
8
7
3x  1
5
5


2
x  x  6 ( x  3) ( x  2)
Paso 5.-Calculamos la Integral

8
dx
7
dx
3x  1
dx  
 
5 ( x  3) 5 ( x  2)
x x6

8
7
3x  1
dx  ln ( x  3)  ln ( x  2)  c
5
5
x x6

8
7
3x  1
5  ln x  2  5  c


dx
=
ln
x

3
x2  x  6
2
2
3)

5x  3
dx
x  2x 2  3x
3
Página 29
x 3  2x 2  3x  x(x 2  2x  3)  x(x  3)(x  1)
5x  3
3
2
x  2x  3x

A
B
C


x
(x  3) (x  1)
5x  3  A(x  3)(x  1)  Bx (x  1)  Cx(x  3)
x3  0
x  3
x0
x1 0
x  1
para x  0
5(0)  3  A(0  3)(0  1)  B (0)(0  1)  C (0)(0  3)
3  3 A
A  1
para x  3
5(3)  3  A(3  3)(3  1)  B (3)(3  1)  C (3)(3  3)
18  12 B
12 2
B

18 3
para x  1
5(1)  3  A(1  3)(1  1)  B (1)(1  1)  C (1)(1  3)
 2  4C
2
1
C 
4
2
 x3
5x  3
2
 2x  3x
dx 

  1
3


1
3
1
 2 
2
dx 
dx 
dx   ln x 
ln x  3  ln x  1  c
x  3 
x  1
x
2
2
Página 30
EJEMPLOS: CASO II: Factores lineales repetidos
1.- 
3x  5
dx
x  x2  x  1
3
Paso 1.- Factorizando el denominador
x
3

 x 2  x  1  x  1 x  12
3x  5
3
2
x x x1

A
x  1

B
x  1

C
x  1
Como está repetido el factor (x-1), el mínimo común denominador es : (x+1)(x-1)
3x  5  A x  12  B x  1  C x  1 x  1


2

2

A x  2x  1  Bx  B  C x  1
2
2
Ax  2 Ax  A  Bx  B  Cx  C
A  Cx 2   2A  Bx  A  B  C
2 A  C  0   2 A  2C  0
 2A  B  3
B  2C  3
A  C  0  A  C  0
ABC 5
B  2C  5
 x3
3x  5
dx 
 x2  x  1

B  2C  3
B  2C  5
2B  8
8
B 
2
 2A  B  3
 2A  4  3
 2A  3  4
 2 A  1
1
A 
2
AC  0
1
C  0
2
1
C 
2
1 
 1
 2
4
2  dx  1 ln x  1  1 ln x  1  4  c




2



x  1 
2
2
x1
x  1
 x1


Página 31
ln x  1 2
1

ln x  1 2
1

4
c
x 1
Actividad IV : Resuelve las siguientes integrales por descomposición en fracciones
parciales : Caso I y Cas
1)
dx
 x 2 1
5 x  4dx
5)
x
9)
xdx
 x  22
2
 2x  8
2)
xdx
 x 2  3x  4
5x
3)

 10 x  8
dx
x3  4x
2
6)

10)
4 x 2  38 x  79
 x  32 x  5 dx
7)
x 2  3x  4
 x 2  2 x  8 dx
x
3x  5dx
3
 x  x 1
2
4)
8)
x

x  1dx
3
 x 2  6x
6 x
2

 8 x  3 dx
1  x 3
Página 32
Bibliografía
AYRES , F. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”. SERIE SCHAUM, M C GRAW HILL, M ÉXICO .
BOSCH-GUERRA. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”.ED.PUBLICACIONES
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DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO de una variable”. ED.PRENTICE HALL, M ÉXICO
FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO
GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO
LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO
PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.L IMUSA, M ÉXICO.
STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO.
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ZILL,D.G. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, M ÉXICO.
Página 33
PÁGINAS ELECTRÓNICAS RECOMENDADAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM
HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE . HTL
Página 34

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