Capitulo 4 Calculo de integrales

Capítulo 4
Calculo de integrales
En este capítulo veremos fracciones parciales y las técnicas usuales de integración utilizando
las funciones trascendentes.
4.1.
Fracciones parciales
La base de este método es escribir un cociente de polinomios
del tipo
A
(x
r)
n,
ó
(x2
Bx + D
+ bx + c)n
P (x)
Q(x)
como una suma de términos
con b2 < 4c,
(4.1)
de forma tal que nos quede algo que sepamos integrar (estamos pensando n 2 N). Dichas
expreciones se conocen como fracciones simples, y por eso la técnica se llama “descomposición en
fracciones simples” o “fracciones parciales”. La condición b2 < 4c en 4.1 nos dice que el polinomio
x2 + bx + c no tiene raices reales, y por ello se llama irreducible.Veremos el resultado como
una gran receta, sin demostraciones ni ideas de su génesis, pues las mismas utilizan conceptos
algebraicos fuera del alcance de esta materia.
¿Que tiene de particular estas fracciones? Básicamente, que al menos en teoría, se pueden
integrar (es decir, con mas o menos trabajo se puede hallar una primitiva elemental de ellas).
Con las primeras no tenemos problema:
Z
A
(x
n dx
r)
=
8
<
A
(x r)n 1 (1 n)
: A ln (x
r)
si n 6= 1
si n = 1
.
59
Calculo de integrales
60
Por otro lado,
Z
Bx + D
dx =
(x2 + bx + c)n
=
Z
B
2
(2x + b) B2 b + D
dx =
(x2 + bx + c)n
Z
Z
B
(2x + b) dx
B
dx
b
.
n + D
2
2
2
(x + bx + c)
2
(x + bx + c)n
La primera integral que aparece en esta expresión se puede calcular fácilmente con la sustitución
u = x2 + bx + c;
La segunda requiere un poco mas
2
denotar ! 2 = c b4 (pues es un
denominador:
Z
Z
dx
=
(x2 + bx + c)n
Z
=
de trabajo: como estamos suponiendo b2 < 4c; podemos
número positivo). Ahora “completamos el cuadrado” en el
h
h
dx
(x + b=2) + c
dx
(x + b=2)2 + ! 2
u=
Z
dx
!2
Cuando n = 1 queda
cuando n
x+b=2 2
!
n
x + b=2
;
!
=
+1
1
!
Z
Z
in =
du =
=
n
b2
4
2
Haciendo la sustitución
queda
du = (2x + b) dx.
Z
dx
du
1
= tan
+ 1)
!
n.
+1
dx
!
!du
1
n = 2n
2
2
[! (u + 1)]
!
(u2
2
x+b=2
!
!2
1
1
Z
(u2
du
.
+ 1)n
(u);
2 se usa la siguiente fórmula de reducción:
Z
du
1
u
2n
+
n =
n
1
2
(u + 1)
(2n 2) (u2 + 1)
2n
3
2
Z
du
(u2 + 1)n
1,
que permite calcular cualquiera de estas integrales de manera iterativa: a partir de n = 1 (que
ya sabemos el resultado) tenemos
Z
Z
du
1
u
1
du
1
u
1
=
+
=
+ tan 1 (u),
2
2
2
2
2 (u + 1) 2
(u + 1)
2 (u + 1) 2
(u2 + 1)
ahora que tenemos el resultado para n = 2 podemos calcular
Z
du
,
2
(u + 1)3
y (con paciencia) podemos calcular la integral para cualquier valor de n dado (la fórmula de
R
R
R u2 du
du
reducción se demuestra poniendo (u2du
=
y usando partes).
n 1
2
+1)n
(u2 +1)n
(u +1)
Calculo de integrales
61
En resumen, para cualquier n 2 N podemos calcular
Z
Z
A
Bx + D
dx
y
dx (con
(x r)n
(x2 + bx + c)n
b2 < 4c)
(no estamos diciendo que sea divertido, ni que sea fácil, ni que sea obvio: estamos diciendo que
se puede).
(x)
en fracciones parciales. Vamos a usar la siguiente
Pasemos a la descomposición de PQ(x)
notación: un polinomio (o función polinomica) P (x) es una función de la forma
P (x) = a0 + a1 x +
n
+ an x =
n
X
aj xj ,
j=0
donde a1 ; :::; an son números reales. Si an 6= 0 se dice que el grado de P es n, y se pone gr (P ) = n,
es decir, el grado de un polinomio es la mayor potencia de x que efectivamente aparece en la
expresión. Una raíz de P es un número (real o complejo) tal que P ( ) = 0.
Todo polinomio se puede expresar como producto de una constante c, factores lineales
n
(x r)m , y factores cuadraticos irreducibles x2 + bx + c (irreducibles signi…ca que b2 < 4c,
o sea, un polinomio de grado 2 sin raíces reales). Es decir, se puede factorizar
P (x) = c (x
r1 )m1
(x
rj )mj x2 + b1 x + c1
n1
x2 + bk x + ck
nk
,
donde r1 ; :::; rj son las j raices reales distintas de P (ri tiene multiplicidad mi ) y cada término cuadrático corresponde a una raíz no real (compleja con parte imaginaria no nula) y su
conjugada.
Si P y Q son polinomios y gr (P ) gr (Q), entonces (haciendo la división de polinomios) se
puede poner
P (x)
R (x)
= D(x) +
Q (x)
Q (x)
donde D y R son polinomios, con gr (R) < gr (Q). Por tanto, nos concentraremos en descomP (x)
poner Q(x)
en fracciones simples asumiendo que gr (P ) < gr (Q) : La descomposición en cuestión
depende de las raices de Q.
Por ejemplo, si
P (x) = x10 + 9x9 + 5x8 y Q(x) = 2x7 + 38x6 + 208x5 + 188x4
572x3
304x2 + 290x + 150,
entonces
gr(P ) = 10, gr(Q) = 7; P (x) = x8 x2 + 9x + 5 ; Q(x) = 2 (x
2
1)2 (x + 3) x2 + 9x + 5 ,
y
x8 (x2 +9x+5)
2(x 1)
2
(x+3)(x2 +9x+5)2
= 21 x3 5x2 + 91
2 x
6
5
4
3
2
783 (6639x +70 170x +97 963x 208 731x 131 461x +106 710x+58 725)
+
2
2
2
2
2(x 1) (x+3)(x +9x+5)
Caso 1 El denominador Q (x) se puede escribir como producto de factores lineales
Estamos suponiendo que tenemos
P (x)
Q(x)
Q(x) = c (x
donde gr (P ) < gr (Q), y
r1 )m1
(x
rj )mj
Calculo de integrales
62
(es decir, Q tiene exactamente j raíces reales distintas r1 ; :::; rj de multiplicidad m1 ; :::; mj
respectivamente, y no tiene raices no reales).
En tal caso, se puede ver que existen coe…cientes A1 1 ; :::; Aj
P (x)
Q (x)
=
mj
tales que
A1 1
A1 2
A1 m1
A2 2
A2 1
+
+
+
+
+
m1 +
2
(x r1 ) (x r1 )
(x r1 )
(x r2 ) (x r2 )2
Aj mj
Aj 2
Aj 1
+
+
+
+
.
2
(x rj ) (x rj )
(x rj )mj
+
A2
(x
m2
r2 )m2
Es decir, por cada factor de la forma (x r)m en la factorización de Q, aparece un término
de la forma
A1
A2
Am
+
+
+
2
(x r) (x r)
(x r)m
en la descomposición de
P (x)
Q(x) .
Ejemplo 4.1
1. Para descomponer
2x+1
(x 1)(x+3)
debemos plantear
2x + 1
A
B
=
+
,
(x 1) (x + 3)
(x 1) (x + 3)
ya que el denominador tiene dos raíces (1 y 3), ambas de multiplicidad 1. Para encontrar
A y B se “resuelve” la suma y se plantea una igualdad de polinomios:
A
(x
1)
+
B
A (x + 3) + B (x 1)
(A + B) x + (3A B)
=
=
,
(x + 3)
(x 1) (x + 3)
(x 1) (x + 3)
comparando con la función original concluimos que necesitamos
A+B =2
y
3A
B = 1.
Este sistema de dos ecuaciones tiene solución única: A = y B =, de donde
2x + 1
3=4
5=4
=
+
.
(x 1) (x + 3)
(x 1) (x + 3)
ya que el denominador tiene dos raíces (1 y 3), ambas de multiplicidad 1. Para encontrar
A y B se “resuelve” la suma y se plantea una igualdad de polinomios:
A
(x
1)
+
B
A (x + 3) + B (x 1)
(A + B) x + (3A B)
=
=
,
(x + 3)
(x 1) (x + 3)
(x 1) (x + 3)
comparando con la función original concluimos que necesitamos
A+B =2
y
3A
B = 1.
Este sistema de dos ecuaciones tiene solución única: A = y B =, de donde
2x + 1
3=4
5=4
=
+
.
(x 1) (x + 3)
(x 1) (x + 3)
+
Calculo de integrales
63
3
2x
2. Si tenemos x2x+3x+2
, como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador
debemos efectuar la división. Resulta
x3 2x
= (x
x2 + 3x + 2
Las raices del denominador son
p
3
9 8
1
,
=
2
2
3) +
x2
5x + 6
.
+ 3x + 2
x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,
es decir
y entonces el planteo debe ser
x2
A
B
5x + 6
=
+
.
+ 3x + 2
(x + 1) (x + 2)
Operando como en el ejemplo anterior obtenemos
A
B
A (x + 2) + B (x + 1)
(A + B) x + (2A + B)
+
=
=
,
(x + 1) (x + 2)
(x + 1) (x + 2)
(x + 1) (x + 2)
que dice que A + B = 5 y 2A + B = 6. Resolviendo el sistema obtenemos A = 1 y B = 4,
es decir,
x3 2x
1
4
= (x 3) +
+
.
x2 + 3x + 2
(x + 1) (x + 2)
3.
x2 + 2x + 4
A
B
C
=
+
+
,
3
2
(x + 1) (x + 1)
(x + 1)
(x + 1)3
pues 1 es la única raíz del denominador, y tiene multiplicidad 3. Para encontrar los
valores de A; B y C, realizamos la suma:
A
C
A (x + 1)2 + B (x + 1) + C
Ax2 + (2A + B) x + ()
B
+
=
=
,
+
(x + 1) (x + 1)2 (x + 1)3
(x + 1)3
(x + 1)3
y entonces necesitamos A = 1; 2A + B = 2, y A + B + C = 4: Resolviendo se obtiene
A = 1; B = 0, y C = 3, es decir,
x2 + 2x + 4
1
3
=
+
.
3
(x + 1) (x + 1)3
(x + 1)
4.
6x
x3 (2x
1
1)
=
A
B
C
D
+ 2+ 3+
x
x
x
x
1
2
pues el denominador tiene una raíz de multiplicidad tres en x = 0, y una raíz de multiplicidad uno en x = 1=2. Planteando
(A + D) x3 +
A
B
C
D
+ 2+ 3+
=
x
x
x
x 12
se obtiene
1
2 A+B
x3 x
1
2B
x2 +
6x 1
8
4
1
8
=
+ 2 + 3+
x3 (2x 1)
x
x
x
x
1
2
1
2
.
+C x
1
2C
Calculo de integrales
64
Efectuar este tipo de descomoposiciones no es divertido, y en la práctica se realizan con algun
tipo de software, porque salvo en los casos mas elementales, aparecen sistemas de ecuaciones de
tamaño importante. Para nosotros, mas allá de las cuentas, es importante entender que forma
va a tener la descomposición, es decir, que tipo de términos debe aparecer, según las raíces del
denominador.
Una nota importante: en los ejemplos hemos usado polinomios con coe…cientes enteros, solo
a …n de simpli…car las cuentas, pero esto no es de ninguna manera un estandar o una limitación.
Ejemplo 4.2 Al descomponer
x2
2x + 1
p
x+ 2
3
en fracciones parciales se obtiene
2x + 1
p
x2 x + 2
p
3
=
2
4p
(x +
1
2)
p1
2
p
x+ 2
2
+
p
1
2
2
p
x+ 2
3
+
p1
2
3
4
x
p
+
2
4
x2
Caso 2 El denominador Q (x) se puede escribir como producto de factores cuadráticos
irreducibles
Estamos suponiendo que tenemos
P (x)
Q(x)
donde gr (P ) < gr (Q), y
Q(x) = c x2 + b1 x + c1
n1
x2 + bk x + ck
nk
donde cada uno de los factores cuadráticos que aparece es irreducible (hay k factores
cuadráticos irreducibles).
En tal caso, se puede ver que existen coe…cientes B1 1 ; :::; Bk
P (x)
Q (x)
=
nk ; D1 1 ; :::; Dk nk
tales que
B1 n x + D1 n1
B1 1 x + D1 1
B1 2 x + D1 2
+
+ 2 1
+
+
(x2 + b1 x + c1 ) (x2 + b1 x + c1 )2
(x + b1 x + c1 )n1
B2 1 x + D2 1
B2 2 x + D2 2
B2 n x + D2 n2
+
+ 2
+
+
+ 2 2
2
(x + b2 x + c2 ) (x2 + b2 x + c2 )
(x + b2 x + c2 )n2
Bk 1 x + Dk 1
Bk 2 x + Dk 2
Bk n x + Dk nk
+ 2
+
+
+ 2 k
.
2
2
(x + bk x + ck ) (x + bk x + ck )
(x + bk x + ck )nk
Es decir, por cada factor de la forma x2 + b1 x + c1
Q, aparece un término de la forma
B1 x + D1
B2 x + D2
+
+
2
(x + bx + c) (x2 + bx + c)2
en la descomposición de
n
que aparece en la factorización de
+
Bn x + Dn
(x2 + bx + c)n
P (x)
Q(x) .
Ejemplo 4.3
1. Para descomponer
4x
(x2 +1)(x2 +2x+3)
(x2
debemos plantear
4x
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
2
+ 1) (x + 2x + 3)
(x + 1) (x + 2x + 3)
Calculo de integrales
65
ya que el denominador tiene dos factores cuadraticos irreducibles (distintos), ambos con
“exponente 1”: Resolviendo la suma queda
Ax + B
Cx + D
+ 2
2
(x + 1) (x + 2x + 3)
x2 + 2x + 3 (Ax + B) + x2 + 1 (Cx + D)
=
(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)
Ax3 + Bx2 + 2Ax2 + 2Bx + 3Ax + 3B + Cx3 + Dx2 + Cx + D
=
(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)
x3 (A + C) + x2 (B + 2A + D) + x (2B + 3A + C) + (3B + D)
;
(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)
=
=
=
igualando con la función original concluimos que necesitamos
A + C = 0;
B + 2A + D = 0;
2B + 3A + C = 4;
3B + D = 0,
que es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas, que tiene solución
A = 1;
Es decir,
B = 1;
C=
y
1;
4x
x+1
= 2
(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)
(x + 1)
2. Para descomponer
x2
(x2 +4)2
D=
3.
x+3
.
(x2 + 2x + 3)
se debe plantear
x2
(x2 + 4)
2
=
Ax + B
Cx + D
.
+
2
(x + 4) (x2 + 4)2
Procedemos como en el ejemplo anterior:
(Ax + B) x2 + 4 + (Cx + D)
Ax + B
Cx + D
+
=
=
(x2 + 4) (x2 + 4)2
(x2 + 4)2
Ax3 + Bx2 + (4A + C) x + (4B + D)
4B + D + Ax3 + Bx2 + 4Ax + Cx
=
,
=
(x2 + 4)2
(x2 + 4)2
es decir, necesitamos
A = (4A + C) = (4B + D) = 0;
B = 1.
Resolviendo se obtiene
A = 0;
y entonces
B = 1;
x2
(x2
+ 4)
2
=
y
C = 0;
1
(x2 + 4)
D=
4
(x2
+ 4)2
4,
.
Ejemplos como este salen mucho mas fácil si uno se da cuenta de que
x2
(x2
+ 4)
2
=
x2 + 4
(x2
+ 4)
4
2
=
x2 + 4
(x2
+ 4)
4
2
(x2
+ 4)
2
=
1
(x2 + 4)
4
(x2
+ 4)2
.
Calculo de integrales
66
x3 x+7
(x2 +x+8)2 (x2 +1)
3. Para descomponer
x3
(x2
se debe plantear
x+7
+ x + 8)
2
(x2
Ax + B
Ex + F
Cx + D
+ 2
+
.
2
2
+ x + 8) (x + x + 8)
(x + 1)
=
+ 1)
(x2
Operando como en los ejemplos anteriores se obtiene
x3
x+7
(x2 + x + 8)2 (x2 + 1)
13
71
50 x
25
2
(x + x + 8)2
=
97
77
1250 x
625
x2 + 1
+
97
1250 x
x2 +
57
1250
x+8
.
3
x+7
4. La función (x2 x2x+1)(x
2 +1) no cae en este caso (ni en el anterior, pero si en el siguiente),
ya que el denominador no es producto de factores cuadraticos irreducibles: x2 2x + 1 =
(x 1)(x + 1).
Caso 3 Vale todo
P (x)
Q(x)
Estamos suponiendo que tenemos
Q(x) = c (x
r1 )m1
donde gr (P ) < gr (Q), y
rj )mj x2 + b1 x + c1
(x
n1
x2 + bk x + ck
nk
,
donde cada uno de los factores cuadráticos que aparece es irreducible (hay k factores
cuadráticos irreducibles y Q tiene exactamente j raíces reales distintas r1 ; :::; rj de multiplicidad m1 ; :::; mj respectivamente). En tal caso, se puede ver que existen coe…cientes
A1 1 ; :::; Aj mj ; B1 1 ; :::; Bk nk ; D1 1 ; :::; Dk nk tales que
P (x)
Q (x)
Ejemplo 4.4
=
j X
mi
X
Ai
l
+
l
+ bi x + ci )l
X
X
=
(caso factores lineales) +
(caso factores cuadráticos)
i=1 l=1
l
ni
k X
X
Bi l x + Di
(x
ri )
1. Para descomponer
x2 (x
i=1 l=1
3x 9
x2 (x 1)(x2 +4)
(x2
se debe plantear
A
B
C
Dx + E
3x 9
= + 2+
+
,
1) (x2 + 4)
x
x
(x 1) (x2 + 4)
ya que en el denominador tenemos x2 (cero raíz de multiplicidad dos), (x 1) (1 raíz de
multiplicidad uno), y x2 + 4 (factor cuadratico irreducible). Realizando la suma obtenemos
3x 9
=
x2 (x 1) (x2 + 4)
( A C D) x4 + (A B + D E) x3 + (B 4A 4C + E) x2 + (4A 4B) x + 4B
=
,
x2 (x 1) (x2 + 4)
e igualando los coe…cientes nos queda el siguiente sistema:
4B =
4A
B
4A
A
4B = 3
4C + E = 0
B+D
E = 0
A
D = 0
C
9
Calculo de integrales
67
Resolviendo (en este caso es particularmente sencillo porque es “triangular”) queda
3x 9
3
9
=
+ 2
2
2
x (x 1) (x + 4)
2x 4x
21
3
10 x + 20
x2 + 4
6
5 (x 1)
.
4
3x +x 9
2. Analicemos los factores que aparecen en (x+2)(x2 +1)
para descomponerlo en
3
(x+1)2 (x2 +x+9)
suma de fracciones simples. Primero, notar que el grado del numerador es menor que el
grado del denominador. Tenemos:
factor
tipo
(x + 2)
raíz real multiplicidad 1
(x + 1)2
raíz real multiplicidad 2
x2 + x + 9
x2 + 1
término que introduce
A
x+2
B
x+1
C
(x+1)2
Dx+E
x2 +x+9
factor cuadrático irreducible
3
+
factor cuadrático irreducible al cubo
F x+G
x2 +1
+
Hx+I
(x2 +1)2
+
J x+K
(x2 +1)3
Por lo tanto se debe plantear
x2 + 1
(x +
2) (x2
3
2
+ 1) (x + 1)
(x2
+ x + 9)
=
A
B
C
Dx + E
+
+
+ 2
+
2
x + 2 x + 1 (x + 1)
x +x+9
Fx + G
Hx + I
Jx + K
+ 2
+
+
.
2
x +1
(x2 + 1)
(x2 + 1)3
Operando como en los ejemplos anteriores, se obtiene
x2 + 1
3
2
=
37
1375 (x + 2)
(x + 2) (x2 + 1) (x + 1) (x2 + x + 9)
233 153
17 794
48 938 175 x
5437 575
+
x2 + x + 9
92 241
274 625 x
x2
29
81 (x + 1)
472 401
2197 000
+1
+
7
72 (x + 1)2
6033
347 8
16 900 x + 8450 65 x +
(x2 + 1)2
3
26
3.
(x2 + 1)
En general este tipo de cuentas no se hace a mano (por ejemplo, se usa algún software
para cálculo); por ejemplo, al realizar la suma para determinar los coe…cientes nos queda
el siguiente denominador:
(A+B+F +D)x10 +(3A+4B+C+5F +G+4D+E)x9 +(15A+17B+3C+20F +5G+H+8D+4E)x8 +
+(28A+41B+14C+53F +20G+5H+14D+8E+I)x7 +(48A+63B+27C+84F +53G+19H+J +18D+14E+5I)x6 +
+(66A+99B+36C+109F +84G+48H+5J +K+18D+18E+19I)x5 +
+(64A+97B+63C+112F +109G+65H+18J +5K+16D+18E+48I)x4 +
+(60A+91B+34C+79F +112G+61H+43J+18K+10D+16E+65I)x3 +
+(39A+68B+57C+47F +79G+47H+47J +43K+5D+10E+61I)x2 +
+(19A+29B+11C+18F +47G+18H+18J +47K+2D+5E+47I)x+(9A+18B+18C+18G+18K+2E+18I) ,
que determina un sistema de once ecuaciones con once incongnitas. Si bien no es imposible
hacer todos estos calculos a mano, no tiene sentido (pero de ser necesario, el lector debería
poder hacerlos, ya que no revierten ninguna di…cultad mas allá de ser sistemático con las
cuentas).
Calculo de integrales
68
4.2.
Funciones trigonométricas y trascendentes
Mencionaremos algunas identidades trigonométricas y sus posibles usos para calcular integrales. La lista no es exhaustiva: no incluye ni siquiera todos los casos mas usados y mucho menos
todos los usos posibles. La idea es solamente ilustrar sobre determinados usos, que pueden servir
como idea para generar otros, en caso de necesitar calcular una integral.
i) sin2 (x) + cos2 (x) = 1
ii) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)
iii) cos(x + y) = cos(x) cos(y)
sin(x) sin(y)
Evaluando i) y ii) en x = y obtenemos
iv) cos2 (x)
sin2 (x) = cos(2x);
iv) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Restando y sumando i) y iv) se tiene
vi) cos2 (x) =
1
2
(1 + cos(2x)) ;
vii) sin2 (x) =
1
2
(1
cos(2x))
Además, a partir de ii) y iii) se pueden demostrar las siguientes: para m; n 2 R,
viii) sin(mx) cos(nx) =
1
2
(sin(m + n)x + sin(m
xi) cos(mx) cos(nx) =
1
2
(cos(m + n)x + cos(m
x) sin(mx) sin(nx) =
1
2
(cos(m
n)x
n)x)
n)x)
cos(m + n)x)
A continuación utilizaremos estas igualdades para calcular integrales:
R
1. Para evaluar sinm (x) cosn (x)dx; m; n 2 N.
a) Si la potencia del coseno es impar (n =
cos2 x = 1 sin2 x para expresar los otros
Z
Z
sinm (x) cos2k+1 (x)dx =
Z
=
Z
=
2k + 1), separar un factor coseno y usar
factores en términos de senos:
sinm x cos2k (x) cos(x)dx
sinm x cos2 (x)
sinm (x)(1
Después, haciendo la sustitución u = sin(x) queda.
Z
um (1 u2 )k du,
k
cos(x)dx
sin2 (x))k cos(x)dx
Calculo de integrales
69
es decir, la integral de un polinomio, que puede calcularse utilizando Newton:
Z
um (1
Z
u2 )k du =
2
3
Z
k
k
X
X
m4
j 2j 5
j
u
( 1) u
du =
( 1) u2j+m du =
j=0
j=0
k
k
X
X
u2j+m+1
sin2j+m+1 (x)
( 1)j
=
( 1)j
.
2j + m + 1
2j + m + 1
=
j=0
j=0
Ejemplo 4.5
Z
10
5
sin (x) cos (x)dx =
=
=
Z
Z
sin10 (x) cos(x) 1
u2
u10 1
1
sin15 (x)
15
2
du =
sin2 (x)
1 15
u
15
2
dx =(haciendo
u=sin(x); du=cos(x)dx)
1
2 13
u + u11 =
13
11
1
2
sin13 (x) +
sin11 (x).
13
11
b) Si la potencia del seno es impar (m = 2k + 1), separar un factor seno y usar sin2 x =
1 cos2 x para expresar los otros factores en términos de cosenos:
Z
2k+1
sin
n
(x) cos (x)dx =
=
Z
Z
(sin2 (x))k cosn (x) sin(x)dx
cos2 (x))k cosn (x) sin(x)dx
(1
Después hacer la sustitución u = cos(x) y proceder como en el caso anterior.
Ejemplo 4.6
Z
3
Z
4
sin (x) cos (x)dx =
=
2
sin(x) 1 cos2 (x) cos4 (x)dx =(haciendo u=cos(x);
Z
Z
2 2 4
1 u u du =
u8 + 2u6 u4 du =
1 9 2 7
u + u
9
7
=
1 5
u =
5
1
2
cos9 (x) + cos7 (x)
9
7
du=
sin(x)dx)
1
cos5 (x).
5
c) Si la potencia en ambos es par (n = 2k; m = 2l), se utilizan las sigientes igualdades
sin2 x = 21 (1
cos 2x)
cos2 x = 21 (1 + cos 2x)
para disminuir los exponentes:
R
sin2k (x) cos2l (x)dx =
R
sin2 (x)
k
l
cos2 (x) dx =
R
1
2 (1
cos 2x)
k
1
2 (1
l
+ cos 2x) dx,
y se usa el binomio de Newton para calcular las potencias. Interminable pero posible.
Calculo de integrales
70
Ejemplo 4.7
Z
Z
1
1
2
2
cos (x) sin (x)dx =
(1 cos 2x) (1 + cos 2x) dx =
2
2
Z
Z
1
1
2
=
1 cos (2x) dx =
1 cos2 (2x) dx =
4
4
Z
Z
1
1
1
2
=
sin (2x)dx =
(1 cos(4x)) dx =
4
4
2
Z
1
1
1
=
(1 cos(4x)) dx =
x
sin 4x .
8
8
4
2. Para evaluar
R
tanm x secn x dx; m; n 2 N.
a) Si la potencia de la secante es par (n = 2k), separar un factor sec2 (x) y usar sec2 (x) =
1 + tan2 x para expresar los otros factores en términos de tan(x):
Z
Z
k 1
m
2k
tan (x) sec (x)dx =
tanm (x) sec2 (x)
sec2 (x)dx
Z
k 1
=
tanm (x)( 1 + tan2 (x)
sec2 (x)dx
Ahora usar la sustitución u = tan x, du = sec2 (x)dx.
b) Si la potencia de la secante es impar (m = 2k + 1), separar un factor sec x tan x y
usar tan2 x = sec2 x 1 para expresar los otros factores en términos de sec x:
Z
Z
k
2k+1
n
tan
(x) sec (x)dx =
tan2 (x) secn 1 (x) sec(x) tan(x)dx
Z
k
sec2 (x) 1 secn 1 (x) sec(x) tan(x)dx
=
Ahora usar la sustitución u = sec x.
3. Para evaluar
R
sinn (x)dx y se pueden usar las siguientes fórmulas de reducción:
Z
Z
1
n 1
sinn (x)dx =
sinn 1 (x) cos(x) +
sinn 2 (x)dx
n
n
Z
Z
1
n 1
cosn (x)dx =
cosn 1 (x) sin(x) +
cosn 2 (x)dx
n
n