6 Cupla en Máquina Asincrónica Trifásica

6 Cupla en Máquina Asincrónica Trifásica

OBTENCIÓN EN FORMA APROXIMADA
DE LA CUPLA EN
MÁQUINA ASINCRÓNICA TRIFÁSICA
1. Obtención de la Fórmula de Kloss
Cuando no se dispone de curvas aportadas por el fabricante o del motor y de los medios necesarios para
realizar los ensayos pertinentes, la denominada fórmula de Kloss es una herramienta útil para obtener, en
forma aproximada la cupla en función de la velocidad de un motor asincrónico trifásico.
A continuación se deduce dicha fórmula, se la aplica a un caso concreto y se comparan los resultados así
obtenidos con los que resultan del circuito equivalente exacto del motor.
Haciendo un equivalente de Thèvenin del modelo circuital del motor resulta, figura 1:
xT
RT
x' 2
R'2
s
UT
Figura 1: Circuito equivalente de Thèvenin
llamando:
x = x 1 + x 2'
(1)
despreciando la resistencia RT del mismo, la cupla electromagnética resulta:
R 2' '2
R 2'
I2
2
3U T
s
Te ≈ 3 s
=
Ωs
Ω s ⎛ ' ⎞2
R
2
⎜⎜ 2 ⎟⎟ + x
s
⎝
⎠
y el valor máximo se obtiene utilizando el resbalamiento sT :
R 2' '2
I2
sT
3U T2
ˆ
Te ≈ 3
=
Ωs
Ωs ⎛ '
⎜ R2
⎜ sT
⎝
R 2'
sT
2
⎞
⎟ +x2
⎟
⎠
dividiendo miembro a miembro:
s
sT
Te
≈
2
Tˆ e
⎛ R 2' ⎞
⎜
⎟ +x2
⎜ s ⎟
⎝
⎠
⎛ R 2'
⎜
⎜ sT
⎝
2
⎞
⎟ +x2
⎟
⎠
pero de acuerdo al teorema de máxima transferencia de potencia, el máximo de potencia de campo y por
consiguiente de cupla se produce cuando:
'
R2
=x
d e d on d e:
sT
1
'
R2 = sT ⋅ x
si se reemplaza en la anterior y se ordena:
Te
≈
Tˆ e
⎛ sT x
⎜⎜
⎝ s
x2
s
sT
2x 2
2
⎞
⎟⎟ + x 2
⎠
+x2
=
⎡⎛ s
x 2 ⎢⎜⎜ T
⎢⎣⎝ s
s
sT
2
⎤
⎞
⎟⎟ + 1 ⎥
⎥⎦
⎠
que luego de simplificar y ordenar da la citada fórmula de Kloss:
Te
2
≈
ˆ
Te s T + s
s
sT
(2)
Para obtener la cupla a partir de los datos usuales del motor se deben determinar las dos constantes de la
misma:
Tˆ e y s T
para lo cual se dispone de dos condiciones de funcionamiento: la nominal y la de arranque. En
funcionamiento nominal:
Ωn =
sn =
2π ⋅ n n
T en ≈ T n =
60
ns − nn
ns =
ns
Pm
Ωn
2π ⋅ f n
p
donde:
Ωn
nn
Pm
sn
ns
fn
p
velocidad nominal en 1/s
velocidad nominal en rpm
potencia mecánica nominal en W
resbalamiento nominal
velocidad sincrónica en rpm
frecuencia nominal Hz
número de pares de polos
y para el arranque:
s a rr = 1
T e = T a rr
donde la cupla de arranque normalmente está dada en tanto por uno. Con estos valores se puede formar un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
⎧T arr
2
⎪ ˆ =
1
⎪ Te
sT +
sT
⎪
⎨
2
⎪T n =
⎪ Tˆ
s
s
T
+ n
⎪ e
sn
sT
⎩
resolviendo se obtienen la cupla máxima y el resbalamiento correspondiente. Dividiendo miembro a
miembro:
sT
T a rr
Tn
= T a rr ( 0 1 ) =
de donde:
2
+
sn
sT +
sn
sT
1
sT
sT = ±
Tarr (01 ) − s n
1
− Tarr (01 )
sn
(3)
y
T
Tˆe = ± n
2
⎛ sT s n ⎞
⎟⎟
⎜⎜
+
s
s
T ⎠
⎝ n
(4)
Con estas constantes es posible aplicar la fórmula de Kloss y determinar la cupla para cualquier
resbalamiento.
2. Ejemplo numérico
A modo de ejemplo se analiza un motor asincrónico trifásico de 12 kW, 380 V, 50 Hz, conexión estrella,
de 1430 rpm, cuyos parámetros son:
'
R1 = 0 ,2 1 Ω
x 1 = x 2 = 0 ,7 6 Ω
'
R 2 = 0 ,4 5 Ω
X m = 2 8 ,2 Ω
Rp = 2 5 3 Ω
cuyo equivalente de Thèvenin es:
1
1
1
1
−j
=
−j
= 0 ,003953 − j 0 ,3546 S
Y&0 =
Rp
Xm
253
28 ,2
U& T
1 &
U1
&
Y0
U& 1
220 + j 0
=
=
=
&
1
z& 1Y 0 + 1 (0 ,003953 − j 0 ,03546 )(0 ,21 + j 0 ,76 ) + 1
z& 1 +
&
Y
0
U& T = 214 ,05 + j 0 ,9252 ≈ 214 ,05 V
Z& T
1
z& 1
&
Y0
z& 1
0 ,21 + j 0 ,76
=
=
=
&
1
&
(
0
,
003953
0 ,03546 )(0 ,21 + j 0 ,76 ) + 1
−
j
z 1Y 0 + 1
z& 1 +
&
Y
0
Z& T = R T + jx T = 0 ,2011 + j 0 ,7403 Ω
x = x T + x 2' = 0 ,7403 + 0 ,76 = 1,5003 ≈ 1,5 Ω
para las condiciones de funcionamiento nominal:
sn =
ns − nn
Ωn =
Tn =
=
1.5 0 0 − 1.4 3 0
ns
2πn
=
60
Pm n
Ωn
= 0 ,0 4 6 6 7
1.5 0 0
2π 1.4 3 0
= 1 4 9 ,7 5
1
60
=
1 2.0 0 0
= 8 0 ,1 3 Nm
1 4 9 ,7 5
y para el arranque:
3
s
s a rr = 1
UT
'
I 2a rr =
(
)
'
RT + R 2
'
2 1 4 ,0 5
=
2
(0 ,2 0 1 1 + 0 ,4 5 ) + 1,5
2
2
+x
'2
= 1 3 0 ,9 A
2
2
Pca rr = 3 R 2 I 2a rr = 3 ⋅ 0 ,4 5 ⋅ 1 3 0 ,9 = 2 3.1 3 2 W
Ωs =
ω
2π 5 0
=
= 1 5 7 ,0 8
1
2
p
Pca rr
T ea rr = T a rr =
T a rr ( 0 1 ) =
T a rr
=
2 3 .1 3 2
=
Ωs
s
= 1 4 7 ,2 6 Nm
1 5 7 ,0 8
1 4 7 ,2 6
= 1,8 3 7
0
8 0 ,1 3 4
Tn
1
la cupla electromagnética en función del resbalamiento, obtenida del circuito equivalente exacto de Thèvenin
vale:
'
R2
2
Te =
3U T
s
2
'
Ωs ⎛
R2 ⎞
2
⎜ RT +
⎟ +x
⎜
⎟
s
⎠
⎝
con máximos en:
'
sT = ±
R2
2
RT
+x
0 ,4 5
=±
2
2
= ±0 ,2 9 7 3
0 ,2 0 1 1 + 1,5
2
que valen:
3U T2
1
Tˆ e =
2Ω s R ± R 2 + x 2
T
T
3 ⋅ 214 ,05 2
1
Tˆ e =
2 ⋅ 157 ,08 0 ,2011 ± 0 ,2011
Tˆ eM = 255 ,2 Nm
2
+ 1,5 2
Tˆ eG = −333 ,4 Nm
y aplicando la fórmula de Kloss:
sT = ±
T a rr ( 0 1 ) − s n
1
sn
− T a rr ( 0 1 )
=±
1,8 3 7 − 0 ,0 4 6 6 7
= ±0 ,3 0 2
1
− 1,8 3 7
0 ,0 4 6 6 7
este valor es apenas 1,7% mayor que el exacto, y las cuplas máximas valen:
T
Tˆ e = ± n
2
⎛ sT
s ⎞
80 ,134 ⎛ 0 ,302
0 ,04667 ⎞
⎜⎜
+
+ n ⎟⎟ = ±
⎟
⎜
s
s
2
0
,
04667
0 ,302 ⎠
⎝
T ⎠
⎝ n
Tˆ e = ±265 ,5 Nm
en este caso ambos máximos son iguales porque se ha despreciado la resistencia de Thèvenin que es la
responsable de la diferencia entre los mismos en la expresión exacta. El valor obtenido es aproximadamente
un 4% mayor para motor y 20% menor para generador.
Con estos datos se puede obtener la cupla en función del resbalamiento utilizando la expresión:
Te =
4
2Tˆe
sT
s
+
s
sT
(5)
Para una mejor comparación, en la figura 2 se representan las curvas de cupla obtenidas con la fórmula
exacta y la de Kloss.
300
Kloss
200
Exacta
Te [Nm]
100
0
Kloss
-100
-200
-300
Exacta
-400
-1
-0.5
0
0.5
s
1
1.5
2
Figura 2: Curvas de cupla en función del resbalamiento
Como la determinación de las constantes de la fórmula de Kloss se hizo a partir de las condiciones de
funcionamiento nominal y se arranque, ambas curvas coinciden en los puntos de resbalamiento nominal y de
resbalamiento 1.
3. Trazado aproximado
A partir de la expresión de Kloss se puede hacer un trazado aproximado de la curva de cupla en función
del resbalamiento, o de la característica externa, velocidad en función de la cupla, de un motor de inducción.
en efecto, para valores de resbalamiento próximos a cero, la expresión (5) se puede aproximar a:
Te ≅
2Tˆe
s
sT
(6)
que corresponde a una recta que pasa por el origen con pendiente:
dTe
ds
=
s =0
2Tˆe
sT
(7)
Como en general el resbalamiento con que opera un motor de inducción es menor al 5 % , la expresión
(6) puede utilizarse con suficiente exactitud para predecir el comportamiento de la máquina. El trazado de la
recta dada por la ecuación (6) se puede realizar fácilmente observando que para un resbalamiento igual a sT
la misma pasa por el punto 2T̂e , ver figura 3.
Si se procede con el circuito equivalente exacto de la figura 1, sin despreciar la resistencia de Thèvenin, la
pendiente en el origen resulta:
dTe
ds
s =0
5
R
1
= 2Tˆe ( T + )
R2′ sT
(8)
y la ecuación de la recta tangente:
Te = 2Tˆe (
RT
1
+ )s
R 2′ sT
(9)
Tomando valores típicos, la pendiente exacta (8) resulta aproximadamente un 10% mayor que la
obtenida a partir de la fórmula de Kloss (7), por lo que para una dada cupla, por ejemplo la nominal, la recta
tangente exacta (9), se aleja más de la curva que la recta aproximada (6), conclusión: es preferible usar la
expresión aproximada (6) a la exacta (9).
Por otra parte, para valores elevados del resbalamiento, la fórmula de Kloss se aproxima a:
1
Te = 2 sT Tˆe
s
(10)
es decir, una hipérbola que pasa por los puntos:
( sT , 2Te ) ( 2 sT , Te ) ( 4 sT ,
Te
) etc.
2
como se muestra en la figura 3, donde por comodidad se han normalizado los ejes dividiendo a la cupla por
T̂e y al resbalamiento por sT .
Si se desea realizar un trazado aproximado de la curva de cupla, se puede tener en cuenta que:
•
en el origen la cupla es nula y la pendiente de la curva es la de la recta (6)
•
para s = sT la cupla vale T̂e y la curva tiene pendiente horizontal
•
para s = 2 sT la cupla vale:
Te =
•
2Tˆe
=
2 sT
s
+ T
sT
2 sT
2Tˆe
= 0,8 Tˆe
2 1
+
1 2
y para s = 4 sT la cupla resulta:
Te =
2Tˆe
4 sT
s
+ T
sT
4 sT
=
2Tˆe
= 0,4706 Tˆe
4 1
+
1 4
valor éste aproximadamente 6 % menor que el 0,5 correspondiente a la hipérbola de la ecuación (10) por lo
que se puede decir que para valores de resbalamiento iguales o mayores a 4 sT , por ejemplo para el
arranque, la curva coincide con dicha hipérbola.
Para visualizar lo dicho, en la figura 3, se han representado la recta (6), la hipérbola (10) y la curva dada
por la fórmula de Kloss (5).
6
2,5
Te/Te máx
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
s/sT
Figura 3: Obtención de la curva aproximada.
Ing. Norberto A. Lemozy
mayo de 2001
7