LUIS MONCADA ALBITRES MSc.

Transcripción

1
Control de Procesos Industriales
LUIS MONCADA ALBITRES MSc.
Luis Moncada Albitres
2
Segunda Edición
Universidad Nacional de Trujillo
Trujillo 2005
3
INDICE
CAPITULO I
CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS
1.1
Definiciones
1.2
Variables
1.3
Diseño al Estado Estacionario
1.4
Control de procesos
1.5
Niveles de control
1.6
El estado no estacionario
1.7
Principios básicos de diseño de sistemas de control
11
12
13
14
16
16
17
18
CAPITULO II
SISTEMAS DE CONTROL
2.1
Sistema de control retroalimentado “feedback”
2.2
Servosistemas
2.3
Sistemas de regulación automática
2.4
Sistemas de control de procesos
2.5
Sistema de control de lazo cerrado (“clossed loop”)
2.6
Sistema de control de lazo abierto
2.7
Sistema de control de lazo cerrado versus de lazo abierto
2.8
Control combinado de lazo abierto y lazo cerrado
2.9
Sistemas de control adaptables
2.10 Sistemas de control con aprendizaje
2.11 Clasificación de sistemas de control
21
23
24
24
24
25
26
28
28
29
29
30
4
CAPITULO III
CONTROL E INSTRUMENTACIÓN DE PROCESOS
3.1
Instrumentación y control
3.2
Sensores
3.2.1 Medidores de temperatura
3.2.2 Medidores de presión
3.2.3 Medidores de flujo
3.2.4 Mediciones de nivel
3.2.5 Medición de propiedades físicas
3.3
Transmisores
3.4
Válvulas de control
3.4.1 Acción de la válvula
3.4.2 Tamaño
3.4.3 Características
3.5
Controladores
3.6
Dispositivos de computación y lógicos
3.7
Funcionamiento de controladores de retroalimentación
3.7.1 Especificaciones de la respuesta de lazo cerrado
3.7.2 Operación de carga
3.8
Objetivos de la instrumentación y control
3.9
Esquemas de control automático
3.9.1 Reglas para confección de diagramas de I & C
3.9.2 Nomenclatura
3.9.3 Símbolos básicos de instrumentos
3.9.4 Identificación de instrumentos
3.10 Sistemas típicos de control
3.10.1 Control de nivel
3.10.2 Control de presión
3.10.3 Control de flujo
3.10.4 Intercambiadores de calor
3.10.5 Control en cascada
3.10.6 Control proporcional
3.10.7 Control de columnas de destilación
3.10.8 Control de reactores
3.10.9 Alarmas y dispositivos de seguridad
31
31
34
35
36
36
37
38
39
41
41
42
48
50
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55
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57
58
58
58
59
60
61
62
62
63
66
67
CAPITULO IV
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1
Concepto de una transformada
4.1.1 Transformada de Laplace con UNTSIM
4.1.2 Consideraciones de la Transformada de Laplace
4.2
Transformada de una derivada
4.2.1 Transformada de una derivada con UNTSIM
4.3
Transformada de una integral
68
68
72
73
73
74
75
5
4.4
4.5
Transformada inversa
Propiedades de las transformadas
4.5.1 Teorema del valor inicial
4.5.2 Teorema del valor final
4.5.3 Teorema del retardo puro
75
76
76
76
76
CAPITULO V
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
5.1
Inversión por fracciones parciales
5.1.1 Cuando contiene únicamente polos distintos
5.1.2 Cuando tiene polos múltiples
5.1.3 Descomposición en fracciones parciales con MATLAB
5.1.4 Descomposición en fracciones parciales con UNTSIM
5.2
Uso de UNTSIM para invertir F(s) a f(t)
5.3
Solución de ecuaciones lineales invariantes en el tiempo
5.4
Uso de UNTSIM para resolver EDO
79
80
81
83
85
87
88
89
90
CAPITULO VI
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
6.1
Elementos de la función de transferencia
6.2
Modelamiento matemático de sistemas dinámicos
6.3
Sistemas lineales y no lineales
6.3.1 Sistemas lineales
6.3.2 Sistemas no lineales
6.4
Linealización
6.5
Variables de desviación
6.6
Función de transferencia de los elementos de un sistema de
control
6.6.1 Función de transferencia del proceso
Intercambiador de calor
Sistema de nivel de liquido: Caso lineal
Sistema de nivel de liquido: Caso no lineal
Sistemas térmicos
Sistema de mezclado
Sistema de reacción
Uso de UNTSIM para obtener la función de transferencia
Tres reactores CSTR en serie
Dos tanques calentados
6.6.2 Función de transferencia del elemento de medida (sensor)
Función de transferencia de un termómetro de mercurio
6.6.3 Función de transferencia del controlador
95
97
99
102
102
103
103
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105
107
107
109
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116
118
120
121
125
127
128
129
6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
Control proporcional P
Control encendido-apagado (on-off)
Control proporcional – integral PI
Control proporcional – integral - derivativo
6.6.4 Función de transferencia del elemento final de control
(válvula)
Actuadores de posición final
Posicionadores y elevadores de potencia
Válvulas alimentadoras de sólidos
Propulsores de velocidad variable
6.6.5 Función de transferencia de elementos de transporte
Polos y ceros de la Función de Transferencia
6.7.1 Ceros y polos de la función de transferencia con UNTSIM
Ganancias al estado estacionario
Función de transferencia de lazo abierto y función de transferencia
directa
Función de transferencia de lazo cerrado
Sistemas sometidos a una perturbación de carga
Operación para análisis de sistemas de control
130
132
134
135
137
137
139
139
140
140
140
141
142
143
143
145
145
153
CAPITULO VII
DIAGRAMAS DE BLOQUES
7.1
Bloques en serie
7.2
Bloques en paralelo
7.3
Bloques en retroalimentación
7.4
Bloques con cadenas cruzadas
7.5
Reducción del diagrama de bloques
7.6
Reducción del diagrama de bloques usando UNTSIM
154
156
156
157
157
158
162
CAPITULO VIII
RESPUESTAS TRANSITORIAS
8.1
Funciones elementales de excitación
8.1.1 Función escalón
8.1.2 Impulso unidad
8.1.3 Rampa unidad
8.1.4 Función sinusoidal
8.2
Análisis temporal de los sistemas de primer orden
8.2.1 Respuesta a escalón unidad
8.2.2 Respuesta a impulso unidad
8.2.3 Respuesta a entrada en rampa
164
165
165
166
166
167
167
167
173
175
7
8.2.4
8.3
8.4
8.5
8.6
Propiedades de los sistemas lineales invariantes en el
tiempo
Respuesta de sistemas de primer orden en serie
8.3.1 Sistema no interactuante
8.3.2 Generalización de varios sistemas no interactuantes
8.3.3 Sistemas interactuantes
Definición de los parámetros de respuesta transitoria
Análisis teórico de la respuesta escalón
Comentarios sobre los parámetros de respuesta transitoria
179
179
180
182
183
185
187
191
CAPITULO IX
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL
9.1
Estabilidad absoluta
9.1.1 Criterio de raíces de la ecuación característica
9.1.2 Criterio de Routh
Uso de UNTSIM para hacer el arreglo de Routh
9.2
Análisis de estabilidad relativa
196
197
197
198
200
200
CAPITULO X
DISEÑO DE UN PID POR PRUEBA Y ERROR
10.1 Los tres términos del controlador
10.2 Características de los controladores PID
10.3 Caso de estudio
10.4 Respuesta escalón en lazo abierto
10.5 Respuesta escalón en lazo cerrado
10.6 Control proporcional
10.7 Control proporcional e integral
10.8 Control proporcional, integral y derivativo (lazo cerrado)
10.9 Consejos generales para el diseño de un controlador PID
10.10 Diseño de sistemas de control usando SIMULINK
205
205
206
207
207
208
209
211
214
216
221
CAPITULO XI
ANALISIS Y DISEÑO EN EL LUGAR DE LAS RAICES
11.1 Diagramas del lugar de las raíces
11.1.1 Diagramas del lugar de las raíces de sistemas de primer
orden
11.1.2 Diagramas del lugar de las raíces de sistemas de segundo
orden
225
225
225
227
8
11.2
11.3
11.1.3 Análisis del lugar de las raíces de sistemas de control con
MATLAB
Respuesta de lazo cerrado
Diseño en el lugar de las raíces con UNTSIM
229
233
235
CAPITULO XII
ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
12.1 Salida en estado estacionario a una entrada sinusoidal
12.2 Diagramas de Bode o diagramas logarítmicos
12.3 Margen de ganancia y margen de fase
12.3.1 Margen de ganancia (Gm)
12.3.2 Margen de fase (Pm)
12.3.3 Sistemas de fase mínima y sistemas de fase no mínima
12.3.4 Uso de los márgenes de fase y ganancia en el diseño
12.4 Relación entre la respuesta transitoria al escalón y la respuesta en
frecuencia en el sistema estándar de segundo orden
12.5 Frecuencia de ancho de banda (Wbw)
12.6 Comportamiento en lazo cerrado
12.7 El Diagrama de Nyquist
12.7.1 Criterio de estabilidad de Nyquist
12.7.2 Margen de ganancia usando el diagrama de Nyquist
12.8 Uso de UNTSIM para el analisis en el dominio de la frecuencia
237
237
239
241
241
242
243
243
246
247
250
254
255
259
261
CAPITULO XIII
ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE
ESTADO
13.1 Introducción
13.2 Obtención de ecuación de estado con UNTSIM
13.3 Representación en el espacio de estado, de sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales de enésimo orden, con r entradas
13.4 Relación entre funciones de transferencia y variables de estado
13.5 Transformación de modelos usando MATLAB
13.5.1 Funciones de transferencia a espacio de estado
13.5.2 Espacio de estado a función de transferencia
13.6 Controlabilidad y observabilidad
13.6.1 Controlabilidad y observabilidad con UNTSIM
13.7 Respuesta a escalón unitario del sistema en forma de espacio de
estados
266
266
270
274
276
279
279
282
284
286
287
9
CAPITULO XIV
VARIABLE DISCRETA Y LA TRANSFORMADA z
14.1 Introducción
14.1.1 Tipos de señales
14.1.2 Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo
discreto
14.1.3 Controladores digitales y analógicos
14.1.4 Control digital de procesos
14.2 Señales en tiempo discreto
14.3 La transformada Z
14.4 Transformada z de funciones elementales
14.4.1 Función impulso
14.4.2 Función escalón unitario
14.5 Generación de funciones en tiempo discreto usando MATLAB
14.5.1 Generación de la función de entrada delta de Kronecker
14.5.2 Generación de la función de entrada en escalón
14.5.3 Generación de la función de entrada en rampa
14.5.4 Generación de la función de entrada de aceleración
14.5.5 Generación de la función de entrada arbitraria
14.6 Teoremas del valor inicial y final
14.7 Inversión de la transformada z.
14.7.1 Método de expansión en fracciones parciales
14.7.2 Método de la división directa
14.7.3 Método computacional
291
291
291
292
292
293
294
294
295
295
296
296
296
297
297
298
299
300
300
300
301
301
302
302
CAPITULO XV
SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
15.1 Muestreo mediante impulsos y retención de datos
15.1.1 Muestreo mediante impulsos
15.1.1 Retenedor de orden cero
15.2 Funciones de transferencia de pulsos
15.2.1 Obtener G(z) a partir de G(s) usando MATLAB
15.2.2 Función de transferencia de pulsos de elementos en
cascada
15.2.3 Función de transferencia de pulsos en lazo cerrado
15.2.4 Función de transferencia de un controlador digital
15.2.5 Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un
sistema de control digital
15.2.6 Función de transferencia pulso de un controlador PID
digital
15.3
Respuestas transitorias
15.3.1 Respuesta a la entrada delta de Kronecker
307
307
307
308
309
310
311
313
314
315
316
319
322
10
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
15.3.2 Respuesta a una entrada escalón unitario
15.3.3 Respuesta a una entrada rampa unitaria
Análisis de respuesta transitoria en estado permanente
Polos y ceros en el plano z
Análisis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado en el plano z
Análisis en el espacio de estado
Representaciones en espacio de estado de sistemas en tiempo
discreto
15.8.1 Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado
en tiempo discreto
15.8.2 Forma canónica controlable
15.8.3 Forma canónica observable
Respuesta transitoria de sistemas en tiempo discreto definidos en
el espacio de estado
323
323
324
324
325
326
328
328
328
329
331
APÉNDICE
MANUAL DE FUNDAMENTOS DE MATLAB
Vectores
Funciones
Gráficos
Polinomios
Matrices
Lista de funciones de MATLAB
BIBLIOGRAFÍA
338
338
339
339
340
342
344
348
11
CAPITULO
1
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
BASICAS
El control automático ha jugado un papel vital en el avance de la ciencia y de la
ingeniería, constituyéndose parte integral e importante de los procesos industriales y de
manufactura modernos, resultando esencial en operaciones industriales como el control
de presión, temperatura, humedad y viscosidad, y flujo en las industrias de
transformación.
Los procesos se controlan con mayor precisión para dar productos más uniformes
y de más alta calidad, mediante la aplicación del control automático, lo cual con
frecuencia representa mayores ganancias. El control automático también tiene grandes
ventajas con ciertas operaciones remotas, peligrosas y rutinarias.
Puesto que el beneficio del proceso es por lo común la ventaja más importante que
se busca al aplicar el control automático, la calidad del control y su costo se deben
comparar con los beneficios económicos y técnicos esperados del proceso.
El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador centrífugo
de James Watt para el control de velocidad de una máquina de vapor, en el siglo
dieciocho. En 1922 Minorsky uso las ecuaciones diferenciales que describen al sistema
para demostrar la estabilidad del mismo. En 1932 Nyquist desarrolló un procedimiento
para determinar la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado sobre la base de la
respuesta de lazo abierto con excitación sinusoidal en régimen permanente. En 1934
Hazen introdujo el término de servomecanismos y desarrolló el diseño de los mismos.
Durante la década de los cuarenta, los métodos de respuesta en frecuencia
posibilitaron el diseño de sistemas lineales de control de lazo cerrado. De fines de los
cuarenta a principios de los cincuenta, Evans desarrolló por completo el método del
lugar de las raíces.
Los métodos de respuesta de frecuencia y del lugar de las raíces, que son el
corazón de la Teoría Clásica de Control, llevan a sistemas que son estables y que
satisfacen un conjunto de requerimientos de funcionamiento mas o menos arbitrarios.
Tales sistemas son, en general, aceptables pero no óptimos. Desde fines de los
cincuenta, el énfasis en problemas de diseño de sistemas de control se desplazó al
diseño de un sistema óptimo.
12
Como las plantas modernas con muchas entradas y salidas, se van haciendo más y
más complejas, la descripción de un sistema moderno de control requiere una gran
cantidad de ecuaciones. La teoría de control clásica, que trata de sistemas con una
entrada y una salida, se vuelve absolutamente impotente ante sistemas de múltiples
entradas y salidas. Hacia 1960, gracias a la disponibilidad de las computadoras digitales,
se hizo posible el análisis de sistemas complejos en el dominio del tiempo; desde
entonces se ha desarrollado la Teoría de Control Moderna, basada en el análisis y
síntesis en el dominio del tiempo, utilizando variables de estado, con lo que se posibilita
afrontar la complejidad creciente de las plantas modernas y los estrictos requisitos de
exactitud, peso y costo.
Los desarrollos más recientes en la teoría de control moderna están en el campo
del control óptimo de sistemas, tanto determinísticos como estocásticos, así como en
sistemas de control complejos con adaptación y aprendizaje. Las aplicaciones más
recientes de la teoría de control moderna incluyen sistemas no ingenie riles como los de
biología, biomedicina, economía y socioeconomía.
1.1 DEFINICIONES
Planta. Una planta es un equipo, quizá simplemente un juego de piezas de una
máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es realizar una operación
determinada. En este libro llamaremos planta a cualquier objeto físico que deba
controlarse (como un horno de calentamiento, un reactor químico o columna de
destilación)
Proceso. El diccionario Merrian-Webster define proceso como una operación o
desarrollo natural, caracterizado por una serie de cambios graduales, progresivamente
continuos, que se suceden uno a otro de un modo relativamente fijo, y que tienden a un
determinado resultado o final; o a una operación voluntaria o artificial progresivamente
continua, que consiste en una serie de acciones controladas o movimientos dirigidos
sistemáticamente hacia determinado resultado o fin. En este libro se denomina proceso
a cualquier operación que deba controlarse. Ejemplos de ellos son los procesos
químicos, económicos y biológicos.
Sistemas. Es la combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumple
determinado objetivo. Un sistema no está limitado a objetivos físicos. El concepto de
sistema puede aplicarse a fenómenos dinámicos abstractos, como los que se encuentran
en economía. Por tanto, el término sistema hay que interpretarlo como referido a
sistemas físicos, biológicos, económicos y otros.
El sistema de procesos químicos. Es un conjunto de procesos físicos y químicos ínter
relacionados y medios físicos qué que lo implementan. Todo sistema de proceso tiene
entradas y salidas. Entradas puede ser materia prima, temperatura, concentración etc.
Un sistema está sujeto usualmente a señales o perturbaciones que para compensarlas se
hace uso de correcciones o acciones de control. En este libro se denominará a un
sistema de procesos químicos como sistema de procesos o simplemente como proceso.
13
Para visualizar un sistema de proceso simple vamos a considerar el siguiente
proceso de calentamiento:
Se dispone de una corriente de liquido a razón de W (kg/h) y una temperatura Ti
o
( K). Se desea calentar esta corriente hasta una temperatura TR (oK) según el sistema de
calentamiento mostrado en la Fig. 1.1. El fluido ingresa a un tanque bien agitado el cual
esta equipado con un serpentín de calentamiento mediante vapor. Se asume que la
agitación es suficiente para conseguir que todo el fluido en el tanque esté a la misma
temperatura T. El fluido calentado es removido por el fondo del tanque a razón de W
(kg/h) como producto de este proceso de calentamiento. Bajo estas condiciones la masa
de fluido retenido en el tanque permanece constante en el tiempo y la temperatura del
efluente es la misma que del fluido en el tanque. Por un diseño satisfactorio esta
temperatura debe ser TR. El calor específico del fluido es Cp, se asume que permanece
constante, independiente de la temperatura
W, Ti
Vapor de agua
Válvula
T
W, T
Fig. 1.1 Proceso de Calentamiento de un Líquido
1.2 VARIABLES
Las variables de entrada y salida del proceso son de diferentes tipo:
Variable controlada. Es la cantidad o condición que se mide y controla. Normalmente
la variable controlada es la salida del sistema y cambia con el progreso del proceso.
Por Ejemplo:
-
Temperatura de salida de la corriente de proceso en el calentador de la Fig. 1.1
La Composición de salida en un sistema de reacción.
Variable manipulada. Es la cantidad o condición modificada por el controlador a fin de
afectar la variable controlada. Estas afectan el curso del proceso y pueden ser medidas y
cambiadas a voluntad. Por Ejemplo:
-
El caudal de vapor en el calentador de la Fig. 1.1
La Composición de entrada en un sistema de reacción.
14
Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida
del sistema. Estas afectan directamente el curso del proceso pero no pueden ser
cambiadas a voluntad. Por Ejemplo:
-
Cambio repentino en el caudal de entrada en un sistema de reacción.
Las perturbaciones pueden ser:
-
Perturbaciones Internas: Cuando se generan dentro del sistema
Perturbaciones Externas: Cuando se generan fuera del sistema y constituye una
entrada.
Perturbaciones
Variables de
entrada
Proceso
Variables de
salida
Variables manipuladas
Fig. 1.2 Variables y Perturbaciones
Variables intermedias. Son variables relacionadas con el curso del proceso solo
indirectamente. Por Ejemplo, la temperatura del vapor en el tanque de calentamiento o
la temperatura del agua de enfriamiento en un sistema de reacción.
Parámetros. Son las variables que toman un valor fijo durante el proceso. Por Ejemplo,
la presión de operación en un reactor.
Control. Significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar al
sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor medido,
respecto al valor deseado
1.3
DISEÑO AL ESTADO ESTACIONARIO (E. E.)
Un proceso es denominado al estado estacionario (estático) cuando ninguna de sus
variables están cambiando con el tiempo. Al estado estacionario deseado, puede
escribirse un balance de energía para el proceso de calentamiento:
qs = W Cp (Ts – Tis)
(1.1)
15
donde qs es calor entrando al tanque y el subíndice s es adicionado para indicar valor de
diseño al E.E. Por un diseño satisfactorio, la temperatura al E.E. de la corriente de salida
Ts debe ser igual a TR (temperatura de referencia). De aquí:
qs = W Cp (TR – Tis)
(1.2)
Sin embargo, es evidente que, si el calentador es ajustado para entregar una carga
de calor constante qs, al cambiar las condiciones del proceso, la temperatura en el
tanque también cambiará de TR. Una condición típica del proceso que puede cambiar es
la temperatura de entrada Ti.
Una solución obvia al problema es diseñar el controlador de tal manera que la
entrada de calor sea variada para mantener la temperatura T igual o cerca de TR.
Ejemplo1.1
Considerando el tanque de calentamiento mostrado en la Fig. 1.1, en el cual se desea
calentar agua, desde una temperatura de entrada de Tis = 25 oC, podemos encontrar la
cantidad de calor necesario para dos situaciones:
a)
Si mantenemos constante el flujo de entrada de agua por decir 1 m3/h (1000 kg/h) y
deseamos determinar la cantidad de calor para calentarlo a diferentes temperaturas
(por ejemplo entre 25 y 50 oC)
Haciendo un programa Matlab podemos tener el calor necesario para diferentes
temperaturas:
t=25:5:50;
Q=1000*1.0*(t-25);
disp('Temperatura de salida
disp([t',Q'])
Calor')
Al ejecutar el programa tenemos el calor necesario para diferentes temperaturas de
salida manteniendo constante la masa de entrada:
Temperatura de salida Calor
25
0
30
5000
35
10000
40
15000
45
20000
50
25000
b) Si fijamos la temperatura de salida por decir 40 oC y deseamos determinar la
cantidad de calor necesario para diferentes caudales de entrada entre 800 y 1200
kg/h.
Modificamos el programa anterior para variar la masa de agua:
16
m=800:20:1200;
Q=m*1.0*(40-25);
disp(' Masa
Calor')
disp([m',Q'])
Al ejecutar el programa tenemos el calor necesario para diferentes cantidades de
masa y manteniendo constante la temperatura de salida:
Masa
800
820
840
860
880
900
920
940
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100
1120
1140
1160
1180
1200
1.4
Calor
12000
12300
12600
12900
13200
13500
13800
14100
14400
14700
15000
15300
15600
15900
16200
16500
16800
17100
17400
17700
18000
CONTROL DE PROCESOS
Para el caso b) del ejemplo anterior la variable controlada será la temperatura de
salida la cual se ha fijado en 40 oC, así, si el flujo de entrada de agua fuese 1000 kg/h, se
debe agregar qs a razón de 15000 kcal/h., asumiendo que el flujo de entrada de agua en
algún momento, no sea constante, es necesario decidir que tanto debe ser cambiado el
calor de entrada q desde qs para corregir cualquier desviación de T desde TR. Una
solución podría ser colocar un operario del proceso, quien deberá ser responsable de
controlar el proceso de calentamiento. El operario deberá observar la temperatura en el
tanque, presumiblemente con un elemento de medida tal como una termocupla, un
termómetro o un sensor y comparar esta temperatura con TR, él deberá aumentar la
entrada de calor y viceversa. A medida que él sea experimentado en esta tarea, sabrá
cuanto cambiar q para cada situación. Sin embargo, esta tarea relativamente simple
puede ser fácilmente y a menor costo ejecutada por una máquina. El uso de máquinas
para este y similares propósitos es conocido como control automático de procesos.
1.5 NIVELES DE CONTROL
Control manual. Cuando el trabajo de regular alguna variable con el fin de compensar
alguna alteración en el proceso es ejecutada manualmente (por un operario), basado en
mediciones previas de la variable controlada y en la experiencia.
17
Control automático simple. Cuando el trabajo anterior es ejecutado por una máquina,
obedeciendo indicaciones dadas de antemano según el tipo de proceso a controlar y el
modo de acción de la máquina (controlador) Este modo de control es ejecutado en
forma individual para cada sistema de proceso.
Control automático por computadora. Es la forma moderna de control de procesos, es
un control integral (de todo el proceso) mediante una sola máquina (computadora
digital), la cual analiza las señales dadas por los puntos de medición y emite las señales
respectivas hacia los elementos que regulan las variables.
1.6 EL ESTADO NO ESTACIONARIO (E. N. E.)
Para el ejemplo del tanque de la Fig. 1.1, asumiendo que el caudal de entrada no
permanece constante, es lógico pensar que manteniendo constante la cantidad de calor
para el calentamiento, la temperatura de salida no será constante, sino que variará de
acuerdo como cambie la cantidad de alimentación. Esta relación está dada por la
ecuación:
T = Tis + qs/W Cp
(1.3)
Si el caudal de entrada W aumenta, la temperatura de salida T disminuye y si W
disminuye T aumenta. En un proceso real esta variación en el caudal se puede deber a
problemas en una etapa anterior al tanque o del sistema de bombeo. Este cambio que
altera el curso normal del proceso se denomina perturbación. Las perturbaciones
pueden deberse también a situaciones que no están dentro del proceso como por
ejemplo en este caso la temperatura del medio ambiente la cual influirá en la pérdida de
calor a los alrededores si el sistema no está debidamente aislado con el consiguiente
cambio en la temperatura de salida. Si la temperatura o cualquier otra variable del
proceso cambia, se tiene el estado no estacionario, por lo que es necesario hacer las
correcciones respectivas para volver al estado estacionario.
Si una máquina está siendo usada para controlar el proceso, es necesario decidir
en adelante precisamente que cambios deberán hacerse en la entrada de calor q para
cada situación posible que pueda ocurrir. Nosotros no podemos contar con el juicio de
la máquina tanto como del operario. Las máquinas no piensan; ellas simplemente
ejecutan una tarea predeterminada de una manera también predeterminada.
Para tener la capacidad de hacer las decisiones de control con anticipación (y
alimentar los datos a la máquina) es necesario conocer como cambia la temperatura en
el tanque en respuesta a cambios en Ti y q. Para esto es necesario escribir el balance de
energía al estado no estacionario o transitorio (dinámico). Los términos entrada y salida
en este balance son los mismos que los usados en el balance al estado estacionario, Ec.
(1.1), en adición aquí hay una acumulación transitoria de energía en el tanque, la cual
puede escribirse:
Acumulación = ρVCp
dT
dt
energía / tiempo
donde ρ = densidad del fluido
18
V = volumen del fluido en el tanque
t = variable independiente, tiempo
Con lo cual la ecuación de balance de energía será:
ρVCp dT = W Cp Ti – W Cp T + q
(1.4)
dt
Asumiendo que los flujos de entrada y salida son iguales y constantes, así como el
término ρ V, el cual es la masa del fluido en el tanque (W), también constante, Se tiene :
ρVCp dT = W Cp (Ti – T) + q
(1.5)
dt
La Ec. (1.1) es la solución al estado estacionario de la Ec. (1.5), obtenida para el
tiempo cero.
1.7 PRINCIPIOS BÁSICOS DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
Requisitos generales de sistemas de control. Todo sistema de control debe ser estable.
Este es un requisito básico, además de estabilidad absoluta, un sistema de control debe
tener una estabilidad relativa razonable; es decir, la respuesta debe mostrar un
amortiguamiento razonable. Asimismo, la velocidad de respuesta debe ser
razonablemente rápida, y el sistema de control debe ser capaz de reducir los errores a
cero, o a un valor pequeño tolerable.
Cualquier sistema de control, para ser útil, debe satisfacer estos requisitos. El
requisito de estabilidad relativa razonable y el de la precisión de estado estacionario
tienden a ser incompatibles, por lo tanto, al diseñar sistemas de control resulta necesario
efectuar el mejor compromiso entre estos dos requerimientos.
Teoría de control moderno versus teoría de control clásico. La teoría de control
clásica utiliza extensamente el concepto de función de transferencia (o transmitancia).
Se realiza el análisis y el diseño en el dominio de s (Laplace) y/o en el dominio de la
frecuencia. La teoría de control moderna que esta basada en el concepto del espacio de
estado, utiliza extensamente el análisis vectorial-matricial. El análisis y el diseño se
realizan en el dominio del tiempo.
La teoría de control clásica brinda generalmente buenos resultados para sistemas
de control de una entrada y una salida. Sin embargo, la teoría clásica no puede manejar
los sistemas de control de múltiples entradas y múltiples salidas.
En este libro se presentan en su primera parte los métodos de control clásicos,
frecuentemente denominados métodos de control convencional y en una segunda parte
los métodos de control moderno. Nótese que los procedimientos clásicos o
convencionales, ponen énfasis en la comprensión física y utilizan menos matemática
que los métodos de control modernos. En consecuencia los métodos de control clásicos
o convencionales son más fáciles de entender .
19
Modelado matemático. Los componentes que abarcan los sistemas de control son muy
diversos. Pueden ser electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc. En
ingeniería de control, en lugar de operar con dispositivos o componentes físicos, se les
reemplaza por sus modelos matemáticos. Obtener un modelo matemático
razonablemente exacto de un componente físico, es uno de los problemas más
importantes en ingeniería de control. Nótese que para ser útil, un modelo matemático no
debe ser ni muy complicado ni excesivamente simple. Un modelo matemático debe
representar los aspectos esenciales de un componente físico. Las predicciones sobre el
comportamiento de un sistema, basadas en el modelo matemático, deben ser bastante
precisas. Nótese también que sistemas al parecer diferentes, pueden representarse por el
mismo modelo matemático.
El uso de tales modelos matemáticos permite a los ingenieros de control
desarrollar una teoría de control unificada. En ingeniería de control, se usan ecuaciones
diferenciales lineales, invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones
de estado, para modelos matemáticos de sistemas lineales, invariantes en el tiempo y de
tiempo continuo. Para mayor información consultar el texto sobre “Modelamiento y
Simulación de Procesos” del mismo autor.
Aunque las relaciones entrada-salida de muchos componentes son no-lineales,
normalmente esas relaciones se linealizan en la vecindad de los puntos de operación,
limitando el rango de las variables a valores pequeños. Obviamente, tales modelos
lineales son mucho más fáciles de manejar tanto analíticamente como por computadora.
Análisis y diseño de sistemas de control. Al llegar a este punto, es deseable definir que
significan los términos análisis, diseño, análisis de respuesta transitoria, y otros. Por
análisis de un sistema de control se entiende la investigación, bajo condiciones
especificadas, del comportamiento de un sistema cuyo modelo matemático se conoce.
Como cualquier sistema consta de componentes, el análisis debe comenzar con una
descripción matemática de cada componente. Una vez que se ha elaborado un modelo
matemático del sistema completo, la forma en que el análisis se lleva a cabo es
independiente de si el sistema físico es neumático, eléctrico, mecánico, etc. Por análisis
de respuesta transitoria se entiende generalmente la determinación de la respuesta de
una planta a señales y perturbaciones de entrada. Por análisis de respuesta en estado
estacionario significa la determinación de la respuesta tras la desaparición de la
respuesta transitoria.
Por diseño de un sistema, se entiende hallar uno que cumpla una tarea dada, si las
características de respuesta dinámica y/o de estado estacionario no son satisfactorias, se
debe agregar un compensador al sistema.
Por síntesis se entiende encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema
de control que se comporte de un modo específico. Generalmente, tal procedimiento es
totalmente matemático de principio a fin del proceso de diseño. Se dispone de
procedimientos de síntesis para el caso de sistemas lineales y para sistemas lineales de
control óptimo.
En años recientes, las computadoras digitales han jugado un importante papel en
el análisis, diseño y operación de sistemas de control. La computadora puede utilizarse
para efectuar los cálculos necesarios, para simular los componentes de un sistema o una
planta, o para controlar un sistema. El control por computadora ha llegado a ser de uso
común, y muchos sistemas de control industrial utilizan controladores digitales.
20
Método básico de diseño de control. El método básico de diseño de cualquier sistema
de control práctico, entraña la obligada aplicación de procedimientos de tanteo. La
síntesis de sistemas de control lineales es teóricamente posible, y el ingeniero de control
puede determinar sistemáticamente los componentes necesarios para realizar el objetivo
propuesto. En la práctica sin embargo, el sistema puede estar expuesto a muchas
restricciones, o no ser lineal, y en tales casos no se cuenta actualmente con métodos de
síntesis. Acaso, además, las características de los componentes no se conozcan con
precisión. Por tanto, siempre resultará necesario seguir procedimientos de tanteo.
No obstante en la práctica a menudo se enfrentan situaciones en las que un
proceso no es alterable (esto es, no se tiene la libertad de modificar la dinámica del
proceso), y el ingeniero de control tiene que diseñar el resto del sistema, de modo que el
conjunto cumpla con las normas previstas en tanto se lleva a cabo la tarea propuesta.
Las especificaciones pueden incluir factores tales como la velocidad de respuesta,
amortiguamiento razonable, exactitud en estado estacionario, confiabilidad y costo. En
algunos casos los requerimientos o especificaciones pueden darse explícitamente, y en
otros no. Todos los requerimientos o especificaciones deben interpretarse en términos
matemáticos. En el diseño convencional, se debe estar seguro de que el sistema de lazo
cerrado sea estable, y que presente características de respuesta transitoria aceptables
(esto es velocidad y amortiguamiento razonables), y exactitud aceptable en estado
estacionario.
Es importante recordar que algunas de las especificaciones quizás no sean
realistas. En tal caso, las especificaciones deben revisarse en las primeras etapas del
diseño. Asimismo las especificaciones dadas, acaso incluyan condiciones
contradictorias o conflictivas. Entonces el diseñador debe resolver en forma satisfactoria
los conflictos entre los muchos requerimientos dados.
El diseño basado en teoría de control moderna, requiere que el diseñador tenga un
índice de comportamiento o desempeño razonable, que lo guíe en el diseño de un
sistema de control. Un índice de comportamiento es una medida cuantitativa del
comportamiento, que indica la desviación con respecto al comportamiento ideal. La
selección de un índice de comportamiento particular se determina por objetivos del
sistema de control.
El índice de comportamiento puede ser la integral de una función de error que
debe minimizarse. Estos índices de comportamiento, basados en la minimización de la
integral del error, pueden usarse tanto en los procedimientos de control moderno, como
en los de control convencional. Sin embargo, en general la minimización de un índice
de comportamiento se puede lograr mucho más fácilmente usando procedimientos de
control modernos.
La especificación de la señal de control durante el intervalo de tiempo operativo,
recibe el nombre de ley de control. Matemáticamente, el problema básico de control es
determinar la ley de control óptimo, sujeta a diversas restricciones de ingeniería y de
economía, que minimice (o maximice, según el caso) un índice de comportamiento o
desempeño determinado. Para el caso de sistemas relativamente simples, se puede hallar
la ley de control en forma analítica. En el caso de sistemas complejos, puede requerirse
una computadora digital que opere en línea para generar la ley de control óptimo.
Para sistemas de control industrial, el índice de comportamiento puede ser el costo
mínimo, la confiabilidad máxima, etc. Es importante puntualizar que la elección del
índice de comportamiento es sumamente importante, ya que la naturaleza de control
óptimo diseñado depende del índice de comportamiento particular que se elige.
21
CAPITULO
2
SISTEMAS DE CONTROL
Todo proceso industrial es controlado básicamente por tres tipos de elementos el
transmisor (medidor o sensor) (TT), el controlador (TC) y la válvula o elemento final
de control, según puede verse en la Fig. 2.1.
La Fig. 2.1 corresponde al típico intercambiador de calor, en el que un fluido de
calefacción (vapor) calienta un producto de entrada o carga hasta una temperatura de
salida que es transmitida por TT y controlada por TC (o controlada e indicada por TIC,
o controlada y registrada por TRC) a través de una válvula de control V. Esta deja pasar
el vapor de calefacción suficiente para mantener la temperatura del fluido caliente en un
valor deseado o punto de consigna que es prefijado (valor de referencia o “set point”) en
el controlador TC.
La combinación de los componentes transmisor-controlador-válvula de controlproceso, que actúan conjuntamente, recibe el nombre de sistema y cumple el objetivo de
mantener una temperatura constante en el fluido caliente de salida del intercambiador.
Cada uno de los componentes anteriores considerados aisladamente es también un
sistema, puesto que cada uno cumple un objetivo determinado. Por ejemplo, el
transmisor convierte los valores de la temperatura a señales neumáticas o electrónicas;
el controlador mantiene la señal de entrada constante para cada punto de consigna o
valor deseado fijado por el operador, mediante la variación de la señal de salida a la
válvula de control; la válvula de control convierte la señal de entrada neumática o
electrónica a posición de su vástago y, por tanto, gobierna el caudal de vapor con que
alimenta el serpentín del intercambiador de calor; el proceso cumple el objetivo de
calentar el fluido hasta T de salida, mediante la entrada de vapor, y lo hace a través de
un serpentín, del que se elimina continuamente el condensado con un purgador. Nótese
que en cada uno de los sistemas anteriores se ha considerado una entrada y una salida;
por ejemplo, en el caso de la válvula de control, la entrada es la señal procedente del
controlador y la salida es el caudal de vapor al serpentín; y en el caso del proceso, la
entrada es el caudal de vapor que pasa a través de la válvula y la salida es la temperatura
del fluido caliente.
22
Vapor de agua
Controlador
Válvula
de control
TC
Transmisor
TT
Salida T
Entrada o carga
F
To
Interc. De calor
Condensado
a) Control neumático
Vapor de agua
Válvula
de control
Controlador
TC
Transmisor
TT
Salida T
Entrada o carga
F
To
Interc. De calor
Condensado
b) Control electrónico
Fig. 2.1 Proceso industrial típico
Estos sistemas se representan mediante un rectángulo llamado bloque, la variable
o variables de entrada constituidas por flechas que entran en el rectángulo, y la variable
o variables de salida representadas por flechas que salen del rectángulo. De este modo,
el sistema de la Fig. 2.1 quedaría representado según se ve en la Fig. 2.2 denominado
diagrama de bloques.
El proceso puede sufrir perturbaciones que pueden afectar el proceso; por
ejemplo, el mal funcionamiento del purgador de vapor, las variaciones de caudal o de
temperatura del fluido de entrada (carga), los cambios de temperatura exteriores al
intercambiador, el posible recubrimiento, con el tiempo, de la pared del serpentín que
está en contacto con el fluido, con la consiguiente alteración en la transmisión del calor
23
de condensación del vapor, las variaciones de presión del vapor producidas por el
consumo variable de vapor en los sistemas próximos al considerado, o por otras causas,
etc.
CONTROLADOR
Comparador
Valor de
referencia
Error
Controlador
Corriente de
entrada (carga)
Variable manipulada
Caudal de vapor
F
To
Señal
Neumática o
electrónica
Válvula o
elemento final
de control
PROCESO
Salida
Variable
controlada T
Medidor
transmisor
Fig. 2.2 Diagrama de bloques de un proceso industrial típico
El sistema de control anterior pertenece a los denominados servosistemas. En su
significado más amplio, el servosistema corresponde a un sistema de mando y control
automático de aparatos basado en la anulación de las desviaciones que existan entre el
valor instantáneo de la magnitud a regular y el valor prescrito para la misma.
Un caso particular de los servosistemas son los controladores o reguladores; en
ellos la respuesta o señal de salida tiende fundamentalmente a contrarrestar las
perturbaciones que afectan a la variable o magnitud de entrada. Este es el caso del TC
de la Fig. 2.1. En estos aparatos, la magnitud de entrada se fija en un valor constante
(que es el valor de referencia o punto de consigna del controlador) o en un valor
variable con el tiempo según una ley programada (se trata entonces de controladores
programadores). Otro caso particular son los servomecanismos.
2.1
SISTEMA DE CONTROL RETROALIMENTADO (“FEEDBACK”)
Como se ha visto anteriormente, el control retroalimentado es una operación que,
en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un
sistema y alguna entrada de referencia, realizándolo sobre la base de esta diferencia.
Aquí sólo se especifican las perturbaciones no previsibles, ya que las previsibles o
conocidas siempre pueden compensarse dentro del sistema.
Se denomina sistema de control retroalimentado a aquel que tiende a mantener
una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia,
comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. Por ejemplo el control
de temperatura del tanque mezclador de la Fig. (1.1). Midiendo la temperatura de salida
del tanque y comparándola con la temperatura de referencia (temperatura deseada), la
válvula de entrada de vapor regula el flujo de éste aumentando o disminuyendo para
mantener la temperatura de la corriente de salida en el valor deseado.
2.2
24
SERVOSISTEMAS
El servosistema (o servomecanismo) es un sistema de control retroalimentado en
el que la salida es algún elemento mecánico, sea posición, velocidad o aceleración. Por
tanto, los términos servosistema o sistema de control de posición, o de velocidad o de
aceleración, son sinónimos. Estos servosistemas se utilizan ampliamente en la industria
moderna. Por ejemplo con el uso de servosistemas e instrucción programada se puede
lograr la operación totalmente automática de máquinas herramientas. Nótese que a
veces se denomina también servosistema a un sistema de control cuya salida debe seguir
con exactitud una trayectoria determinada en el espacio (como la posición de una
aeronave en el espacio en un aterrizaje automático). Los ejemplos incluyen el sistema de
control de una mano de robot, en que la misma debe seguir una trayectoria determinada
en el espacio al igual que una aeronave en el sistema de control de aterrizaje.
2.3
SISTEMA DE REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Un sistema de regulación automática es un sistema de control en el que la entrada
de referencia o salida deseada son, o bien constantes o bien varían lentamente con el
tiempo, y donde la tarea fundamental consiste en mantener la salida en el valor deseado
a pesar de las perturbaciones presentes. Por ejemplo los controles automáticos de
presión y temperatura en un proceso químico.
2.4
SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESOS
A un sistema de regulación automática en el que la salida es una variable como
temperatura, presión, flujo, nivel de liquido o pH, se le denomina sistema de control de
proceso. El control de procesos tiene amplia aplicación en la industria. En estos
sistemas con frecuencia se usan controles programados, como el de la temperatura de un
horno de calentamiento en que la temperatura del mismo se controla según un programa
preestablecido. Por ejemplo el programa preestablecido puede consistir en elevar la
temperatura a determinado valor durante un intervalo de tiempo definido, y luego
reducir a otra temperatura prefijada también durante un periodo predeterminado. En este
control el punto de referencia se ajusta según el cronograma preestablecido. El
controlador entonces funciona manteniendo la temperatura del horno cercana al punto
de ajuste variable.
En la Fig. 2.3, se puede apreciar el esquema para el control mediante una
computadora de la temperatura en un horno eléctrico. La Temperatura en el interior del
horno se mide con una Termocupla (Dimetálico), que es un dispositivo analógico. La
Temperatura se convierte a un valor de temperatura digital, por un convertidor A/D y
con esta se alimenta a un controlador a través de una interfaz con la finalidad de pasar la
señal de voltaje a lenguaje de computadora (Código Binario). La Temperatura digital se
compara con la temperatura de referencia es decir la temperatura de entrada
programada; y ante cualquier discrepancia (Error), el controlador envía una señal al
Calefactor, a través de un amplificador, y relevador, para llevar la temperatura del horno
eléctrico al valor deseado, y obtener de esta manera una operación satisfactoria.
25
Termocupla
Controlador
Convertidor
A/D
Horno
Eléctrico
Interfaz
Entrada
programada
Resistencia
Relevador o
interruptor
Temperatura de
referencia
(Temperatura
deseada)
Amplificador
Interfaz
Fig. 2.3 Sistema de control de temperatura
El empleo de un amplificador es para aumentar la potencia puesto que
generalmente los procesos se realizan en pequeñas voltajes, bajas potencias.
El relevador o interruptor recibe señal de la computadora si se enciende o se
apaga; se apaga el relevador cuando obtenemos la temperatura deseada y permanece
encendido mientras no se llegue al valor.
2.5
SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO (“CLOSED LOOP”)
Con frecuencia se llama así a los sistemas de control retroalimentado. En la
práctica, se utiliza indistintamente la denominación control retroalimentado
(“feedback”) o control de lazo cerrado (“closed loop”). La señal de error actuante, que
es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentación (que puede ser la
señal de salida o una función de la señal de salida y sus derivadas), entra al controlador
para reducir el error y llevar la salida a un valor deseado. Esta retroalimentación se logra
a través de la acción de un operador (control manual) o por medio de instrumentos
(control automático).
En el caso de control manual, para el ejemplo mostrado en la Fig. (1.1) el
operador mide previamente la temperatura de salida; si esta es por ejemplo, inferior al
valor deseado, aumenta la circulación de vapor abriendo levemente la válvula. Cuando
se trata de control automático, se emplea un dispositivo sensible a la temperatura para
producir una señal (eléctrica o neumática) proporcional a la temperatura medida. Esta
señal se alimenta a un controlador que la compara con un valor deseado preestablecido
o punto de ajuste (“set point”). Si existe una diferencia, el controlador cambia la
abertura de la válvula de control de vapor para corregir la temperatura como se indica
en la Fig. 2.4.
26
Entrada de liquido (carga)
W, Ti
Punto de
referencia
Controlador
Vapor
Medición de
temperatura
T
Válvula de
control
Salida de liquido
W, T
Señal de temperatura al controlador
Fig. 2.4 Sistema de control de lazo cerrado
El término lazo cerrado implica el uso de la acción de control retroalimentado
para reducir el error del sistema.
Variable manipulada
Entrada (carga)
Proceso de
transferencia
de calor
Controlador
Punto de
medición
Comparador
TR o SP
E
Controlador
T medida
Válvula
Serpentín
Tanque
T
Elemento
de medida
Fig. 2.5 Diagrama de bloques del sistema de control de lazo cerrado
2.6
SISTEMA DE CONTROL DE LAZO ABIERTO (“OPEN LOOP”)
Los sistemas en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control, se
denominan sistemas de control de lazo abierto (“open loop”). En otras palabras, en un
sistema de control de lazo abierto la salida ni se mide ni se retroalimenta para
compararla con la entrada. Un ejemplo práctico lo constituye una lavadora de ropa
domestica. El remojo, lavado y enjuague en la lavadora se cumplen por tiempos. La
máquina no mide la señal de salida, es decir, la limpieza de la ropa.
En cualquier sistema de control de lazo abierto, no se compara la salida con la
entrada de referencia. Por tanto, para cada entrada de referencia corresponde una
condición de operación fija. Así, la precisión del sistema depende de la calibración. En
presencia de perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto solo se puede utilizar
si la relación entre la entrada y la salida es conocida; y si no se presentan perturbaciones
tanto internas como externas. Desde luego, tales sistemas no son sistemas de control
27
retroalimentado, denominándose frecuentemente sistema de control de alimentación
directa (“feed foward”). Nótese que cualquier sistema de control que funciona sobre la
base de tiempos es un sistema de lazo abierto.
Medición de
flujo
Entrada de liquido
(carga)
Medición de
temperatura
W, Ti
Valor de referencia
TR
Controlador de
alimentación
directa
Vapor
T
Válvula de
control
Salida de liquido
W, T
Fig. 2.6 Sistema de control de lazo abierto
Variable manipulada
TR o SP
U
Controlador
Válvula
Proceso
T Salida
Alimentación
(carga)
W, To
Medición
W, Ti
Fig. 2.7 Diagrama de bloques del sistema de control de lazo abierto
El control de alimentación directa se esta utilizando de una manera muy
generalizada; sobre todo en el control por computadora. Los cambios en las variables de
entrada al proceso se miden y compensan sin esperar a que un cambio en la variable
controlada indique que ha ocurrido una alteración en las variables. El control de
alimentación directa es muy útil también en casos en que la variable controlada final no
se puede medir.
En el ejemplo ilustrado en la Fig. 2.6, el controlador de alimentación directa tiene
la capacidad de computar y utilizar el gasto medido de liquido de entrada y su
temperatura, para calcular el gasto de vapor necesario para mantener la temperatura
deseada en el liquido de salida.
28
2.7
SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO VERSUS DE LAZO
ABIERTO
Una ventaja del sistema de control de lazo cerrado es que el uso de la
retroalimentación hace que la respuesta del sistema sea relativamente insensible a
perturbaciones externas y a variaciones internas de parámetros del sistema. De este
modo, es posible utilizar componentes relativamente imprecisos y económicos, y lograr
la exactitud de control requerida en determinada planta, cosa que sería imposible en un
control de lazo abierto.
Desde el punto de vista de la estabilidad, en el sistema de control de lazo abierto
la estabilidad es más fácil de lograr puesto que no constituye un problema importante.
En cambio en los sistemas de lazo cerrado, la estabilidad si es un problema importante,
por su tendencia a sobrecorregir errores que pueden producir oscilaciones de amplitud
constante o variable.
Hay que puntualizar que para sistemas cuyas entradas son conocidas previamente
y en los que no hay la presencia de perturbaciones, es recomendable utilizar el control
de lazo abierto. Los sistemas de control de lazo cerrado tienen ventajas solamente si se
presentan perturbaciones no previsibles o variaciones de componentes del sistema.
Nótese que la potencia de salida determina parcialmente el costo, peso y tamaño de un
sistema de control. La cantidad de componentes utilizados en un sistema de control de
lazo cerrado es mayor a la correspondiente a un sistema de control de lazo abierto. Así,
entonces, un sistema de control de lazo cerrado es generalmente de mayor costo y
potencia. Para reducir la potencia requerida por un sistema, es conveniente usar sistema
de lazo abierto. Por lo común resulta menos costosa una combinación adecuada de
controles de retroalimentación y alimentación directa, lográndose un comportamiento
general satisfactorio.
2.8
CONTROL COMBINADO DE LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO
Medición de
flujo
Entrada de liquido
Medición de
temperatura
W, Ti
Valor de
referencia
Controlador de
retroalimentación
Controlador de
alimentación
directa
Vapor
T
Válvula de
control
Medición de
T
Salida de liquido
W, T
Fig. 2.8
Control combinado con retroalimentación y alimentación directa.
29
La respuesta que emite el controlador hacia la válvula de control es el resultado de
solucionar una ecuación que relaciona las variables controlada y regulada, y se designa
generalmente como el modelo de proceso.
Es muy raro encontrar modelos y controladores perfectos, de manera que es más
conveniente utilizar una combinación de control de retroalimentación y alimentación
directa como muestra la Fig. 2.8. La configuración de un controlador que proporciona el
punto de ajuste para otro controlador se conoce como control en cascada.
2.9 SISTEMAS DE CONTROL ADAPTABLES
Las características dinámicas de la mayoría de los sistemas de control no son
constantes por diversas razones, como el deterioro de los componentes al paso del
tiempo, o las modificaciones en los parámetros o en el medio ambiente. Aunque en un
sistema de control retroalimentado se atenúan los efectos de pequeños cambios en las
características dinámicas, si las modificaciones en los parámetros del sistema y el medio
son significativas, un sistema, para ser satisfactorio ha de tener capacidad de adaptación.
Adaptación implica la capacidad de autoajustarse o automodificarse de acuerdo con las
modificaciones imprevisibles del medio o estructura. Los sistemas de control que tienen
algún grado de capacidad de adaptación (es decir, el sistema de control por si mismo
detecta cambios en los parámetros de planta y realiza los ajustes necesarios en los
parámetros del controlador, para mantener un comportamiento óptimo), se denomina
sistema de control adaptable.
En un sistema de control adaptable, las características dinámicas deben estar
identificadas en todo momento, de manera que los parámetros del controlador pueden
ajustarse para mantener un comportamiento óptimo. (De este modo, un sistema de
control adaptable es un sistema no estacionario). Este concepto resulta muy atractivo
para el diseñador de sistemas, ya que un sistema de control adaptable, además de
ajustarse a los cambios ambientales, también lo hace ante errores moderados del
proyecto de ingeniería o incertidumbres, y compensa la eventual falla de componentes
menores del sistema, aumentando, por tanto, la confiabilidad de todo el sistema.
2.10
SISTEMAS DE CONTROL CON APRENDIZAJE
Muchos sistemas de control que aparentemente son de lazo abierto, pueden
convertirse en sistemas de lazo cerrado si un operador humano se considera como un
controlador, que compara la entrada y la salida y realiza las acciones correctivas basadas
en la diferencia o error.
Si se intenta analizar tales sistemas de control de lazo cerrado con intervención
humana, se encuentra el difícil problema de plantear ecuaciones que describan el
comportamiento del operador humano. En este caso uno de los muchos factores que lo
complican, es la capacidad de aprendizaje del ser humano. A medida que este va
adquiriendo experiencia, mejora como elemento de control, y esto debe tomarse en
cuenta al analizar el sistema. Los sistemas de control con capacidad para aprender,
reciben el nombre de sistemas de control con aprendizaje. En la literatura se encuentran
avances recientes en aplicaciones de control adaptable y con aprendizaje.
2.11
30
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL
Los sistemas de control pueden clasificarse de diversos modos. A continuación se
señalan algunos.
Sistemas de control lineales versus no lineales.- En rigor, la mayoría de los sistemas
físicos no son lineales en varios sentidos. Sin embargo, si la extensión de variaciones de
las variables del sistema no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango
relativamente estrecho de valores de las variables. Para sistemas lineales, se aplica el
principio de superposición. Aquellos sistemas a los que no es aplicable este principio
son los sistemas no lineales.
Sistemas de control invariante en el tiempo versus control variable en el tiempo.- Un
sistema de control invariante en el tiempo (sistema de control con coeficientes
constantes) es aquel en el que los parámetros no varían con el tiempo. La respuesta de
tal sistema es independiente del tiempo en el que se aplica la entrada. En cambio, un
sistema de control variable en el tiempo es aquel en el cual los parámetros varían con el
tiempo; su respuesta depende del tiempo en el que se aplica una entrada. Ejemplo de un
sistema de control variable en el tiempo, es le sistema de control de un vehículo
espacial, en el que la masa disminuye en el tiempo al consumirse combustible durante el
vuelo.
Sistemas de control de tiempo continuo versus tiempo discreto.- En un sistema de
control de tiempo continuo, todas las variables son funciones de un tiempo continuo t.
Un sistema de control de tiempo discreto abarca una o más variables que son conocidas
sólo en instantes discretos de tiempo.
Sistemas de control con una entrada y una salida versus con múltiples entradas y
múltiples salidas.- Los sistemas pueden tener una entrada y una salida, o múltiples
entradas y múltiples salidas como en el caso de un sistema de control de proceso con
dos entradas (entrada de presión y entrada de temperatura) y dos salidas (presión de
salida y temperatura de salida).
Sistemas de control con parámetros agrupados versus parámetros distribuidos.- Los
sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales
ordinarias, son sistemas de control de parámetros agrupados, mientras que los sistemas
de control con parámetros distribuidos son aquellos que pueden describirse mediante
ecuaciones diferenciales parciales.
Sistemas de control determinísticos versus estocásticos.- Un sistema de control es
determinístico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible. De no serlo, el
sistema de control es estocástico.
31
CAPITULO
3
CONTROL E INSTRUMENTACIÓN
DE PROCESOS
3.1 INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
Alguna familiaridad con el software y hardware de control es necesario antes de
entrar a discutir la selección y sintonía. Nosotros no estamos preocupados sobre los
detalles de cómo se construyen los diferentes equipos mecánicos, neumáticos,
hidráulicos, electrónicos y los servicios de computación. Estos detalles pueden ser
obtenidos de los proveedores de instrumentos y computadoras. Nosotros solamente
necesitamos conocer básicamente como trabajan ellos y que es lo que se supone hacen.
Los instrumentos son proporcionados para monitorear las variables claves del
proceso durante la operación de la planta. Estos pueden estar incorporados a un lazo de
control automático, o usados para el control manual de la operación. Ellos también
pueden ser parte de un sistema de control por computadora. Los instrumentos
monitoreando las variables críticas del proceso deben estar equipados con alarmas
automáticas para alertar al operador sobre situaciones críticas y peligrosas.
En las últimas décadas ha habido una real revolución en el hardware de
instrumentación. Hace 30 años, la mayoría de hardware de control fue mecánico y
neumático (usando instrumentos con presión de aire para mover los aparatos y señales
de control). La tubería se colocó entre el equipo de proceso y el cuarto de control. Las
señales fueron grabadas en cartas de papel.
Actualmente la mayoría de los nuevos sistemas de control usan hardware de
“control distribuido”: microprocesadores que sirven simultaneamente a varios lazos de
control. La información es desplegada en CRTs (tubos de rayos catódicos). La mayoría
de señales son transmitidas de manera analógica electrónica (usualmente señales de
corriente).
A pesar de todos esos cambios en el hardware, los conceptos básicos de estructura
de sistemas de control y algoritmos de control (tipos de controladores) permanecen
esencialmente iguales como fuerón hace 40 años. Ahora es fácil implementar
estructuras de control; solo debemos reprogramar una computadora. Pero el trabajo de
32
los ingenieros de control de procesos es el mismo: obtener sistemas de control que den
un control bueno, estable y robusto.
Como se ha visto en el Cáp.- 2, el lazo básico de un control de retroalimentación
consiste de un sensor para detectar la variable de proceso; un transmisor para convertir
la señal del sensor en una “señal” equivalente (una señal de presión de aire en sistemas
neumáticos o señal de corriente en sistemas analógicos electrónicos); un controlador
que compare esta señal del proceso con un valor de referencia (set point) deseado y
producir una apropiada señal de salida del controlador; y un elemento final de control
que cambie la variable manipulada. Usualmente el elemento final de control es una
válvula de control operada con aire o eléctricamente que se abre o cierra para variar la
razón de flujo de la corriente manipulada. Ver Fig. 3.1.
Salida de
agua
Corriente de
Corriente de
Intercambiador
de calor
proceso
caliente
proceso fría
Entrada de agua
De enfriamiento
Válvula de control
Señal a la
válvula
3 – 15 psig
Suministro de
aire a
instrumentos
Campo
I/P
Sensor de
temperatura
(termocupla)
Transmisor de
temperatura (mV )
Señal (U)
4 – 20 mA
Señal (U)
4 – 20 mA
Cuarto de control
Controlador de
retroalimentación y switch
manual automático
Valor de referencia
“setpoint”
Fig. 3.1 Lazo de control de retroalimentación
El sensor, transmisor, y válvula de control son físicamente localizadas sobre el
equipo de proceso (“en el campo”). El controlador es usualmente localizadosobre un
panel o en una computadora en un cuarto de control que está a alguna distancia del
33
equipo de proceso. Cables conectan las dos ubicaciones, llevando señales de corriente
del transmisor al controlador y del controlador al elemento final de control.
3 – 15 psig
Potenciómetro a
posición de la válvula
4 – 20 mA
I/P
Transductor
Conmutador
manual/automático
en posición manual
Válvula de control
(a) En manual
Setpoint
4 – 20 mA
Transmisor
Controlador
Salida del
controlador
4 – 20 mA
Potenciómetro para
cambiar el setpoint
3 – 15 psig
I/P
Conmutador
manual/automático
en posición manual
Válvula de control
(b) En automático
Fig. 3.2 Conmutador manual / automático
El hardware usado en plantas químicas y petroquímicas es ya sea analógico
(neumático o electrónico) o digital. Los sistemas analógicos usan señales de presión de
aire (3 a 15 psig) o señales de corriente/voltaje (4 a 20 miliamperios, 10 a 50
miliamperios o 0 a 10 voltios DC). Estos son accionados por instrumentos de aire
suministrando (25 psig aire) o 24 voltios DC de potencia eléctrica. Los sistemas
neumáticos envían señales de presión de aire a través de pequeños tubos. Sistemas
analógicos electrónicos usan cables.
34
Cuando se usa una válvula neumática actuada por presión de aire, las señales de
corriente son usualmente convertidas en presión de aire. Se usa un transductor “I a P”
(corriente a presión) para convertir señales de 4 a 20 mA en señales de 3 a 15 psig.
También colocado en el cuarto de control está el conmutador (“switch”) manualautomático. Durante el arranque o bajo condiciones anormales, el operador de la planta
puede querer poder colocar la posición de la válvula de control en el mismo en lugar
que tiene la posición del controlador. Un “switch” es usualmente colocado sobre el
panel de control o en el sistema de control como se muestra en la Fig. 3.2. En la
posición manual el operador puede accionar la válvula cambiando una perilla (un
regulador de presión en un sistema neumático o un potenciómetro en un sistema
electrónico analógico). En la posición “automático” la salida del controlador va
directamente a la válvula.
Cada controlador debe proporcionar lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Indicar el valor de la variable controlada: la señal del transmisor
Indicar el valor de la señal siendo enviada a la válvula: la salida del controlador
Indicar el valor de referencia (“setpoint”)
Tener un “switch” manual / automático.
Tener una perilla para fijar el setpoint cuando el controlador está en automático.
Tener una perilla para fijar la señal a la válvula cuando el controlador está en
manual.
Todos los controladores desde hace 40 años para los controladores neumáticos o
los controladores modernos basados en microprocesador, tienen estas funciones.
3.2 SENSORES
Se han desarrollado diferentes instrumentos para la medición en línea de
diferentes propiedades. Las variables más importantes son caudal, temperatura, presión
y nivel. Dispositivos para medición de otras propiedades tal como pH, densidad,
viscosidad, absorción ultravioleta e infrarroja, e índice de refracción están disponibles.
La medición directa de la composición química mediante un cromatógrafo de gas en
línea es extensamente usada. Esto conlleva interesantes problemas de control debido a
su operación intermitente (una señal de composición es generada cada cierto tiempo).
Estos casos veremos en el estudio de variables discretas.
Es deseable que las variables del proceso a ser monitoreadas sean medidas
directamente; muchas veces, sin embargo, esto es impracticable y algunas variables
dependientes deben medirse en forma indirecta. Por ejemplo, en el control de una
columna de destilación es deseable el análisis de los productos en la corriente del tope
en la misma línea de proceso, pero esto es difícil y costoso llevarlo a cabo, de tal
manera que frecuentemente es monitoreada la temperatura como una indicación de la
composición. Los instrumentos de temperatura pueden formar parte de un lazo de
control de la composición de los productos de cabeza con el reflujo, verificado
frecuentemente por los análisis de laboratorio.
35
3.2.1
Medidores de temperatura
La temperatura es una de las principales variables que afectan el curso de los
procesos químicos, por tal razón esta variable debe ser medida con la mayor exactitud
posible para poder controlarla adecuadamente.
Dentro de los principales instrumentos que se utilizan para la medición de
temperatura se tiene:
Termocuplas. Se basan en el hecho de que una corriente del orden de milivoltios fluye
en un circuito continuo de dos alambres metálicos diferentes. La señal varía con la
temperatura de la “juntura caliente”. Las termocuplas de hierro-constantan son
comúnmente usadas en el rango de temperatura de 0 a 1300 oF.
Termómetros de resistencia. Se basan en el hecho de que los metales cambian su
resistencia eléctrica cuando se someten a un cambio de temperaturas.
Termómetros llenos. Los Termómetros de sistema lleno se diseñan para proporcionar
una indicación de la temperatura a cierta distancia del punto de medición. El Elemento
sensible o medición (bulbo o ampolla) tiene un gas o un liquido que cambia de
volumen, presión o presión de vapor con la temperatura. Este cambio se comunica por
medio de un tubo capilar al Tubo de Bourdon u otro dispositivo sensible a la presión y
el volumen.
Estos dispositivos debido a su simplicidad se utilizan con frecuencia en los
procesos industriales.
Termómetros bimetálicos. El Bimetal termostático se define como un material
compuesto que consta de tiras de dos ó más metales unidos entre sí. Debido a los
diferentes índices de expansión de sus componentes, Esta composición tiende a cambiar
de curvatura cuando se somete a una variación de temperatura.
Los Termostatos Bimetálicos se destinan a utilizarse a temperaturas que oscilan
entre 1000º F hasta –300º F e incluso a niveles inferiores.
Termómetros de liquido en capilares de vidrio. Las tres formas de Termómetros de
liquido en capilares de vidrio son:
1. Los Totalmente hechos de vidrio (de cuello grabado o de escala cerrada).
2. De Tubo y Escala.
3. Industriales.
Estos termómetros no se utilizan en sistemas de control automático pero si se
utilizan profundamente como dispositivo de medición para el control manual y en
laboratorios de control.
Pirómetros. “Pirometría de Radiación”, es la determinación de la temperatura de un
objeto por medio de la cantidad y la naturaleza de la energía que irradia.
Estos dispositivos se clasifican en:
36
1. Pirómetros ópticos; basados en la brillantez de un objeto caliente.
2. Pirómetros de Radiación; miden el índice de emisión de energía por unidad de
área
La respuesta dinámica de la mayoría de sensores es usualmente mucho más rápida
que la dinámica del proceso mismo. Los sensores de temperatura son una notable y a
veces problemática excepción. La constante de tiempo de una termocupla y un
termómetro lleno pueden ser 30 segundos o más. Si el termómetro esta revestido con
polimero u otro material, el tiempo de respuesta puede ser varios minutos. Esto puede
significar degradación en la operación de control.
3.2.2
Medidores de presión
Los dispositivos para medir presiones en procesos se dividen en tres grupos:
1. Los que se basan en una medición de la altura de una columna liquida. En estos
dispositivos, la presión que se mide se compara con la presión ejercida por una
columna de líquido. Casi todos los dispositivos de columna líquida para medir
presiones se llaman comúnmente Manómetros. Según sea la gama de presión, los
líquidos más frecuentemente usados son el agua y el mercurio.
2. Los que se basan en la medición de la distorsión de una cámara de presión elástica.
Son aquellos en que las presiones medidas deforman algún material elástico, y la
magnitud de dicha deformación es, más o menos, proporcional a la presión aplicada.
Estos dispositivos se clasifican en tres tipos: El Tubo de Bourdon, los fuelles y el
diafragma.
3. Los dispositivos, sensores de tipo eléctrico; denominados también extensores,
cuando un alambre u otro conductor eléctrico se extiende elásticamente, su longitud
aumenta y su diámetro disminuye. Estos dos cambios dimensiónales generan un
aumento en la resistencia eléctrica del conductor.
3.2.3
Medidores de flujo
El flujo, definido como volumen por unida de tiempo en condiciones especificas
de temperatura y presión, se mide usualmente con medidores de desplazamiento
positivo o de velocidad.
Las placas de orificio son de lejos el tipo más común de sensor de flujo. La caída
de presión a través del orificio varía con el cuadrado del flujo en flujo turbulento, así
midiendo la presión diferencial da una señal que puede ser relacionada a la razón de
flujo. Normalmente las placas de orificio son diseñadas para dar caídas presión en el
rango de 20 a 200 pulgadas de agua. Los medidores de turbina también son
extensamente usados. Estos son más caros pero dan mediciones de flujo más precisas.
Otros tipos de medidores de flujo incluyen medidores sonicos de flujo, medidores de
flujo magnéticos, rotametros, vertederos y tubos de pitot. En sistemas de reciclo de gas
donde la caída de presión a través del medidor de flujo puede conllevar una cantidad
37
significante de trabajo para el compresor, se usan medidores de flujo de baja caída de
presión, siendo aceptables los dos últimos mencionados anteriormente.
Cuando un sensor de flujo es instalado para llevar la medición exacta de la razón
absoluta de flujo, deben tomarse muchas precauciones, tal como proporcionar una larga
sección de tubería recta antes de la placa de orificio. Para propósitos de control, sin
embargo, uno puede no necesitar el conocimiento del valor absoluto del flujo sino
solamente los cambios en la razón de flujo. Entonces caídas de presión sobre piezas de
equipo, alrededor de codos u otras secciones de tubería puede algunas veces ser usadas
para conseguir una aproximación a los cambios en el flujo.
Las señales a partir de las mediciones de flujo son usualmente ruidosas (fluctuante
alrededor del valor actual) debido al flujo turbulento. Estas señales a menudo necesitan
ser filtradas para aislar la señal enviada al controlador
3.2.4
Mediciones de nivel
La medición del nivel se puede definir como la determinación de la ubicación de
la entrecara entre dos fluidos, separables por gravedad, con respecto a un plano de
referencia fija. La medición de nivel más común es la de la entrecara entre un liquido y
un gas.
Otras mediciones de nivel que se encuentran con suma frecuencia son la entrecara
de dos líquidos, de sólidos granulares o fluidificados y un gas, y entre un gas, y entre un
liquido y su vapor.
Las bases más frecuentemente usadas para clasificar los dispositivos de nivel son:
Dispositivos visuales. Comprende dispositivos como: la varilla de inmersión, la escala
de plomada y cinta, el manómetro abierto y el vidrio de nivel o columna indicadora.
Vidrio de nivel. Es un dispositivo visual para medir niveles en procesos, el cual puede
considerarse como un manómetro donde el nivel de fluido del proceso, dentro del
mismo, busca la misma elevación que en el depósito.
El vidrio de nivel se instala casi siempre con válvulas que permiten que este medidor
quede aislado del depósito y se pueda extraer sin que éste pierda presión.
Dispositivos activados con flotador. Se caracterizan por un dispositivo flotante que
queda suspendido en la entrecara de los dos fluidos. Puesto que por lo común se
requiere una fuerza sustancial para mover el mecanismo indicador, éstos aparatos se
limitan casi siempre a las entrecaras líquido - gas. Mediante un pesado correcto del
flotador, se puede utilizar para medir entrecaras de líquido – líquido.
Dispositivos de desplazador. Los dispositivos activados con un desplazador emplean la
fuerza de flotación ejercida sobre un desplazador parcialmente sumergido, como medida
de la ubicación de la entrecara a lo largo del eje del flotador. El movimiento vertical de
éste se restringe casi siempre por medio de un miembro elástico, cuyo movimiento o
distorsión es directamente proporcional a la fuerza de flotabilidad y, por ende, al nivel
de la entrecara.
38
Dispositivos de carga. Hay una extensa variedad de dispositivos que emplean la carga
hidrostática como medición del nivel. Como sucede en los casos del dispositivo de
desplazador, la medición exacta del nivel por medio de una carga hidrostática exige el
conocimiento preciso de las densidades de ambos fluidos, el de la fase pesada y el de la
fase ligera. La mayoría de esta clase de sistema utilizan dispositivo de medición de
presión estándar o presión diferencial
3.2.5
Medición de propiedades físicas
Estas mediciones se consideran a veces como analizadores de composición,
porque, para mezclas binarias o seudo binarias, la composición se difiere con frecuencia
de la medición de las propiedades físicas.
Densidad y densidad relativa. En el caso de mezclas binarias o seudo binarias de
líquidos o gases, o de una solución de un sólido o gas contenidos en un disolvente, la
densidad es una función de la composición a ciertas temperaturas y presiones. En el
caso de soluciones no ideales, la calibración empírica dará la relación entre la densidad
y la composición.
Viscosidad y consistencia. Los Viscosímetros continuos miden por lo común ya sea la
resistencia al flujo o el arrastre o par producido por el movimiento de un elemento a
través del fluido.
Cada instalación se aplica normalmente en una gama angosta de viscosidades, y la
calibración empírica en dicha gama permite utilizar fluidos tanto newtonianos como no
newtonianos.
Analizadores del índice de refracción. Cuando la luz se mueve a través de un medio
(por ejemplo aire o vidrio), para pasar a otro (por ejemplo un líquido), sufre un cambio
de velocidad, y si el ángulo de incidencia no es de 90º sufre también un cambio de
dirección. Para una entrecara, un ángulo, una temperatura y una longitud de onda de luz
particulares, la cantidad de desviación por refracción dependerá de la composición del
liquido
Conductividad térmica. Todos los gases y los vapores tienen la capacidad de conducir
calor desde una fuente calorífica. A una temperatura y un ambiente físico dados, las
pérdidas de calor por radiación y convección se estabilizaran y la temperatura de la
fuente calorífica dependerá primordialmente de la conductividad térmica y, por ende, de
la composición de los gases circundantes.
Analizadores de punto de ebullición. Los analizadores de proceso para obtener
diversos puntos de ebullición (inicial, intermedio y final), de corrientes de
hidrocarburos, son bastante conocidos. Estos analizadores son procesos de destilación
en miniatura en los que la temperatura de la muestra se mide al efectuarse la destilación.
Los diferentes diseños se deben a distintos métodos que se emplean para determinar
la cantidad de muestra destilada tomando en cuenta de sí se trata de una medición en
lotes o continua.
39
Analizadores de punto de inflamación. En este tipo de analizadores la muestra del
liquido se calienta, su vapor se mezcla con una corriente controlada de aire y se
alimenta a una cámara de chispa. Al aumentar la temperatura de la muestra líquida, y
con ello, la concentración de vapor, la mezcla se enciende finalmente por medio de una
chispa. La temperatura de la muestra en este punto se registra entonces como punto de
inflamación.
Medición de la humedad. Las mediciones de la humedad se dividen en dos categorías
generales: los métodos de humedad absoluta y los de humedad relativa. Los primeros
son aquellos que proporcionan una salida primaria que se pueden calibrar directamente
en termino de la temperatura del punto de condensación, la concentración molar o la
concentración por peso. La pérdida de peso durante el calentamiento es el método más
conocido. Los métodos más especializados analizados aparecen por orden aproximado
respecto de lo directamente que se efectúe la determinación de la humedad. Los
métodos de humedad relativa son los que proporcionan una salida primaria que se
calibra de un modo más directo utilizando el porcentaje de saturación de la humedad.
3.3
TRANSMISORES
El transmisor es la interfase entre el proceso y el sistema de control. El trabajo de
un transmisor es convertir la señal del sensor (milivoltios, movimiento mecánico,
presión diferencial, etc.) en una señal de control (por ejemplo 4 a 20 mA).
Considerar el transmisor de presión mostrado en la Fig. 3.3a. asumamos que este
particular transmisor es fijado para que la señal de corriente de salida varíe desde 4
hasta 20 ma. a medida que la presión en el tanque de proceso varia de 100 a 1000 kPa
manometricos. Esto es llamado el rango del transmisor. El intervalo del transmisor es
900 kPa. El cero del transmisor es 100 kPa. El transmisor tiene dos perillas ajustables
para modificar el rango y/o en cero. Esto es, si establecemos el cero en 200 kPa
manometricos, el rango del transmisor deberá ahora ser 200 a 1100 kPa manometricos y
siu rango permanece en 900 kPa.
La respuesta dinámica de los transmisores más comunes es usualmente mucho
más rápida que el proceso y las válvulas de control. Consecuentemente, podemos
normalmente considerar al transmisor como una simple ganancia (un cambio en escalón
en la entrada al transmisor da un cambio instantáneo de escalón en la salida). La
ganancia del transmisor de temperatura considerado anteriormente es:
20 mA − 4 mA
16 mA
=
1000 kPa − 100 kPa 900 kPa
(3.1)
Por lo tanto el transmisor es solo un “transductor” que convierte las variables del
proceso a una señal de control equivalente.
La Fig. 3.3b muestra un transmisor de temperatura el cual acepta la señal de
entrada de una termocupla y se ha fijado de tal manera que su señal de corriente de
salida varia desde 4 hasta 20 mA a medida que la temperatura del proceso varia desde
50 hasta 250 oF. El rango de temperatura de la temperatura transmitida es 50 a 250 oF,
su rango es 200 oF, y su cero es 50 oF. La ganancia del transmisor de temperatura es:
40
Conexión con el proceso
Transmisor de
presión rango
100 – 1000 kPa
Tubería
Señal de salida
4 – 20 mA
Lado de
baja
presión
Placas de
orificio
(a) Presión
Transmisor
de ΔP
Alambres de la termocupla
Transmisor de
temperatura rango
100 – 1000 kPa
Lado de
alta
presión
4 – 20 mA
señal de
salida
Termoc.
Señal de salida
4 – 20 mA
(b) Temperatura
(c) Placa de orificio
Fig. 3.3 Transmisores típicos. (a) presión; (b) temperatura; (c) flujo (placa de orificio)
20 mA − 4 mA
16 mA
=
o
o
250 F − 50 F 200 o F
(3.2)
Como se ha notado anteriormente, la dinámica de los sensores termómetrotermocupla con frecuencia no despreciables y deben ser incluidas en los análisis
dinámico.
La Fig. 3.3c muestra un transmisor de ΔP es usado con una placa de orificio
como un transmisor de flujo. La caída de presión sobre la placa de orificio (el sensor) es
convertida a una señal de control. Suponga que la placa de orificio es dimensionada
para dar una caída de presión de 100 pulg. deH2O a un flujo de proceso a razón de 2000
kg/k. El transmisor de ΔP convierte la pulg. de H2O en miliamperios, y su ganancia es
16 mA/100 pulg. H2O. Sin embargo, nosotros realmente queremos la razón de flujo, no
la caída de presión en la placa de orificio. Como ΔP es proporcional al cuadrado de la
razón de flujo, hay una relación no lineal entre la razón de flujo F y la señal de salida
del transmisor:
⎛ F ⎞
PM = 4 + 16⎜
⎟
⎝ 2000 ⎠
2
(3.3)
donde PM = señal de salida del transmisor, mA
F = razón de flujo en kg/h
41
Disminuyendo el flujo por un factor de dos disminuye la señal de ΔP por un factor
de 4. para análisis de sistemas usualmente linealizamos la Ec. (3.3) alrededor del valor
de estado estacionario de la razón de flujo, Fs.
PM =
32 Fs
(Fmax )2
F
(3.4)
donde PM y F = perturbaciones para el estado estacionario
Fs = razón de flujo al estado estacionario, kg/h
Fmax = razón de flujo máximo a escala completa = 2000 kg/h en este
ejemplo
3.4
VÁLVULAS DE CONTROL
La interfase entre el proceso y el otro extremo del lazo de control es realizada por
el elemento final de control. En una gran mayoría de procesos de ingeniería química el
elemento final de control es una válvula automática la cual regula el flujo de una
corriente manipulada. La mayoría de válvulas de control consisten de un tapón al final
de un vástago que abre o cierra un orificio . como muestra la Fig. 3.5, el vástago esta
adjunto a un diafragma que conducido por el cambio de presión de aire sobre el
diafragma. La fuerza de presión de aire es opuesta a un resorte. Existen varios de las
válvulas de control: su acción, características, y tamaño.
3.4.1
Acción de la válvula
Las válvulas son diseñadas ya sea para que se cierren o se abran completamente al
anular la presión o voltaje. Cual acción es apropiada depende del efecto de la variable
manipulada sobre el proceso. Por ejemplo, si la válvula está manipulando vapor o
combustible, se necesitará que el flujo se corte en una situación de emergencia, es decir
se necesitará que la válvula se cierre. Si la válvula está manipulando agua de
enfriamiento a un reactor, se necesitará que el flujo vaya a un máximo en una situación
de emergencia, es decir se necesitará que la válvula se abra completamente.
La válvula mostrada en la Fig. 3.4 es cerrada cuando el vástago está al tope de su
deslazamiento. Como el incremento de la presión de aire cierra la válvula, esta válvula
es una válvula aire-para-cerrar (“air-to-close”) (AC). Si la señal de presión de aire cae a
cero debido a alguna falla (por ejemplo, suponer que la línea de suministro de aire a los
instrumentos se corta), ésta válvula quedará completamente abierta ya que el resorte
mantendrá la válvula abierta. Las válvulas pueden ser hechas de acción aire-para-abrir
(“air-to-open”) (AO) mediante la acción inversa del tapón para cerrar la abertura en la
posición arriba o por la colocación inversa del resorte y presión de aire (colocar la
presión de aire bajo el diafragma).
Por lo tanto nosotros usaremos ya sea válvulas AO o AC, y la decisión de cual se
debe usar depende de la necesidad del proceso.
42
Fig. 3.4 Típica válvula de control operada con aire
3.4.2
Tamaño
El tamaño de las válvulas de control es una de los aspectos más controversiales en
el control de procesos. La velocidad de flujo a través de una válvula de control depende
del tamaño de la válvula, la caída de presión a través de la válvula, la posición del
vástago y las propiedades del fluido. La ecuación de diseño para líquidos (sin flasheo)
es:
F = Cv f ( x)
ΔPv
sp gr
(3.5)
donde F =
Cv =
x =
f(x) =
velocidad de flujo, gpm
coeficiente de tamaño de válvula
posición del vástago de la válvula (fracción de completamente abierta)
fracción del área total de flujo de la válvula. (La curva de f(x) versus x es
llamada la “característica inherente” de la válvula. Nosotros discutiremos
esto posteriormente.
sp gr = gravedad específica (relativa al agua)
ΔPv = caída de presión a través de la válvula, psi
Ecuaciones más detalladas son disponibles en publicaciones de fabricantes de
válvulas de control.
El dimensionamiento de las válvulas de control es un buen ejemplo del trabajo de
ingeniería que debe hacerse en el diseño de una planta. Considerar el proceso mostrado
43
en la Fig. 3.5. suponer que la velocidad de flujo a condiciones de diseño es 100 gpm, la
presión en el tanque de alimentación es atmosférica, la caída de presión a través del
intercambiador (ΔPH) a la velocidad de flujo de diseño es 40 psi, y la presión en el
tanque final, P2, es 150 psig. Asumamos que tendremos una válvula de control
semiabierta (f(x) = 0.5) al flujo de diseño. La gravedad específica del liquido es 1.
El trabajo del ingeniero de procesos es dimensionar la bomba centrifuga y la
válvula de control. A mayor tamaño de la válvula de control, menor caída de presión.
Esto permite usar una bomba con menor columna y disminuir los costos de energía
debido al consumo de potencia por el motor que mueve a la bomba. Así, el ingeniero
que conoce poco de válvulas de control, querrá diseñar un sistema que tenga una baja
caída de presión a través de la válvula de control. Para un punto de vista del estado
estacionario, esto tiene sentido perfecto.
Po
ΔPv
ΔPH
x
P1
Bomba
P2
Intercambiador
de calor
Válvula de
control
Fig. 3.5 Sistema de proceso
Sin embargo, el ingeniero de procesos va a consultar con el ingeniero de control, y
el ingeniero de control quiere tomar una parte de la caída de presión a través de la
válvula. Por qué? Básicamente esto es una cuestión de “rangeabilidad”: a más grande
caída de presión, los cambios que pueden hacerse en la velocidad de flujo son más
grandes (en ambas direcciones: aumentando y disminuyendo). Examinemos dos diseños
diferentes para mostrar porque esto es deseable desde un punto de vista dinámico para
tomar mayor caída de presión a través de la válvula de control.
En el caso 1 dimensionaremos la válvula para dar una caída de presión de 20 psi al
flujo de diseño cuando está semiabierta. Esto conllevará a que la bomba deberá producir
una columna diferencial de 150 + 40 + 20 = 210 psi a condiciones de diseño. En el caso
2 dimensionaremos la válvula para dar una caída de presión de 80 psi a condiciones de
diseño. Ahora será necesaria una bomba de columna grande : 150 + 40 + 80 = 270 psi.
Usando la Ec. (3.5), pueden dimensionarse ambas válvulas de control.
Caso 1:
F = Cv f ( x)
ΔPv
sp gr
100 = C v1 (0.5) 20
⇒ Cv1 = 44.72
cuando la caída de presión de diseño de la válvula es 20 psi
44
Caso 2:
⇒ Cv1 = 22.36
cuando la caída de presión de diseño de la válvula es 80 psi
100 = C v 2 ( 0 . 5 ) 80
Naturalmente la válvula de control en el caso 2 es más pequeña que en el caso1.
Ahora veamos que pasa en los dos casos cuando nosotros abrimos la válvula de
control completamente: f(x) = 1. Ciertamente, la velocidad de flujo se incrementará, pero
que tanto? Desde un punto de vista de control, podemos querer tener la posibilidad de
incrementar el flujo substancialmente. Llamemos este flujo desconocido como Fmax.
El aumento de la velocidad de flujo incrementará la caída de presión en el
intercambiador como el cuadrado de la velocidad de flujo.
⎛F
ΔPH = 40⎜⎜ max
⎝ Fdes
2
⎞
⎛F ⎞
⎟⎟ = 40⎜ max ⎟
⎝ 100 ⎠
⎠
2
(3.6)
la velocidad de flujo alta puede también reducir la columna que la bomba
centrifuga produce si estamos fuera de la curva de la bomba donde la columna decae
rápidamente con el rendimiento específico. Por simplicidad, asumiremos que la curva
de la bomba es atenuada. Esto permite que la caída de presión total a través del
intercambiador y la válvula de control es constante. Entonces, la caída de presión a en la
válvula de control disminuye mientras que la caída de presión en el intercambiador se
incrementa.
ΔPv = ΔPTotal – ΔPH
(3.7)
Colocando los números para los dos casos se obtiene los resultados siguientes.
Caso 1 (20 psi de diseño):
ΔPTotal = 60 psi
Fmax
Cv1 = 44.72
⎛F ⎞
= (44.72)(1.0) 60 − 40⎜ max ⎟
⎝ 100 ⎠
2
(3.8)
Esta ecuación puede ser resuelta para Fmax: 115 gpm. Así, el máximo flujo a través
de la válvula es solamente 15 por ciento más que el diseño si se usa una caída de presión
en la válvula de 20 psig a la velocidad de flujo de diseño.
ΔPTotal = 120 psi
Fmax
Cv2 = 22.36
⎛F ⎞
= (22.36)(1.0) 120 − 40⎜ max ⎟
⎝ 100 ⎠
2
(3.9)
Resolviendo para Fmax da 141 gpm. Así, el máximo flujo a través de esta válvula,
la cual ha sido diseñada para una caída de presión grande puede producir un mayor
incremento en el flujo a su capacidad máxima.
45
Ahora veamos que pasa cuando queremos reducir el flujo. Las válvulas de control
no trabajan muy bien cuando están abiertas menos del 10 por ciento. Estas pueden
hacerse mecánicamente inestables cerrándose completamente y luego saltar a
parcialmente abiertas. Las fluctuaciones en el flujo resultantes son indeseables.
Entonces, si queremos diseñar una válvula para una abertura mínima de 10 por ciento,
veamos cual será el flujo mínimo en los dos casos considerados anteriormente cuando
las dos válvulas son llevadas a f(x) = 0.1.
En este caso la menor velocidad de flujo dará una disminución en la caída de
presión en el intercambiador de calor y por lo tanto un incremento en la caída de presión
en la válvula de control.
⎛F ⎞
Fmin = (0.1)(44.72) 60 − 40⎜ min ⎟
⎝ 100 ⎠
2
(3.10)
Resolviendo da Fmín: 33.3 gpm.
Fmin
⎛F ⎞
= (0.1)(22.36) 120 − 40⎜ min ⎟
⎝ 100 ⎠
2
(3.11)
Este Fmín es: 24.2 gpm.
Estos resultados muestran que la velocidad mínima de flujo es menor para la
válvula que fue diseñada para caída de presión grande. Así, no solamente podemos
incrementar el flujo, también podemos reducirlo. Entonces el retorno (la razón de Fmax
a Fmin) de la válvula de ΔP grande es mayor.
Razón de retorno para válvula de 20 psi de diseño = 115/33.3 = 3.46
Razón de retorno para válvula de 80 psi de diseño = 141/24.2 = 5.83
Nosotros hemos demostrado porque el ingeniero de control quiere más caída de
presión en la válvula.
Así como resolvemos este conflicto entre el ingeniero de procesos queriendo baja
caída de presión y el ingeniero de control queriendo caída de presión grande?
Una solución heurística comúnmente usada recomienda que la caída de presión en
la válvula de control a condiciones de diseño deberá ser 50 por ciento del total de caída
de presión del sistema. Aunque ampliamente usó, este procedimiento tiene poco sentido
para mí. Un procedimiento de diseño más lógico es delineado a continuación.
En algunas situaciones es muy importante ser posible incrementar la velocidad de
flujo arriba de las condiciones de diseño (por ejemplo, el agua de enfriamiento a un
reactor exotérmico puede tener que duplicarse o triplicarse para manipular los trastornos
dinámicos). En otros casos esto no es importante (por ejemplo, el flujo de alimentación
a una unidad). Por consiguiente es lógico basar el diseño de la válvula de control y la
bomba para tener un proceso que pueda lograr tanto las condiciones de flujo máximo y
46
mínimo. Las condiciones de flujo de diseño son usadas solamente para conseguir la
caída de presión en el intercambiador de calor (o la parte fija de la resistencia del
proceso).
El diseñista debe especificar la velocidad máxima de flujo que es requerida bajo
estas condiciones y el flujo mínimo que es requerido. Entonces las ecuaciones para el
flujo de la válvula para las condiciones máximas y mínimas dan dos ecuaciones y dos
incógnitas: la columna de presión de la bomba centrifuga ΔPP y el tamaño de la válvula
de control Cv.
Ejemplo 3.1
Suponer que queremos diseñar una válvula de control para suministrar agua a un
serpentín de enfriamiento en un reactor químico exotérmico. La velocidad normal de
flujo es 50 gpm. Para prevenir inestabilidades en el reactor, la válvula debe ser capaz de
proporcionar tres veces la velocidad de flujo de diseño. Debido a que el pronostico de
las ventas es optimista, una velocidad mínima de flujo de 50 por ciento de la velocidad
de flujo de diseño debe ser alcanzada. La caída de presión a través del serpentín de
enfriamiento es 10 psi a la velocidad de flujo de diseño de 50 gpm. El agua de
enfriamiento debe ser bombeada de un tanque abierto a la atmósfera. El agua saliendo
del serpentín ingresa a una tubería en la cual la presión es constante igual a 2 psig.
Dimensionar la válvula y la bomba.
La caída de presión a través del serpentín depende de la velocidad de flujo F:
⎛F⎞
ΔPc = 10⎜ ⎟
⎝ 50 ⎠
2
(3.12)
La caída de presión a través de la válvula de control es la caída de presión total
disponible ( la cual nosotros no conocemos todavía) menos la caída de presión en el
serpentín.
⎛F⎞
ΔPc = ΔPT − 10⎜ ⎟
⎝ 50 ⎠
2
(3.13)
Ahora escribimos una ecuación para las condiciones de flujo máximo y una para
el mínimo.
A condiciones de flujo máximo:
⎛ 150 ⎞
150 =C v (1.0) ΔPT − 10⎜
⎟
⎝ 50 ⎠
2
(3.14)
A condiciones de flujo máximo:
⎛ 25 ⎞
25 =C v (0.1) ΔPT − 10⎜ ⎟
⎝ 50 ⎠
2
(3.15)
47
Resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones se tiene el tamaño de la válvula
de control (Cv = 21.3) y la columna de la bomba (ΔPp = ΔPT +2 = 139.2 +2 = 141.2 psi).
A las condiciones de diseño (50 gpm), la fracción abierta de la válvula (fdes) estará
dada por:
50 = 21.3 f des 139.2 − 10
⇒ fdes = 0.206
(3.16)
El procedimiento de dimensionamiento de válvula de control/bomba anterior no
está sin sus limitaciones. Las dos ecuaciones de diseño para las condiciones máximas y
mínimas en términos generales son:
Fmax = C v
⎛F
ΔPT − (ΔPH )dis ⎜⎜ max
⎝ Fdis
Fmin = f min C v
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎛F
ΔPT − (ΔPH )dis ⎜⎜ min
⎝ Fdis
(3.17)
⎞
⎟⎟
⎠
2
(3.18)
donde ΔPT = caída total de presión a través del sistema a caudal de diseño
(ΔPH)dis = caída de presión en resistencias fijas en el sistema a caudal de diseño
fmin = apertura mínima de la válvula
Fdis = velocidad de flujo de diseño
Una curva plana de la bomba es asumida en la derivación anterior. Resolviendo
estas dos ecuaciones para ΔPT se tiene:
ΔPT
(ΔPH )dis
⎧⎪ (Fmax )2 − (Fmin )2 ⎫⎪
⎨
⎬
⎪⎩
⎪⎭
(Fdis )2
=
⎛f F ⎞
1 − ⎜⎜ min max ⎟⎟
⎝ Fmin ⎠
(3.19)
Es claro a partir de la Ec. (3.19) que a medida que el segundo término en el
denominador se aproxima a la unidad, la caída de presión requerida tiende al infinito!.
Hay un límite para la reangeabilidad realizable de un sistema.
Definiendo este término como índice de rangeabilidad del sistema, ℜ.
ℜ≡
f min Fmax
Fmin
(3.20)
Los parámetros en el lado derecho de la Ec. (3.20) deben ser seleccionados de tal
manera que ℜ sea menor que la unidad.
Esto puede ser ilustrado, usando los números del Ejemplo 7.1. Si la velocidad
mínima de flujo es reducida de 50 por ciento de diseño (donde ΔPT fue 139.2 psi) a 40
por ciento, la nueva ΔPT será 202 psi. Si Fmin es reducido adicionalmente a 35 por ciento
del de diseño, ΔPT es 335 psi. En el límite a medida que Fmin va a 30 por ciento del de
diseño, el índice de rangeabilidad es
48
ℜ≡
f min Fmax (0.1)(150 )
=
=1
Fmin
15
y la caída de presión total disponible tiende al infinito.
El valor de fmin puede ser reducido debajo de 0.1 si se requiere una razón grande
de rechazo. Esto se consigue usando dos válvulas de control en paralelo, una grande y
una pequeña, en un rango diferente de configuraciones. La válvula pequeña se abre
primero y luego se abre la válvula grande a medida que la señal a las dos válvulas
cambia sobre su rango total.
3.4.3
Características
Mediante el cambio de la forma del tapón y el asiento en la válvula, pueden
obtenerse diferentes relaciones entre la posición del vástago y el área de flujo. Las
características comunes de flujo usadas son válvulas lineales y válvulas de porcentajes
iguales, mostradas en la Fig. 3.6. el término “porcentaje igual” se debe a la pendiente de
la curva f(x) siendo una fracción constante de f.
Si se asume caída de presión constante en la válvula y si la posición del vástago
está 50 por ciento abierto, una válvula lineal da 50 por ciento del máximo flujo y una
válvula de porcentajes iguales da solamente 15 por ciento del máximo flujo. Las
ecuaciones para estas válvulas son:
Lineal:
Característica de la válvula f(x)
Porcentajes iguales:
f(x) = x
(3.21)
f(x) = α x – 1
(3.22)
1
Lineal
0.75
0.5
Porcentajes
iguales
(α = 50)
0.25
0
0
0.25
0.5
0.75
1
Posición del vástago x (posición del máximo)
3 psig ← válvula aire para abrir → 15 psig
15 psig ← válvula aire para cerrar → 3 psig
Fig. 3.6 Características de la válvula de control
49
donde α es una constante (20 a 50) que depende del diseño de la válvula. En la Figura
es usada una válvula de 50.
La razón para usar válvulas de diferentes características es mantener la estabilidad
del lazo de control medianamente constante sobre un amplio rango de flujos. Las
válvulas lineales son usadas por ejemplo, cuando la caída de presión en la válvula de
control es medianamente constante y existe una relación lineal entre la variable
controlada y la velocidad de flujo de la variable manipulada. Considerar el flujo de
vapor desde un suministro a presión constante. El vapor fluye por el lado del casco de
un intercambiador de calor. Una corriente liquida de proceso fluye por el lado de los
tubos y es calentada por el flujo de vapor. Existe una relación lineal entre la temperatura
de salida de la corriente de proceso y el flujo de vapor (con velocidad del fluido de
proceso y temperatura de entrada constantes) ya que cada libra de vapor proporciona
cierta cantidad de calor.
Las válvulas de porcentajes iguales son a menudo usadas cuando la caída de
presión disponible en la válvula de control no es constante. Esto ocurre cuando hay
otras piezas de equipo en el sistema que actúan como resistencias fijas. La caída de
presión en estas partes del proceso varían como el cuadrado de la velocidad de flujo,
como se ha visto en las ejemplos discutiendo el tamaño de las válvulas de control.
A velocidades de flujo bajas, la mayor cantidad de la caída de presión es tomada
en la válvula de control, la caída de presión sobre el resto de equipos es baja. A altas
velocidades de flujo, la caída de presión en la válvula de control es baja. En esta
situación la válvula de porcentajes iguales tiende a dar una relación más lineal entre el
flujo y la posición de la válvula de control que la lineal.
En válvulas convencionales, la señal de presión de aire hacia el diafragma
proviene de un transductor I/P en sistemas electrónicos analógicos. “posicionadores de
válvulas” son a menudo usados para mejorar el control, particularmente para válvulas
grandes y con fluidos suciós los cuales ensucian la válvula. Una válvula sucia puede
causar que el lazo de control oscile; la señal de salida del controlador cambia pero la
posición de la válvula no lo hace hasta que la presión sea grande para mover la válvula.
Entonces, desde luego, la válvula se mueve muy lejos y el controlador debe revertir la
dirección de cambio de su salida, y lo mismo ocurre en la dirección contraria. Así, el
lazo de control se hace fluctuante alrededor del setpoint aún sin otras perturbaciones.
Los posicionadores de válvulas son pequeños controladores de retroalimentación
que sensan la posición actual del vástago, comparan esta con la posición deseada dada
por la señal del controlador y ajustan la presión de aire sobre el diafragma para mover el
vástago a su posición correcta. Los posicionadores de válvulas también son usados para
abrir o cerrar las válvulas en varios rangos.
Las válvulas de control son usualmente más rápidas en comparación con el
proceso. Con válvulas grandes (mayores a 4 pulgadas) pueden tardar 20 a 40 segundos
para que la válvula se mueva completamente una carrera.
3.5
50
CONTROLADORES
3.5.1 Controladores analógicos y digitales
Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la
entrada de referencia (valor deseado), determina el error, y produce una señal de control
que reducirá el error a cero, o a un valor muy pequeño. La forma como el controlador
automático produce la señal de control, se denomina acción de control.
Los controladores analógicos usan señales eléctricas o neumáticas continuas. Los
controladores ven continuamente las señales del transmisor, y las válvulas de control
son cambiadas continuamente.
Los controladores digitales por computadora son discontinuos en su operación,
viendo un número de lazos secuencialmente. Cada lazo individual es visto solo en cada
periodo de muestreo. Como muestra la Fig. (2.3), las señales analógicas desde los
transmisores deben pasar a través de convertidores analógico-digital (A/D) para que
llegue la información a la computadora en una forma que pueda usarla. Después la
computadora ejecuta los cálculos (algoritmo de control) y envía una señal la cual debe
pasar a través de un convertidos digital-a-analógico (D/A) y un “retenedor” que envía
una señal continua a la válvula de control. Nosotros estudiaremos este sistema muestreo
de datos con detalle en el capítulo 15
Existen tres tipos básicos de controladores que son comúnmente usados para
control de retroalimentación continuo. Los detalles de la construcción del equipo y la
programación del dispositivo digital varían de un fabricante a otro, pero sus funciones
básicas son esencialmente las mismas.
Acción proporcional. La acción proporcional en un controlador implica que su señal
de salida, U, cambia en proporción directa a la señal de error, E, la cual es la diferencia
entre el setpoint, R, y la señal medida del proceso, Ym, proveniente del transmisor.
U = Us ± Kc(R – Ym)
(3.23)
Donde:
U = señal de salida del controlador, presión para controladores neumáticos y mA para
controladores electrónicos.
Us = constante y es el valor de la señal de salida del controlador cuando no hay error.
Como generalmente el proceso debe operar al valor de diseño y en el estado
estacionario (U = Us).
Kc = es denominada ganancia del controlador. A mayor valor de la ganancia, mayor
cambio en la señal de salida del controlador para un error dado. Por ejemplo, si la
ganancia es 1, un error de 10 por ciento de la escala (1.6 mA en un sistema
analógico electrónico de 4 a 20 mA) cambiará la salida del controlador en 10 por
ciento de la escala.
Muchos fabricantes de instrumentos usan un término alternativo, banda
proporcional (BP) en lugar de ganancia. Los dos son relacionados mediante:
51
BP =
100
Kc
(3.24)
Mientras más alta o “ancha” la banda proporcional, la ganancia será más baja y
viceversa. El término banda proporcional se refiere al rango sobre el cual el error debe
cambiar para mover la salida del controlador sobre su rango total. Entonces una BP
ancha es una ganancia baja, y una PB estrecha es una ganancia alta.
Suministro de
vapor
U
AO
I/P
R
TC
Válvula de
control
Ym
TT
FS
Entrada de
Aceite frío
Salida de
Intercambiador
de calor
F
To
T
Aceite
caliente
Trampa
de vapor
Condensado
TT = transmisor de temperatura
TC = controlador de temperatura
U = salida del controlador
R = setpoint o valor de referencia
To = temperatura de entrada al proceso
T = temperatura de salida del proceso
Fs = caudal de vapor
F = caudal de corriente de proceso
Fig. 3.7 Intercambiador de calor
La ganancia del controlador puede ser ya sea positiva o negativa mediante la
colocación de un interruptor en un controlador analógico o especificando el signo
deseado en un controlador digital. Una ganancia positiva trae como resultado que la
salida del controlador disminuye cuando la medición del proceso se incrementa. Esta
acción de “aumento-disminución” es denominada un controlador de acción inversa.
Para una ganancia negativa, la salida del controlador aumenta cuando la medición del
52
proceso aumenta, y esta es denominada controlador de acción directa. el signo correcto
depende de la acción del transmisor (el cual es usualmente directa), la acción de la
válvula aire-para-abrir o aire-para-cerrar (ait-to-open o air-to-close), y el efecto de la
variable manipulada sobre la variable controlada.
Si estamos enfriando en lugar de calentar, necesitaremos que el flujo de
refrigerante se incremente cuando la temperatura se incremente. Pero la acción del
controlador deberá ser reversa ya que la válvula de control podría ser una válvula de
aire-para-cerrar, ya que lo necesitamos para que se abra en caso de falla.
Como un ejemplo final, supongamos que estamos controlando el nivel de la base
de una columna de destilación con el flujo de los productos del fondo. La válvula deberá
ser AO ya que necesitamos que se corte en caso de falla (no queremos perder nivel en la
base en una emergencia). La señal de nivel del transmisor se incrementa si el nivel se
incrementa. Por lo tanto, el controlador de nivel de la base deberá ser “incrementoincremento” (acción directa).
Uno de los más importantes items para verificar al implementar un lazo de control de
retroalimentación en la planta es que acción del controlador es correcta.
Acción integral (restauradora). La acción proporcional mueve la válvula de control en
proporción directa a la magnitud del error. La acción integral mueve la válvula de
control en base al tiempo integral del error.
U =US +
1
τI
∫ E (s)dt
(3.25)
donde τI es el tiempo integral o el tiempo de restauración con unidades de minutos
Si no hay error, la salida del controlador no se mueve. A medida que el error se
hace positivo o negativo, la integral del error mueve la salida del controlador ya sea
arriba o abajo, dependiendo de la acción (inversa o directa) del controlador.
La mayoría de controladores son calibrados en minutos (o minutos/repetición, un
término que viene del test de colocar en el controlador un error fijo y observar cuanto
tiempo lleva la acción integral para subir la salida del controlador y producir el mismo
cambio que podría haberlo realizado el controlador proporcional cuando su ganancia
es 1; la integral repite la acción del controlador proporcional).
El propósito básico de la acción integral es mover el proceso regresándolo a su
setpoint cuando este ha sido perturbado. Un controlador proporcional, usualmente no
retorna la variable controlada a su setpoint cuando ocurre una perturbación de carga o
setpoint. Este error de funcionamiento (R – Ym) es denominado error de estado
estacionario u “offset”. La acción integral reduce el “offset” a cero.
La acción integral degenera la respuesta dinámica de un lazo de control. Nosotros
demostraremos esto en los capítulos posteriores. Esto hace al lazo de control más
oscilatorio y los movimientos hacia la inestabilidad. Pero la acción integral es
usualmente necesaria si se desea obtener un offset igual a cero. Este es otro ejemplo de
la contradicción en ingeniería que debe resolverse entre la operación dinámica y la
operación al estado estacionario.
53
Acción derivativa. El propósito de la acción derivativa (también llamada velocidad o
preacto) debe anticipar donde el proceso esta en curso mirando la razón de tiempo de
cambio de la variable controlada (su derivada). Si podemos tomar la derivada de la
señal de error (lo cual no podemos hacerlo perfectamente, como se explicará con mayor
detalle en los capítulos posteriores), tendríamos una acción derivativa ideal.
U =US +τD
dE
dt
(3.26)
donde τD es el tiempo derivativo (minutos)
En teoría, la acción derivativa debe siempre proporcionar respuesta dinámica, y
esto se hace en muchos lazos. En otros sin embargo, el problema de señales ruido
(fluctuaciones de señales medidas del proceso) hacen indeseable el uso de la acción
derivativa.
Controladores comerciales. Las tres acciones descritas anteriormente son usadas
individualmente o combinadas en controladores comerciales. Probablemente 60 por
ciento del total de controladores son PI (proporcional-integral), 20 por ciento son PID
(proporcional-integral-derivados) y 20 por ciento son P solamente (proporcional).
Discutiremos la razón de uso de uno u otro tipo en la sección 3.6
3.6
DISPOSITIVOS DE COMPUTACIÓN Y LÓGICOS
Una gran cantidad de dispositivos y software están disponibles para realizar una
variada colección de operaciones de computación y lógicas con señales de control. Por
ejemplo sumadores, multiplicadores, divisores, selectores de bajos, selectores de altos,
limitadores de altos, limitadores de bajos, y extractores de raíz cuadrada pueden todos
ser implementados tanto en sistemas analógicos y de computo. Estos son ampliamente
usados en control de proporción, en mediciones de las variables, en control hacia
delante, y en control de retroalimentación.
En adición a los lazos de control básicos, todos los procesos tienen
instrumentación que (1) hacen sonar las alarmas para alertar al operador ante cualquier
condición anormal o insegura y (2) detienen el proceso si se detectan condiciones
inseguras o fallas en el equipo. Por ejemplo, si un compresor a motor se sobrecarga y el
sistema de control eléctrico del motor apaga al motor, el resto del proceso deberá ser
parado inmediatamente. Este tipo de instrumentación es denominada “interbloque”. Eso
o cierra una válvula de control completamente o conduce la válvula de control sin
obstrucción a la vista. Otros ejemplos de condiciones que pueden “interbloquear” un
proceso incluyen la falla de una bomba de reflujo, detección de alta temperatura o
presión en un recipiente, e indicación de alto o bajo nivel en un tanque o la base de una
columna. Los interbloques son usualmente conseguidos mediante interruptores de
presión, mecánicos o eléctricos. Estos pueden ser incluidos en el software de
computación en un sistema de control por computadora, pero ellos son usualmente
independientes por fiabilidad y redundancia.
54
3.7
3.7.1
FUNCIONAMIENTO DE CONTROLADORES DE
RETROALIMENTACIÓN
Especificaciones de la respuesta de lazo cerrado
Hay un gran número de criterios mediante los cuales la operación deseada de un
sistema de lazo cerrado puede ser especificado en el dominio del tiempo. Por ejemplo,
debemos especificar que el sistema de lazo cerrado sea críticamente amortiguado de tal
manera que no tenga sobreimpulso u oscilación. Debemos entonces seleccionar el tipo
de controlador u establecer sus constantes de “sintonización”, que den la respuesta
deseada de lazo cerrado al estar acoplado con el proceso. Naturalmente, la
especificación de control debe ser físicamente obtenible. No podemos violar las
restricciones sobre la variable manipulada (la válvula de control puede ir solamente de
completamente abierta a completamente cerrada), y no podemos requerir un controlador
físicamente irrealizable.
Existe un gran número de especificaciones en el dominio del tiempo. Unas
cuantas de las especificaciones más frecuentemente usadas son listadas a continuación
(esto se verá con más detalle en el Cap. 8). La señal de prueba de entrada tradicional es
un cambio de escalón en el setpoint.
1. Coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado
2. Sobreimpulso: la magnitud por la cual la variable controlada sobrepasa al setpoint
3. El tiempo de subida (velocidad de respuesta): el tiempo que toma el proceso
alcanzar el nuevo setpoint
4. Razón de decaimiento: es la razón de las amplitudes máximas de las oscilaciones
sucesivas.
5. Tiempo de establecimiento. El tiempo que toma la amplitud de la oscilación a
decaer a generalmente el 0.05 del cambio en el setpoint
6. La integral del cuadrado del error:
ISE = ∫ (E ( t ) ) dt
∞
2
0
Notar que los cinco primeros de estos asumen un sistema de lazo cerrado
sobreamortiguado, es decir uno que tiene una oscilación natural.
Mi preferencia personal es diseñar un sistema de lazo cerrado con un coeficiente
de amortiguamiento de 0.3 a 0.5. como veremos en el resto de este libro, este criterio es
fácil de usar y realizable. Criterio como ISE puede ser usado para cualquier tipo de
perturbación, del setpoint, o carga. Algunos “expertos” (recordar que un “experto” es
aquel que rara vez tiene dudas, pero frecuentemente errores) recomiendan diferentes
parámetros de sintonía para los dos tipos de perturbaciones. Esto tiene poco sentido para
mí. Lo que se quiere es un compromiso razonable entre la operación (control rápido:
pequeñas constantes de tiempo de lazo cerrado) y robusto (no ser sensible a cambios en
los parámetros del proceso). Este compromiso es logrado usando un coeficiente de
amortiguamiento de 0.3 a 0.5 ya que esto mantiene las partes reales de las raíces de la
ecuación característica de lazo cerrado en una distancia razonable del eje imaginario, el
punto donde el sistema es inestable (ver Cap. 11). La especificación del coeficiente de
amortiguamiento de lazo cerrado es independiente del tipo de perturbación de entrada.
55
El error al estado estacionario es otra especificación en el dominio del tiempo.
Esta no es una especificación dinámica, pero es un importante criterio de operación. En
muchos lazos (pero no todos) es deseable un error de estado estacionario de cero, es
decir el valor de la variable controlada deberá eventualmente alcanzar el valor del
setpoint.
3.7.2
Operación de carga
El trabajo en la mayoría de lazos de control en un proceso químico es el de
mantener la variable controlada en su setpoint ante perturbaciones de carga. Veamos los
efectos de cambios en la carga cuando se usan tipos estándar de controladores.
Usaremos un proceso simple de transferencia de calor (Fig. 3.8) en el cual una
corriente de aceite es calentada con vapor. La temperatura de salida del proceso T es
controlada por la manipulación de la corriente de vapor Fs hacia el lado del casco del
intercambiador de calor. El caudal de aceite F y su temperatura de entrada Fo son las
perturbaciones de carga. La señal desde el transmisor de temperatura (TT) es la señal
medida del proceso, Ym. La señal del setpoint es R. La señal de salida; U, desde el
controlador de temperatura (TC) va a través de un transductor I/P hacia la válvula de
control. La válvula es AO debido a que deseamos que se cierre ante una falla.
3.8
OBJETIVOS DE LA INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
Los principales objetivos del diseñista al especificar los esquemas de
instrumentación y control son:
1. Asegurar la operación de la planta
a) Para mantener las variables de proceso dentro de los limites seguros de
operación conocidos
b) Para detectar situaciones peligrosas a medida que desarrollen y proporcionen
alarmas y sistemas automáticos de parada.
c) Para proporcionar alarmas y dispositivos de parada para prevenir se produzca
una operación peligrosa.
2. Referente a la producción:
Para conseguir la salida del producto de acuerdo al diseño
3. Calidad de producto:
Para mantener la composición del producto dentro de los estándares de calidad
especificados.
4. Costo:
Para operar al menor costo de producción, complementario a los demás objetivos.
56
3.9
ESQUEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO
El diseño y especificación detallada de los esquemas de control automático para
un proyecto grande, es usualmente hecho por especialistas.
En este capitulo solamente se considera la primera etapa en la especificación de
un sistema de control para un proceso: la preparación de un esquema preliminar de
instrumentación y control, desarrollado en base al diagrama de flujo. Este puede ser
dibujado por el diseñador del proceso en base a su experiencia con plantas similares y
su evaluación crítica de los requerimientos del proceso. Muchos de los lazos de control
serán convencionales y no será necesario un análisis detallado del comportamiento del
proceso. Un discernimiento, basado en la experiencia, puede ser usado para decidir
cuales sistemas son críticos y necesitan análisis y diseño detallado.
Algunos ejemplos de sistemas típicos (convencionales) de control usados para el
control de variables específicas del proceso y operaciones unitarias son dadas en esta
sección, y pueden ser usadas como una guía en la preparación de esquemas preliminares
de I & C (instrumentación y control).
3.9.1
Reglas para confección de diagramas de control e instrumentación
El siguiente procedimiento se puede usar para dibujar diagramas preliminares de
instrumentación y control
1. Identificar y dibujar aquellos lazos que son obviamente necesarios para la operación
satisfactoria de la planta, tales como:
a) Controles de nivel
b) Controles de flujo
c) Controles de presión
d) Controles de temperatura
2. Identificar las variables claves del proceso que necesitan ser controladas para
conseguir la calidad especificada del producto. Incluir los lazos de control usando la
medición directa de la variable controlada, donde sea posible; si no es practicable,
seleccionar una variable dependiente adecuada.
3. Identificar e incluir aquellos lazos de control adicionales requeridos para asegurar la
operación, no cubiertos en los pasos 1 y 2.
4. Decidir y mostrar aquellos instrumentos auxiliares necesarios para el monitoreo de
la operación de la planta por los operadores.
5. Decidir sobre algunos puntos de ubicación.
6. Decidir acerca de la necesidad de registradores y la localización de los puntos de
lectura, local o en la caseta de control. Esta etapa debe realizarse en concordancia
con los pasos 1 y 4.
7. Decidir sobre la necesidad de alarmas y dispositivos de parada; esto debe hacerse en
conjunción con el paso 3.
57
3.9.2
Nomenclatura
Para especificar diagramas de control se usará la terminología:
X : Variable de proceso (flujo, presión, temperatura, etc.)
C : Control
I : Indicador (medidor simple)
R : Registrador (medidor con “chart”)
Cuya combinación da:
XC : Control de X
XI : Medidor de X
XR : Registrador de X
XRC : Controlador registrador de X
XRI : Medidor registrador de X
XIC : Controlador indicador de X
XIRC : Controlador, registrador, e indicador de X
3.9.3
Símbolos básicos de instrumentos
Existen símbolos convencionales que identifican a los instrumentos en los
esquemas de I & C. Según la ISA (“Instrument Society of América”), los símbolos son:
Ubicación
Instrumento
Local
En la caseta (tablero)
Instrumento
con
una
función simple tal como
indicador,
registrador,
trasmisor, controlador
Combinación
de
instrumentos o mecanismo con
dos
funciones.
Ejemplo
controlador registrador
Transmisión neumática de
instrumentos
Transmisión electrónica de
instrumentos
58
3.9.4
Identificación de instrumentos
F8
I
F : Flujo
8 : Octavo instrumento de flujo
I : Indicador
Control automático de instrumento a
válvula
Válvula de control operando manualmente
Válvula autorreguladora
Válvula con motor de diafragma
(para control neumático)
Válvula operada eléctricamente
(para control electrónico)
Punto de medición
Para casos especiales; reactor y otros equipos se indican el modo de control
K
FC
Controlador de flujo: Proporcional
K∫
FC
Controlador de flujo: Proporcional Integral
3.10 SISTEMAS TÍPICOS DE CONTROL
3.10.1 Control de nivel
Todo equipo donde existe una interfase entre dos fases (ej. liquido-vapor) debe
proporcionarse algún medio para mantener la interfase al nivel requerido. Este puede ser
incorporado en el diseño del equipo, es usualmente hecho por decantadores o por
control automático del flujo desde el equipo. La Fig. 3.8, muestra un arreglo típico para
el control de nivel en la base de una columna. La válvula de control debe estar colocada
en la línea de descarga desde la bomba
59
LC
Fig. 3.8 Control de nivel
3.10.2 Control de presión
PC
Fig. 3.9a Control de presión por salida directa
El control de presión será necesario para la mayoría de sistemas manipulando vapores o
gases. El método de control dependerá de la naturaleza del proceso. Esquemas típicos
son mostrados en las Figs. 3.9a,b,c,d. El esquema mostrado en la Fig. 3.8a no deberá
usarse cuando la descarga es toxico o valiosos. En estos casos la salida debe ir a un
sistema de recuperación de gases tal como un “scrubber”.
PC
Fig. 3.9b Salida de no condensables después del condensador
60
PC
Proceso
Refrigerante
Fig. 3.9c. Control de presión en el condensador mediante el flujo de refrigerante
PC
Vapor de
proceso
Refrigerante
Fig. 3.9d Control de presión de un condensador, mediante la variación del
área de transferencia de calor dependiente del nivel de liquido
3.10.3 Control de flujo
El control de flujo usualmente está asociado con el control de inventario en un
tanque de almacenamiento u otro equipo. Debe haber un reservorio para p[ara tomar los
cambios en la velocidad de flujo.
Para proveer el control de flujo en un compresor o una bomba trabajando a
velocidad constante y suministrando un flujo de salida constante, se debe usar un “By
pass” como muestra las Figs. 3.10a, b.
FC
Fig. 3.10a Control de flujo para una bomba reciprocante
61
PC
FC
Fig. 3.10b Esquema alternativo para bomba o compresor centrífugos
3.10.4 Intercambiadores de calor
La Fig. 3.11a muestra el arreglo simple, la temperatura es controlada variando el
flujo del medio de calentamiento o enfriamiento
TC
Fig. 3.11a Control de una corriente de fluido
Si el intercambiador está entre dos corrientes de proceso cuyos flujos son fijos, se
puede usar un control mediante “by pass”, como muestra la Fig. 3.11b
)
TC
Fig. 3.11b Control en “by pass”
Control de condensadores
El control de temperatura es inseguro para ser efectivo en condensadores a menos
que la corriente de liquido sea subenfriada. El control de la presión es a menudo usada
como se muestra en la Fig. 3.9d o el control de temperatura puede basarse en la
temperatura del medio de enfriamiento.
62
Control de rehervidores y vaporizadores
Así como en condensadores, el control de temperatura no es efectivo, como la
temperatura del vapor saturado es constante a presión constante. Para vaporizadores se
usa el control de nivel; el controlador controlando el vapor suministrado al área de
transferencia, con control de flujo en la alimentación de liquido a ser vaporizado, como
muestra la Fig. 3.12. Un incremento en la alimentación trae como resultado un
incremento automático en la corriente de vapor al vaporizador para evaporar el flujo
incrementado y mantener constante el nivel.
El sistema de control del rehervidor se selecciona como parte del sistema general
de control para la columna y se discute en la Sección 3.4.7
FC
LC
Vapor
Trampa
Fig. 3.12 Control de un vaporizador
3.10.5 Control en cascada
Con este arreglo, la salida de un controlador es usado para ajustar el punto de
referencia (“set point”) de otro. El control en cascada puede dar control uniforma en
situaciones donde el control directo de la variable podría dar operación inestable. El
controlador “esclavo”puede ser usado para compensar para cualquier variación corta en,
por decirlo, una corriente de servicio, la cual podría perturbar la variable controlada; el
controlador primario (principal) controla las variaciones más grandes. Ejemplos típicos
son mostrados en la Fig. 3.13e y 3.14
3.10.6 Control proporcionador
El control proporcionador se puede usar donde se desea mantener dos flujos a
razón constante, por ejemplo, alimentaciones a un reactor y reflujo de columnas de
destilación. Un esquema típico para el control proporcionador se muestra en la Fig.
3.13. En la Fig. 3.13, el controlador sobre la corriente A controla el flujo de esa
corriente y proporciona una señal hacia el proporcionador, el cual controla el punto de
referencia del controlador sobre la corriente B; el punto de referencia es
automáticamente ajustado para mantener una razón fija preestablecida entre los dos
flujos de las corrientes.
63
Corriente A
FC
Razón
FC
Corriente B
Fig. 3.12 Control proporcionador
3.10.7 Control de columnas de destilación
El objetivo principal del control de una columna de destilación es para mantener
la composición especificada de los productos del tope y del fondo, y cualquier corriente
lateral corrigiendo para los efectos de perturbaciones en:
1. Velocidades de flujo de alimentación, composición y temperatura.
2. Presión del vapor suministrado.
3. Presión del agua de enfriamiento y temperatura de calentamiento
4. condiciones ambientales, las cuales causan cambios en el reflujo interno.
Las composiciones son controladas regulando el caudal de reflujo y ebullición. El
balance de materiales sobre toda la columna también debe ser controlado; las columnas
de destilación tienen pequeñas variaciones en su capacidad (retención) y los flujos de
destilado y fondos (y corrientes laterales) deben igualar al flujo de la alimentación.
Shinskey (1979) ha mostrado que hay 120 formas para conectar los cinco pares
principales de las principales variables medidas y controladas, en lazos simples. Una
variedad de esquemas de control se han propuesto para control de columnas de
destilación. Algunos esquemas típicos son mostrados en las Fig. 3.13a, b, c, d; lazos e
instrumentos auxiliares de control no son mostrados.
El control de columnas de destilación es discutido en detalle por Parkins (1959),
Bertrand y Jones (1961), Shineskey (1979) y Luyben (1995).
La presión de la columna es normalmente controlada a un valor constante. El uso
del control variable de presión para conservar energía ha sido discutido por Shinskey
(1979).
La velocidad de flujo de la alimentación es a menudo ajustada por un controlador
de nivel de una columna anterior. Esto puede ser controlado independientemente si la
columna es alimentada desde un tanque de almacenamiento.
La temperatura de alimentación normalmente no es controlada, a menos que se
use un precalentador.
La temperatura es frecuentemente usada como un indicador de la composición. El
sensor de temperatura debe colocarse en una posición en la columna donde la velocidad
de cambio de la temperatura con el cambio en la composición de los componentes
claves es un máximo. Cerca del tope y del fondo de la columna el cambio usualmente es
pequeño. Con sistemas de múltiple componentes, la temperatura no es la única función
de la composición.
64
Las temperaturas del tope son usualmente controladas variando la razón de
reflujo, y las temperaturas del fondo variando la velocidad de ebullición. Si se pueden
colocar analizadores en línea, se pueden incorporar al lazo de control, pero se necesitara
equipo de control más complejo.
TC
TC
Vapor
Fig. 3.13a Modelo de control de temperatura. Con este arreglo puede ocurrir
interacción entre los controladores de temperatura del tope y el fondo
Producto
FC
FC
LC
FC
Razón
Razón
FC
Fig. 3.13b Control de composición. Razón de reflujo controlada por un controlador
proporcionador, o separador, y los productos del fondo tienen una
relación fija respecto a la alimentación
65
Razón
FC
FC
Alimentación
FC
Razón
FC
Fig. 3.13c Control de composición. Producto del tope y ebullición
controlada por la alimentación
ΔP
TC
ΔP
Fig. 3.13d
Control de presión diferencial a menudo usado en columnas empacadas
para conseguir que el empaque opere a la carga correcta
Indicadores adicionales de temperatura o puntos de registro deben ser incluidos
sobre la columna para monitorear la operación de la columna.
66
TC
TC
ΔP
Acumulador
Hervidor
Fig. 3.13e. Destilación “batch” reflujo en cascada con la temperatura
para mantener composición constante en el tope
3.10.8 Control de reactores
FC
FC
FC
TC
LC
Alimentación
Refrigerante
Fig. 3.14 Esquema típico de control de un CSTR, control de temperatura en
cascada y control de flujo de reactante.
Los esquemas usados para control del reactor dependen del proceso y el tipo de
reactor.
67
3.10.9 Alarmas y dispositivos de seguridad
Las alarmas son usadas para alertar sobre serios y potenciales peligrosas
desviaciones en las condiciones del proceso. Los instrumentos claves son
acondicionados con “conmutadores”y “relays” para operar alarmas audibles y visuales
en los paneles de control y otros. Cuando hay demora o falta de respuesta, y sea
probable el desarrollo rápido de una situación peligrosa, los instrumentos deben estar
acondicionados con sistemas de seguridad para tener acción automática para prevenir el
peligro; tales como dispositivos de parada de bombas, cierre de válvulas, sistemas de
operación de emergencia.
Los componentes básicos de un sistema de seguridad son:
1. Un sensor para monitorear la variable de control y proporcionar una señal de
salida cuando se ha excedido el valor preestablecido (el instrumento).
2. Una línea para transferir la señal al actuador, usualmente consistiendo de un
sistema neumático o eléctrico de “relays”.
3. Un actuador para llevar a cabo la acción requerida, cerrando o abriendo una
válvula, apagando un motor.
Los dispositivos de seguridad pueden incorporarse al lazo de control. Sin
embargo, la operación segura del sistema dependerá del equipo de control, y para
situaciones potencialmente peligrosas es mejor práctica especificar un sistema separado
de alarmas. Se deben hacer previsiones para el chequeo periódico de los sistemas de
seguridad para conseguir que el sistema opere cuando sea necesario.
68
CAPITULO
4
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Analizando el problema de control del tanque de calentamiento en el Cáp. 1, es
evidente que la solución de las ecuaciones diferenciales será una de nuestras mayores
tareas. El método de la transformada de Laplace proporciona una vía eficiente para
solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales con coeficientes constantes.
Transformando una ecuación diferencial resulta una ecuación algebraica con la variable
s reemplazando al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuación
algebraica y haciendo la transformación inversa da la solución de la ecuación original.
4.1 EL CONCEPTO DE UNA TRANSFORMADA
Un ejemplo familiar de una transformada es un logaritmo. Por ejemplo, considerar
la multiplicación de dos números tales como:
(643) (2,68) = ...
Para resolverlo mediante logaritmos es necesario lo siguiente:
1. Tomar los logaritmos (hacer la transformación).
2. Sumar los logaritmos (solucionar el problema en un dominio matemático diferente).
Notar que la complejidad del problema se ha reducido: Adición reemplaza a
multiplicación.
3. Tomar el antilogaritmo (hacer la transformación inversa).
El problema transformado es resuelto en el paso 2, y luego en el paso 3 esta
solución es convertida al dominio del problema original.
69
La transformada de Laplace tiene mucho en común con las transformadas
logarítmicas. Las transformadas de Laplace son transformadas integrales y son
transformadas para funciones en lugar de números.
Definimos:
f(t) = una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0
s = una variable compleja, s = σ + jω; (σ y ω son variables reales y j = − 1 )
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que procede debe
∞
transformarse por la integral de Laplace ∫ e − st dt
0
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
Entonces la transformada de Laplace de f(t) está dada por
L[f(t)] = F(s) =
∫
∞
0
f (t )e − st dt
(4.1)
Donde L es el símbolo para “La transformada de Laplace de”.
Así pues, aplicar una transformada de Laplace a una ecuación diferencial equivale
pasar del dominio del tiempo t a la variable compleja σ + jω en el dominio de la s.
Para que al lector le sea más fácil comprenderlo, intente imaginarse que en lugar
de vivir en nuestro mundo habitual en el que todos los fenómenos, tanto físicos como
químicos, los referimos al tiempo utilizando como patrones los relojes, pasara a habitar
otro mundo totalmente distinto en el que la referencia fuera una variable compleja s
medida por patrones s en lugar de los relojes. Si consigue situarse en esta posición
imaginaria, todos los razonamientos y conceptos que siguen y que están basados en la
transformada de Laplace, le resultarán perfectamente comprensibles conceptualmente.
(De hecho con una calculadora programada según la expresión básica de la
transformada de Laplace o con el uso de un paquete de cálculo, es fácil pasar
inmediatamente expresiones en el sistema t al sistema s).
Transformada de
Laplace directa
Función
primitiva
dominio de t
Función
transformada
dominio de s
Antitransformada
de Laplace
Fig. 4.1 Dominios t y s
Una vez que se ha obtenido la solución de la expresión algebraica en función de la
variable s, bastará buscar la transformada inversa de Laplace (antitransformada) con el
fin de obtener la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo. Se
expresa del modo siguiente:
L−1 [F(s)] = f(t)
(4.2)
70
Ejemplo 4.1
Encontrar la transformada de Laplace de la función: f(t) = 1
De acuerdo a la Ec. 4.1
F(s) =
∫
∞
0
e − st
(1)e dt = –
s
t =∞
− st
=
t =0
1
s
Entonces,
L[1] =
1
s
Análogamente, la transformada de una constante sería
L(k) =
∫
∞
0
∞
k .e − st dt = k .∫ e − st dt =
0
k
s
(4.3)
En la Tabla 4.1 se encuentran resueltas las transformadas de las funciones más
comunes.
TABLA 4.1 Tabla de transformadas de Laplace
Funciones del tiempo
Transformadas
Impulso unitario δ(t)
1
Escalón unitario 1(t)
t
t n −1
(n − 1)!
(n = 1,2,3,...)
tn (n = 1,2,3,...)
e-at
te-at
t n −1 n −1 − at
t e
(n − 1)!
t n e − at
(n = 1,2,3,...)
(n = 1,2,3,...)
1
s
1
s2
1
sn
n!
s n +1
1
( s + a)
1
( s + a) 2
1
( s + a) n
n!
( s + a) n +1
71
t 2 -at
e
2
1
s3
1
( s + a) 3
e-at f(t)
F(s+a)
f(t – a) u(t – a)
e-as F(s)
t2
2
Sen ωt
ω
Cos ωt
s +ω2
s
2
s +ω2
2
ω
sen h ωt
Cos h ωt
1
(1 − e − at )
a
1
(e − at − e −bt )
b−a
1
(be −bt − ae − at )
b−a
1
1
[
(be − at − ae −bt )]
ab b − a
1
(1 − e − at − ate − at )]
2
a
ω
e-at sen ωt
( s + a) 2 + ω 2
s+a
( s + a) 2 + ω 2
e cos ωt
-at
ωn
1−ξ 2
−
1
1−ξ
2
s −ω2
s
2
s −ω2
1
s( s + a)
1
( s + a)( s + b)
s
( s + a )( s + b)
1
s( s + a)( s + b)
1
2
s ( s + a)
2
e −ξω nt senω n 1 − ξ 2 t
ω n2
s 2 + 2ξω n s + ω n2
e −ξω n t sen(ω n 1 − ξ 2 t − φ )
s
s + 2ξω n s + ω n2
2
φ = tan −1
1−ξ
2
ξ
72
−
1
1−ξ
e −ξω n t sen(ω n 1 − ξ 2 t + φ )
2
φ = tan −1
ω n2
s ( s 2 + 2ξω n s + ω n2 )
1−ξ 2
ξ
ω2
1 – cos ωt
s( s 2 + ω 2 )
ω2
ωt – sen ωt
s 2 (s 2 + ω 2 )
2ω 3
(s 2 + ω 2 ) 2
s
2
(s + ω 2 ) 2
sen ωt – ωt cos ωt
1
t sen ωt
2ω
s2 − ω 2
(s 2 + ω 2 ) 2
s
2
2
( s + ω 1 )( s 2 + ω 22 )
t cos ωt
1
(cos ω1t – cos ω2t)
ω − ω 12
1
(sen ωt + ωt cos ωt)
2ω
2
2
s2
(s 2 + ω 2 ) 2
dy (t )
dt
d 2 y (t )
dt 2
d n y (t )
dt n
∫
t
0
⎛
∫ ⎜⎝ ∫ ⎛⎜⎝ ∫
t
0
t
t
0
0
sY(s) – y(0+)
s2Y(s) – sy(0+) – y’(0+)
s2Y(s) – sn - 1 y(0+) –... – y(n – 1 )(0+)
y (t )dt
y (t 0dt ⎞⎟dt ⎞⎟dt ...n veces
⎠ ⎠
Y ( s)
s
Y ( s)
sn
4.1.1 Transformada de Laplace con UNTSIM
El simulador UNTSIM posee una rutina para evaluar las tranformadas de Lapace
de funciones del tiempo. Por ejemplo si deseamos evaluar la transformada de Laplace
de :
f (t) = 1 - cos (3 t)
Seleccionamos del Menú principal: Otros cálculos - Cálculos Matemáticos Transformada de Laplace - Transformar f(t) a F(s)
73
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
05-Jul-2004
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(s)
DE UNA FUNCION DEL TIEMPO f(t)
**************************************************************
Ingresar Función f(t): 1-cos(3*t)
*************************************************************
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCION ES:
------------------------------------------------------------s
1/s - -----2
s + 9
-------------------------------------------------------------
4.1.2
Consideraciones importantes de la Transformada de Laplace
Hay varios factores importantes que se deben considerar:
1. La transformada de Laplace F(s) no contiene información acerca del
comportamiento de f(t) para t < 0. esto no es una limitación para el estudio de
sistemas de control ya que t representa la variable tiempo y el estudio del
comportamiento de sistemas se hace solamente para t > 0. en realidad, las variables
y sistemas son definidos usualmente tal que f(t) ≡ 0 para t < 0. esto quedará claro
con el estudio de los ejemplos específicos.
2. Puesto que la transformada de Laplace es definida en la Ec. (4.1) por una integral
impropia, esta no existirá para todas las funciones f(t).
3. la transformada de Laplace es lineal. En notación matemática será:
L[Af1(t) + Bf2(t)] = A L[f1(t)] + B L[f2(t)]
(4.4)
Donde A y B son constantes, y f1, f2 son dos funciones de t
4. El operador de Laplace transforma una función de la variable t a una función de la
variable s. La variable t es eliminada mediante la integración.
4.2 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA
Llamando u = e-st y dv =
L[f’(t)] = (u.v) –
∫
∞
0
df (t )
dt e integrando por partes resulta
dt
∞
v.du = [e − st . f (t ) − ∫ f (t ).(− s.e − st )dt =
0
∞
– f(0) + s. ∫ f (t ).e − st dt = s.F(s) – f(0)
0
(4.5)
esta última, aplicada reiteradamente a una derivada enésima, daría
74
L[fn(t)] = snF(s) – sn – 1 f(0) – sn – 2 f’(0) – . . . – sn – 1 fn-1(0)
(4.6)
y con las condiciones iniciales supuestas nulas resulta:
L[f n(t)] = sn F(s)
(4.7)
Ejemplo 4.2
Encontrar la transformada de Laplace de la función x(t) la cual satisface la
ecuación diferencial y las condiciones iniciales
d 3x
d 2x
dx
+
+ 5 + 2x = 2
4
3
2
dt
dt
dt
x(0) =
dx(0) d 2 x(0)
=
=0
dt
dt 2
Es permisible matemáticamente tomar la transformada de Laplace de una
ecuación diferencial e igualarlos, ya que igualdad de funciones implica igualdad de sus
transformadas. Haciendo esto, se obtiene
s3X(s) – s2x(0) – sx′(0) – x′′(0) + 4[s2X(s) – sx(0) - x′(0)]
+ 5[sX(s) – x(0)] + 2X(s) =
2
s
donde X(s) = L[x(t)]. Se ha hecho uso de la propiedad de linealidad y del hecho de que
solamente son de interés valores positivos de t. Insertando las condiciones iniciales y
resolviendo para X(s)
X(s) =
2
s ( s + 4s 2 + 5s + 2)
3
4.2.1 Transformada de una derivada con UNTSIM
El simulador UNTSIM, posee una rutina para evaluar la transformada de Laplace
de una EDO de orden n (0 < n < = 10). Seleccionando del Menú Principal: Otros
cálculos - Cálculos Matemáticos - Transformadas de Laplace - Transformada de una
EDO de orden n
Ejemplo 4.3
Encontrar la transformar de Laplace de la derivada del ejemplo 4.2 usando UNTSIM
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA
ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN n CON CONDICIONES INICIALES
**************************************************************
75
Colocar la EDO en la forma:
n
(n-1)
d x
d
x
d x
an ---- + a(n-1) ------- + . . . + a1 ---- + ao x = u
n
(n-1)
d t
d t
d t
donde an...ao y u = escalares
------------------------------------------------------------Orden de la Ec. Diferencial (máximo 10): 3
Ingresar coeficientes del lado izquierdo de la Ecuacion
[an, ..., ao]: [1 4 5 2]
Ingresar lado derecho de ecuación: 2
Condiciones iniciales
d2x(0): 0
d1x(0): 0
x(0): 0
---------------------------------------------------------------La Transformada de Laplace X(s) =
2
----------------------3
2
s (s + 4 s + 5 s + 2)
4.3
-
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL
Integral
t
∞
∞
L ∫ f (t )dt = ∫ ⎛⎜ ∫ f (t )dt ⎞⎟e − st dt =
0
0 ⎝ 0
⎠
⎛ t
e − st
= ⎜⎜ ∫ f (t )dt
−s
⎝ 0
∞
− st
∞ e
⎞
F ( s)
⎟⎟ − ∫
f (t )dt =
0 − s
s
⎠0
(4.8)
Es decir, la transformada de Laplace convierte la operación de derivar en una
multiplicación por la variable s y la operación de integrar en una división por la misma
variable s, siempre que naturalmente las condiciones iniciales sean nulas.
4.4
TRANSFORMADA INVERSA
En las secciones previas se ha dado f(t) y el problema ha sido determinar su
transformada de Laplace F(s). En esta sección se considera el problema de hallar f(t)
cuando se conoce F(s); el proceso es conocido como inversión. Esta operación es
comúnmente denotada por:
f(t) = L-1[F(s)]
(4.9)
En la mayoría de los casos, la transformación inversa se puede obtener de la tabla
de transformadas tales como las mostradas en la Tabla (4.1). en esta tabla, dos funciones
de t no tienen la misma transformada de Laplace o dos funciones de s no tienen la
misma transformada inversa. En general, la transformada inversa es única si no son
tomadas en cuenta las funciones nulas, tales como las funciones cuya integral con
respecto al tiempo es cero.
76
4.5 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS
Las propiedades de la transformada de Laplace son las siguientes:
-
Linealidad L[f1 (t) ± f2 (t)] = F1(s) ± F2(s)
(4.10)
-
Permutabilidad L[k.f(t)] = k.L[f(t)]
(4.11)
-
Derivada L[f’(t)] = ∫ +
∞
0
d [ f (t )] − st
e dt
dt
(4.12)
Permite conocer el valor de una función en el origen sin necesidad de calcular su
antitransformada y sustituir en ella la variable independiente por 0.
Se sabe que, conocida la función y(t), la transformada de Laplace de su derivada
es:
∞ df
df
L = sF(s) – f(0) = lim ∫
e − st dt
(4.13)
0
dt
dt
y tomando los límites para s → ∞ resulta:
lim [sF(s) – f(0)] = lim ∫
s →∞
s →∞
∞
0
df -st
e dt
dt
luego
f(0) =
lim [sF(s)]
(4.14)
s →∞
De una forma análoga a la anterior se desea saber el valor de una función en el
infinito, y no es posible o bien no se desea calcular su transformada inversa.
Procediendo como antes se busca la transformada de Laplace de su derivada y se
toman límites para s → 0, con lo cual resulta:
lim [sF(s) – f(0)] =
s →0
lim ∫
s →0
∞
0
df -st
∞
e dt = [ f (t )]0 = f(∞) – f(0)
dt
(4.15)
luego
f(∞) =
lim sF(s)
(4.16)
s →0
4.5.3 Teorema del retardo puro
Cumple la igualdad: L[f(t – T)] = e-sT F(s) siendo el retardo puro la función
f=e
y T una constante
-sT
77
En efecto, según el desarrollo de Taylor se verifica
f(t – T) = f(t) – T
df T 2 d 2 f T 3 d 3 f
+
−
+ ...
dt
2! dt 2
3! dt 3
(4.17)
y
L[f(t – T)] = F(s) – T[sF(s) – f (0)] +
+
T2 2
[s F(s) – sf(0) – f (0)] – . . .
2!
(4.18)
Si se impone que las condiciones iniciales son nulas en la función primitiva y en
sus derivadas, resulta:
⎛
⎞
T2 2 T3 3
L[f(t – T)] = F(s) . ⎜⎜1 − TS +
s −
s + ... ⎟⎟ = F(s).e-Ts
2!
3!
⎝
⎠
(4.19)
La transformada de Laplace de la función e-atf(t) es
L[e-atf(t)] = F(s + a)
(4.20)
o bien deshaciendo la transformación
L−1 [F(s + a)] = e-at f(t) = e-at L−1 [F(s)]
(4.21)
que puede considerarse homónima del teorema del retardo puro, cambiando los
dominios t y s.
Ejemplo 4.4
Valores inicial y final de una función f(t) cuya transformada de Laplace es:
F(s) =
1
s( s + a)
Aplicando el teorema del valor final, se tiene:
y(0) lim s.
s →∞
f(∞) =
1
= 0 (valor inicial)
s( s + a)
1
lim s. s(s + a)
s →0
=
1
(valor final)
a
Si se deseara conocer la forma de arranque de la curva en el origen, se procedería
del modo siguiente
78
En el dominio del tiempo
f(t) =
1
p( p + a)
En el instante inicial t → 0, se producen variaciones rápidas de la derivada y
puede suponerse que ésta tiende a infinito p → ∞. Luego
f(t) =
lim
t →0
1
=
p( p + a)
lim
t →0
1
1
= 2
p + ap p
2
Lo que indica que el origen la curva se comporta como si fuera equivalente a la función.
TABLA 4.2 Propiedades de las transformadas de Laplace
L[Af(t)] = F(s)
L[f1(t)± f2(t)] = F1(s) + F2(s)
⎡d
⎤
L ⎢ f (t )⎥ = sF ( s) − f (0)
⎣ dt
⎦
⎡d2
⎤
L ⎢ 2 f (t )⎥ = s2F(s) – sf(0) – f’(0)
⎣ dt
⎦
⎡dn
⎤
L ⎢ n f (t )⎥ = s2F(s) – sn - 1 f(0) –... – f (n – 1 )(0)
⎣ dt
⎦
t
F ( s)
L ⎡ ∫ f (t )dt ⎤ =
⎢⎣ 0
⎥⎦
s
L[
⎛
∫ ⎜⎝ ∫ ⎛⎜⎝ ∫
t
0
t
t
0
0
Y ( s)
y (t )dt ⎞⎟dt ⎞⎟dt ...n veces ] = n
⎠ ⎠
s
79
CAPITULO
5
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Si analizamos el ejemplo 4.2, hay dos puntos importantes con respecto a este
ejemplo. En primer lugar, la aplicación de la transformación trae como resultado una
ecuación la cual es resuelta para la función desconocida por medios puramente
algebraicos. Segundo, y más importante, si la función x(t) la cual tiene la transformada
de Laplace 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) fuese conocida, podríamos tener la solución a la
ecuación diferencial y las condiciones de frontera. Esto sugiere un procedimiento para
resolver ecuaciones diferenciales.
En el método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones
diferenciales, la función es convertida a sus transformadas y las ecuaciones resultantes
son resueltas algebraicamente para la función desconocida. Esto es mucho más fácil
que resolver una ecuación diferencial. Nosotros obviamente no podemos esperar
construir una tabla conteniendo las transformadas de Laplace de cada función f(t) la cual
posee una transformada. En cambio podríamos desarrollar métodos para expresar
transformadas complicadas, tal como X(s) del Ejemplo 4.2, en términos de
transformadas simples las cuales pueden encontrarse en la Tabla 4.1. Por ejemplo, se
puede verificar fácilmente que la solución a la ecuación diferencial y condiciones de
frontera del Ejemplo 4.2 es
x(t) = 1 – 2te–1 – e–2 t
(5.1)
La transformada de Laplace de x, usando la Ec. (5.1) y la Tabla (4.1), es
X(s) =
1
1
1
−2
−
2
s
s+2
( s + 1)
(5.2)
La ecuación X(s) = 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) es el resultado de poner la Ec. (5.2)
sobre un denominador común y muchas veces es dificultoso encontrar x(t) a partir de
80
esta ecuación, requiriéndose un método para expandir la forma de denominador común
a la forma separada dada en la Ec. (5.2). Este método es dado por la técnica de
fracciones parciales.
5.1 INVERSIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
En problemas de análisis de teoría de control, F(s), la transformada de Laplace de
f(t), frecuentemente es de la forma
F(s) =
B( s)
A( s )
(5.3)
donde las A(s) y B(s) son polinomios en s, y el grado de B(s) es menor de A(s). Si F(s)
se descompone en sus componentes,
F(s) = F1(s) + F2(s) + . . . + Fn(s)
(5.4)
y si las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas
fácilmente, entonces
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] +. . . + L-1[Fn(s)]
= f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t)
(5.5)
(5.6)
donde f1(t), f2(t), . . ., fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , .
. . , Fn(s), respectivamente. La transformada inversa de Laplace así obtenida F(s) es
única, excepto posiblemente en puntos donde la función de tiempo es discontinua. Toda
vez que la función de tiempo sea continua, las funciones del tiempo f(t) y sus
transformadas de Laplace F(s) tienen una correspondencia univoca.
La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parcialices es que los
términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de fracciones
parciales, son funciones muy simples de s. En consecuencia no es necesario recurrir a
una tabla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas
de Laplace simples. Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de
expansión en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace de
F(s) = B(s)/A(s) deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador
A(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio
denominador.
En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en forma de fracciones parciales, es
importante que la potencia más elevada de s en A(s) sea mayor que la potencia de s en
B(s). Si ese no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s)
para producir un polinomio en s más un resto (una relación de polinomios en s cuyo
numerador sea de grado menor que el denominador). (Para detalles ver el Ejemplo 5.2)
81
5.1.1
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) contiene únicamente polos
distintos
Sea F(s) escrita en su forma factorizada
F(s) =
B( s ) K ( s + z1 )( s + z 2 )...( s + z m )
=
A( s ) ( s + p1 )( s + p 2 )...( s + p n )
(m<n)
(5.7)
donde p1, p2, . . ., pn y z1, z2, . . ., zm son cantidades reales o complejas, para cada
complejo p o z, debe aparecer el respectivo conjugado de pi o zi. Si F(s) contiene
solamente polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales
simples, es decir:
F(s) =
an
a1
a2
B( s)
=
+
+ ... +
A( s ) s + p1 s + p 2
s + pn
(5.8)
donde ak (k = 1, 2, . . ., n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo en el
polo de s = – pk. El valor de ak puede hallarse multiplicando ambos miembros de la Ec.
(5.8) por (s + pk) y haciendo s = – pk, lo que da
⎡ a
a2
⎡
B( s) ⎤
( s + p k ) + ...
= ⎢ 1 (s + pk ) +
⎢( s + p k ) A( s ) ⎥
s + p2
⎦ s = − pk ⎣ s + p1
⎣
+
⎤
ak
an
( s + p k ) + ... +
( s + p k )⎥
s + pk
s + pn
⎦ s = − pk
= ak
Como puede verse, todos los términos expandidos desaparecen, excepto ak.
Entonces se halla que el residuo es
⎡
ak = ⎢( s + p k )
⎣
B(s) ⎤
A( s ) ⎥⎦ s = − pk
(5.9)
Nótese que, como f(t) es una función real del tiempo, si p1 y p2 son complejos
conjugados, los residuos de a1 o a2 también son complejos conjugados. Sólo uno de los
conjugados, a1 o a2 debe evaluarse, ya que el otro se conoce automáticamente.
Como
⎡ ak
⎣ s + pk
L-1 ⎢
⎤
− pk t
⎥ = ak e
⎦
Se obtiene f(t) como
f(t) = L-1[F(s)] = a1 e
− p1t
+ a 2 e − p 2t + ... + a n e − pn t
(t ≥ 0)
82
Ejemplo 5.1
Hallar la transformada inversa de Laplace de
F(s) =
s+3
( s + 1)( s + 2)
La expansión de F(s) en fracciones parciales es
a
a2
s+3
= 1
( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 2
F(s) =
donde a1 y a2 se determinan utilizando la Ec. (5.9).
⎡
⎤
s+3
⎡ s + 3⎤
a1 = ⎢( s + 1)
= ⎢
=2
⎥
( s + 1)( s + 2) ⎦ s = −1 ⎣ s + 2 ⎥⎦ s = −1
⎣
⎡
⎤
s+3
⎡ s + 3⎤
a2 = ⎢( s + 2)
= ⎢
= –1
⎥
( s + 1)( s + 2) ⎦ s = −2 ⎣ s + 2 ⎥⎦ s = −2
⎣
Entonces
f(t) = L-1[F(s)]
⎡ 2 ⎤
⎡ −1 ⎤
= L-1 ⎢
+ L-1 ⎢
⎥
⎥
⎣ s + 1⎦
⎣s + 2⎦
= 2e
–t
– 2e
– 2t
(t ≥ 0)
Ejemplo 5.2
Obtener la transformada inversa de Laplace de
F(s) =
2 s + 12
s + 2s + 5
2
Nótese que el polinomio denominador puede factorizarse como
s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 – j2)
Si la función F(s) incluye un par de polos complejos conjugados, es conveniente no
expandir en las fracciones parciales habituales, sino en una suma de una función seno y
una función coseno amortiguadas.
Considerando que s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22 y colocando las transformadas de
Laplace de e – ∝ t sen ω t y e – ∝ t cos ω t, se escribe
83
L[e
L[e
–∝t
–∝t
sen ω t ] =
cos ω t ] =
ω
(s + α ) 2 + ω 2
s +α
(s + α ) 2 + ω 2
De aquí que:
f(t) = L-1[F(s)]
⎡
⎤
2
= 3L-1 ⎢
+ 2L-1
2
2 ⎥
⎣ ( s + 1) + 2 ⎦
⎡
⎤
s +1
⎢
2
2 ⎥
⎣ ( s + 1) + 2 ⎦
= 5e – t sen 2t + 2e – t cos 2t
5.1.2
(t ≥ 0)
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) tiene polos múltiples
En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar cómo obtener
la expansión de F(s) en fracciones parciales.
Sea la siguiente F(s):
F(s) =
s 2 + 2s + 3
( s + 1) 2
La expansión en fracciones parciales de esta F(s) cubre tres términos
F(s) =
b3
b2
b
B( s)
=
+
+ 1
3
2
A( s ) ( s + 1)
s +1
( s + 1)
donde b1, b2 y b3 se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta
última ecuación por (s + 1)3, se tiene
(s + 1)3
B( s)
= b3 + b2(s + 1) + b1(s + 1)2
A( s )
( 5.10)
Haciendo entonces s = – 1, la Ec. (5.10) da
⎡
3 B( s) ⎤
= b3
⎢( s + 1) A( s ) ⎥
⎣
⎦ s = −1
También diferenciando ambos miembros de la Ec. (5.10) con respecto a s se
obtiene
d
ds
⎡
3 B( s) ⎤
⎢( s + 1) A( s ) ⎥ = b2 + 2b1(s + 1)
⎣
⎦
(5.11)
Si se hace s = – 1 en la Ec. (5.11), entonces
84
d
ds
⎡
3 B( s) ⎤
⎢( s + 1) A( s ) ⎥ = b2
⎣
⎦ s = −1
Diferenciando ambos miembros de la Ec. (5.11) respecto a s, el resultado es
d2
ds 2
⎡
3 B( s) ⎤
⎢( s + 1) A( s ) ⎥ = 2b1
⎣
⎦
Del análisis precedente se puede ver que los valores b1,
determinarse sistemáticamente del siguiente modo:
b2
y b3
pueden
⎡
B( s) ⎤
b3 = ⎢( s + 1) 3
A( s ) ⎥⎦ s = −1
⎣
= (s2 + 2s + 3)s = – 1
= 2
⎧d ⎡
B( s) ⎤ ⎫
b2 = ⎨ ⎢( s + 1) 3
⎬
A( s ) ⎥⎦ ⎭ s = −1
⎩ ds ⎣
⎤
⎡d
= ⎢ ( s 2 + 2 s + 3)⎥
⎣ ds
⎦ s = −1
= (2s + 2)s = – 1
= 0
1
b1 =
2!
=
1
2!
⎧d2
⎨ 2
⎩ ds
⎫
⎡
3 B( s) ⎤
(
s
1
)
+
⎬
⎢
A( s ) ⎥⎦ ⎭ s = −1
⎣
⎡ d2 2
⎤
⎢ 2 ( s + 2 s + 3)⎥
⎣ ds
⎦ s = −1
= ½ (2) = 1
Así, se tiene
f(t) = L-1[F(s)]
⎡ 2 ⎤
⎡ 0 ⎤
⎡ 1 ⎤
= L-1 ⎢
+ L-1 ⎢
+ L-1 ⎢
3 ⎥
2 ⎥
⎥
⎣ s + 1⎦
⎣ ( s + 1) ⎦
⎣ ( s + 1) ⎦
= t2 e – t + 0 + e – t
= (t2 +1) e – t
(t ≥ 0)
85
5.1.3
Descomposición por fracciones parciales usando MATLAB
Una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control es
MATLAB. Comenzaremos viendo su aplicación en la descomposición de expresiones
en fracciones parciales, para lo cual consideraremos la razón de dos polinomios b(s) y
a(s) de la forma
B( s ) num b(1) s n + b(2) s n −1 + ... + b(n)
=
=
A( s ) den a(1) s n + a(2) s n −1 + ... + a(n)
(5.12)
donde a(1) ≠ 0, pero algún a(i) y b(j) pueden ser ceros.
Los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del
denominador de la función de transferencia. Es decir,
num = [b(1) b(2) ... b(n)]
den = [a(1) a(2) ... a(n)]
La orden
[r,p,k] = residue(num,den)
encuentra los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en
fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) y A(s). La descomposición en
fracciones parciales de B(s)/A(s) viene dada por
B( s)
r (1)
r (2)
r ( n)
=
+
+ ... +
+ k ( s)
A( s ) s − p(1) s − p(2)
s − p ( n)
(5.13)
Ejemplo 5.3
Descomponer en fracciones parciales la siguiente expresión
B( s ) 2 s 3 + 5s 2 + 3s + 6
=
A( s ) s 3 + 6s 2 + 11s + 6
(5.14)
Solución
Para esta función,
num = [2 5 3 6]
den = [1 6 11 6]
La orden
[r,p,k] = residue(num,den)
da el siguiente resultado
86
» num = [2 5 3 6];
» den = [1 6 11 6];
» [r,p,k]=residue(num,den)
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
2
(Observe que los residuos se devuelven en un vector columna r, la localización de los
polos en un vector columna p y los términos directos en un vector fila k). Esta es la
respuesta en MATLAB de la siguiente descomposición en fracciones parciales de
B(s)/A(s):
B( s ) 2s 3 + 5s 2 + 3s + 6
=
A( s ) ( s + 1)( s + 2)( s + 3)
=
(5.15)
−6
−4
3
+
+
+2
s + 3 s + 2 s +1
(5.16)
La orden
[num,den]=residue (r,p,k)
donde r, p, k son dadas en la anterior salida de MATLAB, convierte la descomposición
en fracciones parciales al polinomio cociente B(s)/A(s) como sigue:
»
[num,den]=residue (r,p,k)
num =
2.0000
5.0000
3.0000
6.0000
den =
1.0000
6.0000
11.0000
6.0000
Lo cual equivale a la Ec. (5.14)
B( s ) 2 s 3 + 5s 2 + 3s + 6
=
A( s ) s 3 + 6s 2 + 11s + 6
(5.14)
87
5.1.4
Descomposición por fracciones parciales usando UNTSIM
El simulador UNTSIM puede usarse para descomponer en fracciones parciales:
Ingresando a Cálculos matemáticos-Transformadas-Descomposición por fracciones
parciales, se tiene la siguiente respuesta
Ejemplo 5.4
Descomponer por fracciones parciales usando UNTSIM la Ec. (5.14)
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MSc. Luis Moncada
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ESTE PROGRAMA DESCOMPONE UNA FUNCION EN EL DOMINIO DE LAPLACE
POR EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA TENER UNA
EXPRESION DE LA FORMA: a(S)/b(S) = n1/d1 + n2/d2 + ... + k
Ver Automatización y control Cap. 5.3
Ingrese coeficientes del numerador: [2 5 3 6]
Ingrese coeficientes del denominador: [1 6 11 6]
-------------------------------------------Numerador(n)
Denominador(d)=(s-...)
-6.0000
-3.0000
-4.0000
-2.0000
3.0000
-1.0000
El residuo k= 2
Con lo cual la descomposición en fracciones parciales es la Ec. (5.16)
=
−4
3
−6
+
+
+2
s + 3 s + 2 s +1
(5.16)
Ahora podemos tomar la transformada inversa, según la Tabla (4.1).
Ejemplo 5.5
Determinar la expansión por fracciones parciales de:
F ( s) =
2s 3 + 9s + 1
s 3 + s 2 + 4s + 4
(5.17)
Ingrese coeficientes del numerador: [ 2 0 9 1]
Ingrese coeficientes del denominador: [ 1 1 4 4]
-------------------------------------------Numerador(n)
Denominador(d)=(s-...)
0.0000 - 0.2500i
-0.0000 + 2.0000i
0.0000 + 0.2500i
-0.0000 - 2.0000i
-2.0000 -1.0000
El residuo k= 2
88
Luego la expansión en fracciones parciales es
F(s) = 2 +
=2+
−2
1
− 2 0.25i − 0.25i
=2+
+ 2
+
+
2
2
s +1 1+ i
s +1 s + 4
1− i
−2
1
+ 2
s +1 s + 4
(5.18)
5.2 USO DE UNTSIM PARA INVERTIR F(s) A f(t)
Podemos usar el simulador UNTSIM para hacer la transformación directa de F(s)
a f(t). Para lo cual seleccionamos del Menú Principal: Otros cálculos - Cálculos
Matemáticos - Transformada de Laplace –Transformar F (s) a f(t)
Ejemplo 5.6
Invertir F(s) a f(t) la expresión obtenida en el Ejemplo 4.2.
2
X(s) =
s ( s + 4s 2 + 5s + 2)
3
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MSc. Luis Moncada
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06-Jul-2004
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t)
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Función F(s): 2/(s^4+4*s^3+5*s^2+2*s)
*************************************************************
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES:
------------------------------------------------------------1 - exp(-2 t) - 2 t exp(-t)
-------------------------------------------------------------
Ejemplo 5.7
Invertir F(s) a f(t) dada por la expresión (5.16) del Ejemplo 5.4
=
3
−6
−4
+
+
+2
s + 3 s + 2 s +1
(5.16)
89
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Funcion F(s): (-6/(s+3))-(4/(s+2))+(3/(s+1))+2
*************************************************************
-------------------------------------------------------------6 exp(-3 t) - 4 exp(-2 t) + 3 exp(-t) + 2 Dirac(t)
------------------------------------------------------------>>
Ejemplo 5.8
Invertir F(s) a f(t) dada por la expresión (5.18) del Ejemplo 5.5
=2+
−2
1
+ 2
s +1 s + 4
(5.18)
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Función F(s): 2+(-2/(s+1))+(1/((s^2)+4))
*************************************************************
------------------------------------------------------------1/2
1/2
2 Dirac(t) - 2 exp(-t) + 1/4 4
sin(4
t)
-------------------------------------------------------------
5.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
INVARIANTES EN EL TIEMPO
El método de la transformada de Laplace brinda la solución completa (la solución
particular más la complementaria) de ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en
el tiempo. Los métodos clásicos para hallar la solución completa de una ecuación
diferencial, requieren evaluar las constantes de integración a partir de las condiciones
iniciales. En el caso de la transformada de Laplace, empero, no es necesario calcular las
constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, ya que estas quedan
incluidas automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial.
Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace de la
ecuación diferencial, se obtiene substituyendo simplemente d/dt por s, d2/dt2 por s2, etc.
El método para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con
coeficientes constantes con la transformada de Laplace comprende:
90
1. Tomar la transformada de ambos lados de la ecuación, en este punto se
incorporan las condiciones iniciales en las transformadas de las derivadas.
2. Resolver algebraicamente la ecuación resultante para la transformada de Laplace
de la función desconocida.
3. Encontrar la función de t la cual tiene la transformada de Laplace obtenida en el
paso 2. esta función satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y
es la solución deseada.
Ejemplo 5.9
Resolver
x′ + 3x = 0
x(0) = 2
Enumerando las etapas de acuerdo a la discusión anterior:
1. sX(s) – 2 + 3X(s) = 0
2. X(s) =
2
1
=2
s+3
s+3
3. x(t) = 2e-st
5.4 USO DE UNTSIM PARA RESOLVER EDO
El simulador UNTSIM puede usarse para resolver EDO.
Ejemplo 5.10
Resolver la EDO del Ejemplo 5.9.
a) Transformada de Laplace de la EDO
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06-Jul-2004
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA
ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN n CON CONDICIONES INICIALES
**************************************************************
n
(n-1)
d x
d
x
d x
an ---- + a(n-1) ------- + . . . + a1 ---- + ao x = u
n
(n-1)
d t
d t
d t
donde an ... ao y u = escalares
91
------------------------------------------------------------Orden de la Ec. Diferencial (máximo 10): 1
Ingresar coeficientes del lado izquierdo de la Ecuación
[an, ..., ao]: [1 3]
Condición inicial x(o): 2
2
----s + 3
b) Invertir F(s) a f(t)
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
06-Jul-2004
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Función F(s): 2/(s+3)
*************************************************************
------------------------------------------------------------2 exp(-3 t)
-------------------------------------------------------------
Ejemplo 5.11
Hallar x(t) de la ecuación diferencial
x′′ + 3x′ + 2x = 0
x(0) = a
x′(0) = b
donde a y b son constantes.
Denotando la transformada de Laplace de x(t) por X(s), o sea
L[x(t)] = X(s)
se obtiene
L[x′] = sX(s) – x (0)
L[x′′] = s2X(s) – sx(0) – x′(0)
Y entonces la ecuación diferencial dada se convierte en
[s2X(s) – sx(0) – x′(0)] +3[sX(s) – x(0)] + 2X(s) = 0
92
Substituyendo las condiciones iniciales en esta última ecuación,
[s2X(s) – as – b] + 3[sX(s) – a] + 2X(s) = 0
o
(s2 + 3s + 2)X(s) = as + b + 3a
Despejando el valor de X(s), se tiene
X(s) =
as + b + 3a
as + b + 3a
2a + b a + b
=
−
=
2
s +1
s+2
s + 3s + 2 ( s + 1)( s + 2)
La transformad inversa de Laplace de X(s) da
⎡a + b⎤
⎡ 2a + b ⎤
x(t) = L– 1[X(s)] = L– 1 ⎢
− L−1 ⎢
⎥
⎥
⎣s + 2⎦
⎣ s +1 ⎦
= (2a + b)e – t – ( a + b) e – 2 t
(t ≥ 0)
Que es la solución de la ecuación diferencial propuesta. Nótese que en la solución
aparecen las condiciones iniciales a y b. Así, x(t) no tiene constantes indeterminadas.
Asumiendo que a = 1 y b = 3, y usando el simulador UNTSIM se tiene:
Orden de la Ec. Diferencial (máximo 10): 2
[an, ..., ao]: [1 3 2]
d1x(0): 3
x(0): 1
s + 6
-----------2
s + 3 s + 2
b) Invirtiendo F(s) a f(t)
**************************************************************
Ingresar Función F(s): (s+6)/(s^2+3*s+2)
*************************************************************
-------------------------------------------------------------4 exp(-2 t) + 5 exp(-t)
------------------------------------------------------------>>
93
Ejemplo 5.12
Encontrar la solución x(t) de la ecuación diferencial
x′′ + 2x′ + 5x = 3
x′(0) = 0
x(0) = 0
Considerando que L[3] = 3/s, x(0) = 0, x′(0) = 0, la transformada de Laplace de
la ecuación diferencial es
s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = 3/s
Al resolver para despejar X(s), se halla
X(s) =
=
s+2
31 3
3
−
=
2
s ( s + 2s + 5) 5 s 5 s + 2 s + 5
2
s +1
31 3
2
3
−
−
2
2
5 s 10 ( s + 1) + 2
5 ( s + 1) 2 + 2 2
Por lo tanto, la transformada inversa de Laplace es
x(t) = L– 1[X(s)]
=
⎤
⎤ 3 −1 ⎡
3 −1 ⎡ 1 ⎤ 3 −1 ⎡
2
s +1
− L ⎢
L ⎢ ⎥− L ⎢
2
2 ⎥
2
2 ⎥
5
⎣ s ⎦ 10
⎣ ( s + 1) + 2 ⎦
⎣ ( s + 1) + 2 ⎦ 5
=
3 3 −t
3
− e sen2t − e −t cos 2t
5 10
5
(t ≥ 0)
Ejemplo 5.13
Resolver la ecuación diferencial siguiente
y′′ + 3y′ + 2y – 5 = 0
para las condiciones iniciales
y(0) = - 1, y′ (0) = 2
La transformada de Laplace es:
y′′ = s2Y(s) – sy(0) – y′(0) = s2Y(s) + s – 2
y′ =sY(s) – y(0)
luego:
s2Y(s) + s – 2 +3.s.Y(s) + 3 + 2.Y(s) –
5
=0
s
94
Y(s) =
5 − s − s2
A
B
c
= +
+
s ( s + 1)( s + 2)
s s +1 s + 2
operando se tiene
A=
5
3
; B = – 5; C =
2
2
luego la transformada inversa es
5
3/ 2 ⎞ 5
3 -2t
⎛5/2
-t
−
+
L−1 [Y(s)] = L−1 ⎜
⎟ = – 5.e + e
s +1 s + 2⎠ 2
2
⎝ s
y(t) =
5
3
– 5.e-t + e-2t
2
2
Usando UNTSIM, se procede de la siguiente manera
Orden de la Ec. Diferencial (máximo 10): 2
[an, ..., ao]: [1 3 2]
d1x(0): 2
x(0): -1
5/s - s - 1
-----------2
s + 3 s + 2
b) Inversión de F(s) a f(t)
**************************************************************
Ingresar Función F(s): (5/s-s-1)/(s^2+3*s+2)
*************************************************************
------------------------------------------------------------5/2 + 3/2 exp(-2 t) - 5 exp(-t)
-------------------------------------------------------------
95
CAPITULO
6
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
Nuestro principal uso de la s transformaciones da Laplace en control de procesos
involucra la representación de la dinámica del proceso en términos de “Funciones de
Transferencia”. Estas son relaciones salida-entrada y se obtienen mediante la
transformada de Laplace de ecuaciones algebraicas y diferenciales.
Al examinar la Fig. 2.5, se plantea inmediatamente la posible relación existente
entre las variables de entrada y las de salida. Al cociente entre las expresiones
matemáticas de las variables de salida y de entrada en función del tiempo se le
denomina función de transferencia o transmitancia y se representa por el símbolo G(p)
o G(s), que recibe también el nombre de transmitancia isomorfa.
Para determinar la función de transferencia, consideremos un caso general en el
cual las señales de entrada y salida de un sistema se expresarán mediante ecuaciones
diferenciales lineales (una ecuación diferencial lineal es la formada por la suma de
términos lineales, es decir por la suma de términos que son de primer grado con relación
a las variables independientes).
an
dny
d n −1 y
d m −1 r
d mr
+
a
+
...
+
a
y
=
b
+
b
+ ... + a 0 r
0
/ m −1)
( n −1)
m
dt n
dt n −1
dt m
dt m −1
(6.1)
donde ai y bi = coeficientes constantes
r = entrada o fuerza impulsora
y = salida
Representando la función derivada por el operador p = d/dt resulta:
(an pn + a(n-1) pn-1 + ...+ a0)y = (bmpm + b(m-1) pm-1 + ... + b0)r
(6.2)
y de aquí
96
m
m −1
y (t ) bm p + b( m −1) p + ... + b0
N ( p)
=
=G =
n
n −1
r (t ) a n p + a ( n −1) p + ... + a 0
D( p)
(6.3)
que es la relación entre las señales de salida y(t) y entrada r(t), ambas como funciones
del tiempo. Esta relación recibe el nombre de función de transferencia del sistema.
En la expresión anterior, N(p) representa el numerador de la función de
transferencia y D(p) representa el denominador, ambos en función del operador p. En
caso de que la señal de entrada o de excitación del sistema sea nula, r(t) = 0 y el sistema
evoluciona libremente de acuerdo con la expresión siguiente
D(p) = an pn + a(n-1) pn-1 + ... + a0 = 0
(6.4)
que se llama ecuación característica y cuyas raíces son p1, p2, p3, ... pi y se denominan
polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador N(p) igualado a cero se
denominan ceros de la función de transferencia.
De este modo, la ecuación característica puede expresarse como
an(p – p1) (p – p2) ... (p – pi ) (p – pn) = 0
(6.5)
o bien, siendo en general pí raíces imaginarias, la expresión anterior pasa a ser
D(p) = y(t) = c1 ept + c2 ept + ... + ci ept + ... + cn ept = 0
(6.6)
Para que el sistema sea estable, la curva y(t) debe ser de evolución amortiguada al
crecer el tiempo, y por tanto las raíces pi deben tener su parte real negativa, ya que
entonces el término general ciept = cie(-r + ji)t
0 en el tiempo. Esta es una de las
condiciones de estabilidad que se verá más adelante
Consideramos de nuevo la Ec. (6.1) como ecuación diferencial lineal que
relaciona las señales de entrada y de salida a un sistema definido por la función de
transferencia G.
Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros y considerando valores
iniciales nulos en la función y en las derivadas resulta:
ansnY + a(n-1)sn – 1Y + . . . + a0Y = bmsmR + b(m-1)sm – 1R + . . . + b0R
(6.7)
y de aquí
G(s) =
m
m −1
Y ( s) bm s + b( m −1) s + ... + b0
=
R( s ) a n s n + a ( n −1) s n −1 + ... + a 0
(6.8)
expresión equivalente a la Ec. (6.3) sin más que cambiar el operador diferencial p en el
dominio del tiempo por la variable compleja s en el dominio de las s. Así pues, al ser las
dos expresiones equivalentes, la función de transferencia se puede expresar también por
el cociente de las transformadas de Laplace, siempre que se mantengan nulas las
condiciones iniciales en la variable y sus derivadas. Utilizando este concepto de función
de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones
algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de
transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.
El valor de la salida se obtiene multiplicando la entrada por la función de
transferencia.
97
6.1
ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Para una ecuación que describe un sistema físico real Ec.(6.1), el orden del lado
derecho, m, no puede ser mayor que el orden del lado izquierdo, n. Este criterio para una
realizabilidad física es:
n≥m
(6.9)
Esta condición puede ser determinada intuitivamente por el siguiente
razonamiento. Tomando un caso donde m = 1 y n = 0.
a 0 y = b1
dr
+ b0 r
dt
(6.10)
Esta ecuación dice que tenemos un proceso cuya salida y depende del valor de la
entrada r y el valor de la derivada de la entrada. Entonces el proceso debe ser capaz de
diferenciar, perfectamente, la señal de entrada. Pero es imposible para todo sistema real
diferenciar perfectamente. Esto tomaría que un cambio de escalón en la entrada
produzca una punta infinita en la salida. Esto es físicamente imposible.
Este ejemplo puede ser generalizado a cualquier caso donde m ≥ n para mostrar
que diferenciación debe requerir. Por lo tanto, n siempre debe ser mayor o igual a m. La
transformada de Laplace de la Ec. (6.10) da:
b
Y ( s ) b1
=
s+ 0
a0
R( s) a 0
(6.11)
Este es un adelanto de primer orden. Esto no es físicamente realizable; es decir,
un dispositivo no puede ser construido que tenga exactamente esta función de
transferencia
Considerar el caso donde n = m = 1.
a1
dy
dr
+ a 0 y = b1
+ b0 r
dt
dt
(6.12)
Esto aparece que una derivada de la entrada es nuevamente requerida. Pero la Ec.
(6.12) puede ser arreglada agrupando los términos de derivada juntos:
d
(a1 y − b1 r ) = dz = b0 r − a0 y
dt
dt
(6.13)
El lado derecho de esta ecuación contiene funciones del tiempo pero no
derivadas. Esta EDO puede ser integrada mediante la evaluación del lado derecho (la
derivada) en cada punto en el tiempo e integrando para conseguir z en el nuevo punto en
el tiempo. Entonces, el nuevo valor de y es calculado a partir del valor conocido de r:
y = (z + b1 r)/a1
(6.14)
98
No se requiere diferenciación y esta función de transferencia es físicamente
realizable.
Recordar, la naturaleza siempre integra. Nunca diferencia!
La transformada de Laplace de la Ec. (6.13) da la función de transferencia
salida/entrada
Y ( s ) b1 s + b0
=
R( s ) a1 s + a 0
(6.15)
Este es llamado un elemento de adelanto- retraso (lead-lag) y contiene un retraso
de primer orden y un adelanto de primer orden.
Los sistemas de procesos fluidos y térmicos, manifiestan varias características
dinámicas distintas, pero muchas de ellas se pueden describir por combinaciones de
cinco funciones de transferencia
Elemento proporcional (Ganancia)
K
Elemento derivativo
s
Elemento integral
1
s
Elemento de capacitancia
1
τs
1
τs + 1
Elemento de retraso de primer orden
τs + 1
Elemento de adelanto de primer orden
Elemento de retraso de segundo orden
No amortiguado ξ < 1
Críticamente amortiguado ξ = 1
Sobreamortiguado ξ > 1
1
τ s + 2ζτs + 1
1
(τs + 1) 2
2
2
1
(τ p1 s + 1)(τ p 2 s + 1)
Elemento de tiempo muerto (retardo en el tiempo)
e-Ls
Elemento de adelanto-retraso
τ zs +1
τ p +1
99
6.2
MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Para estudiar los sistemas de control una etapa principal es modelar y analizar las
características dinámicas del proceso a ser controlado. Un modelo matemático de un
sistema dinámico se define como un juego de ecuaciones que representan la dinámica
del sistema con exactitud, o al menos, razonablemente bien. Un sistema dado puede
tener muchos modelos matemáticos.
La dinámica de muchos sistemas se pueden describir en términos de ecuaciones
diferenciales, y la respuesta del sistema a una entrada se puede obtener si se resuelven
las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema.
Para obtener información detallada sobre modelamiento y simulación de procesos
químicos se recomienda revisar el texto del autos sobre: Modelamiento y Simulación de
Procesos
Ejemplo 6.1
Modelamiento matemático de un intercambiador de calor.
Entrada
fluido de calentamiento
Tco
Fco,
Controlador de
temperatura
Temperatura de
TC
V
á
l
referencia TR
Salida
fluido de Proceso
Fp, Tp
Entrada
fluido de Proceso
Fpo, Tpo
Salida
fluido de calentamiento
Fc, Tc
Fig. 6.1 Sistema de control de Un Intercambiador de Calor
100
Para ilustrar el modelamiento del proceso, consideraremos el caso de control de
temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo. En un sistema de intercambio
de calor, generalmente se tiene como objetivo calentar (o enfriar) un fluido de proceso
hasta una temperatura determinada Tp (de salida) para ser alimentado a una etapa
posterior en el proceso, para cumplir con este objetivo se debe usar una corriente de
fluido de calentamiento (o enfriamiento) el cual debe operar en un rango de
temperaturas entre la entrada Tco y la salida Tc y a una velocidad de flujo Fc, la cual
depende de los requerimientos del proceso.
Si el objetivo del proceso de transferencia de calor es el calentamiento (o
enfriamiento) de la corriente de proceso, el objetivo del sistema de control es mantener
la temperatura de salida de la corriente de proceso en un valor especificado o en estado
estacionario ante cualquier perturbación que pueda alterar el proceso.
Con lo expuesto anteriormente podemos establecer que la variable controlada es
la temperatura de salida del fluido de proceso (Tp), y la variable manipulada es la
velocidad de flujo del fluido de calentamiento (Fc). Las perturbaciones pueden
presentarse debido a cambios en la temperatura de entrada (Tpo), la velocidad de flujo
(Fp) del fluido de proceso, variación de temperatura del medio ambiente, resistencias a
las incrustaciones, etc.
Para el sistema de control del intercambiador de calor dado en la Fig. 6.1, por
modelamiento matemático (ver Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo
autor), se llega a las Ecs. (6.16) y (6.17)
d (Tc )
= 2[ Fc(t)(Tco – Tc) - U(t) A ΔT(T) / Cpc] /Mc
dt
d (T p )
= 2[ Fp(t)(Tpo – Tp) + U(t) A ΔT(T) / Cpp] /Mp
dt
(6.16)
(6.17)
donde Tc = temperatura de salida del fluido caliente
Tc0 = temperatura de entrada del fluido caliente
Tp = temperatura de salida del fluido de proceso (variable que se va a controlar)
Tp0 = temperatura de entrada del fluido de proceso
Fc = flujo de masa del fluido caliente (variable que se va a manipular)
Fp = flujo de masa del fluido de proceso
U = coeficiente total de transferencia de calor
A = área de transferencia de calor
ΔT = diferencia verdadera de temperaturas
Cpc = capacidad calorífica del fluido caliente
Cpp = capacidad calorífica del fluido de proceso
Mc = masa del fluido caliente dentro del intercambiador
Mp = masa del fluido de proceso dentro del intercambiador
t = tiempo
T = (Tc, TCo, Tp, Tpo) es un vector de temperaturas de los fluidos de entrada y
salida, ΔT(T) es la diferencia media efectiva de temperaturas, la cual puede ser la
diferencia media aritmética de temperaturas (DMAT).
ΔT(T) = [(Tp – Tco) + (Tpo –Tc)]/2
(6.18)
101
o como en la mayoría de los casos prácticos, la diferencia media logarítmica de
temperaturas (DMLT).
ΔT (T ) =
(T
ln(T
co
co
− T p ) − (Tc − TPo )
− T p ) − ln(Tc − T po )
(6.19)
La dependencia del tiempo del coeficiente de transferencia de calor es
importante para variaciones en el área de transferencia de calor. En este caso
asumimos que U(t) ≠ 0, t ≥ 0 y Tco > Tpo ó (Tco < Tpo respectivamente). Las asunciones
precedentes implican que bajo condiciones normales de operación, Tco > Tc o (Tco < Tc
respectivamente), de modo que el sistema de control está bien definido para todo t > 0.
Ejemplo 6.2
Modelamiento matemático de tres reactores en serie
F0
CA0
V1
k1
F1
CA1
V2
k2
F2
CA2
V3
k3
F3
CA3
Fig. 6.2 Reactores CSTR en serie
La Fig. 6.2 muestra una batería de tres reactores en serie. El producto B es
formado y el reactante A es consumido en cada uno de los tres reactores perfectamente
mezclados mediante una reacción de primer orden llevándose a cabo en el liquido. Por
el momento asumimos que las temperaturas y retenciones (volúmenes) de los tres
tanques pueden ser diferentes, pero tanto las temperaturas y el volumen de liquido en
cada tanque se asumen a ser constantes (isotérmico y a volumen constante). Se asume
densidad constante a lo largo del sistema, el cual es una mezcla binaria de A y B.
Con estas asunciones en mente, podemos formular nuestro modelo. Ver
Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo autor.
Las ecuaciones que describen los cambios dinámicos en las cantidades de
reactante A en cada tanque son (con unidades de Kg. . mol de A/min)
V1
dC A1
= F (CA0 – CA1) – V1 k1 CA1
dt
V2
dC A2
= F (CA1 – CA2) – V2 k2 CA2
dt
V3
dC A3
= F (CA2 – CA3) – V3 k3 CA3
dt
(6.20)
102
La velocidad de reacción específica kn está dada por la ecuación de Arrhenius
kn = α e − E / RTn
n = 1, 2, 3
(6.21)
si las temperaturas en los reactores son diferentes, los k son diferentes. La n se refiere al
número de la etapa.
El volumen Vn puede ser sacado fuere de la derivada del tiempo debido a que es
constante. Si el flujo F es constante y las retenciones y temperaturas son las mismas en
todos los tanques, las Ec. (6.20) serán
dC A1 ⎛
1⎞
1
+ ⎜ k + ⎟C A1 = C A0
dt
τ⎠
τ
⎝
dC A2 ⎛
1⎞
1
+ ⎜ k + ⎟C A 2 = C A1
dt
τ⎠
τ
⎝
(6.22)
dC A3 ⎛
1⎞
1
+ ⎜ k + ⎟C A3 = C A3
dt
τ⎠
τ
⎝
donde τ = V/F con unidades de minutos
Existe solamente una función impulsora o variable de entrada CA0.
6.3
6.3.1
SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES
Sistemas lineales
Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El
principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación
simultánea de dos funciones excitadoras (perturbaciones) distintas, es la suma de las
respuestas individuales. Por lo tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas
entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez, y añadiendo o sumando los
resultados.
La primera interrogante que debe ser contestada es justamente cuando una
ecuación diferencial es lineal. Básicamente es la que contiene variables solamente
elevadas a la primera potencia en cualquiera de los términos de la ecuación.
Ejemplo de EDO lineal
a1
dx
+ a o x = f (t )
dt
(6.23)
donde ao y a1 son constantes o funciones del tiempo solamente, no de las variables
dependientes o sus derivadas.
103
6.3.2
Sistemas no lineales
Los procesos reales generalmente se modelan mediante ecuaciones algebraicas y/o
diferenciales no lineales. Si en la ecuación aparecen raíces cuadradas, cuadrados,
exponenciales, productos de variables, etc., la ecuación, es no lineal.
Ejemplos de EDO no lineal
a1
dx
+ a o x 0.5 = f (t )
dt
(6.24)
a1
dx
+ a o ( x) 2 = f (t )
dt
(6.25)
a1
dx
+ a o e x = f (t )
dt
(6.26)
a1
dx1
+ a o x1 (t ) x 2 (t ) = f (t )
dt
(6.27)
donde x1 y x2 son variables dependientes
6.4
LINEALIZACIÓN
Matemáticamente, una ecuación diferencial lineal es una para la cual se cumplen
las siguientes propiedades:
1.
2.
Si x(t) es una solución, entonces cx(t) es también una solución, donde c es una
constante.
Si x1 es una solución y x2 es también una solución, entonces x1 + x2 es una
solución.
La linealización es muy simple. Todo lo que se tiene que hacer es tomar las
funciones no lineales, expandirlas en una serie de expansión de Taylor alrededor de la
operación al estado estacionario, y despreciar todos los términos después de las
primeras derivadas parciales.
Asumiendo que tenemos una función no lineal de variables del procesos x1 y x2:
f (x1, x2). Por ejemplo, x1 podría ser fracción molar o temperatura o razón de flujo.
Denotando los valores de estas variables al estado estacionario como:
x1s = valor al estado estacionario de x1
x2s = valor al estado estacionario de x2
Ahora expandiendo la función f(x1,
estacionario f (x1s, x2s).
x2)
alrededor de sus valores al estado
104
⎛ ∂f ⎞
⎟⎟
(x1 − x1s )
f ( x1, x 2 ) = f ( x1s , x 2 s ) + ⎜⎜
⎝ ∂x1 ⎠ ( x1s , x 2 s )
⎛ ∂f
+ ⎜⎜
⎝ ∂x 2
⎛ 2
⎞
⎟⎟
(x 2 − x 2 s ) + ⎜⎜ ∂ 2f
⎠ ( x1s , x 2 s )
⎝ ∂x1
⎞ ( x1 − x1s )2
⎟
+. . .
⎟
2!
⎠
(6.28)
La linealización consiste en truncar las series después de las primeras derivadas
parciales.
⎛ ∂f ⎞
⎛
⎟⎟
(x1 − x1s ) + ⎜⎜ ∂f
f ( x1, x 2 ) ≅ f ( x1s , x 2 s ) + ⎜⎜
⎝ ∂x1 ⎠ ( x1s , x 2 s )
⎝ ∂x 2
⎞
⎟⎟
(x 2 − x 2 s )
⎠ ( x1s , x 2 s )
(6.29)
Hemos aproximado la función real a una función lineal
Ejemplo 6.3
Considerar la dependencia del flujo saliendo de un tanque a la raíz cuadrara de la altura
de liquido en el tanque:
F (h) = K h
(6.30)
La serie de expansión de Taylor alrededor del valor de h al estado estacionario, el
cual es hs en nuestra nomenclatura es:
⎛ ∂ 2 F ⎞ (h − hs )
⎛ ∂F ⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟
(
)
−
+
+K
h
h
F ( h) = F ( hs ) + ⎜
⎟
s
2
!
∂
h
⎝ ∂h ⎠ hs
⎝
⎠ hs
2
(6.31)
⎛1
⎞
≅ F (hs ) + ⎜ Kh −1 / 2 ⎟ (h − hs )
⎝2
⎠ hs
F ( h) = K hs +
(6.32)
K
(h − hs )
2 hs
(6.33)
Ejemplo 6.4
El producto de dos variables dependientes es una función no lineal de dos variables:
f(CA, F) = CA F
(6.34)
Linealizando
⎛ ∂f
f (C A , F ) ≅ f (C As , Fs ) + ⎜⎜
⎝ ∂C A
⎞
⎟⎟
(C A − C As ) + ⎛⎜ ∂f ⎞⎟
(F − Fs )
⎝ ∂F ⎠ (CAs , Fs )
⎠ (CAs , Fs )
CA(t)F(t) ≅ CAs Fs +Fs(CA(t) – CAs) + CAs(F(t) – F(s))
(6.35)
(6.36)
Notar que la linealización convierte la función no lineal (el producto de dos
variables dependientes) en una función lineal conteniendo dos términos.
105
6.5
VARIABLES DE DESVIACIÓN
Nosotros encontraremos de mucha utilidad en prácticamente todos los casos de
estudio de dinámica y control de sistemas lineales tomar la variable de desviación del
estado estacionario en lugar de las variables absolutas.
Estado no estacionario: x(t)
Desviación del estado
estacionario: X
Estado estacionario: xs
Fig. 6.3 Variables de desviación
Como las variables totales son funciones del tiempo, x(t), su desviación de los
valores del estado estacionario xs también serán funciones del tiempo como muestra la
Fig. 6.3.
Esta desviación del estado estacionario se denomina desviación o variables de
desviación. Nosotros usaremos letras mayúsculas para denotar las variables de
desviación. Entonces, la variable de desviación X es definida como:
X = x(t) – x s
(6.37)
Las ecuaciones que describen al sistema lineal pueden ser ahora expresadas en
términos de estas variables de desviación. Cuando se hace esto, dos resultados muy
útiles ocurren
1. Los términos en la ecuación diferencial ordinaria tienen las constantes fuera
2. las condiciones iniciales para las variables de desviación son todas iguales a cero
si el punto de inicio es la condición de operación al estado estacionario.
6.6
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LOS ELEMENTOS DE UN
SISTEMA DE CONTROL
Para el análisis de sistemas de control, se considera la carga constante y se varia
el setpoint, y el sistema de control debe llevar el valor de la variable de salida al valor
dado del setpoint. Con esta consideración, el sistema de control del intercambiador de
calor dado en el Ejemplo 6.1. puede representar mediante un diagrama de bloques para
una operación servo (discutida en el punto 6.13)
106
CONTROLADOR
R
VALVULA
Fc
FF
c c
U
E
GC
TPm
PROCESO
GV
Tp
GP
Hm
MEDIDOR
Fig.6.4 Diagrama de bloques del sistema de control
Como se puede observar en la Fig. 6.4, el sistema de control es un sistema de lazo
cerrado con retroalimentación en el cual se mide la variable controlada (salida) para
compararlo con el valor deseado de esta variable (valor de referencia), esto se hace en el
comparador y debido a que en la comparación la variable medida entra con signo
negativo, este sistema se conoce como “feedback negativo”.
Para un sistema de retroalimentación (feedback) negativo, la señal medida
proveniente del sensor ingresa con signo negativo al comparador por lo que el error está
dado por:
Error = valor de referencia o al E.E. (setpoint) – señal medida
(6.38)
En este texto usaremos la siguiente nomenclatura:
a) En el dominio del tiempo
r(t) = setpoint
ym(t) = variable medida
e(t) = error
e(t) = r(t) – ym(t)
(6.39)
b) En el dominio de Laplace y usando las variables de desviación:
R(s) = setpoint
Ym(s) = variable medida
E(s) = error
E(s) = R(s) – Ym(s)
(6.40)
Si hay diferencia se produce una señal de error la cual va al controlador para
accionar la válvula de control y regular el flujo del fluido de calentamiento según lo
requerido por el proceso.
Como muestra este sistema de control, los elementos básicos son:
107
-
Proceso
Elemeto de medida (Sensor)
Controlador
Elemento final de control (Válvula)
Elementos de transporte de señal
Siendo estos los elementos del sistema, veremos en el presente capítulo como
deducir las funciones de transferencia de cada elemento.
6.6.1
Función de transferencia del proceso
La función de transferencia para el proceso controlado relaciona en el dominio de
Laplace a la variable controlada (salida) a la variable manipulada (entrada).
Ejemplo 6.5
Función de transferencia de un intercambiador de calor
La función de transferencia para el proceso controlado llevado a cabo en el
intercambiador de calor debe relacionar en el dominio de Lapace a la variable de salida
(controlada) Tp a la variable de entrada (manipulada) Fc. De la Ec. (6.16) (para el fluido
de proceso), considerando constante el flujo de entrada
M p d (T p )
2Fp
si
Mp
2Fp
dt
= τp
= (Tpo – Tp) + U(t) A ΔT(T) /Fp Cpp
(tiempo)
y
(6.41)
A ΔT(T) /Fp Cpp = k1
La Ec. (6.25) se puede escribir como
τp
d (T p )
dt
+ Tp = Tpo + k1 U
(6.42)
En el estado estacionario, la Ec. (6.41) será:
τ ps
d (T ps )
dt
+ Tps = Tpos + k1 Us = 0
(6.43)
Donde el subíndice s indica al estado estacionario. Restando la Ec. (6.43) de la Ec.
(6.42) se tiene
τp
d (T p − T ps )
dt
+ (Tp - Tps ) = (Tpo - Tpos ) + k1 (U – Us )
(6.44)
Definiendo las variables de desviación para el intercambiador de calor:
108
(Tp - Tps ) = Tp
(U – Us ) = U
Además, Tpo = Tpos la temperatura de entrada es la misma en cualquier instante.
Con lo cual la Ec. (6.44)será:
τp
d (T p )
dt
+ Tp = k1 U
(6.45)
Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (6.45) se tiene:
τp [ s Tp (s) – Tp (0) ] + Tp (s) = k1 U(s)
(6.46)
Donde Tp (0) = 0, ya que en el tiempo cero recién se inicia el proceso y no hay
variación del estado estacionario (las variables de desviación para t = 0 son 0).
Simplificando la Ec. (6.46) se tiene
T p ( s)
U ( s)
=
k1
τ ps +1
(6.47)
donde: τp = Constante de tiempo del proceso (usualmente minutos o segundos)
k1 = Ganancia al estado estacionario
Usando el mismo procedimiento para la Ec. (6.17) (fluido de calentamiento) y
aplicando la propiedad de traslación de la transformada, para lo cual se sabe que:
Q = Fc (Tc – Tco) = U A ΔT
(6.48)
se tiene la función de transferencia para el fluido de calentamiento
k2
U (s)
=
Fc ( s ) τ c s + 1
(6.49)
Considerando que los dos procesos se llevan a cabo en serie, por lo cual la función
de transferencia del proceso total será el producto de las funciones de transferencia
individuales, y haciendo k1 k2 = Kp, τc = τ1 y τp = τ2, se tiene:
GP =
TP ( s )
KP
=
;
Fc ( s ) (τ 1 S + 1)(τ 2 S + 1)
τ1 , τ2 > 0
(6.50)
La Ec. (6.50), relaciona la variable de salida TP (variable controlada) a la
variable regulada FC (entrada o carga), donde τ1 y τ2 son las constantes características
de tiempo del proceso. Esta función de transferencia es de segundo orden.
109
Ejemplo 6.6
Función de transferencia de un sistema de nivel de liquido
Al analizar sistemas que consideran el flujo de fluidos, se hace necesario dividir el
régimen de flujo en régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento, de acuerdo
con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds es mayor que
aproximadamente 3000 - 4000, el flujo es turbulento.
qo
Válvula de
control
h
Válvula de
carga
q
Resistencia, R
Fig. 6.5 Sistema de control de nivel de liquido
donde: q = caudal de entrada, en m3 / s
qo = caudal de salida, en m3 / s.
h = nivel de liquido, en m.
R = resistencia a la salida
A = área de sección transversal del tanque, m2
V = volumen de liquido en el tanque, m3
Si el Reynolds es menor que aproximadamente 2000, el flujo es laminar. En el
caso laminar el flujo de fluido se produce en tuberías sin turbulencia. Los sistemas que
implican flujo turbulento suelen requerir, para representarse, de ecuaciones diferenciales
no lineales, mientras que los sistemas que corresponden a flujo laminar, pueden
representarse por ecuaciones diferenciales ordinarias. (En los procesos industriales
frecuentemente se tiene flujos en tuberías y tanques. En esos procesos el flujo es
frecuentemente turbulento y no laminar).
a) Caso lineal
Como se ha mencionado anteriormente, un sistema se puede considerar lineal si el
flujo es laminar. En este caso la resistencia al caudal de salida es lineal y estará dado
por:
qo = R h
(6.51)
110
El sistema debe mantener constante el nivel de liquido en el tanque (salida) para lo
cual debe regular el caudal de entrada (entrada). Por lo tanto la función de transferencia
debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de liquido al caudal de entrada.
Función de transferencia:
G ( s) =
H ( s)
Q( s)
(6.52)
1. Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario
entrada – salida = acumulación
q − q0 =
(6.53)
dV
dt
(6.54)
si
V = Ah;
dV = Adh
q – qo = q – h/R = A
AR
y
qo = h/R
dh
dt
dh
+ h = Rq
dt
(6.55)
definiendo la constante de tiempo, AR = τ, la Ec. (6.55) se escribe:
τ
dh
+ h = Rq
dt
(6.56)
2. Haciendo un balance de materiales al estado estacionario
τ
dhs
+ hs = Rq s = 0
dt
(6.57)
donde hs = nivel de liquido en el estado estacionario
qs = caudal de entrada en el estado estacionario
3. Definiendo las variables de desviación, para lo cual restamos la Ec. (6.57) de la Ec.
(6.56) se tiene:
τ
d ( h − hs )
+ ( h − hs ) = R ( q − q s )
dt
(6.58)
Las variables de desviación están dadas por:
(h – hs) = H
(q – qs) = Q
111
con lo cual la Ec. (6.58) se escribe:
τ
dH
+ H = RQ
dt
(6.59)
4. Tomando la transformada de Laplace a la Ec. (6.59) se tiene:
τ[sH(s) – H(0)] + H(s) = R Q(s)
Como se ha visto anteriormente, H(0) = 0 con lo cual se tiene:
τ sH(s) + H(s) = R Q(s)
H(s) [τs + 1] = R Q(s)
H ( s)
R
=
Q( s) τs + 1
(6.60)
Función de transferencia que relaciona el nivel de liquido al caudal de entrada
b) Caso no lineal
Supongamos que el tanque del ejemplo anterior opera en régimen turbulento por
lo que posee una resistencia no lineal en la salida, y el caudal de salida está dado por:
q0 = R h1/2
(6.61)
De igual manera que en el caso anterior, la función de transferencia del proceso
debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de liquido al caudal de entrada.
Función de transferencia:
G ( s) =
H ( s)
Q( s)
(6.62)
Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario igual que en el caso
lineal
q − q0 =
dV
dt
(6.63)
si
V = Ah;
dV = Adh
q – qo = q – Ch1/2 = A
y
dh
dt
qo = C h1/2
(6.64)
112
Como existe él termino NO LINEAL Ch1/2 trae dificultades al momento de tomar
la transformada de Laplace, por lo que esta ecuación debe linealizarse.
Para esto hacemos uso de la serie de expansión de TAYLOR y la función q0(h)
puede ser expresada en las proximidades del estado estacionario para valores de h
próximos a hs.
Entonces
qo = qo(hs) + q′o(hs)(h – hs) +
q' ' 0 (hs )(h − hs ) 2
+. . .
2!
(6.65)
donde q’0(hs) = es la primera derivada de q0 evaluada a hs.
q’’0(hs) = es la segunda derivada de q0 evaluada a hs constante.
Si tomamos solamente los términos lineales, el resultado es:
qo ≅ qo(hs) +q′o(hs)(h – hs)
(6.66)
Si sabemos que
qo = C h1/2
1
−1 / 2
q′o(hs) = dqo(hs) = Chs
2
Reemplazando el valor de q’0 (hs) en la Ec. (6.66) tenemos:
q 0 = q 0 ( hs ) +
Haciendo
1
Chs −1 / 2 (h − h )
s
2
(6.67)
qo(hs) = q 0 s
1
−1 / 2
Chs
= ( R1 ) −1
2
Tenemos
q0 = q0s +
1
( h − hs )
R1
(6.68)
Sustituyendo la Ec. (6.68) en (6.65)
⎡
⎤
dh
1
q − ⎢q os +
( h − hs ) ⎥ = A
dt
R1
⎣
⎦
q − q0s −
h − hs
dh
=A
dt
R1
(6.69)
113
1. Haciendo un balance de materiales al estado estacionario.
q − q0s = A
dhs
dt
(6.70)
2. Restando las Ecs. (6.69) – (6.70)
q − q0s −
dh
h − hs
dh
− (q s − q 0 s ) = A
−A s
dt
dt
R1
q − q0s −
h − hs
⎛ dh dhs ⎞
− (q s + q 0 s ) = A⎜
−
⎟
dt ⎠
R1
⎝ dt
q − qs −
h − hs
d ( h − hs )
=A
R1
dt
(6.71)
Introduciendo las variables de desviación
q – qs = Q
h – hs = H
Q−
H
dH
=A
R1
dt
R1Q − H = AR1
dH
dt
(6.72)
Definiendo la constante de tiempo τ = AR1 se tiene:
R1Q – H = τ
dH
dt
(6.73)
Tomando la transformada de Laplace
R1Q(s) – H(s) = τ[sH(s) – H(0)]
R1Q(s) – H(s) = τ sH(s)
R1Q(s) = τ sH(s) + H(s)
R1Q(s) = H(s) [τs + 1]
R
H ( s)
= 1
Q ( s ) τs + 1
(6.74)
114
Ejemplo 6.7
Función de transferencia de sistemas térmicos
Sea el sistema que aparece en la Fig. 6.6. Se supone que el tanque está aislado
para evitar pérdida de calor al aire circundante. También se supone que no hay
almacenamiento de calor en el aislamiento y que el liquido del tanque está
perfectamente mezclado, de modo que la temperatura es uniforme. Así que se utiliza un
termómetro único para describir la temperatura del liquido en el tanque, y la del liquido
que fluye a la salida
Liquido frio
Ti , G, M
Vapor de agua
Válvula
T
Liquido caliente
T
Fig. 6.6 Sistema Térmico
Se define
Ti = temperatura en estado estacionario del liquido que entra, en oC
T = temperatura en estado estacionario del liquido que sale, en oC
G = gasto de liquido en estado estacionario, en Kg./s.
M = masa de liquido en el tanque, en Kg.
Cp = calor especifico del líquido, en Kcal/Kg.oC
R = resistencia térmica, en oC s/ Kcal.
C = capacidad térmica en Kcal/ oC
q = flujo de calor, en Kcal/s.
Para este caso, se obtiene qo, C y R respectivamente como:
qo = GCP T
(6.75)
C = MCp
(6.76)
R=
T
1
=
q o GC P
(6.77)
Si se desea instalar un sistema de control para controlar la temperatura de salida
(variable controlada), manipulando el flujo de calor (variable manipulada). La función
de transferencia que relacione para el proceso debe ser: G(s) = T(s)/Q(s).
115
Haciendo un balance de energía en el tanque al estado no estacionario
Entrada – Salida = Acumulación
qi – qo =ρVCp
dT
dt
qi – G Cp (T – Ti ) = MCp
dT
dt
1
dT
(T – Ti ) = C
R
dt
Definiendo la constante de tiempo como: τ = RC = M/G, segundos
qi –
Rqi – T + Ti = τ
dT
dt
(6.78)
Escribiendo la Ec. (6.78) al estado estacionario:
Rqis – Ts + Tis = τ
dT
=0
dt
(6.79)
Restando la Ec.(6.79) de la Ec. (6.78)
R(qi – qis) – (T – Ts) + (Ti – Tis) = τ
d (T − Ts )
dt
Definiendo las variables de desviación:
(qi – qis) = Q
(T – Ts) = T
y con Ti – Tis = 0 La temperatura de entrada se mantiene constante en todo el
tiempo
dT
RQ – T = τ
(6.80)
dt
Tomando la transformada de Laplace:
RQ(s) – T(s) = τ[sT(s) – T(0)]
T(0) = 0
RQ(s) – T(s) = τ sT(s)
RQ(s) = τ sT(s) + T(s)
RQ(s) = T(s) [τs + 1]
T ( s)
R
=
Q( s) τs + 1
(6.81)
116
En la práctica, la temperatura del líquido que entra, puede fluctuar y actuar como
perturbación de carga. (Si se desea una temperatura constante del flujo de salida se
puede instalar un control automático para ajustar el flujo de calor de entrada con el
objeto de compensar las fluctuaciones en la temperatura del liquido que ingresa). Si la
temperatura del liquido de entrada se varia bruscamente desde Ti a Ti + T, mientras el
flujo del calor de entrada q y el gasto de liquido G se mantienen constantes, entonces el
flujo de calor de salida se modificará de q a q + q0 y la temperatura del gasto de salida
cambiara de T a T + To. El modelo matemático para el proceso, se puede obtener de la
misma forma que en el caso anterior, pero en este caso se mantiene constante qi, pero
varía Ti, con lo cual se tiene:
Ti – T = τ
d
dt
(6.82)
La función de transferencia que liga a T con Ti esta dada por:
T ( s)
1
=
Ti ( s ) τs + 1
(6.83)
Si el sistema térmico está sujeto a variaciones, tanto en la temperatura del líquido
que entra como en el flujo de calor de entrada, mientras se mantiene constante el gasto
de líquido, el cambio de temperatura T del líquido que sale, se puede obtener de la
siguiente ecuación
τ
dT
+ T = Ti + Rq i
dt
(6.84)
En la Fig. 6.7, se muestra un diagrama de bloques correspondientes a este caso,
(Nótese que el sistema comprende dos entradas).
Ti(s)
qi(s)
+
R
+
-
1
1
=
RCs τs
T(s)
Fig. 6.7 Diagrama de Bloques del Sistema
Ejemplo 6.8
Sistema de mezclado
Considerar un proceso de mezclado en el cual una corriente de solución
conteniendo sal disuelta fluye a un flujo volumétrico constante. La concentración de sal
en la corriente de entrada X (masa de volumen) varia con el tiempo.
117
Si desea obtener la función de transferencia que relacione la concentración de
salida con la concentración de entrada.
x(t)
q
y (t)
V
y(t)
q
Fig. 6.8 Sistema de mezclado
G(s) = Y(s)/X(s)
(6.85)
Asumiendo que la densidad de la solución permanece constante. La concentración
de salida debe ser igual a la concentración de la solución dentro del tanque, puesto que
es mezclada.
Analizando el sistema y haciendo un balance de sal:
Sal que entra – Sal que sale = Sal acumulada en el tanque
Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario tenemos:
qx − qy =
dVy
dt
qx − qy = V
dy
dt
(6.86)
donde V = constante
x, y = masa de sal / volumen
q = flujo volumétrico
Haciendo un balance de materiales al estado estacionario tenemos:
qxs – qys =
dVys
dt
qxs – qys = V
dys
dt
(6.87)
Restando (6.74) – (6.75)
(qx – qxs) – (qy – qys) = V
q( x – xs) – q (y – ys) = V
d ( y − ys )
dt
d ( y − ys )
dt
(6.88)
118
x – xs = X
y – ys = Y
La Ec. (6.76) se escribe
qX – qY = V
X–Y=
dY
dt
V dY
q dt
(6.89)
Definiendo la constante de tiempo:
τ=
V
Volumen
=
= tiempo
q Volumen / Tiempo
X – Y =τ
dY
dt
(6.90)
(6.91)
Aplicando la transformada de Laplace:
X(s) – Y(s) = τ[sY(s) – Y(0)]
X(s) – Y(s) = τsY(s)
X(s) = τsY(s) + Y(s)
X(s) = Y(s)[τs + 1]
G ( s) =
Y (s)
1
=
X ( s) τs + 1
(6.92)
Ejemplo 6.9
Sistema de reacción
Considerar un reactor CSTR (Reactor Continuo de Tanque Agitado) donde tiene
lugar la reacción siguiente:
K
A ⎯⎯→
B
− rA = KC A
119
CAo
FA0
V
CA
FA
Fig. 6.9 CSTR
donde ra = velocidad de reacción
K = constante de reacción
CA = concentración de A
V = volumen del reactor
F = caudal volumétrico de alimentación(constante)
CA0 = Concentración inicial de A
NA = Moles de salida
NAo = Moles de entrada
Considerando que la densidad y volumen son constantes, desarrollar la función de
transferencia que relacione la concentración en el reactor con la concentración en la
alimentación.
G ( s) =
C A ( s)
C Ao ( s )
(6.93)
Haciendo un balance de materiales a condiciones no estacionarios (base reactante
límite A)
Entrada = Salida + Desaparición por reacción + Acumulación
NAo = NA + (– rA)V +
dN A
dt
(6.94)
FA0CAo = FACA + (– rAV) + V
FA0CAo = FACA + KVCA + V
FA0CAo = CA(FA + KV) + V
dC A
dt
dC A
dt
dC A
dt
F A0 C A0
dC A
V
= CA +
F A + KV
FA + KV dt
(6.95)
Definiendo como
120
τ=
V
FA + KV
y
R=
FA0
F A + KV
Luego
RCAo = CA + τ
dC A
dt
(6.96)
Haciendo un balance de materiales al estado estacionario.
RCAos = CAs + τ
dC As
dt
(6.97)
Restando (6.96) – (6.97):
RCAo – R CAos = CA – CA0 + τ
R(CAo – CAos)= CA – CA0 + τ
dC As
dC A
– τ
dt
dt
d (C A − C As )
dt
(6.98)
CAo – CAos = CA0
CA – CAs = CA
Luego
RCA0 = CA + τ
dC A
dt
(6.99)
Tomando la transformada de Laplace
RCA0(s) = CA(s) + τ[sCA(s) + CA(0)]
(6.100)
RCA0(s) = CA(s) (1 + τ s)
G (s) =
C A (s)
R
=
C A 0 ( s ) 1 + τs
(6.101)
Uso de UNTSIM para obtener la función de transferencia
Podemos usar el simulador UNTSIM para obtener la función de transferencia de
sistemas descritos por una ecuación diferencial de hasta orden 10 en la salida como en
la entrada. Para el caso del ejemplo anterior Ec. (6.99) la EDO es de primer orden y la
usaremos para ilustrar esta aplicación.
Para esto seleccionamos del Menú Principal: Cálculos de Ingeniería Química –
Automatización y Control – Teoría Clásica – F de T desde Ec. Diferencial.
121
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
07-Jul-2004
ESTE PROGRAMA DEDUCE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA A PARTIR
DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN n CON CONDICIONES
INICIALES 0 COMO ES EL CASO DE LAS VARIABLES DE DESVIACION
**************************************************************
n
(n-1)
d y
d
y
dy
an----- + a(n-1)------- + . . . + a1---- + a0 y =
n
(n-1)
dt
dt
dt
m
(m-1)
d r
d
r
dr
bm ---- + b(m-1) ------- + . . . + b1 ---- + b0r
m
(m-1)
dt
dt
dt
donde a(i) y b(i)coeficientes. Puede usar valores numericos
o los simbolos R tau1 tau2 (solo para EDO 1er. orden)
------------------------------------------------------------Ingresar coeficientes de la Ecuacion:
Lado Izquierdo [ao...an]: [tau1 1]
Lado Derecho [bo...bm]: [R]
La funcion de transferencia G(s) = Y(s)/R(s) =
R
---------tau1 s + 1
Ejemplo 6.10
Tres reactores CSTR en serie
El sistema es mostrado en la Fig. 6.10 y es una simple extensión del CSTR
considerado en el Ejemplo 6.9. El producto B es formado y el reactante A es consumido
en cada uno de los tres reactores perfectamente mezclados mediante una reacción de
primer orden llevándose a cabo en el liquido. Se asume que las temperaturas y el
volumen de liquido en cada tanque son constantes (isotérmico y a volumen constante).
Se asume densidad constante en el sistema, el cual es una mezcla binaria de A y B.
Con estas asunciones en mente, podemos formular nuestro modelo. Si el volumen
y densidad de cada tanque son constantes, la masa total en cada tanque es constante.
Luego la ecuación de continuidad total para el primer reactor es
d ( ρV1 )
= ρ F0 – ρ F1 = 0
dt
o
(6.102)
F0 = F1
Asimismo, un balance total de masa en los tanques 2 y 3 da
F3 = F2 = F1 = F0 = F
(6.103)
122
Donde F se define como el flujo (m3/min)
F0
CA0
V1
k1
F1
CA1
V2
k2
F2
CA2
V3
k3
F3
CA3
Fig. 6-10 Reactores CSTR en serie
Si se quiere determinar las cantidades de reactante A y producto B en cada tanque,
son necesarias las ecuaciones de continuidad por componente. Sin embargo, como el
sistema es binario y se conoce la cantidad total de masa de material en cada tanque,
solamente es necesaria una ecuación de continuidad de componente. Se pueden usar ya
sea A o B. Si elegimos arbitrariamente A, las ecuaciones que describen los cambios
dinámicos en las cantidades de reactante A en cada tanque son (con unidades de kg .
mol de A/min)
V1
dC A1
= F (CA0 – CA1) – V1 k1 CA1
dt
V2
dC A2
= F (CA1 – CA2) – V2 k2 CA2
dt
V3
dC A3
= F (CA2 – CA3) – V3 k3 CA3
dt
(6.104)
La velocidad de reacción específica kn está dada por la ecuación de Arrhenius
kn = α e − E / RTn
n = 1, 2, 3
(6.105)
si las temperaturas en los reactores son diferentes, los k son diferentes. La n se refiere al
número de la etapa.
Las tres ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales dadas en la Ecs.
(6.104) son el modelo matemático del sistema.
Usaremos este sistema simple en muchas partes subsecuentes de este libro. Si se
usa para diseño de sistemas de control y para análisis de estabilidad, se usará una
versión simplificada. Si el flujo F es constante y las retenciones y temperaturas son las
mismas en todos los tanques, las Ecs (6.104) serán
dC A1 ⎛
1⎞
+ ⎜⎜ k1 + ⎟⎟C A1 = τ 1C A0
dt
τ1 ⎠
⎝
dC A 2 ⎛
1 ⎞
+ ⎜⎜ k 2 + ⎟⎟C A 2 = τ 2 C A1
dt
τ2 ⎠
⎝
(6.106)
dC A3 ⎛
1⎞
+ ⎜⎜ k 3 + ⎟⎟C A3 = τ 3 C A3
dt
τ3 ⎠
⎝
123
donde τ = V/F con unidades de minutos
k = minutos –1 (reacción de primer orden)
Existe solamente una función impulsora o variable de entrada CA0, y la variable de
salida del sistema es CA.
El sistema considerado anteriormente; Fig. 6.10, es un sistema de "lazo abierto",
es decir, no se usa ningun controlador de retroalimentación.
CAD
E=Error
Controlador
Válvula
+
+
CA0
CA2
CA1
R-1
R-2
R-3
CA3
CAset +
CAM
Sensor
(a)
(b)
Fig. 6.11 Lazo cerrado para un proceso de tres CSTR. (a) Sistema idealizado; (b)
Sistema actual
Si adicionamos un controlador de retroalimentación, tenemos un sistema de "lazo
cerrado"; Fig. 6.11.
El controlador mide la concentración saliendo del tercer tanque CA3 y hace
ajustes en la concentración de entrada al primer reactor CAo en orden a mantener CA3
cerca al valor de referencia deseado ("set point") CA3set. La variable CAD es una
desviación de la concentración y la variable CAM es una concentración manipulada que
es cambiada por el controlador. Nosotros asumimos que:
CAo = CAM + CAD
124
(6.107)
Esta es una idealización del sistema físico real en el cual la señal de control desde
el controlador deberá mover la posición de la válvula de control que deberá regular una
corriente con alta concentración de reactante A hacia la corriente de alimentación (Ver
Fig. 6.11)
Reacomodando las Ecs. (6.94) tenemos:
τ1
dC A1
+ (k 1τ 1 + 1)C A1 = C A 0
dt
(6.108a)
τ2
dC A 2
+ (k 2τ 2 + 1)C A 2 = C A1
dt
(6.108b)
τ3
dC A3
+ (k 3τ 3 + 1)C A3 = C A3
dt
(6.108c)
Las variables pueden ser ya sea totales o variables de desviación ya que las
ecuaciones son lineales ( todas las k y τ con constantes). Nosotros usaremos variables de
desviación, y por lo tanto las condiciones iniciales para todas las variables son cero.
CA1(0) = CA2(0) = CA3(0) = 0
(6.109)
Tomando la transformada de Laplace y encontrando la función de transferencia
para cada tanque.
Tanque 1:
τ1sCA1(s) + k1 τ1 CA1 (s) + CA1(s) = CA0 (s)
G1 ( s ) ≡
C A1 ( s )
1
=
C A 0 ( s ) τ 1 s + k 1τ 1 + 1
(6.110a)
Tanque 2:
τ2sCA2(s) + k2 τ2 CA2 (s) + CA2(s) = CA1 (s)
G2 (s) ≡
C A2 ( s)
1
=
C A1 ( s ) τ 2 s + k 2τ 2 + 1
(6.110b)
Tanque 3:
τ3sCA3(s) + k3 τ3 CA3 (s) +CA3(s) = CA2 (s)
G3 ( s ) ≡
C A3 ( s )
C A2 (s)
=
1
τ 3 s + k 3τ 3 + 1
(6.110c)
125
Si nosotros estamos interesados en el sistema total y queremos solamente el
efecto de la entrada CA0 sobre la salida CA3, las tres funciones de transferencia pueden
ser combinadas para eliminar CA1 y CA2.
CA3(s) = G3 CA2(s) = G3(G2 CA1(s) ) = G3 G2 (G1 CA0(s) )
(6.111)
La función de transferencia total G(s) es:
C A3 ( s )
= G1 ( s )G 2 ( s )G 3 ( s )
C A0 ( s )
G (s) ≡
(6.112)
Multiplicando las tres funciones de transferencia y reacomodando se tiene:
G ( s) =
G ( s) =
1
1
1
1 + k1τ 1 1 + k 2τ 2 1 + k 3τ 3
(6.113)
⎞
⎞⎛ τ 3
⎞⎛ τ 2
⎛ τ1
⎜⎜
s + 1⎟⎟⎜⎜
s + 1⎟⎟⎜⎜
s + 1⎟⎟
⎠⎝ 1 + k 3τ 3
⎠⎝ 1 + k 2τ 2
⎝ 1 + k1τ 1
⎠
(τ
Kp
p1
s + 1)(τ p 2 s + 1)(τ p 3 s + 1)
(6.114)
La Ec. (6.114) es la Función de transferencia del proceso total en la forma
estándar con las constantes de tiempo τpi y una ganancia al estado estacionario Kp.
Ejemplo 6.11
Dos tanques calentados
El flujo F de aceite pasando a través de dos tanques en serie perfectamente
mezclados es constante e igual a 90 pies3/min. La densidad ρ del aceite es constante e
igual a 40 lbm/ pie3, y su capacidad calorífica CP es 0,6 Btu/lbm°F. El volumen del
primer tanque V1 es constante e igual a 450 pies3, y el volumen del segundo tanque V2 es
constante e igual a 90 pies3. La temperatura del aceite entrando al primer tanque es T0 y
es 150 °F en el estado estacionario inicial. Las temperaturas en los dos tanques son T1 y
T2. Las dos son iguales a 250 °F en el estado estacionario inicial. Un dispositivo de
calentamiento en el primer tanque usa vapor para calentar el aceite. Denominando Q1 al
calor adicionado en el primer tanque.
T0
V1 , T1
T1
V2 ,T2
T2
Q1
Fig. 6.12 Dos tanques con calentamiento
126
Se puede hacer un balance de energía para cada tanque,.
Balance de energía para el tanque 1:
d ( ρC PV1T1 )
= ρ Cp (FoTo – F1 T1 ) + Q1
dt
(6.115)
Balance de energía para el tanque 2:
d ( ρC PV2 T2 )
= ρ Cp (F1T1 – F2 T2)
dt
(6.116)
Como el flujo a través de los tanques es constante F0 = F1 = F2 = F. Debido a
que los volúmenes, densidades, y capacidades caloríficas son todas constantes, las Ecs.
(6.115) y (6.116) se pueden simplificar
ρ Cp V1
d (T1 )
= ρ Cp F (To – T1 ) + Q1
dt
(6.117)
ρ Cp V2
d (T2 )
= ρ Cp F (T1 – T2)
dt
(6.118)
Los valores numéricos de las variables son:
ρ = 40 lbm/pie3
F = 90 pies3/min
V2 = 90 pies3
V1 = 450 pies3
Cp = 0.6 Btu/lbm oF
Reemplazando estos valores en las Ecs. (6.117) y (6.118) da:
(40)(0.6)(450)
(40)(0.6)(90)
5
dT1
= (40 )(90 )(0.6)(T0 − T1 ) + Q1
dt
dT2
= (40 )(90 )(0.6 )(T1 − T2 )
dt
dT1
Q
+ T1 = T0 + 1
2160
dt
(6.119)
(6.120)
(6.121)
dT2
+ T2 = T1
dt
(6.122)
Las transformaciones de Laplace da:
(5 s + 1)T1 ( s ) = T0 ( s ) +
1
Q1 ( s )
2160
(s + 1) T2 (s) = T1(s)
Rearreglando y combinando para eliminar T1 da la variable de salida T2 como una
función de las dos variables de entrada, T0 y Q1.
127
⎡
⎤
⎡ 1 / 2160 ⎤
1
T2 ( s ) = ⎢
T0 ( s) + ⎢
⎥
⎥Q1 ( s )
⎣ (s + 1)(5s + 1) ⎦
⎣ (s + 1)(5s + 1) ⎦
(6.123)
Los dos términos entre corchetes representan las funciones de transferencia de
este proceso de lazo abierto. En los siguientes capítulos veremos este sistema
nuevamente y usaremos un controlador de temperatura para controlar T2 manipulando
Q1. La función de transferencia relacionando la variable controlada T2 a la variable
manipulada Q1 es definida como GM(s). La función de transferencia relacionando la
variable controlada T2 a la perturbación de carga T0 es definida como GL(s).
T2(s) = GL(s) T0(s) + GM(s) Q1(s)
(6.124)
Estas dos funciones de transferencia son retrazos de segundo orden con constantes
de tiempo de 1 minuto y 5 minutos.
6.6.2
Función de transferencia del elemento de medida (sensor)
Los elementos de medida o sensores pueden considerarse como la primera etapa
en un sistema de control, y son los que van a reportar el valor de la variable para
compararlo con el valor deseado o punto de consigna y determinar el error.
Siendo así la entrada en un elemento de medida es la variable leída (Y) y la salida
es el valor emitido hacia el controlador (Ym), con lo cual la función de transferencia es
Gm = H(s) =
Ym ( s ) B ( s )
=
Y ( s) C ( s)
(6.125)
Como las características dinámicas y estáticas del sensor o elemento de medición
afectan la indicación del valor efectivo de la variable de salida, el sensor juega un papel
importante en la determinación del comportamiento global del sistema de control. El
sensor suele determinar la función de transferencia en la retroalimentación. Si las
constantes de tiempo del sensor son insignificantes en comparación con las constantes
de tiempo de los demás componentes del sistema de control, la función de transferencia
del sensor se convierte, simplemente en una constante. A continuación se dan
ecuaciones de funciones de transferencia más comunes de sensores
H(s) =
B( s)
K
=
C ( s ) τs + 1
H(s) =
B( s)
K
=
C ( s) (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1)
Sobreamortiguado
(6.127)
H(s) =
B( s)
K
= 2 2
C ( s) τ s + 2ζτs + 1
Subamortiguado
(6.128)
Primer orden
(6.126)
La respuesta de un sensor térmico suele ser del tipo sobre amortiguado de segundo
orden
128
Ejemplo 6.12
Función de transferencia de un termómetro de mercurio
Un ejemplo para ilustrar la función de transferencia de un sensor es un
termómetro de mercurio. Cuando se desea tomar la temperatura usando un termómetro
de mercurio, se debe esperar un cierto tiempo hasta que el termómetro alcance la
temperatura del medio que lo rodea, entes de comenzar a medir la temperatura (colocar
el termómetro en el medio que se va a medir) este se encuentra en un estado
estacionario, durante el tiempo que demora el termómetro para alcanzar la temperatura
del medio, este se encuentra a condiciones no estacionarias y cuando alcanza la
temperatura del medio hacia delante se encuentra a condiciones estacionarias.
x
Temperatura final
Temperatura inicial
y
q
x
0
t
Fig. 6.13 Comportamiento de un termómetro de mercurio
Considerando: x = temperatura del liquido.
y = temperatura del bulbo del termometro.
A = área superficial del bulbo.
U = coeficiente de transferencia de calor.
m = masa de mercurio en el bulbo.
Cp = capacidad calorífica del mercurio.
1. Un balance de energía para el bulbo de mercurio a condiciones no estacionarias esta
dado por:
Calor que entra – calor que sale = acumulación
AU ( x − y ) − 0 = mCp
x− y=
(6.129)
dy
dt
mCp dy
AU dt
(6.130)
definiendo la constante de tiempo del termómetro como
τ=
mCp
AU
129
(6.131)
se tiene:
x − y =τ
dy
dt
(6.132)
2. Haciendo un balance de energía al estado estacionario
xs − ys = τ
dy s
dt
(6.133)
Restando (6.132) – (6.133)
(x − xs ) − ( y − ys ) = τ
d ( y − ys )
dt
(6.134)
Definiendo las variables de desviación:
y – ys = Y
x – xs = X
La Ec. (6.134) se escribe como:
X −Y =τ
dY
dt
(6.135)
Tomando la transformada de Laplace de la EC. (6.135)
X(s) – Y(s) = τ [sY(s) – Y(0)]
Pero Y(0) = 0 todavía no se inicia el cambio
X(s) – Y(s) = τ sY(s)
G ( s) =
Y ( s)
1
=
X ( s) τs + 1
(6.136)
Es la función de transferencia para el termómetro de mercurio
6.6.3
Función de transferencia del controlador
Como se ha discutido en el e Cap.3, los tres controladores comerciales comunes
de retroalimentación son proporcional (P), proporcional-integral (PI) y proporcionalintegral-derivado (PID). Las funciones de transferencia para estos dispositivos sn
desarrollados a continuación.
130
1. Control proporcional P
La ecuación describiendo un controlador proporcional en el dominio del del
tiempo es:
u(t) = us ± Kc (r (t) – ym (t))
(6.137)
donde u = señal de salida del controlador
us = constante, señal de salida del controlador al E.E. (cuando el r = ym, P = Ps)
r = setpoint
ym = señal medida del proceso desde el transmisor
Kc = ganancia proporcional
e
CONTROLADOR
Kc e = U
presión o mA
Fig. 6.14 Controlador proporcional
La Ec. (6.137) esta escrita en términos de variables totales. Si estamos tratando
con variables de desviación, simplemente eliminamos el término ps. La transformada de
Laplace da:
U(s) = ± Kc (R (s) – Ym (s)) = ± Kc E(s)
(6.138)
donde E = señal de error = R – Ym
Reacomodando para conseguir la salida sobre la entrada da la función de transferencia
GC(s) para el controlador.
GC(s) =
U (s)
= Kc
E (s)
(6.139)
Así, la función de transferencia para un controlador proporcional es simplemente
una ganancia.
Sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador
proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la Fig. 6.15;
se puede ver un diagrama de bloques de este controlador.
E(s)
+
-
Kc
U(s) = Kc E(s)
Fig. 6.15 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional
131
La ganancia del controlador proporcional es la relación que existe entre la
variación de la señal de salida y el error que la produce, es decir, es la variación en la
señal de entrada. El controlador proporcional es esencialmente un amplificador con
ganancia ajustable.
En lugar de la ganancia, muchos controladores emplean la denominada banda
proporcional que es la inversa de la ganancia, según la fórmula:
BP % = (100/K)%
(6.140)
y cuya definición es:
Banda proporcional es el porcentaje de variación de la variable controlada necesaria
para provocar una carrera completa del elemento final de control. Por ejemplo, en el
caso de un instrumento de escala 0 – 200 oC, en el que basta una variación de
temperatura de 50 oC para dar lugar a una carrera completa de la válvula de control, la
correspondiente banda proporcional es de
50
. 100% = 25 %
200
En los instrumentos de control industrial la banda proporcional oscila del 1% al
500%, y solo en casos muy espaciales los valores son mayores.
Ejemplo 6.13
Un controlador proporcional se usa para controlar temperatura dentro del rango de
60 a 100 oF. El controlador se ajusta de tal manera que la presión de salida vaya desde 3
psi (válvula completamente abierta) hasta 15 psi(válvula completamente cerrada) a
medida que la temperatura medida va desde 71 a 75 oF con el “set point”mantenido
constante. Encontrar la ganancia y la banda proporcional.
(75 o F − 71o F )
x 100
(100 o F − 60 0 F )
= 10 %
Banda proporcional =
Ganancia =
(6.141)
ΔP (15 psi − 3 psi )
=
= 3 psi/oF
ΔE (75 o F − 71o F )
Ahora asumimos que la banda proporcional del controlador es cambiada a 75 por
ciento. Encontrar la ganancia y el cambio de temperatura necesario para causar que la
válvula vaya de completamente abierta a completamente cerrada.
ΔT = (banda proporcional)(rango)
= 0,75 (40oF)
= 30oF
12 psi
Ganancia =
= 0,4 psi/oF
o
30 F
132
Control encendido-apagado (on-off).
El controlador más simple podría ser un
controlador encenido-apagado. En este sistema de control el actuador tiene sólo dos
posiciones fijas, que en muchos casos son, simplemente conectando y desconectando.
Un ejemplo de esta acción de control lo constituye una válvula que actúa como un
interruptor; si la ganancia proporcional es muy alta la válvula se moverá de una posición
extrema a la otra (enteramente cerrada a enteramente abierta).
“ON/OFF”
+
“OFF”
0
- “ON”
Fig. 6.16 Acción “ON”/ “OFF”
Esta acción muy sensible es llamada acción encendido-apagado “ON/OFF”
debido a que la válvula estará enteramente abierta “ON” o enteramente cerrada “OFF”.
La válvula en este caso actúa como un interruptor. La anchura de banda de un
controlador “ON/OFF” es aproximadamente igual a cero.
El Controlador de dos posiciones es simple y económico razón por la cual se usa
en muchos sistemas de control tanto domésticos como industriales.
Sea:
u(t) = señal de salida del controlador.
e(t) = señal de error.
En un controlador de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor máximo
o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de manera que:
u(t) = U1 para e(t) > 0
u(t) = U2 para e(t) < 0
U1
U1
e
+
u
+
-
U2
(a)
u
e
-
U2
Banda
diferencial
(b)
Fig. 6.17 (a) y (b) Diagramas de Bloques de Controladores de Dos Posiciones
133
Donde U1 y U2 son constantes. Generalmente el valor mínimo de U2 puede ser, o bien
cero, o -U1. En general los controladores de dos posiciones son dispositivos eléctricos,
donde habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide eléctrico. El rango en
que la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación, se denomina
zona muerta o brecha diferencial como se indica en la Fig. 6.17(b). Este es un
controlador simple y es ejemplificado por el termostato de un sistema de refrigeración.
Tal brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta
que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor 0.
Offset.. El “offset” es una característica indeseable inherente al control proporcional.
Consiste en la estabilización de la variable en un lugar no coincidente con el punto de
consigna, después de presentarse una perturbación en el sistema. Inicialmente parece un
contrasentido que la variable no se estabilice en el punto de consigna, ya que da la
impresión que el controlador no controla, puesto que, aparentemente, lo lógico es que al
fijar un punto de consigna la variable vuelva al mismo después de una perturbación.
Veremos con dos ejemplos sencillos el porque se produce el “offset” debido a las
características propias del controlador proporcional.
Sea el control de nivel de la Fig. 6.18, realizado mediante una válvula
autorreguladora de flotador en la que el flotador está ligado a la válvula mecánicamente.
En el supuesto de que el caudal de salida sea igual al caudal de aportación, el nivel se
mantendrá en un valor estable que suponemos es igual al punto de consigna. Si en un
momento determinado aumenta el caudal de salida por una mayor demanda, el nivel
bajará hasta estabilizarse en un nuevo valor, tal que el caudal mayor de entrada por la
nueva posición de la válvula de control iguale al caudal de salida. Debido al enlace
mecánico entre la válvula y el flotador, el mayor caudal de aportación sólo puede
obtenerse con un descenso del nivel que equivaldrá al “offset”.
Nivel de referencia o
punto de consigna
Fig. 6.18 Control de nivel
En el intercambiador de calor de la Fig. 6.19, suponemos que inicialmente la
temperatura coincide con el punto de consigna de 100 0C. Al cabo de un tiempo se
presenta un cambio de carga, originado, por ejemplo, por un aumento en el consumo de
fluido caliente, por apertura simultánea de mayor número de válvulas de consumo.
Nótese que la temperatura no vuelve al valor de consigna, sino que la misma se
estabiliza a los 90 oC. Es obvio que la temperatura final difiere de la primitiva, puesto
que se así no fuera, por las características del control proporcional, la posición de la
válvula sería la inicial, lo cual es imposible ya que en esta posición se ha presentado la
134
disminución de temperatura inicial y existiría el absurdo de mantener la misma
temperatura de salida con la válvula de control en la misma posición, dando el mismo
paso de caudal de vapor tanto para el consumo de agua caliente en el régimen inicial
como para el aumento de este consumo.
TRC
V
TT
Vapor
Fig. 6.19
Control de temperatura
La desviación puede eliminarse reajustando manualmente el punto de consigna;
no obstante, si vuelven a cambiar las condiciones de servicio volverá a presentarse el
“offset”. De aquí que el control proporcional solo puede aplicarse si las condiciones de
servicio no varían y son estables o si la presencia del “offset”en la variable es
perfectamente admisible, tal como ocurre, por ejemplo, en el caso del control de nivel
de un tanque intermedio en un proceso de fabricación; no importará demasiado que el
nivel se estabilice en el 45 % aunque el punto de consigna sea 50 % del nivel del
tanque.
2.
Control proporcional – integral PI
La acción de un controlador proporcional – integral queda definida por la
siguiente ecuación:
⎡
⎤
1
u(t) = us ± Kc ⎢e(t ) + ∫ e(t )dt ⎥
τi
⎣
⎦
(6.142)
donde τi = tiempo de restauración, minutos
La Ec. (6.142) está en términos de variables totales. Convirtiendo a variables de
desviación y tomando la transformada de Laplace se tiene:
⎡
⎤
1
U ( s) = ± K c ⎢ E ( s) +
E ( s )⎥
τis
⎣
⎦
(6.143)
o
Gc ( s) =
⎛τ i s + 1⎞
⎡
U ( s)
1 ⎤
⎟⎟
= ± K c ⎢1 +
⎥ = ± K c ⎜⎜
E (s)
⎝ τis ⎠
⎣ τis⎦
(6.144)
135
Entonces, la función de transferencia para un controlador PI contiene un adelanto
de primer orden y un integrador. Esta es una función de s, conteniendo polinomios de
orden uno en el numerador y denominador.
Ambos valores, Kc y τi son ajustables. El tiempo integral regula la acción de
control integral, mientras que una modificación en Kc afecta tanto a la parte integral
como a la proporcional de la parte de control.
El recíproco del tiempo integral τi recibe el nombre de frecuencia de reposición
la cual viene hacer la cantidad de veces por minuto que se repite la acción proporcional.
R(s)
E(s)
+
-
⎛ τ s + 1⎞
⎟⎟
Kc ⎜⎜ i
⎝ τis ⎠
Ym(s)
H(s)
U(s)
Y(s)
Fig. 6.20. Diagrama de Bloques de un controlador proporcional – integral
En el control integral, el elemento final se mueve de acuerdo con una función
integral en el tiempo de la variable controlada, es decir, el movimiento de la válvula
corresponde a la suma de las áreas de desviación de la variable con relación al punto de
consigna. Por tanto queda eliminado el “offset” típico de la acción proporcional, ya que
si se presenta, el controlador integra el área de desviación, moviendo la válvula lo
necesario para volver la variable al punto de consigna.
3.
Control proporcional - integral – derivativo PID
La acción de un controlador proporcional – integral - derivado “ideal”, queda
definida por la siguiente ecuación:
⎡
de(t ) ⎤
1
(6.145)
u(t) = us ± Kc ⎢e(t ) + ∫ e(t )dt + τ d
⎥
dt
τ
i
⎣
⎦
La Ec. (6.145) está en términos de variables totales. Convirtiendo a variables de
desviación y tomando la transformada de Laplace se tiene la función de transferencia de
un PID “ideal”:
⎡
⎤
1
U ( s) = ± K c ⎢ E ( s) +
E ( s ) + τ d sE ( s )⎥
τis
⎣
⎦
(6.146)
⎡τ i τ d s 2 + τ i s + 1 ⎤
⎡
⎤
U ( s)
1
Gc ( s) =
= ± K c ⎢1 +
+ τ d s⎥ = ± K c ⎢
⎥
E ( s)
τis
⎣ τis
⎦
⎣
⎦
(6.147)
136
La función de transferencia de un PID “real”, en distinción a uno “ideal”, es la
función de transferencia del PI con un elemento de adelanto-retraso colocado en serie.
GC ( s ) =
⎛ τ s + 1 ⎞⎛ τ d s + 1 ⎞
U (s)
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜
= ± K c ⎜⎜ i
E ( s)
τ
s
ατ
s
+
1
⎠
⎝ i ⎠⎝ d
(6.148)
donde τd = constante de tiempo derivativo, minutos.
α = una constante = 0.1 a 0.05 para la mayoría de controladores comerciales.
R(s)
⎛ τ s + 1 ⎞⎛ τ d s + 1 ⎞
⎟
⎟⎜
K c ⎜⎜ i
⎟
⎟⎜
⎝ τ i s ⎠⎝ ατ d s + 1 ⎠
E(s)
+
-
U(s)
Ym(s)
Y(s)
H(s)
Fig. 6.21 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional – Integral - Derivativo
La unidad de adelanto-retraso es denominada unidad derivativa, y su respuesta a
escalón es mostrada en la Fig. 6.22. para una unidad de escalón de cambio en la entrada,
la salida cambia a 1/α y luego decae a una velocidad que depende de τd. Así la unidad
derivativa se aproxima a una derivada ideal. Esto es físicamente realizable ya que el
orden del polinomio de su numerador es igual al orden del polinomio de su
denominador.
xin
τd s +1
ατ d s + 1
xout
1/α
xout
xin
1
1
0
t=0
t
0
t
t=0
t=td
Fig. 6.22 Unidad derivativa
137
6.6.4
Función de transferencia del elemento final de control (válvula)
El elemento de control final es el mecanismo que altera el valor de la variable
regulada, en respuesta a la señal de salida que se obtiene de un dispositivo de control de
manejo manual o por alguna manipulación manual directa.
En instalaciones de control automático; éste consta normalmente de dos partes Un
activador que traduce la señal de salida del dispositivo controlador en una acción que
comprende una gran fuerza o la manipulación de una energía de gran magnitud, y un
dispositivo que responde a la fuerza del activador y que ajusta el valor de la variable
regulada. Por ejemplo: el activador se puede usar para cambiar la posición de un tapón
de válvula en un orificio, la velocidad de un dispositivo giratorio o la cantidad de
energía que se suministra a una carga eléctrica.
En el control automático de procesos, el elemento de control final que se emplea
con mayor frecuencia es la válvula de diafragma motor (VDM). Consta de un activador
neumático de diafragma motor y una válvula de control del fluido de proceso.
Cada dispositivo que se utiliza para constituir un elemento de control final posee
sus propias características de retardación dinámica o constantes de tiempo. Esto quiere
decir que los dispositivos no responderán de manera instantánea a los cambios de las
señales de control o a las perturbaciones de la carga. La importancia del efecto de los
retrasos depende del proceso en que se emplea el dispositivo. En algunos casos, estos
retrasos pueden degradar gravemente el funcionamiento del sistema de control y por lo
tanto, provocar menguas en los buenos resultados del proceso. También pueden hacer
que se requiera mayor atención e intervención del operador.
En cualquier estudio de válvulas de control y sus características, se deben tomar
en cuenta dos partes de la válvula en forma especial: Primero, el cuerpo de la misma,
sus aspectos geométricos y los materiales de construcción y en segundo lugar, el macho
o tapón de la válvula, su geometría y sus materiales de construcción. La geometría
combinada del cuerpo y el tapón determinan las propiedades de flujo de la válvula.
La mayoría de las válvulas operan por medio de un actuador de posición lineal o
alguna modificación de este tipo de actuador. Estos actuadores colocan el macho de la
válvula en el orificio, en respuesta a una señal proveniente del controlador automático o
a través de un ajuste mecánico manual.
Una válvula neumática siempre tiene algún retraso dinámico, el cual hace que el
movimiento del vapor no responda instantáneamente a la presión aplicada desde el
controlador. Se ha encontrado que la relación entre el flujo y la presión para una válvula
lineal puede a menudo representarse por una función de transferencia de primer orden;
esto es:
KV
Q( s)
(6.149)
=
GV(s) =
U (s) τ V s + 1
Donde Q(s) = variable manipulada
U(s) = señal proveniente del controlador ( presión o mA) y actúa sobre la válvula
KV = constante de válvula (ganancia al estado estacionario)
τ V = Constante de tiempo de la válvula
138
En muchos sistemas prácticos, la constante de tiempo de la válvula es muy
pequeña comparada con las constantes de tiempo de otros componentes del sistema de
control, y la función de transferencia de la válvula puede ser aproximada a una
constante
GV(s) =
Q( s)
=KV
U (s)
(6.150)
Bajo estas condiciones, la válvula contribuye con un retardo dinámico despreciable.
Ejemplo 6.14
Para justificar la aproximación de una válvula rápida mediante una función de
transferencia la cual se simplifica a Kv, considerar una válvula de primer orden y un
proceso de primer orden conectados en serie como muestra la Fig. 6.23
U
Válvula
Proceso
Kv
τvs +1
Kp
Y
τ ps +1
Fig. 6.23 Diagrama de bloques para una válvula de primer
orden y un proceso de primer orden
Como se verá mas adelante según el álgebra de bloques, la función de
transferencia Y(s)/U(s) es
kv K p
Y (s)
=
U ( s ) (τ v s + 1)(τ p s + 1)
(6.151)
Para un cambio de una unidad de escalón en U
Y(s) =
kv K p
1
s (τ v s + 1)(τ p s + 1)
(6.152)
El inverso de esta ecuación es
⎡
τ vτ p
y(t) = (KvKp) ⎢1 −
⎢⎣ τ v − τ p
⎛ 1 −t / τ
⎜ e v − 1 e −t / τ p
⎜τ
τv
⎝ p
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(6.153)
Si τv << τp, esta ecuación es aproximadamente
y(t) = (KvKp)(1 – e-t/τp)
(6.154)
La última expresión es la respuesta de la función de transferencia
139
Kp
Y ( s)
= Kv
U ( s)
τ ps +1
(6.155)
a una unidad de escalón, de tal manera que la combinación de la válvula y el proceso es
esencialmente de primer orden. Esto claramente demuestra que, cuando la constante de
tiempo de la válvula es muy pequeña comparada a la del proceso, la función de
transferencia de la válvula puede ser tomada como Kv.
CONTROLADOR
R(s)
E(s)
U(s)
GC(s)
Ym(s)
Q(s)
VALVULA
GV(s)
X(s)
Q(s)
PROCESO
GP(s)
Y(s)
H(s)
MEDIDOR
Fig. 6.24 Bloque generalizado: X(s) es la posición del vástago de la válvula y Q(s) el
flujo de fluido de proceso producido por la ubicación instantánea del vástago.
Actuadores de posición final
Según la definición antes establecida para el desarrollo de control final, el
actuador es un transductor. Este dispositivo se encarga de transducir la señal de control
de una forma o un nivel de energía o potencia a otra, por ejemplo: de señal neumática a
acción mecánica que se utiliza para regular una variable de proceso. En casi todos los
casos, el actuador de válvula se puede clasificar como actuador de posición lineal.
Suministra una posición de salida que es proporcional a una señal de entrada. El
movimiento del elemento de salida del activador es, casi siempre, de translación (en
oposición o rotacional), aunque el movimiento de translación se puede transformar en
rotatorio para operar algunas válvulas.
Posicionadores y elevadores de potencia (“boosters”)
El posicionador es un amplificador neumático – mecánico con retroalimentación
que tiene una alta ganancia (de 1 a 100).
Hay otro dispositivo auxiliar que se emplea para mejorar el funcionamiento de
ciertos tipos de elementos de control final, que es el reforzador o relevador piloto. El
reforzador es un amplificador de alimentación directa y potencia neumática.
140
Válvulas alimentadoras de sólidos
Los actuadores de posición lineal y las válvulas de control que se describieron
con anterioridad, se emplean primordialmente para el control de flujo de fluidos
(líquidos o gases). Hay otras clases de equipos que se necesitan para manejar la
transferencia de materiales sólidos. El equipo con válvula de medición de sólidos en
particular depende del volumen, la densidad, la forma especifica y el tamaño de los
sólidos que se van a manejar.
Propulsores de velocidad variable
El motor de velocidad variable es un propulsor de velocidad variable de uso
común. Este tipo de dispositivo puede ser un motor eléctrico universal con una fuente
de voltaje ajustable o un motor eléctrico de c.a., que se alimenta por medio de una
fuente de frecuencia ajustable. Para aplicaciones especiales, el motor de velocidad
variable puede ser de tipo turbina de gas o aire, en donde la presión de la fuente se hace
variar para cambiar de velocidad.
6.6.5
Función de transferencia de elementos de transporte
Elemento de tiempo muerto (retardo en el tiempo)
Elemento de adelanto-retraso
e-Ls
τ zs +1
τ p +1
El elemento de tiempo muerto, denominado comúnmente demora distancia –
velocidad, o verdadera demora de tiempo, se encuentra con frecuencia en los sistemas
de procesos. Por ejemplo, si un elemento de medida de temperatura se localiza corriente
debajo de un intercambiador de calor, ocurre una demora de tiempo antes que el fluido
calentado que sale del intercambiador llegue al punto en el cual se mide la temperatura.
f(t)
Tiempo muerto L
f(t)
t=0
F (t-L )
f(t - L)
t=L
Fig. 6.25 Efecto del elemento de tiempo muerto
141
Si algún elemento del sistema produce un tiempo muerto de L unidades de tiempo,
entonces cualquier entrada f(t) al elemento se reproducirá en la salida como f(t – L), al
transformar esto al dominio de s, se tiene
L[f(t)] = F(s) = entrada
L[f(t – L)] = e − Ls F(s) = salida
Y
G(s) =
salida e − Ls F ( s )
=
= e − Ls
entrada
F ( s)
F(s)
(6.156)
e-Ls
C(s)
Fig. 6.26 Diagrama de bloques del elemento de tiempo muerto del proceso
6.7
POLOS Y CEROS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Considerando un sistema descrito por la Ec. (6.1), tomando la trnsformada de
Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de
transferencia del sistema G(s) será:
n
n −1
Y ( s ) a n s + a ( n −1) s + ... + a 0
=
G(s) =
X ( s ) bm s m + b( m −1) s m −1 + ... + b0
(6.157)
El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación
característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir
de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la Ec. (6.1) igual a cero.
Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de
transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de
transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero).
Factorizando numerador y denominador se tiene:
⎛a
G ( s ) = ⎜⎜ n
⎝ bm
⎞ (s − z1 )(s − z 2 ). . . (s − z n )
⎟⎟
⎠ (s − p1 )(s − p 2 ). . . (s − p m )
(6.158)
donde zi = ceros de la función de transferencia
pi = polos de la función de transferencia
Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de
transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En
142
adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea
estable.
“Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del plano s”
La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto
sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero
no afectan la estabilidad
6.7.1 Ceros y polos de la función de transferencia con UNTSIM
El simulador UNTSIM puede usarse para obtener los ceros y polos de la función
de transferencia.
Por ejemplo se desea obtener los ceros y polos de la siguiente función de
transferencia:
G ( s) =
1/ 8
( s + 1) 3
Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química –
Automatización y control – Transformación de modelos – Func. De Transf. a ceros y
polos:
03-Sep-2004
ESTE PROGRAMA TRANSFORMA UN MODELO DE FUNCION
DE TRANSFERENCIA A CEROS Y POLOS
Ver Automatización y control Cap. VI
**********************************************
Ingrese coeficientes del numerador: 1/8
Ingrese coeficientes del denominador: conv([1 1],
conv([1 1],[1 1]))
-------------------------------------------Los ceros son
z =
Empty matrix: 0-by-1
Los polos son
p =
-1.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
La(s) ganancia(s) son
k =
0.1250
>>
143
6.8 GANANCIAS AL ESTADO ESTACIONARIO
La ganancia al estado estacionario es la razón de la salida en el estado
estacionario sobre la perturbación de entrada.
En el proceso de dos tanques con calentamiento dado en el Ejemplo 6.11, las dos
funciones de transferencia son dadas por la Ec. (6.123). la ganancia al estado
estacionario entre la temperatura de entrada T0 y la salida T1 se ha encontrado a ser 1
o o
F/ F cuando s es establecido igual a cero. Esto dice que cuando cambia un grado en la
temperatura de entrada variara la temperatura de salida un grado, lo cual es razonable.
La ganancia al estado estacionario entre T2 y el calor de entrada Q1 es 1/2160
o
F/Btu.min. Se debe tener cuidado en las unidades de la ganancia. Algunas veces se
tienen unidades de ingeniería, como en este ejemplo, otras veces son usadas ganancias
adimensionales.
6.9
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA DIRECTA
Al representar un sistema de control mediante un diagrama de bloques, se debe
colocar en cada bloque la función de transferencia correspondiente al elemento del
sistema. Así para el sistema de control de lazo cerrado mostrado en la Fig. 2.3
Controlador
Referencia
R(s)
E(s)
+
G1(s)
Válvula
Proceso
G2(s)
G3(s)
Y(s)
-
Ym(s)
H(s)
Medidor
(sensor )
Fig. 6.27 Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado
Como se vera más adelante, el diagrama de la Fig. 6.27 se puede reducir a la
forma dada en la Fig. 6.28a y 6.28b.
R(s)
E(s)
+
Y(s)
G(s)
-
Ym(s)
R(s)
Y(s)
E(s)
+
G(s)
-
Ym(s)=Y(s)
H(s)
(a)
(b)
Fig. 6.28 Sistema de lazo cerrado
144
a) H(s) ≠ 1
b) H(s) = 1
La salida Y(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con
la entrada de referencia R(s). La salida Y(s), se obtiene en este caso, multiplicando la
función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s).
Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada,
es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada.
Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es
generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de
una temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla
con la señal de entrada. Esta conversión lo realiza el elemento de retroalimentación
(medidor), cuya función de transferencia es H(s).
La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de
compararla con la entrada. En la mayoría de los casos el elemento de retroalimentación
es un sensor que mide la salida del proceso. La salida del sensor se compara con la
entrada (valor de referencia) y así se genera la señal de error. En este ejemplo la señal
de retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con
la entrada es Ym(s) = H(s) Y(s).
Con referencia a la Fig. 6.28, la relación entre la señal de retroalimentación Ym(s)
y la señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto.
Es decir:
Y (s)
= G(s) H(s)
(6.159)
Función de transferencia de lazo abierto = m
E ( s)
La relación entre la salida Y(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina
función de transferencia directa, de modo que:
Función de transferencia directa =
Y (s)
= G(s)
E (s)
(6.160)
Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de
transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo
6.10
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO
Para el sistema que se muestra en la Fig. 6.28, la salida Y(s) y la entrada R(s)
están relacionadas como sigue:
Y(s) = G(s) E(s)
E(s) = R(s) – Ym(s)
= R(s) – H(s)
Eliminando E(s) de ésta ecuación se tiene
Y(s) = G(s) R(s) – H(s) Y(s)
145
o
Y ( s)
G ( s)
=
R( s) 1 + G ( s) H ( s)
(6.161)
Usando MATLAB, la función de transferencia se evalúa de acuerdo a:
Para la Fig. 6.28a
Gs = feedback(G, H)
Para la Fig. 6.28b
Gs = feedback(G, 1)
La función de transferencia que relaciona Y(s) con R(s), se denomina función de
transferencia de lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del
sistema de lazo cerrado con la dinámica de los elementos de acción directa y los de la
retroalimentación
De la Ec. (6.157) se obtiene Y(s) por:
C(s) =
G (s)
R(s)
1 + G ( s) H ( s)
(6.162)
Así la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de la función
de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada
6.11 SISTEMAS SOMETIDOS A UNA PERTURBACIÓN DE CARGA
En la Fig. 6.29, se ve un sistema sometido a una perturbación. Cuando dos
entradas (la señal de referencia y la perturbación de la carga) están presentes en un
sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas
correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener
la salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo más o un
signo menos, la forma en que cada entrada se introduce al sistema.
Considere el sistema que aparece en la Fig. 6.29. Al examinar el efecto de la
perturbación L(s), se puede suponer que el sistema está inicialmente en reposo, con
error cero, entonces se puede calcular la respuesta YL(s) debida a la perturbación
solamente.
Se puede hallar entonces que:
146
YL ( s )
G2 ( s)
=
L( s ) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
(6.163)
Perturbación
De carga
L(s)
+
R(s)
+
+
G2(s)
G1(s)
YL(s)
-
H(s)
Fig. 6.29 Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación
Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede
suponer que la perturbación es cero. Entonces es posible obtener la respuesta YR(s) a la
entrada de referencia R(s) de:
YR ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )
=
R ( s ) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
(6.164)
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la
perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales. En otras
palabras, la respuesta Y(s) debida a la aplicación simultánea de la entrada de referencia
R(s) y la perturbación L(s) está dada por
Y(s) = YR(s) + YL(s)
=
G2 (s)
[G1(s)R(s) + L(s)]
1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
(6.165)
Ejemplo 6.15
Ecuación característica de lazo abierto para perturbación de carga
L(s)
GL(s)
M(s)
+
+
Y(s)
GM(s)
a) general
147
T0
V1 , T1
T1
V2 ,T2
T2
Q1
To
1
( s + 1)(5s + 1)
Q1
1 / 2160
( s + 1)(5s + 1)
+
+
T2
b) Ejemplo
Fig. 6.30 Proceso de lazo abierto
Considerar el sistema general de lazo abierto mostrado en la Fig. 6.30. La carga
variable L(s) ingresa a través de una función de transferencia de lazo abierto del proceso
GL(s). La variable manipulada M(s) ingresa a través de una función de transferencia del
proceso de lazo abierto GM(s). La variable controlada Y(s) es la suma de los efectos de
la variable manipulada y la carga variable. Recordar que si trabajamos en el dominio de
Laplace se aplica el principio de superposición.
La Fig. 6.30b muestra un ejemplo específico: el proceso de dos tanques con
calentamiento discutido en el Ejemplo 6.11. La carga variable es la temperatura de
entrada To. La variable manipulada es la entrada de calor al primer tanque Q1. las dos
funciones de transferencia GL(s) y GM(s) fueron discutida en el Ejemplo 6.11
La dinámica de este sistema de lazo abierto depende de las raíces de la ecuación
característica, es decir las raíces del polinomio en el denominador de las funciones de
transferencia del denominador. Si todas las raíces caen en el lado izquierdo del plano s,
el sistema de lazo abierto es estable. Para los dos tanques con calentamiento del ejemplo
mostrado en la Fig. 6.30b, los polos de las funciones de transferencia de lazo abierto son
s = 1 y s = – 1/5, así el sistema de lazo abierto es estable.
Notar que la función de transferencia GL(s) para el proceso de dos tanques con
calentamiento tiene una ganancia de estado estacionario que tiene las unidades de oF/oF.
La función de transferencia GM(s) tiene una ganancia con unidades de oF/Btu/min.
Ejemplo 6.16
Ecuación característica y funciones de transferencia de lazo cerrado para
perturbación de carga
Ahora colocaremos un controlador de retroalimentación sobre el proceso, como
muestra la Fig. 6.31a. La variable controlada es convertida en una señal de medición de
148
Proceso
L(s)
GL(s)
Controlador
Válvula
R
E
+
U
GC (s)
M(s)
GV(s)
+
Y(s)
+
GM(s)
-
YM
H(s)
Medidor
(sensor )
T0
T1
T2
T2
Termocupla
TT
Transmisor de
temperatura
PM
I/P
U
TC
Contolador de
temperatura
R
Proceso
L(s)
Controlador
E
R
+
GC(s)
–
U
GV
Q1
1
( s + 1)(5s + 1)
1 / 2160
( s + 1)(5s + 1)
+
+
T2
Válvula
YM
H(s)
Transmisor
Fig. 6.31 Sistema de lazo cerrado
149
proceso YM por el elemento sensor/transmisor H(s). El controlador de retroalimentación
compara la señal de YM con la señal de setpoint deseada R, alimentando la señal de error
E a través de un controlador de retroalimentación cuya función de transferencia es GC(s)
y produce una señal del controlador U. La señal proveniente del controlador cambia la
posición de la válvula de control la cual varía el flujo de la variable manipulada M
La Fig. 6.31b da una representación del sistema de control de retroalimentación y
un diagrama de bloques para el proceso de dos tanques con calentamiento con un
controlador. Usaremos un sistema analógico electrónico con señales de control de 4 a
20 mA. El sensor de temperatura tiene un rango de 100 oF, así la función de
transferencia H (despreciando cualquier dinámica en la medición de temperatura) es
GT ( s ) =
YM ( s ) 16 mA
=
T2 ( s ) 100 o F
(6.166)
La señal de salida del controlador P va a un transductor I/P que convierte 4 a 20
mA a una señal de presión de aire 3 a 15 psig para mover la válvula de control a través
de la cual se adiciona vapor al proceso.
Ahora asumiremos que la válvula tiene una característica lineal y pasa suficiente
vapor para adicionar 500 000 Btu/min al liquido en el tanque cuando la válvula esta
completamente abierta. Entonces la función de transferencia entre Q1 y U (juntando la
función de transferencia para el transductor I/P y la válvula de control) es
GV ( s ) ≡
Q1 ( s) 500,000 Btu / min
=
U ( s)
16 mA
(6.167)
mirando el diagrama de bloques en la Fig. 6.31a, podemos ver que la salida Y(s)
está dada por:
Y = GL(s) L + GM(s) M
(6.168)
Pero en este sistema de lazo cerrado, M(s) está relacionada a Y(s):
M = GV(s)U = GV(s)GC(s)E = GV(s)GC(s) ( R – YM )
M = GV(s)GC(s) ( R – H(s) Y )
(6.169)
Combinando las Ecs. (6.168) y (6.169)
Y = GL(s)L + GM(s) GV(s) GC(s) ( R – H(s) Y )
[1 + GM(s) GV(s) GC(s) H(s) ] Y = GL(s) L + GM(s) GV(s) GC(s) R
⎡
⎤
G L ( s)
Y (s) = ⎢
⎥ L( s)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
G
s
G
s
G
s
H
s
+
M
V
C
⎣
⎦
150
⎡
⎤
G M ( s )GV ( s )GC ( s )
+⎢
⎥ R(s)
⎣1 + G M ( s )GV ( s )GC ( s ) H ( s ) ⎦
(6.170)
La Ec. (6.170) da las funciones de transferencia describiendo el sistema de lazo
cerrado, así, estas son las funciones de transferencia de lazo cerrado. Las dos entradas
son la carga L(s) y el setpoint R(s). La variable controlada es Y(s). Notar que los
denominadores de ambas funciones de transferencia son idénticos.
Ejemplo 6.17
Las funciones de transferencia para el proceso de dos tanques calentados pueden
ser calculadas a partir de las funciones de transferencia del proceso de lazo abierto y la
función de transferencia del controlador de retroalimentación. Nosotros seleccionamos
un controlador proporcional, de tal manera que GC(s) = Kc.
Notar que las dimensiones de la ganancia de este controlador son mA/mA, esto es,
la ganancia es adimensional. El controlador toma un miliamperio de la señal (YM) y
envía una señal de un miliamperio (U)
G L ( s) =
1o F / o F
( s + 1)(5s + 1)
G M ( s) =
1 / 2160 o F / Btu / min
( s + 1)(5s + 1)
GV ( s ) =
500,000 Btu / min
16 mA
H ( s) =
16 mA
100 o F
La función de transferencia de lazo cerrado para cambios en la carga es:
T2
G L ( s)
=
To 1 + G M ( s )GV ( s )GC ( s ) H ( s )
1o F / oF
( s + 1)(5s + 1)
=
⎛ 1 / 2160 o F / Btu / min ⎞⎛⎜ 500,000 Btu / min ⎞⎟
⎛ 16 mA ⎞
⎟⎟
⎟
(
1 + ⎜⎜
K C )⎜⎜
oF ⎟
⎜
⎟
(
1
)(
5
1
)
16
+
+
s
s
mA
100
⎝
⎠⎝
⎝
⎠
⎠
=
1o F / oF
1o F / o F
= 2
( s + 1)(5s + 1) + 500 K C / 216 5s + 6 s + 1 + 500 K C / 216
(6.171)
151
La función de transferencia de lazo cerrado para cambios en el setpoint es:
G M ( s )GV ( s )GC ( s )
T2
=
R 1 + G M ( s )GV ( s )GC ( s ) H ( s )
⎛ 1 / 2160 o F / Btu / min ⎞⎛⎜ 500,000 Btu / min ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
(K )
⎟ C
( s + 1)(5s + 1)
16 mA
⎝
⎠⎜⎝
⎠
=
⎛ 1 / 2160 o F / Btu / min ⎞⎛⎜ 500,000 Btu / min ⎞⎟
⎛
⎞
⎟⎟
⎟
(K C )⎜⎜ 16 mA
1 + ⎜⎜
oF ⎟
⎜
⎟
( s + 1)(5s + 1)
16 mA
⎝
⎠⎝
⎝ 100 ⎠
⎠
=
50,000 K C / 216 / 16 o F / mA
5s 2 + 6 s + 1 + 500 K C / 216
(6.172)
Si vemos las funciones de transferencia entre YM y R, debemos multiplicar la
primera por H.
500 K C / 216mA / mA
YM
= 2
R 5s + 6 s + 1 + 500 K C / 216
(6.173)
notar que los denominadores de estas funciones de transferencia son idénticos.
Notar también que la ganancia de estado estacionario de la servo función de
transferencia de lazo cerrado YM /R no es la unidad; es decir, es un estado estacionario
fuera del valor deseado (offset). Esto se debe al controlador proporcional. Nosotros
podemos calcular la razón YM /R en el estado estacionario igualando s a cero en la Ec.
(6.173)
500 K C / 216
1
⎛Y ⎞
lim⎜ M ⎟ =
=
t →∞
⎝ R ⎠ 1 + 500 K C / 216 216 / 500 K C + 1
(6.174)
La Ec. (6.174) muestra que mientras más pequeña es la ganancia, mas pequeño es
el offset.
Como la ecuación característica de cualquier sistema (lazo abierto o lazo cerrado)
es el denominador de la función de transferencia que lo describe, la ecuación
característica para este sistema es:
1+ GM (s) GV (s) GC(s) H(s) = 0
(6.175)
Esta ecuación muestra que la dinámica de lazo cerrado depende de las funciones
de transferencia de lazo abierto (GM, GV y H) y de la función de transferencia del
controlador de retroalimentación GC. La Ec. (6.175) se aplica para sistemas de simple
entrada- simple salida (SISO). Nosotros derivaremos las ecuaciones características para
otros sistemas en los siguientes capítulos.
152
La primera función de transferencia en le Ec. (6.170) relaciona la variable
controlada a la carga variable. Esta es la función de transferencia reguladora de lazo
cerrado. La segunda función de transferencia de lazo cerrado en la Ec. (6.170) relaciona
la variable controlada al setpoint. Esta es denominada servo función de transferencia de
lazo cerrado.
Normalmente nosotros diseñamos el controlador de retroalimentación GC(s) para
dar algún desempeño de lazo cerrado deseado. Por ejemplo, debemos especificar un
deseado coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado.
Es de gran utilidad considerar la situación ideal. Si podríamos diseñar un
controlador ideal fuera de cualquier consideración para la realización física, cuales
deberían ser las funciones de transferencia reguladora y servo de lazo cerrado?.
Claramente, desearíamos que una perturbación en la carga no tenga efecto sobre la
variable controlada. Así, la función de transferencia reguladora de lazo cerrado es cero.
Para cambios en el setpoint, nos gustaría que la variable controlada siguiera al setpoint
en todo instante. Así, la servo función de transferencia ideal es la unidad.
Si vemos la Ec. (6.170) veremos que se pueden conseguir las dos situaciones si
podemos simplemente hacer a Gc(s) infinitamente grande. Esto podría hacer al primer
término cero y al segundo término la unidad. Sin embargo como se verá en el Cáp. 9,
las limitaciones de estabilidad nos impiden conseguir esta situación ideal.
En lugar de considerar las funciones de transferencia del proceso, transmisor y
válvula separadamente, es conveniente combinarlas a todas ellas en una sola función de
transferencia.
GL
R
GC
+
U
G
+
+
Y
-
Fig. 6.32 Lazo de retroalimentación simplificado
Por consiguiente, el diagrama de lazo cerrado, mostrado en la Fig. 6.32 es mas
simple. La ecuación que describe este sistema de lazo cerrado es:
⎡ G M ( s )GC ( s ) ⎤
⎡
⎤
G L ( s)
+
Y (s) = ⎢
L
(
s
)
⎢
⎥ R( s)
⎥
⎣1 + G m ( s )GC ( s ) ⎦
⎣1 + G M ( s )GC ( s ) ⎦
(6.176)
Estas son la ecuaciones que usaremos en algunos casos debido a que es más
conveniente. Tener en cuenta que la función de transferencia GM(s) en la Ec. (6.176) es
una combinación de las funciones de transferencia del proceso, transmisor, y la válvula.
La ecuación característica de lazo cerrado es:
1 + GM(s) GC(s) = 0
(6.177)
153
6.12 OPERACIÓN PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
Convencionalmente para el diseño de sistema de control, se somete el sistema a
variaciones del setpoint (R) y determinar si la variable controlada sigue a los valores del
setpoint y en que tiempo alcanza estos valores.
En consecuencia para esta caso la función de tranfernecia reguladora se hace cero,
por lo que los sistemas dados en las Fig. 6.31 y 6.32 se transforman en:
Controlador
V
R
Proceso
GC(s)
+
–
U
Q1
GV
T2
1 / 2160
( s + 1)(5s + 1)
Válvula
YM
H(s)
Transmisor
R
GC
+
U
G
Y
Fig. 6.33 Diagrama de bloques para operación servo para dos tanques con
calentamiento a) Total b) Simplificado
Esta será la forma de representación que usaremos en la mayoría de nuestros
análisis de sistemas de control.
154
CAPITULO
7
DIAGRAMAS DE BLOQUES
Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para
mostrar las funciones que realiza cada componente, en ingeniería de control se
acostumbre usar diagramas denominados diagramas de bloques. Estos diagramas a la
vez que muestran las relaciones entre las variables del sistema constituyen el método
estándar para representar sistemas para fines de análisis o estudio.
Hay acuerdos ya establecidos para la construcción o el diseño de diagramas de
bloques. Las líneas representan señales que pueden ser flujos o corrientes de
información, material o energía. Una unión o juntura circular de totalización (punto de
suma) representa una suma algebraica de las señales de entrada en este punto. Al lado
de la flecha que va a la junta totalizadora se coloca un signo algebraico, (+) o (-), para
indicar una suma o una resta respectivamente; Fig. 7.1a. Un punto de ramificación o
bifurcación de otra línea representa la dirección de una señal en más de una trayectoria
sin modificaciones, Fig. 7.1b. Los rectángulos representan una modificación de la señal
entrante y se utilizan para los elementos del sistema Fig. 7.1c.
a–b
a
a
a
Entrada
Salida
Sistema
+
b
(a)
a
(b)
(c)
Fig. 7.1 Elementos de un diagrama de bloques
En general, los rectángulos contienen notaciones que describen las características
dinámicas del sistema que representan. Estas notaciones pueden incluir la ecuación
diferencial, la constante para la conversión de unidades o la función de transferencia que
relaciona la entrada y la salida del elemento.
155
El diagrama de bloques se obtiene directamente del sistema físico, dividiendo en
secciones funcionales no interactuantes, cuyas entradas y salidas se identifican con
facilidad. Los bloques se conectan en el mismo orden en que aparecen en el sistema
físico.
Punto de
referencia
Línea de
transmisión
(b)
Controlador
Línea de
transmisión
(a)
Transmisor
de presión
diferencial
Flujo
Válvula
Placa de orificio
Fig. 7.2 Circuito de control de un flujo de proceso
El lazo de control neumático de flujo que se muestra en la Fig. 7.2 comprende seis
secciones principales que se deben considerar: controlador, línea de transmisión a,
válvula, placa de orificio, transmisor del diferencial de presión y línea de transmisión b.
Para este caso, las características de válvulas representan el proceso que se está
controlando; la circulación por las válvulas es la salida del proceso c y el diagrama de
bloques de este sistema es el que aparece en la Fig. 7.3
Controlador
E
R
+
M
Modo de
control
B
Línea de
transmisión
(b)
D
A
Línea de
transmisión
(a)
Transmisor
ΔP
ΔP
Característica
de válvula
C
Placa de
orificio
Fig. 7.3 Diagrama de bloques de un circuito de control de flujo
Especificando el equipo usado
El controlador tiene una entrada de referencia o punto de ajuste R, que es el valor
deseado para la señal de medición del proceso transmitida al controlador. Este mide la
diferencia o error entre el punto de ajuste y la señal de medición. El controlador maneja
el error E para producir una salida M que corrige la posición de la válvula para hacer
que el error se reduzca a cero. En el diagrama de bloques, el controlador está
representado por la unión y el bloque de modalidades de control.
156
La salida del controlador alimenta la línea de transmisión a; el bloque que
representa la línea de transmisión a tiene a M, la variable manipulada, como entrada y
como salida a A. La línea de transmisión puede variar con gran rapidez, como sucede en
los instrumentos electrónicos, de modo que A = M, o bien puede hacerlo con lentitud,
como sucede en algunas instalaciones de instrumentos neumáticos, de tal manera que A
tiene una demora o retraso en tiempo en relación con M. A su vez, la señal A regula la
posición de la válvula de control, y esta posición y las características de válvula
determinan el gasto o velocidad de flujo a través de la misma. Del mismo modo, se
agregan bloques para la placa de orificio, el transmisor de presión diferencial y la línea
de transmisión b. El diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado, genera un lazo
cerrado cuando se expresa en la notación de diagramas de bloques
7.1
BLOQUES EN SERIE
x
z
y
G1
G2
Sabemos que:
y/x = G1
z/y = G2
x
z z y
= ⋅ = G1 G2
x y x
G1G2
z
Así pues, la función de transferencia resultante de dos o más bloques en serie es
igual al producto de las funciones de transferencia da cada uno de los bloques
dispuestos en serie
7.2
BLOQUES EN PARALELO
Como:
G1 = y1/x
G2 = y0/x
y = y1 + y0
G1
x
De aquí:
y y1 + y 0 y1 y 0
=
=
+
= G1 + G0
x
x
x
x
x
Es decir
y
G2
G1 + G2
y
La función de transferencia de dos o más bloques en paralelo es igual a la suma de
las funciones de transferencia de cada uno de los bloques dispuestos en paralelo.
157
7.3
BLOQUES EN RETROALIMENTACIÓN
x
+
G1
y
G2
De la figura se deduce:
y
G1 =
x − G2 y
Luego:
y = G1 x – G1G2 y
y
x
=
y(1 + G1G2) = G1 x
G1
1 + G1 G 2
x
7.4
y
G1
1 + G1G2
y por tanto:
BLOQUES CON CADENAS CRUZADAS
Estos bloques no están dispuestos ni en serie, ni en paralelo, ni en
retroalimentación, sino que presentan un cruzamiento de las cadenas.
Dy
D
x
A(x + B(y/c))
x + B(y/c)
A
y
(y/c)
C
B(y/c)
(y/c)
B
Convendría trasladar la salida D hacia el nudo I y, de este modo, el diagrama
quedará reducido a dos retroalimentaciones. En el diagrama se han colocado los valores
de las entradas y la salida, y se ha dibujado el diagrama equivalente, indicándose con
trazos discontinuos los cambios realizados.
Dy
Z
x
x + B(y/C)+DZy
D
A
B(y/C)
y
(y/C)
B
C
(y/C)
Debe verificarse que la señal de entrada a C sea la misma en ambos casos.
158
Luego:
Dy + A(x + B
y
y
) = A(x + B + DZy )
C
C
Luego:
Z = 1/A
En forma análoga determinaremos el valor de la función de transferencia T en la
cual se ha trasladado el punto de arranque de 4 a 5.
Dy
D
x
x + BXZy
A
A(x + BZy)
BZy
B
A(x+BZy)+DY
y
C
Zy
Z
Debe verificarse que las señales a la entrada de C sean iguales. Luego:
y⎞
⎛
Dy + A ⎜⎜ x + B ⎟⎟ = A(x + BZy) + Dy
C⎠
⎝
Luego:
Z = 1/C
En consecuencia, tanto si se traslada el punto de arranque de la señal de entrada,
como si se cambia el punto de ataque de la señal de salida, el bloque tiene una función
de transferencia que es la inversa de la función de transferencia del bloque afectado que
se sobrepasa.
7.5 REDUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES
Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la
salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier
efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un
bloque individual.
Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no
producen efecto de carga se puede representar como un bloque individual, siendo la
función de transferencia de ese bloque simplemente el producto de las funciones de
transferencia individuales.
Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos
de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de
diagrama de bloques. En la tabla 7.1 se dan algunas de estas reglas importantes. Se
obtienen escribiendo la ecuación en forma diferente. Hay que notar, sin embargo, que al
simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos,
debido a que se generan nuevos polos y ceros.
159
Al simplificar un diagrama de bloques debe darse lo siguiente:
1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo debe quedar igual
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe quedar igual.
Tabla 7.1 Reglas del álgebra de diagrama de bloques
Diagramas de bloques originales
A
1
A – B+C
A–B
+
+-
Diagramas de bloques equivalentes
B
A
+
C
+-
+
C
B
C
A
2
C
+
+-
A–B+C
A
+-
4
A
A
G1
5
G2
A G1
G1
+
+
A – B+C
B
A G1
G1
A–B
A
B
3
A – B+C
A–B
+
G2
A G1
+
A G1G2
A
A G2
G2
A
A G1G2
G1
A G1G2
A G 1G 2
G1 G2
AG1 + AG2
+
A
A G1 + AG2
G1 + G2
G2
A G2
A
G
6
AG
+
AG – B
A – B/G
A
+
-
AG – B
-
B/G
B
G
1/ G
B
7
A
A–B
+
G
AG – BG
A
G1
B
B
G2
AG – BG
AG
+
-
BG
160
AG
A
A
8
AG
G
G
AG
AG
G
A
AG
A
AG
G
9
G
A
AG
A
1/G
B
A–B
A
10
+
G1
11
G2
A
12
+
A–B
+
A
A–B
B-
A
A
+
A–B
B-
A
AG1 + AG2
A G1
+
+
+
A G2
+
G2/G1
B
G1
AG1 + AG2
A G1
G1
A
1/G2
-
+
G1
G2
B
-
G2
A
13
+
G1
-
B
A
B
G1/(1 + G1G2)
G2
Ejemplo 7.1
Sea el sistema que aparece en la figura 7.4(a). Simplifique este diagrama usando
las reglas que aparecen en la tabla 4.1
Solución
Desplazando el punto de suma de lazo negativo de retroalimentación que contiene H2
fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene a H1, se obtiene le figura
161
7.4(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se tiene la figura 7.4(c). Luego,
eliminando el lazo que contiene H2/G1, se obtiene la figura 7.4(d). Finalmente
eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a la figura 7.4(e).
H2
-
R
+
G1
+
+
-
+
G2
C
G3
H1
H2/G1
+ -
R
+
+
-
G1
G2
C
G3
+
H1
H2/G1
+ -
R
+
G1G2 /(1-G1G2H1)
C
G3
-
R
+
G1G2 G3
1 – G1G2H1 + G2G3H2
-
R
G1G2 G3
1 – G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3
C
C
Fig. 7.4 (a) Sistemas de lazos múltiples; (b) - (e) reducciones sucesivas
del diagrama de bloques mostrado en (a)
162
7.6
REDUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES USANDO UNTSIM
El simulador UNTSIM dispone de una rutina para reducir el diagrama de bloques
al cual podemos acceder a través del Menú - Cálculos de Ingeniería Química Automatización y Control - Teoría clásica - Combinación de bloques:
Ejemplo 7.2
Reducir el sistema de control representado por el siguiente diagrama
R
+
KC = 5
V–
s +1
2 s + 5s + 1
Y
2
Al acceder al programa tenemos:
Copyright 2003 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
ESTE PROGRAMA MANIPULA LAS FUNCIONES
DE TRANSFERENCIA DE UNO O DOS SISTEMAS
Ver Automatización y control Cáp. 6
***************************************************
Multiplicar (1), Feedback (2), paralelo(3): 1
Coeficientes del numerador de función 1: 5
Coeficientes del denominador de función 1: 1
-------------------------------------------La función de transferencia 1 es
Transfer function:
5
-------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: [1 1]
Coeficientes del denominador de función 2: [2 5 1]
Transfer function:
s + 1
--------------2 s^2 + 5 s + 1
********************************************
LA COMBINACIÓN EN SERIE DA:
Transfer function:
5 s + 5
--------------2 s^2 + 5 s + 1
>>
163
Lo cual significa que se ha reducido los bloques en serie a un solo bloque, quedando el
diagrama de la siguiente forma:
5s + 5
2
2 s + 5s + 1
R
+
Y
–
V
Y nuevamente al correr el programa para combinar en retroalimentación se tiene:
Coeficientes del numerador de función principal: [5 5]
Coeficientes del denominador de función principal: [2 5 1]
-------------------------------------------La función de transferencia principal es:
Transfer function:
5 s + 5
--------------2 s^2 + 5 s + 1
-------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: 1
Transfer function:
1
********************************************
LA COMBINACIÓN EN RETROALIMENTACIÓN DA:
Transfer function:
5 s + 5
---------------2 s^2 + 10 s + 6
>>
La cual equivale a:
R
5s + 5
2 s + 10 s + 6
Y
2
V
164
CAPITULO
8
RESPUESTAS TRANSITORIAS
La respuesta temporal de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta
transitoria y la respuesta en estado estacionario. Por respuesta en estado estacionario se
entiende la forma en que la salida del sistema se comporta cuando el tiempo t tiende al
infinito.
En la práctica, la señal de entrada a un sistema de control no puede conocerse con
anticipación, ya que es de naturaleza aleatoria y por lo tanto, la entrada instantánea no
puede expresarse en forma analítica. Solo en casos especiales se conoce previamente la
señal de entrada, que entonces es expresable en forma analítica, o por curvas
representativas.
Al analizar y diseñar sistemas de control, se debe disponer de una base para
comparar el comportamiento de diversos sistemas de control. Esas bases se pueden
establecer especificando determinadas señales especiales de entrada y comparando las
respuestas de diversos sistemas.
En general, sabemos que la relación entre la función de transferencia y las señales
de entrada y de salida es:
G=
Y ( s)
X (s)
y de aquí, la salida está dada por
Y(s) = X(s).G(s)
y que
y(t) = L-1[X(s).G(s)] = L-1[Y(s)]
X(s) se conoce porque es la transformada de Laplace de la perturbación x(t), y(t)
se obtiene experimentalmente, registrándose normalmente en forma de gráfico.
165
Luego el problema es determinado. Su resolución práctica puede hacerse por
tanteo, a base de suponer distintas funciones G(s) y calcular la señal de salida x(t) para
cada una de ellas. Se van ajustando progresivamente los datos experimentales y los
cálculos para y(t) hasta definir suficientemente la transmitancia G(s).
Aunque teóricamente cualquier perturbación de función conocida sería aplicable,
se suelen utilizar señales elementales típicas, tales como el impulso unidad, el escalón,
la rampa unidad, la función parabólica y la función senoidal. Y, aunque en la práctica
las señales a analizar siempre son mucho más complejas, siempre será posible su
descomposición en señales fundamentales elementales, con lo cual, la respuesta será la
suma de las respuestas ante estas funciones elementales de excitación.
8.1
FUNCIONES ELEMENTALES DE EXCITACIÓN
Las señales de entrada a utilizar para analizar las características de un sistema,
depende de la forma de las señales de entrada más habituales a que el sistema estará
sometido a condiciones normales de operación. Si las entradas a un sistema de control
son funciones que cambian gradualmente en el tiempo, la señal adecuada para una
prueba puede ser la señal rampa. En forma similar, si un sistema está sujeto a
perturbaciones súbitas, una función escalón en el tiempo puede ser una buena señal de
prueba; y para un sistema sujeto a entradas bruscas, la mejor puede ser una función
impulso
8.1.1 Función escalón
Sea la función escalón
x(t)
A
t
0
Fig. 8.1 Función escalón
x(t) = 0
para t < 0
x(t) = A
para t > 0
(8.1)
donde A es una constante. Tomando la Transformada de Laplace
X(s) = L[A] =
∫
∞
0
Ae-st dt =
A
s
(8.2)
Si A = 1 se tiene la función escalón unidad. En la Fig. 8.1 puede verse su
representación gráfica.
166
8.1.2
Impulso unidad
La función impulso es un caso especial limitativo de la función pulso. Sea la
función impulso
x(t)
A
δ
t
Fig. 8.2 Función impulso
A
to → 0 t
o
x(t) = 0
x(t) = lim
para 0 < t < t0
para t < 0, to < t
(8.3)
Como la altura de la función impulso es A/t0, el área bajo el impulso es igual a A.
A medida que la duración t0 tiende acero, la altura A/t0 tiende a infinito, pero el área
cubierta por el impulso permanece igual a A. Nótese que la magnitud de un impulso
viene dada por su área. La transformada de Laplace de esta función impulso resulta ser
X(s) = L[f(t)] = A
(8.4)
Por lo tanto la transformada de Laplace de una función impulso es igual al área
bajo el impulso
La función impulso cuya área es igual a la unidad, recibe el nombre de función
impulso unitario o función delta de Dirac.
8.1.3
Rampa unidad
Sea la función rampa siguiente
x(t) = 0
para
t<0
x(t) = At para
t≥0
(8.5)
x(t)
0
t
Fig. 8.3 Función rampa
167
donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa, resulta
dada por
X(s) = L[At] =
X(s) =
8.1.4
∫
∞
0
e − st
Ate dt = At
−s
-st
0∞
−∫
∞
0
Ae − st
dt
−s
A
A ∞ -st
e dt = 2
∫
s 0
s
(8.6)
Función sinusoidal
La transformada de Laplace de la función sinusoidal
x(t) = 0
para t < 0
x(t) = A sen ω t
(8.7)
para t ≥ 0
donde A y ω son constantes, es
X(s) = L[A sen ω t] =
Aω
s +ω2
(8.8)
2
8.2 ANÁLISIS TEMPORAL DE LOS SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Los sistemas de primer orden tienen por función de transferencia general la forma:
G(p) =
Y ( s)
1
=
en el dominio de t
X ( s ) τp + 1
(8.9)
G(s)=
Y ( s)
1
=
en el dominio de s
X ( s ) τs + 1
(8.10)
A continuación se analizarán las respuestas del sistema a entradas como las
funciones escalón unitario, impulso unitario y rampa unitaria. Las condiciones iniciales
se suponen iguales a cero.
Se hace notar que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia
tienen la misma salida como respuesta a la misma entrada. Se puede dar una
anticipación física a la respuesta matemática para cualquier sistema físico.
8.2.1
Respuesta a escalón unidad
Para un escalón unitario, de la Ec. (8.2) se tiene X(s) =
1
, reemplazando X(s) en
s
la Ec. (8.10) se tiene:
168
Y ( s)
Y ( s)
1
=
=
X (s)
1/ s
τs + 1
Y(s) =
1 1
s τs + 1
Al expandir Y(s) en fracciones parciales se tiene:
Y(s) =
1
1
–
s τs + 1
(8.11)
Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ec. (8.11), se obtiene:
Y(t) = 1 – e-t/τ
(t ≥ 0)
(8.12)
La Ec. (8.12) establece que inicialmente, la salida y(t) es cero y finalmente se
convierte en la unidad. Una característica importante de una curva exponencial de
respuesta y(t) es que en t = τ el valor de y(t) es 0,632; o sea que la respuesta y(t) ha
alcanzado el 63,2 % de su cambio total, lo cual se puede ver al sustituir t = τ en y(t). Es
decir
y(t) = 1 – e-1 = 0,632
Nótese que cuanto más pequeña sea la constante de tiempo τ, más rápida es la
respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva exponencial es que la
pendiente de la recta tangente en t = 0, es 1/τ, pues
dy 1 −t / τ
= e
dt τ
t =0
=
1
(8.13)
τ
y(t) = 1- e-t/τ
Pendiente = 1/τ
y(t)
1
τ
2τ
3τ
4τ
99,3%
98,2%
95%
63,2%
86,5%
0,632
5τ
t
Fig. 8.4 Curva de respuesta exponencial
169
la salida alcanzará el valor final en t = τ, si se mantuviera la velocidad inicial de
respuesta. De la Ec. (8.13) se ve que la pendiente de la curva de respuesta y(t) decrece
en forma monótona desde 1/τ en t = 0 hasta cero en t = ∞. La curva de respuesta
exponencial y(t) de la Ec.(8.12) aparece en la Fig. 8.4. en un tiempo igual a una
constante de tiempo τ la curva exponencial de respuesta ha pasado de 0 a 63,2 % del
valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86,5 % de su valor final.
Para t = 3τ, 4τ y 5τ, la respuesta alcanza 95 %, 98,2 % y 99,3 % del valor final
respectivamente. Así para t ≥ 4τ, la respuesta se encuentra dentro del 2 % del valor
final. Como se ve en la Ec. (8.12), el estado estacionario se alcanza matemáticamente
solo en un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica se obtiene una estimación
razonable del tiempo de respuesta, como el tiempo que requiere la curva de respuesta
para alcanzar la línea del 2 % de su valor final, o sea cuatro constantes de tiempo
Considérese el sistema mostrado en la Fig. 8.4. para determinar en forma
experimental si el sistema es de primer orden o no, trace la curva de log ⏐y(t) – y(∞)⏐,
donde y(t) es la salida del sistema en función de t. Si la curva resulta ser una recta, el
sistema es de primer orden. La constante de tiempo τ puede leerse en la gráfica, como
el tiempo τ que satisface la siguiente ecuación
y(τ) – y(∞) = 0,368 [y(0) – y(∞)]
y(τ) – y(∞) = 0,368[y(0) – y(∞)]
100
⏐y(0) – y (∞)⏐
⏐y(t) – y (∞)⏐
36,3
20
10
1
0
2 τ 4
6
8
10
12
t
Fig. 8.5 Diagrama de ⏐y(t) – y(∞)⏐/⏐y(0) – y(∞)⏐
en función de t en papel semilogarítmico
Nótese que en lugar de trazar log⏐y(t) – y(∞)⏐/⏐y(0) – y(∞)⏐, en función de t,
conviene representar⏐y(t) – y(∞)⏐/⏐y(0) – y(∞)⏐ en función de t en papel
semilogarítmico en la Fig. 8.6.
Teniendo el valor de la constante de tiempo τ, la curva de respuesta dada por la
Ec. (8.12), se puede obtener por diferentes métodos:
Dando valores a t y obteniendo los respectivos valores de y(t)
Usando un paquete de cálculo (MATLAB)
Mediante un programa
170
Ejemplo 8.1 ( Sistemas de primer orden)
Un termómetro teniendo una constante de tiempo τ = 0,1 min., está a una
temperatura en el E.E. de 90 oC. En el tiempo t = 0, el termómetro es puesto
súbitamente en un baño de temperatura mantenida a 100 oC. Determinar el tiempo
necesario para que el termómetro alcance una temperatura de 98 oC.
Solución
x(t) = temperatura del baño
y(t) = temperatura que marca el termómetro
La función de transferencia que relaciona Y(s)/X(s), es
G(s) =
Y ( s)
1
=
X ( s ) 1 + τs
Perturbación: entrada de escalón con X(s) = A/s
Reemplazando el valor de X(s). Se tiene
Y(s) =
A 1
A
1
= −
s 1 + τs s s + 1 / τ
Invirtiendo
y(t) = A – Ae-t/τ = A(1 – e-t/τ)
(a)
Sabemos que:
y(t) = y – ys = 98 – 90 = 8 oC
A = 10;
τ = 0,1
luego reemplazando en (a)
8 = 10(1 – e-t/0,1)
t = 0,161 min.
Uso de MATLAB La respuesta del sistema (termómetro) ante una entrada escalón
unitario se puede obtener con el siguiente programa:
»
»
»
»
»
»
»
»
»
%-------------Respuesta a un escalón unitario------------%Introduzca el numerador y el denominador de la Func. de Transf.
num=[0 1];
den=[0.1 1];
%***Introduzca la siguiente orden de respuesta a un escalón***
step(num,den)
grid
xlabel('Tiempo (min)')
ylabel('Variación de la temperatura oC')
171
Variación de la temperatura oC
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tiempo (min)
Fig. 8.6 Respuesta a un escalón unitario de una función
de transferencia de primer orden
>> Gm=tf(1,[0.1 1])
<--- Ingresamos la función de transferencia
Transfer function:
1
--------0.1 s + 1
>> step(Gm)
<--- Cambio en una unidad de escalón
Obteniendo la Fig. 8.6
Ejemplo 8.2 (sistemas de segundo orden)
Obtener la respuesta a una entrada de escalón para un sistema cuya función de
transferencia es:
G (s) =
C (s)
25
= 2
R( s ) s + 4 s + 25
Solución
El programa en MATLAB siguiente dará una gráfica de la respuesta a un escalón
(salto) unitario de este sistema. Cuya gráfica se muestra en la Fig. 8.7
172
»
»
»
»
»
»
»
»
»
%Respuesta a un escalón unitario
%Introduzca el numerador y el denominador
%de la función de transferencia
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
%Introduzca la orden de un escalón
step(num,den)
grid
Nota: se debe dar las unidades del tiempo en el eje x y de la salida en el eje y. Si no se
colocan por defecto coloca amplitud de la salida y el tiempo en segundos
Variación de la temperatura oC
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tiempo (min)
Fig. 8.7
Respuesta a un escalón unitario de una función
de transferencia de segundo orden
También:
>> Gm=tf([0 0 25],[1 4 25])<--Ingresamos la función de transferencia
Transfer function:
25
-------------s^2 + 4 s + 25
>> step(Gm)<--- Cambio en una unidad de escalón
173
8.2.2
Respuesta a impulso unidad
Ejemplo, apertura súbita de una válvula, se le mantiene abierta en un periodo
corto y luego se cierra a su posición original.
y(t)
1
τ
τ
2τ
3τ
4τ
t
Fig. 8.8 Respuesta de un sistema de primer orden a un impulso unitario
De la Ec. (8.4) para un impulso unidad se tiene
X(s) = 1
(8.14)
Reemplazando la Ec. (8.14) en la Ec. (8.10) se tiene
Y(s) =
1
τs + 1
(8.15)
Tomando la transformada inversa a la Ec. (8.12)
y(t) = L-1(
1
1
1
1
) = e-( t/τ ) t
) = L-1(
τs + 1
τ
s + 1/τ
τ
(8.16)
Ejemplo 8.3
Determinar la respuesta a un impulso unitario del termómetro dado en el
Ejemplo 8.1 (variación súbita de la temperatura del baño e inmediatamente vuelto a su
valor inicial)
Solución
La idea básica es que, cuando las condiciones iniciales son cero, la respuesta a un
impulso unitario de G(s) es la misma que la respuesta a un escalón unitario de sG(s)
Considere la respuesta a un impulso unitario del siguiente sistema:
G(s) =
Y ( s)
1
=
X ( s ) τs + 1
174
Como X(s) = 1 para la entrada impulso unitario tenemos
G(s) =
Y ( s)
1
⎛ s ⎞1
=
=⎜
⎟
X ( s ) τs + 1 ⎝ τs + 1 ⎠ s
Podemos así convertir la respuesta a un impulso unitario de G(s) en la respuesta a
un salto unitario de sG(s).
Para el termómetro se tiene
G(s) =
Y ( s) ⎛ s ⎞ 1
=⎜
⎟
X ( s) ⎝ 0,1s + 1 ⎠ s
Si introducimos el numerador y denominador en el programa MATLAB
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
%-----------Respuesta a un impulso unitario------------%Para obtener la respuesta a un impulso unitario de un sistema
% de primer orden G(s) = 1/(0.1s + 1)
%Introduzca el numerador y el denominador de la func. de Transf.
num=[1];
den=[0.1 1];
impulse(num,den)
grid
xlabel('Tiempo (min)')
ylabel('Variación de la temperatura C')
Se obtiene la respuesta del sistema a un impulso unitario como muestra la Fig. 8.9
Fig. 8.9 Respuesta a un impulso unitario de G(s) = 1/0,1s + 1
175
Ejemplo 8.4 Respuesta impulso unitario de un sistema de segundo orden
Sea el sistema de segundo orden
C ( s)
1
= G ( s) = 2
R( s)
s + 0,2 s + 1
Para la entrada impulso unitario se tiene
C (s)
1
s
1
= G ( s) = 2
= 2
R( s )
s + 0,2 s + 1 s + 0,2 s + 1 s
»
»
»
»
»
num=[0 1 0];
den=[1 0.2 1];
impulse(num,den)
grid
Fig. 8.10 Respuesta a un impulso unitario de un sistema de segundo orden
8.2.3
Respuesta a entrada en rampa
Ejemplo, apertura gradual de una válvula.
De la Ec. (8.6) para una rampa unitaria se tiene
X(s) =
1
s2
(8.17)
176
Reemplazando la Ec. (8.17) en la Ec. (8.10) se tiene
Y(s) =
1 1
s 2 1 + τs
(8.18)
Al expandir en fracciones parciales se obtiene
Y(s) =
1 τ
τ2
−
+
s 2 s 1 + τs
(8.19)
Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ec. (8.19), se obtiene
y(t) = t – τ + τ e-t/τ
(t ≥ 0)
(8.20)
Entonces, la señal de error e(t) es
e(t) = r(t) – y(t)
= τ (1 – e-t/τ)
donde r(t) es la señal de entrada
Cuando t tiende a infinito, e-t/τ tiende a cero, y entonces la señal de error e(t)
tiende a τ, o bien e(∞) = τ
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema están representados en la
Fig. 8.11. El error al seguir la entrada rampa unitaria es igual a τ para una t
suficientemente grande. Cuanto más pequeño sea la constante de tiempo τ, menor será
el error en estado estacionario al seguir la entrada rampa.
r(t)
y(t)
Error en estado
estacionario
r(t) = t
6τ
τ
τ
4τ
y(t)
2τ
0
2τ
4τ
6τ
t
Fig. 8.11 Respuesta de un sistema de primer orden a una rampa unitaria
177
Ejemplo 8.5
Ahora considere que la temperatura del baño en el termómetro varía gradualmente
aumentando su valor (entrada en rampa). Determine como varía la temperatura que
indica el termómetro.
Solución
Para obtener la respuesta a una entrada en rampa de la función de transferencia del
sistema G(s), se divide G(s) por s y se utiliza la orden de respuesta a un escalón. Para el
termómetro se tiene:
G(s) =
Y ( s)
1
=
X ( s ) 0,1s + 1
Para una entrada en rampa unitaria se tiene: X(s) = 1/s2. por tanto
Y(s) =
1
1
1
1
=
2
0,1s + 1 s
(0.1s + s ) s s
OJO
Para tener la respuesta a una entrada en rampa unitaria, se introduce el siguiente
numerador y denominador en el programa MATLAB,
num = [0 0 1]
den = [0.1 1 0]
y utilice la orden de respuesta a un escalón. El programa es:
»
»
»
»
»
%--------Respuesta a una entrada en rampa unitaria---------%La respuesta a una entrada unitaria en rampa se obtiene como
%la respuesta a un escalón unitario de G(s)/s por G(s)
% y utilizar la orden de respuesta a un escalón unitario
%Introduzca el numerador y el denominador de G(s)/s
» num=[0 0 1];
» den=[0.1 1 0];
»
»
»
»
%***Especifique los instantes de tiempo de cálculo (tales como
%t=0:0.005:0.5***
%A continuación introduzca la orden de respuesta
%a un salto unitario step(num,den)
» t=0:0.005:0.5;
» c=step(num,den,t);
»
»
»
»
%Al representar la respuesta a una rampa, añada a la gráfica
%la entrada de referencia es t. Incluya como argumentos
%de la orden plot lo siguiente: t,t, ′-′, la orden plot en este
%caso es como sigue: plot(t,c,′-′,t,t, ′-′)
» plot(t,c,′-′,t,t, ′-′)
» grid
» xlabel('Tiempo (min)')
» ylabel('Variación de la temperatura C')
178
0.5
0.45
0.4
Salida: c
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t: seg
Fig. 8.12 Respuesta del termómetro a una rampa unitaria
Ejemplo 8.6 Respuesta de un sistema de segundo orden
Sea el sistema de lazo cerrado
C (s)
1
= 2
R( s) s + s + 1
Para una entrada en rampa unitaria se tiene R(s) = 1/s2. Por tanto
C ( s)
1
1
1
1
= 2
= 2
2
R( s) s + s + 1 s
( s + s + 1) s s
Para obtener la respuesta a una entrada en rampa unitaria, introduzca el siguiente
numerador y denominados en el programa MATLAB
num = [0 0 0 1];
den = [1 1 1 0];
y utilice la orden de respuesta a un escalón. El programa es:
»
»
»
»
»
»
»
»
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
t=0:0.17:7;
c=step(num,den,t);
plot(t,c,'*',t,t,'-')
grid
ylabel('Salida: c')
xlabel('t: seg')
179
7
6
Salida: c
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t: seg
Fig. 8.13 Respuesta de un sistema de segundo orden a una rampa unitaria
8.2.4
Propiedades de los sistemas lineales invariantes en el tiempo
En comparación de la respuesta del sistema con las tres entradas vistas
anteriormente, se indica claramente que la respuesta a la derivada de una señal de
entrada se puede obtener al diferenciar la respuesta del sistema a la señal original.
También se puede ver que la respuesta a la integral de la señal original se puede obtener
integrando la respuesta del sistema a la señal original, y las constantes de integración se
determinan a partir de la condición inicial de salida, cero. Esta es una propiedad de los
sistemas lineales variables en el tiempo. Y los sistemas no lineales no poseen esta
propiedad.
8.3 RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN EN SERIE
Muchas veces un sistema físico puede representarse por varios procesos de
primer orden conectados en serie. Para ilustra este tipo de sistemas, considerar los
sistemas de nivel de liquido mostrados en la Fig. 8.14, en la cual dos tanques son
arreglados de tal manera que la salida del primer tanque es la entrada al segundo tanque.
Dos posibles arreglos de tubería son mostrados en la Fig. 8.14. En la Fig. 8.14a la
salida del tanque 1 se descarga directamente en la atmósfera antes de ingresar en el
tanque 2 y el flujo a través de R1 depende solamente de h1. La variación en h2 en el
tanque 2 no afecta la respuesta transitoria que ocurre en el tanque 1. este tipo de
sistemas es conocido como un sistema no interactuante. De otro lado, el sistema
180
mostrado en la Fig. 8.14b es denominado a ser interactuante debido a que el flujo a
través de R1 ahora depende de la diferencia entre h1 y h2
8.3.1
Sistema no interactuante
Para el ejemplo previo de nivel de liquido, asumimos que la densidad del liquido
es constante, que el tanque tiene un área de sección transversal uniforme, y la resistencia
al flujo es lineal. Nuestro problema es encontrar una función de transferencia la cual
relacione h2 a q, esto es, H2(s)/Q(s). Se debe obtener una función de transferencia para
cada tanque, Q1(s)/Q(s) y H2(s)/Q1(s), mediante un balance de masa el E.N.E.
alrededor de cada tanque; estas funciones de transferencia serán luego combinadas para
eliminar el flujo intermedio Q1(s) y producir la función de transferencia deseada.
Un balance en el tanque 1 da
q – q1 = A1
dh1
dt
(8.21)
Un balance en el tanque 2 da
q1 – q2 = A2
dh2
dt
(8.22)
Las relaciones entre el flujo y el nivel dadas por las resistencias lineales son
q1 =
h1
R1
(8.23)
q2 =
h2
R2
(8.24)
Combinando las Ecs. (8.21) y (8.22) de la misma manera como se ha hecho en el
Cáp. 6 e introduciendo las variables de desviación da la función de transferencia para el
tanque 1
Q1 ( s )
1
=
Q( s) τ 1 s + 1
(8.25)
donde Q1 = q1 – q1s, Q = q – qs, y τ1 = R1A1.
En la misma manera, combinamos las Ecs. (8.22) y (8.24) para obtener la función
de transferencia para el tanque 2
H 2 ( s)
R2
=
Q1 ( s ) τ 2 s + 1
(8.26)
donde H2 = h2 – h2s, y τ2 = R2A2.
181
Teniendo la función de transferencia para cada tanque, podemos obtener la
función de transferencia total H2(s)/Q(s) multiplicando las Ecs. (8.25) y (8.26) para
eliminar Q1(s):
H 2 (s)
R2
1
=
Q( s ) (τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1)
(8.27)
Notar que la función de transferencia total Ec, (8.27), es el producto de dos
funciones de transferencia de primer orden, cada una de las cuales es la función de
transferencia de un tanque simple operando independientemente del otro. En el caso del
sistema interactuante de la Fig. 8.14b, la función de transferencia total no puede ser
encontrada por una simple multiplicación de las funciones de transferencia de los
tanques. Esto será analizado posteriormente.
Ejemplo 8.7
Dos tanques no interactuantes son conectados en serie como muestra la Fig. 8.14a.
Las constantes de tiempo son τ1 = 0,5 y τ2 = 1; R2 = 1 . esbozar la respuesta del nivel
en el tanque 2 si el flujo de entrada al tanque 1 cambia en una unidad de escalón.
Solución
La función de transferencia de este sistema es dada en la Ec. (8.27) y (8.28)
H 2 (s)
R2
1
=
Q( s ) (τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1)
Para un cambio de una unidad de escalón en Q, se obtiene
H 2 ( s) =
(8.28)
R2
1
s (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1)
(8.29)
Invirtiendo la Ec. (8.29) y reemplazando los valores de τ1, τ2 y R se tiene
h2(t) = [1 – (2e-t – e-2t)
(8.30)
Dando valores a t en la Ec. (8.29), se obtienen los valores de h2(t)
Así mismo, reemplazando valores en la Ec. (8.29)se tiene
⎡
1
1⎤
H 2 ( s) = ⎢
⎥
2
⎣ 0,5s + 1,5s + 1 s ⎦
(8.31)
El programa en MATLAB siguiente dará una gráfica de la respuesta a un escalón
(salto) unitario de este sistema. Cuya gráfica se muestra en la Fig. 8.15
182
1
0.9
Un tanque
0.8
0.7
H2(t)
0.6
Dos tanques
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
T iempo: seg
Fig. 8.15 Respuesta transitoria del sistema de nivel de liquido
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
8.3.2
%Respuesta a un escalón unitario
%para dos tanques no interactuantes
num1=[0 0 1];
den1=[0.5 1.5 1];
%Para un solo tanque (el tanque 2)
num2=[0 1];
den2=[1 1];
t=0:0.1:5;
[y1,x1,t]=step(num1,den1,t);
plot(t,y1,'-',t,y2,'-')
xlabel('Tiempo: seg')
ylabel('H2(t)')
grid
Generalización de varios sistemas no interactuantes
Habiendo observado que la función de transferencia total para dos sistemas de
primer orden no interactuantes conectados en serie es simplemente el producto de las
funciones de transferencia individuales, podemos ahora generalizar para n sistemas de
primer orden no interactuantes representados en la Fig. 8.16.
El diagrama de bloques es equivalente a las relaciones
X 1 ( s)
k1
=
X o ( s) τ 1 s + 1
183
X 2 ( s)
k2
=
X 1 ( s) τ 2 s + 1
X n ( s)
kn
=
X n −1 ( s ) τ n s + 1
para obtener la función de transferencia total, simplemente multiplicamos las
funciones de transferencia individuales; luego
X n ( s)
=
X o ( s)
n
∏
i =1
ki
τis +1
(8.32)
Del Ejemplo 8.7, notamos que la respuesta a un escalón de un sistema consistente
de dos sistemas de primer orden tiende a la forma de S, esto se debe a la demora de
transferencia y está presente cuando se conectan en serie dos o más sistemas de primer
orden.
8.3.3
Sistemas interactuantes
Para ilustrar un sistema interactuante, derivaremos la función de transferencia para
el sistema mostrado en la Fig. 8.14b. el análisis comienza escribiendo los balances de
masa para los tanques como en el caso de no interactuantes. Los balances en los tanques
1 y 2 son los mismos y están dados por las Ecs. (8.21) y (8.22). Sin embargo la relación
de flujo a nivel para el tanque 1 es ahora
q1 =
1
(h1 − h2 )
R1
(8.33)
La relación de flujo a nivel para R2 es la misma del caso anterior y esta expresada
por la Ec. (8.24). Una vía simple para combinar las Ecs. (8.21), (8.22), (8.24), y (8.33)
es expresándolas primero en términos de las variables de desviación, transformar las
ecuaciones resultantes, y luego combinar las ecuaciones transformadas para eliminar las
variables no deseadas.
Al estado estacionario, las Ecs. (8.21) y (8.22) pueden escribirse
qs – q1s = 0
(8.34)
q1s – q2s = 0
(8.35)
Restando la Ec. (8.34) de la Ec. (8.21) y la Ec. (8.35) de la Ec. (8.22) e
introduciendo las variables de desviación da
Q – Q1 = A1
dH 1
dt
(8.36)
Q1 – Q2 = A2
dH 2
dt
184
(8.36)
Expresando las Ecs. (8.33) y (8.24) en términos de las variables de desviación da
H1 − H 2
R1
H
Q2 = 2
R2
Transformando las Ecs. (8.36) a la (8.39) de
Q1 =
(8.38)
(8.39)
Q(s) – Q1(s) = A1sH1(s)
(8.40)
Q1(s) – Q2(s) = A2sH2(s)
(8.41)
R1Q1(s) = H1(s) – H2(s)
(8.42)
R2Q2(s) = H2(s)
(8.43)
El análisis ha producido cuatro ecuaciones algebraicas conteniendo cinco
incógnitas: (Q, Q1, Q2, H1, y H2). Estas ecuaciones se pueden combinar para eliminar
Q1, Q2, y H1 y llegar a la función de transferencia deseada:
H 2 (s)
R2
=
2
Q( s ) τ 1τ 2 s + (τ 1 + τ 2 + A1 R 2 ) s + 1
(8.44)
Notar que el producto de las funciones de transferencia para los tanques operando
separadamente, Ecs. (8.25) y (8.26), no produce el resultado correcto para el sistema
interactuante. La diferencia entre la función de transferencia para el sistema no
interactuante, Ec. (8.27), y el sistema interactuante, Ec. (8.44), es la presencia del
término A1R2 en el coeficiente de s.
El termino interactuante es a menudo referido como una carga. El segundo tanque
de la Fig, 8.14b se dice carga al primer tanque.
Reemplazando valores en la Ec. (8.44) se tiene
H 2 (s)
1
= 2
Q ( s ) s + 3s + 1
(8.45)
Y la respuesta para un escalón unitario es
H 2 (s) =
1
1
2
s s + 3s + 1
(8.46)
Para este ejemplo, vemos que el efecto de la interacción ha sido el cambio
efectivo de las constantes de tiempo del sistema interactuante. Graficando para el
sistema no interactuante, Ec. (8.31) y el sistema con interacción, Ec. (8.46) se tiene
185
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
num1=[0 0 1];
den1=[1 2 1];
num2=[0 0 1];
den2=[1 3 1];
plot(t,y1,'-',t,y2,'-')
grid
xlabel('Tiempo: t')
ylabel('Salida: H2(t)')
1
0.9
0.8
No interactuante
0.7
H2(t)
0.6
0.5
0.4
Interactuante
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
T iempo: t
Fig. 8.16 Efecto de la interacción para dos tanques
8.4
DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS DE RESPUESTA TRANSITORIA
En muchos casos prácticos, las características del comportamiento deseado de
sistemas de control están especificadas en términos de magnitudes en el dominio del
tiempo. Los sistemas que almacenan energía no pueden responder instantáneamente y
presentan respuestas transitorias toda vez que son sometidos a entradas o
perturbaciones. Las características de desempeño de un sistema de control con
frecuencia se especifican en términos de la respuesta a una entrada de escalón unitario,
porque es fácil generarla y es lo suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a un
escalón de entrada, es posible calcular en forma matemática la respuesta ante cualquier
entrada).
La respuesta de un sistema ante una entrada escalón unitario depende de las
condiciones iniciales. Al comparar respuestas transitorias de diversos sistemas por
conveniencia se suele utilizar la condición inicial normal de que el sistema está en
reposo al principio, y que por tanto, todas las derivadas son cero. Entonces se pueden
comparar fácilmente las características de respuesta.
186
La respuesta transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia presenta
oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. Al especificar las
características de respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada escalón
unitario, es común especificar lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
Tiempo de retardo, td
Tiempo de crecimiento, tr
Tiempo de pico, tp
Sobre impulso máximo, Mp
Tiempo de establecimiento, ts
A continuación se definen estos parámetros y en la figura 8.17 se muestran en
forma gráfica.
1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo que tarda la respuesta en
alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
2. Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo de crecimiento es el tiempo requerido para que
la respuesta aumente del 10 al 90 %, del 5 % al 95 %, o del 0 % al 100 % de su
valor final. Para sistemas de segundo orden subamortiguados se utiliza normalmente
el tiempo de crecimiento de 0 % a 100 %. Para sistemas sobreamortiguados se
acostumbra usar el tiempo de crecimiento del 10 % a 90 %.
3. Tiempo de pico, tp: el tiempo de pico es el requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso.
4. Sobreimpulso máximo (porcentual), Mp: el sobreimpulso máximo es el valor pico
máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad. Si el valor final
estabilizado de la respuesta difiere de la unidad, se suele utilizar el sobreimpulso
porcentual máximo. Está definido por
Sobreimpulso porcentual máximo =
c(t p ) − c(∞)
c (∞ )
x 100%
La magnitud del sobreimpulso (porcentual) máximo indica la estabilidad relativa del
sistema.
5. Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo de establecimiento es el que la curva de
respuesta requiere para alcanzar y mantenerse en un rango alrededor del valor final
con una magnitud especificada por el porcentaje absoluto del valor final
(habitualmente 2% o 5%). El tiempo de establecimiento está relacionado con la
constante de tiempo mayor del sistema de control. El criterio para fijar el porcentaje
de error a utilizar depende de los objetivos de diseño del sistema en cuestión.
Las especificaciones dadas, válidas en el dominio del tiempo, son muy
importantes, pues la mayoría de los sistemas de control son sistemas en el dominio del
tiempo; esto es, deben presentar respuestas temporales aceptables. (Esto significa que el
sistema de control se debe modificar hasta que su respuesta transitoria sea satisfactoria).
Nótese que si se especifican los valores de td, tr, tp, Mp, ts queda virtualmente
determinada la forma de la curva de respuesta
187
Fig. 8.17 Curva de respuesta al escalón unitario, mostrando td, tr, tp, Mp, ts
8.5
ANÁLISIS TEÓRICO DE LA RESPUESTA ESCALÓN
Sea la función de transferencia de un sistema de control dado por
R(s)
+
-
K
s ( Js + B )
Y (s)
Fig. 8.18 Diagrama de bloques simplificado
La función de transferencia de lazo cerrado del sistema mostrado en la Fig. 8.18 es
G ( s) =
Y (s)
K
= 2
R( s ) Js + Bs + K
K
J
=
2
⎡
B
K ⎤⎡
B
K⎤
⎛ B ⎞
⎛ B ⎞
⎢s +
− ⎜
+ ⎜
⎟ − ⎥
⎟ − ⎥ ⎢s +
2J
2J
J ⎥⎢
J ⎥
⎝ 2J ⎠
⎝ 2J ⎠
⎢⎣
⎦
⎦⎣
(8.47)
(8.48)
188
Los polos de lazo cerrado son complejos si B2 – 4JK < 0, y son reales si B2 – 4JK ≥ 0
En un análisis de respuestas transitorias es conveniente escribir
K
= ω n2 ,
J
B
= 2ξω n = 2σ ,
J
donde σ se denomina atenuación; ωn, frecuencia natural no amortiguada y ξ,
relación de amortiguamiento del sistema.
La relación de amortiguamiento ξ, es la relación entre el amortiguamiento efectivo
B y el amortiguamiento crítico Bc = 2 JK ó
B
B
=
ξ=
.
BC 2 JK
En términos de ξ, y ωn, el sistema de la Fig. 8.18 se puede modificar al que se
muestra en la Fig. 4.19, y la función de transferencia de lazo cerrado Y(s)/R(s)de la Ec.
8.48 se puede escribir
G (s) =
ω n2
Y (s)
= 2
R ( s ) s + 2ξω n s + ω n2
E (s)
R(s)
+
-
ω n2
s ( s + 2ξω n )
(8.49)
Y (s)
Fig. 8.19 Sistema de segundo orden
El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se puede describir en
términos de dos parámetros ξ, y ωn,. Si 0 < ξ < 1, los polos de lazo cerrado, son
complejos conjugados y quedan en el semiplano izquierdo del plano s. Se dice entonces
que el sistema está subamortiguado, y la respuesta transitoria es oscilatoria.
Si ξ = 1, se dice que el sistema está críticamente amortiguado. Los sistemas
sobreamortiguados corresponden a ξ > 1. La respuesta transitoria de sistemas
críticamente amortiguados y sobreamortiguados, no oscila. Si ξ = 0 la respuesta
transitoria no se extingue.
Ahora se obtendrá la respuesta del sistema que aparece en la Fig. 8.19 a una
entrada escalón unitario. Se considerarán tres casos diferentes: El subamortiguado
(0 < ξ < 1), el críticamente amortiguado (ξ = 1) y el sobreamortiguado (ξ > 0).
1. Caso subamortiguado, (0 < ξ < 1): En este caso, Y(s)/R(s) se puede escribir como:
G ( s) =
ωn
C (S )
=
R( s ) (s + ξω n + jω d )(s + ξω n − jω d )
(8.50)
189
Donde ω n = ω d 1 − ξ 2 . La frecuencia ωd se denomina frecuencia natural
amortiguada. Para una entrada escalón unitario, Y(s) se puede escribir
Y ( s) =
ω n2
(s 2 + 2ξω n s + ω n2 )s
(8.51)
La transformada inversa de Laplace de la Ec.(8.51) se obtiene fácilmente si Y(s) se
escribe del siguiente modo:
Y(s) =
=
s + 2ξω n
1
− 2
s s + 2ξω n s + ω n2
s + ξω n
ξω n
1
−
−
2
2
s ( s + ξω n ) + ω d ( s + ξω n ) 2 + ω d2
En el capítulo 4 se mostró que
⎡
⎤
s + ξω n
L-1 ⎢
= e −ξω nt cos ωd t
2
2 ⎥
⎣ ( s + ξω n ) + ω d ⎦
⎡
⎤
ωd
L-1 ⎢
= e −ξω nt sen ωd t
2
2 ⎥
⎣ ( s + ξω n ) + ω d ⎦
de aquí se obtiene la transformada inversa de Laplace como
∫ −1 [Y ( s )] = c(t )
⎛
⎞
ξ
sen ω d t ⎟
= 1 − e −ξω nt ⎜ cosω d t +
⎜
⎟
1−ξ 2
⎝
⎠
=1−
⎛
1−ξ 2
sen⎜ ω d t + tan −1
⎜
ξ
1−ξ 2
⎝
e −ξω nt
⎞
⎟
⎟
⎠
para t ≥ 0
(8.52)
Este resultado se puede obtener en forma directa, utilizando la tabla de
transformadas de Laplace. De la Ec. (8.52) se puede ver que la frecuencia de oscilación
transitoria es la frecuencia natural amortiguada ωd y varía con la relación de
amortiguamiento ξ. La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada
(setpoint) y la salida (valor enviado por el transmisor)
e(t ) = r (t ) − y m (t )
⎛
⎞
ξ
= e −ξω nt ⎜ cos ω d t +
sen ω d t ⎟
⎜
⎟
1−ξ 2
⎝
⎠
para t ≥ 0
(8.53)
190
Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. En estado
estacionario, o en t = ∞, no hay error entre entrada y salida.
Si la relación de amortiguamiento ξ es igual a cero, la respuesta se hace no
amortiguada y la oscilación continúa indefinidamente. La respuesta y(t) para el
amortiguamiento cero se puede obtener, substituyendo ξ =0 en la Ec. (8.52), llegándose
a
(t ≥ 0)
(8.54)
y(t) = 1 – cos ωn t
Así, de la Ec. (8.54) se ve que ωn representa la frecuencia natural no amortiguada
del sistema. Es decir, ωn es la frecuencia a la cual el sistema oscilará si el
amortiguamiento descendiera a cero. Si el sistema lineal tiene algún amortiguamiento,
la frecuencia natural no amortiguada no se puede observar en forma experimental. La
frecuencia que se puede observar, es la frecuencia natural amortiguada ωd, que es igual
a ωn 1 − ξ 2 . Esta frecuencia es siempre inferior a la frecuencia natural no amortiguada.
Un aumento en ξ reduce la frecuencia natural amortiguada ωd. Si ξ se incrementa por
encima de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscila.
2. Caso de amortiguamiento crítico, (ξ = 1): Si los dos polos de Y(s)/R(s) son casi
iguales, el sistema se puede aproximar por uno de amortiguamiento crítico.
Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s, Y(s) se puede escribir como
Y (s) =
ω n2
(8.55)
(s + ω ) s
2
n
La transformada inversa de Laplace de la Ec. (8.55) se puede hallar como
Y(t) = 1 – e −ω nt (1 + ωnt)
(t ≥ 0)
(8.56)
3. Caso sobreamortiguado (ξ > 1): En este caso los dos polos de Y(s)/R(s) son reales
negativos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s, Y(s) se puede
escribir como
Y(s) =
ω n2
( s + ξω n + ω n ξ 2 − 1)( s + ξω . − ω n ξ 2 − 1) s
(8.57)
La transformada inversa de Laplace de la Ec. (8.57) es
2
1
e − (ξ + ξ −1 )ω n t
y(t) = 1 +
2 ξ 2 − 1(ξ + ξ 2 − 1)
2
1
–
e − (ξ + ξ −1 )ω nt
2
2
2 ξ − 1(ξ − ξ − 1)
=1+
ωn
⎛ e − S1t e − S 2t
⎜⎜
−
S2
2 ξ 2 − 1 ⎝ S1
⎞
⎟⎟
⎠
(t ≥ 0)
(8.58)
191
donde S1 = (ξ + ξ 2 − 1 )ωn y S2 = (ξ –
incluye dos términos exponenciales decrecientes.
ξ 2 − 1 )ωn Así, la respuesta de c(t)
Al simular sistemas de segundo orden podemos llegar a las siguientes
conclusiones:
- Dos sistemas de segundo orden con el mismo ξ, pero diferente ωn, presentan el mismo
sobreimpulso y el mismo esquema oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen la
misma estabilidad relativa.
- De la Fig. 8.20 se puede ver que un sistema subamortiguado con ξ entre 0.5 y 0.8, se
aproximan con más rapidez al valor final que un sistema críticamente amortiguado o
subamortiguado. Entre los sistema que responden sin oscilación, un sistema
críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema
sobreamortiguado es siempre más lento en su respuesta a cualquier entrada.
Fig. 8.20 Curvas de respuesta al escalón unitario, del sistema mostrado en la Fig. 8.19
con ωn = 1 y diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento ξ = e.
8.6
COMENTARIOS
TRANSITORIA
SOBRE
LOS
PARÁMETROS
DE
RESPUESTA
Excepto en ciertas aplicaciones en que no se pueden tolerar oscilaciones, es
deseable que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Así, para
una respuesta transitoria deseable de un sistema de segundo orden, la relación de
amortiguamiento debe estar entre 0,4 y 0,8. valores pequeños de ξ (ξ < 0,4) producen
192
sobreimpulso excesivo en la respuesta transitoria y un valor con un valor grande de ξ
(ξ > 0,8) responde lentamente.
El sobreimpulso máximo y el tiempo de crecimiento están en conflicto entre sí. En
otras palabras, no se puede lograr un sobreimpulso máximo y un tiempo de crecimiento
pequeños al mismo tiempo. Si uno de ellos se hace pequeño, el otro se hará grande
necesariamente
Ejemplo 8.8
El setpoint del sistema de control siguiente recibe un cambio de 1 unidad de
escalón
R(s)
+-
K=1.6
Y(s)
5
(s + 1)(2s + 1)
Fig. 8.21
Determine:
a) El máximo valor de y(t)
b) El “offset”
c) El periodo de oscilación
Solución
Usando el simulador UNTSIM se tiene:
a) Combinando en serie
***************************************************
Coeficientes del numerador de función 1: 1.6
Transfer function:
1.6
Coeficientes del denominador de función 2: [2 3 1]
193
Transfer function:
5
--------------2 s^2 + 3 s + 1
********************************************
LA COMBINACIÓN EN SERIE DA:
Transfer function:
8
--------------2 s^2 + 3 s + 1
b) Anulando el feedback
***************************************************
Coeficientes del numerador de función principal: 8
Coeficientes del denominador de función principal: [2 3 1]
-------------------------------------------La función de transferencia principal es:
Transfer function:
8
--------------2 s^2 + 3 s + 1
Transfer function:
1
********************************************
LA COMBINACIÓN EN RETROALIMENTACIÓN DA:
Transfer function:
8
--------------2 s^2 + 3 s + 9
c) Simulando el sistema para una entrada de escalón
ESTE PROGRAMA SIMULA LA RESPUESTA TRANSITORIA
DE UN SISTEMA DANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
Ver Automatización y control Cáp. 8.2
***************************************************
Ingrese numerador de F de T: 8
Ingrese denominador de F de T: [2 3 9]
Respuesta a Escalón (1), Impulso(2), Rampa (3):
--------------------------------------------
1
194
Fig. 8.22
Fig. 8.23
195
De la Fig. 8.22 se tiene:
a) El máximo valor de y(t) es 1.16 y ocurre después de 1.6 segundos
b) El Offset es = 1 – 0.89 = 0.11
c) El periodo de oscilación: podemos considerar antes del tiempo de establecimiento. Si
consideramos el tiempo de establecimiento cuando y(t) se desvía solamente ± 0.02
del valor final (0.02 x 0.89) = ± 0.0178 lo cual es 0.9078 ó 0.8722
De la Fig.8.23 se tiene tiempo de oscilación 5.11 segundos, al cabo del cual se alcanza
el límite de tolerancia.
196
CAPITULO
9
ANALISIS DE ESTABILIDAD DE
SISTEMAS DE CONTROL
El aspecto dinámico más importante de todo sistema es su estabilidad. Se entiende
por estabilidad la capacidad que tiene un sistema para amortiguar con el tiempo y anular
totalmente las oscilaciones de la respuesta ante una perturbación.
Hemos visto en los capítulos anteriores que la estabilidad está dictada por la
ubicación de las raíces de la ecuación característica del sistema. También hemos visto
que las raíces del denominador de la función de transferencia, y sus polos, son
exactamente lo mismo que las raíces de la ecuación característica. Entonces, para que el
sistema sea estable, los polos de la función de transferencia deben estar en el semiplano
izquierdo del plano s (LHP).
Estas condiciones de estabilidad se aplica a cualquier sistema, de lazo abierto o de
lazo cerrado. La estabilidad de un proceso de lazo abierto depende de la ubicación de
los polos de su función de transferencia de lazo abierto. La estabilidad de un proceso de
lazo cerrado depende de la ubicación de los polos de su función de transferencia. Estos
polos de lazo cerrado naturalmente serán diferentes a los polos de lazo abierto.
Así, los criterios para estabilidad de lazo abierto y lazo cerrado son diferentes. La
mayoría de sistemas son de lazo abierto estable pero pueden ser de lazo cerrado estable
o inestable, dependiendo de los valores de los parámetros del controlador. Nosotros
mostraremos que cualquier proceso real puede hacerse de lazo cerrado inestable
haciendo la ganancia del controlador de retroalimentación lo suficientemente grande.
Existen algunos procesos que son de lazo abierto inestables. Nosotros
mostraremos que estos sistemas pueden usualmente hacerse de lazo cerrado estable
mediante la elección correcta del tipo de controlador y sus parámetros.
Podemos considerar dos tipos de estabilidad: absoluta y relativa.
En la estabilidad absoluta, la variable vuelve al punto de consigna a un valor
estable después de una perturbación, sin importar el tiempo que esté oscilando hasta
anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indican lo próximo que esté el
sistema de la inestabilidad.
197
En la estabilidad relativa, la variable vuelve al punto de consigna (valor de
referencia o “set point”) después de una perturbación en un tiempo limitado, con la
condición de que cada oscilación tenga un cuarto de la amplitud de la oscilación
precedente.
Existen varios métodos para analizar la estabilidad en el dominio de Laplace.
Algunos de los más usados serán discutidos a continuación. Los métodos en el dominio
de la frecuencia serán discutidos en el Cáp. 12.
9.1 ESTABILIDAD ABSOLUTA
9.1.1
Criterio de raíces de la ecuación característica
El sistema de control es estable si las raíces del denominador (ecuación
característica) de la función de transferencia tienen partes reales negativas.
N ( s)
la función de transferencia del lazo cerrado de control.
D( s)
La ecuación característica es:
En efecto, sea G(s) =
D(s) = aosn + a1sn-1 + . . . +an = 0
(9.1)
Y es equivalente a la respuesta del sistema con excitación o entrada nula D(s) = 0
Si las raíces son s1, s2, . . . , sn la ecuación puede expresarse
D(s) = ao(s – s1) (s – s2) . . . (s – sn) = A e s1 t + B e s2 t +. . . + N e sn t
(9.2)
Se llega a la misma conclusión considerando que la respuesta a un impulso
unitario de la función de transferencia G(s) es:
⎛ A
B
N
⎜
L-1[G(s)] = L-1 ⎜ s − s + s − s + ... + s − s
1
2
N
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
s
= A e s1 t + B e s2 t +. . . + N e n t
(9.3)
y que debe ser nula para que el sistema sea estable
Para que la expresión se anula cuando el tiempo tiende a infinito, es necesario que
los valores reales de s1, s2, ...,sn sean negativos, ya que de este modo cada uno de los
sumandos tiende a cero y la curva de respuesta se anula. Si las raíces s1, s2, ...,sn fueran
positivas, cada uno de los términos A e s1 t + B e s2 t +. . . aumentarían con el tiempo.
Si las raíces son complejas con una parte real y una imaginaria s = a + bj también
existirá su valor conjugado s = a – bj y, por tanto, la respuesta a un impulso unitario de
la función de transferencia G contendrá términos tales como:
L-1[G(s)] = e(+bj)t + . . . = eat (ejbt + e-jbt) + ... = eat . 2 cos bt + ...
(9.4)
que es una respuesta oscilatoria con una amplitud exponencial eat; para que disminuya
con el tiempo es necesario que la parte real a sea negativa. Si la parte real fuera 0, la
respuesta no se anula con el tiempo sino que se mantiene en un valor limitado.
198
Así pues, la respuesta será estable si todas las raíces de la ecuación característica
tienen la parte real negativa.
Si estas raíces se representan en el plano imaginario de s deben estar a la izquierda
del mismo (en el semiplano izquierdo LHP del plano s).
Si al menos una raíz está en el semiplano derecho RHP del plano s, el sistema es
inestable.
9.1.2
Criterio de Routh
El criterio de raíces de la ecuación característica es satisfactorio siempre que
puedan determinarse dichas raíces en el polinomio de la ecuación. El criterio de Routh
es un método que permite eliminar el cálculo de las raíces y asegura si cualquiera de las
raíces es positiva o tiene partes reales que son positivas, en cuyo caso el sistema es
inestable.
Se escribe la ecuación característica D(s) = aosn + a1sn-1 + . . . +an-1 + an, siendo
el primer coeficiente ao positivo, se forma una tabla con filas de coeficientes. El número
de filas es el grado de la ecuación más 1, es decir si el grado es n, habrá n + 1 filas.
fila
1
2
3
4
5
.
.
ao
a1
b1
c1
d1
....
0
a2
a3
b2
c2
d2
....
a4 ...
a5 ...
b3 ...
c3 ...
....
....
en la que
b1 =
b2 =
c1 =
c2 =
a1
ao
a3
a2
a1
a1
ao
a5
a4
a1
b1
a1
b2
a3
b1
b1
a1
b3
a5
b1
=
a1 a 2 − a o a 3
a1
(9.5)
=
a1 a 4 − a o a 5
a1
(9.6)
=
b1 a 3 − a1b2
b1
(9.7)
=
b1 a 5 − a1b3
b1
(9.8)
199
d1 =
d2 =
c1
c3
b1
b2
c1
c1
b1
=
c1b2 − b1c 2
c1
(9.9)
=
c1b3 − b1 c 3
c1
(9.10)
c3
b3
c1
El sistema es estable si todos los elementos de la primera columna de la tabla de
coeficientes son positivos. Cuando esto se cumple, las raíces de la ecuación
característica tienen la parte real negativa. Si hay cambios de signo, su número índica el
número de raíces con parte real positiva.
Ejemplo 9.1
Sea la función de transferencia de un lazo cerrado de control con denominador
s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0. determinar su estabilidad absoluta.
Formando el arreglo de Routh
1
6
32/3
8
12
8
0
0
0
ya que
6
b1 =
8
1 12
6
=
6 × 12 − 8 32
=
6
3
6 0
b2 =
c1 =
1 0
6
=0
32 / 3 0
1
0
32 / 3
=
8 × 32 / 3
=8
32 / 3
El sistema es estable porque los coeficientes de la primera columna tienen el
mismo signo positivo.
200
Uso de UNTSIM para hacer el arreglo de Routh
Automatización y control – Análisis de estabilidad - Routh
20-Jul-2004
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH
PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n
******************************************************
Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 6 12 8]
Construyendo el arreglo Routh-Hurwitz
del polinomio característico:
1
6
12
8
1.0000
6.0000
10.6667
8.0000
12.0000
8.0000
0
0
Se ha hecho el arreglo de Routh!
EL SISTEMA ES ESTABLE.
>>
9.2 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA
El criterio de estabilidad de Routh brinda la respuesta sobre estabilidad absoluta.
Esto, en muchos casos reales, no es suficiente; pues se requiere información sobre la
estabilidad relativa del sistema. Un procedimiento útil para examinar la estabilidad
relativa es desplazar el eje del plano s y aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es
decir, se substituye
s = s′ – σ
(σ = constante)
(9.11)
En la ecuación característica del sistema, se escribe el polinomio en términos de
s′, y se aplica el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio en s′. La cantidad
de cambios de signo en la primera columna del conjunto desarrollado por el polinomio
en s′ es igual a la cantidad de raíces ubicadas a la derecha de la línea vertical s = – σ.
Esta prueba indica la cantidad de raíces que quedan a la derecha de la línea
vertical s = – σ.
La utilidad del criterio de estabilidad de Routh en el análisis de sistemas lineales
de control es limitada, principalmente porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad
relativa o como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, los efectos de la
modificación de uno o dos parámetros de un sistema se pueden determinar examinando
los valores que producen la inestabilidad.
201
Ejemplo 9.2
A continuación, se considerará el problema de determinar el rango de valores de
un parámetro para lograr la estabilidad.
R(s)
+
K
2
s ( s + s + 1)( s + 2)
-
Y(s)
Fig. 9.1 Sistema de control
Considere el sistema de la Fig. 9.1. Determinar el rango de K para le estabilidad.
La función de transferencia de lazo cerrado es
C (s)
K
=
2
R( s ) s( s + s + 1)( s + 2) + K
(9.12)
La ecuación característica es
S4 + 3s3 +3s2 + 2s + K = 0
(9.13)
El conjunto de coeficientes se convierte en
S4
S3
S2
S1
so
1
3
7/3
2-(9/7)K
K
3
2
K
K
0
Para que haya estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la
primera columna deben serlo también. Por lo tanto,
(14/9) > K > 0
Para K = 14/9, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación
se mantiene con amplitud constante.
Ejemplo 9.2
Considerar el proceso de tres CSTR en serie dados en el Ejemplo 6.10. con una
función de transferencia del proceso
1
C ( s)
G M ( s ) = A3
= 8 3
C Ao ( s ) (s + 1)
(9.14)
202
Nosotros deseamos examinar la estabilidad del sistema de lazo cerrado con un
controlador proporcional GC(s) = KC, sin embargo; primero verificaremos la estabilidad
de lazo abierto para este sistema.
La ecuación característica de lazo abierto es:
s3 + 3s2 + 3s + 1 = 0
(9.14)
El arreglo de Routh utilizando UNTSIM es:
26-Jul-2004
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****************************************************
Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1]
1
3
3
1
1.0000
3.0000
2.6667
1.0000
3.0000
1.0000
0
0
>>
Como no hay ningún valor negativo en la primera columna, el sistema es estable.
Este descubrimiento no es genial ya que nosotros sabemos por simulación que el
sistema de lazo abierto es estable. Nosotros también podemos inspeccionar la Ec.(9.14)
para determinar los polos. Usando el simulador UNTSIM (Cálculos matemáticosPolinomios-Raíces de polinomios no lineales) se tiene:
Desea ingresar coeficientes (1) o la función (2): 1
Ingrese coeficientes del polinomio: [1 3 3 1]
Desea calcular todas las raíces(1) buscar en un intervalo (0): 1
Las raíces son:
-1.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
>>
Los tres polos de la función de transferencia de lazo abierto están localizados a – 1
en el semiplano izquierdo del plano s (LHP), la cual es la región estable
203
R(s)
+
1/ 8
( s + 1) 3
GC(s)
-
CA(s)
Fig. 9.2 Sistema de 3 CSTR
Ahora verificaremos la estabilidad de lazo cerrado. El sistema es mostrado en la
Fig. 9.2 .
Aplicando el álgebra de bloques y reduciendo el sistema a un solo bloque se tiene
KC 1/ 8
( s + 1) 3 + K c 1 / 8
Con lo cual la ecuación característica de lazo cerrado es:
s3 + 3s2 + 3s + 1 + Kc/8 = 0
(9.15)
El arreglo de Routh es:
1
3
9 − (1 + K C / 8)
3
1 + KC / 8
3
K
1+ C
8
(9.16)
0
Examinando la primera columna podemos ver que puede haber un cambio de
signo si el tercer término es negativo.
8 − KC / 8
<0
3
⇒
– 8 + KC/8 > 0
⇒
KC > 64
Luego el sistema es de lazo cerrado estable para una ganancia del controlador
proporcional menos de 64 pero de lazo cerrado inestable para ganancias mayores que
64. El máximo valor estable de KC es el que hemos definido en el Cáp. 3 como la última
ganancia Ku
Nosotros podemos comprobar lo anteriormente dicho reemplazando el valor de KC
por valores < 64, = 64, y > 64, y usando el simulador UNTSIM
204
a) Para KC < 64 (Por ejemplo 63)
************************************************************
Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1+63/8]
1.0000
3.0000
3.0000
8.8750
1.0000
3.0000
0.0417
8.8750
3.0000
8.8750
0
0
>>
b) Para Kc = 64
*******************************************************
Elementos de la fila 3 son todos cero.
Son reemplazados por los coeficientes auxiliares de la eq.
Fin del mensaje. Presionar <Return> para continuar...
c) Para KC > 64 (por ejemplo 65)
******************************************************
1.0000
3.0000
3.0000
9.1250
1.0000
3.0000
-0.0417
9.1250
3.0000
9.1250
0
0
Existen 2 raíces en el semiplano-s derecho.
EL SISTEMA ES INESTABLE
>>
205
CAPITULO
10
DISEÑO DE UN PID POR
PRUEBA Y ERROR
Ahora mostraremos las características de las acciones de control proporcional (P),
integral (I) y derivativo (D). Y como usarlos para conseguir la respuesta deseada.
Considerando el siguiente sistema con retroalimentación (“feedback”) unitaria:
R(s)
E(s)
+
Control
U(s)
Proceso
Y(s)
-
Fig. 10.1 Sistema de control de Lazo cerrado
Planta: Sistema objeto del control (proceso a controlar)
Controlador: Proporciona la excitación a la planta; se diseña para controlar el
comportamiento global del sistema.
10.1 LOS TRES TÉRMINOS DEL CONTROLADOR
Tomando la Ec. (6.147), para la función de transferencia de un controlador PID
“ideal” :
⎡τ τ s 2 + τ i s + 1 ⎤
⎡
⎤
U (s)
1
(10.1)
Gc ( s) =
= K c ⎢1 +
+ τ d s⎥ = K c ⎢ i d
⎥
E (s)
τis
⎣ τis
⎦
⎣
⎦
donde KC = ganancia proporcional
τi = tiempo integral
τd = tiempo derivativo o tiempo de adelanto
206
Los valores de KC, τi y τd son ajustables
La Ec. 6.147 también se usa de la forma dada por la Ec.10.2
G ( s) =
K s 2 + Kc s + Ki
K
U (s)
= Kc + i + Kd s = d
E (s)
s
s
(10.2)
donde
•
•
•
Kp = Ganancia proporcional
Ki = KC/τi = Ganancia integral
Kd = KCτd = Ganancia derivativa
Los valores de KC, Ki y Kd son ajustables.
Las dos Ecs. (10.1) y (10.2) son equivalentes, según sea el fabricante del
controlador analógico, unos usarán la Ec. (10.1) y otros la Ec. (10.2). Nosotros
usaremos las dos formas según sea el caso.
10.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS CONTROLADORES PID
Un controlador proporcional (KC) reduce el tiempo de subida pero no elimina
nunca el error en régimen permanente. El control integral (Ki) elimina el error en
régimen permanente pero empeora la respuesta transitoria. Un control derivativo (Kd)
incrementa la estabilidad del sistema, reduce el sobreimpulso y mejora la respuesta
transitoria. En la siguiente tabla se resumen los efectos de cada controlador Kc, Kd y Ki
sobre un sistema en bucle cerrado.
Tabla 10.1 Características PID
RESPUESTA
LAZO CERRADO
TIEMPO
SUBIDA
SOBREIMPULSO
TIEMPO DE
ESTABLECIMIENTO
ERROR R-P
Kc
Disminuye
Aumenta
Poca variación
Disminuye
Ki
Disminuye
Aumenta
Aumenta
Elimina
Kd
Poca
variación
Disminuye
Disminuye
Poca
variación
Tenga en cuenta que estas relaciones puede que no sean demasiado precisas
porque los efectos de las ganancias Kp, Ki y Kd dependen los unos de los otros. De
hecho, al variar el valor de una de estas variables puede que se modifiquen los efectos
producidos por las otras dos. Por esta razón, a la hora de determinar los valores de KC,
Ki y Kd sólo deberá usar esta tabla como una referencia.
207
10.3
CASO DE ESTUDIO
Consideremos el intercambiador del LOU de la UNT. La función de transferencia
de la temperatura de salida del fluido de proceso Tp(s) con respecto al flujo de entrada
del fluido de calentamiento Fc (s) esta dado por
GP =
TP ( s )
KP
=
;
Fc ( s) (τ 1 S + 1)(τ 2 S + 1)
τ1 , τ2 > 0
(6.24)
O lo que es lo mismo:
GP =
TP ( s )
KP
=
2
Fc ( s ) τ 1τ 2 s + (τ 1 + τ 2 ) s + 1
(10.3)
Tomando los valores experimentales para el estado estacionario se tiene:
KP = 0.07 °C/kg seg (ganancia del proceso al estado estacionario)
Así mismo para las constantes de tiempo se tiene:
τ1 = 3.42 seg.
τ2 = 3 seg.
Sustituyendo estos valores en la anterior función de transferencia y arreglando se tiene
TP ( s )
0.07
=
2
Fc ( s ) 10.26 s + 6.42 s + 1
(10.4)
El objetivo de este problema es mostrar como Kp, Ki y Kd contribuyen a obtener
• Un tiempo de subida más rápido
• Un sobreimpulso mínimo
• Un error en régimen permanente nulo
Previamente puede analizarse la estabilidad del sistema usando el criterio de
Routh y los polos de la función de transferencia usando UNTSIM
10.4 RESPUESTA ESCALÓN EN LAZO ABIERTO
Veamos, en primer lugar, la respuesta en lazo abierto del sistema (valor de Tp)
ante una entrada escalón (cambio en una unidad el valor de Fc). Usando UNTSIM
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26-Jul-2004
ESTE PROGRAMA SIMULA LA RESPUESTA TRANSITORIA
208
DE UN SISTEMA DANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
Ver Automatizacion y control Cap. 8.2
***************************************************
Ingrese numerador de F de T: [0.07]
Ingrese denominador de F de T: [10.26 6.42 1]
Respuesta a Escalon (1), Impulso(2), Rampa (3):
--------------------------------------------
1
Fig. 10.2 Respuesta de lazo abierto del intercambiador a un escalón
La ganancia de la función de transferencia de la planta es 0.07, Así, el valor final
de la salida ante un escalón unitario es 0.07, lo que corresponde a un error en régimen
permanente de 1 – 0.07 = 0.93, en efecto, bastante grande. Más aún, el tiempo de subida
es de alrededor de 12 segundos y el tiempo de establecimiento es de aproximadamente
20 segundos.
10.5 RESPUESTA ESCALÓN EN LAZO CERRADO
Para controlar el proceso, debemos diseñar un controlador que reduzca el tiempo
de subida y el tiempo de establecimiento y elimine el error en régimen permanente. Para
tal efecto diseñamos un sistema de control de retroalimentación y para fines de análisis
consideramos un servosistema, el cual está dado por la Fig. 10.1 en donde reemplazando
los valores de las funciones de transferencia se tiene:
209
R(s)
+
E(s)
GC
U(s)
-
Y(s)
0.07
2
10.26 s + 6.42 s + 1
Fig. 10.2 Control de lazo cerrado para el intercambiador del LOU
10.6 CONTROL PROPORCIONAL
En la tabla anterior se muestra que la acción proporcional (Kc) reduce el tiempo de
subida, incrementa el sobreimpulso y reduce el error en régimen permanente. La
función de transferencia para un controlador proporcional es:
GC (s) = Kc
(10.5)
Introduciendo la ganancia proporcional en el bloque del controlador y reduciendo
el sistema a un solo bloque se tiene la función de transferencia del sistema:
G ( s) =
0.07 K C
10.26 s + 6.42 s + (1 + 0.07 K C )
(10.6)
2
Podemos encontrar la respuesta del sistema para diferentes valores de Kc y
seleccionar la mejor.
Usando el simulador UNTSIM: Cálculos de ingeniería química – Automatización
y control – Teoría clásica – Simulación de sistema – Con Matlab
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ESTE PROGRAMA SIMULA UN SISTEMA DE CONTROL DE RETROALIMENTACION
CON UN P, PI o PID Y EVALUA LA GANANCIA PROPORCIONAL Kp,
TIEMPO INTEGRAL ti o (Ki=Kp/ti) Y TIEMPO DERIVATIVO td o (Kd=Kp*td)
**************************************************************
FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO
Numerador [ ]: 0.07
Denominador [ ]: [10.26 6.42 1]
Transfer function:
0.07
---------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 1
CONSTANTE DE VALVULA Kv: 1
<------------- Asumido
FUNCION DE TRANSFERENCIA DE RETROALIMENTACION
Numerador [ ]: 1
<------------- Asumido
Denominador [ ]: 1
<------------- Asumido
210
Transfer function:
1
FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR
1. Control Proporcional
2. Control Proporcional Integral
3. Control Proporcional Integral Derivado
Seleccione opción: 1
Ganancia proporcional Kc: 50
FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA
Transfer function:
3.5
-----------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 4.5
Desea hacer otro supuesto si(1), no(0): 1
Transfer function:
0.7
-----------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 1.7
Obteniendo las respuestas dadas en las Fig. 10.3 y 10.4
Fig. 10.3 Respuesta de lazo cerrado para intercambiador con controlador proporcional
y Kc = 50
211
Fig. 10.4 Respuesta de lazo cerrado para intercambiador con controlador
proporcional y Kc = 10
Como se ve en las Fig. 10.3 y 10.4, si cambiamos el setpoint en una unidad de
escalón, la variable controlada tiende a ese valor a diferencia del sistema de lazo abierto
(sin control) aún cuando se estabiliza en otro valor. Esta diferencia entre la unidad
(entrada) y el nuevo valor del estado estacionario es el offset.
Las respuestas de lazo cerrado difieren una de la otra en que mientras la primera
(con ganancia KC = 50) se acerca más al valor deseado (la unidad), la segunda (con
ganancia KC = 10) difiere mas del valor deseado (el offset es mayor).
10.7 CONTROL PROPORCIONAL E INTEGRAL PI
Como se ha visto anteriormente, se ha logrado el primer objetivo el cual es
alcanzar el estado estacionario.
Ahora nuestro objetivo es eliminar el offset, es decir que el estado estacionario se
alcance en el valor dado por el setpoint (la unidad).Esto podemos lograrlo adicionando
otra acción al controlador, la cual es la acción integral o restauradora.
La función de transferencia para un controlador PI, está dada por a partir de la
Ec.(10.2) está dada por:
G ( s) =
K
K s + Ki
U (s)
= Kc + i = c
E (s)
s
s
(10.7)
212
Usando el simulador UNTSIM para un sistema de control con controlador
Proporcional Integral
**************************************************************
Numerador [ ]: 0.07
Denominador [ ]:
[10.26 6.42 1]
Transfer function:
0.07
---------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 1
Numerador [ ]: 1
Denominador [ ]: 1
Transfer function:
1
Desea evaluar Ki(1) o ti(2): 1
Ganancia integral Ki: 50
Transfer function:
3.5 s + 3.5
---------------------------------10.26 s^3 + 6.42 s^2 + 4.5 s + 3.5
Ganancia integral Ki: 10
Transfer function:
0.7 s + 0.7
---------------------------------10.26 s^3 + 6.42 s^2 + 1.7 s + 0.7
Se obtiene las respuestas dadas en las Figuras 10.5 y 10.6
213
Fig. 10.5a Respuesta de lazo cerrado para intercambiador de calor con controlador PI
y con Kc = 50, τi = 1 (o Ki = Kc/τi = 50)
Fig. 10.5b Respuesta de lazo cerrado para intercambiador de calor con controlador PI
y con Kc = 10, τi = 1 (o Ki = Kc/τi = 10)
214
En el primer caso Kc = 50, τi = 1 (o Ki = Kc/τi = 50) el sistema se vuelve
inestable, esto es debido al alto valor de Ki. En el segundo caso se elimina el offset,
pero existe un sobreimpulso muy alto (1.6) y un tiempo de establecimiento por sobre
los 100 segundos (muy grande).
Prosiguiendo con la simulación del sistema podemos encontrar un juego de
parámetros que nos den una mejor respuesta. Estos podrían ser Kc = 4 y τi = 2 (Ki =
Kc/τi = 2), cuya respuesta se muestra en la Fig. 10.6
Fig. 10.6 Respuesta de lazo cerrado para intercambiador de calor con
controlador PI y con Kc = 4, τi = 2 (o Ki = Kc/τi = 2)
10.8
CONTROL PROPORCIONAL, INTEGRAL Y DERIVATIVO PID
Analizando la Fig. 10.6, vemos que la variable de salida sigue al setpoint y se
alcanza el estado estacionario después de 37 segundos. Una de las condiciones para que
un controlador sea aceptable es que la respuesta sea rápida. Ahora trataremos de hacer
más rápida la respuesta agregando la acción derivativa con lo cual tenemos un
controlador PID cuya función de transferencia a partir de le Ec. (10.2) es:
G ( s) =
K s2 + Kc s + Ki
U (s)
= d
s
E (s)
(10.8)
215
Usando el simulador UNTSIM podemos simular el sistema, mantenemos Kc = 4,
τi = 2 y seleccionamos τd = 0.1, con lo que se tiene la respuesta dada en la Fig. 10.7
La Fig. 10.7, aún cuando no muestra mucha diferencia, ha disminuido ligeramente
el tiempo de establecimiento.
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**************************************************************
Numerador [ ]: 0.07
Denominador [ ]: [10.26 6.42 1]
Transfer function:
0.07
---------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 1
Numerador [ ]: 1
Denominador [ ]: 1
Transfer function:
1
Desea evaluar Ki, Kd (1) o ti, td (2): 2
Tiempo integral ti: 2
Tiempo derivativo td: 0.1
Transfer function:
0.028 s^2 + 0.28 s + 0.14
------------------------------------10.26 s^3 + 6.448 s^2 + 1.28 s + 0.14
216
Fig. 10.6 Respuesta de lazo cerrado para intercambiador de calor con PID
y con Kc = 4, τi = 2 (o Ki = Kc/τi = 2) y τd = 0.1 (o Kd = Kc*τd = 0.4)
10.9 CONSEJOS PARA EL DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID
Cuando esté diseñando un controlador PID para un sistema dado siga los
siguientes pasos para obtener el resultado deseado.
1. Obtenga la respuesta en bucle abierto y determine los parámetros que deben ser
mejorados
2. Añada un control proporcional para mejorar el tiempo de subida
3. Añada un control derivativo para mejorar el sobreimpulso
4. Añada un control integral para eliminar el error en régimen permanente
5. Ajuste los valores de KC, Ki y Kd para obtener la respuesta deseada. Puede
dirigirse a la Tabla 10.1 para averiguar qué controlador controla cada
característica.
Por último, tenga en cuenta que, si no es necesario, no tiene porqué implantar los tres
controladores (proporcional, derivativo e integral) en un único sistema. Por ejemplo, si
un controlador PI proporciona una respuesta suficientemente buena (como en el ejemplo
anterior) entonces no es necesario implantar el controlador derivativo en el sistema.
Mantenga el controlador tan sencillo como sea posible.
Esto puede comprobarse simulando los sistemas de control para los para los tres
CSTR’s (Ejemplo 9.10) y los dos tanques con calentamiento (ejemplo 9.11).
217
Ejemplo 10.1 Método de diseño para un PID
Un sistema de control se representa por:
R(s)
+-
G(s)
1,151s +0,1774
3
s + 0,739s2 +0,921s
C(s)
Los requerimientos de diseño son:
• Sobreimpulso máximo: Menos del 10 %
• Tiempo de subida: Menos de 2 segundos
• Tiempo de establecimiento: Menos de 10 segundos
• Error en el estado estacionario: Menos de 2 %
La función de transferencia de un PID es:
K
K s2 + KC s + Ki
U (s)
= KC + i + Kd s = d
s
E ( s)
s
Nosotros implementaremos combinaciones de controladores proporcional (KC),
integral (Ki), y derivado (Kd) en un sistema “feedback” mostrado a continuación para
estudiar la salida del sistema
Tomando primero un controlador proporcional
Control proporcional
El primer paso en la solución de este problema usando un control PID es
encontrar la función de transferencia de lazo cerrado con un control proporcional (Kp).
Una función de transferencia de lazo cerrado puede obtenerse:
A mano
1.
K p (1,151s + 0,1774)
C ( s)
= 3
E ( s)
s + 0,739 s 2 + (1,151K p + 0,921) s + 0,1774 K p
2.
Usando la función de Matlab llamada cloop.
Matlab no puede manipular variables simbólicas. Para usar la función cloop,
ingresar las siguientes ordenes:
>>Kc=[2]; %Ingresar un valor numérico para la
%ganancia
proporcional
>>num=[1.151 0.1774]; %Numerador de F de T del proceso
>>num1=conv(Kc,num); % Numerador de F de T directa del lazo
>>den1=[1 0.739 0.921 0]; %Denominador de F de T del
% proceso
218
Considerando la F de T de retroalimentación = 1
>> [numc,denc]=cloop (num1,den1)% F de T de lazo cerrado
Se obtiene la siguiente respuesta
numc =
0
denc =
1.0000
0
2.3020
0.7390
0.3548
3.2230
0.3548
Si se desea se puede arreglar la Función de transferencia con la orden
>> sys=tf(numc,denc)
Transfer function:
2.302 s + 0.3548
---------------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 3.223 s + 0.3548
Por ahora, poner la ganancia proporcional (Kc) igual a 2 y observar el
comportamiento del sistema. Para lo cual se da la siguiente orden:
>> step(sys)
3.
Usando el simulador UNTSIM de la misma forma que el ejemplo anterior,
seleccionando la opción Control Proporcional y haciendo los supuestos de los
valores de Kc = 1 y luego Kc = 2
219
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TIEMPO INTEGRAL ti o (Ki=Kp/ti) Y TIEMPO DERIVATIVO td o
(Kd=Kp*td)
**************************************************************
Numerador [ ]: [1.151 0.1774]
Denominador [ ]: [1 0.739 0.921 0]
Transfer function:
1.151 s + 0.1774
------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 0.921 s
Numerador [ ]: 1
Denominador [ ]: 1
Transfer function:
1
Transfer function:
2.302 s + 0.3548
---------------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 3.223 s + 0.3548
Obteniendo las gráficas con las respectivas respuestas
Como se ve, ambos el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento tienen la
necesidad de alguna mejora.
Control proporcional derivado (PD)
Recordar del estudio del PID, la acción derivativa reducirá el sobreimpulso y el
tiempo del establecimiento. Consideremos un controlador PD. La función de
transferencia de lazo cerrado del sistema con un controlador PD es:
220
.
1,151K d s 2 + (1,151K C + 0,1774 K d ) s + 0,1774 K C
C ( s)
= 3
E ( s)
s + (0,739 + 1,151K d ) s 2 + (0,921 + 1,151K C + 0,1774 K d ) s + 0,1774 K C
Usando los órdenes mostrados debajo y con varias pruebas de ensayo-y-error, una
ganancia proporcional (KC) de 9 y una ganancia derivativa (Kd) de 4 dan un resultado
razonable. Para confirmar esto, cambiando el archivo-m al siguiente y ejecutándolo en
la ventana de ordenes MATLAB. Se obtiene la respuesta siguiente:
>>Kc=9;
>>Kd=4;
>>numc=[1.151*Kd 1.151*Kc+0.1774*Kd 0.1774*Kc];
>>denc=[1 0.739+1.151*Kd 0.921+1.151*Kc+0.1774*Kd 0.1774*Kc];
>>step (numc,denc)
Esta respuesta al escalón muestra el tiempo de crecimiento de menos de 2
segundos, el sobreimpulso de menos de 10%, el tiempo de establecimiento de menos de
10 segundos, y el error del estado estacionario de menos de 2%. Todos los requisitos del
plan están satisfechos.
Control PID
Aunque todos los requisitos del plan estaban satisfechos con el controlador PD, la
acción integral (Ki) puede agregarse para reducir el sobreimpulso y tener una curva de
respuesta más lisa. Después de varias pruebas de ensayo-y-error, la ganancia
proporcional (KC) de 2, la ganancia integral (Ki) de 4, y la ganancia derivativa (Kd) de 3
221
todavía satisface todos los requisitos del plan y dan una curva de respuesta más lisa.
Para confirmar esto, ingresar las órdenes siguientes
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
10.10
Kc=2;
Kd=3;
Ki=4;
numo=[1.151 0.1774];
deno=[1 0.739 0.921 0];
numpid=[Kd Kc Ki];
denpid=[1 0];
num1=conv(numo,numpid);
den1=conv(deno,denpid);
[numc,denc] = cloop(num1,den1);
step (numc,denc)
grid
title('Respuesta de lazo cerrado para Kc=2, Kd=3 y Ki=4')
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL USANDO SIMULINK
SIMULINK ® es un paquete para utilizar con MATLAB® y se usa para modelar,
simular y analizar sistemas dinámicos. Su entorno de modelado gráfico usa los
familiares diagramas de bloques,
El simulador UNTSIM, posee una rutina para simular sistemas de control usando
SIMULINK, para lo cual seleccionamos del menú principal: Cálculos de ingeniería
química – Automatización y control – Teoría clásica – Simulación de sistemas – Con
Simulink
Apareciendo el siguiente programa
222
1. El primer bloque representa la entrada para simular el sistema. En este caso es
escalón, al hacer doble clic sobre el bloque aparece una caja de diálogo para definir
los parámetros de la entrada:
En este caso ajustamos el valor inicial en 0 y el valor final en 1, con lo que
tenemos definido el escalón unitario.
Si no definimos el tiempo de muestreo, el programa lo define por defecto.
2. El segundo bloque representa el comparador. En este caso es un sistema de
retroalimentación negativo (si se desea sumar se debe hacer doble clic sobre el
bloque y ajustar los signos correspondientes y la forma del bloque)
3. El tercer bloque representa al controlador. Haciendo doble clic aparece la siguiente
caja de diálogo:
223
Aquí se ajustan los parámetros de las ganancias Proporcional Kc, Integral Ki y
Derivada Kd (En el caso de no tener acción Integral o derivativa, colocar el valor de 0
en la ganancia correspondiente).
4. El cuarto bloque corresponde a la constante de válvula. Al hacer doble clic en el
bloque aparece la caja de diálogo:
En este caso se ha ajustado la constante de Válvula Kv = 1
5. El quinto bloque corresponde a la función de transferencia del proceso y al hacer
doble clic sobre este bloque se abre la caja de diálogo donde se deben ingresar los
coeficientes del numerador y denominador de la función de transferencia del
proceso
224
6. El sexto bloque corresponde al Sensor (bloque de retroalimentación), en el cual al
hacer doble clic sobre el mismo se abre una caja de diálogo similar a la anterior en
la cual se ajustan el numerador y denominador de la función de transferencia del
mismo en este caso se han ajustado un = 1 y den = 1 respectivamente.
7. El séptimo bloque corresponde a la gráfica de la respuesta.
Después de ajustar todos los parámetros del sistema ir al menú principal,
seleccionar Simulation – Start, con lo cual se hace la simulación del sistema, luego
hacer doble clic sobre el bloque de respuesta para ver la gráfica, si la gráfica no es clara
seleccionar Autoscale y aparece la respuesta del sistema.
Comentarios
1. Para encontrar ganancias apropiadas (KC, Kd, y Ki), se puede usar la tabla mostrada
en el punto sobre el estudio del PID; sin embargo, debe tenerse presente las otras
dos. Como resultado, se puede necesitar cambiar otras dos ganancias cuando se
cambia una ganancia.
2. Nuestro sistema con un controlador PI no proporciona la respuesta deseada.
225
CAPITULO
11
ANALISIS Y DISEÑO EN EL
LUGAR DE LAS RAICES
La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado,
está estrechamente ligada a la ubicación de los polos de lazo cerrado. Si el sistema tiene
una ganancia variable, la ubicación de los polos de lazo cerrado depende del valor de la
ganancia elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca como se desplazan
los polos del lazo cerrado en el plano s al variar la ganancia.
Desde el punto de vista del diseño, un simple ejuste de la ganancia puede
desplazar los polos de lazo cerrado a las posiciones deseadas. Entonces el problema de
diseño se puede convertir en la selección de un valor de ganancia. En este capítulo se
tratarán problemas de diseño que incluyen la selección del valor de un parámetro
partícular (usualmente la ganancia de lazo cerrado) de modo que las características de
respuesta transitoria sean satisfactorias. Si el solo ajuaste de la ganancia no brinda un
resultado deseado, puede ser necesario agregar un compensador al sistema (Cáp. 7 K.
Ogata).
W. R. Evans desarrollo un método simple para hallar las raíces de la ecuación
característica, denominado método del lugar de las raíces, consiste en un procedimiento
en que se trazan las raices de la ecuación característica para todos los valores de un
parámetro del sistema. A menos que se especifique lo contrario, se supone que el
parámetro que se va a variar s través de todos sus valores desde cero a infinito, es la
ganancia de la función de transferencia de lazo abierto.
11.1 DIAGRAMAS DEL LUGAR DE LAS RAÍCES
11.1.1 Diagramas del lugar de las raices de sistemas de primer orden
Para un proceso simple con una ley de primer orden dado por la Fig. 11.1, con un
controlador proporcional, la función de transferencia del controlador y el proceso es:
226
R(s)
KC
+-
KP
τs+1
Y(s)
Fig. 11.1 Sistema con proceso de primer orden
⎛ K ⎞
GC ( s )G P ( s) = ⎜ P ⎟ K C
⎝ τs + 1 ⎠
La ecuación característica de lazo cerrado es:
(11.1)
1 + GP(s)GC(s) = 0
1+
K P KC
=0
τs + 1
(11.2)
τs + 1 + KPKc = 0
Resolviendo para la raíz de lazo cerrado da:
s=−
1 + K P KC
(11.3)
τ
Imaginario (s)
Parte imaginaria
positiva
Real – (s)
Parte imaginaria
positiva
KC = 0
– 1/τ
Parte imaginaria
negativa
Real + (s)
Parte imaginaria
negativa
Plano s
Fig. 11.2 Lugar de las raíces para un sistema de primer orden
Hay una sola raíz (real negativa) y sera solamente una linea en el plano s. La Fig.
11.2 da la gráfica del lugar de las raices. La linea se inicia en s = – 1/τ cuando Kc = 0.
la raíz de lazo cerrado se mueve a lo largo del eje real negativo a medida que KC se
incrementa.
227
11.1.2 Diagramas del lugar de las raices de sistemas de segundo orden
Considere el sistema que se ve en la Fig. 11.3: la función de transferencia de lazo
abierto es:
G ( s) =
KC
s ( s + 1)
R(s)
(11.4)
+-
KC
KP
s(τ s + 1)
Y(s)
Fig. 11.3 Sistema con proceso de segundo orden
La función de transferencia de lazo cerrado es:
G ( s) =
Y (s)
K
= 2
R( s) s + s + K
(11.5)
donde K = Kc KP de aquí, si Kc → 0, K → 0 y si Kc → ∞, K → ∞
La ecuación característica es:
S2 + s + K = 0
(11.6)
Se desea hallar el lugar de las raíces de esta ecuación, cuando K varia de cero a
infinito.
El lugar de las raíces correspondientes a todos los valores de K está representado
en la Fig. 11.4. el lugar de las raíces está graduadado con K como parámetro. (Las
flechas indican el desplazamiento de las raíces al incrementar K). Una vez trazado un
diagrama así, se puede determinar inmediatamente el valor de K que ha de brindar una
raíz, o un polo de lazo cerrado, en un punto deseado. De este análisis, es claro que los
polos de lazo cerrado que corresponden a K = 0 son los mismos de los polos de lazo
abierto. Al aumentar el valor de K de cero a ¼, los polos de lazo cerrado se desplazan
hacia el punto (– ½ , 0). Para valores de K entre cero y ¼ , todos los polos de lazo
cerrado están sobre el eje real. Esto corresponde a un sistema sobreamortiguado, y la
respuesta a un impulso es no oscilatoria. En K = ¼ , los dos polos reales de lazo cerrado
coinciden. Esto corresponde al caso de un sistema con amortiguamiento crítico. Al
aumentar K por encima de ¼ , los polos de lazo cerrado se separan del eje real
haciéndose complejos, y como la parte real del polo de lazo cerrado es constante para
K > ¼ , los polos de lazo cerrado se mueven a lo largo de la recta s = – ½. Por tanto
para K > ¼ , el sistema se vuelve subamortiguado. Para un valor dado de K, uno de los
polos conjugados de lazo cerrado se mueve hacia s = – ½ + j ∞.
228
jω
K = 4 - j2
K = 1 - j1
K=0
K=0
-1
σ
0
K=¼
K = 1 - - j1
K = 4 - - j2
Fig. 11.4 Diagrama del lugar de las raíces para el sistema que se muestra en la Fig. 11.3
Si los polos de lazo cerrado se especifican en el lugar de las raíces, el valor
correspondiente de K para el sistema mostrado en la Fig. 11.5, se determina por la
condición de magnituda, dada por la Ec. (11.6).
R(s)
V
G(s)
á
+-
Y(s)
H(s)
Fig. 11.5 Lazo de control
⏐G(s)H(s)⏐ = 1
(11.6)
Si por ejemplo, los polos de lazo cerrado elegidos son s = – ½ ± j 2, entonces el
valor correspondiente de K resulta ser
G(s) H (s) =
K
s ( s + 1)
=1
s = − (1 / 2 ) + j 2
o bien
K = s ( s + 1) s = − (1 / 2 ) + j 2 =
17
4
229
Como los polos son complejos conjugados, si se especifica uno de ellos, por
ejemplo s = - ½ + j2, entonces el otro se fija automáticamente. Para evaluar el valor de
K se puede utilizar cualquiera de ambos polos.
Del diagrama del lugar de las raíces de la Fig. 11.4, se ven claramente los efectos
de las modificaciones en el valor de K sobre el comportamiento en respuesta transitoria
del sistema de segundo orden. Un incremento del valor de K produce una reducción de
la relación de amortiguamiento ξ, lo que produce un crecimiento del sobreimpulso de la
respuesta. Un aumento del valor de K también produce un incremento de las frecuencias
naturales amortiguada y no amortiguada. (Si K es mayor que el valor crítico, que es el
que corresponde a un sistema con amortiguación crítica, aumentar el valor de K no tiene
efecto en el valor de la parte real de los polos de lazo cerrado). Del diagrama del lugar
de las raíces resulta evidente que los polos de lazo cerrado siempre están en el
semiplano izquierdo del plano s; de modo que sin importar cuánto se aumente el valor
de K, el sistema siempre permanece estable. Por tanto, el sistema de segundo orden
(igual que de primer orden) siempre es estable. (Sin embargo, hay que notar que si la
ganancia se ajusta a un valor muy elevado, pueden cobrar importancia los efectos de
algunas de las constantes de tiempo despreciadas, y el sistema, que supuestamente es de
segundo orden, aun cuando en realidad es de orden superior, puede tornarse inestable).
11.1.3 Analisis del lugar de las Raíces de sistemas de control con MATLAB
En el capítulo anterior hemos examinado un método por tanteo para seleccionar
los valores de las acciones de control.
Existen métodos prácticos para seleccionar los valores de las acciones de control
aplicando algunos criterios.
El criterio aplicado generalmente es el de la razón de amortiguamiento ξ, (Ver
Cap. 8.7 para sistemas de segundo orden) que es un compromiso entre la estabilidad de
la respuesta del controlador y la rápidez de retorno de la variable a un valor estable: una
relación mayor a 1/4 dará mayor estabilidad (el valor de 0.606 da una mínima área de
recuperación) pero prolongará el tiempo de normalización de la variable, mientras que
una relación menor de 1/4 devolverá la variable más rápidamente a su punto de
consigna o a un valor estable, pero perjudicará la estabilidad del sistema (si la variable
se registra se observarán ciclos sucesivos y rápidos).
De la Fig. 8.20 se puede ver que un sistema subamortiguado con ξ entre 0.5 y
0.8, se aproximan con más rápidez al valor final que un sistema críticamente
amortiguado o subamortiguado. Y este es el rango que usaremos para diseño.
Ejemplo 11.1
Considere un sistema en lazo abierto (proceso) cuya función de transferencia sea
H(s) =
Y (s)
s+7
=
U ( s ) s( s + 5)( s + 15)( s + 20)
(11.7)
230
¿Cómo se puede diseñar un controlador para este sistema usando el método del
lugar de las raíces? Digamos que nuestros criterios de diseño son un 5% de
sobreimpulso y un segundo de tiempo de subida.
a) Trazado del lugar de las raíces
Cree un archivo de instrucciones denominado rl.m. Escriba la función de
transferencia y el comando para trazar el lugar de las raíces:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
num=[1 7];
den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20]));
rlocus(num,den)
axis([-22 3 -15 15])
grid
xlabel('Eje real')
ylabel('Eje imaginario')
Fig. 11.6 Gráfica del lugar de las raíces
b) Seleccionar el valor de K en el lugar de las raíces
El gráfico anterior muestra las ubicaciones de todos los posibles polos de bucle
cerrado para un controlador proporcional. Obviamente no todos los polos de bucle
cerrado satisfacen los criterios de diseño y podemos determinar la ganancia presionando
el botón derecho del mouse sobre las líneas de la gráfica tal como se muestra en la
figura siguiente.
231
Fig. 11.7 Ubicación del lugar de las raíces
Para determinar que parte del lugar es aceptable usamos el comando
sgrid(Zeta,Wn) que traza las líneas de razón de amortiguamiento y de frecuencia
natural constante. Sus dos argumentos son la razón de amortiguamiento (Zeta) y la
frecuencia natural no amortiguada (Wn) [estos deben ser vectores si se desea ver un
rango de valores aceptables]. En nuestro problema, se necesita un sobreimpulso del 5%
(lo que representa un factor de amortiguamiento Zeta mayor de 0,7) y un tiempo de
subida (Tr) de un segundo (lo que representa una frecuencia natural Wn= 1.8/Tr = 1.8.
Tr = Tiempo de subida). Escriba lo siguiente en la ventana de instrucciones de
MATLAB (a continuación del mismo programa anterior):
>> zeta=0.7;
>> Wn=1.8;
>> sgrid(zeta, Wn)
>>
Aumentamos la parte de la gráfica de interés:
>> axis([-10 3 -6 6])
232
Fig. 11.8 Selección del valor K
En la gráfica anterior las dos líneas discontinuas de un ángulo de
aproximadamente 45 grados indican la ubicación de los polos con Zeta = 0,7; entre estas
dos líneas, los polos tienen Zeta > 0,7 y fuera de las líneas Zeta < 0,7. El semicírculo
indica la ubicación de los polos con una frecuencia natural Wn = 1,8; dentro del círculo
Wn < 1,8 y fuera del círculo Wn > 1,8.
Volviendo a nuestro problema, para hacer el sobreimpulso menor que el 5% los
polos deben estar entre las dos líneas discontinuas y para hacer el tiempo de subida
menor que un segundo los polos deben estar fuera del semicírculo. Así, ahora
conocemos que sólo es aceptable la parte del lugar de las raíces comprendida entre las
dos líneas y fuera del semicírculo. Como todos los polos comprendidos en esta zona
están en el semiplano izquierdo, el sistema será estable en bucle cerrado.
En el gráfico anterior se observa como hay parte del lugar de las raíces en la
región deseada. Así en este caso sólo se necesita un controlador proporcional para situar
los polos en la región deseada. Se puede usar el comando MATLAB rlocfind para
elegir la ubicación de los polos deseados:
>> [kc,polos] = rlocfind(num,den)
Con esta orden aparece sobre la figura un cursor en forma de cruz para seleccionar
el lugar de las raíces. Pulse en la gráfica el punto en el que desee ubicar los polos de
bucle cerrado. Debe seleccionar aquellos puntos del gráfico anterior que satisfacen los
criterios de diseño.
La función rlocfind se puede aplicar tantas veces como se desee para
determinar el valor de K y el valor numérico de las raíces en un punto específico del
lugar.
233
Fig. 11.9 Ubicación de los polos
Se hace el intento obteniéndose da valores marcados con (+) la Fig. 11.8, los
cuales corresponden a:
>> [kc,polos] = rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-2.8353 - 1.3509i
kc =
385.7264
polos =
-22.1511
-12.1011
-2.8739 + 1.3468i
-2.8739 - 1.3468i
Tenga en cuenta que como el lugar de las raíces tiene más de una rama, cuando se
selecciona un polo, se muestran donde están los otros polos. Recuerde que ellos también
influyen en la respuesta. En el gráfico anterior se observa que todos los polos
seleccionados (todas las marcas "+") están en posiciones razonables. Continuemos y
usemos la ganancia KC seleccionada en nuestro controlador proporcional.
11.4 RESPUESTA DE LAZO CERRADO
Para obtener la respuesta ante una entrada en escalón se necesita conocer la
función de transferencia de bucle cerrado. Se puede hallar utilizando las reglas del
álgebra de bloques o dejar que MATLAB lo haga por nosotros:
234
>> [numCL, denCL] = cloop((kc)*num, den)
Los dos argumentos de la función cloop son el numerador y el denominador del
sistema en bucle abierto. Se debe incluir la ganancia proporcional que previamente se ha
elegido. Se supone realimentación unitaria. Obteniéndose la respuesta siguiente
>> [numCL, denCL] = cloop((kc)*num, den)
numCL =
1.0e+003 *
0
0
0
0.3897
2.7282
denCL =
1.0e+003 *
0.0010
0.0400
0.4750
1.8897
2.7282
Si tiene un esquema de realimentación no unitaria puede usar la función
MATLAB feedback que calcula la función de transferencia de bucle cerrado con una
ganancia en el bucle de realimentación.
Comprobemos la respuesta del sistema en bucle cerrado ante un escalón unitario:
>> step(numCL,denCL)
>> grid
Fig. 11.10 Respuesta del sistema de control con un PC con K = 385
Como se esperaba, esta respuesta tiene un sobreimpulso menor del 5% y un
tiempo de subida menor de 1 segundo.
235
11.5 DISEÑO EN EL LUGAR DE LAS RAICES CON UNTSIM
El simulador UNTSIM posee una rutina MATLAB y una GUI (Interfase gráfica)
para diseño de sistemas de control en el lugar de las raíces.
Para acceder a la rutina MATLAB, seleccionamos del Menú principal: Cálculos
de Ingeniería química – Automatización y control – Lugar de las raices – Con matlab,
obteniendo la siguiente respuesta para el ejemplo anterior:
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
20-Aug-2004
ESTE PROGRAMA CALCULA LA GANANCIA PROPORCIONAL
DE UN SISTEMA FEEDBACK DANDO LA FUNCION DE
TRANSFERENCIA DEL PROCESO USANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
Ver Automatizacion y control Cap. 11.2
***************************************************
Ingrese numerador de F de T del proceso: [1 7]
Ingrese denominador de F de T del proceso: conv(conv([1 0],[1
5]),conv([1 15],[1 20]))
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO ES:
Transfer function:
s + 7
------------------------------s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1500 s
Desea cambiar ejes de la grafica si(1) no (0): 1
Ingrese los ejes [-x x -y y]: [-22 3 -15 15]
Desea evaluar el valor de la GANANCIA PROPORCIONAL Kc
en base al Factor de amortiguamiento (Eta) y
Frecuencia natural Si (1) no (0): 1
Factor de amortiguamiento (Eta): 0.7
Frecuencia natural (Wn): 1.8
Select a point in the graphics window
selected_point =
-3.0723 - 1.3112i
GANANCIA PROPORCIONAL
kc =
383.1663
POLOS DE LAZO ABIERTO (RAICES DE LAZO CERRADO)
236
polos =
-22.1408
-12.1161
-2.8716 + 1.3238i
-2.8716 - 1.3238i
Desea ver la respuesta del sistema a un escalon si (1) no (0): 1
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA FEEDBACK ES:
Transfer function:
383.2 s + 2682
-------------------------------------s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1883 s + 2682
>>
Que viene a ser la respuesta del sistema con un controlador proporcional con
ganancia Kc = 383.1663
237
CAPITULO
12
ANALISIS Y DISEÑO DE LA
RESPUESTA EN FRECUENCIA
La salida de un sistema lineal ante una entrada sinusoidal es una sinusoide de la
misma frecuencia pero con diferente magnitud y fase. La respuesta en frecuencia se
define como la diferencia de magnitud y la fase entre las entradas y las salidas
sinusoidales. En los métodos de respuesta en frecuencia, los métodos más
convencionales de que disponen los ingenieros de control para análisis y diseño de
sistemas de control, se varía la frecuencia de la señal de entrada dentro de un rango de
interés y se estudia la respuesta resultante.
El método de la respuesta en frecuencia puede que sea menos intuitivo que los
otros métodos estudiados anteriormente. Sin embargo, presenta ciertas ventajas, sobre
todo en situaciones de la vida cotidiana tales como cuando se desea modelar una
función de transferencia a partir de datos experimentales.
La respuesta en frecuencia de un sistema puede verse de dos formas distintas:
utilizando el diagrama de Bode o utilizando el diagrama de Nyquist. Ambos métodos
muestran la misma información; la diferencia reside en la distinta forma de mostrarla.
Ambos métodos se estudiarán en este capitulo.
12.1 SALIDA EN ESTADO ESTACIONARIO A UNA ENTRADA SINUSOIDAL
Sea el sistema lineal e invariante en el tiempo que se muestra en la Fig. 12.1
Fig. 12.1
238
Y(s)
G(s) = --------X(s)
(12.1)
La entrada x(t) es sinusoidal y viene dada por:
x(t) = X sen ωt
(12.2)
Se puede demostrar fácilmente que si el sistema es estable, entonces la salida y(t)
se puede expresar como:
y(t) = Y sen (ωt + φ)
(12.3)
donde
Y = X |G(jω)|
(12.4)
Parte imaginaria de G(jω)
φ = ∠G(jω) = tan [------------------------------ ]
Parte real de G(jω)
-1
(12.5)
Un sistema lineal e invariante en el tiempo que está sujeto a una entrada
sinusoidal en estado estacionario tendrá una salida también sinusoidal de la misma
frecuencia que la de la entrada. sin embargo la amplitud y la fase de la salida serán en
general diferentes de las de la entrada. de hecho, la amplitud de la salida viene dada por
el producto de la amplitud de la entrada y |G(jω)|, mientras que la fase difiere de la de la
entrada en la cantidad φ = ∠G(jω). En la Fig. 12.2 se muestra un ejemplo de señales
de entrada y salida sinusoidales.
Fig. 12.2
239
Observe que para entradas sinusoidales:
Y(jω)
|G(jω)| = |----------| = Razón entre las amplitudes de la sinusoide de salida y la
X(jω)
sinusoide de entrada
Y(jω)
∠G(jω) = ∠-------- = desfase entre la sinusoide de salida y la sinusoide de entrada
X(jω)
Por tanto, la característica de respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal se
puede obtener directamente a partir de:
Y(jω)
---------- = G(jω)
X(jω)
(12.6)
La función de transferencia sinusoidal G(jω) que es la razón de Y(jω) a X(jω) es
una cantidad compleja que puede representarse por su magnitud y el ángulo de fase con
la frecuencia como parámetro. (Un ángulo de fase negativo se llama un retardo de fase
y un ángulo de fase positivo es un adelanto de fase). La función de transferencia
sinusoidal de cualquier sistema lineal se obtiene sustituyendo jw por s en la función de
transferencia del sistema
La respuesta en frecuencia se define como la diferencia de magnitud y la fase
entre las entradas y las salidas sinusoidales. En este capítulo, veremos como se puede
usar la respuesta en frecuencia de bucle abierto de un sistema para predecir su
comportamiento en bucle cerrado.
Para representar gráficamente la respuesta en frecuencia, se utiliza un vector de
frecuencias (que varia en frecuencia desde cero o "DC" hasta infinito) y se calcula el
valor de la función de transferencia de la planta en esas frecuencias. Si G(s) es la
función de transferencia del sistema en bucle abierto y ω es el vector de frecuencias, se
representa G(jω) en función de ω. Como G(jω) es un número complejo, se puede
representar su magnitud y su fase (diagrama de Bode) o su posición en el plano
complejo (diagrama de Nyquist).
12.2 DIAGRAMAS DE BODE O DIAGRAMAS LOGARÍTMICOS
Una función de transferencia sinusoidal se puede representar con dos diagramas
separados, uno de la magnitud en función de la frecuencia y el otro del ángulo de fase
(en grados) en función de la frecuencia. Un diagrama de Bode consiste en dos gráficas:
una es la representación del logaritmo de la magnitud de una función de transferencia
sinusoidal; la otra es un diagrama del ángulo de fase, ambos en función de la frecuencia
en escala logarítmica.
La representación estándar de la magnitud logarítmica de G(jω) es 20 log |G(jω)|,
donde la base de logaritmos es 10. la unidad utilizada en esta representación de la
magnitud es el decibelio, en forma abreviada dB.
240
Observe que un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibelios,
mientras que un número más pequeño que la unidad tiene tiene un valor negativo.
cuando un número aumenta por un factor de 10, el correspondiente valor en decibelios
aumenta en un factor de 20. esto se puede ver a partir de la siguiente relación:
20 log ( K x 10 ) = 20 log K + 20
Note también que, cuando se expresa en decibelios, el inverso de un número
difiere de su valor solamente en signo; esto es para el valor de K
20 log K = - 20 log (1/K)
En la representación logarítmica, las curvas se dibujan en papel semilogaritmico,
utilizando la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal o bien para la
magnitud (en decibelios) o el ángulo de fase (en grados). El rango de frecuencia de
interés determina el número de ciclos logarítmicos que se necesitan sobre el eje de
abcisas.
En los diagramas de Bode, las relaciones de frecuencia se expresan en términos de
octavos o décadas. una octava es una banda de frecuencia que va desde ω1 hasta 2ω1,
donde ω1 es cualquier valor de frecuencia. una década es una banda de frecuencia que
va desde ω1 hasta 10ω1, donde otra vez ω1 es cualquier frecuencia. (En la escala
logarítmica del papel semilogarítmico, cualquier relación de frecuencia dada se puede
representar por la misma distancia horizontal. Por ejemplo, la distancia horizontal desde
ω = 1 a ω = 10 es igual a la que hay desde ω = 3 a ω = 30.
El diagrama de Bode es útil porque muestra ambas características de baja y alta
frecuencia de la función de transferencia. La expansión del rango de baja frecuencia
mediante la utilización de una escala logarítmica para la frecuencia es muy ventajosa
puesto que las características en baja frecuencia son más importantes en los sistemas
prácticos. (Observe que debido a la escala de frecuencias logarítmicas, es imposible
representar las curvas hasta la frecuencia cero; sin embargo, esto no plantea ningún
problema serio).
En resumen, el diagrama de Bode, es una representación de la magnitud y la fase
de G(jω) (en el que el vector de frecuencias ω sólo contiene frecuencias positivas). Para
obtener el diagrama de Bode de una función de transferencia, podemos usar la función
bode de MATLAB.
Por ejemplo, para la función de transferencia:
50
G(s)= ----------------------s3 + 9 s2 + 30 s + 40
>>
>>
>>
>>
(12.7)
num = 50;
den = [1 9 30 40];
sys = tf(num,den);
bode(sys)
O con la única orden:
>>bode(50,[1 9 30 40])
241
Fig 12.3 Diagrama de Bode del sistema dado por Ec. 12.7
Observe los ejes de la gráfica. La frecuencia se expresa en escala logarítmica, la
fase en grados y la magnitud en decibelios.
Nota: Un decibelio se define como 20 log ( |G(jω)| )
12.3 MARGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE
12.3.1 Margen de ganancia (Gm)
Se define como el cambio requerido en la ganancia de bucle abierto para llevar al
sistema a la inestabilidad. Sistemas con márgenes de ganancia grande pueden soportar
grandes cambios en los parámetros del sistema antes de alcanzar la inestabilidad en
bucle cerrado.
Tenga en cuenta que una ganancia unitaria en magnitud equivale a cero dB.
El margen de ganancia de un sistema de primer o segundo orden es infinito, pues
los diagramas polares para esos sistemas no cruzan el eje real negativo. Por lo tanto, en
teoría los istemas de primer o segundo orden no pueden ser inestables. (Sin embargo,
nótese que los denominados sistemas de primer o segundo orden son solo
aproximaciones en el sentido de que se desprecian pequeños retardos al deducir las
ecuaciones del sistema, dando por resultado que no son sistemas de primer o segundo
orden. Si se tienen en cuenta esos pequeños retardos, los sistemas de primer o segundo
orden pueden volverse inestables).
242
12.3.2 Margen de fase (Pm)
Se define como el cambio en el desplazamiento de fase en bucle abierto necesario
para que el sistema de bucle cerrado se haga inestable. El margen de fase también mide
la tolerancia del sistema a un retraso en el tiempo. Si se produce un retraso mayor que
180/Wpc en el bucle (donde Wpc es la frecuencia a la que el desplazamiento de fase es
180 grados), el sistema será inestable en bucle cerrado. Este retraso temporal puede
verse como un bloque adicional en la línea directa del diagrama de bloques que añade
fase al sistema sin alterar la magnitud. Es decir, un retraso en el tiempo se puede
expresar como un bloque con magnitud unitaria y una fase de ω*retraso (en
radianes/segundo).
Por ahora, no nos preocuparemos de donde viene todo esto y nos concentraremos
en identificar los valores de los márgenes de ganancia y fase en un diagrama de Bode:
El margen de fase es la diferencia en fase entre la curva de fase y -180º en el
punto correspondiente a la frecuencia que nos proporciona una ganancia de 0 dB
(frecuencia de corte de la ganancia, Wgc). Del mismo modo, el margen de ganancia es
la diferencia entre la curva de magnitud y 0 dB en el punto correspondiente a la
frecuencia que nos proporciona una fase de -180º (frecuencia de corte de fase, Wpc).
Podemos encontrar el margen de ganancia (Gm), margen de fase(Pm), frecuencia
de corte de ganancia (Wgc)y frecuencia de corte de fase (Wpc) con la orden:
>> [gm,pm,wpc,wgc]=margin(sys)
gm =
4.6019
pm =
100.6674
wpc =
5.4782
wgc =
1.8483
En este caso la respuesta de la frecuencia de corte de ganancia está en grados y
para transformarlo a decibeles (gmdb) debemos hacer la siguiente operación:
>> gm = 20*log10(gm)
gmdb =
13.2587
También se pueden hallar directamente los márgenes de fase y de ganancia
utilizando la función margin. Esta función Matlab devuelve los márgenes de fase (Pm)
y de ganancia (Gm) las frecuencias de corte de fase (Wpc) y de ganancia (Wgc) estas
últimas entre parentesis, y su representación en un diagrama de Bode.
>> margin(sys)
243
Fig 12.4 Margen de Ganancia y Margen de Fase
Para el sistema del ejemplo se tiene la Fig. 12.4, en la cual el margen de
ganancia es Gm = 13.3 dB (a 5.48 rad/s) y el margen de fase es Pm = 101 deg (a 1.85
rad/s).
12.3.3 Sistemas de fase mínima y sistemas de fase no mínima
Las funciones de transferencia que no tienen polos o ceros en el semiplano
derecho del plano s, son funciones de transferencia de fase mínima, mientras que
aquellas que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s, son funciones
de transferencia de fase no mínima. A los sistemas con función de transferencia de fase
mínima se les denomina sistemas de fase mínima, mientras que a los que tienen
funciones de transferencia de fase no mínima, se designan como sistemas de fase no
mínima.
Para que un sistema de fase mínima sea estable, el margen de fase debe ser
positivo.
12.3.4 Uso de los margenes de fase y ganancia en el diseño.
Los margenes de fase y de ganancia de un sistema de control, son una medida de
la proximidad del diagrama polar al punto –1 + j0. Por lo tanto, se pueden usar como
criterio de diseño.
244
Nótese que ni el margen de ganancia , ni el de fase solos dan indicación suficiente
sobre estabilidad relativa. Para determinar la estabilidad relativa deben darse ambos.
Para un sistema de fase mínima, tanto el margen de fase como el de ganancia han
de ser positivos para que el sistema sea estable. Los margenes negativos indican
inestabilidad.
Los margenes de fase y ganancia adecuados proporcionan seguridad contra
variaciones en los componentes del sistema y especifican para determinados valores de
frecuencia. Ambos valores limitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca
de la frecuencia de resonancia. Para tener un comportamiento satisfactorio, el margen de
fase debe estar entre 30o y 60o y el margen de ganancia debe ser superior a 6 db. Con
estos valores, un sistema de fase mínima tiene garantizado la estabilidad, aún cuando la
ganancia de lazo abierto y las constantes de tiempo de los componentes varien entre
ciertos limites. Aunque los márgenes de fase y ganancia sólo proporcionan una
estimación superfoicial sobre la relación de amortiguamiento efectiva del sistema de
lazo cerrado, brindan un medio conveniente para diseñar sistemas de control o ajustar
las constantes de ganancia del sistema.
En los sistemas de fase mínima, las características de magnitud y fase de la
función de transferencia de lazo abierto están relacionadas. El requisito de que el
margen de fase se encuentre entre 30o y 60o significa que, en un diagrama de Bode, la
pendiente de la curva del logaritmo de la magnitud de la frecuencia de cruce de
ganancia debe ser más suave que – 40 dB/década. En la mayoría de los casos prácticos,
para tener estabilidad es deseable una pendiente de – 20 dB/década a la frecuencia de
cruce de ganancia. (Aún cuando el sistema es estable, el margen de fase es pequeño). Si
la frecuencia de cruce de ganancia es – 60 dB/década o más inclinada, muy
probablemente el sistema es inestable.
Ejemplo 12.1
Obtenga los márgenes de fase y ganancia del sistema de la Fig. 12.5 para los casos
en que K = 10 y K = 100.
R
E
+
-
K
U
1
s ( s + 1)( s + 5)
Y
Fig 12.5 Sistema de Control
Los márgenes de fase y ganancia se pueden obtener fácilmente del diagrama de bode
usando MATLAB.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
num = 10;
den = conv([1 0],conv([1 1],[1 5]))
sys = tf(num,den);
bode(sys)
margin(sys)
245
En la Fig. 12.6 se presenta un diagrama de Bode para la función de transferencia
de lazo abierto para K = 10
Fig 12.6 Diagrama de Bode del sistema mostrado en la Fig. 12.5 con K = 10
Los márgenes de fase y ganancia para K = 10 son
Margen de fase = 25.4o,
Margen de ganancia = 9.54 dB
Por lo tanto la ganancia del sistema se puede aumentar en 9.54 dB antes de que se
presente inestabilidad.
Si la ganancia se incremente desde K = 10 hasta K = 100, el eje de 0 dB se
desplaza en 20 hacia abajo, como se ve en la Fig. 12.7. Los margenes de fase y de
ganancia son
Margen de fase = –23.7o,
Margen de ganancia = –10.5 dB
Entonces el sistema es estable para K = 10, pero inestable para K = 100
Nótese que una de las ventajas del procedimiento del diagrama de Bode es la
facilidad con que se pueden calcular los efectos del cambio de ganancia.
Nótese también que para obtener un funcionamiento satisfactorio, el margen de
fase se debe aumentar a 30o – 60o. Esto se puede lograr disminuyendo la ganancia K.
Sin embargo, no es deseable reducir K, pues un valor pequeño produce un error elevado
para una entrada rampa. Esto sugiere que puede ser necesaria la modificación de la
forma de respuesta en frecuencia de lazo abierto.
246
Fig 12.7 Diagrama de Bode del sistema mostrado en la Fig. 12.5 con K = 100
12.4 RELACIÓN ENTRE RESPUESTA TRANSITORIA Y RESPUESTA EN
FRECUENCIA EN EL SISTEMA ESTÁNDAR DE SEGUNDO ORDEN
Considere el sistema que aparece en la Fig. 12.8. La función de transferencia de
lazo cerrado es:
ωn2
s ( s + 2ξω n )
R(s)
+
-
Y(s)
Fig. 12.8 Sistema de Control
ω n2
Y ( s)
= 2
R( s ) s + 2ξω n s + ω n2
(12.8)
donde ξ y ωn son la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural no
amortiguada, respectivamente.
El margen de fase Pm y la relación de amortiguamiento están relacionados
directamente entre si, aproximadamente por una recta para 0≤ ξ ≤ 0.6 como sigue:
ξ=
Pm
100
(12.9)
247
Entonces a una relación de amortiguamiento de 0.6 le corresponde un ángulo de
fase de 60o. Para sistemas de orden superior con unpar dominante de polos de lazo
cerrado, se puede utilizar esta relación como estimación para evaluar la estabilidad
relativa de respuesta transitoria (es decir, la relación de amortiguamiento) a partir de la
respuesta en frecuencia.
12.5 FRECUENCIA DE ANCHO DE BANDA (Wbw)
La frecuencia de ancho de banda se define como la frecuencia a la que la
magnitud de la respuesta de bucle cerrado es igual a -3 dB. Sin embargo, cuando se
diseña utilizando la respuesta en frecuencia, se está interesado en predecir el
funcionamiento de bucle cerrado a partir de la respuesta de bucle abierto. Así, se usará
una aproximación a un sistema de segundo orden y diremos que el ancho de banda es la
frecuencia a la que la magnitud de la respuesta de bucle abierto está entre -6 y -7,5 dB,
considerando que la fase de la respuesta en frecuencia de bucle abierto esté
comprendida entre -135 y -225º.
Para ilustrar la importancia del ancho de banda, se mostrará como la salida varía
dependiendo de la frecuencia de la señal de entrada. Se verá como el sistema es capaz
de seguir "razonablemente bien" las entradas sinusoidales con frecuencias menores que
Wbw (ancho de banda). Y como las entradas sinusoidales con frecuencias mayores que
Wbw son atenuadas (en magnitud) en un factor de 0,707 o mayor (y por supuesto
desplazadas en la fase).
Supongamos que la siguiente función de transferencia de lazo cerrado representa
un sistema:
G ( s) =
1
s + 0,5s + 1
(12.10)
2
En primer lugar, hallemos el ancho de banda a partir de diagrama de Bode:
>>
>>
>>
>>
num =1;
den =[1 0.5 1];
sys =tf(num,den);
bode (sys)
Como esta es la representación de la respuesta en frecuencia de la función de
transferencia en lazo cerrado, el ancho de banda será la frecuencia correspondiente a
una ganancia de -3dB. La frecuencia de ancho de banda y demás parámetros se obtiene
con la orden:
>> [gm,pm,wpc,wgc,wbw]=margin(sys)
gm =
Inf
pm =
41.4091
248
wpc =
Inf
wgc =
1.3229
wbw =
1
Se observa que Wbw es igual a 1 rad/s.
Fig. 12.9 Diagrama de Bode de la Ec. 12.10
También se observa en la Fig. 12.19, que para una frecuencia de 0,3 rad/s, la
salida sinusoidal tiene una magnitud de 0.71 dB (lo cual equivale a 10^(0.71/20) =
1.0852 rad/seg) y un retraso de fase de 9.4 grados respecto de la entrada.
Para una frecuencia de entrada de 3 rad/s, la magnitud de la salida es -18.2 dB
(lo cual equivale a 10^(-18.2/20) = 0.123 rad/seg ) y un desfase de 169º (casi
exactamente en el límite de la fase).
Para verificar esto, primero, consideremos una entrada sinusoidal con una
frecuencia menor que Wbw (<1.0). Debemos tener en mente que lo que pretendemos
ver es el error en régimen estacionario. Así, se modificarán los ejes para ver con
claridad la respuesta en régimen estacionario (ignorando la respuesta transitoria).
Usaremos la función lsim para simular la respuesta del sistema ante entradas
sinusoidales.
>>
>>
>>
>>
w= 0.3;
num = 1;
den = [1 0.5 1 ];
t=0:0.1:100;
249
>>
>>
>>
>>
>>
>>
u = sin(w*t); % Entrada
[y,x] = lsim(num,den,u,t); %Cálculo de la salida
plot(t,u,t,y) % Gráfica de la entrada y la salida
axis([50,100,-2,2])
grid
legend('Entrada','Salida')
Fig. 12.10 Respuesta a una entrada sinusoidal del sistema de la Ec. 12.8 con w = 0.3
Observe que para una frecuencia de 0.3 rad/s, la salida (verde) sigue bastante bien
a la entrada (azul); quizás, como se esperaba, la salida sinusoidal tiene una magnitud
cercana a uno y un retraso de fase de unos pocos grados respecto de la entrada.
Sin embargo, si se establece la frecuencia de entrada a un valor mayor que la
frecuencia del ancho de banda (>1.0) del sistema, se obtiene una salida muy
distorsionada (con respecto a la entrada):
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
w= 3;
num = 1;
den = [1 0.5 1 ];
t=0:0.1:100;
u = sin(w*t);
[y,x] = lsim(num,den,u,t);
plot(t,u,t,y)
axis([90,100,-1,1])
grid
legend('Entrada','Salida')
Observe, de nuevo, como la magnitud es 0.123 ( ≅ 1/10 el valor de la entrada),
como se predijo, y que está casi exactamente fuera de fase (retrasada 169 grados) de la
entrada. Experimente representando respuestas para diferentes frecuencias w, y
compruebe como se corresponden con el diagrama de Bode.
250
Fig. 12.11 Respuesta a una entrada sinusoidal del sistema de la Ec. 12.8 con w = 3
12.6 COMPORTAMIENTO EN LAZO CERRADO
Para predecir el comportamiento en lazo cerrado a partir de la respuesta en
frecuencia de lazo abierto, se necesita tener claro algunos conceptos:
•
•
•
•
•
El sistema debe ser estable en lazo abierto si se va a diseñar utilizando el
diagrama de Bode.
Si la frecuencia de corte de la ganancia es menor que la frecuencia de corte de
la fase (Wgc < Wpc), entonces el sistema en lazo cerrado será estable.
Para sistemas de segundo orden, la razón de amortiguamiento en lazo cerrado es
igual al margen de fase dividido por 100 si el margen de fase está entre 0 y 60
grados. Se debe usar con cuidado esta regla si el margen de fase es mayor de 60
grados.
Para sistemas de segundo orden, existe una relación entre el factor de
amortiguamiento, ancho de banda y tiempo de establecimiento que se describe
en la parte del ancho de banda.
Se puede aproximar muy groseramente la frecuencia natural con el ancho de
banda.
Ejemplo 12.2
La función de transferencia de un sistema es la siguiente:
( s + 2)
s ( s + 1)( s + 5)( s + 10)
(12.11)
251
Se pide:
1) Dibujar el diagrama de bloques de esta planta con un controlador proporcional.
Calcular mediante métodos frecuenciales una ganancia adecuada para este
controlador proporcional. Justificar de forma razonada los motivos por las que ha
elegido esa ganancia.
2) Dibujar de forma aproximada (no es necesario calcular la función de transferencia)
el diagrama de Bode de la planta compensada. Determinar también de forma
aproximada el ancho de banda de la planta compensada.
Solución
1) Diagrama de bloques de la planta con un controlador proporcional
R
E
+
K
U
-
s+2
s( s + 1)( s + 5)( s + 10)
Y
Fig. 12.12 Conrol proporcional de lazo cerrado para la planta de la Ec. 12.11
Diagrama de bode de la planta
>> num =[1 2]
>> den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10]));
>> sys =tf(num,den)
Transfer function:
s + 2
---------------------------s^4 + 16 s^3 + 65 s^2 + 50 s
>> bode(sys)
Para ajustar un controlador proporcional, se va a utilizar como criterio de elección
el margen de fase. Un margen de fase de 60 grados equivale, aproximadamente, a un
amortiguamiento de 0,6 que es un valor razonable.
El valor de ganancia que hace que el margen de fase sea de 60º es la inversa de la
ganancia donde la fase valga 120º. Como se muestra en la Fig 12.13, este valor es de
unos 27.5 dB. Se ha obtenido a una frecuencia de 0.786 rad/s que será aproximadamente
el ancho de banda de la planta. Por tanto el controlador tendrá una ganancia de:
>> 27.5 = 20*log10(K)
>> K = 10^(27.5/20)
K = 23.7137
252
Fig. 12.13 Diagrama de Bode para la planta de la Ec. 12.11
2) Función de transferencia de lazo cerrado de la planta compensada
>>
>>
>>
>>
>>
Kc = 23.7137;
num =conv(Kc,[1 2]);
den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10]));
sys =tf(num,den);
syscl=feedback(sys,1)
Transfer function: <---- F de T de la planta compensada
23.71 s + 47.43
--------------------------------------s^4 + 16 s^3 + 65 s^2 + 73.71 s + 47.43
>> bode(syscl)
El diagrama de Bode en lazo cerrado será a baja frecuencia prácticamente 0dB
debido a que la ganancia de la planta en lazo abierto es muy alta a baja frecuencia. En
alta frecuencia el diagrama de Bode en lazo cerrado será prácticamente igual al
diagrama de Bode en lazo abierto multiplicado por 22.4 (es decir, desplazado hacia
arriba 27 dB). Para frecuencias cercanas a 0.8 rad/s el diagrama de Bode tendrá un
pequeño (casi despreciable) pico de resonancia puesto que el amortiguamiento obtenido
es menor de 0.7. La figura muestra el diagrama de Bode de la planta en lazo cerrado.
253
Fig. 12.13 Diagrama de Bode de lazo cerrado para la planta de la Ec. 12.11, con
controlador proporcional con Kc = 23.71
La respuesta del sistema controlado ante una entrada de escalón unitario serà:
>> step(syscl)
Fig. 12.14 Respuesta del sistema controlado a un escalón unitario
254
12.7 EL DIAGRAMA DE NYQUIST
El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el comportamiento del
sistema de lazo cerrado examinando el comportamiento del sistema en lazo abierto. El
criterio de estabilidad de Nyquist puede usarse en el diseño sin tener en cuenta la
estabilidad del sistema en lazo abierto (tenga en cuenta que el método de diseño de
Bode supone que el sistema es estable en lazo abierto). Así, que usaremos este criterio
para determinar la estabilidad del sistema en lazo cerrado cuando el diagrama de Bode
muestre una información confusa.
El diagrama de Nyquist es básicamente una gráfica de G(j*w) donde G(s) es la
función de transferencia de bucle abierto y w es un vector de frecuencias que incluye
completamente el semiplano derecho. Al trazar el diagrama de Nyquist se tienen en
cuenta tanto las frecuencias positivas como las negativas (desde cero a infinito
Para ver un diagrama de Nyquist sencillo, definamos la siguiente función de
transferencia y veamos la gráfica:
0,5
F(s) =
(12.12)
s − 0,5
>> nyquist (0.5,[1 -0.5])
Fig. 12.15 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Ec. 12.12
Veamos ahora, el diagrama de Nyquist de la siguiente función de transferencia:
F(s) =
s+2
s2
(12.13)
nyquist([1 2], [1 0 0])
255
Fig. 12.16 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Ec. 12.13
.
12.7.1 Criterio de estabilidad de Nyquist
En esta sección se presenta el criterio de estabilidad de Nyquist. Considere el
sistema de lazo cerrado de la Fig.12.17.
R(s)
+
G(s)
Y(s)
H(s)
12.17 Sistema de lazo cerrado
La función de transferencia de lazo cerrado es:
Y ( s)
G ( s)
=
R( s) 1 + G ( s) H ( s)
(12.14)
Por razones de estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica
1+ G(s)H(s)
(12.15)
deben quedar en el semiplano izquierdo del plano s. [Nótese que, aunque puede haber
polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto en el semiplano derecho del
plano s, el sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo
256
cerrado (es decir, las raíces de la ecuación característica) están en el semiplano
izquierdo del plano s]. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en
frecuencia de lazo abierto G(jw)H(jw) con la cantidad de polos y ceros de 1+ G(s)H(s)
ubicados en el semiplano derecho del plano s. Este criterio deducido por H. Nyquist, es
útil en ingeniería de control, porque se puede determinar gráficamente la estabilidad
absoluta de un sistema de lazo cerrado partiendo de las curvas de respuesta en
frecuencia de lazo abierto sin necesidad de una determinación efectiva de los polos de
lazo cerrado. Para el análisis de estabilidad se pueden utilizar curvas de respuesta en
frecuencia de lazo abierto obtenidas en forma analítica, o experimental. Esto es
conveniente, pues al diseñar un sistema de control, frecuentemente sucede que no se
conocen las expresiones matemáticas de algunos componentes, y solo se dispone de sus
datos de respuesta en frecuencia.
El número N de veces que la gráfica G(s)H(s) rodea a -1 es igual al número de
ceros Z menos el número de polos P de la función 1+ G(s)H(s) incluidos en el contorno
de frecuencias (N = Z – P). Si analizamos cuidadosamente los numeradores y
denominadores de las funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado llegará a
la conclusión de que:
•
•
Los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia en lazo
cerrado.
Los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia en lazo
abierto.
El criterio de Nyquist establece que:
•
•
•
•
•
P = número de polos (inestables) de lazo abierto de G(s)H(s).
N = número de veces que el diagrama de Nyquist rodea a –1 + j0
Los rodeos a –1+j0, en el sentido de las agujas del reloj se consideran positivos
Los rodeos a –1+j0, en el sentido contrario a las agujas del reloj se consideran
negativos
Z = número de polos en el semiplano derecho (positivos, reales) de bucle
cerrado del sistema.
Esta es la importante ecuación que relaciona estas cantidades:
Z=P+N
(12.16)
Sabiendo el número de polos de lazo abierto (P) en el semiplano derecho
(inestables) y el número de rodeos (N) del diagrama de Nyquist en torno al punto –1+ j0
se puede determinar la estabilidad del sistema en bucle cerrado. Si Z = P + N es
positivo el sistema en lazo cerrado es inestable.
Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s)
y no atraviesa polos ni ceros de 1 + G(s)H(s) cuando un punto representativo s se
desplaza en sentido horario a lo largo de la trayectoria de Nyquist, entonces la
trayectoria correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea al punto –1 + j0, N = Z – P
veces en sentido horario. (valores negativos de N implican rodeos antihorarios).
Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales utilizando el criterio
de estabilidad de Nyquist, se pueden presentar tres posibilidades:
257
Caso 1.- No hay rodeo del punto –1 + j0. Esto implica que el sistema es estable si no
hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario,
el sistema es inestable
Para el sistema dado por la Ec. 12.11 y considerando H(s) = 1, se tiene
>> num =[1 2];
>> den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10]));
>> nyquist(num,den)
Fig. 12.18 Diagrama de Nyquist del sistema dado por la Ec. 12.11
No hay rodeos del punto –1 + j0. Ahora veamos los polos de G(s)H(s)
>> roots(den)
ans =
0
-10.0000
-5.0000
-1.0000
>> No hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s. Por lo tanto el
sistema es estable
Caso 2.- Hay un rodeo en sentido antihorario o rodeos del punto –1 + j0. En este caso el
sistema es estable si la cantidad de rodeos antihorarios es la misma que la
cantidad de polos G(s) H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso
contrario el sistema es inestable. Por ejemplo para el sistema dado por la Ec.
12.17.
258
G(s) =
s 2 + 10s + 24
s 2 − 8s + 15
(12.17)
Lo primero que debemos hacer es hallar el número de polos reales positivos de la
función de transferencia de lazo abierto:
>> roots([1 -8 15])
ans =
5
3
Los polos de la función de transferencia en lazo abierto son ambos positivos. Por
lo tanto, se necesitan dos rodeos en sentido contrario a las agujas del reloj (N = - 2) para
que el sistema sea estable (Z = P + N). Si el número de rodeos es menor que dos o son
en sentido de las agujas del reloj el sistema será inestable.
Ahora hagamos el diagrama de Nyquist para este sistema
>> nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15])
Fig. 12.18 Diagrama de Nyquist del sistema dado por la Ec. 12.19
Hay dos rodeos en sentido contra las agujas del reloj; por lo tanto el sistema es
estable
259
Caso 3.- Hay un rodeo o rodeos del punto –1 + j0 en sentido horario. En este caso el
sistema es inestable.
12.7.2 Margen de ganancia usando el diagrama de Nyquist
También se puede utilizar el criterio de Nyquist para determinar el rango de la
ganancia de lazo abierto para el cual el sistema en lazo cerrado con realimentación
unitaria es estable. Comprobémoslo para el siguiente sistema:
Ganancia
K
+
Planta
G(s)
-
12.19 Sistema de controlado con Controlador Proporcional
donde G(s) es :
G(s) =
s 2 + 10s + 24
s 2 − 8s + 15
(12.17)
Este sistema dispone de una ganancia K que puede variarse para modificar la
respuesta del sistema de bucle cerrado. Sin embargo, si se desea asegurar la estabilidad
del sistema en lazo cerrado sólo es posible modificar el valor de la ganancia dentro de
unos límites. Esto es el que pretendemos hallar: el rango de ganancias que hace que es
sistema sea estable en lazo cerrado.
Lo primero que debemos hacer es hallar el número de polos reales positivos de la
función de transferencia de lazo abierto:
>> roots([1 -8 15])
ans =
5
3
Los polos de la función de transferencia en lazo abierto son ambos positivos. Por
lo tanto, se necesitan dos rodeos en sentido contrario a las agujas del reloj (N = - 2) para
que el sistema sea estable (Z = P + N). Si el número de rodeos es menor que dos o son
en sentido de las agujas del reloj el sistema será inestable.
Veamos el diagrama de Nyquist para una ganancia K = 1:
>> nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15])
260
12.20 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 1
Hay dos rodeos al punto -1 en sentido contrario a las agujas del reloj por lo
tanto el sistema es estable para ganancia 1. Ahora, veamos como se comporta el sistema
cuando se incrementa la ganancia K = 20:
nyquist(20*[ 1 10 24], [ 1 -8 15])
12.21 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 20
261
El diagrama se expande. Así, sabemos que el sistema permanecerá estable
independientemente de lo aumente el valor de la ganancia. Sin embargo, si disminuimos
la ganancia, el diagrama se comprimirá y puede llegar a ser inestable. Veamos que
ocurre con ganancia 0,5:
nyquist(0.5*[ 1 10 24], [ 1 -8 15])
12.22 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 0.5
El sistema es ahora inestable el punto –1 no es rodeado por el diagrama de
Nyquist aún cuando esté en contra de las agujas del reloj. Por prueba y error se puede
determinar que este sistema es inestable para ganancias menores de 0,80. Se puede
verificar este hecho ampliando la gráfica del diagrama de Nyquist así como observando
la respuesta ante un escalón del sistema para las ganancias 0,79; 0,80 y 0,81.
12.8
ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA CON UNTSIM
El simulador UNTSIM, posee dos rutinas para el analisis de un sistema de control
en el dominio de la frecuencia. Supongamos que tenemos el sistema dado por:
G ( s) =
50
s + 9s + 30s + 40
3
2
(12.18)
Para determinar la ganancia de un controlador proporcional para controlar este
proceso en lazo cerrado con retroalimentación unitaria, podemos usar:
262
1. Diagrama de Bode.- Accedemos a través del menú principal: Cálculos de
Ingeniería química – Automatización y control – Respuesta en frecuencias –
Diagrama de Bode:
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
03-Sep-2004
ESTE PROGRAMA ANALIZA UN SISTEMA DE CONTROL
USANDO LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
Ver Automatización y control Cap. XII
***************************************************
Coef. del numerador de F de T del PROCESO: 50
Coef. del denominador de F de T del PROCESO: [1 9 30 40]
-------------------------------------------FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO
Transfer function:
50
----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
--------------------------------------------
12.23 Diagrama de Bode del sistema con UNTSIM
----------------------------------------------------Desea ver la respuesta del sistema a escalón Si(1) No(0): 1
El valor de K debe ser < 4.60187
263
Ingresar valor de K: 1.5
Función de transferencia de Lazo cerrado
Transfer function:
75
-----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 115
12.23 Respuesta escalón unitario del sistema con K = 1.5
Desea hacer otro supuesto Si(1) No (0): 0
>>
Según el programa el límite superior de K es 4.6, con valores mayores, el sistema
es inestable. Ud. Puede comprobar esto.
2. Diagrama de Nyquist.- Accedemos a través del menú principal: Cálculos de
Ingeniería química – Automatización y control – Respuesta en frecuencias –
Diagrama de Nyquist:
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
03-Sep-2004
ESTE PROGRAMA ANALIZA UN SISTEMA DE CONTROL
USANDO EL DIAGRAMA DE NYQUIST
Ver Automatización y control Cap. XII
***************************************************
264
Coef. del numerador de F de T del PROCESO: 50
Coef. del denominador de F de T del PROCESO: [1 9 30 40]
-------------------------------------------FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO
Transfer function:
50
----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
-------------------------------------------LAS RAICES DE LA ECUACION CARACTERISTICA SON:
ans =
-4.0000
-2.5000 + 1.9365i
-2.5000 - 1.9365i
-------------------------------------------DIAGRAMA DE NYQUIST
El valor de K debe ser < 4.60187
Ingresar valor de K: 4.60187
-----------------------------------------------------
12.24 Diagrama de Nyquist para el sistema con K = 4.60187
Desea ver la respuesta del sistema a escalón Si(1) No(0): 1
Función de transferencia de Lazo cerrado
265
Transfer function:
230.1
-------------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 270.1
12.23 Respuesta escalón unitario del sistema con K = 4.60187 (Inestable)
Desea hacer otro supuesto Si(1) No (0): 0
>>
Nota.- Se ha seleccionado en el segundo caso una ganancia igual al límite máximo
dado por el diagrama de Nyquist (K = = 4.60187). Como se puede ver, el diagrama es
en sentido horario. Según el caso 3 el diagrama de Nyquist no debe rodear al punto –1 +
j0. Con K = 4.60187, el diagrama pasa exactamente por el punto –1 + j0 haciendo al
sistema inestable, lo cual se corrobora con la respuesta escalón unitario dada en la Fig.
12.23.
Se recomienda verificar el diagrama de Nyquist y la respuesta para valores de K >
4.60187 para los cuales el punto – 1 + j0 quedará dentro del diagrama y el sistema será
inestable; y para valores de K < 4.60187 para los cuales el punto – 1 + j0 quedará fuera
del diagrama y el sistema será estable.
266
CAPITULO
13
ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
EN EL ESPACIO DE ESTADO
13.1 INTRODUCCIÓN
En la teoría clásica de control se consideraba un sistema con una única señal de
entrada y una única señal de salida (SISO), relacionadas ambas por la función de
transferencia o tramitancia o tramitancia. La teoría de control moderna se aplica a
sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no
lineales, variables o invariantes en el tiempo, y de una sola entrada y una sola salida.
Además, la teoría de control moderna es un procedimiento en el dominio del tiempo
esencialmente, mientras la teoría convencional opera en el dominio de las frecuencias
complejas.
La teoría clásica no deja de ser una simplificación de la realidad, ya que si
observamos cualquier fenómeno físico, siempre debemos considerar en un análisis
profundo la existencia de múltiples señales de entrada y de salida. Por ejemplo en el
caso del control de nivel de un tanque existen como señales de entrada los caudales a, b,
c y sus densidades d1, d2, d3 y como señales de salida el caudal q y su densidad d; de
aquí que el nivel del tanque podrá definirse por un sistema de ecuaciones función del
tiempo entre a, b, d1, d2, q, d y el nivel h con la existencia como se ve de varias
entradas y varias salidas.
El ejemplo puede ampliarse al control de otras variables (presión, caudal,
temperatura, etc.), pero su interés reside más bien en el estudio de procesos complejos,
por ejemplo, secadores, evaporadores de simple, doble y triple efecto, reactores y como
caso más complejo, el análisis de columnas de destilación. En estos casos, el lector
apreciará claramente la dificultad del estudio por la teoría clásica; abordarlos requeriría
una excesiva sobre simplificación con la consecuencia de la obtención de resultados,
que como máximo, nos darán valores de tendencia cualitativa del problema. Por tanto,
el método clásico debe descartarse en el estudio de estos procesos complejos; debiendo
utilizarse la teoría moderna del espacio de estado.
267
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables
(denominadas variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en t = to,
conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t ≥ to, determinan completamente
el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t ≥ to.
Así, el estado de un sistema dinámico al tiempo t queda determinado
unívocamente por el estado al tiempo to y la entrada para t ≥ to, y es independiente del
estado y entradas antes de to. Nótese que al tratar sistemas lineales invariantes en el
tiempo, generalmente se escoge un tiempo de referencia to igual a cero.
Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las variables que
constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un
sistema dinámico. Si se requieren al menos n variables x1, x2, . . ., xn para describir
completamente el comportamiento de un sistema dinámico (de modo que una vez
dada la entrada para t ≥ to, y que el estado inicial este especificado en t = to, el estado
futuro del sistema queda completamente determinado) entonces esas n variables son un
conjunto de variables de estado
Vector de estado. Si se requieren n variables de estado para describir completamente el
comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como n
componentes de un vector x. Tal vector recibe el nombre de vector de estado. Un vector
de estado es un vector que determina unívocamente el estado del sistema x(t) en
cualquier tiempo t ≥ to, una vez conocido el estado en t = to y la entrada u(t) para t ≥ to.
Espacio de estado. El espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados consisten en el eje
x1, el eje x2, . . . , el eje xn, se denomina espacio de estado. Cualquier estado se puede
representar por un punto en el espacio de estado.
La ecuación de estado quedará definida pues por un conjunto de ecuaciones
diferenciales lineales que describan la dinámica del sistema y que será necesario
trasladar a una forma vectorial-matricial.
La ecuación diferencial típica de un sistema dinámico es de la forma:
dny
d n −1 y
a
+
+ ... + a 0 y = b0 u
( n −1)
dt n
dt n −1
(13.1)
siendo u la señal de entrada y definiendo n variables de estado x1, x2, . . ., xn en la forma:
x1 = y
dy
x2 =
dt
d2y
x3 = 2
dt
. . .
xn =
d n −1 y
dt n −1
268
La Ec. 13.1 se escribirá:
dny
+ a ( n −1) x n + ... + a 0 x = b0 u
dt n
(13.2)
con lo queel sistema dado por la Ec. 15.1 pasa a describirse por el conjundo de EDO de
primer orden:
dx1
= x2
dt
dx 2
= x3
(13.3)
dt 2
. . .
dx n
= − a 0 x1 − a1 x 2 − L − a ( n − 2 ) x ( n −1) − a ( n −1) x n + b0 u
dt
o en forma matricial (y representando las derivadas por la variable con un punto
en su parte superior para así facilitar la representación)
dx1
dx 2
L
dx n
=
0
1
0
0
0
1
− a0
L
− a1
− a2
L
L
0
L
L
− a n −1
0
x1
×
x2
L
xn
0
+
0
L
×u
(13.4)
1
o en forma simbólica
•
X = Ax + Bu
(13.5)
que recibe el nombre de ecuación de estado.
Con la adición de la ecuación de salida, el modelo de estado completo es:
•
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
(13.6)
Donde
.
X : Vector de derivadas de las variables de estado de orden n.
A : Matriz cuadrada de n × n elementos constantes, parámetros o características
físicas o dinámicas del sistema.
X : Vector matriz de las variables de estado x de orden n
B : Matriz de constantes de orden n de la señal de entrada
u : Matriz de entradas del sistema
y : Vector de salida. El número de filas que presentan y, C y D se determina por
el número de variables de salida deseadas
En general, las ecuaciones de estado de los sistemas dinámicos consistirán en
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en las que el tiempo es la variable
independiente y que están en la forma:
269
•
x 1 = f1( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t)
•
x 2 = f2( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t)
...
(13.7)
•
xn = fn( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t)
con las n variables de estado x1, x2, . . . xn que define el estado del sistema en cualquier
instante, y con las entradas al sistema u, siendo t la variable independiente.
Ejemplo 15.1
Considere el sistema definido por
d3y
d2y
dy
+
6
+ 11 + 6 y = 6 u
3
2
dt
dt
dt
(13.8)
donde y es la salida y u es la entrada al sistema. Obtenga una representación del sistema
en el espacio de estado.
Se eleigen las variables de estado como:
x1 = y
dy
x2 =
dt
d2y
x3 = 2
dt
entonces se obtiene
dx1
= x2
dt
dx 2
= x3
dt 2
dx 3
= −6 x 3 − 11x 2 − 6 x1 + 6u
dt
(13.9)
La última de estas tres ecuaciones se obtuvo al resolver la ecuación diferencial
original para el término con la derivada más alta d3y, y al sustituir y = x1, dy = x2,
d2y = x3 en la ecuación resultante.
Utilizando la notación matricial, se pueden combinar estas tres ecuaciones
diferenciales de primer orden en una, como sigue:
dx1
0
1
0
x1
0
0
1 × x2 + 0 × u
dx 2 = 0
dx 3 − 6 − 11 − 6 x 3 6
(13.10)
270
La ecuación de salida está dada por
x1
y = 1 0 0 x2
(13.11)
x3
u
x3
+
1
s
+
+
-6
+
+
-11
+
6
1
s
x2
x1
1
s
-6
Fig. 13.1 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.10) y (13.11)
Las Ecs. (13.10) y (13.11) se pueden colocar en la forma normalizada, dadas por
las Ecs. (13.5 y (13.6)
•
X = Ax + Bu
y = Cx
donde
0
1
0
A= 0
0
1 ,
− 6 − 11 − 6
0
B= 0 , C=1 0 0
6
La Fig. 13.1 muestra la representación, en diagrama de bloques, de la ecuación de
estado y de salida. Nótese que las funciones de transferencia de los bloques de
retroalimentación, son idénticas a los coeficientes con signo negativo de la Ec. (13.8),
que es la ecuación diferencial original.
13.2 OBTENCIÓN DE ECUACIÓN DE ESTADO CON UNTSIM
El simulador UNTSIM puede usarse para obtener directamente el modelo de
estado a partir de la ecuación diferencial del sistem.
271
Para el problema anterior, seleccionamos del Menú principal: Cálculos de
Ingeniería Química – Automatización y Control – Teoría Moderna – Ecuación de estado
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MSc. Luis Moncada
All rights reserved
03-Sep-2004
ESTE PROGRAMA CONVIERTE UNA O.D.E. DE ORDEN n CON
SOLO UNA FUNCION DE ENTRADA u(t)
**********************************************************************
n
(n-1)
d y
d
y
dy
an----- + a(n-1)------- + . . . + a1---- + a0 y = bu
n
(n-1)
dt
dt
dt
**********************************************************************
Ingresar los coeficientes de la O.D.E. de orden n en la
forma [a(n) a(n-1) ... a(0)]: [1 6 11 6]
Ingresar el valor de b: 6
---------------------------------------------------Las matrices en el espacio de estado son:
A =
0
0
-6
1
0
-11
0
1
-6
0
0
b =
0
0
6
C =
1
Ejemplo 13.2
Sea el sistema mecánico que aparece en la Fig. (15.3). Se supone que el sistema
es lineal. La fuerza externa u(t) es la entrada al sistema, y el desplazamiento y(t) de la
masa es la salida. En ausencia de fuerza externa, se mide el desplazamiento y(t) desde la
posición de equilibrio. Se trata de un sistema de una sola entrada y una sola salida.
Solución
Del diagrama, la ecuación es
m
d2y
dy
+b
+ ky = u
2
dt
dt
(13.12)
El cual puede escribirse como
272
d2y
b
1 dy 1
= − ky −
+ u
2
m
m dt m
dt
(13.13)
k
u(t)
m
y(t)
b
Fig. 13.2 Sistema mecánico
Este sistema es de segundo orden. Esto significa que el sistema incluye dos
integrales. Las variables de estado x1(t) y x2(t) se definen como
x1(t) = y(t)
x2(t) =
dy
(t)
dt
(13.14)
(13.15)
Entonces se obtiene
dx1
= x2
dt
(13.16)
dx 2
dy
1
1
(– ky – b ) +
=
u
dt
m
dt
m
(13.17)
dx1
= x2
dt
(13.18)
dx 2
k
b
1
= – x1 – x2 +
u
dt
m
m
m
(13.19)
o
La ecuación de salida es
y = x1
(13.20)
En forma vectorial matricial las Ecs.(13.18) y (13.19) se pueden escribir como
273
•
x1
0
x1
1
=
•
−
x1
0
u
+
k
m
−
b
m
(13.21)
1
m
x2
La ecuación de salida, Ec. (13.21) se puede escribir como
x1
y = [1
0]
(13.22)
x2
La Ec. (13.21) es una ecuación de estado y la Ec. (13.22) es una ecuación de salida
para el sistema. Las Ecs. (13.21) y (13.22) están en la forma normalizada
•
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
donde
0
A=
−
1
k
m
−
0
b
’
m
B=
1
’ C = [1 0] ,
m
D=0
La Fig. 13.3 es un diagrama de bloques para el sistema. Nótese que las salidas de
los integradores son variables de estado.
•
u
1
m
x2
+
-
+
+
∫
x2
∫
x1 = y
b
m
k
m
Fig. 13.3Diagrama de bloques para el sistema mecánico mostrado en la Fig. 13.2
274
13.3
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO, DE SISTEMAS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ENÉSIMO ORDEN,
CON r FUNCIONES EXCITADORAS
Considere el sistema con entradas y salida múltiples, que aparece en la Fig. 13.4.
...
...
...
Elemento
de salida
...
x1
x2
...
Planta
lineal
...
...
u1
u2
ur
...
xn
Fig. 13.4 Sistema con múltiples entradas y múltiples salidas
y1
y2
ym
En este sistema, x1, x2, . . ., xn, representan las variables de estado; u1, u2, . . . ur,
indican las variables de entrada; y1, y2, . . ., ym, son las variables de salida. Para el
sistema de la Fi. 13.4, se puede tener el sistema de ecuaciones como sigue:
.
x 1 = a11 x1 + a12 x2, +. . .+a1nxn +b11 u1 +b12 u2 + . . .+b1r ur
.
x 2 = a21 x1 + a22 x2, +. . .+a2nxn +b21 u1 +b22 u2 + . . .+b2r ur
...
.
xn = an1 x1 + an2 x2, +. . .+annxn +bn1 u1 +bn2 u2 + . . .+bnr ur
donde las a y las b son constantes o funciones de t. En notación matricial, estas n
ecuaciones se pueden expresar en forma compacta como
•
X = Ax + Bu
(13.23)
donde
x=
x1
x2
M
= vector de estado
xn
u1
u=
u2
M
= vector de entrada (o control)
ur
A=
B=
a11
a12
L a1n
a 21
a 22
L a2n
M
a n1
M
an2
M
L a nn
b11
b12
L b1r
b21
b22
L b2 r
M
bn1
M
bn 2
M
L bnr
275
La Ec. (13.23) es la ecuación de estado del sistema. [Nótese que una ecuación
diferencial matricial como la Ec. (13.23) (o las equivalentes ecuaciones diferenciales de
enésimo orden), que describe la dinámica de un sistema, es una ecuación de estado si y
sólo si, el conjunto de variables dependientes en la ecuación diferencial matricial,
satisface la definición de variables de estado].
Para las señales de salida, se tiene
y1 = c11 x1 + c12 x2, +. . .+c1nxn +d11 u1 +d12 u2 + . . .+d1r ur
y2 = c21 x1 + c22 x2, +. . .+c2nxn +d21 u1 +d22 u2 + . . .+d2r ur
...
ym = cm1 x1 + cm2 x2, +. . .+cmnxn +dm1 u1 +dm2 u2 + . . .+dmr ur
En notación matricial, estas m ecuaciones se pueden expresar en forma compacta,
como:
y = Cx + Du
(13.24)
donde
y1
y=
y2
M
= vector de salida
y mm
C=
c11
c12
L c1n
c 21
c 22
L c 2n
M
M
c m1
cm2
M
L c mn
276
D=
d 11
d 21
d 12
d 22
M
M
L d 1r
L d 2r
M
d m1 d m 2 L d mr
La Ec.(13.24), es la ecuación de salida del sistema y las matrices A, B, C y D,
caracterizan totalmente la dinámica del sistema.
En la Fig. 13.5 aparece una representación, diagrama de bloques, del sistema
definido por las Ecs. (13.23) y (13.24). Para indicar las cantidades vectoriales, en el
diagrama se han dibujado flechas dobles.
D(t)
•
u(t)
B(t)
X (t)
+
+
∫dt
x(t)
C(t)
+
+
y(t)
A(t)
Fig. 13.5 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.23) y (13.24).
donde
•
X : Vector de derivadas de las variables de estado de orden n
A(t): Matriz de estado; es una matriz cuadrada de n x n elementos de constantes,
parámetros o características físicas o dinámicas del sistema.
x(t): Vector matriz de las variables de estado x de orden n
B(t): Matriz de entrada, es una matriz de constantes de orden n de la señal de
entrada
u(t): Matriz de entradas del sistema
C(t): Matriz de salida
D(t): Matriz de transmisión directa
13.4
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES
VARIABLES DE ESTADO
DE
TRANSFERENCIA
Y
A continuación, se mostrará como obtener la función de transferencia de un
sistema con una entrada y una salida simple, a partir de las ecuaciones de estado.
Sea un sistema cuya función de transferencia está dada por
Y ( s)
= G(s)
(13.25)
U ( s)
Este sistema puede representarse en el espacio de estado por las siguientes
ecuaciones:
277
•
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
(13.26)
(13.27)
donde x es el vector de estado, u es la entrada e y es la salida. Las transformadas de
Laplace de las Ecs. (13.26) y (13.27) están dadas por
(13.28)
sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
(13.29)
Como la función de transferencia se definió previamente como la relación entre la
transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando
las condiciones iniciales son cero, se supone que x(0) en la Ec. (13.28) es cero.
Entonces se tiene
sX(s) – AX(s) = BU(s)
o
(sI – A)X(s) = BU(s)
Premultiplicando por (sI – A) – 1 ambos miembros de esta última ecuación, se obtiene
X(s) = (sI – A) – 1 BU(s)
(13.30)
Sustituyendo la Ec. (13.30) en la Ec. (13.29), se ve que
Y(s) = [C(sI – A) – 1 B + D] U(s)
(13.31)
Comparando la Ec. (13.31) con la Ec. (13.25), se ve que
G(s) = C(sI – A) – 1 B + D
(13.32)
Esta es la expresión de la función de transferencia en términos se A, B, C y D.
Nótese que el miembro derecho de la Ec.(13.32) comprende a (sI – A) – 1. Por lo
tanto, G(s) puede escribirse como
G(s) =
Q( s)
sI − A
(13.33)
Donde Q(s) es un polinomio en s. Por lo tanto ⏐sI – A ⏐ es igual al polinomio
característico de G(s). En otras palabras, los autovalores de A son idénticos a los polos
de G(s).
Ejemplo 13.3
Considere el mismo sistema visto en el Ejemplo 13.1 que ahora se escribe como
d3y
d2y
dy
+
6
+ 11 + 6 y = 6 u
3
2
dt
dt
dt
(13.34)
278
Se demostrará que la representación en el espacio de estado, dada por las Ecs.
(13.10) y (13.11), se puede obtener también mediante la técnica de expansión en
fracciones parciales.
La Ec. (13.34) se representa, en la forma de una función de transferencia:
Y ( s)
6
6
= 3
=
2
U ( s ) s + 6 s + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3)
Expandiendo esta función de transferencia en fracciones parciales, se tiene
Y (s)
3
−6
3
=
+
+
U (s) s + 1 s + 2 s + 3
Por tanto
3
−6
3
Y (s) =
U (s) +
U ( s) +
U ( s)
s +1
s+2
s+3
Se define
3
X 1 ( s) =
U ( s)
s +1
−6
X 21 ( s) =
U ( s)
s+2
3
X 3( s) =
U (s)
s+3
6
+
+
(13.35)
(13.36)
(13.37)
(13.38)
x1
1
s
-1
u
-6
+
+
x2
1
s
+
+
+
y
-2
3
+
+
1
s
x3
-3
Fig. 13.6 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.39) y (13.40)
Las transformadas inversas de Laplace de las Ecs. (13.36),(13.37), y (13.38), dan
como resultado
279
·
x 1 = − x1 + 3u
·
x 2 = −2 x 2 − 6u
⋅
x 3 = −3x3 + 3u
En notación matricial, se obtiene
dx1
−1
dx 2 = 0
dx 3
0
0
0
x1
3
− 2 1 × x2 + − 6 × u
0 − 3 x3
3
(13.39)
Como la Ec. (13.35) se puede expresar como
Y(s) = X1(s) + X2(s) + X3(s)
Se obtiene
y = x1 + x2 + x3
o bien
x1
y = 1 1 1 x2
x3
(13.40)
Las Ecs. (13.39) y (13.40), son de la misma forma que la (13.10) y (13.11),
respectivamente.
La Fig. 13.6 muestra una representación en el diagrama de bloques, de las Ecs.
(13.39) y (13.40). Nótese que las funciones de transferencia de los bloques de
retroalimentación, son idénticas a los valores propios del sistema. Nótese también que
los residuos de los polos de la función de transferencia, o los coeficientes de las
expresiones, en las frecuencias parciales Y(s)/U(s), aparecen en los bloques de
prealimentación.
13.5 TRANSFORMACIÓN DE MODELOS USANDO MATLAB
MATLAB tiene ordenes útiles para transformar un modelo matemático de un
sistema lineal en otro modelo. Algunas de las transformaciones útiles de sistemas
lineales para resolver problemas de ingeniería de control se presentan a continuación
13.5.1 Funciones de transferencia a espacio de estado
La orden
>>[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)
280
convierte el sistema de función de transferencia
Y ( s ) num
= C(sI – A) – 1 B + D
=
U ( s ) den
(13.41)
a la representación de espacio de estados
•
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
(13.42)
(13.43)
Ejemplo 13.4
Sea la función de transferencia del sistema
Y ( s)
s
s
=
= 3
2
2
U ( s) ( s + 10)( s + 4s + 16) s + 14s + 56 s + 160
(13.44)
Hay muchas infinitas representaciones en el espacio de estados para este sistema.
Una representación posible es
dx1
0
1
0
x1
0
dx 2 = 0
0
0 × x2 + 1 × u
dx 3 − 160 − 56 − 14 x 3 − 14
x1
y = 1 0 0 x2 + 0 u
x3
Otra representación posible (entre las infinitas alternativas) es
dx1
− 14 − 56 − 160
dx 2 = 1
0
0
dx 3
1
0
0
x1
1
× x2 + 0 × u
x3
0
x1
y = 0 1 0 x2 + 0 u
x3
MATLAB transforma la función de transferencia en la representación en el
espacio de estados dada en la segunda forma. Para lo cual se deben introducir las
ordenes siguientes
281
>> num =[0 0 1 0];
>> den =[1 14 56 160];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A =
-14
1
0
-56
0
1
-160
0
0
1
0
B =
1
0
0
C =
0
D =
0
El modelo puede especificarse más detalladamente con la orden:
>> sys = ss([-14 -56 -160;1 0 0; 0 1 0],[1;0;0],[0 1 0],0)
o si se han especificado las matrices como en este caso
>> sys = ss(A,B,C,D)
a =
x1
x2
x3
x1
-14
1
0
x2
-56
0
1
x3
-160
0
0
b =
x1
x2
x3
u1
1
0
0
y1
x1
0
y1
u1
0
c =
x2
1
x3
0
d =
Continuous-time model.
>>
282
En adición a las matrices A, B, C, y D, la visualización de los modelos del espacio
de estado incluye nombres de variables de estado, nombres de entradas, y nombres de
salidas. Por defecto los nombres (aqui , x1, x2, x3, u1, y1) son desplegadas cuando
estas no son especificadas.
13.5.2 Espacio de estado a función de transferencia
Si el sistema tiene una entrada y una salida, la orden
>> [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)
proporciona la función de transferencia Y(s)/U(s)
Si el sistema tiene más de una entrada, utilice la siguiente orden:
>> [num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu)
Esta orden convierte el sistema en representación de espacio de estados
•
X = Ax + Bu
(13.45)
y = Cx + Du
(13.46)
a función de transferencia
Y ( s) num
=
= C(sI – A) – 1 B + D
U i ( s ) den
(13.47)
observe que el escalar “iu”es un índice dentro de las entradas del sistema y especifica
que entrada se va a utilizar para la respuesta
Ejemplo 13.5
Considere el siguiente sistema, el cual tiene dos entradas, u1 y u2.
⋅
x
1
1 0 u1
x1 = 0
× 1 +
×
⋅
x
u2
2
3
0
1
−
−
2
x2
y=1 0×
x1
x2
+0 0×
u1
u2
(13.48)
(13.49)
Se pueden obtener las dos funciones de transferencia para este sistema. Una
relaciona la salida y con la entrada u1, y la otra relaciona la salida y con la entrada u2.
(cuando se considera la entrada u1, se supone que la entrada u2 es cero, y viceversa).
Véase la siguiente salida de MATLAB.
283
>>
>>
>>
>>
>>
A=[0 1;-2 -3];
B=[1 0;0 1];
C=[1 0];
D=[0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num =
0
1
3
den =
1
3
2
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)
num =
0
0
1
den =
1
3
2
De la salida MATLAB, tenemos
Y ( s)
s+3
= 2
U 1 ( s ) s + 3s + 2
(13.50)
Y ( s)
1
= 2
U 2 ( s) s + 3s + 2
(13.51)
y
Para encontrar la representación en el espacio de estados del sistema dado
anteriormente se introducen las ordenes siguientes (es una de las infinitas soluciones
posibles)
>> num=[0 1 3];
>> den=[1 3 2];
A =
-3
1
-2
0
B =
1
0
C =
1
3
D =
0
284
Ejemplo 13.6
Sea nuevamente el sistema mecánico que aparece en la Fig.13.2. Las ecuaciones
de estado para el sistema están dadas por las Ecs. (13.21) y (13.22). las funciones de
transferencia para el sistema se obtendrán partiendo de las ecuaciones de espacio de
estado.
Sustituyendo A, B, C, y D en la Ec.(13.32), se obtiene
G(s) = C(sI – A) – 1 B + D
s
0
(13.52)
0
= [1 0]
1
-1
0
–
0
+ 0
k
−
m
s
s
–1
b
−
m
–1
1
m
0
= [1 0]
−
k
m
s+
b
m
1
m
Como
−
s
–1
k
m
s+
–1
b
m
=
b
m
k
−
m
s+
1
b
k
s2 + s +
m
m
1
s
Se tiene
b
m
k
−
m
s+
G(s) = [1 0]
=
1
b
k
s2 + s +
m
m
1
ms + bs + k
2
1
0
s
1
m
(13.53)
Que es la función de transferencia del sistema. Partiendo de la Ec. (13.12) se
puede obtener la misma función de transferencia.
285
13.6 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0, si por medio de un vector de
control no restringido, es posible transferir el sistema desde cualquier estado inicial x(t0)
a cualquier otro estado en un tiempo finito.
Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado
x(t0), es posible determinar este estado a través de la observación de la salida durante un
intervalo finito de tiempo.
Los conceptos de controlabilidad y observabilidad, fuerón introducidos por
Kalman. Estos juegan un papel importante en el diseño de sistemas de control en el
espacio de estado. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad,
pueden gobernar la existencia de una solución completa, en el problema de diseño de
sistemas de control. La solución a este problema no puede existir si el sistema
considerado no es controlable. Aunque la mayoría de los problemas físicos son
controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden no tener
la propiedad de controlabilidad y observabilidad. Entonces se requiere conocer las
condiciones bajo las cuales un sistema es controlable y observable.
Controlabilidad.- Utilizando el modelo matricial de la planta, se puede demostrar que es
controlable si y sólo si la matriz de controlabilidad:
[
]
M c = B M AB M A 2 B MLM A n −1 B ,
(13.54)
tiene rango n, donde n es el orden del sistema. Un segundo test para la controlabilidad
se expresa como sigue. Un sistema es controlable si y sólo si
rank [λ i I − A M B ] = n
i = 1, 2, . . . n,
(13.55)
donde λ1, λ2, . . ., λn son valores propios de A.
Ejemplo 13.7
Demostrar que el sistema dado por la Ec.(13.56) es controlable.
dx1
0
5
0
x1
0
dx 2 = 0 − 0.1 60 × x 2 + 0 × u
dx 3 0 − 1.4 − 50 x 3 10
(13.56)
x1
y = 1 0 0 x2
(13.57)
x3
Solución
Utilizando Mc para comprobar la controlabilidad, la matriz se formula como un
array 3 × 3 en el que la primera columna es B, la segunda columna es AB y la tercera
columna es A2B.
286
Después de calcular AB, la tercera columna se puede generar como (A)(AB) con
0
0
3.000
600 − 30.060
Mc = 0
10 − 500 24.160
(13.58)
El rango es igual al número de filas o columnas que son linealmente
independientes y se puede evaluar como la dimensión del mayor determinante no
singular (después de eliminar, cuando sea necesario, filas y columnas). Con una única
entrada, el array es cuadrado y se demuestra rápidamente en este ejemplo partícular que
det Mc es no singular. Así el rango es igual a 3 y la planta es controlable.
Observabilidad.- La propiedad de observabilidad considera la manera en que la salida
está influenciada por las variables de estado. Una planta es observable si la observación
de la salida durante un periodo de tiempo finito no nulo es suficiente para determinar el
estado al comienzo del periodo de tiempo. Utilizando el modelo matricial de la planta,
se puede demostrar que la planta es observable si y sólo si la matriz de observabilidad,
C
CA
M o = CA 2
M
CA n −1
(13.59)
tiene rango n, donde n es el orden de la planta.
13.6.1 Controlabilidad y observabilidad con UNTSIM
El simulador UNTSIM posee una rutina para determinar la controlabilidad y
observabilidad de un sistema descrito en el espacio de estado.
Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química –
Automatización y control – Teoría moderna – Controlabilidad y observabilidad:
Copyright 2002 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
ESTE PROGRAMA SIMULA DETERMINA LA CONTROLABILIDAD
Y OBSERVABILIDAD DE UN MODELO DE ESPACIO DE ESTADO
*************************************************
Ingrese matriz [A]: [0 5 0; 0 -0.1 60; 0 -1.4 -50]
Ingrese Vector [B]: [0; 0; 10]
Ingrese matriz [C]: [1 0 0]
-------------------------------------------------RESPUESTAS
--------------------------------------------------
287
1. EL SISTEMA ES DE ORDEN: 3
2. LA MATRIZ DE CONTROLABILIDAD ES:
Mc =
0
0
10
0
600
-500
3000
-30060
24160
3. EL RANK DE LA MATRIZ DE CONTROLABILIDAD ES: 3
********EL SISTEMA ES CONTROLABLE*********
4. LA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD ES:
Mo =
1.0000
0
0
0
5.0000
-0.5000
0
0
300.0000
5. EL RANK DE LA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD ES: 3
********EL SISTEMA ES OBSERVABLE*********
>>
13.7
RESPUESTA A ESCALÓN UNITARIO DEL SISTEMA EN FORMA DE
ESPACIO DE ESTADOS
Ejemplo 13.8
Calcular la respuesta a un escalón unitario del siguiente sistema
•
X = Ax + Bu
y = Cx + Du
donde
A=
0
0
0
– 100
1
0
0
– 80
0
1
0
– 32
0
0
1 , B=
–8
0
0
5
60
, C = [1 0 0 0], D = 0
El programa 13.1 en MATLAB producirá una gráfica de la curva de respuesta a
un escalón unitario en la Fig. 13.7
Programa en MATLAB 15.1
>>
>>
>>
>>
>>
%------Respuesta a un escalón unitario----%*****Introduzca las matrices A,B,C y D de las
%ecuaciones en el espacio de estados****
A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-100 -80 -32 -8];
B=[0;0;5;60];
288
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
C=[1 0 0 0];
D=[0];
%****Para obtener la respuesta a un escalón unitario
%de y respecto a t introduzca la siguiente orden****
step(num,den);
step(A,B,C,D)
grid
title('Respuesta a un escalón unitario')
Respuesta a un escalon unitario
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec.)
Fig. 13.7 Salida del programa 13.1
Ejemplo 13.9
Obtener la respuesta a un escalón unitario del sistema descrito por las siguientes
ecuaciones en el espacio de estado
•
x1
•
x2
•
x3
=
0
1
0
x1
0
0
1
x2
– 5.008 – 25.1026 – 50325
x3
0
+
25.04
u
– 5.008
x1
y = [1 0 0]
x2
x3
289
El programa MATLAB 13.2 dará una gráfica de la respuesta a un escalón unitario
del sistema. Una gráfica de salida y(t) respecto de t se muestra en la Fig. 13.8
Para representar las curvas x1 respecto de t, x2 respecto de t y x3 respecto de t en
un mismo diagrama, simplemente introduzca la orden plot(t,x). Esto se ilustra en el
programa MATLAB 13.3 y se muestra en la Fig. 13.9
Programa MATLAB 13.2
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
»
%****Respuesta a un escalón unitario***********
%****Introduzca las matrices A,B,C y D de las
%
ecuaciones en el espacio de estados*******
A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 -25.1026 -5.0325];
B=[0;25.04;-121.005];
C=[1 0 0];
D=[0];
%****Introduzca la siguiente orden de respuesta
%
a un escalón unitario***
[y,x,t]=step(A,B,C,D);
plot(t,y), grid
title('Respuesta a un escalón unitario')
xlabel('t seg'), ylabel('Salida y')
Respuesta a un escalon unitario
1.4
1.2
Salida y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
t seg
290
Programa MATLAB 13.3
»
»
»
»
»
»
»
»
»
%-----Respuesta a un escalón unitario para x1, x2 y x3---A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 -25.1026 -5.0325];
B=[0;25.04;-121.005];
C=[1 0 0];
D=[0];
[y,x,t]=step(A,B,C,D);
plot(t,x), grid
title('Respuesta a un escalón unitario para x1, x2 y x3')
xlabel('t seg'), ylabel('x1,x2 x3')
Respuesta a un escalon unitario para x1, x2 y x3
5
x1
0
x2
-5
x1,x2 x3
-10
-15
-20
x3
-25
-30
-35
0
2
4
6
8
10
t seg
291
CAPITULO
14
VARIABLE DISCRETA
Y LA TRANSFORMADA z
14.1
INTRODUCCIÓN
En años recientes se ha incrementado el uso de controladores digitales en sistemas
de control. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desempeño óptimo
(por ejemplo, en la forma de productividad máxima, beneficio máximo, costo mínimo o
la utilización mínima de energía).
La tendencia actual de controlar los sistemas dinámicos en forma digital en lugar
de la analógica se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de
bajo costo y a las ventajas de trabajar con señales digitales en lugar de señales en tiempo
continuo.
14.1.1 Tipos de señales
Una señal en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo continuo
de tiempo. La amplitud puede tener un intervalo continuo de valores o solamente un
número finito de valores distintos. El proceso de representar una variable por medio de
un conjunto de valores distintos se denomina cuantificación y los valores distintos
resultantes se denominan valores cuantificados. La variable cuantificada sólo cambia
en un conjunto finito de valores distintos.
Una señal analógica es una señal definida en un intervalo continuo de tiempo cuya
amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. La Fig. 14.1a) muestra una
señal analógica en tiempo continuo y la Fig. 14.1b) una señal cuantificada en tiempo
continuo(cuantificada sólo en amplitud).
La señal analógica es un caso especial de la señal en tiempo continuo. En la
práctica, sin embargo, se emplea con frecuencia la terminología “tiempo continuo” en
lugar de “analógica”. De esta forma, en la literatura, incluyendo este libro, los términos
“señal en tiempo continuo” y “señal analógica” se intercambian de manera frecuente,
aunque estrictamente hablando no son del todo sinónimos.
292
x(t)
x(t)
x(t)
a)
t
b)
t
x(t)
c)
t
t
d)
Fig. 14.1 a) Señal analógica en tiempo continuo; b) señal cuantificada en tiempo
continuo; c) señal de datos muestreados; d) señal digital
Una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de
tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t está cuantificada). En
una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo
continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señal de datos
muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de
tiempo. Esta es una señal de pulsos modulada en amplitud. La figura 14.1c) muestra una
señal de datos muestreados.
Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha
señal se puede representar mediante una secuencia de números, por ejemplo, en la
forma de números binarios. (En la práctica, muchas señales digitales se obtienen
mediante el muestreo de señales analógicas que después se cuantifican; la cuantificación
es lo que permita que estas señales analógicas sean leidas como palabras binarias
finitas.) La Fig. 14.1d) muestra una señal digital. Es claro que está cuantificada tanto en
amplitud como en tiempo. El uso de un controlador digital requiere de la cuantificación
de las señales tanto en amplitud como en tiempo.
14.1.2 Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto
Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una
o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo, Estos
instantes, los que se denotarán mediante kT o tk (k = 0, 1, 2, . . .), pueden especificar los
tiempos en los que se lleva a cabo alguna medición de tipo físico o los tiempos en los
que se extraen los datos de la memoria de una computadora digital. El intervalo de
tiempo entre estos dos instantes discretos se supone que es lo suficientemente corto de
modo que el dato para el tiempo entre éstos se pueda aproximar mediante una
interpolación sencilla.
293
Los sistemas de control en tiempo discreto difieren de los sistemas de control en
tiempo continuo en que las señales para los primeros están en la forma de datos
muestreados o en la forma digital. Si en el sistema de control está involucrada una
computadora digital como controlador, los datos muestreadosse deben convertir a datos
digitales.
Los sistemas en tiempo continuo, cuyas señales son continuas en el tiempo, se
pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas en tiempo discreto,
los cuales involucran señales de datos muestreados o señales digitalñes y posiblemente
señales en tiempo continuo, también se pueden describir mediante ecuaciones en
diferencias después de la apropiada discretización de las señales en tiempo continuo.
1.4.1.3 Controladores digitales y analógicos
Los controladores digitales solamente operan sobre números. La toma de
decisiones es una de sus funciones importantes. Estos a menudo se utilizan para resolver
los problemas relacionados con la operación global óptima de plantas industriales.
Los controladores digitales son muy versátiles. Estos pueden manejar ecuaciones
de control no lineales que involucran cálculos complicados u operaciones lógicas. Se
puede utilizar con controladores digitales una variedad mucho más amplia de leyes de
control que las que se pueden usar con controladores analógicos. También en el
controlador digital, mediante la edición de un nuevo programa, las operaciones que se
están ejecutando se pueden cambiar por completo. Esta característica es en particular
importante si el sistema de control va a recibir información o instrucciones de operación
desde algún centro de cálculo donde se hacen análisis económicos y estudios de
optimización.
Los controladores digitales son capaces de ejecutar cálculos complejos con
exactitud constante a alta velocidad y pueden tener casi cualquier grado deseado de
exactitud de cálculo con un incremento relativamente pequeño en el costo.
En un principio los controladores digitales se usaron sólo como componentes en
sistemas de control a gran escala. Actualmente, sin embargo, gracias a la disponibilidad
de microcomputadoras baratas, los controladores digitales se utilizan en muchos
sistemas de control de gran y pequeña escala. De hecho, los controladores digitales
están reemplazando a los controladores analógicos que han sido utilizados en muchos
sistemas de control a pequeña escala. Los controladores digitales son a menudo
superiores en desempeño y con costo menor que sus contrapartes analógicas.
Los controladores analógicos representan las variables en una ecuación mediante
cantidades físicas continuas. Estos se pueden diseñar fácilmente para servir de manera
satisfactoria como controladores que no tienen que tomar decisiones. Pero el costo de
los controladores analógicos se incrementan rápidamente a medida que la complejidad
del cálculo se incrementa, si se tiene que mantener una exactitud constante.
Existen ventajas adicionales de los controladores digitales sobre los analógicos.
Los componentes digitales, tales como circuitos de muestreo y retención, convertidores
A/D y D/A y los transductores digitales, son de construcción robusta, alta confiabilidad
y a menudo compactos y ligeros. Además, los componentes digitales tienen alta
sensibilidad y con frecuencia son más baratos que sus contrapartes analógicas y son
menos sensibles a señales de ruido. Y, como se mencionó en un principio, los
controladores digitales son flexibles al permitir cambios en la programación.
294
14.1.4 Control digital de procesos
En general, en sistemas de control de procesos industriales, no es práctico operar
períodos de tiempo muy prolongados en estado estacionario, debido a que se pueden
presentar ciertos cambios en los requerimientos de producción, materias primas,
factores económicos y equipos y técnicas de procesamiento. Así, el comportamiento
transitorio de los procesos industriales debe siempre tomarse en consideración. Debido a
que existen interacciones entre las variables de proceso, al utilizar una sola variable de
proceso para cada uno de los agentes de control no es apropiado para un control
completo real. Mediante el uso de un controlador digital, es posible tomar en cuenta
todas las variables del proceso, conjuntamente con los factores económicos, los
requerimientos de producción, el desempeño del equipo y todas las demás necesidades,
y de este modo alcanzar el control óptimo de los procesos industriales.
14.2 SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO
Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de
muestreo de señales en tiempo continuo. La señal muestreada es x(0), x(T), x(2T), . . .,
donde T es el periodo de muestreo. Dicha secuencia de valores que surge de la
operación de muestreo normalmente se escribe como x(kT). Si el sistema incluye un
proceso iterativo realizado por una computadora digital, la señal involucrada es una
secuencia de números x(0), x(1), x(2), . . . La secuencia de números normalmente se
escribe como x(k), donde el argumento k indica el orden en el que se presentan los
números en la secuencia, por ejemplo, x(0), x(1), x(2), . . . Aunque x(k) es una secuencia
de números, ésta se puede considerar como una señal muestreada de x(t) cuando el
periodo de muestreo T es 1 segundo.
La trensformada z se aplica a la señal en tiempo continuo x(t), a la señal
muestreada x(kT) y a la secuencia de números x(k). Si no se presenta confusión en el
estudio al tratar con la transformada z, de manera ocasional se emplean x(kT) y x(k)
intercambiadas. [Esto es, para simplificar la presentación en ocasiones se omite la
aparición explicita de T y se escribe x(kT) como x(k).]
14.3 LA TRANSFORMADA z
Al considerar la transformada z de una función del tiempo x(t), sólo se toman en
cuenta los valores muestreados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T), . . ., donde T es el
periodo de muestreo.
La transformada z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o de la
secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o de enteros positivos y T es
el periodo de muestreo, se define mediante la siguiente ecuación:
∞
X(z) = Z[x(t)] = Z[x(k)] = ∑ x(kT ) z – k
(14.1)
k =0
Para una secuencia de números x(k), la transformada z se define como
∞
X(z) = Z[x(k)] = ∑ x(k ) z – k
(14.2)
k =0
295
TABLA 14.1 Tabla de transformadas z
Funciones del tiempo: x(kt)
Transformadas z: X(z)
Impulso unitario δ(t)
1
δ(t – kT)
Z–k
z
z −1
Tz
( z − 1) 2
z
z − e − aT
Tze − aT
( z − e − aT ) 2
1
KT
e-akT
kTe-akT
-akT
1–e
e-akT – e-bkT
-bnT
be
-anT
– ae
(1 − e − aT ) z
( z − 1)( z − e − aT )
(e − aT − e − bT ) z
( z − e − aT )( z − e −bT )
(b − a) z 2 − (be − aT − ae −bT ) z
( z − e − aT )( z − e −bT )
e-akT f(t)
F(e-aTz)
Sen akT
z sen aT
z − 2 z cos aT + 1
2
Cos akT
z ( z − cos aT )
z − 2 z cos aT + 1
e-akT sen bkT
ze aT − sen bT
z 2 − 2 ze − aT cos bT + 1
e-akT cos bkT
z ( z − e aT cos bT )
z 2 − 2 ze − aT cos bT + 1
2
La transformada z definida mediante las Ecs. (14.1) o (14.2) se conoce como
transformada z unilateral.
El símbolo Z denota la "transformada z de" . En la transformada z unilateral se
supone que x(t) = 0 para t < 0 o x(k) = 0 para k < 0. Observe que z es una variable
compleja.
La expansión del segundo miembro de la Ec. (14.1) da como resultado
X(z) = x(0) + x(T)z – 1 + x(2T)z – 2 + . . . + x(kT)z – k + . . .
(14.3)
296
La Ec. (14.3) implica que la transformada z de cualquier función en tiempo
continuo x(t) se puede escribir, mediante inspección, en la forma de una serie. La z – k
en esta serie indica la posición en el tiempo en la que se presenta la amplitud x(kT). De
manera contraria, si X(z) está dada en la forma de una serie como la que se indicó, la
transformada z inversa se puede obtener por inspección como una secuencia de la
función x(kT) que corresponde a los valores de x(t) en los valores de tiempo respectivos.
14.4 TRANSFORMADA z DE FUNCIONES ELEMENTALES
14.4.1 Función delta de Kronecker δo(kT) (Impulso unidad)
La función delta de Kronecker (la cual se corresponde con la función de impulso
unitario para sistemas en tiempo continuo), se define por:
δo(kT) = 1,
para k = 0
= 0,
para k ≠ 0
x(k) = 1,
para k = 0
= 0,
para k ≠ 0
o
El muestreador dará una función x(kT) que, es igual al impulso unidad δo(k) en la
primera muestra y que es cero en los restantes muestreos.
La transformada z de la entrada delta de Kronecker es
X(z) = 1
(14.4)
Es decir, que la respuesta impulso unidad trabajando con transformadas z, o bien
en otros términos, la transformada en z del impulso unidad, es la unidad.
14.4.2 Función escalón unitario
x(t) = 1(t),
para 0 ≤ 0
= 0,
para t < 1
Aplicando la transformada z del escalón unidad se tiene:
X(z) = Σ x(kT). z – k = x(0) + x(T). z – 1 + x(2T). z – 2 + . . . =
= 1 + z – 1 + z – 2 + . . . = 1/(1 – z – 1) = z/ (z – 1)
(14.5)
ya que las funciones x(kT) son iguales a la unidad por tratarse de un escalón unitario.
En la tabla 14.1 pueden verse las transformadas en z de las funciones más comunes.
297
14.5
GENERACIÓN DE FUNCIONES EN TIEMPO DISCRETO USANDO
MATLAB
14.5.1
Generación de la función de entrada delta de Kronecker
En MATLAB la entrada delta de Kronecker está dada por
x = [1 zeros(1,N)]
Donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso
considerado.
La siguiente entrada delta de Kronecker
x(0) = 1
x(k) = 0,
para k = 1, 2, 3, . . ., 60
se puede introducir en el programa Matlab como:
>> x = [1 zeros(1,60)]
Una entrada delta de Kronecker de magnitud 8 como
x(0) = 8
x(k) = 0,
para k = 1, 2, 3, . . ., 40
se puede introducir en el programa como
>> x = [8 zeros(1,40)]
14.5.2
Generación de la función de entrada en escalón
Una entrada escalón unitario como
x(k) = 1(k) = 1,
para k = 0, 1, 2, . . ., 100
se puede introducir en el programa Matlab como
>> x = ones(1,101)
o
>> x = [1 ones(1,100)]
Análogamente una entrada escalón de magnitud 5, o
x(k) = 5*1(k) = 5,
para k = 0, 1, 2, . . ., 50
se puede introducir en el programa Matlab como
>> x = 5*ones(1,51)
o
>> x = [5 5*ones(1,50)]
298
14.5.3
Generación de la función de entrada en rampa
La entrada rampa unitaria se define por
x = t,
para 0 ≤ t
Para sistemas discretos, t = kT, donde T es el periodo de muestreo (seg). Por
consiguiente la entrada rampa se puede escribir como:
x(k) = kT,
para k = 0, 1, 2, . . .
Si la rampa viene dada por
x(k) = kT,
para k = 0, 1, 2, . . ., 50
entonces utilizaremos una de las siguientes formas:
x = 0:T:50*T
(T = periodo de muestreo, seg)
o
k = 0:50; x = [k*T]
Es decir, si T = 0,2 seg y k = 50, se utiliza
>> x = 0:0.2:10
o
>> k = 0:50;
x = [0.2*k]
14.5.4 Generación de la función de entrada de aceleración
Antes de considerar la entrada aceleración, consideremos la siguiente señal:
h = [0 1 2 3 4 5 6]
El cuadrado de esta señal en cada instante de muestreo viene dada por
w = [0 1 4 9 16 25 36]
La señal se puede generar en Matlab como sigue:
>> h = 0:6
h =
0
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
8
10
12
>> w = h.*2
w =
Nótese que es necesario introducir un punto después de h para obtener el cuadrado
del valor muestreado.
299
Ahora consideramos la entrada aceleración en general. Supongamos que la entrada
viene dada por
x(k) =
1
(kT)2
2
para k = 0, 1, 2, . . .
donde T es el periodo de muestreo. Asumamos, por ejemplo, que T = 0,2 seg, o
x(0) = 0
1
1
x(1) = T2 = (0,2)2
2
2
1
1
x(2) = (2T)2 = (0,4)2
2
2
1
1
x(k) = (kT)2 = (0,2k)2,
2
2
para k = 3, 4, 5, ...
Esta entrada aceleración se puede introducir en el programa Matlab como sigue:
Si k = 0, 1, 2, 3, 4, podemos introducir las siguientes órdenes:
k = 0:4;
x = [0.5*(0.2*k).^2]
La pantalla mostrará lo siguiente:
>> k = 0:4;
x = [0.5*(0.2*k).^2]
u =
0
0.0200
0.0800
0.1800
0.3200
Podemos introducir también las siguientes órdenes:
>> k = 0:4;
m = [0.5*(0.2*k)’*(0.2*k)];
x = [diag(m)]’
La pantalla del ordenador mostrará lo siguiente:
>> k = 0:4;
m = [0.5*(0.2*k)'*(0.2*k)]
m =
0
0
0
0
0
0
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0
0.0400
0.0800
0.1200
0.1600
0
0.0600
0.1200
0.1800
0.2400
0
0.0800
0.1600
0.2400
0.3200
>> x = [diag(m)]'
x =
0
0.0200
0.0800
0.1800
0.3200
Resumiendo, si k varía de 0 a 40, podemos utilizar una de las siguientes formas:
a. >> k = 0:40;
b. >> k = 0:40;
>> x = [0.5*(0.2*k).^2]
>> x = [diag(0.5*(0.2*k)'*(0.2*k))]'
300
14.5.5
Generación de la función de entrada arbitraria
Si una entrada arbitraria se especifica como:
x(0) = 3
x(1) = 2.5
x(2) = 1.2
x(k) = 0,
para 3, 4, 5, . . . 80
La siguiente forma puede ser utilizada como la entrada:
>> x = [3
2.5
1.2
zeros(1,78)]
14.6 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL
Como
∞
X(z) =
∑
x(k) z – k = x(0) + x(1). z – 1 + x(2). z – 2 + . . .
k =0
Si hacemos que z→∞ resulta:
f(0) = lim X(z)
(14.6)
z →∞
que es el teorema del valor inicial
Sea
∞
Z[x(k)] = X(z) =
∑
x(k). z – k
k =0
o bien
∞
Z[x(k + 1)] = zX(z) – z.x(0) =
∑
x(k + 1). z – k
k =0
y por consiguiente
∞
zX(z) – z.x(0) – X(z) = (z – 1)X(z) – zx(0) =
∑
x(k + 1). z – k – =
k =0
∞
∑
x(k). z – k
k =0
y de aquí
∞
(z – 1).X(z) = z.x(0) +
∑
[x(k + 1) – x(k)]. z – k
k =0
301
y aplicando limites cuando z→1 resulta:
lim [(z – 1).X(z)] = x(0) + x(∞) – x(0) = x(∞)
z →1
de lo cual se deduce:
lim x(n) = lim x(t) = lim [(z – 1).X(z)]
k →∞
k →∞
k →∞
(14.7)
que es el teorema de valor final
El lector observará que hasta ahora la transformada z es matemáticamente la
transformada de Laplace con un cambio en la variable. Debe tener en cuenta que el uso
de las tablas es similar al de las tablas de las transformadas de Laplace. La transformada
z de la función de transferencia de un elemento o series de elementos de una
transformada z de salida, que puede convertirse en el dominio del tiempo con la señal de
salida correspondiente, ya sea intermitente o continua, pero que en este último caso solo
tendrá validez en los instantes de muestreo.
14.7
LA TRANSFORMADA z INVERSA
La transformada z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel
que la transformada de Laplace rn sistemas de control en tiempo continuo.
La notación para la transformada z inversa es Z– 1. La transformada z inversa de
X(z) da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo x(k).
Se debe observar que a partir de la transformada z inversa sólo se obtiene la
secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. De esta manera, la transformada z
inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no de una única x(t). Esto
significa que que la transformada z inversa da como resultado una secuencia de tiempo
que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t = 0, T,
2T, . . ., y no dice nada acerca de los valores de x(t) en todos los otros tiempos. Esto es,
muchas funciones del tiempo x(t) diferentes pueden tener la misma x(kT). Ver Fig. 14.2.
Cuando X(z), la transformada z de x(kT) o x(k), está dada, la operación que
determina la x(kT) o x(k) correspondiente se denomina transformación z inversa. Los
métodos para encontrar la transformada z inversa son:
-
Método de expansión en fracciones parciales
-
Método de la división directa
-
Método computacional
-
Método de la integral de inversión
Para ilustración y por razones de espacio solamente trataremos los tres primeros
302
14.7.1 Método de expansión en fracciones parciales
El desarrollo de X(z) en fracciones parciales que es análogo al método empleado
en las transformadas de Laplace y que consiste en simplificar la transformada z, es decir
X(z), en fracciones parciales que sean simples y puedan encontrarse en la tabla de
transformadas z. La expresión obtenida es una función continua de kT y sus valores son
correctos en los instantes del muestreo, ya que no existe información entre estos
instantes.
Sea, por ejemplo, la transformada z siguiente:
X(z) =
z
( z − 2).( z − 3)
(14.8)
El desarrollo en fracciones parciales da
X ( z)
1
A
B
−1
=
+
= 2
+ 2
z
z − 2 z − 3 z − 5z + 6 z − 5z + 6
y así
X(z) =
−z
z
+
z −2 z −3
Y de la tabla de transformadas z resulta
x(kT) = – 2k + 3k con k = 0, 1, 2, 3, . . .
y así
x(0) = 0, x(T) = 1, x(2T) = 5, x(3T) = 19, . . .
14.7.2 Método de la división directa
El desarrollo de X(z) en potencias de z mediante la división del numerador por el
denominador. De este modo se obtiene:
X(z) =x(0) + x(T).z –1 + x(2T).z –2 + . . .+ x(kT).z –k + . . .
(14.9)
El método es útil porque da inmediatamente los primeros términos de los instantes
iniciales del muestreo que habitualmente son los más interesantes. Téngase presente que
los errores cometidos en la división son acumulativos.
Resolviendo el mismo ejemplo anterior con éste método se efectúa la división del
numerador por el denominador, después de transformarlos a potencias con exponente
negativo y se tiene:
z –1 .(1 – 5z –1 + 6z –2 ) = z –1 + 5z –2 + 19z –3 + 65z –4 + . . .
serie de la que se deduce
x(0) = 0, x(T) = 1, x(2T) = 5, x(3T) = 19, . . .
303
14.7.3 Método computacional
Consider un sistema G(z) definido mediante:
G( z) =
0.4673z −1 − 0.3393z −2
1 − 1.5327 z −1 + 0.6607 z − 2
(14.10)
para encontrar la transformada z inversa, se utiliza la función delta de Kronecker
δo(kT). Mediante la entrada delta de Kronecker, la Ec. (14.10) se puede rescribir como
G( z) =
Y ( z)
0.4673z −1 − 0.3393z −2
=
X ( z ) 1 − 1.5327 z −1 + 0.6607 z − 2
=
0.4673z − 0.3393
z − 1.5327 z + 0.6607
(14.11)
2
Se puede utilizar MATLAB para encontrar la transformada z inversa. A partir de
la Ec. (14.20), la entrada X(z) es la transformada z de la entrada delta de Kronecker.
Puesto que la transformada z de la entrada delta de Kronecker X(z) es igual a la
unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es
Y ( z) = G( z) =
=
0.4673z −1 − 0.3393z −2
1 − 1.5327 z −1 + 0.6607 z − 2
0.4673z − 0.3393
z − 1.5327 z + 0.6607
2
Por lo tanto, para encontrar la transformada z inversa de G(z) con MATLAB, se
procede como sigue:
Introduzca el numerador y denominador de la siguiente forma:
>> num =[0 0.4673 -0.3393];
>> den =[1 -1.5327 0.6607];
Introduzca la entrada delta de Kronecker.
>> x =[1 zeros(1,40)];
Luego introduzca el comando
>> y =filter(num,den,x)
para obtener la respuesta y(k) desde k = 0 hasta k = 40.
En la pantalla se mostrará la salida y(k) desde k =0 a 40 como sigue:
304
y =
Columns 1 through 7
0
0.4673
0.3769
0.2690
0.1632
0.0725
0.0032
Columns 8 through 14
-0.0429 -0.0679 -0.0758
-0.0712
-0.0591
-0.0436
-0.0277
-0.0137 -0.0027
0.0050
0.0094
0.0111
0.0108
0.0092
0.0070
0.0046
0.0025
0.0007
-0.0005
-0.0013
-0.0016
-0.0016 -0.0014 -0.0011
-0.0008
-0.0004
-0.0002
0.0000
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0001
Nótese que los cálculos en MATLAB empiezan en la columna 1 y finalizan en la
columna 41, y no van desde la columna 0 a la 40. Estos valores son la transformada
inversa z de G(z). Es decir
y(1) = 0.4673
y(2) = 0.3769
y(3) = 0.2690
.
.
y(40) = 0.0001
Para representar los valores de la transformada inversa z de G(z), se procede como
sigue. Puesto que hemos elegido 0 ≤ k ≤ N = 40. y el rango de la respuesta y(k) se estima
que se encuentre entre –1 y 1 (si esta estimación no es satisfactoria, cambie el rango
después de una prueba), introduzca los rangos para el eje x (0 ≤ x ≤ 40) y el eje y (-1 ≤ y
≤ 1) de la siguiente manera:
>> v = [0 40
>> axis(v)
–1
1]
o combine las dos líneas de programa en una sola:
>> axis([0
40
-1
1])
Ahora añada un punto y coma al final de la línea
>> y = filter(num,den,x);
e introduzca
>> plot(y,'o')
Representará la respuesta y(k) frente a k + 1. Nótese que la gráfica en MATLAB
comienza en k = 1 y acaba en k = N + 1.
305
Fig. 14.2 Transformada inversa de la Ec. (14.10)
Para obtener la respuesta y(k) frente a K + 1, junto con la rejilla, el título de la
gráfica, la etiqueta del eje x y la etiqueta del eje y, ejecute el programa MATLAB 14-1.
El resultado se muestra en la Fig 14.3.
Si se desea representar la respuesta y(k) frente a k + 1 utilizando un trazo
continuo, sustituya la orden
>> plot(y,'o')
por
>> plot(y,'-')
Los vectores en MATLAB van desde 1 a N + 1 en lugar de 0 a N. Si se desea
representar la respuesta y(k) frente a k, en lugar de representar y(k) frente a K + 1,
necesitamos añadir la siguiente declaración
>> k = 0;40;
y cambiar la orden plot como sigue:
>> plot(k,y,'o')
num=[0 0.4673 –0.3393];
den=[1 –1.5327 0.6607];
x=[1 zeros(1,40)];
v=[0 40 –1 1];
axis(v);
y=filter(num,den,x);
plot(y,'-')
grid
title('Respuesta a una entrada delta de Kronecker')
xlabel('k+1')
ylabel(y(k)')
306
Respuesta a una entrada delta de Kronecker
0.6
0.5
0.4
y(k)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
k+1
307
CAPITULO
15
SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
El método de la transformada z es particularmente útil para analizar y diseñar
sistemas de control en tiempo discreto, lineales e invariantes en el tiempo, de una
entrada y una salida. La principal ventaja del método de la transformada z es que ésta
habilita al ingeniero para aplicar los métodos de diseño convencionales de sistemas en
tiempo continuo a sistemas en tiempo discreto que pueden ser en parte en tiempo
discreto y en parte en tiempo continuo.
15.1 MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS Y RETENCIÓN DE DATOS
Los sistemas de control en tiempo discreto pueden operar en parte en tiempo
discreto y en parte en tiempo continuo. De esta manera, en dichos sistemas de control
algunas señales aparecen como funciones en tiempo discreto (a menudo en la forma de
una secuencia de números o un código numérico) y otras señales como funciones en
tiempo continuo. Al analizar sistemas de control en tiempo discreto, la teoría de la
transformada z juega un papel importante. Para demostrar por qué el método de la
transformada z es útil en el análisis de sistemas de control en tiempo discreto, primero
se presenta el concepto de muestreo mediante impulsos y luego se estudia la retención
de datos.
15.1.1 Muestreo mediante impulsos
Si la señal de tiempo continuo x(t) se muestrea mediante impulsos en forma
periódica, la señal muestreada se puede representar de manera matemática mediante
∞
x * (t ) = ∑ x(t )δ (t − kT )
(15.1)
k =0
308
En el muestreador mediante impulsos se puede pensar que interruptor se cierra
instantáneamente cada periodo de muestreo T y genera impulsos x(kT)δ(t – kT). Dicho
proceso de muestreo se conoce como muestreo mediante impulsos. El muestreador
mediante impulsos se presenta por conveniencia matemática; éste es un muestreador
ficticio que no existe en el mundo real.
La transformada de Laplace de la señal muestreada mediante impulsos x*(t) ha
mostrado ser la misma que la transformada z de la señal x(t) si eTs se define como z, o
eTs = z
(15.2)
x(t)
x*(t)
0
t
x(t)
X(s)
0
δT
t
x*(t)
X*(s)
Fig. 15.1 Muestreador mediante impulsos
15.1.2 Retenedor de orden cero
En un muestreador convencional, un interruptor se cierra cada periodod de
muestreo T para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo es
muy corta en comparación con la constante de tiempo más significativa de la planta.
Unmuestreador convierte una señal en tiempo continuo en un tren de pulsos que se
presenta en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, . . ., donde T es el periodo de
muestreo. (Observe que entre dos instantes de muestreo consecutivos el muestreados no
transfiere información. Dos señales cuyos respectivos valores en los instantes de
muestreo son iguales darán como resultado la misma señal muestreada.)
La retención de datos es un proceso de generación de una señal en tiempo
continuo h(t) a partir de una secuencia en tiempo discreto x(kT). El retenedor de datos
más sencillo es el retenedor de orden cero.
En la Fig. 15.2 se observa un muestreador y retenedor de orden cero. La señal de
entrada x(t) se muestrea en instantes discretos y la señal muestreada se pasa a través del
retenedor de orden cero. El circuito retenedor de orden cero suaviza la señal muestreada
para producir la señal h(t), la cual es constante desde el último valor muestreado hasta
que se puede disponer de la siguiente muestra.
La función de transferencia Gh del retenedor de orden cero está dada por
Gh =
1 − e −Ts
s
(15.3)
309
x(t)
x(kT)
h(t)
t
x(t)
t
kT
Muestreador
Retenedor de
orden cero
x(kT)
h(t)
Fig. 15.2 Muestreador y retenedor de orden cero
En este libro, a menos que se indique otra cosa, se supone que el circuito de
retención es de orden cero.
15.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE PULSOS
La función de transferencia para un sistema continuo relaciona las transformadas
de Laplace de la salida en tiempo continuo con la correspondiente de la entrada en
tiempo continuo, mientras que la función de transferencia pulso relaciona las
transformadas z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada
muestreada.
La función de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la Fig. 15.3a)
es
Y ( z)
= G ( z ) = Z [G ( s )]
X ( z)
x(t)
(15.4)
x*(t)
δT
y(t)
G(s)
X(z)
y*(t)
Muestreador δT Y(z)
ficticio
a)
x (t)
G(s)
y(t)
Y(s)
X(s)
b)
Fig. 15.3 a) Sistema en tiempo continuo G(s) con un muestreador mediante impulsos en
la entrada; b) sistema en tiempo continuo
Después considere el sistema que se muestra en la Fig. 15.3b). La función de
transferencia G(s) está dada por
310
Y (s)
= G ( s)
X ( s)
(15.5)
Es importante recordar que la función de transferencia pulso para este sistema no
es Z[G(s)], debido a la ausencia del muestreador mediante impulsos.
La presencia o ausencia del muestreador mediante impulsos es crucial en la
determinación de la función de transferencia pulso del sistema, puesto que, por ejemplo,
para el sistema que se muestra en la Fig. 15.3a), la transformada de Laplace de la salida
y(t) es
Y(t) = G(s).X*(s)
Por lo tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene
Y*(s) =G*(s).X*(s)
o en términos de la transformada z,
Y(z) = G(z).X(z)
mientras que, para el sistema que se muestra en la Fig. 15.3b), la transformada de
Laplace de la salida y(t) es
Y(s) = G(s).X(s)
Lo cual da como resultado
Y*(s) =[G*(s).X*(s)]*=[GX(s)]*
o, en términos de la transformada z,
Y(z) = Z[Y(s)]=Z[G(s).X(s)]=Z[GX(s)]=GX(z) ≠ G(z)X(z)
(15.6)
Al estudiar la función de transferencia pulso, se supone que existe un muestreador
a la entrada del elemento en consideración. La presencia o ausencia del muestreados a la
salida del elemento (o el sistema) no afecta la función de transferencia pulso, debido a
que, si el muestreador no está fisicamente presente en el lado de la salida del sistema, es
siempre posible suponer que el muestreador ficticio esté presente en la salida. Esto
significa que, aunque la señal de salida es continua, se puede considerar valores de la
salida sólo en t = kT(k = 0, 1, 2, . . .) y así se obtiene la secuencia y(kT).
Observe que sólo para el caso donde la entrada al sistema G(s) es una señal
muestreada mediante impulsos, la función de transferencia pulso está dada por
G(z) = Z[G(s)]
(15.7)
15.2.1 Obtener G(z) a partir de G(s) usando MATLAB
El uso de MATLAB para obtener la función de transferencia pulso a partir de la
función de transferencia se usa la orden:
311
>> sysd = c2d(sysc,Ts)
donde: sysd = sistema discreto; sysc = sistema continuo; Ts = periodo de muestreo
Ejemplo 15.1
Obtenga la función de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la
Fig. 15.3a), donde G(s) está dada por
G ( s) =
s+2
s + 3s + 2
(15.8)
2
Suponiendo que el periodo de muestreo Ts es de 0.1 seg., se tiene:
>> num =[1 2];
>> den =[1 3 2];
>> sysc=tf(num,den)
%Función de transferencia continua
Transfer function:
s + 2
------------s^2 + 3 s + 2
>> sysd = c2d(sysc,0.1) %Función de transferencia discreta
Transfer function:
0.09516 z - 0.07791
---------------------z^2 - 1.724 z + 0.7408
Sampling time: 0.1
>>
15.2.2 Función de transferencia de pulsos de elementos en cascada
Considere el sistema que se muestra en las Figs. 15.4a) y b). Aquí se supone que
los muestreadores están sincronizados y que tienen el mismo periodo de muestreo. Se
mostrará que la función de transferencia pulso del sistema que se muestra en la Fig.
15.4a) es G(z)H(z), mientras que la del sistema que se muestra en la Fig. 15.4b) es
Z[G(s)H(s)] = Z[GH(s)] = GH(z), que es diferente de G(z)H(z).
Considere el sistema que se muestra en las Fig. 15.4a). A partir del diagrama se
obtiene
U(s) = G(s)X*(s)
Y(s) = H(s)U*(s)
Por tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de cada una de estas dos
ecuaciones se obtiene como resultado
312
U*(s) = G*(s)X*(s)
Y*(s) = H*(s)U*(s)
En consecuencia,
Y*(s) = H*(s)U*(s) = H*(s)G*(s)X*(s)
o
Y*(s) = G*(s)H*(s)X*(s)
En términos de la notación de la transformada z,
Y(z) = G(z)H(z)X(z)
La función de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) está por
tanto dada mediante
Y ( z)
= G( z) H ( z)
X ( z)
x(t)
x*(t)
δT
(15.9)
G(s)
u(t)
u*(t)
δT
H(s)
y*(t)
y(t)
δT
a)
x(t)
x*(t)
δT
G(s)
H(s)
y*(t)
y(t)
δT
b)
Fig. 15.4 a) sistema muestreado con un muestreador entre los elementos en cascada
G(s) y H(s); b) sistema muestreado sin muestreador entre los elementos en
cascada G(s) y H(s).
Después considere el sistema que se muestra en la Fig. 15.4b). A partir del
diagrama se encuentra que
Y(s) = G(s)H(s)X*(s) = GH(s)X*(s)
donde
GH(s) = G(s)H(s)
Al tomar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene
Y*(s) = [GH(s)]*X*(s)
En términos de la transformada z,
Y(z) = GH(z)X(z)
Y la función de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) es
313
Y ( z)
= GH ( z ) = Z [GH ( s)]
X ( z)
Observe que
G(z)H(z) ≠ GH(z) = Z[GH(s)]
(15.10)
Por tanto, las funciones de transferencia pulso de los sistemas que se muestran en
las Figs. 15.4a) y b) son diferentes.
15.2.3 Función de transferencia de pulsos en lazo cerrado
En un sistema en lazo cerrado la existencia o no de unmuestreador de salida en el
lazo hace que el comportamiento del sistema sea diferente. (Si existe un muestreador
fuera del lazo, no habrá ninguna diferencia en la operación de lazo cerrado.)
Considere el sistema de control en lazo cerrado que se muestra en la Fig. 15.5. En
este sistema, el error actuante está muestreado. A partir del diagrama de bloques,
E(s) = R(s) – H(s)C(s)
C(s) = G(s)E*(s)
R(s)
+
E(s)
-
E*(s)
G(s)
C(s)
δT
H(s)
Fig. 15.5 Sistema de control en lazo cerrado
Por tanto,
E(s) = R(s) – H(s)G(s)E*(s)
Entonces, al tomar la transformada de Laplace asterisco, se obtiene
E*(s) = R*(s) – GH*(s)E*(s)
o
E * ( s) =
R * ( s)
1 + GH ( s)
Puesto que
C*(s) = G*(s)E*(s)
Se obtiene
C * ( s) =
G * ( s) R * (s)
1 + GH * ( s )
En términos de la notación de la transformada z, la salida puede darse mediante
314
C ( z) =
G ( z ) R( z )
1 + GH ( z )
(15.11)
La transformada z inversa de esta última ecuación da los valores de la salida en los
instantes de muestreo. [Observe que la salida real c(t) del sistema es una señal en tiempo
continuo. La transformada z inversa de C(z) no dará la señal de salida en tiempo
continuo c(t).] La función de transferencia pulso para este sistema en lazo cerrado es
C ( z)
G( z)
=
R ( z ) 1 + GH ( z )
(15.12)
En la Tabla 15.1 se muestra cinco configuraciones típicas para sistemas de
control en tiempo discreto en lazo cerrado. Aquí, los muestreadores están sincronizados
y tienen el mismo periodo de muestreo. Para cada configuración, se muestra la salida
correspondiente C(z). Nótese que algunos sistemas de control en tiempo discreto en lazo
cerrado no se pueden representar mediante C(z)/R(z) (esto es, no tienen función de
transferencia pulso) debido a que la señal de entrada R(s) no se puede separar de la
dinámica del sistema. Aunque la función de transferencia pulso no pueda existir para
ciertas configuraciones de sistemas, se pueden aplicar las mismas técnicas que se
estudian en este texto.
15.2.4 Función de transferencia de un controlador digital
La función de transferencia pulso de un controlador digital se puede obtener a
partir de las características entrada-salida requeridas del controlador digital.
Suponga que la entrada al controlador digital es e(k) y la salida m(k). En general,
la salida m(k) puede estar dada mediante el siguiente tipo de ecuación en diferencias:
m(k) + a1m(k – 1) + a2m(k – 2) + . . . +anm(k – n)
= boe(k) + b1e(k – 1) + . . . + bn e(k – n)
(15.13)
La transformada z de la Ec. (15.10) da como resultado
M(z) + a1z– 1 M(z) + a2z– 2 M(z) + . . . + anz– n M(z)
= boE(z) + b1z– 1 E(z) + . . . + bn z– n E(z)
o
(1 + a1z–1 + a2z–2 + . . . +anz– n )M(z) = (bo + b1z– 1 + . . . + bn z– n )E(z)
La función de transferencia pulso GD(z) del controlador digital puede entonces
estar dada mediante
M ( z ) b0 + b1 z −1 + L + bn z − n
=
GD ( z) =
E ( z ) 1 + a1 z −1 + L + a n z − n
(15.14)
El uso de la función de transferencia pulso GD(z) en la forma de la Ec. (15.14)
habilita al lector para analizar los sistemas de control digital en el plano z.
315
Tabla 15.1 Cinco configuraciones típicas de sistemas de control en tiempo discreto en
lazo cerrado
R(s)
+
G(s)
-
C(s)
C(z)
C ( z) =
G ( z ) R( z )
1 + GH ( z )
H(s)
R(s)
+
G(s)
-
C(s)
C(z)
C ( z) =
H(s)
R(s)
+
G1(s)
-
G2(s)
C(s)
C(z)
C ( z) =
H(s)
R(s)
+
G2(s)
G1(s)
C(s)
G1 ( z )G 2 ( z ) R ( z )
1 + G1 ( z )G 2 ( z ) H ( z )
C(z)
-
C ( z) =
H(s)
R(s)
+
-
G(s)
C(s)
G( z ) R( z )
1 + G( z) H ( z)
G 2 ( z )G1 R( z )
1 + G1G 2 H ( z )
C(z)
C ( z) =
H(s)
GR( z )
1 + GH ( z )
15.2.5 Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control
digital
En la Fig. 15.6 a) se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control
digital. Aquí el muestreador, el convertidor A/D, el controlador digital, el retenedor de
orden cero y el convertidor D/A producen una señal de control u(t) en tiempo continuo
(constante por pedazos) para ser alimentada la planta. En la Fig. 15.6 b) se muestran las
funciones de transferencia de los bloques involucrados en el sistema.
La función de transferencia del controlador digital se muestra como G*D(s). En el
sistema real la computadora (controlador digital) resuelve una ecuación en diferencias
cuya relación entrada-salida está dada mediante la función de transferencia pulso GD(z).
316
r(s)
e(t)
+
-
Muestreador
A/D
e(kT)
Controlador
digital
m(kT)
Retenedor de
orden cero
D/A
u(t)
Planta
c(t)
a)
R(s)
E*(s)
E(s)
+
-
δT
G D* ( s )
M*(s)
1 − e −TS
s
u(t)
G P (s )
c(s)
G(s)
b)
Fig. 15.6 a) Diagrama de bloques de un sistema de control digital; b) diagrama de
bloques equivalente que muestra las funciones de transferencia de los bloques
En el presente sistema la señal de salida c(t) se alimenta de regreso para ser
comparada con la señal de entrada r(t). La señal de error e(t) = r(t) – c(t) se muestrea, y
la señal analógica se convierte en digital a través de un dispositivo A/D. La señal digital
e(kT) se alimenta al controlador digital, el cual opera sobre la secuencia muestreada
e(kT) de una manera adecuada para producir la señal m(kT).
Esta relación conveniente entre las secuencias m(kT) y e(kT) se especifica
mediante la función de transferencia pulso GD(z) del controlador digital. [Mediante la
selección adecuada de los polos y ceros de GD(z), se puede generar un buen número de
características de entrada-salida.]
Refiriéndose a la Fig. 15.6b), se define
1 − e −TS
Gp(s) = G(s)
s
A partir de la Fig. 15.6b), nótese que
C(s) = G(s) G D* (s)E*(s)
o
C*(s) = G*(s) G D* (s)E*(s)
En términos de la notación de la transformada z,
C(z) = G(z)GD(z)E(z)
Puesto que
E(z) = R(z) – C(z)
317
Se tiene
C(z) = GD(z)G(z)[R(z) – C(z)]
Y, por tanto,
G D ( z )G ( z )
C ( z)
=
R( z ) 1 + G D ( z )G ( z )
(15.15)
La Ec. (15.15) da la función de transferencia pulso en lazo cerrado del sistema de
control digital que se muestra en la Fig. 15.6b). El desempeño de dicho sistema en lazo
cerrado se puede mejorar mediante la apropiada elección de GD(z), la función de
transferencia pulso del controlador digital.
15.2.6 Función de transferencia pulso de un controlador PID digital
El esquema de control PID analógico ha sido usado de manera exitosa en muchos
sistemas de control industrial por más de medio siglo. El principio básico del esquema
de control PID es que actúa sobre la variable a ser manipulada a través de una apropiada
combinación de las tres acciones de control: acción de control proporcional (donde la
acción de control es proporcional a la señal de error actuante, la cual es la diferencia
entre la entrada y la señal de realimentación); la acción de control integral (donde la
acción de control es proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción
de control derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la
señal de error actuante).
En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una sola
computadora digital (como un esquema de control en el que se controlan desde unos
cuantos lazos hasta cientos de éstos mediante un solo controlador digital), la mayoría de
los lazos de control se pueden manipular mediante esquemas de control PID.
La acción de control PID en controladores analógicos está dada por
⎡
de(t ) ⎤
1 t
(15.16)
m(t ) = K ⎢e(t ) + ∫ e(t )dt + Td
⎥
0
T
dt
i
⎣
⎦
donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida del
controlador (señal manipulada), K es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral
(o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de adelanto).
La función de transferencia pulso para el controlador PID digital está dada por:
GD ( z) =
K1
M ( z)
= KP +
+ K D (1 − z −1 )
−1
E( z)
1− z
(15.17)
donde
KP = K −
K
KT
= K − I = ganancia proporcional
2Ti
2
318
KI =
KD =
KT
= ganancia integral
TI
KTd
= ganancia derivativa
T
T = tiempo de muestreo
Nótese que la ganancia proporcional Kp para el controlador PID digital es más
pequeña que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de KI /2.
La función de transferencia pulso del controlador PID digital dada por la Ec.
(15.17) se conoce comúnmente como forma posicional del esquema de control PID.
La otra forma por lo regular utilizada en el esquema de control PID digital es el
esquema conocido como forma de velocidad.
M ( z) = −K P C ( z) + K I
R( z ) − C ( z )
− K D (1 − z −1 )C ( z )
−1
1− z
(15.18)
En este caso la respuesta del controlador en los términos proporcional y derivativo
depende solamente de la salida C(z), y sólo el término integral incluye la entrada R(z).
Una ventaja del esquema de control PID en la forma de velocidad es que no es necesaria
la inicialización cuando se conmuta de operación manual a automática. De este modo, si
existen cambios súbitos grandes en el punto de ajuste o en el inicio de la puesta en
operación del proceso, el esquema de control PID en la forma de velocidad presenta
mejores características de respuesta que aquel en la forma posicional. Otra ventaja del
esquema de control PID en la forma de velocidad es que es útil en la supresión de
correcciones excesivas en sistemas de control de procesos.
R(z) +
-
1
1 − z −1
KI
+
Planta
-
c(z)
++
KD
KI
1- z -1
Fig. 15.7 Diagrama de bloques de la realización del esquema de control PID en la forma
de velocidad.
319
Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control PID, tanto en la
forma posicional como en la de velocidad, son básicas en controles digitales debido a
que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos de
control, en particular a problemas en control de procesos. Observe que, en los
controladores digitales, las leyes de control se pueden implementar mediante software,
y por lo tanto las restricciones de herdware de los controladores PID se pueden ignorar
por completo.
15.3 RESPUESTAS TRANSITORIAS
Ejemplo 15.2
Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra en
la Fig. 15.8 a). (El controlador PID está en la forma posicional.) Se supone que la
función de transferencia de la planta es
R(t)
e(kT)
e(t)
+
-
T=1
Controlador
PID digital
m(kT)
Retenedor
de orden
cero
Gh(s)
Planta
c(t)
GP(s)
Fig. 15.8 a) Diagrama de bloques de un sistema de control
G P ( s) =
1
s( s + 1)
(15.19)
y el periodo de muestreo T se supone de 1 segundo. Entonces la función de
transferencia del retenedor de orden cero se convierte en
Gh ( s) =
1 − e −s
s
(15.20)
Para calcular la función de transferencia producto de las funciones de
transferencia del retenedor de orden cero y la planta se tiene:
⎡1 − e −Ts
1 ⎤
G ( z ) = Z [G h ( s )G P ( s )] = Z ⎢
⎥
s ( s + 1) ⎦
⎣ s
⎡
⎤
1
= (1 − z −1 ) Z ⎢ 2
⎥
⎣ s ( s + 1) ⎦
1 ⎤
⎡1 1
= (1 − z −1 ) Z ⎢ 2 − +
s s + 1⎥⎦
⎣s
(15.21)
Usando una tabla de transformadas se puede encontrar la transformada z de cada uno de
los términos de la expansión en fracciones parciales.
320
Usando MATLAB, el cual usa por defecto un retenedor de orden cero, procedemos de
la siguiente manera:
1. Ingresamos función de transferencia continua de la planta (proceso): Gp(s)
>>
>>
>>
>>
clear all
numc=[1];
denc=[1 1 0];
sysc=tf(numc,denc)
Transfer function:
1
------s^2 + s
>>
2. Ingresamos el periodo de muestreo
>> Ts =1.0;
3. Transformamos Gp(s) a Gp(z)
>> sysd = c2d(sysc,Ts)
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642
---------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679
Sampling time: 1
>>
Multiplicando numerador y denominador por z –2, la Ec. (15.21) se transforma
en
⎡1 − e − s
1 ⎤
0.3679 z −1 + 0.2642 z −2
z⎢
G
z
=
(
)
=
⎥
1 − 1.368 z −1 + 0.3679 z − 2
⎣ s s ( s + 1) ⎦
(15.22)
con lo cual, el diagrama de bloques de la Fig. 17.8 quedará:
R(t)
+
-
KP +
K1
+ K D (1 − z −1 )
1 − z −1
0.3679 z −1 + 0.2642 z −2
1 − 1.368 z −1 + 0.3679 z − 2
c(z)
Fig. 15.9 Diagrama de bloques equivalente a la Fig. 15.8
321
Con los valores de KP = 1, KI = 0.2, y KD = 0.2. La función de transferencia de
pulso del controlador digital está dada por
GD =
1.4 − 1.4 z −1 + 0.2 z −2
1 − z −1
(15.23)
Entonces la función de transferencia de pulso en lazo cerrado se convierte en
G D ( z )G ( z )
C ( z)
=
R( z ) 1 + G D ( z )G ( z )
(15.24)
Usando MATLAB operando como sistemas continuos se tiene:
1. Función de transferencia del controlador
>> numcon=[1.4 -1.4 0.2];
>> dencon=[1 -1 0];
>> syscon=tf(numcon,dencon)
Transfer function:
1.4 s^2 - 1.4 s + 0.2
--------------------s^2 - s
2. Función de transferencia del retenedor multiplicado por el proceso
>> num =[0.3679 0.2642];
>> den =[1 -1.368 0.3679];
>> sysd =tf(num,den)
Transfer function:
0.3679 s + 0.2642
---------------------s^2 - 1.368 s + 0.3679
3. Combinando en serie y luego encontrando el feedback de los dos sistemas,
considerando realimentación unitaria:
>> sysCL=feedback(series(syscon,sysd),1)
Transfer function:
0.5151 s^3 - 0.1452 s^2 - 0.2963 s + 0.05284
-----------------------------------------------s^4 - 1.853 s^3 + 1.591 s^2 - 0.6642 s + 0.05284
4. Cambiando s por z y multiplicando numerador y denominador por z –4, se tiene la
función de transferencia de todo el sistema de lazo cerrado
C ( z)
0.5151z −1 − 0.1452 z −2 − 0.2963z −3 + 0.0528 z −4
=
R ( z ) 1 − 1.8528 z −1 + 1.5906 z − 2 − 0.6642 z −3 + 0.0528 z − 4
(15.24)
322
15.3.1 Respuesta a la entrada delta de Kronecker
Uso de UNTSIM. Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería Química –
Automatización y control – Sistemas discretos – Respuestas transitorias:
Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
10-Sep-2004
ESTE PROGRAMA CALCULA LA RESPUESTA DE UN SISTEMA
DE CONTROL DIGITAL ANTE UNA ENTRADA DEFINIDA
Ver Automatizacion y Control Cap. 15
***********************************************************
Coeficientes del numerador de G(z)[ ]:[0 0.5151 -0.1452 - ...
0.2963 0.05284]
Coeficientes del denominador de G(z)[ ]:[1 -1.853 1.591 - ...
0.6642 0.05284]
Tiempo de muestreo (seg): 1
Tiempo total de muestreo (seg): 40
SELECCIONE EL TIPO DE ENTRADA (PERTURBACION)
1. Entrada delta de Kronecker
2. Entrada Escalon unitario
3. Entrada Rampa unitaria
Perturbacion: 1
----------------------------------------------------------RESPUESTA A UNA ENTRADA DELTA DE KRONECKER
-----------------------------------------------------------
Fig. 15.10 Respuesta del sistema de la Fig. 15.9 a una entrada delta de Kronecker
323
15.3.2 Respuesta a una entrada escalón unitario
con el mismo procedimiento anterior se tiene y seleccionando la opción 2, se tiene
Fig. 15.10 Respuesta del sistema de la Fig. 15.9 a una entrada escalón
15.3.3 Respuesta a una entrada rampa unitaria
Ahora seleccionando la opción 3, se tiene
Fig. 15.10 Respuesta del sistema de la Fig. 15.9 a una entrada rampa
324
15.4 ANÁLISIS
DE
PERMANENTE
RESPUESTA
TRANSITORIA
EN
ESTADO
La estabilidad absoluta es un requisito básico de todos los sistemas de control.
Además, en cualquier sistema de control también se requiere de una buena estabilidad
relativa y precisión en estado permanente, ya sea en tiempo continuo o en tiempo
discreto.
Con frecuencia los sistemas de control en tiempo discreto son analizados mediante
entradas “estándar”, como son entradas escalón, entradas rampa o entradas senoidales.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control están
especificadas en términos de su respuesta transitoria a una entrada escalón unitario. La
respuesta transitoria a una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales.
Es común utilizar la condición inicial de que el sistema está en reposo y la salida y todas
sus derivadas con respecto al tiempo son cero. La respuesta transitoria de un sistema de
control práctico, donde la señal de salida es en tiempo continuo, a menudo muestra
oscilaciones amortiguadas antes de llegar al estado permanente. (Esto es cierto para la
mayoría de sistemas de control en tiempo discreto o digitales, porque las plantas a
controlarse en la mayor parte de los casos son de tiempo continuo y, por lo tanto, las
señales de salida son en tiempo continuo).
Igual que en el caso de los sistemas de control en tiempo continuo, la respuesta
transitoria de un sistema de control digital puede caracterizarse no sólo por el factor de
amortiguamiento relativo y la frecuencia natural amortiguada, sino también por el
tiempo de levantamiento, los sobrepasos máximos, el tiempo de asentamiento y así
sucesivamente, en respuesta a una entrada escalón. Las especificaciones son iguales que
para tiempo continuo.
15.5 POLOS Y CEROS EN EL PLANO z
En aplicaciones de ingeniería del método de la transformada z, la función de
transferencia G(z) puede tener la forma:
G( z) =
b0 z m + b1 z m −1 + L + bm
z n + a1 z n −1 + L + a n
G( z) =
b0 ( z − z1 )( z − z 2 ) L ( z − z m )
( z − p1 )( z − p 2 ) L ( z − p n )
o
m≤n
(15.25)
donde los pi (i = 1,2,. . .,n) son los polos de G(z) y los zj(j=1,2,. . .,m) son los ceros de
G(z).
La ubicación de los polos y ceros de G(z) determinan las características de g(k), la
secuencia de los valores o número. Como en el caso del análisis de sistemas de control
lineales en tiempo continuo en el plano s, también se utiliza una representación gráfica
de las localizacionesde los polos y ceros de G(z) en el plano z.
Observe que en ingeniería de control y en procesamiento de señales, G(z) a
menudo se expresa como un cociente de polinomios en z –1, como sigue:
G( z) =
b0 z − ( n − m ) + b1 z − ( n − m +1) + L + bm z − n
1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + L + a n z − n
325
(15.26)
donde z -1 se interpreta como el operador retraso unitario.
Al encontrar los polos y ceros de G(z), es conveniente expresar G(z) como un
cociente de polinomios en z. Por ejemplo,
z ( z + 0.5)
z 2 + 0.5 z
=
2
z + 3z + 2 ( z + 1)( z + 2)
Es claro que G(z) tiene polos en z = –1 y z = – 2 y un cero en z = –0.5. Si G(z) se
escribe como un cociente de polinomios en z –1, la G(z) precedente se puede escribir
como
1 + 0.5 z −1
1 + 0.5 z −1
=
G( z) =
(15.27)
1 + 3z −1 + 2 z − 2 (1 + z −1 )(1 + 2 z −1 )
G( z) =
Aunque los polos en z = –1 y z = –2 y un cero en z = –0.5 se ven claramente a
partir de la expresión, el cero en z = 0 no se muestra de manera explicita, y de esta
forma el principiante puede fallar al ver la existencia del cero en z = 0. Por lo tanto, al
tratar con los polos y ceros de G(z), es preferible expresar G(z) como un cociente de
polinomios z, en lugar de polinomios en z –z.
15.6 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO EN
EL PLANO z
Considere el siguiente sistema con función de transferencia de pulso en lazo
cerrado:
C ( z)
G( z)
=
R( z ) 1 + GH ( z )
(15.28)
La estabilidad del sistema que define la Ec. (15.28), así como la de otros tipos de
sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de
polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica
P(z) = 1 + GH(z) = 0
(15.29)
como sigue:
1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación
característica deben presentarse en el plano z dentro del circulo unitario. Cualquier
polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema.
2. Si un polo simple se presenta en z 0 1, entonces el sistema se convierte en
críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente estable si un
solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el círculo unitario en el
326
plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al
sistema inestable.
3. Los ceros en lazo cerrado noafectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden
quedar localizados en cualquier parte del plano z.
Entonces, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e
invariante con el tiempo de una entrada/una salida se vuelve inestable si cualquiera de
los polos en lazo cerrado se presenta por fuera del círculo unitario y/o cualquier polo
múltiple en lazo cerrado se presenta sobre el círculo unitario del plano z.
Ejemplo 15.3
Para el sistema mostrado en la Fig. 15.9, analizar su estabilidad en el plano z
Los polos de lazo cerrado para el sistema se pueden obtener del polinomio
característico, que es el denominador de la función de transferencia discreta en lazo
cerrado.
den = z 4 – 1.8528 z 3 + 1.5906 z 2 – 0.6642 z + 0.0528
Introduciendo la sentencia
>> r = rotos(den)
obtenemos los polos en lazo cerrado para el sistema tal como sigue:
>> den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];
>> r=roots(den)
r =
0.4763 + 0.6521i
0.4763 - 0.6521i
0.7989
0.1013
>>
Como todos los polos están dentro del circulo unitario: El sistema es estable
15.7 ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la
ecuación de estado se puede escribir como:
x(k + 1) = f [x(k), u(k), k]
(15.30)
y la ecuación de la salida como
y(k) = g [x(k), u(k)]
(15.31)
327
Para sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de
estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a
x(k+1) = G(k)x(k) + H(k)u(k)
(15.32)
y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k)
(15.33)
donde
x(k) = vector n
(vector de estado)
y(k) = vector m
(vector de salida)
u(k) = vector r
(vector de entrada)
G(k) = matriz n x n
(matriz de estado)
H(k) = matriz n x r
(matriz de entrada)
C(k) = matriz m x n
(matriz de salida)
D(k) = matriz m x r
(matriz de transmisión directa)
La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k),
y D(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece en
forma explicita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo, es decir,
constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las Ecs. (15.32) y
(15.33) se pueden simplificar a
x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)
(15.34)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
(15.35)
En la Fig. 15.11 se muestra la representación en diagrama de bloques del sistema
de control en tiempo discreto definido por las Ecs. (15.34) y (15.35)
D
x(k+1)
u(k)
B
+
z-1 I
+
x(k)
C
+
+
y(k)
G
Fig. 15.11 Diagrama de bloques del sistema de control en tiempo discreto definido por
las Ecs. (15.34) y (15.35)
328
15.8 REPRESENTACIONES EN ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS EN
TIEMPO DISCRETO
15.8.1 Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo
discreto
Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado
correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo discreto
definido por
y(k) + a1y(k – 1) + a2y(k – 2) + . . . + any(k – n)
= b0u(k) + b1u(k – 1) + . . . + bbu(k – n)
(15.36)
donde u(k), es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo k.
Observe que algunos de los coeficientes ai (i = 1, 2, . . ., n) y bj (j = 1, 2, . . ., n) pueden
ser cero. La Ec. (15.36) se puede escribir en la forma de la función de transferencia
pulso como
Y ( z ) b0 + b1 z −1 + L + bn z − n
=
U ( z ) 1 + a1 z −1 + L + a n z − n
(15.37)
Y ( z ) b0 z n + b1 z n −1 + L + bn
= n
U ( z)
z + a1 z n −1 + L + a n
(15.38)
o bien
existen muchas formas de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado
para el sistema en tiempo discreto descrito por las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38). Por
razones de espcio e importancia sólo presentaremos las formas controlable y observable.
15.8.2 Forma canónica controlable
La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto obtenida
de las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38) se puede expresar en la forma dada por las
ecuaciones siguientes:
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡ 0
⎢ x (k + 1) ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
⎢ 2
⎥=⎢ M
⎢
M
⎥ ⎢
⎢
⎢ x n −1 (k + 1)⎥ ⎢ 0
⎢⎣ x n (k + 1) ⎥⎦ ⎢⎣− a n
1
0
0
1
M
0
− a n −1
M
0
− a n−2
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 (k ) ⎥⎥ ⎢0⎥
⎢ ⎥
M ⎥ ⎢ M ⎥ + ⎢ M ⎥u (k )
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
L 1 ⎥ ⎢ x n −1 (k )⎥ ⎢0⎥
L − a1 ⎥⎦ ⎢⎣ k n (k ) ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
L
L
(15.39)
329
y (k ) = [bn − a n b0 M bn −1 − a n −1b0 MLM b1 − a1b0 ]
⎡ x1 (k ) ⎤
⎢ x (k ) ⎥
⎢ 2
⎥
⎢ M ⎥ + b0 u ( k )
⎢
⎥
⎢ x n −1 (k )⎥
⎢⎣ x n (k ) ⎥⎦
(15.40)
Las Ecs. (15.39) y (15.40) son las ecuaciones de estado y salida , respectivamente.
La representación en el espacio de estado dada por las Ecs. (15.39) y (15.40) se conoce
como la forma controlable.
15.8.3 Forma canónica observable
La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto obtenida
de las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38) se puede expresar en la forma siguiente:
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡0
⎢ x (k + 1) ⎥ ⎢1
⎢ 2
⎥ ⎢
⎢
⎥ = ⎢M
M
⎢
⎥ ⎢
⎢ x n −1 (k + 1)⎥ ⎢0
⎢⎣ x n (k + 1) ⎥⎦ ⎢⎣0
0 L 0 0 − an ⎤
0 L 0 0 − a n −1 ⎥⎥
M
M M
M ⎥
⎥
0 L 1 0 − a2 ⎥
0 L 0 1 − a1 ⎥⎦
⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ bn − a n b0 ⎤
⎢ x (k ) ⎥ ⎢a − a b ⎥
n −1 0 ⎥
⎢ 2
⎥ ⎢ n −1
⎥u (k )
⎢ M ⎥+⎢
M
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎢ x n −1 (k )⎥ ⎢ b2 − a 2 b0 ⎥
⎢⎣ k n (k ) ⎥⎦ ⎢⎣ b1 − a1b0 ⎥⎦
⎡ x1 (k ) ⎤
⎢ x (k ) ⎥
⎢ 2
⎥
y (k ) = [0 0 L 0 1] ⎢ M ⎥ + b0 u (k )
⎢
⎥
⎢ x n −1 (k )⎥
⎢⎣ x n (k ) ⎥⎦
(15.41)
(15.42)
La representación en el espacio de estado dada por las Ecs. (15.41) y (15.42) se
conoce como la forma observable.
Ejemplo 15.4
Considere el sistema siguiente
y( z)
z −1
= 2
U ( z ) z + 1.3 + 0.4
(15.43)
Las representaciones en el espacio de estado en las formas canónica controlable y
canónica observable, se convierten en:
Forma canónica controlable
330
0
x1(k + 1)
1
0
x1(k)
=
+
– 0.4 – 1.3
x2(k + 1)
u(k)
(15.44)
1
x2(k)
x1 (k)
=
y(k)
[1
(15.45)
1]
x2 (k)
Forma canónica observable
0
x1(k + 1)
0.4
1
x1(k)
=
+
1
x2(k + 1)
– 1.3
x2(k)
u(k)
(15.46)
1
x1 (k)
y(k)
=
[0
(15.47)
1]
x2 (k)
Usando MATLAB. Obtenemos la forma canónica controlable (Hay varias formas de
representaciones equivalentes)
>> num =[1 1];
>> den =[1 1.3 0.4];
A =
-1.3000
1.0000
-0.4000
0
B =
1
0
C =
1
1
D =
0
>>
331
15.9 RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
DEFINIDOS EN EL ESPACIO DE ESTADO
En esta sección, presentaremos la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
discreto definidos en el espacio de estados. Específicamente, determinaremos la
respuesta en escalón del sistema.
0
x1(k + 1)
1
0
x1(k)
=
+
– 0,16 – 1
x1(k + 1)
u(k)
(15.48)
1
x2(k)
x1 (k)
Y(k)
=
(15.49)
[1,16 1]
x2 (k)
[La entrada u(k) puede ser una entrara en escalón, en rampa, una delta de
Kronecker, etc.]
Para este sistema
0
1
G=
0
,
H=
– 0,16 –1
,
C = [1,16 1], D = 0
1
Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y que u(k) es una
secuencia de escalón unitario
En primer lugar daremos una solución analítica a este problema. La función de
transferencia discreta Y(z)/U(z) de este sistema se obtiene mediante el uso de la
siguiente ecuación
Y ( z)
= C(zI – G)– 1 H + D
U ( z)
z
–1
= [1,16 1]
0.16 z + 1
=
(15.50)
–1
0
+ 0
1
z + 1,16
z + z + 0,16
2
Para una secuencia de entrada que sea un escalón unitario, tenemos
U(z) =
z
z −1
Por tanto
332
Y(z) =
z + 1,16
z
z + z + 0,16 z − 1
2
z −1 + 1,16 z −2
1
=
−1
−2
1 + z + 0,16 z 1 − z −1
=
z −1 + 1,16 z −2
1 − 0,84 z − 2 − 0,16 z −3
= z –1 + 1,16z –2 + 0,84z –3 + 1,1344z –4 + ...
Obsérvese que el valor final y(∞) se puede obtener mediante el teorema del
valor final como sigue
1
z −1 + 1,16 z −2
y(∞) = lim(1 − z )
−1
−2
z →1
1 + z + 0,16 z 1 − z −1
2,16
=
= 1,0000
2,16
−1
Por tanto y(k) se puede expresar como
y(0) = 0
y(1) = 1
y(2) = 1,16
y(3) = 0,84
y(4) = 1,1344
.
.
y(∞) = 1,0000
A continuación, determinaremos x2(k), teniendo en cuenta la Ec. (15.48), tenemos
x1(k + 1) = x2 (k)
x2(k + 1) = – 0,16x1 (k) – x2(k) + u(k)
Por tanto obtenemos
x2(k + 2) + x2(k + 1) + 0,16x2 (k) = u(k + 1)
Tomando la transformada z de esta ecuación, teniendo en cuenta que x2(0) =0, x2(1) = 1
y u(0) = 1, encontramos:
z2X2(z) – z + zX2(z) + 0,16X2(z) = zU(z) – z
o
333
z
U(z)
z + z + 0,16
z −1
1
=
−1
−2
1 + z + 0,16 z 1 − z −1
X2(z) =
=
2
z −1
1 − 0,84 z − 2 − 0,16 z −3
= z –1 + 0,84z –3 + 0,16z –4 + 0,7056z –5 + ...
El valor final de x2(k) es
x2(∞) = lim(1 − z −1 )
z →1
=
z −1
1
−1
−2
1 + z + 0,16 z 1 − z −1
1
= 0,4630
2,16
Por tanto
x2(0) = 0
x2(1) = 1
x2(1) = 0
x2(3) = 0,84
x2(4) = 0,16
x2(5) = 0,7056
.
.
x2(∞) = 0,4630
Para determinar x1(k) conviene observar que x1(0) = 0 y x1(k + 1) = x2(k). Por tanto
x2(0) = 0
x2(1) = x2(0) = 1
x2(1) = x2(1) = 0
x2(3) = x2(2) = 0,84
x2(4) = x2(3) = 0,16
x2(5) = x2(4) = 0,7056
.
.
x2(∞) = x2(∞) = 0,4630
Solución con MATLAB
Para calcular la salida y(k) con MATLAB, en primer lugar convertimos las ecuaciones
expresadas en el espacio de estados (15.48) y (15.49) en la función de transferencia
discreta Y(z)/U(z) mediante el uso de la siguiente orden
334
>> [num,den] = ss2tf(G,H,C,D)
a continuación utilizamos la orden filter
>> y = filter(num,den,u)
donde u es la secuencia de salto unitario.
Para obtener la respuesta x1(k), utilice la siguiente ecuación de salida ficticia:
x1(k) = [1 0]
x1(k)
= Fx(k)
x1(k)
donde
F = [1 0]
Después convierta las ecuaciones en el espacio de estados y en la función de
transferencia discreta X1(z)/U(z) con la orden
>> [num,den] = ss2tf(G,H,F,D)
y finalmente utilice otra vez la orden filter.
>> x1 = filter(num1,den1,u)
Análogamente, para obtener la respuesta x2(k), considere otra ecuación de salida
ficticia:
x2(k) = [1 0]
x1(k)
= Jx(k)
x1(k)
donde
J = [0 1]
Convierta las ecuaciones en el espacio de estado en la función de transferencia
discreta X2(z)/U(z) con la orden
>> [num2,den2] = ss2tf(G,H,J,D)
y utilice la orden filter
>> x2 = filter(num2,den2,u)
Con el programa 15.1 en MATLAB se obtienen las respuestas de y(k), x1(k) y
x2(k) respecto de k. Las Figuras 15.12, 15.13 y 15.114 muestran respectivamente estas
funciones.
335
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
%-----Respuesta a un escalón de sistemas en tiempo discreto
%definidos en el espacio de estados----%*****Introduzca las matrices G, H, C, F, J, D*****
G=[0 1;-0.16 -1]; H=[0;1];
C=[1.16 1]; F=[1 0];
J=[0 1]; D=[0];
%****Para obtener y(k) convertir las ecuaciones del espacio
%de estados en función de transferencia discreta Y(z)/U(z)***
[num,den]=ss2tf(G,H,C,D);
%****Introduzca la orden para obtener la respuesta a
%un escalón unitario***
u=ones(1,51); axis([0 50 -0.5 2]);
k=0:50;
y=filter(num,den,u);
plot(k,y,'o',k,y,'-'), grid,
title('Respuesta a un escalón unitario de y(k)')
xlabel('k'), ylabel('y(k)')
%****Para obtener x1(k) convertir las ecuaciones del espacio de
%estados en función de transferencia discreta x1(z)/U(z)*****
[num1,den1]=ss2tf(G,H,F,D);
%un escalón unitario*****
axis([0 50 -0.5 1.5]);
x1=filter(num1,den1,u);
plot(k,x1,'o',k,x1,'-'), grid,
title('Respuesta a un escalón unitario de x1(k)')
xlabel('k'), ylabel('x1(k)')
%****Para obtener x2(k) convertir las ecuaciones del espacio de
%estados en función de transferencia discreta x2(z)/U(z)*****
[num2,den2]=ss2tf(G,H,J,D);
%un escalón unitario*****
axis([0 50 -0.5 1.5]);
x2=filter(num2,den2,u);
plot(k,x2,'o',k,x2,'-'), grid,
title('Respuesta a un escalón unitario de x2(k)')
xlabel('k'), ylabel('x2(k)')
336
Respuesta a un escalón unitario de y(k)
1.4
1.2
1
y(k)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
k
Fig. 15.12
Respuesta a un escalón unitario de x1(k)
1.4
1.2
1
x1(k)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
k
Fig. 15.13
337
Respuesta a un escalón unitario de x2(k)
1
0.9
0.8
0.7
x2(k)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
k
Fig. 15.14
338
APENDICE
Manual de Fundamentos de Matlab
Vectores
Funciones
Gráficos
Polinomios
Matrices
Impresión
Usando archivos de instrucciones en Matlab
La ayuda de Matlab
Las funciones de Matlab usadas en este manual son: plot polyval roots
conv deconv polyadd inv eig poly
Nota: Las funciones no estándar de Matlab usadas en este manual se muestran
resaltadas en verde.
Matlab es un programa interactivo para el cálculo numérico y la representación
gráfica de datos. Su uso está muy extendido entre los ingenieros en el ámbito del
análisis y diseño de sistemas de control. Hay muchas colecciones de funciones
diferentes disponibles que aumentan la capacidad de Matlab para diferentes áreas de
aplicación. En este manual se usa frecuentemente la colección denominada "Control
System Toolbox". Matlab funciona en los entornos Unix, Macintosh y Windows; existe
una versión para estudiantes disponible para ordenadores personales. Para obtener más
información acerca de Matlab contactar con Mathworks.
La idea que subyace en estos manuales es que pueda verlos en una ventana
mientras ejecuta Matlab en otra. Usted debería ser capaz de reproducir todas las gráficas
y todos los cálculos realizados en estos manuales con sólo copiar el texto desde el
manual a Matlab o a un archivo de instrucciones.
Vectores
Empecemos creando algo tan simple como un vector. Introduzca cada elemento
del vector (separado por un espacio) entre corchetes y asígnelo a una variable. Por
ejemplo, para crear el vector a, introduzca en la ventana de instrucciones de Matlab
(para hacerlo más fácil puede "copiar" y "pegar" desde el navegador a Matlab):
a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7]
Matlab debería devolver:
a = 1 2 3 4 5 6 9 8 7
339
Digamos que desea crear un vector con elementos entre 0 y 20 separados a
incrementos de 2 (este método se usa frecuentemente para crear un vector de tiempo):
t = 0:2:20
t =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Manipular vectores es casi tan fácil como crearlos. Primero, supongamos que
desea añadir 2 a cada elemento del vector 'a'. La instrucción que realiza este cálculo es:
b = a + 2
b =
3 4 5 6 7 8 11 10 9
Supongamos ahora que desea sumar dos vectores. Si los dos vectores tienen la
misma dimensión es fácil. Sencillamente sume los dos vectores como se indica a
continuación:
c = a + b
c =
4 6 8 10 12 14 20 18 16
Restar vectores de la misma longitud funciona exactamente igual.
Funciones
Para facilitar las cosas Matlab incluye muchas funciones estándar. Cada función
es un bloque de código que desempeña una tarea específica. Matlab incorpora todas las
funciones estándar tales como seno (sin), coseno (cos), logaritmo (log), exponencial
(exp), raíz cuadrada (sqrt), así como muchas otras. También incorpora constantes tales
como pi e i o j para la raíz cuadrada de -1.
sin(pi/4)
ans =
0.7071
Para averiguar como se usa una función escriba help [nombre de función] en
la ventana de instrucciones de Matlab.
Matlab incluso le permite escribir sus propias funciones con la instrucción
function; siga el enlace para aprender a escribir sus propias funciones y para ver la
lista de las funciones creadas para este manual.
Gráficos
También es muy sencillo crear gráficos en Matlab. Suponga que desea crear la
gráfica de un seno en función del tiempo. Primero cree un vector de tiempo (el punto y
coma al final de una instrucción le indica a Matlab que no muestre la respuesta) y
evalúe el seno para cada uno de esos valores de tiempo.
340
t=0:0.25:7;
y = sin(t);
plot(t,y)
grid
xlabel(‘Tiempo: t’)
ylabel(‘Sen t’)
1
0.8
0.6
0.4
Sen t
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo: t
El gráfico contiene aproximadamente un periodo de una onda seno. Los
fundamentos de las representaciones gráficas en Matlab son muy sencillos y la función
plot proporciona ciertas características adicionales.
Polinomios
En Matlab un polinomio se representa como un vector. Para crear un polinomio en
Matlab simplemente introduzca cada coeficiente del polinomio en un vector en orden
descendente. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente polinomio:
s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9
Para introducirlo en Matlab basta con crear un vector de la siguiente manera
x = [1 3 -15 -2 9]
x =
1 3 -15 -2 9
Matlab interpreta un vector de longitud n+1 como un polinomio de orden n. Así,
si un polinomio no posee algún coeficiente es preciso introducir un cero en el lugar
apropiado del vector que lo representa. Por ejemplo,
s4 + 1
341
se representa en Matlab como:
y = [1 0 0 0 1]
Se puede evaluar el polinomio usando la función polyval. Por ejemplo para
hallar el valor del polinomio anterior en s=2,
z = polyval([1 0 0 0 1],2)
z =
17
También se pueden hallar las raíces de un polinomio. Esto es muy útil cuando se
tiene un polonimio de orden superior como
s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9
Hallar las raíces es tan sencillo como introducir la siguiente instrucción:
roots([1 3 -15 -2 9])
ans =
-5.5745
2.5836
-0.7951
0.7860
Digamos que desea multiplicar dos polinomios. El producto de dos polinomios se
calcula realizando la convolución de sus coeficientes. Matlab dispone de a función conv
para realizar esta tarea.
x = [1 2];
y = [1 4 8];
z = conv(x,y)
z =
1 6 16 16
Dividir dos polinomios es igual de sencillo. La función deconv devuelve el
cociente y el resto. Así, al dividir z entre y obtendremos de nuevo x.
[xx, R] = deconv(z,y)
xx =
1 2
R =
0 0 0 0
Como puede ver se obtiene el mismo polinomio/vector x anterior. Si el polinomio
y no fuese un múltiplo de x, el vector correspondiente al polinomio resto contendría
algo diferente a cero.
Si desea sumar dos polinomios del mismo orden basta con z=x+y (los vectores x
e y deben tener la misma longitud). En el caso más general puede usarse la función
definida por el usuario polyadd. Para usar polyadd copie la función en un archivo de
instrucciones y úsela como si fuese cualquier otra función Matlab. Si dispone de la
342
función polyadd almacenada en un archivo de instrucciones y desea sumar dos
polinomios cualesquiera x e y puede realizar esta operación escribiendo la siguiente
instrucción:
z =
x =
1
y =
1
z =
1
polyadd(x,y)
2
4 8
5 10
Matrices
Introducir matrices en Matlab es igual que introducir vectores excepto en que cada
fila de elementos se separa de otra con un punto y coma o con un salto de línea:
B = [1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
B = [ 1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12]
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Las matrices en Matlab se pueden manipular de muchas maneras. Por ejemplo, se
puede obtener la traspuesta de una matriz utilizando la tecla de apóstrofo.
C = B'
C =
1
2
3
4
5 9
6 10
7 11
8 12
Se debe hacer notar que si C hubiese sido compleja, el apóstrofo realmente
hubiese dado la matriz compleja conjugada traspuesta. Para obtener la traspuesta, utilice
(los dos operadores realizan la misma operación si la matriz no es compleja).
Se pueden multiplicar las dos matrices B y C. Recuerde que el orden de las
matrices afecta al resultado del producto.
D = B * C
D =
30 70 110
70 174 278
110 278 446
343
D = C * B
D =
107
122
137
152
122
140
158
176
137
158
179
200
152
176
200
224
También es posible multiplicar dos matrices elemento a elemento utilizando el
operador .* (las dos matrices deben tener el mismo tamaño).
E = [1 2;3 4]
E =
1 2
3 4
F = [2 3;4 5]
F =
2 3
4 5
G = E .* F
G =
2 6
12 20
Una matriz cuadrada, como la matriz E, puede multiplicarse por ella misma tantas
veces como se quiera elevando la matriz a una potencia dada.
E^3
ans =
37 54
81 118
Si se desea elevar al cubo cada elemento de la matriz basta con usar el operador
potencia elemento a elemento.
E.^3
ans =
1 8
27 64
También puede hallarse el inverso de una matriz:
X = inv(E)
344
X =
-2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
o sus autovalores:
eig(E)
ans =
-0.3723
5.3723
Incluso existe una función que calcula los coeficientes del polinomio
característico de una matriz. La función "poly" crea un vector que contiene los
coeficientes del polinomio característico.
p = poly(E)
p =
1.0000 -5.0000 -2.0000
Recuerde que los autovalores de una matriz son las raíces de su polinomio
característico:
roots(p)
ans =
5.3723
-0.3723
Lista de Funciones de Matlab
La siguiente lista de funciones puede serle muy útil como referencia. Para obtener
más información acerca de como se utilizan estas funciones utilice la ayuda "help" de
Matlab.
En estos manuales se utilizan tanto las funciones de Matlab como las funciones de
colección de funciones "Control Systems Toolbox", así como algunas funciones que
nosotros mismos hemos escrito. Se ofrecen enlaces a páginas con la descripción de
aquellas funciones no estándar.
Nota: Las funciones Matlab de la colección de funciones "Control System Toolbox" se
muestran resaltadas en color rojo. Las funciones Matlab no estándar se muestran
resaltadas en color verde.
345
Función
Descripción
abs
Valor absoluto
acker
Calcula la matriz K con los polos de A-BK, ver place
axis
Establece la escala del gráfico actual, ver plot, figure
bode
Traza un diagrama de Bode, ver logspace, margin, nyquist1
c2dm
De sistema continuo a discreto
clf
Borrar figura (use clg para Matlab 3.5)
cloop
Función de transferencia de bucle cerrado
conv
Convolución (útil para multiplicar polinomios), ver deconv
ctrb
Matriz de controlabilidad, ver obsv
deconv
Deconvolución y división de polinomios, ver conv
det
Halla el determinante de una matriz
dimpulse
Respuesta impulsiva de un sistema lineal de tiempo discreto, ver dstep
dlqr
Diseña un controlador lineal-cuadrático para un sistema de tiempo
discreto, ver lqr
dlsim
Simulación de sistemas lineales de tiempo discreto, ver lsim
dstep
Respuesta escalón de sistemas lineales de tiempo discreto, ver stairs
eig
Calcula los autovalores de una matriz
eps
Tolerancia numérica de Matlab
figure
Crea una nueva figura o redefine la figura actual, ver subplot, axis
for
For, ver loop
format
Formato numérico (dígitos significativos, exponente)
function
Crea una función en un archivo de instrucciones
grid
Dibuja una cuadrícula en la gráfica actual
gtext
Añade un texto al gráfico actual, ver text
help
¡AYUDA!
hold
Mantiene el gráfico actual, ver figure
if
Sentencia de ejecución condicional
imag
Devuelve la parte imaginaria de un número complejo, ver real
impulse
Respuesta impulsiva de un sistema lineal en tiempo continuo, ver step,
lsim, dlsim
input
Solicita una entrada de usuario
inv
Halla el inverso de una matriz
jgrid
Traza una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y
tiempo de establecimiento (sigma) constantes, ver sgrid, sigrid, zgrid
legend
Leyenda de un gráfico
length
Longitud de un vector, ver size
346
linspace
Devuelve un vector espaciado linealmente
nyquist
Genera un diagrama de Nyquist en escala logarítmica.
log
logaritmo natural, también log10: logaritmo común
loglog
Representación gráfica usando escala logarítmica para ambos ejes, ver
semilogx/semilogy
logspace
Devuelve un vector espaciado logarítmicamente
lqr
Diseña un regulador lineal cuadrático para un sistema continuo, ver dlqr
lsim
Simula un sistema lineal, ver step, impulse, dlsim.
margin
Devuelve el margen de ganancia, el margen de fase y las frecuencias de
corte, ver bode
norm
Normaliza un vector
nyquist1
Traza un diagrama de Nyquist, ver lnyquist. Tenga en cuenta que este
comando se ha escrito para reemplazar el comando estándar de Matlab
nyquist para obtener diagramas de Nyquist más precisos.
obsv
Matriz de observabilidad, ver ctrb
ones
Devuelve una matriz de unos, ver zeros
place
Calcula la matriz K con los polos de A-BK, ver acker
plot
Traza un gráfico, ver figure, axis, subplot.
poly
Devuelve el polinomio característico
polyadd
Suma dos polinomios
polyval
Evalúa un polinomio
print
Imprime el gráfico actual (en la impresora o en un archivo postscript)
pzmap
Mapa de polos y ceros de un sistema lineal
rank
Halla el número de filas o columnas independientes de una matriz
real
Devuelve la parte real de un número complejo
rlocfind
Halla el valor de k y los polos de un punto seleccionado
rlocus
Traza un lugar de las raíces
roots
Halla las raíces de un polinomio
rscale
Halla el factor de escala para un sistema con realimentación del vector de
estado
set
Establece (gca, 'Xtick', xticks, 'Ytick', yticks) para controlar el número y
el espaciado de las marcas en los ejes
series
Interconexión en serie de sistemas lineales temporalmente independientes
sgrid
Genera una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y
frecuencia natural (Wn) constantes, ver jgrid, sigrid, zgrid
sigrid
Genera una cuadrícula de líneas de tiempo de establecimiento (sigma)
constante, ver jgrid, sgrid, zgrid
size
Halla la dimensión de un vector o una matriz, ver length
347
sqrt
Raíz cuadrada
ss2tf
De la representación en espacio de estado a función de transferencia, ver
tf2ss
ss2zp
De la representación en espacio de estado a polo-cero, ver zp2ss
stairs
Representación gráfica de un sistema discreto, ver dstep
step
Traza la respuesta ante un escalón, ver impulse, lsim, dlsim.
subplot
Divide una ventana gráfica en partes, ver plot, figure
text
Añade un texto al gráfico actual, ver title, xlabel, ylabel, gtext
tf2ss
De la representación en función de transferencia a espacio de estado, ver
ss2tf
tf2zp
De la representación en función de transferencia a polo-cero, ver zp2tf
title
Añade un título al gráfico actual
wbw
Devuelve la frecuencia de ancho de banda partiendo de la razón de
amortiguamiento y el tiempo de subida o de establecimiento.
xlabel/ylabel
Añade una etiqueta a los ejes horizontal/vertical del gráfico actual, ver
title, text, gtext
zeros
Devuelve un vector o una matriz de ceros
zgrid
Traza una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y
frecuencia natural (Wn) constantes, ver sgrid, jgrid, sigrid
zp2ss
De la representación en polo-cero a espacio de estado, ver ss2zp
zp2tf
De la representación en polo-cero a función de transferencia, ver tf2zp
348
BIBLIOGRAFÍA
1. G. Stephanopoulos, "Chemical Process Control: An Introduction to Theory and
Practice," Prentice-Hall, 1984
2. W.L. Luyben, "Process Modeling, Simulation and Control for Chemical
Engineers," 2nd Edition, McGraw-Hill, 1990.
3. Richard C. Dorf and Robert M. Bishop, “Modern Control Systems,” Seventh
Edition, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1995.
4. Gene F. Franklin, J. David Powell, and Abbas Emani-Naeini, “Feedback
Control of Dynamic Systems,” Third Edition, Addison-Wesley, Reading,
Massachusetts, 1994.
5. Benjamin C. Kuo, “Automatic Control Systems,” Seventh Edition, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995.
6. Norman S. Nise, “Control Systems Engineering,” Second Edition, BenjaminCummings, Redwood City, California, 1995.
7. "Perry's Handbook," Section 22 : Process Control.

LUIS MONCADA ALBITRES MSc.

Transcripción

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