Clase 5 - Nociones para el análisis didáctico

Clase 5 - Nociones para el análisis didáctico

CLASE 5: LECTURA COMPLEMENTARIA
Nociones para el análisis didáctico1
1. CONTRATO DIDÁCTICO 2 3
La edad del capitán
Alrededor de los años ochenta, un grupo de investigadores franceses en
didáctica de las matemáticas planteó el siguiente problema a varias clases de
alumnos de 7 a 10 años: En un barco hay 7 cabras y 5 ovejas. ¿Qué edad tiene
el capitán? La mayoría de alumnos daban sin titubear una respuesta del tipo:
"7x5 = 35. El capitán tiene 35 años." (Prueba el experimento con algún niño
de esa edad, verás que no falla...) ¿Qué pasa? ¿Por qué la mayoría de
alumnos responden sin inmutarse a una pregunta absurda? ¿Será que la
escuela los atonta en lugar de espabilarlos? ¿Será que se convierten en puros
autómatas que sólo sirven para contestar al profesor? ¿Será que sus
profesores no les han ayudado a desarrollar el "sentido crítico"? ¿Se trata de
una muestra del fracaso de todo el sistema escolar de enseñanza de las
matemáticas?
1
Texto elaborado a partir de fragmentos de la bibliografía citada en la clase
2
En Chevallard, y. Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar Matemática. ICE-Horsori, Barcelona. (pp.6163, 77-81)
3
Brousseau, G. (1986). "Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques", en BRUN, J.
(1996). Didactique des mathématiques, Delachaux et Niestlé, Lausanne. (pp. 45-143).
1
Actualmente, la didáctica de las matemáticas, sin negar la importancia de los factores
psicológicos y motivacionales, ya no presupone que las explicaciones últimas de los fenómenos
didácticos deban buscarse en dichos factores, que pasan así a ser considerados como
consecuencias de determinados fenómenos, y no como sus causas. Si, por ejemplo, los
alumnos se comportan con cierta "irresponsabilidad matemática" de una manera
abrumadoramente mayoritaria, no parece razonable suponer que ninguno de ellos llegue
nunca a entender la actividad matemática que realiza o que todos tengan (y mantengan) una
mala actitud y un bajo nivel de motivación. La didáctica de las matemáticas postula que tanto
una mala actitud como una falta de motivación -y hasta lo que muchas veces se considera
como falta de “comprensión"- son hechos que se pueden explicar mediante las leyes que rigen
el proceso didáctico.
Así, en el ámbito escolar, son muy importantes las normas que tácitamente, sin un acuerdo
expreso, rigen en cada momento las obligaciones recíprocas de los alumnos y el profesor
respecto al proyecto de estudio que tienen en común. Se trata de un conjunto de cláusulas
que evolucionan a medida que el proceso didáctico avanza y que constituyen una especie de
"contrato" denominado el contrato didáctico. Como acabamos de decir, el contrato didáctico
no es estático: así, un profesor no puede exigir de sus alumnos que, al principio del proceso de
estudio, sean capaces de resolver los problemas que deben estudiar, cosa que sí les exigirá
cuando se dé por finalizado el estudio; del mismo modo, los estudiantes podrán pedir al
profesor que les ayude o dé indicaciones sobre temas o problemas nuevos, pero no sobre
aquello que se supone que deben conocer. El estudio de la génesis y evolución de las cláusulas
del contrato didáctico permite dar cuenta de muchos hechos didácticos, interpretándolos en
relación directa con el conocimiento matemático involucrado.
En el caso de lo que hemos llamado la "irresponsabilidad matemática" de los alumnos, la
didáctica de las matemáticas no se pregunta, en primer lugar, por la falta de motivación o por
las dificultades de los alumnos para "entender" o para "dar sentido" a la actividad matemática
que realizan. Empieza planteando cuestiones del tipo: ¿por qué el contrato didáctico asigna al
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Respuesta a "La edad del capitán" No seamos catastrofistas. Existe,
entre profesores y alumnos, una serie de acuerdos implícitos sobre la
tarea que les une -el estudio de las matemáticas- que conforman el
contrato didáctico. Tradicionalmente, el contrato didáctico escolar
contiene una cláusula que asegura que, cuando un profesor plantea un
problema a sus alumnos, el problema está bien planteado y, en principio,
el alumno dispone de los elementos necesarios para resolverlo. Por esta
razón el alumno no debe "opinar" ni "criticar" los enunciados del profesor
si no quiere romper su confianza en él como guía y director del proceso
de estudio. En el caso del problema de "la edad del capitán", los
alumnos, al asumir el contrato didáctico escolar, suponen que, como
siempre, la solución del problema resultará de algunas operaciones
aritméticas simples a partir de los datos del enunciado. Por, lo tanto,
intentarán sumarios o multiplicarlos hasta obtener una respuesta
verosímil, una edad "posible" para el capitán.
profesor, en exclusiva, la responsabilidad de la validez matemática de las respuestas que se
dan en clase? ¿Bajo qué condiciones puede evolucionar el contrato didáctico en el sentido de
traspasar una parte de esta responsabilidad a los propios alumnos? ¿Qué otros fenómenos
didácticos están relacionados con la rigidez de esa cláusula del contrato didáctico?
Uno de los principios de la didáctica de las matemáticas consiste en postular que la
explicación de un fenómeno didáctico -como, por ejemplo, la "irresponsabilidad matemática
de los alumnos"- no puede reducirse a factores psicológicos, actitudinales o motivacionales
de alumnos y profesores, ni a las peculiaridades específicas de los métodos pedagógicos
utilizados. Las explicaciones didácticas deben, por el contrario, partir de la descripción de la
actividad matemática que realizan conjuntamente profesor y alumnos en el aula y fuera de
ella, así como de las cláusulas del contrato didáctico que rigen esta actividad.
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2. LA NOCIÓN DE VARIABLE DIDÁCTICA4
La noción de variable didáctica, surge en el marco de la teoría de las situaciones didácticas,
desarrollada por Guy Brousseau (1986) y, por lo tanto, es necesario explicitar algunas ideas de
la teoría para su comprensión.
Sadovsky (2005) señala: “Brosseau toma las hipótesis centrales de la epistemología genética de
Jean Piaget como marco para modelizar la producción de conocimientos. Sostiene al mismo
tiempo que el conocimiento matemático se va constituyendo esencialmente a partir de
reconocer, abordar y resolver problemas que son generados a su vez por otros problemas.
Concibe además la matemática como un conjunto organizado de saberes producidos por la
cultura”.
La concepción constructivista lleva a Brousseau (1986) a postular que el sujeto produce
conocimiento como resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa:
“El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,
de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la
adaptación del alumno, se manifiesta a través de respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje”.
A la vez, Brousseau (1998: a) postula que para todo conocimiento (matemático) es posible
construir una situación fundamental, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento
y para la cual éste determina la estrategia óptima.
La concepción de la matemática como un producto de la cultura permite concebir la diferencia
entre el conocimiento que se produce en una situación particular y el saber estructurado y
organizado a partir de sucesivas interpelaciones, generalizaciones, puestas a punto,
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Bartolomé, O. y Fregona, D. (2003) “El conteo en un problema de distribución: una génesis posible en
la enseñanza de los números naturales”, en Panizza, M. (Comp.), Enseñar matemática en el Nivel Inicial y
el primer ciclo de la EGB: análisis y propuestas. Paidós, Bs. As. (pp. 131-162).
Panizza, M. (2003). “Conceptos básicos de la teoría de situaciones didácticas”, en Panizza, M. (Comp.),
Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB: análisis y propuestas. Paidós, Bs. As.
(pp. 59-71).
Sadovsky, P. (2005) “La Teoría de las situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza
de la matemática”, en Alagia, H., Bressan, A. y Sadovsky, P. Reflexiones teóricas para la Educación
Matemática. Libros del Zorzal, Bs. As. (pp. 13-68).
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interrelaciones y descontextualizaciones de las elaboraciones que son producto de situaciones
específicas. Resulta, entonces, que no se puede acceder al saber matemático si no se dispone
de los medios para insertar las relaciones producidas en la resolución de un problema
específico en una construcción teórica que abarque dichas relaciones. En términos de
Brosseau: “un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir en el
alumno todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera.” (1986)
Los elementos centrales de la teoría quedan esbozados a partir de estas tres hipótesis
generales.
El modelo de Guy Brousseau describe el proceso de producción de conocimientos
matemáticos en una clase partiendo de dos tipos de interacciones básicas: a) la interacción del
alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los
conocimientos matemáticos puestos en juego, y b) la interacción del docente con el alumno a
propósito de la interacción del alumno con la problemática matemática. A partir de ellos
postula la necesidad de un “medio” pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica.
Las interacciones entre el alumno y medio se describen a través del concepto teórico de
situación adidáctica, que modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del
alumno independientemente de la mediación docente. El sujeto entra en interacción con una
problemática, poniendo en juego sus propios procedimientos, pero también modificándolos,
rechazándolos o produciendo otros nuevos, a partir de las interpretaciones que hace sobre los
resultados de sus acciones (retroacciones del medio). El concepto de medio incluye entonces
tanto una problemática matemática inicial que el sujeto enfrenta, como un conjunto de
relaciones -esencialmente matemáticas también- que se van modificando a medida que el
sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando en consecuencia
la realidad con la que interactúa.
Las interacciones docente-alumno a propósito de aquella del alumno con el medio, se
describen y se explican a través de la noción de contrato didáctico. Esta herramienta teórica da
cuenta de las elaboraciones con respecto a un conocimiento matemático en particular, que se
producen cuando cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las
intenciones y las expectativas -explícitas e implícitas- del otro en el proceso de comunicación.
Cuando el docente dice, gesticula o sugiere a raíz de una intervención del alumno referida al
asunto matemático que se está trabajando, además de lo dicho explícitamente, juega una
interacción que muchas veces se expresa entre líneas. El alumno, -justamente porque es
alumno- trata de descifrar los implícitos: supone, infiere, se pregunta -y se responde- qué
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quiso decirle el docente con sus gestos. Todo eso interviene en la conceptualización que el
alumno logra alcanzar. De alguna manera, el concepto de contrato didáctico nos permite
tomar conciencia de que una parte de las ideas matemáticas de los alumnos son producto de
inferencias que, por provenir de lo que el docente expresa pero no necesariamente dice,
escapan generalmente a su control (pp. 18-20).
En particular sobre la noción de variable didáctica Bartolomé y Fregona (2003) afirman: “Como
ya dijimos al inicio de este capítulo, las situaciones didácticas son objetos teóricos cuya
finalidad es estudiar el conjunto de condiciones y relaciones propios de un conocimiento bien
determinado. Algunas de estas condiciones pueden variar a voluntad del docente y constituyen
una variable didáctica cuando, según los valores que toman, modifican las estrategias de
resolución y, en consecuencia, el conocimiento necesario para resolver la situación. Como
explica Brousseau (1995):
[El docente] puede utilizar valores que permiten al alumno comprender y resolver la
situación con sus conocimientos previos, y luego hacerle afrontar la construcción de un
conocimiento nuevo fijando un nuevo valor de una variable. La modificación de los valores
de esas variables permite entonces engendrar, a partir de una situación, ya sea un campo
de problemas correspondiente a un mismo conocimiento, ya sea un abanico de problemas
que corresponden a conocimientos diferentes.
Por ejemplo, en la actividad de los vasitos y pinceles5, la cantidad de vasitos es una variable
didáctica. Si el alumno puede determinar el número a simple vista, utiliza un conocimiento
diferente que si se presenta una cantidad bastante mayor aunque razonable para sus saberes
sobre los números.
Otra variable didáctica de esta actividad es la prohibición -implícita porque no se les brindan
los materiales adecuados- de escribir. La disponibilidad de lápiz y papel podría llevar a los
niños a representar de alguna manera los vasitos, por ejemplo dibujándolos, y buscar entonces
de una sola vez la cantidad de pinceles necesarios haciendo simplemente una enumeración (en
el sentido antes señalado de correspondencia uno a uno) sin utilizar los números.
Una tercera variable es la condición de traer todos los pinceles necesarios “de una sola vez”;
de este modo los niños deben considerar la colección completa y para cada electo trae un
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En un jardín de infantes, la docente coloca en una mesa vasos con pintura y en otra, bastante alejada
de ella, unos pinceles y dice: uno de ustedes tendrá que ir a buscar pinceles y colocar uno en cada vaso.
Pero debe traer todos los pinceles de una sola vez y hacer que no queden vasos sin pincel, ni pinceles sin
vaso. Si no lo consigue, recoge los pinceles, vuelve al lugar en que están los pinceles y trata de nuevo.
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único objeto. Se evita de este modo el ajuste: “¡Ah! Me sobran tres pinceles” o “Me faltan dos
pinceles”.
No siempre las variables didácticas se refieren a objetos físicos. Por ejemplo, el tiempo
asignado para hacer una tarea puede constituirse en una variable didáctica en la medida en
que exija una estrategia de resolución que implique conocimientos nuevos. (…) [por ejemplo]
se les pide a alumnos del segundo ciclo de la escuela primaria que, en treinta segundos digan
entre qué números naturales consecutivos se encuentra el resultado de la suma 3/2 + 2 +
17/3. En ese lapso de tiempo no alcanzan a resolver la cuenta con lápiz y papel: precisamente,
lo que se busca es que ante la imposibilidad de hacer la cuenta, elaboren estrategias de
aproximación y encuadramiento con números racionales.
Tal vez sea necesario advertir que no cualquier modificación en el conjunto de condiciones
creadas constituye una variable didáctica. Así, volviendo a la actividad de los vasitos y pinceles,
si se toma por una parte una colección de cucharas y otra de platos, y se conserva la
organización de la actividad, esa variación no constituye una variable didáctica. Seguramente
habrá comportamientos diferentes -relativos a la manipulación de platos y cucharas en lugar
de los pinceles-, pero eso no implica la necesidad de hacer intervenir conocimientos
matemáticos diferentes para resolver la tarea asignada (pp. 156-157)
Otro ejemplo que muestra cómo la variable didáctica es un recurso del docente, que le
permite adecuar una misma situación a diferentes conocimientos de partida de sus alumnos es
el juego siguiente, tomado de la secuencia para sexto grado del material “Notas para la
enseñanza”6 que permite una primera aproximación a este concepto.
El juego de los dados
Para jugar se necesitan dos jugadores, y algunos materiales: papel cuadriculado, 2 lápices de
distinto color, dos dados y una tira de papel como esta para cada jugador. En uno de los dados
hay que reemplazar el 5 por un 12.
Por turnos, cada jugador arroja ambos dados y, usando su color, escribe una fracción con los
números obtenidos y marca el punto correspondiente en la tira. El dado que tiene el 12 es el
que indica el denominador y, el otro, el numerador.
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Agrasar, M. Chemello, G. y Díaz, A. (2012). Este material forma parte de los recursos elaborados para el Plan
“Matemática para todos”, para el segundo ciclo de la escuela primaria en MEN:
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Gana el primero que logra señalar tres puntos en la recta sin que el contrincante haya marcado
otro entre los mismos. Si sale un punto que ya estaba marcado, se escribe la fracción pero se
pasa el turno al otro jugador.
Luego de jugar varias veces respondan:
a) ¿Se superpusieron algunos puntos? ¿Cuáles? ¿Por qué?
b) ¿Cuáles son todas las fracciones que pueden obtener con los dados, de modo que los
puntos queden entre 0 y 1?
c) Si extienden la recta hasta el 2, ¿qué otras fracciones podrían anotar usando los mismos
dados? ¿Y si la extienden hasta el 3?
En este juego se puede elegir qué valores darle a las siguientes variables didácticas:
Los números en los dados y las fracciones que se pueden formar.
La cantidad de partes en que se divide el intervalo entre 0 y 1.
Tal como se plantean las reglas en esta versión, las fracciones que los niños escriban tendrán
como numeradores los números del 1 al 6 y como denominadores 1, 2, 3, 4, 6, y 12. Como el
intervalo está dividido en 12 partes, en los puntos marcados se pueden señalar fracciones que
sean medios, tercios, cuartos, sextos y doceavos. Las preguntas planteadas apuntan a trabajar
la idea de fracciones equivalentes (a) cuando se ubican en el mismo punto, y la idea de todos
los divisores de 12 son denominadores posibles (b y c) limitando el repertorio a las
posibilidades del dado. También subyacen ideas como en la recta se pueden ubicar fracciones
con denominadores diferentes, considerando en el segmento unidad diferentes cantidades de
partes iguales.
Si se quisiera trabajar con un repertorio de fracciones más familiar para los alumnos, se
podrían incluir sólo medios, cuartos, y octavos, (versión B). Habría que elegir denominadores
2, 4, 8 y en un dado habría que reemplazar 3 por 8 y anular el 5 y el 6. O eventualmente incluir
también el 16, con lo que en un dado habría que reemplazar 3 por 8 y 5 por 16 y anular el 6.
Por otra parte el intervalo debería dividirse en 8 o en 16 partes. Esta versión B requiere
retomar una idea ya trabajada seguramente, la de comprender cada nueva fracción como
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mitad de otra, los cuartos son mitades de los medios y los octavos mitades de los cuartos, si no
se incluyen los dieciseisavos y, si se incluyen a éstos como mitades de los octavos.
Si se quiere incluir un repertorio de fracciones con el propósito de articular el trabajo con el de
fracciones decimales, se podrían tomar los medios, los quintos y los décimos (versión C),
habría que elegir denominadores 2, 5, 10, y eventualmente 20 y 4 (versión D), con lo que en un
dado habría que reemplazar 3 por 10 y 6 por 20. Por otra parte, el intervalo de la tira debería
dividirse en 20 partes.
En principio, cabe aclarar que, si bien en el juego planteado en la versión del material Notas
para la enseñanza no existen otras fracciones entre dos como 4/12 y 5/12, esta cuestión podrá
ser motivo de un nuevo problema, más adelante, al trabajar fuera del juego con actividades en
las que intervengan fracciones de todos los denominadores posibles.
En efecto, en la Actividad 7 parte II) de la secuencia de 6to grado, se propone en el punto e) el
problema: “Después de jugar varias veces Brenda le dijo a su maestra que, si no se jugara con
los dados y cada uno puede elegir una fracción, a este juego no se podría ganar nunca, ¿por
qué pensás que dijo eso? ¿Tiene razón?”, que permite una primara aproximación a la noción
de densidad.
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