Matemáticas Sin Fronteras

°
Competición entre clases de 3 y 4° de E.S.O.
M atemáticas S in F ronteras
Prueba del 4 de marzo
mar zo de 2010
Utilizar solo una hoja-respuesta por ejercicio.
Se piden explicaciones y justificaciones para los ejercicios 1,
7, 9, 10, 11, 12 y 13.
Se tendrá en cuenta toda solución incluso parcial.
Se tendrá en cuenta la presentación.
Ejercicio 1
7 puntos
Matemágico
Matemágico
Du bist Magier.
Du präsentierst einem Zuschauer 3 Spielsteine.
Diese drei Spielsteine haben jede eine schwarze Seite und
eine farbige Seite: einer eine rote, ein anderer eine grüne
und der letzte eine blaue.
Die 3 Spielsteine liegen in einer Reihe, ihre farbigen Seiten
sind sichtbar.
Du bittest den Zuschauer sich eine der drei Farben
auszusuchen, ohne sie zu verraten. Währenddessen merkst
du dir genau die Farbe des Spielsteins, der in der Mitte
liegt.
Man verbindet dir die Augen. Du bittest den Zuschauer, die
beiden Spielsteine mit den nicht gewählten Farben zu
vertauschen und anschließend alle drei Spielsteine
umzudrehen.
Die schwarzen Seiten der Spielsteine liegen nun oben.
Die Augenbinde wird entfernt. Du bittest den Zuschauer die
Spielsteine so umzulegen, wie er es
will. Dabei lässt du den Spielstein, der
sich in der Mitte befand, nicht aus den
Augen.
Nun drehst du einen Spielstein um und
nennst danach die vom Zuschauer
ausgewählte Farbe.
La solución debe redactarse en alemán, inglés,
francés o italiano con un mínimo de 30 palabras.
You are a magician.
You show a volunteer from the audience 3 tokens.
The three tokens each have a black side and a coloured
side: red for one, green for another and blue for the last
one.
The 3 tokens are laid in a line with their coloured sides
showing and the black side down.
You ask your volunteer to choose one of the three colours
and keep his choice secret. You make sure that you have
noticed the colour of the middle token.
You are now blindfolded. You ask your volunteer to change
round the positions of the colours he has not chosen. And
then to turn the 3 tokens over.
You now see the black sides.
The blindfold is removed. You ask your volunteer to move
the tokens around as he likes but you keep your eyes on
the one which was in the middle.
You turn one token over and then
you announce the colour of the
token chosen by your volunteer.
How do you do it?
Wie hast du das gemacht?
Tu es magicien.
Tu présentes 3 jetons à un spectateur.
Ces trois jetons ont chacun une face
noire et une face colorée : rouge pour
l’un, verte pour un autre et bleue pour
le dernier.
Les 3 jetons sont alignés, leurs faces colorées sont visibles.
Tu demandes au spectateur de choisir secrètement l’une
des 3 couleurs. Pendant ce temps, tu regardes bien la
couleur du jeton qui se trouve au milieu.
On te bande les yeux. Tu demandes au spectateur
d’échanger les jetons des couleurs qu’il n’a pas choisies,
puis de retourner les 3 jetons.
Ils présentent maintenant leurs faces noires.
On t’enlève le bandeau. Tu demandes au spectateur de
déplacer les jetons comme il le souhaite, mais tu ne quittes
pas des yeux celui qui se trouvait au milieu.
Tu retournes alors un jeton, puis tu annonces la couleur du
jeton choisi par le spectateur.
Comment fais-tu ?
Tu sei un mago.
Mostri 3 gettoni a uno spettatore.
Questi gettoni hanno tutti una
faccia nera e una colorata: rossa,
verde e blu.
I tre gettoni sono allineati in modo
che le facce colorate siano visibili.
Domandi
allo
spettatore
di
scegliere mentalmente uno dei 3 colori, mentre memorizzi il
colore del gettone centrale.
Subito dopo, ti bendano gli occhi e tu chiedi allo spettatore
di scambiare i gettoni dei colori non scelti, capovolgendoli,
poi, tutti e tre. Così i gettoni presentano tutti la faccia nera.
Tolta la benda, chiedi allo spettatore di spostare i gettoni
come preferisce e continui a tenere lo sguardo fisso sul
gettone che era centrale.
A questo punto giri un gettone e annunci il colore che aveva
scelto lo spettatore.
Come hai ragionato per scoprire il colore scelto dallo
spettatore ?
Ejercicio 2
5 puntos
Cada uno a su sitio
En sus nuevos locales, el señor
Juan tiene que repartir el espacio
de trabajo (ver el plano adjunto)
entre los cuatro jóvenes ejecutivos
dinámicos de su empresa. Por
equidad,
quiere
proponerles
oficinas
con
las
mismas
dimensiones y de la misma forma.
Plano del espacio
de trabajo
Ejercicio 3
7 puntos
¿Cómo hay que colocar los
tabiques para conseguir repartir
el espacio como quieren ?
Dibuja el plano y los tabiques
en la hoja-respuesta .
La piedra ángular
El arquitecto Moïtep
presenta a su faraón
los planos de la
pirámide regular que
éste le encargó.
Mide 140 metros de
altura. Su base es un
cuadrado de 220 m de
lado.
Las piedras que la
componen
tienen
todas 70 cm de altura
y se reparten en 200
capas horizontales.
La piedra que forma el
pico es una pirámide.
Las piedras angulares
que componen las
aristas de la pirámide
son todas idénticas:
las bases inferiores
son unos cuadrados
de lado 1,10 m ; las
bases superiores son
también cuadrados.
Las otras caras son unos trapecios rectángulos.
Dibuja en la hoja- respuesta el modelo de una piedra
ángular a escala 1/20.
Ejercicio 4
5 puntos
3D
Céline posee tres cubos de arista 2 cm y seis
ladrillos rectos de dimensiones 4 cm x 4 cm x2
cm. Cada uno de estas piezas es de un color
diferente.
Se puede construir con estas nueve piezas un
cubo de arista 6 cm.
Representa este gran cubo en perspectiva
caballera distinguiendo las piezas visibles con
diferentes colores. No hay que dibujar las
aristas ocultas.
Ejercicio 5
7 puntos
Mantener el
rumbo!
El capitán Leguevel está al timón de un petrolero que
surca las aguas tranquilas del Mar Rojo costeando.
Mantiene un rumbo constante y mantiene una
velocidad constante de 36 km/h. La visibilidad es
excelente. Observa varias alineaciones: a las 7, ve un
faro delante de una torre de perforación; a las 7h 05,
ve el mismo faro delante de un minarete; a las 7h 15,
ve la torre de perforación delante del minarete.
El capitán mide las distancias siguientes sobre mapa:
Faro-minarete 4,4 km; faro-torre de perforación 4 km;
minarete-torre de perforación 1,2 km.
Representa, a
escala 1/50000, el triángulo
formado por el faro, el minarete y la torre de
perforación.
Dibuja, lo mejor posible, la recta que representa el
camino seguido por el petrolero.
Ejercicio 6
5 puntos
El color de los números
Decidimos atribuir un color (rojo o azul) a los números enteros
naturales respetando las reglas siguientes:
• El número 0 es azul.
• Si un número entero puede escribirse como la suma por lo
menos de dos enteros rojos distintos, entonces es azul. En
caso contrario, es rojo.
Da la lista de los enteros rojos menores que 50.
Ejercicio 7
7 puntos
Más que imposible
Podemos comprobar que no podemos encontrar números enteros naturales que colocar en
los círculos para que los números de cada cuadrado sean la suma de los enteros colocados
en los discos contiguos.
¿ Qué número debemos colocar en lugar del 13 para que este problema tenga solución?
¿ Esta solución es única? Justifica tu respuesta.
Ejercicio 8
5 puntos
Cuadrados de cerillas
cerillas
Extendiendo 25 cerillas sobre una mesa, podemos construir 8 cuadrados
de lado uno si los colocamos como en la figura. :
Y 9 cuadrados de lado uno si se colocan como en la figura :
Construye el mayor número posible de cuadrados de lado uno con 100
cerillas. Dibuja la solución encontrada.
Ejercicio 9
7 puntos
Trabajo a ciegas
Geoffroy Audoy es muy desordenado: en el cajón de su cómoda,
encontramos entremezclados 5 pares de calcetines negros, 5 pares
de calcetines rojos, 3 pares de guantes azules y 3 pares de guantes
verdes.
Una mañana de invierno, siendo de noche todavía y en pleno
apagón, Geoffroy desea sacar de su cajón un par de calcetines
combinados y un par de guantes combinados.
Helado de frío, es incapaz de distinguir al tacto un calcetín de un
guante.
¿ Cuál es el número más pequeño de objetos que Geoffroy debe
sacar de su cajón para estar seguro de tener por lo menos un
par de calcetines combinados y un par de guantes
combinados? Justifica tu respuesta.
Os recordamos que contrariamente a los guantes, los calcetines
sirven lo mismo para el pie derecho que para el pie izquierdo.
Ejercicio 10
10 puntos
La vuelta de la mariquita
Una mariquita se pasea en un triángulo equilátero ABC de lado 12 cm.
Partiendo de un punto D del lado [BC], se dirige hacia el lado [AC] siguiendo
el camino más corto: lo alcanza en E.
De ahí parte de nuevo hacía el lado [AB] siguiendo el camino más corto: lo
alcanza en F.
De la misma manera, parte de nuevo en direción a [BC], que alcanza en G.
¿Dónde hay que colocar el punto de partida D sobre [BC] para que el
punto G se confunda con D? Justifica tu respuesta.
Ejercicio 11
5 puntos
Especial 4º ESO
Sala modulable
La ciudad de Fiestacity dispone de una bonita sala de
espectáculo modulable.
La sala se puede configurar de 3 maneras diferentes.
En cada una de estas configuraciones, los asientos
están dispuestas en rectángulo, con el mismo número
de plazas en cada fila.
Quitando a la configuración inicial todas los asientos de
la 1ª fila, podemos aumentar en 4 el número de asientos
de las filas restantes, manteniendo el mismo número
total de plazas disponibles en la sala.
Podemos también decidir añadir 4 filas de asientos a la
configuración inicial, siempre sin modificar el número
total de plazas de la sala, pero en este caso el número
de asientos por fila disminuye en 11 unidades.
¿Cuál es el número total de plazas de la sala ?
Justifica la respuesta.
Ejercicio 12
7 puntos
Desafío con dados
Una tarde lluviosa, Anatole et Barnabé se divierten
fabricando dados muy particulares: los números de las
caras opuestas son iguales.
Anatole ha fabricado un dado A con los números 2, 4,
10 y Barnabé un dado B con los números 3, 5, 8.
Lanzan sus dados simultáneamente. Cada cara tiene la
misma probabilidad de aparecer.
Un jugador gana cuando el número que aparece en la
cara superior de su dado es estrictamente mayor al
número obtenido por su adversario.
¿Cuál es la probabilidad de que gane Anatole ?
Justifica tu respuesta.
Llega su hermana Chloé que les lanza el desafío
siguiente:
" Construidme un dado del mismo tipo con otros tres
números de manera que si juego contra Anatole tenga
menos de un 50 % de posibilidad de ganar y si juego
contra Barnabé tenga más de un 50 % de posibilidad de
ganar. "
Da un ejemplo de dado que se adapte a este desafío.
Ejercicio 13
10 puntos
Gorro chino
Lauralie tiene una amiga en China que le envió una foto
suya con un traje típico con una bella cofia. Soñando
con su viaje próximo a China, Lauralie coge una banda
de papel rectangular, la dobla en dos y hace aparecer
un pentágono que tiene un eje de simetría.
Este pentágono se parece a la cofia de su amiga.
Haz este plegado con una banda de 12 cm de
anchura.
Determina haciendo cálculos la longitud de la banda
cuya altura h del pentágono es igual a su base d.
Pega el plegado sobre la hoja-respuesta.