Oportunidades entre la tecnología militar y la ingeniería

Transcripción

INVESTIGACIONES APLICADAS EN INGENIERÍA MILITAR - Artículo de investigación
Oportunidades entre la tecnología militar
y la ingeniería civil. Caso de estudio:
Aplicación del Sistema Estadístico de
Pearson en la modelación de los caudales
medios mensuales del río Fonce - Santander
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4
Jorge Brandon Fuentes Bacca, Diana Palacio Gómez, Laura Hoyos Ortiz, Hebert Gonzalo Rivera
1 Estudiante del Programa de Ingeniería Civil, Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá, Colombia. [email protected]
2 Especialista, Programa de Ingeniería Civil, Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá, Colombia. [email protected]
3 Especialista, Programa de Ingeniería Civil, Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá, Colombia. [email protected]
4 Ph.D., Programa de Ingeniería Civil, Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá,
Colombia. [email protected]
Fecha de recepción del artículo: 12/08/2015
Fecha de aceptación de artículo: 06/09/2015
Resumen
curvas del Sistema de Pearson.
El Sistema de Pearson es un conjunto de
modelos estadísticos que permite simular el
comportamiento de las trayectorias de los
misiles en el ámbito militar y además inducirle
a los misiles durante su movimiento cambios
drásticos en sus recorridos, evitando con ello
ser derribados. El problema de este trabajo se
planteó mediante el interrogante: ¿es posible
aplicar el Sistema de Pearson al modelado en
ingeniería civil, específicamente en los ámbitos
de la hidrología, caso de estudio en los caudales
mensuales medios del río Fonce - Santander?.
Los
resultados
obtenidos
demuestran
claramente que los comportamientos de los
caudales medios mensuales del río Fonce son
modelados adecuadamente según el criterio
k de Pearson, mediante los diferentes tipos de
Este trabajo es resultado del proyecto de
investigación de la Universidad Militar Nueva
Granada, UMNG ING 1770 de 2015, con apoyo
financiero de la Vicerrectoría de Investigaciones
y realizado en con conjunto con la Universidad
de Pamplona.
Palabras clave
Sistema de Pearson, Modelado en ingeniería
civil, Caudales medios.
Abstract
The Pearson system is a set of statistical
models that allows the simulation of the
trajectories’ behavior of missiles in the military
Para citar este artículo / To cite this article
J. Fuentes, D. Palacio, L. Hoyos, H. Rivera. Oportunidades entre la tecnología militar y la ingeniería civil: Aplicación del Sistema Estadístico de
Pearson en la modelación de los caudales medios mensuales del río Fonce (Santander). Revista Ingenieros Militares, No.73, pp. 2015.
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- REVISTA INGENIEROS MILITARES
Oportunidades entre la tecnología militar y la ingeniería civil. Caso de estudio: Aplicación del Sistema Estadístico de Pearson en la modelación de los caudales medios mensuales del río Fonce (Santander)
/ Opportunities military technology and
civil engineering: Application of Statistical
System of Pearson in modeling monthly
mean flows of Fonce river - Santander
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número 10, Año 2015, ISSN 2145-3144 / BOGOTÁ-COLOMBIA
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field and also it induces to the missiles drastic
changes during their movement in their
travels, thereby avoiding the missiles could
shot down. The purpose of this work was
proposed by the following query: it is possible
to apply the Pearson system to the modeling
in civil engineering, specifically in the fields of
hydrology, using the average monthly flows
of the Fonce´s river -Santander? The results
clearly evidence the behavior of the average
monthly flows of the Fonce´s river are properly
modeled by the criterion k Pearson, using the
different types of Pearson System´s Curves.
This work is the result of a research project
of the Universidad Militar Nueva Granada
University, UMNG ING 1770 of 2015, with
financial support from the Research´s office and
carried out in conjunction with the Pamplona
University.
Keywords
System Pearson, Civil engineering modeling,
Mean flows.
Introducción
Durante siglos en el ámbito militar se dio
prioridad a las fuerzas terrestres, ya sea para
atacar al enemigo o para defenderse de éste.
A partir del siglo XX se mezclan en los eventos
de guerra militar las fuerzas terrestres y las
aéreas, apreciándose durante la II Guerra
Mundial las ventajas ineludibles de los ataques
y de las defensas aéreas. Ya a finales del siglo
XX se prioriza en todo ataque o defensa el uso
de las fuerzas aéreas.
Uno de los proyectos más ambiciosos en el
ámbito de la aviación militar internacional trata
sobre los escudos antimisiles. Este supone que
debe existir la estrategia perfecta para evadir
los ataques aéreos que se realizan mediante el
uso de misiles: conociendo un estado inicial de
salida de un misil enemigo y su trayectoria en
un tiempo y espacio dado, se podrá predecir
con certeza su lugar de destino y así desviarlo
o esquivarlo. Las experiencias en tecnología
militar han demostrado que no es posible
conocer con certeza el destino de un misil, pero
en cambio sí es posible conocer la probabilidad
de que el misil llegue a su destino y cumpla con
su misión (destruir al enemigo o defenderse del
mismo). La Dirección Aero Balística, adscrita
a la Dirección de Investigación, Desarrollo e
Ingeniería del Comando de Misiles del Ejército
de los Estados Unidos, ubicada en Alabama,
cuenta con medio de siglo de experiencia en
el desarrollo de tecnologías que se soportan
en el modelo probabilístico del Sistema
de Pearson. A diferencia de los modelos
estadísticos tradicionales, éste permite no
solo hallar el comportamiento probabilístico
de un objeto o fenómeno en su dinámica a
partir de información histórica, sino además
inducir a cualquier misil cambios radicales
en su trayectoria (en pleno vuelo): para
pronosticar el lugar de destino de un misil, ya
no basta conocer su estado inicial de salida ni
su trayectoria en un tiempo y espacio dado.
La tecnología militar permite dotarle de cierta
personalidad a cada misil, en el sentido en que
en un momento y lugar determinado, puede
cambiar radicalmente su trayectoria.
Diversos autores [1], [2], [3], [4], referencian al
Sistema de Pearson como un nido de modelos
estadísticos, creados por Karl Pearson en
1893, considerado el padre de la estadística
aplicada. Junto al Sistema de Pearson nacen
las fórmulas de los momentos (iniciales y
centrales) en la estadística y en la práctica
es una ecuación diferencial ordinaria que
estudia el comportamiento de un histograma
de frecuencias (o una ley de distribución de
x
1 dy =
y dx
c1 + c2 + c3 x 2
en donde, x representa a la variable del proceso
u objeto en estudio (carga explosiva del misil,
trayectoria del misil, combustible, etc.). y
representa a la probabilidad de un evento que
exprese la variable del proceso u objeto en
estudio. dx es el diferencial de x, es decir, la
variación infinitamente continua de la variable
en estudio. dy representa al diferencial de y,
es decir, a la variación infinitamente continua
un modelo de manera adecuada, y con éste
se estiman los valores futuros del proceso en
estudio. Con esos valores futuros se diseña la
obra.
El Sistema de Pearson fue clasificado por su
autor en tres tipos principales, que a su vez
engendran en total 13 sub-tipos diferentes
de modelos probabilísticos: cuando los
parámetros C2=C3=0, se llega al tipo VII; b)
cuando C3=0 correspondiente al tipo III y c)
cuando C1 ≠ C2 ≠ C3≠ 0 se generan los tipos
I, II, IV, V, VI, cada uno con sus situaciones
específicas, (tabla 1). La formulación detallada
del Sistema de Pearson para el ámbito militar
se puede consultar en [5], e incluso se puede
conocer el código de programación en lenguaje
Fortran para los tipos I, IV y VI.
En la estadística tradicional aplicada a los
ámbitos hidrológicos, se conocen ampliamente
los modelos tradicionales Gumbel, Gamma,
Fisher, Student, Weibul, Gauss, los cuales han
ofrecido resultados satisfactorios a la fecha [1],
[6]. De otra parte, existe la familia de modelos
que ofrece el Sistema de Pearson para modelar
el comportamiento de los ríos, la cual permite
enlazar el comportamiento estadístico con
las condiciones físicas mediante su inclusión
en el modelo generalizado de Fokker-PlanckKolmogorov (FPK). Esta habilidad se convierte
en la mayor diferencia entre los modelos
tradicionales y el Sistema de Pearson. En este
trabajo se presenta la aplicación del Sistema de
Pearson para poder continuar a futuro con el
desarrollo de la modelación con soporte en la
FPK. Según [7] el modelo FPK permite simular
comportamientos tanto estacionarios como
no estacionarios de los procesos naturales
o sociales, en los cuales los valores de los
momentos estadísticos varían con el tiempo.
Un caso típico en Colombia corresponde
al comportamiento de los caudales en el
tiempo bajo impacto del fenómeno de cambio
climático, que en teoría se considera podrán
disminuir o aumentar según la región del país
[8], [9], [10]. El Sistema de Pearson ofrece en
total trece (13) modelos estadísticos diferentes
(tabla 1). En ingeniería civil e hidrología el
más conocido corresponde al tipo III, también
llamado Gamma de 3 Parámetros [1], [2], [6],
[11].
Este trabajo es resultado del proyecto de
investigación de la Universidad Militar Nueva
Granada, UMNG ING 1770 de 2015. Aborda el
problema planteado mediante el interrogante:
¿Es posible aplicar el modelo de Pearson
en la interpretación de los caudales medios
mensuales del río Fonce?
La modelación en ingeniería es una actividad
que requiere conocimientos matemáticos
y físicos; específicamente en el área de la
ingeniería civil requiere además de estos
conocimientos, también habilidades en la
interpretación de los datos según los procesos
que se desean estudiar para el diseño de
las obras a construir. Una de las áreas que
sirven de soporte al diseño de obras es la
hidrología, ciencia que se encarga del estudio
del comportamiento del agua en la hidrósfera
y litosfera, así como también sus propiedades,
físicas, químicas y bacteriológicas.
En hidrología, el estudio específico del
comportamiento de los ríos, se lleva a cabo
mediante el procesamiento de datos de
caudales, niveles del agua, velocidades del agua,
entre otras variables. Para el caso del diseño
de obras civiles, luego de procesar los datos
hidrológicos, se procede a interpretar mediante
modelos estadísticos el comportamiento
histórico de los caudales; una vez identificado
este comportamiento se procede a ajustar
Se encuentra que desde mediados del siglo
XX se vienen revisando en diversos países los
comportamientos de los procesos hidrológicos
mediante los valores de caudales mínimos,
medios y máximos, para establecer un patrón
de referencia común en términos estadísticos.
Los resultados de algunas de estas revisiones
se resumen a continuación.
El científico Matalas N. C. [12] en su investigación
sobre el modelado del comportamiento de la
escorrentía superficial mínima con leyes de
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de la probabilidad. C1,C2,C3 representan a
los parámetros estadísticos del histograma
de frecuencias o de la ley de distribución de
probabilidades.
distribución en 35 estaciones hidrológicas en
total, halló que el ajuste de curvas con el criterio
de máxima verosimilitud al comportamiento
diario y semanal de los caudales mínimos se
describe en mejor forma con la Ley Pearson
Tipo III y Gumbel. Las otras curvas estudiadas
fueron la Log Normal y Pearson Tipo V.
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De otra parte, Markovic R. D. [13] estudió
el comportamiento anual del proceso de
precipitación y escorrentía superficial en la
región sur de Canadá y oeste de los Estados
Unidos en 2506 estaciones en total, en este
trabajo encontró que según el ajuste de curvas
con el criterio Chi Square el comportamiento
anual de los caudales anuales en 446 estaciones
hidrológicas se describe en mejor forma con
la Ley Gamma (de 2 parámetros) o Pearson
Tipo III y que en términos prácticos la Ley Log
Normal ofrece también resultados favorables
para su aplicación. Las otras curvas estudiadas
fueron la Normal y Log Normal.
Buscando aplicar una generalización de
modelos estadístico para las Agencias
Federales, según M. Benson [14], se aplicaron
seis leyes de distribución de probabilidades, a
saber: Gamma (de dos parámetros), Gumbel,
Log Gumbel, Log Normal, Log Pearson Tipo III
y Hazen. Es importante recordar lo que advirtió
el científico Benson en este trabajo sobre las
diferencias entre las leyes de distribución de
probabilidades: “Estos modelos realmente no
se diferencian. Por ejemplo, la Ley Log Normal
es un caso especial de la Ley Log Pearson Tipo
III, presentándose cuando las condiciones del
coeficiente de asimetría de los logaritmos de
los valores de las crecidas son nulas. La Ley
Gamma de dos parámetros es un caso especial
de la Ley Pearson Tipo III (también conocida
como Ley Gamma de tres parámetros), en
la cual uno de los tres parámetros tiene un
valor nulo. El modelo de Hazen corresponde a
una versión temprana de la Ley Log Normal,
ajustándose en combinación con coeficientes
derivados empíricamente para distribuciones
asimétricas”.
Para el caso de Sur África, Adamson P. T. [15]
estudiando el ajuste de leyes de distribución
de probabilidades a la escorrentía superficial
mínima en 42 estaciones hidrológicas encontró
que la Ley Pearson Tipo III (expresada en
logaritmos) y Log Normal son los mejores
modelos estadísticos para describir el
comportamiento de los caudales mínimos.
En este artículo, se aplica el Sistema de
Pearson al modelado del comportamiento de
los valores medios mensuales multianuales
del río Fonce, ubicado en San Gil (Santander)
y como se apreciará durante su desarrollo, el
tipo III no se ajusta a los caudales mensuales.
El trabajo consta de varias etapas: compilación
y procesamiento de datos sobre caudales del
río Fonce, construcción de los histogramas
de frecuencias empíricas, búsqueda del tipo
de modelo de Pearson que mejor se ajusta
al histograma de frecuencias empíricas,
modelado del comportamiento histórico de los
caudales según el modelo teórico seleccionado,
los resultados y las conclusiones.
Metodología
En este trabajo se aplica el método estadístico
para procesar los datos hidrológicos y para
modelar el comportamiento de los caudales del
río Fonce; específicamente se aplica el método
de los momentos estadísticos.
Compilación
hidrológicos
y
procesamiento
de
datos
Para estudiar el comportamiento de los
caudales del río Fonce, se tomaron los valores
medios mensuales de caudales de la estación
hidrológica del IDEAM, ubicada en San Gil
sobre el río Fonce. Los datos fueron aportados
por el IDEAM en forma gratuita.
Los datos fueron compilados para el periodo de
los años 1955-2012. Durante este periodo de
tiempo se han presentado fenómenos de tipo
El Niño y La Niña en diversas ocasiones; ello,
permite aseverar que la serie temporal incluye
el impacto de estos procesos continentales
en el comportamiento de los caudales.
También es importante señalar que desde
el nacimiento del río Fonce (en el Páramo de
Rusia) hasta el sitio de estudio (en San Gil) en
el cauce principal del río no existen estructuras
Se procedió mediante el método de los
momentos estadísticos a estimar los valores
medios mensuales multianuales para el periodo
1955-2012. De esta manera se conformaron
12 conjuntos de datos de caudales medios
mensuales multianuales (un conjunto para cada
mes del año calendario). Los datos faltantes se
llenaron mediante los valores medios de cada
conjunto, según el caso. En general, los datos
de caudales del río Fonce tienen una aceptable
disponibilidad, habida cuenta que se tienen
58 años de mediciones hidrológicas en el río
en San Gil. El comportamiento de los caudales
mensuales medios multianuales para cada uno
de los meses del año calendario se aprecia en
la figura 1.
En la figura 1, se aprecia que en general los
caudales mensuales multianuales no presentan
(a excepción del mes de marzo) una tendencia
clara al aumento o disminución a lo largo de los
años durante el periodo 1955-2012. Existen por
supuesto años en que se han sucedido caudales
con valores superiores a los 180 metros cúbicos
por segundo, sobre todo en los meses de abril,
mayo, octubre y noviembre. Se resalta el hecho
de que en la mayoría de los meses los caudales
se mantienen en valores menores a los 160
metros cúbicos por segundo.
Tabla 1. Clasificación de los tipos de modelos estadísticos del
Sistema de Pearson
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físicas que regulen el comportamiento del
río, aunque sí se conocen varios afluentes al
río que cuentan con vertimientos de aguas
residuales de los asentamientos humanos y
se tienen identificadas algunas captaciones
de agua para abastecimiento de agua. Con
estas consideraciones, se asume que el
comportamiento de los caudales del río Fonce
en San Gil obedece a condiciones naturales,
dado que el impacto en la cantidad de agua del
río en San Gil de las captaciones y vertimientos
es insignificante. Esta condición deberá
evaluarse a detalle en un posterior trabajo de
investigación.
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Figura 1. Valores medios mensuales de caudales del río Fonce
durante el periodo 1955-2012. Fuente Datos del Instituto IDEAM
en la estación hidrológica en San Gil
Los caudales medios mensuales del río Fonce
presentan las siguientes características
estadísticas (tabla 2).
Tabla 2. Valores de las características estadísticas de los caudales
medios del río Fonce (San Gil)
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Interpretación del comportamiento histórico de
los caudales medios del río Fonce
datos en cada uno de los intervalos de clase
(tabla 3).
Una vez obtenidos los caudales medios
mensuales multianuales y sus características
se procedió a construir su
histograma de
frecuencias empíricas. Para ello, en cada
conjunto de datos (uno por mes) se halló el
rango de los valores, se establecieron cinco (5)
intervalos de clase y se calculó la frecuencia de
Los histogramas de las frecuencias empíricas
se aprecian en la figura 2. De acuerdo con
estos resutlados, se obseva que del total de 12
histogramas (uno por cada mes) se tiene que
dos expresan un comportamiento simétrico
(para los meses de octubre y noviembre) y diez
son asimétricos positivos; no se observa ningún
histograma asimétrico negativo.
Tabla 3. Valores de las frecuencias empíricas en cada intervalo en la serie de datos de
caudales del río Fonce (San Gil)
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Figura 2. Histogramas de las frecuencias empíricas de los caudales medios
mensuales multianuales del río Fonce durante el periodo 1955-2012
Ajuste de los modelos del Sistema de Pearson a
los histogramas de frecuencias empíricas
en donde,
=
La solución analítica del Sistema de Pearson
(ecuación 1) ofrece resultados diversos
dependeniendo de los valores de los parámetros
C1, C2 y C3. Para ajustar un modelo determinado
de este sistema al comportamiento histórico de
un proceso se aplica el criterio k, establecido
por Pearson en su trabajo original (tabla 1).
A continuación se presentan las fórmulas del
parámetro k y de los respectivos coeficientes.
(2)
-3
)(2
3
2,
=
4
2
2
(3)
μ2,μ3,μ4 son los coeficientes de los momentos
estadísticos.
Los valores de los coeficientes de los momentos
estadísticos (ecuación 4), se muestran en la
tabla 4; mientras que los valores del parámetro
k se presentan en la tabla 5 y las frecuencias
teóricas en cada uno de los intervalos se
aprecian en la tabla 6.
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- 6)
Tabla 4. Valores de los coeficientes de los momentos estadísticos.
Tabla 5. Identificación del tipo de modelo del Sistema de Pearson en cada mes.
Tabla 6. Valores de las frecuencias modeladas de los caudales medios mensuales del
río Fonce según el tipo de modelo del Sistema de Pearson
Una vez obtenidas las frecuencias teóricas con
cada uno de los tipos de Pearson según cada
mes, se procedió a comparar sus diferencias
con las frecuencias empíricas y se construyeron
los histogramas teóricos respectivos (figura 3).
k=
2
3
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Figura 3. Ajuste de los modelos estadísticos teóricos de Pearson a los
histogramas empíricos
Los resultados de este trabajo demuestran
claramente que la aplicación del Sistema de
Pearson en los ámbitos de la ingeniería civil
para el diseño de obras, particularmente en
hidrología, no sólo es posible (muy a pesar de
las complicaciones matemáticas en la solución
de las ecuaciones diferenciales), sino además
es viable y ofrece resultados satisfactorias en
la interpretación del comportamiento de los
caudales de un río, en el caso concreto del
río Fonce (Santander), ubicado en el oriente
colombiano. Veamos las diferencias (en valores
absolutos) entre las frecuencias empíricas
y sus valores modelados mediante los tipos
diferentes del Sistema de Pearson (tabla 7).
Las mayores diferencias en valores absolutos
se presentaron para el mes de marzo, le siguen
con menor rango los meses de abril, mayo,
septiembre y diciembre. Para el caso de los
intervalos del histograma se tiene que la mayor
diferencia está en los intervalos primero y
segundo.
Durante el ajuste de los modelos del Sistema
de Pearson se encontró que otros tipos pueden
también ajustarse; sin embargo, el criterio k
restringe ampliamente la selección de cada
tipo.
De un total de 60 casos (frecuencias para 5
intervalos en 12 meses) se tienen que en 16
casos la diferencia fue nula, sobre todo para el
cuarto y quinto intervalos.
Tabla 7. Diferencia entre los valores de las frecuencias modeladas y las
empíricas
Conclusiones
Tomar las experiencias de la tecnología militar
aerobalística en materia del Sistema de Pearson
es una gran oportunidad para los ingenieros
civiles, Así como en la tecnología militar se
estudian las bondades del Sistema de Pearson
para el caso de las investigaciones sobre misiles,
en ingeniería civil se abre una ventana más de
modelado estadístico para estimar los periodos
de retorno de los caudales con soporte en los
diferentes tipós de las curvas de Pearson.
El Sistema de Pearson permite modelar el
comportamiento histórico de los caudales
medios mensuales multianuales del río Fonce
en términos de sus frecuencias empíricas;
siendo los tipos I, II, VIII y IX los que mejor se
ajustan según el criterio original de Pearson.
Con ello, se aprecia y se concluye que el tipo
III ampliamente conocido en ingeniería civil no
tiene cabida para el caso del río Fonce.
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