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MATEMÁTICAS - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR
SOLUCIONES 07
 1.- Calcula el valor de “x” en la siguiente ecuación.
1
= x 1255
25
Escribimos el radical en forma de exponente fraccionario:
5x ·
5
1
= 125 x
25
Si nos fijamos, vemos que las tres bases son potencias de 5:
5x ·
(5x = 5x ; 25 = 52 ; 125 = 53 )
5x ·
1
= 53
52
 
5
x
5
5x
3 x
=
5
52
Escribimos los dos miembros de la igualdad como potencias de 5:
 
x-2
15
x
5 =5
Al ser iguales las bases, son iguales los exponentes:
15
x-2=
x
Es una ecuación en forma de fracción algebraica.
La x que divide al segundo miembro de la igualdad pasa multiplicando al
primer miembro:
x (x - 2) = 15
Resolvemos el paréntesis:
x2 - 2x = 15
x2 - 2x - 15 = 0
Es una ecuación de segundo grado que resolvemos:
a = 1

x=
b = -2
c= -15

Calculamos primero el valor del discriminante:
-b ±
b2 - 4ac
2a
b2 - 4ac = (-2)2 - 4 · 1 · -15  = 4 + 60 = 64 
b2 - 4ac =
64 = 8
2+8

=5
x1 =
2
x=

x = 2 - 8 = -3
 2
2
El valor x = 5 sí es posible al sustituirlo en la ecuación original.
-b ±
b2 - 4ac
2a
-(-2) ± 8
 x=
2·1
2±8
 x=
2
El valor x = -3 no es posible porque al sustituirlo en la ecuación original
vamos a tener una raíz de índice negativo, las cuales no existen.
SOLUCIÓN:
x=5
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SOLUCIONES 07 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
SOLUC 07 1
 2.- A Marina, Elena y Josep les ha tocado la lotería y tienen que repartirse un premio de
3000 €. Marina jugó 10 €, Elena 20 € y Josep 30 €. ¿Qué premio le corresponde a cada
uno, teniendo en cuenta que el reparto es directamente proporcional a lo jugado?
a) Se suman las cantidades aportadas por cada persona:
10 + 20 + 30 = 60€ han jugado en total.
b) Se divide la cantidad a repartir 3000€ entre el resultado de la suma anterior. Este valor
es la CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD, que se corresponde con la cantidad que
le toca a cada apostante por cada euro invertido:
3000
= 50
60
A cada euro invertido le corresponden 50 euros.
c) Para calcular cuánto le corresponde a cada apostante basta multiplicar los euros
invertidos por cada apostante por lo que corresponde por euro invertido (constante de
proporcionalidad):
Marina:
10 · 50 = 500 euros.
Elena:
20 · 50 = 1000 euros.
Josep:
30 · 50 = 1500 euros.
Comprobamos que, efectivamente, la suma de lo que perciben los apostantes se
corresponde con la cantidad a repartir (3000€): 500 + 1000 + 1500 = 3000
 3.- En una vaquería un rebaño de 20 vacas se come, en 15 días 2400 Kg de pienso.
Determinar:
a) ¿Cuántos días durarán 4200 Kg a 75 vacas?
b) ¿Cuántas vacas se comerán los 4200 Kg de pienso en 21 días?
c) ¿Cuántos kilos de pienso se comerán 43 vacas en 25 días?
Este ejercicio lo resolvemos estableciendo una regla de tres compuesta.
Las tres magnitudes con las que trabajamos son:
- número de vacas
- número de días
- kilogramos de pienso
Nº DE VACAS Nº DE DÍAS KILOGRAMOS DE PIENSO
20  15 
 2400
75  X

 4200
Tenemos que determinar si las magnitudes nº de vacas y kg de pienso son
directa o inversamente proporcionales a la magnitud donde se encuentra la
incógnita: nº de días.
Nº DE VACAS
INVERSAMENTE PROPORCIONAL

 Nº DE DÍAS
(Cuanto mayor sea el nº de vacas menos días dura el pienso)
DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
KILOGRAMOS DE PIENSO 

 Nº DE DÍAS
(Cuanto mayor sea el nº kilos de pienso más días dura)
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SOLUC 07 2
I
D
Nº DE VACAS 
 Nº DE DÍAS 
 KILOGRAMOS DE PIENSO
Colocamos tras el signo igual la proporción donde se encuentra la incógnita
y delante de dicho signo las otras dos proporciones multiplicándose; la del
nº de vacas invertida y la de los kilogramos directa:
75
2400
15
·
=
20
4200
x
Que podemos resolverlo descomponiendo los factores y simplificando antes
de multiplicar:
75
24 0 0
15
·
=
20
x
42 0 0
75 · 24
15
=
20 · 42
x

5 · 15 · 4 · 6
15
=
x
4 · 5 · 6 ·7

15
15
=
7
x

5 · 15 · 4 · 6
15
=
4·5·6·7
x
 15 x = 15 · 7  x = 7 días
SOLUCIÓN
7 días
 4.- Varios amigos han ido a esquiar, en total son 60 personas entre hombres, mujeres y
niños. Calcule cuántos hay en cada grupo si se sabe que el número de niños excede en 4
al de mujeres; y el número de hombres es el 50% del número de niños y mujeres juntos.
Tenemos tres incógnitas relacionada entre ellas:
x = nº de hombres
y = nº de mujeres
z = nº de niños.
Atendiendo a los datos que nos proporcionan:
Primer dato (primera ecuación): x + y + z = 60
Segundo dato (segunda ecuación): z = 4 + y
Tercer dato (tercera ecuación): x = 0,5 (y + z)
Utilizamos la segundo ecuación para sustituir la z en la primera ecuación:
x + y + z = 60  x + y + 4 + y = 60  x + y + y = 60 - 4  x + 2y = 56
Desarrollamos la tercera ecuación y también sustituimos en ella el valor de z:
x = 0,5 (y + z)  x = 0,5 y + 0,5 z  x = 0,5 y + 0,5 (4 + y) 
 x = 0,5 y + 2 + 0,5 y  x = y + 2
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por
sustitución, ya que en la segunda ecuación tenemos la incógnita x despejada:
x + 2y = 56
 x + 2y = 56  y + 2 + 2y = 56  y + 2y = 56 - 2  3y = 54

x = y + 2
54
= 18
3
x = y + 2  x = 18 + 2  x = 20
z = 4 + y  z = 4 + 18  z = 22
y=
SOLUCIÓN:
x = nº de hombres = 20
y = nº de mujeres = 18
z = nº de niños = 22
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SOLUC 07 3