Coloraciones de gráficas planas sin caras heterocromáticas

Transcripción

Coloraciones de gráficas planas sin caras
heterocromáticas
AMANDA MONTEJANO
Facultad de Ciencias UNAM-Juriquilla
Trabajo conjunto con JORGE AROCHA
XXVIII Coloquio Vı́ctor Neumann-Lara de Teorı́a de las Gráficas,
Combinatoria y sus Aplicaciones
Morelia, Michoacán. 4 al 8 de marzo del 2013.
Definiciones básicas
una coloración no-heterocromática
una cara heterocromática
colores
con el máximo número de
colores
colores
una cara heterocromática con el máximo número de colores
una cara heterocromática con el máximo número de colores
I χf (G) es el máximo k tal que existe una k–coloración
no-heterocromática de G.
I χf (G) + 1 es el mı́nimo k tal que toda k–coloración de G
contiene una cara heterocromática.
I χf (G) es el máximo k tal que existe una k–coloración
no-heterocromática de G.
I χf (G) + 1 es el mı́nimo k tal que toda k–coloración de G
contiene una cara heterocromática.
Resultados preliminares
[Ramamurthi, West, 2004]
I estudiaron cotas inferiores justas
[Jendrol’, 2006]
I determinó χf (G) para todos los poliedros semiregulares.
[Jungić, Král’, Skrekovski, 2006]
I investigaron el problema para gráficas planas sin triángulos.
[Jendrol’, 2006]
[Jendrol’, 2006]
[Dvořák, Král’, Škrekovski, 2009]
I estudiaron cotas superiores para gráficas planas 3–, 4– y
5–conexas.
Teorema: Sea G una gráfica plana 3–conexa, entonces:
χf (G) ≤
7n − 8
9
[Dvořák, Král’, Škrekovski, 2009]
I estudiaron cotas superiores para gráficas planas 3–, 4– y
5–conexas.
Teorema: Sea G una gráfica plana 3–conexa, entonces:
χf (G) ≤
7n − 8
9
El problema
I encontrar una cota superior justa para gráficas planas maximales
(en términos del orden)
I buscar gráficas planas maximales con χf (G) tan grande como
sea posible
El problema
I encontrar una cota superior justa para gráficas planas maximales
(en términos del orden)
I buscar gráficas planas maximales con χf (G) tan grande como
sea posible
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
|G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
2n−1 3
≤ χf (G)
n+f −e=2
2e = 3f
f = 2n − 4
|G| = 3n − 4 with an independent set of ≈ 23 |G|
El resultado
Teorema. [Arocha, M]
Sea G una gráfica plana maximal, entonces χf (G) ≤
2n−1 7n−8 <
3
9
Toda coloración de G con más de 2n−1
colores
3
contiene al menos una cara heterocromtica.
El resultado
Teorema: [Arocha, M]
Sea G una gráfica plana maximal,entonces χf (G) ≤
2n−1 3
Toda coloración de G con más de 2n−1
colores
3
contiene al menos una cara heterocromtica.
<
7n−8 9
La prueba
I considerar a las gráficas como espacios topológicos
I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G → Kk
I introducir el concepto de coloración nula
I entender la relación entre coloraciones nulas y coloraciones
no-heterocromáticas
La prueba
La prueba
La prueba
Gráficas como espacios topológicos
entender la estructura de G en términos de sus ciclos (”hoyos”)
El (1er) grupo de homologı́a
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
3
0
1
3
0
1
3
0
1
3
0
1
2
0
Z
Z⊕Z
0
Z
G → H1 (G) ' Z
| ⊕ Z...
{z ⊕ Z}
m − n + 1 veces
Z⊕Z
Coloraciones
I una k–coloración f : G → Kk
gráficas
es un homomorfismo de
Coloraciones
I una k–coloración f : G → Kk
es una función continua
Coloraciones nulas
f : G → Kk
↓
homomorfismo de gráficas
↓
f : G → Kk
↓
función continua
↓
f∗ : H1 (G) → H1 (Kk )
homomorfismo de grupos
I Una coloración f es nula si f∗ es nulo.
( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk
↓
↓
f : G → Kk
↓
función continua
↓
f∗ : H1 (G) → H1 (Kk )
( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk
↓
↓
f : G → Kk
↓
función continua
↓
f∗ : H1 (G) → H1 (Kk )
( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk
↓
↓
f : G → Kk
↓
función continua
↓
f∗ : H1 (G) → H1 (Kk )
( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk
↓
↓
f : G → Kk
↓
función continua
↓
f∗ : H1 (G) → H1 (Kk )
( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) )
Ejemplos
I f : G → K1
I f : G → K2
I f : G → Kk
si G/f es un árbol
Ejemplos
I f : G → K1
I f : G → K2
I f : G → Kk
Ejemplos
I f : G → K1
I f : G → K2
I f : G → Kk
Ejemplos
I una coloración nula f tal que G/f no es un árbol
1
3
1
3
2
2
1
3
3
2
2
Ejemplos
1
3
1
3
2
2
1
3
3
2
2
Ejemplos
1
3
1
3
2
2
1
3
3
2
2
Coloraciones nulas
G/f es un árbol ⇒ f es una coloración nula
f es una coloración nula 6⇒ G/f es un árbol
Sea f una coloración nula maximal de G, entonces G/f es un árbol.
⇓
2n−1 3
Coloraciones nulas
⇓
2n−1 3
Coloraciones nulas
⇓
2n−1 7n−8 <
3
9
Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromáticas
coloración nula ⇒ coloración no-heterocromática
coloración no-heterocromática 6⇒ coloración nula
1
2
1
3
3
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
3
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
3
2
1
3
2
3
2
Lema. Para gráficas planas maximales:
coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula
Prueba del teorema:
Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G
⇓
Lem.
f es una coloración nula maximal
⇓
Teo.
G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Prueba del teorema:
⇓
Lem.
⇓
Teo.
⇓
Obs.
2n − 4 ≤ 3(k − 1)
Gracias!!

Coloraciones de gráficas planas sin caras heterocromáticas

Transcripción

Documentos relacionados

EjerciciosExtraMultipolos