54 - amontes
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Ejercicio 54 Triángulos Applet CabriJava (2230-405) Sean D, E y F puntos sobre los lados BC, CA y AC de un triángulo ABC tales que BD CE AF = = . DC EA FB Probar que los baricentros de ABC y DEF coinciden. Consideremos los paralelogramos EABL y F ASM , probar que F L y EM son paralelas a la mediana de ABC por A. Sean D0 , E 0 y F 0 los simétricos de D, E y F , respecto al punto medio de cada lado. Probar que el eje radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos DEF y D0 E 0 F 0 es fijo, cuando D varı́a en BC. SOLUCIÓN: BD = ρ), entonces D(0, 1, ρ), en coordenadas DC baricéntricas relativas al triángulo ABC. Análogamente, si E y F dividen a los lados CA y AB en la razón ρ, entonces E(ρ, 0, 1) y F (1, ρ, 0). La recta que une F con el punto medio (ρ, 1, 1 + ρ) de DE, tiene por ecuación ρx − y(ρ − 1)z = 0; luego, contiene — Si el punto D divide al lado BC en la razón ρ (es decir, al baricentro G(1, 1, 1) de ABC. Ası́ mismo, la recta que une D con el punto medio de EF , (ρ − 1)x + ρy − z = 0, y la que une E con el punto medio de F D, x + (ρ − 1)y − ρz = 0, también contienen al baricentro de ABC. En consecuencia, ABC y DEF tienen el mismo baricentro. — La recta paralela por E a AB es x + y − ρz = 0; la paralela por B a AC es x + z = 0. Luego, el punto de intersección de ambas es L(−1, ρ + 1, 1). La recta paralela a AB por C es x + y = 0 y la paralela a AC por F es ρx − y + ρz = 0, con lo que su punto de intersección es M (−ρ, ρ, ρ + 1). Las recta AG : y − z = 0, EM : x + (ρ + 2)y − ρz = 0 y F L : ρx − y + (2ρ + 1)z = 0, cortan a la recta del infinito, x + y + z = 0, en el mismo punto: (−2, 1, 1), luego las tres son paralelas. — La ecuación general de una circunferencia, en coordenadas baricéntricas, se puede poner de la forma a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z)(px + qy + rz) = 0. Imponiendo que pase por los puntos D, E y F se obtienen los valores p=− b2 ρ − a2 ρ2 + c2 ρ3 , (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) La Laguna, Miércoles 7 de Mayo del 2008 q=− c2 ρ − b2 ρ2 + a2 ρ3 , (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) Pág. 1/3 r=− a2 ρ − c2 ρ2 + b2 ρ3 . (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) Angel Montesdeoca La ecuación de la circunferencia circunscrita a DEF es: á ¢ ¡ 2 3 ¢ ¡ 2 3 ¢ ! c2 ρ3 − a2 ρ2 + b2 ρ a ρ − b2 ρ2 + c2 ρ b ρ − c2 ρ2 + a2 ρ 2 2 2 a yz + b xz + c xy − (x + y + z) x+ y+ z . (ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1) (ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1) (ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1) Como casos particulares están: si ρ = 0, es la circunferencia circunscrita a ABC: a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0, si ρ = 1, es la circunferencia de los nueve puntos: µ 2 ¶ −a + b2 + c2 a2 − b2 + c2 a2 + b2 − c2 2 2 2 c xy + b xz + a yz + −(x + y + z) x+ y+ z = 0, 4 4 4 y si ρ = −1, es la recta del infinito: x + y + z = 0. Los puntos simétricos de D, E y F , respecto al punto medio del lado que los contienen son, respectivamente, D0 (0, ρ, 1), E 0 (1, 0, ρ) y F 0 (ρ, 1, 0); se cumple BD0 CE 0 AF 0 1 = = = . 0 0 0 DC EA F B ρ La circunferencia circunscrita a D0 E 0 F 0 es: ¶ µ 2 a2 ρ − c2 ρ2 + b2 ρ3 b2 ρ − a2 ρ2 + c2 ρ3 c ρ − b2 ρ2 + a2 ρ3 c2 xy + b2 xz + a2 yz − (x + y + z) y + z + x . (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) (1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 ) El eje radical de las circunferencias circunscritas a DEF y a D0 E 0 F 0 es: (b2 − c2 )x + (c2 − a2 )y + (a2 − b2 )z = 0, que es independiente de ρ. Su polo trilineal (triplo) es el punto µ 1 , b2 − c2 1 , c2 − a2 1 a2 − b2 ¶ . Se trata del punto de Steiner, intersección del la circunferencia circunscrita a ABC con la elipse de Steiner (circunscrita a ABC y con centro en el baricentro) y el el eje radical hallado es un diámetro de esta elipse. Este punto de Steiner es el X99 de en ”The Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)” de Clark Kimberling(1) Observaciones adicionales: Los centros K y K 0 de las circunferencia circunscritas Γ y Γ0 a los triángulos DEF y A0 B 0 C 0 , respectivamente, describen una misma cúbica, cuando varı́a D (E ó F , lo mismo da, pues un punto condiciona a los otros), de ecuación paramétrica: ¡¡ ¢ ¡ ¢¢ ¡ ¢ ¡ ¢ x = −(t − 1)2 (t + 1)a4 + t3 − 3t2 + 2t + 1 b2 + c2 t3 + 2t2 − 3t + 1 a2 − b2 − c2 t b2 − c2 t ¡¡ ¢ ¢ ¡ ¢ y = −t2 a4 + t3 + 2t2 − 3t + 1 b2 + c2 t(t + 1) a2 − c4 t − b4 (t − 1)2 (t + 1) + b2 c2 t3 − 3t2 + 2t + 1 ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ z = −ta4 + t(t + 1)b2 + c2 t3 − 3t2 + 2t + 1 a2 − b4 t2 − c4 (t − 1)2 (t + 1) + b2 c2 t3 + 2t2 − 3t + 1 Esta cúbica tiene un punto doble en el circuncentro O de ABC, su ası́ntota (−a4 − 4b4 + 13b2 c2 − 4c4 − 2a2 (b2 + c2 ))x + (−4a4 − 2a2 b2 − b4 + 13a2 c2 − 2b2 c2 − 4c4 )y+ +(−4a4 + 13a2 b2 − 4b4 − 2a2 c2 − 2b2 c2 − c4 )z = 0, es perpendicular al eje radical (fijo) ` de las circunferencias Γ y Γ0 en el punto de éste: ³ S 8a6 − b6 − 6b4 c2 − 6b2 c4 − c6 − 15a4 (b2 + c2 ) + 3a2 (b4 + 10b2 c2 + c4 ), (1) http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/index.html La Laguna, Miércoles 7 de Mayo del 2008 Pág. 2/3 Angel Montesdeoca −a6 + 8b6 − 6a4 c2 − 6a2 c4 − c6 − 15b4 (a2 + c2 ) + 3b2 (a4 + 10a2 c2 + c4 ), ´ −a6 − 6a4 b2 − 6a2 b4 − b6 + 3(a4 + 10a2 b2 + b4 )c2 − 15(a2 + b2 )c4 + 8c6 . La tangente a la cúbica, perpendicular al eje radical `, corta éste en en el punto ³ T b6 − 2b4 c2 − 2b2 c4 + c6 − a4 (b2 + c2 ) + a2 (−3b4 + 10b2 c2 − 3c4 ), a6 − 2a4 c2 − 2a2 c4 + c6 − b4 (a2 + c2 ) + b2 (−3a4 + 10a2 c2 − 3c4 ), ´ a6 − 2a4 b2 − 2a2 b4 + b6 + (−3a4 + 10a2 b2 − 3b4 )c2 − (a2 + b2 )c4 . Y la recta la perpendicular, por el punto doble de la cúbica (circuncentro de ABC), a ` corta a ésta en ³ R a6 + 5a2 b2 c2 − 2a4 (b2 + c2 ) − b2 c2 (b2 + c2 ), b6 + 5a2 b2 c2 − 2b4 (a2 + c2 ) − a2 c2 (a2 + c2 ), ´ −a2 b2 (a2 + b2 ) + 5a2 b2 c2 − 2(a2 + b2 )c4 + c6 . Los puntos R, S y T obtenidos son puntos denominados ”triangle centers” en ”The Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)” de Clark Kimberling. (Applet CabriJava) Γ Γ http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2230.pdf La Laguna, Miércoles 7 de Mayo del 2008 Pág. 3/3 Angel Montesdeoca