Apuntes sobre Cartografía y Proyecciones Geográficas Apoyo a la

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Apuntes sobre Cartografı́a y Proyecciones Geográficas
Apoyo a la generación de mapas con el software GMT
Por David Aguilera Riquelme, Geofı́sica
Para Linux, Scripts y GMT (513372), Depto. de Geofı́sica - U. de Concepción
Lunes 19 de mayo de 2014
David Aguilera R. (Geofı́sica UdeC)
Cartografı́a y Pr. Geográficas + GMT
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Contenidos
Contenidos
1
Introducción
El problema de representar un objeto esférico
Formas de resolver el problema
2
Proyecciones Geográficas
Proyección de Mercator
Proyecciones Cilindricas: Cassini, Equidistante, Miller
Variantes de Mercator: Transversa y Universal Transversa
UTM y Coordenadas UTM
Proyecciones Cónicas: Equidistante, Conforme de Lambert
Proyecciones Azimutales: Área-Equivalente de Lambert, Estereográfica
Otras Proyecciones: Proyección Sinusoidal
3
Referencias
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Introducción
El problema de representar un objeto esférico
Introducción
Desde la Antiguedad, conforme fue creciendo el conocimiento del entorno y las
innovaciones tecnológicas en cuanto a transporte (navegación, caminos), y los
respectivos cambios que conllevan (ej. comercio entre comunidades, exploración), la
gente empezó a necesitar información clara de dicho entorno: Qué distancia?
Qué hay allı́? Por cuál camino?
Mientras se fue conociendo más del entorno, digamos, cuando creció el mundo
conocido, esta información debió expresarse en una forma más práctica → Primeros
mapas
El problema que nos enfrentamos
Tenemos el planeta Tierra, que es un objeto 3-D “esférico” (en realidad, es un geoide).
¿Cómo podemos representar esto en una forma conveniente para las personas?
Muchas personas trataron de resolver este problema...
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Introducción
Una forma de resolver...
Pues, si tenemos un objeto cuasi-esférico, ¿por qué no hacemos lo mismo?
Aparición de los primeros globos terráqueos
Figura 1 : Algunos globos terráqueos. La primera figura muestra el Erdapfel, uno de los primeros
de su especie. La segunda, uno actual.
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Introducción
Globos terráqueos
Ventajas:
Permiten representar la Tierra con una gran similitud en su forma.
Esta forma (esférica) permite que no hayan distorsiones con respecto a la realidad,
en cuanto a áreas, direcciones y tamaños.
Desventajas:
No es un objeto cómodo de transportar/utilizar.
Normalmente son costosos y no gozan de una buena resolución. Si quisiéramos
mayor detalle, debiéramos considerar una esfera gigante.
Uy, qué problema!
El globo, si bien representa el planeta sin deformarlo, no goza de buena resolución.
Cuando se quiere, por ej., navegar una zona interior (como un mar), necesitamos algo
siempre presente, práctico, con buena resolución, que nos indique cómo es el lugar... →
Proyecciones geográficas
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¿Qué se entiende por ello?
Según los desarrolladores de Google Earth, una p.g. es una fórmula matemática
(una transformación de coordenadas1 ) utilizada para representar la superficie
redondeada y en tres dimensiones de la Tierra en un mapa plano de dos dimensiones.
Al entender la Tierra como un objeto (matemáticamente hablando) con varias
propiedades2 , cuando transformamos a dos dimensiones, tenemos una distorsión en
alguna de las propiedades del mapa, como área, escala, distancia, dirección, etc.
Por eso existen muchas proyecciones geográficas, las cuales permiten adecuarnos de
mejor manera a la región que queremos representar, y además solventan algunas de
estas distorsiones (nunca todas).
1
2
Véase Fı́sica Matemática 1, Cálculo en varias variables, etc
simplemente conectado, superficie orientable, cuasi-esférico (geoidal), blah blah!
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Posiblemente la más famosa de todas, esta proyección revolucionó la cartografı́a de
la época3 . Su ventaja radica en que una loxodroma4 se representa trazando una
recta. La ventaja se hizo inmediata entre los navegantes. Una desventaja es que
deforma las áreas cerca de los polos.
En GMT se invoca con los parámetros -Jmescala, en donde escala es una escala
con unidad medida en el Ecuador; o bien -JMmedida, con medida la dimensión del
mapa. GMT acepta unidades como centı́metros (c), pulgadas (i), etc, que se ponen
a continuación del número de escala.
Generalidades en la sintaxis de GMT
Cuando se tiene un parámetro -J de proyección, la capitalización de la letra siguiente
indica cómo queremos medir el mapa: Si es una letra mayúscula (ej. -JMmedida),
significa que los argumentos de dentro son para una medida total del mapa. En cambio,
una letra minúscula (ej. -Jmvalor) habla de una escala (una razón 1:valor, por ejemplo)
3
4
Creada por Gerardus Mercator en 1569
Una trayectoria en la cual se sigue un mismo ángulo respecto de un meridiano (dirección de la brújula).
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Loxodroma y Ortodroma
Figura 2 : Diferencia entre una lı́nea loxodroma (conocida como lı́nea de rumbo), y una lı́nea
ortodroma, que es la lı́nea más corta entre un punto y otro en una esfera. Esta última
está definida por el gran cı́rculo que intersecta a los puntos.
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0˚
20˚
40˚
60˚
80˚
100˚
120˚
140˚
160˚
180˚ −160˚ −140˚ −120˚ −100˚ −80˚
−60˚
−40˚
−20˚
0˚
80˚
60˚
40˚
20˚
0˚
−20˚
−40˚
−60˚
Figura 3 : Proyección de Mercator entre Latitudes 80 N y 60 S. Fı́jese en la desproporción de las
zonas del hemisferio norte. ¿Groenlandia es más grande que Sudamérica? Claro que no!
Comando: pscoast -R0/360/-60/80 -B20g20f20NW -Jm0.03i -Dc -A5000 -Wthinnest -G128
> mercator.ps
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Otras Proyecciones Cilı́ndricas útiles
Proyección Cilı́ndrica Equidistante
Es una proyección muy sencilla que resulta del traspaso a un cilindro, de la esfera
Tierra. Resulta un mapa donde los paralelos y meridianos son lı́neas rectas, y donde
un cuadrado de ángulo sólido (ángulo 2-D) efectivamente es un cuadrado.
En GMT se invoca con los parámetros -Jqescala o bien -JQmedida.
Proyección Cilı́ndrica de Cassini
Es una proyección no conforme5 y que no conserva el área. Es muy buena para
proyectar regiones con extensiones Norte-Sur.
En general, la lı́nea ecuatorial del mapa, como el meridiano central del mapa es
recto. Todas las otras lı́neas son curvas con cierta complejidad.
En GMT se invoca con los parámetros -Jcescala o bien -JCmedida.
Proyección Cilı́ndrica de Miller
Es una variante de la Proyección de Mercator. La diferencia es que la escala de los
paralelos cambia por un factor de 0.8*Mercator, y luego del cálculo, divide por 0.8,
evitando las singularidades que ocurren con Mercator.
En GMT se invoca con los parámetros -Jjescala o bien -JJmedida.
5
no conserva la forma
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Proyección Cilı́ndrica de Cassini
−74˚
−42˚
−42˚
−43˚
−43˚
−74˚
Figura 4 : Proyección Cilı́ndrica de Cassini para la Isla de Chiloé, Chile. Aprecie que la figura del
mapa no es rectangular.
Comando: pscoast -R-74.5/-73.2/-43.5/-41.7 -JC4.5i -B1g1f30m -Df -G128 -Wthinnest
-Ia/thinner -P > cassini.ps
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Proyección Cilı́ndrica Equidistante
Figura 5 : Proyección Cilı́ndrica Equidistante para todo el globo.
Comando: pscoast -Rg -Jq0.03i -Dc -A5000 -Wthinnest -G128 > equidistante.ps
Nota: La g en -Rg indica todas las longitudes/latitudes.
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Proyección Cilı́ndrica de Miller
Figura 6 : Proyección Cilı́ndrica de Miller entre 80 N y 80 S. Compare con el mapa anterior.
Comando: pscoast -R0/360/-80/80 -Jj0.03i -Dc -A5000 -Wthinnest -G128 > cmiller.ps
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Otra vez, Mercator (para comparar)
Figura 7 : Proyección de Mercator entre Latitudes 80 N y 80 S. Se deja como ejercicio para el
lector probar que con la proy. de Mercator no se pueden incluir los polos.
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Proyección Transversa y Transversa Universal de Mercator
La Proyección Transversa de Mercator6 consiste en usar un cilindro de representación
para la Tierra, pero en vez de girar en torno a la latitud (Ecuador), se hace desde un
meridiano de referencia (por defecto, Greenwich/Lı́nea del cambio de Fecha)
La Proyección Transversa Universal de Mercator7 se basa en la P.T.M., pero es
diferente: Dividimos el planeta en pequeños cuadrados de 6 grados de longitud y 8
grados de latitud. Por definición, solo podemos representar entre 84N y 80S. Es
conforme, pero no área-equivalente. Cada cuadrado se llama Zona UTM, y a su vez
tiene un meridiano central.
Coordenadas UTM
Una coordenada UTM está compuesta de: ZonaUTM MetrosEste MetrosNorte.
ZonaUTM: Se compone de un número (longitud) y una letra (latitud): Los números van del 1 al 60
(el 1 va en 180W → 174W ... hacia el E). Las letras van de la C hasta la X, omitiendo la I, Ñ, O
(C va de 80S → 72S, ... hacia el N).
Los MetrosEste se consideran desde el meridiano central del cuadrado, que por definición tiene
posición 500km E. Los MetrosNorte, se miden siempre hacia el Norte, desde el punto más al sur
del hemisferio. En HS: A 80S tenemos 0km. En Ecuador, tenemos 10000km. Lo mismo en
hemisferio Norte: desde 0 a 10000 kms(Ecuador a 84N)
6
7
Inventada por Heinrich Lambert en 1772
También llamada Universal Transversal de Mercator
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Proyección Transversa y Transversa Universal de Mercator (cont.)
Para invocar Transversa de Mercator en GMT se utiliza -JtLonCentral/escala o
-JTLonCentral/medida.
Para invocar UTM en GMT se utiliza -JuZonaUTM/escala o -JUZonaUTM/medida
8
9
LON: Signo negativo significa W, Signo positivo significa E. LAT: Signo negativo indica H.S. Positivo, H.N.
Psst! Google Earth soporta UTM, cambiando la config. en el menú Opciones
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Ejemplo de Coordenada UTM:
Sea la coordenada UTM: 18H 675240.42 5922343.66
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Determinemos la posición relativa (muy truncada):
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9
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Zona UTM8 : 18H: Para Longitud: (18-1)*6 = 102. -180 + 102 = -78
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Para Latitud: H está a 5 letras desde la C: 5*8 = 40. -80 + 40 = -40
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Entonces nuestro cuadrado UTM se ubica entre: 78W a 72W, 40S a 32S
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Meridiano central: 75 W.
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Más allá no podemos hacer. Las ecuaciones de transformación UTM-Grados son
no lineales. Para determinar la posición exacta, lo más efectivo es consultar con una
calculadora UTM o programas SIG. GMT provee una utilidad para esto.
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Más allá no podemos hacer. Las ecuaciones de transformación UTM-Grados son
no lineales. Para determinar la posición exacta, lo más efectivo es consultar con una
calculadora UTM o programas SIG. GMT provee una utilidad para esto.
¿Dónde se encuentra este punto9 ?: 36◦ 490 42,8500 S, 73◦ 20 5,9800 O
8
9
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Ubicación del punto dado por 18H 675240.42 mt. E, 5922343.66 mt. N
Figura 8 : Usted está aquı́: Sector Sur de la Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas, UdeC.
Pos: 36◦ 490 42,8500 S 73◦ 20 5,9800 O. Observe la notación de Earth.
En inglés, a la coordenada X de UTM se le llama easting, y a la coordenada Y se le llama northing
Para convertir en GMT la coord. UTM a grados:
Comando: echo 675240.42 5922343.66 | mapproject -I -F -C -JU18H/1
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Proyección UTM
12˚
13˚
14˚
15˚
16˚
17˚
18˚
40˚
40˚
39˚
39˚
38˚
38˚
37˚
37˚
36˚
36˚
12˚
13˚
14˚
15˚
16˚
17˚
18˚
Figura 9 : Sur de la Penı́nsula Italiana, e isla de Sicilia, en el Mar Mediterráneo.
Comando: pscoast -R12/18/36/40 -Ba1g1f1 -JU33s/7i -Df -Wthinnest -G128 -P> utm.ps
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Proyección Transversa de Mercator
−
60˚ 10˚
50˚ 60˚
0˚
10˚
20˚
30˚
40˚
50˚
50˚
40˚
40˚
30˚
−10˚
30˚
50˚
0˚
40˚
10˚
20˚
30˚
Figura 10 : Parte de Europa, Asia menor y África. Note la deformación de la proyección.
Comando: pscoast -R-10/50/30/60 -JT20/9i -B10g5 -Dl -A250 -Glightgray -Wthinnest
> transversa.ps
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Proyecciones Cónicas
Proyección Cónica Equidistante
Es una proyección muy antigua10 que es no conforme y tampoco iguala el área. El
espaciado es el mismo entre paralelos y meridianos.
En GMT se llama con -Jdlonc/latc/lat1/lat2/escala o bien con
-JDlonc/latc/lat1/lat2/medida.
Proyección Conforme de Lambert
Es una proyección que mantiene la forma, y además entrega la distancia verdadera
entre dos puntos, sólo trazando una recta entre ellos. Útil para graficar grandes
extensiones Oeste-Este. En el Polo Sur, es infinita. Imaginarla es pensar en un
sombrero de cono (sin su tapa) con el vértice que está en el Polo Norte centrado.
En GMT se llama con -Jllonc/latc/lat1/lat2/escala o bien con
-JLlonc/latc/lat1/lat2/medida
Sintaxis de GMT para cilı́ndricas y cónicas
Para los casos cilı́ndricos, los parámetros que le damos a la proyección son solamente las
escalas/medidas (con la excepción de las variantes de Mercator). Para toda cónica:
-J[tipo cónico]LonCentral/LatCentral/LatInicio/LatFinal/escala o medida
10
Fue descrita por Ptolomeo, en 150 d.C. aproximadamente.
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Proyección Cónica Equidistante
−85˚
−80˚
−75˚
−70˚
20˚
20˚
−85˚
−80˚
−75˚
−70˚
Figura 11 : Cuba, República Dominicana.
Comando: pscoast -R-88/-70/18/24 -JD-79/21/19/23/6.5i -B5g1 -Di -Glightgray
-Wthinnest -P > conicaequidistante.ps
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Proyección Conforme de Lambert
0˚
−18
˚
50
15
0˚
−1
−1
0˚
20
12
˚
−9
0˚
˚
90
−60
˚
−30˚
0˚
30˚
60˚
Figura 12 : El mundo, desde 30S hasta 80N
Comando: pscoast -R-180/180/-30/80 -JD0/20/-30/80/6.5i -B30g30S -Di -Glightgray
-Wthinnest -P > lambert.ps
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Proyecciones Azimutales
Proyección Azimutal de Área Equivalente de Lambert
Esta proyección permite graficar grandes extensiones de territorio, como por ejemplo
un hemisferio. Ésta proyección conserva el área. Su primer mapa generado usa tal
proyección (Instalación de GMT 4.5.12).
En GMT se llama usando -Jalonc/latc/escala o bien -JAlonc/latc/medida, en
donde latc, lonc son la longitud y latitud central del mapa.
Proyección Estereográfica de Ángulos Equivalentes
Es una proyección conforme en la cual los meridianos son lı́neas rectas. Los paralelos
son arcos de circunferencias.
Esta proyección en GMT se produce con -Jslonc/latc/escala o
-JSlonc/latc/medida
Parámetros extra para mejorar los gráficos
En el caso de la proyección estereográfica de a.e., a veces nos topamos con el problema
de que el mapa tiene forma de cuña. Pero a veces necesitamos un mapa en un
rectángulo. Para solventarlo, debemos añadir una letra al parámetro -R: Un r al final.
-RLON1/LON2/LAT1/LAT2r.
Estas proyecciones (azimutales) permiten inclinar la vista, añadiendo un ángulo de
inclinación ϕ usando la sintaxis -J[tipo azimutal]lonc/latc/phi/escala o medida
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60
˚
˚
0
8
70
˚
75
˚
0˚
80˚
30˚
˚
75
˚
70
−3
0˚
Proyección Estereográfica de Ángulos Equivalentes
60
˚
˚
65
˚
65
60
30˚
60
˚
0˚
−3
0˚
˚
Figura 13 : Parte del norte de Europa: Islandia, Groenlandia y el norte de Noruega
Comando: pscoast -R-25/59/70/72r -JS10/90/11c -B30g10/5g5 -Dl -A250 -Glightgray
-Wthinnest -P > estereorect.ps
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Proyección Sinusoidal
Esta proyección forma parte del logo de GMT. Usa curvas sinusoidales en los
meridianos, y lı́neas rectas en los paralelos. Se denomina también de Mercator
área-equivalente
En GMT la proyección se genera usando -Jiescala o bien -JImedida
Un mapa interesante que se puede realizar con esta proyección es el llamado Mapa
Sinusoidal Interrumpido, que corta el Globo en tres trozos. Este mapa se invoca con
3 comandos de GMT:
pscoast -R200/340/-90/90 -Ji0.014i -Bg30/g15 -A10000 -Dc -G0 -K -P > seno.ps
pscoast -R-20/60/-90/90 -Ji0.014i -Bg30/g15 -Dc -A10000 -G0 -X1.96i -O -K >> seno.ps
pscoast -R60/200/-90/90 -Ji0.014i -Bg30/g15 -Dc -A10000 -G0 -X1.12i -O >> seno.ps
Figura 14 : El mundo usando proyección sinusoidal interrumpida
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Recuerda...
Hay muchas más proyecciones para usos diversos11 . Sugiero leer el manual de GMT, que
se encuentra en:
$directorio gmt 4.5.12/doc/pdf/GMT Docs.pdf
11
Por ejemplo, existe una para representar en los polos, equivalente a UTM.
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Referencias
Referencias (hay muchas más)
Desarrolladores de Google Earth.
¿Qué es una proyección geográfica? - Ayuda de Google Earth, 2014.
[Internet; descargado 16-mayo-2014].
Wikipedia.
Proyección cartográfica — Wikipedia, La enciclopedia libre, 2014.
[Internet; descargado 17-mayo-2014].
P Wessel and WHF Smith.
The Generic Mapping Tools (GMT) version 4.5.12: Technical Reference and
Cookbook [eb].
GMT home page (http: // gmt. soest. hawaii. edu ), 2013.
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Apuntes sobre Cartografía y Proyecciones Geográficas Apoyo a la

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