la equivalencia de las representaciones de la

la equivalencia de las representaciones de la

Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
Boletín Electrónico No. 06
LA EQUIVALENCIA DE LAS REPRESENTACIONES DE LA SOLUCIÓN
PARTICULAR POR LOS MÉTODOS DE REDUCCIÓN DE ORDEN Y VARIACIÓN
DE PARÁMETROS
Por MSc. Carlos A. Salvadó, [email protected],
Lic. Francisco Arriaza
RESUMEN
Usando el método de variación de parámetros, construimos la solución particular de una
ecuación diferencial de segundo orden. Luego demostramos que es una representación
diferente pero equivalente a aquella solución construida por el método de reducción de orden.
DESCRIPTORES
Ecuación diferencial de segundo orden. Método de variación de parámetros. Funciones de
Green. Método de reducción de orden.
ABSTRACT
Using parametric variation method it was founded a particular solution for a second order
differential equation. It was demonstrated that this solution represents a different but
equivalent solution to those obtained by reduction order method.
KEYWORDS
Order differential equation. Parametric variation method. Green functions. Reduction order
method
URL_06_BAS01.doc
1 de 5
Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
Boletín Electrónico No. 06
LA EQUIVALENCIA DE LAS REPRESENTACIONES DE LA SOLUCIÓN
PARTICULAR POR LOS MÉTODOS DE REDUCCIÓN DE ORDEN Y VARIACIÓN
DE PARÁMETROS
INTRODUCCIÓN
De la teoría de ecuaciones diferenciales no homogéneas se sabe que los métodos de variación
de parámetros y funciones de Green dan representaciones idénticas de la solución particular
[Bender y Orszag (2001)]. A pesar de que no está ampliamente diseminado, otro método que
se puede utilizar para construir la solución particular es el método de reducción de orden
[Hildebrand (1976)]. Pero nadie ha demostrado en la literatura la relación que tiene con los
métodos de variación de parámetros o funciones de Green [Bender, comunicación personal].
En lo que sigue, consideraremos una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden, y
escogeremos la función no homogénea ser la función delta de Dirac. Por lo tanto, la solución
particular construida por los métodos de variación de parámetros y reducción de orden es la
función de Green asociada con operadores diferenciales de segundo orden. Demostraremos
que estas dos son representaciones de la solución diferentes pero equivalentes.
DEMOSTRACIÓN
Consideramos la ecuación diferencial
d2y
dy
+ a1 ( x ) + a 0 ( x ) y = f ( x )
2
dx
dx
(1)
Si en los intervalos donde a1 ( x ) y a 0 (x ) son continuas, conocemos las soluciones
linealmente independientes del problema homogéneo, digamos y1 ( x ) y y 2 ( x ) , el método de
variación de parámetros da la solución particular [Bender y Orszag (2001)]
x
y VP
I ( x ) = − y1 ( x )∫
x
y 2 (ξ ) f (ξ )
y (ξ ) f (ξ )
dξ + y 2 ( x )∫ 1
dξ
W (ξ )
W (ξ )
(2)
en donde W es el Wronskiano de y1 y y 2 :
W (ξ ) = y1 (ξ ) y ′2 (ξ ) − y1′ (ξ ) y 2 (ξ ) ,
(3)
y prima denota la primera derivada con respecto a ξ . Especializando la función que hace (1)
no homogénea a la función delta de Dirac
f ( x ) = δ ( x − x ′) ,
URL_06_BAS01.doc
(4)
2 de 5
Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
Boletín Electrónico No. 06
y substituyendo (4) en (2), lo que resulta es la función de Green asociada con el operador
diferencial de (1) [Bender y Orszag (2001)]:
g VP ( x | x ′) = −
y1 ( x ) y 2 ( x ′ ) y 2 ( x ) y1 ( x ′ )
+
W ( x ′)
W ( x ′)
(5)
La solución particular de (1) por el método de reducción de orden [Hildebrand (1976)] está
dada par
η
x
dη
y IRO ( x ) = y1 ( x )∫ 2
y1 (ξ )p(ξ ) f (ξ )dξ
y1 (η ) p (η ) ∫
x
+ y 2 (x )∫
η
dη
y 2 (ξ )p (ξ ) f (ξ )dξ
2
y 2 (η ) p(η ) ∫
(6)
en donde
x
p( x ) = ∫ a1 (ζ )dζ
(7)
La formula de Abel [Bender y Orszag (2001)] relaciona (3) con (7) en la siguiente manera:
A
W (x ) =
(8)
p(x )
donde A es una constante arbitraria.
Substituyendo (8) en (6), tenemos
y (ξ ) f (ξ )
(x ) = y1 (x )∫ W (η2 )dη ∫ 1
dξ
W (ξ )
y1 (η )
η
x
y
RO
I
x
+ y 2 ( x )∫
W (η )dη y 2 (ξ ) f (ξ )
dξ .
y 22 (η ) ∫ W (ξ )
η
(9)
Construimos la función de Green asociada con el operador diferencial de (1), de acuerdo con
el método de reducción de orden. Substituyendo (4) en (9) tenemos
g RO ( x | x ′) =
y1 ( x ) y1 ( x ′) x W (η )
y 2 ( x ) y 2 (x ′) x W (η )
d
η
dη
+
W ( x ′) ∫ y12 (η )
W ( x ′) ∫ y 22 (η )
(10)
Si las soluciones particulares de (1) por los métodos de variación de parámetros y reducción
de orden dan el mismo resultado, las funciones de Green (5) y (10) deben de ser iguales.
Asumiendo igualdad término por término, tenemos las siguientes alternativas:
x
x
W (η )
W (η )
y
y1 ( x ′) = y 2 ( x ′)∫ 2
dη
− y 2 ( x ′) = y1 ( x ′)∫ 2 dη
y1 (η )
y 21 (η )
(11)
o
URL_06_BAS01.doc
3 de 5
Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
x
− y1 (x ) = y 2 ( x )∫
W (η )
dη
y 22 (η )
Boletín Electrónico No. 06
x
y
y 2 ( x ) = y1 ( x )∫
W (η )
dη
y12 (η )
(12)
Mientras que los términos a la izquierda del signo de igualdad de (11) son solamente
funciones de x ′ y los términos del lado derecho son funciones de x ′ y x , ambos lados de las
ecuaciones en (12) son solamente funciones de x . Por lo tanto escogemos la segunda
alternativa como la correcta. Tenemos entonces
y1 ( x )
W (η )
∫ y 22 (η )dη = − y 2 (x )
x
x
y
W (η )
y 2 (x )
∫ y (η )dη = y (x )
(13)
W (x ) d ⎡ y 2 (x )⎤
=
⎢
⎥
y12 ( x ) dx ⎣ y1 ( x ) ⎦
(14)
2
1
1
y por inversión de las integrales,
W (x )
d ⎡ y (x ) ⎤
=− ⎢ 1 ⎥
2
dx ⎣ y 2 ( x )⎦
y 2 (x )
y
que dan la relación en (3). Por lo tanto hemos demostrado la igualdad de las funciones de
Green usando los métodos de variación de parámetros y reducción de orden, y, por lo tanto,
los dos métodos dan diferentes pero equivalentes representaciones de la solución particular
de (1).
EJEMPLO
Como se puede apreciar, las representaciones de la función de Green asociada con el
operador diferencial de (1), son singulares. Usaremos un ejemplo de una ecuación diferencial
cuyas soluciones del problema homogéneo pasan por cero, y encontraremos que los métodos
de variación de parámetros y reducción de orden dan la misma función de Green.
Consideraremos la ecuación diferencial
que tiene las soluciones
con Wronskiano
y1 ( x ) = sin x
d 2 y(x )
+ y (x ) = 0
dx 2
y
y 2 ( x ) = cos x
W = −1
(15)
(16)
(17)
Substitución de (16) y (17) en (5) y (10), nos da la función de Green [invariante bajo
traslaciones porque los coeficientes de (15) son constantes]
g VP (x | x ′) = g RO ( x | x ′) = g ( x − x ′) = sin ( x − x ′)
URL_06_BAS01.doc
(18)
4 de 5
Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
Boletín Electrónico No. 06
CONCLUSIONES
¾ El método de reducción de orden provee una representación singular. En este análisis se
presenta un ejemplo con una solución del problema homogéneo que se va a cero.
¾ Se ejemplificó sobre las posibilidades de resolver un problema desde diferentes maneras
llegando a los mismos resultados; es necesario comprobar estas formas de solución
cuando la ecuación diferencial sea igual a una función es vez de una constante
¾ La función de Green converge fácilmente, pero como se observa en la solución, esta es
invariante bajo traslaciones porque los coeficientes son constantes; habría algún tipo de
problema si estos no fueran constantes.
¾ Es interesante notar que nadie se había preocupado de demostrar la equivalencia.
AGRADECIMIENTOS
A uno de nosotros, Maribel Samayoa de Rosales
donó tiempo de computadora del Café Internet
en el mini mercado Economarket (“la tiendita”),
y Liesel de Leiva de la Panadería La Masein,
donó desayunos y almuerzos durante la
traducción de este artículo.
BIBLIOGRAFÍA
¾ BENDER, C.M. Y S.A. ORSZAG, 2001.
Advanced Mathematical Methods for
Scientists and Engineers, Springer-Verlag,
Berlin.
¾ HILDEBRAND, F.B., 1976. Advanced
Calculus for Applications, Prentice-Hall,
Inc., New Jersey.
URL_06_BAS01.doc
5 de 5