bachillerato - IES Nou Derramador

DIBUJO TÉCNICO
BACHILLERATO
Láminas resueltas del
TEMA 2. TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
Departamento de Artes Plásticas
y Dibujo
Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).
Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.
a
A
B
c
C
a
d
=
c
b
D
ac = bd
b = 1 cm
ac = 1d
E
ac = d
A B x CD = d
d
s
B
a
A
c
b 1 cm C
Dados los segmentos AB y BC, hallar su división (AB/CD).
D
Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB
n
A
d
a
=
c
1
AB
CD
B
B
c
C
d
a
=
c
b
n
A
a
D
a
= d
c
=d
c
b
A
1cm.
B
B
b
c
=
c
n
a
A
c2 = b n
c = bn
c = 1n
D 1 cm
b
c
C
c=
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados:
a.b=c 2
a
A
B
b
B
C
n
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados:
a.b=c 2
A
a
B
b
B
C
c
a
=
c
b
a+b
b-a
ab =c c
ab = c2
c
c
A
C
a
b
B
c
a
=
c
b
ab =c c
B
a
C
b
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TG 01
ab = c2
Departamento de
Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1
Curso
Nota
Obtener el segmento “tercera proporcional” a los segmentos
dados a y b. a/b=b/x
a
Obtener el segmento “cuarta proporcional” a los segmentos
dados a y b. a/b=c/x
a
b
b
c
c
b
a
a
b
x
b
Hallar gráficamente el segmento áureo de AB dado
b
=
Obtener gráficamente la siguiente expresión.
Tomar como unidad 10 mm.
a
A
c
x
1+ 3
4
B
b
a
=
1
f = 1,61803..
3b
a
A
3
b
b
c
B
1+ 3
4
1a
1+ 3
4
a+ b
c
5
2
a
c
=
c
b
c2 = ab
La parte pequeña (c) es a la grande (b) como la grande
lo es al todo (a)
1
Dibujar el rectángulo áureo del cuadrado de lado b
b
Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y
su media proporcional.
AB + BC
mpA
AB + BC
b
AB
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TG 02
BC
Departamento de
Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2
Curso
Nota
1.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por
COORDENADAS
A
E
B
D
C
2.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por
TRIANGULACIÓN.
A
E
B
D
C
3.- Dada siguiente figura y los puntos O y P, se pide que construya otra figura IGUAL y que utilice el punto O´conocido donde debe estar situada
la figura. El punto P es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos C y D.
A
B
H
C
D
P
E
G
F
O´
O
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TG 03
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
IGUALDAD.
2.- Trasladar el polígono dado 40 mm con la
dirección dada.
D´
1.- Trasladar el polígono dado 37 mm.,
en la dirección dada d.
D´
D
D
C´
A´
C´
C
C
A´
A
A
B´
B´
B
B
d
d
3.- Dada la recta r con 30º sobre la horizontal,
gírala 90º según el centro de giro O dado.
B´
4.- Dado siguiente triángulo: c=13, b=28 y a=35, se pide:
a. Realizar un giro de 60º CR. según el centro O dado.
b. Con el triángulo obtenido,
Hallar el simétrico con el eje de simetría paralelo al lado
b y a una distancia de 15 mm. 90º.
C
r´
A´
B´
a
b
C´
0
A´
90º
c
A
B
r
B
C´´
A´´
A
0
B´´
5.- Dados los cuadrados ABCD y A´B´C´D´, iguales
y girados, halla el centro de giro.
B´
C´
6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralela
a las anteriores: se pide que construyas el triángulo de lados
AB, BC y AC dados, de manera que tenga un vértice en cada
recta respectivamente.
A
B
B
C
A
D
D´
C
C
C´
C
r
A´
A
A´
a
t
s
B
A
Fecha
Nombre de Alumno
B
B´
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 04
Nota
Título de lámina
IGUALDAD, TRASLACIÓN, GIROS
1.- Trace dos figuras simétricas de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría de una de ellas y O el
centro de simetría de la otra.
E
D´´
A´´
A´
B´
B
C´´
C´
O
B´´
D´
C
A
D
E´
2.- Trace la figura semétrica de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría.
A
B
E´
C´
D
B´
D´
C
E
A´
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 05
Nota
Título de lámina
SIMETRIAS
1.-Dado el polígono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide:
Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razón R = 5:3 con el punto 0 como origen.
O
1
2
A
3
F
R=5:3 ampliación
B
A´
5
F´
D
C
B´
D´
C´
2.- Dado un pentágono regular de lado 27 mm., se pide:
Hallar el polígono semejante de razón = 2/3.
El punto A es un vértice del pentágono y el origen
de semejanza.
3.-Dibujar el heptágono regular una de cuyas
diagonales mide 37 mm.
A=A´
G
G´
C
B´
F´
B
C´
D
B
B´
d = 37
F
E´
C´
D´
D´
A´=A
C
E´
K = 2/3
E
E
D
MN = CD
Fecha
AN = AB + CD Realizar un triángulo
con los dos lados d1 y d2 = AC y BD
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 06
Nota
Título de lámina
SEMEJANZA
1
1.-Trazar la figura homotética de la dada siendo O el
centro de homotecia y el valor de k=2,5 / 3,5.
A
2.- Dibuja la figura homotética a la dada de razón -2,
con centro en O
B
A
A´
o
o
O´
O
M´
M
A´
B´
3.- Dibujar el segmento n 2, siendo n un segmento dado
y considerando el centímetro como unidad. Aplica la
media proporcional.
n
1
=
n
n
X
4.Dibuja un pentagono regular de tal manera que el
vértice A este en la recta r y el vértice B en la recta s.
El lado del pentágono es de 3 cms.
r
n2 = X
n
s
3 Cm
1
X
4. a.-Dibujar un triángulo áureo cuyo lado menor es de 25 mm
b.-Uno de los extremos del lado pequeño, A, del rectángulo está en la recta r y el otro, B, en la recta s. El
segmento AB forma con la recta r un ángulo de 30º. (2 puntos)
r
s
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 07
Nota
Título de lámina
TRANSFORMACIONES, PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA
1.- Resuelve tú mismo: Tenemos un campo de fútbol de 1.400 mm.
en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm.
Aplicar la fórmula y decir a qué escala estará representado:
medidas en el dibujo
70 mm
escala =
medidas en la realidad
1
fórmula E =
=
20
1.400 mm
escala E = 1 / 20
2.- Dibujar la escala gráfica E = 1:40
En este caso conviene utilizar metros para realizar la escala, pues como
1 unidad del dibujo representa 40 unidades reales, 1 metro estará representado por 1/40 metros. 1/40 m = 0.025 m = 2.5 cm.
Cada metro estará representado por 2.5 cm.
1
0
1m
2m
3m
4m
5m
3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000 En este caso, 1 km real será 1/75.000 en el dibujo,
es decir = 0.000013 km = 1.3 cm. Como 1.3 es difícil de representar con exactitud, dibujaremos gráficamente
por teorema de tales la expresión 4/3 que es el mismo resultado.
10/7.5 = 20/15 = 4/3
4 cm.
0
1
0
1
1
2
1km
3
2km
4
3km
5
4km
6
1,4 cm
4.- Dibujar la escala volante E = 7:5
7
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
5.- Dibujar la escala volante E = 1/175 = 1 metro/175 = 100 cm / 175 = 4/7
1
4 cm
1
0
1 km
2 km
3 km
4 km
5
km
6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500 = 2.666 = 8/3
7.- Dibuja la escala gráfica 8/1 = 8 unidades del dibujo corresponden a una en la realidad. Si aplicamos mm. sería
8 mm = 1 mm en la realidad.
1
Fecha
0
1
2
4
3
5
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 08
Nota
Título de lámina
ESCALAS.
1.- Calcular la altura señalada en el triángulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real.
Gráficamente
AB = 4 cm en el dibujo y 10 cm en la realidad.
C
medidas en el dibujo
escala =
escala =
medidas en la realidad
4 cm
10 cm
=
2
h real
5
h = 23 mm = 2,3 cm = 2,3X5/2 = 5.75 en la realidad.
h
A
B
h real
2 cm
h
2.- Dado el segmento B´C´= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numérica y gráficamente su verdadera
magnitud.
9 cms
C´
B´
7/9 = dibujo/real = 39/X
7
9
39
X
39x9/7=50,14 mm
50,14 mm
7 cms
3.- Determinar a qué escala están dibujadas las siguientes figuras:
36 mm
30 mm
36 mm dibujo
6
54 mm real
9
30 mm
3
70 mm
7
70 mm
54 mm
4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibújala a escala E = 5/2
escala 5/2
escala 1/1
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 09
Nota
Título de lámina
ESCALAS.
EQUIVALENCIA.
Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solución de problemas de equivalencia
es más bien geométrico que de aplicación en dibujo.
2.- Construcción de un polígono equivalente a otro pero
que tenga un lado menos.
1.- Dado un triángulo, dibujar otro equivalente.
A
D
E
F
A
h
D
Base
C
B
C
El área de un triángulo = base X altura, por lo tanto cualquier triángulo
que tenga la misma base y la misma altura tendrá el mismo área.
3.- Construye un triángulo equivalente al polígono dado.
G
B
Se triangula por uno de sus vértices. Se halla el triángulo equivalente.
= ABF triángulo de base FB y altura BG, luego FBG misma base y altura
4.- Dado un cuadrado, dibujar un triángulo equivalente.
El ejercicio podría ser a la inversa
E
E´
I
r
C
D
A
H
L
h/2
D
B
F
C´
C
B
h/2
A
G
B´
2
Igual que ejercicio anterior pero con todos los triángulos del polígono
5.- Cuadratura del círculo. Dada la circunferencia O,
Hallar el cuadrado equivalente.
Bxh = LxL = L
2
2
= el área del cuadrado (L)
es la media proporcional
entre la base (FA) y la mitad de la altura del triángulo
buscado (AG = AH)
6.- Dibujar un cuadrado que tenga por área el doble
que otro dado ABCD..
J
C
D
Q
r
R
O
L
D
C
E
r
M
B
A
r
2
pr.r = L
N
pr
el lado del cuadrado será la media proporcional entre
la mitad del área del círculo y el radio del mismo.
Fecha
A
B
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 10
Nota
Título de lámina
EQUIVALENCIA
3
7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectángulo equivalente al cuadrado (uno de los lados
del rectángulo mide 40 mm.)
Solución a:
D
C
A
B
B
Solución b:
L = 60 mm
media proporcional entre lado menor
y lado mayor
l = 40 mm
lado mayor
A
0
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 11
Nota
Título de lámina
SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA
3
1. Dibujar un trapecio con los datos:
Base mayor AB = 50mm. Base menor CD = 27 mm
Lados BC = 29 mm y AD = 26 mm.
área del trapecio: (BM.Bm).h
Trazar el cuadrado equivalente
2. Dividir el triángulo ABC en 4 partes equivalentes,
por medio de líneas paralelas al lado AB
2
(BM.Bm).h
2
2
= L
B
A
B
Se debe de hallar la media
proporcional entre la mitad
de la suma de las bases y
la altura.
El valor de la media
proporcional es la longitud
del lado del cuadrado
C
A
3. Obtener un rectángulo, cuyos lados estén en la
proporción 4:6 y su superficie es equivalente a la de un
triángulo equilátero de 30 mm. de lado
4.Obtener dos segmentos que sumen 70 mm. y estén
en la relación 3:8
3 partes
8 partes
5. Obtener dos segmentos que estén en relación de 3:4
y su diferencia sea 20 mm.
Igualar las áreas de un triángulo (base b, altura h) con la de un
rectángulo (base B, altura H) --> b·h/2 = B·H ; y como la relación
entre los lados del rectángulo es H/B = 2/3, sustituyendo queda
b·h/2 = B·(2B/3), que reordenándolo da (b/2) / B = B / (3h/2)
(o cualquier otra de las posibles combinaciones) luego se trata de
resolver esa media proporcional.
Se halla la media proporcional entre el segmento mitad de la base del
triángulo y la altura+1/2h, es decir el segento una vez y media de la
altura. El segmento obtenido es la base del rectángulo. Dividirlo en tres
partes iguales y coger 2 para la altura del rectángulo
6. Obtener el cuadrado equivalente a la suma de otros
tres cuadrados de lados:
2
2
2
l1
SL3=SL2+SL1 L=L2+L1
l2
4 partes
b
20 mm
a
n
7. Dado un pentágono de 20 mm. de lado, se pide que
representes un pentágono semejante de 175 mm. de
perímetro, y otro de 15 mm. de apotema.
Teorema de pitágoras en los que los catetos son L2 y L1 y la
hipotenusa es L3
Son dos pentágonos
dibujados por
semejanza.
D´
l3 l3
SL4=SL2+SL1+SL3
2
2
L
L2
D´´
2
L=L2+L1
D
2
L=
L1
apotema
SL4=SL+SL3
l4
l3
lado 35 mm
SL2+SL1=L
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 12
Nota
Título de lámina
SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA
2. Dividir el triángulo ABC en 4 partes equivalentes,
por medio de líneas paralelas al lado AB
B
División en dos partes equivalentes.
Se ha realizado la media proporcional entre
el lado b y su mitad.
B
C
A
C
A
B
B
Para dividir el triángulo en tres
partes equivalentes entre sí
se superponen dos triángulos
divididos en dos.
Para la práctica: dividir en tres partes
el lado del triángulo b
C
A
Para dividir en un número superior, como
en este caso en 4 partes dividir el lado en
cuatro partes iguales.
C
A
3. Obtener un rectángulo, cuyos lados estén en la
proporción 4:6 y su superficie es equivalente a la de un
triángulo equilátero de 30 mm. de lado
“La venus del espejo”, Velazquez, s. XVII
National Galery. London.
Rectángulo en proporción 4:6
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
TG 12
Nota
Título de lámina
SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA
Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas.
Razone la solución.
A
B´
A´
B
Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultánamente en las rectas r y s y que
formen 45º con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solución.
r
40 mm.
45º
45º
s
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
TG 13
Título de lámina
PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS. SOLUCIÓN
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Dadas dos rectas que se cortan fuera de los límites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellas
y que pase por el punto dado.
A
Halla los puntos B y C que están a 2 cm de A y equidistan de los lados del ángulo
A
C
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
TG 14
Título de lámina
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Dadas dos rectas r y r´ y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y s.
72º
s
r
P
1
Croquis
A
P
s
s
P
F
B
1´
1
A
F´
r
B
1´
r
Los triángulos F yF´son iguales.
Dadas dos rectas r y s, situar un pentágono regular ABCDE de lado la raíz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado AB
esté en r y el vértice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deberá obtener gráficamente.
B
C
A
B
D
A
E
r
s
6
6
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TG 15
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN
1 cm.
cm.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
1.- Dada la siguiente homología, hallar el punto B´, homólogo
de B.
2.- Dada la siguiente homología, hallar la recta r´ homóloga de
r.
O
O
A
B
B
A
eje
eje
B´
A´
A´
B´
3.- Dada la figura ABC y un punto homólogo A´, construir la
figura homóloga.
O
4.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo el
centro de homología O, el eje y un par de rectas
homólogas
o
B
A
r
B
eje
A´
C
A
eje
B´
A´
C´
r´
B´
5.- Hallar el homólogo de B conociendo los datos del
ejercicio.
6.- Halla el homólogo A´ de un punto A conociendo el
centro, el eje y la recta límite l.
o
o
A
C
l (recta límite)
B
A
eje
eje
B´
C´
A´
A´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
TG 16
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Título de lámina
HOMOLOGÍAS. AFINIDAD
Representa la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son respectivamente A´ y C´
y el punto homólogo de B está sobre la recta r´. Indique los parámetros que definen la homología. (PAU sept. 2010)
C
A
K
Q
r
B
P
M
N
C´
A´
K´
P´
N´
Q´
B´
M´
r´
EJE
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Curso:
Nombre lámina
TG 17
Nota:
AFINIDAD
1.- Hallar el afín B´del punto B, conociendo la dirección de
afinidad, el eje y un par de puntos afines A y A´
r
A
2.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo la
dirección de afinidad, el eje y un par de rectas
homólogas
d
A
B
r
eje
eje
r´
A´
r´
3.- Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo
el eje y un punto afín C´
4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que el
punto A es doble y los punto B´y C´ son afines.
C
D
D´
E
A
E´
F
B
E
D
C
F´
A
C´
eje
C´
B´
D´
B
A´
E´
B´
5.- Trazar la figura afín de la dada con los datos que se
indican.
6.- Determine la figura afín al polígono ABCD, conocidos
el punto afín A y el eje de afinidad.
Indique la dirección de afinidad d
C
A
D
A´
D
D´
d
B
A
C
C
eje
B
B´
B´
A´
eje
D´
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Curso:
Nombre lámina
TG 18
C´
Nota:
AFINIDAD
4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que el
punto A es doble y los punto B´y C´ son afines.
C
D
F
E
A
C´
B
B´
Fecha
N. lámina
Nombre alumno
TG 19
Curso:
Nombre lámina
Nota:
AFINIDAD
Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB, con los siguientes datos: centro O, eje E
y siendo A´el punto homólogo de A. El vértice C está al otro lado del eje.
O
A
B
C´
E
M
N
B´
A´
C
Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A´, se pide hallar la figura afín de la dada. Decir cuál es la
dirección de afinidad.
D
A
B´
C
E
N
M
B
C´
d
A´
D´
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Curso:
Nombre lámina
TG 20
Nota:
AFINIDAD
Dada la homología definida por su centro O, el eje E y un par de puntos homólogos A y A´, se pide:
1. Obtener la figura homóloga del cuadrilátero ABCD
2. Dibujar el cuadrilátero SEMEJANTE al obtenido con razón de semejanza K = 2/3
3. Obtener el triángulo EQUIVALENTE al cuadrilátero resultante anterior.
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
TG 21
Curso:
HOMOLOGIA - SEMEJANZA - EQUIVALENCIA
Nota: