Unidad 1. Introducción a la Teoría de Gráficas Archivo

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Teoría de Gráficas
Unidad 1 Introducción a la teoría de gráficas
La T e o r í a d e G r á f i c a s es una técnica con la que se visualiza de forma global,
holística o sistémica un problema. Esta técnica ayuda a comprender y análisis problemas
de:
Procesos Estocásticos
Optimización lineal
Redes
Árboles de decisión
Probabilidad, etc.
Soluciona y analiza un problema, cuidando que se visualicen todos los sus elementos y la
relación entre ellos mediante una gráfica.
Una g r á f i c a consiste en un conjunto de elementos llamados vértices y líneas los cuales
están relacionados entre si de tal forma que a cada línea se le asocia un par de vértices.
Ejemplo:
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 1
Cuando una línea tiene dos vértices terminales de modo que existe una distinción con
respecto a ir de un vértice a otro se tiene una g r á f i c a d i r i g i d a o D i g r á f i c a .
Ejemplo:
De lo contrario se tiene una g r á f i c a s n o d i r i g i d a s .
Ejemplo:
Conceptos de gráficas no dirigidas
Los vértices asociados a una línea se llaman v é r t i c e s t e r m i n a l e s .
Página 2
En una gráfica se pede tener una línea que esta asociada a un solo vértice, a esta línea
se le llama b u c l e .
La relación entre un para de vértices no siempre es única, por lo tanto se pueden tener
varias líneas asociadas al mismo par de vértices. Estas líneas se llaman L í n e a
paralelas.
Nota: Algunos autores les llaman seudo gráficas
Ejemplos: Sea la siguiente gráfica analicemos lo siguiente:
Los vértices terminales de la línea 3 son A y C.
En el caso de la línea 5 tiene como vértice terminal al vértice A,
como es el único esta línea es un bucle.
Las Líneas paralelas de esta gráfica son la 2 y 4.
Cuando un vértice es terminal de una línea se dice que son i n c i d e n t e s . Esto es, que el
vértice incide en la línea o que la línea incide en el vértice.
Si dos líneas no paralelas son incidentes de un vértice en común se llaman l í n e a s
adyacentes.
Dos v é r t i c e s son a d y a c e n t e s si comparten una línea en común.
El número de líneas que inciden en un vértice es el g r a d o o v a l e n c i a se denota como
d (v i ) .
Teorema: Si una gráfica sin bucles tiene e líneas y n vértices, la suma del grado de sus
n
vértices es igual a dos veces el número de líneas, esto es:
d (v i )
2e
i 1
Ejemplo:
Sea la siguiente gráfica, el grado de los vértices es
d (A)
3
d (B)
4
d (C)
3
Página 3
3
d (v i )
3 4 3 10
2(5) donde 5 es el número de líneas
i 1
Teorema: El número de vértices de grado impar en una gráfica sin bucles es par.
Ejemplo:
En este caso la grafica tiene sólo dos vértices de grado impar.
Un v é r t i c e es a i s l a d o si tiene grado cero.
Un v é r t i c e de grado uno es c o l g a n t e o f i n a l
Dos l í n e a s están e n s e r i e si son adyacentes y su vértice común tiene grado dos.
Una s u b g r á f i c a g es una subgráfica de G si todos los vértices de g estén contenidos
en G y además cada línea de g tiene los mismos vértices terminales que en G.
Ejemplo: Sea la siguiente gráfica.
Las siguientes gráficas son subgráficas de esta:
Página 4
Contra ejemplo:
Las siguientes gráficas no son subgráficas
En la primera gráfica podemos ver que la línea 4 no tiene los mismos vértices terminales
que la gráfica original.
En la segunda el vértice A y C están cambiados por lo tanto no es subgráfica.
Observaciones:
Una gráfica es subgráfica de si misma
Si se tienen 3 subgráficas g1,g2 y g3 tal que g1 g2 y g2 g3
g1 g3
Un vértice es subgráfica de G
Una línea de G con sus vértices terminales es subgráfica de G
Dos o más s u b g r á f i c a s g1 y g2 son d e l í n e a s d i s j u n t a s si no tienen líneas en
común.
Dos o más s u b g r á f i c a s son d e v é r t i c e s d i s j u n t o s si no tienen vértices en
común.
Ejemplo
Página 5
Si comparamos las subgráficas anteriores
Subgráficas
Líneas disjuntas
Vértices
Disjuntos
g1 vs g2
Si
Si
g1 vs g3
Si
No
G2 vs g3
Si
No
Las subgráficas de líneas disjuntas se llaman c o m p o n e n t e s y son a su ves subgráficas
conectadas.
Nota: Los vértices aislados por definición son componentes.
Ejemplo: Esta es una gráfica con 4 componentes
Un p a s e o es una secuencia finita y alterna de vértices y líneas, comenzando y
terminando en un vértice, tal que cada línea es incidente con los vértices anteriores y
posteriores.
Un p a s e o a b i e r t o es aquel que termina en un distinto vértice al cuál se inicia.
Un p a s e o c e r r a d o es aquel que termina en el mismo vértice al cuál se inicia.
Una t r a y e c t o r i a es un paseo abierto en donde no se repiten vértice ni líneas.
Un c i r c u i t o es un paseo cerrado donde no se repiten líneas y el único vértice que se
repite es el primero al final.
Página 6
Ejemplos: Sea la siguiente gráfica
Clasificaremos los siguientes paseos como: paseos abiertos, cerrados, trayectorias y
circuitos
Paseo
Tipo de Paseo
Trayectoria o
Circuito
B,5,A,6,D
Abierto
Trayectoria
A,1,B,2,C,4,C,3,A
Cerrado
Nada
B,2,C,4,C,3,A
Abierto
Nada
C,4,C
Cerrado
Circuito
A,1,B,2,C,3,A,8,E,9,C
Abierto
Nada
E,8,A,3,C,9,E
Cerrado
Circuito
D,6,,A,8,E,9,C,2,B
abierto
Trayectoria
Nota: no todos los paseos cerrados son circuitos, ni todos los paseos abiertos son
trayectorias
Tipos de Gráficas
En las gráficas no importa la forma sino la relación entre los vértices. Se dice que dos
g r á f i c a s son i s o m ó r f i c a s si cumplen las siguientes condiciones:
Tienen el mismo número de vértices
Tienen el mismo número de líneas
Representan exactamente la misma relación
Página 7
Ejemplo:
Una gráfica que no contiene líneas es llamada g r á f i c a n u l a .
Nota: El número de vértices no puede ser nulo
Una g r á f i c a s i m p l e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas
Una g r á f i c a g e n e r a l es aquella que contiene bucles y/o líneas paralelas.
Ejemplo:
Gráfica Simple
Gráfica General
Las gráficas pueden ser f i n i t a s o i n f i n i t a s
Una g r á f i c a está c o n e c t a d a si se puede alcanzar un vértice cualquiera a partir de
cualquier otro, es decir, si entre cada par de vértices existe por lo menos un paseo que los
une.
Página 8
Teorema: una g r á f i c a esta d e s c o n e c t a d a si y sólo si su conjunto de vértices puede
particionarse en dos subconjuntos no vacíos, de modo que no existen líneas en G que
comiencen en uno de los subconjuntos y terminen en el otro.
Ejemplo: Una gráfica desconectada con 4 componentes
Teorema: Si una gráfica (conectada o desconectada) tiene exactamente dos vértices de
grado impar, deberá existir un paseo que los una.
Teorema: Una gráfica simple con n vértices y k componentes puede tener a lo más
(n k )(n k 1)
lineas.
2
Una g r á f i c a c o m p l e t a es una gráfica simple donde cada para de vértices es
adyacente. Se denota como Kn, donde n es el número de vértices.
Teorema: El grado de cada vértice en una gráfica completa Kn es n-1, y
el número de líneas de Kn es
n(n 1)
2
Ejemplo: Las siguientes gráficas son completas
Página 9
Una g r á f i c a r e g u l a r es una gráfica simple donde todos los vértices tienen el mismo
grado.
Teorema el número de líneas de una gráfica regular de grado r con n vértices es
nr
2
Ejemplo:
Una g r á f i c a b i p a r t i d a o bicoloreable es aquella en que el conjunto de vértices
puede dividirse en dos subconjuntos distintos, de modo que cada línea de la gráfica
tiene como vértices terminales uno de cada subconjunto.
Ejemplo: Gráficas bipartidas:
Si en una gráfica bipartida todos los vértices de uno de los subconjuntos son adyacentes
a los vértices del subconjunto opuesto se tiene una g r á f i c a b i p a r t i d a c o m p l e t a
K r , s , donde r y s son el número de vértices de cada subconjunto.
Ejemplo: Gráfica bipartida completa K3,3
Página 10
Operaciones entre gráficas
G 2 ) : Es una nueva gráficas que contiene la unión de vértices y la
unión de líneas, si existen líneas en común se ponen sólo una ves, si la línea.
Unión (G1
G 2 ) : Es una gráfica que contiene los vértices que hay en
común en las gráficas y las líneas.
Intersección (G1
S u m a ( G 1 + G 2 ) : Es una gráfica que contiene la unión de las gráficas y además
todos los vértices de la primero gráfica deben ser adyacentes a los de la segunda.
Suma anillo (G1
aparecen en ambas.
G 2 ) : Es la gráfica, es la unión de las gráficas, sin las líneas que
S u p r e s i ó n o r e s t a s : Esta operación se puede efectuar sobre varios elementos:
R e s t a d e u n v é r t i c e ( G - v i ) : Es la misma gráfica sin el vértice ni las líneas que
inciden en él.
R e s t a d e u n a l í n e a ( G - e i ) : Es la misma gráfica sin la línea.
R e s t a d e u n a s u b g r á f i c a ( G - g i ) : Es la misma gráfica sin la subgráfica ni las
líneas que inciden en algún vértice de la subgráfica.
F u s i ó n ( G / e i ) : Es la gráfica G sin la línea y además se fusionan sus dos vértices
terminales en uno solo.
Ejemplo: Sean las siguientes gráficas:
Página 11
Realizar las siguientes operaciones:
G1
G2
G1+G2
G1
G2
G1
G2
Página 12
G2-c
G2-1
G2-g1
G1/2
Página 13
Conceptos de digráficas
En una gráfica dirigida se tienen dos tipos de grado:
El número de líneas que inciden hacia fuera de un vértice se llama g r a d o e x t e r n o ,
esto es las líneas que salen. Se denota como d+(vi)
El número de líneas que inciden hacia adentro de un vértice se llama g r a d o i n t e r n o ,
esto es las líneas que llegan. Se denota como d-(vi)
Teorema: La suma de los grados internos de los vértices de una digráfica es igual a la
suma de los grados externos y es igual al número de líneas que contiene la digráfica.
n
n
d (vi )
i 1
d (vi )
e
i 1
Un v é r t i c e es a i s l a d o , si su grado interno y externo son ceros.
Un v é r t i c e es f i n a l , o final si su grado externo es cero y el interno diferente de cero.
Un v é r t i c e es i n i c i a l , si su grado interno es cero y el externo diferente de cero.
Dos l í n e a s son p a r a l e l a s si inciden en los mismos vértices terminales y además tienen
la misma dirección.
Un p a s e o d i r i g i d o es una secuencia alterna de vértices y líneas donde cada una
aparece sólo una vez y en la secuencia de un vértice a otro existe una línea con esa
dirección
Si el paseo existe en la gráfica no dirigida se llama s e m i p a s e o .
Una t r a y e c t o r i a
vértices.
d i r i g i d a es un paseo dirigido abierto donde no se repiten
Un c i r c u i t o d i r i g i d o es un paseo dirigido cerrado donde el único vértice que se
repite es el primero al final.
Tipos de Digráficas
Dos g r á f i c a s son i s o m ó r f i c a s , si sus gráficas no dirigidas lo son y además las
direcciones de las líneas coinciden.
Ejemplo: Las siguientes dos digráficas son isomórficas
Página 14
Una d i g r á f i c a s i m p l e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas en
términos de digráficas.
Ejemplo Digráfica simple
Una d i g r á f i c a s i m é t r i c a es aquella en donde para cada línea de ida existe otra de
regreso.
Ejemplo: Digráfica simétrica:
Página 15
Una d i g r á f i c a a s i m é t r i c a es la que no es simétrica.
Ejemplo: Digráfica asimétrica
Una d i g r á f i c a s c o m p l e t a es aquella en donde para cada par de vértices existe una
línea de ida y otra de regreso. Se denota como DKn.
Ejemplo: Digráfica completa
Una d i g r á f i c a r e g u l a r de grado r,s es aquella donde todos los vértices tienen el
mismo grado interno y externo.
Ejemplo: Digráfica regular
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Una d i g r á f i c a b a l a n c e a d a es aquella que en cada vértice el grado externo y el
interno son iguales.
Ejemplo: Digráfica balanceada
Una d i g r á f i c a c o n e c t a d a es aquella en la cuál existe un paseo dirigido entre
cualquier para de vértices.
Teorema: una digráfica simple con n vértices y k componentes tiene a lo más (n-k)(n-k+1)
líneas.
Relaciones binarias
Toda gráfica proviene de una relación binaria, dado que se tiene un conjunto de objetos
x1 , x 2 ,..., x n y R es una relación entre los pares de vértices xi , x j , para
X donde X
la cual se dice que x i tiene relación con xi . Las relaciones se clasifican de la siguiente
manera:
R e l a c i ó n r e f l e x i v a : Es cuando cada elemento xi tiene relación con xi
R e l a c i ó n s i m é t r i c a : Es cuando para cada elemento xi que tiene relación con x j
existe también una relación que
x j con xi .
R e l a c i ó n t r a n s i t i v a : Es cuando se tiene que de tres elementos xi R x j y x j R x k
entonces se tiene xi R x k .
R e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a : Es la que cuenta con ser reflexiva, transitiva y
simétrica.
Ejemplo: la siguiente gráfica cumple con todas las relaciones
Simétrica por que para cada línea que existe hay una relación de ida y regreso
Página 17
Reflexiva ya que todos los vértices contiene bucles
La transitiva por la transitividad de las relaciones
Por lo tanto es una relación de equivalencia
Conceptos aplicables a gráficas y Digráficas
La l o n g i t u d d e u n p a s e o es el número de líneas que contiene el paseo.
La D i s t a n c i a e n t r e d o s v é r t i c e s es la longitud del paseo mínimo que los une.
Sea G una gráfica conectada o un componente si al eliminarse un línea se desconecta
la gráfica a ésta se le llama l í n e a d e c o r t e o p u e n t e .
Si G contiene un vértice que al eliminarlo se desconecta la gráfica, entonces éste es un
punto de articulación.
Una gráfica que no contiene puntos de articulación se llama B l o q u e .
Una gráfica que contiene varios puntos de articulación se llama g r á f i c a s e p a r a b l e .
Ejemplo:
La siguiente gráfica contiene un punto de articulación que es
C
La línea de corte es 3
Página 18
Ordenamiento de una gráfica sin circuitos
Sea G una gráfica sin circuitos:
La generación G0 es la subgráfica formada por los vértices iniciales.
La generación G1 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar la
operación de G- G0
La generación G2 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar
la operación de G- G0- G1
Y así sucesivamente, Gn es la última generación y esta formada por los vértices terminales
de la gráfica original
Nota: Para ordenar una gráfica que contenga circuitos lo que se hace es fusionar el
circuito en un solo vértice y ordenar esa gráfica.
Ejemplo: Sea la siguiente gráfica ordenarla por generaciones
Cómo la gráfica tiene circuitos hay que fusionarlos en un solo vértice (DE) y nos queda la
gráfica de la siguiente manera:
Página 19
Ahora si ya podemos ordenar la gráfica. Nos queda de la siguiente manera:
Árboles
Sea T una gráfica con n vértices los siguientes enunciados son equivalentes:
T es un árbol
T no contiene circuitos y tiene n-1 líneas
T es conectada y cada línea de es puente
Entre cada dos vértices existe una trayectoria única
La adición de cualquier línea entre dos vértices ya existente crea un circuito
T tiene al menos dos vértices colgantes
Ejemplo: Las siguientes gráficas son árboles
Un b o s q u e es un conjunto de árboles
Página 20
Teorema: Un bosque B con n vértices y k árboles tiene n-k líneas
L a d i s t a n c i a e n t r e 2 v é r t i c e s en árboles es la longitud del camino o trayectoria
que los une.
L a e x c e n t r i c i d a d d e u n v é r t i c e es la distancia del vértice al más alejado
E l c e n t r o d e u n á r b o l es el o los vértices de excentricidad mínima.
Teorema: Un árbol tiene 1 0 2 centros
Demostración: Elimine los vértices colgantes sucesivamente y hasta el final quedarán el o
los centros
Un árbol arraigado es cuando en un árbol se identifica un nodo como raíz y se distingue
con un marco
Ejemplo: Sea el siguiente árbol arraigado, encuentre los centros:
Las excentricidades de los vértices son las siguientes:
e(A)=4
e(B)=3
e(G)=6
(Centro)
e(H)=5
e(C)=4
e(I)=6
e(D)=4
e(J)=6
e(E)=4
e(K)=6
e(F)=4
e(L)=6
Un á r b o l b i n a r i o es aquel que cada nodo tiene a lo más dos hijos
Un á r b o l e s t r i c t a m e n t e b i n a r i o es aquél que cada nodo tiene cero uno o dos
hijos.
Ejemplo
Página 21
El primero no es estrictamente binario por que el vértice C sólo tiene un hijo.
Observaciones de un árbol estrictamente binario:
Existe un solo vértice de grado par la raíz
Los demás vértices son de grado 1 0 3
El número de vértices de un árbol estrictamente binario es siempre impar
El número de vértices colgantes de un
(n 1)
2
Transformación de un árbol en uno estrictamente binario:
En ocasiones es más fácil leer en un árbol binario que otros
Paso 1: Selecciona la raíz del árbol original
Paso 2: Genera un nuevo nodo cuyo hijo izquierdo se el subárbol izquierdo de la raíz y el
derecho lo que resta incluyendo la raíz
Paso 3: Repetir desde el paso uno con todos los subárboles hasta que todos los vértices
del árbol original sean colgantes o finales
Ejemplo: Sea el siguiente árbol trasformarlo en uno estrictamente binario
Página 22
Recorrido de árboles
Los árboles binarios se recorren de dos formar, p o r n i v e l e s tenemos el:
T o p - D o w n : Se recorre de arriba a bajo y de izquierda a derecha.
B o t t o m - T o p : De abajo hacia arriba y de izquierda a derecha.
Nota: El árbol tiene que estar ordenado por niveles donde el primer nivel es la raíz el
segundo los hijos de la raíz el tercero los hijos de los hijos de la raíz y así sucesivamente.
El otro recorrido es p o r s u b á r b o l e s y tenemos:
I n o r d e n : Se recorrer el subárbol izquierdo, después se lee la raíz y por último el subárbol
derecho.
P o s o r d e n : Se recorre el subárbol izquierdo después el subárbol derecho y al final se lee
la raíz.
P r e o r d e n : Se lee la raíz después el subárbol izquierdo y al final el subárbol derecho.
Ejemplo: Sea el siguiente árbol recorrer en todos las formas.
Top-down: B,D,A,E,F,C,H,G,I,J,K,L
Bottom-Top: G,I,J,K,L,E,F,C,H,D,A,B
Inorden: E,D,G,F,I,B,J,C,A,K,H,L
Posorden: E,G,I,F,D,J,C,K,L,H,A,B
Preorden: B,D,E,F,G,I,A,C,J,H,K,L
Página 23

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