Unidad 1. Introducción a la Teoría de Gráficas Archivo
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Teoría de Gráficas Unidad 1 Introducción a la teoría de gráficas La T e o r í a d e G r á f i c a s es una técnica con la que se visualiza de forma global, holística o sistémica un problema. Esta técnica ayuda a comprender y análisis problemas de: Procesos Estocásticos Optimización lineal Redes Árboles de decisión Probabilidad, etc. Soluciona y analiza un problema, cuidando que se visualicen todos los sus elementos y la relación entre ellos mediante una gráfica. Una g r á f i c a consiste en un conjunto de elementos llamados vértices y líneas los cuales están relacionados entre si de tal forma que a cada línea se le asocia un par de vértices. Ejemplo: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 1 Teoría de Gráficas Cuando una línea tiene dos vértices terminales de modo que existe una distinción con respecto a ir de un vértice a otro se tiene una g r á f i c a d i r i g i d a o D i g r á f i c a . Ejemplo: De lo contrario se tiene una g r á f i c a s n o d i r i g i d a s . Ejemplo: Conceptos de gráficas no dirigidas Los vértices asociados a una línea se llaman v é r t i c e s t e r m i n a l e s . Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 2 Teoría de Gráficas En una gráfica se pede tener una línea que esta asociada a un solo vértice, a esta línea se le llama b u c l e . La relación entre un para de vértices no siempre es única, por lo tanto se pueden tener varias líneas asociadas al mismo par de vértices. Estas líneas se llaman L í n e a paralelas. Nota: Algunos autores les llaman seudo gráficas Ejemplos: Sea la siguiente gráfica analicemos lo siguiente: Los vértices terminales de la línea 3 son A y C. En el caso de la línea 5 tiene como vértice terminal al vértice A, como es el único esta línea es un bucle. Las Líneas paralelas de esta gráfica son la 2 y 4. Cuando un vértice es terminal de una línea se dice que son i n c i d e n t e s . Esto es, que el vértice incide en la línea o que la línea incide en el vértice. Si dos líneas no paralelas son incidentes de un vértice en común se llaman l í n e a s adyacentes. Dos v é r t i c e s son a d y a c e n t e s si comparten una línea en común. El número de líneas que inciden en un vértice es el g r a d o o v a l e n c i a se denota como d (v i ) . Teorema: Si una gráfica sin bucles tiene e líneas y n vértices, la suma del grado de sus n vértices es igual a dos veces el número de líneas, esto es: d (v i ) 2e i 1 Ejemplo: Sea la siguiente gráfica, el grado de los vértices es d (A) 3 d (B) 4 d (C) 3 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 3 Teoría de Gráficas 3 d (v i ) 3 4 3 10 2(5) donde 5 es el número de líneas i 1 Teorema: El número de vértices de grado impar en una gráfica sin bucles es par. Ejemplo: En este caso la grafica tiene sólo dos vértices de grado impar. Un v é r t i c e es a i s l a d o si tiene grado cero. Un v é r t i c e de grado uno es c o l g a n t e o f i n a l Dos l í n e a s están e n s e r i e si son adyacentes y su vértice común tiene grado dos. Una s u b g r á f i c a g es una subgráfica de G si todos los vértices de g estén contenidos en G y además cada línea de g tiene los mismos vértices terminales que en G. Ejemplo: Sea la siguiente gráfica. Las siguientes gráficas son subgráficas de esta: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 4 Teoría de Gráficas Contra ejemplo: Las siguientes gráficas no son subgráficas En la primera gráfica podemos ver que la línea 4 no tiene los mismos vértices terminales que la gráfica original. En la segunda el vértice A y C están cambiados por lo tanto no es subgráfica. Observaciones: Una gráfica es subgráfica de si misma Si se tienen 3 subgráficas g1,g2 y g3 tal que g1 g2 y g2 g3 g1 g3 Un vértice es subgráfica de G Una línea de G con sus vértices terminales es subgráfica de G Dos o más s u b g r á f i c a s g1 y g2 son d e l í n e a s d i s j u n t a s si no tienen líneas en común. Dos o más s u b g r á f i c a s son d e v é r t i c e s d i s j u n t o s si no tienen vértices en común. Ejemplo Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 5 Teoría de Gráficas Si comparamos las subgráficas anteriores Subgráficas Líneas disjuntas Vértices Disjuntos g1 vs g2 Si Si g1 vs g3 Si No G2 vs g3 Si No Las subgráficas de líneas disjuntas se llaman c o m p o n e n t e s y son a su ves subgráficas conectadas. Nota: Los vértices aislados por definición son componentes. Ejemplo: Esta es una gráfica con 4 componentes Un p a s e o es una secuencia finita y alterna de vértices y líneas, comenzando y terminando en un vértice, tal que cada línea es incidente con los vértices anteriores y posteriores. Un p a s e o a b i e r t o es aquel que termina en un distinto vértice al cuál se inicia. Un p a s e o c e r r a d o es aquel que termina en el mismo vértice al cuál se inicia. Una t r a y e c t o r i a es un paseo abierto en donde no se repiten vértice ni líneas. Un c i r c u i t o es un paseo cerrado donde no se repiten líneas y el único vértice que se repite es el primero al final. Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 6 Teoría de Gráficas Ejemplos: Sea la siguiente gráfica Clasificaremos los siguientes paseos como: paseos abiertos, cerrados, trayectorias y circuitos Paseo Tipo de Paseo Trayectoria o Circuito B,5,A,6,D Abierto Trayectoria A,1,B,2,C,4,C,3,A Cerrado Nada B,2,C,4,C,3,A Abierto Nada C,4,C Cerrado Circuito A,1,B,2,C,3,A,8,E,9,C Abierto Nada E,8,A,3,C,9,E Cerrado Circuito D,6,,A,8,E,9,C,2,B abierto Trayectoria Nota: no todos los paseos cerrados son circuitos, ni todos los paseos abiertos son trayectorias Tipos de Gráficas En las gráficas no importa la forma sino la relación entre los vértices. Se dice que dos g r á f i c a s son i s o m ó r f i c a s si cumplen las siguientes condiciones: Tienen el mismo número de vértices Tienen el mismo número de líneas Representan exactamente la misma relación Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 7 Teoría de Gráficas Ejemplo: Una gráfica que no contiene líneas es llamada g r á f i c a n u l a . Nota: El número de vértices no puede ser nulo Una g r á f i c a s i m p l e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas Una g r á f i c a g e n e r a l es aquella que contiene bucles y/o líneas paralelas. Ejemplo: Gráfica Simple Gráfica General Las gráficas pueden ser f i n i t a s o i n f i n i t a s Una g r á f i c a está c o n e c t a d a si se puede alcanzar un vértice cualquiera a partir de cualquier otro, es decir, si entre cada par de vértices existe por lo menos un paseo que los une. Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 8 Teoría de Gráficas Teorema: una g r á f i c a esta d e s c o n e c t a d a si y sólo si su conjunto de vértices puede particionarse en dos subconjuntos no vacíos, de modo que no existen líneas en G que comiencen en uno de los subconjuntos y terminen en el otro. Ejemplo: Una gráfica desconectada con 4 componentes Teorema: Si una gráfica (conectada o desconectada) tiene exactamente dos vértices de grado impar, deberá existir un paseo que los una. Teorema: Una gráfica simple con n vértices y k componentes puede tener a lo más (n k )(n k 1) lineas. 2 Una g r á f i c a c o m p l e t a es una gráfica simple donde cada para de vértices es adyacente. Se denota como Kn, donde n es el número de vértices. Teorema: El grado de cada vértice en una gráfica completa Kn es n-1, y el número de líneas de Kn es n(n 1) 2 Ejemplo: Las siguientes gráficas son completas Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 9 Teoría de Gráficas Una g r á f i c a r e g u l a r es una gráfica simple donde todos los vértices tienen el mismo grado. Teorema el número de líneas de una gráfica regular de grado r con n vértices es nr 2 Ejemplo: Una g r á f i c a b i p a r t i d a o bicoloreable es aquella en que el conjunto de vértices puede dividirse en dos subconjuntos distintos, de modo que cada línea de la gráfica tiene como vértices terminales uno de cada subconjunto. Ejemplo: Gráficas bipartidas: Si en una gráfica bipartida todos los vértices de uno de los subconjuntos son adyacentes a los vértices del subconjunto opuesto se tiene una g r á f i c a b i p a r t i d a c o m p l e t a K r , s , donde r y s son el número de vértices de cada subconjunto. Ejemplo: Gráfica bipartida completa K3,3 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 10 Teoría de Gráficas Operaciones entre gráficas G 2 ) : Es una nueva gráficas que contiene la unión de vértices y la unión de líneas, si existen líneas en común se ponen sólo una ves, si la línea. Unión (G1 G 2 ) : Es una gráfica que contiene los vértices que hay en común en las gráficas y las líneas. Intersección (G1 S u m a ( G 1 + G 2 ) : Es una gráfica que contiene la unión de las gráficas y además todos los vértices de la primero gráfica deben ser adyacentes a los de la segunda. Suma anillo (G1 aparecen en ambas. G 2 ) : Es la gráfica, es la unión de las gráficas, sin las líneas que S u p r e s i ó n o r e s t a s : Esta operación se puede efectuar sobre varios elementos: R e s t a d e u n v é r t i c e ( G - v i ) : Es la misma gráfica sin el vértice ni las líneas que inciden en él. R e s t a d e u n a l í n e a ( G - e i ) : Es la misma gráfica sin la línea. R e s t a d e u n a s u b g r á f i c a ( G - g i ) : Es la misma gráfica sin la subgráfica ni las líneas que inciden en algún vértice de la subgráfica. F u s i ó n ( G / e i ) : Es la gráfica G sin la línea y además se fusionan sus dos vértices terminales en uno solo. Ejemplo: Sean las siguientes gráficas: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 11 Teoría de Gráficas Realizar las siguientes operaciones: G1 G2 G1+G2 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar G1 G2 G1 G2 Página 12 Teoría de Gráficas G2-c G2-1 G2-g1 G1/2 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 13 Teoría de Gráficas Conceptos de digráficas En una gráfica dirigida se tienen dos tipos de grado: El número de líneas que inciden hacia fuera de un vértice se llama g r a d o e x t e r n o , esto es las líneas que salen. Se denota como d+(vi) El número de líneas que inciden hacia adentro de un vértice se llama g r a d o i n t e r n o , esto es las líneas que llegan. Se denota como d-(vi) Teorema: La suma de los grados internos de los vértices de una digráfica es igual a la suma de los grados externos y es igual al número de líneas que contiene la digráfica. n n d (vi ) i 1 d (vi ) e i 1 Un v é r t i c e es a i s l a d o , si su grado interno y externo son ceros. Un v é r t i c e es f i n a l , o final si su grado externo es cero y el interno diferente de cero. Un v é r t i c e es i n i c i a l , si su grado interno es cero y el externo diferente de cero. Dos l í n e a s son p a r a l e l a s si inciden en los mismos vértices terminales y además tienen la misma dirección. Un p a s e o d i r i g i d o es una secuencia alterna de vértices y líneas donde cada una aparece sólo una vez y en la secuencia de un vértice a otro existe una línea con esa dirección Si el paseo existe en la gráfica no dirigida se llama s e m i p a s e o . Una t r a y e c t o r i a vértices. d i r i g i d a es un paseo dirigido abierto donde no se repiten Un c i r c u i t o d i r i g i d o es un paseo dirigido cerrado donde el único vértice que se repite es el primero al final. Tipos de Digráficas Dos g r á f i c a s son i s o m ó r f i c a s , si sus gráficas no dirigidas lo son y además las direcciones de las líneas coinciden. Ejemplo: Las siguientes dos digráficas son isomórficas Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 14 Teoría de Gráficas Una d i g r á f i c a s i m p l e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas en términos de digráficas. Ejemplo Digráfica simple Una d i g r á f i c a s i m é t r i c a es aquella en donde para cada línea de ida existe otra de regreso. Ejemplo: Digráfica simétrica: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 15 Teoría de Gráficas Una d i g r á f i c a a s i m é t r i c a es la que no es simétrica. Ejemplo: Digráfica asimétrica Una d i g r á f i c a s c o m p l e t a es aquella en donde para cada par de vértices existe una línea de ida y otra de regreso. Se denota como DKn. Ejemplo: Digráfica completa Una d i g r á f i c a r e g u l a r de grado r,s es aquella donde todos los vértices tienen el mismo grado interno y externo. Ejemplo: Digráfica regular Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 16 Teoría de Gráficas Una d i g r á f i c a b a l a n c e a d a es aquella que en cada vértice el grado externo y el interno son iguales. Ejemplo: Digráfica balanceada Una d i g r á f i c a c o n e c t a d a es aquella en la cuál existe un paseo dirigido entre cualquier para de vértices. Teorema: una digráfica simple con n vértices y k componentes tiene a lo más (n-k)(n-k+1) líneas. Relaciones binarias Toda gráfica proviene de una relación binaria, dado que se tiene un conjunto de objetos x1 , x 2 ,..., x n y R es una relación entre los pares de vértices xi , x j , para X donde X la cual se dice que x i tiene relación con xi . Las relaciones se clasifican de la siguiente manera: R e l a c i ó n r e f l e x i v a : Es cuando cada elemento xi tiene relación con xi R e l a c i ó n s i m é t r i c a : Es cuando para cada elemento xi que tiene relación con x j existe también una relación que x j con xi . R e l a c i ó n t r a n s i t i v a : Es cuando se tiene que de tres elementos xi R x j y x j R x k entonces se tiene xi R x k . R e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a : Es la que cuenta con ser reflexiva, transitiva y simétrica. Ejemplo: la siguiente gráfica cumple con todas las relaciones Simétrica por que para cada línea que existe hay una relación de ida y regreso Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 17 Teoría de Gráficas Reflexiva ya que todos los vértices contiene bucles La transitiva por la transitividad de las relaciones Por lo tanto es una relación de equivalencia Conceptos aplicables a gráficas y Digráficas La l o n g i t u d d e u n p a s e o es el número de líneas que contiene el paseo. La D i s t a n c i a e n t r e d o s v é r t i c e s es la longitud del paseo mínimo que los une. Sea G una gráfica conectada o un componente si al eliminarse un línea se desconecta la gráfica a ésta se le llama l í n e a d e c o r t e o p u e n t e . Si G contiene un vértice que al eliminarlo se desconecta la gráfica, entonces éste es un punto de articulación. Una gráfica que no contiene puntos de articulación se llama B l o q u e . Una gráfica que contiene varios puntos de articulación se llama g r á f i c a s e p a r a b l e . Ejemplo: La siguiente gráfica contiene un punto de articulación que es C La línea de corte es 3 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 18 Teoría de Gráficas Ordenamiento de una gráfica sin circuitos Sea G una gráfica sin circuitos: La generación G0 es la subgráfica formada por los vértices iniciales. La generación G1 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar la operación de G- G0 La generación G2 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar la operación de G- G0- G1 Y así sucesivamente, Gn es la última generación y esta formada por los vértices terminales de la gráfica original Nota: Para ordenar una gráfica que contenga circuitos lo que se hace es fusionar el circuito en un solo vértice y ordenar esa gráfica. Ejemplo: Sea la siguiente gráfica ordenarla por generaciones Cómo la gráfica tiene circuitos hay que fusionarlos en un solo vértice (DE) y nos queda la gráfica de la siguiente manera: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 19 Teoría de Gráficas Ahora si ya podemos ordenar la gráfica. Nos queda de la siguiente manera: Árboles Sea T una gráfica con n vértices los siguientes enunciados son equivalentes: T es un árbol T no contiene circuitos y tiene n-1 líneas T es conectada y cada línea de es puente Entre cada dos vértices existe una trayectoria única La adición de cualquier línea entre dos vértices ya existente crea un circuito T tiene al menos dos vértices colgantes Ejemplo: Las siguientes gráficas son árboles Un b o s q u e es un conjunto de árboles Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 20 Teoría de Gráficas Teorema: Un bosque B con n vértices y k árboles tiene n-k líneas L a d i s t a n c i a e n t r e 2 v é r t i c e s en árboles es la longitud del camino o trayectoria que los une. L a e x c e n t r i c i d a d d e u n v é r t i c e es la distancia del vértice al más alejado E l c e n t r o d e u n á r b o l es el o los vértices de excentricidad mínima. Teorema: Un árbol tiene 1 0 2 centros Demostración: Elimine los vértices colgantes sucesivamente y hasta el final quedarán el o los centros Un árbol arraigado es cuando en un árbol se identifica un nodo como raíz y se distingue con un marco Ejemplo: Sea el siguiente árbol arraigado, encuentre los centros: Las excentricidades de los vértices son las siguientes: e(A)=4 e(B)=3 e(G)=6 (Centro) e(H)=5 e(C)=4 e(I)=6 e(D)=4 e(J)=6 e(E)=4 e(K)=6 e(F)=4 e(L)=6 Un á r b o l b i n a r i o es aquel que cada nodo tiene a lo más dos hijos Un á r b o l e s t r i c t a m e n t e b i n a r i o es aquél que cada nodo tiene cero uno o dos hijos. Ejemplo Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 21 Teoría de Gráficas El primero no es estrictamente binario por que el vértice C sólo tiene un hijo. Observaciones de un árbol estrictamente binario: Existe un solo vértice de grado par la raíz Los demás vértices son de grado 1 0 3 El número de vértices de un árbol estrictamente binario es siempre impar El número de vértices colgantes de un (n 1) 2 Transformación de un árbol en uno estrictamente binario: En ocasiones es más fácil leer en un árbol binario que otros Paso 1: Selecciona la raíz del árbol original Paso 2: Genera un nuevo nodo cuyo hijo izquierdo se el subárbol izquierdo de la raíz y el derecho lo que resta incluyendo la raíz Paso 3: Repetir desde el paso uno con todos los subárboles hasta que todos los vértices del árbol original sean colgantes o finales Ejemplo: Sea el siguiente árbol trasformarlo en uno estrictamente binario Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 22 Teoría de Gráficas Recorrido de árboles Los árboles binarios se recorren de dos formar, p o r n i v e l e s tenemos el: T o p - D o w n : Se recorre de arriba a bajo y de izquierda a derecha. B o t t o m - T o p : De abajo hacia arriba y de izquierda a derecha. Nota: El árbol tiene que estar ordenado por niveles donde el primer nivel es la raíz el segundo los hijos de la raíz el tercero los hijos de los hijos de la raíz y así sucesivamente. El otro recorrido es p o r s u b á r b o l e s y tenemos: I n o r d e n : Se recorrer el subárbol izquierdo, después se lee la raíz y por último el subárbol derecho. P o s o r d e n : Se recorre el subárbol izquierdo después el subárbol derecho y al final se lee la raíz. P r e o r d e n : Se lee la raíz después el subárbol izquierdo y al final el subárbol derecho. Ejemplo: Sea el siguiente árbol recorrer en todos las formas. Top-down: B,D,A,E,F,C,H,G,I,J,K,L Bottom-Top: G,I,J,K,L,E,F,C,H,D,A,B Inorden: E,D,G,F,I,B,J,C,A,K,H,L Posorden: E,G,I,F,D,J,C,K,L,H,A,B Preorden: B,D,E,F,G,I,A,C,J,H,K,L Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 23