Clave de MB1 ER1 V 2S de 2013

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-101-5-V-2-00-2013
CURSO:
Matemática Básica 1
SEMESTRE:
Segundo
CÓDIGO DEL CURSO:
101
TIPO DE EXAMEN:
Examen de 1era Retrasada
FECHA DE EXAMEN:
19 de noviembre de 2013
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN:
Edy Rodríguez
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EL EXAMEN:
Ing. Silvia Hurtarte
Universidad de San Carlos Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Jornada Vespertina
Matemática Básica 1
Temario A
Guatemala, 19 de noviembre de 2013
Examen primera retrasada
Tema 1 (25 puntos)
La rapidez con que una pastilla de vitamina “c” empieza a disolverse depende de su área
superficial. Una marca de pastillas mide 2 cm de largo y tiene 0.5 cm de diámetro, con
extremos en forma de semiesfera. Se piensa fabricar otra tableta en forma de cilindro circular
recto de 0.5 cm de altura, a) Encuentre el diámetro de la segunda tableta, de modo que su
área superficial sea igual a la de la primera tableta, b) Hallar el volumen de cada una de las
pastillas.
Tema 2 (15 puntos)
Describir y trazar la gráfica de:
Tema 3 (15 puntos)
Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una intersección, uno hacia el norte y el otro
hacia el oeste. Poco tiempo después, están separados exactamente por 100 millas. El que
iba hacia el norte ha avanzado 20 millas más que el que se dirigía al oeste. ¿Cuánto ha
viajado cada vehículo?
Tema 4 (30 puntos)
Resuelva las ecuaciones siguientes, dejando constancia de sus operaciones y procedimientos:
a)
b)
c)
√
√
√
[
)
Tema 5 (15 puntos)
Una inmobiliaria posee 180 departamentos, que mantiene ocupados cuando los renta a $300
al mes. La compañía estima que por cada $10 de aumento en la renta se desocuparán 5
departamentos. ¿Cuál debe ser el monto de la renta de modo que la compañía reciba el
máximo ingreso mensual?
SOLUCION DE EXAMEN
Tema 1 (25 puntos)
La rapidez con que una pastilla de vitamina “c” empieza a disolverse depende de su
área superficial. Una marca de pastillas mide 2 cm de largo y tiene 0.5 cm de diámetro,
con extremos en forma de semiesfera. Se piensa fabricar otra tableta en forma de
cilindro circular recto de 0.5 cm de altura, a) Encuentre el diámetro de la segunda
tableta, de modo que su área superficial sea igual a la de la primera tableta, b) Hallar el
volumen de cada una de las pastillas.
SOLUCION
a) Encuentre el diámetro de la segunda tableta, de modo que su área superficial
sea igual a la de la primera tableta
EXTREMOS EN FORMA DE
SEMIESFERA
Pastilla Cilíndrica
Datos:
Datos:
(
(
)
(
(
) )
)( )
(
( )(
(
))( )
)
( )
√( )
( )(
)
( )
√
√
√
De los resultados obtenidos, se descarta el valor de
debido a que este es negativo, y al tratarse de un
ejemplo de aplicación no pueden existir radios negativos, lo que implica que la respuesta correcta para
el presente ejercicio es . A manera de comprobación se obtiene lo siguiente (nota el subíndice de
y
solamente tiene el fin de nombrar y diferenciar un resultado del otro):
√
, donde
(
√
)
(
Con esto se comprueba que tanto
√
como
que se comprueba que el resultado obtenido de
)
tienen una misma área superficial de
, es correcto.
b) Hallar el volumen de cada una de las pastillas.
(
)
(
) (
)
, por lo
(
√
) (
(
)
)
√
Tema 2 (15 puntos)
Describir y trazar la gráfica de:
SOLUCION
Lo que se pretende inicialmente es reordenar las expresiones, de tal manera
que sea mucho más sencillo determinar el comportamiento de la gráfica de la
función.
(
(
( )(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
( )( )
(
)( )
)
Grafica Resultante
Al tener reordenada la ecuación, es posible realizar un estudio de su comportamiento. Se puede
observar que tiene la forma básica de una elipse, la cual posee un eje mayor vertical de 4 unidades y
un eje horizontal menor, de 3 unidades. Además se puede apreciar que la gráfica tiene un corrimiento,
con respecto al origen del plano cartesiano, de dos unidades hacia la izquierda y una hacia arriba.
Tema 3 (15 puntos)
Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una intersección, uno hacia el norte y el
otro hacia el oeste. Poco tiempo después, están separados exactamente por 100
millas. El que iba hacia el norte ha avanzado 20 millas más que el que se dirigía al
oeste. ¿Cuánto ha viajado cada vehículo?
SOLUCIÓN
Se considera la incógnita x como la distancia que recorre la
partícula que se dirige hacia el oeste, por lo que al hacer la
correcta interpretación del enunciado, la otra partícula se
estaría desplazando en dirección norte
más que
la otra partícula, de esta manera la distancia que recorre
dicha partícula queda definida por la expresión
. Para
resolver este problema se puede utilizar el teorema de
Pitágoras, de manera que el sistema se plantearía de la
siguiente manera:
(
)
,
De los dos resultados obtenidos, se descarta el valor de
debido a que se trata de un
problema de aplicación, y por tanto no pueden existir distancias negativas, pues esto
implicaría un desplazamiento de la partícula, ya no al oeste sino hacia el este, lo que se
estaría contradiciendo al enunciado.
Tema 4 (30 puntos)
Resuelva las ecuaciones siguientes, dejando constancia de sus operaciones y
procedimientos:
a)
√
Solución
( )
√
(
(√
)
(
( )) (
( ))
( )
√
( ))
(
)
( ))
(
( ))
(
( )
( )
b) √
√
√
(
((
(
√
)
(
) )
((
)
(
)
) )
)
(
)(
)
,
[
c)
)
( )
( )
( )
IDENTIDAD
(
( )
( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Sustitución
(
)(
)
De esta manera se sustituye a la nomenclatura anterior
(
( )
( )
)(
( )
)
( )
( )
( )
(
)
( )
Tema 5 (15 puntos)
Una inmobiliaria posee 180 departamentos, que mantiene ocupados cuando
los renta a $300 al mes. La compañía estima que por cada $10 de aumento
en la renta se desocuparán 5 departamentos. ¿Cuál debe ser el monto de la
renta de modo que la compañía reciba el máximo ingreso mensual?
SOLUCIÓN
NO DE
AUMENTO
PRECIO
($)
0
1
2
3
4
x
300
300+10(1)
300+10(2)
300+10(3)
300+10(4)
300+10(x)
NO. DE
DEPTOS.
OCUPADOS
180
180-5(1)
180-5(2)
180-5(3)
180-5(4)
180-5(x)
(
(300)(180)
[300+10(1)][ 180-5(1)]
[300+10(2)][ 180-5(2)]
[300+10(3)][ 180-5(3)]
[300+10(4)][ 180-5(4)]
[300+10(x)][ 180-5(x)]
)(
(
)
)
(
(
INGRESOS
($)
)
)
( )(
(
)
)
(
)
Donde la coordenada en
indica que es el tercer incremento, es decir que
se han incrementado $30.00 al costo inicial de los apartamentos, lo que
implica que 15 apartamentos han sido desocupados.
( )
( )
(
)(
)
POR TANTO CON UN AUMENTO DE $30.00 EN EL PRECIO POR CADA
APARTAMENTO SE OBTIENE UN MAXIMO INGRESO MENSUAL DE $ 54,450.00
SOLO COMO REFERENCIA SE MUESTRA LA GRAFICA CORRESPONDIENTE AL
INGRESO GENERADO AL INCREMENTAR EL PRECIO DE LOS APARTAMENTOS.
54 500
54 000
53 500
53 000
52 500
2
4
6
8
10