TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS

EXPRESIÓN GRÁFICA
TEMA 3
TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS
1. CIRCUNFERENCIAS..................................................................................................2
1.1 TANGENCIAS................................................................................................................2
2. DIVISION DE CIRCUNFERENCIAS. .......................................................................9
2.1 EN TRES Y SEIS PARTES IGUALES ...............................................................................9
2.2 EN CUATRO Y OCHO PARTES IGUALES......................................................................10
2.3 EN CINCO Y DIEZ PARTES GUALES............................................................................10
2.4 DIVISION DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES
IGUALES............................................................................................................................11
3. RECTIFICACION DE CURVAS. .............................................................................12
3.1 DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA ................................................................12
3.2 DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA . ................................................................................13
3.3 DE UNA CIRCUNFERENCIA.........................................................................................14
3.4 DE UN ARCO DE MENOS DE 90º. ..............................................................................14
OVALO. ..............................................................................................................................15
4.1 TRAZADO. ..................................................................................................................15
5. ELIPSE........................................................................................................................18
5.1 PROPIEDADES...........................................................................................................18
5.2 CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE.........................................................................19
5.3 TANGENTE .................................................................................................................20
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EXPRESIÓN GRÁFICA
TEMA 3
TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS
1. CIRCUNFERENCIAS.
1.1 TANGENCIAS.
Si dos circunferencias son tan
gentes, el punto de tangencia
estara en la linea de centros.
T
0
T
Si una recta es tangente a una
circunferencia, el punto de
tangencia T es el pie de la
perpendicular trazada por el
centro O a la recta tangente
2
EXPRESIÓN GRÁFICA
1.1.1 Tangente a una circunferencia en un punto T de esa circunferencia.
Se une el centro de la circunferencia con el punto T y por dicho punto trazamos la
perpendicular a esa semirrecta, obteniendo así la tangente buscada.
A
0
B
T
1.1.2 Tangente a un arco de circunferencia en un punto T de ella no
conociendo el centro del arco.
Conocemos el arco de circunferencia y en ella el punto T
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EXPRESIÓN GRÁFICA
1º- Sobre el arco tomamos dos arcos iguales TB y BC.
2º- Con centro en T y radio TC se traza un arco.
3º- Haciendo centro en B y con radio BC se traza otro arco.
Estos dos arcos se cortan en un punto A.
4º- Unimos A con T y esa es la recta que buscamos.
t
C
A
B
T
1.1.3 Tangente a una circunferencia desde un punto exterior P.
Conocemos la circunferencia y el punto por el que queremos trazar la tangente.
1º- Unimos el punto exterior P con el centro O de la circunferencia.
2º- Trazamos la mediatriz del segmento OP.
3º- Con centro en el punto medio del segmento trazamos la circunferencia de
radio ½ OP.
4
EXPRESIÓN GRÁFICA
4º- Esta ultima circunferencia trazada corta a la circunferencia dato en dos puntos,
unimos estos dos puntos con P, dándonos dos rectas que son las soluciones buscadas.
T1
P
O1
O
T2
t2
1.1.4 Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas.
Tenemos dos circunferencias de radios R y r respectivamente como datos de
partida.
1º- Con centro el de la circunferencia de radio R trazamos otra circunferencia de
radio r´= R - r.
2º- Por el centro de la circunferencia de radio r trazamos las tangentes a la
circunferencia de radio r´.
3º- Por los centros de las circunferencias R y r trazamos las perpendiculares a las
tangentes obtenidas en el punto 2º, con lo que obtenemos los puntos de tangencias.
4º- Unimos los puntos de tangencia obtenidos en el punto anterior con lo que
quedan definidas las tangentes que buscamos, estas será paralelas a las rectas
obtenidas en 2º paso.
5
EXPRESIÓN GRÁFICA
t1
T1
T1
T01
O
O1
TO2
T2
T2
t2
1.1.5 Circunferencias tangentes a una recta dada, que pasan por un punto P
y tienen un radio R dado.
Conocemos la recta que queremos que sea tangente a dos circunferencias de las
que conocemos el radio R, además queremos que ambas circunferencias pasen por un
punto P que también conocemos.
1º- Con centro P y radio R trazamos una circunferencia.
2º- Trazamos una paralela a la recta dada, a una distancia R.
3º- La circunferencia trazada en el primer paso y la recta dibujada en el segundo
se cortan en dos puntos, esos puntos son los centros de las circunferencias buscadas.
P
R
O2
O1
r
T2
T1
6
EXPRESIÓN GRÁFICA
1.1.6 Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, que se cruzan, dado el
punto de tangencia T en una de ellas.
1º- Por T trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene.
2º- Las rectas forman entre sí dos ángulo, obtenemos las bisectrices de esos
ángulos.
3º- Los centros de las circunferencias que buscamos son los puntos de corte de
T2
1
O2
b
a
2
3
P
T1
O1
las rectas obtenidas en los pasos anteriores.
1.1.7 Circunferencias tangentes a tres rectas cuando al menos dos se
cortan fuera del dibujo.
1º- Trazamos la bisectriz del ángulo conocido.
2º- Obtenemos la bisectriz del ángulo formado por las rectas que no se cortan en
el dibujo.
3º- La intersección de las dos bisectrices nos dan el centro de la circunferencia.
7
EXPRESIÓN GRÁFICA
4º- Por el centro obtenido en el paso 3º trazamos las perpendiculares a las rectas
obteniendo así los puntos de tangencias.
Tr
r
t
O
s
Ts
Tt
1.1.8 Arco de circunferencia tangente exteriormente a dos circunferencias
dadas.
Los datos en este caso son las dos circunferencias, de radios R y r
respectivamente,
y se pide obtener un arco que es tangente a ellas, existen dos
soluciones.
1º- Unimos los centros de las circunferencias.
2º- Con centro en O1 y radio R cortamos a la recta anterior en M, con centro en O2
y radio r, de igual forma obtengo N.
3º- con centro en O1 y radio O1N trazamos un arco.
4º- Con centro en O2 y radio O2M trazamos otro arco.
5º- Ambos arcos se cortan en dos puntos que serán los centro de los arcos
buscados O3 y O4
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EXPRESIÓN GRÁFICA
6º- El radio de estos arcos se determina uniendo los centros de las circunferencias
datos con los centros obtenidos en el paso 5º y prolongándolos hasta cortar las
circunferencias. Las distancias de esos puntos de corte a los puntos O3 y O4 son los
radios buscados.
1
3
O1
r
M
O3
O4
N
R
O2
2
4
2. DIVISION DE CIRCUNFERENCIAS.
2.1 EN TRES Y SEIS PARTES IGUALES.
Para dividir una circunferencia en seis partes iguales, construyéndose un hexágono
regular, basta con tomar cuerdas de longitudes iguales al radio de la circunferencia, estas
cuerdas se toman consecutivas. Se tiene así el polígono.
Cuando la división es en tres partes iguales, para obtener un triángulo equilátero,
las divisiones anteriores se unen de forma alterna.
9
EXPRESIÓN GRÁFICA
r
r
2.2 EN CUATRO Y OCHO PARTES IGUALES.
Se traza una pareja de diámetros perpendiculares, se unen sus extremos con lo
que tenemos el cuadrado.
Como en el caso anterior trazamos dos diámetros perpendiculares, quedando la
circunferencia dividida en cuatro ángulos de 90º. Dibujamos las bisectrices de esos
ángulos y las prolongamos hasta cortar la circunferencia, uniendo los puntos de corte se
obtiene el octógono regular.
2.3 EN CINCO Y DIEZ PARTES GUALES.
1.- Se trazan dos diámetros perpendiculares.
2.- Con centro en M (extremo del diámetro) y radio el de la circunferencia se
determina L punto medio del radio.
3.- Se une L con el punto A (extremo del diámetro perpendicular) obteniéndose el
segmento AL.
4.- Con centro en L y radio la longitud del segmento AL se taza un arco que corta
al radio en P. La longitud del segmento AP es la longitud del lado del pentágono
que se buscaba.
10
EXPRESIÓN GRÁFICA
La distancia del punto P al centro de la circunferencia será la longitud del lado del
decágono regular inscrito en la circunferencia.
A
l5
P
l 10
L
O
M
2.4 DIVISION DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE
PARTES IGUALES.
1.- Se dibuja la circunferencia y dos diámetros perpendiculares de la misma AB y
CD.
2.- Dividimos uno de los diámetros, el CD por ejemplo, en el mismo numero de
partes que las que queremos para la circunferencia.
3.- Con centro en C y en D, y radio CD trazamos dos arcos que se cortan en E.
4.- Unimos E con la segunda división del diámetro y prolongamos hasta cortar a la
circunferencia en el punto F.
5.- Unimos F con C, obteniendo así el lado del polígono que buscamos.
En este caso se ha optado por dividir la circunferencia en 11 partes.
11
EXPRESIÓN GRÁFICA
l 11
F
1
2
3
4
5
A
O
6
B
E
7
8
9
10
11
D
3. RECTIFICACION DE CURVAS.
Para rectificar una curva cualquiera se divide esta en cuerdas lo más pequeñas
posibles y se van llevando una a continuación de la otra.
3.1 DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA.
1.- Se toman dos diámetros perpendiculares de la circunferencia.
2.- Con centro en los extremos opuestos, A y B, de uno de los diámetros, y radio
el de la circunferencia se trazan los arcos que determinan los puntos de corte con la
circunferencia C y D respectivamente.
3.- Con centro en B y radio BD trazamos un arco que corta a la prolongación del
diámetro perpendicular en E.
4.- Con centro en C y radio CE trazamos un arco hasta cortar la circunferencia en
F.
5.- Unimos B con F y tenemos la longitud de un cuadrante de circunferencia de
radio OA.
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EXPRESIÓN GRÁFICA
A
D
F
E
O
C
B
3.2 DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA.
1.- Trazamos uno de los diámetros , BD, de la circunferencia.
2.- Por uno de los extremos del diámetro, B, trazamos la tangente a la
circunferencia.
3.- Por el centro de la circunferencia trazamos una recta que forma 30º con el
diámetro y que corta a la tangente en A.
4.- por el punto A y sobre la tangente llevamos tres veces el radio de la
circunferencia, determinando así el punto C.
5.- Unimos C con D, siendo el segmento CD de longitud igual a la de la
semicircunferencia de partida.
D
O
C
A
B
R
R
R
13
EXPRESIÓN GRÁFICA
3.3 DE UNA CIRCUNFERENCIA.
1.- Se divide el diámetro de la circunferencia en siete partes iguales.
2.- Colocamos tres diámetros uno a continuación del otro y finalmente se añade
una séptima parte del diámetro, el segmento obtenido tiene la longitud buscada.
D
1
2
3
O
4
5
6
7
B
F
G
d
d
d
1/7 d
3.4 DE UN ARCO DE MENOS DE 90º.
Sea el arco AB.
1.- Por uno de los extremos del arco, A , se traza la tangente al arco.
2.- Se dibuja el diámetro que pasa por A , segmento AOE.
3.- El radio OE se divide en cuatro partes iguales
4.- A continuación de E se llevan ¾ partes del radio determinando el punto D.
5.- Unimos D con B y prolongamos hasta cortar a la tangente al arco por A en C,
el segmento AC tiene la longitud buscada.
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EXPRESIÓN GRÁFICA
C
B
F
E
A
O
4. OVALO.
4.1 TRAZADO.
4.1.1 Construcción de un ovalo dado el eje mayor AB.
1º- Se traza el eje y se divide en tres partes iguales.
2º- Los puntos de la división anterior son los centros de dos circunferencias de
radio O1 A y O2 B respectivamente.
3º- Esas circunferencias se cortan en dos puntos O3 y O4.
4º- Unimos cada uno de los puntos obtenidos en el paso 3 con los centros de las
circunferencias y prolongamos esas rectas hasta cortar las circunferencias.
5º- Con centro en los puntos O3 y O4 y radio la distancia entre estos y los puntos
C
O1
A
O3
O4
B
O2
15
D
EXPRESIÓN GRÁFICA
de corte del paso anterior, trazamos los arcos de punto de corte a punto de corte,
completando el ovalo.
4.1.2 Construcción de un ovalo dado el eje menor CD.
1º- Trazamos una circunferencia de diámetro el eje menor del ovalo.
2º- Dibujamos el diámetro perpendicular al anterior.
4º- Unimos los extremos de los diámetros dibujando el cuadrado inscrito en la
circunferencia y prolongamos los lados de dicho cuadrado.
5º- Con centro en los extremos del eje y radio la longitud del eje trazamos los
arcos hasta que corten a las prolongaciones de los lados del cuadrado.
6º- Ahora hacemos centro en los extremos del diámetro perpendicular y con radio
estos centros y los puntos de corte del paso 5, dibujamos los arcos que completan el
ovalo.
C
A
O1
O2
B
D
4.1.3 Construcción de un ovalo dados los ejes.
4.1.4 1er método.
1º- Se dibujan los ejes perpendiculares.
2º- Sobre los semiejes se toman, a partir de los extremos, segmentos de igual
longitud, CE y BF.
3º- Unimos los puntos E y F, trazando la mediatriz del segmento resultante.
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EXPRESIÓN GRÁFICA
4º- Prolongamos el eje menor y la mediatriz hasta que se corten en H.
6º- Hallamos los puntos simétricos de F y H, G,I.
7º- Unimos H con G y F, G y F con l.
8º- Con centro en H e l y radios HC y Dl trazamos los arcos correspondientes.
C
I
med
E
F
A
B
G
H
D
9º- Los puntos G y F son los centros de los arcos que completan el ovalo.
4.1.5 2º Método.
1º- Dibujamos los ejes perpendiculares y determinamos el centro del ovalo.
2º- Con centro el del ovalo y diámetro el eje mayor trazamos una circunferencia.
3º- A partir del extremo A del eje del ovalo trazamos el lado del hexágono inscrito
en la circunferencia, obteniendo el punto F.
4º- Unimos F con el extremo E del diámetro que contiene al eje menor y con el
centro de la circunferencia O.
5º- Por C trazamos una paralela a EF hasta cortar a AF en G.
6º- Por G trazamos una paralela a OF Que corta los diámetros de la circunferencia
en 1 y 2.
7º- Determinamos los puntos simétricos a 1 y 2, que son 4 y 5.
8º- Los cuatro puntos obtenidos son los centros de los arcos necesarios para
trazar el ovalo.
17
EXPRESIÓN GRÁFICA
E
F
4
C
G
O
A
1
B
3
D
2
5. ELIPSE.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que cumplen que la
suma de las distancias de dichos puntos a otros dos fijos llamados focos es constante e
igual a 2a, siendo 2a igual a la longitud del eje mayor
5.1 PROPIEDADES.
- La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la misma
es por lo tanto una curva simétrica.
- El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor CD se
representa por 2b. Los focos están situados sobre el eje mayor y la distancia focal FF´ se
representa por 2c
a2 = b2 + c2
- Se llama excentricidad de la elipse al cociente c/a = e
- Las distancias que une un punto con los focos se llama radiovectores r y r’,
además se cumple que r+r’ = 2a.
- Dado un diámetro, se llama Diámetro Conjugado al diámetro que no es
perpendicular al dado.
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5.2 CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE
5.2.1 Por puntos a partir de los ejes.
1º- Se sitúan los ejes perpendiculares AB y CD, con centro en C o en D, con radio
a se corta el eje mayor en los focos F y F’.
2- Se coge un punto cualquiera N sobre el eje mayor, con radio AN y centro en F
se traza un arco, luego con centro en F’ y radio BN se traza otro arco, estos dos arcos se
cortan en un punto M que pertenece a la elipse.
De esta forma se localizan los sucesivos puntos de la elipse.
C
M
a
b
r
A
r'
c
F
N
a
F'
B
D
5.2.2 Por haces proyectivos a partir de los ejes.
1º- Se trazan los ejes perpendiculares.
2º- Por los extremos de los ejes se construye el rectángulo de lados paralelo a los
ejes.
3º-El semieje mayor se divide en un numero de partes iguales y los semilados
paralelos al eje menor también se dividen en las mismas partes que el semieje mayor.
4º Se unen las divisiones según se ve en la figura.
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EXPRESIÓN GRÁFICA
5.2.3 Por haces proyectivos a partir de ejes conjugados.
Exactamente igual que en el caso anterior.
5.3 TANGENTE.
5.3.1 Tangente a una elipse por un punto P de la misma.
1º Unimos el punto con los focos de la elipse por medio de los radiovectores MF y
MF’.
2º- Prolongamos los radiovectores y trazamos la bisectriz del ángulo exterior que
forman, esta bisectriz es la tangente buscada.
5.3.2 Normal a una elipse por un punto P de la misma.
Hallamos la tangente como en el caso anterior y luego trazamos la perpendicular
a la tangente en el punto P, siendo esta perpendicular la normal buscada.
20