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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Algebra I - Tarea 2 Matrices
Profesora: Mat. Adriana Vargas Quintero
I. a) Escriba en forma de ı́ndices la siguiente matriz:

4 −3
1
A= 6
−3 2

4
−4
1
b) Escriba en forma matricial el siguiente conjunto de ı́ndices, recuerde que la entrada ai,j esta dada por el i-ésimo
renglón y la j-ésima columna: a1,1 = −a2,3 = 9, a1,2 = a2,1 = 1, −3 = a1,3 = a3,1 , a2,2 = −a3,2 = 8 y a3,3 = 0.
c) Calcule At para las matrices de los incisos a) y b).
II. Sea Mn,n (R) el conjunto de la matrices de n por n con coeficientes en R. Considere A y B ∈ Mn,n (R) y
λ ∈ R demuestre que:
a) (A + B)t = At + B t .
b) Si A ∈ M2,2 (R) entonces det(A) = det(At ).
c) Si A ∈ M2,2 (R) entonces
det(A ◦ B) = det(A)det(B).
d) Si b ∈ R y A ∈ M2,2 (R) demuestre que det(bA) = b2 det(A).
e) Use el inciso anterior como base de inducción y demuestre que si b ∈ R y A ∈ Mn,n (R) entonces
det(bA) = bn det(A).
III. Llamemos Gl(2)(R) al conjunto de matrices de 2 × 2 con entradas en los reales y con determinante distinto de cero, esto significa que Gl(2)(R) ⊂ M2,2 (R). Considere A, B y C en Gl(2)(R) pruebe que:
a) A ◦ B ∈ Gl(2)(R).
b) (A ◦ B) ◦ C = A ◦ (B ◦ C). (Hint: use ı́ndices).
c) Encuentre una matriz E tal que A ◦ E = A. ∀A ∈ Gl(2)(R).
d)Dado A ∈ Gl(2)(R) ¿existirá B ∈ Gl(2)(R) tal que A ◦ B = E = B ◦ A?. Demuestre su respuesta.
Concluya que Gl(2)(R) es un grupo también con la operación producto. Para ver que NO es un grupo conmutativo,
definamos la matriz [A, B] = A ◦ B − B ◦ A. Considere
0 −1
0 1
A=
B=
1 0
1 0
f) Calcule [A, B]. Con esto concluya que la multiplicación de matrices no conmuta en general.
IV. Las matrices de Galileo en el espacio tiempo de 2 dimensiones son de la forma:
1 0
A=
−v 1
Si llamamos G2,2 al conjunto de todas la matrices de Galileo, tenemos que G2,2 ⊂ Gl(2)(R). Considere A y B en
G2,2 demuestre que:
a) A ◦ B ∈ G2,2
b) Dado A ∈ G2,2 ¿existirá B ∈ G2,2 tal que A ◦ B = E = B ◦ A?. Demuestre o de un contra ejemplo. Interprete
fı́sicamente.
c) Considere A y B en G2,2 demuestre que [A, B] = 0, interprete fı́sicamente. Los Grupos que cumplen que [A, B] = 0
se llaman grupos Abelianos o conmutativos.
V. Definimos O(2) como
O(2) := {A ∈ Gl(2)(R) : |det(A)| = 1}
1
a) Demuestre que O(2) es un grupo.
b) Considere: θ ∈ [0, 2π), definimos:
A=
cosθ
senθ
−senθ
cosθ
y B=
−cosθ
senθ
senθ
cosθ
Demuestre que A, B ∈ O(2).
c) Sea vj el vector columna tal que v1 = cosθ0 y v2 = senθ0 . Calcule Ai,j vj y Bi,j vj e interprete geométricamente.
VI. Definimos la Traza de A ∈ Mn,n (R) como
T ra(A) =
n
X
aii
i=1
a) Calcule la traza de las matrices del ejercicio 1a) y 1b).
b) Sean A, B ∈ Mn,n (R) demuestre que T ra(A ◦ B) = T ra(B ◦ A) (Hint: usar ı́ndices).
c) Sean A, B, C ∈ Mn,n (R) demuestre que T ra(A ◦ B ◦ C) = T ra(B ◦ C ◦ A) = T ra(C ◦ A ◦ B) (Hint: usar ı́ndices).
VII. Considere una partı́cula que sigue la trayectoria x(t) = A sin(ωt).
a) Encuentre ẋ(t)y ẍ(t) y demuestre que mx(t)p
= −kẍ(t).
b) Calcule E = 21 mẋ2 (t) + 12 kx2 (t) donde ω = m
k.
c) Interprete fı́sicamente la relación entre el cambio de posición de la partı́cula de este ejercicio con la variable θ
del ejercicio V.b) y V.c). Esto demuestra que el oscilador armónico es invariante ante O(2), lo cual es un ejemplo
de Teorı́a de Invarianza en Mecánica.
Con seguridad usará las siguientes propiedades:
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 , cos(β ± η) = cos(β)cos(η) ∓ sin(η) sin(β)
sin(β ± η) = sin(β) cos(η) ± cos(β) sin(η)
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