Problema 14. Relación 2 jÿ“y - yÿ“j „ S = j “2y

Problema 14. Relación 2 jÿ“y - yÿ“j „ S = j “2y

R2_14b.nb
1
Joaquín Carrasco
Problema 14. Relación 2
Determina las distribuciones de carga superficial y dipolar precisas
para apantallar el campo de una carga puntual q a distancias superiores a
una dada, a, de forma que no se altere la distribución de potencial para
distancias inferiores a a
à Teorema de Green.
Por el teorema matemático de Green:
s
j ÿ “y - y ÿ “j „ S =
V
j “2 y - y “2 j „ V
Si se cumple la ecuación de Poisson para j como lo es así en el
÷÷”
r
”
1
Å
);
y
haciendo
que
y
=
ÅÅÅÅ
Å
con
R
= r
caso del potencial (“ 2 j = - ÅÅÅÅÅÅ
œ0
R
÷÷÷”
- r ' ï“2 y= -4pd(r -r ') podemos llegar a la conclusión de que
s
j ÿ “y - y ÿ “ j „ S =
V
r
j -4 pd r - r ' + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å „V
e0 R
Si S es la frontera que rodea al volumen V la expresión toma la siguiente forma:
jr =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
4 pe0
÷”
rHr 'L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
V R2
1
„ V '- ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
4p
÷÷÷÷”
s
uR
1
j ÿ ÅÅÅÅÅÅÅ
- ÅÅÅÅ
Å ÿ “ ' j „ S '.
R2
R
R2_14b.nb
2
à Carga apantallada por capa esferica con densidad de carga
superficial y capa dipolar.
q
4 pe0 R
q
1
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅ
Å
4 pe0 R
4p S R
Sustituyendo j(r)= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ llegamos a:
jr
÷÷÷÷”
u
1
R
ÿ “ ' j „ S ' + ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
-j
ÿ
ÅÅÅÅÅÅÅ
4p s
R2
„ S '.
Comparando esta expresión con la del potencial creado por una capa
dipolar y por una carga superficial e identificando llegamos a:
1
js(r ) = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
4 pe0
jt(r ) =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
4 pe0
s
ÅÅÅÅ
Å „ S' fl s ã e0“ ' j a ÿ un
R
S ÷”
÷t”ÿ ÷÷÷
un
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
S R2
„ S ' fl t ã -e0j a ÿ un
Con lo que obtenemos finalmente que la carga superficial a colocar y la
capa dipolar para obtener un total apantallamiento del potencial producido
por la carga q es:
q
-1
-1 q
“ ' j a = -“j a = E a = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
u
fls
=
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å ÅÅÅÅÅÅ
n
2
4 pe0 a
4 p a2
-1 q
t = ÅÅÅÅÅÅÅ
Å ÅÅÅÅ u .
4p a R
à Comprobación.
a) Dentro de la esfera.(r<a)
q
1
jq r = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅ
.
4 pe0 r
-1 q
ÅÅÅ ÅÅÅÅ .
js(r ) = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 pe0 a
q
1
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅ
.
jt(r ) = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 pe0 a
1
ÅÅÅ ÅÅÅÅq .
jq r +js(r )+jt(r ) = jq r = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 pe0 r
R2_14b.nb
3
b)Fuera de la esfera.(r>a)
q
1
jq r = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅ
.
4 pe0 r
-1 q
ÅÅÅ ÅÅÅÅ .
js(r ) = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 pe0 r
jt(r ) = 0;por estar fuera de la esfera el ángulo sólido es cero.
jq r +js(r )+jt(r ) = jq r = 0.
à Conclusión.
Como conclusión podemos ver como mientras que la densidad superficial de carga no nos ha introducido ningun tipo de discontinuidad en el potencial pero si en el campo. La capa dipolar actua directamente en el potencial
-t
introduciendo una discontinuidad en una cuantia de ÅÅÅÅÅÅÅ que nos permite
e0
anular el potencial en una región no acotada del espacio y apantallar cualquier distribución de carga no solo en el campo, lo que se consiguiría solamente con una capa metalica, sino también en el potencial.