Lección 4 Estudio particular de turbinas de acción

Lección 4 Estudio particular de turbinas de acción

Lección 4
Estudio particular de turbinas de
acción
4.1
Introducción
Las turbinas de acción son máquinas hidráulicas motoras en las que el intercambio
de energı́a entre el rodete y el fluido se produce principalmente por impulso o
acción. Aquı́ un chorro de agua a alta velocidad es deflectado por un conjunto
de álabes dispuestos alrededor del rodete, que, como consecuencia de la variación
del momento cinético del fluido, genera un par que lo hace girar. La turbina
Pelton es el único tipo de turbina hidráulica de impulso de uso habitual en la
actualidad. En esta lección se estudian las caracterı́sticas constructivas y de
operación de las turbinas de accción más comunes en la práctica (Pelton). Para
ello en primer lugar se hace un resumen de los principales elementos y de la función
de cada uno de ellos, ası́ como su correspondencia con los elementos equivalentes
en turbinas de reacción. A continuación se plantean los triángulos de velocidades
en la entrada y salida del rodete de estas máquinas. Seguidamente se plantean
algunas relaciones entre variables de operación que garantizan un funcionamiento
en régimen óptimo. Finalmente obtienen sus curvas caracterı́sticas para salto
neto constante y variable.
1
2
Energı́a Eólica e Hidráulica
4.2
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Turbinas de acción
Todas las ideas que a continuación se presentan se han precisado con anterioridad
en la Lección 1, si bien se vuelve a incidir aquı́ en ellas para una mayor
comprensión de la temática.
El mecanismo de funcionamiento de este tipo de turbinas consiste en hacer incidir
tangencialmente uno o varios chorros de agua a alta velocidad sobre los álabes
dispuestos equiespaciadamente en la periferia del rodete, bien horizontal o vertical
en función del número de inyectores a instalar. La energı́a del agua a la entrada
del rotor es en forma de energı́a cinética del chorro, no existiendo prácticamente
variaciones de altura estática en el fluido a través del rodete. En este tipo de
turbinas la presión en el rodete se mantiene constante y esto provoca que el
fluido no invada toda la cavidad entre los alabes. La variación del momento
cinético del agua en el rodete produce sobre éste un par que lo hace girar. El
agua sale de los álabes con una energı́a cinética residual relativamente baja y es
dirigida hacia el canal de desagüe. Debido a que en cada instante el chorro o los
chorros de agua sólo inciden sobre algunos de los álabes, las turbinas Pelton son
obviamente de admisión parcial.
En la Figura 4.1 se muestra una representación esquemática de una instalación
de turbinación con una turbina de acción. Tal y como se puede apreciar los
elementos que componen la turbina son dos: el inyector y el rodete.
Figura 4.1: Esquema de turbina Pelton ejemplo de turbomáquina de acción.
Rodete El rodete de las turbinas de acción está compuesto por la rueda Pelton
y un conjunto de álabes acopladas a la misma que reciben el nombre de cucharas
o buckets, Figura 4.2. Las cucharas son cazoletas semiesféricas y simétricas que
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
3
disponen de una arista central o splitter que divide el chorro en dos partes iguales
que deslizan por el intradós de las dos semicazoletas y salen desviadas con un
ángulo β2 y una velocidad relativa w2 . La deflexión del chorro produce una
fuerza sobre el álabe que, multiplicada por la distancia al eje de la rueda, D/2
y a la velocidad de giro Ω1 produce el par que hace girar el eje. De acuerdo a
la ecuación de conservación de cantidad de movimiento aplicada al volumen de
control que encierra el rodete, se puede deducir que la fuerza que experimenta el
álabe en la dirección del chorro es,
F = ρ w12 A1 − ρ w22 A2 cos θ
(4.1)
Figura 4.2: Rodete de la turbina Pelton.
donde w1 y w2 son las velocidades relativas en las secciones de entrada y salida
del rodete (como se verá más adelante en la Figura 4.7), A1 y A2 las secciones
de paso del chorro y θ el ángulo deflectado (θ = 180 − β2 , Figura 4.7). De aquı́
se deduce que el ángulo óptimo que las cucharas deberı́an deflectar el chorro es
de 180◦ . Sin embargo, en la práctica este ángulo es poco favorable, ya que si
las cucharas tuvieran la sección de medio cı́rculo, el chorro acabarı́a impactando
con la cuchara que le sucede, ocasionando un par de frenado y por tanto una
disminución de potencia. En la práctica es común que el ángulo que las cucharas
desvien el chorro sea ligeramente inferior a 180o (165–175o ).
Para determinar las pérdidas hidrúalicas en la cuchara se plantea la ecuación de
conservación de la energı́a mecánica en ejes relativos a la misma (ecuación (2.30))
y se considera que por fricción entre el fluido y la cuchara existen unas pérdidas
hidráulicas proporcionales al cuadrado de la velocidad caracterı́stica del flujo
1
Se recuerda que la velocidad de giro de una máquina cuyo eje se encuentra conectado a un
alternador sı́ncrono es constante bajo cualquier condición de funcionamiento ya que depende
exclusivamente de la frecuencia de la red y del número de pares de polos, ecuación (3.1).
4
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Energı́a Eólica e Hidráulica
en la entrada (w1 ), ecuación (4.2), donde ζ 2 es un coeficiente adimensional de
pérdidas que depende de la geometrı́a y de la rugosidad de la cuchara, se tiene la
ecuación (4.3).
HLr
p1 w12
p2 w22
+
− HLr =
+
ρ
2
ρ
2
w12
=ζ
2g
p1 w12
w2
p2 w22
+
−ζ 1 =
+
ρ
2
2
ρ
2
(4.2)
(4.3)
Como la presión es uniforme e igual a la atmosférica, se puede deducir la
relación existente entre las velocidades relativas de entrada y salida al rodete,
ecuación (4.4), que fı́sicamente indica que debido a las pérdidas se produce una
deceleración del flujo relativo3 .
w2 =
p
1 − ζw1
(4.4)
Por lo que en resumen las pérdidas de carga en el rodete se pueden escribir,
HLr =
w2
w12 − w22
=ζ 1
2g
2g
(4.5)
Inyector El elemento inyector en una turbina Pelton es el órgano regulador
del caudal del chorro. En otras palabras, hace las veces de distribuidor en
tubinas de acción. Esencialmente consta de una válvula de aguja o punzón cuya
posición (carrera) determina el grado de apertura de la tobera, Figura 4.3. Para
mantener constante la velocidad de giro en cada instante el caudal debe verse
modificado, y esto se logra gracias al punzón del inyector y a un servomotor
accionado hidráulicamente.
Las condiciones geométricas que debe satisfacer el punzón para garantizar el
cierre es que el diametro máximo de la aguja debe ser 1,25–1,3 veces el diametro
de salida de la tobera. Además para que exista una buena conducción del fluido
a traves del punzón, los ángulos β y α (ambos mostrados en la Figura 4.3) deben
estar comprendidos entre 75o y 90o , y entre 50o y 60o , respectivamente. Este
último también ayuda a preservar las propiedades mécanicas.
Respecto al chorro de salida de la tobera cabe decir que está compuesto por un
nucleo de agua y una sección anular creciente compuesta por una emulsión de agua
y aire. Los factores que condicionan la dispersión del chorro pueden resumirse
en el analı́sis de los números adimensionales de Reynolds y Webber. El diámetro
del chorro d0 se mide en una sección contraı́da situada aguas abajo de la salida,
2
Ya se empleó en la Lección 3 el coeficiente ζ como coeficiente adimensional de pérdidas
para cuantificar las pérdidas que tienen lugar en el rodete√de una turbina de flujo axial.
3
En otros textos se puede encontrar el término 1 − ζ como un factor de fricción
adimensional k = w2 /w1 , cuyo valor suele oscilar en el rango
√ 0,8–1. La relación entre ese
factor adimensional y el aquı́ presentado serı́a por tanto k = 1 − ζ.
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
5
Figura 4.3: Inyector de la turbina Pelton.
donde podemos considerar que la presión exterior es igual a la atmosférica. El
diámetro del chorro siempre es, por tanto, inferior al diámetro de la tobera dt .
En la práctica, para una buena configuración del chorro, d0 no debe ser superior
a unos 27 cm, lo que para un salto de altura dada, limita el valor del caudal
admisible por chorro. Si el caudal total a turbinar es superior al lı́mite permitido,
deben disponerse varios chorros por rueda que se repartan el caudal total. El
caudal trasegado por cada uno de los inyectores de la turbina, q, se puede escribir
de acuerdo a la sección del chorro supuesta circular y la velocidad a la entrada
de la turbina,
π d20
v1
(4.6)
4
Por tanto el caudal total Q se obtendrá multiplicando el anterior por el número
total de inyectores,
q=
π d20
v1 niny
(4.7)
4
Cuando es suficiente con un solo chorro el rodete es de eje horizontal y se orienta el
eje de salida del inyector según la tangente horizontal inferior a la circunferencia
de la rueda Pelton. De esta forma el agua a la salida de las cucharas cae al
fondo de la turbina sin molestar a la rotación de la rueda. Cuando se necesitan
dos chorros, la turbina puede todavı́a ser de eje horizontal, disponiéndose los dos
chorros según dos tangentes inferiores al cı́rculo de la rueda Pelton, inclinadas
un mismo angulo (generalmente de 30◦ ). En esta disposición el agua sale de las
cucharas sin molestar la rueda, Figura 4.4 a). Cuando el número de chorros es
superior a dos, la turbina debe ser de eje vertical, pues según la otra disposición
resulta imposible evitar que el agua a la salida de las cucharas alimentadas por
inyector superior caiga sobre la rueda. A veces la rueda Pelton de eje vertical
está equipada con dos inyectores pero en tal caso los dos chorros actúan en dos
puntos diametralmente opuestos, obteniéndose un par motor puro. Por ello la
disposición de eje vertical es la más ventajosa, Figura 4.4 b).
Cuando son necesarios más de dos inyectores, la disposición de éstos se realiza
en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. En la
Q = q niny =
6
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza Figuraen turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. 4.4: Configuraciones de turbina Pelton con dos inyectores.
horizontal. b) Eje vertical.
a) Eje
Figura 4.5 se muestra una turbina Pelton con tres y cuatro inyectores dispuestos
en la Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza periferia de su rueda, respectivamente. Las turbinas de eje vertical pueden
tener en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. hasta seis inyectores.
Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro no sea superior al límite dado. El hecho de sustituir un número de chorros de una dimensión determinada por un mayor número de chorros de dimensiones menores permite la construcción de una turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro fatiga de las cucharas. Figura
4.5: Configuraciones de turbina Pelton de eje vertical con tres y cuatro
no sea superior al límite dado. inyectores.
Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado, un al número de del chorros de una determinada por un El esto hecho sustituir se de logra gracias punzón inyector y a dimensión un servomotor accionado El hecho
denúmero sustituir
número
de chorros menores de una dimensión
determinadade por
mayor de un
chorros de dimensiones permite la construcción una hidráulicamente. un mayor
número
de
chorros
de
dimensiones
menores
permite
la
construcción
turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben de una
turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no
sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a debenfatiga de las cucharas. sobrepasarse ciertos lı́mites como el poder evacuar el agua eyectada y la
resistencia a fatiga de las cucharas.
El inyector
de las turbinas Pelton lleva acoplado un elemento denominado
Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado, deflector
cuya
finalidad
es al evitar
el golpe
de ariete
la conducción
esto se logra gracias punzón del inyector y en
a un servomotor forzada.
accionado Téngase
en cuenta que al estar alimentadas por conducciones forzadas que
hidráulicamente. Penstock head
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
7
Penstock
ZR
provienen de grandes saltos hidráulicos, en caso de averı́a total o parcial de
la turbina el cierre de la aguja del inyector provoca un golpe de ariete en la
tuberı́a que puede tener consecuencias nefastas. Para ello es necesario cerrar la
aguja lentamente (30–40 s), lo cual, a su vez, tiene el riesgo de que la rueda se
embale. Para ello se dispone del elemento deflector que provoca una desviación
momentánea del chorro por medio de un álabe situado entre el
inyector
Pelton
wheel y las
cucharas. No inerviene más que en los perı́odos de baja potencia, volviendo a su
5
posición normal una vez que se alcanza el nuevo régimen.
Nozzle
La Figura 4.6 muestra la operación del conjunto inyector–deflector. Aquı́ se
Z N puede
Datum level
observar como en condiciones
de regulación de la carga la aguja del inyector se
desplaza hacia la derecha dejando pasar una menor cantidad de caudal. Por su
FIGURE 9.7parte en la zona inferior de la figura se puede apreciar como cuando es necesario,
Pelton Turbine
actúaHydroelectric
el deflectorScheme
desviando el chorro momentáneamente de su dirección orignal.
Cabe destacar que la disposición de deflector mostrada en la Figura 4.6 es la más
habitual.
Full load
Part load
(a)
Deflector in normal position
Fully deflected posiition
(b)
FIGURE 9.8
Figura
4.6: the
Funcionamiento
de inyector
y deflector
en (or
regulación
de turbinas
Methods of
Regulating
Speed of a Pelton
Turbine: (a)
with a Spear
Needle) Valve;
(b) withde
a Deflector
acción.
Plate
Las pérdidas hidráulicas en el inyector vienen ocasionadas por la fricción entre
el fluido y este elemento. Por tanto se pueden cuantificar como la diferentes
de energı́as cinéticas entre la entre y la salida del inyector. Se puede probar
fácilmente que a la entrada del inyector la velocidad v0 depende únicamente de
la altura bruta menos las pérdidas
√ hidrúalicas en la conducción forzada, es decir,
de la altura neta según v0 = 2 g Hn . Por su parte la velocidad a la salida
del inyector, que al coincidir con la de entrada a la turbina se la denota por
v1 , será ligeramente inferior. Dicha velocidad se puede calcular de acuerdo al
8
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
producto del coeficiente Cv , denominado coeficiente de velocidad de las√toberas
de los inyectores, y de la velocidad a la entrada de acuerdo a v1 = Cv 2 g Hn .
De acuerdo a lo anterior las pérdidas hidráulicas en el rodete se pueden escribir
como,
HLiny =
v2
C 2 2 g Hn 2 g Hn
v02
− 1 = v
−
= (1 − Cv2 )Hn
2g 2g
2g
2g
(4.8)
Obviamente el coeficiente de velocidad es inferior a la unidad y su valor suele
oscilar entre 0,97 y 0,99 en función del diseño del inyector.
Con todo lo anterior se puede plantear el balance de energı́a entre la lámina libre
del embalse y la entrada a la turbina (entrada inyector), o lo que es lo mismo, el
balance energético en la instalación. Tomando como altura bruta Hb la diferencia
de cotas entre las láminas libres de fluido del embalse y del eje de la turbina (se
intuye en la Figura 4.1) se tiene,
8 Q2
L X
K
(4.9)
Hn = Hb − hT = Hb − λ +
D
π2 g D4
donde hT representa la pérdida de carga en la conducción forzada que alimenta a
la turbina. Nótese que en este caso el contenido cinético de la corriente a la salida
de la turbina se incluye como pérdida de la propia turbina y no se la instalación,
como se hacı́a en el balance de las instalaciones de turbinas de reacción. En
ese sentido el rendimiento hidráulico o manométrico englobará las pérdidas de
energı́a en los diferentes elementos de la turbina (rodete e inyector) ası́ como la
pérdida de energı́a a la salida del rodete HLs .
HL = HLiny + HLr + HLs
HLs =
v22
2g
(4.10)
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
4.3
9
Teoria simplificada
En esta sección se va a desarrollar la teorı́a simplificada para el análisis de la
operación de las turbinas Pelton. Consideremos los triángulos de velocidades
de entrada y salida correspondientes a la acción del chorro sobre una cuchara
mostrados en la Figura 4.7. Aquı́ se ha supuesto que la cuchara es atacada
constantemente de forma perpendicular por el chorro total. Este supuesto no
se corresponde estrictamente con la realidad ya que la cuchara solo recibe una
fracción del chorro total, tal y como se muestra en la Figura 4.8. Sin embargo en la
práctica se desprecia la componente del choque que se produce como consecuencia
de que β1 no es nulo. Del triángulo de velocidades de la Figura 4.7 se deduce que,
vu2
v1 = u + w1
= u − w2 cos β2
(4.11)
donde u es la velocidad de arrastre, que es común en las secciones de entrada y
salida del rodete u = u1 = u2 = ΩD/2 (siendo D el diámetro de la rueda). Aquı́
se puede apreciar que debido a que la dirección de la velocidad absoluta coincide
con la de arrastre en la sección de entrada, el ángulo α1 es nulo y por tanto vu1
coincide con v1 . Esto implica que la igualdad vectorial ~v = w
~ + ~u se transforma
en una igualdad escalar en la sección de entrada, ya que todas las velocidades
están proyectadas sobre el mismo eje.
Figura 4.7: Distribución de velocidades teórica en el rodete de una turbina Pelton.
Una representación habitual conjunta de los triángulos de velocidades en las
secciones de entrada y salida del rodete de una turbina Pelton se muestra en
la Figura 4.9.
De acuerdo a lo anterior, el teorema de Euler planteado en la Lección 2 (sigue
siendo válido para el estudio de turbinas de acción) queda,
g Hu = u1 vu1 − u2 vu2 = u (v1 − vu2 ) = u (w1 + w2 cos β2 )
(4.12)
10
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Figura 4.8: Distribución de velocidades real en el rodete de una turbina Pelton.
Figura 4.9: Representación gráfica de los triángulos de velocidades en las secciones
de entrada y salida del rodete de una turbina de acción.
Introduciendo la relación (4.4) en la ecuación de Euler, (4.12), se obtiene,
p en la entrada y salida de turbinas tipo Pelton.
Figura 8. Triángulos de velocidades reales
g Hu = u w1 (1 +
1 − ζ cos β2 )
(4.13)
Para terminar
debe
recordar
quedeelcalcular
triángulo
de intercambiada
velocidadesentre
queelserodete
produce en una tur
que se
es una
manera
adicional
la altura
y el fluido
atendiendo
al triángulo
de entrada,
las pérdidas
cuchara yen
el la dirección d
Pelton es muy
complejo,
pues
el chorro
no incide
sobre en
la lacazoleta
ángulo de salida de los álabes del rodete.
marcha, más que en un solo instante, y por tanto, el triángulo de entrada no se reduce a
recta sino que es un triángulo que se modifica continuamente. Para simplificar se pu
4.3.1
conderendimiento
suponer que
en la Funcionamiento
entrada la dirección
la velocidad óptimo
absoluta y la de arrastre es la mism
aunque
este triángul
por tanto, también
la de
relativa,
decir, w 1 determinada
= v 1 − u1 , por
La operación
de la
unavelocidad
turbina Pelton
viene es
habitualmente
la
los valores u y v1 . El primero de ellos viene determinado por el
velocidadesrelación
a la deentrada
del rodete es de un caso particular resulta ser sumam
tamaño de la rueda y la velocidad de giro, mientras que el segundo representa
de
√
representativo.
alguna manera la energı́a disponible dada por la altura neta v1 = Cv 2 g Hn . De
esta manera el rendimiento hidráulico de una turbina Pelton se puede escribir en
función de la relación entre estas dos variables (u/v1 ) usando el desarrollo para la
ecuación de Euler mostrado en la ecuación (4.13), el triángulo de velocidades en
la sección de entrada al rodete (w1 = v1 − u) y la relación entre v1 y Hn mostrada
en este mismo párrafo:
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
11
√
√
Hu
u w1 (1 + 1 − ζ cos β2 )
u (v1 − u) (1 + 1 − ζ cos β2 )
ηh =
=
=
=
v2
Hn
gHn
g 2gC1 2
v
p
u
u
2
= 2 Cv
1−
1 + 1 − ζ cos β2 (4.14)
v1
v1
Para hallar las condiciones de operación óptimas en relación a estos dos
parámetros, se puede derivar la expresión anterior en función de u/v1 . Suponiendo
que β2 y ζ se mantienen constantes, se puede comprobar que el rendimiento
máximo se alcanza para,
∂ηh
=0
∂ vu1
u
1
=
v1
2
(4.15)
El valor de dicho rendimiento se obtiene verificando para la ecuación (4.14) el
valor obtenido de u/v1 = 1/2.
p
Cv2 1 + 1 − ζ cos β2
(4.16)
ηhmáx =
2
En la Figura 4.10 se presenta la variación del√rendimiento hidráulico en función
de la relación u/v1 para varios valores de k = 1 − ζ (ver nota 3 a pie de página).
Figura 4.10: Variación del rendimiento hidráulico de la cuchara (Efficiency of
the runner) en función de la relación u/v1√(blade speed–jet speed ratio) para
diferentes valores del factor de fricción k = 1 − ζ.
La definición de rendimiento hidráulico mostrada anteriormente se puede escribir
en términos de los rendimientos hidráulicos asociados a los distintos componentes
(inyector y cuchara). En ese sentido es habitual definir el rendimiento hidráulico
del inyector, ηhiny , como la relación entre la energı́a del fluido antes y después de
este elemento,
ηhiny
Hn − HLiny
v12 /2g
= 2
=
= Cv2
v0 /2g
Hn
(4.17)
12
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Energı́a Eólica e Hidráulica
Por su parte, el rendimiento hidráulico de la cuchara, ηhc , se define como el
cociente entre la energı́a aprovechada (la asociada a la altura útil g Hu ) y la de
entrada a la cuchara v12 /2g
p
u
u Hu
=2
1−
1 + 1 − ζ cos β2
(4.18)
ηhc = 2
v1 /2g
v1
v1
De esta manera se puede comprobar que el producto de los rendimientos de los
componentes por separado es igual al de la turbina, ecuación (4.14).
p
u u
2
1−
1 + 1 − ζ cos β2 = ηhiny ηhc
(4.19)
ηh = Cv 2
|{z} v1
v1
{z
}
ηhiny |
ηhc
Volviendo a la Figura 4.10, la curva mostrada es estrictamente la de rendimiento
de la cuchara, que se puede asociar (cualitativamente al menos) al rendimiento
hidráulico de la turbina ya que el coeficiente Cv se considera constante. Esta
representación se ha realizado tomando un ángulo de salida de los álabes del
rodete β2 = 15o . El redimiento serı́a igual a la unidad en el caso que β2 = 0o
(el chorro saliese con la misma dirección y en sentido opuesto que como entra al
rodete) y no hubiese pérdidas (ζ = 0, k = 1). Debido a que como se ha justificado
anteriormente, se desea que β2 sea distinto de 0 para que el chorro no impacte en
el dorso de la siguiente cuchara, frenando ası́ el movimiento, y que obviamente
por efecto de la viscosidad del fluido las pérdidas serán no nulas, el rendimiento
de la cuchara nunca puede alcanzar el máximo teórico
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
4.4
13
Pérdidas en el inyector y tuberı́a forzada.
Diámetro óptimo del inyector
De la ecuación de potencia obtenida en el eje de la turbina, ecuación (4.20), se
deduce que ésta aumenta con el caudal y con la altura neta. Ahora bien, un
aumento del caudal induce una mayor pérdida de carga en la conducción forzada,
lo que conlleva una reducción en la altura neta (energı́a disponible). El caudal
se regula por medio del inyector de la turbina, a través del diámetro de salida
d0 , tal y como se ha visto en la sección anterior. Es decir, si d0 ↑, Q ↑ y Hn ↓,
por lo que no sabemos que le ocurre a la potencia. En estas dos tendencias
contrapuestas debe existir un óptimo que garantice que la potencia obtenida en
el eje sea máxima. Para la determinación de dicho diámetro debe encontrarse la
función Ẇeje = Ẇeje (d0 ) para su optimización.
η=
Ẇeje
ρ g Q Hn
Ẇeje = η ρ g Q Hn
(4.20)
En ese sentido la relación del caudal con d0 ya se ha planteado anteriormente
(concretamente se muestra en la ecuación (4.7)). La relación entre la altura neta
y el diámetro del chorro, se puede hallar combinando las ecuaciones (4.7) y (4.9).
Para un análisis más simple se despreciarán las pérdidas secundarias y se asumirá
que la turbina trabaja con un inyector. En ese sentido resulta la ecuación (4.21).
2 2
π d0
8
L
v1
2
4
8LQ
=
H
−
λ
(4.21)
Hn = Hb − λ 2
b
π g Dt5
π 2 g Dt5
donde el diámetro, longitud y factor de fricción de la conducción forzada son Dt 4 ,
L y λ, respectivamente. Incluyendo (4.21) en la forma de la derecha de (4.20) se
obtiene la función Ẇeje = Ẇeje (d0 ) a derivar. Operando,
∂ Ẇeje
=0
∂d0
d0 =
Dt5
2 λ L Cv2
41
(4.22)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (4.21) se obtiene que para que se
produzca la situación óptima la relación entre la altura neta y la bruta es,
2
Hn = Hb
(4.23)
3
Lo que indica que cuando las pérdidas en la conducción forzada son iguales a un
tercio de la altura bruta la potencia que desarrollará la turbina será máxima. A
partir de este valor un aumento del diámetro del chorro (caudal) conllevará una
disminución de la potencia.
4
En esta ecuación se ha denotado al diámetro de la conducción como Dt para diferenciarlo
del diámetro de la rueda Pelton que será D.
14
Energı́a Eólica e Hidráulica
4.5
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Curvas caracterı́sticas de las turbinas de
Ecuación de Euler: acción
Las curvas caracterı́sticas de las turbinas Pelton se pueden presentar para salto
constante y para salto variable, y son las únicas que se pueden determinar a partir
de ecuaciones.
Funcionamiento con rendimiento óptimo: 4.5.1
Curvas caracterı́sticas con salto constante
Las turbinas Pelton funcionan siempre con una altura de salto constante, o al
menos casi constante. A continuación se presentan las curvas caracterı́sticas de
caudal, potencia útil, rendimiento hidráulico y par frente a la velocidad de giro.
Q = Q(Ω)
√
Si el salto es constante tanto Hn como v1 = Cv 2 g Hn son constantes. De
acuerdo a la ecuación (4.6) el caudal depende del diámetro del chorro y de la
: rendimiento hidráulico. velocidadhhen
la entrada del rodete, por lo que para una determinada apertura
del inyector
la curva será una recta de pendiente horizontal cuyo valor irá
Curvas carcterísticas: disminuyendo a medida que se cierre el inyector. En la Figura 4.11 se muestra
la variación a)delCaraterísticas con salto constante: caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del
inyector, Las turbinas Pelton se pueden considerar que funcionan a una altura poco variable. donde x = 1 representa la carrera relativa máxima (totalmente abierto).
Figura 4.11:
Caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del
‐ Q(Ku): caudal inyector.
ηh = ηh (Ω) y Ẇu = Ẇu (Ω)
En la ecuación (4.14) se ha determinado que el rendimiento hidráulico es función
del ratio entre la velocidad de arrastre y la absoluta del chorro u/v1 . El valor
de dicho ratio que maximiza el rendimiento hidráulico es el de 0,5. Al ser v1
constante se puede justificar que el rendimiento hidráulico es proporcional a
ηh ∝ u − u2 siendo el resto de variables constantes. Es por ello que la relación
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
15
de dependencia con Ω es la misma que se ha presentado en la Figura 4.10, ya
que u y Ω son directamente proporcionales. Además, al ser la potencia útil
Ẇu = ρ g Q Hu = ρ g Q ηh Hn y ser Hn constante, ésta describirá la misma relación
de dependencia que el rendimiento, es decir, una parábola invertida. De nuevo
en la Figura 4.12 se ha representado la variación del rendimiento y de la potencia
útil en función de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Tanto
rendimiento como potencia se anulan para un valor de u correspondiente a la
relación u/v1 = 1, ya que al ser la velocidad relativa nula, no existe empuje del
agua hacia la cuchara.
Figura 4.12: Rendimiento hidráulico y potencia útil frente a velocidad de giro
para diferentes aperturas del inyector.
Mx = Mx (Ω)
Finalmente en la Figura 4.13 se ha representado la variación del par en función
de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Es fácil intuir que si
la dependecia de la potencia útil era Ẇu ∝ u − u2 , ahora al ser Mx = Ẇu /Ω, la
dependencia se reducirá en un grado quedando Mx ∝ 1 − u, que resulta en una
recta de ordenada en el origen positiva y pendiente negativa.
4.5.2
Curvas caracterı́sticas con salto variable y velocidad
constante
A pesar de tener escaso sentido fı́sico (una turbina Pelton no opera a salto
variable) su interés radica en poder compararlas con turbinas de reacción. A
continuación se presentan las curvas caracterı́sticas de salto neto y útil ası́ como
16
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Figura 4.13: Par frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector.
potencia útil frente a la velocidad de entrada a la turbina v1 (recuérdese que
ahora Hn es variable y por tanto v1 también).
Hu = Hu (v1 )
De nuevo apoyándonos en la ecuación (4.14), se deduce que para u constante, la
altura útil depende linealmente de v1 .
Hn = Hn (v1 )
√
v2
Al ser v1 = Cv 2 g Hn , Hn = 2 g 1C 2 , que es una parábola de segundo grado
v
tangente en el origen de coordenadas al eje de abcisas.
ηh = ηh (v1 )
Esta curva se deduce inmediatamente de Hu y Hn , presentando un máximo teórico
para u/v1 = 1/2.
Ẇu = Ẇu (v1 )
Responde al producto de relaciones de dependencia de la altura útil y el caudal,
que depende linealmente de la velocidad absoluta. Por tanto se trata de una
parábola que pasa por el origen y por el valor de v1 que anula a Hu .
En la Figura 4.14 se ha representado la variación de todas las magnitudes
anteriores con la velocidad absoluta de entrada al rodete.
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
17
Figura 4.14: Salto neto y útil, rendimiento hidráulico y potencia útil frente a la
velocidad de entrada a la turbina v1 .
18
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Cuestiones Lección 4
4.1 Criterios utilizados en el diseño de turbinas Pelton en la elección del número
de inyectores y su disposición alrededor del rodete, y en la elección entre las
configuraciones de eje vertical y eje horizontal.
4.2 Curvas caracterı́sticas de caudal, potencia, par y rendimiento en función de
la velocidad de giro en turbinas Pelton.
4.3 Triángulos de velocidades en turbinas Pelton.
4.4 Variación de la potencia útil al variar el diámetro del chorro en turbinas
Pelton. Determinar el diámetro del inyector que maximiza la potencia útil en
función de las caracterı́sticas de la tuberı́a forzada y del coeficiente de pérdidas
del inyector.
4.5 Componentes caracterı́sticos en turbinas de acción y principales diferencias
con respecto a las turbinas de reacción. Señalar la correspondencia entre
elementos.
4.6 Funciones del inyector en turbinas de acción.
4.7 Definición de rendimiento hidráulico en turbinas de acción. Indicar cómo se
reparten las pérdidas hidráulicas en esta tipologı́a de máquinas.
4.8 Deducir la relación entre la velocidad absoluta del agua en el chorro y la
velocidad de arrastre de los álabes que maximiza el rendimiento hidráulico en
una turbina Pelton. ¡considérese que las pérdidas por fricción en la superficie de
los álabes es despreciable.
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
19
Problemas Lección 4
4.1 Una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores funciona con un salto
neto Hn = 500 m, una velocidad de giro Ω = 78,5 rad s−1 y un caudal Q = 1 m3
s−1 . El diámetro del rodete es D = 1,2 m. Las cucharas desvı́an el chorro 165◦
con respecto a la entrada y la pérdida de carga debida al rozamiento del fluido con
la superficie de la cuchara se ha estimado en 0,1w12 /(2g), siendo w1 la velocidad
del chorro relativa a la cuchara. El coeficiente de velocidad en las toberas de los
inyectores es Cv = 0,98 y los rendimientos orgánico y volumétrico de la turbina
son ηo = 0,88 y ηv = 1, respectivamente. Determinar:
a) Diámetro de los chorros (d0 ).
b) Altura teórica.
c) Potencia en el eje de la turbina.
Solución
a) d0 = 0,081 m, b) Hu = 459,7 m y c) Ẇeje = 3,968 MW.
4.2 Una central hidroeléctrica toma agua de un embalse a través de una tuberı́a
forzada que tiene una longitud L = 2 km, y un diámetro Dt = 50 cm, en la que
el factor de fricción es λ = 0,006. La central consta de una turbina Pelton de eje
horizontal con dos inyectores. El salto bruto es Hb = 300 m. El coeficiente de
velocidad en las toberas de los inyectores es Cv = 0,97, el diámetro de los chorros
es d0 = 90 mm, el ángulo de salida de los álabes es β2 = 15◦ y la fricción en los
álabes produce una reducción de la velocidad relativa del 15%. Determinar:
a) La relación entre la velocidad periférica del rodete y la velocidad del chorro
incidente sobre los álabes u = f (v1 ) para la que se obtiene un rendimiento
hidráulico máximo y el valor de éste.
b) Caudal y potencia total de la turbina suponiendo que se satisface la relación
u = 0, 48v1 y que los rendimientos orgánico y volumétrico son ηo = 0,96 y
ηv = 0,98, respectivamente.
c) La regulación de la potencia de la turbina se realiza actuando sobre el
diámetro de los chorros, manteniéndose constante la velocidad de giro.
Determinar el nuevo valor del diámetro de los chorros necesario para adaptar
el funcionamiento de la turbina a la demanda de potencia, si ésta disminuye
un 10% con respecto al apartado anterior (téngase en cuenta que al variar el
caudal varı́an las pérdidas de carga en la tuberı́a forzada). Calcular además
el nuevo valor de la relación u/v1 .
20
Energı́a Eólica e Hidráulica
4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica
Solución
a) u/v1 = 0,5, b) Q = 0,905 m3 s−1 , Ẇeje = 1,957 MW y c) d0 = 0,08496 m, u/v1
= 0,475.
4.3 Una central hidroeléctrica que consta de dos turbinas Pelton de idénticas
caracterı́sticas, suministra una potencia eléctrica nominal de 152 MW. Cada
turbina tiene 6 inyectores distribuidos simétricamente alrededor de un rodete de
eje vertical. Cada rodete tiene 20 álabes, dispuestos sobre una circunferencia de
diámetro D = 2,779 m, y gira a una velocidad n = 276,9 rpm. La central turbina
agua procedente de un embalse en el que la superficie del agua está situada a una
altura de 428 m por encima del plano de la turbina. La altura de pérdida de carga
en la tuberı́a forzada es de un 11% del salto bruto. El rendimiento total de las
turbinas en condiciones nominales es de η = 0,917, y el rendimiento del generador
eléctrico es de ηe = 0,98. Los rendimiento orgánico y volumétrico se supondrán
√
iguales a la unidad. El coeficiente de velocidad del inyector es Cv = v1 / 2gHn =
0,98, siendo v1 la velocidad absoluta del agua a la salida del inyector. La altura
correspondiente a la pérdida de energı́a cinética del agua a la salida de los álabes
es el doble de la correspondiente a la pérdida de energı́a por rozamiento en los
álabes. Determinar:
a) Caudal que se deriva desde la presa hasta la central.
b) Diámetro de los chorros (d0 ).
c) Altura de pérdidas en el inyector, en los álabes del rodete y la
correspondiente a la energı́a cinética del agua a la salida del rodete.
d) Ángulo β2 de salida de los álabes en el rodete.
e) Número de pares de polos del alternador si la frecuencia de la red es de f
= 60 Hz (Ω = 2πf /npp ).
Solución
a) Q = 45,26 m3 s−1 , b) d0 = 0,23809 m, c) HLiny = 15,084 m, HLr = 5,51 m,
HLs = 11,021 m, d) β2 = 19,86◦ , e) npp = 13.
Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción
21
4.4 Una turbina Pelton trabaja con un salto neto Hn = 360 m y una velocidad
de giro de 750 rpm. El rodete tiene un diámetro D = 1100 mm y el ángulo de
salida de los álabes es β2 = 15◦ . Se ha estimado un coeficiente de velocidad en las
toberas de los inyectores Cv = 0,98 y unas pérdidas debidas a la energı́a cinética
de salida equivalentes a una altura de 8 m, con vu2 > 0. Se pide:
a) Hacer una estimación de las pérdidas hidráulicas en la cuchara y en el
inyector, y del rendimiento hidráulico.
b) Suponiendo que la velocidad del chorro aumenta un 10%, determinar la
altura teórica en las nuevas condiciones de funcionamiento. Suponer que
las pérdidas en la cuchara son proporcionales a la energı́a cinética asociada a
la velocidad relativa a la entrada del rodete, y que Cv se mantiene constante.
Solución
a) HLiny = 14,25 m, HLr = 11,863 m, HLs = 8 m, ηh = 0,9052 y b) Hu = 394,41 m.
4.5 Se quiere diseñar un aprovechamiento hidráulico en un determinado
emplazamiento en el que se dispone de un salto neto Hn = 360 m. Para ello
se utilizará una turbina Pelton cuyo rodete tiene un diámetro D = 1100 mm
y un ángulo de salida de los álabes β2 = 15◦ , y que gira a una velocidad de
750 rpm. La central deberá generar una potencia total de 3 MW. Para obtener
una estimación del rendimiento hidráulico se han realizado ensayos en una turbina
modelo, realizada a escala de la anterior, cuyo rodete tiene un D = 300 mm y
gira a una velocidad de 1110 rpm. En los ensayos se ha medido un coeficiente de
velocidad en la tobera del inyector Cv = 0,98 y unas pérdidas por fricción en las
cucharas HLr = 2 m. Determinar:
a) El salto neto y la potencia total de la turbina modelo.
b) La altura teórica de la turbina modelo.
c) Caudal necesario para que la central genere la potencia esperada (considérense unos rendimientos orgánico y volumétrico iguales a la unidad).
Solución
2
a) Prototipo1 , Modelo2 : Ẇeje
= 14,67 kW, Hn2 = 58,65 m, b) Hu2 = 53,015 m y
c) Q1 = 0,9398 m3 s−1 .