Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias
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Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias. Rafael Martı́nez-Martı́neza — [email protected] Jorge A. Leóna — [email protected] G. Fernández-Anayab — [email protected] (a) CINVESTAV-IPN Av. Instituto Politécnico Nacional No. 2508, Col San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, México D. F. Tel (+5255) 5747 3795 ext. 4207 (b) Departamento de Fisica y Matemáticas. Universidad Iberoamericana, Prol. Paseo de la Reforma 880, Lomas de Santa Fe, México D. F. 01219, México Resumen— En este trabajo se presenta un criterio para la sincronización parcial de redes complejas fraccionarias, es decir, dada una red de sistemas dinámicos interconectados, en donde el modelo de cada sistema es representado por un operador fraccionario, se conecta un nuevo sistema a la red, con el objetivo de que la red se comporte como éste último sistema; los operadores fraccionarios son extenciones de los operadores derivada e integral, comunmente usados para modelar sistemas dinámicos. redes: circuitos eléctricos, redes móviles, redes ópticas, y muchos más ejemplos. En particular los sistemas caóticos de orden fraccionario tienen más variables ajustables que un sistema de caótico de orden entero, es decir se cree ampliamente que los sistemas fraccionarios caóticos pueden ser aplicados en encriptación de manera eficiente, pues pueden alargar el espacio de las claves (Yang Tang, Jian-An Fang, 2009). Palabras clave: Cálculo fraccionario, Sincronización parcial, Redes complejas, Sistemas fraccionarios. I. I NTRODUCCI ÓN El cálculo fraccionario es tan antiguo como el cálculo convencional, pero no es tan popular en la ciencia y en la ingenierı́a. En los últimos tres siglos, el cálculo fraccionario fue tratado sólo matemáticamente, pero en años recientes se ha utilizado en varios campos de la ingenierı́a y la ciencia (R. Hilfer, 2000). El cálculo fraccionario es el nombre que recibe la teorı́a de integración y derivadas de orden arbitrario. Respecto a los trabajos realizados en redes complejas fraccionarias (sistemas dinámicos interconectados, en donde el modelo de cada sistema es representado por un operador fraccionario); en general la discusión se hace sobre interconexiones lineales entre los sistemas (Tianshou Zhou, Changpin Li, 2005; Yang Tang, Zidong Wang, Jian-An Fang, 2009; Yang Tang, Jian-An Fang, 2009), centrando el desarrollo en condiciones sobre la topologı́a, es decir, los acoplamientos se proponen para garantizar condiciones de estabilidad tipo (Denis Matignon, 1996). En principio el esquema planteado en este trabajo se puede aplicar a una interconexión arbitraria, en el sentido que la estabilización recae sobre una acción de control, y de manera indirecta sobre las condiciones topológicas de la red, gracias a el enfoque de estabilidad de (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo Lu, 2008), por lo que no es necesario eliminar las partes no lineales de la red, y mucho menos linealizar, sin embargo se tiene la restricción de que la sincronización maestro-esclavo es parcial, i. e., cuando al menos para un estado del sistema esclavo kxM − xS k = 6 0, esto se tiene como consecuencia de que sólo se garantiza la estabilidad del sistema error. En general se pueden encontrar muchas aplicaciones de II. O PERADORES FRACCIONARIOS Ahora definiremos lo que se entiende por integral fraccionaria y derivada fraccionaria. Definición 1 (Integral fraccionaria de Riemann-Liouville): La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α ∈ R+ de una función f se define como: véase (Keith B. Oldham, Jerome Spanier, 1974; Igor Podlubny, 1999; Shantanu Das, 2008) α a It f (t) = 1 Γ(α) Z t f (τ )(t − τ )α−1 dτ (1) a Γ(·) es la función Gama. II-A. Derivada fraccionaria de Caputo Definición 2 (Derivada fraccionaria de Caputo): La derivada fraccionaria de Caputo de orden α de la función f se define como véase (Igor Podlubny, 1999) c α a Dt f (t) = 1 Γ(n − α) t Z f (n) (τ )(t − τ )n−α−1 dτ, (2) a donde: n − 1 ≤ α < n, f (n) (τ ) es la derivada n-ésima de f (τ ) en el sentido usual, n ∈ N. III. R ED C OMPLEJA F RACCIONARIA El operador fraccionario que se utilizará será el de Caputo, debido a que el significado de las condiciones iniciales es el mismo que el de los sistemas de orden entero, se considera que 0 < α < 1, se define x(α) (t) = c0 Dtα x(t) = 1 Γ(1 − α) t Z x0 (τ )(t − τ )−α dτ 0 donde 0 < α < 1. Si x(t) ∈ Rn , se considera que x(α) (t) es el operador fraccionario de Caputo aplicado a cada entrada. x(α) (t) = (c0 Dtα xi1 (t), · · · , c0 Dtα xin (t))T Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. 1 x1 1 x2 1 x3 2 x1 2 x2 2 x3 ......... m x2 m x3 1 xr1 2 x(r2 −1) 2 xr2 IV. E STABILIZACI ÓN DE UN SISTEMA F RACCIONARIO En primer lugar se estudia la establización de un sistema fraccionario de la forma: x(α) = Ax + g(x) ......... ................................. ................................. ................................. m x1 1 x(r1 −1) n ......... Figura 1. N sistemas interconectados Supóngase que se tienen m sistemas diferentes de orden fraccionario α y cada uno de ellos tiene una determinada cantidad de copias, de tal suerte que la cantidad total de sistemas es N , los cuales se encuentran en interacción bajo una determinada interconexión, véase la Figura 1. Se tiene que: r r (α) s xi = s fi (s xi ) + 1 X 1 hij (1 xj ) + ... + j=1 ... + rm X s X (3) Entonces x(t) = 0 para 0 ≤ t0 ≤ t, es una solución estable de (6) En la Ecuación (3), s xi : R → Rn donde s es el tipo de sistema, e i es el i − ésimo sistema de este tipo, n n s fi : R → R representa la dinámica del s − i − ésimo sistema, s hij : Rn → Rn describe cómo el s − i − ésimo sistema está interconectado con el s−j − ésimo sistema, es decir, especifica la fuerza y la topologı́a de la interconexión de los sistemas. En general, no todos los sistemas están interconectados de igual manera. Lo anterior es para cada s = 1, 2, . . . , m e i = 1, 2, . . . , rs , r1 +r2 +. . .+rm = N , rs denota la cantidad de sistemas con la dinámica s. s hij (s xj ) (6) kxk→0 m hij (m xj ). = (s xi1 (t), · · · ,s xin (t))T n Con una matriz lineal regular A y una función no lineal g de x y 0 < α < 1 si 1. La solución x(t) = 0 de x(α) = Ax es asintóticamente estable1 , y αρ(A) > 12 2. g(0) = 0 y lı́m kg(x)k kxk = 0 j=1 s xi (t) n x(α) = Ax + g(x) s hij (s xj )+ j=1 (5) Donde xi : R → R , A : R → R lineal, y g : R → Rn no lineal, en (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo Lu, 2008) se presenta el siguiente resultado. Teorema 1: Consideramos el siguiente sistema dinámico n-dimensional de orden fraccionario m x(rm −1) m xrm n s fi (s xi (t)) IV-A. Sistema de Lorenz de orden fraccionario Considérese el sistema de Lorenz de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, JunGuo Lu, 2008): (α) x1 (t) −a1 = A1 x1 +g(x1 ) = b1 0 a1 −c1 0 0 0 0 x1 + −x11 x13 −d1 x11 x12 (7) = (s fi1 (s xi ), · · · ,s fin (s xi ))T = (s hij1 (s xj ), · · · ,s hijn (s xj ))T con s xik : R → R, s fik : Rn → R, s hijk : Rn → R, ∀ k ∈ {1, . . . , n}, ∀s ∈ {1, . . . , m} y ∀i, j ∈ {1, . . . , rs }. También defı́nase: s X(t) = T s x1 , · · · , s k Hs (k X) xT rs T s F (s X) = T T T s f1 (s x1 ), · · · ,s frs (s xrs ) T T = (k hT 11 (k x1 ), · · · ,k h1rk (k xrk ),k h21 (k x1 ), · · · , T k h2rk (k xrk ) · · · Is,k 1r I k 11 0̄2rk 21 = .. . r r 0̄rss 1k T T , · · · ,k hT rs 1 (k x1 ), · · · ,k hrs rk (k xrk )) 1(2∗rk ) 1(r ∗r ) 0̄1(r +1) . . . 0̄1(rk ∗rk r +1) k k k k 2(2∗rk ) 2(r ∗r ) I2(r +1) . . . 0̄2(rk ∗rk r +1) k k k k .. .. .. . . . r (2∗rk ) s k +1) 0̄rs (r ... r (r ∗r ) Ir s(r k∗r k r s k k k +1) donde la notación Aik ij , nos indica que se trata de una matriz cuyos elementos son matrices, donde: i es el número de renglón, j es la columna inicial, y k es el número de columna final. Por ejemplo: 1r A11k = [A11 . . . A1rk ] Ası́ el Sistema (3) se puede escribir como: sX (α) = s F (s X) + m X = s F (s X) + Is,s s Hs (s X) + m X con x1 = [x11 , x12 , x13 ]T , α = 0.8 y una condición inicial dada. Cuando a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3 y α = 0.8 el comportamiento del sistema se muestra en la Figura 2. Se aplica el control u1 = B1 K1 x con: B1 = (1, 1, 1)T Is,k k Hs (k X) k=1 Figura 2. Plano fase de los estados del Sistema (7), se utiliza la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario. (4) Is,k k Hs (k X) K1 = (0, −50, 0) Para esta estructura del sistema se tiene, que la pareja (A1 , B1 ) es completamente controlable, en este caso se toma como hipótesis que se puede observar la variable x12 , k6=s para s fijo se tiene: s X : R → R(rs )n , s F : R(rs )n → R(rs )n , k Hs : R(rk )n → R(rk ∗rs )n ∀ k ∈ {1, . . . , m}. 1 los valores propios de la matriz A deben de satisfacer que el valor absoluto de su argumento sea mayor que 0.5πα (Denis Matignon, 1996) 2 ρ(A) ≡ radio espectral de la matriz A Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. de no ser ası́ se puede diseñar un observador. 1 )k Ahora se tiene que lı́m kg(x kx1 k = 0, αρ(A1 + B1 K1 ) = kx1 k→0 31.3943 > 1 y si se desea que la solución x(t) = 0 del (α) sistema x1 = (A1 + B1 K1 )x1 sea asintóticamente estable se debe de cumplir que karg(spec(A1 + B1 K1 ))k > 0.5πα (se demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede, pues λ1 = −2.6667, λ2 = −26 + 29.3939i, λ3 = −26 − 29.3939i para la elección de B1 y K1 especificadas; por lo tanto, se satisfacen las condiciones del Teorema 1, lo cual implica que el Sistema (7), con el control propuesto, es estable, ası́ la respuesta del Sistema (7) se observa en la Figura 3. IV-C. Sistema de Chen de orden fraccionario Tómese el sistema de Chen de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Chunguang Li, Guanrong Chen, 2004) que se puede escribir como: (α) x3 −a3 = A3 x3 +g(x3 ) = c3 − a3 0 a3 c3 0 0 0 0 x3 + −x31 x33 , x31 x32 −b3 (9) Figura 5. Plano fase de los estados del Sistema (9), utilizando la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario. con x3 = [x31 , x32 , x33 ]T y una condición inicial dada. Cuando a3 = 35, b3 = 3, c3 = 28, y α = 0.8, el comportamiento del sistema se muestra en la Figura 5. Se aplica el control u3 = B3 K3 x3 con: Figura 3. Estabilización del Sistema (7), se aplica el control en t = 10 segundos. IV-B. Sistema de Lü de orden fraccionario Considérese el sistema de Lü de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Jun Guo Lu, 2006) que se puede escribir como: (α) x2 −a2 = A2 x2 +g(x2 ) = 0 0 a2 c2 0 0 0 0 x2 + −x21 x23 , −b2 x21 x22 (8) B3 = (1, 1, 1)T K3 = (0, −50, 0) Ahora se tiene que lı́m kx3 k→0 kg(x3 )k kx3 k = 0, αρ(A3 +B3 K3 ) = 32.5077 > 1 y si se quiere que la solución x(t) = 0 del (α) sistema x3 = (A3 + B3 K3 )x3 sea asintóticamente estable se debe cumplir que karg(spec(A3 +B3 K3 ))k > 0.5πα (se demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede, pues λ1 = −3, λ2 = −16.3653, λ3 = −40.6347 para la elección de B3 y K3 especificadas; por lo tanto, se satisfacen las condiciones del Teorema 1, lo cual implica que el Sistema (9), con el control propuesto, es estable, ası́ la respuesta del Sistema (9) se observa en la Figura 6. Figura 4. Plano fase de los estados del Sistema (8), utilizando la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario. con x2 = [x21 , x22 , x23 ]T y una condición inicial dada. Cuando a2 = 35, b2 = 3, c2 = 28, y α = 0.8, el comportamiento del sistema se muestra en la Figura 4. Figura 6. Estabilización del Sistema (9), se aplica el control en t = 10 segundos. Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. V. S INCRONIZACI ÓN PARCIAL DE REDES COMPLEJAS FRACCIONARIAS 0 0 0 x3 + −x31 x33 x31 x32 −b3 0 −(c3 − a3 )x21 + 2x31 x33 − x21 x33 − x31 x23 + −2x31 x32 + x21 x32 + x31 x22 | {z } Acoplamiento Lü−Ch x21 − x31 −B3 K3 x22 − x32 , x23 − x33 | {z } Acoplamiento Lü−Ch (12) −a3 = c3 − a3 0 (α) x3 Supóngase que se tiene un sistema de Lorenz (Lo) de orden fraccionario 0 < α < 1, y un sistema de Chen (Ch) del mismo orden fraccionario α descritos por las Ecuaciones (7) y (9) respectivamente, los cuales no están en interacción, véase la Figura 7. Lo Ch Figura 7. Sistemas de Lorenz y Chen sin interacción. el comportamiento de estos sistemas se muestra en las Figuras 2 y 5. Ahora, sean un sistema de Lorenz (Loc) de orden fraccionario 0 < α < 1 y un sistema de Chen (Chc) del mismo orden fraccionario α, descritos por las Ecuaciones (7) y (9) más un control de la forma u1 = B1 K1 x1 y u3 = B3 K3 x3 respectivamente, en donde los sistemas no están en interacción, véase Figura la 8. Loc a3 −c3 0 donde a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3, a2 = a3 = 35, b2 = b3 = 3 y c2 = c3 = 28 son los valores de los parámetros para los sistemas de Lorenz, Lü y Chen respectivamente. ¯1 = a1 , c2 −c̄1 = De tal manera que −a2 −ā1 = −a1 , a2 − ā ¯1 = 25, −c1 , −b2 − b̄2 = −d1 , entonces ā1 = −25, ā c̄1 = 20, b̄2 = −1/3. En este caso el sistema de Lorenz y Chen fraccionarios son los sistemas esclavos y el sistema de Lü fraccionario es el sistema maestro. Se definen los siguientes errores: e1 = (e11 , e12 , e13 )T = (x21 − x11 , x22 − x12 , x23 − x13 )T (13) e3 = (e31 , e32 , e33 )T = (x21 − x31 , x22 − x32 , x23 − x33 )T (14) Chc Figura 8. Sistemas de Lorenz y Chen controlados sin interacción. El comportamiento de estos sistemas se muestra en las Figuras 3 y 6. A los sistemas (Lo)-(Ch) se agrega un sistema de Lü (Lü) del mismo orden fraccionario α, y se interconectan de la siguiente manera, véase Figura 9. Entonces la dinámica de los errores e1 (E1 ) y e3 (E3 ) es la siguiente: Lo Lü − Lo Lü (α) e1 Lü − Ch Ch −a1 = b1 0 a1 −c1 0 Figura 9. Sistemas de Lorenz, Lü y Chen en interacción. Entonces el problema es el siguiente: ¿cómo debe de ser la interconexión de esta red de sistemas dinámicos fraccionarios de orden α para que, tanto el sistema de Lorenz como el sistema de Chen, se sincronicen con el sistema de Lü? Para responder esta pregunta tómese la siguiente interconexión: (α) x1 0 0 0 x1 + −x11 x13 −d1 x11 x12 ¯1 x22 ā1 x21 + ā + −b1 x21 + c̄1 x22 + 2x11 x13 − x21 x13 − x11 x23 b̄2 x23 − 2x11 x12 + x21 x12 + x11 x22 | {z } Acoplamiento Lü−Lo x21 − x11 −B1 K1 x22 − x12 , x23 − x13 | {z } Acoplamiento Lü−Lo (10) −a1 = b1 0 (α) x2 = −a2 0 0 a1 −c1 0 a2 c2 0 0 0 0 −x21 x23 , x2 + −b2 x21 x22 (11) (α) e3 −a3 = c3 − a3 0 a3 c3 0 0 0 0 e1 + −e11 e13 + B1 K1 e1 , −d1 e11 e12 (15) 0 0 0 −e31 e33 + B3 K3 e3 , e3 + −b3 e31 e32 (16) Se observa que la dinámica de la red (10)-(11)-(12) se cumple si, y sólo si, ocurre la dinámica de los sistemas desacoplados (15)-(16) y en este caso lo que se obtiene se puede observar en la Figura 10. Lo Lü − Lo Lü Lü − Ch Ch ⇐⇒ E1 = Loc E3 = Chc Figura 10. Sistemas de Lorenz, Lü y Chen, con la interacción propuesta, tienen como consecuencia Sistemas E1 y E3 que no están en interacción y viceversa. Debido a lo anterior la Red Compleja (10)-(11)-(12) se sincroniza si, y sólo si, los Sistemas desacoplados (15)-(16) se estabilizan. Aún más obsérvese que el Sistema E1 tiene la dinámica de un sistema de Lorenz controlado, mientras que E3 la de un sistema de Chen controlado y se ha visto que es posible estabilizar estos sistemas, por lo cual la Red Compleja (10)- Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. (11)-(12) se puede sincronizar, véase la Figura 11. sistema maestro: (α) xM = fM (xM ). (17) xM : R → Rn y fM : Rn → Rn , ahora el problema es el siguiente: ¿cómo se debe de interconectar el sistema maestro a cada sistema y qué nuevas conexiones se deben definir, de tal manera que todos los sistemas se sincronicen con él? Se tiene el siguiente resultado: Proposición 1: Dada una red compleja de la forma: (α) s xi P 1 Prs = s fi (s xi ) + rj=1 1 hij (1 xj ) + . . . + j=1 s hij (s xj )+ Prm . . . + j=1 m hij (m xj ), (18) P r s donde s fi (xi ) + j=1 s hij (s xj ) se puede descomponer en una parte lineal más una parte no lineal3 . Esta red puede ser descrita de la siguiente manera: P = s F (s X) + m k X) k=1 Is,k k Hs (P = s F (s X) + Is,s s Hs (s X) + m k6=s Is,k k Hs (k X). (19) (α) sX Se agrega un sistema maestro a esta red: (α) xM = fM (xM ), (20) con todos los elementos como se han descrito anteriormente, si el Sistema (21): sX (α) = s F (s X) + Is,s s Hs (s X), (21) satisface las hipótesis del Teorema 1 ∀ s ∈ {1, . . . , m}, entonces se tiene que la interconexión definida por la Ecuación (22): fa (s xi ) = fM (xM ) − Lin(s fi + rs P s hij )xM j=1 −s Bi s Ki (xM − s xi ) rs P −N ol(s fi + s hij )(xM − s xi ) j=1 rp P P − p hij (p xj ) − N ol(s fi + p6=s j=1 rs P s hij )(s xi ) j=1 (22) establecida en cada sistema, ocasiona que la Red Compleja (18) se sincronice parcialmente con el Sistema Maestro (20). Prueba:Al agregar el sistema maestro, cada sistema de la Red Compleja (18) tiene la siguiente dinámica: (α) s xi Figura 11. Sincronización de los estados de la red, y estabilización de los errores, se aplica el control en t = 4s. Se utilizan los valores de B1 K1 y B3 K3 que se utilizan en el sistema de Lorenz y Chen controlados, respectivamente. 1 x1 2 x1 1 x2 2 x2 1 x3 ......... m x1 m x2 m x3 ......... entonces el error: s ei (α) s ei 1 xr1 (α) +N ol(s fi + Ahora se generaliza este problema, a la red (3) se agrega un sistema del mismo orden fraccionario α, el cual será el rs P s hij )s ei + j=1 r s P s hij )(s ei ) + s Bi s Ki s ei . j=1 (25) Se define: sE Figura 12. N sistemas interconectados y un sistema M que se conectará a ellos. (24) (α) = xM − s xi 2 xr2 m x(rm −1) m xrm = xM − s xi , tiene la dinámica: = Lin(s fi + 2 x(r2 −1) 2 x3 ......... ................................. ................................. ................................. xM 1 x(r1 −1) P 1 Pr2 = s fi (s xi ) + rj=1 h ( x ) + ... 1 hij (1 xj ) + Prs Prm j=1 2 ij 2 j + j=1 s hij (s xj ) + . . . + j=1 m hij (m xj ) + fa (s xi ), (23) = T T s e1 , · · · ,s ers sB sK T s F (s E) = T T T s f1 (s e1 ), · · ·s frs (s ers ) T = (s B1 s K1 )T , · · · , (s Brs s Krs )T 3 Lin(·) y N ol(·) se refieren a la parte lineal y no-lineal de sus argumentos Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. k Hs (k E) T T = (k hT 11 (k e1 ), · · · ,k h1rk (k erk ),k h21 (k e1 ), · · · , T , · · · ,k hT rs 1 (k e1 ), · · · ,k hrs rk (k erk )) 1(2∗rk ) 1(r ∗r ) 0̄1(r +1) . . . 0̄1(rk ∗rk r +1) k k k k 2(2∗rk ) 2(r ∗r ) I2(r +1) . . . 0̄2(rk ∗rk r +1) k k k k .. .. .. . . . r (2∗rk ) r (r ∗r ) . . . Ir s(r k∗r k r +1) 0̄rs (r +1) T k h2rk (k erk ), · · · Is,k 1r I k 11 0̄2rk 21 = .. . r r 0̄rss 1k s k s k k k En este caso, se obtiene: sE (α) = s F (s E) + Is,s s Hs (s E) + s B s K s E, (26) en particular de la Ecuación (25): sE (α) = Lin(s F + Is,s s Hs )s E+ +N ol(s F + Is,s s Hs )(s E) + s B s K s E, (27) para s ∈ 1, . . . , m, el Sistema 27 tiene la misma forma que la Ecuación 21 la cual satisface las hipótesis del Teorema 1 para cada s, con base en esto, cada sistema s ei se estabiliza. Ası́ todos los sistemas de la red se sincronizan con el sistema maestro, con la elección de s B s K para satisfacer el Teorema 1, por lo cual se obtiene el resultado deseado. El acoplamiento de la red (10)-(11)-(12) se construyó con base en el resultado anterior, obteniendo la sincronización parcial de los sistemas, como se ha comentado anteriormente. VI. C ONCLUSIONES El resultado de sincronización obtenido puede ser aplicado a sistemas fraccionarios lineales, y aún más a sistemas fraccionarios no lineales que satisfagan las hipotesis de la Proposición 1, con la restricción de que la sincronización obtenida es parcial. El esquema de control también se puede aplicar cuando todos los nodos son del mismo tipo, partiendo de condiciones iniciales distintas; también cabe señalar que las hipótesis de la Proposición 1 son aplicables a otro tipo de sistemas caóticos fraccionarios, y no sólo a los utilizados en el ejemplo (Zhang Xiao-Dan, Zhao Pin-Dong, Li Ai-Hua, 2010). Se planea extender este tipo de resultados utilizando teorı́a de Lyapunov para sistemas fraccionarios. R EFERENCIAS R. 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