b g b g b g g g g b g= b b b b g= b g= F HGIKJ b g g b b g g b g b g

b g b g b g g g g b g= b b b b g= b g= F HGIKJ b g g b b g g b g b g

E.T.S.I.T.
TAYLOR - MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PROBLEMAS - 7
1.- Hallar el desarrollo de Taylor de la función z =
b g
x
en los alrededores del punto 4, 2 hasta el
y
tercer orden.
2.- Calcúlese también el polinomio de Taylor de z = e x ⋅ sen y en P = 0, 0 hasta el tercer orden,
con expresión del término complementario.
3.- Hallar el desarrollo de z = e x + y hasta el término n-ésimo con el término complementario en
P = 0, 0 .
b g
b g
4.- Utilizar el teorema de Taylor para escribir el polinomio x 2 y + 3 y − 2 en potencias de ( x − 1) e
( y + 2) .
b g
constante no nula, en un entorno del origen.
6.- Encontrar los máximos y mínimos de la función f b x , y g = x + 3xy − 15x − 12 y .
Solución: Máx. en b −2, − 1g , mín. en b2, 1g , en b1, 2g y b −1, − 2g ptos. de silla.
7.- Dada la función f b x , y g = 3x − 4 yx + y :
5.- Desarrollar mediante la fórmula de Taylor la función f x , y , z = e a b x + y + z g , siendo a una
3
4
2
2
2
a) Pruébese que sobre toda recta y = λx , la función f tiene un mínimo relativo en el origen.
b) f no posee extremos en el plano.
b g
F 5 I
Solución: Máx. en G − , 0J , mín. en b0, 0g , en b −1, 2g y b −1, − 2g ptos. de silla.
H 3 K
8.- Encontrar los máximos y mínimos de f x , y = 2 x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 .
9.- La variación de la longitud de una varilla viene dada por V = x + y + 2 z donde x es la presión, y
la humedad y z la temperatura. Hállense los extremos relativos de V si:
Solución: Máx. en −1, − 3, 6 , mín. en 1, 3, − 2 .
3x 2 + y 2 = 12 ; x + y + z = 2 .
b
g
b g
b
g
10.- Encontrar los máximos y mínimos de la función f x , y = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12 y .
11.- Encontrar la ecuación del plano que pasando por el punto 1, 1, 2 determina con los planos
b
g
Solución: 2 x + 2 y + z = 6 .
coordenados un tetraedro de volumen mínimo.
12.- Calcular la mínima distancia al origen de la curva definida por las dos ecuaciones:
y 2 = x − 1; z 2 = x + 1.
b
g
13.- Hallar los máximos y mínimos de la función: f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + 3z 2 con la condición
2 x − 3 y + 4 z = 49 .
14.- Hallar los valores extremos de f x , y , z = x − 2 y + 2 z en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1
b
g
15.- Hallar los valores los máximos y mínimos de la función: z = f ( x , y ) = x 3 + xy 2 con la
condición x ⋅ y = a 2 , donde a > 0 .
16.- Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y
Solución: 4 ± 5 2 .
mínima de un punto de la curva x2+4y2=4 a la recta x+y=4.
17.- Calcular el volumen máximo de un paralelepípedo recto inscrito en el elipsoide de ecuación:
x2 y2 z2
+
+
= 1.
Solución: 8abc 3 3 .
a 2 b2 c2
18.- Hallar los puntos de la curva y =
1
en los que la tangente determine en el
x2
primer cuadrante, con los ejes de coordenadas, un triángulo de área máxima y
mínima. Interpretar el resultado.
b g
19.- Hallar la mínima distancia entre el punto A 9,3 y la curva y 2 = x − 9 .
20.- Determinar el triángulo isósceles de área máxima inscrito en la elipse de ecuación
b g
x 2 + 3 y 2 = 12 , siendo el punto 0,−2 uno de los vértices y el lado opuesto a dicho vértice
paralelo al eje OX.
21.- Hallar el punto de la parábola y = 4 − x 2 en el que la tangente determine en el
primer cuadrante, con los ejes de coordenadas, un triángulo de área mínima.
Interpretar el resultado.
bg
22.- Hallar los máximos y mínimos relativos de la función z = f x definida por el
sistema de ecuaciones:
RSx + y + z = 6
T x+ y+z=0
23.- Hallar los puntos en donde la función z = f b x , y g = x + y − xy + x + y alcanza sus
valores máximo y mínimo en el conjunto M = mb x , y g ∈ R , x + y ≤ 5r .
2
2
2
2
2
2
2
2
24.- Dada la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y , se pide:
(a) Hallar sus extremos relativos.
(b) Calcular, mediante multiplicadores de Lagrange, los valores máximo y mínimo que
toma la función anterior si x + y = 1 .
25.- Hallar los extremos relativos de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 − xy + 4 .
26.- Al construir un transformador de CA es importante insertar en la bobina un
núcleo de hierro en forma de cruz de área mínima. La figura muestra la sección recta
del núcleo con dimensiones aproximadas. Hallar los valores más adecuados de x e y si
el radio de la bobina es a.
x
y
a
x
y