3L!6B! GF6 @> 6 @ODI:G@:LND FDEDL6GD@ =6G!6E!:EG!:@!:G

3L!6B! GF6 @> 6 @ODI:G@:LND FDEDL6GD@ =6G!6E!:EG!:@!:G

1. Szam tsa ki a k•
ovetkez}
o sorozatok hatarerteket!
3n2 + 4n
n2 + n + 1
1 n
n(1 + 2n
)
bn =
n+1
an =
2. Szam tsa ki a k•
ovetkez}
o f•
uggvenyek derivaltjat!
p
sin log x
p
log sin x
3. Hatarozza meg a k•
ovetkez}
o f•
uggvenyek kijel•olt hatarertekeit!
x+1
log x2
sin x2
lim
x!0 tan x
lim
x! 1
4. Hatarozza meg a k•
ovetkez}
o f•
uggveny monotonitasi tartomanyait, szels}oertekeinek helyet es azok
jelleget!
f (x) = x2 e
2x
||
Megoldasok vazlata:
1.
3 + n4
3n2 + 4n
=
!3
n2 + n + 1
1 + n1 + n12
1 n
p
n(1 + 2n
)
= e
n!1
n+1
lim
mert
1
n
=1
!1
n+1 r n+1
p
1 n
1 2n
(1 +
) = (1 +
) ! e
2n
2n
2.
@ p
cos log x
sin log x =
@x
2x sin log x
p
p
@
cos x
p
log sin x = p
@x
2 x sin x
3.
x+1
= lim
x! 1
1 log x2
lim
x!
sin x2
= lim
x!0 tan x
x!0
lim
@
@x
@
@x
@
@x (x + 1)
@
2
@x (log x )
sin x2
(tan x )
= lim
1
x! 1 2
x
=
1
2x cos x2
=0
x!0 1 + tan2 x
= lim
4.
f (x) = x2 e
2x
Df = ( 1; +1)
@
x2 e
@x
@
@x
2x
2x(1 x)
e2x
=0 ha x = 0 vagy x = 1
>0 ha 0 < x < 1
<0 ha x < 0 vagy x > 1
=
2x(1 x)
4x2 8x + 2
=
e2x
ex
p
p
2
2
=0 ha x = 1
vagy x = 1 +
2
p 2
p
2
2
>0 ha 1
<x<1+
2 p
2
p
2
2
vagy x > 1 +
<0 ha x < 1
2
2
Rf = [0; +1)
Tehat a f•
uggveny szigoruan monoton fogy ( 1; 0)-ban, globalis minimuma van 0-ban 0 ertekkel, szigoruan
monoton n}o (0; 1)-ben, lokalis maximuma van 1-ben e 2 ertekkel, es szigoruan monoton fogy (1; +1)-ben.