Modelos de atmósfera y de avión.

TEMA 2 MODELOS DE ATMÓSFERA Y DE AVIÓN
En este tema se van a modelar las fuerzas aerodinámica y propulsiva, ası́ como el consumo de
combustible del avión, esto es, se van a definir las funciones L = L(h, V, α), D = D(h, V, α), T =
T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el caso de vuelo simétrico. Estas funciones dependen de la altitud
a través de la densidad, la temperatura y la presión del aire, por lo que resulta necesario disponer
también de un modelo de atmósfera que defina dicha dependencia.
2.1 Modelo de atmósfera
El modelo de atmósfera proporciona la temperatura, la presión y la densidad del aire en función
de la altitud. En este curso se considera el modelo de atmósfera estándar internacional, modelo ISA
(Internacional Standard Atmosphere), ya estudiado en otros cursos. Se resumen a continuación las
funciones mencionadas, basadas en la hipótesis de considerar el aire como un gas perfecto.
1) En la troposfera, esto es, para 0 < h < h11 , siendo h11 =11000 m la altitud de la tropopausa, se
tiene
Θ = Θ0 − αT h
(
) g
αT h Ra αT
p = p0 1 −
Θ0
(
) g
αT h Ra αT −1
ρ = ρ0 1 −
Θ0
(2.1)
donde los valores al nivel del mar son Θ0 =288.15 K, p0 =1.01325 105 N/m2 y ρ0 =1.225 kg/m3 ,
αT =6.5 10−3 K/m y Ra =287.05 J/(kgK) es la constante del aire. Además g =9.80665 m/s2 .
2) En la estratosfera (en la parte baja de la misma), para h > h11 , se tiene
Θ = Θ11
(
)
g(h − h11 )
p = p11 exp −
Ra Θ11
(
)
g(h − h11 )
ρ = ρ11 exp −
Ra Θ11
(2.2)
donde los valores en la tropopausa son Θ11 =216.65 K, p11 =0.22632 105 N/m2 y ρ11 =0.3639 kg/m3 .
2.2 Modelo aerodinámico
Los coeficientes de sustentación (CL ) y de resistencia (CD ) se definen a partir de las expresiones
1
L = ρ(h)V 2 SCL
2
1
D = ρ(h)V 2 SCD
2
(2.3)
siendo S la superficie alar del avión.
Mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional
CL = CL (α, M, Re)
CD = CD (α, M, Re)
19
(2.4)
donde M es el número de Mach y Re el número de Reynolds. Estos coeficientes se suponen funciones
conocidas, obtenidas en general mediante ensayos en túnel y ensayos en vuelo.
√
El número de Mach es M = V /a, siendo a = κRa Θ(h) la velocidad del sonido (con κ=1.4 para
el aire), que depende de la temperatura del aire, por lo que depende del modelo de atmósfera. La
dependencia con el número de Mach puede despreciarse a bajas velocidades (M <0.6), mientras que
es importante a altas velocidades, cuando son importantes los efectos de compresibilidad.
Para M y Re fijos, la variación de CL con α es lineal para valores pequeños de α, y tiene un valor
máximo CLmax que corresponde al ángulo de ataque de entrada en pérdida (stall ) αmax . En general el
vuelo está restringido a α < αmax , y en consecuencia CL < CLmax .
A bajas velocidades CLmax es constante (independiente de M ) mientras que a altas velocidades, en
régimen subsónico alto (para aviones comerciales), disminuye al aumentar M , y disminuye drásticamente al acercarse a M = 1. Más allá de la entrada en pérdida CL depende fuertemente de Re. CLmax
influye de forma muy importante en la definición de la envolvente de vuelo (flight envelope) del avión.
El coeficiente de resistencia puede descomponerse en dos partes CD = CD0 + CDi siendo CD0 el
coeficiente de resistencia parásita (con sustentación nula) y CDi el de resistencia inducida (inducida
por la sustentación). En general, la dependencia de CDi con Re es despreciable, mientras que la de
CD0 no es despreciable, ya que el coeficiente de fricción en la superficie del avión depende del número
de Reynolds.
En este curso, por simplicidad, no se considera la dependencia con el número de Reynolds.
Dado que CL depende de α y de M , y M depende de V y de h, las expresiones (2.3) proporcionan
la dependencia buscada L = L(h, V, α) y D = D(h, V, α). Nótese que también se tiene D = D(h, V, L).
Para h y L fijos, existe una V que da resistencia mı́nima, y para V y L fijos, existe una h que da
resistencia mı́nima, como puede verse en las figuras 2.1 y 2.2.
Figura 2.1: Resistencia aerodinámica en función de V y h
20
Figura 2.2: Resistencia aerodinámica en función de V y h (cont.)
2.2.1 Polar
Una vez despreciada la dependencia con el número de Reynolds, a partir de las expresiones (2.4)
se tiene CD = CD (CL , M ), expresión que recibe el nombre de polar del avión, ver figura 2.3.
Figura 2.3: Polar del avión
Una buena aproximación a la polar real de un avión es la polar parabólica,
CD = CD0 (M ) + CD1 (M )CL + CD2 (M )CL2
(2.5)
cuya validez se muestra en la figura 2.4; CD0 es el coeficiente de resistencia parásita y el resto el de
resistencia inducida. Un modelo más sencillo es el de polar parabólica simétrica
CD = CD0 (M ) + k(M )CL2
(2.6)
En el caso de vuelo a bajas velocidades (M <0.6) los coeficientes de la polar CD0 , CD1 , CD2 o bien
CD0 , k son constantes (independientes del número de Mach). A altas velocidades, en régimen subsónico
21
alto (para aviones comerciales), los coeficientes aumentan al aumentar M ; en este caso los efectos de
compresibilidad son importantes.
Figura 2.4: Región de validez de la polar parabólica
En las figuras 2.5 y 2.6 se presentan ejemplos de polares para diversos tipos de avión.
Figura 2.5: Polar en régimen subsónico bajo
Figura 2.6: Polar en régimen subsónico alto
22
2.2.2 Eficiencia aerodinámica
La eficiencia aerodinámica se define como el cociente entre la sustentación y la resistencia aerodinámica
CL
L
E=
=
(2.7)
D
CD
y es por tanto también función de CL y M , esto es, E = E(CL , M ). Para M fijo, E presenta un máximo
en la variable CL , como se describe en el esquema de la figura 2.7, siendo la eficiencia aerodinámica
máxima Emax un parámetro importante del avión. El valor de CL que da lugar a dicho máximo es el
coeficiente de sustentación óptimo CLopt .
Figura 2.7: Coeficientes de resistencia y sustentación y eficiencia aerodinámica
En aviones supersónicos Emax puede variar entre 5 y 10; en aviones subsónicos, entre 10 y 20;
y en veleros, puede llegar hasta 50. En el caso de bajas velocidades (M <0.6) Emax es constante
(independiente de M ), mientras que a altas velocidades, en régimen subsónico alto (para aviones
comerciales), disminuye al aumentar M .
En la figura 2.8 se presentan esquemas de la dependencia con M de diversos parámetros en el caso
de aviones comerciales.
Figura 2.8: Influencia del número de Mach en régimen subsónico
23
2.2.3 Velocidad de entrada en pérdida
La velocidad de entrada en pérdida Vs es la velocidad de vuelo que corresponde a CLmax . Si se
define el factor de carga n = L/W siendo W el peso del avión, se tiene
1
nW = ρ(h)Vs2 SCLmax
2
(2.8)
√
de donde se obtiene
Vs =
2nW
ρ(h)SCLmax
(2.9)
Para n y ρ dados, Vs es la mı́nima velocidad de vuelo; esta velocidad limita la envolvente de vuelo del
avión a bajas velocidades.
Dado que CLmax depende de la configuración aerodinámica del avión (despegue, aterrizaje, configuración limpia), también Vs depende de dicha configuración. Además depende del factor de carga,
del peso del avión y de la altitud de vuelo; Vs aumenta al aumentar estos tres factores.
2.2.4 Velocidad equivalente
La velocidad equivalente se define como
√
Ve = V
ρ
ρ0
(2.10)
donde ρ0 es la densidad ISA al nivel del mar. Ası́ pues, se verifica
1 2 1
ρV = ρ0 Ve2
2
2
(2.11)
1
de manera que si la presión dinámica (q = ρV 2 ) se mantiene constante durante el vuelo, entonces la
2
velocidad equivalente es constante independientemente de la altitud. En el cálculo de actuaciones del
avión, si se considera la velocidad equivalente, se elimina el efecto de la altitud.
Por tanto, se verifica
1
ρ0 Ve2 SCL = nW
(2.12)
2
y, entonces, la velocidad equivalente de entrada en pérdida viene dada por
√
2nW
Ves =
(2.13)
ρ0 SCLmax
que es independiente de la altitud. Ası́, para una maniobra determinada (n conocido) Ves es función
sólo del peso del avión, de manera que, para un peso dado, el avión siempre entra en pérdida a la
misma velocidad equivalente.
2.3 Modelo propulsivo
En esta sección se van a obtener las funciones T = T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el empuje
disponible y el consumo de combustible.
Para modelar el consumo de combustible, se define el consumo especı́fico mediante la relación
cE =
24
gc
T
(2.14)
de modo que tiene dimensiones de 1/tiempo. Se tiene pues cE = cE (h, V, π).
Se definen a continuación los coeficientes adimensionales de empuje (KT ) y de consumo especı́fico
(Kc )
KT =
T
pSR
cE a211
cE a11
Kc =
=
ga
g
√
Θ11
Θ
(2.15)
siendo SR el área de referencia del motor (el área frontal máxima).
Si se toma como variable de control del motor las revoluciones del rotor, es decir π ≡ N , y si se
define el parámetro adimensional (parámetro de vueltas corregido)
N a11
N
Nc =
=
Nmax a
Nmax
√
Θ11
Θ
(2.16)
siendo Nmax las revoluciones máximas permitidas del rotor, entonces mediante análisis dimensional se
obtiene la siguiente dependencia funcional (despreciando los efectos del número de Reynolds)
KT = KT (M, Nc )
Kc = Kc (M, Nc )
(2.17)
funciones que se suponen conocidas (análogamente al caso de CL y CD ).
En la figura 2.9 se presentan unas curvas tı́picas para el caso de un turbofán, donde puede verse
que la dependencia de Kc con Nc es pequeña y que la variación con M es aproximadamente lineal.
Figura 2.9: Coeficientes de empuje y de consumo especı́fico para un turbofán
Se tiene por tanto
T = p(h)SR KT (M, Nc )
ga(h)
cE = 2 Kc (M, Nc )
a11
(2.18)
expresiones que definen la dependencia funcional buscada T = T (h, V, N ) y cE = cE (h, V, N ). Nótese
que también se tiene cE = cE (h, V, T ).
25
La obtención de las funciones KT y Kc es compleja, por lo que se suele utilizar la siguiente aproximación
(
)
ρ x
T = T11 (V, π)
ρ11
)
(
(2.19)
ρ y
cE = cE11 (V, π)
ρ11
donde los valores x e y se obtienen mediante un ajuste de los datos proporcionados por el fabricante,
y en general satisfacen las siguientes relaciones
{
0.5 < x < 1
en la troposfera ⇒
(2.20)
0 < y < 0.2
{
x=1
en la estratosfera ⇒
(2.21)
y=0
Nótese que también se verifica
)
ρ x
T = T0 (V, π)
ρ0
( )y
ρ
cE = cE0 (V, π)
ρ0
(
(2.22)
2.4 Modelo ISJ
En este curso, con objeto de obtener soluciones de forma sencilla a los distintos problemas de
actuaciones, se va a considerar un modelo de avión simplificado, llamado modelo ISJ (Ideal Subsonic
Jet).
2.4.1 Modelo aerodinámico
El modelo aerodinámico está definido por una dependencia lineal de CL con α y por una polar
parabólica simétrica de coeficientes constantes
CD = CD0 + kCL2
(2.23)
Ası́ pues, la eficiencia aerodinámica es función sólo de CL
E=
CL
CD0 + kCL2
(2.24)
dE
= 0 define el valor de CL que da lugar a eficiencia aerodinámica máxima, esto
dCL
es, el coeficiente de sustentación óptimo
√
CD 0
CLopt =
(2.25)
k
La ecuación
siendo la eficiencia aerodinámica máxima
1
Emax = √
2 kCD0
26
(2.26)
El coeficiente de resistencia que corresponde a CLopt es
CD (CLopt ) = 2CD0
(2.27)
La resistencia aerodinámica es por tanto
1
2n2 W 2
D = ρ(h)V 2 SCD0 + k
2
ρ(h)V 2 S
(2.28)
Para n, W y h fijos, la velocidad que corresponde a Emax está definida por la relación
1
nW = ρ(V |Emax )2 SCLopt
2
y su valor es
√
V |Emax =
2nW
ρS
(
k
CD 0
(2.29)
)1/4
Para n, W y h fijos, la resistencia aerodinámica tiene un mı́nimo a la velocidad
√
(
)
2nW
k 1/4
V |Dmin =
= V |Emax
ρS
CD 0
y para n, W y V fijos, tiene un mı́nimo a la altitud dada por
√
2nW
k
ρ|Dmin = 2
V S CD 0
En ambos casos se tiene el mismo valor de la resistencia aerodinámica
nW
Dmin =
Emax
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
que es independiente de h y de V . La eficiencia aerodinámica que corresponde a resistencia mı́nima es
E|Dmin =
L
= Emax
Dmin
(2.34)
Si se considera la velocidad equivalente (ρ0 Ve2 = ρV 2 ), la resistencia aerodinámica viene dada por
1
2n2 W 2
D = ρ0 Ve2 SCD0 + k
2
ρ0 Ve2 S
Para n y W fijos, D tiene un mı́nimo a la velocidad equivalente
√
(
)
2nW
k 1/4
Ve |Dmin =
ρ0 S C D 0
(2.35)
(2.36)
estando Dmin definida por la ecuación (2.33).
2.4.2 Modelo propulsivo
El modelo propulsivo ISJ es un modelo simplificado en el que se supone que el empuje disponible
es independiente de la velocidad y el consumo especı́fico independiente de la velocidad y de la posición
de palanca. Ası́ pues, se tienen las siguientes expresiones
(
)
ρ x
T = T11 (π)
ρ11
)
(
(2.37)
ρ y
cE = cE11
ρ11
27
siendo cE11 constante, y donde x e y toman los siguientes valores
{
x = 0.7
en la troposfera ⇒
y = 0.2
{
x=1
en la estratosfera ⇒
y=0
Para una altitud dada, el empuje máximo disponible viene dado por
(
)
ρ x
Tmax = T11 (πmax )
ρ11
(2.38)
(2.39)
(2.40)
siendo πmax el valor máximo del parámetro de control del motor (máxima posición de palanca).
2.5 Medida de la velocidad
En navegación es necesario disponer a bordo de una medida de la velocidad del avión. En esta
sección se describe cómo se mide la velocidad.
La medida de la velocidad aerodinámica, esto es, la velocidad del avión con respecto al aire (airspeed ) está basada en la ecuación de Bernoulli, que para flujo compresible viene dada por
κ p 1 2
κ pt
+ ρV =
κ−1ρ 2
κ − 1 ρt
(2.41)
que presupone que el aire es llevado a las condiciones de remanso de forma isentrópica, por lo que
también se verifica
( )1/κ
ρt
pt
=
(2.42)
ρ
p
De ambas ecuaciones se obtiene
2κ p
V2 =
κ−1ρ
[(
pt
p
]
)κ−1/κ
−1
(2.43)
A bordo del avión la toma de Pitot-estática mide la diferencia ∆p = pt − p, por lo que en función
de esta diferencia de presiones se tiene
[(
]
)κ−1/κ
2κ p
∆p
2
V =
+1
−1
(2.44)
κ−1ρ
p
Ası́ pues, la medida de la velocidad aerodinámica requiere medir además de ∆p la presión y la
densidad del aire. La velocidad aerodinámica también se llama velocidad verdadera o TAS (True
AirSpeed ).
Nótese que la ecuación (2.44) también puede escribirse en la forma
[(
]
)κ−1/κ
2a2
∆p
2
V =
+1
−1
(2.45)
κ−1
p
es decir, se tiene
2
M2 =
κ−1
[(
]
)κ−1/κ
∆p
+1
−1
p
expresión que permite medir el número de Mach de vuelo a partir de las medidas de ∆p y p.
28
(2.46)
2.5.1 Velocidad calibrada (CAS)
Sin embargo, a bordo del avión el anemómetro indica una velocidad obtenida con la única medida
de la diferencia de presiones ∆p. Se trata de la velocidad calibrada o CAS (Calibrated AirSpeed )
definida como sigue
[(
]
)κ−1/κ
2κ p0
∆p
2
CAS =
+1
−1
(2.47)
κ − 1 ρ0
p0
siendo p0 y ρ0 la presión y la densidad ISA al nivel del mar. En realidad el anemómetro indica la
velocidad que se conoce como velocidad indicada o IAS (Indicated AirSpeed ), que coincide con la CAS
salvo por los errores del instrumento. En este curso se supone que no existen tales errores, por lo que
IAS y CAS coinciden.
En la práctica las operaciones de vuelo se definen en función de la CAS.
Nótese que para un valor de CAS dado, la ecuación (2.47) define ∆p y la ecuación (2.44) el valor
correspondiente de V , dado por

(
[(
])κ−1/κ
)κ/(κ−1)
2κ
p
p
κ
−
1
ρ
0
 1+ 0
V2 =
1+
CAS 2
−1
− 1
(2.48)
κ−1ρ
p
2κ p0
Por tanto, la condición CAS = const define una ley de velocidades V = VC (h), pudiendo comprobarse
que V aumenta al aumentar la altitud. Análogamente, la condición M = const define una ley de
velocidades V = VM (h).
Si se desprecian los efectos de compresibilidad, la ecuación de Bernoulli para flujo incompresible es
1
p + ρV 2 = pt
2
de donde se obtiene
V2 =
2∆p
ρ
(2.49)
(2.50)
En tal caso, la velocidad calibrada se define como sigue
CAS 2 =
2∆p
ρ0
(2.51)
(también se tiene esta expresión como aproximación de la función dada por las ecuaciones (2.46) y
(2.47) para M 2 ¿ 1), por lo que se obtiene
√
ρ0
V =
CAS
(2.52)
ρ
donde se ve claramente que para vuelo a CAS = const la velocidad aumenta al aumentar la altitud.
La expresión anterior también indica que en vuelo a bajas velocidades, en régimen incompresible,
la velocidad calibrada coincide con la velocidad equivalente.
29
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