Flechas: un ejemplo de cálculo

Transcripción

FLECHAS: UN EJEMPLO DE CÁLCULO
La Instrucción para el proyecto y la ejecución de forjados unidirecccionales de
hormigón estructural realizados con elementos prefabricados (EFHE) establece que:
►
La flecha total a tiempo infinito no excederá al menor de los valores L/250 y
L/500 + 10 mm, donde L es la luz del vano en milímetros [1,6 veces el vuelo,
en el caso de voladizos]
►
La flecha activa específica no excederá al menor de los valores L/500 y
L/1000 + 5 mm, en forjados que sustentan tabiques o muros de partición y
cerramiento
EFHE también especifica que no es obligatorio comprobar si las flechas
cumplen las condiciones anteriores en:
► Forjados de viguetas con luces menores que 7 m
► Forjados de losas alveolares pretensadas con luces menores de 12 m
siempre que las sobrecargas no sean mayores a 4kN/m2 y el canto del forjado h sea
mayor que el hmin calculado según la expresión:
h min = δ 1 ⋅ δ 2 ⋅ L/C
donde:
q
δ1: factor que depende de la carga total q (kN/m2) y es igual a
7
1
⎛L⎞ 4
δ2: factor que tiene el valor de ⎜ ⎟
⎝6⎠
L: la luz de cálculo del forjado en m
C: constante según los tipos de forjados, de carga y de tramo, según la tabla
adjunta.
L q ⋅4 L
que suele expresarse como h ≥ ⋅
C 4,141
Tipos de forjado
Viguetas armadas
Viguetas
pretensadas
Losas alveolares
pretensadas[1]
COEFICIENTES C
Tipos de carga
Con tabiques o muros
Cubiertas
Cubiertas
Cubiertas
Tipo de tramo
Aislado
Extremo
Interior
17
21
24
20
24
27
19
23
26
22
26
29
36
45
-
[1]
Piezas pretensadas proyectadas de forma que, para la combinación infrecuente, no llegue a superarse el momento de figuración
En el caso de voladizos C = 6 si el forjado recibe la carga de tabiques o muros, o C = 9 en otros casos.
Forjados unidireccionales de hormigón
1
Por ejemplo, para un tramo aislado de un forjado de viguetas pretensadas que
soporta tabiques, con una carga total q = 6,5 kN/m2 y luz L = 5 m,
h≥
6,5 ⋅ 4 5
5
⋅
= 0,24 m
19
4,141
El siguiente diagrama expresa
la
relación
luz/canto
en
la
consideración de la hmin para los tres
tipos de forjados contemplados en la
tabla del coeficiente C: (1) viguetas
armadas, (2) viguetas pretensadas y
(3) forjados de losas alveolares, con
las limitaciones en las curvas de la luz
en los 7 m para los forjados de
viguetas y en los 12 m para los
forjados de losas alveolares.
Valor del hmin en función de la luz y el tipo de forjado
Para el cálculo de la flecha por el método general, la Instrucción EFHE remite
al apartado 50.2.1 de la Instrucción del Hormigón Estructural EHE; pero aporta un
método simplificado en base al cálculo de la flecha instantánea, considerando para cada
vano del forjado un valor único de inercia equivalente Ie, que tiene en cuenta el efecto
de la fisuración.
Veamos un caso práctico sacado del libro “Forjados”, de Luis Felipe Rodríguez:
Forjado de viguetas armadas de 350 cm de luz y 26 cm de canto, con viguetas de tipo
IV-07, con 2Ø6 + 1Ø12 abajo y 1Ø12 arriba, y una carga de uso lineal, uniformemente
repartida de 7,0 kN/m.
Del documento “Autorización de Uso” de las viguetas prefabricadas extraemos
los datos de los momentos de fisuración, rigidez total y rigidez fisurada, tanto en flexión
positiva como negativa, para bandas de 1 m.
2
Flexión
Positiva
Negativa
Momento de fisuración
[kN·m]
6,82
14,83
Rigidez total
[kN/m]
13.690
12.240
Rigidez fisurada
[kN/m]
2.600
1.590
En primer lugar, hay que comprobar que la rigidez equivalente (producto del
módulo de deformación longitudinal E por el momento de inercia equivalente Ie es
menor o igual que la rigidez total (producto de E y el momento de inercia bruto Ib),
según la expresión:
3
⎡ ⎛ M - M ⎞3 ⎤
⎡ Mf - M0 ⎤
f
0
⎟⎟ ⎥ ⋅ E ⋅ I f ≤ E ⋅ I b
E ⋅ Ie = ⎢
⎥ ⋅ E ⋅ I b + ⎢1 - ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ M a - M 0 ⎠ ⎥⎦
⎣Ma - M0 ⎦
donde:
Mf: es el momento de fisuración
Mo: es el momento flector asociado a la situación de curvatura nula de la
sección, de valor igual a P·e·β-Mv·(β-1) donde P es el valor absoluto de la
fuerza de pretensado, si existe, que puede tomarse como el 90% de la
fuerza inicial de pretensado, e es la excentricidad del tendón equivalente de
pretensado, en la sección de estudio, en valor absoluto, respecto al centro
de gravedad de la vigueta y β es la relación entre la inercia bruta de la
sección del forjado, en la fase constructiva en que se calcula la flecha y la
inercia bruta de la sección de la pieza prefabricada, mayor o igual a la
unidad. En construcción no apeada, cuando se calcula la flecha bajo el
peso propio de la misma o del hormigón vertido en obra, β=1
Mv: es el momento debido a las cargas que actúan sobre la pieza prefabricada
antes de trabajar conjuntamente con el hormigón in situ. Su valor es:
• Para construcción no apeada, el momento debido al peso propio de la
pieza prefabricada y al peso del hormigón vertido in situ
• Para construcción apeada, cero si la pieza es armada y el momento
debido a su peso propio si es pretensada
• Cero en las secciones extremas sometidas a momentos negativos
Ma: es el máximo momento flector que históricamente haya podido solicitar la
sección considerada, incluida la fase en estudio
En nuestro ejemplo:
Mf = 6,82 kN·m
E·Ib = 13.690 m2 kN/m
E·If = 2.600 m2 kN/m
L2
, donde q es la carga unitaria uniforme y L la luz del forjado en
Ma = q ⋅
8
metros; en nuestro ejemplo: q = 7 kN/m y L = 3,5 m, por lo que
3,5 2
Ma = 7 ⋅
= 10,72 kN ⋅ m
8
M0 = 0, al ser P = 0 (viguetas de hormigón armado) y Mv = 0 al ir sobre
sopandas
3
⎡ ⎛ 6,82 ⎞
⎡ 6,82 ⎤
E ⋅ Ie = ⎢
⋅ 13.690 + ⎢1 - ⎜
⎟
⎥
⎣10,72 ⎦
⎢⎣ ⎝ 10,72 ⎠
3
3
⎤
⎥ ⋅ 2.600 = 5.456 kN/m ≤ 13.690 kN/m
⎥⎦
En consecuencia, podemos calcular la flecha instantánea a partir de la fórmula:
5 q ⋅ L4
f ins =
⋅
, donde:
384 E ⋅ I e
E·Ie = 5.456 kN/m, valor de la rigidez equivalente calculada en el paso anterior
q = 7 kN/m, es la carga linealmente repartida
L = 3,5 m, es la luz del forjado
f ins =
5 7 ⋅ 3,5 4
⋅
= 2,51 ⋅ 10 -3 m = 2,51 mm
384 5.456
Una vez calculada la flecha instantánea para este elemento de forjado
unidireccional de semiviguetas de hormigón armado, con luz de 3,5 mm y canto de 26
cm, y una carga uniforme de 7 kN/m, pasamos al cálculo de la flecha total a plazo
infinito, a partir de la expresión:
Flecha total a plazo infinito = Flecha instantánea + Flecha diferida
La flecha diferida producida por cargas de larga duración se puede estimar
multiplicando la flecha instantánea por un factor λ, de valor (epígrafe 50.2.2.3 de la
Instrucción EHE):
ξ
λ=
, donde:
1 + 50 ⋅ ρ ′
ρ': Cuantía geométrica de armadura de compresión As' referida al área de
compresión de la sección útil b0·d, en la sección de referencia
A ′s
ρ′ =
bo ⋅ d
ξ:
Coeficiente que depende de la duración de la carga y que toma los valores
indicados en la tabla
Duración de la carga 2 semanas
Valor de ξ
0,5
En nuestro ejemplo: ξ = 2,0 ,, ρ′ =
λ=
1 mes
3 meses
6 meses
1 año
0,7
1,0
1,2
1,4
5 años
o más
2,0
A ′s
0,28
=
= 0,00105
b o ⋅ d 12 ⋅ 22,4
ξ
2,0
=
= 1,9
1 + 50 ⋅ ρ ′ 1 + 50 ⋅ 0,00105
fTOTAL = fins + fdif = fins + λ·fins = fins·(1+λ) = 2,51·(1+1,9) = 7,28 mm
que cumple con las exigencias de la Instrucción EFHE, en cuanto que la flecha total a
plazo infinito no debe exceder del menor valor de:
4
L
3.500
=
= 14 mm (L se aporta en milímetros)
250 250
L
3.500
+ 10 mm =
+ 10 = 17 mm
500
500
En nuestro ejemplo, fTOTAL = 7,28 < 14 mm
Si construimos sobre ese forjado tabiques con carga de 4 kN/m2 a los 14 días de
ejecutado el forjado, del documento Autorización de Uso de las viguetas prefabricadas
extraemos el factor de corrección de la rigidez total, que es 0,89. Siendo:
•
•
•
La rigidez total E·I = 13.690 kN/m
L2
3,5 2
El momento máximo M a = q ⋅
= 4⋅
= 6,13 kN ⋅ m
8
8
[E·I]c = 0,89·13.690 = 12.184,1 m2 kN/m
La flecha instantánea será:
f inst =
5 M a ⋅ L2 5 6,13 ⋅ 3,5 2
⋅
= ⋅
= 6,4 ⋅ 10 -4 m = 0,6 mm
48 [E ⋅ I]C 48 12.184,1
La flecha diferida a 14 días sería:
λ=
ξ
0,5
=
≅ 0,46
1 + 50 ⋅ ρ ′ 1 + 50 ⋅ 0,00105
fdif = λ·finst = 0,46·0,6 = 0,3 mm
Con lo que la flecha total a los 14 días será:
fTOTAL = finst + fdif = 0,6 + 0,3 = 0,9 mm
La flecha activa; es decir, la producida a partir de la construcción de los
tabiques, será la flecha total a plazo infinito menos la flecha que ya existía cuando se
construyeron los tabiques.
fact = 14 – 0,9 = 13,1 mm
Según la Instrucción EFHE esta flecha activa no sería admisible, pues es
L
3.500
L
mayor que
=
= 7 mm (también mayor que
+ 5 mm = 3,5 + 5 = 8,5 mm ).
500 500
1000
5
Exponemos otro ejemplo de cálculo tal vez más próximo a la realidad española
actual en edificios de viviendas:
Forjado unidireccional de viguetas pretensadas de hormigón armado, en tramo
biapoyado con 5 m de luz, 30 cm de canto y que soporta una carga característica total
(incluido su propio peso) de 7,0 kN/m2. Si se ha calculado el momento de fisuración
[Mf = 37,988 kN·m] y en el documento Autorización de Uso de la vigueta pretensada
encontramos que la rigidez de su sección homogeneizada es E·I = 18.755 kN/m,
comprobemos que la flecha a plazo infinito cumple la exigencia de EFHE.
El máximo momento flector aplicado Ma se calcula a partir de la fórmula
L2
Ma = q ⋅
, donde q es la carga unitaria uniforme y L la luz en metros, 7 kN/m y 5 m
8
respectivamente
52
M a = 7 ⋅ = 21,875 kN ⋅ m
8
Como Ma es menor que el momento de fisuración [Mf = 37,988 kN·m], el
forjado no se encontrará fisurado en esas condiciones y podemos calcular la flecha
instantánea a partir de la expresión:
f inst
5 M a L2 5 21,875 ⋅ 5 2
= ⋅
= ⋅
= 0,003 m = 3 mm
48 E ⋅ I
48 18.755
Si calculamos λ para 5 o más años podremos calcular la flecha diferida:
fdif = λ·finst = 2·3 = 6 mm [hemos aportado λ = 2]
La flecha total a plazo infinito fTOTAL = finst + fdif = 3 + 6 = 9 mm, que cumple
L
5.000
con las exigencias de la Instrucción EFHE, al ser inferior a
=
= 20 mm y a
250 250
L
5.000
+ 10 mm =
+ 10 = 20 mm .
500
500
Carguemos este forjado con tabiques a las dos semanas de construido el forjado,
con una carga de 4kN/m2, sabiendo que el coeficiente de corrección de la rigidez total a
14 días es 0,89 (del documento Autorización de Uso). Ahora tendremos:
•
•
La rigidez total a los 14 días: 0,89·18.755 = 16.692 kN/m
L2
25
El momento máximo para esa carga: M a = q ⋅
= 4⋅
= 12,5 kN ⋅ m
8
8
f inst =
5 M a L2 5 12,5 ⋅ 25
⋅
= ⋅
= 2 mm
48 E ⋅ I
48 16.692
La flecha diferida a 14 días [con λ = 0,5] será: fdif = 0,5·2 = 1 mm
La flecha total a los 14 días será fTOTAL = finst + fdif = 2 + 1 = 3 mm
6
En consecuencia, la flecha activa a partir de la construcción de la tabiquería será
la diferencia entre la flecha total a tiempo infinito y la flecha total a los 14 días:
fact = ftotal p.i - ftotal 14 d = 9 - 3 = 6 mm
que sí cumple con las exigencias de la Instrucción EFHE pues es menor que
L
5.000
=
= 10 mm
500 500
L
+ 5 mm = 10 mm
1000
Reproducimos a continuación las tablas de pesos específicos, pesos por unidad
de superficie y pesos de los elementos constructivos extraídas del Anejo C del
Documento Básico Seguridad Estructural – Acciones en la Edificación [DB SE-AE];
así como la tabla de valores característicos de las sobrecargas de uso [Tabla 3.1, DB
SE-AE, pág. 5].
7
8
9
10

Flechas: un ejemplo de cálculo

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