Análisis Matemático I Actividad 2 Cortaduras de Dedekind Teorema

Análisis Matemático I Actividad 2 Cortaduras de Dedekind Teorema

Análisis Matemático I
Actividad 2
Cortaduras de Dedekind
Teorema. Existe un campo ordenado R con la propiedad de la mı́nima cota
superior. Además, R contiene a Q como subcampo.
1. Los miembros de R son subconjuntos de Q que se llaman cortaduras. Una
cortadura es cualquier subconjunto de Q con las siguientes propiedades:
I) α ̸= ∅, α ̸= Q.
II) Si p ∈ α, q ∈ Q y q < p, entonces q ∈ α.
III) Si p ∈ α, entonces p < r para algún r ∈ α.
2. Define α < β si y solo si α ( β. Esto define un orden en R.
3. El conjunto ordenado R tiene la propiedad de la mı́nima cota superior. Si
∅ ̸= A ⊂ R está acotado superiormente entonces
∪
β=
γ
γ∈A
es el supremo de A.
4. Si α, β ∈ R se define
α + β = {r + s : r ∈ α, s ∈ β},
y
0∗ = {r ∈ Q : r < 0}.
Se verifica que se satisfacen los axiomas de la adición y la primera condición
de la definición de campo ordenado.
5. Si α, β, γ ∈ R y β < γ, entonces α + β < α + γ. Por tanto, α > 0∗ si y solo
si −α < 0∗ .
6. Sea R+ = {α ∈ R : α > 0∗ }. Si α, β ∈ R∗ , entonces se define
αβ = {p ∈ Q : p ≤ rs para algunos r ∈ α, s ∈ β, r > 0, s > 0},
1∗ = {r ∈ Q : r < 1},
se verifica que se satisfacen los axiomas de la multiplicación para R+ con
este producto, y la propiedad distributiva. También se verifica la segunda
condición de campo ordenado.
7. Se define la multiplicación para los restantes casos:

 (−α)(−β) si α < 0∗ , β < 0∗
−[(−α)β] si α < 0∗ , β > 0∗
αβ =

−[α(−β)] si α > 0∗ , β < 0∗
Se demuestran los restantes axiomas para que R sea un campo, haciendo
uso de la identidad γ = −(−γ) y el paso anterior.
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8. Para cada r ∈ Q asociamos la cortadura
r∗ = {q ∈ Q : q < r},
y se cumple:
a) r∗ + s∗ = (r + s)∗
b) r∗ s∗ = (rs)∗
c) r∗ < s∗ si y solo si r < s.
9. Q∗ es isomorfo a Q.
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